rika matematiska problem - muepmuep.mau.se/bitstream/handle/2043/5980/rikamatemat... · george...
TRANSCRIPT
Malmö högskola Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete 15 poäng
Rika matematiska problem En studie om problemlösning i grupp och individuellt
Rich mathematical problems
A study of problem solving in groups and individually
Ola Fyrhag
Juri Himanen
Lärarexamen 270 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2007
Examinator: Leif Karlsson Handledare: Eva Davidsson
2
3
Sammanfattning I undersökningen har vi använt oss av några högstadieelever för att ta reda på hur olika
gruppkonstellationer samarbetar inom problemlösning i matematik. Eleverna har svarat på en
enkät där två rika problemlösningsuppgifter varit utgångspunkten för vår undersökning.
Vår erfarenhet och hållning till problemlösning är att ett samarbete mellan eleverna och ett
öppnare klassrumsklimat, där det matematiska språkbruket appliceras på ett naturligt vis,
gagnar elevernas kunskapsintag. För ett relevant ställningstagande och en tillförlitlig analys,
valde vi att utföra vår enkätundersökning på eleverna både individuellt och parvis. Resultatet
av undersökningen förstärker redan befintlig forskning på området. Sett ur ett
genusperspektiv, presterar pojkarna generellt sett bättre än vad flickorna gör. Ett samarbete
mellan elever, oavsett hur de självvalda grupperna ser ut, ger en fördjupad matematisk
förståelse och leder till en högre lösningsfrekvens än vad de individuella resultaten uppvisar.
Undersökningen visar med tydlighet att slagord som ”ensam är stark” definitivt inte gäller i
matematikern George Pólyas finrum (Björk, Borg och Brolin, 1995).
Nyckelord Grupparbete, lösningsstrategier, mönster, problemlösning, rika matematiska problem.
4
5
Innehållsförteckning 1 Inledning.................................................................................................................................. 7
1.1 Bakgrund ...................................................................................................................... 9 1.2 Undersökningens inriktning och syfte........................................................................ 12 1.3 Konkreta frågeställningar ........................................................................................... 13
2 Teori och litteraturgenomgång .............................................................................................. 14 2.1 Problemlösning och kunskapsteori............................................................................. 14 2.2 Elevinteraktion ........................................................................................................... 15 2.3 Viktiga notiser och förhållningsregler i våra nationella styrdokument...................... 17 2.4 Begreppsförklaring..................................................................................................... 18
3 Metod .................................................................................................................................... 19 3.1 Förankring i vetenskapliga metoder .......................................................................... 19 3.2 Definitioner av problem ............................................................................................. 20 3.3 Kriterier och urval av undersökningsgrupp................................................................ 21 3.4 Upplägg, genomförande och forskningsetik .............................................................. 22 3.5 Enkätfrågorna och de skriftliga elevlösningarna........................................................ 23 3.6 Observation ................................................................................................................ 23 3.7 Undersökningens validitet och reliabilitet.................................................................. 24
4 Resultat.................................................................................................................................. 26 4.1 Lösningsfrekvensen i de individuella elevsvaren....................................................... 26 4.2 Lösningsfrekvensen i samarbetsgrupperna ................................................................ 27 4.3 Jämförelse av lösningsfrekvens.................................................................................. 28 4.4 Hur påverkas resultatet av elevernas genuskonstellation? ......................................... 29 4.5 Elevernas utvärdering av undersökningen/enkätfrågorna .......................................... 30
5 Diskussion och analys ........................................................................................................... 32 5.1 Problemlösning - individuellt eller i grupp? .............................................................. 33 5.2 Genusaspekter utifrån elevresultaten.......................................................................... 34 5.3 Elevkonstellationer i matematikundervisningen ........................................................ 34 5.4 Avslutande diskussion och analys.............................................................................. 35 5.5 Kan man med säkerhet slå hål på myten ”ensam är stark”?....................................... 36 5.6 Förslag till vidare forskningsfrågor som växt fram under vårt examensskrivande? .. 36
6 Referenser.............................................................................................................................. 37 6.1 Litteratur referenser.................................................................................................... 37
Bilagor ...................................................................................................................................... 39 7.1 Bilaga 1, Frågeformulär, individuellt arbete, sida 1................................................... 39 7.2 Bilaga 2, Frågeformulär, individuellt arbete, sida 2................................................... 40 7.3 Bilaga 3, Frågeformulär, pararbete, sida 1 ................................................................. 41 7.4 Bilaga 4, Frågeformulär, pararbete, sida 2 ................................................................. 42 7.5 Bilaga 5, Föräldrarinformation och godkännande av undersökningen. ..................... 43 7.6 Bilaga 6, observationsschema .................................................................................... 44
6
7
1 Inledning
Skolverkets målbeskrivning av matematikämnet i grundskolan betonar vikten av olika
undervisningsformer, exempelvis individuellt arbete och elevsamarbete (Skolverket). En
nyfikenhet som väckts hos oss under resans gång, är att närmare granska och jämföra dessa
två undervisningsmetoder. Vi vill undersöka vilken roll grupparbeten spelar i
matematikundervisningen och hur en grupporienterad undervisning påverkar elevresultaten.
Är det så att grupparbetsövningar och en laborativt inriktad undervisning är en didaktisk
nymodighet eller kan denna form av pedagogik faktiskt bidra till en mer kvalitativ
matematikundervisning? Förutom att tillmötesgå nämnda mål menar Horne (Clarke m.fl.
2004) att grupparbete kombinerat med problemlösning har en potential att variera
matematikundervisningen. Hon menar även att detta samarbete mellan elever och pedagoger
kan inspirera eleverna i sin matematiska kunskapsiver. Detta synsätt befästs också i
Läroplanernas strävansmål, där skolan ska verka för att elever “utvecklar nyfikenhet och lust
att lära” (Lpo 94).
Under utbildningens gång och i den verksamhetsförlagda tiden (vft) har vi märkt att
matematikundervisningen på våra partnerskolor varit väldigt snarlika varandra.
Undervisningen som bedrivits på våra partnerskolor har framförallt, och i likhet med många
andra skolor, bestått av en allt för hög grad av monotont individuellt arbete, vilket också
förankras i forskning inom området att det är ett vanligt förekommande fenomen (Lusten att
lära, Skolverket).
Vi kommer i vår undersökning att koncentrera oss på matematisk problemlösning och hur den
kan implementeras i undervisningen på ett mer varierande vis än vad som generellt sker idag.
Fokus kommer att läggas på en viss typ av problemlösning som handlar om öppna problem
och hur den påverkas av grupparbete kontra individuellt elevarbete.
Möllehed (2001) lyfter upp öppna problem som ett didaktiskt verktyg för att träna eleverna att
vara flexibla i sitt tänkande. Möllehed menar vidare att öppna problem eller problemlösning
som inte direkt kan förknippas med en viss typ av algoritm eller räknesätt, sätter igång
elevernas resonerande tänkande kring problemen. Syftet med våra öppna
problemlösningsuppgifter i undersökningen är att så många elever som möjligt ska motiveras
8
till att vilja angripa problemen som de är tilldelade, gärna med flera och olika typer av
lösningsstrategier.
Intresset för problemlösning började redan på 1930-talet, där den ungerska matematikern
George Póyla (1887-1985) var problemlösningens förgrundsfigur inom området (Möllehed).
Men det skulle dröja ända fram till 1970-talet innan intresset för problemlösning spred sig
över resten av världen.
”Routine problems, even many routine problems, may be necessary in teaching mathematics
but to make students do no other is inexcusable” (Pólya, citerad i Möllehed, s.16).
Citatet visar hur George Póyla vände sig mot gällande undervisningsform som enligt honom
var alltför rutinbaserad.
Våra egna didaktiska funderingar ligger i linje med Pólyas resonemang. Matematikämnets
struktur, liksom många andra ämne, kräver en del enformig mängdträning och till detta passar
vanliga rutinuppgifter som exempelvis algoritmberäkning, väldigt bra. Men för att bygga upp
en bra begreppsförståelse i matematik, bör eleverna också utmanas av uppgifter med större
djup och bredd. Uppgifter som framförallt väcker en lust hos eleverna, en lust att faktiskt vilja
lösa de problem de står inför (Möllehed). I Lpo 94 står det i uppnåendemålen att elever ska
“lyssna till, följa och pröva andras förklaringar och argument”. Detta preciserar behovet av en
utökad matematisk kommunikation i matematikundervisningen, där lösningsstrategier öppet
diskuteras i klassen, både i helklass och i mindre grupper. Maher (Engström, 1998) menar att
denna kommunikation även kan vara ett didaktiskt verktyg för att väcka barnens och
ungdomarnas intresse för matematikämnet.
9
1.1 Bakgrund
Problemlösning
Under de senaste decennierna har matematiska baskunskaper allt mer inriktats mot och
betraktats som verktyg vid problemlösning (Riesbäck m.fl. 2000). Vilket betyder att de
färdigheter som matematikundervisningen förespråkar och förmedlar är ämnade att hjälpa
människor att kunna tolka information och för att kunna lösa problem i diverse vardagliga
sammanhang. Kortfattat ska matematikkunskaper kunna tillämpas vid en rad olika
matematiska problem som en samhällsmedborgare kan tänkas ställas inför. Detta
förhållningssätt betonar att god problemlösningsförmåga och matematikfärdigheter alltmer
fungerar som viktiga och grundläggande livskunskaper.
Hagland m.fl. (2005) anser att undervisning i problemlösning utvecklar elevernas förmåga att
tänka såväl kreativt som logiskt. De påpekar även att den utmaning som
problemlösningsuppgifter erbjuder eleverna kan öka deras motivation att arbeta med
matematik och inspirera till ytterligare kunskapsintag. Förutsättningen för att en individ ska
kunna utveckla en god problemlösningsförmåga är en gedigen kunskapsbas, vilket många
studier också poängterat (Björkqvist, 2001). Det är många faktorer som
matematikdidaktikerna menar talar för problemlösning i skolmatematiken. Lester & Lambdin
(2006) menar att ett lärande via problemlösning utvecklar elevernas matematiska förståelse.
Björkqvist (2001) menar yttermera att problemlösningen som undervisningsmetod både är
och befrämjar tillväxten av den matematiska förståelsen. Denna ökade förståelse för
matematik som problemlösning kan leda till skapar en positiv utvecklingsspiral, där den
utökade förståelsen motiverar och skapar förutsättningar för ytterligare förståelse (Lester &
Lambdin). De menar även att en fördjupad förståelse förbättrar och underlättar
kunskapstransfer, det vill säga, att eleverna har lättare att implementera nyfunna kunskaper
och färdigheter till andra sammanhang och ämne och att det skapar mer självständiga elever.
I skolverkets styrdokument betonas elevsamarbete, trots detta förekommer problemlösningen
företrädesvis som enskilt arbete i den svenska skolan. I ett undervisningsperspektiv har
Lester (1996) sammanfattat fyra viktiga punkter för resultatet av undervisning i
problemlösning, punkter som han menar är en ren förutsättning för ett framgångsrikt arbete i
problemlösning.
10
� Elever måste lösa många problem för att förbättra sin problemlösningsförmåga.
� Problemlösningsförmågan utvecklas långsamt och under en lång period.
� Elever måste tro på att deras lärare tycker att problemlösning är betydelsefullt för att
de ska ta till sig undervisningen
� De flesta elever tjänar på systematisk undervisning i problemlösning.
(Lester, 1996, s. 87)
Elever som arbetar med problemlösning ser lättare behovet av kunskaper inom olika moment i
matematiken vilket ökar motivationen att inhämta nya färdigheter och befästa sina kunskaper.
I viss bemärkelse erbjuder också problemlösning träning i att välja bland sina kunskaper och
tillämpa dessa på problemen (Hagland m.fl. 2005).
Problemlösning i grupp
Vilken roll kan då grupparbete kombinerat med rika problemlösningsuppgifter spela i strävan
mot en djupare förståelse för matematiken? Enligt Bauersfeld främjar ett elevsamarbete och
utbyte av erfarenheter, till en mer kritisk och stimulerande lärandemiljö. Han varnar dock för
en överbetoning av detta och menar att undervisningen inte kan sönderdelas i självständigt
arbete i smågrupper. Han betonar vidare att en vågmästarroll är viktig mellan de olika
arbetssätten (Bauersfeld, i Engström, 1998). I matematikämnet, är det speciellt kring
problemlösning som ett elevsamarbete betonas. Detta är något som många matematiklärare
och matematikdidaktiker förespråkar och arbetar aktivt för (Möllehed, 2001). Detta
ställningstagande blir naturligt om man beaktar Vygotskijs potentiella utvecklingszoner. Där
samarbetet mellan individerna kan leda till förbättrade prestationer och den matematiska
förståelsen lyfts hos individerna. Denna metodik är dock inte särskilt vanlig i dagens
matematikundervisning i den svenska skolan (Möllehed).
Det finns studier som talar för ett grupporienterat arbetssätt kring problemlösning i
matematikundervisningen. I en storskalig studie på 11000 elever, av ålderintegrerade klasser i
Australien, gjordes fallstudier av sex erkänt framgångsrika och duktiga pedagoger. Det
fallstudien fann gemensamt i lärarnas undervisning var att den till stora delar var
grupporienterad och uppgifterna ofta av en öppen karaktär, det vill säga, de presenterade
uppgifter som inte direkt kunde knytas till ett specifikt räknesätt. Olika typer av spel var också
11
vanliga inslag i deras undervisning (Horne, i Clarke m.fl. 2004). En annan faktor som
nämndes i undersökningen var variationen i undervisningen. Deras undervisningsstrategier
ledde till att eleverna närmade sig en djupare förståelse för matematiken.
Pedagogerna i studien var flexibla i både val av undervisningsform och material (Horne, i
Clarke m.fl.). I den mindre gruppen i matematikundervisningen finns det vissa fördelaktiga
moment jämfört med den mer traditionella och individuella. Den ger andra perspektiv på
begrepp och låter elever bryta sina uppfattningar mot andras, vilket utvecklar elevernas
förmåga att motivera och resonera för sina idéer. Komplicerade och abstrakta regler och
begrepp inom matematiken kan iklädas ett vardagligt språk av klasskamrater, ibland till och
med bättre av eleverna själva, än av läraren (Skolverket, Lusten att lära). Att arbeta med
problemlösning i olika smågrupper på det sätt som ovanstående undersökningen beskrivit,
kräver en mer utvecklad och balanserad form av pedagogik. Lärarrollen måste förändras och
utvecklas från handledare till specifikt mentorskap, samt elevrollen måste utvecklas mot ett
mer aktiv självstuderande (Pehkonen, 2001). Denna pedagogik medför att pedagogen måste
besitta kunskaper i bland annat grupprocesser, gruppdynamik och gruppsykologi för att
undervisningen skall fungera väl.
Lewin nämner några faktorer som talar för ett grupparbete rent generellt: ”Groups tend to be
powerful rather than weak, active rather than passive, fluid rather than static, and catalysing
rather than reifying” (Lewin, citerad i Forsythe, 2006, s.16). Detta påvisar vilken styrka en
välfungerande grupp i en gynnsam gruppundervisning kan ha för kunskapsutvecklingen.
Rika matematiska problem
Tillgången till stimulerande problemlösningsuppgifter är viktig, det vill säga uppgifter som
erbjuder en utmaning för alla elever (Bauersfeld, i Engström, 1998). Traditionellt har
uppgifter med benämningarna textuppgift och benämnd uppgift klassats som problem och
använts synonymt för problemlösningsuppgifter (Björkqvist, 2001). Det viktigaste kriteriet
har varit att eleverna i initialskedet inte direkt kunnat se vilka lösningsmetoder de ska använda
sig av. Öppna uppgifter är också en benämning på en viss typ av problemuppgifter. Under
1990-talet började man tala om rika matematiska uppgifter som en värdefull lärarkunskap.
Dessa uppgifter är inte enbart motiverande för många elever utan de stödjer även utvecklandet
av matematiska begrepp. Björkqvist (2001) menar att dessa uppgifter kan fungera som en
brygga mellan olika kontexter, mellan skolmatematiken och verkligheten och på så vis
underlätta transfer av det tidigare inlärda. Med hjälp av problemlösningsuppgifter som bygger
12
på rika problem (Hagland, Hedrén, Taflin, 2005) vill vi i vårt examensarbete undersöka hur
elevernas resultat påverkas beroende på vilken didaktik som används. Med rika problem
menar vi uppgifter som har en bredd och fördjupning som innebär att alla elever skall kunna
utmanas oavsett vilka förkunskaper de har (Hagland, Hedrén, Taflin).
1.2 Undersökningens inriktning och syfte
Om man beaktar läroplanen och dess strävansmål i matematik kan man se att huvudsyftet med
matematikundervisningen har utvecklats från att handla om numerisk räkning och
taluppfattning, till att idag inrikta sig mer på förmågan att kunna se mönster och algebraiska
generaliseringar (Skolverket, TIMSS, 1996).
En eftersträvan om ett öppnare klassrumsklimat där det matematiska språkbruket
implementeras på ett naturligt vis gagnar ett effektivare och mer aktivt lärande, vilket också
Maher (Engström, 1998) befäster. Tyvärr visar forskningen att denna form av didaktik
undervärderas av dagens pedagoger och används i allt för liten utsträckning (Lerman, 2006)
Med hjälp av problemlösningsuppgifter som bygger på rika problem (Hagland, Hedrén,
Taflin, 2005) vill vi i vårt examensarbete undersöka hur elevernas resultat i problemlösning
påverkas beroende på vilket arbetssätt som används. Med rika problem menar vi uppgifter
som har en bredd och fördjupning som innebär att alla elever skall kunna utmanas oavsett
vilka förkunskaper de har (Hagland, Hedrén, Taflin). Vi vill i denna studie utforska om
grupparbete, där elevdiskussioner och samarbete är naturliga inslag, kan leda till en djupare
förståelse och konkreta generaliseringsmetoder i problemlösning. Vi har också för avsikt att
granska hur olika elevkonstellationer med hänsyn till genus, påverkar resultatet i studien.
Dessutom kommer vi att jämföra elevernas grupparbeten med en individuell studie och
försöka koppla resultatet av våra analyser till befintlig forskning.
13
1.3 Konkreta frågeställningar
• Hur påverkar elevernas samarbete lösningsfrekvensen?
• Vilka skillnader resultatmässigt, kan man påvisa ur ett genusperspektiv?
14
2 Teori och litteraturgenomgång
I följande avsnitt kommer vi att redovisa vad Skolverket och aktuell forskning säger om
matematisk problemlösning och integrationen med elevsamarbete.
2.1 Problemlösning och kunskapsteori
Problemlösning är inget nytt fenomen i matematikdidaktiken, redan på 1940-talet väcktes
intresset för denna typ av undervisningsmetodik, där förgrundsfiguren var den ungerske
matematikern George Pólya (Möllehed, 2001). I Sverige har problemlösningens roll i
matematikundervisningen betonats i styrdokumenten sedan 1960-talet, i och med Lgr 69. I det
nästkommande styrdokumentet Lgr 80, tilldelades problemlösningen större utrymme och vikt.
Även i det senaste styrdokumentet Lpo 94 har problemlösning inom matematik en given plats.
Problemlösningens betydelse i matematikundervisningen nämns ingående i strävansmålen och
i kursplanerna för matematik. Men i uppnåendemålen för årskurs nio (Lpo 94), finns det inget
kunskapsminimum preciserat om vilka kunskaper eleverna skall ha tillägnat sig inom
matematisk problemlösning.
Det finns flera påtagliga saker som talar för problemlösning, bl.a. ”lärande genom
problemlösning utvecklar förståelsen” (Lester & Lambdin, 2006). En förståelse som i sin tur
bäddar för självförtroende och engagemang hos eleverna. Det motsatta blir således att inte
förstå, vilket oftast leder till uppgivenhet och brist på engagemang (Lester & Lambdin).
Problematiken i ett lärande, inriktad mot förståelse, är att det ofta anses svårare att uppnå. Det
är även mer tidskrävande än att memorera och kopiera färdiga lösningsprocedurer. Trots detta
menar Skemp (1979) att fördelarna klart överväger nackdelarna. Förståelse banar väg för
ytterligare förståelse och de anser också att problemlösning fungerar motiverande och leder
till mer självständiga elever.
De nationella styrdokumenten har influerats av de konstruktivistiska undervisningsteorierna
mer än av någon annan didaktisk teori. De konstruktivistiska undervisningsteorierna inriktar
sig mot en mer förståelseinriktad matematikundervisning (Engström, 1998). Engström har
sammanfattat olika inslag i matematikundervisningen som konstruktivistiska inslag, som även
understryker problemlösningens roll. Enligt Engström poängtera den konstruktivistiska teorin
att lärandet ses som en problemlösande aktivitet där elevernas egna frågeställningar och
15
metoder att formulera sina problem, ges stort utrymme. Gruppdiskussioner är också ett viktigt
inslag, där eleverna tillåts och uppmuntras att utbyta sina uppfattningar, vilket i sin tur
utvecklar elevernas förmåga att argumentera och bestyrka sina idéer. Nämnda inslag är
praktiska implikationer sprungna ur konstruktivismen (Engström). Den konstruktivistiska
undervisningsfilosofin presenterar problemlösningsaktiviteter som är öppna, där olika
lösningsmetoder uppmuntras. Konstruktivismen grundar sig på Piagets teorier, vilka har
vidareutvecklats och idag talar man om tre former av konstruktivism, socialkonstruktivism,
radikalkonstruktivistisk och svag konstruktivism (Engström). Det gemensamma för dessa är
att lärandet ses som en rekursiv process, det vill säga, nya kunskaper och insikter är produkten
av elevens tidigare kunskaper. Eleverna är råmaterialet och bildar utgångspunkt för vidare
kunskaper och insikter. De olika inriktningarna i konstruktivismen svarar mot olika praktiska
undervisningsimplikationer. Där socialkonstruktivismen är den inriktning vari problemlösning
och samarbete elever emellan mest förekommer (Ernest, 1998).
2.2 Elevinteraktion
I kursplanen för grundskolan i matematik (Skolverket, 2000a) står det bland annat följande.
”För att eleverna framgångsrikt ska kunna utöva matematik krävs det en balans mellan
kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematiska begrepp, metoder och
uttrycksformer…” (Hagland, Hedrén, Taflin, 2005. s.8). För gymnasieskolan finns liknande
formuleringar där problemlösning klart och tydligt poängteras som en viktig del i
matematikundervisningen. Problemlösning är en aktivitet som med fördel bör utföras i
elevgrupper (Möllehed, 2001). Elevsamarbete betonas även i läroplanen Lpo 94 under mål
och riktlinjer. Följande punkt är ett av målen att sträva mot: ”- lär sig utforska, lära och arbeta
både självständigt och tillsammans med andra”.
Problemlösning betonades som målet med matematikkunskaperna redan i Lgr 69 och det är på
nämnda manér som den ofta förekommer i dagens matematikundervisning (Lester &
Lambdin, 2006). Först kommer tränandet av ett nytt begrepp inom matematiken och därefter,
en finslipning och fördjupning av dessa nya begreppskunskaper via problemlösning.
Läroböckerna i matematik stödjer också detta upplägg av matematikundervisning (Undvall,
Olofsson och Forsberg, 2003). Lester & Lambdin menar vidare att problemlösning även bör
användas som introduktion av nya begrepp i matematiken. Då det bäddar för ett kreativt och
stimulerande arbete kring de nya kunskaperna och begreppen som skall avhandlas. Syftet med
16
kunskaperna i och kring begreppen blir tydligare om de presenteras inbäddade i både rika och
verkliga problem som eleverna har lättare att relatera till (Boaler, 1993). Boaler menar också
att kontextens betydelse för elevernas motivation till kunskaper i problemlösning och
matematikkunskaper rent generellt inte ska förringas.
I en studie av känslornas och försvarsmekanismernas roll i problemlösning utförd i grupp,
myntades uttrycket ”shared cognitive intimacy” av författaren Hannula (2005). Detta fenomen
var ofta förekommande i de grupper som deltog i en 3-årig undersökning i Finland, som
handlade om elevgrupparbete. Vad som karaktäriserar ovanstående fenomen är en trevlig
atmosfär under arbetets gång, samt en kommunikation där eleverna ideligen överlappar och
kompletterar varandras uttryck och påståenden. Samt att samfällda uttryck kring problemen
ibland figurerade som höjdpunkten i lösningsprocessen. När eleverna i undersökningen
utvärderade processen i grupparbetet, nämndes den med mestadels positiva utlåtanden. En
negativ aspekt i grupparbetet som dock framkom i undersökningen, var att några elever
exkluderades i lösningsprocessen. Denna förekomst av ”a third wheel” (Hannula, s.33) i
grupparbetet, var enligt Hannula inte alltid medveten. Snarare var det en sidoeffekt av att
några av gruppmedlemmarna blev så engagerade i problemet att de inte uppmärksammade att
en eller ett fåtal gruppmedlemmar inte medverkade eller kom till tals i samarbetsprocessen.
17
2.3 Viktiga notiser och förhållningsregler i våra nationella styrdokument
Följande axplock är tagna ur de nationella styrdokumenten och förtydligar hur matematiken
bör/kan implementeras i matematikundervisningen (Skolverket). Utan att föra ett djupare
resonemang över de enskilda punkterna, så visar de på den komplexitet som förekommer
inom skolans väggar. Följande strävansmål, uppnåendemål och kursplaner diskuterar vi
löpande i vårt arbete och finns hela tiden med som grundläggande faktorer i framställandet av
vårt examensarbete, som också är en del av vår lärarprogression.
• Varje elev har rätt att i skolan få utvecklas, känna växandets glädje och få erfara den
tillfredsställelse som det ger att göra framsteg och övervinna svårigheter.
• Den dagliga pedagogiska ledningen av skolan och lärarnas professionella ansvar är
förutsättningar för att skolan utvecklas kvalitativt. Detta kräver att undervisningsmålen
ständigt prövas, resultaten följs upp och utvärderas och att nya metoder prövas och
utvecklas.
• Skolan skall bidra till elevernas harmoniska utveckling. Utforskande, nyfikenhet och
lust att lära skall utgöra en grund för undervisningen.
• Eleverna känner trygghet och lär sig att ta hänsyn och visa respekt i samspel med
andra.
• Eleverna lär sig att utforska, lära och arbeta både självständigt och tillsammans med
andra.
• Utbildningen skall ge en god grund för studier i andra ämnen, fortsatt utbildning och
ett livslångt lärande.
• Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera
matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter
förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem.
• Matematik har nära samband med andra skolämnen. Eleverna hämtar erfarenheter från
omvärlden och får därmed underlag för att vidga sitt matematiska kunnande.
• Kunna tolka och använda enkla formler, lösa enkla ekvationer, samt kunna tolka och
använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser.
18
2.4 Begreppsförklaring
• Rika problem – problem som ges möjlighet att utvecklas till djupare diskussioner av
matematiska begrepp. Enligt (Hagland, Hedrén och Taflin, 2005. s.28-30) skall rika
problemlösningsuppgifter uppfylla 7 kriterier för att inkluderas i denna kategori:
- Problemet skall introducera viktiga matematiska idéer eller vissa
lösningsstrategier.
- Problemet skall vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med
det.
- Problemet skall upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta
tid.
- Problemet skall kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och
representationer.
- Problemet skall kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas
skilda lösningar, en diskussion som visar på olika lösningsstrategier,
representationer och matematiska idéer.
- Problemet skall kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska
områden.
- Problemet skall kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta
problem.
• Problemlösning – innebär att man använder sina redan erhållna kunskaper i nya och
okända situationer. Den ungerske matematikern George Pólya, organiserade en
lösningsstrategi i fyra steg för hur man löser problem (Björk, Borg och Brolin, 1995,
s.154).
- Förstå problemet.
- Gör upp en plan.
- Utför planen.
- Kontrollera svaret.
• Facilitator – syftar på lärarens roll som handledare och mentor, där läraren via sina
undervisningsmetoder skapar lärandesituationer som underlättar elevernas inlärning
(Pehkonen, 2001).
19
3 Metod
I detta kapitel kommer vi att redovisa några vetenskapliga metoder samt vilka kriterier vi tog
hänsyn till i vårt val av urvalsgrupp. Dessutom redovisar vi hur vi genomförde
undersökningen och hur stor tillförlitligheten på undersökningen kan anses vara.
3.1 Förankring i vetenskapliga metoder
I vår undersökning är det framförallt två faktorer som beaktas, nämligen hur eleverna arbetar
tillsammans, kontra individuellt elevarbete och hur de olika arbetssätten påverkar elevernas
resultat i problemlösning. För att vi på ett tillförlitligt sätt skulle kunna dra några slutsatser av
undersökningen, krävdes en studie av elevernas grupparbete och individuella prestationer för
att kunna jämföra deras uppnådda resultat.
I vår strävan att göra en systematisk och noggrann undersökning i examensarbetet, granskades
olika metoder och deras kompabilitet med våra forskningsfrågor. Följande metoder är de
vanligaste vid examensarbetet i lärarutbildningen (Johansson & Svedner, 2006), enkät,
kvalitativ intervju, observation och textanalys. Då vi ämnade undersöka hur elever i olika
konstellationer presterar i rika problemlösningsuppgifter, studerade vi elevernas skriftliga
lösningar och jämförde resultaten för att kunna mäta om grupparbetet påverkade resultatet.
Möllehed (2001) menar att ett studium av skriftliga elevlösningar, kombinerat med kvalitativa
intervjuer är en gångbar metod för att studera hur elever lyckas med problemlösning. Av
tidsbrist och problem med tillgången av elever, försvann möjligheten att utföra några
kvalitativa intervjuer. Vilket föranledde att vi kompletterade studien av elevernas skriftliga
lösningar med en observation. Observationen var inriktad mot att kontrollera elevernas
samarbete i enkätundersökningen. Underlaget från ovanstående metoder kompletterade vi
med en enkätfråga, där vi hade för avsikt undersöka vad eleverna tyckte om uppgifterna och
arbetssättet som de utsattes för.
20
3.2 Definitioner av problem
Nedan följer en schematisering av matematiska uppgifter enligt (Hagland, Hedrén och Taflin,
2005). Denna schematiska uppdelning av matematik uppgifter, visar att textuppgifter,
benämnda uppgifter och vardagsuppgifter kan ses som både problemuppgifter och
rutinuppgifter. Enligt schematiseringen är det enbart rutinuppgifter och standarduppgifter som
inte kan räknas som problemlösningsuppgifter. Valet av våra uppgifter (se bilaga 1-4) som
eleverna testades på grundades på vårt intresse för tal & mönsteruppgifter, som vi tycker är
medryckande och utvecklingsbart i undervisningssyfte samt i strävan efter en fördjupad
elevförståelse i matematik. Att vi sedermera kunde få belägg för att uppgifterna som vi valt,
faktiskt också uppfyller de flesta av (Hagland, Hedrén och Taflins) 7 kriterier (se s.18) för att
få kategoriseras som ”rika problem” ökade bara motivationen till att arbeta vidare på det
inslagna spåret.
Här har examensarbetet sin inriktning!
Rutinuppgift Standarduppgif
Textuppgift Benämnd uppgift
Vardagsuppgift
Problem
Rikt problem Annat problem
Uppgift
21
3.3 Kriterier och urval av undersökningsgrupp
I examensarbetets initialskede, var vår tanke, att med en komparativ studie göra en
undersökning på två olika skolor för att kunna se om resultaten av studien skilde sig åt. Men
som brukligt är vid c-uppsatsskrivningar, greppar man över för mycket och tvingas att smalna
av sina visioner och begränsa sig till något mer konkret, greppbart och genomförbart.
Därför bestämde vi oss för att göra vår studie på endast en skola och inrikta oss på att ha ett så
homogent elevunderlag som möjligt. Parametrar som vi inför vårt urval valde att ta hänsyn till
var: Elevernas…
- Ålder - Nivågruppering - Arbetslag - Tillgänglighet - Bortfall
Eftersom båda examensskribenterna har sin examensinriktning mot grundskolans senare del
föll det sig naturligt att inrikta studien och val av elever inom denna kategori. När vi tittade
närmare på vilken åldersinriktning vi ville utforska, tyckte vi att årskurs 7 var lämpligt
eftersom här inte finns några nivågrupperingar i samma utsträckning som i de senare åren. På
skolan arbetar eleverna med Matematikboken X (Undvall, Forsberg och Olofsson, 2003),
vilket innebär att samtliga elever i urvalsgruppen har samma matematikbok. Nästa parameter
vi ville ta hänsyn till var att eleverna som deltog i studien skulle ha någorlunda liknande
förutsättningar och arbetssätt, vilket vi närmade oss om vi höll oss till ett arbetslag.
Visserligen har eleverna olika lärare, men arbetslaget är väl sammansvetsat och arbetar
målinriktat tillsammans. Tillgängligheten och möjligheten att genomföra vår studie var en stor
fördel med vårt urval av elever. Eventuellt elevbortfall såg vi inte som något problem, då vi
valde att utföra vår studie på tre olika sjundeklasser.
Sammanfattningsvis kan nämnas att vi inte hade något slumpmässigt urval av elever och
därför inte med säkerhet kan säga att vår studie speglar alla andra skolor i Sverige.
Det totala elevantalet i vår urvalsgrupp var 68 elever, varav 56 elever deltog i vår studie och
utgör vårt dataunderlag för senare i arbetet presenterade resultat och analys. Det externa
bortfallet på 12 elever anser vi inte har någon större betydelse för utgången av vår
undersökning, eftersom de frånvarande eleverna inte har någon särskild anknytning till
varandra (Patel & Davidsson, 2003).
22
3.4 Upplägg, genomförande och forskningsetik
Innan vi kunde sätta igång med vår undersökning, fanns det ett par praktiska detaljer som
måste lösas. Kontakten med berörda lärare togs personligen och efter godkännande om deras
avsättning av lektionstid bestämdes tidpunkt för genomförandet. Informationsbrev (bilaga 5)
till föräldrarna åt de elever som skulle komma att ingå i undersökningen, delade respektive
ämneslärare ut veckan innan undersökningen. Vilket gav föräldrarna en möjlighet att avstyra
eller ställa frågor angående undersökningen.
Studien består av tre praktiska delmoment, elevernas pararbete, observation samt det
individuella elevarbetet. Den första delen av studien genomfördes en fredag förmiddag där två
klasser fick gruppera sig två och två. Eleverna fick själva bestämma vem de ville samarbeta
med, men uppmanades att arbeta pojke – flicka, i så kallade blandgrupper. De fick
instruktioner om vad undersökningen handlade om och hur de skulle agera om de körde fast
och inte kom vidare. Eleverna uppmanades då att hoppa över uppgiften för att sedan, om de
hade tid över, återgå till uppgiften. De hade 60 minuter till sitt förfogande och de
informerades samtidigt om att analysen av deras resultat skulle komma att utgöra underlag för
vårt examensarbete. Som ett delmoment i undersökningen, var att eleverna under sitt
arbetande med enkäten och frågorna skulle komma att bli observerade hur deras samarbete
fungerade.
I informationen till eleverna tog vi hänsyn till och förmedlade eleverna om deras anonymitet
enligt den forskningsetik som Humanistisk-samhällsvetenskapliga forskningsrådet uppmanar
till för att skydda urvalsgruppens anonymitet och integritet (Johansson & Svedner, 2006).
Det sista delmomentet, där eleverna individuellt skulle besvara enkätfrågorna, genomfördes
en tisdag eftermiddag. Samma tidsåtgång hade de till sitt förfogande och instruktionerna var
de samma. Dock fick vi väldigt många frågor sedan testet satt igång, så vi fick informera
eleverna om att det var ett enskilt arbete och var utformat som ett test, vilket föranledde att vi
inte kunde svara på några frågor under testets gång.
Eftersom observationsmomentet inriktade sig på hur elevernas samarbete fungerade, valde vi
att avstå från observationsmomentet i den individuella studien.
23
3.5 Enkätfrågorna och de skriftliga elevlösningarna
Enkäten består av två matematiskt rika problemlösningsuppgifter, det innebär att problemen
är nivågrupperade från a, b, c, och så vidare. Rikheten i problemen utgörs av att så många
elever som möjligt ska uppmuntras att ta del av problemen och finna någon lösningsstrategi
att bygga vidare på (Hagland, Hedrén och Taflin, 2005). Samtidigt skall de olika
svårighetsnivåerna utmana de duktigare eleverna till ett mer abstrakt och generaliserande
matematiskt tänkande. Valet av uppgifterna bottnar i vår bakgrund och syftesbeskrivning, där
vi klargör att den här typen av tal och mönsteruppgifter har en potential som tyvärr föga
utnyttjas inom skolans ramar.
Dessutom ville vi för ett relevant jämförande i vår studie ha information om genustillhörighet
och hur de valt att gruppera sig i den samarbetsbelagda delen av studien.
Den avslutande frågan som finns på formulären är en åsiktsfråga, där eleverna skulle
utvärdera studiens uppgifter i en flerskalig barometer, från tråkigt (1) till roligt (4). Risken
man löper vid en sådan attitydförfrågan är att majoriteten av svaren hamnar i mitten av den
givna skalan. Denna centraltendens kan dock kringgås. Därför valde vi det radikala sättet att
gradera med ett jämt antal svarsalternativ vilket innebar att vi undvek detta fenomen (Patel &
Davidsson, 2003).
3.6 Observation
Som ett komplement till våra enkätuppgifter och elevlösningar valde vi att observera
elevernas grupparbete. Vi valde en strukturerad observation (Patel & Davidsson, 2003), där vi
på förhand konstruerat vilka saker som skulle iakttagas.
Vi ville undersöka om det fanns några likheter i deras kommunikation och aktivitet vid arbetet
med uppgifterna i de olika grupperna. Totalt observerade vi sex elevgrupper. Varje elevgrupp
observerades i 10 minuter. För varje grupp som iakttogs hade vi färdiga observationsscheman
(se bilaga 6) som var identiska för alla grupperna. Under observationen deltog vi inte med
några kommentarer och hjälpte inte grupperna på något annat vis. Vilket medförde att vi fick
möjlighet att enbart koncentrera oss på våra observationspunkter. Därmed säkerställer man
också kvaliteten på observationen enligt (Bjørndal, 2005). Eleverna hade blivit informerade
24
om vad som skulle observeras, nämligen deras matematiska kommunikation vid lösningen av
uppgifterna.
Vi önskade ett så slumpmässigt urval av de utvalda observationsgrupperna som möjligt och
det menar vi att vi uppnådde då vi som observatörer inte hade någon förkunskap om elevernas
kunskapsnivå eller sociala kompetens, detta för att vi ville undvika den så kallade
centraltendensen. Centraltendens är något som observatörer ofta försöker eftersträva, där man
aktivt väljer att rikta in sig på ett slags medelvärde för att undvika ytterligheterna och därmed
ett missvisande resultat (Bjørndal). En viktig aspekt att beakta vid genomförande av
observationer, är perception och minne. Psykologerna M. E. Kolivosky och L. J. Taylor
(1977) sammansatte några goda skäl till varför vi skall inta en kritisk hållning till just
observationer. Vi nämner följande av dessa som extra väsentliga för vår undersökning.
• Människor ser det de vill se.
• Två personer ser inte en och samma situation på samma sätt.
• Människor uppfattar saker och ting utifrån sin tidigare erfarenhet.
• Människor tenderar att minnas det första och det sista i en serie av ting och händelser.
3.7 Undersökningens validitet och reliabilitet
I en undersökning av detta slag är det ett par faktorer som behöver beaktas, nämligen
undersökningens reliabilitet och validitet. Reliabiliteten är synonymt med tillförlitligheten i
undersökningsmetoderna. Hur noggrant mäter metoder som intervju, enkät och observation de
beteenden och uppfattningar som undersökningen önskar bringa vetskap om? Validitet är ett
uttryck som syftar på undersökningens förmåga att svara på frågeställningarna. Undersöker vi
det vi ämnade undersöka eller tror vi oss enbart göra det? Reliabilitet och validitet är två
faktorer som är beroende av varandra, vilket i sin tur medför att strävandet efter både hög
reliabilitet och validitet är ovillkorlig i alla typer av undersökningar (Patel & Davidsson,
2003). Patel och Davidsson nämner några tumregler för beroendeförhållandet mellan
reliabilitet och validitet. ”Låg reliabilitet ger låg validitet, hög reliabilitet är ingen garanti för
hög validitet och att fullständig reliabilitet är en förutsättning för fullständig validitet” (Patel
& Davidsson. s.9).
25
I arbetet med undersökningen granskades reliabiliteten i våra mätmetoder. Då vi undersökte
problemlösningsförmågan i olika elevkonstellationer, blev ett studium av skriftliga
elevlösningar ett självklart val. Tillförlitligheten i denna del av undersökningen blev en fråga
om rättvis bedömning och poängsättning av svaren. Vi (examensskribenterna) rättade först
elevernas lösningar var för sig, dock var poängsättningen förutbestämd. Därefter diskuterade
vi olikheterna i våra bedömningar av elevsvaren, innan vi samstämmigt gav de slutgiltiga
poängen. Detta borgade för en mer objektiv och rättvis bedömning. Förutsättningarna vid
genomförandet var de samma för alla elever, alla hade tillgång till samma materiel och löste
samma problemlösningsuppgifter. Enda skillnaden var att en del angrep problemen
individuellt, medan andra angrep det parvis i grupper. Omdömesfrågan eleverna svarade på i
samband med arbetet kring uppgifterna, var konstruerad så att eleverna tvingades att ta
ställning. Frågan var kortfattad och tydlig, vilket också det är en viktig faktor för att undvika
svarsbortfall och därmed öka reliabiliteten och sedermera även validiteten i undersökningen
(Johansson & Svedner, 2006).
Förutom ovanstående mätmetoder observerade vi elevernas grupparbete. Vi valde en
strukturerad observation där vi på förhand bestämde vilka faktorer i elevernas
tillvägagångssätt som var intressanta för undersökningen. Syftet med en strukturerad
observation var att observationen och tillika resultaten skulle bli rättvisa och jämförbara. Vi
nyttjade även färdiga observationsscheman där elevernas kommunikation antecknades under
arbetets gång. Det var även ett måste då vi var två observatörer, vilket kan föranleda följande
problematik. Två personer ser olika på företeelser och är även olika förberedda.
Uppmärksamheten skiftar även betydligt mellan observatörer (Björndahl, 2005). Då vi var
intresserade av hur olika elevgrupperingar samarbetar, valde vi slumpmässigt ut 6
elevgrupper. Givet att vi inte kände till elevernas kunskapsnivå blev underlaget således
representativt för skolan där undersökningen utfördes.
I alla undersökningsmetoder finns det svagheter, dessa svagheter riskerar att underminera
både reliabiliteten och validiteten om enbart en metod används. För att säkerställa den
samtidiga validiteten (Patel & Davidsson) ville vi införskaffa oss ytterligare ett instrument för
att jämföra våra resultat av undersökningen. Vilket föranledde en kombination av två
undersökningsmetoder i vår undersökning.
26
4 Resultat
I resultatbeskrivningen kommer vi att beskriva och presentera de resultat som är relevanta för
att följa upp och fånga våra frågeställningar. Med fokus på genus och olika
elevkonstellationer presenterar vi några diagram som förtydligar elevernas resultat och
olikheter i undersökningen. Eftersom vi jämfört individers och pargruppers
problemlösningsförmåga, blev vi tvungna att beräkna och ta hänsyn till den statistiska
sannolikheten för pargruppernas lösningsfrekvens. Detta gjorde vi med utgångspunkt i de
individuella elevlösningarna. Det är detta värde vi jämför med för att få en statistiskt korrekt
jämförelse. Vilket medför att pargruppernas reella lösningsfrekvens måste jämföras med den
beräknade sannolikheten för pargrupperna, innan en jämförelse med de individuella resultaten
kan förekomma.
4.1 Lösningsfrekvensen i de individuella elevsvaren
Om vi analyserar diagram 1 (sidan 29) och tittar på hur elevernas lösningsfrekvens utvecklas i
takt med att svårighetsgraden ökar, ser vi att i de första uppgifterna 1a och 1b hade samtliga
elever kommit igång med uppgiften och förstått problemet. Alla eleverna angav ett korrekt
svar på dessa två inledande uppgifter. Detta är ett uppmuntrande besked som också
överensstämmer med definitionen av vad som karakteriserar ett rikt problem enligt (Hagland,
Hedrén och Taflin, 2005). En hög lösningsfrekvens i initialskedet, uppmuntrar och motiverar
till vidare problemlösning. I uppgift 1c och 1d sjunker lösningsfrekvensen för eleverna som
arbetar individuellt till cirka 70 %. I den andra uppgiften som är av en annan karaktär, ställs
eleverna inför ett problem där de med hjälp av tändstickor skall bilda olika mönster. Här
inleder de individuella eleverna med en lösningsfrekvens på över 80 %. I uppgift 2b sjunker
lösningsfrekvensen till cirka 40 %. Denna avtagande lösningstendens håller i sig och för
uppgift 2c hamnar lösningsfrekvensen på cirka en femtedel. I uppgift 2d ökar
lösningsfrekvensen markant och här lyckas hälften av eleverna i ensamgruppen av att lösa
uppgiften. Den sista och svåraste uppgiften i vår undersökning (2e) lyckas ingen av eleverna
som arbetade individuellt av att lösa. Vid närmare granskning av elevsvaren noterades att
ingen av de individuella eleverna ens närmade sig en lösningsstrategi. Vilket var att ange en
generell formel för tändsticksmönstret.
27
4.2 Lösningsfrekvensen i samarbetsgrupperna
Liksom eleverna i ensamgruppen klarade alla elever i samarbetsgruppen av att lösa
uppgifterna 1a och 1b korrekt. I de följande uppgifterna sjönk även här lösningsfrekvensen i
samarbetsgruppen. Uppgift 1c klarade 18 av 21 pargrupper av att lösa vilket ger en reell
lösningsfrekvens på cirka 86 %, detta värde ligger en bit under den beräknade sannolikheten
för grupperna att lyckas med uppgiften. Den beräknade sannolikheten för uppgift 1c cirka 92
%, vilket ger att de individuellt arbetande eleverna här presterade ett något bättre resultat.
I nästa uppgift, uppgift 1d blev resultatet omvänt. Här löste 20 av 21 grupper uppgiften
korrekt, vilket ger en reell lösningsfrekvens på cirka 95 %. I denna uppgift var den beräknade
sannolikheten för rätt svar 92 %. Dessa skillnader i lösningsfrekvens i uppgift 1c och 1d är så
obetydliga, att de statistiskt sett inte räknas som skillnader. Mönstret i lösningsfrekvensen i
uppgift 1 var likartad för bägge grupperna, skillnaden i lösningsfrekvensen mellan grupperna
var obetydlig.
I uppgift 2 var skillnaden i lösningsfrekvensen mellan grupperna större än i uppgift 1. Här
inleder även samarbetsgruppen med en hög lösningsfrekvens. Uppgift 2a klarade 18 av 21 (86
%) grupper av att lösa korrekt, ett resultat som hamnade en bra bit under den beräknade
sannolikheten för pargrupperna (98 %) i denna uppgift. I uppgift 2b ökade lösningsfrekvensen
något, denna uppgift klarade 19 av 21 grupper av att lösa (90 %). Ett resultat som är klart
bättre än den beräknade sannolikheten (67 %). I uppgift 2c visade samarbetsgruppen en
nedgång i lösningsfrekvens, denna uppgift klarade 13 av 21 grupper lösa (62 %). Den
beräknade lösningsfrekvens i uppgift 2c var 38 % för pargrupperna. I uppgift 2d noterade
även samarbetsgruppen en uppgång i lösningsfrekvensen, 18 av 21 grupper löste även denna
uppgift korrekt (86 %) något bättre än den beräknade lösningsfrekvensen på 75 %. I den sista
uppgiften var det endast 3 av 21 grupper som kom fram till en korrekt lösning. Vilket ger en
lösningsfrekvens på cirka 14 %.
28
4.3 Jämförelse av lösningsfrekvens
I vår undersökning deltog 21 pargrupper, vilket ger att varje grupps resultat motsvarar cirka
5% av pargruppern. Detta medför att en skillnad på 5-10 % i lösningsfrekvens inte kan anses
orimlig i vår undersökning. Skillnader i lösningsfrekvens mellan grupperna som understiger
10 % i undersökningen, anser vi därmed inte vara signifikanta.
Resultaten vi redovisat visar gemensamma drag i lösningsfrekvensen för både individuella
elever och för de som samarbetade i pargrupper. I takt med att svårighetsgraden i uppgifterna
ökar sjunker lösningsfrekvensen (se diagram 1). Inledningsvis visar resultaten inga skillnader
i lösningsfrekvens mellan de individuella eleverna och pargrupperna. Det är i uppgift 1c som
en reell skillnad framträder, där de individuellt arbetande eleverna presterade något bättre.
I uppgift 1d blev resultatet det omvända, här presterade pargrupperna något bättre. Men som
tidigare nämnts är dessa skillnader i lösningsfrekvens obetydliga. Dessa skillnader blir
statistiskt sett obefintliga. Sammantaget visar resultatet av undersökningen inga större
skillnader i lösningsfrekvens, de individuella eleverna höll jämna steg med de pararbetande i
uppgift 1.
I vår andra uppgift däremot noterade vi skillnader i lösningsfrekvensen. Här inleder den
individuella gruppen klart bättre än samarbetsgruppen, samarbetsgruppens reella
lösningsfrekvens i uppgift 2a (86 %) hamnar rejält under den beräknade lösningsfrekvensen
(98 %). I de följande uppgifterna är det samarbetsgrupperna som visar ett klart bättre resultat.
Här uppvisar samarbetsgrupperna en lösningsfrekvens som i alla resterande uppgifter
överstiger de statistiskt korrekta värdena på lösningsfrekvensen för pargrupper. Uppgift 2b
blev den beräknade lösningsfrekvensen cirka 67 % och den reella lösningsfrekvensen blev
cirka 90 %. Uppgift 2c klarade 62 % av grupperna av att lösa, ställt mot en beräknad
lösningsfrekvens på cirka 38 %. I uppgift 2d höll trenden i sig och
samarbetsgruppens reella lösningsfrekvens på cirka 86 % översteg den beräknade
lösningsfrekvensen på 75 %. Den sista och svåraste uppgiften klarade inga av de individuellt
arbetande eleverna av att lösa. Vilket ger att den kalkylerade sannolikheten för ett korrekt svar
av grupperna blev 0 %. Tre pargrupper lyckades lösa denna uppgift. Två flickgrupper och en
pojkgrupp lämnade in korrekta lösningar på denna uppgift. Det vi generellt kan se i
undersökningen och som även går att utläsa i diagram 1, är att i takt med att svårigheten ökar
och går från matematiska grundberäkningar till ett mer abstrakt matematiskt tänkande minskar
29
lösningsfrekvensen mest bland de elever som arbetar individuellt. Denna skillnad framträder i
uppgift två, vilket kan utläsas i diagram 1.
Diagram 1
Stapeldiagrammet visar hur lösningsfrekvensen på de olika uppgifterna är fördelad mellan de
elever som arbetade individuellt samt de som arbetade parvis.
ELEVERNAS LÖSNINGSFREKVENS
0,0%
20,0%
40,0%
60,0%
80,0%
100,0%
120,0%
1a) 1b) 1c) 1d) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e)
FRÅGA
AN
DE
L R
ÄT
T S
VA
R
Individuellt Beräknad sannolikhet för pargrupperna att klara uppgiften Parvis
4.4 Hur påverkas resultatet av elevernas genuskonstellation?
Enligt tabell 1 tydliggörs elevernas medelpoäng och hur stor andel de olika konstellationerna
utgör av det totala elevurvalet. Ur ett genusperspektiv talar resultaten av undersökningen till
pojkarnas fördel, både individuellt och som grupp. Individuellt kan vi utläsa av vår statistik att
flickorna underpresterar gentemot pojkarna. Flickornas medelpoäng är 4,8 medan pojkarna
har 6,2. Skillnaderna är nästan de samma när vi jämför pojkgrupperna med flickgrupperna.
Pojkarna har i genomsnitt 8,2 poäng, medan flickorna har 7,3 poäng. Blandgrupperna, det vill
säga, grupperna som är sammansatta av en pojke och en flicka, är distanserade av de andra
pargrupperna. Dock kan man se att de generellt lyckats bättre än de elever som arbetade
individuellt, utan hänsyn till genus.
30
Tabell 1
Tabellen nedan visar andelsfördelningen samt hur medelpoängen är fördelad mellan de olika
undersökningsgrupperna. Maxipoängen i undersökningen är 9 poäng.
Medelpoäng Andel av urvalet
Flicka 4,8 14,3%
Pojke 6,2 10,7%
Flicka/Flicka 7,3 39,3%
Pojke/Pojke 8,2 21,4%
Flicka/Pojke 6,3 14,3%
4.5 Elevernas utvärdering av undersökningen/enkätfrågorna
Vi valde medvetet en fyrgradig omdömesskala (se bilaga 2) för att eleverna skulle tvingas att
ta ställning till uppgifterna. Enkätfrågor med svarsalternativ som innehåller en graderad skala,
kan leda till ett mittalternativ om man väljer ett udda antal alternativ. Detta kan i sin tur leda
till en neutral punkt, där de intervjuade slipper ta ställning. Denna centraltendens undviks om
man väljer ett jämnt antal svarsalternativ (Patel & Davidsson, 2003).
Om vi väljer att gruppera omdöme 1 och 2 och omdöme 3 och 4 och kategoriserar dessa som
negativ till uppgifterna samt positiv till uppgifterna. Då kan vi enligt diagram 2 (sidan 31) se
att fördelningen slår relativt lika mellan de olika omdömena. Vi kan se att cirka 4 av 10 elever
tycker att uppgifterna är ganska roliga, medan endast en tycker att de är roliga. Över två
tredjedelar av elevunderlaget representeras i de två mittersta omdömena. Andelen elever som
tycker att denna typ av uppgifter är tråkiga var 8 av 35, närmare en fjärdedel av
urvalsgruppen.
När vi studerade elevernas resultat på problemlösningsuppgifterna och jämförde detta med vår
omdömesfråga, noterade vi att de som lyckats mindre bra med uppgifterna också tyckte att
uppgifterna var tråkigare än de som lyckades väl. Samt att flickor i högre grad än pojkar
tycker att denna typ av uppgifter är tråkiga. En annan faktor vi kan utläsa ur vår undersökning
är att pargrupperna är mer positiva än de som arbetade enskilt. Dock med undantag av
blandgrupperna, där samtliga fyra gav sitt omdöme om uppgiften på den negativa halvan.
31
Diagram 2
Elevernas utvärdering av uppgifterna i en fyrgradig skala från tråkig till rolig.
UTVÄRDERING
8
11
15
1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Tråkiga 1 2 3 Roliga 4
OMDÖME
AN
TA
L E
LE
VE
R
32
5 Diskussion och analys
I följande avsnitt kommer vi att diskutera och analysera resultatet av undersökningen samt
presentera våra slutsatser av undersökningen. Detta gör vi med utgångspunkt i och fokus på
våra två frågeställningar, hur påverkar elevernas samarbete lösningsfrekvensen, samt vilka
skillnader resultatmässigt, kan man påvisa ur ett genusperspektiv? Eftersom alla elever i
undersökningen som gjorts, tillhör samma skola behöver vi inte beakta olikheter i
undervisningen, skolorna och i individernas bakgrund. Urvalsgruppen är i den bemärkelsen
homogen. Den enda skillnaden i förutsättningarna för eleverna i undersökningen, var att en
del fick angripa våra problemuppgifter individuellt och en del parvis. Det finns dock en risk
att skillnaderna på eleverna inom grupperna är större än skillnaderna mellan grupperna, vilket
kan påverka resultatet av elevernas lösningsfrekvens märkbart. Instruktionerna och tillgången
till hjälpmedel var för övrigt de samma till eleverna som deltog i undersökningen.
Ytterligare en parameter som är av betydelse i undersökningen är undersökningstillfället.
Gruppen som testades fredag förmiddag var betydligt mer positivt inställda till uppgifterna än
vad tisdagseleverna var. Detta är således också något som skulle kunna ge missvisande
resultat. Eftersom fredagseleverna testades parvis medan tisdagsgruppen blev individuellt
testade. Samtidigt påvisar det den komplexiteten av faktorer som kan påverka en
undersökning av detta slag.
För att säkerställa tillförlitligheten och därmed öka validiteten på vår undersökning avsåg vi
att komplettera vår studie med en observation av några elevgrupper, detta i ett försök att se
hur kommunikationen gestaltade sig och om den skilde sig åt mellan gruppmedlemmarna. Vi
var intresserade av faktorer som bidrog till att lösningsprocessen framskred eller faktorer som
rent av visade sig försvårande i deras samarbete. Datamaterialet vi samlade in i observationen
visade sig dock väldigt svårt att analysera. Dessutom utnyttjade vi inga tekniska hjälpmedel
som hjälpte oss att dokumentera elevernas kommunikation vid observationsmomentet, vilket
ytterligare försvårade sammanfattningen och analysen av observationen. Detta föranledde att
vi helt enkelt valde att bortse från observationen i vår analys, eftersom den inte framkom med
några relevanta fakta som gick att sammankoppla med våra frågeställningar. Naturligtvis
påverkar den misslyckade observationen reliabiliteten och validiteten på undersökningen
precis som vi tidigare nämnt och beskrivit i metodavsnittet, men det var ett medvetet val vi
gjorde när vi valde att avstå från det insamlade materialet. Vi anser dock fortfarande att vår
33
undersökning har en relativt hög reliabilitet eftersom den i stora delar visar på förhållanden
som överensstämmer med tidigare forskning som presenterats inom området.
5.1 Problemlösning - individuellt eller i grupp?
Som en röd tråd i vårt examensarbete löper frågan, hur påverkar grupparbete elevernas
resultat och kunskapsutveckling inom problemlösning?
Klarar eleverna av att lösa fler och svårare problemuppgifter i grupper än vad de klarar
individuellt? Vår undersökning indikerar på att elevernas lösningsfrekvens kan påverkas
positivt av grupparbete. Ingen av eleverna som arbetade individuellt med uppgifterna har
exempelvis lyckats med uppgift 2e (se bilaga 2). Vilket faktiskt tre av samarbetsgrupperna
lyckades med. Denna uppgift har en svårighetsgrad som vi menar att väldigt få 14-åringar
klarar av att lösa på egen hand. Vid en närmare granskning av elevsvaren, var det i en del fall,
en imponerande resultatbeskrivningar eleverna lämnade in på denna svåra uppgift.
Skillnaderna som lösningsfrekvensen (diagram 1) påvisar mellan de individuella och de
samarbetande eleverna indikerar att, eleverna som samarbetade klarade sig generellt bättre på
uppgifterna än de som arbetade individuellt. Även sedan vi tagit hänsyn till statistiska
sannolikheter för hur pargruppernas resultat är en följd av de individuella prestationerna,
visade det sig att pargrupperna resultatmässigt klarade sig bättre. Samarbetet och
kommunikationen mellan gruppmedlemmarna bör således enligt vår undersökning tilldelas
äran för det gynnsammare resultatet som samarbetsgrupperna uppvisade. I tre av uppgifterna
var skillnaden signifikant till pargruppernas fördel, där pargrupperna uppvisade en
lösningsfrekvens som var mer än 10 % bättre än den beräknade lösningsfrekvensen. Denna
signifikanta skillnad förekom i uppgift 2b, 2c och 2e.
Metodiken att undervisa i grupper förtydligas i de nationella styrdokumenten, där elever ska
lära sig att lyssna till och följa andras argument. De elever som bemästrar detta, berikar
samtidigt sin egen förståelse för den matematik som är inbäddad i problemuppgifterna som de
diskuterar (Lester & Lambdin, 2006). Genom att elevernas olika lösningsmetoder och
tankegångar diskuteras i klassen, blir de samtidigt tillgängliga för alla eleverna på ett mer
naturligt sätt. Givet att våra uppgifter tilldelades eleverna som ett test, gjorde att vi inte kunde
34
lyfta fram olika lösningsmetoders för- och nackdelar i helklass. Vilket är en viktig ingrediens i
den grupporienterade pedagogens undervisningsmetodik (Horne, i Clarke m.fl. 2004). Viktigt
att notera är att vårt utförande av elevtesten inte ligger helt i linje med undersökningens syfte,
nämligen att mäta samarbetets förtjänster i problemlösning. Men inom uppsatsens ramar fann
vi inget annat gångbart alternativ.
5.2 Genusaspekter utifrån elevresultaten
Det har forskats en hel del om skillnader i matematikförmågan hos elever. Sett ur ett rent
genusperspektiv har matematiken länge betraktats som en typiskt manlig domän (Brandell,
Nyström och Sundqvist, 2004). I vår undersökning visar resultaten att pojkarna i genomsnitt
presterade bättre än flickorna (se tabell 1). Killarna presterar klart bättre både individuellt och
gruppvis, jämfört med flickorna. Det som var glädjande och något förvånande i vår
undersökning var att bland dem som klarade uppgift 2e, den sista och svåraste uppgiften, var
två av tre, flickgrupper. Vi anser inte att matematikkunskaper är genusspecifika, så varför
denna skillnad i prestation och förmåga mellan könen förtydligas i vår undersökning, ligger
utanför vår studie. Det är dock värt att notera att även annan forskning och enskilda studier
visar på samma fenomen. Enligt utvald forskningslitteratur, kan man se att dessa skillnader
bottnar i en tradition där killar uppmuntras mer av både föräldrar och lärare att satsa på
matematik (Brandell, Nyström och Sundqvist). Detta var bara ett exempel på segregationen
mellan pojkar och flickor men det finns säkert fler faktorer som exempelvis mognad och
motivation som samverkar till denna genusuppdelning.
5.3 Elevkonstellationer i matematikundervisningen
Resultaten i undersökningen visar också att oavsett hur gruppkonstellationen såg ut, blev
resultaten bättre när eleverna fick arbeta parvis. Vilket presenteras i diagram 1.
I en rapport från skolverket, visar deras undersökning att nästan 40 procent av eleverna
uppger att de arbetar tillsammans med en kamrat i stort sett varje lektion. Medan arbete i
smågrupper om minst 3 elever var mycket sällsynt. Endast 3 procent av eleverna uppgav att
detta inträffade varje lektion (Skolverket, rapport nr 15, 1993).
35
Varför är det då så få matematiklärare som utnyttjar grupparbetets möjligheter? Är det så att
undervisningstraditionen styr och rädslan för ett annorlunda arbetssätt faktiskt hindrar
utvecklingen i matematikundervisningen? Eller grundar det sig i okunskap i hur man
undervisar till exempel problemlösning, i grupp? En synpunkt eller ett tillrättavisande man
ofta får när man nämner problemlösningens fördelar är att eleverna då går miste om andra
viktiga basfärdigheter (Boaler, 1993). Det är inte skribenternas avsikt att problemlösning i
grupp eller individuellt skall vara den enda undervisningsformen. Det vi menar är snarare att
den bör tilldelas ett större utrymme och en djupare innebörd. Problemlösning ska vara en del
av matematikundervisningen, fylld av variation, där även individuellt arbete är ett självklart
inslag. Vi menar att en matematikundervisning som framförallt sätter eleverna i fokus och
utgår från deras kunskaper, leder till ett trevligare och gynnsammare undervisningsklimat och
därmed också skapar möjligheter till en mer fördjupad matematisk förståelse.
5.4 Avslutande diskussion och analys
Problemlösning bör bli en viktigare del i matematikundervisningen och vi menar att
problemlösning har goda förtjänster med att utföras i smågrupper. Rika problem, leder oftast
till att eleverna blir mer flexibla i sitt matematiska tänkande och agerande. Det finns dock
ingen metodik som på egen hand lyckas motivera och inspirera eleverna till underverk. Det är
kombinationer och variationer av pedagogik och metodik som är grundstenen för ett bra
lärande. I genomförandet av vår undersökning uppmuntrades eleverna till att gruppera sig
pojke och flicka. Denna uppmuntran föll inte väl ut, endast åtta elever grupperade sig på
angivet vis. Majoriteten valde att arbeta med sin bänkkamrat, vilket oftast motsvarade en
kamrat av samma kön. Detta ledde till att majoriteten av grupperna blev genushomogena.
Eleverna valde således att arbeta med den klasskamrat de vanligtvis arbetar med och umgås
med. Hur detta påverkar kunskapsivern lämnar vi där hän, men det är sannolikt ytterligare en
faktor som påverkar resultatet i en undersökning som denna.
Enligt examensskribenterna, ligger problemlösningens styrka i att elevernas egna engagemang
till intressanta problem, ökar både intresset för matematiken och aktivitetsgraden under
lektionerna. Eleverna blir också mer delaktiga i sitt kunskapsbildande. Många svårigheter som
eleverna normalt ber läraren om hjälp med kan lösas inom gruppen. Detta menar vi att
resultatet i undersökningen styrker, eleverna i grupp klarade utan lärarehjälp flera avancerade
36
uppgifter. Läraren blir också mer lyhörd för elevernas olika strategier vid lösandet av
problemuppgifterna, vilket även berikar pedagogens vidareutveckling. Det är viktigt att
läraren och eleverna blir förtrogna med olika presentationsformer och lösningsmetoder av
samma begrepp i matematiken. Denna metodik möter även de olika inlärningsstilarna som
eleverna har (Gran, 1998).
En viktig faktor för att en lärare skall lyckas med undervisning i problemlösning, är stödet och
uppmuntran från kolleger och annan personal på skolan (Lester & Lambdin). Att undervisa i
problemlösning innebär ofta att man frångår den traditionella och trygga
undervisningsmetoden, vilket för många kan kännas obekvämt. Kanske därför att
matematikämnet är det ämne som är minst progressiv i införandet av nya undervisnings- och
bedömningsmetoder, jämfört med andra skolämnen.
5.5 Kan man med säkerhet slå hål på myten ”ensam är stark”?
När det gäller den här typen av rika problemlösningsuppgifter, visar vår undersökning att ett
samarbete mellan elever, oavsett genustillhörighet, är positivt för resultatet. Vi ser ganska
tydligt att i den svårare uppgiften, hamnar de individuella resultaten inte i närheten av
resultaten på de elever som valt att tillsammans lösa uppgifterna. Till och med när eleverna
inte själva väljer sin samarbetspartner, visar resultatet på en framgångsrik didaktik med högre
lösningsfrekvens för eleverna. Så, ja, vi vill med bestämdhet hävda utifrån vår undersökning,
att det vore positivt att se fler samarbetsövningar, som bygger på rika problem, i den svenska
skolan.
5.6 Förslag till vidare forskningsfrågor som växt fram under vårt
examensskrivande?
• Vi anser inte att matematikkunskaper är genusspecifika, så varför har flickor så svårt
att ta för sig och hävda sig gentemot pojkarna i matematikämnet?
• Hur påverkar det kunskapsutvecklingen att eleverna själva får välja sina medarbetare?
37
6 Referenser
Referenser i löptext samt referenslista är utformad enligt Backman (1998).
6.1 Litteratur referenser
Backman, J. (1998). Rapporter och uppsatser. Lund: Studentlitteratur.
Björk, L-E., & Borg, K., & Brolin, H. (1995). Matematik 2000. Naturvetenskapsprogrammet
kurs AB lärobok. Borås: Centraltryckeriet.
Björkqvist, O. (2001). Matematisk problemlösning, i Grevholm, Barbro (red.)(2001)
Matematikdidaktik, -ett nordiskt perspektiv. Lund: studentlitteratur
Bjørndal, Cato. R. P. (2005). Det värderande ögat. Observation, utvärdering och utveckling i
undervisning och handledning. Stockholm: Liber
Boaler, J. (1993). The role of contexts in mathematics classrooms. For the learning of
mathematics, 13(2), 12-17. In Wedege, T. (2007). Didaktisk forskning inom matematik.
Malmö; Lärarutbildningen.
Brandell, G, Nyström, Peter and Sundqvist, Christina (2004).Mathematics – a male domain.
Published by Topic Study Group 26, Gender and Mathematics Education. 10 th International
Congress on Mathematics Education. In Wedege, T. (2007). Didaktisk forskning inom
matematik. Malmö; Lärarutbildningen.
Clarke, B., & Clarke, D., & Emanuelsson, G., & Johansson, B., & Lambdin, D. V., & Lester,
F. K., & Wallby, A., & Wallby, K. (2004). International Perspectives on Learning and
Teaching Mathematics. Kungälv: Grafikerna Livrena AB.
Engström, A. (red). (1998). Matematik och reflektion. En introduktion till konstruktuvismen
inom matematikdidaktiken. Lund: Studentlitteratur.
Forsythe, D. R. (2006). Group dynamics. Belmont: Thomson Wadsworth.
Gran, B. (red). (1998). Matematik på elevens villkor, i förskola, grundskola och
gymnasieskola. Lund: Studentlitteratur.
Hagland, K., Hedrén, R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem, inspiration till
variation. Malmö: Elanders Berglings förlag AB.
Hannula, M., S. (2005). Shered cognitive intimacy and self-defence: two socio-emotional
processes in problem solving. Nordisk Matematikkdidaktikk, 10(1), 25-41. In Wedege, T.
(2007). Didaktisk forskning inom matematik. Malmö; Lärarutbildningen.
38
Johansson, B., & Svedner, P. O. (2006). Examensarbetet i lärarutbildningen.
Undersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala: Kunskapsföretaget.
Lerman, s. (2006). Att vara matematisk i klassrummet. In Boesen, J. et al. (red), Lära och
undervisa matematik, internationella perspektiv (s.95-108). Göteborg: Nationellt Centrum för
Matematikutbildning.
Lester, F. (1996). Problemlösningens natur, i Ahlström, R. Bergius, B. Emmanuelsson, G.
Emmanuelsson, L. Holmquist, M. Rydstedt, E. & Wallby, K. (red.), Matematik – ett
kommunikationsämne. Nämnaren TEMA. Göteborg: Nämnaren, Göteborgs universitet.
Lester, K. F. & Lambdin, D. V. (2006). Undervisa genom problemlösning. In Boesen, J. et al.
(red), Lära och undervisa matematik, internationella perspektiv (s.95-108). Göteborg:
Nationellt Centrum för Matematikutbildning.
Maltén, A. (1992). Grupputveckling inom skola och andra arbetsplatser. Lund:
Studentlitteratur.
Möllehed, E. (2001). Problemlösning i matematik. En studie av påverkansfaktorer i
årskursena 4-9. Malmö: Reprocentralen, Lärarutbildningen.
Patel, R., & Davidsson, B. (2003) Forskningsmetodikens grunder. Att planera, genomföra och
rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur.
Pehkonen, E. (2001). Lärares och elevers uppfattningar som en dold faktor i
matematikundervisningen. In Grevholm, Barbro (red.), Matematikdidaktik – ett nordiskt
perspektiv. (s.230 – 256). Lund: Studentlitteratur.
Riesbeck, E. (2000). Interaktion och problemlösning. Att kommunicera om och med
matematik. LINKÖPINGS UNIVERSITET. Linköping: Unitryck
Skolverket (1993). rapport nr 15, Matematik i åk 9, huvudrapport. Stockholm: Skolverket
Skolverket. (1994). Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet och de frivilliga
skolformerna. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. (1996). TIMSS rapport 114, svenska 13-åringars kunskaper i matematik och
naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Stockholm: Skolverket
Skolverket. (2000). Grundskolans kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Skolverket rapport nr 221.
Stockholm: Skolverket.
Undvall, L., & Olofsson, K. G., & Forsberg, S. (2003). Matematikboken X, för grundskolans
senare år. Örebro: db grafiska AB.
39
Bilagor
7.1 Bilaga 1, Frågeformulär, individuellt arbete, sida 1
Malmö högskola Examensarbete NMS – ht 07
TAL & MÖNSTER Uppgift 1) En talföljd börjar så här: 2, 4, 6, 8, … (hjälpmedel: miniräknare)
a) Vilket är nästa tal i denna talföljd? b) Vilket är det nionde talet i denna talföljd? c) Vilket är det 95:e talet i denna talföljd? d) Ser du något mönster? Förklara
Svar:
a) ___________________________ b) ___________________________ c) ___________________________ d) ___________________________
___________________________ ___________________________ ___________________________
___________________________ ___________________________ Plats för eventuella uträkningar: VÄND
40
7.2 Bilaga 2, Frågeformulär, individuellt arbete, sida 2
Uppgift 2) Med hjälp av vanliga tändstickor byggs följande figurer: (hjälpmedel: tändstickor, miniräknare) Figur 1 figur 2 figur 3
a) Hur många tändstickor behövs för att bygga nästa figur? b) Hur många tändstickor innehåller den nionde figuren? c) Hur många tändstickor innehåller den 32:e figuren? d) Ser du något mönster? Förklara e) Kan du på ett matematiskt språk sammanfatta din förklaring? (exempelvis med en formel)
Svar: Plats för eventuella uträkningar:
a) ___________________________ b) ___________________________ c) ___________________________ d) ___________________________
___________________________ ___________________________ ___________________________
___________________________ e) ___________________________ ____________________________________________________________I undersökningen kommer du att vara anonyma. Men för att få en tillförlitlig statistik behöver vi svar på följande frågor. Är du: Pojke Flicka Vad tyckte du om uppgifterna? (Ringa in en siffra) 1 2 3 4 Tråkiga Roliga Tack för er medverkan! Ola & Juri
41
7.3 Bilaga 3, Frågeformulär, pararbete, sida 1
Malmö högskola Examensarbete NMS – ht 07
TAL & MÖNSTER Uppgift 1) En talföljd börjar så här: 2, 4, 6, 8, … (hjälpmedel: miniräknare)
e) Vilket är nästa tal i denna talföljd? f) Vilket är det nionde talet i denna talföljd? g) Vilket är det 95:e talet i denna talföljd? h) Ser du/ni något mönster? Förklara
Svar:
e) ___________________________ f) ___________________________ g) ___________________________ h) ___________________________
___________________________ ___________________________ ___________________________
___________________________ Plats för eventuella uträkningar: VÄND
42
7.4 Bilaga 4, Frågeformulär, pararbete, sida 2
Uppgift 2) Med hjälp av vanliga tändstickor byggs följande figurer: (hjälpmedel: tändstickor, miniräknare) Figur 1 figur 2 figur 3
f) Hur många tändstickor behövs för att bygga nästa figur? g) Hur många tändstickor innehåller den nionde figuren? h) Hur många tändstickor innehåller den 32:e figuren? i) Ser du/ni något mönster? Förklara
Svar: Plats för eventuella uträkningar:
a) ___________________________ b) ___________________________ c) ___________________________ d) ___________________________
___________________________ ___________________________ ___________________________
___________________________ ___________________________ ____________________________________________________________I undersökningen kommer ni att vara anonyma. Men för att få en tillförlitlig statistik behöver vi svar på följande frågor. Tillhörde ni en: Pojkgrupp Flickgrupp Blandgrupp Vad tyckte du om uppgifterna? (Ringa in en siffra) 1 2 3 4 Tråkiga Roliga Tack för er medverkan! Ola & Juri
43
7.5 Bilaga 5, Föräldrarinformation och godkännande av undersökningen.
Hej föräldrar! Vi är två studenter på Lärarutbildningen vid Malmö högskola som håller på med vårt examensarbete. Vi undersöker hur olika gruppkonstellationer kontra individuellt arbete påverkar den matematiska lärandemiljön. Vår undersökning består av två räkneuppgifter samt en mindre observation av elevernas samarbete. Alla resultat kommer att behandlas anonymt. För att få lov att genomföra en studie av detta slag, har vi lagstadgad skyldighet att informera er. Om ni motsätter er undersökningen eller har några andra funderingar är ni välkomna att höra av er till: Ola Fyrhag, lärarkandidat Juri Himanen, lärarkandidat Ekenässkolan, Eslöv, arbetslag 2 Oxievångsskolan, Malmö Hem: 0413-19111 mobil: 0739-072346 Mobil: 0735-985063 Med vänlig hälsning Ola Fyrhag & Juri Himanen
44
7.6 Bilaga 6, observationsschema
Observationsschema
Klass: _____ Elev 1: P/F
Elev 2: P/F
45
Förkortningar av elevernas kommunikationsform: F = fråga Ff = följdfråga K = konstaterande O = oväsentliga utsagor I = ifrågasättande S = samförstånd U = uppmuntrande kommentarer