sean mauch - introduction to methods of applied mathematics
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Introduction to Methods of Applied MathematicsorAdvanced Mathematical Methods for Scientists and EngineersSean MauchApril 8, 2002ContentsAnti-Copyright xxiiiPreface xxiv0.1 Advice to Teachers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv0.2 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv0.3 Warnings and Disclaimers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv0.4 Suggested Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi0.5 About the Title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxviI Algebra 11 Sets and Functions 21.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Single Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Inverses and Multi-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Transforming Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16i2 Vectors 222.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.1 Scalars and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2 The Kronecker Delta and Einstein Summation Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.3 The Dot and Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Sets of Vectors in n Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40II Calculus 463 Dierential Calculus 473.1 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Implicit Dierentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.6 Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6.1 Application: Using Taylors Theorem to Approximate Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6.2 Application: Finite Dierence Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.7 LHospitals Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.10 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 Integral Calculus 1114.1 The Indenite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.2 The Denite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117ii4.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.2.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.3 The Fundamental Theorem of Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.4 Techniques of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4.1 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.5 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375 Vector Calculus 1475.1 Vector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.2 Gradient, Divergence and Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161III Functions of a Complex Variable 1706 Complex Numbers 1716.1 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.2 The Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.3 Polar Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.4 Arithmetic and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.5 Integer Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.6 Rational Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201iii7 Functions of a Complex Variable 2287.1 Curves and Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.2 The Point at Innity and the Stereographic Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317.3 Cartesian and Modulus-Argument Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2337.4 Graphing Functions of a Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.5 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.6 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457.7 Riemann Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547.8 Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2567.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.10 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2847.11 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2898 Analytic Functions 3468.1 Complex Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3468.2 Cauchy-Riemann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3538.3 Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3588.4 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3638.4.1 Categorization of Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3638.4.2 Isolated and Non-Isolated Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3678.5 Application: Potential Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3698.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3748.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3808.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3839 Analytic Continuation 4199.1 Analytic Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4199.2 Analytic Continuation of Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4229.3 Analytic Functions Dened in Terms of Real Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4249.3.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429iv9.3.2 Analytic Functions Dened in Terms of Their Real or Imaginary Parts . . . . . . . . . . . . . . 4329.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4369.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4389.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43910 Contour Integration and the Cauchy-Goursat Theorem 44410.1 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44410.2 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44610.2.1 Maximum Modulus Integral Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44910.3 The Cauchy-Goursat Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45010.4 Contour Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45210.5 Moreras Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45310.6 Indenite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45510.7 Fundamental Theorem of Calculus via Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45610.7.1 Line Integrals and Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45610.7.2 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45610.8 Fundamental Theorem of Calculus via Complex Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45710.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46010.10Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46410.11Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46511 Cauchys Integral Formula 47511.1 Cauchys Integral Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47611.2 The Argument Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48311.3 Rouches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48411.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48711.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49111.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493v12 Series and Convergence 50812.1 Series of Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50812.1.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50812.1.2 Special Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51012.1.3 Convergence Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51212.2 Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51912.2.1 Tests for Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52012.2.2 Uniform Convergence and Continuous Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52212.3 Uniformly Convergent Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52312.4 Integration and Dierentiation of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53012.5 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53312.5.1 Newtons Binomial Formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53612.6 Laurent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53812.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54312.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55812.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56713 The Residue Theorem 61413.1 The Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61413.2 Cauchy Principal Value for Real Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62213.2.1 The Cauchy Principal Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62213.3 Cauchy Principal Value for Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62713.4 Integrals on the Real Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63113.5 Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63513.6 Fourier Cosine and Sine Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63713.7 Contour Integration and Branch Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64013.8 Exploiting Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64313.8.1 Wedge Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64313.8.2 Box Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64613.9 Denite Integrals Involving Sine and Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647vi13.10Innite Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65013.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65513.12Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66913.13Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675IV Ordinary Dierential Equations 76114 First Order Dierential Equations 76214.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76214.2 One Parameter Families of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76414.3 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76614.3.1 Separable Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77114.3.2 Homogeneous Coecient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77314.4 The First Order, Linear Dierential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77714.4.1 Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77714.4.2 Inhomogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77914.4.3 Variation of Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78214.5 Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78214.5.1 Piecewise Continuous Coecients and Inhomogeneities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78314.6 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78814.7 Equations in the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79114.7.1 Ordinary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79114.7.2 Regular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79414.7.3 Irregular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79914.7.4 The Point at Innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80114.8 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80414.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80714.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810vii15 First Order Linear Systems of Dierential Equations 83115.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83115.2 Using Eigenvalues and Eigenvectors to nd Homogeneous Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83215.3 Matrices and Jordan Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83715.4 Using the Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84415.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85015.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85515.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85716 Theory of Linear Ordinary Dierential Equations 88516.1 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88516.2 Nature of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88616.3 Transformation to a First Order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88916.4 The Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89016.4.1 Derivative of a Determinant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89016.4.2 The Wronskian of a Set of Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89116.4.3 The Wronskian of the Solutions to a Dierential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89316.5 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89616.6 The Fundamental Set of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89816.7 Adjoint Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90016.8 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90416.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90516.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90617 Techniques for Linear Dierential Equations 91117.1 Constant Coecient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91117.1.1 Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91217.1.2 Higher Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91617.1.3 Real-Valued Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91717.2 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921viii17.2.1 Real-Valued Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92317.3 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92617.4 Equations Without Explicit Dependence on y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92717.5 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92817.6 *Reduction of Order and the Adjoint Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92917.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93217.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93817.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94118 Techniques for Nonlinear Dierential Equations 96518.1 Bernoulli Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96518.2 Riccati Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96718.3 Exchanging the Dependent and Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97118.4 Autonomous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97318.5 *Equidimensional-in-x Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97618.6 *Equidimensional-in-y Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97818.7 *Scale-Invariant Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98118.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98218.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98518.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98719 Transformations and Canonical Forms 99919.1 The Constant Coecient Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99919.2 Normal Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100219.2.1 Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100219.2.2 Higher Order Dierential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100319.3 Transformations of the Independent Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100519.3.1 Transformation to the form u + a(x) u = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100519.3.2 Transformation to a Constant Coecient Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100619.4 Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008ix19.4.1 Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100819.4.2 Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101019.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101319.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101519.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101620 The Dirac Delta Function 102220.1 Derivative of the Heaviside Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102220.2 The Delta Function as a Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102420.3 Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102620.4 Non-Rectangular Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102720.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102920.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103120.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103321 Inhomogeneous Dierential Equations 104021.1 Particular Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104021.2 Method of Undetermined Coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104221.3 Variation of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104621.3.1 Second Order Dierential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104621.3.2 Higher Order Dierential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104921.4 Piecewise Continuous Coecients and Inhomogeneities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105221.5 Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105521.5.1 Eliminating Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105521.5.2 Separating Inhomogeneous Equations and Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . 105721.5.3 Existence of Solutions of Problems with Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . 105821.6 Green Functions for First Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106021.7 Green Functions for Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106321.7.1 Green Functions for Sturm-Liouville Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107321.7.2 Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076x21.7.3 Problems with Unmixed Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107821.7.4 Problems with Mixed Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108121.8 Green Functions for Higher Order Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108521.9 Fredholm Alternative Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109021.10Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109821.11Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110421.12Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110722 Dierence Equations 114522.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114522.2 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114722.3 Homogeneous First Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114822.4 Inhomogeneous First Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115022.5 Homogeneous Constant Coecient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115322.6 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115622.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115822.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115922.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116023 Series Solutions of Dierential Equations 116323.1 Ordinary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116323.1.1 Taylor Series Expansion for a Second Order Dierential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 116723.2 Regular Singular Points of Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117723.2.1 Indicial Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118023.2.2 The Case: Double Root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118223.2.3 The Case: Roots Dier by an Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118623.3 Irregular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119623.4 The Point at Innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119623.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119923.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204xi23.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120524 Asymptotic Expansions 122824.1 Asymptotic Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122824.2 Leading Order Behavior of Dierential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123224.3 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124124.4 Asymptotic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124824.5 Asymptotic Expansions of Dierential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124924.5.1 The Parabolic Cylinder Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124925 Hilbert Spaces 125525.1 Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125525.2 Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125725.3 Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125825.4 Linear Independence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126025.5 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126025.6 Gramm-Schmidt Orthogonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126125.7 Orthonormal Function Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126325.8 Sets Of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126525.9 Least Squares Fit to a Function and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127225.10Closure Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127525.11Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128025.12Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128125.13Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128225.14Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128326 Self Adjoint Linear Operators 128526.1 Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128526.2 Self-Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128626.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289xii26.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129026.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129127 Self-Adjoint Boundary Value Problems 129227.1 Summary of Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129227.2 Formally Self-Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129327.3 Self-Adjoint Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129627.4 Self-Adjoint Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129627.5 Inhomogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130127.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130427.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130527.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130628 Fourier Series 130828.1 An Eigenvalue Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130828.2 Fourier Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131128.3 Least Squares Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131528.4 Fourier Series for Functions Dened on Arbitrary Ranges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131928.5 Fourier Cosine Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132228.6 Fourier Sine Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132328.7 Complex Fourier Series and Parsevals Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132428.8 Behavior of Fourier Coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132728.9 Gibbs Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133628.10Integrating and Dierentiating Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133628.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134128.12Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134928.13Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135129 Regular Sturm-Liouville Problems 139829.1 Derivation of the Sturm-Liouville Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398xiii29.2 Properties of Regular Sturm-Liouville Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140029.3 Solving Dierential Equations With Eigenfunction Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141129.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141729.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142129.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142330 Integrals and Convergence 144830.1 Uniform Convergence of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144830.2 The Riemann-Lebesgue Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144930.3 Cauchy Principal Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145030.3.1 Integrals on an Innite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145030.3.2 Singular Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145131 The Laplace Transform 145331.1 The Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145331.2 The Inverse Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145531.2.1 f(s) with Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145831.2.2 f(s) with Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146331.2.3 Asymptotic Behavior of f(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146631.3 Properties of the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146831.4 Constant Coecient Dierential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147131.5 Systems of Constant Coecient Dierential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147331.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147631.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148331.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148632 The Fourier Transform 151832.1 Derivation from a Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151832.2 The Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152032.2.1 A Word of Caution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523xiv32.3 Evaluating Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152432.3.1 Integrals that Converge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152432.3.2 Cauchy Principal Value and Integrals that are Not Absolutely Convergent. . . . . . . . . . . . . 152732.3.3 Analytic Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152932.4 Properties of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153132.4.1 Closure Relation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153132.4.2 Fourier Transform of a Derivative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153232.4.3 Fourier Convolution Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153432.4.4 Parsevals Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153732.4.5 Shift Property. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153932.4.6 Fourier Transform of x f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153932.5 Solving Dierential Equations with the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154032.6 The Fourier Cosine and Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154232.6.1 The Fourier Cosine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154232.6.2 The Fourier Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154332.7 Properties of the Fourier Cosine and Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154432.7.1 Transforms of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154432.7.2 Convolution Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154632.7.3 Cosine and Sine Transform in Terms of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154832.8 Solving Dierential Equations with the Fourier Cosine and Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . 154932.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155132.10Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155832.11Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156133 The Gamma Function 158533.1 Eulers Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158533.2 Hankels Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158733.3 Gauss Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158933.4 Weierstrass Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159133.5 Stirlings Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593xv33.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159833.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159933.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160034 Bessel Functions 160234.1 Bessels Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160234.2 Frobeneius Series Solution about z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160334.2.1 Behavior at Innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160634.3 Bessel Functions of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160834.3.1 The Bessel Function Satises Bessels Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160934.3.2 Series Expansion of the Bessel Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161034.3.3 Bessel Functions of Non-Integer Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161334.3.4 Recursion Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161634.3.5 Bessel Functions of Half-Integer Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161934.4 Neumann Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162034.5 Bessel Functions of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162434.6 Hankel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162634.7 The Modied Bessel Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162634.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163034.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163534.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637V Partial Dierential Equations 166035 Transforming Equations 166135.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166235.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166335.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664xvi36 Classication of Partial Dierential Equations 166536.1 Classication of Second Order Quasi-Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166536.1.1 Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166636.1.2 Parabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167136.1.3 Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167236.2 Equilibrium Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167436.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167636.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167736.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167837 Separation of Variables 168437.1 Eigensolutions of Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168437.2 Homogeneous Equations with Homogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168437.3 Time-Independent Sources and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168637.4 Inhomogeneous Equations with Homogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168937.5 Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169037.6 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169337.7 General Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169637.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169837.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171437.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171938 Finite Transforms 180138.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180538.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180638.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180739 The Diusion Equation 181139.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181239.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814xvii39.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181540 Laplaces Equation 182140.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182140.2 Fundamental Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182140.2.1 Two Dimensional Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182240.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182340.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182640.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182741 Waves 183941.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184041.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184641.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184842 Similarity Methods 186842.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187342.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187442.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187543 Method of Characteristics 187843.1 First Order Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187843.2 First Order Quasi-Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187943.3 The Method of Characteristics and the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188143.4 The Wave Equation for an Innite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188243.5 The Wave Equation for a Semi-Innite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188343.6 The Wave Equation for a Finite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188543.7 Envelopes of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188643.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188943.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1891xviii43.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189244 Transform Methods 189944.1 Fourier Transform for Partial Dierential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189944.2 The Fourier Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190144.3 Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190144.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190344.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . .