slides serie de fourier
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8/18/2019 Slides Serie de Fourier
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6#(78 *+#0( 28 9)##):$+#,"1 ;8
Facultad de Ingeniería, U.A.B.C.
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8/18/2019 Slides Serie de Fourier
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e st ! H " s #e st
z n ! H " z # z n
,-$)- ./0%"-"()12 &- 3%'$)-$
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8/18/2019 Slides Serie de Fourier
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,-$)- ./0%"-"()12 &- 3%'$)-$Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas
x(t) y(t)h(t)
Las exponenciales complejas son funciones propias de los sistemas LTI.
y! t "# $ x! %"h ! t & %"d % # $ h! %" x! t & % "d %
y! t "# $% &
&
h ! ' " e s! t % '" d ' # e st $% &
&
h ! ' " e% s ' d ' # H ! s"e st
donde H(s) es una constante compleja relacionada con la respuesta al impulso
H ! s "# $% &
&
h ! ' " e% s ' d '
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,-$)- ./0%"-"()12 &- 3%'$)-$Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas
Para el dominio discreto
x!n"# Z n
y!n"# $k # % &
' &
h !k " x!n% k "
y!n"# $k # % &
&
h !k " z n % k # z n $k # % &
&
z % k
y!n"# H ! z " z n
H ! z "# $k # % &
&
h !k " z % k
h[n]
x[n] y[n]
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,-$)- ./0%"-"()12 &- 3%'$)-$
Si x(t) e jwot es periódica con frecuencia fundamental ! 0 y periodo fundamental T 0, existe una señalasociada: el conjunto de exponenciales complejas relacionadas armónicamente,
!" t #$ e jk %0 t k = 0, ±1, ±2, ±3, …
Donde cada exponencial posee una frecuencia fundamental múltiplo de ! 0. Por lo tanto:
x! t "# $k # % &
&
a k e jk ' 0 t
es periódica con periodo fundamental T 0 y cuando k = 0, x
0(t) es una constante, cuando k=1 y
k=-1, x 1(t) tiene una frecuencia fundamental ! 0 y son las componentes de la primer armónica.Cuando k =2 y k =-2 x 2(t) es periódica con la mitad del periodo fundamental, es decir el doble
de la frecuencia ! 2 =2 ! 0 y se conocen como las componentes de la segunda armónica. Asísucesivamente hasta la n-ésima armónica.
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,-$)- ./0%"-"()12 &- 3%'$)-$Desarrollo para encontrar las componentes a
k
x! t "# $k # % &
&
a k e j k ' 0 t
(0
T
x! t "a k e% jn ' 0 t dt # (
0
T
$k # % &
&
a k e jk ' 0 t e
% jn ' 0 t dt # $k # % &
&
a k (0
T
e j !k % n" ' 0 t dt
!0
T
"cos #$k % n&' 0 t () jsen #$k % n& '0 t (dt *
"!
0
T
dt + T , k + n
0 k , n*
entonces si k = n
!0
T
x"t #a k e$ jn %0 t dt & '
k & $ (
(
a k T
a k ! 1
T "T x#t $e% jk &0 t dt
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4#$15 6%$715 &- 21 ,-$)- &- 3%'$)-$
x! t "# $k # % &
&
a k e jk ' 0 t
Si x(t) = x *(t) considerando una señal real, entonces
x! t "# $k # % &
&
a ∗
k e% jk ' 0 t
si k " -k
a k ! a ∗
" k ! a" k
x#t $! %k ! " &
&
a ∗
" k e jk ' 0 t
x#t $! a0 ( %k ! 1
&
)a k e jk ' 0 t ( a
" k e
" jk ' 0 t *
x#t $! a 0 ( %k ! 1
&
)a k e jk ' 0 t ( a
∗
k e" jk ' 0 t *
x! t "# a0 $ %k # 1
&
2 Real ' a k e jk ( 0 t )
ak = A
k e j# k encontraremos la forma cosenoidal
x ! t "# a 0 $ %k # 1
&
2 Ak
cos !k ' 0 t $ ( k "
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4#$15 6%$715 &- 21 ,-$)- &- 3%'$)-$
Siak = b k +jc k entonces encontraremos la forma trigonométrica
x! t "# a 0 $ 2 %k # 1
&
Real '! bk $ j ck "!cos k ( 0 t ) senk ( 0 t "*
x! t "# a0 $ 2 %k # 1
&
Real ' b k cos k ( 0 t $ j bk senk ( 0 t $ j ck cos k ( 0 t ) ck senk ( 0 t *
x! t "# a0 $ 2 %k # 1
&
+bk cos k ( 0 t ) ck sen k ( 0 t ,
x ! t "# a 0 $ 2 %k # 1
&
bk
cos k ' 0 t ( 2 %k # 1
&
ck senk ' 0 t
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Desarrollo para encontrar las componentes bk y c
kde la Serie Trigonométrica
Se multiplica la serie trigonométrica por cos k ! 0 t
x ! t "cos k # 0 t $
a 0 cos k # 0 t % 2 &k $ 1
'
b k cos ! k # 0 t "cos !k # 0 t "( 2 &k $ 1
'
c k sen ! k # 0 t "cos !k # 0 t "
se integra en un periodo
!0
T
x "t #cos k $ 0 t dt %
!0
T
a0
cos k $ 0 t dt &!0
T
2 'k % 1
(
bk
cos "k $ 0 t #cos "k $ 0 t #dt ) !0
T
2 'k % 1
(
ck sen "k $ 0 t #cos "k $ 0 t #dt
!0
T
a0
cos k " 0 t dt # 0
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Desarrollo para encontrar las componentes bk y c
kde la Serie Trigonométrica
empleando identidades trigonométricas para los argumentos de las sumatorias de bk y c
krespectivamente, entonces:
1
2cos !k " k #"
1
2 cos !k $ k #%
1
2 y
1
2 sen !k " k #"
1
2 sen ! k $ k #% 0
2 !k " 1
#
bk $
0
T
%1
2cos &k ' k ('
1
2cos &k ) k (*dt " b k T
!0
T
x "t #cos "k $0
t #dt % bk
T
b k ! 1
T "T x #t $cos #k %0 t $dt
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Desarrollo para encontrar las componentes bk y c
kde la Serie Trigonométrica
Si ahora multiplicamos por una senoidal e integramos en un ciclo la serie trigonométrica encontraremos la componente ck
x ! t "# a 0 $ 2 %k # 1
&
b k cos k ' 0 t ( 2 %k # 1
&
c k senk ' 0 t
)0
T
x ! t " sen ! k ' 0 t "dt #
)0
T
a0 sen !k ' 0 t "dt $ )
0
T
2 %k # 1
&
bk
cos !k ' 0 t " sen !k ' 0 t "dt ( )0
T
2 %k # 1
&
ck sen !k ' 0 t " sen !k ' 0 t "dt
empleando identidades trigonométricas para los argumentos de las sumatorias de bk y ck respectivamente, entonces:
1
2 sen !"k # k $ %0 t
1
2 sen !"k ' k $ %0 t &( 0 y '
1
2cos !"k # k $%0 t
1
2cos !"k ' k $%0 t &(
1
2
!0
T
x "t # sen "k $ 0 t #dt % & 'k % 1
(
ck !
0
T
dt % & c k T
ck !
" 1T #
0
T
x $t % sen $k &0 t %dt
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8/18/2019 Slides Serie de Fourier
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Ejemplo
Determinar la Serie Exponencial de Fourier para cualquier señal periódica cuadrada par, de amplitud a volts y periodo T = mb , donde b es la mitad del semiciclo positivo.
b-b
aT
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Ejemplo
a 0 ! 1
T "T
x #t $dt ! 1
T "% b
b
a dt ! a
T &t ' b
% b
a0 !
2ab
T
a k ! 1T "T x#t $e% jk &0 t dt ! 1
T "% b
b
a e % jk2 'T t dt ! a
T # % T jk2 ' $(e% jk2 'T t ) b% b
a k ! % a jk2 '
(e% jk2 ' bT % e
jk2 ' bT )! a
k ' (12j#e jk2 ' bT % e
% jk2 ' bT $)
ak !
a
k "sin #k2 " bT $
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Ejemplo
Para el caso a = 2 volts, T = 4 seg y dado que T = 4b entonces b = 1
a0 = 1 volt
ak !
2
k "sin #k
"
2 $
x! t "# a$ %k # & '
'
(1k s in !k $2 "e jk $2 t )# ...0 * a$ e& j
$2 t *
2ab
T * a$ e
j $2 t * 0 & a2 $
e3 $
2 t * 0 & ...
Su serie Exponencial es:
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Ejemplo
Características
! Posee un número infinito de armónicas.
! La magnitud de su primer armónica es de 2/ " y de su tercer armónica de-2/(3 " ).
! Las frecuencias de su primer y tercer armónicas son de 0.25 Hz ( " /2 rad/seg yT = 4 seg) y 3/4 = 0.75 Hz (3 " /2 rad/seg y T = 4/3 = 1.333 seg)
! Las funciones de su primer y tercer armónica son, respectivamente:
x1 ! t "# 2$ e
j $2
t
x3 ! t "# % 23 $
e j 3
2$ t