DISCRETE EVENT SIMULATION

Discrete-event simulation

State: kumpulan variabel untuk mendeskripsikan sistem pada semua periode tertentu

Event : suatu kejadian yang spontan merubah status suatu sistem (mis. Kedatangan konsumen,Konsumen meninggalkan tempat).

Discrete-event simulation: pemodelan sistem yang selalu berkembang karena adanya representasi perubahan variabel-variabel pada kondisi tertentu dan di saat tertentu.

Single-server queue

ti = arrival time i Ai = ti–ti-1inter-arrival time Si = service time i Di = waiting time i Ci = ti + Di + Si = departure time i Ej = time event j S and A are stochastic variables

Queue(waiting line)Customer

Arrivals

CustomerDepartures

Server

DISCRETE EVENT SIMULATION

Next-Event Time AdvanceClock simulasi di-inisialisasi ke nol dan waktu terjadinya event-event berikutnya ditentukan. Periode tidak aktif dilompati.

Fixed – Increment Time Advance

Keterangan :ti = waktu kedatangan pelanggan ke-i (t0 = 0).Ai = ti - ti-1 = waktu antara kedatangan pelanggan ke-(i-1) dan ke-i.Si = waktu yang diperlukan server untuk melayani pelanggan ke-i

(tidak termasuk waktu tunggu pelanggan di antrian).Di = waktu pelanggan ke-i menunggu di antrian.ci = ti + Di + Si = waktu pelanggan ke-i selesai dilayani dan pergi.ei = waktu terjadinya event ke-i dengan tipe apapun (nilai ke-i yang

dimiliki clock simulasi, tidak termasuk nilai e0 = 0).

ILUSTRASI MODEL NEXT-EVENT TIME ADVANCE

e0 e1 e2 e3 e4 e5

t1 t2 c1 t3 c2

S1 S2

A1 A2 A3

Waktu

ILUSTRASI MODEL FIXED-INCREMENT TIME ADVANCE

Events occur at a fixed increment Events occurring between time increments must be

moved to an increment boundary Simple to implement, but not an accurate

realization of occurrence of events

Komponen dan Organisasi Model Simulasi Discrete-Event

Status sistem: kumpulan variabel status yang diperlukan untuk mendeskripsikan sistem pada waktu tertentu.

Clock simulasi: variabel yang memberikan nilai saat itu (current value) dari waktu yang disimulasi.

Daftar event (Event list): daftar yang berisi waktu berikutnya setiap tipe event terjadi.

Pencacah statistik : variabel-variabel yang digunakan untuk menyimpan informasi statistik mengenai kinerja sistem.

Rutin inisialisasi : subprogram untuk menginisialisasi model simulasi pada waktu nol.

Rutin timing : subprogram yang menentukan event berikut dari daftar event dan kemudian memajukan clock simulasi ke waktu di mana event tsb terjadi.

Komponen dan Organisasi Model Simulasi Discrete-Event

Rutin event : subprogram yang meng-update status sistem ketika tipe event tertentu terjadi (ada satu rutin event untuk setiap tipe event).

Rutin library : himpunan subprogram yang digunakan untuk membangkitkan observasi acak dari distribusi probabilitas yang ditentukan sebagai bagian dari model simulasi.

Pembuat laporan (report generator) : subprogram yang menghitung perkiraan (dari pencacah statistik) dari pengukuran kinerja yang diinginkan dan menghasilkan laporan ketika simulasi berakhir.

Program Utama : subprogram yang meminta rutin timing untuk menentukan event berikutnya dan memberikan kontrol ke rutin event ybs untuk meng-update status sistem dengan benar. Program utama juga bisa men-cek akhir dan meminta ke pembuat laporan ketika simulasi selesai.

Komponen Sistem Antrian

1) Kedatangan.

Menunjukkan bagaimana customer datang ke sebuah sistem. Simbol yang digunakan adalah Ai .

Ai = waktu kedatangan antara customer yang (i - 1) dan ke i.

Komponen Sistem Antrian

2) Mekanisme Pelayanan.

Mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap – tiap fasilitas pelayanan kadang - kadang disebut sebagai saluran (channel) (Schroeder, 1997). Contohnya, jalan tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop.

Ditunjukkan dengan variabel Si

Si = waktu yang dibutuhkan pelayan dalam melayani pelanggan yang ke-i (pelanggan yang harus dilayani lebih dulu dalam antrian)

Komponen Sistem Antrian

3) Disiplin AntriAturan yang menjelaskan bagaimana cara melayani pengantri

• FIFO – first in, first out• LIFO – last in, first out• SIRO – serve in random order• Priority – typically shortest job first (SJF)

ANTRIAN SINGLE SERVER- Pengukuran Kinerja

1. Rata – rata waktu tunggu / Delay rata-rata ekspektasi d(n).

2. Jumlah customer rata-rata pada antrian (tidak termasuk yang sedang dilayani) q(n).

3. Utilisasi server ekspektasi u(n)

Delay Rata-rata Ekspektasi

n

Dnd

n

ii

1)(

Kata “ekspektasi” di atas berarti: pada waktu jalannya simulasi, delay rata-

rata yang sebenarnya bergantung pada waktu antara datangnya

customer (interarrival time) dan waktu pelayanan (service time) yang

keduanya merupakan variabel acak. Dengan demkian, delay rata-rata

juga merupakan variabel acak. Yang ingin di-estimasi adalah nilai

ekspektasi dari variabel acak ini.

Jika ada n customer dengan delay D1, D2, , Dn,

Jumlah customer rata-rata pada antrian

0

)(i

iipnq

Pengukuran ini dilakukan dalam waktu kontinu dan bukan diskrit seperti

delay di atas.

Besaran-besaran yang dipakai:

q(n) = jumlah rata-rata customer di antrian.

Q(t) = jumlah customer di antrian pada waktu t; t 0.

(Tidak termasuk customer yang sedang dilayani).

T(n) = waktu untuk meneliti n delay.

T(n) = waktu untuk meneliti n delay. Pi = proporsi waktu yang terobservasi

pada waktu simulasi di mana ada I customer di antrian.

Ti = waktu total simulasi di mana panjang antrian adalah i.

)()( 0

nT

iTnq i

i

)(

)(

)(

)(

0

nT

dttB

nu

nT

Besaran ini merupakan pengukuran seberapa sibuknya server. Utilisasi ekspektasi

server adalah proporsi waktu simulasi (dari waktu 0 sampai T(n)) di mana server

bekerja (tidak idle), sehingga merupakan angka antara 0 dan 1.

Didefinisikan “busy function” (fungsi sibuk):

B(t) = 1 jika server sibuk pada waktu t

= 0 jika server idle (menganggur) pada saat t

Utilisasi server ekspektasi

Gambar berikut ini mengilustrasikan jalur waktu, atau realisasi dari Q(t) untuk sistem ini dengan n = 6.

Contoh Soal :

Customer datang pada waktu 0.4, 1.6, 2.1, 3.8, 4.0, 5.6, 5.8, dan 7.2.Waktu pergi customer (pelayanan selesai) adalah 2.4, 3.1, 3.3, 4.9, dan 8.6, dan simulasi berakhir pada waktu T(6) = 8.6.

Untuk menghitung q(n), harus dihitung dulu Ti yang dapat dibaca dari grafik pada interval di mana Q(t) sama dengan 0, 1, dst:

T0 = (1.6-0.0) + (4.0-3.1) + (5.6-4.9) = 3.2T1 = (2.1-1.6) + (3.1-2.4) + (4.9-4.0) + (5.8-5.6) = 2.3T2 = (2.4-2.1) + (7.2-5.8) = 1.7T3 = (8.6-7.2) = 1.4 i Ti = (0 x 3.2) + (1 x 2.3) + (2 x 1.7) + (3 x 1.4) = 9.9i=0

dengan demikian estimasi dari jumlah di antrian rata-rata waktu pada simulasi ini adalah

q(6) = 9.9/8.6 = 1.15 Penjumlahan Ti di atas adalah luas di bawah kurva Q(t)

antara awal dan akhir simulasi, dan dapat dituliskan: T(n) i Ti = Q(t) dtI=0 0

(3.3 - 0.4) + (8.6 - 3.8) 7.7u(n) = = = 0.90

8.6 8.6

KESIMPULAN

Delay rata-rata di antrian merupakan contoh dari statistik waktu diskrit.

Jumlah rata-rata waktu di antrian dan proporsi waktu di mana server sibuk adalah contoh statistik waktu kontinu.

Event untuk sistem ini adalah datangnya customer dan pergi (selesai) -nya customer.

Variabel status yang diperlukan untuk meng-estimasi d(n), q(n), dan u(n) adalah:

- status server (0 untuk idle; 1 untuk sibuk)- jumlah customer di antrian- waktu datang setiap customer yang antri- waktu event yang paling akhir.

QUIZ

Dari contoh soal sebelumnya, tentukan : Waktu antar kedatangan pelanggan

( A1, A2, A3, A4, A5) Waktu server melayani pelanggan

(S1, S2, S3, S4, S5)