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Problemi sui teoremi di Euclide. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 1
Copyright© 1987-2010 owned by Ubaldo Pernigo, please contact: [email protected] Tutti i contenuti, ove non diversamente indicato, sono coperti da licenza Creative Commons Attribuzione-Non commerciale-Non opere derivate 3.0 Italia License:
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0 (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 3.0). La riproduzione di tutto o parte dei contenuti potranno avvenire solo senza alcun scopo di lucro e dovranno riportare l’attribuzione all’autore ed un link a UbiMath e/o a quella dell’autore/i originario.
Raccolta di problemi sui teoremi di Euclide (triangoli) Similarity and Right Triangles (Altitude Rule and Leg Rule)
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
1. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e la
proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 50 cm e di 32 cm.
2. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente di 63 cm e 112 cm.
3. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente di 36 cm e 64 cm.
4. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 20 cm e di 7,2 cm.
5. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto e la sua sull’ipotenusa sono rispettivamente di 16 cm e di 12,8 cm.
6. Calcola l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo, sapendo che
l’ipotenusa e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 50 cm e di 18 cm.
7. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa è di 24 cm e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa è di 18 cm.
8. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni
dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente di 9 m e 16 m.
9. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e la
proiezione di uno dei suoi cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 100 cm e di 36 cm.
10. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un suo cateto
misura 15 cm e la sua ipotenusa 25 cm.
11. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto e la
sua proiezione sull’ipotenusa misurano rispettivamente 20 cm e 16 cm.
12. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e la proiezione di uno dei cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 175 cm e di 112
cm.
13. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni
dei cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 63 cm e di 112 cm.
14. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa è di 25 cm e una delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è i 2/3 dell’altra.
15. In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono una i 9/16 dell’altra. Sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa misura 36 cm, calcola perimetro
e area del triangolo.
16. In un triangolo rettangolo un cateto è 5/3 della sua proiezione sull’ipotenusa. Sapendo che la loro somma è 48 cm, calcola il perimetro e l’area del triangolo.
17. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa è di 12 cm e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa misura 9
cm.
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18. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni
dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente 18 cm e 32 cm.
19. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni
dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente 2,7 cm e 4,8 cm.
20. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa misura 7,2 cm e una proiezione di un cateto sull’ipotenusa
misura 9,6 cm.
21. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo ABC rettangolo in C, sapendo che
l’altezza AH relativa all’ipotenusa AB e la proiezione del cateto BC sull’ipotenusa AB sono rispettivamente di 8 cm e di 4 cm.
22. Calcola il perimetro di un triangolo ABC rettangolo in C, sapendo che l’ipotenusa
AB e la proiezione BH del cateto BC sull’ipotenusa AB sono rispettivamente di 8 cm e di 2 cm.
23. Un cateto di un triangolo rettangolo misura 6 m e la sua proiezione sull’ ipotenusa 2 m. Determinare gli altri due lati, l’altezza relativa all’ipotenusa e il raggio della circonferenza inscritta.
24. In un triangolo rettangolo ABC, le proiezioni dei cateti AC e BC sull’ipotenusa AB misurano rispettivamente 3 cm e 7 cm. Determina l’altezza relativa all’ipotenusa, il
perimetro e l’area del triangolo dato.
25. In un triangolo rettangolo ABC, la somma delle proiezioni dei cateti AC e BC
sull’ipotenusa AB è di 25 e la loro differenza è di 7 cm. Determina il perimetro e l’area del triangolo dato.
26. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C, il cateto AC misura 75 cm e la
sua proiezione sull’ipotenusa AH è di 45 cm. Determina il perimetro e l’area del triangolo dato.
27. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C, le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa AB sono di 36 e 64 cm. Determina il perimetro e l’area del triangolo dato.
28. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC misura 4,8 cm e la proiezione CH del cateto AC sull’ipotenusa è di 6,4 cm. Dopo
aver disegnato la figura, calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
29. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC misura 75 cm e la proiezione CH del cateto AC sull’ipotenusa è di 15 cm. Dopo aver disegnato la figura,
calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
30. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC misura 120 cm e la
sua proiezione CH sull’ipotenusa è di 96 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
31. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AB misura 4,5 cm e la
sua proiezione BH sull’ipotenusa è di 2,7 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
32. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC misura 25 cm e la proiezione BH del cateto AB sull’ipotenusa è di 9 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
33. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC misura 12 cm e la sua proiezione BH sull’ipotenusa è di 5 cm. Calcola l’area e il
perimetro del triangolo dato.
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34. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, la proiezione BH del cateto
minore AB sull’ipotenusa misura 19,8 cm. Sapendo che l’ipotenusa BC misura 55 cm calcola l’area e il perimetro del triangolo dato (usa il I teorema di Euclide).
35. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, sapendo che la somma delle proiezioni (BH+CH) dei cateti sull’ipotenusa BC è di 25 cm e che la differenza delle proiezioni (BH-CH) dei cateti sull’ipotenusa è di 7 cm.
36. Un cateto di un triangolo rettangolo ABC misura 6 cm e la sua proiezione sull’ipotenusa 2 cm. Calcolane il perimetro e l’area.
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Soluzioni
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e la
proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 50 cm e di 32 cm. Per il I teorema di Euclide
√ √ Per il teorema di Pitagora
√
√ √ √
pc1 = 32 cm
i = 50 cm
2p = ?; A = ?
in un triangolo rettangolo i
cateti base e altezza si ha
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente di 63 cm e 112 cm. Per il II Teorema di Euclide
oppure AH:CH=CH:BH
√ √ Per il teorema di Pitagora
√ √ √ √
√ √ √ √
pc1 = AH = 63 cm
pc2 = BH = 112 cm
2p = ?; A = ?
in un triangolo rettangolo i
cateti base e altezza si ha
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni dei cateti sullipotenusa misurano rispettivamente di 36 cm e 64 cm. Per il I Teorema di Euclide
oppure AB:CB=CB:BH
√ √
√ √
pc1 = AH = 36 cm
pc2 = BH = 64 cm
2p = ?; A = ?
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Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 20 cm e di 7,2 cm.
Per il I teorema Euclide si ha i : c1 = c1 : pc1
20 : c1 = c1 : 7,2
c1= 121442,720 cm
per il teorema di Pitagora
162561444001220 222
1
2
2 cic cm
2p = c1+ c2+i = 20+12+16= 48 cm Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
1662
1612
22
21
cchb
Area = 96 cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto e la sua sull’ipotenusa sono rispettivamente di 16 cm e di 12,8 cm.
Per il I teorema Euclide si ha i : c1 = c1 : pc1 i : 16 = 16 : 12,8
i = 1,0
2
8,0
161
2,3
164
4,6
168
8,12
1616
= 20 cm
per il teorema di Pitagora
121442564001620 222
1
2
2 cic cm
2p = c1+ c2+i = 20+12+16= 48 cm Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
1662
1612
22
21
cchb
Area = 96 cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 50 cm e
di 18 cm.
Per il II teorema di Euclide
√ √
pc1 = 32 cm
i = 50 cm
h_ipot = ?
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
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Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’altezza relativa
all’ipotenusa è di 24 cm e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa è di 18 cm.
Per il II teorema Euclide si ha pc2 : h = h : pc1 18 : 24 = 24 : pc1
pc1=1
48
3
424
18
2424
= 32 cm
i = pc1 + pc2 = 32 + 18 = 50 cm
6001
1250
2
2450
22
hihbArea cm2
Per il teorema di Pitagora
309003245761824 222
1
2
1 pchc cm
40160010245763224 222
2
2
2 pchc cm
2p = c1+ c2+i = 30+40+50= 120 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente di 9 m e 16 m. Per il I Teorema di Euclide
oppure AB:CB=CB:BH
√
√
pc1 = AH = 9 m
pc2 = BH = 16 m
2p = ?; A = ?
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo , sapendo che le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 36 cm e di 64 cm.
per il II teorema di Euclide si ha 36 : h = h : 64
h_ip = 4823046436 cm
6036004836 22
1 c cm
8064004864 22
2 c cm
2p = 60+80+(36+64) = 240 cm
Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
24002
8060
22
21
cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
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Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e la
proiezione di uno dei cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 100 cm e di 36 cm. Problema derivato dal precedente.
essendo la proiezione dell’altro cateto = 100 -36 = 64 cm per il II teorema di Euclide si ha 36 : h = h : 64
h_ip = 4823046436 cm
6036004836 22
1 c cm
8064004864 22
2 c cm
2p = 60+80+(36+64) = 240 cm
Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
24002
8060
22
21
cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un suo cateto
misura 15 cm e la sua ipotenusa 25 cm. per il I teorema Euclide si ha i : c1 = c1 : pc1
25 : 15 = 15 : pc1
pc1=25
1515 =9 cm
per il teorema di Pitagora
204002256251525 222
1
2
2 cic cm
2p = c1+ c2+i = 15+20+25= 60 cm Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
1502
2015
22
21
cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto e la sua
proiezione sull’ipotenusa misurano rispettivamente 20 cm e 16 cm. Problema derivato dal precedente.
per il I teorema Euclide si ha i : c1 = c1 : pc1
i : 20 = 20 : 16
i =16
2020 =25 cm
per il teorema di Pitagora
152254006252025 222
1
2
2 cic cm
2p = c1+ c2+i = 15+20+25= 60 cm
Essendo in un triangolo rettangolo i cateti base e altezza si ha:
1502
2015
22
21
cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
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Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo , sapendo che l’ipotenusa e la
proiezione di uno dei cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 175 cm e di 112 cm.
per il I teorema Euclide si ha 175 : c1 = c1 : 112
140196001121751 c cm
per il I teorema Euclide si ha 175 : c2 = c2 : (175-112)
10511025631751 c cm
2p = 140+105+175 = 420 cm
Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
73502
105140
22
21
cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 63 cm e di 112 cm. Problema derivato dal precedente.
essendo ipotenusa = 112+63 = 175 cm per il I teorema Euclide si ha 175 : c1 = c1 : 112
140196001121751 c cm
per il I teorema Euclide si ha 175 : c2 = c2 : (175-112)
10511025631751 c cm
2p = 140+105+175 = 420 cm Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
73502
105140
22
21
cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa è di 50 cm e una delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è i 9/16 dell’altra.
L’ipotenusa è data dalla somma delle proiezioni dei cateti su di essa, per cui
i = pc1 + pc2 = 25 cm
pc1 = (50/(9+16)) * 9 = 18 cm
pc2 = (50/(9+16)) * 16 = 32 cm
per il II teorema di Euclide si ha pc2 : h = h : pc1
18 : h = h : 32
h= 24836496493218 cm
6001
1250
2
2450
22
hihbArea cm2
per il teorema di Pitagora
309003245761824 222
1
2
1 pchc cm
40160010245763224 222
2
2
2 pchc cm
2p = c1+ c2+i = 30+40+50= 120 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
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In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono una i 9/16
dell’altra. Sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa misura 36 cm, calcola perimetro e area del triangolo.
per il II teorema di Euclide si ha 9 : h = h : 16
ugualipartiugualipartih 12169169 pari a 36 cm
2793912
361 pc cm
481631612
362 pc cm
i = 27+48 = 75 cm
per il I teorema Euclide si ha 75 : c1 = c1 : 27
459332527751 c cm
per il I teorema Euclide si ha 75 : c2 = c2 : 48
6016332548751 c cm
2p = 75+45+60 = 120+60 = 180 cm Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
13502
6045
22
21
cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo un cateto è 5/3 della sua proiezione sull’ipotenusa. Sapendo
che la loro somma è 48 cm, calcola il perimetro e l’area del triangolo.
305658
485
35
481
c cm
183638
483
35
481
pc cm
per il I teorema Euclide si ha i : 30 = 30 : 18
502
1010
18
3030
i cm
4016003050 22
2 c cm
2p = 50+30+40 = 120 cm
Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
6002
4030
22
21
cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
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Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’altezza relativa
all’ipotenusa è di 12 cm e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa misura 9 cm.
per il II teorema di Euclide si ha pc1 : h = h : pc2
9 : 12 = 12 : pc2
443
124
9
12122
pc = 16 cm
ipotenusa = pc1 + pc2 = 16+9 = 25 cm per il teorema Pitagora
4002561441612 22
1 c = 20 cm
22581144912 22
2 c = 15 cm
2p = 25+20+15 = 60 cm Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
15102
1520
22
21
cchb
Area = 150 cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente 18 cm e 32 cm.
per il II teorema di Euclide si ha pc1 : h = h : pc2
18 : h = h : 32
43243242323218 22222 h = 24 cm
ipotenusa = pc1 + pc2 = 18+32 =50 cm
per il teorema Pitagora
9003245761824 22
1 c = 30 cm
160010245763224 22
2 c = 40 cm
2p = 50+30+40 = 120 cm
Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
20302
4030
22
21
cchb
Area = 600 cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente 2,7 cm e 4,8 cm.
per il II teorema di Euclide si ha pc1 : h = h : pc2
2,7 : h = h : 4,8
√ √
ipotenusa = pc1 + pc2 = 2,7+4,8 = 7,5 cm per il teorema Pitagora
√ √ √
√ √ √
Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Problemi sui teoremi di Euclide. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 11
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Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’altezza relativa
all’ipotenusa misura 7,2 cm e una proiezione di un cateto sull’ipotenusa misura 9,6 cm.
per il II teorema di Euclide si ha pc1 : h = h : pc2
ipotenusa = = 9,6+5,4 = 15 cm
per il teorema Pitagora
√ √ √
√ √ √
Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo ABC rettangolo in C, sapendo che l’altezza AH relativa all’ipotenusa AB e la proiezione del cateto BC sull’ipotenusa AB sono
rispettivamente di 8 cm e di 4 cm. per il II teorema di Euclide si ha 4 :8 = 8 : AH
AH = 16284
88
cm
AB = AH + BH = 16+4= 20 cm
AC = 58544432064256416 22 cm
CB = 5454480166448 22 cm
2p = 20+ 54 + 58 = (20+ 512 ) cm
804202
820
22
CHABhbArea cm2
oppure essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
80551654542
5458
22
21
cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro di un triangolo ABC rettangolo in C, sapendo che l’ipotenusa AB e la proiezione BH del cateto BC sull’ipotenusa AB sono rispettivamente di 8 cm e di 2
cm. per il I teorema di Euclide si ha 8 : BC = BC : 2
BC = 41628 cm
AH = AB – BH = 8 - 2 = 6 m
per il I teorema di Euclide si ha 8 : AC = AC : 6
AC = 3431668 cm
2p = 8+4+ 34 = (12+ 34 ) cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Problemi sui teoremi di Euclide. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 12
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Un cateto di un triangolo rettangolo
misura 6 m e la sua proiezione sull’ ipotenusa 2 m. Determinare gli altri due
lati, l’altezza relativa all’ipotenusa e il raggio della circonferenza inscritta.
C^ = 90°
AC = 6 cm AH = 2 cm
A = ?; 2p = ?
Per il I teorema di Euclide
AB : AC = AC : CH AB : 6 = 6 : 2 AB = 6·6/2 = 6·3 = 18 cm
BH = AB-CH = 18 – 2 = 16 cm
HC = 243243626 2222 AHAC = 5,66 cm
BC = 212288256321624 22
22 BHCH = 16,97 cm
Per un triangolo qualsiasi si ha r_cerchioinscritto = A/p e R_cerchiocircoscritto = (a·b·c)/(4·A)
A = 2362
6212
22
21
cchb
= 59,91 cm2
2p = AB+BC+AC = 18+ 212 +6 = 24+ 212 = 40,97 cm
r =
48,20
91,59
21224
236
p
A 2,48 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, le proiezioni dei cateti AC e BC sull’ipotenusa
AB misurano rispettivamente 3 cm e 7 cm. Determina l’altezza relativa
all’ipotenusa, il perimetro e l’area del triangolo dato.
C^ = 90° AH = 3 cm
BH = 7 cm
A = ?; 2p = ?
Per il II teorema di Euclide AH : CH = CH : BC
3 : CH = CH : 7
CH = 2173 = 4,58 cm
AC = 302192132
222 CHAH = 5,47 cm
BC = 7021492172
222 CHBH = 8,36 cm
A = 2152
2100
2
3070
22
21
cchb
= 22,91 cm2
2p = AB+BC+AC = 3+7+5,47+8,36 = 23,83 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Problemi sui teoremi di Euclide. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 13
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In un triangolo rettangolo ABC, la somma
delle proiezioni dei cateti AC e BC sull’ipotenusa AB è di 25 e la loro
differenza è di 7 cm. Determina il perimetro e l’area del triangolo dato.
C^ = 90°
AH+BH = 25 cm BH-AH = 7 cm
A = ?; 2p = ?
AB = AH+BH = 25 cm
AH = ((AH+BH)-(BH-AH))/2 = (25-7)/2 = 18/2 = 9 cm HB = AH+(BH-AH) = 9+7 = 16 cm Per il II teorema di Euclide
AH : CH = CH : BH 9 : CH = CH : 16
CH = 22 43169 = 12 cm
AC = 22514481129 2222 CHAH = 15 cm
BC = 4001442561216 2222 CHAH = 20 cm
A = 2
2015
22
21
cchb = 150 cm2
2p = AB+BC+AC = 25+15+20 = 60 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C, il cateto AC misura 75 cm e la sua
proiezione sull’ipotenusa AH è di 45 cm. Determina il perimetro e l’area del triangolo dato.
C^ = 90° AC = 75 cm
AH = 45 cm A = ?
2p = ?
Per il I teorema di Euclide AB : AC = AC : AH AB : 75 = 75 : 45
i = AB = 75*75/45 = 5*25 = 125 cm
BC = 1000056251562517125 2222 ACAB = 100 cm
A = 50752
10075
22
21
cchb
= 3750 cm2
2p = AB+BC+AC = 125+100+75 = 300 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Problemi sui teoremi di Euclide. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 14
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In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo
in C, le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa AB sono di 36 e 64 cm. Determina il
perimetro e l’area del triangolo dato.
C^ = 90°
AH = 36 cm BH = 64 cm
A = ? 2p = ?
Per il II teorema di Euclide
AH : CH = CH : BH 75 : CH = CH : 45
CH = 6836643664 = 48 cm
i = AB = AH + BH = 36+64 = 100 cm
A = 241002
48100
22
CHABhb = 2400 cm2
AB : AC = AC : AH 100 : AC = AC : 36
AC = 6103610036100 = 60 cm
AB : BC = BC : BH 100 : BC = BC : 64
BC = 8106410064100 = 80 cm
2p = AB+BC+AC = 100+80+60 = 240 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C, sapendo
che le proiezioni dei cateti AC e BC sull’ipotenusa sono rispettivamente di 3
cm e di 7 cm.
C^ = 90° AH = 3 cm
BH = 7 cm
A = ? 2p = ?
Per il II teorema di Euclide AH : CH = CH : BH
7 : CH = CH : 3
CH = 2173 = 4,58 cm
i = AB = AH + BH = 3+7 = 10 cm
A = 2152
2110
22
CHABhb = 22,91 cm2
AB : AC = AC : AH 10 : AC = AC : 3
AC = 30310 = 5,47 cm
AB : BC = BC : BH 10 : BC = BC : 7
BC = 70710 = 8,36 cm
2p = AB+BC+AC = 10+5,47+8,36 = 23,83 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Problemi sui teoremi di Euclide. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 15
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In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC
misura 4,8 cm e la proiezione CH del cateto AC sull’ipotenusa è di 6,4 cm. Dopo aver disegnato la figura, calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
AH = 4,8 cm
CH = 6,4 cm
BH : AH = AH : CH
BH : 4,8 = 4,8 : 6,4
BH = 32,16,1
8,42,1
2,3
8,44,2
4,6
8,48,4
= 3,6 cm
AB = 3604,2396,128,46,3 2222 AHBH = 6 cm
AC = 6404,2396,408,44,6 2222 AHCH = 8 cm
A = 832
86
2
ACAB = 24 cm
2
BC = BH+CH = 3,6+6,4 = 10 cm
2p = AB + BC + AC = 6+10+8 = 24 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC misura 75 cm e la proiezione CH del cateto AC sull’ipotenusa è di 15 cm. Dopo aver disegnato la figura, calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
BC = 75 cm
CH = 15 cm
BC : AC= AC : CH
75 : AC= AC : 15
AC = 515533251575 = 33,54 cm
BH = BC – CH = 75 – 15 = 60 cm
BC : AB= AB : BH
75 : AB= AB : 60
AB = 5304533256075 = 67,08 cm
A = 515152
51530
2
515530
= 1125 cm
2
2p = AB + BC + AC = 530 +75+ 515 = (75+ 545 ) = 175,62 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Problemi sui teoremi di Euclide. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 16
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In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC misura 120 cm e la sua
proiezione CH sull’ipotenusa è di 96 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
AC = 120 cm
CH = 96 cm
AH = 518492161440096120 2222 AHAC = 72 cm
BH : AH= AH : CH
BH : 72= 72 : 96
BH = 1
96
4
366
24
3636
96
7272
= 54 cm
BC = BH+CH = 54+96 = 150 cm
AB = 8100518429167254 2222 AHBH = 90 cm
A = 60902
12090
2
ACAB = 5400 cm
2
2p = AB + BC + AC = 90+150+120= 360 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AB misura 4,5 cm e la sua proiezione BH sull’ipotenusa è di 2,7 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
BC : AB= AB : BH
BC : 4,5= 4,5 : 2,7
5,75,0153,0
5,05,4
7,2
5,45,4
BC cm
CH = BC – BH = 7,5 – 2,7 = 4,8 cm
BC : AC= AC : CH
7,5 : AC = AC : 4,8
6368,45,7 AC cm
2p = AB + BC + AC = 4,5+7,5+6= 18 cm
5,1335,42
65,4
2
ACABA cm
2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Problemi sui teoremi di Euclide. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 17
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In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC misura 25 cm e la
proiezione BH del cateto AB sull’ipotenusa è di 9 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
BC : AB= AB : BH
25 : AB = AB : 9
1553259259 AB cm
CH = BC – BH = 25 – 9 = 16 cm
BC : AC= AC : CH
25 : AC = AC : 16
205425162516 AC cm
2p = AB + BC + AC = 15+25+20= 60 cm
15010152
2015
2
ACABA cm
2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC misura 12 cm e la sua proiezione BH sull’ipotenusa è di 5 cm. Calcola l’area e il
perimetro del triangolo dato.
AB = 16914425125 2222 AHBH = 13 cm
BC : AB= AB : BH
BC : 13 = 13 : 5
8,335
169
5
1313
BC cm
HC = BC – BH = 33,8 – 5 = 28,8 cm
AC = 2,3144,97314444,829128,28 2222 AHHC cm
2p = AB + BC + AC = 13+33,8+31,2= 78 cm
8,2026,15132
2,3113
2
ACABA cm
2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
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In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, la proiezione BH del cateto minore AB
sull’ipotenusa misura 19,8 cm. Sapendo che l’ipotenusa BC misura 55 cm calcola l’area e il perimetro del triangolo dato (usa il I teorema di Euclide).
Per il I Teorema di Euclide
oppure BH:AB=AB:BC
√ √
√ √
i = BC = 55 cm
pc2 = BH = 19,8 cm
2p = ?; A = ?
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, sapendo
che la somma delle proiezioni (BH+CH) dei cateti sull’ipotenusa BC è di 25 cm e che la differenza delle proiezioni (BH-CH) dei cateti sull’ipotenusa è di 7 cm.
( ) ( )
( )
BH : AB = AB : BC
9 : AB = AB : 25
√
CH : AC = AC : BC
16 : AC = AC : 25
√
BC = ipotenusa
BH+CH= 25 cm
BH-CH= 7 cm
2p = ?; A = ?
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Problemi sui teoremi di Euclide. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 19
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=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AB misura 6 cm e la sua proiezione sull’ipotenusa 2 cm. Calcolane il perimetro e l’area.
Per il I Teorema di Euclide
oppure BH:AB=AB:BC
√
√ √ √
√
√
√ √
√ ( √ )
c1 = AB = 6 cm
pc1 = BH = 2 cm
2p = ?; A = ?
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=