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IntroduçãoDinâmica do movimento

Equações completas do movimento

Revisão IDinâmica Movimento da Aeronave, aproximação de

Corpo Ŕıgido (6DoF)



Aplicação da 2a. Lei: resumoSistemas de referência

Introdução

CGxb

zb

yb

p

q

r




IntroduçãoAplicação da 2a. Lei: resumo

Como já foi visto:Considerando a aeronave como corpo ŕıgido,a Terra como referencial inercial, a diádicade inércia constante, a atmosfera parada(sem vento), e desconsiderando a variaçãode massa, a aplicação da 2a. Lei de Newtonresume-se portanto a:

δV0δt

=Fext

m− ω ×V0

e

δω

δt= J−1

(MextCM − ω × (Jω)

)xI yI

zI

Terra

CM

RR0

r

xB

zB

sistema de referência

do corpo (não inercial)

sistema de referência da Terra

(considerado inercial)

elemento

de massa




IntroduçãoSistemas de referência

As forças e momentos, bem como velocida-des e acelerações da aeronave estão escritosem diferentes sistemas de referência, em es-pecial:

I sistema de referência terrestre(considerado inercial)

I sistema de referência do corpo

I sistema de referência aerodinâmico

I sistema de referência propulsivo

Faça uma revisão das definições e das ma-trizes de transformação!

ybxb

zazb

ya

xa

CM

b

a

plano formadopor x e ya b

plano desimetria x zb b

V



Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)

Dinâmica do movimentoDinâmica de translação

Comecemos com a 2a. Lei aplicada à dinâmica de translação:

δV0δt

=Fext

m− ω ×V0

I soma das forças externas, no referencial do corpo:

Fext = Lba

−DY−L

+ Lbp T0

0

︸︷︷︸ FxFy

Fz

+Lbt

00mg





I vetor velocidade do CG, no referencial do corpo:

V0 =

uvw

Não se esqueça que:

V0 = Lba

V00

= uv

w

Dáı saem as relações entre as componentes u, v , w com V , α e β queveremos adiante.





I vetor velocidade de rotação da aeronave em relação ao referencial daTerra, escrito no referencial do corpo:

ω =

pqr

NOTA: o produto vetorial ω×V0 pode ser calculado pela produto matri-cial:

ω ×V0 =

0 −r qr 0 −p−q p 0

uvw

= qw − rv−pw + ru

pv − qu





A aplicação de:

δV0δt

=Fext

m− ω ×V0

resume-se portanto a: u̇v̇ẇ

= Fx/mFy/m

Fz/m

︸︷︷︸

aero + prop

+

−g sin θg cos θ sinφg cos θ cosφ

︸︷︷︸

gravidade

+

−qw + rvpw − ru−pv + qu

︸︷︷︸

rotação




Dinâmica do movimentoDinâmica de rotação

Passemos à aplicação da 2a. Lei à dinâmica de rotação:

δω

δt= J−1

(MextCM − ω × (Jω)

)I soma dos momentos externos, no referencial do corpo:

Mext = MA︸︷︷︸aero

+MF︸︷︷︸prop

=

LMN





Considerando simetria com relação ao plano que corta a aeronave vertical-mente na linha de referência da fuselagem:

J =

Jxx 0 −Jxz0 Jyy 0−Jxz 0 Jzz

,a solução algébrica leva a (veja próximo slide a obtenção usando MATLABsimbólico):

ṗq̇ṙ

=

−JzzL−JxzN+Jxz (−Jxx+Jyy−Jzz )pq+(J2xz+J2zz−JyyJzz )qr

J2xz−JxxJzzM+(Jzz−Jxx )pr+Jxz (r2−p2)

Jyy−JxzL−JxxN+(JxxJyy−J2xx−J

2xz )pq+Jxz (Jxx−Jyy+Jzz )qr

J2xz−JxxJzz





Usando MATLAB simbólico para calcular J−1 (MextCM − ω × (Jω)):syms p q r Jxx Jyy Jzz Jxz L M N

% angular velocity

om=[p;q;r];

% inertia diadic

J=[Jxx,0,-Jxz;0,Jyy,0;-Jxz,0,Jzz];

% total external moment

Mext=[L;M;N];

simplify((J^(-1))*(Mext-cross(om,J*om)))

Obtém-se como resposta:ans =

- (Jxz*(N + q*(Jxx*p - Jxz*r) - Jyy*p*q))/(Jxz^2 - Jxx*Jzz) - (Jzz*(L + q*(Jxz*p - Jzz*r) + Jyy*q*r))/(Jxz^2 -

Jxx*Jzz)

-(p*(Jxz*p - Jzz*r) - M + r*(Jxx*p - Jxz*r))/Jyy

- (Jxx*(N + q*(Jxx*p - Jxz*r) - Jyy*p*q))/(Jxz^2 - Jxx*Jzz) - (Jxz*(L + q*(Jxz*p - Jzz*r) + Jyy*q*r))/(Jxz^2 -

Jxx*Jzz)




Dinâmica do movimentoSistema de equações diferenciais

Chegamos ao seguinte sistema de equações diferenciais:

u̇ = Fx/m − g sin θ − qw + rvv̇ = Fy/m + g cos θ sinφ+ pw − ruẇ = Fz/m + g cos θ cosφ− pv + qu

ṗ =−JzzL− JxzN + Jxz (−Jxx + Jyy − Jzz ) pq +

(J 2xz + J

2zz − JyyJzz

)qr

J 2xz − JxxJzz

q̇ =M + (Jzz − Jxx ) pr + Jxz

(r2 − p2

)Jyy

ṙ =−JxzL− JxxN +

(JxxJyy − J 2xx − J 2xz

)pq + Jxz (Jxx − Jyy + Jzz ) qr

J 2xz − JxxJzz




Dinâmica do movimentoSistema de equações diferenciais

Para resolver esse sistema de equações diferencias é necessário conhecerainda:

I α, β e V : modelo aerodinâmico / modelo propulsivo

I altitude H : modelo aerodinâmico / modelo propulsivo

I θ e φ: entram diretamente nas equações




Dinâmica do movimentoCinemática de translação

Da cinemática de translação temos que:

dR0d t

= V0

Escrevendo-se os vetores no sistema terres-tre: ẋẏ

−Ḣ

= LTbt uv

w

onde, lembrando:

I Lbt é a matriz de transformaçãoI u, v e w são as componentes de V0

no sistema do corpo

xI yI

zI

Terra

CM

RR0

r

xB

zB





elemento

de massa




Dinâmica do movimentoCinemática de translação

No MATLAB simbólico:syms psi theta phi u v w real

% IRF to BRF

Lpsi=[cos(psi) sin(psi) 0;-sin(psi) cos(psi) 0;0 0 1];

Ltheta=[cos(theta) 0 -sin(theta);0 1 0;sin(theta) 0 cos(theta)];

Lphi=[1 0 0;0 cos(phi) sin(phi);0 -sin(phi) cos(phi)];

% transformation matrix

Lbt=Lphi*Ltheta*Lpsi;

% vector velocity, written on IRF

simplify(Lbt’*[u;v;w])

Em regime sem a presença de vento, x e ysão ignoráveis. A equação de Ḣ é:

Ḣ = u sin θ − v cos θ sinφ− w cosφ cos θ

xI yI

zI

Terra

CM

RR0

r

xB

zB





elemento

de massa




Dinâmica do movimentoCinemática de rotação

Da cinemática de rotação, temos no sistemado corpo (lembre-se que os ângulos de Eulernão estão definidos no sistema do corpo!):

φ̇00

+Lφ 0θ̇

0

+LφLθ 00ψ̇

= ω = pq

r

Logo (use o MATLAB simbólico por exem-plo):

φ̇ = p + tan θ(q sinφ+ r cosφ)

θ̇ = q cosφ− r sinφ

ψ̇ =q sinφ+ r cosφ

cos θ

CGxb

zb

yb

p

q

r




Dinâmica do movimentoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)

Da relação geométrica entre os sistemas ae-rodinâmico e do corpo:

V =√

u2 + v2 + w2

α = arctanw

u

β = arcsinv

V

Porém, por vezes é conveniente usar as equa-ções com as variáveis do segundo conjunto.Logo:

V̇ = (uu̇ + v v̇ + wẇ) /V

α̇ = (uẇ − wu̇) /(u2 + w2

)β̇ =

(V v̇ − vV̇

)/(V√

u2 + w2)

ybxb

zazb

ya

xa

CM

b

a

plano formadopor x e ya b

plano desimetria x zb b

V

u = V cosβ cosα

v = V sinβ

w = V cosβ sinα


Equações completas do movimentoDeterminação do equiĺıbrio


V̇ = (uu̇ + vv̇ + wẇ) /V


q̇ =M + (Jzz − Jxx ) pr + Jxz

(r2 − p2

)Jyy

α̇ = (uẇ − wu̇) /(u2 + w2

)Ḣ = u sin θ − v cos θ sinφ− w cosφ cos θ

β̇ =(V v̇ − vV̇

)/(V√

u2 + w2)

ṙ =−JxzL− JxxN +

(JxxJyy − J2xx − J2xz

)pq + Jxz (Jxx − Jyy + Jzz ) qr

J2xz − JxxJzzφ̇ = p + tan θ(q sinφ+ r cosφ)

ṗ =−JzzL− JxzN + Jxz (−Jxx + Jyy − Jzz ) pq +

(J2xz + J

2zz − JyyJzz

)qr

J2xz − JxxJzz




O sistema de equações diferenciais assim obtido pode ser integrado nume-ricamente, dados:

I condição inicial

I comandos

Vetor de estado, no sistema completo:

X = [ V̇ θ̇ q̇ α̇ Ḣ β̇ ṙ φ̇ ṗ ]T

5 variáveis longitudinais 4 variáveis látero-direcionais




Considerando-se apenas os controles primários:I 9 estadosI 4 controles

No equiĺıbrio:I taxas de variação nulas: p = q = r = 0I equações de θ̇ e φ̇ anulam-se identicamente, veja:


φ̇ = p + tan θ(q sinφ+ r cosφ)

Logo:I restam 7 equaçõesI 6 estados + 4 controles a serem determinados

Portanto, 3 grandezas precisam ser estipuladas a priori:

velocidade de voo (V ), altitude de voo (H ),ângulo de derrapagem (β,normalmente nulo)




Casos de exceção: voo de subida permanente

I neste caso, Ḣ /V é igual aogradiente de subida

I como a densidade varia, éválido somente nas redondezasda condição de operaçãoinformada

retirado de news.delta.com




Casos de exceção: curva permanente

I neste caso, ψ̇ = Ω é o gradiente de curva, e φ̇ = θ̇ = 0

I da relação entre as componentes da velocidade angular, 3 estadosficam estipulados:

pE = −Ω sin θEqE = Ω sinφE cos θE

rE = Ω cosφE cos θE

I 7 equações: 4 controles + 3 estados podem ser determinados

I 3 estados estipulados (V, H, e β = 0 para curva coordenada)

I NOTE: os comandos obtidos são para manter a condição de voo, enão para se chegar a ela!

IntroduçãoAplicação da 2a. Lei: resumoSistemas de referência

Dinâmica do movimentoDinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,,)

Equações completas do movimentoDeterminação do equilíbrio

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