ruang morrey kuat dan lemah - … · ruang morrey kuat dan lemah abstrak tugas akhir ini...
TRANSCRIPT
RUANG MORREY KUAT DAN LEMAH
TUGAS AKHIR
diajukan sebagai salah satu syaratuntuk memperoleh gelar Sarjana dari
Institut Teknologi Bandung
KEVIN MANDIRA LIMANTANIM. 10110106
PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG2014
Great are the works of the Lord,studied by all who delight in them.The fear of the Lord is the beginning of wisdom;all those who practice it have a good understanding.
Psalm 111: 2, 10
Untuk Tuhan, bangsa, dan almamater.
RUANG MORREY KUAT DAN LEMAH
ABSTRAK
Tugas akhir ini menginvestigasi ruang MorreyMpq(Rn) tipe lemah, dinotasikan sebagai wMp
q(Rn)sebagai perluasan natural ruang Morrey (klasik) tipe kuat, dinotasikan sebagai Mp
q(Rn), di-mana ruang Morrey (klasik) adalah himpunan semua (kelas ekivalen) fungsi terukur f yangmemenuhi
‖f‖Mpq
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1q
(∫B(a,r)
|f(y)|q dy) 1q
<∞.
Kita akan melihat keterbatasan beberapa operator integral diMpq(Rn): operator maksimal Hardy-
Littlewood M dan operator integral fraksional Iα. Kita juga akan melihat keterbatasan tipe lemahIα di Mp
q(Rn).
Tujuan utama tugas akhir ini adalah mempelajari struktur serta keterkaitan antara ruang Morreylemah dan kuat. Kita akan melihat hubungan inklusi-eksklusi dua ruang tersebut dan juga melihatfenomena apa saja yang terdapat di Mp
q(Rn) yang tetap bisa dipertahankan ketika kita bekerjadi wMp
q(Rn).
Kata kunci: ruang Morrey kuat, ruang Morrey lemah, ruang Lebesgue, operator maksimal Hardy-Littlewood, operator integral fraksional.
iii
STRONG AND WEAK MORREY SPACES
ABSTRACT
This final project investigates the weak type of Morrey spacesMpq(Rn), denoted by wMp
q(Rn), asnatural extension of strong type of (classical) Morrey spaces, denoted byMp
q(Rn), where (classical)Morrey spaces is the set of all (equivalence classes) of measurable function f that satisfies
‖f‖Mpq
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1q
(∫B(a,r)
|f(y)|q dy) 1q
<∞.
We will study the boundedness of some integral operators inMpq(Rn): Hardy-Littlewood maximal
operator M and fractional integral operators Iα. We will also study weak-type boundedness of Iαin Mp
q(Rn).
The main purpose of this final project is to study the structure and connection between strongand weak Morrey spaces. We will see inclusion-exclusion relation between these two spaces andalso see what phenomena which is seen in Mp
q(Rn) that can still be preserved when working inwMp
q(Rn).
Keywords: strong Morrey spaces, weak Morrey spaces, Lebesgue spaces, Hardy-Littlewood max-imal operator, fractional integral operators.
iv
RUANG MORREY KUAT DAN LEMAH
TUGAS AKHIR
diajukan sebagai salah satu syaratuntuk memperoleh gelar Sarjana dari
Institut Teknologi Bandung
ditulis olehKEVIN MANDIRA LIMANTA
NIM. 10110106
Bandung, 16 Juni 2014
Menyetujui,Pembimbing
(Prof. Hendra Gunawan, Ph.D)NIP. 196412291988021001
PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG2014
v
Prakata
Puji syukur saya ucapkan kepada Tuhan Yesus yang begitu pengasih, pencipta alam semesta,sumber segala hikmat dan pengetahuan, Penghibur dan Penolong saya, Gunung Batu saya, karenahanya karena anugerah-Nya saja buku tugas akhir berjudul ”Ruang Morrey Kuat dan Lemah”ini dapat terselesaikan dengan baik. Buku ini saya persembahkan hanya kepada-Nya.
Buku tugas akhir ini disusun dalam rangka memenuhi persyaratan kurikulum pendidikan ProgramStudi Sarjana Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut TeknologiBandung. Banyak sekali pembelajaran yang saya dapatkan tatkala mengerjakan buku ini, salahsatunya adalah bahwa melakukan penelitian adalah salah satu cara kita mengenal alam semesta.Manusia bertanggung jawab akan alam semesta, sehingga sudah seharusnya penelitian digunakansebagai cara manusia mengembalikan tatanan alam semesta seperti seharusnya. Buku ini adalahhasil penelitian yang saya lakukan selama kurang lebih satu tahun dan saya ingin tetap menelitibahkan setelah buku ini selesai.
Saya menyadari, sebagai manusia dengan segala keterbatasan akal budi, bahwa penulisan bukutugas akhir ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, sayamemohon masukan dan kritikan terkait konten maupun penulisan buku tugas akhir ini.
Penyusunan buku tugas akhir ini tidak akan terwujud tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak.Di kesempatan ini, perkenankanlah saya menyampaikan ucapan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada orang-orang yang sentral dalam kehidupan saya:
1. Liman Soeharto Lintang Kusumawidjaya dan Nanik Hartutik, papa dan mama saya, orangtua tercinta yang senantiasa mendukung dan mendoakan saya sampai sekarang. Tanpadukungan dan kehadiran mereka, tidak mungkin saya bisa menyelesaikan pendidikan sarjanasaya. Terima kasih atas teladan yang telah diberikan.
2. Geraldy Merkusi Limanta dan Dimitri Manggala Limanta, adik-adik terbaik saya. Terimakasih atas pelajaran-pelajaran berharga yang telah kalian berikan kepada Koko.
3. Prof. Hendra Gunawan, Ph.D, dosen pembimbing saya yang selalu menyediakan waktuuntuk membimbing saya dalam menyelesaikan buku tugas akhir ini. Terima kasih atasdukungan dan kesabaran yang telah diberikan selama membimbing saya. Terima kasih
vi
atas gagasan-gagasan yang sangat membantu saya dalam menyusun buku ini. Terima kasihkarena telah membuat saya semakin mencintai matematika. Terakhir, terima kasih atasteladannya sebagai seorang pendidik dan peneliti.
4. Dr. Wono Setya Budhi dan Sapto Wahyu Indratno, Ph.D selaku dosen penguji saya yangtelah memberikan banyak kritikan dan masukan dalam penyusunan buku tugas akhir ini.
5. Dr. Agus Yodi Gunawan selaku Ketua Program Studi Sarjana Matematika yang telahbanyak membantu saya dalam menjalankan studi saya di Program Studi Matematika.Terima kasih pula kepada Ibu Diah yang telah banyak membantu kebutuhan administratifsaya.
6. Dr. Rinovia Mery Garnierita Simanjuntak, selaku dosen wali saya yang telah membimbingsaya selama masa perkuliahan ini, serta seluruh dosen Matematika ITB yang telah mem-berikan pengetahuan dan wawasan bagi saya. Terima kasih atas pengabdian yang telahdiberikan.
7. Yozef Giovanni Tjandra, sahabat terbaik saya. Terima kasih karena selalu ada dalam masa-masa tersulit saya. Terima kasih atas dukungannya dalam membangun saya, baik dukunganakademis maupun spiritual, yang terlalu banyak untuk disebutkan satu-persatu. Khususnyauntuk penyusunan buku ini, terima kasih karena sudah menjadi dosen penguji bayangansaya, juga membantu menyunting buku ini. Terima kasih atas persahabatannya!
8. Putri Vanesia Sihombing, seorang sahabat yang juga Tuhan berikan untuk saya. Terimakasih atas segala dukungan yang tidak henti-hentinya diberikan. Terima kasih atas kesabarandan kepeduliannya. Terima kasih juga karena sudah membantu menyunting buku ini. Kem-bali saya ucapkan, terima kasih atas persahabatannya!
9. Geng angkatan terkasih: Kristio Rapi Tondok, Erika Mellina Hutapea Carolina, Sarah Na-talia Gultom, Marcelyn Lavenia Marbun, Afrina Andriani Sebayang, Vivi Christy Astanto,dan Acintya Mananoma. Terima kasih atas kebersamaannya selama ini, terima kasih atasdukungan yang kalian telah berikan kepada saya. Terima kasih karena telah mengisi hidupsaya dengan kenangan manis.
10. Davin Kurnia Wangsa, yang sudah saya anggap seperti adik sendiri. Terima kasih karenatelah memberikan pelajaran-pelajaran berharga bagi saya. Bersyukur bisa mengenalmu!
11. Teman-teman Badan Pengurus HIMATIKA 2013/2014: Insan, Ojan, Insi, Firman, Tiya,Bimo, Patricia, Yossua, Uci, Kiki, Icha, Wira, Puput, Winda, Asto, Jayus, Alit, Ipin,Dita, Ajeng, Denaya, atas satu tahun kebersamaan kita dalam membangun HIMATIKA.Tentunya ucapan terima kasih saya berikan secara khusus untuk ketua-ketua divisi sayatercinta: Marianik, Sifa Fidelia, dan Widyan Riadhi Haputra. Hidup Bidang PengembanganKeilmuan dan Keprofesian!
vii
12. Teman-teman Matematika angkatan 2010. Senang bisa mengenal kalian, mulai dari osjur(beberapa bahkan sudah kenal semenjak TPB) hingga akhirnya tiba masa masing-masingdari kita harus melanjutkan hidup di tempat lain. Terima kasih atas 3 tahun yang menye-nangkan ini!
13. Keluarga saya di Paduan Suara Mahasiswa ITB yang juga telah memberikan suntikankeceriaan dan semangat kepada saya. Secara khusus, terima kasih untuk Panitia KonserTahunan PSM-ITB 2013: Atras Agora, Panitia Dies Emas PSM-ITB 2012, dan BadanPengurus PSM-ITB 2012/2013: Generasi Sinergi Lyra.
Tentu masih ada lagi orang-orang yang juga berperan dalam membangun saya hingga sekarangyang namanya tidak bisa saya sebutkan satu-persatu. Saya sangat bersyukur bisa mengenalkalian semua. Biarlah Tuhan sendiri yang akan pimpin kalian untuk bisa dipakai menyatakankemuliaan-Nya.
Saya akan menutup kata pengantar saya (yang sudah terlalu panjang ini) dengan ayat Alkitabfavorit saya.
Tetapi karena kasih karunia Allah aku adalah sebagaimana aku ada sekarang, dan kasih karuniayang dianugerahkan-Nya kepadaku tidak sia-sia. Sebaliknya, aku telah bekerja lebih keras daripada mereka semua; tetapi bukannya aku, melainkan kasih karunia Allah yang menyertai aku (1Korintus 15:10).
Sebab segala sesuatu adalah dari Dia, dan oleh Dia, dan kepada Dia: bagi Dialah kemuliaansampai selama-lamanya!
Bandung, Juni 2014
Penulis,
Kevin Mandira Limanta
viii
Daftar Isi
Abstrak iii
Abstract iv
Lembar Pengesahan v
Prakata vi
Daftar Isi ix
1 Pendahuluan 11.1 Ruang Lebesgue Lq(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ruang Morrey Lq,λ(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Ruang Morrey Mpq(Rn) 4
2.1 Sifat-Sifat Ruang Morrey Mpq(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Operator Integral di Mpq(Rn) 12
3.1 Operator Maksimal Hardy-Littlewood M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Operator Integral Fraksional Iα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Ruang Lebesgue Lemah wLq(Rn) 264.1 Definisi dan Sifat-Sifat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Keterbatasan Tipe Lemah Operator Iα di Lq(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Ruang Morrey Lemah wMpq(Rn) 32
5.1 Definisi dan Sifat-Sifat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2 Keterbatasan Tipe Lemah Operator Iα di Mp
q(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Penutup 42
Daftar Pustaka 43
ix
Bab 1
Pendahuluan
Salah satu masalah utama dalam bidang Analisis Fourier adalah menentukan ruang fungsi solusisuatu persamaan diferensial parsial dengan masalah nilai awal tertentu. Banyak penelitian dewasaini yang mengkaji lebih dalam ruang fungsi tertentu, dengan harapan ada karakteristik tertentuyang dimiliki ruang fungsi tersebut.
Salah satu kelas fungsi yang banyak dibahas adalah ruang Lebesgue Lq atas Rn, yang biasa ditulisLq(Rn). Ruang ini memainkan peranan penting dalam analisis Fourier dan analisis fungsional.Tidak puas dengan ruang Lebesgue, matematikawan berusaha memperumum kelas fungsi inidengan harapan semakin banyak fungsi yang bisa dikarakterisasi dan ada sifat-sifat tertentu yangbisa dipertahankan dari Ruang Lebesgue. Salah satu perumuman ruang Lebesgue ini adalahruang Morrey, yang memiliki banyak variasi. Dalam tugas akhir ini, ruang Morrey yang dibahasadalah Mp
q(Rn).
Sebelum berbicara banyak mengenai ruang Morrey Mpq(Rn), ada baiknya kita perkenalkan kem-
bali ruang Lebesgue Lq(Rn).
1.1 Ruang Lebesgue Lq(Rn)
Ruang Lebesgue Lq(Rn) adalah ruang (kelas ekivalen) fungsi yang merupakan perumuman natu-ral dari ruang vektor berdimensi hingga yang dilengkapi dengan norma−q.
Definisi 1.1. Untuk 1 ≤ q <∞, ruang Lebesgue Lq berisi semua (kelas ekivalen) fungsi terukurf yang memenuhi ‖f‖q <∞, dimana normanya didefinisikan sebagai
‖f‖q =(∫
Rn|f(x)|q dx
) 1q
.
1
Sebagai contoh, f(x) = 1xχR\[−1,1](x) ∈ Lq(R) untuk q > 1, karena
∫R|f(x)|q dx =
∫R\[−1,1]
1|x|q
dx
= 2∫ ∞
1
1xq
dx
= 11− qx
1−q∣∣∣∣∣∞
1
= 1q − 1 ,
tetapi f /∈ L1(R), karena∫R|f(x)| dx = 2
∫ ∞1
1xdx = ln x|∞1 =∞.
Definisi 1.2. Ruang Lebesgue lokal Lqloc(Rn) dengan 1 ≤ q < ∞ adalah ruang semua (kelasekivalen) fungsi terukur f yang memenuhi
∫K|f(x)|q dx <∞
untuk setiap subhimpunan terbatas K ⊆ Rn. Jika f ∈ Lqloc(Rn), kita katakan f terintegralkansecara lokal di Lq(Rn).
1.2 Ruang Morrey Lq,λ(Rn)
Syarat keanggotaan di Lq(Rn) masih ’kasar’, karena ia hanya mensyaratkan keberhinggaan ekspresi∫Rn|f(x)|q dx. Untuk itulah, ditambahkan lagi satu parameter yang diharapkan akan memper-
halus syarat keanggotaan Lq(Rn).
Ruang Lebesgue Lq ini diperhalus dengan menambahkan satu parameter untuk melihat denganlebih detail perilaku fungsi-fungsi di ruang Lebesgue, yang kemudian disebut Ruang Morrey Lq,λ
(dinamai sesuai penemunya, Charles B. Morrey, Jr). Di sini, kata detail merujuk pada sifat lokalsuatu fungsi. Secara singkat, di Lq,λ(Rn) kita lebih tertarik pada sifat-sifat lokal dari suatu fungsif yang terdefinisi pada Rn, sedangkan di Lq(Rn) kita lebih tertarik pada sifat-sifat global.
Definisi 1.3. Untuk 1 ≤ q < ∞ dan 0 ≤ λ ≤ n, Lq,λ adalah himpunan semua (kelas ekivalen)fungsi f ∈ Lqloc(Rn) yang memenuhi ‖f‖Lq,λ <∞, dimana normanya didefinisikan sebagai
‖f‖Lq,λ = supB=B(a,r)
(1rλ
∫B(a,r)
|f(y)|q dy) 1q
<∞.
2
Disini, B(a, r) menyatakan bola yang berpusat di a dengan jari-jari r > 0.
Jika λ = 0, kita mempunyai Lq,λ(Rn) = Lq(Rn). Perhatikan juga bahwa f ∈ Lq,λ(Rn) jika danhanya jika terdapat konstanta C > 0 sedemikian sehingga
∫B(x,r)
|f(x)|q dx < Crλ
untuk setiap x ∈ Rn dan r > 0. Ini berarti laju pertumbuhan∫B(x,r)
|f(x)|q dx dikendalikan oleh
ekspresi di ruas kanan, yaitu rλ. Dalam hal ini, λ disebut sebagai orde dari f .
Selain ruang Morrey Lq,λ(Rn) ini, ada lagi varian ruang Morrey dengan parameter yang lain,yakniMp
q(Rn). Ruang Morrey ini lebih sering disebut sebagai ruang Morrey klasik. Dalam bukuini, ruang Morrey yang dipelajari adalah ruang Morrey klasik, karena kita ingin melihat sifatkemonotonan ruang Morrey dengan lebih baik.
3
Bab 2
Ruang Morrey Mpq(Rn)
Salah satu variasi dari Lq,λ(Rn) adalah Mpq(Rn), yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.1. Untuk 1 ≤ q ≤ p < ∞, ruang Morrey Mpq(Rn) adalah himpunan semua (kelas
ekivalen) fungsi f ∈ Lqloc(Rn) yang memenuhi ‖f‖Mpq<∞ dimana normanya didefinisikan sebagai
‖f‖Mpq
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1q
[∫B(a,r)
|f(y)|q dy] 1q
.
Disini |B(a, r)| menyatakan ukuran (Lebesgue) dari B(a, r).
Sama halnya dengan ruang Morrey Lq,λ(Rn), ruang Morrey ini juga dapat menjelaskan sifat-sifatlokal suatu fungsi dengan lebih baik daripada ruang Lebesgue Lq(Rn). Namun, kelebihan dariMp
q(Rn) adalah bahwa kita dapat mengkaji sifat kemonotonan dengan lebih baik di sini.
Terkait hubungan antara ruang MorreyMpq(Rn) dengan ruang Morrey Lq,λ(Rn), kita mempunyai
proposisi berikut:
Proposisi 2.1 (Kaitan antara Mpq(Rn) dengan Lp,λ(Rn)).
Mpq(Rn) = Lq,n(1− q
p)(Rn) atau Lq,λ(Rn) =M
nqn−λq (Rn).
Bukti: Ambil f ∈Mpq(Rn), karenanya untuk setiap B(a, r) ⊆ Rn,
|B(a, r)|1p− 1q
[∫B(a,r)
|f(x)|q dx] 1q
= Crn( 1p− 1q
)[∫
B(a,r)|f(x)|q
] 1q
<∞
4
untuk suatu C > 0. Persamaan di atas ekivalen dengan mengatakan
[1
rn(1− qp
)
∫B(a,r)
|f(x)|q dx] 1q
<∞
untuk semua B(a, r) ⊆ Rn. Karenanya, dengan mengambil supremum pada ruas kiri untuk setiapB(a, r) ⊆ Rn kita mempunyai
‖f‖Lq,n(1− qp ) = sup
B(a,r)
[1
rn(1− qp
)
∫B(a,r)
|f(x)|q dx] 1q
<∞
yang membuktikan f ∈ Lq,n(1− 1p
)(Rn).
Sebaliknya, ambil f ∈ Lq,n(1− 1p
)(Rn), karenanya untuk setiap B(a, r) ⊆ Rn kita mempunyai
[1
rn(1− qp
)
∫B(a,r)
|f(x)|q dx] 1q
<∞ (2.1)
yang ekivalen dengan mengatakan
rn( 1p− 1q
)[∫
B(a,r)|f(x)|q dx
] 1q
= K|B(a, r)|1p− 1q
[∫B(a,r)
|f(x)|q dx] 1q
<∞
sehingga
|B(a, r)|1p− 1q
[∫B(a,r)
|f(x)|q dx] 1q
<∞. (2.2)
Ini berlaku untuk setiap B(a, r) ⊆ Rn, sehingga dengan mengambil supremum pada ruas kiri kitadapatkan
‖f‖Mpq
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1q
[∫B(a,r)
|f(x)|q dx] 1q
<∞
yang membuktikan f ∈Mpq(Rn). Jadi, Mp
q(Rn) = Lq,n(1− 1p
)(Rn).
Untuk membuktikan pernyataan kedua pada proposisi di atas, tulis λ = n(1 − qp). Berdasarkan
proposisi sebelumnya, Lq,λ(Rn) = Mpq(Rn). Namun jika λ = n(1 − q
p), kita dapatkan p = nq
n−λ
dan ini membuktikan pernyataan kedua.
2.1 Sifat-Sifat Ruang Morrey Mpq(Rn)
Pendefinisian norma ‖f‖Mpq
tersebut memenuhi aksioma norma:
5
1. Jelas ‖f‖Mpq≥ 0 untuk setiap f ∈Mp
q(Rn), dan ‖f‖Mpq
= 0 jika dan hanya jika f = 0 hampirdimana-mana.
2. Kita mempunyai, untuk setiap skalar α ∈ R,
‖αf‖Mpq
= supx∈Rnr>0
|B(x, r)|1p− 1q
[∫B(x,r)
|αf(y)|q dy] 1q
= supx∈Rnr>0
|B(x, r)|1p− 1q
[|α|q
∫B(x,r)
|f(y)|q dy] 1q
= supx∈Rnr>0
|B(x, r)|1p− 1q |α|
[∫B(x,r)
|f(y)|q dy] 1q
= |α| supx∈Rnr>0
|B(x, r)|1p− 1q
[∫B(x,r)
|f(y)|q dy] 1q
= |α|‖f‖Mpq.
3. Untuk setiap f, g ∈Mpq(Rn),
‖f + g‖Mpq
= supx∈Rnr>0
|B(x, r)|1p− 1q
[∫B(x,r)
|f(y) + g(y)|q dy] 1q
≤ supx∈Rnr>0
|B(x, r)|1p− 1q
[∫B(x,r)
|f(y)|q dy] 1q
+[∫
B(x,r)|g(y)|q dy
] 1q
≤ sup
x∈Rnr>0
|B(x, r)|1p− 1q
[∫B(x,r)
|f(y)|q dy] 1q
+ supx∈Rnr>0
|B(x, r)|1p− 1q
[∫B(x,r)
|g(y)|q dy] 1q
= ‖f‖Mpq
+ ‖g‖Mpq.
Di sini, kita menggunakan Ketaksamaan Minkowski pada Lq(Rn).
Jadi,Mpq(Rn) adalah sebuah ruang bernorma. Ingat bahwa ruang Banach adalah ruang bernorma
yang lengkap. Kita mempunyai proposisi berikut:
Proposisi 2.2. Mpq(Rn) adalah ruang Banach.
Bukti. Ambil sebarang barisan Cauchy (fn) diMpq(Rn), yaitu lim
m,n→∞‖fm−fn‖Mp
q= 0. Kita dapat
menemukan subbarisan dari (fn) yang konvergen hampir dimana-mana, katakan (fni), dimanan1 < n2 < . . . dan juga memenuhi ‖fm − fnk‖Mp
q< 2−k untuk setiap m ≥ nk.
6
Definisikan, untuk setiap k ∈ N,
gk = |fn1|+k−1∑i=1
∣∣∣fni+1 − fni∣∣∣ . (2.3)
Jelas bahwa
‖gk‖Mpq≤ ‖fn1‖Mp
q+
k−1∑i=1‖fni+1 − fni‖Mp
q< ‖fn1‖Mp
q+ 1 <∞.
Misalkan g = limk→∞
gk = |fn1 | +∞∑i=1
∣∣∣fni+1 − fni∣∣∣. Berdasarkan Lemma Fatou, kita mempunyai
‖g‖Mpq< ‖fn1‖Mp
q+ 1. Secara umum, g(x) <∞ hampir dimana-mana, sehingga deret
fn1(x) +k−1∑i=1
(fni+1(x)− fni(x)
)(2.4)
konvergen mutlak untuk hampir semua x. Definisikan jumlah pada (2.4) sebagai f(x) untuk x
dimana (2.4) konvergen, dan f(x) = 0 untuk x lainnya. Karena
fn1 +k−1∑i=1
(fni+1 − fni
)= fnk ,
kita mempunyaif(x) = lim
i→∞fni(x) hampir dimana-mana. (2.5)
Kita cukup membuktikan bahwa f adalah limit dari fn, yaitu limn→∞
‖fn − f‖Mpq
= 0. Ambilε > 0 sebarang, karenanya terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk semua m,n > N kitamempunyai ‖fm − fn‖Mp
q< ε
2 . Juga, karena (fnk) konvergen ke f , kita dapat pilih k sedemikiansehingga nk > N dan ‖fnk − f‖Mp
q< ε
2 . Karenanya,
‖fn − f‖Mpq
= ‖fn − fnk + fnk − f‖Mpq
≤ ‖fn − fnk‖Mpq
+ ‖fnk − f‖Mpq
<ε
2 + ε
2 = ε
untuk setiap n > N , membuktikan bahwa fn → f . Jadi, Mpq(Rn) adalah ruang Banach.
Fakta: Jika A adalah suatu bola buka, maka ‖χA‖Mpq
= ‖χA‖p.
7
Bukti: Kita mempunyai
‖χA‖Mpq
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1q
[∫B(a,r)
|χA|q] 1q
= supa∈Rnr>0
|B(a, r) ∩ A|1p− 1q |B(a, r)| ∩ A|
1q
= supa∈Rnr>0
|B(a, r) ∩ A|1p
= |A|1p
dan
‖χA‖p =[∫
Rn|χA|p
] 1p
=[∫A
1] 1p
= |A|1p .
Untuk melihat contoh fungsi yang merupakan anggota Mpq(Rn), pandang
f : Rn → R dengan aturan f(x) = |x|s, dimana s = n
(1q− 1p
)− 1q.
Perhatikan bahwa
‖f‖Mpq
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1q
(∫B(a,r)
|f(x)|q dx) 1q
. supa∈Rnr>0
rn( 1p− 1q
)(∫
B(a,r)|x|sq dx
) 1q
. supr>0
rn( 1p− 1q
)(∫
B(0,r)|x|sq dx
) 1q
. supr>0
rn( 1p− 1q
)(∫
0≤|x|≤r|x|sq dx
) 1q
. supr>0
rn( 1p− 1q
)(
1sq + 1r
sq+1) 1q
= supr>0
(1
sq + 1
) 1q
rn( 1p− 1q
)+s+ 1q
= supr>0
(1
sq + 1
) 1q
=(
1sq + 1
) 1q
,
membuktikan f ∈Mpq(Rn).
8
Proposisi di bawah ini memberikan sifat-sifat dari Mpq(Rn), terkait hubungan antara Mp
q(Rn)dengan Lp(Rn) dan bagaimana kemonotonan parameter pada Mp
q(Rn) mempengaruhi seberapabesar ’ukuran’ Mp
q(Rn) (lihat [6]).
Proposisi 2.3. Untuk 1 ≤ q2 ≤ q1 ≤ p <∞, kita mempunyai
Lp(Rn) =Mpp(Rn) ⊆Mp
q1(Rn) ⊆Mpq2(Rn).
Bukti. Perhatikan bahwa jika f ∈Mpp(Rn),
‖f‖Mpp
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1p
[∫B(a,r)
|f(y)|p dy] 1p
= supa∈Rnr>0
[∫B(a,r)
|f(y)|p dy] 1p
=[∫
Rn|f(y)|p dy
] 1p
= ‖f‖p
sehingga f ∈ Lp(Rn). Sebaliknya dengan mudah dapat dilihat, f ∈ Lp(Rn) berakibat f ∈Mp
p(Rn). Ini membuktikan Lp(Rn) =Mpp(Rn).
Selanjutnya, ambil f ∈ Mpp(Rn), karenanya
∫Rn|f(y)|p dy < ∞. Akibatnya, untuk setiap bola
B(a, r) ⊂ Rn kita mempunyai∫B(x,r)
|f(y)|p dy <∫Rn|f(y)|p dy <∞.
Berdasarkan ketaksamaan Holder, kita mempunyai
∫B(a,r)
|f(y)|q1 dy <
(∫B(a,r)
(|f(y)|q1)pq1 dy
) q1p(∫
B(a,r)dy
)1− q1p
=(∫
B(a,r)|f(y)|p dy
) q1p
|B(a, r)|1−q1p
<∞.
Akibatnya,
|B(a, r)|1p− 1q1
(∫B(a,r)
|f(y)|q1 dy
) 1q1<∞. (2.6)
9
Karena persamaan (2.6) di atas berlaku untuk sebarang bola B(a, r) ⊂ Rn, maka
‖f‖Mpq1
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1q1
[∫B(a,r)
|f(y)|q1 dy
] 1q1<∞
yang membuktikan bahwa f ∈Mpq1(Rn). Jadi Lp(Rn) =Mp
p(Rn) ⊆Mpq1(Rn).
Untuk inklusi yang kedua, ambil f ∈Mpq1(Rn), karenanya
‖f‖Mpq1
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1q1
(∫B(a,r)
|f(y)|q1 dy
) 1q1<∞.
Ini mengakibatkan∫B(a,r)
|f(y)|q1 <∞
dan kembali dengan Holder, kita mempunyai
∫B(a,r)
|f(y)|q2 dy <
(∫B(a,r)
(|f(y)|q2)q1q2 dy
) q2q1(∫
B(a,r)dy
)1− q2q1
=(∫
B(a,r)|f(y)|q1 dy
) q2q1|B(a, r)|1−
q2q1
<∞.
Akibatnya,
|B(a, r)|1p− 1q2
(∫B(a,r)
|f(y)|q2 dy
) 1q2<∞. (2.7)
Karena persamaan (2.7) di atas berlaku untuk sebarang bola B(a, r) ⊂ Rn, maka
‖f‖Mpq2
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1q2
[∫B(a,r)
|f(y)|q2 dy
] 1q2<∞
yang membuktikan bahwa f ∈Mpq2(Rn). Jadi Mp
q1(Rn) ⊆Mpq2(Rn).
Proposisi bagian kedua di atas mengatakan bahwa jika p dibuat tetap, semakin kecil q akanmemberikan ruang yang lebih besar. Perhatikan bahwa untuk 1 ≤ q2 < q1 ≤ p < ∞, kitamempunyai Mp
q2(Rn) *Mpq1(Rn). Untuk melihat hal ini, pandang
f(x) = |x|s, dimana s = n
(1q2− 1p
)− 1q2.
10
Telah kita tunjukkan di atas bahwa f ∈Mpq2(Rn), tetapi f /∈Mp
q1(Rn) karena
‖f‖Mpq1
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1q1
(∫B(a,r)
|f(x)|q1 dx
) 1q1
= supa∈Rnr>0
|B(a, r)|1p− 1q1
(∫B(a,r)
|x|nq1
(1q2− 1p
)− q1q2 dx
) 1q1
≥ supr>0
Crn
(1p− 1q1
) (∫B(0,r)
|x|nq1
(1q2− 1p
)− q1q2 dx
) 1q1
= supr>0
Crn
(1p− 1q1
) (∫0≤|x|≤r
|x|nq1
(1q2− 1p
)− q1q2 dx
) 1q1
= supr>0
1nq1
(1q2− 1
p
)− q1
q2+ 1· Cr
n
(1p− 1q1
)· r
n
(1q2− 1p
)− 1q2
+ 1q1
= supr>0
C
nq1(
1q2− 1
p
)− q1
q2+ 1· r
n
(1p− 1q1
)+n(
1q2− 1p
)− 1q2
+ 1q1
= supr>0
Cr(n−1)
(1q2− 1q1
)nq1
(1q2− 1
p
)− q1
q2+ 1
=∞,
untuk suatu C > 0.
11
Bab 3
Operator Integral di Mpq(Rn)
Salah satu keluarga objek yang dipelajari di Analisis Fourier modern adalah operator integral.Transformasi Fourier pada Analisis Fourier klasik merupakan salah satu operator integral. PadaAnalisis Fourier modern, operator integral memiliki banyak variasi, seperti operator maksimal,operator integral singular, maupun operator integral fraksional. Operator integral banyak digu-nakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial klasik, seperti persamaan panas, persamaangelombang, maupun persamaan Poisson.
Diberikan suatu operator, salah satu aspek yang penting untuk diperhatikan adalah bagaimanaoperator ini bekerja pada suatu ruang fungsi ke ruang fungsi lainnya. Matematikawan tertarikuntuk melihat apakah operator ini terbatas pada ruang fungsi tertentu.
Definisi 3.1. Misalkan T adalah suatu operator. T dikatakan terbatas dari ruang bernorma U keruang bernorma V jika
‖Tu‖V . ‖u‖U
untuk setiap u ∈ U . Di sini, ‖ · ‖U menyatakan norma pada U . Jika U = V , kita katakan T
terbatas pada U .
Jika T adalah operator linear yang terbatas pada U , maka T merupakan operator yang kontinu.Secara intuitif, perubahan yang kecil pada nilai u ∈ U tidak akan mengubah banyak nilai Tu. Inidiberikan dalam teorema berikut.
Teorema 3.1. Misalkan T adalah operator linear yang terbatas pada U , maka T kontinu padaU .
Bukti: Ambil sebarang ε > 0. Karena T terbatas pada U , maka terdapat C > 0 sedemikiansehingga ‖Tu‖U ≤ C‖u‖U untuk setiap u ∈ U . Ambil sebarang v, w ∈ U sedemikian sehingga
12
‖v − w‖U < εC
. Karenanya,
‖Tv − Tw‖U = ‖T (v − w)‖U ≤ C‖v − w‖U < C · εC
= ε.
Di sini, kita menggunakan fakta bahwa T linear.
Keterbatasan sebuah operator adalah hal yang baik dan sifat yang diharapkan untuk dimiliki.Ketika kita bekerja dengan persamaan diferensial atau persamaan integral, keterbatasan suatuoperator dapat memberikan pemahaman akan fenomena fisis tertentu. Dalam segi komputasi,pengerjaan akan jauh lebih mudah jika kita bekerja dengan operator yang terbatas.
Bab ini akan membahas operator maksimal Hardy-Littlewood dan operator integral fraksional.Subbab pertama akan membahas beberapa sifat dasar dari operator maksimal Hardy-LittlewoodM . Operator integral fraksional akan dibahas pada subbab selanjutnya.
3.1 Operator Maksimal Hardy-Littlewood M
Operator maksimal Hardy-Littlewood M muncul sebagai pengembangan masalah perataan padafungsi bernilai real. Jika diberikan fungsi f yang terintegralkan pada interval tutup [a, b], makakita misalkan
F (x) =∫ x
af(t) dt, dimana a ≤ x ≤ b.
Untuk mencari F ′(x), ingat bahwa berdasarkan definisi turunan,
F ′(x) = limh→0
F (x+ h)− F (x)h
= 1h
∫ x+h
xf(t) dt = 1
|I|
∫If(t) dt,
dimana kita telah menggunakan notasi I = (x, x+h), dan |I| menyatakan panjang interval.
Perhatikan bahwa persamaan di atas menyatakan nilai rata-rata f pada I. Jika |I| → 0, kitamenduga apakah ekspresi di atas akan konvergen ke f(x), yaitu apakah
lim|I|→0x∈I
1|I|
∫If(t) dt = f(x)
berlaku untuk x tertentu. Dalam dimensi yang lebih tinggi, kita bisa memperumum masalahdi atas dengan mengambil nilai rata-rata f pada himpunan tertentu yang memperumum konsepinterval di R.
13
Reformulasi permasalahan di atas untuk dimensi yang lebih tinggi adalah sebagai berikut: Misalkanf terintegralkan secara lokal pada Rn. Apakah
limm(B)→0x∈B
1|B|
∫Bf(t) dt = f(x) hampir dimana-mana?
Disini, limit diambil ketika volume bola yang memuat x menuju 0.
Jawaban dari pertanyaan di atas adalah ya, namun buktinya tidak akan diberikan di sini. Untukpembaca yang tertarik, silakan merujuk ke [7]. Yang akan dibahas di sini adalah bahwa permasa-lahan di atas akan menjadi motivasi kita untuk mempelajari operator maksimal Hardy-Littlewood.Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perlu meninjau perilaku rata-rata f secara global.Untuk mempelajari nilai limit di atas, kita pandang analogi kuantitatifnya, yaitu dengan meng-ganti notasi limit menjadi supremum, dimana supremumnya diambil dari semua bola buka yangmemuat x. Juga, kita mengganti f menjadi |f | karena kita ingin tidak akan bersentuhan denganpembatalan nilai positif dan negatif.
Ini memberikan kepada kita definisi berikut:
Definisi 3.2. Definisikan B(x) sebagai koleksi bola buka yang memuat x. Jika f adalah fungsiyang terintegralkan lokal pada Rn, maka operator maksimal Hardy-Littlewood M didefinisikansebagai
Mf(x) = supB∈B(x)
1|B|
∫B|f(y)| dy. (3.1)
Sebelum kita memasuki bagian terpenting dalam subbab ini, ada baiknya kita membahas konsepukuran suatu fungsi. Misalkan g(x) terdefinisi di Rn dan untuk setiap λ pandang himpunandimana |g| lebih besar dari λ, yakni
Eλ = {x ∈ Rn : |g(x)| > λ}.
Fungsi µ(λ), didefinisikan sebagai ukuran himpunan di atas, adalah ekspresi ukuran yang kitainginkan. Fungsi µ(λ) disebut sebagai fungsi distribusi dari |g|. Jika g ∈ Lq(Rn), maka
∫Rn|g(t)|p dt = −
∫ ∞0
λpdµ(λ). (3.2)
Salah satu sifat utama dari operator maksimal Hardy-Littlewood M adalah keterbatasannya diruang Lebesgue Lq(Rn), yaitu jika f ∈ Lq(Rn) maka Mf ∈ Lq(Rn). Kelak, operator M jugaterbatas di ruang Morrey Mp
q(Rn).
14
Teorema 3.2. Jika f ∈ L1(Rn), maka untuk setiap λ > 0 berlaku
m{x ∈ Rn : Mf(x) > λ} ≤ Anλ‖f‖1,
dimana An adalah konstanta yang hanya bergantung pada n.
Untuk membuktikan teorema di atas, kita memerlukan lemma berikut ini:
Lema 3.1 (Lema Vitali). Misalkan E adalah subhimpunan terukur dari Rn yang termuat digabungan keluarga bola B = {Bλ}λ∈Λ dengan diamater terbatas. Karenanya dari keluarga bolaini, dapat dipilih barisan bola terhitung {Bk} yang saling disjoin sedemikian sehingga
∑k
m(Bk) ≥ Cnm(E). (3.3)
Disini, Cn adalah konstanta positif yang hanya bergantung dari n. Sebagai contoh, Cn = 5−n akanmembuat pernyataan di atas bernilai benar.
Bukti: Pilih B1 sedemikian sehingga
diam(B1) ≥ 12 supλ∈Λ{diam(Bλ)} .
Sekarang, misalkan B1, B2, · · · , Bk sudah terpilih. Kita memilih Bk+1 sedemikian sehingga
diam(Bk+1) ≥ 12 supλ∈Λ{diam(Bλ) : Bλ disjoin dengan B1, B2, . . . , Bk} . (3.4)
Pada dasarnya, kita memilih bola-bola yang sebesar mungkin dari keluarga bola B. Pemilihan bolaini bisa jadi tidak tunggal, namun ketidaktunggalan pemilihannya tidak akan bermasalah dalamhal ini. Dengan cara ini, kita akan mendapatkan barisan bola B1, B2, . . . , Bk, . . .. Barisan ini bisasaja berhingga, jika tidak ada bola di B \ {B1, B2, . . . , Bk} yang disjoin dengan B1, B2, . . . , Bk.
Ada dua kasus yang diperhatikan: jika∑k
m(Bk) = ∞ atau∑k
m(Bk) < ∞. Dalam kasus
pertama, pernyataan secara otomatis bernilai benar, dalam kasus m(E) bernilai hingga atautidak berhingga. Karenanya, kita cukup pandang kasus kedua.
MisalkanB?k adalah bola yang memiliki pusat yang sama denganBk dengan diam(B?
k) = 5 diam(Bk).Akan dibuktikan bahwa ⋃
k
B?k ⊃ E. (3.5)
Untuk membuktikan ini, akan dibuktikan bahwa ⋃k B?k ⊃ Bj untuk setiap Bj yang tetap pada
B, dimana Bj ⊃ E. Kita bisa asumsikan bahwa Bj tidak berada pada barisan B1, B2, . . . , Bk, . . .,karena jika Bj berada pada barisan B1, B2, . . . , Bk, . . ., tidak ada yang perlu dibuktikan.
15
Karena∑k
m(Bk) <∞, maka limk→∞
diam(Bk)→ 0, sehingga kita bisa memilih k pertama sedemikian
sehingga diam(Bk+1) < 12 diam(Bj). Sekarang bola Bj haruslah memotong setidaknya satu dari
B1, B2, . . . , Bk, karena jika tidak, Bj yang seharusnya dipilih sebagai bola ke-(k+1) menggantikanBk+1. Dengan kata lain. Bj memotong Bj0 , untuk suatu 1 ≤ j0 ≤ k, dan 1
2 diam(Bj) ≤ diam(Bj0).Pengamatan geometri sederhana menunjukkan bahwa Bj akan termuat di bola yang pusatnyasama dengan Bj0 , dengan diameter lima kali lebih besar, yaitu Bj ⊂ B?
j0 .
Karenanya,
E ⊂ Bj ⊂ B?j0 ⊂
⋃k
B?k,
membuktikan persamaan (3.5) di atas. Akibatnya,
m(E) ≤∑k
m(B?k) = 5n
∑k
m(Bk),
membuktikan proposisi pada lemma.
Selanjutnya, kita siap untuk membuktikan Teorema 2 di atas.
Bukti Teorema 2: Pandang himpunan Eλ = {x ∈ Rn : Mf(x) > λ}. Menggunakan definisi Mf ,untuk setiap x ∈ Eλ terdapat bola dengan pusat x, sedemikian sehingga
∫Bx|f(t)| dt > λm(Bx). (3.6)
Persamaan (3.6) di atas mengatakan bahwa untuk setiap x ∈ Eλ, berlaku
m(Bx) ≤1λ‖f‖1. (3.7)
Namun di sisi lain, Eλ akan termuat pada gabungan Bx, untuk setiap x ∈ Eλ. MenggunakanLema Vitali di atas, kita dapat menemukan koleksi terhitung bola B = {Bk}, dimana Bi∩Bj = ∅jika i 6= j, dan memenuhi ∑
k
m(Bk) ≥ Cnm(Eλ) (3.8)
untuk suatu konstanta positif Cn yang hanya bergantung pada n (Kita bisa memilih Cn = 5−n,sebagai contoh). Dengan menggunakan (3.7) dan (3.8) ke setiap bola yang saling disjoin pada B,kita mempunyai
‖f‖1 =∫Rn|f(t)| dt >
∫⋃Bk
|f(t)| dt > λ∑k
m(Bk) ≥ λCnm(Eλ).
16
Akibatnya,m{x ∈ Rn : Mf(x) > λ} ≤ An
λ‖f‖1, (3.9)
dengan memilih An = C−1n .
Hasil pada Teorema 2 akan digunakan untuk membuktikan teorema berikut, yang dibuktikanoleh Hardy dan Littlewood pada [4]:
Teorema 3.3. Jika f ∈ Lq(Rn), dengan 1 < q ≤ ∞, maka Mf ∈ Lq(Rn) dan
‖Mf‖q ≤ Aq‖f‖q
dimana Aq adalah konstanta positif yang hanya bergantung pada q dan n.
Bukti: Kasus q = ∞ trivial dengan A∞ = 1, karena supremum esensial suatu fungsi tidak akanmelebihi nilai rata-rata fungsi tersebut. Asumsikan sekarang 1 < q < ∞. Untuk membuktikanini, kita akan memecah f menjadi dua bagian.
Definisikan
f1(x) =
f(x), jika |f(x)| ≥ λ2
0, lainnya.
Karenanya,
|f(x)| ≤ |f1(x)|+ λ
2 dan |Mf(x)| ≤ |Mf1(x)|+ λ
2
dan juga
{x ∈ Rn : Mf(x) > λ} ⊂{x ∈ Rn : Mf1(x) > λ
2
}
sehingga
m(Eλ) = m{x ∈ Rn : Mf(x) > λ} ≤ 2Anλ‖f1‖1 = 2An
λ
∫x∈Rn : |f(x)|>λ/2
|f(x)| dx. (3.10)
Pertidaksamaan pada (3.10) memanfaatkan Teorema 2 karena jika f ∈ Lq(Rn), maka f1 ∈ L1(Rn).
Sekarang, tulis g = Mf , dan µ adalah fungsi distribusi dari g. Karenanya, menggunakan (3.1)dan integral parsial, kita mempunyai
∫Rn
(Mf)q dx = −∫ ∞
0λqdµ(λ) = q
∫ ∞0
λq−1.µ(λ) dλ
17
Dengan menggunakan (3.10),
‖Mf‖qq = q∫ ∞
0λq−1m(Eλ)dλ ≤ q
∫ ∞0
λq−1(
2Anλ
∫x∈Rn : |f(x)|>λ/2
|f(x)| dx)dλ.
Integral lipat di atas dihitung dengan menukar urutan pengintegralan: kita integralkan terlebihdahulu terhadap λ. Integral yang di dalam menjadi
∫ 2|f(x)|
0λq−2 dλ = 1
q − 1 |2f(x)|q−1. (3.11)
Jadi, integral lipat di atas memiliki nilai
2Anqq − 1
∫Rn|f ||2f |q−1 = Aqq
∫Rn|f |q dx = Aqq‖f‖qq (3.12)
sehingga
‖Mf‖q ≤ Aq‖f‖q,
dimanaAq adalah konstanta yang bergantung pada q dan n. Ini membuktikan teorema di atas.
Berbekalkan teorema sebelumnya, kita siap untuk membuktikan keterbatasan operator Hardy-Littlewood M di Mp
q(Rn), yang dijelaskan dalam teorema berikut:
Teorema 3.4. Diberikan 1 < q ≤ p <∞, dan f ∈Mpq(Rn). Karenanya,
‖Mf‖Mpq. ‖f‖Mp
q.
Bukti: Ambil sebarang bola B = B(a, r) ⊂ Rn dan f ∈Mpq(Rn). Tulis f = f1 + f2 dimana
f1(x) =
f(x), jika x ∈ 5B = B(a, 5r)
0, lainnyadan f2(x) =
f(x), jika x /∈ 5B = B(a, 5r)
0, lainnya.
Perhatikan bahwa
|B|1p− 1q
(∫BMf1(t)q dt
) 1q
≤ |B|1p− 1q
(∫RnMf1(t)q dt
) 1q
. |Q|1p− 1q
(∫5B|f(t)|q dt
) 1q
. |5Q|1p− 1q
(∫5B|f(t)|q dt
) 1q
. ‖f‖Mpq.
18
Sekarang, perhatikan bahwa jika R adalah bola yang memotong B dan Rn \B, maka diam(R) ≥2 diam(B) dan 2R ⊃ B. Karenanya,
Mf2(t) . supB⊂R
1|R|
∫R|f(t)| dt. (3.13)
Akibatnya,
|B|1p− 1q
(∫BMf2(t)q dt
) 1q
. |B|1p supB⊂R
1|R|
∫R|f(t)| dt
yang memberikan
|B|1p− 1q
(∫BMf2(t)q dt
) 1q
. supR|R|
1p−1∫R|f(t)| dt = ‖f‖Mp
1≤ ‖f‖Mp
q. (3.14)
Sekarang kita mempunyai
|B|1p− 1q ‖Mf1‖q = |B|
1p− 1q
(∫BMf1(t)q dt
) 1q
. ‖f‖Mpq
dan
|B|1p− 1q ‖Mf2‖q = |B|
1p− 1q
(∫BMf2(t)q dt
) 1q
. ‖f‖Mpq.
Karenanya,
|B|1p− 1q
(∫BMf(t)q dt
) 1q
. ‖f‖Mpq.
Dengan mengambil supremum pada ruas kiri untuk semua B, didapat ‖Mf‖Mpq. ‖f‖Mp
q.
3.2 Operator Integral Fraksional Iα
Salah satu operator yang juga berperilaku secara baik di ruang Lebesgue Lq(Rn) adalah operatorintegral fraksional Iα. Operator ini banyak digunakan dalam bidang Analisis Fourier, persamaanintegral, maupun persamaan diferensial parsial. Operator ini memetakan fungsi ke fungsi lainnyapada Rn.
Definisi 3.3. Untuk 0 < α < n, operator integral fraksional Iα didefinisikan sebagai
Iαf(x) =∫Rn
f(y)|x− y|n−α
dy
19
dimana f adalah fungsi bernilai real pada Rn.
Operator integral fraksional Iα juga dikenal sebagai Potensial Riesz (dengan derajat α). Jikaα = 2, operator Iα sering disebut sebagai Potensial Newton. Operator ini dipelajari pertamakali oleh Hardy dan Littlewood pada tahun 1920-an (lihat [5]) dan oleh Sobolev pada tahun1938.
Hardy dan Littlewood membuktikan bahwa Iα adalah operator yang membawa fungsi di Lq(Rn)ke Ls(Rn). Pernyataan tadi dijelaskan secara lebih rinci pada teorema berikut:
Teorema 3.5 (Ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev). Jika α = n
q− n
s, 1 < q < s < ∞,
maka
‖Iαf‖s . ‖f‖q.
Bukti: Tulis
Iαf(x) =∫|x−y|<R
f(y)|x− y|n−α
dy +∫|x−y≥R
f(y)|x− y|n−α
dy
= I1(x) + I2(x).
Perhatikan bahwa kita dapat mengaproksimasi I1(x) sebagai berikut:
|I1f(x)| ≤∫|x−y|<R
|f(y)||x− y|n−α
dy
=−1∑
k=−∞
∫B(x,2k+1R)\B(x,2kR)
|f(y)||x− y|n−α
dy
≤−1∑
k=−∞
1(2kR)n−α
∫B(x,2k+1R)\B(x,2kR)
|f(y)| dy
≤−1∑
k=−∞
1(2kR)n−α
∫B(x,2k+1R)
|f(y)| dy
.−1∑
k=−∞
1(2kR)n−α
((2k+1R)nMf(x)
)
. 2n−1∑
k=−∞(2α)kRαMf(x)
. RαMf(x).
Di sini, kita telah menggunakan fakta bahwa |x− y| ≥ 2kR.
20
Untuk mengaproksimasi I2(x), kita akan menggunakan Ketaksamaan Holder. Perhatikan bahwa
|I2f(x)| ≤∫|x−y|≥R
|f(y)||x− y|n−α
dy
=∞∑k=0
∫B(x,2k+1R)\B(x,2kR)
|f(y)||x− y|n−α
dy
≤∞∑k=0
1(2kR)n−α
∫B(x,2k+1R)\B(x,2kR)
|f(y)| dy
≤∞∑k=0
1(2kR)n−α
∫B(x,2k+1R)
|f(y)| dy
≤∞∑k=0
1(2kR)n−α
[∫B(x,2k+1R)
|f(y)|q dy] 1q[∫
B(x,2k+1R)dy
]1− 1q
.∞∑k=0
(2k+1R)n(1− 1q
)
(2kR)n−α
[∫B(x,2k+1R)
|f(y)|q dy] 1q
. R−ns ‖f‖q.
Sekarang, kita mempunyai
|Iαf(x)| ≤ |I1f(x)|+ |I2f(x)|
≤ C(RαMf(x) +R−
ns ‖f‖q
)dan R > 0 dapat kita pilih sedemikian sehingga
Mf(x)‖f‖q
= R−ns−α = R−
nq . (3.15)
Pemilihan R seperti ini menyebabkan
|Iαf(x)| . (Mf(x))qs ‖f‖1− q
sq
yang mengakibatkan
‖Iαf(x)‖ss =∫Rn|Iαf(y)|s dy
.∫Rn
(Mf(y))q ‖f‖s−qq dy
. ‖f‖s−q∫Rn
(Mf(y))q dy
. ‖f‖s−qq ‖f‖qq
. ‖f‖sq.
Disini, kita telah menggunakan fakta bahwa ‖Mf(x)‖q . ‖f‖q. Akibatnya, ‖Iαf(x)‖s . ‖f‖q.
21
Sekarang, kita bisa membuktikan keterbatasan operator integral fraksional Iα di ruang Morrey.Keterbatasan operator integral fraksional di ruang Morrey ini dipelajari pertama kali oleh [1] serta[2]. Bukti keterbatasan Iα di ruang Morrey ini mirip dengan keterbatasan Iα di ruang Lebesgue,dan buktinya akan memanfaatkan keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood M di ruangMorrey.
Teorema 3.6. Diberikan 1 < q ≤ p <n
αdan 0 < α < n. Jika untuk 1 < t ≤ s <∞ berlaku
1s
= 1p− α
ndan q
p= t
s,
maka
‖Iαf‖Mst. ‖f‖Mp
q.
Bukti: Tulis kembali
Iαf(x) =∫|x−y|<R
f(y)|x− y|n−α
dy +∫|x−y≥R
f(y)|x− y|n−α
dy
= I1(x) + I2(x).
Perhatikan bahwa kita dapat mengaproksimasi I1(x) sebagai berikut:
|I1f(x)| ≤∫|x−y|<R
|f(y)||x− y|n−α
dy
=−1∑
k=−∞
∫B(x,2k+1R)\B(x,2kR)
|f(y)||x− y|n−α
dy
≤−1∑
k=−∞
1(2kR)n−α
∫B(x,2k+1R)\B(x,2kR)
|f(y)| dy
≤−1∑
k=−∞
1(2kR)n−α
∫B(x,2k+1R)
|f(y)| dy
.−1∑
k=−∞
1(2kR)n−α
((2k+1R)nMf(x)
)
. 2n−1∑
k=−∞(2α)kRαMf(x)
. RαMf(x).
Disini, kita telah menggunakan fakta bahwa |x− y| ≥ 2kR.
Untuk aproksimasi I2(x), kembali kita akan menggunakan Ketaksamaan Holder. Perhatikan
22
bahwa
|I2f(x)| ≤∫|x−y|≥R
|f(y)||x− y|n−α
dy
=∞∑k=0
∫B(x,2k+1R)\B(x,2kR)
|f(y)||x− y|n−α
dy
≤∞∑k=0
1(2kR)n−α
∫B(x,2k+1R)\B(x,2kR)
|f(y)| dy
≤∞∑k=0
1(2kR)n−α
∫B(x,2k+1R)
|f(y)| dy
≤∞∑k=0
1(2kR)n−α
[∫B(x,2k+1R)
|f(y)|q dy] 1p[∫
B(x,2k+1R)dy
]1− 1q
.∞∑k=0
(2k+1R)n(1− 1q
)
(2kR)n−α
[∫B(x,2k+1R)
|f(y)|q dy] 1q
.
Karena
|B(x, 2k+1R)|1p− 1q
[∫B(x,2k+1R)
|f(y)|q] 1q
≤ ‖f‖Mpq, (3.16)
maka [∫B(x,2k+1R)
|f(y)|q] 1q
≤‖f‖Mp
q
|B(x, 2k+1R)|1p− 1q
≤‖f‖Mp
q
(2k+1R)n( 1p− 1q
). (3.17)
Jadi,
|I2f(x)| .∞∑k=0
(2k+1R)n(1− 1q
)
(2kR)n−α
[∫B(x,2k+1R)
|f(y)|q dy] 1q
.∞∑k=0
(2k+1R)n(1− 1q
)
(2kR)n−α‖f‖Mp
q
(2k+1R)n( 1p− 1q
)
. R−ns ‖f‖Mp
q.
Sekarang, kita mempunyai
|Iαf(x)| ≤ |I1f(x)|+ |I2f(x)|
. RαMf(x) +R−ns ‖f‖Mp
q
dan R > 0 dapat kita pilih sedemikian sehingga
RαMf(x) = R−ns ‖f‖Mp
q
atau
R =(‖f‖Mp
q
Mf(x)
) pn
. (3.18)
23
Pemilihan R seperti ini menyebabkan
|Iαf(x)| . ‖f‖1− ps
Mpq|Mf(x)|
ps = ‖f‖1− p
s
Mpq|Mf(x)|
qt . (3.19)
Di lain pihak, kita mempunyai
|B(x, r)|1p− 1q
[∫B(x,r)
|Mf(x)|q dx] 1q
≤ ‖Mf‖Mpq,
sehingga
[∫B(x,r)
|Mf(x)|q dx] 1q
≤‖Mf‖Mp
q
|B(x, r)|1p− 1q
atau
[∫B(x,r)
|Mf(x)|q dx] 1t
≤‖Mf‖
qt
Mpq
|B(x, r)|1t( qp−1)
=‖Mf‖
qt
Mpq
|B(x, r)| 1t ( ts−1)
=‖Mf‖
qt
Mpq
|B(x, r)| 1s− 1t
.
Akibatnya,
‖Iαf‖s,t = supx∈Rnr>0
|B(x, r)| 1s− 1t
[∫B|Iαf(x)|t dx
] 1t
. supx∈Rnr>0
|B(x, r)| 1s− 1t
[∫B‖f‖t(1−
ps
)Mp
q|Mf(x)|q dx
] 1t
. supx∈Rnr>0
|B(x, r)| 1s− 1t ‖f‖1− p
s
Mpq
[∫B|Mf(x)|q dx
] 1t
. supx∈Rnr>0
|B(x, r)| 1s− 1t ‖f‖1− p
s
Mpq
‖Mf‖qt
Mpq
|B(x, r)| 1s− 1t
. supx∈Rnr>0
‖f‖1− ps
Mpq‖Mf‖
qt
Mpq
. ‖f‖1− ps
Mpq‖Mf‖
ps
Mpq
. ‖f‖1− ps
Mpq‖f‖
ps
Mpq
= ‖f‖Mpq
membuktikan yang diinginkan.
Perhatikan bahwa jika p = q, maka s = t, dan proposisi di atas tidak lain dan tidak bukan adalahKetaksamaan Hardy-Littlewood Sobolev. Keterbatasan operator integral fraksional ini adalah
24
sesuatu yang juga ditemui di ruang Morrey Lq,λ, seperti yang dibuktikan oleh Adams (lihat [1]).Lebih lanjut lagi, Gunawan membuktikan bahwa operator Iα juga terbatas di ruang Morrey yangdiperumum Mp,φ. Pembaca yang tertarik bisa merujuk ke [3].
25
Bab 4
Ruang Lebesgue Lemah wLq(Rn)
Seperti yang sudah diutarakan sebelumnya, operator integral fraksional hanya memetakan fungsiyang merupakan anggota Lq(Rn) dimana q > 1. Pertanyaannya sekarang, kemana fungsi f ∈L1(Rn) dibawa oleh Iα?
Ini memberikan intuisi bahwa ruang Lebesgue Lq(Rn) dapat diperluas dengan memperlemahsyarat pada Iα. Ini memotivasi munculnya terminologi ruang Lebesgue lemah, yakni denganmemperlemah syarat keanggotaan pada ruang Lebesgue, sehingga lebih banyak fungsi yang bisamenjadi anggota. Pada bab ini dan bab selanjutnya, m akan menyatakan ukuran Lebesgue diRn.
4.1 Definisi dan Sifat-Sifat
Definisi 4.1. Untuk 0 < q < ∞, ruang Lq(Rn) lemah adalah himpunan semua (kelas ekivalen)fungsi terukur f sedemikian sehingga
m{x ∈ Rn : |f(x)| > γ} ≤(C
γ
)q.
untuk suatu C > 0. Ruang Lq(Rn) lemah dinotasikan sebagai wLq(Rn). Ruang Lebesgue Lq(Rn)disebut sebagai versi kuat dari wLq(Rn).
Norma pada wLq(Rn), dinotasikan ‖ · ‖wLq , didefinisikan sebagai nilai C terkecil pada definisi diatas, yaitu
‖f‖wLq = infC>0
{C : m{x ∈ Rn : |f(x)| > γ} ≤
(C
γ
)q}
26
=(
supγ>0
γq m {x ∈ Rn : |f(x)| > γ}) 1q
= supγ>0
γ m {x ∈ Rn : |f(x)| > γ}1q .
Dengan kata lain, kita dapat definisikan kembali ruang Lebesgue lemah wLq(Rn) dengan keang-gotaannya berdasarkan norma pada wLq(Rn) sebagai berikut:
Definisi 4.2. Ruang Lebesgue lemah wLq(Rn) adalah himpunan semua (kelas ekivalen) fungsiterukur f sedemikian sehingga ‖f‖wLq <∞, dimana normanya didefinisikan sebagai
‖f‖wLq = supγ>0
γ m{x ∈ Rn : |f(x)| > γ}1q .
Dua fungsi di wLq(Rn) dikatakan sama jika mereka sama m−hampir dimana-mana.
Ruang Lebesgue lemah wLq(Rn) adalah ruang yang lebih besar dari versi kuatnya, seperti yangdijelaskan dalam proposisi berikut:
Proposisi 4.1. Diberikan 0 < q <∞ dan f ∈ Lq(Rn), maka berlaku
Lq(Rn) ⊂ wLq(Rn)
dan sebagai akibatnya,
‖f‖wLq ≤ ‖f‖q.
Bukti: Jika f ∈ Lq(Rn), maka
γqm{x ∈ Rn : |f(x)| > γ} ≤∫{|f(x)|>γ}
|f(x)|q dx
≤∫Rn|f(x)|q dx
= ‖f‖qq.
Jadi,
m{x ∈ Rn : |f(x)| > γ} ≤(‖f‖qγ
)q
membuktikan bahwa f ∈ wLq(Rn). Jadi Lq(Rn) ⊂ wLq(Rn).
Inklusi di atas bersifat sejati, yaitu Lq(Rn) adalah subhimpunan sejati dari wLq(Rn). Untuk
27
melihat hal ini, misalkan f(x) = x−1q pada R. Kita mempunyai
m
x ∈ R : 1|x|
1q
> γ
= m
{x ∈ R : |x| < 1
γq
}= 2γ−q. (4.1)
Jadi, f ∈ wLq(R), tetapi∫R|f(x)|q dx =
∫ ∞−∞
1|x|
dx
= 2∫ ∞
0
1xdx =∞,
membuktikan bahwa f /∈ Lq(R).
Terkait norma di wLq(Rn, kita mempunyai proposisi berikut:
Proposisi 4.2. Misalkan f, g ∈ wLq(Rn), maka
1. ‖cf‖wLq = |c|‖f‖wLq ,
2. ‖f + g‖wLq ≤ 2 (‖f‖qwLq + ‖g‖qwLq)1q .
Bukti: Pada bagian pertama, jika c = 0 maka pernyataan benar. Asumsikan c 6= 0. Kitamempunyai
m{x ∈ Rn : |cf(x)| > γ} = m
{x ∈ Rn : |f(x)| > γ
|c|
}.
Akibatnya,
‖cf‖wLq = supγ>0
γ m
{x ∈ Rn : |f(x)| > γ
|c|
} 1q
. (4.2)
Tulis λ = γ
|c|. Persamaan (4.2) dapat ditulis menjadi
‖cf‖wLq = supλ>0|c| λ m{x ∈ Rn : |f(x)| > λ}
1q
= |c| supλ>0
λ m{x ∈ Rn : |f(x)| > λ}1q
= |c|‖f‖wLq
Pada bagian kedua, perhatikan bahwa
{x ∈ Rn : |f(x) + g(x)| > γ} ⊆{x ∈ Rn : |f(x)| > γ
2
}⋃{x ∈ Rn : |g(x)| > γ
2
}.
28
Akibatnya,
m{x ∈ Rn : |f(x) + g(x)| > γ} ≤ m{x ∈ Rn : |f(x)| > γ
2
}+m
{x ∈ Rn : |g(x)| > γ
2
}, (4.3)
yang berakibat
γqm{x ∈ Rn : |f(x) + g(x)| > γ} ≤ γqm{x ∈ Rn : |f(x)| > γ
2
}+ γqm
{x ∈ Rn : |g(x)| > γ
2
}≤ 2q
(supγ>0
γqm{x : |f(x)| > γ
2
}+ sup
γ>0γqm
{x : |g(x)| > γ
2
})= 2q (‖f‖qwLq + ‖g‖qwLq) .
Dengan mengambil pangkat 1q
di kedua ruas dan mengambil supremum pada ruas kiri untuksemua γ > 0, didapat ‖f + g‖wLq ≤ 2 (‖f‖qwLq + ‖g‖qwLq)
1q , seperti yang diinginkan.
Proposisi bagian (a) di atas mengingatkan kita akan sifat norma, namun ada sedikit perubahanpada bagian (b).
Definisi 4.3. Misalkan V adalah ruang vektor atas K = R atau C. Fungsional ‖ · ‖ : V → Kdisebut kuasi-norma jika
1. ‖f‖ ≥ 0 untuk setiap f ∈ V , dan ‖f‖ = 0 jika dan hanya jika f = 0,
2. ‖cf‖ = |c|‖f‖,
3. ‖f + g‖ ≤ C(‖f‖+ ‖g‖) dimana C ≥ 1.
Proposisi di atas mengatakan bahwa ‖ · ‖wLq adalah kuasi-norma pada wLq(Rn).
4.2 Keterbatasan Tipe Lemah Operator Iα di Lq(Rn)
Berikut ini disajikan ketaksamaan tipe lemah operator integral fraksional di ruang Lq(Rn), yangdiberikan dalam teorema berikut:Teorema 4.1. Misal m adalah ukuran Lebesgue pada Rn, 1 ≤ q < n
α, dan 1
s= 1
q− α
n, maka untuk
setiap γ > 0 dan f ∈ Lq(Rn), kita mempunyai
m{x ∈ Rn : |Iαf(x)| > γ} .(‖f‖qγ
)s.
29
Bukti: Tulis
Iαf(x) =∫
|x−y|≤R
f(y)|x− y|n−α
dy +∫
|x−y|>R
f(y)|x− y|n−α
dy := Iαf1(x) + Iαf2(x).
Kita mempunyai
|Iαf2(x)| ≤∫
|x−y|>R
|f(y)||x− y|n−α
dy
≤[∫|x−y|>R
|f(y)|q dy] 1q[∫|x−y|>R
1|x− y|(n−α)q′ dy
]1− 1q
≤ ‖f‖q[ ∞∑k=0
∫2kR≤|x−y|≤2k+1R
1|x− y|(n−α)q′ dy
]1− 1q
≤ ‖f‖q[ ∞∑k=0
1(2kR)(n−α)q′
∫2kR≤|x−y|≤2k+1R
dy
]1− 1q
≤ ‖f‖q[ ∞∑k=0
(2k+1R)n(2kR)(n−α)q′
]1− 1q
. ‖f‖q Rα−nq ,
dimana q′ menyatakan dual konjugat dari q.
Untuk setiap γ > 0, pilih R sedemikian sehingga ‖f‖q Rα−nq = γ
2 . Tuliskan
{x ∈ Rn : |Iαf(x)| > γ} ⊂{x ∈ Rn : |Iαf1(x)| > γ
2
}∪{x ∈ Rn : |Iαf2(x)| > γ
2
}.
Kita mempunyai himpunan kedua di ruas kanan merupakan himpunan kosong, dan
|Iαf1(x)| ≤∫
|x−y|≤R
|f(y)||x− y|n−α
≤
∫|x−y|≤R
|f(y)|q|x− y|n−α
dy
1q ∫|x−y|≤R
1|x− y|n−α
dy
1− 1
q
≤
∫|x−y|≤R
|f(y)|q|x− y|n−α
dy
1q −1∑
k=−∞
∫2kR≤|x−y|≤2k+1R
1|x− y|n−α
dy
1− 1q
30
≤
∫|x−y|≤R
|f(y)|q|x− y|n−α
dy
1q −1∑
k=−∞
(2k+1R)n(2kR)n−α
1− 1q
. Rα(1− 1q
)
∫|x−y|≤R
|f(y)|q|x− y|n−α
dy
1q
.
Dengan ketaksamaan Chebyshev, kita mempunyai
m{x ∈ Rn : |Iαf(x)| > γ} ≤ m{x ∈ Rn : |Iαf1(x)| > γ
2
}. Rαq(1− 1
q)γ−q
∫Rn
∫|x−y|≤R
|f(y)|q|x− y|n−α
dy dx
. Rαq(1− 1q
)γ−q∫Rn
∫|x−y|≤R
dx
|x− y|n−α|f(y)|q dy
. Rαq(1− 1q
) γ−q Rα∫Rn|f(y)|q dy
. Rαq(1− 1q
) γ−q Rα‖f‖qq. γ−s‖f‖sq
.
(‖f‖qγ
)s.
Dua pertidaksamaan terakhir didapat dengan mensubstitusikan R yang telah dipilih sebelumnya.Perhatikan jika γ dipilih besar sekali, ukuran himpunan {x ∈ Rn : |Iαf(x)| > γ} akan mengecil,demikian pula sebaliknya.
31
Bab 5
Ruang Morrey Lemah wMpq(Rn)
Bab sebelumnya memberikan gambaran kepada kita bahwa ruang Lebesgue Lq(Rn) dapat diper-luas menjadi wLq(Rn) karena adanya indikasi yang diberikan operator integral fraksional Iα untukfungsi di L1(Rn). Dengan ide yang sama, ruang Morrey dapat diperluas menjadi versi lemah-nya.
5.1 Definisi dan Sifat-Sifat
Definisi 5.1. Untuk 1 ≤ q ≤ p < ∞, ruang Mpq(Rn) lemah adalah himpunan semua (kelas
ekivalen) fungsi terukur f sedemikian sehingga untuk setiap B(a, r) ⊂ Rn,
m{x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ} ≤ |B(a, r)|1−qp
(C
γ
)q
untuk suatu C > 0. RuangMpq(Rn) lemah dinotasikan sebagai wMp
q(Rn). Ruang MorreyMpq(Rn)
disebut sebagai versi kuat dari wMpq(Rn).
Norm pada wMpq(Rn), dinotasikan ‖ · ‖wMp
q, didefinisikan sebagai nilai C terkecil pada definisi di
atas, yaitu
‖f‖wMpq
= infC>0
{C : m {x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ} ≤ |B(a, r)|1−
qp
(C
γ
)q}= sup
B(a,r)γ>0
|B(a, r)|1p− 1q γ m {x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ}
1q .
Fakta: Perhatikan bahwa jika p = q, maka ‖f‖wMpq
= ‖f‖wLp .
Dengan kata lain, kita dapat definisikan kembali ruang Morrey lemah wMpq(Rn) dengan keang-
32
gotaannya berdasarkan norma pada wMpq(Rn) sebagai berikut:
Definisi 5.2. Ruang Morrey lemah wMpq(Rn) adalah himpunan semua (kelas ekivalen) fungsi
terukur f sedemikian sehingga ‖f‖wMpq<∞, dimana normanya didefinisikan sebagai
‖f‖wMpq
= supB(a,r)γ>0
|B(a, r)|1p− 1q γ m {x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ}
1q .
Dua fungsi di wMpq(Rn) dikatakan sama jika mereka sama m−hampir dimana-mana.
Catatan: ‖ · ‖wMpq
juga membentuk kuasi-norma di wMpq(Rn).
Ruang Morrey lemah wMpq(Rn) adalah ruang yang lebih besar dari versi kuatnya, seperti yang
dijelaskan dalam proposisi berikut:
Proposisi 5.1. Diberikan 1 ≤ q ≤ p <∞ dan f ∈Mpq(Rn), maka berlaku
Mpq(Rn) ⊂ wMp
q(Rn)
dan sebagai akibatnya,
‖f‖wMpq≤ ‖f‖Mp
q.
Bukti: Kita mempunyai
γq m{x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ} ≤∫{x∈B(a,r) : |f(x)|>γ}
|f(x)|q dx
≤∫B(a,r)
|f(x)|q dx.
Akibatnya,
γ m{x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ}1q ≤
[∫B(a,r)
|f(x)|q dx] 1q
sehingga
|B(a, r)|1p− 1q γ m{x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ}
1q ≤ |B(a, r)|
1p− 1q
[∫B(a,r)
|f(x)|q dx] 1q
≤ ‖f‖Mpq. (5.1)
Dari persamaan di atas kita mempunyai
m{x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ} ≤ |B(a, r)|1−qp
(‖f‖Mp
q
γ
)q. (5.2)
33
Berdasarkan definisi, f ∈ wMpq(Rn). Lebih lanjut lagi, dari (5.1), karena ruas kanan tidak lagi
bergantung pada γ > 0, a ∈ Rn, dan r > 0, maka dengan mengambil supremum dari ruas kiriuntuk setiap γ > 0, a ∈ Rn, dan r > 0, kita mempunyai ‖f‖wMp
q≤ ‖f‖Mp
q.
Inklusi di atas bersifat sejati, yaitu terdapat anggota wMpq(Rn) yang tidak terdapat di versi
kuatnya. Fungsi Dirac δ adalah salah satu contohnya. Fungsi Dirac δ : R → R ∪ {∞} adalahfungsi yang didefinisikan sebagai
δ(x) =
∞, x = 0
0, x lainnya
yang juga dibatasi untuk memenuhi identitas∫ ∞−∞
δ(x) dx = 1.
Untuk melihat bahwa fungsi δ ini merupakan anggota wMpq(R) namun bukan merupakan anggota
Mpq(R) untuk setiap p dan q yang memenuhi 1 < q ≤ p <∞, perhatikan bahwa
‖δ‖Mpq
= supa∈Rr>0
(2r)1p− 1q
(∫ a+r
a−r|δ(x)|q dx
) 1q
≥ supr>0
(2r)1p− 1q
(∫ +r
−r|δ(x)|q dx
) 1q
=∞,
sehingga δ /∈Mpq(R). Namun, untuk setiap γ > 0 dan setiap interval buka B(a, r) = (a−r, a+r),
berlaku
{x ∈ B(a, r) : |δ(x)| > γ} = {0},
sehingga
m{x ∈ B(a, r) : |δ(x)| > γ} = 0.
Ini berarti
‖δ‖wMpq
= supB(a,r)γ>0
(2r)1p− 1q γm{x ∈ B(a, r) : |δ(x)| > γ}
1q
= 0
yang mengakibatkan f ∈ wMpq(R).
34
Catatan: Fungsi Dirac δ ini bukan merupakan fungsi dalam pengertian kita sehari-hari, karenasetiap fungsi bernilai real yang diperluas yang bernilai nol hampir dimana-mana haruslah memilikiintegral total nol. Secara formal, Dirac δ dapat dipandang sebagai sebuah distribusi, yakni fungsiyang diperumum (generalized function) yang juga suatu ukuran. Kita tidak akan membahasnyasecara detail di sini. Pembaca yang tertarik bisa merujuk ke [8].
Selain ’fungsi’ Dirac, ternyata juga ada fungsi, dalam pengertian yang sebenarnya, yang jugamerupakan anggota wMp
q(Rn) namun tidak termuat di Mpq(Rn). Untuk 1 < q ≤ p < ∞,
misalkan α = 1 + 1p− 1
q. Definisikan
f : R→ R dengan aturan f(x) = 1|x|α
Akan dibuktikan bahwa f /∈Mpq(R) dengan membaginya menjadi dua kasus:
1. Kasus pertama: αq ≥ 1. Karena untuk setiap r > 0 berlaku∫ r
−r
1|x|αq
dx = 2∫ r
0
1xαq
dx =∞,
maka
‖f‖Mpq
= supa∈Rr>0
(2r)1p− 1q
(∫ a+r
a−r
1|x|αq
dx
) 1q
=∞.
2. Kasus kedua: 0 < αq < 1. Karena untuk setiap r > 0 berlaku
r1p− 1q
(∫ r
−r
1|x|αq
dx
) 1q
= 21q r
1p− 1q
(∫ r
0
1xαq
dx) 1q
= 21q
(1− αq)1q
r1p− 1q r
1q−α = 2
1q
(1− αq)1q
r1q−1,
maka
supr>0
r1p− 1q
(∫ r
−r
1|x|αq
dx
) 1q
= supr>0
21q
(1− αq)1q
r1q−1 =∞
sehingga
‖f‖Mpq
= supa∈Rr>0
(2r)1p− 1q
(∫ a+r
a−r
1|x|αq
dx
) 1q
=∞.
Dari kedua kasus terbukti bahwa f /∈Mpq(R). Selanjutnya akan dibuktikan bahwa f ∈ wMp
q(R).
35
Ambil sebarang a ∈ R dan r > 0. Karena untuk setiap γ > 0 berlaku
γ m{x ∈ (a− r, a+ r) : |f(x)| > γ} = γ m{x ∈ (a− r, a+ r) : |x|−α > γ}
= γ m{x ∈ (a− r, a+ r) : |x| < γ−1α}
≤ γmin{m(a− r, a+ r),m(−γ− 1α , γ−
1α )}
= min{2γr, 2γ1− 1α}
≤ 2(r−α)r = 2r1−α,
maka
(2r)1p− 1q supγ>0
γm{x ∈ (a− r, a+ r) : |f(x)| > γ} ≤ 2α,
sehingga
supa∈R,r>0
(2r)1p− 1q supγ>0
γ|{x ∈ (a− r, a+ r) : |f(x)| > γ}| ≤ 2α.
Ini menunjukkan bahwa f ∈ wMpq(R) \Mp
q(R).
Terkait kemonotonan wMpq(Rn), kita mempunyai proposisi berikut:
Proposisi 5.2. Jika 1 ≤ q1 < q2 ≤ p <∞, maka
Mpq2(Rn) ⊂Mp
q1(Rn).
Bukti: Ambil f ∈ wMpq2(Rn), karenanya untuk setiap γ > 0, a ∈ Rn, dan r > 0, kita mempunyai
|B(a, r)|1p− 1q2 γ m{x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ}
1q2 ≤ ‖f‖Mp
q2.
Akibatnya, untuk setiap γ > 0, a ∈ Rn, dan r > 0, kita mempunyai
γ ≤ |B(a, r)|1q2− 1p
m{x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ}1q2
‖f‖Mpq2. (5.3)
36
Sekarang, dengan substitusi γ pada (5.3), kita mempunyai
|B(a, r)|1p− 1q1 γ m{x ∈ B(a, r) : |f(x)|γ}
1q1 ≤ |B(a, r)|
1q2− 1q1 m{x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ}
1q1
m{x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ}1q2
‖f‖wMpq2
= |B(a, r)|1q2− 1q1 m{x ∈ B(a, r) : |f(x)| > γ}
1q1− 1q2 ‖f‖wMp
q2
< |B(a, r)|1q2− 1q1 |B(a, r)|
1q1− 1q2 ‖f‖wMp
q2
= ‖f‖wMpq2.
Karena ruas kanan tidak bergantung pada γ > 0, a ∈ Rn, dan r > 0, maka dengan mengambilsupremum pada ruas kiri untuk setiap γ > 0, a ∈ Rn, dan r > 0, kita mempunyai ‖f‖wMp
q1≤
‖f‖wMpq2
, yang berakibat wMpq2(Rn) ⊂ wMp
q1(Rn).
Ini memberikan kepada kita pemahaman bahwa kemonotonan, sifat yang mudah dilihat jika kitabekerja di Mp
q(Rn), juga sifat yang dipertahankan di wMpq(Rn).
5.2 Keterbatasan Tipe Lemah Operator Iα di Mpq(Rn)
Berikut ini disajikan ketaksamaan tipe lemah operator integral fraksional di ruangMpq(Rn), yang
diberikan dalam teorema berikut:
Teorema 5.1. Diberikan 1 ≤ q ≤ p < nα
, dimana αn
= 1p− 1
sdan t
s= q
p. Karenanya untuk
1 ≤ t ≤ s <∞ berlaku
m{x ∈ B(a, r) : |Iαf(x)| > γ} . |B(a, r)|1− ts(‖f‖Mp
q
γ
)t
untuk setiap γ > 0 dan f ∈Mpq(Rn).
Untuk membuktikan teorema di atas, kita memerlukan dua lema berikut:
Lema 5.1. Jika χA menyatakan fungsi karakteristik pada himpunan A, yakni jika χA(x) bernilai1 jika x ∈ A dan bernilai 0 jika x /∈ A, maka
∫|x−y|≤R
χB(a,r)(x)|x− y|n−α
dx . RαMχB(a,r)(y).
37
Bukti: Perhatikan bahwa∫|x−y|≤R
χB(a,r)(x)|x− y|n−α
dx =−1∑
k=−∞
∫2kR≤|x−y|≤2k+1R
χB(a,r)(x)|x− y|n−α
dx
.−1∑
k=−∞
1(2kR)n−α
∫2kR≤|x−y|≤2k+1R
χB(a,r)(x) dx
.−1∑
k=−∞
1(2kR)n−α
∫|x−y|≤2k+1R
χB(a,r)(x) dx
. Rα−1∑
k=−∞(2k)α 1
(2k+1R)n
(∫|x−y|≤2k+1R
χB(a,r)(x) dx)
. Rα−1∑
k=−∞(2k)αMχB(a,r)(y)
. RαMχB(a,r)(y),
membuktikan yang diinginkan.
Lema 5.2. Jika f ∈Mpq(Rn) dan χA menyatakan fungsi karakteristik pada himpunan A, maka∫Rn|f(y)|q MχB(a,r)(y)dy . |B(a, r)|1−
qp‖f‖qMp
q.
Bukti: Kita dapat menuliskan∫Rn|f(y)|q MχB(a,r)(y) dy sebagai
∫B(a,r)
|f(y)|q MχB(a,r)(y) dy +∞∑k=1
∫B(a,2k+1r)\B(a,2kr)
|f(y)|q MχB(a,r)(y) dy.
Sekarang, jika y ∈ B(a, r) sebarang, maka untuk setiap t > 0,
1|B(y, t)|
∫B(y,t)
χB(a,r)(x) dx ≤ |B(y, t) ∩B(a, r)||B(y, t)| ≤ 1
sehingga dengan mengambil supremum pada ruas kiri untuk setiap bola yang berpusat di y,didapatlah
MχB(a,r)(y) = supB(y,t)
1|B(y, t)|
∫B(y,t)
χB(a,r)(x) dx ≤ 1.
Akibatnya,∫B(a,r)
|f(y)|q MχB(a,r)(y) dy ≤∫B(a,r)
|f(y)|q dy
. |B(a, r)|1−qp‖f‖qMp
q.
38
Sekarang, untuk setiap k ∈ N, jika y ∈ B(a, 2k+1r)\B(a, 2kr) sebarang, maka untuk setiap t > 0,
1|B(y, t)|
∫B(y,t)
χB(a,r)(x) dx ≤ |B(y, t) ∩B(a, r)||B(y, t)|
.rn
(2kr + r)n
= 1(2k + 1)n
≤ 12(k+1)n
sehingga dengan mengambil supremum pada ruas kiri untuk setiap bola yang berpusat di y,didapatlah
MχB(a,r)(y) = supB(y,t)
1|B(y, t)|
∫B(y,t)
χB(a,r)(x) dx ≤ 12(k+1)n .
Akibatnya,
∞∑k=1
∫B(a,2k+1r)\B(a,2kr)
|f(y)|q MχB(a,r)(y) dy ≤∞∑k=1
12(k+1)n
∫B(a,2k+1r)\B(a,2kr)
|f(y)|q dy
≤∞∑k=1
12(k+1)n
∫B(a,2k+1r)
|f(y)|q dy
=∞∑k=1
(2k+1
)− qp rn(1− q
p)‖f‖qMpq
. |B(a, r)|1−qp‖f‖qMp
q
∞∑k=1
(2k+1
)− qp
. |B(a, r)|1−qp‖f‖qMp
q.
Berbekal dua lema di atas, kita siap untuk membuktikan Teorema 5.1:
Bukti Teorema 5.1: Tulis
Iαf(x) =∫
|x−y|≤R
f(y)|x− y|n−α
dy +∫
|x−y|>R
f(y)|x− y|n−α
dy := Iαf1(x) + Iαf2(x).
Kita mempunyai |Iαf2(x)| . R−ns ‖f‖Mp
q, berdasarkan aproksimasi |Iαf2(x)| pada keterbatasan
Iα di Mpq(Rn). Untuk setiap γ > 0, pilih R sedemikian sehingga ‖f‖Mp
qR−
ns = γ
2 . Tuliskan
{x ∈ B(a, r) : |Iαf(x)| > γ} ⊂{x ∈ B(a, r) : |Iαf1(x)| > γ
2
}∪{x ∈ B(a, r) : |Iαf2(x)| > γ
2
}.
39
Kita mempunyai himpunan kedua di ruas kanan merupakan himpunan kosong, dan
|Iαf1(x)| ≤∫
|x−y|≤R
|f(y)||x− y|n−α
≤
∫|x−y|≤R
|f(y)|q|x− y|n−α
dy
1q ∫|x−y|≤R
1|x− y|n−α
dy
1− 1
q
≤
∫|x−y|≤R
|f(y)|q|x− y|n−α
dy
1q −1∑
k=−∞
∫2kR≤|x−y|≤2k+1R
1|x− y|n−α
dy
1− 1q
≤
∫|x−y|≤R
|f(y)|q|x− y|n−α
dy
1q −1∑
k=−∞
(2k+1R)n(2kR)n−α
1− 1q
. Rα(1− 1q
)
∫|x−y|≤R
|f(y)|q|x− y|n−α
dy
1q
.
Dengan ketaksamaan Chebyshev, kita mempunyai
m{x ∈ B(a, r) : |Iαf(x)| > γ} ≤ m{x ∈ B(a, r) : |Iαf1(x)| > γ
2
}. Rαq(1− 1
q)γ−q
∫B(a,r)
∫|x−y|≤R
|f(y)|q|x− y|n−α
dy dx
= Rαq(1− 1q
)γ−q∫Rn
∫|x−y|≤R
χB(a,r)(x) |f(y)|q|x− y|n−α
dy dx
= Rαq(1− 1q
)γ−q∫Rn
∫|x−y|≤R
χB(a,r)(x) |f(y)|q|x− y|n−α
dx dy
= Rαq(1− 1q
)γ−q∫Rn|f(y)|q
∫|x−y|≤R
χB(a,r)(x)|x− y|n−α
dx dy.
Berdasarkan Lema 5.1 dan Lema 5.2, pertidaksamaan terakhir dapat ditulis sebagai
m{x ∈ B(a, r) : |Iαf(x)| > γ} . Rαq(1− 1q
)+αγ−q∫Rn|f(y)|q MχB(a,r)(y)dy
= Rαqγ−q∫Rn|f(y)|q MχB(a,r)(y)dy
. Rαqγ−q|B(a, r)|1−qp‖f‖qMp
q.
Dengan mensubstitusikan nilai R yang telah dipilih sebelumnya didapatlah
m{x ∈ B(a, r) : |Iαf(x)| > γ} . γ−q(αsn
+1)‖f‖αqsn
Mpq
∫B(a,r)
|f(y)|q dy
. γ−qsp ‖f‖
qsp−q
Mpq
∫B(a,r)
|f(y)|q dy
40
. γ−t‖f‖t−qMpq|B(a, r)|1−
qp‖f‖qMp
q
. |B(a, r)|1− ts(‖f‖Mp
q
γ
)t.
Bandingkan ketaksamaan tipe lemah Iα pada Mpq(Rn) dengan ketaksamaan tipe lemah pada
Lq(Rn). Pembaca bisa segera melihat, bahwa jika s = t, ini tidak lain adalah ketaksamaantipe lemah Iα pada ruang Lebesgue Lq(Rn) ke Ls(Rn), seperti yang telah dibahas pada subbab4.2.
41
Bab 6
Penutup
Pada tugas akhir ini, kita telah mempelajari struktur ruang MorreyMpq(Rn) sebagai penghalusan
ruang Lebesgue Lq(Rn). Struktur yang dikaji antara lain kelengkapan ruang Morrey, kaitan antararuang Morrey dengan ruang Lebesgue, juga dengan ruang Morrey Lq,λ(Rn), sifat kemonotonanruang Morrey terhadap parameternya, dan juga beberapa sifat lainnya.
Kita juga telah mempelajari operator maksimal Hardy-Littlewood M dan operator integral frak-sional Iα, dua operator yang bersifat baik di ruang Lebesgue. Kedua operator ini terbatasdalam ruang Lebesgue, yakni M membawa f ∈ Lq(Rn) ke fungsi di Lq(Rn) juga, serta Iα mem-bawa f ∈ Lq(Rn) ke fungsi di Lr(Rn), untuk suatu r tertentu. Sifat yang baik ini dibawa keruang MorreyMp
q(Rn) dan kita telah membuktikan keterbatasan kedua operator ini dalam ruangMorrey, yakni M membawa f ∈ Mp
q(Rn) ke fungsi di Mpq(Rn), serta Iα membawa f ∈ Mp
q(Rn)ke fungsi di Ms
t(Rn), untuk s dan t tertentu.
Fenomena yang kita lihat di keterbatasan M pada Lq(Rn) mengilhami kita untuk memperluasLq(Rn) dengan memperlemah syarat keanggotaannya, sehingga muncullah terminologi ruangLebesgue lemah wLq(Rn). Fenomena yang sama mengilhami kita untuk memperluas Mp
q(Rn)dengan juga memperlemah syarat keanggotaannya, sehingga muncullah terminologi ruang Morreylemah wMp
q(Rn).
Kita telah mempelajari struktur ruang Lebesgue lemah wLq(Rn), dengan terlebih dahulu mendefi-nisikan norma pada wLq(Rn), yakni bahwa ruang ini lebih besar secara sejati dari Lq(Rn). Kitajuga telah melihat keterbatasan operator integral fraksional Iα di wLq(Rn).
Serupa dengan di atas, kita juga mempelajari struktur ruang Morrey lemah wMpq(Rn) dengan
terlebih dahulu mendefinisikan norma pada wMpq(Rn). Di sini, kita melihat fenomena yang ada
pada wLq(Rn) dan idenya dibawa ke wMpq(Rn). Kesejatian ruang Morrey Mp
q(Rn) sebagai sub-himpunan dari wMp
q(Rn) telah dibuktikan dan kita juga telah melihat bahwa sifat kemonotonanyang ada di Mp
q(Rn) dapat dibawa ke wMpq(Rn).
42
Daftar Pustaka
[1] Adams, D, R. 1975, ”A note on Riesz potential”, Duke Math. J., 42, 765-778.
[2] Chiarenza, F. dan M. Frasca, 1987, ”Morrey spaces and Hardy-Littlewood maximalfunction”, Rend. Mat., 7, 273-279.
[3] Gunawan, H., 2003, ”A note on the generalized fractional integral operators”, J. Indones.Math. Soc. (MIHMI), 9:1, 39-43
[4] Hardy, G. H. dan J. E. Littlewood, 1927, ”Some properties of fractional integral I”, Math.Zeit., 27, 565-606.
[5] Hardy, G. H. dan J. E. Littlewood, 1932, ”Some properties of fractional integral II”, Math.Zeit., 34, 403-439.
[6] Sawano, Y. dan H. Tanaka, 2006, ”Morrey space for non-doubling measures”, Acta Math.Sinica, 1, 153-172
[7] Stein, E. M., 1970, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, PrincetonUniversity Press, New Jersey.
[8] Stein, E. M, 1993, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, andOscillatory Integrals, Princeton University Press, New Jersey.
43