Le c t u r e 1 7 | 1

การอินทเิกรตทีละส่วน

สําหรับอินทิกรัลทีเกียวข้องกบัผลคณูสองฟังก์ชนั

หรืออนิทิกรัล

วิธีอินทิเกรตก่อนหน้าไมส่ามารถช่วยหาอินทิกรัลได้

เทคนิกตอ่ไปนีเป็นเทคนิกสําคญัทีเสริมเทคนิกก่อน

หน้า และใช้ในกรณีทีเทคนิกอืน ๆ ทําไมไ่ด้

ให้ เป็นฟังก์ชนัใด ๆ ของ และ

Le c t u r e 1 7 | 2

กฎการอินทเิกรตทีละส่วน

หรือ

ทีมาของสตูร

จากสตูรดิฟผลคณู

ได้

Le c t u r e 1 7 | 3

การใช้กฎการอนิทเิกรตทลีะส่วน

โดยทวัไปอินทิกรัลทีจะใช้สตูรนีจะอยู่ในรูป

กําหนด ขึนมาโดยให้

แบบท ี1 และ

แบบท ี2 และ

อย่างใดอย่างหนึง

คือหา จาก

คือหา จาก

แบบท ี1 คือ = ก้อนแรก

และอินทิเกรตก้อนทีสอง

Le c t u r e 1 7 | 4

แบบที 2 คือ = ก้อนทีสอง

และอินทิเกรตก้อนแรก

เมือเลือกแบบใดแบบหนงึในสองแบบดงักลา่วแล้วให้

นําไปเข้าสตูรอินทิเกรต

อีกครังหนงึ

หลักสาํคัญในการเลือก

ต้องหา โดยการอินทิเกรตได้ง่ายและเมือนําไปใช้

ในสตูรอนิทิเกรตทีละสว่นแล้วอินทิกรัลทีสองต้องงา่ยขนึ

อินทิกรัลทีใช้หา

ในแบบที 1 และ 2 ตามลําดบัไมต้่องบวกคา่คงตวั

Le c t u r e 1 7 | 5

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

วิธีทํา

Le c t u r e 1 7 | 6

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

วิธีทํา

Note เปรียบเทียบอินทิกรัลในตวัอย่างนีกบัอินทิกรัล

ซงึใช้การเปลียนตวัแปร

Le c t u r e 1 7 | 7

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

วิธีทํา

Le c t u r e 1 7 | 8

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

วิธีทํา

Le c t u r e 1 7 | 9

สําหรับอินทิกรัลทีมีก้อนเดียว

ทีจะใช้สตูรอนิทิเกรตทีละส่วนจะกําหนดให้อกีก้อน

นนัคือเขียนอินทิกรัลในรูป

Le c t u r e 1 7 | 10

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

วิธีทํา

Le c t u r e 1 7 | 11

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

ให้สตูรดิฟ మ

วิธีทํา

Le c t u r e 1 7 | 12

สําหรับอินทิกรัลบางอนัอาจจะต้องทําอินทิเกรตทีละ

ส่วนมากกวา่หนึงครัง เชน่

โดยสตูรอนิทิเกรตทีละสว่นและต้องหาอินทิกรัลทางขวา

ด้วยสตูรอินทิเกรตทีละสว่น

ดงันนั

Le c t u r e 1 7 | 13

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

วิธีทํา

Le c t u r e 1 7 | 14

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

วิธีทํา

Le c t u r e 1 7 | 15

แนวทางในการเลือก

1.

จะกําหนดให้

และให้ โดยอินทิเกรตอีกก้อนหนึง

2.

จะกําหนดให้

3.

จะกําหนดให้

และให้ โดยการอินทิเกรตอีกก้อน

Le c t u r e 1 7 | 16

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

วิธีทํา

Le c t u r e 1 7 | 17

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

วิธีทํา

Le c t u r e 1 7 | 18

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

วิธีทํา

Le c t u r e 1 7 | 19

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัล

วิธีทํา