sbi-lfusp correlaÇÃo entre bosons idÊnticos · yoglro fiama . são paulo . 1987 , i i ... we...
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UNIVERSIDADE DE SO PAULO
INSTITUTO DE FSICA
SBI-lFUSP
III!IIIIII 11111 1111 1111
CORRELAO ENTRE BOSONS IDNTICOS
PRODUZ I DOSEM COL I SE S HADRN I CAS
A ALTAS ENERGIAS
Sandra dos Santos PaduJa
Tese apresentada ao In~ tituto de fsica da uni versidade de sao Paulo para obteno do titulo
de doutor
Orientador; Prof~ Or. Yoglro fiama
So Paulo
1987
-
, I I
FICHA CATALOGRFICA
Preparada pelo Servio de Biblioteca e Informao
do Instituto de Fsica da Universidade de so Paulo
Padula I sandra dos Santos Correlao ent-re oosons idnticos produzidos em co
li5eS r.adrnicas a altas energias. so Paulo, 1987
Tese (J)::mtorado) - Universidade de so Paulo. Instituto de Fsica. Departarrento de Fsica Matemtica.
fi.rea de COncentrao; Fsica de Partculas Elemen..... !:ares.
Orientador: Prof. Or. Yogiro Hana
Dnitermos: I.Produco mltipla de partculas; 2.Formao de plasma. de quarks e gloons em colises :-.adrnicas a altas energias; 3.COrrelao entre parti culas idnticas (Efeito Hanbury Brown - Twiss); 4.~ delo hidrodinmico de Landau.
USP!IF!SBI - 32/87
,,
-
AGRADECIMENTOS
Gostaria de expressar minha gratido ao Prof. Yogiro
Hama pela orientao atenciosa e por haver transmitido muito de
sua experincia profissional.
Agradeo tambm ao Prof. Carlos O. Escobar, com quem
este trabalho se iniciou, pelo estmulo e interesse permanentes~
Sou tambem muito grata a algumas pessoas, especial
mente queridas, por inmeras razes que elas to bem conhecem.
Gostaria ainda de agradecer FAPESP e CAPES pelo
apoio financeiro a mim concedido.
-
RESUMO
Estudamos o fenmeno de correlaco entre dois bosons
idnticos (efeito Hanbury Brown-Twiss) no caso de fontes em rpi
da expanso. Partimos da hiptese que, em colises hadrnicas a
altas energias, forma-se um plasma de quarks e gluons, o qual se
expande de acordo com as equaes do r-tcrlelo Hidrodinmioo de Landau.
Ao atingir a temperatura crtica, o fluido sofre uma transico
de fase de plasma para hadrons usuais, os quais so ento emiti
dos. Estudamos a dependncia da funo de correlao de duas paE.
tlculas em algumas grandezas, como por exemplo, no momento trans
versal mdio das partculas finais e na massa do estado de plas
ma inicialmente formado. Analisamos tambm a compatibilidade dos
clculos efetuados com alguns dados experimentais disponveis.
Mostramos que a considerao de expanso da fonte emissora intr~
duz efeitos cinemticos importantes no comportaruento da funo
de correlao~ Asslm sendo, os resultados usualmente obtidos com
a hiptese de fontes estticas devem ser completamente modificaI
dos no caso de fontes que se expandem rapidamente, como aquelas
formadas em colises hadrnicas a altas energias.
-
,
ABSTRACT-
The phenomenon of correlation among two identical
bosons (Hanbury Brown-Twiss effect) is stuJied for rapldly expanding
sourCS. We consider the hypothesis of a quark-gluon plasma
formation in high energy hadronic collis1ons, which expanda
according to Landau's Hydrodynamical Model. When tre flUid reaches
the criticaI temperatura lt undergoes a phase transition from
plasma to ordinary hadrons t which are then emitted. We study the
dependence of the two-particle correlation function on some
quantities, such as the average transversa momentum of final
particles and the mass of the initlally formed plasma. Vile also
analyse the compatibility of our resulte with some available
experimental data~ We show that the source expansion causes
important kinematical effects Oh the behaviour of the correlation
function. Being 50, the results usually obtained by means of
static sources, should be completely changed in case of rapidly
expanding ones, such as the sources forrred in high energy hadronic
collislons.
-
INDICE
pgina
I INTRODUAo. . . . . 1
rI - O MODELO HIDRODINl\MICO............. .. . . .. . . .. . . 4
III - EFEITO HANBUR'{ BROWN-TWISS......................... 15
Histrico . ~~ ...................... 15
Ilustrao e discusso do efeito HB-T .. ~......... 17
IV - CORRELAO ENTRE BOSONS ID~NTICOS PRODuZIDOS EM CO
LISES HADRNICAS A ALTAS ENERGIAS................. 25
Hipteses e objetivos....... " . . . . . . . . . . . . . . . 25
o efeito HB-T para fontes em expanso. ... 27
Clculos do efeito HB-T baseados no Modelo Hidro
dinmico ........ '" 32
Comparao com os dados experimentais............ 58
Algumas previses................................ 69
v CONCLUS .......................................... . 72
APNDICE A ~ Expresses estatsticas de n r e: e s. ~ ~ ~. . . 75
APeNDICE B - Dependncia da multiplicidade mdia na
massa (M) do estado inicial de plasma....... 80
APl!:NDICE C - Clculo de e ~........... a8Th
REFERt;NCIAS ... ~ , . . 93
-
1
I, I NTRODUI\O
Estudos no perturbativos da Cromodinmica Quntica
(OCD) indcam a possibilidade de obteno de um novo estado da
matria - o plasma de quarks e gluons - a densidades elou temper~
turas suficientemente elevadas 1 . Em geral, esperado que esta
ltima condio seja mais facilmente verificada em colises mui
to energticas entre ions pesados t cuja realizao experimental
encontra-se atualmente em seus estgios iniciais. No entanto, o
plasma pode j estar sendo produzido, mesmo em colises hadrni
cas a altas energias 2
o plasma da OCD um estado em que quarks e glooO$ I nor~
malmente oonfinaos na matria hadrnica usual, 5:00 liberados ap5s a ocor
rncia de transio de fase de hadrons para plasma. l!: interessante, en
to, procurar sinais de sua existencia. Para isso so, em geral I
sugeridas anlises de efeitos como emisso de ftons e d~bOns,
relao do momento transversal com a distribuio de rapidez, o
aumento da produo de partculas estranhas e o efeito Hanbury
Brown-Twiss (HB-T). Este ltimo particularmente interessante
porque permite o conhecimento das dimenses espao-temporais da
regio emissora de partculas, atravs da anlise de correlao
entre pares idnticos. No caso do plasma, em principio podemos
consider-lo como uma maneira de obter informaes sobre a regio
correspondente temperatura crtica, acima da qual a matria. usual
se desagrega em seus componentes (quarks e gluons). Os resulta~
-
2.
dos de QCO na rede atualmente prevem que a temperatura critica
para a ocorrncia de transio de fase praticamente coinciden
te com a de restaurao quiral (quarks de massa nula), situando3
se em torno de 200 MeV .
o presente trabalho visa o estudo da correlao en
tre bosone idnticos (efeito HB-T) produzidos em colises hadr
nicas a altas energias, considerando que o estado lldcial seja um
plasma de quarks e gluons. Em se tratando de colises hadrni-
CS a altas energias, pensamos ser mais adequado supor que o es
tado formado sofra expanso antes de serem emitidos os hadrons
finais, tendo em vista a grande multiplicidade mdia de partcu
las produzidas e a pequena dimenso da regio de interao. Pa
ra a descrio da expanso da fonte (plasma) formada nessas co1i
soes, adotamos as equaes hidrodinmicas de Landau.
A distribuio dos tpicos abordados feita da ma
neira seguinte. No Captulo II, fazemos uma breve reviso do Mo
dela Hidrodinmico de Landau e de algumas de suas implicaes.
No Capitulo Ir!, discutimos o efeito Hanbury Brown-Twiss, desde
um ponto de vista histrico, at a aplicao do fenmeno ao caso
de fontes extensas porm estticas. No Capitulo IV abordamos o
trabalho por ns desenvolvido. Discutimos as alteraes introdu
zidas no efeito HB-T quando tratamos fontes em expanso, inicial
mente analisadas em termos de um modelo simples, com apenas duas
fontes pontuais. Essas alteraes so ento discutidas em maio
res detalhes e ilustradas a partir de resultados obtidos com o
nosso modelo t o qual pressupe a formao de plasma~ A fonte em
rpida expanso suposta totalmente catica. Analisamos tambm
a compatibilidade da curva mdia de correlao com alguns dados
experimentais disponveis, obtidos a energias do ISR-CERN. A paE
tir dos resultados dessa ltima anlise, discutimos a validade
da hiptese de formao inicial de plasma. Por fim, fazemos al
-
3.
gumas previses sobre o comportamento mdio das curvas de corre
lao, com vistas aos dados experimentais futuros, a serem obti
dos a energas incidentes mais elevadas. A concluso do trabalho
encOntra-se no Captulo v_ Finalmente, os apndices contm alg~
mas discusses e clculos mais detalhados de tpicos mencionados
no Capitulo 11 (Apndices A e B) e no Captulo IV {Apndices A,
B e CI.
-
4
11. O MODS10 HIDRODINMICO
o Modelo Hidrodinmico de L.D. Landau4 parte da pre
missa que o objeto formado em colises hadrnicas a altas ener
gias deva sofrer expanso antes de emergirem as partculas fi~
nais. ~essa viso, o processo global de tais colises pode ser
dividido em trs estgios. No primeiro deles, h a formao de
um fluido em um pequeno volume altamente contrado pelo fator de
Lorentz l na direo do eixo de coliso e no sistema de centro-de
-massa {SeM} das partculas incidentes. No segundo estgio, de
vido ao elevado gradiente de presso interna existente, o fluido
inicial se expande, de acordo com as equaes da hidrodinmica
relativstica; a temperatura decresce progressivamente durante a
expanso at atingir aquela chamada de dissociao, -= m {masTd 11
sa e pion)1 sendo que o instante em que esta temperatura atin
gida diferente para cada elemento de fluido~ A, ento, tem
incio o terceiro e ltimo estgio, o de emisso de partculas f!..
nais l no qual a interao praticamente desaparece. Nessa verso,
"hadrons" podem ser criados e destrudos durante o primeiro e se
gundo estgios mS I s adquirem propriamente sua identidade como
hadrons temperatura de dissociao. ~ importante notar que,na
formulao original do modelo, nenhuma aluso composio inter
na dos hadrons era feita.
Ainda no primeiro estgio feita a hiptese de que
o equilbrio trmico seja atingido localmente, de onde ~ que:
-
.5 .
Ts := E:"" P
de : Tds dp ;: sdT (Il.])
E!l?c: = dE
sendo s a densidade de entropia, c a densidade de energia,
E. a presso e 'I' a temperatura; Co a velocidade do som no
meio.
Durante a expanso hidrodinmica feita a suposio
que o fluido seja ideal, ou seja, viscosidade e condutividade tr
mica so consideradas desprezveis. Alm disso, c;:= 1/3 comof em um gs perfeito.
As equaes da hidrodinmica relativstica so obti
das a partir da conservao de energia-momento:
I~T = O T = (c+p] uIJUV - PST 1j \) (lI. 2)\lU "" onde ul) a quadrivelocidade e a mtrica a usual, ou seja,
9.;0=-91i =1 (i=1,2,3),
Da componente da equao (II.2) na direo de ul.! f ou
seja, de UU(j\.lTj..pJ =. O f usando as relaes (II.l), resulta;
a'J(su\)l := O (II.3)
o que significa que a entropia conservada (movimento ad1abti
co)
Projetando a equao (II.2) na direo ortogonal a
ulJ , no espaco de quatro dimenses, podemos obter:
ul.! BlJ (Tu\,)} - a"T ;: O (lI. 4)
-
.6.
No espao tridimensional, o fluido deve se expandir
tanto na direo transversal das particulas incidentes quanto
na direo destas (longitudinal). No entanto, o movimento ao lon
go desta ltima predomina em grande parte do estgio de expanso,
j tendo sido demonstradoS que a expanso transversal pode ser
considerada uma correo ao movimento longitudinal.
Considerando apenas a expanso unidimensional {langi
tudinall do fluido, as equaes hidrodinmicas (lI. 3) e (lI. 4)
podem ser escritas como:
a ,ilt (SU ) + a" (SUl) = o x
(II.5)
d ,'fit (Tu-) + '}X (Tu i = o
1onde U O '" cosha. '" 1/~ e u = senha: (l a rapidez do e
lemento de fluido considerado.
As equaes (11.5) ?ara o movimento longitudinal do
flukb foram resolvidas exatamente por I.M. Khalatnikov6 , cuja 50
luo pode ser escrita I para um potencial, como!
x(a,y) = -t 13 T, e Y J-y
e 2Y' I'~Y"-a'/3JdY' ,. (n > O) n#3 III.6)
onde To a temperatura do fluido inicial termalizado e y = = fniT/T o); lo a funo de Bessel modificada de primeira elas
se.
As coordenadas temporal (t) e longitudinal (x) rela
cionam-se com a soluo (II.6) por:
e-Y rh ax::l e-Y ~x ax ~ t = To [}y cosh a - senh c:J x=- -senhn-.-coshu IU.7)T, ay a"
-
.1.
A soluo X obedece a duas condies de contorno,
as quais podem ser melhor descritas com o auxlio da Figura 1.
A~ ....-r )(1~AoI2,
x
I. ~OJ
Figura 1
Fluido inicial contrado por Lorentz.
o fluido inicialmente formado e termallzado, visto
no SeM das particulas incidentes como um cilindro achatado~ con
trado pelo fator de Lorentz (y), com espessura IJ::::: 2R o/Y. A
expanso hidrodinmica unidimensional ser, ento, ao longo de um
tubo com raio transversal dado pelo dos hadrons incidentes l cu
jas extremidades esto em contacto com O vcuo. O movimento si
mtrico em relao seco transversal central do cilindro. As
condies de contorno fixadas por Khlatnikov podem ser expres
sas da seguinte maneira:
!l Consideramos que o centro do cilindro esteja em
no plano Xl:::' -.t :::. - uo/2 (por simetria, pode
rede fixa). Nessas condies!
repo
ser
uso
s~to
(a:::. O)
p~
(rI.7)
",1",0 ' - t =---="~-=-'> ( a xl. T, teY (rI.S.a)l a" ",,0
-
a.
li) A soluo na extremidade em contacto com o vcuo deve ser a
justada por uma onda simples!
v- Co t x = 1 -vco
para a qual dev valer tambm
J dE
= - y/c," = - Co (e: + p)
Ento, a segunda condio de contorno obedecida por (Il.6) ;
x ;::; const. = O para u=-y/co (II.a.b)
No diagrama espao-temporal os pontos do fluido com
meSmo tempo-prprio T::t R~X2 so dados por hiprl:oles. Pontos
do fluido a uma mesma temperatura so ilustrados na Figura 2-a,
para trs valores de T (TI >T 2 >-T s )
t
, / "
/
/ " /
/
,/ " / '....::,'Y
~0 (;0
0'0
t::,./,O x -....Q
2
Figura 2-a
Isotermas do movimento unidimensional.
-
9.
Na Figura 2-a, a regio correspondente soluo de
onda simples fica delimitada aproximadamente pela curva traceja
da e pela reta que representa o cone de luz. Fora desta regio,
as isotermas aproximam-se de hiprboles, medida que a tempera
tura diminui.
Na dcada de 70, surgiram crticas ao Modelo Hidrodi
nmico, referentes ao fato de as condies iniciais no serem co
variantes7 , possivelmente conduzindo a violaes do Prinopio da
Incerteza de Heisenberg a energias elevadasS ,9, e ainda apontan
do dvidas quanto hiptese assumida do estabelecimento de equi
lbrio trmico global no instante de formao do fluido hidrodi
- i 9nam co Estes problemas ainda no foram esclarecidos, podendo
talvez vir a s-lo com o desenvolvimento de teorias de transpor
te. Todavia, alguns autores 7 ,9,10 os contornam com a hiptese
de que o fluido hidrodinmco se materialize em um tempo-prprio
T~ , estimado comO sendo T, - --1 .... 1 fm, nada podendo ser afir AQCD
mado sobre o fluido antes desse instante ~ Com essa nova condi-
co inicial covariante, a situao no diagrama espao-temporal
corresponde mostrada na Figura 2-b.
O instante T delimita a regio do espao-t.elt'pO naf
qual o sistema assinttico. ou seja, constitudo de hadrons
livres que so ento emitidos. Nessa verso alternativa, a expan
so ocorre ao longo de um tubo infinito, de tal forma que a des
crio do movimento, no referencial prprio de um e~to de flui
do I igual de qualquer outro referencial obtido aplicando um
"boost" ao primeiro. Por essa razo, chamada de hidrodinmica
de escala. Na realidade~ um tal tubo no deve existir. ~~ entan
to, a hidrodinmica de escala uma boa aproximao para eher
gias suficientemente altas e quando queremos descrever a ~egio
central de rapidez (plat central) I conforme veremos nos clcu_
los subseqentes.
-
10
t
, ,Q
, f::.~\V
niMOo.\~
~' (,0
'-.,>"v
'00
o x
Figura 2-b
Diagrama espao-temporal na hidrodinmica de escala.
o problema das condies iniciais , no entanto, bas
tante controverso ainda hoje~ Por exemplol E.V. Shuryak consid~
ra que as condies iniciais de Landau so boas, ao menos at e
nergias da ordem do ISR/CERN11 .
Voltando soluo de Khalatnikov, podemos obter a
~artir de (II.6) e (II.7). as expresses:
t+x ,e 13 eU-'Y {ro (/Y'-"'13l[1 +3iJ - e'Y fYdY' ';Y' l, (!y" - ",/ 'l l [1 - ;;, + 3Y"" J}
wl3 (II.9)
t-x t l3 e-a-2y {I, (N -,'>/3) [1 - 3~J y
2y- r: "J}- e'lY dy' e ' lo {/ydi - 0:2/3} L2 + 3y' - ~ J0113
2"
-
.11.
As expresses (II~9) podem ser consideravelmente sim
plificadas quando X e Ct forem suficientemente grandes, com
y2a2 t evidente que tal condio no vale para os estgios
iniciais da expanso, onde a temperatura ainda muito alta 8, P0E.
tanto, y pequeno. Na regio onde a aproximao boa, pode
mos escrever, em lugar de (II.9), as expresses;
at + x ~.e I'i e - 2Y I, (/y' - a'/3)
(II.9'l
t-x ~ 1;: I'i e-a.-2Y lo (/y~ - ,,'73 )
De UI. 9 '), podemos obter a soluo aproximada para
as equaes da hidrodinmica:
~ 1 .tn t+x (lI. 1O. a)" 2 t-x
( ) -cG T = T .T T = It 2 xi ; c; '31 (1I.10.b), LX
sendo t e x as. coordenadas temporal e longitudinal de um da
!1-C:lL2 o ~ do elemento de fluido e b = - - Ct e a rapidez do flui-n 2
do. A ex!?resso (11.10. a) indica que a velocidade do elemento de
fluido aproximadamente dada por v " x/t . Para obter (II.10.b}1 l
consideramos tambm que tn' (t+x) tn' (t 2 _X ) sendo, portanto,t-x a' uma boa aproximao na regio central de rapidez e para grandes
valores do tempo-prprio T.
Devemos observar tambm que a soluo aproximada ex
pressa por (II~10) invariante de escala e que os pontos a uma
mesma temperatura situam-se sobre hiprboles t~-x~ ; constante.
Assim sendo, a mesma situao observada em qualquer refaren
eia1: elementos de fluido afastahdo-se da origem com velocidades
-
_12_
proporcionais distncia. Portanto; a soluo aproximada coin
cide com a hidrodinmica de escalai esta representando boa apro
ximao da hidrodinmica de Landau na regio central de rapidez
e para grandes tempos-prprios.
Nos clculos subseqentes (Captulo IV) supomos que
a soluo aproximada (II.10) descreve bem a expanso hirodinmi
ca unidimensional do fluido formado em colises hadrnicas muito
energticas, at que seja atingida a temperatura Td ;;; mi{ (valor
compatvel com o estimado por clculos de QCD na rede, conforme
mencionado na Introduo), ~ interessante acrescentar que exis
tem evidncias experimentais que situam a temperatura de dissxda
o T em torno desse valor (Figura 3).d
l E d 6 (eml GeV')
Jp'
i_. Jr' T-" t "'.\ .. 2r. 1r~P ,;".lO - ,,,. 16(itV/
-
.1 3 .
clumos que a distribuio de massa transversal compatvel com
a de um gs de hadrons praticamente mesma temperatura T - m-;rd
(-140 MeV).
A partir de consideraes estatlsticas sobre as par
tculas que constituem o fluido temperatura de dissociao, p~
demos obter tambm expresses para as densidades de partculas
n{Td ), de energia :: {Te} e de entropia S (Td ) Um resumo a
respeito pode ser encontrado no Apndice A.
Para finalizar, gostaramos de citar alguns bons re
sultados obtidos com as hipteses do Modelo Hidrodinmico, quan
do comparados com os dados experimentais:
multiplicidade carregada de secundrios produzidos em colises
PP. em funo da energia do proton no sistema de laboratrio,
para vrias experincias de aceleradores e de raios Csmioos12 ;
distribuio de pseudo-rapidez dn/do x f-o) para momento
13p, 15.4 GeV fISR/CERN) 12 e rs = 30.8 e 53.4 GeV ;
razo entre O nmero mdio de kaons e o de pions ,kajustando os dados para dois valores de temperatura de disso
ciao (T ' 150 e 160 MeV) 13.d
o Modelo Hidrodinmico pode ser alterado de forma a
incluir o efeito de partcula dominante 14 : supomos que o estado
inicial seja formado de urna partcula dominante e de urna bola-de
-fogo (Apndice B). Com esta hiptese, observamos boa concordn
ela com os resultados experimentais, para o que se segue:
momentos da distribuio de multiplicidade calculados com base
na distribuio de Bose-Einstein para T = m 14 n )
distribuio de pseudo-rapidez da/dn em funo da "missing
mass" (Ml 14,15;
-
14 .
,IM 14,15 , proporcionalidade entre a multiplicidade mdia e correlao entre e a multiplicidade central, levando em
conta a expanso transversal do fluido 16 .
-
15
111. EFEITO HANBURY BROWN-TWJSS--=
HISTRICO
17Em meados dos anos 50 R~ Hanbury Brown e R.Q. Twiss
sugeriram Um novo mtodo, baseado na correlao entre partculas
idnticas t para a determinao de dimenses angulares de fontes
de rdio e de estrelas visveis. O fenmeno, conforme discutido
na poca por E .14. purcel11a, um efeito originado na Mecnica
Quntica. Ou seja, no caso de bosons l a correlao reflete o fa
to dessas partculas apresentarem a tendncia de se aglomerar (e~
tat:.stica de Bose-Einstein) e no caso de fermions I conseqn
cia do Principio de Excluso de Pauli embutido na estatstica de
Fermi-Dirac. Devemos acrescentar que, conforme salientado por
E.A. Bartnik e 1
-
16
no primeiro caso I conseguiram um melhor acordo com os dados exp~
rimentais do que o previsto pela estatstica clssica. O efeito
tornou-se posteriormente conhecido como GGLP.
Na dcada de 70 Grishin, Kopylov e Podgoretskil in
troduziram o fenmeno de correlao entre partculas idnticas no
estudo de reaes nas quais eram formados estados intermedirios
instveiS (ncleos excitados ou ressonncias de partculas eleme~
tares). Sugeriram que um efeito anlogo ao HB-T permitiria a de
terminao de larguras de estados ressonantes 21 de dif~n~ enI
tre vidas mdias de ressonhCias 22 , de tempos de vida e forma de
ncleos altamente excitados 23 . Em seguida, E~V. Shuryak24 , SU~
rindo que a estrutura espao-temporal de fontes emissoras de pa~
tlculas poderia ser estimada por experincias de correlao, d~
senvolveu um formalismo mais geral para o estudo do fe~no. POE
co depois, G.I. Kopylov25 e G. cocconi26 introduziram medidas de
correlao no estudo das dimenses espao-temporais das regies
de produo mltipla em colises hadron-hadron.
Desde o incio da dcada de 80, inmeras experin
cias de correlao vm sendo realizadas com o objetivo de esti
mar as dimenses das regies emissoras de partculas, em diver
sas colises. A ttulo de ilustrao z citaremos alguns exenplos.
correlao entre fermions idnticos foi observada em interaes
27proton_neon , analisando o efeito para protons secundrios. Na
literatura I entretanto, so mais abundantes dados e anlises de
correlao entre pions, como por exemplo, os produzidos em rea- 28 pp 29,30es ~ p, ~ n, ~ , nas interaes ttq, pp e ou em
31colises de 2 H, He, C em Ta ou de C em C e Ta Ainda
envolvendo correlao entre pions idnticos carregados, encontra
mos tambm dados obtidos no espalhamento inelstico profumo ilP 32
e em aniquilao e e Alem disso z sao tambem con ec~do$f. - 33.34 '" .. '" h'
alguns dados de correlao entre kaons, obtidos nas interaes
-
.17 .
Cta, pp e pp 35 em em e+e- 34. A anlise dos dados , em cada C!! so mencionado, dependente do modelo adotado para a regio produ
tora de partculas secundrias.
Os exemplos supra citados ilustram em parte o inte
resse e importncia atribuldos ao assunto. So tambm aguarda
dos com grande expectativa os dados de colises pp a rs = 1.6 TeV, em andamento no FERMlLAB, e as experincias entre ions pesados
a altas energias que comeam a entrar em operao no SPS-CERN (~
nergia por nucleon ..... 225 GeV/A) e no AGS-BNL (~15 GeV/A). Nes
sas experincias, alm do efeito HB-T, outros sinais de formao
de plasma de quarks e gluons sero investigados.
ILUSTRAAo E DISCUSsAO DO EFEITO HB-T
o efeito mais facilmente compreendido quando ccns!
dramos apenas duas fontes emissoras de quanta pontuais, confor
me a Figura 4;
XII A
~#
A ~1 .... -x,iJ - ~ -" ~ ~ .... ~~ ~ ~ ~ " , ~
-',- ,n ~ - ~ , " x" iJ -- ' ..........
--"', }" XII
" - . B B
Figura 4
Representao esquemtica da deteco simultnea de duas partculas.
-
18.
A proposta observar simultaneamente em dois detec
tores separados, !:! e '", dois quanta em! tidos pe las fontes r e II. Vamos supor que essas fontes emitam quanta (pians de mesmo sinal)
independentemente, nos instantes t r e !Il I de tal forma Q'\'e suas
coordenadas espao-temporais sej aro x,tl '= (t' I t') e x/li = (t Ir ,;:n) ; x~A e B r fixos, encontram-se nas posies e ~ e so ajusA
tados para detectar partculas em coincidncia. Se A detecta
um pion com quadrimomento Pl" = (E~/P1) B I outro~ e um com pf "" Ez tPz) , como eles so idnticos, h duas possibilidades p!!. ra sua deteco. A amplitude para o processo ser:
ip (X;; - X"V) ip (p ip (,2:'_x,V)eiP," Ix): - x'"j e ,,, +e lUXA-XllUj e 2V .i'j!lJnpl. oc (III.1)
E a probabilidade de deteco simultnea ser:
W(P, ,p,) = IAmplo I ' oc 2 {1 + COS (IlP"A"~)} (IXI. 2)
onde
? ~ +~p" = (IIE,lIp) _ (E t -E2 t Pt -pz)
(III.3)
~ ~ ~
xlJ :;: (6t t l;r) ::!: (tI_tU)' ri-r"}
Usualmente, definimos a taxa de correlao ou coefi
ciente de coincidncia por:
W(PltP2}C(p"p,) (III.4)" W(Pl)Wlp,)
onde W{p.) a probabilidade de deteco de uma partcula 150~
lada.
-
.19.
Ento, no caso de (X!I~2)1 teremos!
C (Pl , P2) = 1 + cos (l1p]l
AxY) !III.4')
Conforme comentamos anteriormente, o efeito HB-T no
segue unicamente da estatstica quntica apropriada, mas tambm
reflete o fato da fonte emissora ser catica (ao menos parcial
mente). No caso de completa incoerncia das fontes, C(Pl1Pz} ad..quire o valor mximo 2 para 8E:;::: O e Ap .., O I em se tratando de
bosons, e o valor zero, quando fermions esto em correlao. 1s
to est de acordo com o fato de a probabilidade de deteco simul
tnea de duas partculas no mesmo estado quntico crescer, quan
do so bosons e se anular, quando so fermions (Principio de Ex
cluso), A maneira usual de levar em conta a incoerncia intro
duzir a hiptese de que as fases de emisso variem aleatoriamen
te, de evento para evento e de emissor para emissor# No caso de
fontes totalmente ooerentes T ou seja, se emitem quanta com fases
bem definidas I obtemos C (Pl, f PZ) = 1, quaisquer que sejam os va..lores de nE e bp independentemente do tipo de partculas idn
ticas consideradas. uma boa reviso e discusso a respeito pode
ser encontrada na Referncia 36. Podemos, porm t ilustrar o efei
to considerando apenas duas fontes pontuais coerentes~ Nesse ca
so, a amplitude de deteco de uma partcula com quadrirnomento
x 1Up~ t em X~t a qual pode ser emitida da fonte com coordenadas
xll)Jou ser:
ip~ (XA _Xl i ip~ (XAl1-X~)
A (1 ) = f e ]l ~ e+ fba
onde fi urn fator que engloba a amplitude e a fase de emisso;
agora~ como se trata de emisso coerente t as fases so bem defi
nidas.
-
.20.
A amplitude de deteco conjunta de dois quanta, um
com quadrimomento p~, em x~ e outro com p~, em x~, ser:I
ip\.l tx _Xl} ip~ (xA -x" ) ] e 1 AIl 11A(1,2) + fb e P P. [fa [ ip~ ("B -,,~ I ip~ (XB -x" I]
x f I e \.l + f' e )J 11 a b
Ento j no caSO de duas fontes coerentes, a probabil!
dade de deteco conjunta ser:
W(1,21 = IA(l ,21" = IA(1) ,'IA(2)"
Como a probabilidade conjunta W(1,2) coincide com o
produto das probabilidades de deteco isolada W(1}W(2) o~r
atravs de (III.4), que C{Pl,Pti::: 1 no caso de emisso coeren
te.
Para tornar o modelo de duas fontes pontuais que CO~
duz expresso (III.4 1 ) mais adequado a situaes de interesse,
vamos considerar que S emisses, alm de independentes, sejam a
leatrias e que ocorram durante um intervalo t. Nesse caso, o
clculo de C(Pll P2) envolve integrao em t e tU e mdiasI
sobre as fases de emisso ao acaso. Por simplicidade, represen
tremos esse procedimento por uma mdia, corno se segue:
C(Pl'PZ.) = 1 + (rIr. 5) ~
Essa expresso permite que, medindo a taxa de coinci
dncia em funo de 6p ~
(com 6E,: O) conheamos a distncia eI
orientao relativa das fontes.
-
- -
.21.
Quando consideramos fontes emissoras extensas, com di!
tribuio esttica F(x'~)t o coeficiente de correlao ser:
c (pl'P,l = 1 + IG[F("'~lJ I' (III.6)
onde G[F(x' lJ)) a transformada de Fourier da distribuio de
fontes. Se as distribuies espacial e temporal forem indepen
dentes e S9, por exemplo, assunUnos que os emissores tm mesmo
tempo de vida, a taxa de coincidncia ser:
C(p"p,l = 1 + IG,[F,(~IJI' IG,IF,(tlJI' (III.?)
Supondo que as fontes emissoras sej am l!acionadas lO si
multaneamente, com vida mdia T, e que sejam distribudas unif~
memente sobre a superfcie de uma esfera de raio R I obtemos (pa
rametrizao tipo Kopylov-PodgoretskiI-cocconi):
,
2J1 ('1TRl] 1
C(P1/P2} = 1 + - x (lII.8)[ 'ITR 1 .. (qo T ) 2
onde qo '5 El - Ez as componentes ClT e qL (variveis de Fbpylov) da diferena de momentos t respectivamente, na direo de p;; t
-
22
quadrtico mdio do volume espao-temporal no qual os pions so
produzidos.
-qT - ~
-P1
-_ 1 (- -)'k p-2' p,+PZ
-Pz
Figura 5
Componentes da diferena de momentos
+ + +
Ap: paralela a I' ('1Ll e perpen...dicular a esta direo ('1T l.
As expresses {III.S) e (1II.9) permitem a obteno
de estimativas das dimenses espao-temporais das fontes. No ca
50 de (III.S), escolhendo eventos com E = e medindo a corre
... ... 1....-+lao entre bosons idnticos em funo de qT' com p " "2 (p,+p,l
em dada direo, podemos obter R em um plano perpendicular di
rao de I' ...
. Variando esta ltima, possvel determinar a di
menso do volume de emisso. Em principio f T pode tanl:.:m ser d~
terminado escolhendo eventos em que os bosons idntioos tenham a ...
mesma direo e aproximadamente o mesmo momento {portanto, qT st O}.
Assim, C(PltP2) pode ser medida em funo de qe, para vrios
valores da diferena de energias, de onde informao sobre 't P2.
de ser extrada. No caso de (111.9) o procedimento semelhante _ 2. ""'2
mas, como 'I' = 'lo -'I (I',U - p,"'l < O , a regio q~ ~ q2 ci " nematicamente proibida e, nesse caso, a dependncia em qu no P9.
+de ser obtida medindo C(p"p,l para pequenos q.
-
.23.
As expresses (III.S) e {III.9l so obtidas com a hi
ptese de fontes completamente caticas. Usualmente I no entan
to, os ajustes de dados experimentais so feitos com a inbxduo
de um parmetro < 1 no segundo termO daquelas ekpresses, o que
torna o valor mximo de C(Pl I Pl) < 2 . A introduo desse fa
tar geralmente justificada por duas razes. A primeira de
las refere-se li influncia de limitaes experimentais (iden
tificao equivocada de traos Ou associaes erradas destes com
o vrtice principal 32). A segunda explica
-
24.
te# dimenso maior resulta em curva de correlao mais estreita.
Dessa forma, a contribuio correlao mais efetiva para pe
quenos valores de Q2, tornando as curvas de C (Pl' P2:) mais al
tas nessa regio que a extrapolao usualmente feita~ t interes
sante notar que o grupo CLE0 33 procurou oorrigir os efeitos de
ressonncia nos dados e obteve valor de compatvel com a uni
dada, aps a correo.
Tudo isto sugere que a explicao de ).. < 1 como sen
do conseqncia de coerncia parcial da fonte emissora pode ser
precipitada. No prximo captulo, veremos ainda que h a possi
bilidade do valor mximo de C{Pl,P2) ser menor que dois l mesmo
no caso de fontes completamente caticas.
-
.25.
IV. CORRELAO ENTRE BOSONS IDENTICOS PRODUZIDOS """" -~--
EM COLISOES HADRONICAS A ALTAS ENERGIAS- _.- -- '
HIPTESES E OBJETIVOS
No ajuste dos dados experimentais sobre correlao en
tre bosons idnticos; usualmente so empregados modelos de fonte
extensa e esttica, como os que conduzem s expresses (lII.8) e
(!II.91 do capitulo precedente. No caso de produo mltipla em
colises hadrnicas a altas energias, porm, a escolha de fonte
esttica no nos parece adequada {ver tambm Referncias 37, 39,
40 e 4iJ. Isto porque} nesse caso} dada a grande multiplicidade
mdia de partCUlas produzidas e a pequena dimenso da regio de
interao, parece-nos mais correto considerar que haja expanso
da fonte antes que emerjam os hadrons finais. Isto sugere que m2
delas que consideram fontes em expanso no clculo de CPl,P2)
sejam mais realistas.
o presente trabalho tem por objetivo estudar a corre
lao de Bose-Einstein entre pares de bosons produzidos em coli
ses hadrnicas a altas energias, com a hiptese de que seja fo~
mado um plasma de quarks e gluons inicialmente. Considerarnosre~
to, que este sofra expanso (aqui descrita pelas equaces do Mo
delo Hidrodinmico de Landau), durante a qual a temperatura do
plasma vai progressivamente baixando at atingir uma temperatura
crtic, da ordem de massa de pion Te'! m Nesse ponto, tem in!ir
-
.Z6.
cio uma transio de fase de plasma (quarks e gluons) para ha
drons , os quais so ento emitidos e posteriormente dete~s em
correlao. Conforme comentamos no Captulo I, o valor T m c ~
para a temperatura crtica compatvel com os resultados de QCO
na rede.
Antes do plasma atingir a temperatura crtica. ainda
durante sua expanso I pode ocorrer evaporao de partculas. Mas ~
a estatstica de ocorrncia do fenmeno deve ser pequena quando
comparada com a de emisso de partculas temperatura de disso
ciao {Ta = Te tr m ). Como esta contribuio anlise de correnlao deve ser predominante, o efeito de evaporao de hadrons
no considerado em nossos clculos.
o modelo original de Landau assume que as partculas
finais apaream quando a temperatura local do fluido atinja a tem
peratura de dissociao T I: T ;; m a qual define uma superfcied n
de emisso. No nosso caso# lsto equivale a considerar ~ o pIas
ma sofra hadronizao instantnea, uma vez atingida Te No tra
balho descrito mais adlante adotaremos inicialmente esta hipte
se, com a finalidade de facilitar os clculos envolvidos, embora
saibamos que seja pouco realista. Isto porque, devido ao fato
de o fator estatistico ser grande para o plasma q-g, a densida
de de energia Epl(T } ainda muito alta para assumir que os c
pions sejam emitidos de uma tal superfcle. Pensamos ser mais ra
zovel considerar qU, atingida T , o fluido ainda se expanda a c t alcanar o valor de densidade de energia (Eh(T )) caractersc
tico para gs de hadrons. posteriormente, quando formos anal i
sar a compatibilidade de nossas previses com os dados experime~
tais, incorporaremos estas consideraes. Iremos supor, ento,
que a transio de fase tenha durao finita, com o fluido expan
dindo-se inercialmente (presso constante) a entropia constante
(H. Gyulassy e T. Matsui 42 mostraram que pode existir trajetria
-
.27.
isentrpica durante a transio d fase de plasma para hadrons,
na ausncia de efeitos viscosos. O acrscimo desse intervalo tor
na as curvas de correlao mais estreitas. Contudo, a hiptese
de emisso da superfcie temperatura '!' :t m (hadronizao ins c n
tantnea) no invalida a anlise do comportamento qualitativo de
C(Pl.P4} em termos de algumas variveis como, por e~lo, no mo
menta transversal mooio (P ) ou na massa (M) do estado inicial deT
plasma. Com relao a esta ltima, devemos salientar que um
parmetro dependente de evento; pois a massa da bola-de-fogo no
fixa. Embora esta hiptese no seja necessria no clculo da
correlao, torna-se essencial na comparao com os dados exper~
mentais.
Devemos acrescentar, porm, que a considerao de fon
tes em movimento, especialmente quando as velocidades dos pontos
da fonte so variveis, COrno o caso em que h expanso, torna
muito mais complexa a anlise da correlao entre bosons idnti
cos. Em particular, a correspondncia simples entre a largura
das curvas de correlao e as dimenses das regies emissoras de,!
xa de valer, devido interferencia de efeitos cinemticos intro
duzidos pela prpria expanso~ A seguir I vamos discutir alguns
desses efeitos, fazendo uso de um modelo mais simples de duas fon
tas pontuais.
o EFEITO HB-T PARA FONTES EM EXPANSO
Suponhamos que I e II sejam duas fontes pontuais in
dependentes que se afastam urna da outra ao longo do eixo x, te~
do coordenadas espao-temporais dadas, respectivamente, por:
x!1 = (t' ,0/0,0) x,,1J ';: (t",x""OIO) (IV.1 )
-
.28.
Suponhamos tambm que a fonte II seja acelerada, af~
tando-se da primeira com uma quadrivelocidade u lJ = {uo, Ui, 0, O)
crescente e que cada uma delas tenha uma vida mdia t ~ Se qui
sermos medir a distncia (longitudinal) entre as duas fontes, o
mais conveniente colocar os dois detectores A e B a aproximad~
mente 90 da direo (eixo xl que une as fontes. De acordo com
a Figura 6, isto significa que +P J.. Ox Ento; supondo E = O
devemos medir C(Pl,P2) como funo de T
Apl/Ox.
y b,P'P1-PZ
Ax II VI O.:x'(t') x"Ctn) x
z
Figura 6
Representao esquemtica de duas fontes pontuais
com movimento relativo ao longo do eixo x.
Como a fonte II se move em relao fonte I e eruite
durante t t as coordenadas longitudinais desses pontos de emis
sao (x") so variveis, distanciando-se cada vez mais da fonte I.
Por outro lado L se considerarmos que a distribuio espectral se
ja isotrpica n sistema prprio da fonte em movimento, qu.a:Irlo vis
ta no sistema de laboratrio ( esta estar cada vez mais con~ntra
u lda na direo frontal, medida que aumenta. Ento! quanto
maior for a velocidade u, menor ser a probabilidade de que a
-
.29.
partcula seja emitida da fonte 11 a grandes ngulos. Assim sen
do, a possibilidade de haver deteco simultnea com partculas
emitidas de I vai progressivamente diminuindo. Em outras pala
vras, devido acelerao, medida que a fonte II se afasta mais
da fonte 1, ela contribui efetivamente menos para a correlao
(esse efeito tambm discutido nas Referncias 36, 37,39 e 43) #
ou seja, quanto maior for u, menor,ser a contribuio mdia,
como a da expresso (lI I . 5) do Capitulo III. A distncia x;: XU
que os dados de correlao revelaro ser, ento, aquela corres
pondente a uma velocidade tpica Uo, obtida com o espectro da
fonte como funo peso. Como ilustrao, vamos supor que a dis
tribuio espectral invariante seja dada por:
E dn ~ U vpV exp [_ uv:~J = u, Eexp [_ u;E] (IV. 2) dp ~
Ao escrever o lado direito de (IV. 2) testamos assumin
do partculas emitidas a grandes ngulos, ou seja J cujas compo
nentes longitudinais de momento sej aro muito pequenas e tais que
PL = l (P1L + Pai o Ento, as partculas emitidas por II que contribuem
efetivamente, so aquelas emit.idas quando a velocidade da fonte
for menor que a velocidade mdia calculada tendo (IV.2) por pe
50, OU seja:
1
EJ u, {u, ex{ U~EJ} du, 1+ ;r +2 (~r
-
30
sulta em uma diferena de rapidez Aa il 0.94 f a qual ccmpatvel
com a considerada na Referncia 39. Contudo, as e-xpresS
-
31
e, (E/lipyi ~ v "" constante para constante. NO caso partiPT
cular das duas fontes pontuais colineares f cuja disposio espa
o-temporal dada em (IV. 1 ) 1 evidente que /.iy;; O No entan
to, atravs de {XV.4), vemos que tudo se passa como se 6y f 05
se dado por ~y ilE ) At _ v lIt Ou seja, quando a sgun= - [ AO' Y
da fonte emite, o quantum emitido pela primeira j ter per
corrido uma distncia vt I de tal forma que o ponto (t",O,vAt# O)
se comporta como uma fonte emitindo simultaneamente com a segun
da. esse efeito, claro, nada tem a ver com o movimento relati
vo das fontes, sendo apenas uma conseqncia da diferena nos tem
pos de emisso. No entanto, esta ltima tem grande importncia
no caso de fontes em expanso, conforme ser ilustrado mais adian
te.
H ainda um outro efeito observado nos nossos resul
tados e que antecipadamente discutimos aqui em termos mais sim
ples. Ao estudar medidas de correlao em funo de uma das com +
ponentes de Pl consideramos ate agora que as demais fossem nu
las. No entanto, uma tal situao bastante improvvel, se con
siderada em termos da obteno dos dados experimentais. Uma 5i
tuao um pouco mais geral aquela em que a componente de p P~ rale la a
+ p (por exemplo 8Py } diferente de zero. Nessas con
dies, ao analisar a correlao como funo de uma das compone~
tes ortogonais a p, digamos Apx# verificamos que C {P1 1 P2 1 < :2 na origem (P;x "" Q) e que l alm disso 1 o ponto de mximo no esta
ra mais localizado em lipx= O. Nais explicitamente, a situao
considerada corresponde a urna disposio dos detectores na qual
p//Oy e p +
::::: (Apx' P ' O) I com IIpy > O constante. Ento, vol y tando ao modelo de duas fontes pontuais colineares de (IV.1),
8y = /'z = O e fjptJ 6x "'" fiE b,t - b,p h.x. Quando ~p = O ento x" x
AplJl\X')J > Q e portanto C(P1 ,P2} < 2, de acordo com (III.5). Nes
se caso, o mximo de C{P1/Ptl estar deslocado, situando-se em
-
32.
II!?X = IIEt:.t//;x > O . Dessa forma conclumos que o valor da fun
o de correlao; em funo da diferena de momentos em dada d
reco, pode ser menor que dois quando esta varivel se anula;sem
que seja necessrio recorrer hiptese de coerncia parcial da
fonte discutida no Capitulo III~ Mais adiante teremos oportuni
dade de observar esse efeito como decorrncia de nossos clcUk$T
onde consideramos fontes totalmente caticas.
cALCULOS DO EFEITO HB-T BASEADOS NO ~IODELO HIDRODIN1iMICO
24Conforme mencionamos no Cao~tulo III, E.V. Shuryak
desenvolveu um formalismo geral, independente de modelo, para o
tratamento da correlao entre partculas idntlcas~ Nesse COh
texto, a probabilidade de deteco simultnea de dois bosons com
quadrimomentos p~ e p~ dada pela expresso:I
t1 (Pu Pz) -
-
.33
.ilx * x6 l (X,AX) "
-
34 .
sa M I dado por {adotamos unidades tais que ti "" c ::::: k = 1 ,semo h
a constante de planck, c a velocidade da luz e k a constante
de Boltzmanni:
1 UUp~ IE f (p) = x UV.7.al (2.) , exp[upU jT ]-1
~ c
a, sendo a a rapidez do fluido nesse sistema, sua quadriveloci
dade u~ e o quadrimomento pV da partcula emitida so escri
tos na forma:
utl = lcoshu, senhal 0,0) ; PU ;; {E/PX'py,pz} (IV.7.b1
Com base em {Iv.7.a} podemos escrever a amplitude do
campo emitido pela fonte catica (com fase aleatria 8(x'V j ) si
TUtuada em x t no ponto de observao com coordenada espao-te~
poral x lJ , corno!
J(x~,x'~) = Id'p lf"TPT "i8(x'~) expt ip~ (X~_x,U] IIV. 81
Uma vez conhecida a amplitude, podemos determinar a
relao equivalente a (IV.5.cl. Para isso, devemos calcular a
mdia sobre as fases aleatrias do produto de amplitudes
J {xJJ _ frXiJ 12 ; x .. iJ }+ 6x}1/2 ; x IlJ} J* (Xli I da seguinte forma:
2. ll
= 1 Jde(x'U) "i8IX 'U)+ -2 ' 2n O
2, r
1 fd9IX"U) e-i9 (x"U) J d'p' Jd' p" IfTi>'T x":r;; J O
-
.35.
ll ll:x: _xiii) + ipfl (X\..l _ x _ Xltu)lx If (p") exp ~ i p~ (,,~ + 2 ~ 2 ~
(IV.9.a)
o clculo da mdia sobre as fases conduz a:
(2')'
2.IdG(,,'~) 2.Ide(x"~) i (e (x' ~)e - e (x" v) J = O O
= 1 x (2.)' (x,u -x"~) (IV.9.b) (2.) ,
o lado direito de (IV~9.bJ reflete o fato de o resu1 tlUt.ado ser nulo se Xl ~ -I x e diferente de zero no caso contrI
rio. Isto est de acordo com a hiptese de fontes independentes
e caticas emitirem COm mesma fase apenas quando tm as mesmas
coordenadas espao-temporais.
Com o auxlio de (IV.9.a} e (IV.9.b) podemos determ~
nar o anlogo para fontes continuas da expresso (IV.S.b);
I (lIp,p) = Id'x Id'Ax Id'p' Id'p" J d'x' Id'x" (x,v -x"p) T=Tc
x eXP~(6xiJp~ +XiJh,PiJl] Ifio') 1J.'If~n\
+ .1x ~ x 1J )x exp {- i ~~ (x~ p - P~ (xV _ l\~U - x" P)]} . (IV.10)2
Em (IV.10), a presena da funo delta torna imedia
ta a integrao em d~XIl. Rearranjando convenientemente as ex
ponenciais e integrando-as em d~x e d~Ax, obtemos o produto
de funes delta ~~ - (pu + A~~J ] lo! ~~ _ (p~ _8~g)] , cuja pr~
-
.36.
sena torna simples as integrais em d 3 p' e d 3 plr . Estas f embo
ra envolvam apenas as componentes espaciais dos momentos t fixam
tambm a componente temporal de p' e P~ t uma vez que a massa ~
dos bosons idnticos analisados fixa. Aps os clculos, obte
mos:
i(~p,pl ; (2
-
.37.
e aP o mdulo da componente da diferena de momentos transT
versal direo de incidncia (eixo x) I ou seja r 8~::::: Ip~ + P~.
t 2Usando a definio de tempo-prprio = t'2_ X!2 e a rapidez do fluido dada pela expresso (II.10.a) t podemos fazer
uma mudana nas variveis de integrao t I e x f ;
t' := T cosho. , Xl := T senha (IV.12)
dt' dx' ;;: T dT da
Substituindo (IV.7.a), (IV.ll) e (IV.12) em (IV.l0'),
obtemos:
- , R o f+OOJI (Ap, pl = 12.) 8PT J I (6PT R,) T dT da
T=-T _00
c
t~ (pw + n~~) / (E + A:)] G" (p - A~vJ / [I! -A:)]v x ---r=:====:::::::===-r
exp~: (p~ +~)J -1 )XP~: (pv__A~vJJ -1
x exp ~ l' (E cosh Q; - .6PL senh a.)] (IV.13)
Se considerarmos em (IV.13) que Os argumentos das e~
ponenciais sob raiz quadrada sejam tais que O < e -x
-
.38.
te, de forma que apenas a contribuio dos primeiros termos do
lado direito de (IV.14) seja significativa, obtemos expresso p~
ra o integrando (IV.13i ainda bastante complexa. Com a finalida
de de obter uma expresso analtica para I(p,p) f mesmo que a
proximada# consideramos a contribuio apenas do termo dominan
te~ Isto equivale a supor que:
(IV.15)exp~ (p".~")J -1 " exp~: (p"A~")J
Ento, usando (IV. 7.b) t podemos escrever I(P/P' co
mo :
+~
I(8p,p) a (2~) 9 ~ J'l {AP Rol f T dT J daAPT T TTc
_00
~E + Ai)rosha - (PL+ A~L)serilij [(E -Anoosha - ~L _A~L)serilij x __________~======~---------
I(E +~J (E _Ai)
1 x exp {i T ~E eosh ~ - APL senh ,,] - Gcosha - PL senha]}Te (IV.16)
Em (IV.16) aparecem explicitamente os momentos das ~
ticulas fixados pelas funes delta obtidas na integrao em d 4 x
e d 4 x (ver iscusso aps a expresso {!V~10})1 ou seja:
p~ = p.1l = p" + ill": ; p~ = p" lJ = p" _ ill": (IV.17.a)2 2
-
39.
De onde obtemos:
1 1 ..... 1.........
E :;: '2 (E1 ... E,) = 2" (P IL + P2d P-r ="2 (p, +P')TPL
(IV.17.bl
+ + ...bE = El -E2 IIPL - IIPT = (p, - p, IT = P1L P2L
onde o Indica L refere-se a componentes longitudinais e T aI
componentes transversais.
A integral em a que aparece na expresso (IV.16) pc
de ser calculada de maneira aproximada pelo Mtodo de Ponto de Se
la~ Cons.iderando dominante a contr:ibuio do termo exponencial
em (!V.16), obtemos o seguinte resultado, com preciso logartm~
ca:
(~p, pl (2.) '"" t' J tJ I (APT R, I dTPT T=Tc
EE +~) oosha, - ~L+~)senha~[(E-An=ha, - (I?L-i1~L)senha,] x
I(E + :)(E - i)
exp {- /(~ - iTEJ' - (~- 1t6[>L)' } x (IV.18.a)
'P '}'"{ (TE - itnE) - (T~ - 1;t;P1) " c
onde ~o especificado pelas relaes:
http:IV.17.bl
-
.40.
[rB
- iTA~e oosh Ct. o =
/[T~ - iT8EJ - [;~ - iTAPJ' (Iv.la.h)
b..1! - i T iip JTe L senh ao =
/ [rE - i T8~' - -[:~ - ir APJ ' e
Para avaliar a integral restante, precisamos recor
dar alguns pontos. O primeiro deles que, de acordo com a saIu
ao aproximada d~s equaes hidrodinmicas t T e T esto rel
cianadas pela expresso (II.10~b) do Captulo lI, ou seja, T ~ , 7: To (T/I::.)-
-
x
I
41
ITE 112E) cush
-
.42.
1 [,li AE'-lIp' ~
-
.43.
~, 16irlrR,ll' {r: ~, 4>'T t'-4 C(P1 ,P:z i .. 1 + T [liirlrR, J L' -pt 4 LJ - IElIE - PL4>L''f c
l-3ft.4T' C
x {~ (E' - pt' - 1~ (6E' - lP~IJ' + (E:6E - PLlPL' 'fT'C
1 I,A AE'-IlPt ,A 6E'_IIP'~-J} x e>.xp { Te ~ E2_p~ + 4 +
IE6r:-pLlPL' + E'-pt + 4 L_ (E~-Pr.6PL'
-4T C ,X~{_fl[ [~ (E' -pt' -1~ IIlE' -At'{IJ' + T' IElIE - Pr.6PL' c
(E' - pi,l _ T' !AE' _ "P~lJ% } + TZ c C -(E'-l"L" 1 (E:6r:-PLlPL)' , + Te (6E1. _ l;p2) 2
x {l T.... J +'4 T_ +T~~E-PL.6PL) , J'4 L 2 }'h-rIE'~I{1 + T~ (/IE' -llP~1 ] (ES - P IIP ) , (IV.251L L
~
Na expresso (IV. 25) I ic determinado com o auxi
lio de {II.10.bL fixando T:T l':m . Para determin-lo complec 1
tamente f precisamos conhecer a espessura inicial ~ e a temper~
tura To, sendo que esta depende da massa M do plasma formado e
de seu tamanho inicial. Pe acordo com a discusso feita no Apndi
ce B, adotamos a hiptese de que seja formada uma bola-de-fogo
constituda de quarks e gluons (plasma) e uma partcula dominan
to# Supomos tambm que o plasma se forme em torno de um dos ha
drons incidentes, com massa M grande e com raio inicial Ro,sen
do este bastante contrado pelo fator de Lorentz ao longo da di
reo longitudinal. O Apndice B contm uma discusso mais deta
http:II.10.bL
-
.44 .
lhada a respeito e ;c pode ser estimado com o auxlio da rela
o 18.15).
Pela expresso (IV.2S) I podemos observar que a fun...
o de correlao CfPl,P2} bastante complexa. A anlise de
seu comportamento torna-se f porm, mais simples se esc.olherrtos re
gies cinemticas convenientes. Esse procedimento permite ilus
trar os efeitos comentados anteriormente, relacionados com fon
tas extensas em expansao.
Vamos iniciar a anlise pela configurao mais sim
ples. Imaginamos uma disposio dos detectores tal que a posl
o mdia dos dois forme um ngulo de 90 com o eixo x I o qual
define a direo longitudinal de expanso (eixo de simetria). Es
sa situao corresponde ao caso de dois quanta (por enquanto CO~
sideramos pions apenas) emitidos simetricamente em relao a um
eixo transversal, para a qual a semi-soma dos momentos das par
ticulas ao longo da direo longitudinal nula (P :::; O). DeL
vido simetria axial do problema podemos, sem perda de general!
dade I adotar tal direo transversal coincidente com O eixo Y I
conforme a Figura 7. Nesse caso, tambm Pz:::; O s, portanto,
p=pT=py' ~ ~ -
Nessas condies, !\py = (P, -p,).j = O e, como P O,L =
ento !\E = PL IIpL + !'.r AI'y = O Consideramos ainda que o plano que contm os detectores e o eixo y forme um ngulo 'f com a di
reo longitudinal (x//x).
Conforme comentamos no incio deste captulo, a mas
sa M do estado inicial de plasma um parmetro dependente do
aventar podendo haver flutuaes J ou seja, seu valor no fica fi
xado para uma dada energia incidente IS ~ t interessante, por
tanto, analisar a dependncia de C (P11 P2) em M.
-
45.
F----r:~-I/ detectores
) I"'-.A'J !,,,
\
W\\
\
, XliX,
X direlo longitudinal
Z/lZ ,,
Z
Figura 7
Esboo da disposio considerada para os detectores~ O pla
no que os contm, passando pelo eixo y, ortogonal ao
plano x y (e I portanto., ao plano xy) I formando um
ngulo ;p (O 'S: W S Zn) com o eixo x (e, portanto, com til direo longitudinal )().
Na Figura 8 1 exibimos curvas de C(P1/P2' em funo
de lip = Il.!.p~ + ~pf (l.!.Py:e O na configurao analisada), para doisL Z vvalores de ~, nos casos em que .p = O (bp z = O) e >jI = '2 (IIPL =0),
Neste ltimo, C(Pl'PZ) funo da varivel PT = /fiP~ + t:.P~ :: 6pz
refletindo, ento, a dimenso transversal da fonte. Como estamos
supondo que esta no se altere (desprezamos a expanso transver
sal), a curva em funo de 6pz deve ser insensvel a variaes
de M. Isto efetivamente acontece, conforme podemos observar com
-
.46
2.0 ~ M:40GeV
p.. '" O.4GeV1.8 I- \ \
Apy"O I \ "" "\
..c::r 2.0 M=540GeV .........
p..=O.4GeV
1.8 lIpy"O
11\ 1.6 I 1 \ "'" " Ap =0,L
I I \
1.4 ~ \ \ mdio 1.2
1.6
1.4 l \\ mdio 1.2
-cr 1.0
1.0 I,\.J I .3::t: I I I O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
IIp
Figura 8
Compertaffiento das curvas de correlao C(Pl,P2) em
funo de ilp::; Il!.pt +fip! j (Py!!:r O) para dois vi!
lores de M t com !JI::; O (6pz::; O) e W te n/2 (APL '= O), sendo P ::;
::; 0.4 GeV. AsT T
curvas assinaladas a:m mdla C'orrespon
pondem a
-
.47.
parando as curvas com M = 4 O GeV eM;;: 54 O GeV para ..P = O ( L
nas quais fixamos o momento transversal PT = 0.4 GeV. porm, a
situao diferente quando analisamos C(PllP2) em funo de
bp = p (bp ;;: O) T pois podemos observar pelos grficos uma depenL Z -
dncia acentuada na massa. Podemos entender esse comportamento
da seguinte forma: de acordo com as equaes (11.10) do Captulo
11, a superfcie T.T (correspondente a 1" ... te) t de onde os c pians so emitidos, uma hiprbole no diagrama espao-tem
peral, para um dado valor da massa 101 ~ De acordo com a F.i.gura 9,
podemos observar que essa hiprbole se desloca para cima, se M
cresce {TC
(M 2 J > TC(M1)1. A figura tambm ilustra que as curvas
com velocidade do fluido constante so retas partindo da origem
de coordenadas, no referencial de repouso do plasma inicial.
Por outro lado, devemos lembrar que as curvas de
C{Pl,pzl em funo de 6PL (Pz::=:O) so obtidas supondo qu~ os
detectores estejam dispostos no plano xy, a grandes ngulos do
eixo longitudinal {Figura 7 com $;; O) Nesse caso, conforme a
discusso anterior, relacionada com a expresso (IV.3), os pions
que efetivamente contribuem so aqueles emitidos quando a veloci
dade da fonte for menor que o valor de corte ' Digamos, p!
ra facilitar a ilustrao, que a reta v = constante na Figu
ra 9 corresponda velocidade de corte~ Nessas condies1as pa!
tIculas que do contribuio efetiva so as emitidas por fontes
na regio simtrica compreendida entre as retas Iv I = constan_ te. Observamos ento, pela mesma figura, que essa regio longi
tudinal aumenta com M crescente, o que se traduz no fato de a
funo de correlao, em funo de APL , tornar-se mais estrei
ta com o aumento da massa, conforme mostra a Figura 8.
A curva intermediria t ainda na Figura a, correspon
de mdia de C (P1/P2) obtida fazendo rotaes dos detectores
em torno da direo mdia dos momentos das partIculas (no easo,
-
48.
em torno do eixo y}:
2" 1
2iJ r C(P"P.) II(Ap,pll' d~ = 1 + b (IV.26)0/ 21T
1 J - 2n C(p, ,p,l I(O,p,) I(O,p,)d~ o
sendo que C(Pl,Pl) introduzida na mdia como funo peso.
t
M2 )M1
~) ~c.. .
,,~"'V '00
~0cP
o
Figura 9
x
Diagrama espao-temporal ilustran:lo os ta'rpos-prprios TC(Mz) > 1'e (Ml)
para Mz > Ml. Pontos de fluido sobre a reta v = constante encontram-se mesma velocidade.
Ainda com a mesma disposio dos detectores, oolooa
dos simetricamente em torno do eixo transversal y (Pz. = pz O :. p.!'.r = Py)'
-
.49.
vamos analisar a dependncia da funo de correlao no momento
transversal mdio P'I' das partculas, fixando o valor da massa
M. A prior!, poderamos imaginar que C{Pl,P2) no dependesse
de P , pois estamos fixando M e considerando emisso apenas daT
superfcie com Te:';: m I portanto, com a dimenso tpica da fonn
te mantida constante. Esperaramos, intuitivamente, dependencia
em caso estivssemos considerando evaporao de partculasPT ainda durante a expanso do fluido 1 pois nesta fase a temperatu
ra est decrescendo. Assim, partculas evaporadas no inicio da
expanso, quando a temperatura alta e a dimenso longitudinal
tpica pequena, poderiam ser emitidas com grandes energias e#
portanto, com grandes (no referencial prprio do elementoPT E/ Tde fluido emissor)t devido ao fator de Planck e- no e~tro
de emisso. E, pela mesma razo# partculas evaporadas quando a
temperatura bem mais baixaI correspondendo a dimenso tipica
maior, estariam associadas a PT menores.
No entanto, contrariando a intuio inicial, observ~
mos que a funo de correlaco, em funo da diferena de momen
tos, depende do valor de mesmo para massa fixa e consideranPT
do aper.as emisso da superficie de dissociao (T = Te;; m ), conn
forme mostram as Figuras 10 e 11. Nos dois casos, a explicao
para a dependncia tem a mesma origem t mas vamos analisar as f1
guras em separado.
A Figura 10 mostra o comportamento de Clp"p,l em
funo da componente longitudinal da diferena de momentos 1:.PL'
com M fixo, PL := O e PT ::::: O (,'o fiE = O; t para alguns valores de
PT . A disposio dos contadores tal que as partculas so de
tectadas a grandes ngulos da direo longitudinal. Nessas Con
dies haver um limite mximo de velocidade para as fontes que
contribuem efetivamente r correspondente a um certo I confoI
t
o
me a expresso \IV. 3). De acordo com esta I mantendo T .. Te f 1
-
5Q.
xo e aumentando P (e, portanto, a energia das particulas emiT tidas) I diminui, correspondendo a velocidades de corte, na
Figura 9 (para um valor fixo de M) I progressivamente mais incli
nadas em relao ao eixo longitudinal. Dessa forma, ainda com
o auxlio da Figura 9, observamos que as dimenses longitudinais
associadas s fontes que do contribuio efetiva diminuem com o
aumento de P I correspondendo a um alargamento das curvas deT
correlao, medida que P creSC. Este o comportamento obT servado na Figura 10.
2.0 ~ M= 40GeV
=0PL 1.8 f--\ \\\ fiE =0-flP.l.=O, ,~ '\-d: 1.6
o: r- \ \ \ \./0.6-(.) 1.4 1.2
'.L=o.2Ge/ 1.0
O 0.4 0.5
Comportamento de C(P1/P2}' em funo da varivel
longitudinal APL , no momento transversal mdio
do par de particulas em correlaco,PT
0.1 0.2 0.3
ilPL
Figura 10
-
.51.
2.0
1.8
N c.. 1.6-
-
.52.
te, referente aos pontos do fluido que do contribuio signifi
cativa funo de correlao. Suponhamos que seja essa veVM
lecidade, associada massa fixa M. Consideremos tambm que no
instante t(Ol::::;"e (M} um elemento central (x::::: Ol de .fluido emi
ta um piem, posteriormente detectado em coincidncia com um ou
tro emitido em t(x), de um elemento de fluido que tenha atingi
do a temperatura crtica Te a posteriori, com velocidade VM
As duas emisses estaro t ento, separadas temporalmente por um
intervalo t.t:;;; Te (M) - t (x)
Por outro lado, conforme discutimos anterionMIDte com
base no modelo simples de duas fontes com acelerao relativa, a
expresso (IV.4) permite concluir que urna diferena nos t~s de
emisso tem o efeito de simular alterao na dimenso transver
sal l1y. Agora t diferindo do caso das duas fontes pontuais 0011
neares t 6y varivel. Ainda assim, devido ao fato de t>.t ser
diferente de zero, tudo se passa como se a fonte tivesse uma pr~
fundidade aparente dada por:
- y' = ..ME.. ~t 6y - V 6t (IV.27lAy - 6py " y
Com base na discusso acima, podemos entender final
mente a dependncia em das curvas da Figura 11. Mantendo fiPT
xas M e Te te, portanto, Te (M), se PT aumentai a velocida
de de corte (v ) diminui. Isto implica, de acordo com o ilustraM
do na Figura 9 para um valor de M, em um decrscimo de llt e,
por (IV. 27) f em uma diminuio na lI profundidade aparente" !J.y'
Logo, se aumenta, a curva de correlao deve tornar-se maisPT larga, precisamente o que observamos na Figura 11.
Ainda com relao "profundidade" da fonte, podemos
analisar sua dependncia na massa M ~ com a mesma configurao
-
53.
dos detectores e mesmos valores das grandezas cnemticas que no
caso da Figura 11, agora com P mantido fixo e a massa variT
vel. Uma vez que a dimenso transversal da fonte oonstante (ign.s:
ramos a expanso transversal), a priori esperaramos que o com
portamento de C(Pl'PZ) em funo de Py fosse inde~ente de
M. No entanto E outra vez os resultados contrariam a intuio
inicial. conforme mostra a Figura 12.
2.0~ PJ.'O.4 GeV
pL=O
IIp
l :: t;p
x =0
1.8 H\ '\'\. t;p =0
I \ \ '\'\.
z
..-.. o.N 1.6 . ~ ... o.
1.4
1.2
1.0 1 I I~
O 0.1 0,2 0.3 0.4 0,5 0.6
Llpy
Figura 12
Curvas de C{PI1PZ) em funo de t:,Py, mostrando dependencia da
profundidade aparente da fonte na massa M (com P fixo.
T
Para entender a dependncia na massa M, devemos lem
brr novamente que a contribuio efetiva correlao tem 0:.:1
gem em partculas emitidas de elementos de fluido com velocidades
-
.54.
inferiores a um valor tpico , ao qual associamos a retan
v = constante ~ da Figura 9* Consideremos ento, como l'Wl caso an
teriar, duas partculas em correlao emitidas de elementos de
fluido nos instantes t(O) '= Te (M) e t{x) este ltimo corresI
pondente ao elemento de fluido com velocidade de corte v. :e avi dente que, tambm neste caso,. as duas emisses ocorrero com um
intervalo l;t;; Te {N) - t (x) de diferena. Como a velocidade
t lbem aproximada por v:: x/t e como "[2 ::: _X2, ento, para um
dado valor de M 1 com a velocidade de corte v = constante fixa,
podemos escrever 6t como:
[11 - v' - 1]bt , Te IM) (IV.2S) 11 VZ-
Ento r mantendo P fixo (e, portanto, a mesma veloT
cidade de corte). se considerarmos um valor de massa M = Mt f .!
ferena 6t nos tempos de emisso estar associada uma dimenso
transversal aparente b..y I como no caso anterior. Por outro la-I
do,. sabemos que, se Mo '" Mz > M1 , ento TC{M,d > 'C(Ml) Nes
sas condies, verificarros com o auxilio de (IV.2Sl 1 que t(M2 ) >bt(M1 )
Em conseqncia,. de acordo com (IV. 27), a profundidade aparente
~y' tambm aumenta. Desse roodo l conclumos que a curva de cor
relao deve se tornar mais estreita com o aumento da massa M 1
efetivamente o que mostrado na Figura 12.
Vamos analisar agora dois outros efeitos comentados
no inicio do capitulo l relacionados com o fato de a curva de cor
relao, em funo de uma das componentes da diferena de rnomen
tos, adquirir valor menor que dois no zero da varivel~ Conside
remos os detectores ainda simtricos em relao ao eixo transver
sal Y (P '" Pz "" O), com M e P fixos, calibrados de forma aL T detectar partculas com nE'; O Resultados para npy fixado em
0.15 GeV encontram-se na Figura 13~
-
.55.
2.0 I- M=40 GeV
PL=O
P.l. =OAGeV
1.8 lo;:: toPy=0.15GeV -..............\'"-c:r 1,6
- ~
1.4
1.2
1 O I I 2--:L. I :L:t: I :A . O 0.1 0.2 0.3 0.4 0,5 0.6
!J.pl
Figura 13
C(Pl,P2} em funo de lI.pl "" 'pi +ilp~ (APy=O.15 GeV, fi
xo) I com P , P e M fixos + As curvas correspondem
L T
a 1[1 "" (llpz "" O) I lJ;;:;:; rr/2 (np :::: O) e l a assinaladaL com mdia I corresr:onde a "C{Pl,P2i;.. nos ngulos :P.
AS curvas de C {Pl ,P2) em funo de .PL (Pz "" O) e
em funo de fJp z (e.P "" O) tm comportamento . semelhan te s corL respondentes da :Figura 8, para O mesmo valor de M (= 40 GeV). Ob
servamos, no entanto, que o valor mximo das curvS situa-se abai
xo do valor 2 da Figura B. Este comportamento facilmente ex
plicado pelo fato de Cpj"pl-) estar sendo analisada em funo
de .6.PL C6pz "" O} ou de l!.Pz (ilP "" O) mas, agora, Uia outra comL
ponente da diferena de momentos (Py ) mantida fixa e diferen_
http:APy=O.15
-
56.
te de zero. Isto faz com qU, no zero de PL ou de Pz' C(Pl,P2)
adquira valor menor que dois, mesmo com hiptese de fontes tota!
mente caticas, como o nosso caso. Conforme discutiremos mais
adiante, devido baixa estatstica, na obteno dos dados expe
rimentais de C (P1IP2) em funo de UM. das ccmponentes da diferEna de
momentos t so inclldos valores de outra componente compreendidos em
intervalo diferente de zero. Com base na presente discusso, 1s
to pode ser suficiente para que o mximo de C{P1/PZ) se situe
abaixo de dois 1 sem ser necessrio reCOrrer a possvel coerncia
parcial da fonte, COlno usualmente sugerido. A curva int~i
ria na Figura 13 corresponde mdia de C{Pl,P2) nos ngulos ~,
conforme a relao (IV.26).
Finalmente, vamos mostrar que nem sempre o mximo a
funo de correlao se situa no valor zero de uma das componen
tes da diferena de momentos l em termos da qual a curva anali
sada. Para isso, consideremos uma disposio dos detectores um
pouco mai.s geral que a dos casos anteriores I de maneira que P F OL seja fixo. Mantendo tambm fixo Apy "O , analisemos o comporta
mento de C(Pl,P2) como funo de ilPL (ilpz = O), para vrios va
lores da massa M. A Figura 14 exibe os resultados.
Como P f. O t observamos que o valor da correlaoy em 6PL = O e menor que dois. Alm disso, o :nomento mdio .... 1++ - + ~ p ~ 2 (Pl+P2) tem agora duas componentes nao nulas: PT = PyJ e
P :::< Px (pz;;; O). Em decorrncia desse fato, notamos que flPL = OL
no corresponde ao mximo de C(Pl,P2) como funo dessa vari
vel l o qual deslocado para valores positivos de nPL 0':015 PL >0) I
ainda assim sendo menor que dois.
Com as anlises anteriores# correspondentes a regies
cinemticas mais restritas, acreditamos ter ilustrado os princi
pais efeitos esperados ao tratar fontes em rpida expanso. Gos
taramos de acrescentar que esses efeitos, em geral, no podem
-
51.
ser observados com base nos dados de correlao at aqui conheci
dos. Isto porque~ devido a dificuldades experimentais, tais da
dos abrangem uma regio cinemtica mais ampla, correspondendo en
to a um comportamento mdio dos resultados particulares aqui e
xibidos. Entretanto, um tal comportamento mdio elimina a maior
parte das caractersticas da funo de correlao analisadas an
teriormente. Sendo assim, torna-se necessria a realizao de
experincias mais restritivas para que possamos conhecer melhor
a estrutura espao-temporal da regio emissora de partculas.
2.0 r- lIpy=0.15GeV PJ.= Oo4GeV
1.81- M=40GeV--... PL=Oo4GeV lIpz = O - f ....--... cf 1.6
540
"
.. cr
1.2
1.4' /
1.0 I ~ I :::-+-- j>-.!- I O 0.1 0.2 0.3 004 0.5 0.6
tlPL
Figura 14
Ilustrao do efeito de deslocamento do mximo de C{Pl,P2)
em funo de AP para valores positivos da va-L r ive:l, quando npy -I {) e P " {') ~
L
-
.58.
COMPARA1iO COM OS DADOS HXPERIHBIITIUS
Devido ao fato de a estatstica ser baixa, os dados
experimentais de correlao disponveis consideraram eventos de + ...cada coliso t de forma a incluir valores dos momentos p, e p,
das partculas em uma ampla regio cinemtica. Por exemplo, ana _ + + 29
lisaremos mais adiante dados de oorrelaao de 11' 1T , produzidos
em colises proton-proton (pp) a li = 53 GeV, os quais foram oh
tidos com a restrio PT(LAB) ~ 0.1 GeV para cada partcula a
nalisada, cobrindo a regio central de rapidez Iyl $ 1.0 e definindo como regio sem correlao qT ~ 0.6 GeV e qL ~O.6 GeV
(as componentes qT e qL da diferena de momentos foram defi
nidas no Captulo II1 e so esboadas na Figura 5, para uma con
figurao particular)~ Nas medidas de C(PltP2) em funo de ~
foram considerados valores de qL na regio qL ~ 0.15 GeV; nas
medidas de C(Pl tpzi em funo de qL' incluram-se dados com
Q1' ~ 0.15 GeV. Analisaremos tambm dados de correlao e.htre kaons
idnticos obtidos na mesma experincia, os quais i.nclue.rn kaons pr2
duzidos em colises a (/5 ~ 126 GeV), pp (15 e 53 e 63 GeV) e
pp {li = S3 Gev)35. A funo de correlao foi medida em funo de qT com qL no intervalo qL ~ 0.30 GeV. As regies cine
mticas consideradas para as demais variveis sao as mesmas que
as de correlao de pions; os dados de K+K+ e de K-K- 1 };X)rm,
foram analisados conjuntamente (na Referncia 29, constatou-se in
dependncia na carga das partculas em correlao). o fato de
serem consideradas amplas regies cinemticas na obteno dos da
dos sugere que, a rigor, os clculos de C(Pl,P1} feitos com o
nosso modelo, devam incluir mdias em PT , em a (ngUlo que de+fine a direo de p em relao direo longitudinal}, em qT
ou em ClL ' alm da mdia em 't' expressa por (Iv. 26) ~ A incluso
de todas essas mdias, no entanto, aumenta substancialmente a com
http:i.nclue.rn
-
59.
plexidade dos clculos envolvidos. Por simplicidade, resolvemos
estimar a correlao adotando valores tpicos (mdios) para es
sas variveis cinemticas.
Na comparao de nossos resultados co~ os dados expe
rimentais, necessrio conhecer o valor da massa M I O qua1t con
forme comentamos anteriormente, varia de evento para evento. Re
solvemos adotar tambrn para a massa um valor mdio aproxmado. Pa
ra isso, conveniente lembrar que, em colises hadrnicas a al
tas energias, observado com freqncia o fenmeno de partcula
dominante. Este efeito foi incorporado ao Modelo de Landau por
Hama 14 , fazendo hiptese de que, imediatamente aps a coliso,
apaream uma bola-de-fogo e uma partcula dominante. Supondo que
esta carregue uma frao ~ da energia inCi.dente (!S) I a massa
M ("missi.ng mass") pode ser estimada por;
M' 1 - x {IV.29.aJs
Nos clculos, cujos resultados analisaremos mais a
diante, fazemos a hiptese de que, em mdia, a frao de energia
carregada pela partcula dominante se situe em torno de x ~ 0.5,
correspondendo ao fato de que ~~ ~ consto para o proton, o que
permite a obteno da seguinte relao para a massa:
M ;'().5 fi (IV.29.bJ
AdotandO os valores mdios discutidos e calculando
C{Pl~P2) para pions, por exemplo, considerando emisso da supeE
freie T=T C
:um
podemos verificar que a curva no compatl
veI com os dados experimentais. O fato pode ser compreendido da
seguinte maneira: devido ao grande fator estatstico no plasma
de quarks e gluons, a densidade de energia E (T) muito granc c
http:IV.29.bJhttp:IV.29.aJ
-
.60.
de para que possamos assumir emisso de hadrons independentes da
superfcie T = Te' Consideramos, ento, que ao atingir a tempe
ratura critica Te' o plasma leve um tempo finito T para so
frer uma transio de fase para um gs de hadrons. M. Gyulassy
e T. Matsui42 demonstraram que, na ausncia de efeitos viscosos an
tes e depois da transio de fase, a entropia conservada em to
do o processo, OU seja, existe trajetria isentrpica atravs da
transio, a qual S processa a temperatura e presso constantes.
Mas, se a presso se mantm constante, o fluido se expande iner
cialmente durante a transio de fase~ Ento, como estamos con
siderando desprezIvel a expanso transversal, se a entropia se
conserva, o produto ST constante {s a densidade de entro
pia}. O instante T do inicio da transio conhecid~bem coc
mo a densidade de entropia Sc(T ) (relao (A.S) do Apndice A).c
Ento, se a densidade de entropia final sh for co
nhecida, poderemos determinar o instante em que todo o pla~Th
ma ter sido convertido em hadrons , dessa formal estimar ~T.
Como os dados de correlao que analisaremos a seguir referem-se
a pions e kaons t vamos supor que o gs de hadrons finais seja uma
mistura desses bosons, considerados praticamente livres. Outras
partculas poderiam ser includas nesse gs mas, como a tempera
tura crtica Te :r m1'f # a presena de hadrons mais pesados da ...
ria contribuio desprezvel (mesmo a presena de kaons contri
bui pouco para o valor de 't h)' A partir dessas consideraes #
podemos obter a densidade de entropia final sh(T ) ( expressoc
(C.31 do Apndice C) e o instante T (expresso (C.4). Os deh
talhes encontram-se no Apndice C.
Uma vez obtido 1h' precisamos recalcular a funo de
correlao, partindo de (IV.18.a), integrando em T entre os li
mites [tc,ThJ t com uma funo peso apropriada. Pensamos que a
escolha natural para essa funo peso seja a densidade de entro
-
.61.
pia do fluido que ainda no se transformou em hadrons. Em prin
c!pio, possvel calcular a integral por mtodos numricos~ No
entanto l devido complexidade do inte9rando, as tentativas por
mtodos usuais de integrao numrica revelaram-se infrutlfer.as~
Assim sendo, recorremos a aproximaes. Consideramos que a con
tribuio dominante formao de partculas e sua subseqente
emisso tenha origem em um intervalo situado em torno de um tem
po-prprio . Este valor estimado calculando a mdia deh
T entre os instantes Te e T I tendo por peso a fraco (St)h
da densidade de entropia total que corresponde ao plasma remanes
cante {expresso (C.9. Dessa forma, repetimos o procedimento
que conduziu s expresses (IV.20) e (IV.25}1 mas agora conside
ramos ocorrncia de hadronizao instantnea em I tempo-prn
prio que deve simular a contribuio mais significativa emisso
de partculas e t conseqentemente, funo de correlao C(PltP:z).
Vamos ento comparar as curvas obtidas com base nas
discus~s anteriores e os dados experimentais~ Os grfiCOS da
~ ~ - + +Figura 1j referem-se a correlacao entre n n com pontos expe
rimentais extrados da Referncia 29. As curvas tracejadas cor
respondem ao ajuste experimental baseado em fonte esttica, onde
CP1KPZ) escrita como em (llI.a) I com qQ substitudo por qL'
Para conseguir tais curvas foi necessrio introduzir o parmetro
(grau de incoerncia} I cujo valor medido ::: 0.43 0.06. As
curvas por ns calculadas basearam-se nos seguintes valores m:
dios:
= 0.38 GeVi ;;; 1.011 rad; 14;:: 37 .. 5 GcV (ver relaT
o {IV.29.b) com IS = S3 GeV). Salientamos que os valores ti
picos (mdios) por ns adotados no foram ajustados de modo a r~
produzir os dados l mas estimados a partir das condies em que os
dados foram obtidos.
Na Figura 15-a a curva continua representa a mdia
do coeficiente de correlao nos ngulos \fJ em funI
http:infrutlfer.as
-
.62.
ao de qT' com :=; 0.075 CeVo Os clculos foram feitos su
pondo que o nmero de sabores de quarks IN ) pudesse ser dOis ouf
trs, porm, as curvas obtidas so praticamente indistinguveis.
Na Figura 15-b, mostramos em funo de qL comI
"" O. 1 GeV. A curva contnua corresponde a N "" 3 e a curf
va interrompida ( a N "'" 2. Aqui tambm notamos fraca dependenf
cia no nmero de sabores de quarks. Podemos observar pelos resu1
tados que. embora tenhamos adotado valores mdios para algumas
grande~as cinemticas e considerado emisso em t a compati h bilidade com os dados surpreendentemente boa! Em particular,
a regio de qT pequenos na Figura 15-a bem ajustada pela cur
va calculada 1 sendo importante lembrar que consideraR'OS fontes to
talmente caticas, para as quais :: 1
2.0 I 2.01 lo l (b)
1.8 ~ 1.8l 't.~ 0:15 GeV
'1 1.61.61-1\ "..
d:' ;.. 1.4 F--.' \, -l 1.4
O; ~
..., 1.2 I- '\ T'. -I 1.2
1.0 I ~ jI 1.0
~T~0.15 GeV
-, ,,,
t'" 0.8 1 I! ! ! [ I 0.8
O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0,6
Ifr(GeV) q.L(GeV)
Figura 15 Os dados foram obtidos pela colal:oraco AFS29 As curvas tracejadas corresponem a ajuste can fonte esttica (III.S). !\s curvas contnua (Nf= 3) e interronpida (Nf "" 2) correspondem aos nosros resultados: (a} em fun o de q.p, cem "" 0.075 GeV; (b}
-
.63.
-
-
.64.
raro
; 0.44 GeV, ~ 0.847 rad l M ~ 39.6 GeV (/5 "" 56 GeV)T
e "" 0.15 GeV 1 valores esses estimados levando em conta as
condies experimentais. Pela Figura 16, notamos que as curvas
para dois e trs sabores de quarks diferem ligeiramente apenas na
regio qT ~ 0.1 GeV. Novamente podemos observar que a compati
bilidade entre as curvas calculadas pelo nosso modelo e os pon
tos experimentais bastante boa i lembramos novamente que esta-
mos considerando ;;'.
Os resultados das Figuras 15 e 16 foram obtidos, den
tro das aproximaes discutidas, supondo a formao lnicial de
um plasma de quarks e gluons. Uma vez que as curvas mostram boa
concordncia com os dados experimentais, podemo-nos indagar se
estamos diante de uma evidncia de formao de plasma, j s ener
gias do ISR-CERN. Precisamos~ ento, testar aquela hi~se. Con
forme discutimos anteriormente~ parece ser mais adequado consid~
rar que a fonte formada em colises hadrnicas a altas energias
se expanda antes de emergirem as partculas finais. Sendo assim,
vamos considerar a expanso, conforme descrita pela soluo apro
xirn::tda de Kfo-.alatnikov. Contudo, alteremos a hiptese referente s ca
ractersticas do fluido inicial, supondo que este seja foomdo de
matria hadrnica desde o princpio. Os hadrons, na verso ori
ginal de Landau, s adquirem propriamente sua identidade temp~
ratura de dissociao ('r = T ;;; m ): o que estamos supondo, ento,d c 1T
que a densidade de energia no tenha sido suficiente para a for
maao de plasma. Por simplicidade, consideremos que o fluido for
mado seja constitul.do de pions e kaons Ildesde o inIcio". De for
ma a preservar a compatibilidade com a multiplicidade mdia exp~
rimental de partculas carregadas, consideramos que a temperatu
ra inicial seja igual quela antes estimada para o plasma (deve
mos observar que a relao {B.12) do Apndice B independente
da constituio do fluido). Nessas condies, o raio inicial do
http:constitul.do
-
65.
fluido deve ser maior pois de acordo com {B.11) f fixado o part
metro a e a(T }' necessrio aumentar Ro para compensar a c diminuio do fator estatstico. Para obter curvas de
coerentes com as hipteses feitas para o plasma, adotaffiQS para
as grandezas cinemticas os valores mdios estimados anteriormen
te e consideramos emisso de hadrons apenas da superf leie T :::t Te'
Os resultados da mdia nos ngulos 'f de C (Pl ,P2) em funo de
qT e qL assi!'n obtidos encontram-se nas Figuras 17 e lataS quais
referem~se, respectivamente, correlao entre pions e entre Mons
idnticos. As curvas tracejadas correspondem hiptese de for
mao de pions e kaons desde o incio. As curvas continuas sao
as mesmas das Figuras 15 e 16. referentes hiptese de formao
inicial de plasma, com N =.3 f
2.0[ 1 2.0r"'--r-'-"'T-r-II (o) I (b)
1.6 1.8,\ 'h.~ 0.15 GeV
-
66.
\
. \ CJ. L .t O. 3 GeV- t1~1.5
-~... o..
B
I r\~ I
t1.0\ I t t'l.L~ ,- I I I O 0.5
~T(GeV)
Figura 18
Nas me$mas condies da Figua 16 # ilustramos agora o comporta
mento de
-
.67.
mas caractersticas. Assim, vamos voltar situao da Figura 7,
com os detectores simetricamente colocados em torno do eixo Y,
tal que P;; P (P ' P =O ; 6 = n/21 q ;; 6p O T L z L Y
M=37.5 GeV2.0~ , ,\ '\
'\ \
PTO.38GeV \ \ e Tt./2\ \
\
\ ~~ t.PyO1.8 \ ,- \ \cf.. \ \ \ \
c 16 \ \ \ " \ ,-o \ ' 1.4 \ \ \
\
\ p\ L=0 'f'
Z
\\ \ 6.1.2 p ~
tO! !>...I" "-_1 ,>L I I o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
qT(=VP~+p~\)
Figura 19
Comparao do comportamento das curvas de C(P1/PZ} em funo de
qT ;.; l>.p = I.6.pi + 6p~ (llpy = O) em regies cineroiticas mais restritas. As curvas continuas ccrrespondem hiptese de
formao inicial de plasma e as curvas tracejadas,
presena de pions e kaons desde o inIcio.
A Figura 19 exibe os resultados correspondentes cor
relao de pares de pions idnticos, considerando duas hipte
ses: plasma de quarks e gluons no incio {curvas contnuas) e pions
e kaons desde o principio (curvas tracejadas). A figura tambm
ilustra o comportamento das curvas de correlao correspondentes
O ' 6. = /I
-
.68.
a situaes extremas pois, para cada uma das hipteses acUa, exi
be curvas de C (Pl ,.pz) em funo de qT;;: 6PL (6pz -= O) e em fun
o de qT" Pz (APL ' OI Na regio cinemtica em que liPL ~ O t
Q comportamento de C(Pl,PZ) em funo de qT;; ,,Pz pode ser fa
cilmente compreendido, pois as curvas refletem a dimenso trans
versal da fonte. Como o raio inicial referente hip5tese de pions
e kaons desde o principio, maior que o correspondente hipt~
se de plasma inicial t a fun~o de correlao associada ao primei
ro caso deve ser mais estreita gue a do segundo. e precisamente
este o comportamento que observamos na Figura 19, para as curvas
referen tas a np." O. Por outro lado I as curva 5 C (p 1 t P2) em fun u
o de qT::: c,P (,Pz:: Oi devem refletir uma interrelao entreL as dimensoes longitudinais das rontes e suas velocidades caracte
(sticas. Para compreender o resultado, necessitamos de uma in~
formao adicional: os tempos-prprios associados emisso de
partculas so diferentes nos dois casos. Para o fluido consti
tudo de hadrons desde o incio, estes so emitidos da supcrf
eie de dissociao (T .. Te"" m ) em un temp::>-prprio T ~ !1 15. 5 GeV- 1 d n Q
(M tf 37.5 GeV; rs = 53 GeV). SeI no entanto~ considerruros que h,! ja fo=mao de plasma inicialmente, a emisso dominante de parti
culas, conforme j discutimos, deve situar-se em torno de ~
;:: 27.1 GeV- 1 (para o mesmo valor de M}. Conclumos ento que,
para a mesma velocidade de corte I o fluido ter sofrido mi.'dor
expanso no segundo caSO I antes da emisso. Assim sendo, para a
mesma velocidade caracterstica , suas dimenses devem ser
maiores, o que implica em urna curva de correlao mais estreita
para a hiptese de plasma. Este efeito anlogo situao ana
lisada na Figura 8, referente a raio inicial fixo e dois valores
distintos da massa M.
Com base na ilustrao da Figura 19 para regies ci
nemticas extremas (IlPL " O ou l!,Pz" O) podemos peroeber qualI
-
.69.
apos o clculo da mdia nos ngulos ~, a curva mdia referente
hiptese de plasma deve ser bastante prxima da que corresponde
a hadrons desde o incio (como na Figura 17-a).
ALGUMAS PREVISES
Conforme pudemos observar no tem anterior t obt1ve
mos resultados compatveis com os dados experimentais, mesmo ten
do recorrido a aproximaes. As incertezas experimentais conti
das nos dados, entretanto J no permitem em geral decidir. de ma
neira inequvoca, se h ou no formao de plasma a energias do
ISR/CERN. Lembramos, contudo, que a Figura 17-a favorece a hip
tese de um plasma inicial de quarks e gluons t em detrimento da
que considera hadrons desde o princpio. Isto sugere que seria
interessante fazer previses quanto ao comportamento das curvas
mdias de C (p l' p~) em funo de qT e qL I considerando que o
plasma seja formado em colises pp e pp, a energias incidentes
mais altas.
A. Figura 20 mostra curvas de correlao entre pions
idnticos em funo de qT' para trs valores de massa associa
dos ao aumento da energia incidente (li), com "" 0.075 GeV,
considerando o mesmo intervalo de rap.idez (y) e o mesmo corte
nos momentos transversais (P ) das partculas usados na obten-T
ao dos dados da Figura 15. Os parmetros de l\'i;lssa empregados so
M " 37.5 GeV (IS ; 53 GeV ;
-
\382 \,, \
70 .
do que nas Figuras 15-18. A dependncia na massa, das curvas
-
.71.
IFigura 15. Os demais parmetros, COffiO
-
72.
v. CONCLUSO-
o trabalho aqui discutido teve por objetivo princi
pal o estudo da correlao entre particulas idnticas (variante
do efeito HB-'r/GGLP) para o caso de fontes caticas em rpida ex
panso.
o efeito HB-T permite que obtenhamos informaes a
respeito das dimenses espao-temporais de fontes emissoras de
partlculas. No caso de fontes extensas estticas, tais informa
es so obtidas diretamente pela anlise do comportamento das CU~
vas do coeficiente de correlao C{Pl,P2} em funo da dlferen
a de momentos das partculas detectadas.