singular value dekomposition

8/19/2019 Singular Value Dekomposition

1/9

SINGULAR VALUE DECOMPOSITION

A. PENGERTIAN

Singular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai

suatu matrik ke dalam dua matrikP dan Q. Jika diketahui suatu matrik adalah matrik A berukuran

m×n dengan rank r ! " maka dekomposisi dari matrik A din#atakan sebagai

A $ P ∆

QT

%ank (r) men#atakan ban#akn#a &umlah baris atau kolom #ang saling independen antara baris

atau kolom lainn#a dalam suatu matrik. P merupakan matrik orthogonal berukuran

m×rsedangkan Q merupakan matrik orthogonal berukuran n×r.∆

adalah matrik diagonal

berukuran r×r #ang elemen diagonaln#a merupakan akar positif dari eigen'alue matrik A.

erbentukn#a matrik∆

tergantung kondisi matrik A" #aitu diantaran#a

a.

∆

bila r $ m $ n c.

[∆ ])!(

bila r$m dan r*n

b.

∆)!(

bila r $ n dan r*m d.

∆)!(

)!(

)!(

bila r*m dan r*n

+atrik P dapat diperoleh melalui perkalian antara A" Q dan ∆,- sehingga dapat din#atakan

P=AQ∆-1

B. PROSEDUR PENYELESAIAN SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD)

I. Prosedur Penyeles!n SVD un"u# $"r!# %eru#urn$&$

-. +isal diketahui matrik berukuran m/m non singular (matrik fullrank 0 matrik #ang

determinann#a tidak sama dengan nol).

http://id.wikipedia.org/wiki/Matrikshttp://id.wikipedia.org/wiki/Matriks


2/9

1. +enghitung matrik dan . +isalkan matrik $ matrik 2 dan $ matrik 3.

4. +encarieigen'alue (λ) darimatrik2 dan 3 . Dimana determinan dari matrik 2 dan 3

dikurangi λ dikalikan dengan matrik identitas (5) sama dengan !.

2,λ5$! dan

3,λ5$!

an#akn#a eigen'alue (λ) #ang akan diperoleh sama dengan ukuran matrik 2 dan 3

#aitu seban#ak m.

6. Setelah diketahui nilai,nilai λ n#a" langkah selan&utn#a adalah mencari eigen'ektor untuk

masing,masing λ. 7igen'ektor diperoleh melalui rumus( ) !=− x I Y λ

dan

( ) !=− x I Z λ .

Sehingga nanti akan diperoleh persamaan / dalam bentuk / -" /1 hingga /m (a-/-8a1/18..

8am/m$!). 9emudian dari beberapa 'ariabel tersebut &adikan men&adi satu 'ariabel.

+isaln#a didapatkan persamaan berikut ini

6":6;/-- 8


3/9

>

- x

$

( ) 10----

x x

x

T

$

10-

-1

--

-1--

-1

--

)(

x

x x x

x

x

$

10-

-1

-1

-1-1

-1

-1

=1"-)=1"-(

=1"-

−−

−

x

x x x

x

x

−=

−

=

−

=+

−

=;1"!

- x

" kolom kedua adalah

>

1 x

. Sehingga diperoleh matrik

[ >- x X = ]>1 x $

1-

--

x

x

11

-1

x

x

;. +enentukan D #ang merupakan matrik diagonal dengan elemen diagonaln#a adalah akar

dari eigen'alue matrik 2 atau 3.

=

!

-λ D

1

!

λ

=. Diperoleh SVD dengan mengoperasikan

Q D P

dimana hasiln#a akan sama dengan

matrik .

/1-

/--


4/9

1-

--

x

x

11

-1

x

x

!

-λ

1

!

λ

-1

--

x

x

11

1-

x

x

$

1-

--

a

a

11

-1

a

a

?ote Jika P

adalah eigen'ektor dari matrik 3 danQ

adalah eigen'ektor dari matrik 2.

Dan ketika dioperasikan kedalam

Q D P

maka akan menghasilkan matrik #ang sama

dengan .

II. Prosedur Penyeles!n SVD un"u# M"r!# S!$e"r! $&$

-. +isal diketahui matrik A berukuran m/m.

1. +encari eigen'alue (λ) dari matrik A. Dimana determinan dari matrik A dikurangi λ

dikalikan dengan matrik identitas (5) sama dengan !.

A,λ5$!

4. an#akn#a eigen'alue (λ) #ang akan diperoleh sama dengan ukuran matrik A #aitu

seban#ak m.

6. Setelah diketahui nilai,nilai λ n#a" langkah selan&utn#a adalah mencari eigen'ektor untuk

masing,masing λ. 7igen'ektor diperoleh melalui rumus( ) !=− x I A λ

. Sehingga nanti

akan diperoleh persamaan / dalam bentuk /-" /1 hingga /m (a-/-8a1/18..8am/m$!).

9emudian dari beberapa 'ariabel tersebut &adikan men&adi satu 'ariabel. +isaln#a

didapatkan persamaan berikut ini

;/- 8 /1 8 6/4 $ !....(pers. -)

@- 8 1/1 /4 $ !....(pers.1)


5/9

6/- /1 8 ;/4 $ !....(pers.4)

9emudian lakukan eliminasi dari pers.- dan pers.1 sehingga didapatkan

/- $ ,/4.... pers.6

Pers.6 tersebut dapat disubstitusikan ke salah satu dari 4 persamaan di atas. Sehingga

didapatkan

/1 $ /4....pers.;

Setelah didapatkan persamaan 6 dan pers.; dilakukan normalisasi (penormalan) dari tiap,

tiap λ dengan mensubsitusikan tiap elemen- x

. Proses penormalan adalah sebagai

berikut

>

- x

$

( ) 10----

x x x

T

$

10-

4

1

-

41-

4

1

-

)(

x x

x

x x x

x

x

x

$

10-

4

4

4

444

4

4

4

)(

−

−

−

x x

x

x x x

x

x

x

−

=

−

=++

−

40-

40-

40-

)4()( 10-1

4

4

4

4

10-1

4

1

4

1

4

4

4

4

x

x

x

x

x x x

x

x

x

Sela&utn#a &uga dilakukan penormalan seperti contoh di atas untuk eigen'alue

(λ

) #ang lain. Setelah

>

- x

"

>

1 x

"dan

>

4 x

telah diperoleh elemen,elemenn#a" selan&utn#a

/4-

/1-

/


6/9

adalah menggabungkan ketiga hasil penormalantersebut ke dalam satu matrik dimana

kolom pertama adalah

>

- x


>

1 x

dan kolom ketiga adalah

>

4 x

. Sehingga

diperoleh matrik

[ >- x X = >1 x ]>

4 x

$

4-

1-

--

x

x

x

41

11

-1

x

x

x

44

14

-4

x

x

x

;. +enentukan∆

#ang merupakan matrik diagonal dengan elemen diagonaln#a adalah

eigen'alue dari matrik A.

=∆

!

!

-λ

!

!

1λ

4

!

!

λ

=. Diperoleh SVD dengan mengoperasikan

T X X ∆

dimana hasiln#a akan sama dengan

matrik A.

4-

1-

--

x

x

x

41

11

-1

x

x

x

44

14

-4

x

x

x

!

!

-λ

!

!

1λ

4

!

!

λ

-4

-1

--

x

x

x

14

11

1-

x

x

x

44

41

4-

x

x

x

$

4-

1-

--

a

a

a

14

11

-1

a

a

a

44

14

-4

a

a

a

III.Prosedur Penyeles!n SVD un"u# $"r!# %eru#urn$&n

-. +isal diketahui matrik berukuran m/n.

1. +enghitung matrik dan . +isalkan matrik $ matrik B(n/n) dan $ matrik

D(m/m).


7/9

4. +encari eigen'alue (λ) dari matrik B(n/n) dan D(m/m). Dimana determinan dari matrik B(n/n)

dan D(m/m) dikurangi λ dikalikan dengan matrik identitas (5) sama dengan !.

B,λ5$! dan

D,λ5$!

an#akn#a eigen'alue (λ) #ang akan diperoleh sama dengan ukuran matrik B #aitu

seban#ak n (λ-" λ1" ... λn) dan eigen'alue untuk matrik D #aitu seban#ak m

(λ-" λ1" ... λm). Selan&utn#a" setiap eigen'alue dari matrik B dan D dinamai matrik

diagonal ∆1 dan ∆2.

?ote Jika dalam perhitungan eigen'alue didapatkan λ $ ! maka untuk prosedur

perhitungan eigen'ektor dapat diabaikan. Sehingga" matrik diagonal ∆1 $ ∆2 = ∆

6. Setelah diketahui nilai,nilai λ n#a" langkah selan&utn#a adalah mencari eigen'ektor

untuk masing,masing λ untuk setiap matrik B dan D. 7igen'ektor diperoleh melalui

rumus

( ) !=− x I C λ

dan

( ) !=− x I D λ

. Sehingga nanti akan diperoleh persamaan /

dalam bentuk /-" /1 hingga /m (a-/-8a1/18..8am/m$!). 9emudian dari beberapa 'ariabel

tersebut &adikan men&adi satu 'ariabel. +isaln#a" didapatkan persamaan berikut ini

;/-- 8 /-1 8 6/-4 $ !....(pers. -)

@-- 8 1/-1 /-4 $ !....(pers.1)

6/-- /-1 8 ;/-4 $ !....(pers.4)

9emudian lakukan eliminasi dari pers.- dan pers.1 sehingga didapatkan

/-- $ ,/-4.... pers.6


8/9

Pers.6 tersebut dapat disubstitusikan ke salah satu dari 4 persamaan di atas. Sehingga

didapatkan

/-1 $ /-4....pers.;

Setelah didapatkan persamaan 6 dan pers.; dilakukan normalisasi (penormalan) dari tiap,

tiap λ dengan mensubsitusikan tiap elemen- x

. Proses penormalan adalah sebagai

berikut

>

- x

$

( ) 10----

x x

x

T

$

10-

4

1

-

41-

4

1

-

)(

x

x

x

x x x

x

x

x

$

10-

4

4

4

444

4

4

4

)(

−−

−

x

x

x

x x x

x

x

x

−

=

−

=++

−

40-

40-

40-

)4()( 10-1

4

4

4

4

10-1

4

1

4

1

4

4

4

4

x

x

x

x

x x x

x

x

x

Sela&utn#a &uga dilakukan penormalan seperti contoh di atas untuk eigen'alue

(λ

) #ang lain. Setelah

>

- x

"

>

1 x

"dan

>

4 x

telah diperoleh elemen,elemenn#a" selan&utn#a

adalah menggabungkan ketiga hasil penormalantersebut ke dalam satu matrik dimana

/4-

/1-/


9/9

kolom pertama adalah

>

- x


>

1 x

dan kolom ketiga adalah

>

4 x

. Sehingga

diperoleh matrik

[ >- x X = >1 x ]>

4 x

$

4-

1-

--

x

x x

41

11

-1

x

x x

44

14

-4

x

x x

;. Dekomposisi nilai singular matrik din#atakan dalam

dimana

9eterangan

∆ $ matrik diagonal #ang berisi akar kuadrat dari eigen'alue matrik B atau D

∆,- $ in'ers ∆

Q- $ eigen'ektor dari matrik B ()

Q- $ transpose Q-

P- $ Q-∆,- $ P-∆ Q-

singular value dekomposition

Documents