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16 Anno XXIX – N. 4 – ottobre-dicembre 2012

Seismic Strength of Unreinforced Masonry Walls: Effects of the b Shape Factor of the Shear Failure Criterion with Diagonal Cracking

Michele Betti*, Luciano Galano**, Michele Petracchi***, Andrea Vignoli****

suMMAry – The paper deals with the shear failure mode with diagonal cracking of masonry panels in exist-ing buildings. More specifically, this study is focused on the b shape factor of the failure criterion included in the current Italian technical Recommendations (NTC 2008) and completes the results obtained in a companion paper of the same authors /7/. Three plane unreinforced masonry walls with regular openings are considered with dif-ferent slenderness of the masonry beams. The walls are modelled by finite elements and by equivalent frames and then subject to pushover analyses. In the framed models the b shape factor has been selected both according to the NTC 2008 and as proposed in the companion paper /7/. The seismic capacity diagrams of the walls show that the equivalent framed models significantly overestimate the ultimate shear of the walls with respect to the results provided by the finite element models. This result is amplified when the b values are assumed as recommended in the NTC 2008.

Keywords: unreinforced masonry, failure criteria, shear failure, b shape factor, plane masonry walls.

1. Introduction

shear strength of masonry piers and spandrels sig-nificantly affects the seismic behaviour of existing masonry buildings. usually, masonry panels subjected to seismic loads in their plane collapse for shear with diagonal cracking and a specific failure criterion has been formulated to predict the ultimate shear strength. Originally, this criterion was proposed by Turnsek and Cacovic /1/, and later was introduced in the Italian seismic recommendations /2/. The criterion has been maintained through subsequent developments of these rules /3/ and finally it has been included in the current Italian seismic Code for buildings /4, 5/.

The Italian technical recommendations of 1996 /3/ assumed the following equation to predict the ultimate shear strength of a masonry panel:

11.5

V lt 0t k

kx

xv

= + (1)

in which l is the panel width, t is the masonry thick-ness, s0 is the average vertical compressive stress and tk is the characteristic shear strength of the material, depending on the masonry typology. In other words, tk is the shear strength of the masonry without normal compressive stress. Eqn. (1) was included in the Ap-pendix of the document /2/ and it was the only failure criterion used to verify masonry buildings under seismic

loading. To this purpose Eqn. (1) was used within a nonlinear method of structural analysis. Turnsek and Cacovic obtained Eqn. (1) considering a masonry panel loaded in its plane by a vertical compressive action and an horizontal shear force, with double bending boundary conditions. They supposed that the first crack appears at the centre of the panel when the principal tensile stress reached the tensile strength of the masonry ft. Given the brittleness of the masonry this condition can be approximately considered concurrent with the failure of the panel; if ft = 1.5tk is also assumed, then Eqn. (1) holds.

Eqn. (1) is reliable only for panels with values of slenderness l = h/l similar to those of the De saint Ve-nant’s solid (h and l are the height and the width of the panel). Particularly, the quantity 1.5tk approximately represents the maximum shear stress at the centre of a panel with rectangular section only in case the De saint Venant’s hypotheses are met.

The current Italian technical recommendations /4, 5/ in the chapter on design of seismic masonry build-ings consider three failure modes for masonry piers and masonry beams loaded in their plane: (a) bending failure mode, (b) failure mode for shear with diagonal cracking and (c) sliding shear failure mode. For each failure mode the Code provides the ultimate bending moment or the ultimate shear strength. For existing ma-sonry buildings the ultimate shear strength of a panel associated to the (b) failure mode is given by /5/:

11.5

11.5

V ltbf

flt

b0 0

0

0t

t

t

v xxv

= + = + (2)

In Eqn. (2) the symbols are: b is the so called shape factor, that depends on the distribution of the shear stresses in the horizontal section at the centre of the panel and t0 is a mechanical parameter correlated with

* Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale (DICeA), università degli studi di Firenze – e-mail: [email protected]** Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale (DICeA), università degli studi di Firenze – e-mail: [email protected]*** Ingegnere Civile – e-mail: [email protected]**** Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale (DICeA), univer-sità degli studi di Firenze – e-mail: [email protected]


The influence of the b shape factor of the aforesaid criterion is discussed in this paper considering three plane masonry walls which represent the typical façades of existing buildings. The walls, assumed to be made of brick masonry with aerial lime mortar and with regular openings, are unreinforced because there are not steel chains or reinforced concrete boundary beams. The pushover method has been used to obtain the seismic capacity diagrams of the walls. To this aim equivalent framed models using the sAM II code /8, 9, 10, 11/ and finite element models using the ANsys code /12/ have been employed. A particular attention has been dedi-cated to the masonry beams. Generally, when a masonry wall is modelled by an equivalent framed structure, the hypothesis of rigid floors is assumed and this holds in the sAM II code. Consequently, the axial forces in the beams of the frame are indeterminate quantities. To overcome this difficulty the ultimate shear strength of a masonry beam can be evaluated applying Eqn. (2) with s0 equal to zero, according to safety requirements. In the pushover analyses made with the sAM II code the b shape factor of the masonry beams has been first evaluated according to the formulation (3) as requested in /5/ and then b has been selected according to Eqn. (4) as proposed in /7/. Differences in the seismic capac-ity diagrams and damage patterns of the three walls are presented and discussed.

2. Geometrical and mechanical characteristics of the walls

Three plane masonry walls have been considered in this study, each including five stories. The walls have a width of 17.0 m, are 15.0 m high and have a thick-

the pure shear strength of the masonry (i.e. the shear strength without normal compressive stress). Other symbols in Eqn. (2) were already defined. As it is ob-vious examining Eqn. (2), the document /5/ connects ft and t0 by ft = 1.5t0. Hence, the parameter t0 loses the original meaning of masonry pure shear strength except when b = 1.5. In conclusion, if it is assumed t0 = tk, Eqns. (1) and (2) are identical only if b = 1.5. However, the current rules /5/ at the point C8.7.1.5 defines b as a function of the slenderness l of the pan-els, following the original formulation of Benedetti and Tomaževic /6/:

.

...

///

.

.b ifif

h lh lh l

if1 0

1 51 01 5

1 01 5

ff

ff

ff

1 1#

#

m

m

m

m

====

* (3)

In the companion paper /7/ the authors show that the b shape factor evaluated according to Eqn. (3) pro-duces a significant overestimation of the ultimate shear strength of short masonry panels. In fact the b values obtained with numerical simulations by the finite ele-ment technique are higher than those given by Eqn. (3). Fig. 1a /7/, in which the b shape factor is plotted vs. the slenderness l, shows these differences. Fig. 1b shows two alternative formulations proposed in /7/ to evalu-ate the b factor. The diagram (1) is valid in the range 0.3 ≤ l ≤ 1.5 and is defined by six cubic splines:

( )S A B C D3 2i i i i im m m m= + + + i = 1, 2, ..., 6 (4)

in which the coefficients vary in each sub-range. The diagram (2) approximates the curve (1) and is defined by:

1.0 0.5 , 1.5b b #m m= +] g (5)

Fig. 1. (a) Diagrams of b(l) according to the old Italian rules (1), the current rules (2) and as proposed in /7/ through nonlinear FEM analyses (3); (b) diagrams of b(l) proposed in /7/ through nonlinear FEM analyses (1) and simplified bilinear approximation (2).(a) Confronto fra gli andamenti del coefficiente di forma b previsti dalle previgenti norme (1) e dalle norme attuali (2) con quello ricavato con le analisi numeriche in campo non lineare (3) svolte in /7/, (b) curva b(l) ottenuta in /7/ con le analisi non lineari (1) e relazione bilineare semplificata proposta (2).


diate stories is l = 1.0). The average slenderness of all the spandrels is 1.150, the average slenderness of all the masonry piers is 1.314.

– Fs wall has slender spandrels (the slenderness of the spandrels in the three intermediate stories is l = 2.0). The average slenderness of all the spandrels is 2.0, the average slenderness of all the masonry piers is 1.657.

The masonry walls are made of bricks and aerial lime mortar with poor mechanical characteristics and they are not reinforced. Over each opening is present a stiff lintel well connected to the surrounding masonry. The average mechanical parameters of the masonry are the same as those assumed in /13/, i.e.: longitudinal modulus of elasticity E = 2000 N/mm2, shear modu-lus of elasticity G = 800 N/mm2, compressive strength fm = 1.522 N/mm2, tensile strength ft = 0.15 N/mm2, shear strength t0 = 0.1 N/mm2 and, compressive strength in the horizontal direction fh = 1.522 N/mm2.

For the same masonry typology the document /5/ (Ta-ble C8A.2.1) proposes the following limits: E = 1200-1800 N/mm2, G = 400-600 N/mm2, fm = 2.4-4.0 N/mm2, ft = 0.09-0.138 N/mm2, t0 = 0.06-0.092 N/mm2. From a comparison, it is evident that the masonry mechanical parameters assumed in this study are close to the upper bounds of Table C8A.2.1, with the exception of fm. The ratio E/fm assumed here is equal to 1314 and it is close to the average values suggested in the technical litera-ture for this masonry typology. The walls are subject to their own weight (specific weight w = 18.0 kN/m3) and to the static vertical loads of the floors, supposed equal to 10 kN/m. This assumption is in agreement with the experimental results obtained by Calderoni et al. /14/.

3. Masonry walls modelling and collapse modes for the equivalent framed models

The masonry walls were modelled with both the finite element technique (FE) and the equivalent frame approach. The FE models were built by means of the commercial code ANsys /12/ using 8-node three-dimensional isoparametric finite elements (Solid 65) with size 0.2 × 0.2 × 0.2 m (Fig. 3 shows the discre-tization of the FT wall). The mechanical nonlinear masonry behaviour was reproduced by the Drucker-Prager plasticity criterion (DP, /15/) combined with the Willam-Warnke failure criterion (WW, /16/): as a result, the material behaves as an isotropic medium with plastic deformation, cracking and crushing ca-pabilities. The constitutive parameters are reported in Tab. 1. It is noteworthy to highlight that the uniaxial compressive strength defined by the plasticity model is fcDP = 1.522 N/mm2, while the tensile strength of the Willam-Warnke model is ftWW = 0.15 N/mm2. These values are equal to the assumed masonry strength properties (fcDP = fm and ftWW = ft) and correspond to an elastic-brittle material in traction and elastoplastic in compression. Concrete lintels were modelled by using the same mechanical models, with modified parameters to account for a concrete of resistance class C25/30.

ness of 450 mm (Fig. 2). The spandrels differ in their geometrical dimensions:

– FT wall has short spandrels (the slenderness of the spandrels in the three intermediate stories is l = lt/ht = 0.75 being lt the clear span and ht the height of the masonry beams). The average slenderness of all the spandrels is 0.883, the average slenderness of all the masonry piers is 1.086.

– FM wall has spandrels longer than the FT wall (the slenderness of the spandrels in the three interme-

Fig. 2. Geometry of the three plane masonry walls: (a) FT wall with short spandrels; (b) FM wall with spandrels of intermediate slenderness; (c) FS wall with slender spandrels (measures are in cm).Geometria delle tre pareti piane, (a) parete FT con fasce tozze, (b) parete FM con fasce di snellezza media, (c) parete Fs con fasce snelle (misure in cm).


to t0 and the values of the b shape factor were assumed according to the curve (2) of Fig 1a. The mechanical behaviour adopted for the masonry piers is elastic per-fectly plastic until they reaches the limit values of the chord rotation. The shear drift limit dv and the bending drift limit dp are reported in Tab. 2.

For the spandrels only bending and shear diagonal cracking failure modes were considered. In the case of bending failure the collapse strength is defined by:

2

10.85

, 0.4–MH h

f h t

HH f h tu

p

h t

pp h t= =e o (6)

The above equation is suggested in /4/ when there is a horizontal reinforcement in the spandrel (a steel chain, a concrete beam, etc.) and the axial force is unknown (as in the present case); Hp represents the

The equivalent framed models were built with the sAM II code. According to this approach each masonry wall is schematized with a system of deformable beams (reproducing masonry piers and spandrels) connected by rigid links (Fig. 4, wall FT). Vertical loads are ap-plied to the joints of the model at the floor levels, horizontal seismic forces are applied to the centres of mass of each floor and, finally, the joints at the same level have the same horizontal displacement (rigid floor diaphragms). The mechanical properties required by sAM II are reported in Tab. 2.

According to the Italian technical recommendations three failure modes were considered for the masonry piers: bending, sliding and diagonal cracking. For example, in the case of shear collapse with diagonal cracking, Eqn. (2) was considered where fv0 corresponds

Fig. 3. FE model of FT wall (measures are in cm).Modello agli elementi finiti della parete FT (misure in cm).

Tab. 1. Mechanical properties of the masonry adopted in the FE mo-dels.Proprietà meccaniche della muratura per le modellazioni agli elementi finiti.

Elastic parametersE (N/mm2) Longitudinal modulus of elasticity 2000 G (N/mm2) shear modulus of elasticity 800

n Poisson ratio 0.25

w (kN/m3) specific weight 18.0 Parameters of the plasticity criterion (DP)

c (N/mm2) Cohesion 0.24

F Friction angle 55o

h Dilatancy angle 55o

fcDP (N/mm2) uniaxial compressive strength 1.522 ftDP (N/mm2) uniaxial tensile strenght 0.216

Parameter of the failure criterion (WW)fcWW (N/mm2) uniaxial compressive strength 4.00 ftWW (N/mm2) uniaxial tensile strength 0.15

bcshear coefficient (closed cracks) 0.75

btshear coefficient (open cracks) 0.25

Tab. 2. Mechanical properties of the masonry adopted in the equivalent framed models.Proprietà meccaniche della muratura per le modellazioni con telai equi-valenti.

Elastic parametersE (N/mm2) Longitudinal modulus of elasticity 2000 G (N/mm2) shear modulus of elasticity 800 w (kN/m3) specific weight 18.0

Failure parameters

m Friction coefficient 0.4

fm (N/mm2) Compressive strength in the vertical direction

1.522

fh (N/mm2) Compressive strength in the horizontal direction

1.522

ft (N/mm2) Tensile strength for diagonal cracking failure

0.15

fv0 (N/mm2) shear strength 0.10 dp Bending drift limit 0.006 dv shear drift limit 0.004 FC Confidence factor 1.0

Fig. 4. Equivalent framed model of FT wall (measures are in cm).Modello a telaio equivalente della parete FT (misure in cm).


Fig. 5. Capacity curves of the three masonry walls obtained with triangular (ST) and uniform (SU) load distributions. FEM = finite element model; SAM II-A = equivalent framed model with b evaluated according to NTC 2008; SAM II-B = equivalent framed model with b evaluated according to Eqn. (4).Curve di capacità delle tre pareti con distribuzioni delle azioni sismiche triangolare (sT) e uniforme (su), FEM = modelli agli elementi finiti, sAM II-A = modelli a telaio equivalente con b in accordo alla norma /5/, sAM II-B = modelli a telaio equivalente con b dell’Eq. (4).


zontal forces were applied to the joints at each floor level, together with the vertical loads. It is noteworthy to observe that the inertia loads of the half first level of masonry piers was not considered in the equivalent framed models as the code assumes that these loads are directly transferred to the foundations.

Fig. 5 shows the capacity curves of the three walls for the two distributions of seismic actions sT and su, for the three types of analyses: FEM (finite element models), sAM II-A (equivalent framed models with b evaluated according to /5/) and sAM II-B [equivalent framed models with b evaluated according to Eqn. (4)]. The results obtained with the horizontal loads evalu-ated according to the modal distribution (sM) are very similar to those obtained with the triangular distribu-tion (sT). In each diagram in the abscissa is reported the displacement of the control point dc. In the cases of the FE models this displacement is the mean value of the horizontal displacements of 8 joints of the top level of the walls, while in the cases of the equivalent framed models dc is simply the horizontal displacement of the top level (according to rigid floor diaphragms hypothesis). In the ordinate is reported the base shear Vb. The most significant elements of the response of the masonry walls are: the initial stiffness Ke, the maxi-mum base shear Vbu and the maximum displacement of the control point dcu. These results are summarized in Tab. 3.

In terms of initial stiffness there is a substantial agreement between the response of the FE and the equivalent framed models, with differences ranging from –13% up to +10%. More interesting is the com-parison for the maximum base shear Vbu, since the shape factor b directly affects the shear strength of the spandrels in the case of diagonal cracking failure. If the b values are underestimated, the shear strength

maximum masonry compressive force in the horizontal direction. It may therefore appear not proper to adopt Eqn. (6) in absence of horizontal reinforcement. yet, in this study the equation has been employed anyway, tak-ing into account the following considerations. In case of short or medium slender spandrels (as in FT and FM walls) the most frequent collapse mode is the shear failure; in addition, even if a horizontal reinforcement is not present a lintel has been anyway assumed over the wall openings. Finally, the strength fh (set equal to fm) was assumed considerably lower than the val-ues suggested in /5/ for this masonry typology. In the case of diagonal cracking failure, the shear strength is defined by:

1.5

V h tbf

h tbf 0

t tt

tv= = (7)

Eqn. (7) is not explicitly reported in the technical recommendations, but it is reasonably applicable in ex-isting buildings and it is derived from Eqn. (2) assum-ing the unknown axial load to be zero (to the advantage of safety). As in the case of Eqn. (2), the shear strength fv0 in absence of compression can be assimilated to t0. The values of the b shape factor in Eqn. (7) were evaluated according to both Eqn. (3) suggested in /5/ and Eqn. (4). The mechanical behaviour of the masonry spandrels, as assumed for the piers, is elastic perfectly plastic until the drift limits. Finally, it is noteworthy to observe that all the strengths are averages values and all the safety factors were assumed unitary. With these assumptions differences in the capacity curves of the walls are to be sought only in differences of the diagonal shear strength of the masonry spandrels (i.e. the value of the b shape factor).

4. Results of the pushover analyses

The seismic response of the masonry walls, in both cases (finite element and equivalent framed models), was evaluated by performing static nonlinear analyses in accordance with the point. 7.8.1.5.4 of the NTC 2008 /4/. The horizontal forces were monotonically increased until collapse and the displacement of a control point at the top level of the walls was recorded to built the capacity curves. subsequent distributions of the hori-zontal forces were considered:

– triangular distribution (sT), i.e. horizontal seismic forces evaluated proportionally to the product of the masses for their height, measured from the base of the structure;

– modal distribution (sM), i.e. horizontal seismic forces evaluated proportionally to the product of the masses for the components of the first modal shape;

– uniform distribution (su), i.e. horizontal seismic forces evaluated according to the mass distribution along the wall.

In FE models these forces were applied directly to all the joints. In the equivalent framed models, the hori-

Tab. 3. Pushover analyses results: comparison between FE and equi-valent framed models.risultati delle analisi di spinta adimensionalizzati rispetto ai valori ot-tenuti con i modelli FEM.

WALL FTKe/KeFEM Vbu/VbuFEM dcu/dcuFEM

FEM sAM II-A

sAM II-B

FEM sAM II-A

sAM II-B

FEM sAM II-A

sAM II-B

Distr. sT 1.00 1.10 1.10 1.00 1.68 1.38 1.00 2.45 2.41Distr. sM 1.00 1.09 1.09 1.00 1.63 1.35 1.00 2.35 2.36Distr. su 1.00 1.05 1.05 1.00 1.29 1.10 1.00 2.46 2.90

WALL FMKe/KeFEM Vbu/VbuFEM dcu/dcuFEM

FEM sAM II-A

sAM II-B

FEM sAM II-A

sAM II-B

FEM sAM II-A

sAM II-B


WALL FsKe/KeFEM Vbu/VbuFEM dcu/dcuFEM

FEM sAM II-A

sAM II-B

FEM sAM II-A

sAM II-B

FEM sAM II-A

sAM II-B



Fig. 7. Damage maps of FM wall under triangular (ST) and uniform (SU) load distributions. (a) FE model; (b) equivalent framed model with b eva-luated according to NTC 2008; (c) equivalent framed model with b evaluated according to Eqn. (4).Quadri di danneggiamento all’ultimo passo della parete FM con distribuzioni delle azioni sismiche triangolare (sT) e uniforme (su), (a) modello FEM, (b) modello a telaio equivalente con b in accordo alla norma /5/, (c) modello a telaio equivalente con b dell’Eq. (4).

Fig. 6. Damage maps of FT wall under triangular (ST) and uniform (SU) load distributions. (a) FE model; (b) equivalent framed model with b eva-luated according to NTC 2008; (c) equivalent framed model with b evaluated according to Eqn. (4).Quadri di danneggiamento all’ultimo passo della parete FT con distribuzioni delle azioni sismiche triangolare (sT) e uniforme (su), (a) modello FEM, (b) modello a telaio equivalente con b in accordo alla norma /5/, (c) modello a telaio equivalente con b dell’Eq. (4).


the other two: in almost all the analyses the equiva-lent framed models of the wall Fs offer values of Vbu lower than those obtained with the FE models. The same happens for the comparison of results of the two equivalent framed models: with b evaluated according to Eqn. (4) the ultimate base shear Vbu are greater than those obtained with b according to /5/.

The comparison between displacements is difficult given the different method of analysis for the equiva-lent framed and the FE models. For FT and FM walls, the equivalent framed models offer displacements that differ of about +292% from those obtained by the FE models (reduced to about 53% in the case of Fs wall). These differences do not depend on the formulation adopted for the shape factor b.

Overall, the analyses of the walls FT and FM with the equivalent frame approach show a good agreement with the FE analyses if the shape factor b is evaluated according to Eqn. (4). For Fs wall the responses are about the same, probably because the equivalent framed models are more appropriate for this type of geometry (due to the slenderness of the spandrels).

5. Analyses of damage in the masonry walls

Figs. 6, 7 and 8 show, for FT, FM and Fs walls respectively, the damage maps obtained at the end of

is overestimated causing an increase in the ultimate base shear Vbu. The capacity curves obtained with the FE analyses (that does not depend on the factor b) are so used as reference to check the effectiveness of the results obtained with the equivalent framed models.

A first examination of the results shows that the equivalent framed models of the walls FT and FM de-velop base shear Vbu greater than those obtained with the FE models. These differences tend to decrease with the uniform distribution of the seismic loads, and a good agreement is obtained for all load distributions for the wall Fs. In detail, the equivalent framed mod-els of the walls FT and FM with b evaluated accord-ing to /5/ and load distributions sT and sM, provide Vbu values exceeding 1.5 times those obtained with the FE models [with a maximum difference of more than 70%, that decreases to about 28% in the case of the uniform load distribution (su)]. These differences ap-preciably decrease for the equivalent framed models with b evaluated according to Eqn. (4). The maximum difference becomes about 38% (wall FT with the trian-gular distribution sT), the minimum is about 5% (wall FM with the uniform distribution su). These results show that the response of the equivalent framed models of the walls FT and FM is in good agreement with that obtained with the FE models, when the shape factor b is evaluated according to Eqn. (4). The response of the wall Fs is slightly different from those obtained with

Fig. 8. Damage maps of FS wall under triangular (ST) and uniform (SU) load distributions. (a) FE model; (b) equivalent framed model with b evaluated according to NTC 2008; (c) equivalent framed model with b evaluated according to Eqn. (4).Quadri di danneggiamento all’ultimo passo della parete Fs con distribuzioni delle azioni sismiche triangolare (sT) e uniforme (su), (a) modello FEM, (b) modello a telaio equivalente con b in accordo alla norma /5/, (c) modello a telaio equivalente con b dell’Eq. (4).


lapses, VD denotes the number of diagonal cracking failures and, finally, Vs indicates the number of shear sliding collapses. None of the piers collapses for shear with diagonal cracking: they collapse only for bending or shear sliding. It is also evident that evaluating the b shape factor according to Eqn. (4) originates an in-crease in the number of collapses for diagonal cracking and a reduction of collapses for shear sliding. A clear change in the number of collapses for bending is not observable when varying the criterion for calculating the b shape factor.

6. Concluding remarks

The paper investigates the seismic capacity of three plane unreinforced masonry walls with different slen-derness of the masonry beams. More specifically, the attention was focused on the b shape factor of the shear failure criterion with diagonal cracking. The for-mulation for b provided by the current Italian techni-cal rules was compared with the one proposed in the companion paper /7/ by the same authors. The walls were modelled by finite elements and by equivalent framed models. In the latter case the b shape factor was assumed according to the NTC 2008 and, alter-natively, selected as proposed in the companion paper /7/.

results from finite element models are independent from the b coefficient and were used for comparison purposes. However, the different modelling hypotheses should be taken into account, i.e.: i) adjustment of the masonry mechanical parameters, ii) deformable floor diaphragms in the finite element models, iii) pushover analyses with finite element models performed under load control, iv) assumption of elastic perfectly plastic behaviour for spandrels under shear loading, etc.

results from this study in terms of elastic stiffness Ke of the walls are in good agreement in all the push-over analyses. However, remarkable differences were obtained for ultimate base shear Vbu of the walls. In de-tail, the framed models of FT and FM walls produced higher values of Vbu with respect to the finite element models. This result was more evident when the b fac-tor of the NTC 2008 was assumed and for the FT wall. For the Fs wall the maximum shear capacity Vbu was similar for all numerical models.

In the light of this, it seems proper to adjust the for-mulation for b included in the NTC 2008; an example of alternative definition is given by Eqn. (5).

Acknowledgements

The authors would like to thank the Tuscany region for the financial support given to this work, through the scientific collaboration agreement named “Activi-ties for acquisition and processing data from diagonal compression tests on masonry panels, to make a Re-gional abacus of masonries, gathering and process-ing data from tests on steel and concrete structural members”.

each analysis (load distributions sT and su; the results obtained with the load distribution sM are similar to those obtained with the distribution sT). For FE mod-els the damage is showed as cracking distribution on the façade, according to the assumption of smeared crack model. For equivalent framed models, the dam-age of piers or spandrels (symbolized at the end or in the middle section of each element) is represented as follows: (•) denotes bending failure, ( × ) denotes shear failure with diagonal cracking and (♦) denotes sliding shear failure (only for masonry piers).

Considering Fs wall there is a good similarity be-tween the damage maps obtained with the two codes. On the contrary, for FT and FM walls several differ-ences arise. This can be justified as follows: in the FE models the cracks propagate and spread around the diagonals of the walls (with a more evident spread in the case of FT wall, less for FM wall). This result is correct: the shorter are the spandrels (the smaller are the openings), the more the behaviour of the wall is similar to that of a masonry panel under horizontal loads. Consequently, the principal tensile stresses have the direction of the diagonal of the panels, and cracking develop where the tensile strength is exceeded. This does not occur for Fs wall, where the damage affects first the thin spandrels and, subsequently, propagates to piers.

For equivalent framed models the behaviour is differ-ent since the assumption of rigid floor diaphragms al-lows for a global structural response of all resisting ele-ments, ensuring a wider distribution of seismic forces between them. FE models don’t have rigid diaphragms, which explains the differences in the damage maps of FT and FM walls. This is indirectly confirmed by the fact that the capacity curves of the Fs wall present the best agreement. Furthermore, for all walls the FE model shows (regardless of the assumed distribution of horizontal forces) a sensible damage in some parts of the joints between piers and spandrels. This doesn’t occur in the equivalent framed models where this area is assumed as infinitely rigid and resistant.

Tab. 4 reports, for equivalent framed models, and each load distribution, the number of failures observed in each wall: M indicates the number of bending col-

Tab. 4. Equivalent framed models: numbers and typologies of masonry panels failures.Numero di rotture ottenute con i modelli a telaio equivalente.

Wall Load Distr.

bTech rules /5/

bEqn. (4)

M VD Vs M VD Vs

FT sT 33 12 17 33 17 9FT sM 36 11 18 29 17 8FT su 20 11 4 28 15 1FM sT 30 13 17 22 21 3FM sM 33 14 16 21 21 4FM su 27 11 2 30 19 1Fs sT 23 23 0 30 24 0Fs sM 23 23 0 28 24 0Fs su 30 24 0 30 24 0


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l’altezza h e la larghezza della sezione trasversale l) confrontabili a quelle del solido di De Saint-Venant. In-fatti, solo in tali ipotesi, la quantità 1.5tk al denomina-tore della frazione sotto il segno di radice equivale al valore massimo della tensione tangenziale al centro di un pannello di sezione rettangolare.

Le nuove norme tecniche /4, 5/, relativamente alla verifica sismica delle costruzioni in muratura, prendono in considerazione tre modalità di collasso dei pannelli murari (maschi se ad asse verticale, fasce se ad asse orizzontale): (a) rottura per pressoflessione, (b) rottura a taglio per fessurazione diagonale e (c) rottura a taglio per scorrimento. Per ciascuna di esse le norme defini-scono un valore limite della capacità portante espresso in termini di sollecitazione resistente. In particolare, sof-fermando l’attenzione sul taglio resistente di un pannello per il meccanismo di rottura con fessurazione diagonale, questo è definito dalla relazione seguente (introdotta relativamente alle costruzioni esistenti /5/):

11.5

1 1.5V lt bf

f lt b0 0

0

0t

t

t

v xxv

= + = + (2)

Nella (2) i simboli, oltre a quelli già definiti, as-sumono il seguente significato: b è il coefficiente di forma relativo alla distribuzione delle tensioni tangen-ziali nella sezione trasversale al centro del pannello, ft è la resistenza media a trazione per fessurazione diagonale della muratura e t0 è un parametro corre-lato alla resistenza media a taglio in assenza di sforzo normale, nel criterio di rottura per fessurazione diago-nale. Come è possibile dedurre esaminando l’Eq. (2), la Circolare /5/ lega la tensione tangenziale resistente t0 alla resistenza a trazione ft mediante l’espressione ft = 1.5 t0. In tal modo, la resistenza t0 viene a perdere il significato originale di resistenza a taglio in assenza di azione assiale, a meno che non si assuma per il coefficiente di forma b il valore 1.5. Il parametro t0 di-viene quindi semplicemente una grandezza associata alla ft per definire il taglio resistente Vt. Considerando t0 come parametro assimilabile a tk, le relazioni (1) e

SOMMARIO – A completamento dei risultati ottenuti in un precedente studio degli stessi autori /7/, sono mostrati gli effetti della variazione del coefficiente di forma b del criterio di rottura a taglio per fessurazione diagonale dei pannelli murari delle NTC 2008 /4, 5/. Lo studio ha per oggetto tre pareti piane di muratura ordinaria a geometria regolare con diverse snellezze delle fasce di piano. Le pareti sono modellate agli elementi finiti e con schemi a telaio equivalente e sottoposte ad analisi di spinta. Nei modelli a telaio, per le fasce di piano, sono assunti sia i valori di b conformi alle NTC 2008, sia i valori di b proposti in /7/. Le curve di capacità mostrano che i modelli a telaio equivalente sovrastimano sensibilmente la resistenza a taglio delle pareti con le fasce di piano più alte e che tale effetto è amplificato dall’adozione dei valori del coefficiente di forma b delle norme.

Parole chiave: muratura ordinaria, criteri di rottura, rottura a taglio, coefficiente di forma b, pareti piane.

Influenza del coefficiente di forma b del criterio di rottura a taglio per fessurazione diagonale sulla resistenza sismica di pareti piane di muratura ordinaria

M. Betti, L. Galano, M. Petracchi, A. Vignoli

1. Introduzione

La resistenza a taglio dei maschi murari e delle fasce di piano ha un ruolo fondamentale per il comportamento sismico degli edifici esistenti in muratura. Uno dei modi di rottura a taglio più frequentemente osservati in caso di evento sismico è quello per fessurazione diagonale, da cui ha anche tratto origine il corrispondente criterio di collasso. Tale criterio, originariamente formulato da Turnsek e Cacovic /1/, fu introdotto nella normativa si-smica italiana con la Circolare Ministeriale del 30 Luglio 1981 /2/ e mantenuto anche nei successivi aggiorna-menti /3/, fino all’attuale quadro normativo contenuto nelle NTC 2008 /4, 5/.

In particolare, il quadro normativo del 1996 /3/, che inglobava la Circolare Ministeriale del 30 Luglio 1981, proponeva, per il criterio di rottura a taglio per fessu-razione diagonale, la seguente espressione del taglio resistente di un pannello murario:

.V lt 1 1 5t kk

0xxv

= + (1)

in cui l e t sono, rispettivamente, la larghezza e lo spessore del pannello murario, s0 è la tensione media di compressione agente sul pannello e tk è la cosid-detta resistenza caratteristica a taglio, dipendente dalla tipologia muraria. La (1), riportata nell’Appendice della /2/, era l’unico criterio di rottura esplicitamente previsto per la verifica sismica degli edifici in muratura ed era utilizzata all’interno di uno schema di verifica basato su un’analisi non lineare. Con questo criterio si suppo-neva che la prima lesione avesse origine al centro del pannello, in corrispondenza del raggiungimento della resistenza a trazione della muratura, e che essa si pro-pagasse seguendo la diagonale del pannello stesso. Data la fragilità della muratura è ragionevole supporre che questa condizione fosse concomitante con il col-lasso del pannello.

L’Eq. (1), in modo rigoroso, è applicabile solo a pannelli caratterizzati da snellezze l = h/l (rapporto fra


NTC 2008 /4, 5/, sia utilizzando la formulazione dell’Eq. (4) proposta in /7/. Sono quindi evidenziate, e critica-mente discusse, le analogie e le differenze dei modi di rottura e delle curve di capacità delle pareti.

2. Geometria e caratteristiche meccaniche delle pa-reti

Le tre pareti oggetto dello studio, ciascuna di cinque piani, hanno larghezza di 17.0 m, altezza di 15.0 m e spessore costante di 450 mm (Fig. 2). Esse differiscono per la geometria delle fasce di piano, ovvero:

– la parete FT ha fasce tozze (snellezza geometrica delle fasce dei tre piani intermedi l = lt/ht = 0.75 con lt la luce netta e ht l’altezza totale della trave in muratura). La snellezza media di tutte le fasce è pari a 0.883, quella media dei maschi è pari a 1.086;

– la parete FM ha fasce di snellezza media (l = 1.0 per le fasce dei tre piani intermedi). La snellezza media di tutte le fasce è pari a 1.150, quella media dei maschi è pari a 1.314;

– la parete FS ha fasce snelle (l = 2.0 per le fasce dei tre piani intermedi). La snellezza media di tutte le fasce è pari a 2.0, quella media dei maschi è pari a 1.657.

Le tre pareti, supposte appartenere ad edifici esi-stenti, sono realizzate in muratura di mattoni pieni e malta di calce, quindi di qualità medio-bassa, non sono presenti elementi di rinforzo a livello dei solai e le aperture sono dotate di architravi in c.a. ben am-morsate alla muratura circostante. Le caratteristiche meccaniche della muratura, da intendersi come valori medi, sono le stesse utilizzate in /13/, in particolare: modulo elastico longitudinale E = 2000 N/mm2, modulo elastico tangenziale G = 800 N/mm2, resistenza media a compressione fm = 1.522 N/mm2, resistenza media a trazione ft = 0.15 N/mm2, resistenza media a taglio t0 = 0.1 N/mm2, resistenza media a compressione in direzione orizzontale fh = 1.522 N/mm2.

Si ricorda che, per questa tipologia muraria, la norma /5/ (Tabella C8A.2.1) fornisce i seguenti limiti delle carat-teristiche meccaniche: E = 1200-1800 N/mm2, G = 400-600 N/mm2, fm = 2.4-4.0 N/mm2, ft = 0.09-0.138 N/mm2, t0 = 0.06-0.092 N/mm2. I valori qui assunti sono quindi in sostanziale accordo con i limiti superiori degli inter-valli forniti dalla norma, ad eccezione della resistenza a compressione, assunta inferiore. Tale scelta corrisponde ad un rapporto E/fm = 1314, più vicino al valore 1000 generalmente suggerito in letteratura; inoltre è apparso ragionevole considerare un rapporto fm/ft pari a circa 10. Tale scelta trova una ulteriore conferma nei risultati sperimentali ottenuti da Calderoni et al. nel lavoro /14/. Le pareti sono soggette al peso proprio (w = 18.0 kN/m3) oltre ai carichi distribuiti trasmessi dai solai assunti di valore 10 kN/m.

3. Modellazione delle pareti e modi di collasso per i modelli a telaio

Le pareti sono state modellate sia con la tecnica degli elementi finiti sia con schematizzazioni a telaio equivalente. Per i modelli agli elementi finiti è stato im-piegato il codice ANSYS /12/ adottando elementi finiti

(2) coincidono soltanto nel caso in cui sia b = 1.5. Ma le norme tecniche suggeriscono, al punto C8.7.1.5 della Circolare Ministeriale /5/, di utilizzare valori di b variabili in funzione della snellezza l dei pannelli secondo la seguente relazione, proposta originariamente da Be-nedetti e Tomaževic /6/:

1.0

1.51.01.5

///

1.01.5b

perperper

h lh lh l

ff

ff

ff

1 1#

#

m

m

m

m

====

Z

[

\

]]

] (3)

Nel lavoro /7/ degli stessi autori è stato mostrato che il coefficiente di forma b del criterio di rottura a taglio per fessurazione diagonale, valutato secondo la formulazione (3), conduce ad una sensibile sovra-stima della resistenza a taglio dei pannelli murari tozzi o mediamente tozzi; per tali pannelli, infatti, i valori di b determinati con simulazioni numeriche agli elementi finiti risultano più elevati di quelli forniti dalla (3). La Fig. 1a /7/ evidenzia questa differenza al variare della snellezza del pannello, anche in relazione al valore costante b = 1.5, originariamente assunto /1, 2/. Nella Fig. 1b sono quindi riportate le due relazioni proposte in /7/ interpolanti i risultati numerici di b in funzione della snellezza l del pannello. La curva (1) della figura, valida nell’intervallo 0.3 ≤ l ≤ 1.5, è definita da sei spline cubiche:

( )S A B C D3 2i i i i im m m m= + + + i = 1, 2, ..., 6 (4)

essendo i coefficienti delle spline variabili in ciascun sub-intervallo. La curva (2), ottenuta come approssi-mazione della precedente e di più semplice impiego, è definita dall’equazione:

1.0 0.5 , 1.5b b#m m= +] g (5)

In questo lavoro, sulla base delle osservazioni pre-cedenti, si vuole mostrare l’influenza del fattore b del criterio suddetto. A tale scopo si confrontano le curve di capacità di tre pareti piane rappresentative di facciate tipiche di edifici esistenti in muratura. Le tre pareti, di muratura di mattoni pieni e malta di calce, hanno ge-ometria regolare e sono supposte non rinforzate da catene metalliche, cordoli o altri presidi. Le curve di capacità sono state ottenute mediante analisi di spinta con modelli a telaio equivalente costruiti con il codice SAM II /8, 9, 10, 11/, e modelli agli elementi finiti, co-struiti con il codice ANSYS /12/. L’attenzione è posta sulle sole fasce di piano. Come noto, nei modelli a telaio equivalente delle pareti murarie, sovente viene fatta l’ipotesi semplificativa di traversi rigidi (nel caso spaziale essa corrisponde ad ipotizzare i solai rigidi nel proprio piano, come nel codice SAM II). In tal caso l’azione assiale negli stessi traversi, che rappresentano le fasce murarie, risulta non determinabile dall’analisi strutturale del telaio. Facendo riferimento all’attuale con-testo normativo /4, 5/, in questo caso, l’unico modo di rottura a taglio ragionevolmente applicabile per le fasce è quello per fessurazione diagonale in assenza di sforzo normale, anche se ciò non è esplicitamente dichiarato nella norma stessa. L’assunzione di sforzo normale nullo, peraltro vicina alla realtà, è anche in accordo, in questo contesto, con esigenze cautelative. Nelle analisi di spinta con i modelli a telaio presentate nel seguito (SAM II), il fattore b, per le sole fasce di piano, è valutato sia adottando la formulazione (3) delle


1.5V h t b

fh t b

f 0t t

tt

v= = (7)

relazione non esplicitamente contenuta nella norma, ma ragionevolmente applicabile per edifici esistenti e derivata dall’Eq. (2) assumendo nullo lo sforzo normale incognito, a vantaggio di sicurezza. Anche in questa relazione la resistenza a taglio in assenza di compres-sione fv0 è assimilabile a t0. La (7) è stata applicata sia con il fattore b secondo la (3) della norma /5/, sia con i valori calcolati con l’Eq. (4). Anche per le fasce il modello di comportamento meccanico di riferimento è quello elastico perfettamente plastico fino al raggiun-gimento dei limiti di drift. Si osserva, infine, che tutte le resistenze sono valori medi e che i coefficienti di sicurezza sono unitari. Con le ipotesi assunte gli effetti dell’utilizzo dei valori di b tratti dall’Eq. (4) sulle curve di capacità delle tre pareti in esame sono dunque da ricercarsi esclusivamente nei valori del taglio diagonale resistente delle fasce di piano.

4. Risultati delle analisi di spinta

La risposta sismica delle pareti, sia nel caso dei mo-delli agli elementi finiti, sia nel caso delle schematiz-zazioni a telaio equivalente, è stata valutata mediante analisi statiche non lineari in accordo a quanto specifi-cato al par. 7.8.1.5.4 delle NTC 2008 /4/. Per costruire le curve di capacità delle pareti sono state condotte analisi di spinta (pushover) incrementando in modo monotono le forze orizzontali e registrando lo spostamento di un punto di controllo dell’ultimo livello della parete. Sono state considerate le seguenti distribuzioni delle forze orizzontali:

– distribuzione triangolare (ST), ovvero forze sismi-che ripartite in proporzione al prodotto delle masse per le corrispondenti altezze misurate dalla base della struttura;

– distribuzione modale (SM), ovvero forze sismiche ripartite in proporzione al prodotto delle masse per le componenti della prima forma modale;

– distribuzione uniforme (SU), ovvero forze sismiche ripartite secondo la distribuzione delle masse.

Nei modelli agli elementi finiti le forze orizzontali sono state applicate a tutti i nodi della discretizzazione. Nei modelli a telaio, invece, poiché le aste dei telai equivalenti sono prive di peso, le loro masse, assieme a quelle dei carichi portati, sono applicate ai nodi po-sti alle quote dei piani. Per tale motivo, l’inerzia della parte di muratura al piede del fabbricato, compresa tra lo spiccato delle fondazioni e metà altezza del primo interpiano, non viene conteggiata, perché l’algoritmo suppone che queste masse trasmettano la forza sismica direttamente sulle fondazioni, non modellabili.

Nella Fig. 5 sono rappresentate le curve di capacità delle tre pareti per le due distribuzioni delle azioni si-smiche ST e SU, per i tre tipi di analisi: FEM (modelli agli elementi finiti), SAM II-A (modelli a telaio con b come da normativa /5/) e SAM II-B [modelli a telaio con b dell’Eq. (4)]. I risultati ottenuti con la distribu-zione modale delle azioni sismiche SM sono molto si-mili a quelli descritti per la distribuzione ST. In ascissa è rappresentato lo spostamento del punto di controllo dc, corrispondente allo spostamento dell’ultimo livello

isoparametrici a 8 nodi (Solid 65) di dimensioni medie 0.2 × 0.2 × 0.2 m (nella Fig. 3 è rappresentata la di-scretizzazione della parete FT). Per la definizione del comportamento meccanico non lineare della muratura si sono considerati insieme il modello elastico perfetta-mente plastico con la superficie limite di Drucker-Prager (DP, /15/) ed il modello di Willam-Warnke (WW, /16/) per tenere conto della fessurazione e della rottura in com-pressione. I parametri costitutivi sono riassunti nella Tab. 1. Si noti che la resistenza a compressione monoassiale del modello di plasticità è fcDP = 1.522 N/mm2 e che la resistenza a trazione di fessurazione del modello WW è ftWW = 0.15 N/mm2; tali valori sono uguali alle caratte-ristiche meccaniche assunte per la muratura (fcDP = fm e ftWW = ft) e corrispondono ad un materiale elasto-fragile in trazione ed elastoplastico in compressione. Per la modellazione delle architravi in c.a. sono stati adottati gli stessi modelli di comportamento meccanico con valori più elevati, allo scopo di rappresentare un calcestruzzo di classe C25/30.

Per le modellazioni con telai equivalenti è stato fatto ricorso al già citato codice SAM II. Ogni parete è sche-matizzata con un sistema di aste deformabili (maschi e fasce di piano) connesse da link rigidi (Fig. 4, parete FT). I carichi verticali sono applicati nei nodi del telaio alle quote dei solai di piano, le azioni sismiche oriz-zontali agiscono nei centri di massa di ciascun piano, infine, i nodi alla stessa quota hanno lo stesso sposta-mento orizzontale (diaframmi di piano rigidi). Le pro-prietà meccaniche della muratura introdotte nel codice SAM II sono riassunte nella Tab. 2.

Per i maschi murari si sono considerate le tre moda-lità di collasso (pressoflessione, taglio per scorrimento e taglio per fessurazione diagonale) secondo la formula-zione della norma attuale. Ad esempio, per la rottura a taglio per fessurazione diagonale vale la relazione (2) in cui fv0 è assimilabile a t0 ed i valori del coefficiente b sono quelli della curva (2) di Fig. 1a. Il modello di comportamento adottato è quello elastico perfettamente plastico fino a raggiungere i valori limiti della rotazione alla corda, ovvero il drift limite a taglio dv e il drift limite a pressoflessione dp della Tab. 2.

Per le fasce di piano si sono considerate le sole modalità di collasso per pressoflessione e per taglio con fessurazione diagonale. Per la prima modalità di collasso il momento ultimo è definito da:

2 1—0.85 , 0.4MH h

f h tH

H f h tup

h t

pp h t= =e o (6)

In effetti l’equazione precedente è riportata nella norma /4/ con riferimento a fasce in muratura in cui è presente un elemento orizzontale di rinforzo (catena, cordolo), se lo sforzo normale è incognito (come nel caso in studio); in questa equazione Hp rappresenta la forza di compressione massima che sviluppa la mura-tura in direzione orizzontale. L’adozione della (6) può apparire impropria per fasce “non rinforzate”. Nel pre-sente contesto essa è stata utilizzata sulla base delle seguenti considerazioni. Nel caso di fasce tozze o di media snellezza (pareti FT e FM), la modalità di col-lasso più frequente è quella a taglio o mista, inoltre la presenza dell’architrave costituisce comunque un pre-sidio, infine, la resistenza fh, posta uguale a fm, è stata assunta notevolmente più bassa di quella suggerita in /5/ per questa muratura. Per la rottura a taglio si è assunto:


53%. Il fattore b non comporta differenze importanti su questo parametro della risposta.

Complessivamente, le analisi delle pareti FT e FM mostrano una buona affidabilità dei modelli a telaio, con maggiore rispondenza ai modelli FEM se il fattore b è quello dell’Eq. (4); per la parete FS le risposte sono quasi coincidenti, probabilmente perché i modelli a te-laio equivalente meglio si adattano a questa tipologia geometrica, data la snellezza delle fasce.

5. Analisi del danneggiamento delle pareti

Le Figg. 6, 7 e 8 mostrano, rispettivamente per le pa-reti FT, FM e FS, i quadri di danneggiamento all’ultimo passo delle analisi, relativamente alle distribuzioni ST e SU dell’azione sismica (i risultati della distribuzione SM sono simili a quelli della distribuzione ST). Per i modelli FEM è mostrata la distribuzione delle fessure sul prospetto delle pareti, che risultano diffuse nelle zone di maggiore danneggiamento, in accordo con le ipotesi del modello smeared crack. Per i modelli a te-laio le rotture dei maschi e delle fasce sono concentrate nelle sezioni di estremità dei pannelli, o al centro degli stessi, e sono rappresentate con i simboli: (•) per la rottura a pressoflessione, ( × ) per la rottura a taglio con fessurazione diagonale e (♦) per la rottura a taglio per scorrimento (solo per i maschi murari).

Si osserva che esiste una certa similitudine fra i qua-dri di danneggiamento forniti dai due codici di calcolo per la parete FS, mentre il numero e la diffusione delle lesioni delle pareti FT ed FM (dotate di fasce con snel-lezze non troppo diverse) evidenziano differenze, anche sensibili, fra i due tipi di modellazione. Questo contrasto di risultati può essere realisticamente interpretato. Nei modelli FEM le lesioni si propagano diffondendosi at-torno alle diagonali delle pareti, con estensione più evi-dente per la parete FM e meno evidente per la parete FT. Il risultato è corretto: quanto più le fasce sono tozze, tanto più piccoli sono i vani delle aperture, avvicinando il comportamento della parete a quello di una mensola priva di fori sottoposta a carico laterale. Le tensioni principali di trazione hanno maggiore intensità in dire-zione ortogonale alla diagonale inclinata verso il lato compresso: superato il comportamento lineare, nascono lesioni per trazione nell’intorno di tale direzione. Ciò non si verifica per la parete FS, ove i danneggiamenti interessano prima le esili fasce murarie e, in seguito, si propagano anche ai maschi.

Nei modelli a telaio equivalente accade qualcosa di diverso. L’ipotesi di diaframmi di piano rigidi favorisce la risposta d’insieme degli elementi resistenti, garantendo una più estesa ripartizione delle sollecitazioni sismiche fra essi. Ne deriva che le lesioni si diffondono lungo i piani, anche per geometrie di parete che, come la FT e la FM, sono tendenzialmente orientate a lesionarsi in diagonale. Poiché le modellazioni FEM sono prive di dia-frammi rigidi, è probabile che questo sia il motivo delle differenze fra i quadri di danno, e non è da escludere che ad essa siano riconducibili una certa parte degli scarti per il taglio massimo alla base. A conferma di ciò è il fatto che le curve di capacità della parete FS sono quelle che presentano il maggior accordo. I modelli FEM di tutte le pareti mostrano, anche se in misura diversa ed indipendente dalla distribuzione delle forze sismiche, sensibili danneggiamenti di alcune porzioni di muratura in cui convergono maschi e fasce. Si tratta di un risultato

per i modelli a telaio ed alla media degli spostamenti di 8 nodi di sommità nei modelli agli elementi finiti; in ordinata è rappresentato il taglio alla base Vb. Poiché le analisi FEM sono state condotte in controllo di forza, non è rappresentabile la parte discendente della curva di capacità e gli spostamenti massimi sono molto conte-nuti. I confronti in termini di spostamento sono quindi si-gnificativi soltanto tra le due versioni delle modellazioni a telaio. Le grandezze più significative della risposta globale sono la rigidezza iniziale Ke, il taglio massimo alla base Vbu e lo spostamento massimo del punto di controllo dcu. Tali grandezze sono riassunte nella Tab. 3, rapportate ai valori ottenuti con le analisi FEM.

In termini di rigidezza iniziale è evidente che c’è un sostanziale accordo fra la risposta dei modelli FEM e quella dei modelli a telaio equivalente; infatti, le diffe-renze percentuali oscillano tra −13% e +10%. La parte più interessate del confronto è l’analisi dei valori del massimo taglio alla base Vbu, poiché il coefficiente b influisce direttamente sull’entità dei tagli resistenti delle fasce nel meccanismo di rottura per fessurazione diago-nale. Se i valori di b sono stimati per difetto si ha una sovrastima del taglio ultimo dei pannelli, che comporta, a livello globale, un incremento del taglio Vbu. In que-sto senso, le curve di capacità ricavate in ambito FEM sono uno strumento di controllo per individuare, tra i due modelli a telaio equivalente, quello caratterizzato dai valori più realistici del coefficiente b.

Un primo esame rivela che i modelli a telaio delle pareti FT ed FM sviluppano tagli Vbu maggiori di quelli ottenuti in ambito FEM e che queste differenze tendono a ridursi per le analisi con la distribuzione uniforme. Per la parete FS, invece, le risposte ricavate dai due tipi di modelli (FEM e a telaio) rivelano valori del ta-glio massimo in buon accordo. In dettaglio, i modelli a telaio delle pareti FT e FM, caratterizzati dai b della norma /5/ forniscono, per le prime due distribuzioni delle azioni sismiche, valori di Vbu superiori a 1.5 volte quelle dei modelli FEM (con uno scarto massimo mag-giore del 70%). Con la distribuzione uniforme, invece, la differenza percentuale dai modelli FEM è, per en-trambe le pareti, di poco superiore al 28%. Se si esa-minano le curve di capacità dei modelli a telaio con i b delle fasce murarie in accordo con l’Eq. (4), queste differenze diminuiscono apprezzabilmente; lo scarto più elevato è di poco superiore al 38% (parete FT con la distribuzione triangolare) e quello minimo è pari a circa il 5% (parete FM con la distribuzione uniforme). Tali risultati mostrano che il fattore b dell’Eq. (4) av-vicina la risposta dei telai equivalenti delle pareti FT ed FM a quella dei modelli FEM. Per la parete FS si hanno esiti in lieve contraddizione con quelli appena commentati; anche se di pochi punti percentuali (lo scarto massimo è, in valore assoluto, di poco supe-riore all’11%), quasi tutte le analisi dei modelli a telaio di questa parete hanno fornito valori di Vbu inferiori a quelli dei corrispondenti modelli FEM. Risulta in contro-tendenza anche il confronto fra i due modelli a telaio: infatti, tutti i modelli a telaio con i b delle fasce ricavati dall’Eq. (4) sottostimano il taglio massimo alla base rispetto ai modelli FEM, più dei modelli a telaio con i b conformi alla /5/.

Il confronto tra gli spostamenti ultimi risente delle diverse modalità di svolgimento delle analisi di spinta. Per le pareti FT ed FM i valori ottenuti con i modelli a telaio sono superiori fino a +292% rispetto ai FEM, per la parete FS lo scarto massimo è di poco superiore al


I risultati dei modelli agli elementi finiti, indipendenti dal coefficiente b, sono stati assunti come utile riferi-mento. I confronti devono, tuttavia, essere interpretati te-nendo conto delle diverse ipotesi di modellazione quali: i) adattamento dei parametri costitutivi della muratura nel passaggio dai modelli FEM a quelli a telaio equiva-lente, ii) mancata modellazione dei diaframmi di piano rigidi per i modelli FEM, iii) esecuzione delle analisi FEM in controllo di forza, iv) definizione, per i modelli a telaio equivalente, del comportamento a taglio delle fasce con un legame costitutivo elastico perfettamente plastico, anziché elasto-fragile (ciò avrebbe ridotto l’estensione dei rami plastici delle curve di capacità, ma, presumibilmente, non avrebbe influenzato i valori massimi del taglio alla base).

I risultati mostrano che tutti i modelli sono in buon accordo nel riprodurre la rigidezza Ke del ramo ela-stico delle curve di capacità. Tuttavia, i valori massimi del taglio alla base Vbu sono sensibilmente diversi. In dettaglio, i modelli a telaio delle pareti con fasce tozze e di snellezza media producono una sovrastima di Vbu rispetto ai modelli FEM, sovrastima accentuata dall’ado-zione dei valori di b della norma e più evidente per la parete a fasce tozze. Per la parete a fasce snelle i tagli massimi alla base sono in buon accordo per tutti i modelli.

Alla luce di quanto ottenuto appare opportuna una modifica della formulazione di b contenuta nella Circo-lare Ministeriale del 2 Febbraio 2009, e una possibile proposta è quella fornita dall’Eq. (5).

Ringraziamenti

Gli autori ringraziano la Regione Toscana per il con-tributo finanziario fornito allo svolgimento ed alla stesura del presente lavoro tramite l’accordo di collaborazione scientifica per “Attività di acquisizione e elaborazione dati derivanti da prove di compressione diagonale su muratura, collaborazione alla realizzazione dell’abaco regionale delle murature, acquisizione ed elaborazione dati derivanti da prove su acciaio da costruzioni ed elementi in calcestruzzo”.

in contrasto con una delle ipotesi base della modella-zione a telaio equivalente, secondo cui queste parti di muratura sono nodi rigidi infinitamente resistenti.

Per i modelli a telaio, nella Tab. 4 sono riportati, al variare della distribuzione dell’azione sismica, i numeri di rotture delle tre pareti, per ciascuno dei meccanismi (M = rottura per pressoflessione, VD = rottura a taglio per fessurazione diagonale, VS = rottura a taglio per scorrimento). Dall’esame dei quadri di danno di tutte le pareti si osserva che nessuno dei maschi murari ha manifestato rotture a taglio per fessurazione diagonale: tali elementi sono entrati in crisi solo per pressofles-sione o per taglio per scorrimento. È anche evidente che assumendo i valori di b dell’Eq. (4) si verifica un incremento delle rotture per fessurazione diagonale ed una sensibile riduzione delle rotture a taglio per scor-rimento. Per le rotture a pressoflessione, comunque le più numerose, il passaggio dall’uno all’altro criterio di valutazione del fattore b, non conduce ad univoche ten-denze: i modelli con i b delle fasce calcolati con l’Eq. (4) mostrano incrementi di lesioni in 4 casi su 9, due per la distribuzione uniforme delle pareti FT ed FM, e due per le distribuzioni triangolare e modale della pa-rete FS. Nei rimanenti casi, o il numero di rotture per pressoflessione rimane invariato, o diminuisce rispetto ai modelli con i b valutati secondo la norma /5/.

6. Osservazioni conclusive

In questo lavoro, analizzando la risposta sismica di tre pareti piane in muratura ordinaria con fasce di piano di diversa snellezza (da tozze a snelle), si sono mostrati gli effetti della variazione del coefficiente di forma b del criterio di rottura a taglio per fessurazione diagonale. In particolare, la formulazione di tale coefficiente pro-posta dalle norme vigenti è stata confronta con quella proposta dagli stessi autori in un precedente lavoro /7/. Le pareti analizzate sono state modellate sia ricorrendo alla tecnica degli elementi finiti, sia adottando schemi a telaio equivalente. In quest’ultimo caso il coefficiente b, per le sole fasce di piano, è stato assunto come suggerito dalla norma attuale e, in alternativa, come proposto nel lavoro /7/.

seismic strength of unreinforced masonry walls: effects …people.dicea.unifi.it/mbetti/home...

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