Resposta da questão 1: [B] Calculando: AC 18 2 16

BC 15 3 1212 3tg BAC16 4

= − =

= − =

= =

Resposta da questão 2: [B] Concreto :

35 25 5m0 6 35y x 353

Asfalto :16 10m 16 0

y x 10

5 5 8x 10 x 35 x x 35 10 x 25 x 9,375 anos3 3 3

− −= =

−−

= +

−= =

−= +

−+ = + → + = − → = → =

Resposta da questão 3: [A] Como os pontos representam extremidades, a distância entre coordenadas representam o tamanho dos diâmetros, e assim, o dobro do raio. Assim temos:

2 2D (3 ( 1)) ( 5 3) 16 64 80= − − + − − = + =

E seu raio é de: 80Raio2

=

Dessa maneira, seu centro é dado pela metade da soma das entradas das coordenadas, ou seja:

( )1 2 1 2x x y y 1 3 3 5Centro ; ; 1; 12 2 2 2+ + − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Aplicando a equação das circunferências ao ponto do centro temos:

(x −a)2 + (y −b)2 = r2⇒ (x −1)2 + (y +1)2 = 802

#

$%%

&

'((

2

(x −1)2 + (y +1)2 = 20

Resposta da questão 4: [C] Considerando o contorno da letra R e a definição de simetria, segue que a alternativa correta é a [C]. Resposta da questão 5: [D] Utilizando as coordenadas e sabendo que a fórmula da distância entre dois pontos é dada por:

D = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2

D = (9−8)2 + (2−8)2

D = 1+ (−6)2 = 37

Resposta da questão 6: [A]

( )

2 2 2 2

2

2

2

0 0

x x 12x 16 2x 12x 16 0 x 6x 8 0

( 6) 4 1 8 36 32 4x 4

6 4x ou2 1

x 2

quando x 2 y x y 4

quando x 4 y x y 164 16y y m x x m m 62 4

y ( 16) 6 (x 4) y 6x 8

− = − + ⇒ − + = ⇒ − + =

Δ = − − ⋅ ⋅ = − ⇒ Δ =

=±

= ⇒⋅

=

= ⇒ = − ⇒ = −

= ⇒ = − ⇒ = −

− +− = − ⇒ = ⇒ = −

−− − = − ⋅ − ⇒ = − +

Resposta da questão 7: [D]

BB B

B

x 91 x 2 y, (5,10)

y 182 2=⎧+ +⎛ ⎞

= ⇔ ⋅⎜ ⎟ ⎨=⎝ ⎠ ⎩

Portanto, podemos concluir que B (9,18).= Resposta da questão 8: [A]

A reta 3y x 32

= + intersecta o eixo das abscissas no ponto

( 2, 0)− e o eixo das ordenadas no ponto (0, 3). Já a reta 3y x 34

= − + intersecta o eixo das abscissas no ponto

(4, 0) e o eixo das ordenadas no ponto (0, 3). Desse modo, a região cuja área queremos calcular corresponde ao triângulo de vértices ( 2, 0), (0, 3)− e (4, 0).

O resultado é dado por 1 (4 ( 2)) 3 9 u.a.2⋅ − − ⋅ =

Resposta da questão 9: [D] Desde que os pontos (0, 200000), (2, 240000) e 1(10, y ) estão alinhados, vem

0 2 10 0200000 240000 y1 200000

= 0

2y1+ 2000000− 400000− 2400000 = 0y1 =R$ 400.000,00.

Resposta da questão 10: [C] É fácil ver que a declividade da reta u é negativa. Ademais, claramente tem-se r t sa a a .< < Em consequência, pode-se afirmar que u r t sa a a a .< < < Resposta da questão 11: [B] A equação da reta é dada por

y −1= 3−15− (−2)

⋅ (x − (−2))

7y −7 = 2x + 42x −7y = −11.

Resposta da questão 12: [C]

r s s

4 10reta r : 4x 7y 10 0 y x7 7

reta s: y mx h4m m m7

4 10reta s: x7 7

4m7 m h 210h7

− + = ⇒ = +

= +

= − ⇒ = −

= − −

= −⇒ + = −

= −

Resposta da questão 13: [B]

( )( )( )

2 2

2 2

c

x y Dx Ey F 0M 3,3 9 9 3D 3E F 0 3D 3E F 18

N 2,8 4 64 2D 8E F 0 2D 8E F 68

O 6,0 36 6D F 0 F 36 6D

9D 3E 184D 8E 3272D 24E 144

60D 240 D 4 F 12 E 612D 24E 96

x y 4x 6y 12 04x 22

+ + + + =

− ⇒ + − + + = ⇒ − + + = −

⇒ + + + + = ⇒ + + = −

⇒ + + = ⇒ = − −

− + =⎧⎨− + = −⎩

− = −⎧⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −⎨

− + = −⎩

+ − − − =

−= =−

c

2 2

6y 32

R 2 3 ( 12) R 5Perímetro 2 R 2 3,14 5 31,4 cmπ

−= =−

= + − − ⇒ =

= = ⋅ ⋅ =

Resposta da questão 14: [E] A equação da reta AC pode ser escrita como:

m =40−010−0

= 4→ y = 4x

h = (x + 2) ⋅ (40− 4x)80

→ h = 120

⋅ −x2 +8x + 20( )xV = −

b2a

= −8−2

= 4

yV = hmáx =120

⋅ −42 +8 ⋅4+ 20( )→ hmáx =1,80m

Resposta da questão 15: [D]

( )2 21

2 2

12 6Centro , 6, 32 2C : x y 12x 6y 36 0

Raio ( 6) ( 3) 36 3

⎧ ⎛ ⎞= ⇒ − −⎜ ⎟⎪ − −⎝ ⎠+ + + + = ⇒ ⎨

⎪= − + − − =⎩

( )2 22

2 2

4 6Centro , 2,32 2C : x y 4x 6y 9 0

Raio (2) (3) 9 2

⎧ − −⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎪ − −⎝ ⎠+ − − + = ⇒ ⎨

⎪= + − =⎩

Onde: ( ) ( ) ( )2 21 2d C ,C 6 2 3 3 10= − − + − − =

Observe a ilustração:

Por semelhança de triângulos temos: 10 x x x 4

3 2−

= ⇒ =

Logo:

2 2 26 3 m m 3 3= + ⇒ = e 2 2 24 2 n n 2 3= + ⇒ =

Portanto: AB m n 3 3 2 3 5 3= + = + = Resposta da questão 16: [B] O centro da circunferência dada é dado por ( 2,1),− logo a circunferência pedida terá equação da forma

2 2 2(x 2) (y 1) R .+ + − = Sendo R a distância do ponto ( 2,1)− à reta de equação 4x 3y 20 0.+ − =

( )2 2

4 2 3 1 20 25R R 5.54 3

⋅ − + ⋅ −= ⇒ = =

+

Portanto, a equação pedida será dada por: 2 2(x 2) (y 1) 25+ + − =

Resposta da questão 17: [A] Sejam A e B, respectivamente, os centros de 1λ e 2.λ Logo, como A ( 2, 1)= − − e B (4, 3),= tem-se que a área do triângulo ABP é dada por

12⋅0 −2 4 052

−1 3 52

=12⋅ −6+10+5+ 4 = 13

2.

Resposta da questão 18: [C]

x2 + y2 − 4x − 4y +7,84 = 0

x2 − 4x + 4+ y2 − 4y + 4 = −7,84+8

(x − 2)2 + (y − 2)2 = 0,16

O relógio será representado por uma circunferência de centro (2,2) e raio 0,4.

Portanto, a altura h será dada por h = 2 – 0,4 = 1,60m.

Resposta da questão 19: [C]

Dada a escala de 1: 500 e sendo as coordenadas em centímetros, podemos concluir que cada centímetro na figura corresponde a 5 metros. Assim, queremos calcular o valor de 5 (d(A,B) d(B, C) d(C,D) d(D,E) d(E, A)).⋅ + + + + É fácil ver que d(A,B) 6cm,= d(C,D) 3cm,= d(D,E) 8cm= e d(E, A) 5cm.= Além disso, temos

2 2d(B, C) (9 7) (4 6) 8 2,8cm.= − + − = ≅ Portanto, o resultado é 5 (6 2,8 3 8 5) 124m.⋅ + + + + = Resposta da questão 20: [D] Seja a reta que passa por e Tem-se

que a equação de é

As abscissas de e correspondem às abscissas dos pontos de interseção de com a parábola

Logo,

Portanto, pelas Relações de Girard, a soma pedida é

Resposta da questão 21: [E] As abscissas dos pontos A e B são tais que f(x) = g(x)

x2 + x − 2 = 6− x

x2 + 2x −8 = 0(x − 2) ⋅ (x + 4) = 0⇔ xA = −4 e xB = 2.

Logo, Ay 6 ( 4) 10= − − = e By 6 2 4.= − = Portanto, a distância entre A e B é igual a

2 2( 4 2) (10 4) 6 2.− − + − = Resposta da questão 22: [C] Sabendo que a área do triângulo é igual a 36 unidades,

vem 12⋅ (k − 4) ⋅ (6−0) = 36⇔ k − 4 =12⇔ k =16.

Portanto, a equação da reta r é dada por 12y x 16 2x 16.6

= − + = − +

Resposta da questão 23: [C] Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no ponto médio do segmento 1 2FF , considere a figura.

Temos 1A ( 10, 0),= − 2A (10, 0),= 1B (0, 8),=

2B (0, 8),= − 1F ( c, 0)= − e 2F (0, c),= com c 0.> Logo, da relação fundamental da elipse, vem

B1F22=OF2

2+OB1

2⇔102 = c2 +82⇒ c = 6.

Portanto, a distância pedida é dada por 11− 6 = 5m. Resposta da questão 24: [E] A circunferência de equação 2 2x y 9+ = possui centro no ponto (0, 0) e raio igual a 3. A parábola de equação

2y x 1,= − − com x variando de 1− a 1, possui concavidade voltada para baixo e vértice no ponto (0, 1).− Portanto, a única alternativa possível é a alternativa [E]. Resposta da questão 25: [C] A região do plano definida por x 0,9, y 0,8≥ ≥ e x y 2 y x 2+ ≥ ⇔ ≥ − + está representada na alternativa [C]. Resposta da questão 26: [D] Seja y mt h= + a equação da reta que passa pelos pontos indicados na tabela. Como a reta passa pelo ponto (0,10000), é imediato que h 10000.= Além disso, como o ponto (5,8000) pertence à reta, vem 8000 m 5 10000 m 400.= ⋅ + ⇔ = − Portanto, y 10000 400t.= − Resposta da questão 27: [B] Sejam r ry m x h= + a equação da reta r. Do gráfico segue que rh 1.= Além disso, como r intersecta o eixo x no ponto de abscissa x 2,= − segue

que r r10 m ( 2) 1 m .2

= ⋅ − + ⇔ =

Por outro lado, como a reta s intersecta o eixo x em (3, 0), e o ângulo que ela forma com esse eixo é 45°, temos que sua equação é y 0 tg45 (x 3) y x 3.− = ° ⋅ − ⇔ = − As coordenadas do ponto I constituem a solução do sistema formado pelas equações de r e de s :

I

I

1 1 x 8y x 1 x 1 x 3.2 2

y 5y x 3 y x 3

== + + = −⇔ ⇔

== − = −

Portanto, a distância pedida é dada por 2 2 2 2(26 8) (29 5) 18 24 30km.− + − = + =

t A(0, 3) B(4, 0).

t x y 31 y x 3.4 3 4+ = ⇔ = − +

R St 2y x .=

2 23 3x x 3 x x 3 0.4 4

= − + ⇔ + − =

3 0,75.4

− = −

Resposta da questão 28: [B]

ca= 0,943⇔ c = 0,943a

a2 = 52 + c2

a2 = 25+ (0,943a)2

a2 = 25+0,889a2

0,111a2 = 25

a = 250,111

a = 50,3333…

a = 513

a =15.

A distância é 2a 2 15 30m.= ⋅ =