slides robotique1 tics 2a

8/17/2019 Slides Robotique1 Tics 2a

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Robotique

Modélisation et commande des robots manipulateurs

Bernard BAYLE

Télécom Physique Strasbourg

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Plan

1 Transformations et des mouvements rigidesNotations et définitions

RotationsTransformations rigidesMouvements rigides

2 Description des bras manipulateursChaîne cinématique d’un bras manipulateurParamètres de Denavit-Hartenberg modifiésRelations géométriquesRelations cinématiques

3 Modélisation des bras manipulateursConfiguration et situation d’un bras manipulateurModèle géométrique directModèle géométrique inverseModèle cinématique direct

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Plan





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Points

Notations

R = (O , x , y , z ) repère orthonormé direct cartésien, selon laconvention de Gibbs.

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Points

Notations


Position d’un point M : vecteur m de coordonnées ∈ R3 :

m =

m x m y m z

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Points

Notations



m =

m x m y m z

Mouvement d’un point : courbe paramétrée m (t ) de R3

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Points

Notations



m =

m x m y m z

Mouvement d’un point : courbe paramétrée m (t ) de R3

Trajectoire d’un point : support du mouvement



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Solides

Solide indéformable : pour toute paire de points de ce

solide de coordonnées m et n :

||m (t ) − n (t )|| = ||m (0) − n (0)|| = constante

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Solides




Hypothèse

Les solides considérés seront tous indéformables.

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Solides




Hypothèse

Les solides considérés seront tous indéformables.

Mouvement rigide d’un solide : mouvement de chacun de

ses points

Situation d’un solide : position et orientation dans

Rd’un

repère lié à ce solide

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Transformations rigides

Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigide

amenant un solide d’une situation initiale à une situation

finale.

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finale.

Application qui transforme les coordonnées des points du

solide de leur position initiale vers leur position finale.



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finale.



Application = transformation rigide ? Ssi elle conserve à la

fois les distances et l’orientation.

T f i i id

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finale.



Application = transformation rigide ? Ssi elle conserve à la

fois les distances et l’orientation.

Conséquence

Un repère orthonormé direct reste orthonormé direct par

application d’une transformation rigide.

M t i d t ti

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Matrices de rotation

Notations

R = (O , x , y , z ) orthonormé directx , y , z : coordonnées de x , y et z dans R :

x =

x .x x .y

x

.z

, y =

y .x

y .y

y

.z

et z =

z .x z .y

z

.z

.

M t i d t ti

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Notations

R = (O , x , y , z ) orthonormé directx , y , z : coordonnées de x , y et z dans R :

x =

x .x x .y

x

.z

, y =

y .x

y .y

y

.z

et z =

z .x z .y

z

.z

.

Définition

R = (x y z ) de dimension 3

×3 est appelée matrice de

rotation du repère R vers le repère R.. . . ou encore matrice de passage ou matrice de changement de base .

M t i d t ti

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Intérêts :




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Intérêts :

rend compte du changement de base des coordonnées

d’un point

O

z z

y

M x

y

x


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Intérêts :

rend compte du changement de base des coordonnées

d’un pointrend compte de la rotation d’un repère lié à un solide de Ren R

O

z z

y

M x

y

x

Rotation d’un point appartenant à un solide

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Rotation d un point appartenant à un solide

Notations

m = (m x m y m z )T et m = (m x m y m z )T : coordonnées de M respectivement dans R et R.


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Notations

m = (m x m y m z )T et m = (m x m y m z )T : coordonnées de M respectivement dans R et R.Alors :

m = m x x + m y y + m z z


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Notations



=

x y z m x m y

m z


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Notations



=

x y z m x m y

m z

Conséquence

Formule de changement de base (rotation) : m = Rm

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Exemple

M

θ

y

z = z O x

y x

M de coordonnées initiales (√ 3 0 1)T .Coordonnées du point transformé par une rotation

R (z , θ) ?


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Solution

m =cos θ − sin θ 0

sin θ cos θ 00 0 1

√ 3

01

=

√ 3cos θ

√ 3sin θ1

.

Application numérique : à titre d’exemple, pour θ = π3 , on trouve

m = (√

32

32 1)

T .

Rotation d’un vecteur

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Rotation d un vecteur

Remarque

Coordonnées d’un vecteur = différence des coordonnées dedeux points de R3.

On peut appliquer la rotation à un vecteur de coordonnées

v = m − n dans R :

m − n = Rm − Rn = R (m − n ),

soit, en posant v = m − n :

v = Rv .

Propriétés des rotations

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Notation

Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I .


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p

Notation


Orthogonalité : R T R = I et det R = 1.


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p

Notation



Elément neutre : matrice identité d’ordre 3.


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p

Notation




Inverse unique : R −

1 = R T .


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p

Notation




Inverse unique : R −

1 = R T .

Combinaison de deux rotations successives R 1 et R 2 :

rotation R 1R 2.

Combinaison de rotations



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Notations

Soient R et R les repères résultant des deux rotationssuccessives R 1 et R 2 du repère fixe R.

Non-commutativité de la rotation

R 1R 2

= R 2R 1.

Deux cas se présentent pour combiner deux rotations :




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Notations



R 1R 2

= R 2R 1.


seconde rotation par rapport au repère résultant de la

première rotation : (R résulte de la rotation de R autourd’un axe lié à

R)


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Notations



R 1R 2

= R 2R 1.


seconde rotation par rapport au repère résultant de la

première rotation : (R résulte de la rotation de R autourd’un axe lié à

R)

seconde par rapport au même repère, fixe (R résulte dela rotation de R autour d’un axe lié à R)

Premier cas

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Problème de changement de base

Seconde rotation par rapport au repère résultant de la premièrerotation : problème de changement de base.

Notations

M de coordonnées respectives m , m , m dans R, R et R

Combinaison : premier casComme m = R 1m

et m = R 2m , alors :

m = R 1R 2m .

Premier cas

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Problème de changement de base

Seconde rotation par rapport au repère résultant de la premièrerotation : problème de changement de base.

Notations

M de coordonnées respectives m , m , m dans R, R et R

Combinaison : premier casCoordonnées m de M dans R = résultat des deux rotationssuccessives appliquées à un point de coordonnées initiales m

Premier cas



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Exemple

z

O

π4

z z

M

x

x

x

πy

m = (√

2 0 0)T dans R : coordonnées de M dans R ?

Premier cas



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Solution

m = √

22 −

√ 2

2 0√ 2

2

√ 2

2 00 0 1

−1 0 00 1 0

0 0 −1√

2

0

0 =

−1

−1

0 .

Soit la combinaison des deux rotations suivantes :

une première rotation d’un angle π4 autour de z

une seconde rotation d’un angle π autour de l’axe y

Second cas



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Rotations successives

Problème de rotations successives d’un point : latransformation d’un point de coordonnées initiales m dans Rdonne un point intermédiaire, qui, transformé par la seconde

rotation donne un point de coordonnées m dans R par R 2.

NotationsM de coordonnées respectives m , m , m dans R, R et R

Combinaison : second cas

Conséquence :

m = R 2(R 1m )

Second cas

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Exemple

z

O

π4

z z

x

x

π

M x

y

m = (√

2 0 0)T dans R : coordonnées de M dans R ?

Second cas



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Solution

m =

−1 0 00 1 0

0 0 −1

√

22

−√ 22 0√

22

√ 2

2 0

0 0 1

√ 2

0

0

=

−11

0

.

Soit la combinaison des deux rotations suivantes :une première rotation d’un angle π4 autour de z

une seconde rotation d’un angle π autour de l’axe y

Orientation d’un solide dans l’espace

M t i d t ti t i di t



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Matrice de rotation et cosinus directeurs

NotationRotation d’un repère R vers un repère R de matrice derotation R , de dimension 3 × 3, à valeurs dans R.

R =x x y x z x x y y y z y

x z y z z z

Définition

Eléments de R =cosinus directeurs . . . ils représentent les coordonnées

des trois vecteurs de la base R exprimés dans R.


Cosinus directeurs incomplets



45/213

Cosinus directeurs incomplets

RemarqueLes colonnes de R sont orthogonales entre elles et par

conséquent la connaissance de deux colonnes suffit :

R =x x ∗

z x

x y ∗ z y x z ∗ z z

.

Définition

Six paramètres restants = cosinus directeurs incomplets .


Repérage minimal

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46/213

Repérage minimal

RemarqueSix paramètres liés entre eux par trois relations :

x x z x + x y z y + x z z z = 0

x 2x + x 2y + x

2z = 1

z 2x + z 2y + z

2z = 1

Conclusion

Jeu de trois paramètres : angles d’Euler, angles de roulis,

tangage, lacet, etc.


Angles d’Euler classiques

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47/213

Angles d Euler classiques

Définition

Angles d’Euler classiques = trois rotations successives :

R (z , ψ), R (x ψ, θ) puis R (z θ, ϕ)

avec ψ, θ et ϕ : précession , nutation et rotation propre .

x

z

ψ

x ψ

z ψ

θ

x θ

z θ

y y ψ

y θϕ

z ϕ

y ϕ

x ϕ



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48/213


Chaque nouvelle rotation effectuée par rapport à un repère

ayant tourné :

R = R (z , ψ) R (x ψ, θ) R (z θ, ϕ)

soit :

R =

cos ψ − sin ψ 0sin ψ cos ψ 0

0 0 1

1 0 00 cos θ − sin θ

0 sin θ cos θ

cos ϕ − sin ϕ 0sin ϕ cos ϕ 0

0 0 1

=

cos ψ cos ϕ − sin ψ cos θ sin ϕ − cos ψ sin ϕ − sin ψ cos θ cos ϕ sin ψ sin θsin ψ cos ϕ + cos ψ cos θ sin ϕ − sin ψ sin ϕ + cos ψ cos θ cos ϕ − cos ψ sin θ

sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ cos θ



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Transformation inverse = angles d’Euler à partir des cosinus

directeurs :si z z = ±1 :

ψ = atan2(z x , −z y )θ = acos z z ϕ = atan2(x z , y z )

si z z = ±1 :

θ = π(1 − z z )/2ψ + z z ϕ = atan2(−y x , x x )

et donc ψ et ϕ sont indéterminés.


Angles de roulis tangage et lacet

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Angles de roulis, tangage et lacet

Définition

Angles de roulis, tangage et lacet : trois rotations successives :

R (x , γ ), R (y , β ) puis R (z , α)

avec γ, β, et α angles de roulis , tangage et lacet .

x

z

y

β γ

α



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51/213


Chaque nouvelle rotation étant effectuée par rapport à un axe

du repère fixe R :R = R (z , α) R (y , β ) R (x , γ )

soit :

R =

cos α − sin α 0sin α cos α 0

0 0 1

cos β 0 sin β0 1 0− sin β 0 cos β

1 0 00 cos γ − sin γ

0 sin γ cos γ

=

cos α cos β − sin α cos γ + cos α sin β sin γ sin α sin γ + cos α sin β cos γ sin α cos β cos α cos γ + sin α sin β sin γ − cos α sin γ + sin α sin β cos γ

−sin β cos β sin γ cos β cos γ



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52/213


Transformation inverse = angles de roulis, tangage et lacet à

partir des cosinus directeurs :si β = ±π2 :

α = atan2(x y , x x )

β = atan2(−x z , x 2x + x 2y )γ = atan2(y z , z z )

si β = ±π2 :

α

−signe(β ) γ = atan2(z y , z x )

ou α − signe(β ) γ = −atan2(y x , y y )et donc α et γ sont indéterminés.

Matrices de passage homogènes

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53/213

Définition

Transformation rigide : combinaison d’une paire (p , R ) avec p la translation de l’origine du repère lié au solide S enmouvement et R la rotation d’un repère lié à ce solide.

O

z

y

O

z

x

y M

p

x


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54/213

Notations

Soient m = (m x m y m z )

T

et m = (m x m y m z )T

lescoordonnées d’un point M respectivement dans R et R.

Expression de la transformation

Transformation rigide : translation p du repère

R, puis rotation

R du repère obtenu vers R :m = p + Rm


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Définition

Pour représenter la transformation rigide sous forme linéaire,

on introduit les coordonnées homogènes du point M :

m̄ = (m x m y m z 1)T = (m 1)T .

m 1

=R p

0 1m

1

Conséquence

¯m = T

¯m avec T =

R p 0 1

La matrice T est dite matrice de passage homogène .

Propriétés des transformations rigides

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Notations

Soient T , T 1 et T 2 représentant les transformations rigides

(p , R ) (p 1, R 1) et (p 2, R 2).


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Notations


(p , R ) (p 1, R 1) et (p 2, R 2).

Combinaison : T 1T 2 =

R 1R 2 R 1p 2 + p 1

0 1

.


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58/213

Notations


(p , R ) (p 1, R 1) et (p 2, R 2).


R 1R 2 R 1p 2 + p 1

0 1

.



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59/213

Notations


(p , R ) (p 1, R 1) et (p 2, R 2).


R 1R 2 R 1p 2 + p 1

0 1

.

Elément neutre : matrice identité d’ordre 4.Inverse : T −1 =

R T −R T p

0 1

.

Vecteur vitesse de rotation

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60/213

Définition

Prise en compte du temps : mouvement rigide. Vecteur vitesse

de rotation Ω porté par l’axe instantané de rotation du solide S ,dirigé suivant le principe du tire-bouchon

O

z z

y

x

y

Ω

M

OM x v M

Vitesse d’un point lié à un solide

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61/213

Rotations pures

Soit Ω le vecteur vitesse de rotation du solideS

et v M

la vitesse

de M appartenant à S , de coordonnées v M .

Expression de la vitesse

v M = Ω × OM ,soit v M = Ω × m = Ω̂ m ,

avec :

Ω̂ = 0 −Ωz Ωy Ωz 0 −Ωx

−Ωy Ωx 0

Vitesse d’un point lié à un solide

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62/213

Cas général

Mouvement rigide : combinaison d’une translation et d’une

rotation.

Expression de la vitesse

v M = ṗ + Ω̂ m .

Plan

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63/213

1 Transformations et des mouvements rigides

Notations et définitionsRotationsTransformations rigidesMouvements rigides

2 Description des bras manipulateurs

Chaîne cinématique d’un bras manipulateurParamètres de Denavit-Hartenberg modifiésRelations géométriquesRelations cinématiques

3 Modélisation des bras manipulateurs

Configuration et situation d’un bras manipulateurModèle géométrique directModèle géométrique inverseModèle cinématique direct

Types de bras manipulateurs considérés

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64/213

Hypothèse

On ne considère ici que les systèmes mécaniques composés

de chaînes cinématiques polyarticulées ouvertes, appelés bras

manipulateurs série.

Description des chaînes cinématiques ouvertes

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65/213

Définition

Bras manipulateur : n corps mobiles rigides reliés par n liaisons

rotoïdes et prismatiques

C 1 C 2 C n −1 C n

liaison

corps corps corps corps

liaison liaison liaisonliaison(corps C 0)bâti

L1 L2 L3 Ln −1 Ln

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés



66/213

Notations

i -ème corps : repère

Ri = (O i , x i , y

i

, z i ), aveci = 0, 1, . . . , n .

axe liaisonLi −1

x i −1

z i −1

a i −1

O i −1

Ωi −

1

Li

axe liaison

x i O i

x i

x i −1

z i

θi

r i

z i

z i

αi −1

Placement des repères R1 à Rn −1



67/213

axe liaisonLi −1

x i −1

z i −1

a i −1

O i −1

Ωi −1

Li

axe liaison

x i O i

x i

x i −1

z i

θi

r i

z i

z i

αi −1

O i −1 est le pied de la perpendiculaire commune à Li −1 et Li surLi −1 (axes parallèles, choix arbitraire de la perpendiculairecommune).




68/213

axe liaisonLi −1

x i −1

z i −1

a i −

1

O i −1

Ωi −1

Li

axe liaison

x i O i

x i

x i −1

z i

θi

r i

z i

z i

αi −1

x i −1 : vecteur unitaire de la perpendiculaire commune, orientéde Li −1 vers Li (axes concourants ou confondus : orientationarbitraire).


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69/213

axe liaisonLi −1

x i −1

z i −1

a i −

1

O i −1

Ωi −1

Li

axe liaison

x i O i

x i

x i −1

z i

θi

r i

z i

z i

αi −1

z i −1 : vecteur unitaire de Li −1, librement orienté (débattementspositifs et symétriques).


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70/213

axe liaisonLi −1

x i −1

z i −1

a i −

1

O i −1

Ωi −1

Li

axe liaison

x i O i

x i

x i −1

z i

θi

r i

z i

z i

αi −1

y i −1 : tel que le repère Ri −1 soit orthonormé direct.

Placement des repères R0 et Rn

Convention

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71/213

Convention

Repère

R0 : libre, en suivant des considérations de

simplicité.

O

z

x

y

O n

O n +1

z n

x n

a n

r n +1


Convention



72/213

Convention

Repère


simplicité.

Point O n +1 : associé à l’organe terminal (OT).

O

z

x

y

O n

O n +1

z n

x n

a n

r n +1


Convention



73/213

Convention

Repère


simplicité.

Point O n +1 : associé à l’organe terminal (OT).

Repère Rn : tel que O n +1 ∈ (O n , x n , z n ).

O

z

x

y

O n

O n +1

z n

x n

a n

r n +1


αi −1 : angle algébrique entre z i −1



74/213

axe liaisonLi −1

x i −1

z i −1

a i −1

O i −1

Ωi −1

Li

axe liaison

x i O i

x i

x i −1

z i

θi

r i

z i

z i

αi −1

et z i , mesuré autour de x i −1.


αi −1 : angle algébrique entre z i −1



75/213

axe liaisonLi −1

x i −1

z i −1

a i −1

O i −1

Ωi −1

Li

axe liaison

x i O i

x i

x i −1

z i

θi

r i

z i

z i

αi −1


a i −1 : distance arithmétique de laperpendiculaire commune aux

axes des liaisons Li −1 et Li mesurée le long de x i −1.


αi −1 : angle algébrique entre z i −1é d

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76/213

axe liaisonLi −1

x i −1

z i −1

a i −1

O i −1

Ωi −1

Li

axe liaison

x i O i

x i

x i −1

z i

θi

r i

z i

z i

αi −1


a i −1 : distance arithmétique de laperpendiculaire commune auxaxes des liaisons Li −1 et Li mesurée le long de x i −1.

θi : angle algébrique entre x i −

1 et

x i , mesuré autour de z i .


αi −1 : angle algébrique entre z i −1t é t d

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77/213

axe liaisonLi −1

x i −1

z i −1

a i −1

O i −1

Ωi −1

Li

axe liaison

x i O i

x i

x i −1

z i

θi

r i

z i

z i

αi −1


a i −1 : distance arithmétique de laperpendiculaire commune auxaxes des liaisons Li −1 et Li mesurée le long de x i −1.

θi : angle algébrique entre x i −

1 et

x i , mesuré autour de z i .

r i : distance algébrique du point

O i à la perpendiculaire, mesuré

le long de z i .

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78/213

Exemple

Ici commencent les travaux dirigés. . .

Tansformation rigide

Transformation rigide paramétrée :

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79/213

T i −1, i =

1 0 0 00 cos αi −1 − sin αi −1 0

0 sin αi −1 cos αi −1 00 0 0 1

R (x i −1, αi −1)

1 0 0 a i −10 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

translation de a i −1x i −1

cos θi − sin θi 0 0sin θi cos θi 0 0

0 0 1 00 0 0 1

R (z i , θi )

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 r i 0 0 0 1

translation de r i z i

soit :

T i −1, i =

cos θi − sin θi 0 a i −1

cos αi −1 sin θi cos αi −1 cos θi − sin αi −1 −r i sin αi −1sin αi −1 sin θi sin αi −1 cos θi cos αi −1 r i cos αi −1

0 0 0 1

Tansformation rigide

Transformation rigide paramétrée :

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80/213

T i −1, i =

1 0 0 00 cos αi −1 − sin αi −1 0

0 sin αi −1 cos αi −1 00 0 0 1

R (x i −1, αi −1)

1 0 0 a i −10 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

translation de a i −1x i −1

cos θi − sin θi 0 0sin θi cos θi 0 0

0 0 1 00 0 0 1

R (z i , θi )

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 r i 0 0 0 1

translation de r i z i

qui prend la forme :

T i −1, i =

R i −1, i p i −1, i 0 1

où R i −1, i représente la rotation entre les repères Ri −1 et Ri etp i −

1, i la translation entre ces mêmes repères.

Liaison prismatique

ṗ i = q̇ i z i

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axe liaison

Li

O i

O n

q̇ i z i

Vitesse du point O n et vitesse de rotation de Rn :ṗ

i = q̇ i z i ,

Ωi = 0.

Liaison rotoïde

˙



82/213

axe liaison

Li

O i

O n

p i ,n

Ωi = q̇ i z i

p i = q̇ i z i × p i ,n

Vitesse du point O n et vitesse de rotation de Rn :ṗ

i = q̇ i z i × p i ,n ,

Ωi = q̇ i z i .

Relations cinématiques, cas général

Notations

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83/213

Liaison identifiée par le paramètre σi et son complément à 1 σ̄i :

σi =

0, pour une liaison rotoïde,

1, pour une liaison prismatique.

Vitesses du repère de l’organe terminal en O n

ṗ i

= (σi z i + σ̄i z i × p i ,n )q̇ i ,Ωi = (σ̄i z i ) q̇ i .

Plan

1

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84/213





Configuration

Définition

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85/213

Configuration d’un système mécanique : repère la position de

tous ses points dans un repère donné.

Cas d’un bras manipulateur

Configuration d’un bras manipulateur : vecteur q de n

coordonnées indépendantes appelées coordonnées généralisées , appartenant à l’espace des configurations N .Coordonnées généralisées : angles de rotation pour les

liaisons rotoïdes, valeurs des translations pour les liaisons

prismatiques.

Situation

Définition

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86/213

Situation d’un solide : position et orientation de ce solide dans

un repère donné.

Cas d’un bras manipulateur

Situation de l’OT du bras manipulateur : vecteur x de m

coordonnées opérationnelles indépendantes appartenant àl’espace opérationnel M, de dimension m 6. Définition de lasituation selon le problème (plan, positionnement seul . . .) et le

paramétrage choisi (orientation notamment).

Modèle géométrique direct

Définition



87/213

Modèle géométrique direct (MGD) d’un bras manipulateur :

situation de son OT en fonction de sa configuration :

f : N −→ Mq −→ x = f (q ).

Cas général

On exprime x = (x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6)T , avec (x 1 x 2 x 3)

T

coordonnées de position dans R0 et (x 4 x 5 x 6)T coordonnéesd’orientation, en fonction de q = (q 1 q 2 . . . q n )

T .

. . . souvent on s’arrête aux cosinus directeurs incomplets

Calcul du MGD

Orientation extraite de la matrice de rotation entre les

repères bâti et OT

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88/213

repères bâti et OT.

Calcul du MGD

Orientation extraite de la matrice de rotation entre les




89/213


Position (x 1 x 2 x 3)T

du point O n +1 déduite de la position(p x p y p z )T du point O n dans R0, compte tenu des

coordonnées (a n 0 r n +1)T de O n +1 dans Rn :

x 1 = p x + a n x x + r n +1z x

x 2 = p y + a n x y + r n +1z y

x 3 = p z + a n x z + r n +1z z

Règles pratiques

Calcul de la position de O n et des cosinus directeurs

incomplets :

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90/213

incomplets :

T 0,n (q ) = T 0,1(q 1) T 1,2(q 2) . . . T n −1,n (q n ).

Règles

On note, pour i , j , . . . compris entre 1 et n :

S i = sin q i

C i = cos q i

S i + j = sin (q i + q j )

C i + j = cos (q i + q j )

Règles pratiques


incomplets :



91/213

p

T 0,n (q ) = T 0,1(q 1) T 1,2(q 2) . . . T n −1,n (q n ).

Règles

Chaque nouvelle opération : une variable intermédiaire.

Règles pratiques


incomplets :



92/213

p

T 0,n (q ) = T 0,1(q 1) T 1,2(q 2) . . . T n −1,n (q n ).

Règles

Calcul du produit à rebours : pas de calcul de la seconde

colonne des différentes matrices.

Règles pratiques


incomplets :

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93/213

p

T 0,n (q ) = T 0,1(q 1) T 1,2(q 2) . . . T n −1,n (q n ).

Règles

Deux transformations se composent aisément : on effectue tout

d’abord leur produit (exemple : deux rotations successives

d’axes parallèles).



94/213

Exemple

Suite des travaux dirigés. . .

Modèle géométrique inverse

Définition

Modèle géométrique inverse (MGI) : la ou les configurations

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95/213

Modèle géométrique inverse (MGI) : la ou les configurations

correspondant à une situation de l’OT donnée :

f −1 : M −→ N x −→ q = f −1(x ).

Résolubilité

Existence d’un nombre fini de solutions :

Si n m : infinité de solutions.

Calcul

Résolution du MGI

Pas de méthode analytique systématique pour calculer le MGI

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96/213

Pas de méthode analytique systématique pour calculer le MGI.

Le mieux est de reprendre les équations du MGD et de mener le

calcul à l’envers. Dans le cas où n = 6, l’existence d’un poignetsphérique permet de débuter la résolution par :

p x = x 1 − a n x x − r n +1z x ,p y = x 2 − a n x y − r n +1z y ,p z = x 3 − a n x z − r n +1z z .

Ensuite résolution au cas par cas pour exprimer les q i , pour

i = 1, 2, . . . , n en fonction de p x , p y , p z et des cosinusdirecteurs.

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97/213

Exemple

Suite des travaux dirigés. . .

Modèle cinématique direct

Définition

Modèle cinématique direct (MCD) : relation entre les vitesses

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98/213

Modèle cinématique direct (MCD) : relation entre les vitesses

opérationnelles ẋ et les vitesses généralisées q̇ :

ẋ = J q̇

où J est matrice jacobienne de la fonction f , de dimension

m × n : J : T q N −→ T x Mq̇ −→ ẋ = J q̇ , où J = ∂ f

∂ q .


Calcul

Dérivation du MGD pour les structures simples sinon



99/213

Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . .

Premier temps : vitesse de O n et vitesse de rotation de Rn

ṗ =

n i =1

(σi z i + σ̄i z i × p i ,n )q̇ i ,

Ω =n

i =1

(σ̄i z i ) q̇ i .


Calcul

Dérivation du MGD pour les structures simples sinon

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100/213


Premier temps : vitesse de O n et vitesse de rotation de Rn Sous forme vectorielle :

ṗ Ω

= J g q̇

J g =

σ1z 1 + σ̄1z 1 × p 1,n σ2z 2 + σ̄2z 2 × p 2,n . . . σn z n + σ̄n z n × p n ,n

σ̄1z 1 σ̄2z 2 . . . σ̄n z n


Calcul




101/213


Premier temps : vitesse de O n et vitesse de rotation de Rn Dans R0 :

ṗ

Ω = J g q̇


Calcul


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102/213

é at o du G pou es st uctu es s p es s o

Second temps : calcul de la vitesse du point O n +1 et des

dérivées des paramètres d’orientation du repère Rn Position de O n +1 :

x 1x 2x 3

=

p x p y

p z

+ a n

x x x y

x z

+ r n +1

z x z y

z z


Calcul


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103/213

p p


dérivées des paramètres d’orientation du repère Rn Vitesse de O n +1 :

ẋ 1ẋ 2ẋ 3

=

ṗ x ṗ y

ṗ z

+

Ωx Ωy

Ωz

×

a n

x x x y

x z

+ r n +1

z x z y

z z


Calcul


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104/213

p p


dérivées des paramètres d’orientation du repère Rn

ẋ 1ẋ 2ẋ 3

= ṗ x ṗ y ṗ z

+ D Ωx Ωy Ωz

avec :

D = 0 a n x z + r n +1z z −a n x y − r n +1z y −a n x z − r n +1z z 0 a n x x + r n +1z x

a n x y + r n +1z y −a n x x − r n +1z x 0 .


Calcul


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105/213

p p


dérivées des paramètres d’orientation du repère Rn Dérivées des paramètres d’orientation du repère Rn :

ẋ 4ẋ 5. . .ẋ m

= C

Ωx Ωy

Ωz


Finalement :

MCD :

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106/213

ẋ =

I D

0 C

ṗ

Ω

=

I D

0 C

J g q̇ ,

matrice jacobienne :

J =

I D 0 C

J g .

Règles pratiquesPour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) :

J g =

R 0,1 0

0 R 0,1

R 1,2 0

0 R 1,2

. . .

R k −1,k 0

0 R k −1,k

I −p̂ k +1,n |Rk 0 I

J k +1|Rk

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107/213

avec :


J g =

R 0,1 0

0 R 0,1

R 1,2 0

0 R 1,2

. . .

R k −1,k 0

0 R k −1,k

I −p̂ k +1,n |Rk 0 I

J k +1|Rk

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108/213

avec :

k = Ent( n 2 ) : indice préférentiel


J g =

R 0,1 0

0 R 0,1

R 1,2 0

0 R 1,2

. . .

R k −1,k 0

0 R k −1,k

I −p̂ k +1,n |Rk 0 I

J k +1|Rk

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109/213

avec :


robot à poignet sphérique : p̂ 4,6 = 0


J g =

R 0,1 0

0 R 0,1

R 1,2 0

0 R 1,2

. . .

R k −1,k 0

0 R k −1,k

I −p̂ k +1,n |Rk 0 I

J k +1|Rk

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110/213

avec :



p̂ k +1,n |R

k : matrice anti-symétrique associée à la projection

de p k +1,n dans Rk


J g =

R 0,1 0

0 R 0,1

R 1,2 0

0 R 1,2

. . .

R k −1,k 0

0 R k −1,k

I −p̂ k +1,n |Rk 0 I

J k +1|Rk

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111/213

avec :



p̂ k +1,n |R

k : matrice anti-symétrique associée à la projection

de p k +1,n dans Rk J k +1|Rk : projection dans Rk de

J k +1 =

σ1z 1 + σ̄1z 1 × p 1,k +1

σ2z 2 + σ̄2z 2 × p 2,k +1 . . . σn z n + σ̄n z n × p n ,k +1

σ̄1z 1 σ̄2z 2 . . . σ̄n z n

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112/213

Plan

4 Génération de mouvements


113/213

4 Génération de mouvementsLes différents problèmesSystème de commande d’un robot

5 TechnologieMotorisation

Mesure de positionVariateurs de vitesse

6 CommandeCommande point-à-point

Commande à mouvement opérationnel imposé

Plan


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114/213

Génération de mouvements

Les différents problèmesSystème de commande d’un robot





Problèmes point-à-point



115/213

Tâche

Atteindre une position et une orientation désirées x f , à

partir d’une configuration de départ q 0.


Tâche

Atteindre une position et une orientation désirées x f , à partir

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116/213

d’une configuration de départ q 0 = ?Génération de mouvements dans l’espace articulaire.

x f q r (t )

q 0

de mouvement

générationvariateur robot

q (t )

capteur

MGIq f


Avantages

Moins de calculs en ligne car pas besoin des modèles

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117/213

Aucun problème au passage des configurations singulièresContraintes butées/vitesses/accélérations maximales

prises en compte lors de la génération de la consigne

x f q r (t )

q 0

de mouvement

générationvariateur robot

q (t )

capteur

MGIq f


Inconvénients

Prise en compte des contraintes géométriques impossible

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118/213

Gestion des collisions

Problèmes à mouvement opérationnel imposé

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119/213

Tâche

Calcul des commandes articulaires du robot permettant de

suivre une trajectoire opérationnelle au cours du temps.


Tâche à mouvement opérationnel imposé

Calcul les commandes articulaires du robot permettant de

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120/213

suivre une trajectoire opérationnelle au cours du temps = ?x r (t ) résulte d’une génération, ou bien est défini par la tâche,puis calcul de q r (t ) par inversion de modèle.

q (t )

+−

x r (t )

x 0

x (t )

de mouvementgénérationx f

MGD

variateur robot

capteur

q r (t )cinématiqueinverse


Avantages

Réaliser des tâches plus complexes

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121/213

Reformuler les problèmes de commande selon uneapproche référencée capteur


Inconvénients

Difficile de prendre en compte des contraintes telles que

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122/213

butées, limites de vitesse, évitement des obstacles, . . .Requiert les modèles du robot

Problème en cas configuration singulière

q (t )

+

−

x r (t )

x 0

x (t )

de mouvementgénérationx f

MGD

variateur robot

capteur

q r (t )cinématiqueinverse

Système de commande d’un robot

Synoptique

Puissance : alimentation/asservissement des actionneurs

C ô

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123/213

Contrôle : consignes, supervision, communication

Système de commande d’un robot Adept Viper s650

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124/213

Contrôleur de robot

Module Adept SmartController CX

Génération et supervision du mouvement

S tè d’ l it ti dédié l ti

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125/213

Système d’exploitation dédié, langage programmationConnectique importante

Générique

Contrôleur de robot : programmation

; Define a simple transformation

SET loc_a = TRANS(300,50,350,0,180,0)

; Move to the location

MOVE loc a

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126/213

MOVE loc_aBREAK

; Move to a location offset -50mm in X, 20mm in Y,

; and 30mm in Z relative to "loc_a"

MOVE loc_a:TRANS(-50, 20, 30)

BREAK

; Define "loc_b" to be the current location relative

; to "loc_a"HERE loc_a:loc_b ;loc_b = -50, 20, 30, 0, 0, 0

BREAK

; Define "loc_c" as the vector sum of "loc_a" and "loc_b"

SET loc_c = loc_a:loc_b ;loc_c = 350, 70, 320, 0, 180, 0

; Once this code has run, loc_b exists as a

; transformation that is completely independent

; of loc_a. The following instruction moves the

; robot another -50mm in the x, 20mm in the y,

; and 30mm in the z direction (relative to loc_c):

MOVE loc_c:loc_b

Contrôleur de robot : communication

Communications Adept SmartController CX

IEEE 1394 (FireWire) privilégiée : transferts à hauts débits

(800 Mb/s), cadencée à 8kHz, temps-réel

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127/213

Fast Ethernet, DeviceNet=bus terrain CAN, liaisons séries

RS-232, XDIO=entrées/sorties tout ou rien, etc.

Fonctionnalités dédiées : commande par vision, pilotage

coordonné avec automate

Contrôleur de robot : communication

Communications Adept SmartController CX

Connecteur XMPC : boîtier de commande manuelle

Apprentissage : enregistrement des variables utilisables

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128/213

Apprentissage : enregistrement des variables utilisablesdans les programmes

Sécurité : arrêt d’urgence/interrupteur puissance

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129/213

Variateur de vitesse

Fonctionnalités principales du variateur MotionBlox-60R

Alimentation des moteurs par une tension variable

Asservissement courant/vitesse/position des axes

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130/213

Asservissement courant/vitesse/position des axes

Autres fonctionnalités :

Communications avec le contrôleur pour la supervision du

robot (à 1kHz : références, valeurs codeurs, statuts)

Diagnostic du bon fonctionnement des moteurs : statuts,erreur d’asservissement, chauffe moteur

Contrôle des freins des axes : électrique/manuel

Arrêt d’urgence pour couper la puissance du robot

Puissances mises en jeu

Variables, fonctions des masses en mouvement et des vitesses.

Viper s650 : 2kW max pour 5 kg utiles.

Plan


Les différents problèmes

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131/213

Les différents problèmesSystème de commande d’un robot





Motorisation

Commande d’axe

Mécanique : association moteur+réducteur de vitesse

Capteur de position/vitesse



132/213

Capteur de position/vitesseElectronique de puissance : variateur de vitesse

Moteurs électriques pour la robotique

Moteurs dédiés à la robotique = moteurs à courant continu,avec ou sans balais.

Quelques cas plus exotiques : asynchrones, pneumatiques,

hydrauliques, piézoélectriques, pas à pas, . . .

Moteurs à courant continu (avec balais)

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133/213

Moteurs à courant continu (avec balais)

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134/213

Avantages

Simple et très répandu

Commande très simple

Electronique peu coûteuse

InconvénientsUsure des balais

Vitesse limitée

Etincelles

Moteurs à courant continu sans balais

Principe

Moteurs synchrones auto-pilotés, commande basée sur

l’analogie avec le moteur à courant continu

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135/213

l analogie avec le moteur à courant continu.

Avantages

Meilleur rendement, meilleures propriétés mécaniques

Meilleur couple massique

Vitesse de rotation maximale plus grande

Moins de bruit de commutation, pas d’étincelles

Inconvénients

Plus cher

Electronique plus complexe (numérique)

Effets d’ondulation de couple aux basses vitesses

Réducteurs

Intérêt

Moteur adapté à des vitesses de rotation élevées

Augmentation du couple

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136/213

Augmentation du couple

Inconvénients

Augmentation de l’inertie de l’axe, et surtout des frottements. . .

Réducteurs conventionnels et planétairesRéducteurs à dentures droites ou hélicoïdales

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137/213

Réducteurs à étages ou train épicycloïdal

Réducteurs planétaires

Principe

Deux arbres coaxiaux : les planétaires (extérieur=couronne) +

des satellites qui engrènent avec les planétaires, reliés entre

eux par un porte-satellites



138/213

eux par un porte-satellites.

Réducteurs Harmonic Drive

Principe

Utilisation d’une cloche déformable, entrainée par une partie

mobile légèrement elliptique, qui engrène sur une couronne

circulaire possédant deux dents de plus que la cloche.

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139/213

circulaire possédant deux dents de plus que la cloche.

Plan

4 Génération de mouvementsLes différents problèmes




140/213

5 TechnologieMotorisationMesure de position

Variateurs de vitesse

6 CommandeCommande point-à-pointCommande à mouvement opérationnel imposé

Capteurs

Intérêt

Mesure de la position ou de la vitesse de l’arbre moteur

Asservissement

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141/213

Inconvénients

Pas mal de défauts potentiels. . .

Codeurs incrémentaux

Principe

Emission de lumière par une photodiode : signaux lumineux qui

perçus sur les récepteurs donnent des signaux logiques

déphasés A, B et le signal d’index I (ou Z).



142/213

dép asés , et e s g a d de (ou )

Codeurs incrémentaux

Avantages

Bonne résolution, de loin la solution la plus classique

Signaux Ā, B̄ pour la redondance

Très bonne compacité du capteur



143/213

Très bonne compacité du capteur

Inertie négligeable, pas de frottement

Inconvénients

Quantification (basses vitesses, dérivation)

Pas de position absolue de l’axe

Programme StockProgramme StandardProgramme Spécial (sur demande!)

m a x o n t a c h o

Codeur HEDL 5540, 500 impulsions, 3 canaux, avec Line Driver RS 422

Numéros de commande

110512 110514 110516 110518

TypeNombre d'impulsions par tour 500 500 500 500

Nombre de canaux 3 3 3 3

Fréquence impulsionnelle max. (kHz) 100 100 100 100

Diamètre de l'arbre (mm) 3 4 6 8



144/213

244 maxon tacho Edition Juillet 2005 / Modifications réservées

l on gu eu r totale lon gu eu r totale

Données techniques Connectique pour moteur RE 75 Exemple de connexion

Tension d'alimentation 5 V 10 %ConnectiqueType SOURIAU 8GM-QL2-12P1 VCC2 N.C. (non utilisé)3 GND4 N.C. (non utilisé)5 Canal I (Index)6 Canal I7 Canal B8 Canal B9 Canal A10 Canal A11 N.C. (non utilisé)12 N.C. (non utilisé)Connecteurs connseillésType SOURIAU 8GM-DM2-12S(métal sortie droite:maxon Art. No. 2675.538) ou8G-V2-12S ((plastique, angle à 90°:maxon Art. No. 2675.539)

Résistance terminale R = typique 100

Signa l de sort ie EIA Standard RS 422Drives utilisée: DS26LS31

Déphasage (nominal) 90°e

D is tanc e e ntr e f la ncs s m in. 4 5° e

Temps de montée du signal(typique avec CL = 25 pF, RL = 2.7 k, 25°C) 180 ns

Temps de descente du signal(typique avec CL = 25 pF, RL = 2.7 k, 2 5°C) 4 0 n s

Largeur (nominale) d'impulsion d'index 90°e

Pl age de t em pér at ur es 0 .. . +7 0° C

Moment d'inertie du disque 0.6 gcm2

Accélération angulaire max. 250 000 rad s-2

Courant par canal min.-20 mA, max.20 mA

O pt io n 1 00 0 imp ulsion s, 2 can au x

Recepteur de ligneCircuits utilisables:- MC 3486- SN 75175- AM 26 LS 32

CodeurLine DriverDS26LS31

Canal

Canal A

Canal

Canal B

Canal

Canal I

R

R

R

Combinaison+ Moteur Page + Réducteur Page + Frein Page Longueur totale [mm] / voir: + Réducteur

RE 25, 10 W* 77 75.3

RE 25, 10 W* 77 GP 26, 0 .5 - 2 .0 Nm 216 ●

RE 25, 10 W* 77 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 218/220 ●

RE 25, 10 W* 77 GP 32, 0 .4 - 2 .0 Nm 222 ●

RE 25, 20 W* 78 75.3

RE 25, 20 W* 78 GP 26, 0 .5 - 2 .0 Nm 216 ●

RE 25, 20 W* 78 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 218/220 ●

RE 25, 20 W* 78 GP 32, 0 .4 - 2 .0 Nm 222 ●

RE 26, 18 W* 79 77.2

RE 26, 18 W* 79 GP 26, 0 .5 - 2 .0 Nm 216 ●

RE 26, 18 W* 79 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 218/220 ●

RE 26, 18 W* 79 GP 32, 0 .4 - 2 .0 Nm 222 ●

RE 35, 90 W* 81 91.9

RE 35, 90 W* 81 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 219/220 ●

RE 35, 90 W* 81 GP 42, 3 .0 - 15 Nm 224 ●

RE 35, 90 W* 81 AB 40 279 124.1

RE 35, 90 W* 81 GP 32, 0 .75 - 6 .0 Nm 219/220 AB 40 279 ●

R E 35, 9 0 W* 81 GP 42, 3. 0 - 1 5 N m 22 4 AB 40 2 79 ●

RE 36, 70 W* 82 92.2

RE 36, 70 W* 82 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 219/220 ●

RE 36, 70 W* 82 GP 32, 0 .4 - 2 .0 Nm 222 ●

RE 36, 70 W* 82 GP 42, 3 .0 - 15 Nm 224 ●

RE 40, 150 W* 83 91.7

RE 40, 150 W* 83 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●

RE 40, 150 W* 83 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227 ●

RE 40, 150 W* 83 AB 40 279 124.2

RE 4 0, 1 50 W* 8 3 G P 4 2, 3 .0 - 1 5 Nm 2 24 A B 4 0 2 79 ●

RE 4 0, 1 50 W* 8 3 G P 4 2, 4 .0 - 3 0 Nm 2 27 A B 4 0 2 79 ●

RE 75, 250 W 84 241.5

RE 75, 250 W 84 GP 81, 20 - 120 Nm 230 ●

RE 75, 250 W 84 AB 75 282 281.4

RE 7 5, 2 50 W 8 4 G P 8 1, 2 0 - 1 20 Nm 2 30 A B 7 5 2 82 ●

*Connectique voir page 245

Génératices tachymétriques et résolveurs

Génératrice tachymétrique = machine à courant continu utilisée

en génératrice :

mesure continue et absolue de la vitesse de l’axe

plus encombrant, beaucoup plus coûteux

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145/213

Résolveur = dispositif avec un bobinage primaire tournant, et

deux bobinages secondaires diphasés, dont le couplagedépend de la position du rotor :

robustesse et longue durée de vie

signaux mesurés transmis sans perturbations

fournit potentiellement position et vitesse


m a x o n t a c h o

Informations importantes

● Génératrice équipée du rotor sans fer maxon.

● Génératrice avec commutation en métaux précieux.

● Inertie du système = inertie rotor moteur + inertierotor génératrice.

● Le rotor génératrice tourne dans le même sensque le rotor moteur (la rotation du moteur en senshoraire, vu en bout d’axe, fournit une tension positivesur la cosse marquée +).

● Il est recommandé d’utiliser un amplificateur à hauteimpédance d’entrée.

● La génératrice ne doit pas être trop chargée encourant.

● La fréquence de résonance donnée provient dessystèmes rotor-moteur et rotor-TG.

Génératrice DCT 22, 0.52 Volt


118908 118909 118910

TypeDiamètre de l'arbre (mm) 2 3 4

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252 maxon tacho Edition Juillet 2005 / Modifications réservées


Données techniques Exemple de connexionTe ns io n d e sor ti e p ar 1 00 0 t r / m in 0 .5 2 V Co uran t m ax . co nsei ll é 1 0 m A

Résistance connectée tachymètrique 56.6 Tolérance de la tension de sortie 15 %

Ondulation moyenne effective crête à crête 6 % I ne rt ie d u rot or g én érat ri ce < 3 g cm2

Nombre d'ondulations par tour 14 Fréq.de résonance avec le mot.des p.77 - 79 > 2 kHz

Linéarité entre 500 et 5000 tr / min à vide 0 .2 % avec le moteur des pages 86, 88 > 3 kHz

Linéarité avec résistance de charge de 10 k 0.7 % avec le moteur des pages 81, 82 > 4.5 kHz

Erreur d'inversion 0 .1 % P la ge d e t em pé ra tu re s -20 . .. +65 °C

Coefficient de température de la FEM (aimant) - 0.02 % /°C

Coefficient de temp.sur résistance d'induit +0.4 % /°C Option: également livrable avec des fils de connexion.

Combinaison+ Moteur Page + Réducteur Page Longueur totale [mm] / voir: + Réducteur

RE 25, 10 W 77 76.8

RE 25, 10 W 77 GP 26, 0 .5 - 2 .0 Nm 216 ●

RE 25, 10 W 77 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 218 ●

RE 25, 10 W 77 GP 32, 1 .0 - 6 .0 Nm 220 ●

RE 25, 10 W 77 GP 32, 0 .4 - 2 .0 Nm 222 ●

RE 25, 20 W 78 76.8

RE 25, 20 W 78 GP 26, 0 .5 - 2 .0 Nm 216 ●

RE 25, 20 W 78 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 218 ●

RE 25, 20 W 78 GP 32, 1 .0 - 6 .0 Nm 220 ●

RE 25, 20 W 78 GP 32, 0 .4 - 2 .0 Nm 222 ●

RE 26, 18 W 79 79.8

RE 26, 18 W 79 GP 26, 0 .5 - 2 .0 Nm 216 ●

RE 26, 18 W 79 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 218 ●

RE 26, 18 W 79 GP 32, 1 .0 - 6 .0 Nm 220 ●RE 26, 18 W 79 GP 32, 0 .4 - 2 .0 Nm 222 ●

RE 35, 90 W 81 89.0

RE 35, 90 W 81 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 219 ●

RE 35, 90 W 81 GP 32, 1 .0 - 6 .0 Nm 220 ●

RE 35, 90 W 81 GP 42, 3 .0 - 15 Nm 224 ●

RE 36, 70 W 82 89.3

RE 36, 70 W 82 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 219 ●

RE 36, 70 W 82 GP 32, 1 .0 - 6 .0 Nm 220 ●

RE 36, 70 W 82 GP 32, 0 .4 - 2 .0 Nm 222 ●

RE 36, 70 W 82 GP 42, 3 .0 - 15 Nm 224 ●

180 W

1 kW

Rippel = x 100 (%)


m a x o n t a c h o

z32SIN

COS

d30

b32

R e s

o l v e

r -

r o t o

r30

d32

SIN

COS

z30 360°e

UPrimaire Secondaire

Anglerotor

jaune / blanc

rouge / blanc

noir

rouge b l e u

j a u n e

Résolveur Res 26, 10 Volt


166488 133405 268912 216287

TypeDiamètre de l'arbre (mm) 4 6 6 6

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Edition Juillet 2005 / Modifications réservées maxon tacho 253


Données techniquesTens ion d' en tr ée 10 V pea k, 1 0 k Hz M om en t d' iner ti e du r oto r 6 g cm2

Transformation 0.5 Poids 40 g

Erreur électrique 1 0 m in ut es Plag e d e t em pé ra tu re s -55 +155°C

Combinaison+ Moteur Page + Réducteur Page Longueur totale [mm] / voir: + Réducteur

EC 32, 80 W 159 80.1

EC 32, 80 W 159 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 219

EC 32, 80 W 159 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 221 ●

EC 40, 120 W 160 96.6

EC 40, 120 W 160 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224

EC 40, 120 W 160 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227

EC 45, 150 W 161 111.2

EC 45, 150 W 161 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●

EC 45, 150 W 161 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227

EC 45, 250 W 162 144.0

EC 45, 250 W 162 GP 42, 3.0 - 15 Nm 225 ●

EC 45, 250 W 162 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227

EC 45, 250 W 162 GP 62, 8.0 - 50 Nm 229 ●

EC 60, 400 W 165 177.3EC 60, 400 W 165 GP 81, 20 - 120 Nm 230 ●

Plan

4 Génération de mouvementsLes différents problèmes


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5 TechnologieMotorisationMesure de position


6 CommandeCommande point-à-pointCommande à mouvement opérationnel imposé


Objectifs et hypothèses

principe de fonctionnement des variateurs de vitesse

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149/213




cas du moteur à courant continu (mcc)

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150/213




cas du moteur à courant continu (mcc)bibliographie : Techniques de l’Ingénieur

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151/213

b b og ap e ec ques de gé eu




cas du moteur à courant continu (mcc)bibliographie : Techniques de l’Ingénieur

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152/213

g p q g

Définition

Variateur de vitesse : dispositif permettant de réaliserl’alimentation et la commande d’un moteur.

Schéma de principe

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153/213

FIGURE: Schéma général d’un variateur de vitesse [Louis2002]

Principe et modélisation du convertisseur statique

Convertisseurs statiques

Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique

alternatif :



154/213




alternatif :

redresseur (conversion alternatif/continu)



155/213




alternatif :


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156/213

hacheur (conversion continu/continu).




alternatif :


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157/213


différents cas




alternatif :




158/213


différents cas

source d’énergie : monophasé, triphasé




alternatif :




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différents cas

source d’énergie : monophasé, triphasé

technologie des convertisseurs statiques : pont redresseurcommandé ou non ; hacheur 1, 2 ou 4 quadrants

Cas triphasé, redresseur non commandé, hacheur 4Q

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FIGURE: Schéma du convertisseur statique [Louis2002]

Choix pour la variation de vitesse

Alimentation

source d’alimentation : dépend des besoins en termes de

puissance

systèmes embarqués : (réseau+redesseur) remplacé par

des batteries



161/213

des batteries

Choix pour la variation de vitesse

Alimentation

source d’alimentation : dépend des besoins en termes de

puissance

systèmes embarqués : (réseau+redesseur) remplacé par

des batteries



162/213

des batteries

Hacheur

choix le plus important pour la variation de vitesse

hacheur 4Q : fonctionnement possible dans les différents

modes moteur, freinage (attention à la réversibilité de la

source)



163/213

FIGURE: Fonctionnement 4 quadrants du hacheur [Louis2002]

Modèle du hacheur

Aspect échantillonné

Le hacheur fournit une tension de valeur moyenne réglable par

le biais de son rapport cyclique α

∈[0 1] : système

échantillonné.Fréquence de commutation élevée en faibles puissances

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164/213

q p

(typiquement 50 kHz pour P


165/213

q p

(typiquement 50 kHz pour P


166/213

Mise en équation du mcc

B

R Li

i

ω

c v


167/213

v

e

Equations

V (s ) = (R + Ls )I (s ) + E (s ),E (s ) = K e Ω(s ),

Js Ω(s ) = C (s ) − C 0(s ) − f Ω(s ),C (s ) = K m I (s ).

Remarque : K e K m . On pose K em = K e = K m .

Schéma-bloc

Analyse

mcc = système à contre-réaction

C (s)

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168/213

K em

+

−

I (s )

E (s )

Ω(s )+1

B + Js

1

R + Ls

V (s ) −

C 0(s )

C (s )

K em

FIGURE: Schéma de principe d’un moteur à courant continu

Modèle

En combinant les équations :

R

K em (f Ω(s ) + Js Ω(s ))+

L

K em fs Ω(s ) + Js 2Ω(s )+K em Ω(s ) = V (s ).

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169/213

Fonction de transfert en vitesse

G (s ) = Ω(s )

V (s ) =

K em LJ

s 2 + ( R L + f J )s +

Rf +K 2em LJ

.

ordre 2, classe 0

Modèle en vitesse d’ordre un

Hypothèse

On néglige l’influence de l’inductance d’induit.

F ti d t f t it

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170/213

Fonction de transfert en vitesse

G (s ) = Ω(s )

V (s )

= K

1 + τ em s

,

avec la constante de temps électromécanique du système et le gain statique :

τ em = RJ

Rf + K 2em etK =

K em

Rf + K 2em .

ordre 1, un pôle stable p = −1/τ em

Modèle en vitesse d’ordre deux

Première expression

G (s ) =K em LJ

s 2

+ (R L +

f J )s +

Rf +K 2em LJ

.

Identification de la forme canonique :

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G (s ) = K Ω2n

s 2 + 2ξ Ωn s + Ω2n

.


Seconde expression

G (s ) = K

1 + (τ em + µτ el )s + τ el τ em s 2,

avec la constante de temps électrique du système : τ el = LR

.

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172/213


Seconde expression

G (s ) = K

1 + (τ em + µτ el )s + τ el τ em s 2,

avec la constante de temps électrique du système : τ el = LR

.

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173/213

Comme µ = Rf Rf +K 2em


174/213

p3 / e

m a x o n D C m o t o r

Programme Stock

Programme StandardProgramme Spécial (sur demande!)


RE 36 36 mm, Commutation Graphite, 70 Watt

118797 118798 118799 118800 118801 118802 118803 118804 118805 118806 118807 118808 118809 118810

Caractéristiquesmoteur 1 Puissance conseillée W 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70

2 Tension nominale Volt 18.0 24.0 32.0 42.0 42.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0

3 Vitesse àvide tr / min 6610 6210 6790 7020 6340 6420 5220 4320 3450 2830 2280 1780 1420 1180

4 Couple de démarrage mNm 730 783 832 865 786 785 627 504 403 326 258 198 158 127

5 Pente vitesse / couple tr / min / mNm 9 23 8 05 8 27 8 19 8 14 8 25 8 41 8 65 8 67 8 80 8 96 9 17 9 21 9 51

M 1:2

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Plages d'utilisation Légende Explications page 49

Plage de puissance conseillée

Plage de fonctionnement permanentCompte tenudes resistances thermiques(lignes 19et 20) la température maximum du rotor peut êtreatteinte auvaleur nominal decouple et vitesse et àla température ambiante de 25°C.= Limite thermique.

Fonctionnement intermittentLa surcharge doit être de courte durée.

Moteur avec bobinage à haute résistance

Moteur avec bobinage à basse résistance

n [tr / min]

Construction modulaire maxon Aperçu à la page 17 - 21

Spécifications

82 maxon DC motor Edition Juillet 2005 / Modifications réservées

118804

118797

● Jeu axial 0.05 - 0.15 mm● Charge maximum des roulements

axiale (dynamique)non pré-contraint 5.6 Npré-contraint 2.4 N

radiale (à 5 mm de la face) 28 NFor ce d e c ha ss age ( st at iq ue) 11 0 N(statique, axe soutenu) 1200 N

● Jeu radial avec roulements 0.025 mm● Te mpé rat ur e am bi ant e - 20 . .. + 10 0° C● Température rotor max. +125°C● Nombre de lames au collecteur 13● Poids du moteur 350 g● Aimant permanent à 2 pôles● Les caractéristiques moteur du tableau sont des

valeurs nominales.Voir en page 43 les plages d

slides robotique1 tics 2a

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