robust adaptive control of uav a comparative study.pdf
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7/27/2019 ROBUST ADAPTIVE CONTROL OF UAV A COMPARATIVE STUDY.pdf
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R O B U S T A D A P T I V E C O N T R O L O F U N D E R W A T E R
V E H I C L E S : A C O M P A R A T I V E S T U D Y
T h o r I . F o s s e n a n d O l a - E r i k F j e l l s t a d
U n i v e r s i t y o f T r o n d h e i m , T h e N o r w e g i a n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , D e p a r t m e n t o f
E n g i n e e r i n g C y b e r n e t i c s , N - 7 0 3 4 T r o n d h e i m , N O R W A Y ( E - m a i l : t i f @ i t k . u n i t . n o )
A b s t r a c t . R o b u s t a d a p t i v e c o n t r o l o f u n d e r w a t e r v e h i c l e s i n 6 D O F i s a n a l y z e d i n t h e c o n t e x t o f
m e a s u r e m e n t n o i s e . T h e p e r f o r m a n c e o f t h e a d a p t i v e c o n t r o l l a w s o f S a d e g h a n d H o r o w i t z ( 1 9 9 0 ) a n d
S l o t i n e a n d B e n e d e t t o ( 1 9 9 0 ) a r e c o m p a r e d . B o t h t h e s e s c h e m e s r e q u i r e t h a t a l l s t a t e s a r e m e a s u r e d ,
t h a t i s t h e v e l o c i t i e s a n d p o s i t i o n s i n s u r g e , s w a y , h e a v e , r o l l , p i t c h a n d y a w . H o w e v e r , f o r u n d e r w a t e r
v e h i c l e s i t i s d i c u l t t o m e a s u r e t h e l i n e a r v e l o c i t i e s w h e r e a s a n g u l a r v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s c a n b e
o b t a i n e d b y u s i n g a 3 - a x e s a n g u l a r r a t e s e n s o r . T h i s p r o b l e m i s a d r e s s e d b y d e s i g n i n g a n o n l i n e a r
o b s e r v e r f o r l i n e a r v e l o c i t y s t a t e e s t i m a t i o n . T h e p r o p o s e d o b s e r v e r r e q u i r e s t h a t t h e p o s i t i o n a n d
t h e a t t i t u d e a r e m e a s u r e d , e . g . b y u s i n g a h y d r o a c o u s t i c p o s i t i o n i n g s y s t e m f o r l i n e a r p o s i t i o n s ,
t w o g y r o s f o r r o l l a n d p i t c h a n d a c o m p a s s f o r y a w . I n a d d i t i o n a n g u l a r r a t e m e a s u r e m e n t s w i l l
b e a s s u m e d a v a i l a b l e f r o m a 3 - a x e s r a t e s e n s o r o r a s t a t e e s t i m a t o r . I t i s a l s o a s s u m e d t h a t t h e
m e a s u r e m e n t r a t e i s l i m i t e d t o 2 H z f o r a l l t h e s e n s o r s . S i m u l a t i o n s t u d i e s w i t h a 3 D O F A U V
m o d e l a r e u s e d t o d e m o n s t r a t e t h e c o n v e r g e n c e a n d r o b u s t n e s s o f t h e a d a p t i v e c o n t r o l l a w s a n d t h e
v e l o c i t y s t a t e o b s e r v e r .
K e y W o r d s . R O V , A U V , a d a p t i v e c o n t r o l , n o n l i n e a r v e l o c i t y o b s e r v e r , m a r i n e s y s t e m s .
1 . I N T R O D U C T I O N
T h e i m p l e m e n t a t i o n o f a d v a n c e d a d a p t i v e c o n t r o l
l a w s f o r u n d e r w a t e r v e h i c l e s i n 6 d e g r e e s o f f r e e -
d o m ( D O F ) i s m a i n l y l i m i t e d b y t h e p e r f o r m a n c e
o f t h e u n d e r w a t e r n a v i g a t i o n a n d s e n s o r s y s t e m s .
T h e s u r g e , s w a y a n d h e a v e p o s i t i o n c a n b e m e a -
s u r e d w i t h f a i r l y a c c u r a c y b y a p p l y i n g a h y d r o a -
c o u s t i c s h o r t o r l o n g b a s e - l i n e s y s t e m w h e r e a s a t -
t i t u d e u s u a l l y i s m e a s u r e d b y 2 g y r o s ( o r i n c l i -
n o m e t e r s ) a n d a c o m p a s s . T h e b a n d w i d t h l i m i t a -
t i o n o f t h e c o n t r o l s y s t e m i s m a i n l y d u e t o t h e h y -
d r o a c o u s t i c p o s i t i o n i n g s y s t e m w h i c h u s u a l l y o p -
e r a t e s i n t h e i n t e r v a l o f 0 . 1 { 1 . 0 H z .
T h i s p a p e r d i s c u s s e s t h e p e r f o r m a n c e o f t w o s t a t e -
o f - t h e - a r t a d a p t i v e c o n t r o l l a w s f o r r o b o t m a n i p u -
l a t o r s w h i c h a r e m o d i e d t o c o n t r o l a n u n d e r w a t e r
v e h i c l e i n 6 D O F . I n a d d i t i o n , a g l o b a l l y a s y m p -
t o t i c a l l y s t a b l e v e l o c i t y o b s e r v e r u s i n g l i n e a r a c -
c e l e r a t i o n a n d p o s i t i o n m e a s u r e m e n t s i s s u g g e s t e d
f o r e s t i m a t i o n o f l i n e a r v e l o c i t y .
2 . U N D E R W A T E R V E H I C L E M O D E L
T h e f o l l o w i n g 6 D O F a u t o n o m o u s u n d e r w a t e r v e -
h i c l e ( A U V ) e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e c o n s i d e r e d ,
F o s s e n ( 1 9 9 4 ) :
M
_
+ C ( ) + D ( ) + g ( ) = ( 1 )
_
= J ( ) ( 2 )
w h e r e = x ; y ; z ; ; ; ]
T
i s t h e e a r t h - x e d p o s i -
t i o n a n d a t t i t u d e v e c t o r , = u ; v ; w ; p ; q ; r ]
T
i s a
v e c t o r o f b o d y - x e d l i n e a r a n d a n g u l a r v e l o c i t i e s
a n d =
1
; : : : ;
6
]
T
i s a v e c t o r o f c o n t r o l i n p u t s
( f o r c e a n d m o m e n t ) . T h e m a t r i c e s a n d v e c t o r s
a r e g i v e n i n A p p e n d i x A .
3 . A G L O B A L L Y A S Y M P T O T I C A L L Y
S T A B L E V E L O C I T Y O B S E R V E R
F o r u n d e r w a t e r v e h i c l e s i t i s d i c u l t t o m e a s u r e
t h e l i n e a r v e l o c i t y w i t h g o o d a c c u r a c y . A g l o b a l l y
a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e o b s e r v e r c a n b e d e s i g n e d f o r
t h i s p u r p o s e . L e t :
v = u ; v ; w ]
T
x = x ; y ; z ]
T
! = p ; q ; r ]
T
q = ; ; ]
T
( 3 )
I n s o m e c a s e s i t i s a d v a n t a g e o u s t o u s e 3 l i n e a r
a c c e l e r o m e t e r s t o i m p r o v e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e
o b s e r v e r . T h e l o c a t i o n o f t h e l i n e a r a c c e l e r o m e t e r
i s g i v e n b y t h e c o o r d i n a t e s :
r
a
= x
a
; y
a
; z
a
]
T
( 4 )
3 . 1 . E s t i m a t i o n o f L i n e a r V e l o c i t y
T h e o u t p u t f r o m t h e l i n e a r a c c e l e r o m e t e r s a r e :
a =
_
v + ! v +
_
! r
a
+ ! ( ! r
a
) + g
1
( q ) ( 5 )
I F A C W o r k s h o p o n C o n t r o l A p p l i c a t i o n s i n M a r i n e S y s t e m s ( C A M S ' 9 5 ) 1
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x
x
_
x
K
2
K
1
a
a
c
v
_
v
S ( ! )
J
1
( q )
F i g . 1 . N o n l i n e a r v e l o c i t y o b s e r v e r u s i n g p o s i t i o n a n d l i n e a r a c c e l e r a t i o n m e a s u r e m e n t s .
w h e r e g
1
( q ) i s t h e a c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y d e n e d
a s ; s e e ( 5 8 ) i n A p p e n d i x A :
g
1
( q ) = g s ; ? g c s ; ? g c c ]
T
( 6 )
T h e b o d y - x e d a c c e l e r a t i o n
_
i n ( 5 ) c a n b e w r i t -
t e n i n t e r m s o f t h e a c c e l e r a t i o n m e a s u r e m e n t a
a c c o r d i n g t o :
_
v = ? S ( ! ) v + a ? a
c
( 7 )
_
x = J
1
( q ) v ( 8 )
w h e r e a
c
i s a n a c c e l e r a t i o n c o r r e c t i o n t e r m d e -
n e d a s :
a
c
= _! r
a
+ ! ( ! r
a
) + g
1
( q ) ( 9 )
E q s . ( 7 ) a n d ( 8 ) s u g g e s t t h e o b s e r v e r s t r u c t u r e :
_
v = ? S ( ! )
v + a ? a
c
+ K
1
~
x ( 1 0 )
_
x = J
1
( q )
v + K
2
~
x ( 1 1 )
w h e r e
~
x = x ?
x i s t h e p o s i t i o n e s t i m a t i o n e r r o r ,
a n d K
1
a n d K
2
a r e t h e e s t i m a t o r g a i n m a t r i c e s .
3 . 2 . C o m p u t a t i o n o f K
1
a n d K
2
L e t
~
v = v ?
v a n d
~
x = x ?
x .
3 . 2 . 1 . K a l m a n F i l t e r A p p r o a c h . E q u a t i o n s ( 1 0 )
a n d ( 1 1 ) c a n b e w r i t t e n i n s t a t e - s p a c e f o r m :
_
v
_
x
=
? S ( ! ) 0
J
1
( q ) 0
v
x
( 1 2 )
+
I
0
u +
K
1
K
2
~
y ( 1 3 )
m
_
( t ) = A ( t )
+ B u ( t ) + K ( t )
~
y ( t ) ( 1 4 )
w i t h o b v i o u s d e n i t i o n s o f A ( t ) ; B a n d K , a n d
u = a ? a
c
;
=
v
T
;
x
T
]
T
a n d
~
y = H ( ?
) w i t h
H = 0 ; I ] . S i n c e ( 1 4 ) i s a l i n e a r t i m e - v a r y i n g
s y s t e m , K
1
a n d K
2
c a n b e c o m p u t e d b y a p p l y i n g
t h e K a l m a n l t e r a l g o r i t h m , G e l b e t a l . ( 1 9 8 8 ) :
K ( t ) = P ( t ) H
T
R
? 1
( 1 5 )
w i t h
_
( t ) = A ( t )
( t ) + B u ( t ) + K ( t )
~
x ( t ) ( 1 6 )
_
P ( t ) = A ( t ) P ( t ) + P ( t ) A
T
( t ) + Q
? K ( t ) R K
T
( t ) ( 1 7 )
w h e r e Q i s t h e p r o c e s s a n d R i s t h e m e a s u r e m e n t
c o v a r i a n c e m a t r i c e s . T h i s r e q u i r e t h a t t h e t i m e -
v a r y i n g e r r o r c o v a r i a n c e m a t r i x p r o p a g a t i o n g i v e n
b y ( 1 7 ) m u s t b e c o m p u t e d o n - l i n e .
3 . 2 . 2 . N o n l i n e a r O b s e r v e r D e s i g n . A n a l t e r n a -
t i v e a p p r o a c h t o t h e K a l m a n l t e r a l g o r i t h m i s a
n o n l i n e a r p o l e - p l a c e m e n t a l g o r i t h m u t i l i z i n g t h e
s t r u c t u r e o f t h e o b s e r v e r d y n a m i c s . N o t i c e t h a t :
_
J
1
( q ) = J
1
( q ) S ( ! ) ( 1 8 )
H e n c e ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) c a n b e w r i t t e n a s :
~
x ( t ) + K
2
_
~
x ( t ) + J
1
( q ) K
1
~
x ( t ) = 0 ( 1 9 )
A n i n t u i t i v e s o l u t i o n i s t o c h o o s e K
1
a n d K
2
a s :
K
1
= J
T
1
( q ) K
1 0
; K
2
= K
2 0
( 2 0 )
w h i c h r e d u c e s ( 1 9 ) t o :
~
x ( t ) + K
2 0
_
~
x ( t ) + K
1 0
~
x ( t ) = 0 ( 2 1 )
E q . ( 2 1 ) s a t i s e s t h e L y a p u n o v f u n c t i o n c a n d i -
d a t e :
V =
1
2
(
_
~x
T
_
~x + ~x
T
K
1 0
~x ) ( 2 2 )
+ ( 2 3 )
_
V = ?
_
~
x
T
K
2 0
_
~
x 0 ( 2 4 )
2 I F A C W o r k s h o p o n C o n t r o l A p p l i c a t i o n s i n M a r i n e S y s t e m s ( C A M S ' 9 5 )
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1
0
1
2
3
m
s0 100 200 300 400
0.02
0
0.02
0.04
m/s
s
0 100 200 300 4000
20
40
60
80estimated surge and sway pos.
ypos
xpos0 100 200 300 400
0.5
0
0.5
1
1.5estimated surge and sway vel.
m/s
s
F i g . 2 . P o s i t i o n a n d v e l o c i t y e s t i m a t i o n e r r o r s ( u p p e r p l o t s ) a n d p o s i t i o n a n d v e l o c i t y s t a t e e s t i m a t e s ( l o w e r
p l o t s ) .
A p p l i c a t i o n o f L a S a l l e ' s i n v a r i a n t s e t t h e o r e m
t h e n s h o w s t h a t
_
~
x ! 0 a n d
~
x ! 0 i n n i t e t i m e .
3 . 3 . I m p l e m e n t a t i o n I s s u e s
I m p l e m e n t a t i o n o f ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) r e q u i r e t h a t
x ; q ; ! a n d a a r e m e a s u r e d . I f a c c e l e r a t i o n a i s
i n c o n v i e n t t o m e a s u r e t h e o b s e r v e r s t r u c t u r e i n
F i g u r e 1 c a n b e m o d i e d t o u s e a n e s t i m a t e o f a
g e n e r a t e d b y a l t e r , e . g . ( s e e F i g u r e 3 ) :
_
a = ?
1
T
a + K
0
~
x ; K
0
=
1
T
K
0 0
> 0 ( 2 5 )
w h e r e T > 0 i s t h e l o w - p a s s l t e r t i m e c o n s t a n t
r e e c t i n g t h e v e h i c l e d y n a m i c s .
K
0
a
~
x
1
T
F i g . 3 . E s t i m a t i o n o f a c c e l e r a t i o n a i n F i g . 1 . K
0
i s a
n e w l t e r g a i n m a t r i x t o b e c o m p u t e d t o g e t h e r
w i t h K
1
a n d K
2
i n F i g 1 .
I f ! n o t i s m e a s u r e d , ! s h o u l d b e a p p r o x i m a t e d
b y
! w h i c h c a n b e o b t a i n e d f r o m a n a n g u l a r v e -
l o c i t y o b s e r v e r . A s s u m i n g t h a t
_
! 0 ( s l o w l y -
v a r y i n g a t t i t u d e ) y i e l d s :
a
c
! (
! r
a
) + g
1
( q ) ( 2 6 )
3 . 4 . S i m u l a t i o n S t u d y o f O b s e r v e r
T h e n o n l i n e a r o b s e r v e r ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) w a s s i m u -
l a t e d w i t h a
c
= 0 . T h e A U V m o d e l i n A p p e n d i x
B w a s u s e d t o g e n e r a t e t h e a c c e l e a r t i o n m e a s u r e -
m e n t s i n s u r g e a n d s w a y w h i l e t h e h e a v e a c c e l e r -
a t i o n w a s s e t t o z e r o . T h e h e a d i n g o f t h e v e h i c l e
w a s c h o s e n a s :
( t ) = 0 : 5 s i n ( 0 : 0 3 t ) ; r ( t ) = 0 : 0 1 5 c o s ( 0 : 0 3 t )
T h e e s t i m a t o r g a i n m a t r i c e s w e r e c h o s e n a s
K
1 0
= 0 : 0 0 1 I a n d K
2 0
= 1 : 0 I . T h e s a m p l i n g
f r e q u e n c y w a s 2 H z . I t i s s e e n f r o m F i g . 2 t h a t
a c c u r a t e e s t i m a t e s o f u a n d v c a n b e g e n e r a t e d
f r o m n o i s y p o s i t i o n m e a s u r e m e n t s ( a p p r o x . a m -
p l i t u d e o f t h e w h i t e n o i s e i s 1 . 0 m ) .
4 . A D A P T I V E C O N T R O L
T h e s t a b i l i t y p r o o f a n d r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t w o
c o n t r o l l a w s t o b e p r e s e n t e d a r e b a s e d o n t h e p a -
r a m e t e r i z a t i o n :
M
_
r + C ( ) r + D ( ) r
= Y (
_
r ; r ; ) ( 2 7 )
T h e g r a v i t y a n d b u o y a n c y t e r m g ( ) ( w i t h o u t l o s s
o f g e n e r a l i t y ) i s a s s u m e d t o b e p e r f e c t l y k n o w n . I n
t h i s r e p r e s e n t a t i o n Y (
_
r ; r ; ) i s t h e r e g r e s s o r m a -
t r i x ( k n o w n ) a n d i s a c o n s t a n t p a r a m e t e r v e c t o r
( u n k n o w n ) . L e t t h e t r a c k i n g e r r o r b e d e n o t e d b y :
~
= ?
d
( 2 8 )
w h e r e
d
2 I R
6
i s a s s u m e d t o b e a s m o o t h r e f e r -
e n c e t r a j e c t o r y .
4 . 1 . T h e A d a p t i v e C o n t r o l L a w o f S l o t i n e a n d
B e n e d e t t o ( A S B )
T h e a d a p t i v e c o n t r o l l a w o f S l o t i n e a n d B e n e d e t t o
( 1 9 9 0 ) w i t h t h e p a r a m e t r i z a t i o n o f F o s s e n ( 1 9 9 3 )
i s a c t u a l l y i n t e n d e d f o r 3 D O F s p a c e c r a f t a t t i -
t u d e c o n t r o l . A n e x t e n s i o n o f t h i s w o r k t o 6 D O F
u n d e r w a t e r v e h i c l e c o n t r o l i s d i s c u s s e d b y F o s s e n
a n d S a g a t u n ( 1 9 9 1 ) . T h e A S B a d a p t i v e c o n t r o l
s c h e m e c a n b e r e p r e s e n t e d i n t e r m s o f t h e m o d e l
I F A C W o r k s h o p o n C o n t r o l A p p l i c a t i o n s i n M a r i n e S y s t e m s ( C A M S ' 9 5 ) 3
-
7/27/2019 ROBUST ADAPTIVE CONTROL OF UAV A COMPARATIVE STUDY.pdf
4/9
LOS AutopilotAUVDynamics Kinematics
PilotInputs
way-points(x ,y )
k k
velocitiesu , v
cc
c
x, y
u, v, r
outer servo-loop (guidance system)
inner servo -loops
F i g . 4 . W a y - p o i n t g u i d a n c e b y m e a n s o f a y a w a n g l e a u t o p i l o t a n d a s u r g e - s w a y v e l o c i t y c o n t r o l s y s t e m . T h e
l i n e - o f - s i g h t ( L O S ) a l g o r i t h m i s u s e d t o g e n e r a t e t h e d e s i r e d y a w a n g l e .
p a r a m e t e r i z a t i o n ( P ) , c o n t r o l l a w ( C ) a n d p a r a m -
e t e r a d a p t a t i o n l a w ( A ) a c c o r d i n g t o :
P : M
_
r
+ C ( )
r
+ D ( )
r
= Y (
_
r
;
r
; )
C : = Y (
_
r
;
r
; )
+ g ( ) ? J
T
( ) K
d
s
A :
_
= ? ? Y
T
(
_
r
;
r
; ) J
? 1
( ) s
w h e r e K
d
> 0 , ? = ?
T
> 0 a n d :
s =
_
~
+
~
; =
T
> 0 ( 2 9 )
T h e v i r t u a l r e f e r e n c e t r a j e c t o r i e s a r e c o m p u t e d
a c c o r d i n g t o :
r
= J
? 1
( )
_
r
( 3 0 )
_
r
= J
? 1
( )
r
?
_
J ( ) J
? 1
( )
_
r
] ( 3 1 )
w h e r e _
r
= _
d
? ~ .
4 . 2 . T h e A d a p t i v e C o n t r o l L a w o f S a d e g h a n d
H o r o w i t z ( D C A L )
S t r a i g h t f o r w a r d e x t e n s i o n s o f t h e r o b o t c o n t r o l
s c h e m e o f S a d e g h a n d H o r o w i t z ( 1 9 9 0 ) t o u n d e r -
w a t e r v e h i c l e s y i e l d s :
P : M
_
d
+ C (
d
)
d
+ D (
d
)
d
= Y (
_
d
;
d
)
C : = Y (
_
d
;
d
)
+ g (
d
)
? J
T
( ) K
p
~
+ K
d
_
~
+ K
f
k
~
k
2
s ]
A :
_
= ? ? Y
T
(
_
d
;
d
) J
? 1
( ) s
w h e r e K
p
= K
T
p
> 0 , K
d
> 0 , K
f
> 0 , ? =
?
T
> 0 . T h e a b o v e c o n t r o l l a w i s k n o w n a s t h e
d e s i r e d c o m p e n s a t i o n a d a p t i v e l a w ( D C A L ) s i n c e
t h e d e s i r e d s t a t e s
d
a n d
d
a r e u s e d i n s t e a d o f
t h e a c t u a l s t a t e s a n d i n C (
d
) , D (
d
) a n d
g (
d
) .
4 . 3 . A U V C a s e S t u d y
T h e p e r f o r m a n c e o f t h e A S B a n d D C A L c o n t r o l
l a w s a r e s t u d i e d f o r t h e N P S A U V I I g i v e n i n A p -
p e n d i x B . A c o m b i n e d v e l o c i t y a n d p o s i t i o n c o n -
t r o l s c h e m e i s s t u d i e d f o r t h e f o l l o w i n g c a s e s :
1 . P a r a m e t e r a d a p t i o n , A S B
2 . A l l p a r a m e t e r s k n o w n , A S B
3 . P a r a m e t e r a d a p t i o n , D C A L
4 . A l l p a r a m e t e r s k n o w n , D C A L
T h e r e s u l t s a r e p r e s e n t e d a c c o r d i n g t o :
S e c t i o n 4 . 3 . 1 : P e r f e c t m e a s u r e m e n t s
S e c t i o n 4 . 3 . 2 : N o i s y m e a s u r e m e n t s
T h e p e r f o r m a n c e i n d i c e s a r e c h o s e n a s :
J
u v
=
1
N
N
X
i = 1
u ( t
i
) ? u
d
( t
i
) ]
2
+ v ( t
i
) ? v
d
( t
i
) ]
2
J
r
=
1
N
N
X
i = 1
r ( t
i
) ? r
d
( t
i
) ]
2
J
=
1
N
N
X
i = 1
( t
i
) ?
d
( t
i
) ]
2
J
=
1
N
N
X
i = 1
T
( t
i
) ( t
i
)
w h e r e N i s t h e n u m b e r o f s a m p l e s u s e d i n t h e s i m -
u l a t i o n s t u d y . T h e s a m p l i n g f r e q u e n c y i s c h o s e n
a s 2 H z . T h e D C A L a n d A S B c o n t r o l l a w s w e r e
t u n e d a c c o r d i n g t o :
K
A S B
d
= K
D
( 3 2 )
K
D C A L
p
= K
D
( 3 3 )
K
D C A L
d
= K
D
( 3 4 )
K
D C A L
f
= 0 ( 3 5 )
w i t h = 0 : 1 I a n d K
D
= 5 0 0 0 I . A n a u t o p i l o t f o r
s i m u l t a n e o u s l y h e a d i n g a n d s p e e d c o n t r o l ( s u r g e
a n d s w a y ) w a s c o n s i d e r e d , s e e F i g . 4 . T h e d e s i r e d
h e a d i n g s t a t e s (
d
;
_
d
;
d
) , s u r g e s t a t e s ( _u
d
; u
d
)
a n d s w a y s t a t e s ( _v
d
; v
d
) a r e c o m p u t e d b y u s i n g
t h e l t e r s :
d
+ 2 !
n
_
d
+ !
2
n
d
= !
2
n
f
( 3 6 )
T _u
d
+ u
d
= u
f
( 3 7 )
T _v
d
+ v
d
= v
f
( 3 8 )
4 I F A C W o r k s h o p o n C o n t r o l A p p l i c a t i o n s i n M a r i n e S y s t e m s ( C A M S ' 9 5 )
-
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T a b l e 1 P e r f o r m a n c e i n d i c e s f o r t h e A S B a n d D C A L c o n t r o l l a w s . F u l l s t a t e f e e d b a c k a n d n o
m e a s u r e m e n t n o i s e ( 8 0 0 s a m p l e s ) .
i n d e x A S B D C A L u n i t s
1 . A d a p t i v e 2 . P e r f e c t 3 . A d a p t i v e 4 . P e r f e c t
M o d e l M o d e l
J
u v
0 0 0 1 1 3 9 8 9 2 1 0
? 8
0 0 0 1 1 6 5 4 1 4 1 0
? 6
( m / s )
2
J
r
0 0 0 0 3 9 5 2 6 0 1 0
? 6
0 0 0 0 3 1 3 7 2 7 1 0
? 5
( d e g / s )
2
J
0 1 2 4 9 0 0 0 0 9 0 1 0 2 1 0 0 0 1 5 ( d e g )
2
J
3 9 7 9 5 4 5 6 1 2 3 9 7 5 3 4 5 6 3 3 1 0
6
T a b l e 2 P e r f o r m a n c e i n d i c e s f o r t h e A S B , D C A L a n d P D c o n t r o l l a w s . F u l l s t a t e f e e d b a c k a n d
m e a s u r e m e n t n o i s e ( 8 0 0 s a m p l e s ) .
i n d e x A S B D C A L u n i t s
1 . A d a p t i v e 2 . P e r f e c t 3 . A d a p t i v e 4 . P e r f e c t
M o d e l M o d e l
J
u v
p a r . d r i f t 0 0 0 7 0 0 0 0 6 7 0 0 0 4 8 ( m / s )
2
J
r
p a r . d r i f t 0 0 2 7 8 0 0 2 1 2 0 0 1 8 9 ( d e g / s )
2
J
p a r . d r i f t 2 1 4 2 1 2 4 3 8 9 2 4 5 3 9 ( d e g )
2
J
p a r . d r i f t 8 9 3 8 4 8 9 0 9 1 8 9 0 1 2 1 0
6
w h e r e t h e r e f e r e n c e i n p u t s
f
, u
f
a n d v
f
a r e p r e -
l t e r e d b y a 1 s t - o r d e r l t e r t o a v o i d a c c e l e r a t i o n
s t e p i n p u t s . T h e p a r a m e t e r s w e r e c h o s e n a s =
1 : 0 ; !
n
= 0 : 1 r a d / s a n d T = 1 = !
n
= 1 0 : 0 s . T h e
p r e - l t e r s a r e d e s i g n e d a c c o r d i n g t o :
T
f
_u
f
+ u
f
= u
c
( 3 9 )
T
f
_v
f
+ v
f
= v
c
( 4 0 )
T
f
_
f
+
f
=
c
( 4 1 )
w h e r e T
f
= T , a n d u
c
; v
c
a n d
c
a r e t h e c o m -
m a n d e d s u r g e v e l o c i t y , s w a y v e l o c i t y a n d y a w a n -
g l e , r e s p e c t i v e l y . T h e c o m m a n d e d i n p u t
c
c a n
b e c o m p u t e d b y a p p l y i n g a l i n e - o f - s i g h t ( L O S ) a l -
g o r i t h m , e . g . H e a l e y a n d L i e n a r d ( 1 9 9 3 ) :
c
( t ) = t a n
? 1
y
d
( k ) ? y ( t )
x
d
( k ) ? x ( t )
( 4 2 )
w h e r e x
k
a n d y
k
( k = 1 . . . N ) r e p r e s e n t s t h e w a y -
p o i n t c o o r d i n a t e s . C a r e m u s t b e t a k e n t o s e l e c t
t h e p r o p e r q u a d r a n t f o r
c
( t ) . A f t e r t h e q u a d r a n t
c h e c k i s p e r f o r m e d , t h e n e x t w a y p o i n t c a n b e
s e l e c t e d o n a b a s i s o f w h e t h e r t h e v e s s e l l i e s w i t h i n
a c i r c l e o f a c c e p t a n c e :
x
d
( k ) ? x ( t ) ]
2
+ y
d
( k ) ? y ( t ) ]
2
2
0
( 4 3 )
w h e r e
0
i s t h e r a d i u s . I f t h i s c o n s t r a i n t i s s a t i s -
e d t h e n e x t w a y p o i n t x
d
( k + 1 ) ; y
d
( k + 1 ) ] s h o u l d
b e s e l e c t e d . T h e m e a s u r e o f t r a c k i n g i s :
s = ~u ; ~v ;
_
~
+
~
]
T
( 4 4 )
H e n c e t h e A S B v i r t u a l r e f e r e n c e t r a j e c t o r i e s c a n
b e c o m p u t e d a s :
_
r
=
2
4
_u
r
_v
r
r
3
5
=
2
4
u
d
v
d
d
? (
_
?
_
d
)
3
5
( 4 5 )
T h e r e s u l t i n g c o n t r o l l a w s a r e :
A S B
= Y ( _
r
;
r
; )
A S B
? K
D
s ( 4 6 )
D C A L
= Y (
_
d
;
d
;
d
)
D C A L
? K
D
s ( 4 7 )
w h e r e Y ( ) i s g i v e n i n A p p e n d i x B a n d :
_
A S B
= ? ? Y
T
(
_
r
;
r
; ) s ( 4 8 )
_
D C A L
= ? ? Y
T
(
_
d
;
d
;
d
) s ( 4 9 )
w h e r e ? = 1 0 0 I . N o t i c e t h a t J ( ) = I f o r t h i s
p a r t i c u l a r c a s e s i n c e
_
= r w h e r e a s t h e o t h e r t w o
s t a t e s a r e v e l o c i t y c o n t r o l l e d .
4 . 3 . 1 . P e r f e c t M e a s u r e m e n t s . T h e n u m e r i c a l r e -
s u l t s a r e s h o w n i n T a b l e 1 . F i g . 5 s h o w s t h e p a -
r a m e t e r e s t i m a t e s a n d F i g . 6 s h o w s t h e t r a c k i n g
p e r f o r m a n c e o f t h e t w o a l g o r i t h m s . N o t i c e t h a t
t h e p e r f o r m a n c e o f t h e t w o a d a p t i v e c o n t r o l l e r s
a r e a l m o s t e q u a l . A l s o n o t i c e t h a t t h e p e r f e c t
m o d e l c o n t r o l l a w s ( =
t r u e
) y i e l d b e t t e r p e r -
f o r m a n c e t h a n t h e i r a d a p t i v e c o u n t e r p a r t s .
4 . 3 . 2 . N o i s y M e a s u r e m e n t s . T h e s i m u l a t i o n
s t u d y i n S e c t i o n 4 . 3 . 1 w a s r e p e a t e d b y a d d i n g
w h i t e n o i s e t o t h e s t a t e m e a s u r e m e n t s o f u ; v ; r
a n d . I t t u r n e d o u t t h e A S B a l g o r i t h m w a s
q u i t e s e n s i t i v e t o m e a s u r e m e n t n o i s e . F o r i n s t a n c e
a d d i n g a z e r o - m e a n w h i t e n o i s e s i g n a l
t o t h e
y a w a n g l e m e a s u r e m e n t :
I F A C W o r k s h o p o n C o n t r o l A p p l i c a t i o n s i n M a r i n e S y s t e m s ( C A M S ' 9 5 ) 5
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0 100 200 300 4000
5000
10000
15000
time (s)
M par. estimates DCAL
0 100 200 300 400100
0
100
200
300
400
time (s)
D par. estimates DCAL
0 100 200 300 4000
5000
10000
15000
time (s)
M par. estimates ASB
0 100 200 300 400100
0
100
200
300
400
time (s)
D par. estimates ASB
F i g . 5 . N o m e a s u r e m e n t n o i s e : P a r a m e t e r e s t i m a t e s f o r A S B a n d D C A L .
0 100 200 300 4000
0.5
1
1.5
time (s)
m/s
desired surge vel.
0 100 200 300 4000.5
0
0.5
time (s)
m/s
desired sway vel.
0 100 200 300 40010
5
0
5
10
time (s)
deg
desired yaw angle
0 100 200 300 4000.4
0.2
0
0.2
0.4
time (s)
deg/s
desired yaw rate
0 100 200 300 4000.05
0
0.05
0.1
m/s
ASB surge/sway vel. errors
time (s)0 100 200 300 400
1
0.5
0
0.5
1
deg
ASB yaw angle error
time (s)
0 100 200 300 4001
0.5
0
0.5
1
deg
DCAL yaw angle error
time (s)0 100 200 300 400
0.05
0
0.05
0.1
0.15
m/s
DCAL surge/sway vel. errors
time (s)
F i g . 6 . U p p e r p l o t s s h o w t h e d e s i r e d s t a t e s w h e r e a s t h e l o w e r p l o t s s h o w t h e t r a c k i n g e r r o r s f o r t h e A S B a n d
D C A L ( n o m e a s u r e m e n t n o i s e ) .
6 I F A C W o r k s h o p o n C o n t r o l A p p l i c a t i o n s i n M a r i n e S y s t e m s ( C A M S ' 9 5 )
-
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0 500 10001000
0
1000
2000
3000ASB D par. estimates
time [s]0 500 1000
1
0
1
2x 10
4 ASB M par. estimates
time [s]
0 500 10005000
0
5000
10000
15000
20000.
time [s]0 500 1000
1000
0
1000
2000
3000.
time [s]
F i g . 7 . M e a s u r e m e n t n o i s e : M a s s m a t r i x p a r a m e t e r e s t i m a t e s f o r A S B a n d D C A L . N o t i c e t h a t
3
a n d
6
a r e
d r i f t i n g f o r t h e A S B a l g o r i t h m .
0 100 200 300 4000.5
0
0.5
1
1.5
2
time (s)
m/s
actual and desired surge vel.
0 100 200 300 4001
0.5
0
0.5
1
time (s)
m/s
actual and desired sway vel.
0 100 200 300 40020
10
0
10
20
time (s)
deg
actual and desired yaw angle
0 100 200 300 4001
0.5
0
0.5
1
time (s)
deg/s
actual and desired yaw rate
F i g . 8 . M e a s u r e m e n t n o i s e : A c t u a l a n d d e s i r e d s t a t e s f o r D C A L .
m
= +
; j
j 1 : 0 d e g ( 5 0 )
g a v e t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s s h o w n i n F i g . 7 . I t
i s s e e n t h a t t h e f o r t h e A S B a l g o r i t h m , t h e p a -
r a m e t e r e s t i m a t e s o f
3
= I
z
? N
_r
a n d
6
= ? N
r
b o t h c o r r e s p o n d i n g t o t h e y a w m o d e a r e d r i f t i n g .
I t i s a l s o s e e n t h a t t h e D C A L p a r a m e t e r e s t i m a t e s
a r e b o u n d e d e v e n f o r t h e n o i s y c a s e .
P a r a m e t e r d r i f t i n t h e A S B a l g o r i t h m c a n b e e x -
p l a i n e d b y c o n s i d e r i n g t h e u p d a t e l a w s f o r
3
a n d
6
w h e r e t h e s q u a r e s i g n a l
2
m
o c c u r s . T h i s i m -
p l i e s t h a t w h i t e n o i s e
i s s q u a r e d a n d i n t e g r a t e d
u p t o a n o n - z e r o t e r m c a u s i n g p a r a m e t e r d r i f t .
F o r t h e D C A L a l g o r i t h m t h i s i s a v o i d e d s i n c e t h e
p r o d u c t b e t w e e n t h e d e s i r e d s t a t e
d
a n d t h e m e a -
s u r e m e n t
m
i s u s e d i n s t e a d . T h e p e r f o r m a n c e o f
t h e D C A L a l g o r i t h m w i t h t h e h i g h l y n o i s e c o n -
t a m i n a t e d s i g n a l s :
u
m
= u +
u
; j
u
j 0 : 1 m / s ( 5 1 )
v
m
= v +
v
; j
v
j 0 : 1 m / s ( 5 2 )
r
m
= r +
r
; j
r
j 0 : 1 d e g / s ( 5 3 )
m
= +
; j
j 1 : 0 d e g ( 5 4 )
a r e s h o w n i n F i g u r e 8 . I t i s s h o w n t h a t t h e p e r -
f o r m a n c e i s s a t i s f a c t o r y a l s o f o r t h i s c a s e .
4 . 4 . C o m m e n t s o n t h e A S B a n d D C A L A l g o -
r i t h m s
I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e A S B c o n t r o l s c h e m e
i s s e n s i t i v e t o v e l o c i t y m e a s u r e m e n t n o i s e , s e e
B e r g h u i s ( 1 9 9 3 ) f o r i n s t a n c e . F o r a n u n d e r w a -
t e r v e h i c l e b o d y - x e d v e l o c i t i e s a r e u s u a l l y o b -
t a i n e d b y m o d e l - b a s e d s t a t e e s t i m a t i o n t h r o u g h
I F A C W o r k s h o p o n C o n t r o l A p p l i c a t i o n s i n M a r i n e S y s t e m s ( C A M S ' 9 5 ) 7
-
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n o i s y p o s i t i o n m e a s u r e m e n t s . T h i s i m p l i e s t h a t
t h e v e l o c i t y e s t i m a t e s c a n b e c o n t a m i n a t e d w i t h
a s i g n i c a n t a m o u n t o f n o i s e . I n s u c h c a s e s t h e
A S B a l g o r i t h m c a n g o u n s t a b l e d u e t o d r i f t i n
t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s . H o w e v e r , s o m e p r e c a u -
t i o n s a g a i n s t p a r a m e t e r d r i f t c a n b e t a k e n b y
s m a l l m o d i c a t i o n s o f t h e a d a p t i v e s c h e m e e . g .
b y a p p l y i n g t h e s o - c a l l e d a n d e
1
m o d i c a t i o n
s c h e m e s , N a r e n d r a a n d A n n a s w a m y ( 1 9 8 7 ) .
T h e c a s e s t u d y s h o w e d t h a t t h e D C A L w a s l e s s
s e n s i t i v e t o v e l o c i t y m e a s u r e m e n t n o i s e t h a n t h e
A S B . T h e m a i n r e a s o n f o r t h i s i s t h a t t h e a c t u a l
p o s i t i o n a n d v e l o c i t y i n t h e D C A L r e g r e s s o r i s
r e p l a c e d b y t h e d e s i r e d s t a t e t r a j e c t o r i e s .
5 . C O N C L U S I O N S
I n t h i s p a p e r t w o d i r e c t a d a p t i v e c o n t r o l l a w s , r e -
f e r r e d t o a s t h e a d a p t i v e c o n t r o l l a w o f S l o t i n e
a n d B e n e d e t t o ( A S B ) , a n d t h e d e s i r e d c o m p e n -
s a t i o n a d a p t i v e c o n t r o l l a w ( D C A L ) b y S a d e g h
a n d H o r o w i t z , h a v e b e e n s t u d i e d i n t h e c o n t e x t
o f m e a s u r e m e n t n o i s e . I t i s c o n c l u d e d t h a t t h e
D C A L a l g o r i t h m i s t h e o n l y s u i t e d a l g o r i t h m f o r
r e a l - t i m e A U V a p p l i c a t i o n s . A g l o b a l l y a s y m p t o t -
i c a l l y n o n l i n e a r o b s e r v e r f o r e s t i m a t i o n o f l i n e a r
v e l o c i t y i s a l s o p r e s e n t e d .
T h e o b s e r v e r i s i n t e n d e d f o r i m p l e m e n t a t i o n t o -
g e t h e r w i t h t h e D C A L a l g o r i t h m . T h e c a s e s t u d y
a l s o s h o w s t h a t t h e D C A L w i t h x e d p a r a m e t e r s
i s h i g h l y r o b u s t f o r m e a s u r e m e n t n o i s e . I t c a n a l s o
b e c o n c l u d e d t h a t d i r e c t p a r a m e t e r a d a p t a t i o n
s h o u l d o n l y b e u s e d i f a c c u r a t e p o s i t i o n m e a s u r e -
m e n t s a r e a v a i l a b l e a t h i g h s a m p l i n g f r e q u e n c y
( 1 { 1 0 H z ) .
6 . R E F E R E N C E S
B e r g h u i s , H . ( 1 9 9 3 ) . M o d e l - B a s e d R o b o t C o n t r o l :
F r o m T h e o r y t o P r a c t i c e . P h D t h e s i s . U n i v e r -
s i t y o f T w e n t e , E n s c h e d e , T h e N e t h e r l a n d s .
F o s s e n , T . I . ( 1 9 9 3 ) . C o m m e n t s o n " H a m i l t o n i a n
A d a p t i v e C o n t r o l o f S p a c e c r a f t " . I E E E T r a n s -
a c t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t r o l A C - 3 8 ( 4 ) , 6 7 1 {
6 7 2 .
F o s s e n , T . I . ( 1 9 9 4 ) . G u i d a n c e a n d C o n t r o l o f
O c e a n V e h i c l e s . J o h n W i l e y a n d S o n s L t d .
F o s s e n , T . I . a n d O . E . F j e l l s t a d ( 1 9 9 5 ) . N o n l i n -
e a r M o d e l l i n g o f M a r i n e V e h i c l e s i n 6 D e g r e e s o f
F r e e d o m . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M a t h e m a t i -
c a l M o d e l l i n g o f S y s t e m s J M M S - 1 ( 1 ) .
F o s s e n , T . I . a n d S . I . S a g a t u n ( 1 9 9 1 ) . A d a p -
t i v e C o n t r o l o f N o n l i n e a r S y s t e m s : A C a s e
S t u d y o f U n d e r w a t e r R o b o t i c S y s t e m s . J o u r -
n a l o f R o b o t i c S y s t e m s J R S - 8 ( 3 ) , 3 9 3 { 4 1 2 .
G e l b , A . , J . F . K a s p e r , J r . , R . A . N a s h , J r . , C . F .
P r i c e a n d A . A . S u t h e r l a n d , J r . ( 1 9 8 8 ) . A p p l i e d
O p t i m a l E s t i m a t i o n . M I T P r e s s . B o s t o n , M a s -
s a c h u s e t t s .
H e a l e y , A . J . a n d D . L i e n a r d ( 1 9 9 3 ) . M u l t i v a r i a b l e
S l i d i n g M o d e C o n t r o l f o r A u t o n o m o u s D i v i n g
a n d S t e e r i n g o f U n m a n n e d U n d e r w a t e r V e h i -
c l e s . I E E E J o u r n a l o f O c e a n E n g i n e e r i n g O E -
1 8 ( 3 ) , 3 2 7 { 3 3 9 .
N a r e n d r a , K . S . a n d A . M . A n n a s w a m y ( 1 9 8 7 ) . A
N e w A d a p t i v e L a w f o r R o b u s t A d a p t i o n W i t h -
o u t P e r s i s t e n t E x c i t a t i o n . I E E E T r a n s a c t i o n s
o n A u t o m a t i c C o n t r o l A C - 3 2 ( 2 ) , 1 3 4 { 1 4 5 .
S a d e g h , N . a n d R . H o r o w i t z ( 1 9 9 0 ) . S t a b i l i t y a n d
R o b u s t n e s s A n a l y s i s o f a C l a s s o f A d p t i v e C o n -
t r o l l e r s f o r R o b o t i c M a n i p u l t a o r s . I n t . J o u r n a l
o f R o b o t i c s R e s e a r c h 9 , 7 4 { 9 4 .
S a g a t u n , S . I . a n d T . I . F o s s e n ( 1 9 9 1 ) . L a g r a n g i a n
F o r m u l a t i o n o f U n d e r w a t e r V e h i c l e s ' D y n a m -
i c s . I n : P r o c e e d i n g s o f t h e I E E E I n t e r n a t i o n a l
C o n f e r e n c e o n S y s t e m s , M a n a n d C y b e r n e t i c s .
C h a r l o t t e s v i l l e , V A . p p . 1 0 2 9 { 1 0 3 4 .
S l o t i n e , J . J . E . a n d M . D . D i B e n e d e t t o ( 1 9 9 0 ) .
H a m i l t o n i a n A d a p t i v e C o n t r o l o f S p a c e c r a f t .
I E E E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t r o l A C -
3 5 ( 7 ) , 8 4 8 { 8 5 2 .
S N A M E ( 1 9 5 0 ) . T h e S o c i e t y o f N a v a l A r c h i t e c t s
a n d M a r i n e E n g i n e e r s . N o m e n c l a t u r e f o r T r e a t -
i n g t h e M o t i o n o f a S u b m e r g e d B o d y T h r o u g h
a F l u i d . I n : T e c h n i c a l a n d R e s e a r c h B u l l e t i n
N o . 1 - 5 .
A . G E N E R A L 6 D O F A U V M O D E L
A U V D y n a m i c s . T h e 6 6 i n e r t i a m a t r i x M i n -
c l u d e d h y d r o d y n a m i c a d d e d m a s s i s w r i t t e n :
M =
M
1 1
M
1 2
M
2 1
M
2 2
( 5 5 )
E x p a n d i n g t h i s e x p r e s s i o n i n t e r m s o f t h e S N A M E
( 1 9 5 0 ) n o t a t i o n y i e l d s :
M =
2
6
6
4
m ? X
_u
? X
_v
? X
_w
? X
_v
m ? Y
_v
? Y
_w
? X
_w
? Y
_w
m ? Z
_w
? X
_p
? m z
G
? Y
_p
m y
G
? Z
_p
z
G
? X
_q
? Y
_q
? m x
G
? Z
_q
? m y
G
? X
_r
m x
G
? Y
_r
? Z
_r
? X
_p
m z
G
? X
_q
? m y
G
? X
_r
? m z
G
? Y
_p
? Y
_q
m x
G
? Y
_r
m y
G
? Z
_p
? m x
G
? Z
_q
? Z
_r
I
x
? K
_p
? I
x y
? K
_q
? I
z x
? K
_r
? I
x y
? K
_q
I
y
? M
_q
? I
y z
? M
_r
? I
z x
? K
_r
? I
y z
? M
_r
I
z
? N
_r
3
7
7
5
( 5 6 )
S a g a t u n a n d F o s s e n ( 1 9 9 1 ) h a v e s h o w n t h a t t h e
C o r i o l i s a n d c e n t r i p e t a l m a t r i x c a n b e d e n e d i n
t e r m s o f t h e i n e r t i a m a t r i x e l e m e n t s a c c o r d i n g t o :
C ( ) =
0
3 3
? S ( M
1 1
1
+ M
1 2
2
)
? S ( M
1 1
1
+ M
1 2
2
)
? S ( M
2 1
1
+ M
2 2
2
)
( 5 7 )
8 I F A C W o r k s h o p o n C o n t r o l A p p l i c a t i o n s i n M a r i n e S y s t e m s ( C A M S ' 9 5 )
-
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w h e r e S ( ) i s a 3 3 s k e w - s y m m e t r i c a l m a t r i x o p -
e r a t o r d e n e d s u c h t h a t S ( a ) b = a b f o r a 2 I R
3
a n d b 2 I R
3
; s e e F o s s e n a n d F j e l l s t a d ( 1 9 9 5 ) f o r
d e t a i l s . T h e v e c t o r t e r m D ( v ) v 2 I R
6
i s s i m p l y a
v e c t o r c o n t a i n i n g d i s s i p a t i v e f o r c e s a n d m o m e n t s
d u e t o h y d r o d y n a m i c d a m p i n g a n d l i f t w h e r e a s
g ( ) 2 I R
6
i s t h e g r a v i t a t i o n a l a n d b u o y a n t f o r c e s
a n d m o m e n t s d e n e d b y :
g ( ) = g
T
1
( ) ; g
T
2
( ) ]
T
2
6
6
6
4
( W ? B ) s
? ( W ? B ) c s
? ( W ? B ) c c
? ( y
G
W ? y
B
B ) c c + ( z
G
W ? z
B
B ) c s
( z
G
W ? z
B
B ) s + ( x
G
W ? x
B
B ) c c
? ( x
G
W ? x
B
B ) c s ? ( y
G
W ? y
B
B ) s
3
7
7
7
5
( 5 8 )
K i n e m a t i c s . E q . ( 2 ) d e s c r i b e s t h e k i n e m a t i c
e q u a t i o n s o f m o t i o n w h e r e J ( ) i s a 6 6 b l o c k
d i a g o n a l t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x u s u a l l y d e n e d i n
t e r m s o f t h e E u l e r a n g l e s ; a n d a c c o r d i n g t o :
J ( ) =
J
1
( ) 0
3 3
0
3 3
J
2
( )
( 5 9 )
H e r e J
1
( ) i s t h e E u l e r a n g l e r o t a t i o n m a t r i x d e -
n e d a s :
J
1
( ) =
"
c c ? s c + c s s
s c c c + s s s
? s c s
s s + c c s
? c s + s s c
c c
#
( 6 0 )
a n d J
2
( ) i s t h e a n g u l a r v e l o c i t y t r a n s f o r m a t i o n
m a t r i x d e n e d a s :
J
2
( ) =
"
1 s t c t
0 c ? s
0 s = c c = c
#
( 6 1 )
N o n l i n e a r M o d e l P r o p e r t i e s . I n F o s s e n ( 1 9 9 4 ) i t
i s s h o w n t h a t t h e n o n l i n e a r m o d e l ( 1 ) a n d ( 2 ) s a t -
i s e s t h e f o l l o w i n g m o d e l p r o p e r t i e s :
1 . M = M
T
> 0 a n d
_
M = 0 ( a s s u m i n g c o n s t .
a d d e d m a s s f o r a d e e p l y s u b m e r g e d v e h i c l e ) .
2 . C ( ) = ? C
T
( ) i m p l y i n g t h a t :
x
T
C ( ) x = 0 8 x 2 I R
6
; 2 I R
6
3 .
T
D ( ) 0 8 2 I R
6
B . N P S A U V I I M O D E L P A R A M E T E R S
T h e A U V m o d e l u s e d i n t h e c a s e s t u d i e s i s b a s e d
o n t h e N a v a l P o s t g r a d u a t e S c h o o l ( N P S ) A U V I I ,
H e a l e y a n d L i e n a r d ( 1 9 9 3 ) . T h e h o r i z o n t a l m o -
t i o n ( s u r g e , s w a y a n d y a w ) o f t h e N P S A U V I I i s
d e s c r i b e d b y :
W = 5 3 4 0 0 N I
z
= 2 0 3 8 k g m C
d
= 0 0 0 3 4
m = 5 4 4 3 4 k g L = 5 3 m = 1 0 0 0 k g / m
3
T h e d y n a m i c p r e s s u r e i s :
q = 0 : 5 L
2
= 1 4 0 4 5 : 0 k g / m
w h e r e a s
X
_u
= ? 7 6 1 0
? 3
q L X
u j u j
= ? C
d
q
Y
_v
= ? 5 5 1 0
? 2
q L Y
v
= ? 1 0 1 0
? 1
q
N
_r
= ? 3 4 1 0
? 3
q L
3
N
r
= ? 1 6 1 0
? 2
q L
2
Y
r
= 1 2 1 0
? 3
q L N
v
= ? 7 4 1 0
? 3
q L
T h e m a t r i c e s a r e :
M =
"
m ? X
_u
0 0
0 m ? Y
_v
0
0 0 I
z
? N
_r
#
C ( ) =
0 0 ? ( m ? Y
_v
) v
0 0 ( m ? X
_u
) u
( m ? Y
_v
) v ? ( m ? X
_u
) u 0
D ( ) =
"
? X
u j u j
j u j 0 0
0 ? Y
v
? Y
r
0 ? N
v
? N
r
#
R e g r e s s i o n F o r m . T h i s m o d e l c a n b e w r i t t e n i n
r e g r e s s i o n f o r m :
M
_
r + C ( v ) r + D ( v ) r = Y (
_
r ; r ; v )
w i t h p a r a m e t e r v e c t o r :
= m ? X
_u
; m ? Y
_v
; I
z
? N
_r
;
? X
u j u j
; ? Y
v
; ? N
r
; ? Y
r
; ? N
v
T
a n d r e g r e s s o r :
Y = Y
m
+ Y
c
; Y
d
]
w h e r e :
Y
m
=
"
_r
1
0 0
0 _r
2
0
0 0 _r
3
#
Y
c
=
"
0 ? r
2
v
3
0
r
1
v
3
0 0
? r
1
v
2
r
2
v
1
0
#
Y
d
=
"
j r
1
j v
1
0 0 0 0
0 v
2
0 v
3
0
0 0 v
3
0 v
2
#
I F A C W o r k s h o p o n C o n t r o l A p p l i c a t i o n s i n M a r i n e S y s t e m s ( C A M S ' 9 5 ) 9