Robotics: Course Syllabus:

● Introduction: Basic Definitions and Concepts● Mathematical Background● Kinematics of Robotic Systems● Dynamics of Robotic Systems● Path and Trajectory Planning● Joint Space and Task Space Motion Control

Computed Torque Control, Adaptive and Robust Control,Inertia-Related, Passivity-Based Control, DCAL, ...

● Force Control

References:[1] J. J. Carig, "Introduction to Robotics," Reading, MA, Addison-Wesley, 1989.[2] F. L. Lewis, D. M. Dawson, C. T. Abdallah, "Robot Manipulator Control Theory and Practice," 2nd, ed.,

Revised and Expanded, Marcel Dekker, NY, 2004.[3] M. Spong, S. Hutchinson, M. Vidyasagar, "Robot Modeling and Control," John Wiley and sons, 2006.[4] P. Corke, "Robotics, Vision and Control: Fundamental Algorithms in MATLAB," Springer-Verlag,

Berlin, 2011.

Grading:1. Class Attendance and quizzes: 10%2. Homework and simulation practices: 10 %3. Mid-term exam (if possible): 20 %4. Final exam: 60 %

Instructor:Khoshnam ShojaeiEmail: khoshnam.shojaee@gmail.com

تعاريف اوليه براي هک است مجدد ريزي برنامه قابل و منظوره چند مکانيکي بازوي ربات

که تاس شده طراحي مخصوص دستگاههاي يا و ابزار قطعات، مواد، جابجايي .دکن مي اجرا را مختلفي کارهاي شده، ريزي برنامه هاي حرکت طريق از

:نمايش سمبوليک ربات ها ●

که است )لينک( رابطهايي از متشکل ربات مکانيکي ماهر بازوهاي را ينماتيکيس زنجيره يک و شده متصل يکديگر به مفاصل توسط هستند )Revolute( لولايي يا دوراني يا مفصلها .دهند مي تشکيل

لولايي مانند دوراني مفصل .)Prismatic( کشويي يا خطي يا و مي همفرا را رابط دو ميان چرخشي نسبي حرکت امکان که است داده نمايش P حرف با خطي مفاصل و R با لولايي مفاصل .کند RRR با ييلولا مفصل سه با لينکي سه بازوي مثال، براي .شوند مي

.شود مي داده نمايش

خوشنام ��ا��: مدرس

تعاريف اوليهConfiguration(فضاي پيکربندي ● Space:(

بازوي زا نقطه هر موقعيت کامل نمودن معين معناي به ربات بازوي يک بندي پيکر - ضايف ربات يک براي ممکن هاي پيکربندي تمام مجموعه به .باشد مي مکانيکي .شود مي گفته پيکربندي

براي .ودش مي داده نمايش مفاصل متغيرهاي مقادير مجموعه با پيکربندي درس، اين در - شود، تعريف متغير n با ربات پيکربندي اگر .کنيم مي استفاده q متغير از پيکربندي نمايش بنديپيکر فضاي ابعاد با آزادي درجات تعداد .ناميم مي )DOF( آزادي درجه n را ربات.کنند مي نتعيي را آزادي درجات تعداد مفاصل تعداد مکانيکي بازوي براي .است برابر

کي دارد، آزادي درجه شش بعدي سه فضاي در صلب جسم يک اينکه به توجه با - شش بايد واهدلخ زاويه با کاري فضاي از نقطه هر به دسترسي براي نيز مکانيکي بازوي .باشد داشته مفصل شش عبارتي به و آزادي درجه

.باشد اشتهد آزادي درجه شش از بيش بايد بازو موانع، پشت يا اطراف به دسترسي براي - اضافي درجه با بازو آزادي درجه شش از بيش با بازويي به صورت، اين در

)Redundant( شود مي گفته سينماتيکي حرکت.

تعاريف اوليه):Workspace(فضاي کاري ●

نهايي مجري توسط شده جاروب حجم تمام به ماهر مکانيکي بازوي يک کاري فضاي-)end effector( اما .نمايد اجرا را ممکن حرکات همه بازو که نحوي به شود مي گفته

به .کند يم مقيد را فضا اين مفاصل مکانيکي هاي محدوديت و مکانيکي بازوي هندسه .شود محدود درجه 360 از کمتر به است ممکن دوراني مفصل يک مثال، عنوان

فضاي و )Reachable( دسترس قابل کاري فضاي به مکانيکي بازوي کاري فضاي - بازو رايب دسترس قابل نقاط تمام مجموعه به .شود مي بندي تقسيم )dexterous( ماهر

هر با بازو هک است نقاطي تمام مجموعه ماهر فضاي که اما گوييم، مي دسترس قابل فضاي يرز ماهر فضاي مشخصاً .کند مي پيدا دسترسي آن به نهايي مجري از گيري جهت

.است دسترسي قابل فضاي مجموعه

:وهاطبقه بندي باز ●

)Articulated( بند بند بازوهاي -)Spherical( کروي بازوهاي - )SCARA( اسکارا بازوهاي - )Cylindrical(اي استوانه بازوهاي -)Cartesian( دکارتي بازوهاي -)Parallel( موازي بازوهاي -

RRRRRP

RRPRPP

PPP

خوشنام ��ا��: مدرس

Robotic Arms

Cartesian Coordinate

Robot (Gantry)

Articulated Robot

Parallel Robot

SCARA

Spherical Robots

CylindericalRobot

Applications:● Spray painting● Arc welding● Pick and Place● Die casting● Assembly operations…

تعاريف اوليه)Articulated( بند بند بازوهاي ◄ لينک سه .شوند مي ناميده نيز RRR نوع از )Revolute( چرخشي بازوهاي بازوها اين-

محور با( ساعد و )z1 مفصل محور با( شانه ،)z0 مفصل محور با( کمر ترتيب به بازو و z1 محور دو هر و بوده z1 موازي z2 مفصل محور عموماً، .شوند مي ناميده )z2 مفصل

z2 محور بر z0 مي ننشا را چرخشي مکانيکي بازوي کاري فضاي زير شکل .عمودند .کند يم فراهم فشرده فضاي يک در را بيشتري نسبي حرکتي آزادي بازو اين .دهد

خوشنام ��ا��: مدرس

تعاريف اوليه)Articulated( بند بند بازوهاي ◄ مي ناميده )parallelogram( الاضلاع متوازي طرح دوراني مفصل از ديگري طرح-

.رددا جالبي مزاياي ولي .است چرخشي بازوي طرح از کمتر طرح اين مهارت .شود وزن چون .است شده جاسازي اول لينک روي بر 3 شماره مفصل )actuator( عملگر و باشند تر سبک توانند مي 3 و 2 هاي لينک شود، مي تحمل اول لينک توسط موتور

ساده بسيار هابازو اين ديناميک علاوه، به .باشند داشته کمتري قدرت نيز موتورهايشان .دباش مي تر ساده آنها کنترل نتيجه در و است چرخشي يا آرنجي انواع از تر

)Spherical( کروي مکانيکي بازوهاي ◄ کي با را سوم مفصل چرخشي بازوي يک در اگر

کروي بازوي يک کنيم، تعويض کشويي مفصل مختصات بازوها اين در واقع، در .داشت خواهيم هاييانت مجري کروي مختصات با منطبق مفصل در .تاس شانه مفصل مختصات چارچوب به نسبت عمود z2 بر z1 محور و z1 بر z0 محور طرح، اين

.است

تعاريف اوليه)SCARA( اسکارا مکانيکي بازوهاي ◄ ملياتع براي که هستند مکانيکي بازوهاي نوع ترين متداول بازوها اين

رويک بازوي همانند اسکارا اگرچه .گيرند مي قرار استفاده مورد مونتاژ از متفاوت کاملاً کاربرد و ظاهري لحاظ يه ولي دارد، RRP ساختاري

بر z1 محور و z1 بر z0 محور که کروي طرح خلاف بر .باشد مي کرويz2 موازيند هم با محور سه هر اسکارا طرح در بود، عمود.

خوشنام ��ا��: مدرس

تعاريف اوليه)Cylindrical( اي استوانه مکانيکي بازوهاي ◄

خشچر يک و بوده دوراني مفصل اولين بازوها، اين در وييکش سوم و دوم مفاصل اما .کند مي ايجاد پايه حول بازوها، اين در .هستند RPP بازوهاي بنابراين، .هستند

مختصات حسب بر نهايي مجري مفصل متغيرهاي .شوند مي تعريف پايه به نسبت اي استوانه

)Cartesian( دکارتي مکانيکي بازوهاي ◄

يکشوي صورت به مفصل سه هر بازوها، اين در .باشد مي PPP نوع از بازو بنابراين و هستند

مختصات دکارتي، بازوي مفصل متغيرهاي اين .اشندب مي پايه به نسبت نهايي مجري دکارتي رايب يا و ميز بالاي مونتاژ کارهاي براي بازوها

و وندش مي استفاده جرثقيل همانند مواد جابجايي .باشند مي شکل مکعب کاري فضاي داراي

تعاريف و مفاهيم اوليه)Parallel( موازي مکانيکي بازوهاي ◄

هايلينک از اي مجموعه زير که هستند بازوهايي بازوها اين ديگر، بيان به .دهند مي را بسته زنجيره يک تشکيل آن،

زنجيره چندين يا دو داراي موازي مکانيکي بازوي در .سته نهايي مجري به پايه کننده ي متصل سينماتيکي

بيشتري اريساخت استحکام و صلبيت داراي رباتها اين نتيجه، .باشند مي ديگر انواع با مقايسه در

خوشنام ��ا��: مدرس

تعاريف و مفاهيم اوليه صورت به آنها محورهای مستقيم هادي کسينوس با مبنا چارچوب به نسبت ابزار چارچوب گيري جهت علاوه، به

:شود مي تعريف زير

براي سيستماتيک روش يک عنوان به هارتنبرگ-دناويت روش.شد خواهد ارائه مستقيم سينماتيک بيان

چارچوب ابزار

چارچوب مبنا1α

2α

. cosx y x y θ=

:کرد بيان دورانی ماتريس يک صورت به را آنها توان می که

.شوند می دهنامي مکانيکی بازوی مستقيم سينماتيک فوق معادلات به و بوده پيچيده معادلات اين آزادی درجه شش ربات يک برای

.شوند نمی بيان فوق راحتی می نظر در چارچوب يک مفصل هر روی کلی، روش يک اساس بر

به ها چارچوب اين ميان را ای يافته سازمان تبديل يک و گيريم.آوريم مي بدست ماتريسی تبديلات کمک

Robot Equation of Motion

Inverse( معکوس سينماتيک ◄ Kinematics(

مجري ريگي سمت و موقعيت مختصات توان مي مفاصل زواياي گيري اندازه با که شد مشخص قبل بحث از به دلخواه مکان يک به حرکت براي ربات به دادن فرمان براي حال، .کرد بيان مبنا مختصات دستگاه در را نهايي فضا، در دلخواه نقطه يک کارتزين متغيرهاي حسب بر مفاصل زواياي متغيرهاي بيان يعني فرآيند، اين عکس مستقيم يکسينمات معادلات که آنجايي از اما .شود مي ناميده معکوس سينماتيک مسأله اين .هستيم نيازمند

.باشد نداشته ايييکت حل راه بلکه نباشد، ساده تنها نه معکوس سينماتيک حل است ممکن باشند، مي غيرخطي

بازوي دسترس از خارج دلخواه نقطه مختصات اگر -.تداش نخواهد وجود مسأله براي جوابي باشد، مکانيکي

يکيمکان بازوي دسترس در دلخواه نقطه مختصات اگر -.باشيم تهداش پاسخ دو روبرو شکل مطابق است ممکن باشد،

بازو که حالتی مثل .دارد وجود پاسخ يک تنها هم گاهی -.بديا امتداد کاملاً بايد نظر مورد نقطه به رسيدن برای

خوشنام ��ا��: مدرس

:ممکن حالات

نپايي آرنج

بالا آرنج

Robot Equation of Motion2:داريم ها کسينوس قانون با مطابق 2 2 2 2

1 2 1 2 22 cos(180 )c x y α α α α θ= + = + − −

2 2 2 21 2

21 2

cos( ) :2

x y Dα αθ

α α+ − −

= = 12 cos ( )Dθ −=

2:نويسيمب که است بهتر آوريم، بدست را پايين و بالا آرنج حالت دو هر بتوانيم اينکه برای2sin( ) 1 Dθ = ± −

21

21tan DD

θ − ± −

=

:آيد می بدست زير رابطه با يک لينک زاويه که دهيد نشان :تمرين

1 1 2 21

1 2 2

sin( )tan tancos( )

yx

α θθ

α α θ− − = − +

.است شکلم بسيار کلی حالت در معکوس سينماتيک محاسبه

تعاريف و مفاهيم اوليهVelocity( سرعت سينماتيک ◄ Kinematics(

سرعت و ايينه مجري سرعت ميان اي رابطه بايد مقرر، سرعت هر يا و ثابت سرعت با منحني يک رديابي براي.شود مي ناميده سرعت سينماتيک مسأله اين .کنيم پيدا مفاصل اي زاويه

.است اساسی مسأله يک بازو برای آن تعيين و شود مي ناميده ژاكوبين ماتريس J ماتريسخوشنام ��ا��: مدرس

1α

2α

تعاريف و مفاهيم اوليهVelocity( سرعت سينماتيک ◄ Kinematics(

:شود مي محاسبه معكوس ژاكوبين توسط نهايي مجري هاي سرعت روی از مفاصل هاي سرعت

.تاس فوق معادله در ژاكوبين دترمينان ,باشد درجه 180 يا صفر دوم لينك زاويه كه زماني ,مشخصاً تكين ربنديپيك يك اين به .نيست محاسبه قابل ژاكوبين معكوس

)singular( شود مي گفته. در حركت هب قادر مكانيكي بازوي تكين هاي وضعيت در ,متأسفانه ادرق وقتی بازو روبرو شکل در مثلاً، .باشد نمي خاصي جهات

بايد يرمس ريزي طرح ,بنابراين .نيست محور جهت در حرکت به.شود اجتناب ها وضعيت اين از كه شود انجام نحوي به

2 0θ =

2x

تعاريف و مفاهيم اوليه

Path( مسير طراحي ◄ Planning(

:باشد مي مرحله سه شامل ربات كنترل مسأله

گونه به هدف تموقعي يك سمت به ربات حركت براي ربات كاري فضاي در مسير يك تعيين از است عبارت بدون را مكان و جهت به مربوط اطلاعات مسيرها اين .نكند برخورد كاري فضاي در موجود اشياء با كه اي

.ندگير مي نظر در شده، طراحي مسير طول در ها شتاب و ها سرعت به توجه بدون يِعني ,زمان به توجهTrajectory( مسير توليد ◄ Generation(

يا و شده هداد مسير يك طول در را مكانيكي بازوي زماني اطلاعات كه مرجع مسيرهاي توليد از است عبارت.شود مي بيان زمان از توابعي شكل به معمولاً شده توليد مسير اين .كند مي تعيين نهايي و اوليه هاي وضعيت بين

Trajectory( مسير رديابي ◄ Tracking( جهت لازم اورگشت هاي ورودي كه است آن كنترل سيستم وظيفه ,قبل گام در مرجع مسير شدن مشخص با

براي اكاصطك و نويز نشده، مدل هاي ديناميك از ناشي اغتشاش اثر حذف ضمن را مرجع مسير يك رديابي:دهيم می انجام را کنترل روش دو به معمولاً، .كند توليد موتورها

خوشنام ��ا��: مدرس

تعاريف و مفاهيم اوليه

Force( نيرو کنترل ◄ Control(

یک صورت هب موتور کردن مدل با را مکانیکی بازوي از مفصل هر روش این در :مستقل صورت به مفصل کنترل عنوان به را دیگر هاي لینک حرکت از ناشی کوپلینگ اثرات و کنیم می کنترل مستقلاً خروجی تک-ورودي تک سیستم

.گیریم می نظر در اغتشاش

کنترل که رسد می نظر به کند، ردیابی سطح به ثابت نیروي یک حفظ با را منحنی یک ربات که باشد قرار اگر صلبیت خاطر به ربات زیرا .است مشکل بسیار عمل در کار این انجام ولی .کند می کفایت نهایی مجري موقعیت کنترل طرف از زیادي خیلی نیروي باشد، داشته وجود نهایی مجري موقعیت در کوچکی خطاي اگر دارد که بالایی آن بهتر ابراین،بن .ببینند آسیب ربات یا سطح ابزار، که است ممکن و شود می اعمال نهایی مجري به موقعیت کننده متداول هاي روش .شود انجام هم نیرو کنترل یک و شوند گیري اندازه نیز سطح واکنش و کنش نیروهاي که است

.هستند امپدانس کنترل و هایبرید کنترل نیرو، کنترل

با است تغیرهم چند و غیرخطی سیستمی که ربات دینامیکی معادلات کتاب هفتم فصل در :متغیره چند کنترل شده محاسبه شتاورگ نظیر پیشرفته متغیره چند خطی غیر کنترل هاي روش سپس، .شوند می محاسبه لاگرانژي مکانیک

.شوند می معرفی غیرخطی دینامیک سازي جبران براي معکوس دینامیک و

حركات صلب و تبديلات همگن تبديل و ركيبت با ,همگن تبديلات از ,مكانيكي ماهر بازوي مستقيم سينماتيك معادلات آوردن بدست براي

.شد خواهد استفاده ماتريسي ضرب يك صورت به انتقال و دوران عملياتها موقعيت نمايش ●:ريدبگي نظر در را و مختصات دستگاه دو 1 1 1o x y 0 0 0o x y

زا مختصات دستگاه در نقطه يك نمايش براي.كنيم مي استفاده يك بالانويس

1 1 1o x y

:p نقطه نمايش

:مختصات مبدأ نمايش

:بردار نمايش

.دارد مرجع چهارچوب به اشاره نويس بالا

خوشنام ��ا��: مدرس

حركات صلب و تبديلات همگن

مختلفي ختصاتيم هاي دستگاه ديگري، به نسبت صلب جسم يك نسبي گيري سمت و موقعيت نمايش براي مي مشخص ار مختصاتي هاي دستگاه اين بين هندسي روابط سپس و نموده متصل اجسام اين از يك هر به را

.كنيم

ها دوران نمايش ●صفحه در دوران ●

0: مختصات دستگاه در و يكه بردار نمايش 0 0o x y 1x1y

:دوران ماتر�س

.دارد مرجع چهارچوب به اشاره نويس بالا

:آيد مي بدست دوران ماتريس فوق بردارهاي تركيب از

خوشنام ��ا��: مدرس

حركات صلب و تبديلات همگن

زير تصور به همديگر به نسبت دستگاه دو دوران ماتريس نوشتن با

:كه شود مي ملاحظه

:هك داد نشان توان مي راحتي به

متعامد اتريسم ماتريسي چنين .عمودند هم بر متقابلاً و بوده واحد طول با بردارهايي دوران ماتريس ستوني بردارهاي و ددهن مي نمايش با را هاي ماتريس چنين مجموعه .است واحد برابر آن دترمينان و شود مي ناميده.شوند مي ناميده n مرتبه از خاص متعامد گروه

:دوران ماتريس خواص ●

n n×( )SO n

حركات صلب و تبديلات همگن

:دوران ماتریس خواص ●

خوشنام ��ا��: مدرس

حركات صلب و تبديلات همگن:ديبع سه فضاي در دوران ماتريس ●

ماتريس، يك هاي ستون در مختصات دستگاه در و , يكه بردارهاي نمايش:باشد مي گروه به متعلق كه سازد مي را بعدي سه دوران ماتريس

1x1y1z0 0 0 0o x y z

:بگيريد نظر در را روبرو مختصات دستگاه مثال، عنوان به

:از است عبارت z محور حول دوران ماتريس

(3)SO

حرکات صلب و تبدیلات همگن:بعدي سه فضاي در دوران ماتریس ●

:دهیم می نشان گویاتر نماد با را ماتریس این:است زیر هاي ویژگی داراي و

:از عبارتند z و x, y محورهاي حول دوران ماتریس ,مشابه طور به

خوشنام شجاعی: مدرس

,zR θ

حركات صلب و تبديلات همگن:دوراني تبديلات ●

در را S صلب جسم از p نقطه مختصات كنيد فرض را مختصات اين خواهيم مي .دانيم مي دستگاه

:آوريم بدست دستگاه در 0 0 0 0o x y z1 1 1 1o x y z

صفر مرجع دستگاه در را p بردار تصوير ,منظور اين براي:آوريم مي بدست

داربر يك دوران تبديل براي ,بنابراين اندور ماتريس در را آن است كافي دلخواه.كنيم ضرب

حرکات صلب و تبدیلات همگن:همانندي تبدیلات ●

این آوردن بدست براي ,باشد مختصات دستگاه در خطی تبدیل یک دهنده نشان A ماتریس کنید فرض:کنیم می استفاده همانندي تبدیل از مختصات دستگاه در خطی تبدیل 1 1 1 1o x y z

0 0 0 0o x y z

صفر مرجع دستگاه به یک دستگاه از دوران

:ها دوران ترکیب ●

است یکاف کنیم، منتقل مرجع دستگاه به متوالی هاي دستگاه چندین میان از را p دلخواه نقطه نمایش بخواهیم اگر:کنیم ضرب هم در را آنها دوران هاي ماتریس

صفر مرجع دستگاه به دو دستگاه از دورانیک دستگاه به دو دستگاه از دوران

صفر مرجع دستگاه به یک دستگاه از دوران

:جاري مختصات دستگاه به نسبت ها دوران ●

خوشنام شجاعی: مدرس

حركات صلب و تبديلات همگن

خوشنام ��ا��: مدرس

حركات صلب و تبديلات همگن

دوران يسر يك كه است لازم متوالي، جاري مختصات هاي دستگاه حول دوران جاي به موارد از بسياري در ترتيب لكهب .باشد نمي معتبر قبلي قانون ,صورت اين در .شود انجام ثابت مختصات دستگاه يك حول ها

آقاي ابكت به موضوع اين اثبات براي .بود خواهد وارون صورت به حالت اين در دوران هاي ماتريس ضرب.كنيد مراجعه اسپانگ مارك

:ثابت مختصات دست�اه بھ �س�ت �ا دوران ●

خوشنام ��ا��: مدرس

حركات صلب و تبديلات همگن:ورانيد تبديلات تركيب قوانين خلاصه ●

مي ضرب پس را دوران هاي ماتريس جاري مختصات دستگاه به نسبت دوراني تبديلات تركيب براي.كنيم مي ضرب پيش را ندورا هاي ماتريس ثابت مختصات دستگاه به نسبت دوراني تبديلات تركيب براي.كنيم

:باشد شده تعريف زير متوالي هاي دوران توسط R كه كنيد فرض :مثال ●. جاري محور حول اندازه به دوراني -1 θx. جاري محور حول اندازه به دوراني -2 φz. ثابت محور حول اندازه به دوراني -3 αz. جاري محور حول اندازه به دوراني -4 βy

. ثابت محور حول اندازه به دوراني -5 δx

, , , , ,x z x z yR R R R R Rδ α θ φ β=

خوشنام شجاعي: مدرس

حركات صلب و تبديلات همگن:دارد وجود مستقل متغير سه با بعدي سه حالت در دوران ماتريس نمايش براي معمول راه سه

اويهز/محور نمايش و ,ياو-پيچ-رول نمايش ,اويلر زواياي

:اويلر زواياي ● ، زاويه با محور حول دوران ابتدا در .آيد مي بدست پي در پي دوران سه با دوران ماتريس روش، اين در .شود مي انجام زاويه با جاري محور حول دوران نهايتاً و زاويه با جاري محور حول دوران سپس

zφyθzψ

حركات صلب و تبديلات همگن:اويلر زواياي ●

خوشنام ��ا��: مدرس

حركات صلب و تبديلات همگنياو-پيچ-روش رول●

پیچ سپس ، زاویه با محور حول یاو ابتدا در .آید می بدست پی در پی دوران سه با دوران ماتریس روش، این در پی در پی صورت به ها دوران چون .شود می انجام زاویه با محور حول رول نهایتاً و زاویه با محور حول

:بود خواهد زیر صورت به تبدیل ماتریس باشند، می ثابت چارچوب به نسبت

0xψ0yθ0zφ

خوشنام ��ا��: مدرس

حرکات صلب و تبدیلات همگن:صلب حرکات ●

.دباشن می و آن در که صورت به مرتب زوج یک از است عبارت صلب حرکت یک :تعریف:بنابراین .شوند می داده نشان با و شوند می شناخته خاص اقلیدسی گروه عنوان به صلب، حرکات تمامی گروه

.باشد می خالص دوران یک همراه به خالص انتقال یک بیانگر صلب حرکت یک ساده، زبان به

( , )d R(3)R SO∈3d ∈ℜ(3)SE

3(3) (3)SE R SO= ×

0x

0y

0z

0o

1x

1z1y

1o1d

p

0x

0y

0z

0o

1x

1z1y

1o1d

p

2y

2x

2z

2o2d

طرفی ازخوشنام شجاعی: مدرس

حرکات صلب و تبدیلات همگن:تبدیلات همگن●

.شد خواهد دهپیچی بسیار تبدیل آوردن بدست براي لازم محاسبات صلب، حرکات از طویلی دنباله وجود صورت در.داد اهشک ماتریسی ضرب حاصل به را آنها ترکیب توان می صلب حرکات ماتریسی نمایش از استفاده با ولی

زیر، همانندي ماتریس با قبل صفحه معادلات مقایسه با

:هستند نمایش قابل زیر فرم به هایی ماتریس از اي مجموعه بوسیله صلب حرکات که گفت توان می

که نجاییآ از .دهند می نشان را صلب حرکات ماتریسی نمایش که شوند می نامیده همگن تبدیل ها ماتریس اینR داد نشان توان می است، متعامد:

خوشنام شجاعی: مدرس

حرکات صلب و تبدیلات همگن ماتریسی، ضرب صورت به روبرو معادله نمایش براي.کنیم اضافه را یک عنصر و بردارهاي به باید 0p1p

هب محورها از کدام هر حول دوران و انتقال براي همگن تبدیلات هاي ماتریس :شوند می نوشته زیر صورت

:x محور حول دوران و انتقال

:y محور حول دوران و انتقال

:z محور حول دوران و انتقال

حرکات صلب و تبدیلات همگن:ودش می نوشته زیر صورت به همگن تبدیل ماتریس کلی، حالت در

:شود می انجام دوران هاي ماتریس همانند نیز همگن تبدیلات ترکیب

محورها گیري جهت مختصات مبدأ انتقال

ضرب پس جاري چارچوبضرب پیش ثابت چارچوب

انتقال جاري، x محور امتداد در b میزان به انتقال ,x محور حول اندازه به دوران براي را همگن تبدیل ماتریس :تمرین .آورید بدست را جاري z محور حول اندازه به دوران و جاري z محور امتداد در d میزان به

αθ

خوشنام شجاعی: مدرس

حرکات صلب و تبدیلات همگن انتقال جاري، x محور امتداد در b میزان به انتقال ,x محور حول اندازه به دوران براي را همگن تبدیل ماتریس :تمرین

.آورید بدست را جاري z محور حول اندازه به دوران و جاري z محور امتداد در d میزان بهαθ

سینماتیک مستقیم و معکوس با توان می را مفصل هر عمل است، آزادي درجه یک داراي مفصل هر آنکه فرض با

.کرد فتوصی )کشویی مفصل براي( جابجایی یک و )دورانی مفصل براي( زاویه یک را لینک دو مفصل هر زیرا .داشت خواهد لینک n+1 ,مفصل n با مکانیکی بازوي یک شماره n تا 0 از را ها لینک و n تا1 از را مفاصل اینجا، در .کند می متصل هم به

دقت .کند می متصل i لینک به را (i-1) لینک i مفصل بنابراین، .کنیم می گذاري می تحریک i مفصل وقتی .است ثابت (i-1) لینک به نسبت i مفصل موقعیت که کنید هنگام در و است ثابت )لینک اولین( صفر لینک بنابراین، .کند می حرکت i لینک ,شود

دستگاه یک لینک هر به سینماتیک، آنالیز براي .کند نمی حرکت مفاصل تحریک.کنیم می متصل مختصات

iلینک

(i-1)لینک iمفصل

و تموقعی که است همگن تبدیل ماتریس که کنید فرض.کند می بیان به نسبت را جهت

( )iiA qi i i io x y z1 1 1 1i i i io x y z− − − −

می بدست زیر صورت به i لینک به j لینک از تبدیل ماتریس آنگاه:آید

خوشنام شجاعی: مدرس

سينماتيك مستقيم و معكوس

خوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک مستقیم ستگاهد یا پایه دستگاه( اینرسی دستگاه به نسبت و شود می بیان n دستگاه در نهایی مجري روي نقطه هر موقعیت

:شود می تعریف زیر همگن تبدیل ماتریس با )صفر

:شود می داده زیر رابطه با اینرسی دستگاه در نهایی مجري جهت و موقعیت بنابراین،

:شود می تعریف زیر صورت به A ماتریس هر آن در که

:شود می بیان روبرو صورت به i به j دستگاه از تبدیل ماتریسآن در که

خوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک مستقیم

یا ارتنبرگه دناویت قاعده رباتیک، کاربردهاي در مرجع مختصات هاي دستگاه تعیین براي متداول دستورالعمل یکDH تبدیل ماتریس هر دستورالعمل این .است A است داده نشان زیر اساسی تبدیل چهار حاصلضرب صورت به را:

:هارتنبرگ-دناویت قاعده ●

نمایش براي که است مزیت این داراي قاعده این ارامترپ چهار ,پارامتر شش استفاده جاي به دوران ماتریس می هساد بسیار محاسبات درنتیجه و کند می استفاده

.شوند

طول لینک زاویه لینکانحراف لینکپیچش لینک

خوشنام شجاعی: مدرس

اویلر زاویه سه با محورها گیري جهت.شود می مشخص

مختصات مبدأ انتقال

سینماتیک مستقیم نمایش که رسد می نظر به و داریم نیاز پارامتر شش همگن تبدیل ماتریس نمایش براي که دارید خاطر به قبل فصل از

:نیست پذیر امکان پارامتر چهار تنها با ماتریس این

)DH1( است عمود محور بر محور. ix1iz −

)DH2( است متقاطع محور با محور. ix1iz −

تبدیل سماتری بتوان آنکه براي که شود می ثابت ولی شرایط باید کرد، بیان پارامتر چهار با فوق صورت به را

:شوند برقرار زیر

.شود پیگیري اسپانگ مارك کتاب در اثبات

خوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک مستقیم.شود می گیري اندازه محور امتداد در و است و محورهاي بین فاصله پارامتر iz1iz −ix

از فادهاست با به از زاویه مثبت جهت .شود می گیري اندازه بر عمود صفحه در و است و محورهاي بین زاویه زاویه.شود می تعیین راست دست قاعده

1iz −ix αiα1iz −iz

ia

iz

خوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک مستقیم.شود می گیري اندازه محور امتداد در که است با محور تقاطع محل و مبدأ بین فاصله پارامتر 1iz − 1io −ix1iz − id

.شود می گیري اندازه بر عمود صفحه در و است و محورهاي بین زاویه زاویه ix 1ix −1iz − iθ

خوشنام شجاعی: مدرس

سينماتيك مستقيم محور محور ،مثال براي .دهیم می تخصیص امُ-)i+1( مفصل عملگر محور به را امُ-i دستگاه محور ابتدا

... و2 مفصل عملگر محور محور ,1 مفصل عملگرiz0z

1z

خوشنام شجاعی: مدرس

سينماتيك مستقيم .گیرد قرار i+1 مفصل محور بر محور که شود می انجام اي گونه به مختصات دستگاه تشکیل براي محورها انتخاب

،i مفصل تحریک با پس، .ترتیب همین به و 2 مفصل محور محور است، 1 مفصل عملگر محور محور بنابراین،.داشت خواهد حرکت یعنی آن به متصل دستگاه و i لینک

iz

iz

ioiy

ix

0z1z

.است i+1 مفصل دوران محور باشد، دورانی i+1 مفصل اگر iz

.است i+1 مفصل انتقال محور باشد، کشویی i+1 مفصل اگر iz

i i i io x y z

i مفصل

i لينك

خوشنام ��ا��: مدرس

سينماتيك مستقيم:نباشند صفحه یک در و محورهاي )1( 1iz − iz:داشت خوا�يم ممكن حالت سھ

را محور خط، پاره این .دارد را طول حداقل و است عمود محور دو هر به که دارد وجود خطی پاره صورت، این در می دهبرآور هارنبرگ-دناویت شرط دو حالت، این در .است مبدأ ,دارد تقاطع با که اي نقطه و کند می تعریفiy .باشیم داشته راستگرد دستگاه یک که شود می انتخاب نحوي به محور .شوند

ixizio

خوشنام ��ا��: مدرس

سينماتيك مستقيم بانتخا براي .دارد وجود محور دو این بین مشترك عمود نهایت بی ,حالت این در :باشند موازي و محورهاي )2(

براي معمول روش .شوند ساده معادلات که کنیم می انتخاب اي گونه به را آن و هستیم آزاد محور طول در مبدأ این دبرخور محل سپس و شود می انتخاب عنوان به کند می عبور از که عمودي که است گونه بدین انتخاب .است صفر حالت، این در .کند می مشخص را مبدأ ، محور با عمود

1iz −izioiz

izio1io −ix

ioid

این در :باشند متقاطع و محورهاي )3( می انتخاب و صفحه بر عمود صورت،

رینت طبیعی .است دلخواه محور مثبت جهت .شود و تقاطع نقطه مورد این در مبدأ براي انتخاب

.بود خواهد صفر پارامتر مورد، این در .است

1iz −iz

ixiz1iz − ix

ioiz1iz −

ia

خوشنام ��ا��: مدرس

سينماتيك مستقيم به آن مبدأ که طوري به دهیم می قرار زیر شکل مطابق نهایی مجري در را n دستگاه n-1 تا 0 دستگاه تعیین از پس a و n, s ترتیب به و ، هاي محور امتداد در یکه بردارهاي .گیرد قرار ربات گیره انگشتان میان متقارن طور

.شوند می نامگذاري

nz a≡

no

nx n≡

ny s≡

nxnynz

سر جهت s جهت .)approach( رسد می شی به a جهت امتداد در نهایی مجري که است آن نامگذاري این علت صفحه بر عمود جهت n جهت .شود می بسته و باز گیره انگشتان آن امتداد در که جهتی ،)sliding( است خوردن .)normal( است s و a از شونده تشکیل

خوشنام شجاعی: مدرس

سينماتيك مستقيم

iθidiαiaدورا�ي

كشو�ي

ثابت

ثابت

ثابت

ثابت

ثابت

متغ��

متغ�� cos iθ ic1 2θ θ+ 12θ

1 2cos( )θ θ+ 12c

متغ�� نوشتار

:لینکی دو اي صفحه ربات بازوي :1 مثال گرعمل محور در را محورهاي هارتنبرگ-دناویت دستور با مطابقم-)i+1( مفصل مورد با مطابق .دهیم می قرار صفحه بر عمود و اُ

.کنیم می انتخاب روبرو صورت به ها دستگاه 2iz

1z

2z

0z

iθidiαia

1a

لينک

12

0

0

0

02a

1θ

2θمتغ��

سينماتيك مستقيم

1z

2z

0z

ج�ت گ��ي محور�ا انتقال مبدأ مختصات

دستگاه مبدأ اتمختص آن، آخر ستون که همگن تبدیل ماتریس محاسبه از است عبارت مستقیم سینماتیک مسأله پس، جريم دستگاه دوران ماتریس آن اول سه در سه ماتریس و دهد می نشان مرجع دستگاه در را نهایی مجري به متصل بردار مایشن نهایی، مجري دستگاه در دلخواهی بردار هر در تبدیل ماتریس این ضرب با .دهد می نمایش را پایه و نهایی

خوشنام شجاعی: مدرس.آید می بدست پایه دستگاه در

سينماتيك مستقيم :لين�ي سھ اي استوانھ ر�ات بازوي :2 مثال

x محور امتداد در z محور�اي ميان فاصلھ

iθidiαia

0

لينک12

1d2d

090−0

1θ0

3d00 0 3

ia

iα

1 مفصل

2 مفصل

3 مفصلx محور حول z محور�اي ميان زاو�ھ

idمحور امتداد در مبدٱ�ا ميان متغ�� فاصلھ zz محور حول x محور�اي ميان زاو�ھ iθ

خوشنام ��ا��: مدرس

سينماتيك مستقيم

1 مفصل

2 مفصل

3 مفصل

خوشنام ��ا��: مدرس

سينماتيك معکوس ألهمس این .کنیم تعیین نهایی مجري جهت و موقعیت حسب بر را مفاصل متغیرهاي خواهیم می بخش، این در

.باشد می مستقیم سینماتیک از تر مشکل و است معکوس سینماتیک

حل بر معکوس یکسینمات تحلیلی حل رباتیک کاربردهاي در محاسبات بالاتر سرعت و بیشتر پذیري انعطاف براي عموماً:است زیر فرم به صریح رابطه یک یافتن یعنی تحلیلی حل یک یافتن .شود می داده ترجیح آن عددي

خوشنام ��ا��: مدرس

سینماتیک معکوس دو به را کوسمع سینماتیک مسأله توان می مواقع از برخی در ولی .است دشوار معکوس سینماتیک مسأله کلی، حالت در

شش ماهر ازويب موارد این از یکی .کرد تفکیک جهت معکوس سینماتیک و موقعیت معکوس سینماتیک تر ساده مسأله مربوط آن دیگر آزادي درجه سه و مچ مرکز موقعیت به مربوط آن اول آزادي درجه سه که است کروي مچ با آزادي درجه

.باشد می فضا در مچ گیري جهت به:)هندسی روش( معکوس موقعیت

90 اغلب نیز α زاویه و هستند صفر d و a پارامترهاي اغلب یک، فصل در شده معرفی بازوهاي ساختارهاي اغلب در چون روش این صلیا ایده .باشد می معکوس سینماتیک مسأله حل براي راه ترین طبیعی و آسانترین هندسی روش باشد، می

زیر در مثالهایی اب را روش این .باشد می مثلثاتی روابط و ربات بازوي اي صفحه تصویر طریق از مفاصل متغیرهاي یافتن:دهیم می توضیح

:مفصلی پیکربندي می .بگیرید نظر در را روبرو آزادي درجه شش آرنجی نوع ربات بازوي

بدست نهایی مجري جهت و موقعیت روي از را مفاصل زوایاي خواهیم بهمحاس مچ مرکز موقعیت روي از را اول مفصل سه هاي زاویه ابتدا، .آوریم

مچ جهت روي از را کروي مچ مفصل سه هاي زاویه سپس و کنیم میکروي مچ.کنیم می محاسبه

ربات باوزي

سينماتيك معکوس

در .داشت خواهیم تکین نقطه یک طراحی، این در و دارد تقاطع عمودي محور با مچ مرکز حالت، این

براي .دارد وجود اول زاویه براي جواب بینهایت ازوب در انحراف یک توان می وضعیت این از دوري:کرد ایجاد

خوشنام ��ا��: مدرس

سينماتيك معکوس:آید می بدست زیر رابطه با اول مفصل زاویه چپ بازوي پیکربندي براي

:ددگر می محاسبه زیر رابطه با اول مفصل زاویه راست بازوي پیکربندي براي

سينماتيك معکوس ز�ر ش�ل مطابق xz صفحھ در بازو تصو�ر با سوم و دوم مفاصل زاو�ھ

.شوند مي محاسبھ

2 2 2 22 3 2 3 32 cos(180 )r s a a a a θ+ = + + −

خوشنام ��ا��: مدرس

سينماتيك معکوس انحراف داراي آرنجی بازوي یک از مثالی پوما ربات وسمعک سینماتیک براي ممکن پاسخ چهار که است

:دارد وجود آن براي روبرو شکل مطابق موقعیت

.شود مطالعھ کتاب از ج�ت معکوس س�نماتيک

سينماتيك معکوس:آورید بدست هارتنبرگ-دناویت روش با را اسکارا ماهر بازوي مستقیم سینماتیک :کلاسی تمرین

خوشنام ��ا��: مدرس

سينماتيك سرعت

.مآوری می بدست را ها مفصل سرعت و نهایی مجري اي زاویه و خطی هاي سرعت میان سرعت روابط ,بخش این در مشخص را مفاصل موقعیت و نهایی مجري دکارتی هاي جهت و ها موقعیت میان تابعی مستقیم سینماتیک معادلات

مفهوم که است یماتریس ژاکوبین واقع، در .شود می تعیین تابع این ژاکوبین کمک به ها سرعت میان روابط و کند می تعیین ر،مسی طراحی نظیر رباتیک مختلف مسائل حل در ژاکوبین از .دهد می تعمیم را اسکالر تابع یک مشتق

معادلات آوردن دست به ،)دهد می دست از را خود آزادي درجات آنها در ربات که حالاتی( تکین هاي پیکربندي.شود می استفاده مکانیکی بازوي مفاصل به نهایی مجري از گشتاورها و نیروها تبدیل و دینامیکی

:سرعت س�نماتيك

متقارن پاد هاي ماتریس نظیر پایه ریاضی مفاهیم از برخی دانستن نیازمند سرعت سینماتیک اصولی محاسبه براي.شوند می مطرح ادامه در که هستیم

گیري کار هب با باید و باشد نمی معتبر فوق رابطه نشود، انجام ثابت محور حول دوران چنانچه اما.کنیم حساب را اي زاویه سرعت دوران ماتریس

v rω= ×rr r

kω θ=rr &

θ&vr

ωr

z

rr:ثابت محور حول اي زاو�ھ سرعت یم محلسبه زیر رابطه با ثابت محور حول دوار صلب جسم روي دلخواه نقطه هر خطی سرعت:گردد

خوشنام ��ا��: مدرس

سينماتيك سرعت

متقان ادپ هاي ماتریس مفهوم از مختصات هاي دستگاه میان نسبی هاي سرعت بیان در محاسبات سازي ساده براي:باشد زیر خاصیت داراي اگر است متقان پاد S ماتریس .شود می استفاده

:متقارن پاد �اي ماتر�س

که نحوي به هستند مؤلفه نه داراي که میدهند نشان SO(3) با را سه در سه متقارن پاد هاي ماتریس تمام مجموعه

:بود خواهد زیر کلی فرم به S نتیجه در

سينماتيك سرعت

:هستند روبرو خواص در متقارن پاد هاي ماتریس:متقارن پاد هاي ماتریس خواص

0TX SX = :دوران ماتریس مشتق

پاد متقان است Sماتریس

.است Sاین رابطه بیان می کند که مشتق ماتریس دوران معادل ضرب ماتریسی در ماتریس پاد متقارن

سينماتيك سرعت:مختصات �اي دست�اه اي زاو�ھ سرعت توان می قبل اسلاید با مشابه طور به .گیریم می نظر در را متحرك و اختیاري محور حول اي زاویه سرعت کلی حالت:که کرد اثبات

.است ثابت دستگاه به نسبت دورانی دستگاه اي زاویه سرعت بردار ω آن در کهآنگاه باشد، x محور حول دوران ماتریس R که کنید فرض مثال، عنوان به

می محاسبه ونهچگ مختصات دستگاه چندین نسبی دوران از ناشی برآیند اي زاویه سرعت که ببینیم خواهیم می حال، مشتق به بوطمر اي زاویه سرعت نمایش براي نماد که کنید فرض .داریم متوالی دستگاه سه که کنید فرض .شود

نماد از توانیم می کنیم، بیان k دلخواه مرجع دستگاه به نسبت را بردار این بخواهیم اگر .است دوران ماتریس زمانی.نماییم استفاده زیر

,i jωijR

,ki jω

خوشنام ��ا��: مدرس

سينماتيك سرعت

0x

0y

0z

0o

1x

1z1y

1o

p

2y

2x

2o

2z :بگ��يد نظر در را �ا دوران تركيب رابطھ

سينماتيك سرعت:داریم ,اصلی معادله در روابط جایگذاري با

:روبرو خاصیت به توجه با

:که کرد ثابت توان می ,کلی حالت در

قانون ترکیب سرعت زاویه اي دستگاه هاي مختصات متوالیخوشنام ��ا��: مدرس

سينماتيك سرعت:متحرك دست�اه بھ متصل نقطھ خطي سرعت

:آوریم می دست به است، متصل متحرك دستگاه به صلب صورت به که را اي نقطه خطی سرعت ,حال

0x

0y

0z

0o1x

1z1y

1o

p 0

0x

0y

0z

0o

1x

1z1y

1o

p

حال ر د صفر دست�اه بھ �س�ت يك دست�اه.است دوران

اضافه v به نیز زیر جمله ,باشد داشته حرکت یک چارچوب به نسبت p نقطه اگر:شود می

سينماتيك سرعت:ژاكو��ن محاسبھ

دستگاه به نهایی مجري مختصات دستگاه از تبدیل زیر تبدیل کنید فرض .بگیرید نظر در را لینکی-n ماهر مکانیکی بازوي یک:باشد پایه مختصات

بردار یرز عبارات که کنید فرض .آوریم بدست ها مفصل سرعت بردار با را نهایی مجري اي زاویه و خطی سرعت ارتباط خواهیم می:کنند تعیین را نهایی مجري اي زاویه و خطی سرعت

nzno

nx

ny

:است زیر صورت به ها سرعت این میان رابطه کلی فرم

:شود نوشته زیر بسته فرم به تواند می که

ژاكو��ن ماتر�س

سينماتيك سرعت

:بیاورید خاطر به را متوالی مختصات هاي دستگاه اي زاویه سرعت ترکیب قانون

م-i مفصل اگر م-i دستگاه اي زاویه سرعت باشد، دورانی اُ م-i لینک به متصل اُ م-)i-1( دستگاه به نسبت اُ می تعیین زیر رابطه با اُ:شود

م-i مفصل اگر ولی .است z محور راستاي در یکه بردار k که .است صفر منتجه اي زاویه سرعت باشد، کشویی اُ:شود می محاسبه زیر رابطه با نهایی مجري کلی اي زاویه سرعت بنابراین،

م-i مفصل اگر .بود خواهد صفر برابر ρ باشد، کشویی اگر و بود خواهد یک ρ باشد، دورانی اُ

:اي زاو�ھ سرعت

خوشنام ��ا��: مدرس

سینماتیک سرعت:مداری بنابراین،

.اند شده داده ارجاع جهانی چارچوب به همگی زیرا .اند شده حذف ها بالانویس ,فوق معادله در

:شود می محاسبه زیر صورت به نیز نهایی مجري خطی سرعت

م-i ستون روبرو روابط به توجه با بنابراین، :شود می نوشته زیر صورت به ماتریس اُ vJ

:که شود می دیده بعدي اسلاید درکشویی مفصل:

دورانی مفصل:

:خطی سرعت

خوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک سرعت

1i izω θ −= &1n ir o o −= −

( )1 1 ii i n i ivv r z o o Jω θ θ− −= × = × − =& &

( )1 1i i n ivJ z o o− −= × −

id0 0

1 1 in i i i i v io d z d R k J d− −= = =& & &&

1iv iJ z −=

v rω= ×rr r

kω θ=rr & :آورید خاطر به را روبرو رابطه

r

:کشویی مفصل

:دورانی مفصل

پایه دستگاه به k بردار یافته دوران

خوشنام شجاعی: مدرس

1iz −

سینماتیک سرعت:شود می محاسبه زیر صورت به ژاکوبین ماتریس بنابراین،

:عبارتی به یا

:دورانی مفصل

:کشویی مفصلخوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک سرعت

1 1

2 1

3

4

5 1

6

n

n

qq

qq

ξξξξξξ

−

=

&&MM

&&

نهایی مجري خطی هاي سرعت

نهایی مجري دورانی هاي سرعت

ori id θ& &vJ

Jω

خوشنام شجاعی: مدرس

سينماتيك سرعت

1z

2z

0z

:مثال:بگیرید نظر در را لینکی دو اي صفحه مکانیکی بازوي

سينماتيك سرعت:آورید بدست را اسکارا ماهر بازوي سرعت سینماتیک :کلاسی تمرین

خوشنام ��ا��: مدرس

سینماتیک سرعت:یتحلیل ژاکوبین از شود می معرفی شبخ این در که تحلیلی ژاکوبین ,مقابل در .شود می نامیده هم هندسی ژاکوبین ,کردیم محاسبه قبلاً که ژاکوبینی نهایی مجري دستگاه یريگ جهت مینیمال نمایش اساس بر تحلیلی ژاکوبین .آید می بدست مستقیم سینماتیک مستقیم گیري مشتق:کنید فرض .شود می حاصل

نمایش یک α و .است نهایی مجري دستگاه مبدأ به پایه دستگاه مبدأ از معمول بردار d آن در که دهد نشان را نهایی مجري وضعیت عنوان به را لراوی زوایاي که کنید فرض ,مثال براي .است پایه دستگاه به نسبت نهایی مجري دستگاه گیري جهت براي مینیمال .کنبم انتخاب گیري جهت این مینیمال نمایش

:داریم ,اویلر زوایاي براي

:از است عبارت اي زاویه سرعت آن در که

خوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک سرعت:داریم ,ژاکوبین قبلی تعریف گرفتن نظر در با ,حال

:آید می بدست زیر رابطه با هندسی ژاکوبین روي از تحلیلی ژاکوبین ,بنابراین

خوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک سرعت:تکین نقاط:بیاورید خاطر به را مفاصل هاي سرعت و نهایی مجري هاي سرعت میان رابطه

:دشو نوشته روبرو صورت به تواند می که

شش داراي ژاکوبین ماتریس که است لازم برسد، کاري فضاي در دلخواهی سرعت هر به بتواند نهایی مجري آنکه براي ,مسلماً هر به تواند می نهایی مجري باشد، J 6 رتبه اگر .باشد کامل رتبه باید ژاکوبین ماتریس ,منظور این براي .باشد خطی مستقل ستون

ژاکوبین ریسمات رتبه براي .بود نخواهد پذیر امکان امر این باشد، کمتر ژاکوبین ماتریس رتبه اگر ولی .برسد دلخواهی سرعت:داریم را زیر رابطه

مقدارش حداکثر از ژاکوبین ماتریس رتبه آن ازاي به که پیکربندي .است q پیکربندي به وابسته و نیست ثابت J ماتریس رتبه غیر ,حرکت از معینی جهات آنها در و رود می دست از ربات آزادي درجات نقاط این در .شود می نامیده تکین پیکربندي گردد، کمتر این در .گیریم یم نظر در است، مربعی ژاکوبین ماتریس که را خاصی حالت ,تکین نقاط محاسبه براي .بود خواهند یابی دست قابل

کروي مچ با اهرم مکانیکی بازوي که کنید فرض .داشت خواهیم تکین نقطه گردد، صفر ژاکوبین ماتریس دترمینان اگر حالت،:داریم

خوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک سرعت:کنیم می تفکیک زیر صورت به را ژاکوبین ماتریس مسأله، این حل براي

)بازو( اول مفصل سه )مچ کروي(سه مفصل آخر :شود می حساب زیر ابطه با آنها ژاکوبین ماتریس ,هستند دورانی همواره )کروي مچ( آخر مفصل سه که آنجایی از

هاي دستگاه اگر کنند، می قطع را همدیگر O مشترك نقطه در مچ محورهاي که آنجایی ازکه کنیم انتخاب ي طور را مختصات

22J12J

.مچ کینت هاي پیکربندي و بازو تکین هاي پیکربندي اجتماع از عبارتند ربات تکین هاي پیکربندي مجموعه بنابراین،

سینماتیک سرعت:مچ تکین نقاط وقتی حالت این شکل به توجه با .باشند خطی وابسته و , , بردارهاي که آید می وجود به وقتی تکین کروي مچ براي اعمال با که شود طراحی نحوي به مچ باید آنها از جلوگیري براي و باشند راستا هم و محورهاي که افتد می اتفاق

.گردد جلوگیري مذکور محورهاي شدن محور هم از مکانیکی هاي محدودیت5z

3z4z5z3z

22det( ) 0J = 5 0 orθ π=:بازو تکین نقاط رايب .کنیم بررسی را جوابهاي باید بازو هاي تکین بررسی براي توان می راحتی به .کنیم می بررسی را آرنجی مکانیکی بازوي هاي تکین ,مثال

که کرد بررسی11det( ) 0J =

خوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک سرعت

.کند قطع را محور مچ مرکز که افتد می اتفاق وقتی شرط این

.آورید بدست را اسکارا مکانیکی بازوي تکین نقطه :تمرین

0z

سینماتیک سرعت:گشتاور و نیرو روابط

که دکر ثابت توان می مجازي کار قانون گیري کار به با با زیر رابطه با نهایی مجري هاي ممان و نیروها

:گردد می مرتبط ها موتور گشتاورهاي( )TJ q Fτ =

[ , , , , , ]Tx y z x y zF F F F n n n=

:معکوس شتاب و سرعت روابط:بیاورید خاطر به را مفاصل هاي سرعت و نهایی مجري هاي سرعت میان رابطه

:کنیم می استفاده ژاکوبین ماتریس عکس از راحتی به ها مفصل سرعت کردن پیدا براي

:کنیم استفاده معکوس شبه از باید باشد، نداشته مفصل شش دقیقاً بازو که شرایطی در ژاکوبین ماتریس عکس کردن پیدا براي

نهایی مجري به وارده نیروهاي

نهایی مجري به وارده گشتاورهاي

خوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک سرعت:کرد استفاده توان می نیز استثنایی مقادیر تجزیه از ژاکوبین ماتریس معکوس شبه کردن پیدا براي

( ) TJ q U V= Σ † †( ) TJ q U V= Σ[ ]1{ , , },[0]mdiag σ σΣ = …

† 1 11{ , , },[0]mdiag σ σ− − Σ = …

:داریم مشابه طور به نیز تحلیلی ژاکوبین براي( )aX J q q=& &

( ) ( )a aX J q q J q q= +&& &&& &

1( )aq J q X−= &&

( )1( ) ( )a aq J q X J q q−= −&& &&& &

.شوند می استفاده مسیر ریزي برنامه براي که هستند معکوس شتاب و سرعت روابط این

خوشنام شجاعی: مدرس

سینماتیک سرعت:)Manipulability( مهارت در ,واقع در .یردگ می قرار استفاده مورد تکین هاي پیکربندي از پیکربندي دوري و فاصله میزان سنجش براي که است معیاري مهارت

بالایی اهمیت زا تکین از ربات داشتن نگه دور براي ربات مهارت میزان کردن حداکثر .گردد می صفر ربات مهارت تکین هاي پیکربندي:است نژاکوبی ماتریس دترمینان مطلق قدر ,تکین نقاط از دوري میزان گیري اندازه براي خوب سنجش روش یک .است برخوردار

:از است عبارت دولینکی بازوي یک براي مهارت اندازه ,مثال براي

:که است زمانی مهارت بیشترین مشخصاً،

2 / 2θ π= ±

خوشنام شجاعی: مدرس

دینامیک بازوها مجري گیري جهت و موقعیت بین ارتباط سینماتیکی معادلات واقع، در .گیرد می قرار توجه مورد ربات بازوهاي دینامیک بخش این در

نهایی مجري گیري جهت و موقعیت بین ارتباط ربات دینامیک معادلات ولی کردند می تعیین مفاصل هاي سرعت با را ربات نهایی ربات، طراحی رلی،کنت هاي الگوریتم طراحی براي دینامیکی معادلات .کنند می تعیین مفاصل موتورهاي گشتاورهاي و نیروها با را ربات

می استفاده لاگرانژ-اویلر معروف معادله از دینامیکی معادلات محاسبه براي .هستند مفید بسیار ربات حرکت انیمیشن و سازي شبیه و:کنیم

.است پتانسیل و جنبشی انرژي تفاضل و شود می نامیده لاگرانژین آن در که

ادلاتمع محاسبه براي .است آمده اسپانگ مارك کتاب در فوق رابطه اثبات اسبهمح را پتانسیل و جنبشی هاي انرژي که است لازم ربات دینامیکی

.نماییم است عبارت صلب جسم کل انرژي .بگیرید نظر در را روبرو صلب جسم :از

جسم کل جرم

خطی سرعت بردار

بردار سرعت زاویه اي

گاه ماتریس اینرسی در دستمرجع

دینامیک بازوها سادگی به زیر همانندي تبدیل با آن محاسبه و است ربات q یافته تعمیم مختصات از تابعی مرجع مختصات دستگاه در اینرسی ماتریس:شود می پذیر امکان

دوران ماتریسگاه ماتریس اینرسی در دست

مختصات بدنه

هماتریس اینرسی در دستگاه مختصات پای

جرمی چگالی اگر .نیست ربات q یافته تعمیم مختصات از تابعی و است ثابت بدنه مختصات دستگاه در اینرسی ماتریس خوشبختانه،:از است عبارت بدنه به متصل مختصات دستگاه در اینرسی ماتریس آنگاه دهیم، نشان با را صلب جسم

خوشنام شجاعی: مدرس

دینامیک بازوها

هستند ها ممان خارجی ضرب اصلی قطر از خارج عناصر و هستند محورها حول اینرسی اصلی هاي ممان اینرسی ماتریس قطري عناصر .بود خواهند صفر صلب جسم در تقارن صورت در که

:بگیرید نظر در را یکنواخت جرمی توزیع با روبرو مکعب :مثال

خوشنام شجاعی: مدرس

دینامیک بازوها:لینکی-n بازوي جنبشی انرژي

.:بگیرید نظر در زیر سرعت سینماتیک با را لینکی-n بازوي یک

می محاسبه لینک جرم مرکز از گذرنده محور حول که دهیم نمایش با را آن اینرسی ممان و دهیم نشان با را i لینک جرم اگر:از است عبارت بازو کل جنبشی انرژي شود،

:شود نوشته زیر ماتریسی صورت به تواند می که

.است متقارن معین مثبت ماتریس یک و شود می نامیده اینرسی ماتریس D آن در که

خوشنام شجاعی: مدرس

دینامیک بازوها:لینکی-n بازوي پتانسیل انرژي

متمرکز جرمش زمرک در لینک هر کل جرم که کنیم فرض اگر .است جاذبه پتانسیل انرژي منبع تنها صلب لینکی-n بازوي یک براي:از است عبارت جنبشی انرژي i لینک براي ,است

:از است عبارت بازو تمام براي کل پتانسیل انرژي ,آنگاه

:لینکی-n بازوي پتانسیل حرکت معادلات:کنیم می پیدا را ربات دینامیکی حرکت معادلات لاگرانژ-اویلر معادله از استفاده با ,حال

خوشنام شجاعی: مدرس

اهدستگ در را گرانش جهت که است برداري .دهد می نشان اینرسی مختصات

g

cirلینک جرم مرکز مختصات i

ديناميك بازوها

:داریم ,تقارن از استفاده و مجموع ترتیب تعویض با

دینامیک بازوها.شود می گفته یک نوع کریستوفل علائم قبل صفحه معادله در زیر عبارت به

.بود نخواهند لازم و شوند می تکراري محاسبات از نیمی داریم ثابت k یک براي چون:جاذبه نیروي براي زیر عبارت تعریف با

:زا است عبارت مکانیکی بازوي حرکت دینامیکی معادلات ,نهایتاً

2iq&مرکز جانب نیروهاي از ناشی

i jq q& کوریولیس نیروهاي از ناشی&

:زا است عبارت ماتریسی فرم به مکانیکی بازوي حرکت دینامیکی معادلات نمایش

خوشنام شجاعی: مدرس

دینامیک بازوها:ربات دینامیکی معادلات خواص:هستند سودمند کننده کنترل طراحی در که دارند اي ویژه ساختاري خواص ربات دینامیکی معادلات

( ) 2 ( , )D q C q q−& & :است پادمتقارن ماتریس .2

( )( ) 2 ( , ) 0,T nx D q C q q x x− = ∀ ∈ℜ& &

:است خطی پارامترهایش به نسبت ربات دینامیکی معادله. .3

:است کراندار زیر صورت به و است متقارن معین مثبت D اینرسی ماتریس .1

min max( ) ( ) ( )n n n nD I D q D Iλ λ× ×≤ ≤

( ) ( , ) ( ) ( , , )D q q C q q q g q Y q q q θ+ + =&& & & & &&

خوشنام شجاعی: مدرس

دینامیک بازوها

:بگیرید نظر در را زیر رابطه با ربات کل انرژي

:از است عبارت دینامیکی معادله جایگزینی با انرژي تابع این مشتق

:دآی می بدست سیستم انرژي ,فوق معادله از گیري انتگرال با

:)Passivity( انفعال خاصیت .اردد پایین کران یک سیستم اتلافی انرژي

مسیست کل توان

:)Passivity( انفعال خاصیت .4

دینامیک بازوها:لینکی-دو آرنجی بازوي :مثال

سرعت وانت می ,شد بیان قبلاً که ژاکوبین محاسبه روش به توجه با:کرد محاسبه را لینک هر جرم مرکز خطی

:شود می محاسبه زیر صورت به جنبشی انرژي انتقالی بخش آنگاه،

خوشنام شجاعی: مدرس

دینامیک بازوها:شود می محاسبه زیر صورت به جنبشی انرژي دورانی بخش حال،

:آید می بدست زیر صورت به اینرسی ماتریس بنابراین،

:از عبارتند اینرسی ماتریس عناصر فوق، هاي حاصلضرب محاسبه با

دینامیک بازوها:کنیم می محاسبه را کریستوفل هاي نماد زیر معادله از استفاده با حال

:کنیم می محاسبه زیر مطابق هم را بازو پتانسیل انرژي

خوشنام شجاعی: مدرس

دینامیک بازوها:دشون می حساب زیر صورت به پتانسیل انرژي از گیري مشتق با لاگرانژ-اویلر معادله در گرانش جملات سپس،

:آید می بدست بازو دینامیکی معادلات لاگرانژ،-اویلر معادله در فوق روابط جایگذاري با نهایتاً،

:نوشت زیر صورت به توان می هم را کوریولیس ماتریس

خوشنام شجاعی: مدرس

دینامیک بازوها:ریدآو بدست را لینکی-دو کارتزین بازوي دینامیکی معادلات :تمرین

ديناميك بازوها

:داد قالانت کارتزین فضاي به مفصلی فضاي از توان می را بازو دینامیکی معادله سرعت سینماتیک معادله از استفاده با

( )y h q=

:نکارتزی فضاي در ربات بازوي دینامیکی معادلات

( )y J q q=& & ( ) ( )y J q q J q q= + &&& && &

1 1( ) ( ) ( )q J q y J q J q q− −= − &&& && &1( )q J q y−=& &

( ) ( , ) ( )D q q C q q q g q τ+ + =&& & &

1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( ) ) ( ) ( )D q J q y D q J q J q J q y C q J q y J q y g q τ− − − − −− + + =&&& & & &

1

1 1 1 1

( )( , ) ( , )

( ) ( , )

(

(

(

)

) )

T

T T

T

D q J DJC q y J C q J y J J DJ J

D q y C q y y g q F

Jg q J g q

− −

− − − − − −

−

=

=

+ +

−

=

=

&&

&

&

&& &:داریم نیرو تبدیل از استفاده و ، در طرفین ضرب با

TJ −TJ Fτ =

ديناميك بازوها

Harmonic( هارمونیکی قدرت انتقال سیستم از گشتاور انتقال براي ربات، بازوهاي از بسیاري درDrive( کم، لقی لبدلی که است جالب اي دنده چرخ مکانیزم یک سیستم این .کنند می استفاده انتقال سیستم .اشدب می کاربرد پر بسیار کوچک اندازه و )بالا دنده نسبت بدلیل( بالا گشتاور انتقال ندکیا را بازوها کنترل و دینامیک که شود می مفصل پذیري انعطاف باعث هارمونیکی قدرت

:شود می مدل زیر شکل مطابق k سختی ثابت با فنر یک با پذیري انعطاف این .کند می پیچیده

:مفصل پذیري انعطاف با بازوها دینامیک

1 1 2[ , , , ]Tnq θ θ θ= …

2 1 1 2 2[ / , / , , / ]Tm m m m mn mnq r r rθ θ θ= …

:مفاصل متغیرهاي بردار

انتقال( موتورها محور زوایاي بردار )لینکها دنده چرخ طرف به یافته

( ) ( )

1 1 1 2 2

1 1 2 1 2

1 1( )2 2

1( )2

T T

T

K q D q q q Jq

P P q q q K q q

= +

= + − −

& & & &,J Kهاي ثابت قطري هاي ماتریس

فنر سختی و اینرسی

:آید می بدست زیر دینامیکی معادلات لاگرانژ-اویلر محاسبات با

1 1 1 1 1 1 1 2

2 2 2 1

( ) ( , ) ( ) ( ) 0( )

D q q C q q q g q K q qJq Bq K q q u

+ + + − = + + − =

&& & &&& &

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_drive

خوشنام شجاعی: مدرس

Path(طرح ریزي مسیر Planning( موانع با برخوردي نکهای بدون انتهایی و ابتدایی پیکربندي دو بین ربات بازوي براي مسیري یافتن از است عبارت مسیر طراحی مسأله می افزایش نمایی صورت به آزادي درجات تعداد افزایش با آن پیچیدگی و است پیچیده کلی حالت در مسأله این حل .دهد رخ محیط

.احتمالی راه نقشه و مصنوعی پتانسیل میدان نظیر اند شده ارائه مسیر طراحی براي متعددي روشهاي .یابد

داشتن با بازو روي نقطه هر موقعیت یافتن براي توان می را A تبدیل هاي ماتریس چگونه که گرفتیم یاد مستقیم سینماتیک مسأله در به و شود یم گفته پیکربندي ربات روي نقطه هر محل کامل تعیین به مسیر طراحی مسأله در .کرد استفاده مفاصل هاي متغیر

نمایش یک مفاصل متغیرهاي ,طبیعتاً .دهیم می نمایش Q با را آن و گوییم می پیکربندي فضاي ممکن هاي پیکربندي همه مجموعه .است ربات پیکربندي براي مناسب

است نهایی پیکربندي به اولیه پیکربندي از مسیري یافتن مسیر طراحی مسأله نجاای در .نکند برخورد مانعی هیچ با مسیر از عبور هنگام به ربات که اي گونه به

هاي کربنديپی از اي دنباله گیرند، می قرار استفاده مورد مسیر طراحی براي که روشهایی.کنند می محاسبه را گسسته

sqfqobstacle

fq

sq

خوشنام شجاعی: مدرس

طرح ریزي مسیر:مصنوعی پتانسیل میدان

ايفض در ربات کنیم می فرض که است این پتانسیل میدان روش در اصلی ایده قرار U نوعیمص پتانسیل میدان یک تأثیر تحت اي نقطه ذره یک عنوان به پیکربندي

هدف ديپیکربن به و کند می دور موانع از را ربات که است اي گونه به میدان این .دارد در الکتریکی یلپتانس میدان یک صورت به تواند می پتاسیل میدان این .کند می نزدیک

دافعه میدان معرض در طرف یک از که است مثبت بار یک ربات که شود گرفته نظر با هدف بندي پیکر یک جاذبه میدان معرض در طرفی از و دارد قرار مثبت بار با مانعی

.باشد می منفی بار در مطلق مینیمم یک که شود می ایجاد اي گونه به U میدان امکان صورت در

-n ربات یک براي .باشد نداشته محلی مینیمم هیچ و باشد داشته هدف پیکربندي یک )رجعم دستگاه از غیر به( لینکها به متصل هاي دستگاه از مبدأ هر براي لینکی با محیطی یک در را لینکی n ربات یک که کلی میدان .کنیم می تعریف پتانسیل میدان

m ربات بر وارده هاي میدان تمام مجموع صورت به ,دهد می قرار تأثیر تحت مانع :از است عبارت دستگاه امُین-i مبدأ بر وارده میدان .شود می نوشته

j-th obstacle

fq−

sq+

jo+,rep ijU

,att iU1i =

2i =

هدف پیکربندي

, ,1

m

i att i rep ijj

U U U=

= + ∑ می اولیه نديپیکرب از شروع با میدان این براي مطلق مینیمم یک یافتن مسأله ,حال.داریم سازي بهینه مسأله یک پس .باشد

,att iU

,rep ijU

هدف پیکربندي طرف از جاذبه پتانسیل میدان دستگاه امُین-i مبدأ بر

بر مانع امُین-j طرف از دافعه پتانسیل میدان دستگاه امُین-i مبدأ

خوشنام شجاعی: مدرس

-10

12

-2

-1

0

1

2

xy

طرح ریزي مسیر .است نزولی گرادیان روش ,کردن حداقل هاي روش ترین ساده از یکی عکس جهت در روبرو شکل مطابق اگر که کند می بیان روش این

قلحدا تابع آن ,کنیم حرکت )دوم درجه مثلاً( محدب تابع یک گرادیان .شود می

iU∇

iU−∇

.دارد ار تغییرات بیشترین تابع آن در که است برداري گرادیان تجه )شکل این در المرکز متحد هاي دایره( کانتور هاي منحنی

ابعت تغییرات آنها در که دهند می نشان را گرادیان بر عمود هاي.است صفر

گرادیان بردار

, ( ) ( )att i i i fU o q o q= −

-i فاصله شافزای با که شود انتخاب اي گونه به باید جاذبه پتانسیل میدان براي شتريبی نیروي تا گردد بزرگتر هدف موقعیت به نسبت لینک امُین .است مخروطی پتانسیل چاه انتخاب یک .کند اعمال جذب

.است یک جا همه )است صفر که مبدأ در جز به( میدانی چنین گرادیان می ترجیح ار میدانی ما .نیست پذیر مشتق مبدأ در میدان این متأسفانه،

مشتق دهسا انتخاب یک .باشد پذیر مشتق پیوسته طور به که دهیم.است گون سهمی پتانسیل چاه صورت به پذیر

2

,1 ( ) ( )2att i i i i fU o q o qξ= −

:از است عبارت جذبی نیروي نتیجه، در

, , ( ) ( )att i att i i i i fF U o q o qξ= −∇ = − خوشنام شجاعی: مدرس−

طرح ریزي مسیر, , ( ) ( )att i att i i i i fF U o q o qξ= −∇ = − −

بزرگی سیارب نیروي هدف، از زیاد خیلی دوري صورت در و یابد می کاهش خطی صورت به هدف موقعیت به شدن نزدیک با جذبی نیروي:ببریم کار به را مخروطی و دوم درجه هاي پتانسیل از ترکیبی جذبی پتانسیل براي که است بهتر دلیل، همین به .شود می وارد ربات به

2

,2

1 ( ) ( ) , ( ) ( )2( )

1( ) ( ) , ( ) ( )2

i i i f i i f

att i

i i i f i i i f

o q o q o q o q dU q

d o q o q d o q o q d

ξ

ξ ξ

− − ≤= − − − >

دو هر d مرز در که است این فوق صورت به میدان تعریف علت .کند می مشخص را سهمی به مخروطی چاه از گذر فاصله d آن در که:از است عبارت وارده نیروي صورت، این در .باشیم نداشته ناپیوستگی و باشند برابر

( )( ),

( ) ( ) , ( ) ( )

( ) ( ) ( ), ( ) ( )

( ) ( )

i i i f i i f

att i i i fi i i f

i i f

o q o q o q o q d

F q o q o qd o q o q d

o q o q

ξ

ξ

− − − ≤= −

− − >−

خوشنام شجاعی: مدرس

طرح ریزي مسیر این .شود می تعریف زیر صورت به دفعی پتانسیل میدان موانع با برخورد از جلوگیري براي

از اترب وقتی .دهد نمی را مانعی هیچ با ربات برخورد اجازه و کرده دور موانع از را ربات میدان طوري باید یلپتانس تابع منظور، این براي .کند وارد نیرو ربات به نباید مانع آن است دور مانع

یک در شمقدار و گردد نهایت بی مقدارش مانع مرز به ربات رسیدن هنگام به که شود تعریف .گردد صفر مانع مرز از مشخص فاصله

j-th obstacle

fq−

sq+

jo+,rep ijU

,att iU1i =

2i =

0 jρ

هدف پیکربندي

2

0, 0

0

1 1 1 , ( ( ))( ) 2 ( ( ))

0, ( ( ))

ij j i jrep ij j i j

j i j

o qU q o q

o q

η ρ ρρ ρ

ρ ρ

− ≤ =

>

( ( ))j io qρبین فاصله ترین کوتاه i-و مختصات دستگاه مبدأ امُین j-مانع امُین

020,

0

1 1 1 ( ( )), ( ( ))( ( )) ( ( ))( )

0, ( ( ))

ij j i j i jj i j j irep ij

j i j

o q o qo q o qF q

o q

η ρ ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ

− ∇ ≤ =

>( )( ( ))( )

ij i

i

o q bo qo q b

ρ−

∇ =−

.دهد می نشان را سمت به b از واحدي بردار ( )io q

0 jρتأثیر فاصله j-مانع امُین

خوشنام شجاعی: مدرس

b است مانع مرز روي بر به نقطه ترین نزدیک. io

طرح ریزي مسیر:فصلیم گشتاور به کاري فضاي نیروهاي نگاشت

ها موتور گشتاورهاي با زیر رابطه با نهایی مجري هاي ممان و نیروها که کرد ثابت توان می مجازي کار قانون گیري کار به با:گردد می مرتبط

( )TvJ q Fτ =

زیرا .ردک نخواهیم استفاده دوم سطر سه از .است ماهر بازوي ژاکوبین اول سطر سه تنها فوق رابطه در که کنید دقت .ایم گرفتهن نظر در را کاري فضاي جذبی و دفعی گشتاورهاي و ایم گرفته نظر در را کاري فضاي جذبی و دفعی نیروهاي تنها

.داد تشکیل را مناسب ژِاکوبین باید هر براي که کنید توجه

( )vJ q

io تمامی از که است مفصل مصنوعی گشتاورهاي مجموع با برابر شود، می اعمال بازو به که مفصل مصنوعی گشتاور کل نهایتاً،

:شود می حاصل جذبی و دفعی هاي پتانسیل

, ,1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i

n n mT T

att rep o att i o rep iji i j

q q q J q F J q Fτ τ τ= = =

= + = +∑ ∑∑

خوشنام شجاعی: مدرس

طرح ریزي مسیر:نزولی گرادیان الگوریتم با طراحی منفی جهت در کوچکی گام و کرده شروع اولیه پیکربندي یک از .است سازي بهینه مسائل حل در معروفی روش نزولی گرادیان تا را کار این و دآی بدست جدیدي پیکربندي تا داریم می بر )یابد می کاهش شکل ترین سریع به پتانسیل که جهتی( گرادیان .دهیم می ادامه نهایی پیکربندي به رسیدن

00 , si q q← ← 1. i

fq q ε− > آنگاه اگر .20 1, , , iq q q… .گردان باز را صورت این غیر در

.برو 2 مرحله به .3

1 ( )( )

ii i i

i

qq qq

τα

τ+ ← +

م-i تکرار در q مقدار اُiαتکرار در گام اندازه i-ُکند می تعیین را ام.

اشد،ب کوچک حد از بیش نباید پارامتر این .ودش می زیاد الگوریتم محاسبات زمان زیرا

د،باش بزرگ حد از بیش نباید همچنین،.کند می پرش موانع سمت به ربات چون

.است تجربه و مشاهده براساس و خطا و سعی صورت به پتانسیل میدان الگوریتم پارامترهاي انتخاب طریقه

خوشنام شجاعی: مدرس

طرح ریزي مسیر:محلی هاي مینیمم از فرار که کرد ینتضم توان می همیشه گام اندازه مناسب انتخاب با نزولی گرادیان الگوریتم براي

مینیمم یک یمممین مقدار این که ندارد وجود تضمینی اما .برسد مینیمم مقدار یک به پتانسیل پیکربندي که داردن وجود تضمینی پتانسیل، میدان مسیر طراحی مسأله در بنابراین، .باشد کلی

.رددگ متوقف محلی مینیمم یک در ربات که است ممکن واقع، در .برسد مطلوب مقدار به جاذبه و دافعه هاي میدان از زیادي تعداد مجموع U میدان پیوسته، هم به بازوهاي براي لح راه یک .آید بوجود محلی هاي مینیمم ترکیب این در که دارد وجود آن احتمال و است،

مینیمم زا فرار براي تصادفی گام یک گرفت، قرار محلی مینیمم در ربات وقتی که است آن.میداریم بر محلی

fq

sqمحلی مینمم

00 , si q q← ← 1. i

fq q ε− > آنگاه اگر .20 1, , , iq q q… .گردان باز را صورت این غیر در

.برو 2 مرحله به .4

1 ( )( )

ii i i

i

qq qq

τα

τ+ ← +

:بردار تصادفی گام یک گرفت، قرار محلی مینیمم در ربات اگر .31iq q+ ′←

راگ داد؟ تشخیص را محلی مینیمم توان می چگونه فضاي از کوچک ناحیه یک در مختلف متوالی هاي

محلی ممینیم یک وجود احتمال گیرند، قرار پیکربندي:است زیاد آنها نزدیکی در

iq

, 1, 2,3,...i i kmq q kε+− < =

خوشنام شجاعی: مدرس

طرح ریزي مسیرTrajectory( زمانی مسیرهاي یا ها تراجکتوري طراحی Planning(:

Path( مسیر طراحی الگوریتم شد، اشاره که طور همان planning( هب رسیدن براي مطلوب هاي پیکربندي از اي گسسته دنباله معکوس یکسینمات با باید که داریم را نهایی مجري هاي موقعیت از اي دنباله هم ها روش از بعضی در .کند می تولید را هدف نقطه

به پیوسته وريتراجکت یک به را نقطه به نقطه حرکت این خواهیم می حال، .شود تبدیل مفصلی هاي پیکربندي از اي دنباله بهکه نحوي به کنیم تبدیل ، یعنی زمان، از تابعی صورت

0( ) , ( )s f fq t q q t q= =( )q t

در .کنیم فراهم اترب کنترل براي تراجکتوري این گیري مشتقی از سادگی به را ربات مطلوب شتاب و سرعت توانیم می بنابراین، توابع .)اشدب داشته صفر سرعت حرکت انتهاي و شروع در ربات مثلاً( باشد مسیر روي بر هایی قید که بخواهیم است ممکن عمل، را زمانی توابع از اي خانواده که است بهتر عمل در ولی .دارند وجود حرکت قیدهاي تحت تراجکتوري طراحی براي مختلفی زمانی

درجه .هستند n درجه هاي اي جمله چند مطلوب انتخاب یک مثال، براي .باشند داشته محدودي پارامترهاي تعداد که کنیم انتخاب .کنیم می انتخاب حرکتی قیود تعداد اساس بر را اي جمله چند روي از کتوريتراج طراحی براي را روش داد، تشکیل تراجکتوري یک پیکربندي دو بین توان می چگونه شد مشخص آنکه از پسPath( مسیر طراحی الگوریتم از آمده بدست نقاط planning( داد خواهیم تعمیم قبل بخش در.

0( ) sq t q=

( )f fq t q=تراجکتوري( )q t

خوشنام شجاعی: مدرس

طرح ریزي مسیر:نقطه به نقطه حرکت براي تراجکتوري طراحی .شود می تولید روش همین به دقیقاً و مستقل طور به دیگر مفاصل مسیر چون .گیریم می نظر در مفصل یک براي را مسیر طراحی

:باشیم داشته زیر سرعت و موقعیت هاي قید بخواهیم مسیر انتهاي و ابتدا در اگر

0 0 0 0( ) , ( ) , ( ) , ( )f f f fq t q q t v q t q q t v= = = =& &

اي جمله چند این،بنابر .کرد برآورده را فوق قید چهار بتوان تا باشد داشته مستقل پارامتر چهار حداقل که هستیم اي جمله چند نیازمند :کنیم می انتخاب را سوم درجه

سرعت

قیود تحت

خوشنام شجاعی: مدرس

طرح ریزي مسیر:آید می بدست ضرایب زیر معادله حل از

مثلاً

موقعیت سرعت شتاب

شتاب در ناپیوستگی که کنید می ملاحظه دارد دوجو مسیر انتهایی و ابتدایی نقاط در اي هضرب هاي تکانه به منجر تواند می که ابشت مشتق تکانه( گردد ربات لرزش و

براي .دهد کاهش را تعقیب دقت و )است براي قیودي توان می آن از جلوگیري

.داد قرار )صفر شتاب( شتاب

طرح ریزي مسیر اي جمله چند یک ایدب و داریم قید شش جمعاً کنیم، اضافه سرعت و موقعیت قیود به نیز مسیر انتهاي و ابتدا براي شتاب قید دو اگر:کنیم انتخاب )پنج درجه اي جمله چند( مستقل پارامتر شش حداقل با

0 0 0 0 0 0( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )f f f f f fq t q q t v q t q t q q t v q tα α= = = = = =& && & &&

خوشنام شجاعی: مدرس

طرح ريزي مسير:LSPB �اي تراجكتوري

روفایلپ که است خطی و سهمی هاي تراجکتوري یک از ترکیبی تراجکتوري این در را یثابت سرعت یک ربات است لازم که وقتی براي و است اي ذوزنقه آن سرعت سهمی یک تراجکتوري اول بخش .رود می کار به باشد، داشته مسیر از بخشی طول

با خطی ريتراجکتو یک دوم، بخش در .است مثبت ثابت شتاب و افزایشی سرعت با و منفی شتاب با خطی تراجکتوري یک هم سوم بخش در سپس و داریم ثابت سرعت .داریم کاهش سرعت

LSPB: Linear Segments with Parabolic Blends

طرح ریزي مسیر:)راه میان نقاط( مسیر طراحی از آمده بدست نقاط با تراجکتوري طراحی

و ادهد تعمیم را مسأله این ,کردیم بررسی را پیکربندي دو بین تراجکتوري طراحی مسأله که حالPath( مسیر ریزي طرح از که ها پیکربندي گسسته دنباله از که کنیم می طراحی را تراجکتوري

planning( نحوي به باشیم داشته راه میان نقطه سه که کنید فرض .گذرد می آمده، بدست نتهايا و ابتدا براي شتاب و سرعت قید چهار چنانچه .برسد آنها به هاي زمان در تراجکتوري که

:مداری لازم هفت درجه اي جمله چند یک پس، .داریم را زیر قید هفت جمعاً بگیریم، نظر در نیز مسیر

2 1 0, ,q q q2 1 0, ,t t t

معادلات این دادتع راه، میان نقاط تعداد افزایش با پس .کنیم حل را مجهول هفت معادله هفت دستگاه یک باید ضرایب تعیین براي اما کل براي لابا مرتبه اي جمله چند یک از استفاده جاي به ,مشکل این حل براي .گردد می تر پیچیده روش این و شود می زیاد بسیار.کنیم می استفاده مجاور راه میان نقاط بین مسیر هاي تکه در تر پایین مرتبه هاي اي جمله چند از مسیر،

0 0 0 0

1 1

( ) , ( ) ,( ) , ( )f f

q t q q t vq t q q t v

= =

= =

&&

:داریم مسیر تکه هر براي2 3

0 0 1 0 2 0 3 0( ) ( ) ( ) ( )q t a a t t a t t a t t= + − + − + −

1 0 0 1 0 0 1 0 1 00 0 1 0 2 32 3

0 0

3( ) (2 )( ) 2( ) ( )( ), , ,

( ) ( )f f

f f

q q v v t t q q v v t ta q a v a a

t t t t− − + − − + + −

= = = =− −

طرح ریزي مسیر در لینک اویهز که کنید طراحی اي گونه به لینکی یک ربات یک براي زمانی مسیر یک :کلاسی تمرین صفر مسیر انتهاي و ابتدا در بازو شتاب و سرعت و برسد درجه 40 به درجه صفر از ثانیه دو مدت .باشد

1:شبیه سازي بازوي ربات 2 2 3 2 2

3 2 2 4

2 2 2 2 2 1 2

2 2 1

5 1 6 1 2 7

6 1 2 8

2 cos( ) cos( )( ) ,

cos( )

sin( ) sin( )( )( , ) ,

sin( ) 0

sin( ) sin( ) 0( ) , ,

sin( ) 0

q qM q

q

q q q q qC q q

q q

q q qG q D

q q

α α α αα α α

α αα

α α αα α

+ + = +

− − + =

+ +

= = +

& & &&

&

21 5

262

273

284

8.77kg/m 74.48Nm6.174 Nm0.51kg/m2.3Nms0.76kg/m2.3Nms0.62kg/m

α ααααααα

= =

======

خوشنام شجاعی: مدرس

:بازوي سه لينكي صفحه اي زير را در نظر بگيريد: سوال يك●

امتحان كلاسي.لطفا جواب هاي خود را تا پايان وقت به اينجانب ايميل كنيد: زمان

0x

0y

1x1y

2x

2y

3x

3y

3a

2a

1a1θ

2θ

3θ

هارتنبرگ -با استفاده از روش دناويت) الف(.سينماتيك مستقيم ربات را محاسبه كنيد

.سينماتيك سرعت ربات را بدست آوريد) ب(

اندازه مهارت را براي اين ربات حساب ) د(.كنيد و حد اكثر آن را محاسبه كنيد

ت نقاط تكين بازو را در صورت وجود بدس) ج(.آوريد

به تراجكتوري يك بازو اين براي :دو سوال ● در نکلي سه هر زاويه كه كنيد طراحي اي گونه و برسد درجه 20 به درجه صفر از ثانيه سه مدت

.اشدب صفر مسير انتهاي و ابتدا در بازو سرعت

كنترل حركت بازوي مكانيكي:حركت كن��ل مفاصل یانم کوپلینگ اثرات خاطر به بازوها واقع، در .کنیم می بررسی را بازوها حرکت کنترل مسأله مسیر، ریزي طرح بحث از پس

.بگیرید نظر در را مکانیکی بازوي معادله .هستند خروجی چند-ورودي چند خطی غیر هاي سیستم

( ) ( , ) ( )M q q C q q q Dq G q τ+ + + =&& & & &

Trajectory Planning

Path Planning

Motion controller Robotic Arm ,q q&τ( )dq t[ ]dq n

:PD كن��ل :بگیرید نظر در را زیر PD کنترل قانون

1

2

qθθ

=

dq

q

1θ

2θ

1dθ

2dθ 1

2

dd

d

qθθ

=

p D

d

K q K qq q qτ = − −

= −

% &%

( ) ( , ) p DM q q C q q q Dq K q K q+ + = − −&& & & & % &

:از است رتعبا بسته حلقه معادله .است صفر گرانش نیروي که کنید فرض

كنترل حركت بازوي مكانيكي

1

2

qθθ

=

dq

q

1θ

2θ

1dθ

2dθ

1

2

dd

d

qθθ

=

:یریدبگ نظر در را زیر لیاپانوف تابع1 1( )2 2

T TpV q M q q q K q= +& & % %

( ) ( , ) p DM q q C q q q Dq K q K q= − − − −&& & & & % &

( )

( )

1( ) ( )2

( , )

1 ( )2

1 ( ) 2 ( , )2

T T Tp

Tp D

T Tp

T T TD

V q M q q q M q q q K q

q C q q q Dq K q K q

q M q q q K q

q Dq q K q q M q C q q q

= + +

= − − − −

+ +

= − − + −

&& && && & & % %

& & & & % &

&& & % &

&& & & & & & &

:داریم سته،ب حلقه خطاي معادله جایگذاري و لیاپانوف تابع از گیري مشتق با

:داریم لاسال قضیه و ها ربات تقارن پاد خاصیت گیري کار به با( ) 0T

DV q K D q= − + ≤& & & ( ){ }, : 0R q q q= =& &0V =&

.هستیم M نامتفیر مجموعه بزرگترین دنبال به حال

كنترل حركت بازوي مكانيكي1( ) 0pq M q K q−= − ≠&& % داریم تابش مبدأ از خارج زیرا .است مبدأ نامتغیر مجموعه بزرگترین که کنید می ملاحظه

مبدأ اللاس قضیه طبق بنابراین، .ماند نمی باقی مبدأ از خارج اي نقطه هیچ در ربات و:است مجانبی پایدار بسته حلقه سیستم براي

0q ≠%

lim , 0t

q q→∞

=% &):داریم باشد، صفر غیر گرانشی نیروي چنانچه، ) ( )T T

DV q K D q q G q= − + −& & & &

):هستیم روبرو صورت به PD کنترل قانون اصلاح نیازمند بنابراین، )p DK q K q G qτ = − − +% & .باشد معین گرانشی نیروي بردار دقیق مقدار که دارد لازم کنترل قانون این

:وسمعك ديناميك كنترل انونق .است فیدبک سازي خطی کنترل روش از خاصی حالت روش این

:بگیرید نظر در را روبرو کنترل( ) ( , ) ( )M q v C q q q Dq G qτ = + + +& & &

q:است پلهدکو و خطی سیستم یک که رسیم می زیر معادله به ربات، بازوي معادله در جایگذاري با v=&&

:از است عبارت v براي انتخاب یک

d p Dv q K q K q= − − &&& % % 0D pq K q K q+ + =&& &% % %

2 21 1[ , , ], [2 , , 2 ]p n D nK diag K diagω ω ω ω= =… … بحرانی میراي پاسخ

.ندک می تنظیم را مفصل دهی پاسخ سرعت

كنترل حركت بازوي مكانيكي:يقيتطب معكوس ديناميك كنترل

هاي سماتری درنتیجه و نامعین پارامترهاي باید صورت، این در .نباشند معلوم دقیقاً ربات پارامترهاي که است ممکن عمل در:شود یم بازنویسی زیر صورت به معکوس دینامیک کنترل قانون بنابراین، .بزنیم تخمین را ... و کوریولیس اینرسی،

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( , ) ( )M q v C q q q Dq G qτ = + + +& & &

:داد اننش توان می قانون جایگذاري و ربات دینامیکی معادله در فوق کننده کنترل جایگذاري با d p Dv q K q K q= − − &&& % %

1ˆ ( , , )D pq K q K q M Y q q q θ−+ + =&& & %% % % & &&

رگرسور ماتریسˆθ θ θ= −%

نامعین پارامترهاي بردار تخمین خطاي:از است عبارت فوق معادله حالت فضاي تحقق

10 0 ˆ, , , ( , , )p D

Ie Ae B A B M Y q q q

K K Iθ −

= + Φ = = Φ = − − %& & &&

:بگیرید نظر در فوق خطاي معادله پایداري تحلیل براي را زیر لیاپانوف تابع حال،1T TV e Pe θ θ−= + Γ% % ( )1 ˆ( ) 2T T T T T

Q

V e A P PA e B Peθ θ−

−

= + + Φ + Γ &%& 14243

كنترل حركت بازوي مكانيكيTA:آید می بدست P متقارن معین مثبت ماتریس لیاپانوف معادله حال با P PA Q+ = −

:داریم صورت به تطبیق قانون انتخاب با نهایتاً، ˆ T TB Peθ = −ΓΦ&0TV e Qe≤ − ≤& , ,e e Lθ ∞∈% &

2min{ }TV e Qe Q eλ≤ − ≤ −& 2

min0 0{ } ( )Vd Q e dα λ α α

∞ ∞≤ −∫ ∫&

( )2min0

( ) (0) ( ) / { }e d V V Qα α λ∞

≤ − ∞ < ∞∫ 2( )e t L∈باربالات لم

lim ( ) 0t

e t→∞

=

:)Passivity( انفعال اساس بر حركت كنترل

):بگیرید نظر در مجدداً را ربات بازوي دینامیکی معادله ) ( , ) ( )M q q C q q q Dq G q τ+ + + =&& & & &

):بگیرید نظر در را روبرو کنترل قانون ) ( , ) ( )r r rKr M q q C q q q Dq G qτ = − + + + +&& & & &

r d

r d

r

q q qq q q

r q q q q

= −Λ

= −Λ = − = + Λ

& & %&&& && %&& & % %

:داریم ربات، معادله در کنترل قانون جایگذاري با( ) ( , ) 0M q r C q q r Dr Kr+ + + =& &

:بگیرید نظر در را زیر لیاپانوف تابع حال،1 ( )2

TV r M q r=

كنترل حركت بازوي مكانيكي:داریم لیاپانوف تابع از گیري مشتق با

( )

1( ) ( )2

1 ( ) 2 ( , )2

T T

T T T

V r M q r r M q r

r Dr r Kr r M q r C q q r

= +

= − − + −

& &&

& & 2min ( ) 0V K D rλ≤ − + <&

.شود یم همگرا صفر به مجانبی و کلی صورت به ردیابی خطاي بنابراین،

شناسايي پارامترهاي يك بازوي ربات

( ) ( , ( )) aM C D Gq q q q q q q τ+ + =+&& & & &

1 2 2 3 2 2

3 2 2 4

2 2 2 2 2 1 2

2 2 1

5 1 6 1 2 7

6 1 2 8

2 cos( ) cos( )( ) ,

cos( )

sin( ) sin( )( )( , ) ,

sin( ) 0

sin( ) sin( ) 0( ) , ,

sin( ) 0

q qM q

q

q q q q qC q q

q q

q q qG q D

q q

α α α αα α α

α αα

α α αα α

+ + = +

− − + =

+ +

= = +

& & &&

&

21 5

262

273

284

8.77kg/m 74.48Nm6.174 Nm0.51kg/m2.3Nms0.76kg/m2.3Nms0.62kg/m

α ααααααα

= =

======

:)Passivity( انفعال اساس بر تطبيقي كنترل

شناسايي پارامترهاي يك بازوي ربات

1 2 2 3 2 2 1

3 2 2 4 2

2 2 2 2 2 1 2 1

2 2 1 2

7 5 1 6 1 2 11

8 6 1 2 22

2 cos( ) cos( )cos( )

sin( ) sin( )( )sin( ) 0

0 sin( ) sin( )0 sin( )

a

a

q qq

q q q q qq q

q q qq q

qq

qq

qq

α α α αα α α

α αα

α α α τα α τ

+ + +

− − +

+ + + + = +

+& & &&

&&&&

&&

&&

1 1 2 1 2 3 2 2 2 2

3 1 2 1 2 4 2

7 12 2 1 2 2 2 2 1 22

8 22 2 1

5 1 6 1 2

6 1 2

2 cos( ) cos( )cos( )

sin( ) sin( ) ( )sin( )

sin( ) sin( )( , ,

sin( )

q qq

q q q q qq

q q qY q q

q q

q q q qq q q

qq qqq

α α α αα α α

αα ααα

α αα

+ + + + +

− − + + +

+ +

+ = +

& & &

& &

&& && && &&&& && &&

&& &&&

)q α&

( ) ( , ( ) ( , , )) aM C D G Y q q qq q q q q q q α τ+ + = =+ & &&&& & & &

11 121

12 1 2 2 2 222 1 2 2 1

2 1 2 2 2 1 223 1

13 224 2

1425

15 126 1 2

16 1 227

17 128

18

02 cos( ) cos( )

cos( ) sin( ) ,sin( ) sin( ) ( ),

00

sin( )sin( )

sin( )0

0

yy

y q qy q q

q q q q qy

yy

yy

y qy q q

y q qy

yy

y

qq q

q qq qqqq

qq

==

= += +

− − +=

==

==

== +

= +=

==

=

& & &

&&&& &&

&& && &&&&&&&

&&2

11 12 13 14 15 16 17 18

21 22 23 24 25 26 27 28

( , , )y y y y y y y y

Y q q qy y y y y y y y

=

& &&

[ ]1 2 3 4 5 6 7 8Tα α α α α α α α α=

شناسايي پارامترهاي يك بازوي ربات

( ) ( , ( ) ( , , )) aM C D G Y q q qq q q q q q q α τ+ + = =+ & &&&& & & &

11 121

12 1 2 2 2 222 1 2 2 1

2 1 2 2 2 1 223 1

13 224 2

1425

15 126 1 2

16 1 227

17 128

18

02 cos( ) cos( )

cos( ) sin( ) ,sin( ) sin( ) ( ),

00

sin( )sin( )

sin( )0

0

yy

y q qy q q

q q q q qy

yy

yy

y qy q q

y q qy

yy

y

qq q

q qq qqqq

qq

==

= += +

− − +=

==

==

== +

= +=

==

=

& & &

&&&& &&

&& && &&&&&&&

&&2

11 12 13 14 15 16 17 18

21 22 23 24 25 26 27 28

( , , )y y y y y y y y

Y q q qy y y y y y y y

=

& &&

[ ]1 2 3 4 5 6 7 8Tα α α α α α α α α=

( , , )z Y q q q α= & &&

az τ=

ˆ ( , , )TY q q qα ε= Γ& & &&

ˆˆz z z Yε α= − = −

( , , )z Y q q q α= & &&

az τ=

ˆ ( , , )PY q q qα ε=& & &&

ˆz Yε α= −

( , , ) ( , , )TP PY q q q Y q q q P= −& & && & &&

خوشنام شجاعی: مدرس

كنترل يك بازوي ربات

( ) ( , ( )) aM C D Gq q q q q q q τ+ + =+&& & & &

d de q q e q q= − = −& & &

1

2

qθθ

=

dq

q

1θ

2θ

1dθ

2dθ

1

2

dd

d

qθθ

=

r e e= + Λ&

if ( )r t 0 ( ), ( )e t e t& 0

مرتبه سازي پايدار مسأله به دو مرتبه رديابي مسأله زير متغير تعريف با.شود مي تبديل يک

:رديابي خطاي

( ) ( ,( )( ) ( , ) ( ) ( )

))(

r r

a

d d d

q q

M r C r DrM q e C q e D q e G

q q qq q q q

τ= − + −− −Λ − −Λ − −Λ −

&& &

&&& & & &14243 14243

&&

خوشنام شجاعی: مدرس

كنترل يك بازوي ربات

( ) ( , ( )) aM C D Gq q q q q q q τ+ + =+&& & & &

,( , , )

( ) ( , ( ) ( , ( )) )a r r r

r rY q q q q

M r C r Dr M q C q Dq Gq q q q q q qα

τ−

= − + − − − − −& & &&

& && & &144444424444443& &

r e e= + Λ& r dq q e= −Λ& & r dq q e= −Λ&& && &

11 121

12 1 2 2 222 1 2 2 1 1

2 1 2 2 2 1 223 1

13 224 2

1425

15 126 1

16 1 2

17 1

18

02 cos( ) cos( )

cos( ) sin( ) ,sin( ) sin( ) ( ),

00

sin( )sin(

sin( )

0

r

r rr r

r rr

rr

r

yy

y q qy q q

q q q q qy

yy

yy

y qy q q

y q qyy

qq q

q q qq q

qq

q

q

==

= += +

− − +=

==

==

== +

= +==

& & &

&&&& &&

&& & && &

&&&&

&&

&

2

27

28 2

)0

r

yy q

== &

11 12 13 14 15 16 17 18

21 22 23 24 25 26 27 28

( , , )y y y y y y y y

Y q q qy y y y y y y y

=

& && [ ]1 2 3 4 5 6 7 8

Tα α α α α α α α α=

كنترل يك بازوي ربات

( ) ( , ( )) aM C D Gq q q q q q q τ+ + =+&& & & &

,( , , )

( ) ( , ( ) ( , ( )) )a r r r

r rY q q q q

M r C r Dr M q C q Dq Gq q q q q q qα

τ−

= − + − − − − −& & &&

& && & &144444424444443& &

rr q q e e= − = + Λ& & &r dq q e= −Λ& &

( ) ( , ( , , , )) a r rM r C r Dr Y q q q qq q q τ α= − + − −& & & &&&

ˆ( , , , )a p r rK r Y q q q qτ α= − + & & &&

ˆ( ) ( , ( , , , ) ( , , , )) p r r r rM r C r K r Y q q q q Dr Y q q q qq q q α α= − − + − −& & & && & & &&&

( ) ( , ( , , , )) p r rM r C r K r Dr Y q q q qq q q α= − − − − %& & & &&& ˆα α α= −%

r dq q e= −Λ& & r dq q e= −Λ&& && &

كنترل يك بازوي ربات

( ) ( , ( , , , )) p r rM r C r K r Dr Y q q q qq q q α= − − − − %& & & &&&

11 1( )2 2

T TV r M q r αα α−= + Γ% %

11( ) ( )2

T T TV r M q r r M q r αα α−= + + Γ && & % %&

1 ˆ( , , 1( , ), ()2

) TT TT T Tr rp r Y q q qr C r rV r K r r M rD qqrq q αα α α−= − − − −− + Γ &% %& & & && &&

( )( ) 2 ( , 0)Tr M q C rq q− =& &

2min{ }pV K D rλ≤ − +&

ˆα α α= −%

Barbalat’s Lemma

lim ( ) 0t

e t→∞

=

ˆ( , , , )a p r rK r Y q q q qτ α= − + & & &&

ˆ ( , , , ) ( )Tr rY q q q q r tαα = Γ& & & &&

ˆ ( , , , ) ( )Tr rY q q q q r tαα = −Γ& & & &&

rr q q e e= − = + Λ& & &

كنترل يك بازوي ربات

( ) ( , ( ) ( )) d atM C D Gq q q q q q q τ τ+ + + =+&& & & & كند تضعيف ار كنترل سيستم عملكرد تواند مي اغتشاش

حلقه نترلك سيستم ناپايداري باعث حالت بدترين در و!شود بسته

( ) ( , ( , , ) ( ),) a r r dM r C r Dr Y q q q tqq q q τ τα= − + − − −& & & &&&

1 21 1 1( )2 2 2

T TV r M q r αθ

α α θγ

−= + Γ + %% %

ˆ( , , , ˆSign( ))a p r rK r rY q q q qτ α θ− −= + & & &&

ˆ ( , , , ) ( )Tr rY q q q q r tαα = −Γ& & & &&

rr q q e e= − = + Λ& & &

( )d tτ θ≤

1

( , ˆ Sign( )

1 ˆ( 1 ˆ( )2

)

)T T T Tp

T

Td

T T

V r C r r K r rr Dr r Y

r M qr r

r

t

q q

θα

θ α

α ατ θθγ

−

= − − − −

+ − Γ

−

− −

& %

& %& % &

&

ˆ:θ θ θ= −%

ومنامعل بالاي كران

يقيتطب مقاوم كنترل

:مقاوم-تطبيقي كنترل

كنترل يك بازوي ربات

2min

1ˆ ˆSign( )) )( (T Tdp r r r tV K D r

θ

θ τγ

λ θθ≤ − − + −+ %& &

1

( , ˆ Sign( )

1 ˆ( 1 ˆ( )2

)

)T T T Tp

T

Td

T T

V r C r r K r rr Dr r Y

r M qr r

r

t

q q

θα

θ α

α ατ θθγ

−

= − − − −

+ − Γ

−

− −

& %

& %& % &

&

2min

ˆ) 1ˆ( pV K D rr rθ

θ θ θγ

λ θ− + −≤ − +& &% ˆθ θ θ= −%

2 2min min

1 1( )ˆ) ˆ( p pV Kr rK D r D rθ θ

θ θθ θ θγ γ

λ λ≤ − + = −

+ − +

+ −

& &% % %&

1 ˆ ˆ0r rθθ

θ θ γγ

− = → =& & 2min ( )pV K D rλ≤ − +&

ˆ ˆrθθ γ σθ= −&ˆ0 0if r rθθ γ≠ → = >&

كنترل يك بازوي ربات

ˆ ˆrθθ γ σθ= −&

ˆˆ( , , , ) Sign( )a p r rK r Y q q q q rτ α θ= − + −& & &&

rr q q e e= − = + Λ& & &يقيتطب مقاوم كنترل

ˆ ( , , , ) ( )Tr rY q q q q r tαα = −Γ& & & &&

:اشباع تابع با چترينگ حذف

كنترل يگنالس در بالا فركانس نوسانات و سوئيچينگ باعث علامت تابع هاي كدينامي تواند مي و نيست مطلوب عمل در چترينگ .گردد مي

به .دهد تنزل ار سيستم عملكرد و كند تحريك را بالا فركانس نشده مدل عملگرها باند ايپهن بودن محدود دليل به بالا فركانس هاي سيگنال علاوه،

.نيستند سازي پياده قابل

ˆ ˆrθθ γ σθ= −&

2ˆˆ( , , , ) ˆa p r r

rK r Y q q q qrθ

τ αθ ε

= − + −+

& & &&

rr q q e e= − = + Λ& & &اشباع وعن تطبيقي مقاوم كنترل

ˆ ( , , , ) ( )Tr rY q q q q r tαα = −Γ& & & &&

كنترل يك بازوي ربات

ˆ ˆrθθ γ σθ= −&

( )2ˆ ˆˆ( , , , ) /a p r rK r Y q q q q r rτ α θ θ ε= − + − +& & &&

1 2 0( )

t

rr q q e e e dτ τ= − = + Λ + Λ ∫& & &

ˆ ( , , , ) ( )Tr rY q q q q r tαα = −Γ& & & &&

:مقاوم-تطبيقي PID كنترل

1 2 0( )

t

r dq q e e dτ τ= −Λ −Λ ∫& &

( )21 2 0

ˆ ˆˆ( ) ( , , , ) /t

a p p p r rK e K e K e d Y q q q q r rτ τ τ α θ θ ε= − − Λ − Λ + − +∫& & & &&

PIDكنترل كننده

كنترل يك بازوي ربات

( ) ( , ( ) ( )) d aM C D G tq q q q q q q τ τ+ + + =+&& & & &

( )( , , , )

( ) ( , ( ) ( , ( ) ( )) )r r

a r r r d

q q q q

M r C r Dr M q C q Dq G tq q q q q q qξ

τ τ= − + − − + + + +& & &&

& && & &1444444442444444443

& &

:تطبيقي مقاوم كنترل پارامتري مدل نوشتن نباشد، معلوم )G و M، C، D( ربات ديناميك هاي ماتريس تابعي فرم كه شرايطي در

:كنيم مي استفاده الاب باند بر مبتني تطبيقي مقاوم كنترل از صورت، اين در .نيست ميسر ربات ديناميك براي

min max min max( ) ( ) ( ), ( ) ( )

( ) , ( )( , ) , G d dC

M M q M D D

G q t

D

C x yq x y τ

λ λ λ λ

λ τ λλ

≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤≤

( , , , ) ( ) ( , ( ) ( ))r r r r r dq q q q M q C q Dq G tq q q qξ τ= + + + +& & && && & &&

1 2 3 4

( , , , ) ( ) ( , ( ) ( )

( , , ) ( , , )

)r r r r r d

r r r r r r r

q q q q M q C q D q G t

q q q h q q H q q

q q q qq q q

ξ τ

θ θ θ θ θ

≤ + + + +

≤ + + + = =

& & && && & &

&& & & & && & &&

&& & &

( , , ) , , ,1r r r r rH q q q q qq q= & && && & && &

كنترل يك بازوي ربات

11 1( )2 2

T TV r M q r θθ θ−= + Γ% % ˆ:θ θ θ= −%

2ˆˆa p

h rK rh r

τε

= − −+

:يريدبگ نظر در را روبرو تطبيقي مقاوم كنترل

( )

1

21

21

1( , ( )

1 ˆ( ) ( )2

ˆ ˆ( , , , )ˆ

ˆ ˆ( , , ,

2

)ˆ

)

T T T

TT T T T

p r r

TT

p r

T T

T Tr

V r M q r r M q r

h r rr K r r Dr r q q q qh r

h r rr K D r r q q q q

r C r r M q r

h r

q q

θ

θ

θ

θ θ

ξ θ θε

ξ θ θε

−

−

−

= + − Γ

= − − − − − Γ+

= − + − − −

−

Γ

+

+

&%& &&

&%& & &&

&%& & &&

&&

( )2

2 1min

ˆ ˆˆ

TT

ph r rV K D r r

h r θλ ξ θ θε

−≤ − + − + − Γ+

&%&

كنترل يك بازوي ربات2ˆ

ˆa ph rK r

h rτ

ε= − −

+:يريدبگ نظر در را روبرو تطبيقي مقاوم كنترل

( )2

2 1min

ˆ ˆ ˆ( )ˆ

TT

ph r rV K D r r H

h r θλ θ θ θ θε

−≤ − + − + + − Γ+

&% %&

ˆ ˆ( , , )Tr rH q q rqθ θθ σ θ= Γ − Γ& & &&&

( )2

2 1min

ˆ ˆ ˆˆ

TT T T

ph r rV K D r r H H r

h r θλ θ θ θ θε

−≤ − + − + + − Γ+

&% %&

( ) ( )2 1min

ˆˆ

ˆT T

p

r hV K D r H r

h r θ

ελ θ θ

ε−≤ − + + + −Γ

+&%&

( ) ( )2 1min

ˆT TpV K D r H r θλ ε θ θ−≤ − + + + −Γ &%&

:كنيم يم انتخاب روبرو صورت به را تطبيق قانون

كنترل يك بازوي ربات

( ) 2min

ˆTpV K D rλ σ θ θ ε≤ − + + +%& V cV ε≤ − +&

( ) (0) (1 )ct ctV t Ve ecε− −→ ≤ + −

2min ( )

1 ( ( ))2

V tM q rcε

λ ≤ ≤min

2( ( ))

rc M q

ελ

≤

( )r t

(sec.)t0( ) 0V t >&

( ) 0V t <&

( ) 0V t <&

باند نهايی

؟

كنترل يك بازوي ربات

2ˆˆa p

h rK rh r

τε

= − −+

rr q q e e= − = + Λ& & &

ˆ ˆ( , , )Tr rH q q rqθ θθ σ θ= Γ − Γ& & &&&

( , , ) , , ,1r r r r rH q q q q qq q= & && && & && &