simulasi numerik pengaruh vaksinasi dan …. kasbawi.pdf · satu-satunya cara virus influenza a...

Jurnal EKSPONENSIALVolume 1, Nomor 2, September 2010 ISSN 2085-7829

Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman 56

SIMULASI NUMERIK PENGARUH VAKSINASI DAN PEMBATASAN KONTAKDALAM MODEL PENYEBARAN VIRUS FLU BURUNG H5N1

PADA POPULASI BURUNG DAN MANUSIA(NUMERICAL SIMULATION OF THE EFFECT OF VACCINATION AND LIMITATION OF

CONTACT IN THE MODEL OF THE SPREAD OF H5N1 AVIAN INFLUENZA VIRUSON HUMAN AND POULTRY POPULATION)

Kasbawati

Staf Pengajar Jurusan Matematika Universitas Hasanuddin MakassarE-mail: [email protected]

ABSTRACT

Avian Influenza is an infectious disease caused by influenza virus type A which have the nature to changethe shape and can cause epidemics and pandemics. Avian Influenza viruses spread from bird to bird and bird tohuman. The disease can be transmitted through direct contact with infected poultry or contaminated airborneH5N1 virus from bird droppings or secretary bird flu. In this paper, we carried out numerical simulation of themathematical models which have formed to show how the shape of the spread of the virus in bird and humanpopulations. Simulation results show that the effect of vaccination which is carried out on healthy birdpopulations is not sufficient to control the spread of the virus. It is necessary to have a restriction of the contactbetween healthy birds and infective birds. It means that it takes a considerable effort from the communityespecially in the breeder community to always control the situation especially when infection happened.

Key words:Avian Influenza, SIR Model, Basic Reproductive Number, Rkf-45 Method.

1. Pendahuluan

Penyakit flu burung (bird flu/avian influenza) ialah penyakit yang disebabkan oleh virusinfluenza tipe A yang ditularkan antar unggas dan dapat juga menular ke manusia. Penyakit AI (H5N1)terjadi di beberapa tempat secara luas. Sumber virus diduga berasal dari migrasi burung dantransportasi unggas yang terinfeksi. Virus AI yang ganas jarang ditemukan pada reservoir unggas liar,tetapi sumber infeksi virus tersebut dapat ditemukan pada unggas peliharaan, [7].

Penularan AI (H5N1) terjadi karena droplet infection (infeksi akibat percikan cairanhidung/mulut) baik akibat kontak langsung maupun tidak langsung. Transmisi langsung dapat melaluisentuhan unggas/manusia yang terinfeksi, melalui udara jarak pendek seperti bersin, melalui kontaksosial yang intensif (ciuman). Transmisi tidak langsung dapat melalui perantaraan benda lain yangtelah tercemar, melalui serangga (lalat Musca domestica) tetapi masih dugaan, dan melalui udara jarakjauh. Tempat masuk virus (port de entry) ialah mulut, hidung, dan selaput lendir mata, [11].

Masalah penting yang dikhawatirkan oleh para ahli di dunia pada saat ini adalahkemungkinan munculnya subtipe baru virus influenza yang mampu untuk menular dari manusiake manusia oleh karena saat ini virus H5N1 diduga telah mampu untuk menular dari unggaske manusia, [11]. Menurut data WHO, infeksi AI (H5N1) lebih mudah menular dari unggas kemanusia dibandingkan dengan dari manusia ke manusia dan sampai saat ini belum terbukti penularandari manusia ke manusia. Satu-satunya cara virus influenza A (H5N1) dapat menyebar dengan mudahdari manusia ke manusia ialah jika virus influenza A (H5N1) tersebut bermutasi dan bercampurdengan virus influenza manusia, [3]. Dalam penelitian ini, akan dilakukan simulasi numerik terhadapmodel deterministik yang mewakili bentuk penyebaran virus tersebut secara matematis. Pada dasarnyapenelitian ini merupakan lanjutan dari penelitian yang telah dilakukan sebelumnya oleh [8], yanghanya meninjau hasil analitik dari model yang terbentuk. Penelitian ini akan difokuskan pada hasilnumerik model yang akan memperlihatkan secara nyata bentuk geometris dari solusi model yangterbentuk dan melihat pengaruh kontrol yang dilakukan untuk menekan tingkat keendemikan yangditimbulkan penyakit tersebut.



2. Model Deterministik Kasus Penyakit Flu Burung

Tinjau model matematika dari penyebaran virus flu burung H5N1 pada populasi burung danmanusia yang telah dimodelkan dalam [8], yaitu

).()()()(

),()()()(

)()(

),()()()(

)()(

),()(

)()(

)()(

),()1()(

)()(

),()1()(

)()(

1

2

21

tMtMtMdt

tdM

tMtMtMN

tMtM

dt

tdM

tMtMN

tBtM

dt

tdM

tMN

tMtM

N

tBtMA

dt

tdM

tBvN

tBtB

dt

tdB

tBvN

tBtBA

dt

tdB

RMVIR

VVVIM

VSV

V

IMIB

ISM

I

SMM

VSV

B

ISMM

S

IBB

ISB

I

SBB

ISBB

S

(1)

Model tersebut diturunkan berdasarkan diagram skematik yang dibentuk dalam populasi burungdan manusia yang dapat dilihat dalam Gambar 1. Jadi diperoleh model matematika dari kasuspenyebaran virus AI pada populasi burung dan manusia dalam bentuk sistem persamaan differensialtak linier enam dimensi yang mana semua parameter dalam persamaan (1) diasumsikan positif dan

10 v . Keterangan dan penjelasan satuan dari semua variabel dan parameter model diberikansecara ringkas dalam Tabel 1. Dalam bentuk yang tak berdimensi diperoleh

).()()()(

),()()()()()(

),()()()()()(

),()()()()(~)(

),()1)(()()(

),()1)(()(~)(

43214

3322313

2221212

131211

2212

1211

tYtYtYdt

tdY

tYtYtYtYtYdt

tdY

tYtYtXtYdt

tdY

tYtYtYtXtYAdt

tdY

tXvtXtXdt

tdX

tXvtXtXAdt

tdX

M

VV

MM

MVMM

BB

BBB

(2)

denganB

I

B

S

N

BX

N

BX 21 ,

M

R

M

V

M

I

M

S

N

MY

N

MY

N

MY

N

MY 4321 ,,, . Reduksi model tersebut

menghasilkan model dalam bentuk tiga dimensi, yaitu

).()(

)(~

)(

),()()()(

)()()(

),()()()()(~)(

22

22

3212

313

131211

tXtqX

tXqA

dt

tdX

tYtXtY

tYtYdt

tdY

tYtYtYtXtYAdt

tdY

BBB

BB

VM

V

MVMM

(3)

dengan jumlah populasi setimbang dari 1X , 2Y dan 4Y adalah

BB

B

qX

AX

2

*1

~,

21*2

XYY M , dan

M

YYY

321*4

.

Sistem tereduksi (3) yang dianalisis dalam beberapa teorema berikut, yang diambil dalam [8], yang

mewakili analisis dari sistem keseluruhan dalam persamaan (1).



Nilai R0 model yang telah diperoleh sebelumnya adalah

BB

BB

M

MV qAAR

~

,

~

maks0. Berikut teorema

kestabilan yang telah dibuktikan dalam [8].

Gambar 1. Diagram skematik model penyebaran virus AI, [8].

Teorema 1.Misalkan 0,0,),,(~

*2

*3

*11

M

MAXYYE

adalah solusi kesetimbangan sistem (3) yang

terdefinisi dalam domain yang positif. Jika 10 R maka titik tak endemik tersebut stabil asimtotik

secara lokal, dengan

BB

BB

M

MV qAAR

~

,

~

maks0.

Teorema 2. Misalkan

0,

~

,),,(**

2**

3**

12V

MMV

V

AXYYE

adalah solusi kesetimbangan

sistem (3) yang terdefinisi dalam domain yang positif. Jika 110 R dan 12

0 R maka titik endemik E2

stabil asimtotik secara lokal, dengan

M

MV AR

~10 dan

BB

BB qAR

~

20 .

Teorema 3. Misalkan ),,(),,( 231***

2***

3***

13 eee XYYXYYE merupakan solusi kesetimbangan sistem

(3) yang terdefinisi dalam daerah yang positif. Jika 10 R maka titik endemik E3stabil asimtotik secara

lokal, dengan

BB

BB

M

MV qAAR

~

,

~

maks0.

Pembuktian tiga teorema tersebut dapat dilihat di [8].

Tabel 1. Keterangan variabel dan parameter model dalam persamaan (1).

Variabel/Parameter

Interpretasi Satuan

BN Total populasiburung Ekor

SB Jumlah burung sehat pada saat t Ekor

IB Jumlah burung yang terinfeksi virus AI pada saat t Ekor

MN Total populasimanusia Orang



SM Jumlah manusia sehat pada saat t Orang

IM Jumlah manusia yang terjangkit penyakit flu burung pada saat t Orang

VM Jumlahmanusia yang terjangkitpenyakitakibatmutasi virus AI padasaat t Orang

RM Jumlah manusia yang sembuh pada saat t Orang

MA Banyaknyamanusiasehat yang lahirsecaraalamipersatuanwaktu Orang/waktu

BA Banyaknya burung sehat yang lahir secara alami Ekor/waktu

B Rata-rata kontak yang terjadi antara burung sehat dengan burung sakit 1/waktu

VProporsi burung sehat yang tidak terinfeksi virus AI akibat efektifitas dari vaksinasiyang diberikan pada semua burung sehat

Takberdimensi

B Rata-rata kematian alami burung sehat 1/waktu

M Rata-rata kematian alami manusia sehat 1/waktu

B Rata-rata kematian burung akibat infeksi virus AI 1/waktu

M Rata-rata kontak yang terjadi antara manusia sehat dengan burung sakit 1/waktu

1 Rata-rata banyaknya manusia yang sembuh dari penyakit 1/waktu

M Rata-rata banyaknya manusia yang mati akibat penyakit flu burung 1/waktu

2Rata-rata banyaknya manusia yang terinfeksi virus AI yang tidak sembuh tetapibertambah parah dan dapat menularkan penyakit ke manusia sehat lain

1/waktu

VRata-rata kontak yang terjadi antara manusia sehat dengan manusia yang terjangkitvirus baru AI yang bersifat infektif

1/waktu

Rata-rata banyaknya manusia yang sembuh dari penyakit 1/waktu

V Rata-rata banyaknya manusia yang meninggal akibat terinfeksi virus muta AI 1/waktu

3. Simulasi Numerik Model Matematika Penyebaran Virus H5N1

Pada bagian ini, akan dilakukan simulasi secara numerik untuk memperlihatkan bentukgeometris solusi model. Solusi numerik diperoleh dengan menggunakan pendekatan metode RungeKutta orde 45 (Rkf-45) pada model kontinu dalam persamaan (2), dan disimulasikan menggunakansoftware Matlab 7. Sebelumnya akan dilakukan estimasi terhadap nilai-nilai semua parameter modeldalam persamaan (2).

Misalkan diasumsikan total populasi burung dalam sistem adalah 200 ekor dan total manusiaadalah 50 orang. Banyaknya manusia yang masuk ke dalam sistem secara alami pertahun sebanyak 5orang yang ekuivalen dengan 5/365 orang perhari, dan banyaknya burung yang terlahir secara alamiperbulan adalah sebanyak 10 ekor yang ekuivalen dengan 10/30 ekor perhari. Misalkan rata-ratakontak antara burung sehat dengan burung yang terinfeksi cukup besar yaitu sebesar 0.7 perhari danrata-rata kontak antara manusia sehat dengan burung yang terinfeksi adalah sebesar 0.5 perhari.Kemudian rata-rata kematian alami manusia sehat sebesar 1/23400 0.00004 perhari (peluang matiseseorang secara alami perhari), rata-rata kematian akibat penyakit flu burung sebesar 0.001 dan

kematian akibat mutan flu burung sebesar 0.002 ( MM < V ). Rata-rata kesembuhan seseorang

dari penyakit adalah sebesar 0.05 dan rata-rata banyaknya manusia yang penyakitnya bertambah parahyang dapat menginfeksi orang sehat sebesar 0.00001, dan rata-rata kontak yang terjadi antara manusiasehat dan manusia yang infektif sebesar 0.001. Pada populasi burung, diasumsikan rata-rata kematianalaminya sebesar 1/1440 (dengan asumsi lama hidup seekor burung adalah 4 tahun), dan rata-ratakematian akibat penyakit flu burung cukup besar yaitu 0.9. Misalkan proporsi dari jumlah burungsehat yang divaksin pada saat awal sebesar 40%, dengan tingkat efektifitas vaksin sebesar 50%, makadiperoleh proporsi banyaknya burung sehat yang bebas infeksi akibat vaksin sebesar 20% yaitu

2.0v . Keseluruhanestimasinilai parameter tersebutdiberikandalamTabel 2.



Tabel 2.Nilaiestimasi parameter model.

Parameter Interpretasi NilaiEstimasi

Total populasiburung 200 ekor

MN Total populasimanusia 50 orang

Banyaknyamanusiasehat yang lahirsecaraalamipersatuanwaktu 5/365 orang/hari

BA Banyaknya burung sehat yang lahir secara alami 10/30 ekor/hari

BRata-rata kontak yang terjadi antara burung sehat dengan

burung sakit0.7/hari

V Proporsi burung sehat yang tidak terinfeksi virus AI akibat efektifitas dari vaksinasiyang diberikan pada semua burung sehat

20% (0.2)

B Rata-rata kematian alami burung sehat 0.0006/hari

MRata-rata kematian alami manusia sehat 0.00004/hari

B Rata-rata kematian burung akibat infeksi virus AI 0.9/hari

Rata-rata kontak yang terjadi antara manusia sehatdengan burung sakit

0.5/hari

1Rata-rata banyaknya manusia yang sembuh dari penyakit 0.05/hari

Rata-rata banyaknya manusia yang mati akibat penyakit flu burung 0.001/hari

2Rata-rata banyaknya manusia yang terinfeksi virus AI yang tidak sembuh tetapi

bertambah parah dan dapat menularkan penyakit ke manusia sehat lain0.00001/hari

Rata-rata kontak yang terjadi antara manusia sehat dengan manusia yang terjangkit virusbaru AI yang bersifat infektif

0.001/hari

Rata-rata banyaknya manusia yang sembuh dari penyakit 0.05/hari

Rata-rata banyaknya manusia yang meninggal akibat terinfeksi virus mutan AI 0.002/hari

Nilai parameter yang telahdiestimasimenghasilkannilaibasic reproduction number,

1037010370,480

~

,

~

maks0

BB

BB

M

MV qAAR

.

Berdasarkanhasilanalisis yang dilakukansebelumnya, nilai 1103700 R

menunjukkanbahwaendemikpenyakit flu burungakanterjadi di dalamsistemuntukwaktu yangakandatang (syaratteorema 3 terpenuhi). Solusikesetimbanganstabil yangdiperolehdanmemenuhidaerah domain yang positif

24492,005.0,20,17,11,6.1,,,,,************

3 RVISIS MMMMBBE dengannilaieigen

.02.0;05.0;15.001.0;00004.0;051.0 653421 I

Karenahanyasolusikesetimbangan yang ketiga yang semuanilaieigennyamempunyaibagian real yangnegatifmakauntuk t , solusi model akanmenujukesolusikesetimbangan yang ketigatersebut.Misalkan diberikan nilai awal atau jumlah awal populasi, yaitu BS(0)=100, BI(0)=50, MS(0)=5,MI(0)=2, MV(0)=2, dan MR(0)=10. Dalam bentuk tak berdimensi nilai awal tersebut menjadi X1(0)=0.5,X2(0)=0.25, Y1(0)=0.1, Y2(0)=0.04, Y3(0)=0.04, dan Y4(0)=0.2. Dengan menggunakan nilai awaltersebut diperoleh bentuk geometris dari solusi model yang dapat dilihat dalam gambar berikut.

Gambar 2. Grafik solusi model pertumbuhan

populasi burung sehat dan burung terinfeksi, terhadap waktu.

BN

MA

M

M

V

V

)(),( 21 tXtX

Jurnal EKSPONENSIALVolume 1,

Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman

Gambar 2 menunjukkan bentuk solusi model pertumbuhan populasi burung. Dari gambartersebut terlihat bahwa kedua subpopulasi mengalami peningkatan secara drastis dari jumlah awalyang diberikan. Keduanya mencapai jumlah maksimum masingkemudian menurun ke jumlah setimbangnya yaitu 1.6 dan 11. Walaupun jumlah burung yangterinfeksi terlihat menurun dari jumlah awal, akan tetapi jumlahnya tidak menuju ke nol. Ini berartibahwa peluang untuk terjadinya endemik di dalam sistem masih ada uHal lain yang menarik dari kurva solusi tersebut adalah pada saat t=1,5, jumlah burung sehat samadengan jumlah burung yang terinfeksi. Jika pada kenyataannya hal tersebut dapat diketahui, makasebelum jumlah burung terinfeksipopulasi dapat dilakukan agar jumlah Xterlihat bahwa jumlah burung sehat jauh lebih kecil dari jumlah burung yang terinfeksi. Ini berarbahwa untuk waktu yang tak hingga, dalam populasi burung akan terjadi endemik akibat infeksi virusAI. Dalam model epidemiologi, jumlah populasi yang infektif sangat diharapkan menuju ke nolsehingga peluang terjadinya endemik akibat infeksi virus H5N1

(a)

(c)Gambar 3.

(a) manusiasehat; (b) manusiaterinfeksi virus AI; (c) manusiaterinfeksi virus mutan AI;

PadaGambar 3 dapatdilihatbahwahal yang

samaterjadidalampopulasimanusiadimanajumlahmaksimummanusia yang menderita flu

burunglebihbesardarijumlahmanusia yang sehat.

Jumlahmaksimumdarikeduanyasekaligusmenjadijumlahseti

Y2=19. Ini berarti untuk waktu yang akan datang, manusia yang terinfeksi flu burung akan selalu ada

dan berpeluang menularkan penyakitnya pada manusia lain. Hal yang berbeda terjadi pada solusi

yang jumlahnya menurun dari jumlah awal dan kemudian menuju ke jumlah setimbangnya yang stabil

yaitu Y3=0.005. Sedangkan jumlah

besar. Jumlah setimbang dari

bertambah parahnya infeksi atau penyakit yang dialami seseorang sangat kecil, yaitu

ri.0.00001/ha2 Hal ini dilakukan karena dari data yang diperoleh memberikan informasi bahwa

kemungkinan mutasi virus AI dengan viru

penelitian yang membuktikan hal tersebut atau belum ada kasus yang terjadi, khususnya di Indonesia.

)(3 tY

1, Nomor 2, September 2010


menunjukkan bentuk solusi model pertumbuhan populasi burung. Dari gambartersebut terlihat bahwa kedua subpopulasi mengalami peningkatan secara drastis dari jumlah awalyang diberikan. Keduanya mencapai jumlah maksimum masing-masing di Xkemudian menurun ke jumlah setimbangnya yaitu 1.6 dan 11. Walaupun jumlah burung yangterinfeksi terlihat menurun dari jumlah awal, akan tetapi jumlahnya tidak menuju ke nol. Ini berartibahwa peluang untuk terjadinya endemik di dalam sistem masih ada untuk waktu yang akan datang.Hal lain yang menarik dari kurva solusi tersebut adalah pada saat t=1,5, jumlah burung sehat samadengan jumlah burung yang terinfeksi. Jika pada kenyataannya hal tersebut dapat diketahui, makasebelum jumlah burung terinfeksi bertambah melebihi jumlah burung sehat, kontrol terhadap keduapopulasi dapat dilakukan agar jumlah X2 dapat berkurang menuju ke nol. Dalam simulasi awal ini,terlihat bahwa jumlah burung sehat jauh lebih kecil dari jumlah burung yang terinfeksi. Ini berarbahwa untuk waktu yang tak hingga, dalam populasi burung akan terjadi endemik akibat infeksi virusAI. Dalam model epidemiologi, jumlah populasi yang infektif sangat diharapkan menuju ke nolsehingga peluang terjadinya endemik akibat infeksi virus H5N1 dapat dicegah.

(a) (b)

(c) (d)Gambar 3. Grafik solusi model pertumbuhan populasi:


(d) manusia yang sembuh, terhadapwaktu.




Jumlahmaksimumdarikeduanyasekaligusmenjadijumlahsetimbangnya yang stabilyaitu Y

Ini berarti untuk waktu yang akan datang, manusia yang terinfeksi flu burung akan selalu ada

dan berpeluang menularkan penyakitnya pada manusia lain. Hal yang berbeda terjadi pada solusi


=0.005. Sedangkan jumlah Y4 bertambah secara drastis dengan jumlah setimbang yang sangat

besar. Jumlah setimbang dari Y3 sangat kecil karena dalam simulasi ini diasumsikan bahwa peluang


Hal ini dilakukan karena dari data yang diperoleh memberikan informasi bahwa

kemungkinan mutasi virus AI dengan virus influenza manusia memang ada akan tetapi belum ada


)(4 tY

ISSN 2085-7829

61

menunjukkan bentuk solusi model pertumbuhan populasi burung. Dari gambartersebut terlihat bahwa kedua subpopulasi mengalami peningkatan secara drastis dari jumlah awal

masing di X1=9 dan X2=11,7, dankemudian menurun ke jumlah setimbangnya yaitu 1.6 dan 11. Walaupun jumlah burung yangterinfeksi terlihat menurun dari jumlah awal, akan tetapi jumlahnya tidak menuju ke nol. Ini berarti

ntuk waktu yang akan datang.Hal lain yang menarik dari kurva solusi tersebut adalah pada saat t=1,5, jumlah burung sehat samadengan jumlah burung yang terinfeksi. Jika pada kenyataannya hal tersebut dapat diketahui, maka

bertambah melebihi jumlah burung sehat, kontrol terhadap keduadapat berkurang menuju ke nol. Dalam simulasi awal ini,

terlihat bahwa jumlah burung sehat jauh lebih kecil dari jumlah burung yang terinfeksi. Ini berartibahwa untuk waktu yang tak hingga, dalam populasi burung akan terjadi endemik akibat infeksi virusAI. Dalam model epidemiologi, jumlah populasi yang infektif sangat diharapkan menuju ke nol

dapat dicegah.





mbangnya yang stabilyaitu Y1=17 dan

Ini berarti untuk waktu yang akan datang, manusia yang terinfeksi flu burung akan selalu ada

dan berpeluang menularkan penyakitnya pada manusia lain. Hal yang berbeda terjadi pada solusi Y3


bertambah secara drastis dengan jumlah setimbang yang sangat

asi ini diasumsikan bahwa peluang


Hal ini dilakukan karena dari data yang diperoleh memberikan informasi bahwa

s influenza manusia memang ada akan tetapi belum ada




Gambar 4. Grafik perbandingan jumlah manusia sehat dan

manusia yang terinfeksi virus AI.

Jika dilakukan perbandingan antara jumlah manusia sehat dengan jumlah penderita flu burungmaka dalam gambar 8 terlihat bahwa pada simulasi ini jumlah penderita jauh lebih banyak dari jumlahorang yang sehat. Sama seperti populasi burung, dalam populasi manusia juga ada saat dimana jumlahpenderita dan manusia yang sehat sama yaitu pada saat t=76 hari. Untuk mencegah bertambahnyajumlah penderita, beberapa upaya pencegahan yang telah diperoleh dari analisis sebelumnya, akanditerapkan dalam simulasi berikutnya untuk melihat seberapa besar pengaruh upaya tersebut untukmencegah bertambahnya jumlah populasi yang terinfeksi virus AI. Simulasi tersebut diberikan dalambeberapa kasus berikut.

Pengaruh Vaksinasi Burung SehatTinjau kembali nilai R0 model yang telah diperoleh. Dari hasil analisis yang telah dilakukan

sebelumnya, terdapat beberapa upaya yang dapat dilakukan untuk mencegah terjadinya endemik, yangmana kontrol tersebut sangat bergantung pada nilai R0.Beberapa kontrol yang telah diperoleh, padakenyataannya hanya beberapa yang dapat dilakukan agar burung yang terinfeksi virus AI dapat hilangdari sistem. Dalam pemodelan ini, diasumsikan terdapat vaksinasi yang diberikan kepada burung sehatsecara intensif, dengan tingkat efektifitas tertentu sebagai upaya pencegahan infeksi pada burung sehat.Misalkan proporsi dari jumlah burung sehat yang divaksin ditambah sebesar 80%, dengan tingkatefektifitas vaksin yang cukup tinggi yaitu sebesar 75%, maka diperoleh nilai 6.0v . Denganmenganggap parameter lain tetap, diperoleh nilai dari R0 yang lebih kecil dari R0 sebelumnya yaitu

.51850 R Penambahan jumlah burung sehat yang divaksin ternyata dapat menurunkan nilai R0

sebesar 50% yaitu dari 10370 menjadi 5185. Walaupun nilai R0 berkurang namun pengurangan jumlahtersebut tidak berpengaruh besar karena kemungkinan endemik di dalam sistem tetap dapat terjadi. Inidisebabkan karena nilai yang diperoleh masih jauh lebih besar dari satu yang berarti bahwa infeksivirus AI di dalam sistem masih sangat besar(syarat dari teorema 5 masih terpenuhi). Akibatnya untuk

t , solusi model masih akan menuju ke solusi kesetimbangan endemik, yaitu

24492;5.0;19;17;11;2.3,,,,,************RVISIS MMMMBBE . Bentuk geometris dari solusi model

untuk simulasi yang kedua ini dapat dilihat dalam Gambar 5.

Gambar 5. Grafik solusi model pertumbuhan

Populasi burung sehat dan burung terinfeksi setelah dilakukan vaksinasi.

)(),( 21 tYtY



Gambar 5 menunjukkan bentuk pergerakan solusi dari model pertumbuhan populasi burungterhadap perubahan waktu setelah dilakukan penambahan jumlah burung yang divaksin. Pengaruhvaksinasi yang diberikan mengakibatkan jumlah burung sehat sedikit bertambah dibandingksebelum diberikan vaksinasi. Jumlah maksimum burung sehat pada kasus ini lebih besar dari jumahsebelumnya yaitu X1=14. Berbeda dengan jumlah burung yang terinfeksi, jumlah maksimumnyamencapai X2=15 dalam waktu t=4, dan kemudian menurun menuju ke jumladengan simulasi sebelumnya yaitu Xmemberikan pengaruh yang signifikan terhadap penurunan jumlah setimbang Xberpengaruh pada penambahan jumlah setimb

Hal yang sama juga terjadi pada populasi manusia dimana pencegahan endemik dalam populasiburung tidak memberikan pengaruh pada penurunan jumlah manusia yang terinfeksi virus AI. Jumlahsetimbang dari Y1 dan Y2 tetap sama dengan simulasi sebeSedangkan jumlah manusia yang terinfeksi oleh virus hasil mutannya, bertambah dari 0.005 menjadi0.5. Ini tentu disebabkan karena upaya pencegahan yang dilakukan hanya sebatas pencegahan infeksipada burung sehat melalui vaksvirus dan perlakuan dalam lingkungan sekitar yang dijadikan tempat tinggal oleh kedua populasitersebut.

Gambar 6.


(d) manusia yang sembuh, terhadap waktu, setelah dilakukan vaksinasi pada burung sehat.

Selanjutnya akan diberikan simulasi yang lain dengan mengikutsertakan upaya pencegayang telah diperoleh dalam analisis sebelumnya dan pada kenyataan dapat dilakukan.

Pengaruh Pembatasan Kontak dengan Populasi yang InfektifDalam pemodelan ini, diasumsikan terdapat kontak antara burung sehat dan burung yang

terinfeksi B dan kontak antara manusia sehat dengan manusia yang terinfeksi virus yang virulen

( V ). Dari hasil analisis kualitatif model yang telah dilakukan sebelumnya, salah satu upaya

pencegahan yang dapat dilakukan agar in

kontak antara burung sehat dan burung yang terinfeksi

antara manusia sehat dengan manusia yang terinfeksi virus yang virulen (

pencegahan tersebut dilakukan dengan menerapkan suatu

membatasi kontak antar keduanya, sehingga nilai dari



menunjukkan bentuk pergerakan solusi dari model pertumbuhan populasi burungterhadap perubahan waktu setelah dilakukan penambahan jumlah burung yang divaksin. Pengaruhvaksinasi yang diberikan mengakibatkan jumlah burung sehat sedikit bertambah dibandingksebelum diberikan vaksinasi. Jumlah maksimum burung sehat pada kasus ini lebih besar dari jumah

=14. Berbeda dengan jumlah burung yang terinfeksi, jumlah maksimumnya=15 dalam waktu t=4, dan kemudian menurun menuju ke jumla

dengan simulasi sebelumnya yaitu X2=11. Ini berarti vaksinasi yang diberikan pada burung sehat tidakmemberikan pengaruh yang signifikan terhadap penurunan jumlah setimbang Xberpengaruh pada penambahan jumlah setimbang dari X1.

Hal yang sama juga terjadi pada populasi manusia dimana pencegahan endemik dalam populasiburung tidak memberikan pengaruh pada penurunan jumlah manusia yang terinfeksi virus AI. Jumlahsetimbang dari Y1 dan Y2 tetap sama dengan simulasi sebelumnya, yaitu Y1=17Sedangkan jumlah manusia yang terinfeksi oleh virus hasil mutannya, bertambah dari 0.005 menjadi0.5. Ini tentu disebabkan karena upaya pencegahan yang dilakukan hanya sebatas pencegahan infeksipada burung sehat melalui vaksinasi tanpa ada perlakuan khusus pada burung yang telah terinfeksivirus dan perlakuan dalam lingkungan sekitar yang dijadikan tempat tinggal oleh kedua populasi

(a)

(c)Gambar 6. Grafik solusi model pertumbuhan populasi:

manusiasehat; (b) manusiaterinfeksi virus AI; (c) manusiaterinfeksi virus mutan AI;


Selanjutnya akan diberikan simulasi yang lain dengan mengikutsertakan upaya pencegayang telah diperoleh dalam analisis sebelumnya dan pada kenyataan dapat dilakukan.

Pengaruh Pembatasan Kontak dengan Populasi yang InfektifDalam pemodelan ini, diasumsikan terdapat kontak antara burung sehat dan burung yang

dan kontak antara manusia sehat dengan manusia yang terinfeksi virus yang virulen

). Dari hasil analisis kualitatif model yang telah dilakukan sebelumnya, salah satu upaya

pencegahan yang dapat dilakukan agar infeksi virus AI dapat berkurang adalah dengan membatasi

kontak antara burung sehat dan burung yang terinfeksi B dan mencegah sedapat mungkin kontak

antara manusia sehat dengan manusia yang terinfeksi virus yang virulen (

pencegahan tersebut dilakukan dengan menerapkan suatu policy atau aturan tertentu yang dapat

membatasi kontak antar keduanya, sehingga nilai dari B dapat diturunkan dari 0.7 menjadi 0.00007

ISSN 2085-7829

63

menunjukkan bentuk pergerakan solusi dari model pertumbuhan populasi burungterhadap perubahan waktu setelah dilakukan penambahan jumlah burung yang divaksin. Pengaruhvaksinasi yang diberikan mengakibatkan jumlah burung sehat sedikit bertambah dibandingkansebelum diberikan vaksinasi. Jumlah maksimum burung sehat pada kasus ini lebih besar dari jumah

=14. Berbeda dengan jumlah burung yang terinfeksi, jumlah maksimumnya=15 dalam waktu t=4, dan kemudian menurun menuju ke jumlah setimbang yang sama

=11. Ini berarti vaksinasi yang diberikan pada burung sehat tidakmemberikan pengaruh yang signifikan terhadap penurunan jumlah setimbang X2. Vaksinasi hanya

Hal yang sama juga terjadi pada populasi manusia dimana pencegahan endemik dalam populasiburung tidak memberikan pengaruh pada penurunan jumlah manusia yang terinfeksi virus AI. Jumlah

lumnya, yaitu Y1=17 dan Y2=19.Sedangkan jumlah manusia yang terinfeksi oleh virus hasil mutannya, bertambah dari 0.005 menjadi0.5. Ini tentu disebabkan karena upaya pencegahan yang dilakukan hanya sebatas pencegahan infeksi

inasi tanpa ada perlakuan khusus pada burung yang telah terinfeksivirus dan perlakuan dalam lingkungan sekitar yang dijadikan tempat tinggal oleh kedua populasi

(b)

(d)

manusiasehat; (b) manusiaterinfeksi virus AI; (c) manusiaterinfeksi virus mutan AI;


Selanjutnya akan diberikan simulasi yang lain dengan mengikutsertakan upaya pencegahan lainyang telah diperoleh dalam analisis sebelumnya dan pada kenyataan dapat dilakukan.

Dalam pemodelan ini, diasumsikan terdapat kontak antara burung sehat dan burung yang

dan kontak antara manusia sehat dengan manusia yang terinfeksi virus yang virulen

). Dari hasil analisis kualitatif model yang telah dilakukan sebelumnya, salah satu upaya

feksi virus AI dapat berkurang adalah dengan membatasi

dan mencegah sedapat mungkin kontak

antara manusia sehat dengan manusia yang terinfeksi virus yang virulen ( V ). Misalkan upaya

atau aturan tertentu yang dapat

dapat diturunkan dari 0.7 menjadi 0.00007



dan nilai V diturunkan dari 0.001 menjadi 0.000001. Dengan menganggap parameter lain tetap,

diperoleh nilai dari R0 yang besarnya turun secara drastis dibanding nilai

51.00 R .Secara matematis, hasil ini menunjukkan bahwa pembatasan kontak yang dilakukan

memberikan pengaruh yang sangat signifikan terhadap penurunan nilaidari titik tak endemik model terpenuhi (teorema 1). Ini berarti untukmenuju ke solusi kesetimbangan tak endemik,

,,,,,******

RVISIS MMMMBBE

populasi manusia. Bentuk geometris dari solusi model untuk simulasi yang ketiga ini dapat dilihatdalam gambar berikut.

Hasil simulasi ketiga ini menunjukkan bahwa upaya pembatasan kontak yang dilakukan berhasilmenurunkan jumlah burung yang terinfeksi dan jumlah manusia yang terinfeksi virus AI. Ini dapatdilihat dalam Gambar 3 dan 8menjadi nilai setimbangnya. Ini berarti bahwa untuk waktu yang akan datang, infeksi virus AI dapathilang dari dalam sistem. Antisipasi yang dilakukan pada kedua populasi memberikan manfaat yangsangat signifikan karena mampu menurunkan jumlah infektif dari dalam sistem,memberikan konfirmasi bahwa pencegahan tidak boleh hanya dilakukan dalam populasi burung ataudalam populasi manusia saja, tetapi keduanya harus saling menunjang sehingga upaya peyang dilakukan dapat maksimal.

(a)Gambar 7. Grafik solusi model pertumbuhan populasi: (a) burung sehat;

(b) burung terinfeksi setelah adanya pembatasan kontak dalam populasi burung.

(a)

(c)



diturunkan dari 0.001 menjadi 0.000001. Dengan menganggap parameter lain tetap,

yang besarnya turun secara drastis dibanding nilai

Secara matematis, hasil ini menunjukkan bahwa pembatasan kontak yang dilakukan

memberikan pengaruh yang sangat signifikan terhadap penurunan nilai R0 sehingga syarat kestabilandari titik tak endemik model terpenuhi (teorema 1). Ini berarti untuk tmenuju ke solusi kesetimbangan tak endemik,

0,0,0,25000,0,16666 ,baik dalam populasi burung maupun dalam

populasi manusia. Bentuk geometris dari solusi model untuk simulasi yang ketiga ini dapat dilihat

Hasil simulasi ketiga ini menunjukkan bahwa upaya pembatasan kontak yang dilakukan berhasilmenurunkan jumlah burung yang terinfeksi dan jumlah manusia yang terinfeksi virus AI. Ini dapat

8 dimana solusi X2, Y2 dan Y3, ketiganya konvergen menuju ke nol yangmenjadi nilai setimbangnya. Ini berarti bahwa untuk waktu yang akan datang, infeksi virus AI dapathilang dari dalam sistem. Antisipasi yang dilakukan pada kedua populasi memberikan manfaat yang

rena mampu menurunkan jumlah infektif dari dalam sistem,memberikan konfirmasi bahwa pencegahan tidak boleh hanya dilakukan dalam populasi burung ataudalam populasi manusia saja, tetapi keduanya harus saling menunjang sehingga upaya peyang dilakukan dapat maksimal.

(b)Grafik solusi model pertumbuhan populasi: (a) burung sehat;


(a) (b)

(c) (d)

ISSN 2085-7829

64

diturunkan dari 0.001 menjadi 0.000001. Dengan menganggap parameter lain tetap,

yang besarnya turun secara drastis dibanding nilai R0 sebelumnya, yaitu

Secara matematis, hasil ini menunjukkan bahwa pembatasan kontak yang dilakukan

sehingga syarat kestabilan , solusi model akan

menuju ke solusi kesetimbangan tak endemik,

,baik dalam populasi burung maupun dalam

populasi manusia. Bentuk geometris dari solusi model untuk simulasi yang ketiga ini dapat dilihat

Hasil simulasi ketiga ini menunjukkan bahwa upaya pembatasan kontak yang dilakukan berhasilmenurunkan jumlah burung yang terinfeksi dan jumlah manusia yang terinfeksi virus AI. Ini dapat

, ketiganya konvergen menuju ke nol yangmenjadi nilai setimbangnya. Ini berarti bahwa untuk waktu yang akan datang, infeksi virus AI dapathilang dari dalam sistem. Antisipasi yang dilakukan pada kedua populasi memberikan manfaat yang

rena mampu menurunkan jumlah infektif dari dalam sistem, Gambar 9. Hasil inimemberikan konfirmasi bahwa pencegahan tidak boleh hanya dilakukan dalam populasi burung ataudalam populasi manusia saja, tetapi keduanya harus saling menunjang sehingga upaya pencegahan

Grafik solusi model pertumbuhan populasi: (a) burung sehat;




Gambar 8. Grafik solusi model pertumbuhan populasi: (a) manusia sehat; (b) manusia terinfeksi virus AI; (c)

manusia terinfeksi virus mutan AI; (d) manusia yang sembuh, setelah adanya pembatasan kontak dengan

penderita.

(a)(b)

Gambar 9. Grafik perbandingan solusi model pertumbuhan populasi: (a) burung terinfeksi; (b) manusia

terinfeksi sebelum dan setelah adanya pembatasan kontak.

Berikut diberikan beberapa hasil simulasi untuk berbagai jenis pencegahan yang dilakukanbeserta pengaruh dan tantangan yang dihadapi.

Tabel 3. Hasil simulasi awal untuk menentukan upaya pencegahan penyebaran penyakit flu burung.

Tabel 4. Evaluasi hasil simulasi numerik pada beberapa upaya pencegahan penyebaran penyakit flu

burung.



4. Kesimpulan

Dalam penelitian ini telah dilakukan simulasi numerik pada modelamtematika dari masalahpenyebaran virus H5N1 pada populasi burung dan manusia, serta model penularannya dalam keduapopulasi maupun antar populasi. Beberapa kesimpulan yang dapat diberikan dari kegiatan penelitianini adalah1. Beberapa bentuk antisipasi yang diperoleh sebelumnya, antara lain dengan menekan jumlah

kelahiran burung; melakukan pemusnahan burung, baik yang sehat maupun yang terinfeksi;

membatasi kontak antara burung sehat dan burung yang terinfeksi B ; dan melakukan vaksinasi

pada burung sehat )1( vq mampu untuk menekan laju penyebaran virus AI.

2. Peluang terjadinya endemik flu burung pada kedua populasi sangat dipengaruhi oleh besarnyakontak yang terjadi antara burung sehat dan burung yang terinfeksi flu burung. Ini dapat tergambardari besaran R0 yang diperoleh dari hasil simulasi, dimana R0 untuk populasi burung yang palingmenentukan terjadi atau tidaknya endemik flu burung pada kedua populasi.

3. Pembatasan kontak tidak boleh dilakukan hanya pada populasi burung saja atau pada populasimanusia saja. Pembatasan kontak dengan burung dan manusia yang infektif harus dilakukansecara bersama disertai dengan pemberian vaksinasi pada populasi burung yang sehat, sehinggapeluang penjangkitan dan penyebaran virus AI dapat diperkecil, terutama jika vaksin yangdiberikan berhasil meningkatkan kekebalan burung sehat tersebut.



4. Hasil lain yang menarik dalam penelitian ini adalah selain burung yang infektif, endemik jugadapat disebabkan oleh infeksi virus yang ditularkan oleh manusia yang terinfeksi virus baru, virushasil mutasi antara virus influenza A (H5N1) dengan virus influenza manusia. Walaupun belumada penelitian medis yang membuktikan hal ini, akan tetapi menurut WHO, mutasi tersebut adakemungkinan dapat terjadi, dan secara matematika dapat dibuktikan bahwa manusia yangterinfeksi virus baru dari H5N1 dapat menjangkiti manusia lain dan mengakibatkan endemikdalam populasi manusia. Hal ini tentunya dapat menjadi masukan bagi pihak yang terkait untukmenetapkan suatu policy, khususnya dalam hal penanganan medis bagi para penderita penyakit fluburung.

5. Daftar Pustaka

[1] Brauer, Fred and Castillo, Carlos-Chavez. 2001. Mathematical Models in Population Biologyand Epidemologi. Springer-Verlag, Inc, New York.

[2] Castillo-Chaves, C., Z. Feng, dan W. Huang. 2002. On the Computation of R0 and Its Role onGlobal Stability. IMA Volume 125, 229 - 250. Springer-Verlag, New York.

[3] Centers for Disease Control and Prevention, 2006. Key facts about avian influenza (bird flu) andavian influenza A (H5N1) virus.Sumber: http://www.cdc.gov/flu/avian/gen-info/pdf/avianfacts.pdf. [30 Juni 2008].

[4] Diekmann, O. Heesterbeek, J.A.P.. 2000. Mathematical Epidemiology of Infectious Disease.John Wiley & Sons, Ltd, Chicester.

[5] Iwami, S., Takeuchi, Y., Liu, X., 2007. Avian–human influenza epidemic model.Math.Biosci.207, 1–25.

[6] Iwami, S., Takeuchi, Y., Korobeinikov, A., Liu, X., 2008. Prevention of avian influenzaepidemic: What policy should we choose?,Journal of Theoretical Biology 252, 732–741.

[7] Kandun I Nyoman, 2006. Pencegahan dan Pemberantasan Penyakit Avian Influenza. ArtikelDirektur Jenderal Pengendalian Penyakit dan Penyehatan Lingkungan Departemen Kesehatan,Jakarta.

[8] Menno D. J., Hien Tran T., 2006, Avian influenza A (H5N1), Journal of Clinical Virology 35:2–13.

[9] Mulyadi, B., Prihatini, 2005, Diagnosis Laboratorik Flu Burung (H5N1) (Laboratoric Diagnosisof Avian Influenzae (H5N1)), Indonesian Journal of Clinical Pathology and Medical Laboratory,Vol. 12, No. 2, Mar 2005, pp 71- 81.

[10] Rencana Strategi Nasional Pengendalian Flu Burung 2006-2008, Sumber:http://www.komnasfbpi.go.id/files/Renstra_AI_dan_PI_13_Jan_2006.pdf. [20 Januari 2008].

[11] Upadhyay, R.K., Kumari, N., Raob, V.S.H., 2008, Modeling the spread of bird flu and predictingoutbreak diversity, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 9, 1638 – 1648.

[12] Verhulst, F., 1996, Nonlinear Differential Equation and Dynamical System, Springer-Verlg.,Jerman

simulasi numerik pengaruh vaksinasi dan …. kasbawi.pdf · satu-satunya cara virus influenza a...

Documents