Commun. Math. Phys. 135, 517-530 (1991) Communications in Mathematical

Physics �9 Springer-Verlag 1991

Resonances dans I'Approximation de Born-Oppenheimer I I - Largeur des Resonances

Andr6 Martinez

Universit~ de Paris-Nord, D~partement de Math~matiques, Avenue J. B. Clement, F-93430 Villetaneuse, France

Received February 19, 1990; in revised form July 3, 1990

Abstract. This paper is devoted to the Schr6dinger operator P = - h 2 A x - A y + V(x, y) on R~, x R~ in the Born-Oppenheimer limit h ~ 0. We study the case where resonances appear due to a well of the second electronic level, so that there can exist transition points only in the complex domain. We then prove that the widths of these resonances are exponentially small as h tends to zero.

O. Introduction

On s'int6resse ~t nouveau ici h la situation d6j~ envisag6e dans [Ma2], et dans laquelle apparaissent des r6sonances pour l 'op6rateur

p = - h2Ax - Ay + V(x, y) = - h2Ax + Q(x),

2 n L ( ~ x ]RrP ). Tr6s bri~vement, les r6sonances qui nous int6ressent proviennent d'une localisation des noyaux due ~t l'existence d'un puits de potentiel pour le deuxi6me niveau 61ectronique 22(x) (i.e. la deuxi6me valeur propre de Q(x)). Le premier niveau 61ectronique 21(x) est suppos6 rester en-dessous de ce puits, et v6rifier une hypoth+se de viriel.

Sous une condition d'analyticit6 en x du potentiel V, on peut alors d6finir les r&onances de P d'une mani6re analogue ~t celle de [Ag-Co] comme &ant les valeurs propres d'un dilat6 complexe (en x) Po de P. On a montr6 dans [Ma2] l'existence de r&onances pour P pr6s du niveau du fond du puits de 22(x), ainsi que l'existence pour ces r6sonances de d6veloppements asymptotiques r6els en puissances de h 1/2 lorsque h tend vers z6ro. En particulier, la largeur de ces r6sonances est O(h~~

On se propose ici d'am61iorer ce dernier r6sultat, en &ablissant que ces r6sonances ont en fait une partie imaginaire O(e -c/h) avec c > 0. I1 s'agit 1A d'un r6sultat bien connu des physiciens, mais dont h notre connaissance aucune preuve rigoureuse n'avait 6t6 donn6e.

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La difficult6 provient du fait que, les niveaux 61ectroniques 21(x ) et 22(x) ne se rencontrant pas dans le r6el, leur interaction met n6cessairement en jeu des valeurs complexes de x, 6ventuellement tr~s 61oign6es du r6el. Bien entendu, il parait raisonnable de penser que ce sont pr6cis6ment les valeurs complexes de x v6rifiant 21(x)=22(x) qui vont donner-via une int6grale d'action-le meilleur taux de d6croissance pour la largeur des r+sonances (voir ~ ce propos [La-Li] Sect. 52). N6anmoins, leur ~loignement du r6el les rend, au moins sur le plan math6matique, assez difficiles d'acc+s (pour n > 2). Aussi on n'a pas cherch6 dans cet article obtenir le taux de dbcroissance optimal, mais plut6t ~ trouver un taux relativement facilement calculable ~t partir du potentiel et de 21(x), 22(x ).

Sans doute, une d6monstration alternative aurait 6t6 de montrer que les constructions formelles de [Ma2] peuvent en fait se faire dans la cat6gorie analytique, et conduisent donc h des erreurs exponentiellement petites. N6anmoins, le taux de d6croissance ainsi obtenu aurait certainement 6t+ difficilement reliable ~t des quantit6s simples attach6es h V, 21, et 2 2.

Bien que ce soit des in6galit6s de type Agmon qui jouent ici un r61e primordial, on n'6chappe cependant pas au calcul pseudo-diff6rentiel analytique: il nous permet, ~t partir de la d6croissance exponentielle des fonctions propres de Po sur le r6el, d'obtenir aussi une telle d6croissance dans le complexe (localement en x). Ceci donne en particulier une d6croissance exponentielle pour les 6tats r6sonnants de P (i.e. les solutions de Pu = pu ofa p e s t la r6sonance), et permet de conclure.

Dans [Ma2], on a appliqu6 la m6thode des projections de Feshbach pour 6tudier l'op6rateur dilat6 Po. Cette m&hode permet de se ramener ~ l'6tude d'une matrice 2 x 2 d'op6rateurs (non auto-adjointe) sur LZ(~xn), notre F ~ et dont le terme principal est le dilat6 de la matrice diagonale diag(-hZA + 21, - h Z A + 22). La strat6gie adopt6e iciest alors, dans un premier temps, d'obtenir des estimations

poids exponentiel de type Agmon sur F ~ ceci &ant rendu possible notamment par le fait que le dilat6 complexe de - h 2 A + 21 poss+de une partie imaginaire elliptique (de l'ordre de 101). Ces estimations conduisent ensuite h une d6croissance exponentielle des fonctions propres de F ~ qui induit ~t son tour une telle d6croissance pour les fonctions propres normalis6es de Po, du type e -~'2/h et limit6e ici ~t Ixl <<101 (en prenant comme origine le puits de 22). Comme il est dit plus haut, cette d6croissance peut se prolonger un peu dans le complexe par un calcul pseudo-diff+rentiel, et donne donc aussi (du fait que la dilatation laisse fixe l'origine) un comportement au plus gaussien pr6s de 0 pour les &ats r6sonnants de P. En fait, la technique utilis6e pour obtenir ce prolongement (et qui consiste essentielle- ment en une formule de repr6sentation Fourier-int6grale fi phase complexe) permet aussi de minorer la n o r m e L 2 de ces 6tats r6sonnants pour x proche de 0 et y ~ R v. On obtient ainsi un r6sultat de concentration facilement exploitable.

Au paragraphe 1, on rappelle les r6sultats de [Ma2], et on 6nonce le th6or6me. La paragraphe 2 est consacr6 aux in6galit6s de type Agmon, qui donnent la d6croissance exponentielles des fonctions propres de Po en dehors du puits. Cette d6croissance est ensuite 6tendue au domaine complexe dans le paragraphe 3. La preuve du th6or6me est ensuite facilement termin6e au paragraphe 4.

1. Hypoth6ses et r6sultats

On s'int6resse ~t l'op6rateur de Schr6dinger

P = - h2A~, - A r + V(x, y) = - h2Ax + Q(x)

Resonances dans l'Approximation de Born-Oppenheimer 519

s u r L2(~x n • FxyP), lorsque h ~ 0 , dans la situation d6j/t d6crite dans [Ma2] et que l'on rappelle ici: pour meC~ I-1, + 0o]) et 6 > 0, on note A(5, m) l'espace des fonctions holomorphes et bornees dans Dn= { x e ~ E " l [ I m x l < 2 ~ ( R e x ) } et & valeurs dans mL ~176 = {mf l f eL~176 (Ici, on a note ( R e x ) = (1 + IRe xl2)1/2).

On suppose que Vest r6el sur R ,+ I et que:

(HI) I1 existe meC~ [1; + o0[), 6o > 0, VleA(6o, 1), VzeA(6 o, m) et C > 0 tels que V = I"1 + V 2 e t VxeR":

1 V2(x,y)m(y) -1 > ~ et ]VyV2lm(y) -1 < C (p.p. sur RV).

On deduit de (HI) que les op6rateurs P et Q(x) de domaines respectifs:

D e = {ueH2(R"+V)lm(y)ueL2(R"+v)} ,

D o = {veH2(RV)lm(y)veL2(Rv)}

sont auto-adjoints sur L2(R "+v) (resp. L2(Rv)).

(n2) VxeR", #app(Q(x)) > 2.

En notant 21(x ) et 22(x ) les deux premieres valeurs propres de Q(x), on suppose aussi:

(H3) Sup21(x)<0, 22>0, lim 22(x)>0, 221(0)={0}, R- Ixl-~ oo

Infdist(22(x), tr(Q(x) ) \ { 22(x) } ) > O. Rn

Grace/ t (H3), et au fait que, grace/t (H1), Q(.) est analytique, on voit que 21 et 22 d6pendent analytiquement de x. On suppose, en outre que le puits de 22 est non d6g6n6r6 et que 21 v6rifie une condition de Viriel:

(H4) 2~(0) > 0, sup (221(x) + x.V21(x)) < O. Rn

En notant Uo l'op6rateur de dilatation en x:

Uo~o(x, y) = e"~ ~ y).

On a montr6 dans [Ma2] que Po= UoPU~ 1 se prolonge & 0 complexe (11m 01 < 5o), et que, pour Im 0 > 0, les valeurs propre de Po (i.e. les r6sonances de P) dans [0, Coh-1 + [ - e , 0] (Co>0 arbitraire, e > 0 assez petit) admettent des d6veloppements asymptotiques lorsque h ~ 0 du type:

pj(h),,~ ejh + ~ Ctj,k hl +k/2 k>_l

avec ~j,keP,. (cf. [Ma2] Th6oreme 1.1). En particulier, Im pj(h) = O(h~176 On se propose de montrer ici que l'on a en fait

Im pj(h)= O(e -c/h) avec c > 0. La constante c > 0 intervenant ici (mais qui n'est certainement pas optimale) s'estime ~t partir de V de la maniere suivante:

Comme dans [Ma2], notons u~(x, y) une fonction propre normalis6e de Q(x) o = u~(xe o, y), 2~(x) = 2s(xe~ associee/t la valeur propre 2s(x) (j = 1, 2), ainsi que u~

et 1"10 le projecteur sur L2(R "+p) d6fini par:

Hou ( u, ~ o ~ o = u l ) r u l + (u, u2)ru2

520 A. Martinez

o/t ( . , . ) r dTsigne le produit scalaire dans L2(~xP). On pose aussi 11o = 1 - H o.

On suppose d6s lors que 0~i]0, 8o[ vTrifie:

(H5) 3C~ > 0 et 0 < #1 < 62, tels que pour tout uEC~(Rn+P):

Re( Q(xe~ fIou, Hou) > 82 II Ho u [I z, et

(H6)

(H7)

1

Re e- 2o (Vxrlou ' V xfloflo u ) > ~ [I V x[Io u I[ 2 _ #1 ]1 flou II 2.

3C 2 > 0 et 63 > 0 tel que pour tout xERn:

imeEO21(xeO) < [0[ Reee2~176 - h a . C2'

641xl 2 <= Ree2~ 2~ ) <= 2641xl 2 pour Ixl ~ t01, avec b4 > O, et

61 = Inf dist((2~ ~ a(Q(xe~2 0)) \ { 22 �9 O(x)} ) > 0. R n

Remarque. D'apr6s [Ma2], (HS) fi (H7) sont v6rifi6es pour 0 assez petit. Posons M o = Sup {re(y) - 11V(x, Y) I; Ye Rp, xe~", ]Im x[ __< (3/2)60 ( Re x ) }. Par des in6galit6s de Canchy, on aura en particulier que pour tout aelq", Sup {m(y)-1 (x)1"110"V(x, y)[; y e R p, x ~ff;", l Im x] < 6 o (Re x)} est major6 par une constante ne d6pendant que de M o, ~ et 6 o. Notre r6sultat est alors:

Th6or6me 1.1. Sous les hypotheses (HI) fi (H4), et pour tout Oei]O, go[ v~rifiant (H5) d (H7), il existe une constante K o > 0 ne ddpendant que de n, Mo, #1, C1, C2, et 8j (O<j <__4), telle que les rdsonances pl(h), . . . , PNo(h) de P clans [0, Coh ] + i [ -~ , 0] v~rifient: 3K 1 > O,

]Im pj(h)] < g l e -I~176

uniformOment pour h > 0 assez petit.

Remarque 1.2. En fait, C1, #t et 82 peuvent ~tre choisis explicitement/t partir de Mo, 6o et 81. Le choix de 0 v6rifiant (H5) h (H7) peut alors ~tre pris en fonction uniquement de M o, C2, 8o, St, 83 et 84 (cf. [Ma2], preuve du Lemme 2.1).

Remarque 1.3. Bien que l'on ne pr6cise pas dans l'6nonc6 du th6or6me de quelle maniTre Ko d6pend de n, Mo, #1, C1, C2 et 8j, il est possible de tirer, de la preuve que l'on en donne, un choix explicite pour K o.

2. Estimations d'Agmon

Pour 0 v6rifiant (H5) et (H7), on a montr6 dans [Ma2] que l'6tude de Po se ram6ne /t celle de la famille d'op6rateurs de Feshbach:

VOz = ( ( Go(.uO), Uk)Y)l<j,k<2 sur L2(Rn)(~L2(~xn),

od ~ e r (l~l assez petit), G o = G0(2 ) = P o - P o ( P ' o - 2 ) - l I I o P o (off P'o d6signe la

Resonances dans l'Approximation de Born-Oppenheimer 521

restriction de f loP o ~ {u~L2Jff lou=u}) et ( . , . )y est le produit scalaire dans

Plus pr6cis6ment, on a alors:

)~ea(Po)~ 2ea(F~). (2.1)

Spit alors p une r6sonance de P dans [O, Co hI + i [ - e , 0 ] , et wo une fonction propre normalis6e de Po associSe h p. Grficc/t (2.1), on peut alors assoeier/t w o une fonction a~ (~ (;t~ L2(px n) normalis6e, telle que:

(FOp _ p ) (~ o ~2) = 0 (2.2)

Si l 'on pose alors

2 wo = Z (I -(P'o- P)-ifloPo)(~u~), (2.3)

j=1

il est facile de montrer ~t partir des r6sultats de [Ma2] Sect .3 (et notamment du fait que

xo(p)=(P'o-p)-lflo est O ( h - ~ ) d e n ~ ( R " , L Z ( R v) dans H~+~(R",L2(RP))

pour tout s) que l'on a:

I[W0[IL2,R-§ = 1 + O(h)

comme de plus Po~o = pv~0, on peut en fait prendre:

Wo = c(h)~o, (2.4) 06 c(h) = 1 + O(h) est une constante

On se propose maintenant d'~tablir une estimation d'Agmon sur ~t ~ et ~o, ce qui permettra ensuite (via (2.3) et (2.4)) d'en d~duire une estimation analogue pour W 0 �9

Dans toute la suite, on se donne une fonction q5 r6elle et lipschitzienne sur R".

Lemma 2.1. Vs~R, SC > 0 ne ddpendant que de M o, tip, 61, 62, s e t n tel que:

[] e r [ r i o , A x ] e- dp(x)/h II L(HS(R n, OQ), H s - l(•n, DQ)) ~ C (1 + h- 1 II V q~ II L~)

uniformdment pour h > 0 assez petit.

Preuve. [/70, dx] est une somme de termes du type <(.~), fl)rY ou <~k(.~), fl>rY, avecct, fi, ydans 0 ~ 0 ~ _ < j 2)). {u j, u s, a~ku i, ~ u j (1 < k < n, 1 <

Or il r6sulte du Lemme 2.1 de [Ma2] et de sa preuve que ces fonctions sont born~es dans L2(R~) uniform6ment en x, et admettent des bornes ne d&pendant que de Mo, 60, 61, 62. #

Posons comme pr6c~demment Xo = (P'o - P)- 1 flip

Lemme 2.2. VsER, il existe C > 0 ne ddpendant que de n, s, Mo, 60, 6~, 62, C1, et fll tel que:

l] e~(X)/h Xo e- r II L(~(F."; L2tRP)) <= C

1 uniform~ment pour h > 0 assez petit et [l V dp I[L~O <= -~.

522 A. Martinez

Preuve. Du fair que [Ho, e• = O, on a:

I ~ (e*/hfflo(Po -- p)fIoe-*/hu, [Iou )

= _ h2e-20(e4~/hAxe-e~/~fflou, ffl~[Iou ~ + ( (Q(xe ~ - p)fflou , f f lou)

---- h E e - 2 0 ( V~e - ~/h fflou, Vxe4'/h Fjo[-I O u ) q- ( (Q(xe o) - p)Flou, [-lou )

-- he- ZO ( V r fIou, V,,(_f-IgfIou ) + he- 2~ ( V r VxHou, ffl~fflou )

+ ( (Q(xe ~ - p)[Iou, [ Iou) ,

et donc, grfice/t (H5):

Re(I) > ~-lh2 t] V,:[-Zou [[ 2 + ( 6 2 __ f l l - - P)1] IIou ]12 + I' t : l

off

[I'l<=CIIVr avec C > 0

ne d6pendant que de M oet 61, 62, 60. D'ofi le r6sultat pour s = 0, puis pour s quelconque en reprenant la preuve de

[Ma2] Lemma 3.2. #

On en d6duit aussi en utilisant l'ellipticit6 du laplacien que

C' II e~/hXoe-rP/h [It~HS.n "+2) < ~ avec C' = C'(s, Mo, 60, 61,6 2, C 1, #1) > 0.

Reprenant les notations de [Ma2], on note maintenant

gV~ = ( - h2e - 2~ + 2 1 ( x e ~ h2e-2~ + 22(xe~

et R ~ o = Fp - ~ . On a alors:

Proposition 2.3. VseR, il existe C > 0 ne ddpendant que de n, s, Mo, t~o, 61, 62, C1 et lq tel que:

avec

?) R2~

e~'(x)/hR~ = RI + R 2

II R1 [lUHS~H~ I <= C(h 2 -t- h I[Vr IlL ~)

avec

[I Rlz II~ns, H s-l) + [I R21 I[~aS, n~- b < Ch 2

1 uniform~ment pour h > 0 assez petit et t] V r IIL~ < - .

= C

Preuve. D'apr6s les Lemmes o 2.1 et 2.2, et la forme explicite de R (cf. [Ma2] Sect. 3),

il ne reste plus qu'~ 6tudier les opbrateurs A j, k = er162 avec

Resonances dans l'Approximation de Born-Oppenheimer 523

j, k6(1 ,2 ) , k ~ j . On a:

.412 = -- h2 e - 20 e4~/h ( Axe-4'/h('U~ ), U~ ) r

hZe- zs ( Axu~ ' u~ ) r -- 2h2e- 20 / ~ . O "0 )re*/hVxe- ~/h - - X V x U l ~ 1,'l 2

2 - - 2 0 0 = - h e ((Axua,u~)r-2 (Vxu],u~)y)-Zh2e-2~176

et de m~me pour A2a, d'ofi comme pr&edemment le r&ultat voulu. # 0__ On s'int6resse main tenant ~ e ~ r h ~ e -*/h, et on note Pj - - h2e-2~ + 2j(xe ~)

(j--- 1 ou 2).

Lemme 2.4. Y u c C a ( R " )

Re e2~176 z e-~/hu, U)L~ = hZ II V~u II 2 + ~ [Re e2~ ~ - (Vd~)2]lul 2 dx dy.

Preuve. On ~crit:

eZ~ ( e4'/h p~ u )

= h 2 ( V ~ e - r V~e4'/hu) + e z~ ()72 u, u )

=h2[ lV~u[12- ( (V~)2u , u ) + 2ih~(Vc~)Im(f tVu)dxdy+e2~176 u ) . #

Lemme 2.5. II existe C > 0 ne d~pendant que de n, Mo, rio, C2, 63 tel que pour tout uEC~(F,~"), on a:

I(eg'/np~ e-O/hu, u ) l > c l O l ( l l h V ~ u l [ 2 + Il u ll 2) - 211V 4~ ll L~ ll u ll . ll h V ~u ll .

Preuve, Posons v = hV~u, ~ = ~(x) -~ [(Vq~) z - Re(e2a)q(xe~ 1/z et

/~ = /~(x) = 101- a/z( _ Im eZ~176 a/2.

En particulier, on a grfice ~t (H6):

0c(x) >_- [(V~b) 2 + 633 a/2

et/3(x) > C~ -~/2. On a aussi ~(x) < M o6 M est une constante ne d6pendant que de Mo et 6o. D 'aut re part, on peut 6crire:

eZ~176 , u ) = 1[ v 112 ~ 1[ ~tu 112 ~ i[Ol" [1 flu I12 + 2i Im(VO" v, u )

d'o~.

I ( e * t " e ] e-*/hu, u ) t >-- (11 v I1* + il ~u tl 4 + 1012 II/~u I1" - 2 ]1 v ]1 z II ~u II 2 ) ,~

- 2 1 ( V 4 , ' v , u ) l

le rr s'en d6duit, du fait que le cart6 du premier terme se minore par:

I Ivl l4+ 1 + I01 z []~ull4-2llvl[z[]~ul[ u> IOIZ vH44 2Mx/~z[l~

#

524 A. Martinez

Pour Ul, U2, Vl, vzeL2(Fxn), o n note:

['EUl (~ U2' /)1 1~/)2-]] = [(Ul' /)1 )L2I "q- [ ( U2'/)2 )L 21"

En combinant les r6sultats de la Proposition 2.3 et des Lemmes 2.4 et 2.5, on a finalement montr&

Proposition 2.6. II existe une constante C 3 > 0 ne ddpendant que de n, M o, 3 o, 3~, 32, 33, C1, C2, et #1 telle que, pour tout u l , u z~C~(R n) on a:

[ [e~lhF~e-~/h(ul ~ U2), ul 0 u2 ] ]

=2>1-h2 [V~u2112 + (C~[0I - IlVePllL~)(h211VxUlll 2+ Ilut II 2)

+ ~ [Re e2~176 2 - (VqS) 2 - C3 h2 - C3h II V~ IIL~-] I u212 dx dy

1 uniform~ment pour II V~ [IL~ --<c~ et h > 0 assez petit.

- o

< 101 En particulier, pour IIV~ I1,~ __-2~3' on obtient une in6galit6 que l'on peut

exploiter de la m~me mani6re que dans [He-Sj-] Sect. 1 et 2. Pour cela, notons do la distance d'Agmon associ6e fi la m6trique d6g6n6r6e Ree2~ 2, et consid6rons ~bo~C~(R ") telle que:

C~o(X)=�89 ) si Ree2~ 1012 = -4--J-~ '

C~o(X ) est constante dans {Ree2e2O(x)> 1012~ 101 2~32 j , et IIV~IIL~<=2C3 (2.5)

partout. (Ceci est possible grace fi (H7)). Alors, la Proposition (2.6) appliqu6e avec ~b = (1 - e)~b 0 et ul �9 u2 = ee~)/h(e ~ ~) c~) donne comme dans [He-Sj-] Sect. 2:

Ve > O, II d'~ @ ~o)Ilmt~-) = 0~(e'/h)

d'ofi l'on d6duit, ~t l'aide de (2.3), (2.4) et des Lemmes 2.1 et 2.2:

V~ > 0, II er176 [IHt(R.,L2(Rv)) = O~(et/h) �9 (2.6)

C'est cette estimation qui vanous permettre, dans la section suivante, d'obtenir une d6croissance exponentielle de wo sur e-~ (pr6s de 0), et done une d6croissance exponentielle de la fonction r6sonnante de P: U_owo.

Remarquons aussi, pour terminer cette section, que ~b 0 est analytique pr6s de 0 (cf. par exemple [He-Sj] Sect. 3). Dans la suite, on notera encore ~b0 un prolongement holomorphe de ~b 0 pr6s de 0.

3. Estimations dans le complexe

Si s est un ouvert born6 de II7, et ~p est une fonction continue et r6elle sur s on no te ra - par analogie avec les espace H~ de Sj6strand (cf. [S j ] ) - H~,(12, L2(Nv))

Resonances dans l'Approximation de Born-Oppenheimer 525

l'espace des fonctions w(x, h) qui sont holomorphes en x dans un voisinage de (pour tout h > 0 assez petit), fi valeurs dans L2(RP), et v6rifiant:

r e > 0 , ~C~>0 te lque [IW(x,h)[IL~(R~)<C~e(~(x)+~)/h pour tout h > 0 assez petit et pour tout x~12. (3.1)

Le r6sultat principal de cette section est alors:

Proposition 3.1. ll existe une constante C4 > 0 ne d~pendant que de n, Mo, C2, C3, 6~, telle que:

wo~ H_Re,~o(12o, L2(~P)) avec

<101~

Pour d6montrer cette proposition, on part de la formule bien connue suivante (cf. par exemple [Sj] ou [Le]):

V u ~ ' ( R " ) ,

u(x)=(2~r) -~ ~ ei(X-*'g-Ir162 (3.2) ~x2n

avec

i x ' ~ a ( x , ~ ) = l q 2141

i _ x,)2 N o t o n s ~o(x, x', z) = (x - x ' R + ~ ( x pour x , x ' E R n, z~S n-1

En appliquant la formule (3.2) avec u(x)= Z(x)(~0, ~ ) r off z~C~~ Z = 1 pros de 0, w0 = eeP~ et ~ ,~L2(~ p) quelconque, on obtient donc pour x assez voisin de 0:

(~o(X,'), ~ 5Y = (2~) -n j eilel~(x'x"e/lel)a( x - x ' , {)#0(x', y)~(y)z(x')dx' d{ dy. (3.3) ~3n

Commen~ons par montrer:

Lemme 3.2. 3C > 0 ne d~pendant que de n, Mo, C2, Ca, 34 tel que pour tout ~ > O, il existe C~ > 0 vdrifiant: VOeL2(NP), IL ~ []L~ = 1 on peut trouver un symbole:

1 dans / 2 x [ 2 ~ x S " - l x ] O , ~ ] (off d~pendant analytiquement de x, x', z, h[ ~ I

~ = { u ~ C n , l x , < ~ - } e t O R = ~ n N ' ) , ~ v a l e u r s d a n s ~ q , etv~rifiant:

(i) II b~ II L2(~P)----< C~ + ~J![O] -~ pour tout j _-> O. (ii) ]~[ - 2h - 2e -il r x',O- r o~tX',Y," hD ~, Dr) -- pXe il r + *o(x')/hb) = a(x -- x', z)t~(y) + r (oft tPo d~signe le transpos~ de Po), avec [[ r I[ ~.~(~p) _-< e-~q~ Ir (e' = e'(e) > 0 ind~pendant

526 A. Martinez

de ~k) uniform~ment pour h assez petit, et (x',x' ,z,~---~l) dans O x f2R x S"- l x

lo, l Preuve. On adapte celle du cas scalaire (cf. par exemple [Ro]). On ~crit:

I~1- 2h- 2e-i1r162 tp oeil ~l,p § e~o/h

= - 141 - 2e- 2~ il~l~ -4~o/hAx, eil~l~o + 4~o/h +1~1- 2h - 2Q(x'eO) = - I r 1 7 6 ilr176 -- iA~,4~o/hl~l)

-- 2il ~ 1-1 e - 2~ q~ - ivy, cko/hl ~ I)V~, + e - 2~ - iVx,r 4[) 2 + h-2t 4[-2Q(x'e~ (3.4)

1 Consid6rant 131 comme un grand param6tre, et x, z, h l~l comme des param~tres

suppl6mentaires, le terme principal de cet op6rateur est donn6 par:

a o = e - 2 ~ x , ~o - iVx, q~o/h I ~ I )2 " 4 - h - 21 r I - - 2 Q (x,e o) 1 1

et done, du fait que V~,tp = - - z + i ( x ' - - x ) , o n o b t i e n t p o u r x e l 2 , x ' e l 2 R e t < - : h l ~ l - e

e2~ = 1 + h-2l~1-2(e2~ ~ - - (Vx, (~o) 2) - - 2ih -114[- xVx'tP'V~'~bo + s

< 6 1 0 l f e n i m osant2101 < 1) . avec s = (x' - x) 2 - 2iz(x' - x), et done II s ]IL(L~(~)) = --~- \ P C =

Pour montrer que ao est uniform6ment inversible, notons pour ueL2(R p) O _ _ - O O ^ O _ _ H l u - <u,u 1 ) r u l , H 1 - 1 - H ~ , et commen~ons par examiner:

R e ( e2~ ffl~ u ) r = [I/?/~ II 2 + h-21~1-2 R e ( (e2OQ(x, e o) _ V,,(% )flO u, flO u )

+(s,B~176 264 1

avec sl = R e ( s - 2 i h - ~ l r q)V~,4)o) et done, grace /l (H7) et si C2 <~tC2;

cf. (2.5)):

464 , 3 ~ ~ ~2 I I s l I lw=)<310[+ Ix - x l ' l x ' I < + h_Zl~l_elx, le +O4(16)z[ 0 z = C ~

Grace/~ (H5), il est facile de voir que l 'on a aussi:

Re ( (e2~ e ~ - Vx,~b0)/l~ u, [ I~ u ) >= �89 [2 II / l~ II 2

et done, pour xeI2:

I( e2~ u, .f-l]u)r[ > ( 1 - - - -

Examinons maintenant:

3]0] 64 I I /~u l 2 . (3.5)

C

Im (e2~ l I ~ = ~ 2 I m eZ~176 ') [I IlOu [[ 2

Resonances duns l'Approximation de Born-Oppenheimer 527

D'o~, pour - -

+ 2h- ~1 r - ~(Im x - z)(V~, q~o)H~ u II 2 + < silo u,//~ u >

___( 10l 101 / +10cI) . 310l'~ C2h21r ~- C ~ - ~ 1 +--~-)lllI~ 2.

1 > 2C2, et C assez grand devant C2, C3: h i l l - C3

Im < e2~ u, H~u>r < - - -

1 2C~ D'autre part, pour < ~ , on a:

h i l l - C3

C2101 ii/./0ul12 (3.6)

/2C2"~2/_ 1012"X. Re<e2~ H~u>r > H/l~ttH2-~x-C~-3 ) ~,Mo +~33)llH~

2c2 101 ~ 3iol'~lln~ull2. 1

Quitte a augmenter C3 pour que Mo + ~ 3 ) < ~, on en d6duit en prenant

C assez grand devant C2, Ca (et avec (3.6)):

1011i//~ull 2 (3.7) I< e2~ Fl~ >rl > ~

uniform6ment pour x e t 2 , x ' e O R , ~ e l O , 1 l , h > O assez petit, d'ofi finalement, nlgl J eJ

avec (3.5), et quitte ~t augmenter encore un peu C:

101 I<aoU, U>rl ~ - I I u I1~.

On a donc le r6sultat essentiel:

C (3.8)

1717 uniform6ment pour xel2 ,x 'e~R, ,~_ ~ / 0 , ~ ] , h assez petit.

nlr J ~J

Remarquant aussi que ~ O = 0 est d'ordre - 1, il est alors classique

de construire terme /t terme le symbole analytique b (en commen~ant par b o = a o 1(aft)).

Le fait que les bj v6rifient les estimations (i) se voit par r6currence sur j, et en utilisant la fomule de Leibniz pour estimer [19~,b~l[r,~eRq" par C~t +J+ ~(j + I~I)!I01 -t~I-j (On utilise aussi le fait que ao est analytique en x', et v6rifie: II (~, ao)ao ~ [I qL~) < CI~I+I~I~

528 A. Martinez

On ressomme ensuite ce symbole formel en posant:

b = ~ b~lr -~ j<- Ir

avec C ' > 0 assez grand, ce qui donne aussi l'estimation sur II r [IL2~Rp) (of, [Sj] Sect. 1).

Pour terminer la preuve de la Proposition 3.1, on 6crit (3.3) sous la forme:

(ko(x , ' ) ,~b)y= ~ + ~ = I ~ + I 2 . I~l<-_~lh Ir

Pour estimer I2, on utilise le Lemme 3.2 qui donne, du fait que (Po- p)wo = 0:

I2=(2n)-" ~ ei"l~~ 1 ( ~ h~l, ,~,,y)~o(x',y)x(x')dx'd~dy i~l>__~/h h2l~l 2r x ' x " l ~ I'

1 + ( 2~)-n S e ilr176 b[Po, X]wodx' d~ dy (3.9) I~1 >__e/h h21r l z

1 et donc, en utilisant (2.6) ainsi que l'estimation sur II r II r et le fait que Im ~0 > -

C avec C > 0 sur le support de [P, X], on obtient:

1121 =< e- ~o/h

avec e o > 0, uniform6ment pour x~g2,h > 0 assez petit, et ~k~L2(~P), II ~0 IIr-- 1.

<s D'autre part, sur Ill = h on a pour x~O:

- I m ~o(x,x' , l~l) ' l~[ = - ~ ' I m x + � 8 9

avec C'= 1 + 101 et donc, en utilisant ~t nouveau l'estimation (2.6): 2C'

IIl1 < C"e c't/h

uniform6ment pour x~12, h > 0 assez petit, II qJ II Y = 1 Prenant ensuite le Sup sur t o u s l e s ~k~L2(RP), IIq~ll = 1, on obtient donc

finalement pour tout e > 0:

[1 wo( x, ")I1 r < C~ e~/h (3.10)

uniform6ment pour h > 0 assez petit et x~2 . Ceci est bien l'estimation demand6e, et le fait que #0 (doric aussi wo) est

holomorphe dans 12 ~ valeurs dans L2(R p) se voit de m~me, en remarquant que les int6grales 11 et I z (mise sous la forme (3.9)) sont absolument convergentes, et que les int6grandes sont holomorphes en x.

4. Fin de preuve du th6or6me

= iol D'apr~s l'estimation (2.6), et avec W [ x ~ R " ' Ix[ < 2C44J On a:

II Wo ]l z2(w • ~p) > 1 - Kle -~lh (4.1)

Resonances duns l 'Approximat ion de B o r n - O p p e n h e i m e r 529

1 pour h > 0 assez petit, avec K 1 > 0 et el = - Inf Re q~o(x) > 0.

2 R-\w D'au t r e part , si l 'on pose:

w = U - o w o = w d x e -~ y)

on a alors (P - p)w = 0 par tout , et d 'apr6s la Propos i t ion 3.1, w e s t ho lomorphe en x d a n s O0/t valeurs duns L2(RP).

O n peut doric 6crire, en utilisant le caract~re formellement auto-adjo in t de P et la formule de Green:

Impl [ w I[ L~w2 • Rp) = I m ( P w , w ) w • - h 2 I ffOWds-- (4.2) ale • R p ~V

off v d6signe la normale unitaire ext6rieure de OW, et ds sa mesure de surface. A l 'aide de la Propos i t ion 3.1 (avec e assez petit), on en d6duit:

I l m p l < Ilwl1-2 = n" • R P K 2 e - e l / h (4.3)

Off K 2 > 0. I1 reste donc h estimer [I -1 w 11 w • rlp. Pou r cela, on 6crit (avec ~b~L2(RP), 11 ~k I[ = 1,

et e > 0 arbitraire):

(wo(x),~>~ = (2rt)-" ~ e,X- x'~-I~lt~- ~'~2/2a( x _ x', ~) (wo(x ' ) , ~' > rZ(x ' )dx ' d~ + r~(x, h),

Ir < e/h (4.4)

off, pour la m~me raison que duns la preuve de la Propos i t ion 3.1, on a:

Sup Ir~(x, h)l < e -~'lh x ~ KJ0

avec e' > 0, et uni form6ment par r appor t h ~b et h > 0 assez petit. Maintenant , dans l ' int6grale qui appara i t duns le membre de droite de (4.4),

on fait le changement de con tour en x' suivant:

F : x ' ---} Xo(x ' )e-~ ' + (1 - Xo(x'))x'

o f i z o ~ C ~ ( l x ' [ < ] ~ l ) ;(0(x')= 1 pour 101 Ix'l<

' = 2C4" \ ~ t , l - /

(On suppose aussi que la fonction ;( appara issant darts (4.4) est telle que Supp Zo c {;~ = 1}).

D 'apr6s la Propos i t ion 3.1, la r6gion de t roncature de X0 est alors incluse duns la zone de d6croissance exponentiel le de w o, et on obtient ~ l 'aide de ce nouveau contour :

(wo(x) , ~ ) r = (2rc)-"e- ~0 5 ei(x - e- Ox')r -Ir - x" e - o)2/2 a( x _ x ' e - o) Ir _-< e/h

Ix'l <lOI/2C4

�9 (w(x ' ) , ~ >rdx' de + r'~(x, h) (4.5)

avec It'll <--_e-e"/h(e," > 0 ) uniform6ment par r appo r t /t xeJ'ao, h > O assez petit, II~llr= 1.

En p renan t le Sup sur ~k dans (4.5), on obt ient donc pour x~12o, et pour

530 A. Martinez

tout e > 0 :

II Wo(X)II r < C~ e*/h II w [I w • Rp + e-~"~*)/h

avec C~ > 0 et e"(e) > 0. A l'aide de (4.1), on en d6duit:

1 - ~ / h V e > 0 , 3 C ~ > 0 tel que Ilwllw• .

C,

Cette derni~re est imation ainsi que (4.3) permettent finalement de conclure, en remarquant aussi que:

cko(x) > ~ t O I Inf Re 2

die

off C ne d6pend que de C, et 6 4.

References

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Communicated by B. Simon