sammenhængen mellem en vandrakets initiale vandmængde og ...psi.nbi.dk/@psi/wiki/vandraket -...
TRANSCRIPT
Sammenhængen mellem en vandrakets initialevandmængde og den derved opnåede
maksimalhøjde
1. årsprojekt af:Mette Grønborg,
Benedict Lehnho� &Andreas Haahr Larsen
Vejleder: Ian G. Bearden
Niels Bohr Instituttet, 8. april 2011
Abstract
In this report, we treat the dynamics of a pressurized water rocket, and analyse the coherence between
the initial amount of water in the rocket and its �nal achieved height. For this purpose, a di�erential
equation for the acceleration of the rocket, while containing water, is derived. The Runge-Kutta of 4th
order method is applied in order to solve the equation numerically. Subsequently, an estimation of the
accelerating e�ect of pure pressurized air inside of the rocket is shown, which is supported by empirical
investigation. Experimental data are recorded using an accelerometer and a barometer attached to the
rocket. The results are compared to our theoretical prediction, and discussed using error propagation.
Finally it is concluded that the gathered data tend in a similar direction as the theory predicted, espe-
cially for water amounts around a third of the rocket's volume. The maximum height for the rocket is in
the same way reached, when �lling a third of the rocket. Eventually it is noticed that more and better
measurings are necessary in order to increase the certainity of the found tendencies.
But for now, let us invite the reader with the following encouraging words: It's only rocket science!
Indhold
1 Formål 1
2 Teori 12.1 Stadie 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1.1 Luftmodstand: Fl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.2 Den sammentrykte lufts tryk: p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.3 Den sammentrykte lufts volumen: V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.4 Massen af �asken med indhold: m(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.5 Samlet udtryk for accelerationen: a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Stadie 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Stadie 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Forsøgsbeskrivelse og -opstilling 7
4 Databehandling 84.1 Sammenligning af teoretisk og praktisk acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Beregning af højden vha. barometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Perspektivering 15
6 Konklusion 15
7 Bibliogra� 17
A Bilag 1: Konstanter brugt i opgaven 18
B Bilag 2: Introduktion til Runge-Kutta 4 19
C Bilag 3: Vejledning til vedlagt raket-animation 21
D Bilag 4: Samling af uforklarlige tekniske fejl 22
E Bilag 5: Usikkerhed på vores teoretiske model 23
1 Formål
I denne opgave vælger vi at behandle og undersøge a�yring af en vandraket. Vi vil komme med en teoretiskforudsigelse af rakettens maksimale højde ved varierende vandvolumen. Denne forudsigelse vil vi efterprøveved forsøg. Slutteligt vil vi føre en diskussion af vores resultater, hvor vore metoder, antagelser og uklarhedervil blive vendt. Diskussionen vil tage udgangspunkt i en sammenligning med vores teoretiske forudsigelse.
2 Teori
Vi ønsker at �nde et udtryk for den maksimale højde ved forskellige vandmængder.Til det formål deler vi �askens bevægelse op i 3 stadier.
1. Vand presses ud af �asken og skaber pga. impulsbevarelse en opadrettet acceleration af �asken.
2. Al vandet er ude af �asken og luft presses ud af �asken og skaber opadrettet acceleration.
3. Flasken er udelukkende påvirket af tyngdekraften og af lufmodstanden. Den decellererer til den nårhastigheden 0 ved sit toppunkt.
For denne opgave undlader vi at betragte �askens bevægelse efter at højdepunktet er nået, dvs. efter tiden t,der opfylder vy(t) = 0
2.1 Stadie 1
I det følgende vil der blive introduceret en masse betegnelser for forskellige variable og konstanter. Ved tvivlkan der med fordel kigges på bilag 1, hvor der fore�ndes en opsamling og forklaring af alle præsenteredesymboler i opgaven.
Vi ønsker at udlede et udtryk for rakettens acceleration. Til dette formål vælger vi at betragte �asken,luften og alt vandet som et samlet system. Newtons II lov for dette samlede system er udelukkende givet vedde ydre kræfter, altså luftmodstanden, Fl, og tyngdekraften, Ft, der virker på systemet (hvor vi sætter opadsom den postive z-retning):
Fres =dP
dt= −Ft − Fl (2.1.1)
Heri ses bort fra en eventuel luftmodstand på det udstødte vand, hvis hastighed ift. omgivelserne, u, er givetved forskellen mellem rakettens hastighed, v og den vandets relative hastighed ift. �asken, vrel: |u| = |v−vrel|.Dette er en relativ lille, (og i denne sammenhæng) negligerbar størrelse, hvormed luftmodstanden også blivernegligerbar (se afsnittet om luftmodstand på side 2).
Et andet udtryk for impulsændringen dPdt fås ved at betragte den over et lille tidsrum, dt, hvor en lille
mængde vand, dm presses ud af dysen:
P (t) = m · vP (t+ dt) = (m− dm)(v + dv)− dm · u
Vi ved fra før, at u = −(v + dv) + vrel. Derved fås nu et udtryk for dPdt :
dP
dt=P (t+ dt)− P (t)
dt=
(m− dm)(v + dv)− dm · u−m · vdt
=m · v +m · dv − dm · v − dm · dv − dm(−(v + dv) + vrel)−m · v
dt
= mdv
dt− vrel
dm
dt(2.1.2)
Af (2.1.1) og (2.1.2) fås udtryk for den førstea�edte af hastigheden givet ved:
mdv
dt− vrel
dm
dt= −Ft − Fl ⇒
dv
dt=vrel
dmdt − Ft − Fl
m(2.1.3)
Tilvæksten af det udstødtes vands masse i løbet af tidsrummet dt kan omskrives på følgende måde:
dm
dt= ρv
dVvdt
= ρvAddz
dt(2.1.4)
1
hvor ρv er vandets densitet, dVv er ændringen i vandets volumen som funktion af tiden, Ad er dysens areal og dzer højden af den vandmængde, der udstødes i tidsrummet dt. dzdt udtrykker netop den udstødte vandmængdeshastighed ift. �asken, og vi har derfor:
dm
dt= ρvAdvrel (2.1.5)
Vi vil nu udlede et udtryk for vrel. Vi kan antage at vandet er usammentrykkeligt og at vandet glidergnidningsfrit gennem �asken. Dermed gælder Bernoullis ligning [1]:
ph + ρv · gh+1
2ρv(vrel,h)2 = konstant (2.1.6)
hvor h er en valgt højde over �askens munding, ph er trykket i tilsvarende højde og vrel,h er hastigheden
Figur 1: Skematisk tegning af raketbunden ved vandudstrømning. På �guren angives den relative hastighedaf vandet i forhold til �asken ved mundingen, vrel, og ved vandover�aden, vrel,h.
af vandets tværsnit ift. �asken i h. Vi betragter systemet for to højder; h0 ved dysen, som vi har valgt somnulpunkt for h, og h1 ved vandover�aden. Leddet ρv · gh fra (2.1.6) er negligerbart ved vandover�aden, daρvgh1 � ph1 . Ved dysen er h0 = 0 og leddet bliver derfor lig nul. Da der gælder, at disse to størrelser erkonstante (se Figur 1), kan vi tillade os at sætte dem lig med hinanden:
ph +1
2ρv(vrel,h1
)2 = ph0+
1
2ρv(vrel)
2 (2.1.7)
ph − ph0
ρv+
(vrel,h1)2 − (vrel)2
2= 0
hvor ph0er trykket ved dysen (dvs. atmosfærisk tryk: pa). Siden vrel,h1
� vrel, kan vi negligere leddet +vrel,h1
2og vi får:
(vrel)2 =
2(ph1 − ph0)
ρv=
2(p− pa)
ρv(2.1.8)
Vi kan nu omskrive (2.1.3) til:
dv
dt=vrel
dmdt − Ft − Fl
m=vrel(ρvAdvrel)− Ft − Fl
m
=(vrel)
2ρvAd − Ft − Flm
=( 2(p−pa)
ρv)ρvAd − Ft − Flm
=2(p− pa)Ad − Ft − Fl
m(2.1.9)
2.1.1 Luftmodstand: Fl
Luftmodstanden er givet ved: Fl = − 12ρaCgAr|v|v, hvor Cg er legemets formfaktor, som vi estimerer til at
være en kegle (formfaktoren fortæller hvor aerodynamisk et legeme er ift. bevægelsesretningen), Ar er legemetstværsnitsareal ift. bevægelsesretningen, ρa er densiteten af omgivelserne (atmosfærisk luft) og v er legemetshastighed. Læg mærke til, at der kun indgår én vektor, nemlig hastighedsvektoren. Fl peger altså modsathastigheden. I vores tilfælde ser vi kun på bevægelsen indtil raketten når sit toppunkt (v ≥ 0), så |v|v kanerstattes med v2, for at gøre udtrykket enklere.
2
2.1.2 Den sammentrykte lufts tryk: p
Ifølge termodynamikkens 1. hovedsætning gælder der for en sammentrykt luft, som den gas vi har i �asken,at:
dU = Q+W (2.1.10)
Hvor dU er tilvæksten i indre energi, Q er den tilførte varme ogW er det arbejde, der bliver udført på gassen1.Da processen forløber over et meget lille tidsrum, kan vi antage, at den forløber adiabatisk (dvs. Q = 0). (Ivirkeligheden drejer det sig nok snarere om en blanding mellem en adiabatisk og isoterm process - se ogsådiskussionsafsnittet under Databehandling på side 13).Arbejdet, W , er således givet ved:
W = p · dV (2.1.11)
Vi ved desuden af der for en idealgas gælder:
dU = nlCv · dT (2.1.12)
hvor dT er temperaturændringen. Af (2.1.10), (2.1.11) og (2.1.12) har vi:
nlCV · dT = −p · dV ⇒ dT =−p · dVnlCV
(2.1.13)
hvor nl er luftens stofmængde og CV er varmecapaciteten ved fastholdt volumen. Nu di�erentieres idealgas-ligningen, pV = nlRT ift. t og vi får:
pdV
dt+ V
dp
dt= nlR
dT
dt(2.1.14)
hvor R er gaskonstanten. Vi betragter di�erentialerne som ændringer i tidsrummet dt og ganger igennem meddt, hvorved vi får:
p · dV + V · dp = nlR · dT ⇒ dT =p · dVnlR
+V · dpnlR
(2.1.15)
Hvis vi har in mente at R = Cp − CV får vi fra resultaterne (2.1.13) og (2.1.15) en di�erentialligning fortrykket, p [2]:
−p · dVnlCV
=p · dV + V · dp
nlR⇒
−p · dVCV
=p · dVR
+V · dpR
⇒
0 =p · dVR
+p · dVCV
+V · dpR
⇒
0 = p · dV + p · dV CVR
+ V · dpCVR
= p · dV (1 +CV
Cp − CV) + V · dp CV
Cp − CV
= p · dV (Cp − CVCp − CV
+CV
Cp − CV) + V · dp CV
Cp − CV
= p · dV Cp − CV + CVCp − CV
+ V · dp CVCp − CV
= p · dV CpCp − CV
+ V · dp CVCp − CV
⇒
0 = p · dV Cp + V · dpCV ⇒
0 =CpCV
dV
V+dp
p= γ
dV
V+dp
p(2.1.16)
1når arbejdet er negativt udfører gassen et arbejde på omgivelserne
3
hvor γ =Cp
CV. Di�erentialligningen er separabel og kan løses ved integration med de tilhørende startbetingelser
V (0) = V0 og p(0) = p0. Vi får løsningen:
γ ·∫
1
VdV = −
∫1
pdp
γ · ln(V
V0) = ln(
p0p
)
⇒ p = p0(V0V
)γ (2.1.17)
2.1.3 Den sammentrykte lufts volumen: V
Ved at substituere med (2.1.8) ind i (2.1.5) og udnytte, at dmdt = ρv
dVdt , får vi en di�erentialligning for
volumenet:
dm
dt= ρv
dV
dt= ρvAdvrel = ρvAd
√2(p− pa)
ρv⇒ dV
dt= Ad
√2(p− pa)
ρv(2.1.18)
Denne skal bruges for at løse di�erentialligningen for accellerationen i første stadie.
2.1.4 Massen af �asken med indhold: m(t)
For at beregne den samlede masse af �asken og indholdet, betragter vi den sammentrykte luft som en idealgas,derfor er dens masse givet ved:
p0V0 = nlRT0 =ml
MlRT0 ⇒ ml =
Mlp0V0RT0
(2.1.19)
da har �asken incl. den del af vandet og det sammentrykte luft, der be�nder sig indenfor �askens volumenfølgende masse:
m(t) = ms +ml +mv = ms +Mlp0V0RT0
+ ρvVv (2.1.20)
= ms +Mlp0V0RT0
+ ρv(Vtot − V ) (2.1.21)
her er ms �askens masse, ml den sammentrykte lufts masse, Ml luftens molarmasse og mv massen af vandet,som be�nder sig indenfor �asken.
2.1.5 Samlet udtryk for accelerationen: a
Vi har nu udtrykt de ydre kræfter, som påvirker �asken og det udstødte vand. De er givet ved:
Ft = mg Fl =1
2ρaCgArv
2 (2.1.22)
hvor ρa er densiteten af atmosfærisk luft, kan vi udlede et samlet udtryk for accelerationen i første stadie.Vi kan nu samle alle udtrykkene for den a�edte af v (2.1.9) vha. udtrykket for trykket p(t) (2.1.17), for dentidsafhængige masse m(t) (som tyngdekraften, Ft afhænger af)(2.1.21) og ovenstående udtryk for de to ydrekræfter (2.1.22) til følgende di�erentialligning for hastigheden:
a =dv
dt=
2(p− pa)Ad − Ft − Flm
=2(p0(V0
V )γ − pa)Ad − 12ρaCgArv
2 −m · gm
=2(p0(V0
V )γ − pa)Ad − 12ρaCgArv
2
ms + Mlp0V0
RT0+ ρv(Vtot − V )
− g (2.1.23)
dette drejer sig om en di�erentialligning, vi ikke kan løse analytisk. I stedet har vi anvendt Runge-Kutta 4metoden (RK4) til numerisk løsning af di�erentialligninger[3].2 På �gur 2 kan løsningsgrafen for di�erential-ligningen betragtes.
2Se bilag 2 for en kort introduktion til nummerisk løsning af en di�erentialligning ved Runge-Kutta, samt det MatLab-skript,
RK4.m, vi lavede for at løse den konkrete ligning vedlagt i det udleverede materiale.
4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
10
20
30
40
50
60
tid/s
acceleration/(m
/s2)
tidsintervallet mellem prikkerne er 1100
s
v0 =12.31m/s
h0 =1.54m
v0 =17.70m/s
h0 =5.22m
v0 =17.50m/s
h0 =6.68m
v0 =16.41m/s
h0 =8.15m
v0 =11.95m/s
h0 =9.21m
rakettens acceleration Vi=200 ml
rakettens acceleration Vi=450 ml
rakettens acceleration Vi=550 ml
rakettens acceleration Vi=650 ml
rakettens acceleration Vi=800 ml
Figur 2: Accelerationen som funktion af tiden i�g. RK4 med forskellige begyndelses vandmængder. Samtidigvises de opnåede, teoretiske hastigheder v0, samt den tilbagelagte distance, h0, efter Stadie 1.
2.2 Stadie 2
I Stadie 2 er der udelukkende luft tilbage i �asken, som stadig har et højere tryk end omgivelserne, og dermedved udstrømning ligeledes resulterer i en positiv acceleration af raketten. Da dette er forholdsvis kompliceretat beskrive teoretisk, vælger vi at vurdere luftens bidrag til den endelige maksimalhøjde rent empirisk. Vi harudregnet det tryk, der er tilbage i �asken ved de 5 voluminer og a�yret raketten ved disse tryk. De højder,har vi vha. energibevarelse omregnet til en hastighed, v0,l, hvor :
12mv
20,l = mgh⇒ v0,l =
√2gh.
Tabel 1: h er højde, σh usikkerheden på højden og v er hastigheden
Vandvolumen, Vv (ml) Resterende lufttryk, p (Bar)† h(m) σh(m) v0,l(m) σv(m)
200 ml 4.0 2.11 ± 0.04 ‡ 6.43 ± 0.06450 ml 2.6 0.61 ± 0.04 3.5 ± 0.1††
550 ml 2.3 0.42 ± 0.04 2.9 ± 0.14650 ml 1.8 0.13 ± 0.04 1.6 ± 0.25800 ml 1.1 0.04 ± 0.04 0.9 ± 0.4† Vi har her brugt enheden bar i stedet for at opgive det i pascal, som vi ellers gør brug af - detskyldes at vores pumpe måler i bar.‡ fundet vha: σµ = σ√
N, hvor N = 5 (antal målinger) og σ = ±0.1 m (måleusikkerhed på den enkelte
måling)†† fundet vha errorpropagation: σv = ∂(v)
∂h σh = ∂(√2gh)∂h σh
De fundne hastigheder lægger vi til de værdier for v0, vi fandt i Stadie 1, idet vi antager, at hastigheds-forøgelsen sker øjeblikkeligt. Dermed er den højde, der tilføres i løbet af dette øjeblik stort set 0. At den skertilnærmelsesvis øjeblikkeligt ses af �gur 3, som viser rakettens acceleration for a�yring kun med luft (hvor dter det tidsrum hvori (stort set) hele accelerationen sker). Det tilbageværende tryk i �asken efter at alt vandeter sprøjtet ud, kan ligeledes beregnes vha. vores di�erentialligning samt 2.1.17 fra stadie 1, og løses ved RK4.
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−1
0
1
2
3
4
5
6Acceleration foresaget af luften alene
tid/s
acceleration/g
dtmean
=0.26816 s (fra amax
til a=0, markeret med henholdsvis sort og blå)
200 ml (2 målinger)450 ml (3 målinger)550 ml (2 målinger)650 ml (2 målinger)800 ml (1 måling)a
max
a=0a
max
a=0a
max
a=0
Figur 3: Accelerationen kun foresaget af luften for de volumener, vi arbejder med. Vi ser at dt er så lille(dtmean=0.27 sek) at accelerationen kan betragtes som øjeblikkelig. Dette er en meget grov antagelse for desmå vandvolumener. Til sammenligning er dt for hele Stadie 1 ved 200 ml kun 0.2 sek. Antagelsen er bedrefor de store vandvolumener. Det ses på Figur 2 at dt for Stadie 1 ved 800 ml. er ca. 1.4 sek.
2.3 Stadie 3
I dette stadie antages, at vi efter udregningerne i første og anden stadie har fundet et udtryk for v0,samlet,altså den hastighed raketten har, når der ikke længere virker nogen opaddrivende kraft på den. De enestetilbageværende kræfter, som virker på raketten, er nu tyngdekraften og luftmodstanden. Dermed virker derikke kun konservative kræfter på raketten og energien er således ikke bevaret. Følgende er et udtryk for højden,h, hvor Wl er luftens negative arbejde på raketten, K er rakettens kinetiske energi i begyndelsen af Stadie3 og Utop er rakettens potentielle energi i toppunktet, h, hvor hastigheden er nul og Uh0
er den potentielleenergi når al vand og lufttryk er ude, ved højden, h0:
Uh0+K = Utop +Wl ⇒
mgh0 +1
2m(v0 + v0,l)
2 = mgh+ Flh = mgh+1
2ρaCgArv
2 · h = h(mg +1
2ρaCgArv
2)⇒
h =mgh0 + 1
2m(v0,samlet)2
mg + 12ρaCgArv
2(2.3.1)
Da energien ikke er bevaret, har vi måttet løse ligningen for h på nummerisk vis, ved at betragte små tidsspring,dt hvori vi antager konstant hastighed og konstant acceleration. Ved en sådan nummerisk analyse �k vi de iTabel 2 viste resultater for sluthøjden
Volumen, Vv (ml) højde ved 90 graders a�yring (m) højde ved 65 graders a�yring(m)
200 ml 20.9 17.8450 ml 27.7 24.0550 ml 27.4 24.0650 ml 24.3 21.5800 ml 17.3 15.5
Tabel 2: Den teoretiske højde efter stadie 3 ved lodret a�yring og a�yring ved 65°
6
Vi har valgt at lave en errorrange på ± 25°for bedre at kunne sammenligne med vores empiri, hvor selv debedst udførte forsøg ikke �yver helt lodret.
3 Forsøgsbeskrivelse og -opstilling
Figur 4: Her ses vores forsøgsopstilling, med pumpe, målestok, a�yringsrampe med raket, samt accelero- ogbarometer.
På Figur 4 ses vores raket samt accelerometer og barometer tapet fast på siderne over for hinanden, forat udligne vægten så godt som muligt. Flasken (raketten) er monteret på startrampen, som udløses mekaniskved hjælp af nogle metalarme, der åbner op idet en lille knap trækkes tilbage. Der er en trykslange medcykelventil forbundet til undersiden af rampen og op til raketten, hvor denne presses hårdt mod en gummiringaf metalarmene. Accelero- og barometeret sættes i gang nogle sekunder før udløsning af apparaturet.
Figur 5: Udretning af vores accelerometerX250-2
På samme tid �lmes skudet med et højhastighedskamera,som ligeledes kan hjælpe til at bestemme en dt: tiden, hvor derendnu er vand i �asken. Accelerometeret, der kan måle i alle3 dimensioner, altså en translationel, en centripetal og en tan-gentiel acceleration, er monteret således, at dets USB-udgangpeger nedad. Vi vil dog først og fremmest beskæftige os medden translationelle acceleration der følger rakettens opadgåen-de bevægelse (i�g. accelerometerets udretning svarer det til +x-retning - se også �gur 5). Barometeret bruger vi til højdemåling(da trykket i jordens atmosfære falder med højden). Endelig sespumpen med trykmåleren, der måler overtryk i bar. I vores for-søg arbejder vi med et konstant tryk p0, som vi vælger at sættetil 6 bar. Dog bemærkes det, at vi i vores formler arbejder medet absolut tryk, hvorimod luftpumpen måler det relative tryk iforhold til atmosfæretrykket. Derfor pumpes kun til denne viser5 bar i forsøget. Vi har valgt ikke at have et for højt tryk, daraketten ellers lettere bliver taget af vinden. Vandmængderne er bestemt med formål for at kunne få et indtrykaf ekstremerne, men er primært koncentreret omkring 1/3 af �askens volumen, da vores teoretiske forudsigel-se indikerer at maksimalhøjden vil optræde der. Vi vælger at holde dysestørrelsen konstant, således at voreseneste variabel er vandets volumen. Se størrelser på andre vigtige konstanter for opgaven i nedenstående tabel3.
7
4 Databehandling
Tabel 3: Målte værdier brugt i opgaven
Forkortelse Forklaring Værdi Usikkerhed
ms Flaskens masse 314 · 10−3 kg ±15 · 10−3 kg†
p0 Absolut starttryk i �asken 6 bar ±0.2 bardd Dysens diameter 6 mm ±.01 mmOf Omkredsen af �asken (den største på �asken) 0.30 m ±0.02 mVtot Flaskens totale volumen 1.59 · 10−3 m3 ±0.02 · 10−3 m3
T0‡ Temperaturen af den sammentrykte luft 4 � ±0.1 �
† den store usikkerhed skyldes at vi påsatte og fjernede ga�atape for at få raketten til at �yve merelige og fordi tapen omkring barometeret og accelerometeret skulle skiftes ind imellem.‡ varierer fra forsøg til forsøg, men vi har i teorien brugt en fast værdi.
4.1 Sammenligning af teoretisk og praktisk acceleration
0 20 40 60−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10A: Hele forløbet
tid/s
acce
lera
tion/
g
a
x
24 26 28 30
2
4
6
B: Begyndende acceleration
tid/s
acce
lera
tion/
g
a
y
26.5 27 27.5
4.5
5
5.5
C: Vandet sprøjtes ud
tid/s
acce
lera
tion/
g
a
z
30 31 32 33
−1
0
1
E: Efter landing
tid/s
acce
lera
tion/
g
a
x
28 29 30 31
−1
0
1
D: Oscillation
tid/s
acce
lera
tion/
g
a
x
Figur 6: Her ses et eksempel på accelerationen for et skud med 200 ml vand. De forskellige delplots afbilder:A: Hele forløbet fra a�yrring til landing. Læg mærke til de -40 g når den rammer jorden. B: Et øjeblikkeligtspring i acceleration fra 1 til 4 g. C: En voksende acceleration ved vandudskydning formet tilnærmelsesvist somvores teoretiske forudsigelse. D: Frit fald (0 g). Oscillationen her er grundet rakettens rotation. E: Rakettenrammer jorden og på et splitsekund går den fra frit fald til �1 g. Det negative fortegn skyldes, at raketten herhar næsen i jorden.
Som det ses af Figur 6, ligger accelerationen konstant på 1 g i starten. Det er, når raketten står stillepå jorden. Udstyret er indstillet sådan, selvom normalkraften og tyngdekraften på raketten er lige store ogmodsatrettede (N's III) og derfor, ifølge Newtons 2. lov, giver en resulterende kraft på 0, med andre ord enacceleration på 0. For at forstå dette, kan man med fordel forestille sig en boks omkring raketten, som følger
8
rakettens bane og som udgør dets accelererede koordinatsystem, som accelerometeret refererer til. Med dettei tankerne giver det god mening at accelerometeret i D registrerer en acceleration på 0 g. Det er et kendtfænomen at man oplever �vægtløshed�, når man be�nder sig i et koordinatsystem, som - ligesom en selv -falder frit. Det er det samme fænomen man kender fra satelitter i omløb om jorden.
I delplot B på samme �gur ses det, hvordan accelerationen øjeblikkeligt går fra 1 til omkring 5 g og idet næste stykke, C, har en stigende acceleration, ligesom vi så det fra vore teoretiske model fra stadie 1.Dermed kan denne del fortolkes som det stykke, hvor vandet udspydes af raketten. Det efterfølgende stykke,hvor accelerationen atter er faldende, kan genkendes fra Stadie 2 - altså luftens bidrag. Mellem det 27. og 28.sekund på grafen går raketten over til en bevægelse i en parabelbue (da, desværre, ingen af skuddene foregikhelt lodret) - kun påvirket af tyngdekraft og luftmodstand.3 I D ses rakettens rotation tydeligt og giver afslagi en oscillerende graf. Efter landingen med den voldsomme opbremsning (>35 g!) er raketten igen påvirket af1 g - dog med modsat fortegn, da raketten vender på hovedet. En interessant observation er, at raketten tilslut ikke helt når 1 g for alle vore målinger, men ofte ligger lige under. Dette skyldes, at raketten står i envinkel med vandret (den står fast i den vinkel, da jorden er blød), der gør, at tyngdekraften ikke kun virker ix-retningen. Man kan regne denne vinkel, α ud vha:
mg = max cosα⇒ α = cos−1(axg
) (4.1.1)
Det ses af Figur 7, at vores teoretiske model for rakettens acceleration grundet udsendelse af vand stem-
0 0.5 1 1.50
10
20
30
40
50
60
tid/s
acceleration/(m
/s2)
v0 =11.60m/s
h0 =1.49m
v0 =18.14m/s
h0 =6.45m
v0 =21.32m/s
h0 =10.52m
v0 =16.57m/s
h0 =7.84mv0 =17.35m/s
h0 =11.83m
Praktisk acceleration Vi=200ml
RK4 for Vi=200 ml
Acceleration for Vi=450 ml
RK4 for Vi=450 ml
Acceleration for Vi=550 ml
RK4 for Vi=550 ml
Acceleration for Vi=650 ml
RK4 for Vi=650 ml
Acceleration for Vi=800 ml
RK4 for Vi=800 ml
Figur 7: De forskellige accelerationer for vores vandmængder, i tidsrummet hvor vandet sprøjtes ud. Vand-mængderne repræsenteres ved hver deres farve. Stjernerne giver udtryk for vores teoretiske forudsigelse be-regnet ved RK4, hvorimod hver linje svarer til en empirisk måling. De opgivede v0 og h0 er beregnet ud fragennemsnittet af de enkelte praktiske målinger for hver vandmængde.
mer rimelig godt overens med den samme acceleration fra vores praktiske forsøg. De opnåede hastigheder og
3Vil man se mere til raketter �yvende i parabelbuer, kan vi dybt anbefale vores optagede �lm fra forsøgsdagene, og ikke
mindst den udleverede animation rocket3.m. For sidstnævnte �ndes en brugsvejledning vedhæftet i bilag 3
9
positioner er også rimelig godt sammenhængende. Vi har foretaget usikkerhedsberegning for vores teoretiskemodel ved at se på modellen med maksimal vægt og minimal tryk (indefor vores måleusikkerhed) og viceversa. Dermed opnås en maksimal og en minimal højde og hastighed, som også viser om vores empiri liggerindenfor dette interval. I Bilag 5 er der vist grafer for dette, og de indikerer, at accelerationen faktisk starterindenfor intervallet, dog ikke holder sig indenfor. På samme måde spiller trykkets usikkerhed den væsentligstefaktor for den samlede usikkerhed. I Tabel 4 ses sammenhængen mellem de empiriske og teoretiske resultater.
Tabel 4: Sammenligning af teoretisk og empirisk hastighed og position efter stadie 1
Volumen 200 ml 450 ml 550 ml 650 ml 800 ml
Teoretisk h0 (90°) 1.54 m 5.22 m 6.68 m 8.15 m 9.21 mTeoretisk usikkerhed σh0
(90°) 0.04 m 0.25 m 0.49 m 0.74 m 1.31 mEmpirisk h0
† 1.49 m 6.45 m 10.52 m 7.84 m 11.83 mEmpirisk usikkerhed σh0
± 0.058 m ± 0.084 m ± 1.53 m ± 0.68 m ± 0.13 mTeoretisk v0 (90°) 12.31 m/s 17.70 m/s 17.50 m/s 16.41 m/s 11.95 m/sTeoretisk usikkerhed σv0 (90°) 1.41 m/s 2.08 m/s 2.42 m/s 2.63 m/s 2.89 m/sEmpirisk v0 11.60 m/s 18.14 m/s 21.32 m/s 16.57 m/s 17.35 m/sEmpirisk usikkerhed σv0 ± 0.19 m/s ± 1.24 m/s ± 3.58 m/s ± 2.32 m/s ± 0.18 m/s† de empiriske værdier er gennemsnitsværdier
Afvigelser på Figur 7 Kigger vi på �gur 7, ses der dog også væsentlige afvigelser på empiri og teori. Treaf vores resultater ligger bemærkelsesværdigt langt væk fra de øvrige. Den blå (550 ml) og den magenta (650ml), som begge ligger væsentlig højere end de andre målinger fra samme vandmængde har dét til fælles, at dehar nogenlunde samme form og længde som de målinger fra samme vandmængde. Vi har ikke kunnet nå fremtil en fysisk forklaring på denne afvigelse og det undrer os, hvordan de kan have samme udvikling (form), menblot ligger nummerisk højere hele vejen igennem.Det får os til at tænke, at en teknisk fejl i MatLab eller i accelerometeret er skyld i disse forskydninger.En anden udstikker er den ene måling for 550 ml (blå) som ligger blandt resultaterne for 450 ml (grøn). Daden ligger midt blandt målingerne for 450 ml er en mulig forklaring, at der er sket en fejl, da vi sorterededataerne fra accelerometeret og har kategoriseret den måling forkert. Vi tog nemlig - pga. tidspres - data forbåde 450, 550, 650 og 800 ml inden vi lagde det ind på computeren og sorterede det.
Det ikke-lodrette skuds indvirken på accelerationen Målingerne for 800 ml på samme �gur virker tilat ligge bemærkelsesværdigt tæt op omkring den teoretiske model, men af højdegrafen på Figur 10, ses det, atde samme målinger kommer langt fra op i samme højde som den beregnede. Altså: større acceleration, menmindre højde.En del af forklaringen ligger i, at raketten ikke �yver lodret, hvorfor der kun virker en lodret komponentaf tyngdekraften modsat x-accelerationen, fremfor et lodret skud, hvor hele tyngdekraften virker mod x-accelerationen. Ved trigonometri �nder vi, at raketten skulle være i en vinkel på 55°ift. lodret for at denempiriske accelerationsgraf stemmer overens med den teoretiske accelerationsgraf. Dog ses det fra vores op-tagede videoer (vedlagt i materialet), at raketa�yringerne ved 800 ml ikke når større vinkler med lodret endomtrent 30°, så det er ikke en fyldestgørende forklaring.
Isoterm eller adiabatisk proces? I vores teori har vi antaget at udstødningen af vandet er en adiabatiskproces, da den foregår over et meget lille tidsrum. Ved højere vandmængder (800 ml) sker accelerationen overlængere tid (t>1 sek) så processen nærmere er isoterm eller et eller andet sted midt imellem.Ændrer vi gamma i 2.1.17 fra 1.4 til 1.0, som er værdien for en isoterm proces, får vi grafen afbildt på Figur8: Figur 8 viser, at den isoterme model generelt har højere accelerationer i kortere tid end den adiabatiskemodel. Et bemærkelsesværdigt resultat er, at den opnåede v0 for de 800 ml er 17.71 m/s istedet for resultatetved antagelse af adiabatisk proces: 11.95 m/s. Dette skal sammenlignes med en empirisk værdi på 17.35 m/s.Det virker altså til, at vores model passer bedre for de 800 ml, hvis vi antager en isoterm proces. I den andenende kommer den teoretiske værdi for 200 ml længere væk fra den empiriske værdi ved antagelse af isotermproces, da den teoretiske værdi stiger fra 12.31 m/s til 12.9 m/s ift. en empirisk værdi på 11.6 m/s. For 450,550 og 650 ml er tendensen ikke så tydelig.
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
10
20
30
40
50
60
70
tid/s
acceleration/(m
/s2)
∆v0 =0.60m/s
∆h0 =0.17m
∆v0 =1.57m/s
∆h0 =0.09m
∆v0 =2.41m/s
∆h0 =0.15m
∆v0 =3.32m/s
∆h0 =0.18m
∆v0 =5.75m/s
∆h0 =1.01m
200ml (adiabatisk)200ml (isoterm)450ml (adiabatisk)450ml (isoterm)550ml (adiabatisk)550ml (isoterm)650ml (adiabatisk)650ml (isoterm)800ml (adiabatisk)800ml (isoterm)
Figur 8: Sammenligning af accelerationen ved antagelse af isoterm og adiabatisk proces
"Huller"i datasættet Den opmærksomme læser har lagt mærke til et lille stykke i starten af hver af deempiriske accelerationsgrafer, hvor vi ser en ret, vandret linje. Denne linje skyldes et teknisk problem, som videsværre ikke har kunnet løse: Da vi i MatLab fjernede den første del af x-accelerationsdataerne blev der dannetet "hul"i dataerne, som giver sig udtryk i denne linje. "Hullet"blev dannet for alle vandmængder og forsvandtikke, når vi inkluderede �ere eller færre datapunkter omkring begyndelsesstedet for vandets acceleration (jf.Figur 6 C). Hullet var ikke konsekvent det samme sted i datasættet, så det var ikke en mangel på data i detoriginale datasæt fra accelerometeret. Se Bilag 4, Figur 17 hvor vi viser en sådan �hulgraf�.
4.2 Beregning af højden vha. barometer
Med det påsatte barometer på raketten kan vi a�æse en ændring i trykket ved vores skud med stigende højde.Disse skal omregnes til netop denne højde, h over udgangspunktet, h0 = 0. Til dette formål benytter vi os afden såkaldte �barometriske formel�.
Vi tager udgangspunkt i idealgasligningen og et generelt udtryk for densiteten,ρ:
pV = nRT ρ =n
VM
hvor M er molarmassen. Vi isolerer nV i begge og får deraf følgende udtryk for p og ρ:
ρ =pM
RTp =
ρRT
M
Så antages at luften over raketten er hydrostatisk, altså at trykket udelukkende er givet ved massen af denovenover liggende luft, hvorved trykændringen er givet ved:
dp = −dFA
dF = dm · g dm = dV ρ dV = dhA (4.2.1)
deraf:
dp = −ρg · dh (4.2.2)
11
af (4.2.2) og af udtrykket for p fås:
dp
P=−ρgdhMρRT
= −gMRT
dh (4.2.3)
som er en separabel di�erentialligning, der har løsningen:
lnp
p0= −gMh
RT⇒ h = − ln
p
p0· RTgM
(4.2.4)
0 10 20 30 40 50 601.025
1.0255
1.026
1.0265
1.027x 10
5 Tryk og højde for Vi= 800 ml
Tiden/s
Try
k/P
a
Målt maks. højde= 12.7762m
0 10 20 30 40 50 60−5
0
5
10
15
Hø
jde
over
jord
over
flade
n/m
Tryk målt i PascalHøjden beregnet ved den barometriske ligning
Figur 9: På grafen ses en barometermåling (blå linje). Den vandrette, oscillerende fase, i begyndelse, er nårraketten står på jorden, hvor oscillation skyldes støj. Herefter falder trykket drastisk, idet raketten sendes opi luften, for igen at stige på nedturen. Den grønne linje viser højden, hvor det tydeligt ses, at højden stigersom følge af faldende tryk.
For at ovenstående kan lade sig gøre, må vi dog antage, at temperaturen, T er konstant. Da vi skyder opi en begrænset højde, er denne antagelse nok meget rimelig. Ud fra (4.2.4) kan nu højden beregnes, som vihar ladet MatLab om at gøre. Usikkerheden på vores højdemålinger beregnes ved hjælp af simpel statistik.For bedre at kunne sammenligne disse med vores tilhørende teori (jf. Afsnit 2), som i udgangspunkt er en1-dimensionelt model, hvorimod raketten bevæger sig i en 3-dimensionelt verden, vælger vi at pålægge teorienen error-range på ± 25°fra lodret. Resultat kan betragtes på Figur 10.Af samme �gur ses det, at de empiriske højder alle ligger lavere end de teoretiske. Dette virker klart i sig selv,da teorien netop giver udtryk for en perfekt energiudnyttelse, mens der i praksis vil spille �ere ukendte faktorerind. Nogle forslag til hvad disse kunne være, kommer vi nærmere ind på i diskussions-afsnittet. Samtidig sesdet, at vores data tenderer mod en højere usikkerhed ved større vandmængder. Dette kunne bl.a. skyldes atmassemidtpunkt forskydes ved større masse (nærmere forklaring i diskussionsafsnittet), samtidig med at selveaccelerationsfasen kommer til at tage længere tid, hvorved små ændringer i bevægelsesretningen akkumuleresog forstærkes over et længere tidsrum, og derfor kommer til at betyde mere. I hvert fald gjorde vi netop denobservation, at raketten �øj mere ustabilt ved større vandmængder (jf. det udleverede �lmmateriale). Doger der langt fra nok data til at drage en endelig konklusion (dels pga. problemer med barometeret, som ikkeoptog bevægelsen i tilstrækkeligt omfang). Dette er også grunden til hvorfor vi hverken har data for 450 mleller 650 ml.
12
Figur 10: De teoretiske og empiriske maksimalhøjder. Errorbaren viser udsvinget mellem 65°og 90°med van-dret, mens de teoretiske og max- og minimumhøjder er fundet ved den kombination af vinkel, tryk og �aske-masse (indenfor vores måleusikkerhed, naturligvis), som gav henholdsvis maksimal og minimal højde.
4.3 Diskussion
Center of Mass, cm
F: Kraftpåvirkningen fra udstødning af vand eller luft
F_rot: Kraftkomponenten, der skaber rotation om cm
R
Rotation om en akse, dergår gennem cm og ortogonalt på tegningens plan
Figur 11: Beregning af kraftmomentet om-kring et givet massemidtpunkt
Vi kigger først på stadie 2, hvor kun luften alene ud-gør den opdrivende kraft. Her vælger vi at lægge v0,l tilv0 fra Stadie 1. I virkeligheden spiller luftmodstanden indpå dette. Den hastighed, v0,l, vi bruger er fundet vedskud fra 0 m/s. I virkeligheden er udgangspunktet for Sta-die 2 en hastighed, v0 som er forskellig fra 0. Der gåraltså en større andel af den tilførte energi til luftmod-stand. Derfor må vi antage at den tilførte v0,l er knapså stor i virkeligheden, end den vi har brugt til udreg-ning.
Dernæst ser vi på overgangen mellem Stadie 1 og 2:Vi har under hele forsøget arbejdet med et idealiseret sy-stem, hvor al vandet er ude inden noget luft kan træn-ge ud. I virkelighed �yver vores raket skævt og det erderfor muligt for noget af luften at ryge ud samtidigmed det sidste vand. Dette giver sig udtryk i en vand-sky, som kan ses på de vedlagte videoer. Vi kan ikke re-degøre for, hvordan det spiller ind på vores maksimalhøj-de.
En faktor, som vi ikke har taget højde for i teorien er raket-tens rotation. For at stabilisere rakettens bevægelse har vi satvinger på, som i bunden har et buk på ca. 45°ift. bevægelsesret-ningen.Dette gør at en del af rakettens energi går til rotationsenergi,
så rakettens samlede energi er givet ved:
E =1
2mv2 +
1
2Iω2 +mgh (4.3.1)
13
Om dette spiller en væsentlig faktor, kan vi få en ide om ved at kigge på vores accelerationsgraf. Vi harplaceret accelerometeret sådan, at z-accelerationen ved et fuldstændig lodret skud ville måle centripetalac-celerationen. For de �este skud ser vi en lineært voksende z-acceleration (som på Figur 12), hvilket giver eneksponentielt voksende vinkelhastighed. Dette gør det besværligt at vurdere vinkelhastigheden og dermed denrotationelle kinetiske energi. For alligevel at få en ide om størrelsen af den rotationelle energi kan vi i stedetse på oscillationen af graferne. Ved at måle frekvensen, f af disse svingninger, får vi en vinkelhastighed ω forrotationen i det frie fald, givet ved ω = 2π · f
Vi har fundet gennemsnittet af frekvensen ved at tælle antallet af perioder i oscillationerne sammenholdt
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
Målte accelerationer i alle 3 dimensioner
tid/s
acce
lera
tion/
g
a
x
ay
az
Figur 12: Accelerationemålingerne for alle 3 dimensioner. Læg mærke til oscillationen grundet rotationen af�asken. Eksemplet er for 650 ml. Accelerationen i z-aksen (den grønne) er centripetalaccelerationen (medpositiv retning ind mod centrum af �asken). Det ses altså at raketten har en stigende centripitalacceleration(eksponentielt stigende vinkelhastighed), som raketten nærmer sig jorden. Den store, pludselige accelerationskyldes kollision med jorden. At vinkelhastigheden er stigende bekræftes også af, at perioderne for oscillatio-nerne bliver kortere med tiden.
med de tidsrum de forløber over for 37 målinger af accelerationen: f ≈ 3Hz. Ud fra denne gennemsnitsværdifår vi vinkelhastigheden:
ω = 2π · f = 2π · 3 = 18.8s−1
For at vurdere et inertimomentet for �asken, betragter vi den som en kombination af en solid cylinder og enhul cylinder og vurderer derfor dens inertimoment til at være:
I =3
4MR2 =
3
4· 0.31kg · (0.05m)2 = 6 · 10−4kg ·m2
Dette inertimoment I er dog vurderet i situationen uden vand. Med 800 ml vand vil inertimomentet derimodvære I = 21 · 10−4kg·m2.Disse inertimomenter giver rotationsenergier på mellem 0.1 J og 0.4 J. Denne energi kan sammenlignes med
14
en kinetisk energi, som afhænger af massen og hastigheden, v0 +v0,l. For en gennemsnitsværdi af hastigheden,µ− v0 = 17.0 giver det en kinetisk energi på mellem 90 J og 321 J.Dette er selvfølgelig overslagsregning, men det giver alligevel et indtryk af, at energien, der går til rotation,ikke ændrer nævneværdigt på vores teori, da den translationelle kinetiske energi er langt større end den rota-tionelle kinetiske energi: Ktrans � Krot
Vi noterede os, at raketten havde en tendens til at �yve mere skævt med større vandmængder. Dette gav sigudslag i mange mislykkede forsøg med de store vandmængder. På den modsatte side viser det sig i en lilleusikkerhed på højden for 200 ml, som det ses af �gur 10.En mulig forklaring på denne tendens er, at vandet bliver slynget rundt i raketten og dermed skaber en ustabilbane. Dette vil naturligt nok have størst e�ekt på de a�yringer, hvor der i en stor del af �yvetiden er vand iraketten - altså ved de store volumener.En alternativ (eller supplerende?) forklaring er, at rakettens massemidtpunkt bliver �yttet opad, når vand-standen i �asken stiger. Vi bemærkede nemlig ligeledes i forberedelserne til forsøget, at det var sværere at fåen raket med top til at �yve lodret end en raket uden top. Dette kunne tyde på, at et massemidtpunkt tætpå bunden af �asken giver stabilitet og vice versa for et massemidtpunkt tæt på toppen af �asken.Dette giver også god mening ud fra en betragtning af kraftmomentet på �asken. Der må vi betragte udstød-ningen af vandet og luften som en e�ekt, der giver en kraft på bunden af raketten. Hvis kraftpåvirkningen fravand- og luftudstødningen ikke virker helt parallelt med bevægelsesretningen og ind mod massemidtpunktetgiver det et kraftmoment, der får raketten til at rotere omkring en akse gennem sit massemidtpunkt. Jo størreafstand, R mellem punktet, hvor kraften virker, og massemidtpunktet, des større bliver kraftmomentet:
τ = R · Frot (4.3.2)
5 Perspektivering
Som en videre undersøgelse, kunne det være interessant at lave forsøget med andre væsker med forskellig visko-sitet, fx sæbevand, og se på sammenhængen mellem viskositeten og fremdriften. Viskositeten er et udtryk forden indre gnidningsmodstand i væsken og har derfor en væsentlig betydning for strømningshastigheden. Vandhar eksempelvis viskositeten 1793µPa·s ved 0 �og 282µPa·s ved 100 �. Ved normalt tryk og temperatur harluft en viskositet på ca. 17µPa· [5]. Man kunne forestille sig, at sæbevand har en lavere viskositet end alm.vand, hvormed den ville opnå en højere hastighed.
En anden parameter, som ville være interessant at undersøge, er dysestørrelsen. Man kunne foretage enteoretisk optimering med MatLab som �nder det bedste forhold for dysestørrelse og vandmængde for at opnåden højeste højde. Det kunne tyde på, at større dysser resulterer i en større acceleration, da mere masse kanblive skudt bagud på et kortere tidsforløb. Det ville være spændende at se, om denne sammenhæng forholdersig lineært. Samtidig kunne det tænkes, at det kræver forskellige dysestørrelser for forskellige vandmængderfor at opnå den den største højde.Ikke mindst skulle der, hvis vi kunne gentage forsøget, foretages �ere målinger for hver vandmængde, for atformindske fejlafvigelsen Derved kunne dataene bedre sammenlignes med teorien.
Det kunne også være interessant at undersøge, hvor stor betydning rotationen har for stabiliteten, og omden for store vandmængder (som accelererer i længere tid) muligvis har en negativ og ustabiliserende e�ekt,da vandet inden i �asken bliver slynget rundt.
6 Konklusion
I vores rapport har vi valgt at behandle forskellige initiale vandmængders ind�ydelse på en vandrakets mak-simalhøjde.Vi har opstillet en model i tre stadier for rakettens bevægelse ind til den når sit toppunkt: acceleration vedudstødning af vand, acceleration ved udstødning af luft og en sidste del kun påvirket af luftmodstand ogtyngdekraft. Dernæst har vi efterprøvet bevægelsen eksperimentielt for til sidst at sammenholde eksperimentog forudsigelse.Den teoretiske model for den første del af accelerationen, fra vandet begynder at fosse ud af raketten til derikke længere er vand tilbage i rakketten, viste sig at stemme rimelig godt overens med empirien. For allevandmængder forudsagde vi den tid, accelerationen forløb over, samt den hastighed raketten opnåede rimelignøjagtigt(± <10 % for tiden og <15% for hastigheden i de �este af forsøgene). Modellen passer mindre godt
15
for vandmængderne 200 ml og 800 ml end for vandmængderne omkring 500 ml. Modellen forudså en for højacceleration ved stor vandmængde og en for lav ved lille vandmængde. Vi er kommet med bud på forklaringerpå disse afvigelser. Bl.a. har vi diskuteret om processen forløber adiabatisk (som antaget) eller isotermt ogfundet, at det kan være med til at forklare afvigelsen ved de store vandmængder.Vi noterede os også, at accelerationen for alle vandmængder var mere konstant end forudsagt.Vi ved ikke helt hvorfor, men vi kan konkludere, at vores raket ikke nåede lige så højt, som forudset. Vi harundersøgt og diskuteret forskellige mulige faktorer, fx energitab til rotationel kinetisk energi, men ingen kunnehelt forklare højdeforskellen.Dog viste teori og empiri entydigt, at den maksimale højde blev opnået, da �asken var næsten 1/3 fyldt - altsåomkring 450 ml. Vi kunne også konkludere, at raketten �øj mest stabilt ved lave vandmængder. Bedst ved200 ml, hvilket viste sig i en mindre usikkerhed på højdemålingerne. Dette har vi også diskuteret og prøvetat forklare, bl.a. ved at pege på et forskudt massemidtpunkt (se diskussionsafsnittet).Vi har også måttet erkende, at for at kunne drage mere sikre konklusioner omkring rakettens bevægelse ogmaksimale højde skulle vi bruge en langt større datamængde og arbejde på bedre at kunne kontrollere vinklen,hvormed raketten �yver. Især for de store vandmængder er vores usikkerheder nemlig meget store. Desudenskulle vi have et barometer, der ikke går ud, når det kommer for højt op.Forløbet har åbnet for en række nye områder (se perspektiveringen), der venter på at blive undersøgt eks-perimentelt og teoretisk. Slutteligt må det konkluderes at arbejdet har belyst den interessante og kompleksefysik omkring a�yring af en raket til omtrent 20 meters højde. Det kan nu ikke længere undre læseren, at kun3 nationer til dato har formået at sende et menneske ud i rummet.
Figur 13: En yderst vellykket landing!
16
7 Bibliogra�
Litteratur
[1] M. Alonso, E. J. Finn: Fundamental University Physics, Addison-Wesley Publishing Company (1967)
[2] D.V. Schroeder: An introduction to: Thermal Physics, Addison Wesley Longman (2000)
[3] S.H. Strogatz: Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And
Engineering, Perseus Books Publishing, LLC (1994)
[4] Formfaktoren for en kegle, taget fra:http://www.aerospaceweb.org/question/aerodynamics/q0231.shtml, 8. april 2011
[5] Liste over viskositeter, taget fra:http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Fluid_dynamik/
viskositet, 8. april 2011
Figurer
1 Skematisk tegning af raketbunden ved vandudstrømning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Numerisk løsning for acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Empirisk estimat af luftens bidrag til acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Forsøgsopstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3-dimensionelt udretning af USB-acceleratometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Oversigt over målt acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Sammenligning af empiri og teori for acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Teoretisk model for accelerationen ved isoterm og adiabatisk proces . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Barometermåling med tilhørende højde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210 Sammenligning af empiri og teori for maksimalhøjder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311 Beregning af kraftmomentet omkring et givet massemidtpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312 Målt acceleration i 3 dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413 Landing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614 Oversigt over numeriske løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915 Input i animation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116 Screenshot af animation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217 �Data huller� i accelerationsgraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218 Tryk- og højdegraf, der ilustrerer en fatal teknisk fejl på barometeret . . . . . . . . . . . . . . . 2319 Den teoretiske model opgivet med usikkerhed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2420 Usikkerheden for vores teoretiske model grundet trykket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2421 Usikkerheden for vores teoretiske model grundet massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Tabeller
1 Estimeret højde i Stadie 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Den teoretiske højde efter stadie 3 ved lodret a�yring og a�yring ved 65° . . . . . . . . . . . . 63 Målte værdier brugt i opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Sammenligning af teoretisk og empirisk hastighed og position efter stadie 1 . . . . . . . . . . . 105 Konstanter og variabler brugt i opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Målte værdier brugt i opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Fysiske størrelser,der afhænger af tiden eller forsøget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Udregnede værdier brugt i opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17
A Bilag 1: Konstanter brugt i opgaven
Tabel 5: Konstanter og variabler brugt i opgaven
Forkortelse Forklaring Værdi
g Tyngdeaccelerationen 9.81ms2R Gaskonstanten 8.315 J
mol·Kpa Atmosfærisk tryk ved jordover�aden 10.013 · 105Pa
Cp Atmosfærisk lufts molare varmekapacitet ved konstant tryk 29.1 Jmol·K
CV Atmosfærisk lufts molare varmekapacitet ved konstant volumen 20.8 Jmol·K
γCp
CV- Adiabateksponenten 1.40 J
mol·Kρv Vands densitet 1000 kg
m3
ρa Densitet af atmosfærisk luft 1.26 kgm3
ml Atmosfærisk lufts molare masse 28.97 · 10−3 kgmol
Cg Formfaktoren af �asken† 0.5† er vurderet til at være lig formfaktoren for en kegle [4].
Tabel 6: Målte værdier brugt i opgaven
Forkortelse Forklaring Værdi Usikkerhed
ms Flaskens masse 314 · 10−3 kg ±15 · 10−3 kg†
p0 Absolut starttryk i �asken 6 bar ±0.2 bardd Dysens diameter 6 mm ±.01 mmOf Omkredsen af �asken (den største på �asken) 0.30 m ±0.02 mVtot Flaskens totale volumen 1.59 · 10−3 m3 ±0.02 · 10−3 m3
T0‡ Temperaturen af den sammentrykte luft 4 � ±0.1 �
† den store usikkerhed skyldes, at vi påsatte og fjernede ga�atape for at få raketten til at �yvemere lige og fordi tapen omkring barometeret og accelerometeret skulle skiftes ind imellem.‡ varierer fra forsøg til forsøg, men vi har i teorien brugt en fast værdi.
Tabel 7: Fysiske størrelser,der afhænger af tiden eller forsøget
Forkortelse Forklaring Enhed
mv(t) Massen af vandet i �asken kgm(t) Massen af �asken og vandet i �asken kgV0 Den sammentrykte lufts volumen til tiden t = 0 m3
V (t) Den sammentrykte lufts volumen m3
v(t) Flaskens hastighed ift. jorden m/su(t) Det udstødte vands hastighed ift. jorden m/svrel Det udstødte vands hatighed ift. �asken m/sa(t) Flaskens acceleration m/s2
Fv Opdriften på raketten fra vandet NFt Tyngdekraften på raketten og vandet i raketten NFl Luftmodstanden på raketten NP (t) Samlet impuls af raketten og det udstødte vand kg m/sp0 Trykket af den sammentrykte luft til tiden t = 0 Pap(t) Trykket af den sammentrykte luft PaT (t) Den sammentrykte lufts temperatur K
Tabel 8: Udregnede værdier brugt i opgaven
Forkortelse Forklaring Udregning Værdi Usikkerhed
At Flaskens tværsnitsareal A = r2π = (Of
2π )2π =O2
f
4π 0.0072m3 ±0.0001m3‡
Ad Dysens areal (dd2 )2 · π 2.8 ∗ 10−5 ± 7.85 ∗ 10−7††
‡ fundet ved errorpropagation: σ =√
( ∂At
∂Of)2 · (σ(0f ))2 = ∂At
∂Of· σ(0f )
†† fundet ved errorpropagation: σ =√
(∂Ad
∂dd)2 · (σ(dd))2 = ∂Ad
∂dd· σ(dd)
18
B Bilag 2: Introduktion til Runge-Kutta 4
I vores rapport har vi anvendt en numerisk løsning af en di�erentialligning af første orden, kaldet Runge-Kutta 4. Dette bilag er således tænkt at være en overordnet beskrivelse af metoden til den (forhåbentlig)interesserede læser.
Til at begynde med: Igennem tiden er der blevet udviklet forskellige metoder for numerisk løsning afdi�erentialligninger, som alle har dét til fælles, at der indgår store mængder udregninger og løsninger af lig-ningssystemer. Hvad der dengang krævede mange timers slavisk håndregning, har med computer-tidsalderenændret sig drastisk. Computere giver os i dag muligheden for at tilnærme løsninger for analytisk uløseligeproblemer og samtidig visualisere disse på et højt præcisionsniveau.
Den simpleste anvendelige metode i numerisk analyse kaldes Euler af 1. orden (Euler1):
Givet en di�erentialligningdx
dt= f(x) med startbetingelser x = x0 og t = t0 skal vi �nde en systematisk måde
at tilnærme løsningen x(t). Som et konkret eksempel, kan vi eventuelt forestille os en �od, som strømmerlangs x-aksen hen mod et forudliggende vandfald. Floden har en voksende strømningshastighed f(x) afhængigaf positionen i forhold til vandfaldet. Til tiden t = t0 smides nu en prop i �oden ved positionen x = x0, hvor�oden altså strømmer med hastigheden f(x0). På et tilstrækkeligt kort tidsinterval ∆t, har proppen bevægetsig med god tilnærmelse f(x0)∆t. Jo mindre valgt ∆t, jo bedre er approksimationen. Dermed er vores nyeposition x(t0 +∆t) tilnærmelsesvist lig med x0 +f(x0)∆t. Den nye position vælger vi nu at kalde for x1. Altsågælder der:
x(t0 + ∆t) ≈ x1 = x0 + f(x0)∆t (2.0.1)
Nu gentager vi ovenstående process n gange, hvormed vi kan opstille den generelle forskrift for Euler1:
xn+1 = xn + f(xn)∆t (2.0.2)
Problemet med denne er dog, at den kun estimerer den a�edte på �venstre side� af tidsintervallet mellem tn
Figur 14: Oversigt over forskellige metoder til numerisk løsning af di�erentialligninger med et givent ∆t
og tn+1. Ved store hastighedsændringer (og for store valgt ∆t) kan der således hurtigt opstå en betydelig fejlfra den virkelige funktion. Bedre approksimationer er således blevet udviklet, som eksempelvis den udvidedeEuleriske metode, som estimerer den a�edte fra begge sider (dvs. at der tages et gennemsnittet af hældningi punkterne xn og xn+1)(jf. �gur 14). Den mest almindelige anvendte metode i dag er Runge-Kutta af 4.orden (ofte kaldt Runge-Kutta 4), opkaldt efter de to tyske matematikere Carl Runge og Martin WilhelmKutta. For at �nde xn+1 ud fra xn , er det i første omgang nødvendigt at beregne følgende �re tal:
19
k1 = f(xn)∆t
k2 = f(xn +1
2k1)∆t
k3 = f(xn +1
2k2)∆t
k4 = f(xn + k3)∆t
Så er vores nye punkt xn+1 givet ved:
xn+1 = xn +1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (2.0.3)
Her tages altså et vægtet gennemsnit af de �re hældninger k1−4, hvor k2 og k3 vægtes dobbelt. Denne metodegenererer normalt ret præcise data selv med ikke helt så små valgte ∆t. Selvom også højere-ordens tilnærmelserkan (og er blevet) udviklet, viser det sig ofte ikke nødvendigvis at være mere præcis, da det samtidig inkluderer�ere udregninger som skal �køres� igennem maskinen. Den første og (måske) mest åbenlyse manko ved dette erselvfølgeligt, at problemets evalueringstid vokser tilsvarende. Et andet problem er ligeledes, at computere ikkehar uendelig præcision - de di�erentierer ikke mellem tal some kun afviger med en meget lille værdi. Ved hvergennemregning opstår der således en afrundingsfejl, som med et større antal udregninger kan akkumuleres tilnoget væsentligt. Af samme grund er det heller ikke, i modsætningen til intuitionen, nødvendigvis bedre, atbruge for små ∆t, da der således på samme måde skal evalueres �ere udregninger. Runge-Kutta 4, som enslags mellemvej mellem få beregninger og stor præcision, er således til vores di�erentialligning det bedste valg[3].
20
C Bilag 3: Vejledning til vedlagt raket-animation
Til vores opgave har vi valgt at programmere en lille animation med programmet MatLab, som der kan �ndessom rocket3.m i det vedlagte materiale. Den nedenstående liste giver en vejledning til dets brug:
� Forudsat du har installeret MatLab på computeren, kan scriptet åbnes direkte. Tryk F5 for at køre det.
� Efterfølgende spørges ind til forskellige startparametre, som kan vælges arbitrært indenfor visse grænser.
1. Først spørges ind til en startvinkel på raketten. I optimal fald vil denne selvfølgelig ligge på 90°,dog har vi som ekspliceret i rapporten taget hensyn til, at naturen ikke er optimal. Her kan duvælge frit mellem 1°til 90°
2. Her spørges ind til den initiale vandmængde i milli-liter. I rapporten valgte vi kun at behandle 5bestemte vandmængder, men nu får du muligheden for frit at afprøve mellem alle de vandmængderdu ønsker, dog i intervallet fra 0 til 1500 ml (som er �askens volumen).
3. I dette punkt spørges til starttrykket p0 angivet i bar, som du ønsker at �pumpe� �asken med. Ogselvom en reel cola�aske nok ville sprænge på omkring 20 bar, har du her muligheden for at gå ligeså langt op du vil. Kun fantasien sætter grænser!
Figur 15: Et typisk input-billede
� Her vælges dysestørrelsen, rettere sagt dens diameter angivet i millimeter. I al almindelighed liggerdenne mellem 3 og 12 mm, men prøv gerne højere.
� Sidst men ikke mindst skal der angives en omgivelsestemperatur i �. Har du også før overvejet hvordanen vandraket vil �yve ved 1000 �? Her har du muligheden for at afprøve lige hvad ud vil. Fra detabsolutte nulpunkt til uendelig! (NB. Vi garanterer ikke for holdbarheden ved ekstremerne)
� Er du nået så langt, er der kun en ting tilbage at gøre; udnytte de få sekunder, det tager programmetat beregne bevægelsen, med at læne sig tilbage i stolen og nyde synet.
På din skærm skulle der nu meget gerne have generet sig et lignende vindue som vist på �gur 16. Her kan dufølge rakettens bevægelse, samt den aktuelle hastighed, som beregnes som længden af hastighedsvektoren i x
og y: vact =√v2x + v2y. Den maksimale højde angives, når raketten passerer sit toppunkt. Dog skal det lige
nævnes, at rakettens bevægelse udelukkende har taget udgangspunkt i den di�erentialligning præsenteret iafsnit 2, stadie 1. Dermed tages ikke hensyn til resttrykket i �asken efter at vandet er sprøjtet ud, og følgeligtvil maksimalhøjderne sandsynligvis afvige en smule fra de fundne i stadie 3.
Ellers ønsker Vandraket Inc. god fornøjelse ved anvendelse af produktet.
21
Figur 16: Screen-billede ved afskydning af raketten
D Bilag 4: Samling af uforklarlige tekniske fejl
Figur 17: Her ses et eksempel på, hvordan der opstår �huller� i vores data, når vi skærer en del af dataernefra. Hullet �ndes ikke i de originale dataer fra accelerometeret, så det må være en teknisk fejl i MatLab.
22
0 5 10 15 20 25 30 35 401.022
1.024
1.026
1.028x 10
5 Tryk og højde for Vi= 450 ml
Tiden/s
Try
k/P
a
Målt maks. højde= 23.751m
0 5 10 15 20 25 30 35 40−20
0
20
40
Hø
jde
over
jord
over
flade
n/m
Tryk målt i PascalHøjden beregnet ved den barometriske ligning
Figur 18: Flere målinger fra barometeret gav datasæt, som af årsager vi ikke har kunnet forklare, ikke havde�ere data, da de raketten nærmede sig sit toppunkt. Dette ses tydeligt af denne højde- og trykgraf, der viser,hvordan der ikke var �ere målinger at se, netop som raketten nærmer sig sit toppunkt. Dette skete ofte oghar begrænset vores datamængde. Af samme årsag har vi kun højdemålinger for 3 vandvolumener på Figur10
E Bilag 5: Usikkerhed på vores teoretiske model
Her kommer to grafer der viser usikkerheden, når man justerer henholdsvis massen og holder trykket konstantog justerer trykket og holder massen konstant:
23
0 0.5 1 1.50
10
20
30
40
50
60
70
tid/s
accelera
tion/(m
/s2)
200 ml (fra 4 forsøg)
200 ml teoretisk max
200 ml teoretisk min
450 ml (fra 4 forsøg)
450 ml teoretisk max
450 ml teoretisk min
800 ml (fra 5 forsøg)
800 ml teoretisk max
800 ml teoretisk min
Teoretisk model
Figur 19: Vi har for overskueligheden kun målinger for 200 ml (rød), 450 ml(grøn) og 800 ml(sort) inkludereti grafen. Trekanterne angiver maksimum ved mindst mulig masse af den tomme �aske og størst mulig tryk -begge indenfor måleusikkerheden. De blå, stiplede linjer viser den model vi bruger og de farvede linjer angivervore målinger. Det ses at accelerationen starter indenfor vores usikkerhed for modellen, men ikke udvikler sigpå samme måde. Dette kommenterer vi på i databehandlingen.
0 0.5 1 1.50
10
20
30
40
50
60
70
∆v0 =1.32m/s
∆h0 =-0.09m
∆v0 =2.17m/s
∆h0 =0.00m
∆v0 =2.83m/s
∆h0 =0.32m
∆v0 =3.30m/s
∆h0 =0.68m ∆v0 =4.02m/s
∆h0 =1.58m
tid/s
accelera
tion/(m
/s2)
ta-grafer
200ml (min)
200ml (max)
450ml (min)
450ml (max)
550ml (min)
550ml (max)
650ml (min)
650ml (max)
800ml (min)
800ml (max)
Figur 20: Lad dig ikke forvirre af en tvetydig legend: rød er 200 ml, grøn er 450 ml og sort er 800 ml.Her ermassen holdt konstant og vi lader trykket variere fra mindste værdi til maksimale værdi inden for måleusik-kerheden. Det ses, når man sammenholder Figur 20 og Figur 21, ved at se på ∆v0 og ∆h0, at trykket betydermest for usikkerheden - også selvom usikkerheden på massen er stor: ± ca. 20 % af �askens totalvægt udenvand.
24
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
10
20
30
40
50
60
70
∆v0 =-1.18m/s
∆h0 =-0.25m
∆v0 =-1.57m/s
∆h0 =-0.51m
∆v0 =-1.56m/s
∆h0 =-0.61m
∆v0 =-1.53m/s
∆h0 =-0.73m
∆v0 =-1.37m/s
∆h0 =-0.91m
tid/s
accelera
tion/(m
/s2)
200ml (min)
200ml (max)
450ml (min)
450ml (max)
550ml (min)
550ml (max)
650ml (min)
650ml (max)
800ml (min)
800ml (max)
Figur 21: Lad dig ikke forvirre af en tvetydig legend: rød er 200 ml, grøn er 450 ml og sort er 800 ml.Her er tykket holdt konstant og vi lader massen variere fra mindste værdi til maksimale værdi inden formåleusikkerheden. Det ses, når man sammenholder Figur 20 og Figur 21, ved at se på ∆v0 og ∆h0, at trykketbetyder mest for usikkerheden - også selvom usikkerheden på massen er stor: ± ca. 20 % af �askens totalvægtuden vand.
25