resistencia de materiales- timoshenko- 1º parte

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S. TIMOSHENKPB0080..& DX .HBc..L.... u.:-"" ll.t: LA UIlIV.&RalDAD Dii S"l.A.N IOBD

RESISTENCIADE MATERIALES

PRIMERA PARTE

TEORA ELEMENTAL Y PROBLE:MAS

TOMS DELGADO PREZ DE ALBA

ESPASA-CALPE,S. A.MADRID1 9 5 7

NOTACIONES

(l., a., a, F..tlgas normal" ligadas .. pl..no. perpendicu'"reBal eje 2', 11, t:.

a. F..tig" normal ligada " UD plano perpenrliouiar ~ladireccin n~

"FI Fatiga normal en el pun to de fiuencia."l Fatiga normal de trabajo.

~ Fatiga cortante.1'.." 'tv,rl 1'UI Fatigas cortantes para.lelas a 10B ejes Vt Z, X', y

llgadas a plano. perpondionl"""",, a toa ejeo x, y, Z.~I Fatiga oortante de trabajo.

~ Alargamiento totlL1, fieoba. total.~ Aiargamente unitario.

.E:,l:l e:~ I tI AJargamiento unitario en las direociones x. y, z.y Distorsin unitaria. peso por unidad de volumen.E Mdulo de elasticidad en traocin y COIDl'reain.G Mdulo de el...ticidad por cortadura.'" R

@~e((eeeG)(e(eeoe(5!l'e

2'9261

o@'))))

Ge.~

xV

335

3353383WMI

343

285211928'2!l9302

3133243,2

3.9

2M2M260262263269274274218

r!Jlllu

fNDICE

CI p' ~iII'(I.~=ToRSIN y l'L1tXTti O('l)!E-OfADA OO~ TORSIN ,

58. Torsin de un el'e oirc.ular.............. - , .69" TQrs~6n de rbo es hucoos.. , , .60: Torsi6n da. ejes de- S6Cc:iJ; .rectangular.. - _ .61 Resorte heUc:oida.l d6 e-splI'aB C6l'ra~a.-s .: ........ - .6.2:: Flexin y torai6n oombinadas en eJ es Circulares. , ..

X.--ENER[JjA, DE DEFO:BJrAOIN ~ :. , e3. Energia elst-iC:80 de de-forolMi-6n en la tTaOOln .....M Fl!l.tigas. produeidaB por ch(] que ........ 'd' f' . ,.66: En&l'gfa. aliUtiea de 1~_e.formaei6nen los.

1JUstBTllli!(I'U :01. lIu:r.iEJ ... .u:!" - T. 1

CAPTULO PRUlEROTRACCIN y COMPRESIN

POR DEBAJO DEL LfMITE DE ELASTICIDAD

RESISTENCIA DE MATERIALES

PRIMERA PARTE

I. Elasticidad. --Buponemos que un cuerpo est formad opor particula.s peqlJeas o. molculas entre las cuales acta.n

fuerzaJ3~ Esta.q fuena.s moleculare~ se oponen a cambios de forma del cuerpo cuando sobra l actan fuerza.a exteriore,.

S un aatema. ext.erior de fuerzas Ele aplica. al cuerpo ~ BUS pa:tfculM se desplazan y esto8 deBplazamientos routuos continanh...ta que se e.tablece equilibrio eubT el .istema exterior defuer.z-as y 1808 fuerzaa inte-riore.s.

&> dice en este caso que el cuerpo eet en estado

))

jQ;

s

(1)

TRACCIN Y COM P1


a;E: =_J

E

5TE ACCIN Y ca MPRESiN

Problemas

1. D-rt.ennifla-r el n.lnrga-mi-ento to!al de una bs:rra clol3 acero de00 cm. de ]I)ngitud ei la ~a-tiga da e~tens~~n e.e igual a 1.000 kgfe-m.:L.

S(IIlouoin: C" -:.- ~," , :1.000

3 = E X ,= 2 X ] O"" X 60 =iJ.,.3 mm.

2 D I 'r l fue ......" I..o~~! de flxtcnsj 611 de una vRTLlla ci lrn e -'E!Tn:llna "" ,~.... . . d.rica de acero de 2 cm. de dirnetro f>i ~l aJargF.LmientQ ~ t.o.TJO 00 Iguala 0,7 X 10-1.

Solucin-: I....a. fatiga de extensin on 18 b6-rr6-~ deducida. dela. e~ua~oin (4), e.

-lJ = :t' E = 0,7 X lO-s x 2 X 10' = 1~4 X lO'! kg/om.~

TABLA T

PROPIEDADZS MEC N"IC'AS DE l.OS J.rATII:RIAT~ES

l Uaciones (1) a (4) pueden u.arso tambien en el ""SO....'lS ee . Jd mpl'esi n de baua.s prisrn -tiC'a~'i. Ent--onces 8 representa aeco d r .. 't' dcontracoi6n longitudinal t-otal, :e: la e"ormaClon um ana :~:

'u V a la fat,'na de compresi6n. El mdulo de elaet,-coropresl ~ ""' cidad para compresin es en muchos. ron-terIales. 19ual Etl de extensin. . l

En lo. clculo., las fat,igas y deformaciones de ex ten .1On asconaiderarelO.os _lmsiti vas y las de compresin negat.iVaf!'.

"

i H Punt.() ole. ncellJcia- IfdJp d& .rO'tlrilMlII.eTlll.ie~ lKg,f-cm,J (Xg.,=.J) CKg.'(lm.L)

~-

Acero al cm-oGno, de0,16 a 0,2[; 1'''' (JU

2 X 10'-2,8 x JO' J.~ X lOskf5 x 1~de carbono ...... 2 X 10'Acero al nfquel. ele 3 El-

3,.5 por 100 tia niM X W'-7 X JO'que1 ........... ~ ... 2xlO' 2,8 X 10'-3.5 X lO'

Dura111miniQ- ...... 7 X 10' 2,4 X 10'3,1 X 10' 3,8 X 10'-4,5x 10'Cobre .... , ...... 1,1 X l()4 - 2 X lOs2,S x Ju3Vidrio, ........ 7 X JO' - 250, .

Mad-er.f\.~ .. , ...... 1 X JO' - GO-J.4(H)HOlmjgR 8 -f.:lllllpre-

2Ul6in. , .. ~ ....... 2~:B-x li)1i -,

(2)

(3)

l'u=

AE.ta fue",a por unidad de rea se lIam.. fatiga o ...rue",,,,,,

En &dela.nteJ las fuerz.a..s las mediremos en kilogramOB~ las rea.sen cm.' y las fatig... en kg.cm.' El ..Iargamiento de la barrapor unidad de longitud se determ ina. por lElo ecuacin

8oE:=-

1

,obre laa partculas de la parte inferor. E,tas fue"as estA n di.-tribudas de mod o continuo sobm la secci6n recta. Un ej emplocorrjente de distribucin continua de fuerzaa 80 bre una super-ficie es el de una prea6n bidrost(ica o el de la p....i6n de un,,"apor. En estas distribuciones. continuas de fuerza. la intens.ida.dde la fuen.. por unidad de rea es de 1.. mayor importancia.En nuestro caso, como las fibras tienen el m18mo alargamienoo

r

In. distribucn de fuerzas sobre la. seccin recta mn ser. uni-forme.

La 8Wl1" de estaa fuerzas para. cumplir 1.... condicione. deequilibrio -fig. 1 (b)-- de be .er igual ..P. La fuerza por unidadde seccin recta valdr:

.Y se denom ina.. deform ELci6n untaria.Usando las relacione.;; (2) Y (3), la ley de llooke puede re.

presentarse de la forma siguiente:

y el alargamiento unitario se calcula de este modo fcilmenteen funcin de Ia fatiga y del mdulo de elasticidad del mate.tial. El alargamiento uni tario c: es un nmero abstracto, puest-oque mide la relacin por cociente de dos longitude.;;, ecuacin (3);8e deduce, por tanto, de la ecuacin (4) que el mdulo de el....-ticidad se m.ide en las mismas unidades que la fatjga, es decir,en kg.em.' En la tabla 1 8e indican valorea de E para distintosmateria-l~ :J.

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(('(ee

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1,

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L.J,L

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Ge.,

a

De

(b)

FIG.2

'l'IUOOIN y COMPRESIN

:l Para e.s:L.ahlecer es!o limite mediante ensayos ea necessrio E"m.~loo.r extensmetro:3 muy ~nsibles en la medi da de los. ala rgamj l':DW..:I.~Ya.;,? Grneisen! Beri.chl~ d. Jcutroh. ph!fs~ GueUscha!,., 11:1iJ6.~

~adas como ordenadas de la C\lTVa O BCD. Desde O a A la fa-tiga y la defonnadn son proporcicnale.; pasado A, la ley deHooke no se cumple. La fatiga. correspondiente a A es el lmitede proporoionalidad. Ca.rgada la barra por encima de este Imite

lel alargamient.o crece muy rpidamente y el diagrama ::;6

transf"orm a en una curva.. hu B sepresenta. un sbito alargamientode la ba.rra, sin apreciabl e aurnen-to de la fatiga de exlemin.

Est fenmeno, llamado flnen-.eia del material, corresponde enel diagrama a un tramo horizontal d6 la curva, La. fatiga oorres~pondiente al punto B se deno. 0'----------mina fatiga de fiuencia. Para carogas mayores, el material recuperasu resistenoiaJ como se ve en el

diagram~ y se nec:esitan aumen-to. en las fatigas para obteneraument-os del alargamiento. Enel pnnto C la fatiga. alcanza .uvalor mximo. y esrn fatiga se denomina. ca.rga. da rotura del ma-teriaL Pasado el punto O, la barraBe alarga con disrn inucin de la carga. jo finalmente se presenta 1"rotura para una carga corresponditllte al punto D del diagrama.

Se ve experimentalmante que el alargamiento de la barraviene aoompaado de una contraccin. lateral muy acentuadaen las prox imidade. de la rotura; paro en la prctiCll., para elc"lonlo del pnnto de fiueneia y de la. Cll.rga de rotura la fatig" .erefiere a. la. e.ecci6n recta inicial de rea. A. Toda.s estas CUestiOlle.9sern examinadas ms detalladamente (va.se Segunda parte).

La figura 2 (b; represenla el diagrama de extensin para lafundicin. Este material tiene nn lmi te muy ba.io de l'roporciu-nalidad 1 y no presenta definido el punoo de fluencia.

700, = 2 x 1(JO = 0,00036.

jOO, = 1,1 x 1(}4 ~ 0,00064.

:atSJSTENCA DE MA'l'ERIALol

Para. 01 cobre~

La fUt'l':i"..a. extensora, e.cuaein (2}, :;;ora:

6

Det.errninRr dichos alFugamientos unl taTi(ls si una. de las bn!TB8 eade acero, la otrn. da -cobre y la fatig(1. dol3 ext.B-nein 100 kg.fcm.lI

SQltu:tJ-n: Lo.s mdul08 son inversa.ment"13 proporcional.ea a 108 alar.gamientos. un ital'los.

P 1 :n;2Z~ o . A ~ ,4 x JO' X 4" = 4.4

n y n, se l1anmn ocrrientemente factores de seguridad y deror-minan la. maguitud de la fatiga de traba.jo. En el caso de estriloturas de acero s.e toma el punto de cesin o flnanoia como basepara calcular la fatig.. de trabajo, con objeto de que no ae pro-BiJnt.e-n doform F\.r:ionca. pennanentea en las es-trnutums. El coefi~

Dmgram.... w:i~logcs a lo. de extensin pueden obtenersepara. la. oompresin de dlversoo metales y determinar ona pa.rteacara.cteristica.s .

.~ 4~ Fatiga de trabajo~-Un diagrMD8 de extenBi6n da. unainformacin co-mpleta. da las propiedades mec.nica.s de un ma-teria!. Cono mendo el lmite de proporoionalidad, el punto defiuencia y la. fatiga. de rotura del materia!, es pooible estableceren cada problema particular de ingeniera la. magnitud de lafatiga qne puede conoiderarse como una carga de seguridad;esta fatiga se llama corrientemente fatiga de trabajo.

Al escoger el valor de la fatiga de trabajo p &ra el acero, debetenerse en

,,

I'ICJI,

.,,,,,

6'

p

F[IJ. 6

'rRAccr6" y. ""MPRRS,6N 11

t6o'I -vertic-a.l Y 11orizontRl dol doo.pltluu~.:..to del punto B, dabdo ll.!'" uuforwe.cin de l.&s barra!!:.

oS' 2.500 1A = ;;:; = 801} = 3s: cm.'

RESISTRNOIA DE J,J.lTmRIALES

Fw,4

La. leeba BB. :se halla media.n.te el td.ngulo .D B B1 en -El] que-~dada su pequee'Z, el arco BD~ der-.lliio igual a la longitud de las oorms, se sustituye por la perpendicu1.a:rbaj.odll sobra A Bl~ po;:icin dtl lti ba-

rra dt':!I-Im-R de llt deformaoi n, desdo e-l pM t-o B.El alarga.miento total do la bll1TEL- A B es

Solucin: DA la fjgura. 4 (h), que representa. 1& condicin de equ.libl'ioo- del nud-o B t se deduce qu e la ten.in en la.g; barras es

ps= 2.sen 8; p:o.ra -B = 30; S = p = 2,501} kg.

eJ,l 8.00B1 J)=E.l="E= 2: X 1CJ.'l X 4,500= I,Smm.y la fle-chB.

la

8 Y---''-

A r'r--.-

BB l = B 1DO= 3.6 mm.

,en

)

u~

8(Oruci6n: DA 1" flgma. 6 (b). que representa. el -['.quiHht'io dl('lt nudo B".l C1j; un triDglllo semejante al A RO de la. fig. 6 (-a,. se deduce

S = l' ;:~ = 5.011D kg.8, _ P 2'16 = 4.1100 kg.

2,

1...fta. :Bocelones correspondientea"-EJ. la barra tle aecr() y n. la vign demadero. .soxaIH

AS 5.000 "325 cm l. -1 _ ~=~= 400cm:*.

= ~ = lfijjJ =. . ~. 1 - at 10El al ELTgtlmi-ento t.otal de la. ba.rra de acero y el -tlooort&mienUl do[) la

viga- deo madem son:m _ 5.(]1}0 4.5GO = 1 8 mm

0= J:.'a:A - :2- X 10:'" x G~2D 8 1(1 4~O{l-l) 3-,-600 O 36 mm.Sl= EI'IIA=~ x 400 =

Pa.ro det-ermjnt'Ll -el c.:orrimiento del nudo B. debid~ 1\. lB. dc:rormll~dn. e;e tl'amrnn do~ areoo: con ce.nt"t'GS an A y a -flg. -5 (a)- y mdios igu "les a las longituu es de la.-s 'barras A B Y e B dospu B de 11:\ defonnaein. Su inte-:rsecci6n de.:fine la. posi L,i Ll ni,lc""-Il. B~ del n~do B. LnooJ1.9.truoe-in se reali'il:;[I,. -en figura CLpl1rW y a. rnaYOT esc::alli- -flg. 6 ~c:)-.

. ,._ d Y B B el n-c(rrt3mLentoB 8 1 -es el altl.1'gam Lent-o de la .LO-LlrTa. e aeero~ t

Q

pp

Se va que. la. ,t';IJ,:ri.[t.dn del ngulo O debida a la fleoha B B! esmuy pequea. y que el cAloulo realizado pam halla.r S, basado en la.hiptesis de qu...:. e = 30QoJ es sufic-ientemente apro-::timad'O.

3. Determin&i" el alarga.miento total de la ba.rrado acero A B. mlYa. Becein rec.ta- es .fi cm.* y estEloroeti da. a. la. 8,.('>Ci n de la.s fuerz;u.a Q = ./5.000 kg.P = 2.500 kg. (ig. 5).

8olucioo: La fuerz.& extensoTB. pa.m- 108 troZO.BI!luperior -e- inferjor de la bEUTa ea igual ;Q, Q. y pa.rael trozo ceutml, igual a Q - p~ Ei ala.l'gammto total ser

2 Ql, 10 - PJ4 ,; .000 x 250.8 = AE + ......tE = 2 2 x ]{IoS- x fi

2.500 x 250 _ 0'0+ 2 X liJI- X 6 - .... mm.

i. Determinar las di mcnsones de las SeCeLOnell Qn'>CWs dl30 ls viga de madero BO y de la ba.rra de F HJ. acoro AB da. la. estructura A BO -cargada. en B, ai elcoeficiente de. tmba.j o ps:ra- la 'I11Adera :s.e toma. az = 10 kg/ern." Y'para el aeero CJlI = 800 kg.crn, s. La. carga P = 3.000 kg. 1..aa dLrnen~l:LionOO de la estrllctUl'iL, las de la. fj ~W'& 6. De:t-~:r.minaT' 1[3.8 oQomp-one{la

,.,

13

,.o

FIG. '9

FlO. 10

12000

.1

A

TRA.COIN y COMPRESIN

RtlIpue.ti'la: La tensin en le. barre. BO ea. mxima cuando la car-ga P est aula po.sici6n ms e.lejada ala. derecha, es decir, en eJ punto D.El "Volumen de la barra ea rolnimo cuando 6 = 450

8. Dcwrminar la seccin neeesaria p~la la barra de acero BO (figu+fa '9) 8i el coeficiente de traba.jo ea. c~ -= 1.000 kg./cro. ~ y la cargavertical unifo:rmemente dist-rihukla. act-1ia. sobre la l,.~iga A B(1, ra-wn de 1.-500 kg.Jm.

Respu.e.8r-a: A = 4,0.50 cm.:II.9. Determ.inar las secco"

nif'..3 necesarias para 105 bELrrasA B Y BO de las ea.eructure.s de-Ia-. guros 10 (a) y 10 lb) sie, = 1.000 kg./.

8VP P

/1 AI---_....Jtl,, rJ ,, ,, ,, ,

0'- ~,~~~~~~;\: [}t:.....~_~C~ ~~ (~~ P P

12

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"BESI~TRNOIA DE; MATERI.A.LES oII'R.ACCIN y COMl"RESr6N 15

(7 )

1-,

12. Rf'!5['101ver el problema. 9 -;,upl)nicf.ldo qU-f' ID- Cflr2:3 so n.pJica.I&Olarnente (;lO el nudo del cordn super-iCJo[, situado Ll. 2,40 m. del a.poyo A.

5. Faligas y deformaciones produoidas en Una barra por supropIo poso.-Al estudiar el ca.,o de In extensin de una barra(figura 1). bemos considerado "o[amente .1 efecto debido a la car-ga P. Si la longitud de la balTIl. e, grande, su propio peso puedeproducir una. fatiga adicional co nsiderable, que debe tenerBe encuenta. En este caso la fa.tiga maxima. se produce en la. seccinreata superior. Reprea.e~tanda y el pt:so por unidad da volumende la barra, el peso total ser Ay! Y la mxirr..e fatiga vendrdeda por la exllresin

P+Ayl P0m =--=-+yl. (6)

A AEl ltimo trmino del segundo miembro de la ecuacin (6)

repr....nta la f. t.iga producida por el peoo de 1.. barra. El pesoda la porcin de barra. situado por deba.jo da una seocin rectaa la distancia :t del extremo infe-rlor es A y,;c: Y la fatiga vendrdada por la. ecuacin

P+Ayxa= ,

11Sustitu.vendn la fatiga de l-rabajo Gz por O'm en la ecua~

-ci6H (6} la frmula parL calcuJar la secciu d~ !Seguridad serp

11=-- (8)cr..-yl

En elia se ve que el incremento df': longitud de la. hura haceaumentar la seccin recta de segu t'dad A. Cua.ndo yl = a~, lB.fatiga debida a.l p~o de. la.. barra es igual al cooficmte- de tra-bajo y el segundo mieml,ro do la eou""in (8) se haoe infinito.En circullstane:ia~ tales es impOf5i ble e 118D de la barfzJ., pri.sma~tica. y se rMur.re al empleo de bl:U'l'as de- soooin variable.

Para (~alcular- el alargamlcoto total de una barm pri'J:m.tica.someti da !lo la accin de la fuerza d~ ox tensin P t1D el extremoy :::;l! propio peso, .considerarn O~ primeramente el a.larga mientode un elemento de lonh,:ritud di ferenci al d:.r, separado de Ja barrapor dos sec:cione:;::; rectas infini l:amenw prximaR {v~e fig. 1)~Puede 6uponer.;.e que en tal) corta longiturl dx j~ fatiga ~ cons~

.

~ant6 y viene da da- por la expresi6u (7). Entonees el alu.rgamien-to d8 d G1 elt:mento bier-

d8 = ~~'!' = P + Ayx dz.E AE

El alnrgamiento total de la barra se obtendr! sum ando lo!margamientoB- de todoa. Jos. elementos.. O sea.

_ (' P + Ayx dx = _1_ (p + ! Al). (9)3- Jo AE , AE 2 Y

Coro parando este resultada con 1.. expresin (1). 'o ~e queel alargamiento total producido en la ba.rra po~ su pro~ LO pesoes igual al que prodllCira.. una carga de valor rollad aplicada enEro extremo.

Problemas

1, Determinar (1-] AToa de la. :Bece-i n recta. de una h.a.rra vf.:rt-i-caldt3- &(!er-o d-a forma pt'i..llmB.tiea C&1'gaLl:il. en su extremo infe.J:lIJ.1'" C~Jl. un!:'CRrga P = :9li.OOO kg.,.si la longitud de lEL barra. es 200 m.o el coefICiented-e trabajo o. = 100 kt:.fc:m.:i y Ell peso d. un m.3 de a.-c:ero eB 1.801,,1 kg.iDeterrnina:1' eJ alargamiento t-otal de. la ba..m.

Sohtci&n: La. .seooi6n. eeuBoClin (8), ea_ 35.fJ'OG ~ = i cm.1

A - 100-1,8 x lO-s x 200 X 10-

"'El ahU'gnmiento total, expres.i 6n (9), e::.

i5 =200 x 10' 1 (3OOO+!M x 1:8 X 101 X 200 X lO'!) = f1i3 mnJ.64X2X HJG 2 '

2~ Determinar el alargELmiento de una balTa cnica bajo lEL accinde su propio pe:.ao (fiS. 11). La. longitud de la balTa. 6EI " el di m-ekode. la. base. es d y el pesl) por unidELd de. volumen del matriulile. y.

Soru.cin; El pes.o d.QI 1& bBolTa :aerlnd l ly

Q-T x 3'Para una 81900in -recta 6 distanoia ;c del extremo inferioT de IEL ba..

n:& la. fuena de extewili n:, igusJ al peao de. la pdrtoe inferiol' de J& oo:rra, 06

Qx3. nd' r:&'-11=' x w

Teniendo -en C-H enta. qua- Elsta fuerza. se repBorl~ unifa"nT]II~mflntel" en

))1)))

o()O

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-JUti}')

J))

6lti~

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11

FlG. 14

T MOCIN Y COll.t.PR1~SIN

p

FIG. 13

7

donde el segundo miembro de la ccua.cin represent..o. eJ ~BO del ele~mento. Divdiendo esta ecua.cin por A C:z e integrandol ;;;e- tiene

JdA=frd~,A 0'log- r~+O,

.,

m!\xima. adro isible 10 kg./em.:l:. CtJmp"r8l' el volumen (1 btenido" c.....n eld-e un pilar prismtico proyectado en an.logaa c.ondic.ionee.

7. Resolvel' el problema aoterioT suponiendo !l. 1& "'Pila formada.por treE'l troWa. pl'ism.Bt.ico8- de igual "longitud

8. Determina.r la forma. del piIa.r de ]a figura. 1f t de- modo que lafatigB. en cada. se.ccin 8ea oo.nst8.nt6 e igual a. -(11. La fortl).8. que- eati8~face B 6!lta e-ondicj n :!!8 denomina. slido de igual l'esistencia.

S-olucWn: Consi derando el elemento diferendal rnysdo en la figura, ea evidente que la fuel'Z& compresora de la. s.eooi6n ~ -n, es BUperior a la que compr-ime la seccin mn en el paE'lO del elemento. Puostoque le. fa.tiga. en las dos secciones deba ser la. misma e igual a aj, la dif-arencia- dA de la8- reas de las doa. ge-cdones~ dobe. oompensar]a di ~f-e-rene-is. de fuena compresora-.

Por conaigui ente

de donde

R~pur:8ro: La. fa~ga creoel't\ -en la retacin tL : Le. Una pila de puente formada por dos- trozos p"riBm~ti(lOs de ;gu.."\l

longitud (Hg. 13) est sometida en su extremo superior Q una. compl'e 4si6n p = S-QO.O{H) kg. Det.el'mina.r el volumen da ]60 fAbrica si la. &1turadel pilar ;a.on 36 Dl., 51 peso por m.1 Z.OW t-tg. y la. fatigade oompr08in

Flo. 12

11,16 cm.

Rli:SISTF,;NOJA DE 1Io'lATRRIAt...'P.:S

20 +2,32,- 2

FlG. 11

4-~ Dos alambres., uno da Bcer-o 'l ol-ro de :fLlumi~nio. cat-n oolgados vertiealmente. Determinar la-longitud pata. la. que le. f[L.tiga de.bidr. al peso- propioiguala. a la -c&1'g3 de rot.ura si pam el acero a~ -= .21.000

kg~fe-m.1 y y = 1.800 kg.{m.:I y pa.ra el aluminio":r = 5.500 kg./C1m.

'y 'Y = 2.700 kg./Clm.:I

Re81:me:.8"la: Para elo.cel'o, l::=o26.900 m.. para- el aluminio,l== J3. 000 m.6. En. qu proporcin Ct'OO-O la. fatiga :rna.xima producida. poi' su

propio peso en una ba.n'a priamtica. si todaa las dimensioD41S de- la00['1'8, aument&n en la. proporcin n ~ 1,

_ (1.000 + 100) x 100 X HP 23 2.uo- 2,31 X 2 X lO& =, mm.

1 Esta hipte8-i.E'I ee admisible cuando el AngnIo del oono 00 p&oqU "i'i5.o-.

y el 8.1a.rga-m!ento to tal de la btloTl"E\ es

!=.l [''''''' = rl'.:~E __ o !lEF.-ate o.ht:rgaroientQ es ~ del q,llf.l f cndrla- 1mB be.-rr:a.

prism6t.ie de 18 roisma-longitud (vase ecuacin '9"3. La varilla vertical de una bomoo de Tlna es

acoionada por un cigef5aJ (fig. 12-). Suponiendo queel material eA QCero y el ooeficient.e de trabajo O"c =o 600 kg./cm.s~ de.--termin&r' le. seccin re13t& de la' varilla si 19- l'esistene:ia del pi'EitudU1'8nte el movimiento ha.eia. 3baJO es 100 kg. Y d'lJl'aut& el movimientohacia srribe. 1.000 kg. La. longitud de la varilla. es 100m. Daterrninal'1& longitud del ra.dio del cigefi&.l Bi la. canera- de la oomoo es 20 cm.

Solw::in: El rea de le. seccin roct-a de la varilla aa eneontl'sl'-por la exprealn 18) J"'1'8 P = 1.000 kg.

O.ea

El rado de 1:0. manivela ser:

La dlferen-oiB- en t1'e el al:e.Tgam.ierlt.o total de la vl'l'iUB. eUllndo 60mueve alterna.tivaroenoo t debido & la .1'esi8-tencja del piBt6n, &enh

1f'L 8eccin Tf'Cm 1 y con:sidemndo el elem ento de Il)n~it''ild dx como unaba1'I'8 prjsme.tica, el alal',RamienlO de este ele..nento &e1'.

16

!,.,

oeer(((8@o({l(c.ee6i((l((lC(e((e

18 RESISTENCIA DE M.A:TERl..!, LES; TRAOCIN y OOMPRBSIN 19

))

1

el cOt:!\!: (1. S i3: oos"ll , = o a = _.'- _l' l' ~ fy

El>:toll = -; (!

'-'

'Fin. 17

.e= ~ = 1:20 X 10-'8,E,2. Una columna de horm ign e.-rmado ot::: compTimids. po)' unfL

fuerza. P = 30.(100- kg. Qu parte de esta caTge.- e.et.a s.obra el hormign 'Y qu- pal'te 60bre el acero ai la secei 6n roo-ta de acero es BOlamente110 de la aeooi6n recta de honni g6n !

La carga tmnarnitida por el honnign ser. igua,l a 16.000. kg.3. Un -cuerpo rlgido A B do- Jl'e80 Q cuelga. de t.es &1EL-"""bres. verti-

cales sime.trlcamentoe -0-0loc&do.s re!!ip-ecto al eentro de gra.veda.d G delcuerpo (lig. 18). Det-erminar loa. esfuerzos de- extensi 6n en los alamb:;,e.;.,,;i el del medio eB de &Cero y lOE; otros dos de c.obre. l.,.a.g seo-cionea rec-tas de. los tres alambree. Bon iguale:B.

Problemas

Sustituyendo VlLJor~ n umrieo8, ae obtoLene Q'.., = 132 lig./om. l ;;.20

CI'IJ = TI tl'oCl = 2.~ kg,/cm.~

El I:ltco["ta,miento unita"l'iQ -ser:

1. Un oilindro de ac.ero y un tubo de cobre estn comprimi dosent.Te [(l1!- platOs de une. prenaa- (fig. ]7). Detennillar lfL.fl fa ti gas en eJaoero y en el oobT& Y el acortamiento unitario;Bi p ... 50,LlOO kg. d = 10 croo y D = 20- cm.

8alucWn: Lal!l condieiones estMcas son jJ]:E;ufioien tes Y deoo considerarse la deformacin deloilindro y deJ tubo para. -encontror la pe.rte de earga.que obra. :!lObre cada roa tea.L

LCIs ReI}Ttamientos wlitario.s en el acero y en-el -cobre sel'n igue.les por tento, la. fe. ti ga. deooda roaterial estar. en le. misma relaoin queBU mdulo {ecu.ooin 4, p.g. 4}, es decir, le.. fatiga.

20de oompresin en el acaro ser 11 de La fQ,tiga deoomp:reaiOn en el cobre. De este- modo, el veJOT (rede la. fa tige. en el cobre -so encontrar por te. ecuacin de la e:::;.tacica.

mIl 2.0 lt V' "'P = TTIa,=,+ 4: ( _ft} a~.

lo que" indica que las tuerzas R y lit son lllversamente propol'-ciona.lett a las distan ci as d6 8UR puntos de aplicacin a la. sec-cin mI

RESISTENCIA DE MATERIALES ~Acm N y COMPRESIN 23

La ec u.\c [n oIJomp!emBnte.ri a. PEU,& d.;Jterminar X y Z 56 obti-enaotomando el momento de todas las fuerz.as con l'ela.c:jn a-l eje horizo.n.te.l eo pe.ralelo :a.l y y en -el plano d& la. fuerza P. Se obtiene

e

'b)

F1O. 20(al

.fI. Un cuadro rectangLllar oon dil).p:cloDl!l.les est l;Iometillo a la accinde las fu~ruL::; de compresin P {fjg. 2Ul, Determinar loa e::; fUt:-rz,oa enlas ha:rra.s ai t.odas s.on del maTnO roatBril!l.l, el p prea. de la. secdn [oota. de las vel't-i t"alcli e!:I. A Yle. d"", las :restantes ba.rras Al'

S-Dltu:Wn; 800 X la. fUflJ"Za. de compresin encada. barre. vedi 1::'[1.1; Y ~ lB. fue-rza de- comprealIen ca.da. diagGILI:d, y Z, la. fuerza de ~xtc;nsin encada ba-rra borjwnt.a1. Lo. cond[cin de. equilj Ldode unQ de los nudos- da.

]" = _1_ X (P-X),,en

Z = Ycos rJ. = (P- X} CA'lt IX.T..;S. t.f'..re(~re- eellaci611 se obtenclr. por la condi .

ei 6n de queel cuadro despus de la defo.rmacilin s.aguira ei endo reo.tangular, en vi..!-ud de la l'ii met.ria; pOl' tan to.

faZ+h~l(l_A~EY =hZ(J __ A~r +at(l + A~EY;d.elilpJ"C{!:ialltlo !a8 cant-idadea peQue&:! de ordNl superior, ;SkI obtiene

laz + h1j y hlX a"ZAlE = AE - AlE

Re.soh'iendo el sistema de oouae:iones (a) y ,b), ta. fuerza en la die,....g.ona1 .se obt.j (;lne por la siguien le expresin:

y= Pal+hl A al A-,,-,- X A'; + P.~ Al X CDS o: + ain a

T..as flJen.a:s ('!tl las otras. llarrns S6 calt::l..l Il;l.rn f.cil~ment-fl PO" 16s ooue,ciOO&8 (a).

7. R-es.oJ ver f'!1 problema anterior aupoonjendo ti = h~A = 5AJ Y P = 25.000 kg.

8. Qu ftl. tiga se pnJodnoi l' en un parno de Mero yen Wl tubo de cobro {fjg. 21) al da-r 1/4 de vuelta 11. la

Fw. 21 tuerca, si la longitud del perno ea 15 cm., -e l paao del toroni.UI) h = S mm" el rea de la a.eec-in Joota d61 perno

Aa: =::o 6 cm. 1 y el rea. de la. s-F:!ccin recta del tuba A, = 12 em.lf8e:tluain; Sea X la fu01'Z8. t.ot..al de- e:rlen-si06n -en el perno y de como

preai6n en el tubo~ El valol' d-a X al en c:uentra estableciendo que elalargamiento- total deJ perno mAs el aCGrtamiento -total del tuho esigual al despla7.8miento de le. t.uerca a lo largo dal perno. Admiti en do,en nuestro ~o. que I~ longitud del tuoo es- jgual .e. rB longitud ut3-1

pe:mlj~ l:le obtiellll;lJ:

(b)

""ifFIG. 19

PY=,.

2Y = X +Zy tAmb~D

AJ ie lB 2Y + X + z_ P,I Q de donde-

FIo. 18 - 12Y = X + Z _ P. (a)

X(iaV2 +')+~Px'=ZGaV2-o).De (a) y (blae dGdUC:6

M clrr:lq. a st':guil": lls.ar et m-t[Jojn d-oJ prob!ellUll 1.4. Detenn [na. 1El-8 f1l6rza..s en las Clll"tro pat~ de Utlofl, masa. eu./\-~

dradB. (fig. 19-), producidas po.. urla cargo. P quo a.-otI;l. en Ufill diag.oQal.El apoyo de la IDosa -el] el ::;u-l:Ilo se :supolle "bsolutamente r1gido y lal!lpa.tas: se unen & l de fu-l modo que p ucden sufrir ext-lmsione:3- y c-om~presiones.

8o-l~; Suponiendo que la nuc va posicin dal te.hIero dFJo la mesaes la ini e&da con 1& lnea de puntoB mn, le.

:1 compre9in en las pe.tas 2 Y , ser igual ;(1,. ra.m edie.. de la.a de las pata:9 J y 3. Por tanto,

x=p(~_;-~}z =p(~+ -'-).4 a-,/'i

Cua.ndo -!l > CI '7~ x es negs.tivn. EstoJdiea qua hay extensin en 1", pdta J.

5. Determinar la.a fuerzas en .las pa.ltL-a de la. mesa anterior euando la- c:a.rga.'86 apliea en el pUl'lto d6 coordenadas.

a$= ~'

b'{II.a..ciot -" Para rp.Bolver esttl probl'lllJba,!O;! ca.-ge. P situada. fUL~J'a de la.. diagonal de la mesa puede reempre.za:t"9allor dos {:a.rga.B ea ~.tcament-e equivaJentU9 aplieu.thJ.B en puntos d6 lasdo-s dilig-onalee. Lo.s. t!sfuer-zos fJ!'-oducidos un las patas por cada. una de-etltae dos Bl('I"ZB8 se- etlcGntraran dal moda 6-xplicado 8Jlteriorm6Dte-~Sllmlilldo los efeC'ws de 113::5 dos -cargas oomp

25

(11)A.E. )+-~ ~-- .~-~-2A.E. 000' ~

X

TRACCIN Y CO>lPRESTN

00...

Xl Xl_~ .....--- -- -- = a ..2 Aj'. cos' ~ A,E.

2cus rt.y el do"P1ozamient.o dal nndo O debido al alargamiento de dichasbal'l'i:kIo 6er. (va.se e-uua...in bI pag. 19)

0= _. XI (a)2-A~E~ cos3- oc

El acortamiento de la. barra. vertica serXI0,= -----o (b)A.~EG

Ahora bien; el de'pl azaTll iento del nudo O, junto con elacortamiento de la barr.. vertie..l, debe .er igual al error a enl. 16ngitud d. dicha baITa.

Se obtiene de este modo la siguiente e.OUil.cin, para deter-minar X:

" 1, Fatigas iniciales Y trmlcas.-En un 8i"tma ...tti"",enW indete:rminado es posible existan tensioues iniciales pro-

:ueidas en el montaj e y debidas a errores en las longitudes do1aB barra-e o a variaciones intenoio~ada.s de. los. valores correctosde aquellas. longitudes. E8-ta.s tensIOnes eX18ten ann cua.ndo no""ten cargas exteriores y dependen de las proporciones geom-tricas del .i.tema, de las propiedades mecnicas de loo materia-les y de la m~gnitnd de lo. errores. Supongamo., por ejemplo,que en el sistema represent.ado en !a figura J5 la ba.rra vertical

teng~ por error una longitud I + a en lug..r de 1.. que le eo-rrespond6. Al unirl.. las barras B O Y DO, despus de h~berla&COrtado con una compresin inicia.l, producir fa tiga de exten~sin l"1l las- ba.rraa inclina.da.s~ Sea X la. fuer;a de coropresinque acta. en la barra verti"",1 despus de haberla unido las otras

b~rras,La- futll"ta de ex tensi n eh las barras inolina.da8 sera.:

X

(b)

8

x + y ~ P. (a)PuedSo escribirse una segunda- ecuacioo -comida

mndo que los alargamientos unitariO-B elel pe-rno ydel tubo por- la 8plj Cd- in d~ la;: fuarza~ P deben 6C'"Tigus-h.'1'.; e'!- d.EJcir~

n,

RFlG. 22

m,

x yAoIfE.. = L4E~'

. Esta. ec.uacin, unida a jo. (a,. pennite calculartas fue~ X 6 Y. de cuyoa vaJores &8 deducen f.ojlmenl-e. las fati4gall correspomlienl-t.'B.

tO. Una. bB.ITa priBm~ica. COD rns extram{lS e-mpot1'&d.oe est ear4gada 11 :rialmante en d05 Booe-ionee i ntermedi~ (fg. 2.2) con fuerzasP t Y. PI- Determinar Ja-s reacciones R y R]"

.8-olu-ein: Usa.ndo Ja ooua.cin (el), p-gina .2 q. mediante la qua I!H"caleu!a.n por gepa..:rado Jas loocojonos qua produce- C'tidB. carga. y su.mando los reJlultado8. Det-erminar las reaccioneswtales ouando

a ~ O,3!. b = 0.31 Y ?, = 2P, = 600 kg.11. Detarmjnar 1M fue:t'Za3 en Jas barras del A O

fst.ma representado {In la figura 23, en eJ queOA ea un eje de simatria.

Re.'Jput8ta: La fuerza. de ~xtensin en la. ba.er'ra oB es igtlai 8 la da compr-es[n en le.

Pbarra 00 y "8]e 2 S{ln " La t-ens tn da !& ba.na FIG~ 2-Jhorizontal OA eB igua.l a.. O~

12. Resol ver el prohlema 10 suponi-endo que la. porcin inferiordt' la barra cuya longitud es (l: tiof'll (' UII:Q. ::3ccein do Lla que .JM. de Jasot.nt.a JO.!l- p.1.U"t~ de luugi ludas a ). b.

RESISTENCIA DE .n.iAT.&lUA.LE8

de clflnde hAQ-Pa 0'3 X a x 2 x (JIX = -_...._- = ._. - R '8{1 kg

!I!(l+ A.e.\ !IX7(1 + 6X 2x l')-'- .A~Ed 12 x 1,1 x 108

XLa. fatiga. de exten!3-in en el pEll'IlQ ee "G - A = 1.050 kg./cm,

La fat.jga de compresin en el tubo es a, = ." 525 kg./em.19. t Qu~ caroblo en Jas fatigna. oo.IculELdtl8 en f!1 probJema 8lltel'ioJ'

Rr produoen unas fuerzas extensoras P =- 2.500 kg. apl.i.u.;~4uULf cadas en l08 extTemos del perno f

Soifu-t6n; Soo X el aumento de lafuerza totelde -eK knain en el perno El Y la di sminuo:in de la

m, ni fue-r.m total de 'Compres; l1 en eJ t, Iho. w condici u1 flolJ equili bri o da ~

, J

,;

(

(ee@

)u..

27

FIG. 24

TRACCIN i COMPR I\;:: I N

Xl~ ~ ..r'- ll + AoE;el~mhm to de. la.e bal'lj,:j de oobrfb

Xl!, ~ ..{'- lo) ---2--; ",'coo. -e::otl "t"1.e:-oll

111 ljtario dE"l ('llbre y d('t l\rero ~cnin igul3.loP,iI:. Y r~m"Mn tanrlo por .'\ elaumento da. la fuerZFL de extensin en el perno deb lda. al uamlJ..i.o deten1pe-ratllra, !le h.-Lldl':

X X~ {i-t.) + A E = a:,,('-'D)- A f'011 " ~d

de dond~

Segn Babemos {Vf'.atJtt paSo 19),

por eonaLguiente.

la vI:lTia.e-io fl E' tl:lR fllttig&a en el peI'LloO y en el tuoo -puoot"o r:R1Cllla.rseahQrtl. del. modo acoliltilmbmdo.

3. Una pletina de -00bre est. S-CJ1d.a.da. entre dos ple~na.a. de. e.cero(figura 24). Qu fatiga. se. produc.ir en el acero y en el cobre por unaelevWtl de J;8. temperatura de las ptet-ine.a do la (I. t grado!!!

'Soluc:idn: Deber 'I.l.S1t.I'Se el mismomt-odo que en' el problema anteriol'.

4:. Qu fatigas 6e prDoducirEm enlas ba.rma del :sistema representado enla figure.- 15 l;:Ii la. tempemtma de oo

'd&.e 18..9- be. t'l'8S se ele.va. de 'a :o. fr .8-o1uai&n: Con X :Se re-presenta la fuer:m da. extensi 6n pToducida

en la barra de acero al aumentar le. tt:!mperatura. POI' la. cOlldilJi n da.equi libTio d el nudo O S6 ve qua- la.a fuenal!l qua CDompl'imen a. las baITa.8

Xde come valen -2--; por todo- 10 el::puesto, el a.tEU'ga,mnlltltQ total decos

tiJ. ba:rrn de acero ser.:::

,, .s."- .

(12)a = E~(I-f.).

.BJL.'3lSTBNffiA DE MATERIALBS26

de donw.

Conoci do X, se calcularn fcilmente las fatiga.8 iniciales enlas barras.

La dilatacin d. las barras debida a oambio. d. la romper....tura puede tener el mismo efecto que los errores en las longitndes. Si la temperatura de la barra crece d. 1., a ! y la dilata-cin trmica se impide por [a s reacciones en loe extremos, .seproducirn en la barra fatigas de compresi6n -cuyas magnitucl espueden calen)arse por la oondioin de que la longitud peITO....nezca invariable~ Sea el el coefic.iEmte de dilatacin y cr la fatigade compresi6n producida por las rea

(111)

~ la. fatiga cOnes.pollo iente serP wv' yv'

fJ =- =-=-..4 4.V V

En la-.q ;Aplicaciones. prcticas es muy freeuente tener qnedererminar la fatiga. de ex tensin en un anillo circular giratorio.Entonces q represen t.a 1" fuerza centrifuga por wUdad de lon.'gitud del aJlilJo J viene duda por la. ecuat,in

w v'q=-'-, (14)g r

en donde w = peso del a.nillo por unidad de longitud; r, radiode la circunferencia media; tI', velo cidad del anj llo en el radio f.Y g, aceleracin da !a gravedad. SUBtituj-'L,llldo t:>:i-l.u. eXlJre:::n de.q en la ""uacin (13) .. obticne

wv'P=-,g

Fm. 25

TRA ocrN y COMPRES'"

pOl" dos ,eccion.., radiales adyacente.s ser qrJ,!,> donde el,!, es elngulo en el centro correspondiente. Tomando la suma de 1Mcoroponentes- verti cales de todas Jas fuerzaa que actan en elmedio anill.oJ obtendrem os. Ja siguiente- ecuacin de equi tibrio:

2 P = 2J.ii qr sen '1'd~ = 2gr,P = '1". (13)

La fatiga de extensin en el anillo 80 obtendr

30 R&SISTKNCI.~ DE MATE"R1AL1i:S TRACCIN Y' CM.P.R1tSI,N 31

P 100 X 1~,5 kg'0'=-=~l =500 ./em.A ,X

e

(l

de -donde

'.:

y

::rd (1%..:: - ~l (' - '-ti) E~Ct~=IT= h.BoC' 1 +....!-!

h-~ MiliD6l mismo modo. podrEa -calculnrse la fllti,ra en 61 ae.r-l"O.3. IWirindcJono8 a la fjgu.ra 25, qu .fatig adicional da- fl.xtef.laj6n

Be produeir. en el tubo al someterle a unfL- preel n hi cbol!M.ti ca. n'terna.de valor p """ 7 kg.cm.:I,.si el di.metro interior el! dl = W CID., h13 = 2,5. 20rnillmetrol! y A~ = i1 X 2,6 mm.l

Solucin.~ Separemos del tubo un anillo oeleme.ntal de a.ltura. 1 -cm.La {Ut;"!ru total da. .a-XWnll in en eJ ahillo ser

P~~' = 35 kg.DebidQ I!. que Joa: alargamientos cirounfereneiales en &1 cobre. y en el.EH>&ro 8CJon jguales~ las fatigas esro:r6n en la relacin de los mdulos deelasticidad, es dooir, la fatiga. en el cobre. Ber. ~~ de la del acero y~por tanto, la. fuerza p~ en este CiLSO, se distribuye- .en partes j8L111!es.;mUe loa doa mQotales y lBS fAtigas produCJidas sern:

p asC'c = 2~ =:20 = ,38,./5 kg./cm.:l para el cobre

2 X IT X 0,20

20a

s33

TRhCm,; y COMPRl':ST';

6, Df:wrminar la "'el(JoI::idE\d perifrica llmite de un nnillo {le- cobreai el coeficiente de trabajo ea 0-, = 21-0 kg./cm.:I y lor = 8.700 kg./m.*.

Re:.sp-ueaw .. t,'I =" 480 m./seg.7. Con relac.i6n 81 problp.ma 2: y fiR"Um 26, determinar le. fe.-tiga 00

el oobre a ]& tempero tUrEL e.-mbient-e, si ~ - tu. = 65-g. CJ -O:c - O::IJ =4iG X 10-', h,. =o he

Reapuuki " Cl',c = 175 kg. tcm.s.8. Con referencia al problema G. determinar el nmero n de

rev-olueionea. por minuto al cual lafatiga en el anillo de cobre :se-anula lBi le. fatige. ini e-ie.l de :z.nnchado 6l'3 une. compresin de valor ag.. y

~ -=- 1.,. Y BIJ =- 21lJe,8a~uoi6n-: El n 1mE'ro n Be deteMnin&m por Ja. oo-uacj6D

9. He.11ft.l" las fe. tgaa en el e.ni llo zUDe-hndo del problema 4-. !'mfJO

.!tiendo 3 = Q,o-:25 ~m.~ d = JO cm., -"4 """ holl Y E 5 = 20. Encontrar ~HE.c 11c.u.Dto va.rbm lBS fu tigas.si la temperatura del anillo a ument& despusdel montaj6 00 6 go C. Tmese ~ = 125 X 1O-~ y. GEII: = 170 X 1O-~.

10. En ef problema. 6 haJlal' lal!! fatigas oolTespond entes al ac...royal cobre si 1l. = 3.0OQ r. p. m.; d = 60 -am.; h(J = h" = 12,6 mm.; 1. =-1.8 X 10-1 1rg.em.l ; "te "'"' 8,1 X 10-3- kg./cm..-I.

_ y, (2 nn)' (d +",)'.O,a;- f) 60 2'

El e.corl6miento dal di.met-ro exterior del at:u.llo de oobre :5erJ

'< d :td'-o, = E,e" =2h-~~'

El al E\r~mi~nto del dialUet-rc int-(;lrior del anillo de Mero l!Iero: xd'8'=Ed~2hE . ' .

Lo- pr-esn tlE;:.Sconoo.i dEl ;:t:: 880 E!JuClouLrar por la E'JOlH",eJn

RR81STEYClA DE n.o\.TERIAL"'ES

. DererminFli 1;1.."1; r~tiga."l. que:BE!' producirn en el anillo 1.llne'had-od\1 problema onwriol' al girar' el anillo -ron UDa. velocidad cOllBtant.e.'de. 11 1'. p. "m.

8oluciin: Dabido a que el cobra tiene mayOT rlensidad y menOI'mtiulo de elFLstiddad que el acero~ el anillo de cobre presiona &Obre el .an.i no de acero dumnt-e la rola-cin. Sea. -z lB- presin fH}r cro. lI de _su .periicie de contB.cto entre los- dos anillos. :r..sa fa tigaa cGrreepondient6llv-andr6n dB.dae poI' IBe. -ecuaciones (a) del problema- anreriOl'. 14.:8 precisa..aumar 8. estas. fe.tiga-s la.'" fa tlgS!!I producidas por la fuerza. oontr1fuga.._Rellre..sentando por yIJ '1 r ~ 108 pe&Oil por WIidMI. da volumen del II.C6ro .y el oobre~ y usan do 11\ ecuscl n (115)J 6'e obtiene:

_~ (hn)'(d-h,)'.O'-c .. g 60 2

Cono-aiendo ~ laa fatigas. en &1 e-obre yen el OOeIO~ se enr;J;uentran sd ificuJta-d.

-!.. [r. (~nn)' Id + h.)' + xd] _.!- [1:!c (~)' (d -h,)' - xd l.E, g 60 \ 2 fA;; E, g 60 2 2 h,

Combimmdo astas faf.ga.s con 188 :fa.tigElS debidas 8 le. pr&!ii 6n :E Y te.~ .niendo en cuenta que el ft.Je.r-gamento debe aer el mismo en. amb08anilJos, se obtiena la. sigui-ante ecuacin, que sirve pe.re. determ.i.nar elvalor d{l ~ on 08da caso pB.-rtioolaT:

Le.s rat.ig.r\!'1 -G(J y ...,.~. poI' lM ecuaciones (a}, sera.m

de- donde

32

, ;

- .,

'l

"~'~r(((

l~~(l((eoe~(((((((eLlLl

ANusrs DE FA110A.S y DEFOR;;IAt..'IONES 35

rrespondiente a una seccin ndinada. e.!::i menor que la. fatiga. oG:;;en la seccin recta de la banB. y que disminuye- al aumentar dngulo ~. Para

cAPfTm.o TI

ANALISIS DE FATIGAS Y DEFORMACIONES

(111o fatiga ,

,

(18) ~

Para individuali zar la deformacin que cada coro ponente dela fatiga produce. -considera-remos- un element.o aepa:re.do de la.

barra mediEmte dos secciones obli-~I ~ U ou.... paralelas 'pg y p,q, -figu~ - -'i r.~~ ra29 ("r-. Las fuerzas qne actan. ~ sobre l repr~entB-n las ncciones dap.% 'Z~i.: Jas partes derecha e izquierda. de la

, ..."T barra y re ven en la figura 29 (..).'....::r~ ......... .....~:l- (>1" J ~ q ~:'c~~,~~,~~!er:::c~~s:c~~:

,:,;:

oAunque la. m"xima rat,iga. oortaute es la mitarl de la m"ximaratiga noro..", ti""" aqudla. fatiga una gran imlJOrtaucia l'ro-

/0+)1I II IM

FIG. 31

ANLI8lS DE FATIGAS Y DEFORMACIONES '37

presin si Ilple. Basta para. ello atribuir a tI:. signo negativo eu1... eKpresiones (17) Y (IS). El signo negativo de a. indica queen la fic.crura. 29 (bo) ee- obtiene compresin en. lugar de extensinpara el elemento infinitesimal com-prendido ent,re 1... .ecoiones pq yp,q,. El signo negativo en ~ (f6r-mula 18) indioa que la acci6n corotauta en el elemento tiene sentidooon;rar\o al indicado eo la figu-ra 29, G. La figura 31 da el conve-nio estableoido respeoto a los signosde las fatigas normal y cortante. E.ta ltima. es pooitiva cuando origina un par de sentido dextrorso.

10. El cIrcule de fatlga-lAts .f6rmulas (11) y (18) puedenrepresenta.rBe grlica.mente 1. Tomemos un sistema ortogonal deejes coordenados con el origen en O, Y de direcciones positivaslas uouale, (fig. 32). Si oonsideramo, que la secoin pq es perpen-diou1ar al ej e da la barra, oa tendr. en la figura 2S, = O, Y por1... f6r1Uulas (11) y (lS),

."))

)1})~)

))1))))

d

v, r~

G~r

(ev~ te(f

(a)

(25)

41

(24)pdG = _...11 2h

P pd0= = ..-." A 4h

ANUSIS DE FATIGAS Y DEl!'ORMACIONE8

p=p(~~lEl rea do lo. seccin recta del hervidero ... 1

A =~dh;

FIO. 34

Se ve qne la fatiga en sentido oircunferencial es dobl e que1.. r..tiga en direcoin ..xi..l', Par.. un.. seccin pq perpendicularsI piano xy, definida por el ngulo '1' -fig. 34 (..)-, las frmu-las (17) Y (18) del artculo anterior darn las CO,nponentes nor-m.l y cort.nte de la fatiga ligado. al plo.no pq. y debida o. l.fatiga. ex.tensora o;:; sus valores son

por ta.uto.

mlent.o del hervidero "" igual a la fuerza que acta en diohosextIciliUQ~ ~ deu!rJ igual B.

oial, determinaod, del mismo modo que en .1 .,..;0 de un anmocircular (articc.lo 8):

.'7 ~.;>

'~.~>. ----'~;:..'~:.~.'_: di~e-:. -eBpea-(1 r ue la. pared ea supone pequ-eQ cODlpe.rado -con el:-. 'La. presj 6ft p que a-c t.-B sobre. la. caTa -eillnrh-i-ea- interna del Elle

_~ ,manto e.tt dl)5preoie. f-r.ente a loS! valor~ de- aJ:: y cr~.~-"""i'

.~~ .t,..

.}l~.. ~.

t, :

,~...

.,

Pora calcular la fatiga de extensin a, en dreccin a::dal se.upondr que la fuerzn d. extensin

")1-)

- 1

1)

LI))I11)J..,

;3;!QP)

))))

yO~

))))

8e

s

a.,-G;:::~m" = --- (2B)2

Yaoontece cuo.ndo sen 2 = -1 Y

{b

(26)

(21)

I't' =--(F~sen2(p.

2

0ll- = t1:z cos

3. Determinn.r an.. an.~. "C' y 1'\ en el probl6rD.do anterior. 81 el ngulo 'lI' se ose-oga w, modo que T sea m.::rimo.

Rupu

41

l'~ = -22.2"2"P=-45~;

ANJ.1:==1:::; TIX FATl(],AS - y OEF01BfAOTON'ES

t-g29=-l:;.

Problemas

1. Un -e1emento -fig. 31 (a)- e.o.;tii. l:itlmeli do 8 la. ELce /in d-c 1M! fF\ ..t[gas as = 350 kg.fem.1; (1', = :2-10 kg./c:rn. l ; T = 70 kg.jom. l Dl3-tl:lrml~08T las magnitudes y las direcciollos da 1M fatiga.a principales c:, y G:t"

Saluci6n: Med ante las ecllooionoo {3l) Y (32) ae obti.ena360 + 210 , {(350 210' .

al = 2 + V '2-) + 1fi1' = 319kg.joro.3'0 + 210 l/(360- 210)'o! 2 2_. + 7(11 = 161 kg/em.1

"1 empl-ca.ndo (33),

La fatiga cortante ID B..X iroa viene dada por el radio de la.-oirt:-unfel':nc.ia Y vale

Tm"= ':0...2 0J = li(O, 2 o. -t T'. (34)Las ecnaciones (31) a (34J resuelven por completo el pro

blema de la. determinacin de las. fatigas no:rmales mxima. y[Ilinima. y de la fatiga. cortante mmma l conocidas JEI.8 coropo-nentes normales y cortantes de las fatigas ligadas a dos plsnosperpendicularea cualesquiera.

Las direcctO'ne:s de 10::1 ejes principales. -e.s,!.n indiead.as en la fign-'" 37 (a)

2. Determinar las dilt.'Ccj emes do las. fatigas principales en el pl'obl-tlffi.l.l.EU:lte-riol'~ sllponi endo -cr; s:::;o - 360 kg./cm.l..

8ohwirm.. El c'Cul o correspondiente.86 ve -en la. figura 38-. El ngulo f entre la.normal exwl'ior d-El la C&TIL- en la c:ual 8'Ctl~i'l

....;.-. la fatigr1 CF~ y la fa. tiga m.:rima. pl'"jnci.:-::. pal 0"1 se hallrn. del modo siguiente-:

\ tg2~=:o +~; 2~= 14~ 2"; 9= 7" l'~i:

IDedido en sen t.ido ccmt-ra:r-Lo a.1 "de laa~. aguJas deol :relllj desde. eJ eje z.~~ 3. He.lla-r el c!renlo de Mobr para el/ ~o de dos fe. tigas principllleti de exterurin.-~. guaJeB ~ = 'C"~ = -e: o d08 da compJ:eain iguEl.le8, -0-;1: = a:v """ - c:. T = O.

-:.~ eJ:L lI.:mboa casos. .{ _ R.e.tpUe.8b.' En este caBO 108 dn:llTos 8e- transforman en dos puntos"t..sobre el f'lil'l- de aooeisas + cr Y-O", reapaetivamente.f:

;

,.,

:~ ..

-;,-

(33) i

TeniendQ en cuenta que el signo del ngulo tp debe reT eneste caso negati \i'O, puest-o que re mide. desde el eje ::z:: en l5outidode las agujas del reloj -fig. 37. (a)-) se deduce

a, =vA: =00 + DD =o, ~ a. + lil~'~)' + T', (31)a, =DE =OD-OD =cr'l a. - li(O, 2 cr'l' + T'. (32)

palea, puesto que no solamen te .f1.Ctuan atlga.a normales, sinotambin corta.ntes

lsobre lotJ planos perpendiculares a Jos

ej:f:i.::z::e-y.Pa.ra. oonstTuir el -c-irculo de fatigas en este CasD empleare~

IDOS primeramente las componentes de laa fatigaa OS' 0-" Y "t, Yobtendremos los puoto,]) y ]), -fig. 31 (b)-. Puesto que estosdos puntos oorreaponden a dos plano-s perpendiculares) la lon-gitud D D 1 ,era. un dimetro del circulo de fatigas. La nteroeD-cin de este dimetro oon e1eje x nos da. el centro O del clrculo ty. por t-a.ntQ, puede ste oo1l8truillie. Los- PWltOB de inWf8erC~ ..ci n A y B de la circonferenda COl el t::je z definen los valoresde las fa.tigli!:;; DormaJes mxima y mni.mtl. que representare-moa. por al y o:_ Mediante: seuC.1JJaa considera (.'"tones goomtri"'.'a3:se deduce

DEItg~~I=~DE

De la- figura se deducen tarobin las direcciones. CQl'l'6Bpon-dientes a las f~tigas princip~les, Sabernos que el ngulo DDAes el doble del que forman la fatiga a y el ej e Xl y puesto que.2", Be mide de ]) a A, en el sentido de los agujas del reloj, ladireccin da (Jl ser la indicada. en la figu ra. 31 (al. Si aislamos elelemento rayado en la figura mediante plEill08 uormal.. y paralelos a -erII sobre. estos pl11lLOS a.ctuarn ahora nica.mente fa~tigas normales de valar es-1 y G 2" Para el clcul'lo numrico delugulo '1' se deduce de la figura

46

.

f," f

t,

1 i

:a~ ... :DI: .... '!UJ...u~. _1'. I

poisson, en honor al matemtico franos que determin estareladn de modo. anaUtico usando Ja teora molecular oomo hi-rtesis de constituoin de loo IDateriales. Para materi..les quetengan 1M mismas propiedades elsticas en toda. dir

Ij.l")

,

1l'111:I

1")J)1J1)

J

:1:=JJ

))))

UOa

1))))

Q:e

51

'Flo~ 40

~' .. /1p L:':iPP lb)lo/

Problemas

14.Joo

AXLlSlS DE FATIGAS Y DEFORMAOIONES

..~ '> = - lO' X ~'8 X 10' (1 - 0,1) = -'O.OOM5a.

El vl)lume-n del hervidero a.umenta. en la relac.in

l. Determinar el Bumento de volumen d-al he.vidoro -oi lfudrioo deaooro ~l)mt!Jtido a. presin n~eor~ deo la. figura 3'~ despreciando la d0~fo wlll.c-in de loa extremos y romand o~ = (00 kg./om.:I;~

8ulucWn: U.E4lndo las ec.uB.cicmes (35) y {36).

400 200 3010 :1-1E"t'= 2'X'"1fiii - 0)3 2 x lijll = 2 X 10& = 17 x 10-

200 euya forma es unparaleleppedo rectangular est sometida So fuenao de extensin.que actan en dos direcciones pe.rpendioulares '" e 11 (fig, 34), elalargamiento en una de las direcciones depende no sola.mentede la fatiga en esa direccin 1 si no taro bin de 1& fa.tiga existenteen la direccin perpendicula:l'. El alargamiento unitario en la- ,

direcd6n del ej e :z: debido a lafatiga (]'~, ser N. La. fatiga. a~produce una contraccin lateral unitaria en la direccin x, cuyo

valor es. ~ ]j; por tantoJ al actuar- ambas fatigas aJ; y a., siroult-neamente~ el ale..rgamiento unita.rio en .la. diroooi6n ;;; oo-ra

"2. De~.('I'mina ..r el aumeu lo dCJ voDIlJmen d L": 1ma ba:rm produc. do .;.po.L' una. fUBl"m P qU-fI aet-a. en su &:xtremo inferiot y el peso propio dela. bElna (vase a.r Heulo . "', pg. 14).

Rapue8w": El aumtmtu d-e- vo-lum-en es

...1(1- 2 ~) (~+ r!).E ... 2

50

"

uANLISIS DE FATIGAS Y DEFORMAOIONES 53 II

. i

bT

Fm-.4Z

,4,II?..

III

eJs: = -al!" =-r~~.

('onsidcremo" .horo lR deformaci n del elemonto uJJcd. Al noexistir fatigM nOnTIa.l.. a la. carM del elemento, 1M longit.udesab, aJ, bo y de no cambiarn durante la. deformaoin; pero la dia-gcnal vert.lca-1 aoort.ar y la diagonal horizontal db alargar, mien-tras que el cUEulrado abcd se tran8forma. en el rombo indicado en

la ligura oon lineas de t.razos. El ngulo en a, que era. ~ antesde la deform acin, "" hace mayor que i; por ejemplo, ' + r,y al mlEllDo t.iempo el ngulo en b di=innye y St' transforma

.;l. ~~. en ' - r. El pequeo ngulo r mide ladietorsin del elemenro,':" abcd y se denomina deformaoln angulBf nnilaria. La exislen;". cia de esta deformacin puede verse tambin del modo siguiente.': . El elemento abcd de la figura 41 (al 00 gira. 450 y queda en la po-.. oioin indicada en la figura 42. De.pus de la distorsin, produ-1" cida por la fatiga corten!e, el mismo ele-". mento toma la. :posicin representada porf:: las tincas de trazo. La deCorma

Sustituyendo en la euua-e-i6n (a), :Be obtmer ~ (1 + f!l2= E

Para un ngulo pequeo como 1 puede ponerse" y ytg(~+I)= tg-+ tg: = 1+2.

4 2 l-tg': tg1 1-14 2 2

I

,----,

l~I ~11

11 ~l'

FlG. 43

I J... _ ..J_j,! ....-JOf,-

d-- /~I

ANALISlS DB FATIGAS Y_ 'DEYORMAmONES 55

Pl'oOblemasL El hInque ab-r..d de 1e. figura 42 estt\ hoobo de un roataa.l pa.ra

el q~ E = E:L X ll,)~ kg./cm. 'Y t = -0.2.(5. HBollar"'f Y el ala.rgamientoWl.i ldrio dE" te. dia.gtlnrd /:Id ~i T = aoo kg.{cm. l..

2. lh,Har en. el problema. anterioT -el ~rrimiooto fW.J da. lEL cara abreafI"C'C-lo a. la. cd si 1(1, dia.~fina.l bd = ISo 'em.

:3. Pr-obal' qua -el cambio de V(llurnen d-el bla que -rj!Jod de l.u. fjgu-rB 42 00 nulo si .ea conaidernn despt'eCiab1&1 las poten c:ias de oreen BU-lJeno r al Ill"jm~o de las compuneales da la deformacin E~ Y c:..,..

,.

t~

pequea. rotacin de UD extremo del tubo respecto al otro, lasgene.ratrices trazadaa sobre la superficie cilndrica. se inclinanreopee por la. ecuacin (39}, en cuanto .Ele conozcan E y ~. Para el acero,

,"-f

El estado elstico de fatiga. (',ortantc: pura. re pl'ocluce emrien ;tem ente en la to"in de un tubo circular (lig. 43l. Debido a la;

. ,

'1

:23

:! , I

00FIO. 46

00

2P'T = ---

rol"y. el dimctro neee.sario para el perno se obtiene de la eonadn

2P~,= _. (42)mi'

Otro caso simple de aplicacin de e.re mtodo elemental esel de problemas de cortadura 'en junt&! robloooclas (lici' ~J,

ANALISIS DE FATIGAS Y DEFOlUfAOIv.J.,ES 57

tudio a fondo del probleroa muestra que laa fatigna cortanresnO oe distribuyen de modo uniforme .0bre dichas acccioneo yque el perno experi.menta no slo cortadura, sino tambin fiexin hjo la accin de laa fnerzas e"teMora. P. De modo gro-,ero, el dimetro .oficiente para el perno se obtiene .uponiendoon dicho. planos m" y m,", una distribucin uniforme de fati-gas cortantes J cuyo valor se obtiene dividiendo la fuerza. Ppor la suma de las MOa.; de dicha. secciones mn y m,"" Por con-ffigllienwt

p:..'.'

,'.'-~-J: Comollas "babazas de lo. roblones se forman a altas temperatu-:"1- ra.s, os ro Iones pro dueen al enfriarse una gnul compresin-i.' .?b~ In. plancha.'. Al aplicar las fuerzas extenso,as P, el mo-i;' ~en to relativo entre las planch... esta. impedido por el roza1.. ffilen!Q debido a la pre.in snteriormente indicada entre plan-

,_ "has. So.lamente despus de vencido este rozamiento empiezan" t b~ a ra aJa.r por cortadura los. roblones~ y si au dimetro no es~~. suficiente, puede presentaI"8e una .rotura por cortadura- a. 10 lar-

~~ ]00:0 Exprriment.almente :Be- ha- vi st-o qua las fu tiga,8- de extenaiD en~.elltnb~ones son del ordl"'fi de la. fatiga. de fluencis. del mal.frial con QUt3-:~; 'l.'chos. ViJ.SIJ C .B....eh~ Ze.s~hr. d. VU'. Deu/.fi#l-.ln(J. 1'912.",$

t.~" .

'; .'

. ;:

(41)

-r, = 0,05 a 0,60 a,

la fatiga cortant6 pura .e presenta no .olamenre en la torBin 'sino tambin en ]a flexin de vigas. Sin embargo, muchas CM05 -~prctioos .e resuelven .uponiendo la di.tribucin uniforme de',.fatigas, aunque solamente sea. una. grosera aproximacin. SeaJ -;por ejemplo, el C!l5C del empalme de la figura 45. E. evidente que"e; el dimetro del perno ab no es .uficiente el empalme puede'fa.lltlf. debido a. cortadura por las Beccionoo mn Y ln1n1~ Un es-_ ':

lo que lndi"", que la fatigade trab..jo por cortadura deberi ser,mucbo menor qne la fatiga de trabajo a exteMill.

Se comprende fcilmente que en 1.... aplicaoiones pretiC!l5no ae encuentre la 'distribucin uniforme de fatiga cortant6 ,u-pueste paf& el bioque de la figura 42. Ms adelant6 veremos que

]. Pa.Ta obtener un punro de fluenda bien IJlQreado Be empleanprobel.al:l tubulares en los (:n;:;aY03 .a. t.o~j n,


donde n es el coeficiente de seguridad. Tomando e,te coelioi entedel mismu 'luden que en el caso de exteIl::5in o coropresill, 8~tierL6

de finenoia 1 B. Los. ensaY05 muestran que- pa.ra un material comoel acero corriente el punto da fiuencia. por cortadura. 'TFl vale d-e0,55 a 0,50 de ap,. Puesto que en el punto de finencia "" presentauna diatoroin con'iderable, .in incremento de la fat,iga cortante,es lgico t

59

FrG.5O

FIa. 151

ANAr..nu.c; DE FATlOAS y nRlI'ORMACIONH.'i

L1~ A ~ .. La. demo::;traei.n.n da r.sro propiednd puede vers-e en el Ubro de~, H. oppl, T~ch1J.i"ahe Ma:hanick, vol. V, pg. U J 191:Ft VOO,sIi;ll ta.mbin.'--:'. M. WeBtergElrs:ro. Z, GU9e:w. Moth-. M.h., Vo[I}. IV, pg, liZO. 19'2i.'-1.-

~:.,

mE!. 2 S ll\-.~ riimensiunes de' las seccione::; r.f:e-tas de todas las ba.1TasIWR 1-0 X :1:0 cm. SEl desprecia el efecto del rozBmiento.

18. Traccin o compresin en tres dlrecelones perpondlcu-lares.--Si lUla barra da forma. de paraleleppedo rectangular..t sometida a la aocin de fuerzaaP" P, y p. (fig. 50),1." taneion... normaJos a los ejes x, y y z 8on~ r-espectiva.menwJ

~, __ !:-~,. p r. p~.... G y = -, C!.1 = ~-.

A,!: Aw A"Se supone o-s > o)' > (]'~.rombinando 10. efecto. elo 1." fuerws

PSI P11 Y P It Be deduce que sobre una seocin cuyo plano p.as6pcr el ej" Z .olamente producen ftig'" 1.. fue".. P, y P,. ytambin que. estas fatigas pueden cal enlame por- las ecufLCiones.(26) y (27) Yrepresentarae grficamente nsanelo el circulo ele Mohr.En la figura 51 el cfrcnJo de dimotro A B representa est." fatigas.De la misma. manera-~ las fatigas ligadas. a una seccin que pasepor el eje", pueden rapreoeotal'lle por el oirculo cuyo dimetro ...

"( Be. ""'1 cfroulo ele dimetro Aerepresent-a- las fatigas afectas aseccionea producidas a travsdel eje y. Los treo afroulo. de

~fohr representan J.... fatig....pa.ra- las tres .series de seociones,),. tra.vs de ]08 ej es- x, y y z. Para-otra seccin indinada. respecto-& los ejes x, y y z, las componen-tes normel y oortaute ele la fatiga. -son las coordenadas de un

......~~' punto E'lituado en el rea- raya.da de la figura 51 l. Sentado esto,'.' 8e deduce que el m..ximo -esfuerzo cortante- estal' representado

~'. per el melio ele! mayor do los tres cfroulo. y vendr el.elo por la...... ecuacin .

f;jo.

".

.:.

,,.

FIG. 49l!'lG-. 48

Fa. 47

01. De.tel'mine.r la.s. di.mensicJonea l y ! en (11 enl8iC8- de dos ban'M_:~rectBn~ por planchas d ELoor-o {flg. .J Bl, SI las fue.rzaEl, las romea-eionas y hLS fe. tigas de l-raba.jQ Bon Ja.EI mii:31I1.8S qua en el problema. 2.-

6. D~te.rmjnfU' 1130 distaneis,. a nooesa:s:i1), i.'n la es-truo Lura. de. lB. figu.:1"11 J'i.I "l la t:u.tiga -COI'ltlllk ..... L-l'll.bujo es la. misma. que en el 'Pr.[]-blo"!:~

'kg.lcm,1 paTa

11:>. ~ I

." 61

(49)

(48)

(47)

Fw. 52

K.E3(1-2 ",

Problema!.

A ~ !'. = _ 700 x 3 (1- 2 x 0.3) = _ 3K 2 X 10" lO'

La. d.i.s.mjnuei 6n de volumen e:::;., por talltoJ4,2 nd'

. 104 X """""6 = 3.43 om.a

l. Dewl'wintir la disminuoin de volumen de- una esfera macizade (!.ceOO de ~ cm. de dimetro somet.ida e. una- pro-lIiD hidrosttioo -p = 10-0 kg./cm. s

8ftlmi6n: D", ta. ecuacin t-t~},

La dilatacin obica es proporcional a la fatiga de compre-Biu 'p e inversamente proporcional a la cantidad K, a la cualse oon006 con el nombre de mdulo de elaeticidad de volumeno m6dulo volumtrico.

y la ecuacin (44" 3(l-~,,)u=- E p.

Usando la notacin

A..."'iU8IB DF.: FATIOAS y DEFORMACIONES.

2. En la figura. 5:2 un cilimErn de goma. A est-oompl'imida aentro de un oC ilindro de acero B po rrula. fu:e:rze. P. Determinar la preai6n entre la goma.y el acero si P = 500 kg.; d = 5 cm.~ el m&hllo dePOi380.D pal'a Ja. gomF1. .t. = 0.45. Seo desprecia. el roze.mi-antoO en !.ore lB- goma. y el aC(~ro.

So~u.c L6n: Sea p la fe.tige.. de compresi6n en cua.-lquier a-:ooin nor--mal al ej~ ~'81 cilindro rq te. presin entre la goma y la superficie inter.Da del..o]hndro de acero. Fatigas de compresin del mismo valor qal-tuDol'M entre lB.!! superficies laterales de las fibras longitudinalood J ti-e 01 ndro de goma, del que hemos aisla.do un e.lemento de forme. dep,a:rslele.pfpOOo rea.t&ngwat" con C3l'aB pa.mlI!llIe.a aleje del eH indro (vaseflgurn Ei2}. Este elemento est an equilibrio ba.jo 1e. ac.cill de 16 fQtiga'~ de eompresj 6n axia.l p y la...! i&tgas q. Suponiendo que el cilindro de,. acero ea. abso-lutame.nt"fJ rfgido, el alargamiento intemo de la. oma

~. '

.~.

,.'

,.:,-

'.

-, :

,.

'..

.,'

'. ,e obtiene

(4

(43) J

RJI'..EH8TENOJA DE MATERIALES

a~ = a;:r = CI'.1 = -:P~

Las eouaciones (43) daup~.= e,= !I~~

, :;*c_..ee)

FIG.64

;-

.',

CAPITULO UI

FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

19. Tipos de vigas~-.En -este. captulo vam08 a. anaU...ar losUpos senoilloo de vigas que muestra la figura 64. La figura 64 (alrepresenta Utl& viga Con loo extremOB apoyad

".;...,

. ,

, !

,

1\5F U ~RZ.\ GORTA..~T.I!:: y M UME:NTO "FLECTOR

pl~uo. Por eslo, y debido .. !u ,imetria, deduoimo. que la flexin~ntece tambin en eat.. plano. En 1.. mayorJa de ]08 caaoa prc-~tlC05 se cumple esta condicin de simetr~ puesto que las seccio-1

ne..tido contracio al de 1....guj BS del reloj. .

LBS reaccione. producidas por otro tipo de ca;rgo.a 00bre lo!tipos anteriores de vig... pueden caloularoe por procedimientanMogo. .

Debe olgnificar,e que solamente en el CBSO de vigas de gr..,1m, tales como las que se emplean eu puentes, .e adoptan dil!

po.icionea eapecalos que penni

~ tan la. libre rotaci6n de los eJl~; I -1 tremo. y el libre despla~amien1i wP1l77 dr:>l "poyo m6vil. En ". caa

,..-..,.---

la izquierda de la seccin mn. es, por consiguiente, Rl-qx~ La E;Uma. a..lgbrico. de loo momentos. de todas las fnenas situtl-das

a la izquierda- de la. oocci6n mn con rclacin a. su c. de g. se obtiene restando del momento R1X" de la. reaccin el momento del. re,ultqnierdo de la viga -figll-ra. 57 (b}---. Las fuerz... exteriores que actan B

de 1... fuel"Z.ll8 que actan llObre el trozo izqu ierdo debe ,er igualy opuesl.. a la sum....lgbrio.. de las fuerzas que actan sobreel trozo derecho.

En 10 que. 6igue, al momento fieotor y la fu~rza. cortante enuna- ,seccin recta mn :f;6 tomarn positi \TOS si considerando el tro~

==

.,.

1(50)'0~ = V.

dr

J El peso del e!em-ento do [Ro viga se- desprecia en este anJisis.

tor y la fnerza oortante, la aocin del trozo derecho de la vinasobre el elemento est. represen1000 por el par y la fuerza inili--o,", dos, Si no actan fuerzas sobre la. viga. entre l8.8 seccionosm" y m,n, -6g. 60 (}-, las fuerzas cortantes en 1M do. sec-ciones. Eion iguales l.

Examinando los moment-os Hectores, se ve. que para el equi.Jibrio del elemento es preciso que 108 momentos fiee-tores no seaniguales y qU6 el incremento dM del momento !lector iguale alpar que representan laB dos fnerz,," opnesto.e V; es deoir,

dM = Vd",y

Por consiguiente, para ~row. de nM viga entre oarga. lafuerza cortante es la denvada del momento lIeotr respecto de "'.

Consideremo. ahora el ell80 en qne una carga distribuida deInten,idad q act6 entre 1....ecoiones m" y m,,,, -6g. 60 (b).

mEE ZA C"RTANTE y "O>.lENTO FLEC1'OR G9

ra 60). Suponiendo positivos el momenl" fieotor y la fuerzo cor-tanta en [a- seccin mn, la accin del trozo izq1erdo de la viga.llObre ei elemento est representado por la fuerza V y el par M,1,,1 oomo indioa la figura 60 (a). Del miBlllo modo, supordendoque en la seccin mIn- son tambin positivo.e el momento fiec~

-;..

:

-~-

j.

(-)..-~-----

Fm. ~8

RE818'I'ENCIA DE MATERIAL'RS

(+) -f>)-

.FIo. 9

zo de viga a la izquierda de la soocin 1... direociones obtenida'\son las de la figura 57 (e). Para materializar esl.. regla (lig. 58). Si el momento flect"ren eata8 seccione...:.; e:j positiVO.. las fuerzas a. la izquierda de lagecci6n mn da.n un momento en el :Eientido de las acaujas del re-loj y las fuerzas a la derecha-da la seccin m1n1 un momentoen sentido contrario al de 1"" aguja.s del reloj, tal como indicala figura- 58 {a}. Por este sentido de los momentos~ al flexarse la.

viga., re..o::;ults convexa por deba.j Q.Si 108 momentos flectores en las e;oodo nes mn y mI~ son nega.tiv08, laron ve x..idad ;!:;e pro duce hacia arri-ba, tal como ind iea la ligur~ 58 (b).Por oonslgniente, en aquello. trozosde una viga para loe. que el momen~tu i1eetor es positivo, la elsti"" "curva de flexin es convexa. bacia

abajo. ro ientras que en los trozos donde el momento fiector esnegativo moha elstica es convex& hacia arrib...

La- reg(a. de los l:;ignos para fuerzas cortantes Be materializ8en la figura 59.

21. RelacIn entre el momento !lector y la Inena cortant.-CUIude-remos. un elemento do UIl& viga .eeptuado por dos. t:leg..ciones adyacent&radas una diatanoia

10 RESISTENt."JA DE MATERIA LEf! l!'UERU OORT.AlrI'E Y MOMENTO- FLEC'TOB 71

"

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1

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,'""1)

-nff "~ Je~' ~ ~~bPaW~---------------~

(,)Fw. 61

cin. Por tan~, de estos ~alores. dependen los de las fatig,as.Pam simplificar el estudio de las fatigas en una 'Viga. es conv&oniente re prcsentnr do mod o grfico la varlaco del mamen lon.ctor y de la fuer"" cortante a lo largo del eje d. la viga. EnestEL- representaci 6n las. abscisas- iml.j can la posiMn de la 5ecciny 1M ardenadtlS los vala re..s del momento fl-ector y ~~ ta. fue~a.oodante ~ Ie8 pectivamente~ que actan sobre la aeCClon, toman-

dose los valores positivo! sobre el eje horizontal y 10B ne~fL,tivos.por deba.jo~ Esta.a representaciones grficas B6 denominan dia.~gramas del momento HectOr y de la. fuerza. cortante j respectiva.mente. Consideremos, por ejemplo~ una viga simplemente apo-yada solidtada poc una carga aislada P (fig. 61) '. Las roaccio-neH eu ~te caso son

E, Pb Pa=- y R,=-.I

Tomando una seccin mn a la izquierda d. P, se deduceque para. ella.

V=Pb Pby M=-x. (a)1

1 Por Sf'n CliUez. se- mmten los :rodiltol5 Ull los a.poY-Os mvi les de"'t3-ta. fig.r4 y El guie.ntca.

~ .

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~.

A"

!.-~.

.~

, '

j.

.~(1i1) "dV-=-q,dz

dM = Vd",- qaz x'!'!' .2

Despreclsndo el segundo trmino del segundo miero bro, por:ser una. caDtidad de segundo orden, Be obUene de nue\'o la ecua.--oin (50) y oe deduce que tambin en el caso de ce.rg~ distribuida ~1& fuerza oortante e.la derivada. del momento l!ector respecto a:c. 1

Si entre las secciones. adyacentes mn y m1JJ,. acta. una. -carga. ~concentrada P -fig. 60 (c.)-) se presenta.r un salto brusco en:.el valor de ia fuerna cortante. Sea V la furza oortante en la .... "Clin mn y V l \30 correspondiente a. la. BeCc.-io mlnl~

Del equilibrio del elemento mm,n,n, se deduce

V,= V-P.'Por consiguiente l el valor de la fuerza. corta.nte vad9. en la ~

cantidad l' al p...ar por el punto de .pIirocin de la ""rg". 'De la ecuacin (50) s. deduce que en el punW de aplicaoin

La. fucua corlan te y el n' omCll tn Re ct or t.j ene n el mismo~('ntido que ]os d{'. lEl3 figuras 58 (a) y 59 fll.) Y son, pflr cona.iguiellt.o, pOl;itivos. 1~C ve. tllle: la- fuenEL cortame permanc:t1 consatanta II lo ltLrgo _del troz.o de viga. situado .(l la- iz.tluierda de le.ca I'~a y q1Ie el momcnto ncctor va rIa prupu n ,jo [Uli mente II x.Para- x = O. el momento e8 nulo, y para z = a., es uecirJ rruL.i la.

Pabs.oocin dp. apljcflcirjn de la carga, el momento \~n!6 --l- Lostro7.N- Ctl1T("~'pOJl Jien tes de ]01:3- dirLgra.mas de fucrz.tl- 00 rtan le yIUlJmento tiector w .ven e.n las fjgums tJ.l () y 131 (e) r{!.spe-ctiv;fL~mente, .v tiOIl la s l{llel.15 (1 G Y a le 1" Parn. una seccin situada. El. la

(~~'n"'h1l- de h. {'argll: :::.c tiene

dolHli ~ .r:: es siempl'i;' 1:1 tl1sta lLl'ia a.l extrf' mo iz(tU ie rdo d~ la \" i~A..La fu~D'.n. N.trtHll \ el para. ('":::;t e- t [(J:t,O d.t' Ji l \. ii;'l. pe ['l tl a nCl ~e con.~

1.~111 ~ :y nC;;llth'a. J~n la figura (H (.&1 e:'itEL ruer:.".a e~t. representa-da llar la. li~.H"a c'b paralela al cjc' ..:r.. El II10mcl....J f[".......tur l~S una.

Puufandn lineal de x: 4ue para .[: = a- vale -{_. y que para- x = !Ci'I. nula.. E~ Bic In Pre positi vo y su varia_ei n a lo largo de lEL P [lr~de ....j~a ,~ la- den~dlU de la carga e::;l.i~ rcprC';:;enwdf1. IJur 1~ lneaTecla. c1b1, LM lUl~a.s quelJ-nlll.['ls fl.cc.'b j' aloClo 1 de la3 figuras G1tblY 61 (e} I't~pl'c:::-enf.'ln, respc-eti'ramente, los diagramas cle fuor:;r,a,corlante ~. molllcnto lcet.('Jr para toda la longttud d~ la \ga..

En el puntu .le aplica.ci{Jt1 de Ja. ca.rga P 1:;0 pmsl'lllll Ull E;..'l.ltobrusco en el \'a1.)1"' tic la. flLerz,;J" I;urtante de~.io ~~ ll0:;5.Lti\o ~b al

p" dnegativo ~ T y UIl cambio bru5~O en f'J cocfir.icntc a.ngular e-la t

GO@

jJ,:r'

"

,I11U,

1[>Ii,ill1,11,11 '

, I JI!)I'1,1;. J:1 1J21

I'I!I J

J)

I J,~

110.:~,

)))

76

qxM = - (1-0:).2

yV=q(i- x )Se ve que el diagrama de [nerza cortanle consiste, en esle caso,

valor posit;vo .. otro negativo nomo en la seocin de apllco.oi6nde la oarga P, (lig. 62), la pendienle en el diagrama de momento/leetor cambia tambiu de posit;va a neg..tiva. De aqul se de,duce que en esta ,ecei6n se present.. el momento lIentor mximo ,1Si V cembia de negati va a posi tiva, indica que a la seoci6n l~corresponde nn momento fiector mnimo. En el C!LSO generat e~diagmm a de fuerz.. cortanle puede cortar al eje horizontal en va-inos puntos. A cada punto de inters6ccin le corresponde un m-xi~roo o un mlnimo en el diagrama del momento !lector. Lo, valoresoumricos de tod"" ""to.s Dl';'ximos y mnimo. deben calcularseplir& encontrar el mayor de todos) numricamente considerado.

Consideremo~ ab ora el caso de una carga uniformemeo te diB4tribuida (lig. 63). Por 10 expuesto anteriormente (pg. 67), leneIDos que para una sec:ci6n a. w::3-tao oia. x del apoyo izquierdo

diagrama de momentn /lector el punto d" eo el que J.. inc lio a-cin del diagrama cambia de eigno. Segn la ecuarun (60~) estaincli oacin es ignal .. la fuerza cortante. Por cousigniente, ,elro omento fictor tom a. BUS valores mnimos o m ::dmos en lasBecci ones para. 108- que lB. fuerza cortante eambi& de signo. Si,movindonos a Jo lar'(o del eje x, 1.. fuerza cortn.nle cam bis. de un

~!:!~fllllI'II!I O!! !1,.---L

"

~,

..

,

'"

--0:

,.'

"

,

por Jneea rectas inclinadas. Para el treudo de esta.. lineas 0Efve que (e) y (h), para los extremo. x = O Y x = 1, dan valorel:nulo. Los momenros en los pontos de aplioaci6n do las oargll&se obtienen substituyendo,en lea expresiones (e), U) y (h), x = av!:z: = a2 Y x. = G-:3} respectivmnente. De este modo se. obtiene~para. dichos momentos lo.s valores i

1JI = R,a" M = R,a, - P,(a, - o,), y M = R"b,.Mediante estos valores puede trazal'S" fcUmente el diagram :de momento. lIentor"" -ligo 62 (e).

En las aplicaciones es roportante encontrar la..o;;; seccion .~para. ],ns que el m omento fiector toma BU valor mxi roo o .D'li:.nimo. En el caso considerado (lig. 62), el momento Oector m1}1O acontec-e baj O la carga P~. A est u (':arga. corresponde en .'

Finalmente, para el ltimo trozo de J viga se tiene "

V = - R" M = R.(!-x). (1l)~Por las expres;on"" (.) a (h) Be ve qne en cada trozo de la;

viga la fuerza cortante tiene la forma indicada en la ligur.. 62 [bj.:'El momento liector en cada trozo de la viga es una funcin;lineal de x, y l'0r cllo el diagrama COrreBp" ndiente es ~ formado.,

- ~

74

"

JI

"Ji,

Paro el trozo derecho de la viga, considerando las fuen"" a.1a derec.ha. de 1a seccin, se tiene

I

11! :~ ;i 1

:1'!I

77

trozo iz

(i)

JI = R,(l- xJ.

x-a.~I = R, 0;- q(x-a) X -- (k)2

)'

y

V=-R,

v = R,-q (o;-a.)

FPER7..A CORTA.NTE 'i "'[OME~~TO FLEcrOB

La fuena. cortante y el momento /lector para elqujerdo de la ,-iga (O < o; < al son

V = R, Y JI = J{,xPara una. seccin mn tomnda e.n el trozo cargado de la viga.,

la fuerza oortante w obtiene restando 1a carga q (o; - a), a 1,.iz.qui erdElo, de la reaccin Rl~ El momen to fiector en la- mis.ma5etci6n se obtiene res.tando el momento de la- carga a- la izquier~da de IR seccin l del momento de la reaccin R1 De esta. forma0ncontra-mos

Mediante las expresiones (i), (k) Y (l) 108 diagmmas de fuel',acortante y momento Redor pueden construirse con facilidad. Eldiagrama de fuerza. cortante ~fig, 04 (b)- consta de los troz.oshorizontales a 1('..1 Y d1b1 correspondientes: a las partes descarga-das de la viga y de la- lnea inclin ada. c1d, que se refi ere al trozo{,-3l'gado unro rmemen le. El dia-gram a del momento fiedor ~:figura (;4 (0)- consta de las dos lineas inclinadas a,o, y b,d" correspOlldientes a loa trozos descargad os y de la curva parablicaC{l,!, de ej e vertical. arecta a la parte cargada de la. viga~ Elmomento fi-ector mximo sepresenta. en el punto ~, correspon~meore al el' donde le.. fuerza -e-ortante cambia de -sgno. En lospun t-os c~ y di la parbola es t angente a. las lneas inclinadas u 2c'!y d,b" resl,eotivamente. Ello se deduce del hoollO dc que en 103punt-os cl Y d l .del diagrama de fUC-[':t.a cortante no eXiste cambiobrusco en el val ar de dicha fuerza cortante; por oonsiguente,en virtud dela ecuacin (fin) t no puede IJresentarse -cumbiobru:::;co en el valor de la pendiente del diagnuna del momentoflector en los punt.os correslJonrue-ntes ~ y d'J.o

En el ca.o de una mnsula (Dg. 65) se emplea el mi,mo m"'-todo para construir 103 diagra.ma.s de fuerza- cortante y momentoflector. 1Ilidieudo x desdl> el ~"tromo iZQuierdo d~ la vig.., Y

Si la carga l1nforme Ctibre s610 una part" de la IU7. (fig. M), ,podemos considerar tres trozos de la viga de lougitudes a, byo.:

" ! ' --rn-.--111,0,..

A} ,~~tiiI~I:i~d'.' .::;, .r~ (tt)

n,!1 ~~" Ii(o) ...

d, -'~

".L_J ---" ~(el

Flt.i. 61

Para 1n dcterminadn de las rea cci (Iones R 1 Y~ 8ubstltuire-~-:ro os la carga- tiniformemellte repartida. por su Tesultante qb. ~.

~a-8 ecuaciones de ro amen ~os de lB. esttica.J con rela.cin B. Y -A :se obtiene

b bR ='L(o+ )'1 2

en una Unes ..e~lfl inclinada) cuyas ordenadas para ;r = f'I Yo; = 1 80n f! y _ '1.1, respectivamenw - fig. 63 (b)-. De la ,

2 2expresin (i) se-deduce quoel ruagrama. del momento fieotor es:-en e'ite caso W1a. curva pa.rablica., cuyo eje es vertical y pasa"",por el centro del vano -fig. 63 (or-. Los momento. en los apoyo,,;ea "decir, para- x = O Y .z = l, 600 nulos, y el valor mximo deLmomento .acontece en el cent-ro de le. luz., all don de h}, fuerza:cortante ca.mbia de signo. Este m-rima se obtiene pcnie:ndo...:

o; = ~ en la expresl6n (i), lo que da2 .q!'

M rud = if~

'..,J

~

~r(

((

c.J~;((( ,(l'o ,.et::1l'l.l

'1((l((e(lLL[

FlG. 67

ProbJemas

FOERZA CORTANTIl y MOMERTO FLRCTOR 79

es mll n.. El momento ileC"tor mximo en valor numri CO, ascomo 1EL fuerz B. cortante ID ::rima. aconwt".en en eJ extremo Bde La. viga. Si ~ob~ la viga actan simul tneftmente oargas con~centradas y distnbuidas, es conveniente dibujar por separadolos diagramas correspondientes a cada clase de "argas, y obte-ner 10B valores totales de V o M, para CUJ3. quier sBc.ci6n~ .suman.do las ordenadas -correspondjentes a Jos das dRO'ramas parciales.Si, por eie,,:pto, tenemos 1M cargM concentr.:dM P ,. P, y P,(figura 62) SImultneamente con una carga uniforme (fig. 63), elmomento fleetor para. cualquer- seccin Be obUene Bum ando lasoroenadas correapond ientes de los diagrama. representado.s enlas figuras 62 (o) y 63 (el.

L Djbuja.t"~ Ilproximadflmel!te, Il. escala. los diA-gTJ~mas da ru","l'Z.8.col'lante y ~omo!:rt~ flec.tor oorrespondientes a la.s vigaf!l dala rigu.ra 67.Acolar {In d Lchoa d!agramaa 10.8 valo-res. m~jmo.s tanto positi vos COIDODf?g!Ltivos de- 1& fuena. cortante. y del momento Oeetor.

", ~

".l- ~:2:. Resolver 1311 mismas cuestiones del prohlema. anterior pe.re. 18.Sgas de La. figura. 68.

3. Una- mnall1a. solid tada- por una 'carga totBl W dts'f.ribu ida olla~ :dO que !1.umen.te lUl i formemente d~de eero. en el extremo izqUte.r-F J deol modo que mdica la.recta inclinada AO -fig. 6\1 {a}-, 6f!It empo.

,,

,~'

",

,

H

RESISTENCIA. DE MATERIALES

X qx'lM=-qzx-=--'

2 2El di agrama de fuerza cor- Fro. 66 ~

tante es la reota. inclinada a 6, Yel del momento !lector i.. parbola a,I>,. de eje vertical y tgente al eje horizontal en a" punto en. que 1fI fue~ oor

y

"11 (-) I,,\-,-----,p,ij=~____'b.

[b) c'

"'~

, ,

:I. ,

81

,

(-1

"1

m

Fm. 71

1Fw. i2

B! =- t.OOQ kg,

r+J

y

es la el1rVn pambl tea- aeb de Jl1

Fw. 70

1R, = ji IV = 2.000 kg.

F~RZ."" COR'rAN'l';'; y .\[ o ;\:[ENTO FLErTon

El di.o.graIll6 dE'- fuorza 001'tantefrgura.. 72 {b). El momento nectoren la socci 6n mn e.~

R xI::c- Ii',M = lX - l-V Ii X 3" ""'lllffl-U+----;[----!-1 ( :tI)=~ IV:r:~ l-Tit

Soluci6n: Las :reacciones en loe &POY08 son, en es:t-13 caso;

la figura /2 lUl, desde Clj.ro, un el tl-.xtremo t;qUCI"dQ. DilJoUjar a l:':sCEl-[a lo!!diagram(!,s de fuerza. oortante y momento flactor.si W = 6.000 kg. J'1- 7,20 Ifi.

,

.,

La rU6Tza cod.nnte en la. Booe:in mn- $6 obtief.l-e- l'l:Istando- la putW rayada-de la. ea-~ de la. reacei6n R l~ Por tauto,

E::)t~ Inomen ro est repr613entado por la Clll"lo""6 arel b] de: te 0'wfigurn 72- (e). El momentoflector 'l-------''"{;',----"maKi mo acontece en eJ~ donde 1B. L-~fue-rza. -oortaote ea.mbis. de signo y

1donde .z :::::.- y'3'

7. Unl'J. viga .simplemen00 apo-yade. A B sopoda Wla earga. l [is.tli bufda, cuya int-ensi dad est re.presentadll por- re.- Imea. A oB (ti.gura "} 3). Hallar las expresionc::;de la. fuerza cortante y del mo.roento fJ ector en le. seectn m:rlo.

Solucin.' Supon tcndo a la. earga tota-t lV a pficada. -en el O de- G del t.ringulo A aB, J.aa tOOccionE.'lS en

;.. I~ a.po ~"O:l- son:R_W I + b y R,=w l +".1- a al

El ti iagroa nla de f \l ['1'7..1\ cortante. este.represen [e.do en Le. fi gUifl- 69 (b) por 1.0par.b-o-J e. [] b de eje vel'ti ca! que pass. porel punto 11. El moment.o fleotor en le. soodon mtt se obtien e tomEL-ndo el rnoment4de la po.1'te d:, 'Cllrgl:l. royo da respectOal G de G d e le. Beccj 6n mn. Por tanto J

'" zM=-WJi X"3'

"1

"')

Fm. 119

.''-~=::=--,:-_~,--l'

--=:,-------"

Est.e momen to esu. represen tado POI1& curva G t b. en lB.- figura -69 (iC-).

14" ot. Una viga da longitud l apoya.dIuniforrnemen te en t-.ode. su longi Lud 80r"rta- -el] los e-xtremos d03 cargas iguales P {fjg. 70}. Dibujar los dil1.gro.mne dofuerza cortante y momento ncetor.

. Una vig(L. de longitud ~ e.poyadunifoT111cmente- en l

82 RE SlSTENClA n E MATERI.ALE!t I UEBZA l,.:Oit-T.d.NTB y MOMENTO FLHOTOH 83

. ti ll-u kg.oin. t

O' -=1,03 -cin..o. Dot::wnninl\f la fatiga. lU6-xilnu producida. en un alambre de ace

ro de dimet.ro d = O~8 mm.~ '!Juslldo 'sa arrolla a- una. polea. de diimetro D = ,fiG cm.

SolucWn; El alargamiento mximo debido u. la.. flexin. ecua1ljn 52,

a~ Una viga de madera de :e:cr~ci6n cuadradf!l, de 2.5 X 2.1) -om. eat-B.poyadfL. en A y B (f j g. 80), Y en 8Us. extremos. :se aplican las. carge.s 1'.Determ ular el veJ.or de P y la flecha. S en el centI'O, si A B = 5,4- m. tc:: = O~90 m.~ (O:Z6"1 =- 10 kg.tcm~1 y E =- lO~ kg./-cro.:L~

El peso de 1.1\ viga. :Be dea.]l't1':c i t~.Re8plU$la:

fi. Una regla de acero de aeooin recta 0~08 x 2.5 oro. y una lon~gitud t := :25 cm. se fle-Ktl.1 aplicando ptior6a ell 6US extremos en fOTUtLl,de arco eirculal' de- 60 Q.

Determinar la fa.tiga- mli-x roa y la flecha.8,,.juo-iguto DO BI en el que O es el contro de curvatura. Por tauto~

DBi =-r1_(r""':"',8)'I:::::> 2-r8 _ al.a E"~'!: mlly pequeo comparada con el :radio r y'la ce.ntidad SI pned80 de8~'-,:''H.:ejLl,rt;L,:. cm la expresin anteriorJ de este nwdo: :.

n~tefmiTlFLr lA. fatiga. ma.xima. en un eje de locomotora (fig~ .sO);F.:i lO = 31> cm. , el dimetro d del ejeea. :2 5 oro.. y la carga.. P en el extremo... 13.000 kg.

Soluci6n-; El momento flootor que.a-ct'8r en la pa.rte mecUa del aja esM - P X .-13.000 X 3kg. X cm.

La fa.f.iga. mt-xime.- por la ecm.a-cin t~O) es

M. = f z~y dA = r{ yzdA.E.b inlegral es el prodnolD de inercia de la seccin recta (vaseApndioe, pg. 341), Y es cero si y Y son los ejes principalesde la s"""i6n.

En nuestro CMO as S6 verifica y, por ta.nto, las condicionesde equilibrio quedan satisfeo1lss.

alrededor del eje horizontal (eje prinoipll.! z) que equilibra ,1par exterior. Alrededor del otro eje prinoip&l y, el momentoresultante vale

"

"

Si los e::dremoel de Ja viga. eAtn empotradoa~ .El.parecen en p,nClB,pares de reaccin taleE!J que deshagan la. ourva.tW'& dibida. al calont4lw-:,miento no uniforme. For tan'tro t ' f

Sustituyendo en la e[Jua.ei6n (51), 8& ti6Xli&Ky

cr,rs = 1.000 h-I

,1

~ 11,IrIr.~I

93FATIGAS EN L!..S VIGAS

10. Resolver el problema. 4, suponiendo que lB viga. ee de :m.adel'a~tiene seccin -cua.drada de 3-0 X 30 cm. y la inttmaid&d de la. carga uni 4formeme.nw distribuida. es 1..fi00 kg./m.

24. Vigas con formas diversas de seccIn recta '.-De ladiscl:Usin del prrafo anterior se. deduce qua la fatiga. mxima.de extenai6n o compresin en una ba-ITa. sometida- 8 flexinpura. co proporcional a la. distancia. de la. fibra ms alej ada a laI!IJ ea neutra de la. Beccin. Por tanto, si el material tiene lamisma resistencia a extensi6n y compresin, ser 16gico tomaraquellas formas de seccin recte para 1... que su centro de gra-vedad est a la mitad del ...nto de la viga. De e.te modo ten-dremos el mism o coeficiente de seguridad para las fibras exten-did... que para 1.... comprimidas. Es por es!

"

95

(b)

(a)

"d' 1Z=-=-A.d.82 8

FA.TIGAS EN LAts VIGAS

obtenerse en otro. 00 sos _En lo, li""ro, 83 (a) puede aum en to,rse,o, veces, el mdulo resistente de la seccin quitando las partearayad....

En una seccin circular -ligo 83 (b)- se anmenta, el mduloresistente en un 0,7 por lOO, quitando 10. segmentos rayado.cuya flecha es 8 = 0,011 d. En 01 easo de un& seccin triangu-1... -ligo 83 (c)-, el momento re -Bistante puede aumentarse matan- EJ Lh-do el ngulo rayado. ~.

Al proyectltr una viga aomet.de 'a flexn pura, no solamente de be IPI [/Ji 1)/ (cJconsiderarae la condicin de res;" Flo. SStenci B. t sino la de economa, al tenaren cuenta su peBO. De dos secciones de igual momento resisten-te. es decir, respondiendo a la resistencia con el mismo coe.fi~ciente de seguridad. -ea ms~econ6mica la de menor rea.

Consideraremos, en primer Mrmino, 1.. Beeeln rectangul&r dealtura h y ancho b. El m6dulo resistente es

Z= bIl' =!Ah66'

donde A representa el rea de la seccin.Se ve que la seccin rectsngular es tanto mm. eeonmiCll

cuanto mayor ~.. au al tura h. Sin embargo, hay un lmite para elaumento de h, debido a que la estabilidad de la viga di.'minuyea medida qne la seccin se estrecba. El fallo de una viga de see.cin rectangular muy estrecha puede deberse, no a sobrepM.rla re,stencia del material, sino a pandeo lateral (vase Segundaparle).

En eJ caso de una .Beccin e-iroular B6 tiene-

ComparemOll dos aeooionea: una oircul... y otra cu..mada,de igua.l rea. El lado " de la seeein cu..mada deber a = ..;';d.2 '

~.,

:.1"

RESISTENCIA DE lIATRRJ..l, y~'ES

py

FIG. 82

pares que- actan en el plano '~mrt-cal que pasa por una diago: .~nal (lig. 82), la fatiga mxima se prodnce en lo, ngulos pp. Si .;:ahora. cortamos la.s parte.s rayadas~ dejando una seccin hexago- ".;.nal de menor rea~ la. fatiga mxima. Be ha.br- hecho menor ;.

!"tsmbin.Sea o la Jonoitnd del la do del cuadrado. El mo mento de iner,

o oa, respecto al eje z (vase Apndice), ;.\

o'es 1 = -, y el mdnlo resistente 00-,

, 12rrespondient-e ser

'..->"Ync-,- Z

94

Z=I,V2= 112 a'.a 12 ;1

- - d 1Hagamos. ahora mp = IXa.. BIen o o:. ~-un nmero fraccionario que determi- ".naremOB ms adelante. ,

La nueva seccin recta- se Imada considerar formada por el .~onadrado mm,mm, de Jados a (1 - ~), y de dos l'araleiogra-.-mos mn nlm"

Su momento de inercia. res.pecto al eje z es

p. = ,:'~ - a)' + 2 . ao V2 [rz (l =-a1J' = o' (1- a)' (l + 30:) 12 3 112 12

y su mdulo resistente ser

l' v!.i 112Z' = -'-- = - a" (1- ~)' (1 + 3a).a(l-~) 12Si ahora se determina eJ valor de Ct, que ha.ce- mximo 8 Z'J ~1-'

se encuentra IX. = 9' Dando este valor a IX- S6 ve que I cortando ":los nmJos de la seccin cuadrada en la form.. dich&, la fatiga;

o

mxm& por la flexiu disminuye alrededor de un 5 por 100.:Este resultado se compreude fdlrnente oonsidcrando que el mo- ,mento resistente dela. seccin es la. relacin entra el momento

n!ij

i: .i '1 :, I, i I1,, '

I

91

!JJ

,

Fm, 36

:FATIGAS EN LAl:! LIOAS

.3. D-aterminar la oondicin pa.ra. la que la. diBminu-oin de airo-re nI de la s.eooi6n de la figura 86 venga. acompaada de- un a..wn~trodel momento resiatoent6.

Sol_:

1,12, 1 ,Q,?93.

2. Uetennine.:r 16 rela.ci6n (O'.s~m1 : {O:zJmilll para. Wl8 S-6ooi6n 'fin eCtIIDO la. de la figura. 85, si i -= - c.m.~ h -= 25 cm.. b "II:lI 60 cm.

Rupmal:

de donde

8oltu..Wn.: Pam SRtisfacer la condie:in del anuncis.do es nCCBsEUiuque la dtstane-ia. del c.entro de gravedELd de 1& sece-jn a. la fibra mosalejada del ale. .sa.tiaI&ga a la. condicin (l: = { h.

MCL... --Fro. 8

h' 100%= f+ h-.2, = 2 + 10-4 = 180m.

TQmRndo momoo.tos l'6Speco 8 le. cara inferior dGl ala. se tienellig",. ~t),

bh' an:Z=6h +T',

dZ bh' dh,.dh,=-~hl+3'La. eondici6n p&l'a que aumente Z al disminuir-1L1 es

oh' dI, . b hl6hl > T 2d > fii'

4-. Determina:r qu canti da.d debe qutarea de una ;e.-ec:cin -en for.me de tl'jnguto equjltitero -fig. g3 {c}- para obtener el mxi mo da Z

~. Determin8l' la relacin entre 108 pesOB- de tres viga.s dala- miemal~gtud, sometidas eJ. :mismo momento flecool' M y con igual (cr.z)puu11: las SOOCiOfioB8 .rectas slJIn un C'tlulQ~ un .cuadrado y Wl I'Dc.tngulO d{;lodimensionea h = 2b.

SQfuei6n:

;..,.

(o)~,1Z =-A".\1~X(hj' = Ah'.\1 \1 4 '

RR.')TST &.~H"J A Dt~ n.\TBRI_~ l. ~s

Z =0,141 Ad.

J. = \l X

Aplicando la eouacin (a), resulta

Problomasl~ Dewrmine.-r la anchura ~ del ale.. de Wl6 vige.. de fundioi '

cuya. seccin ea la de Ja. fjgura. 84-, si la fatiga. mEi.xi ma. -de extensi ,:debe ser un tercio de la. m.xima fatiga de- compresin. La. altura da :'viga es 11. _ 10 cm.; el grueso del aUna y del ala ea $ =:1 .2 om.

,

~(I=:=::II)~ 1me tiempo, y debide a la anehura d. i... alas, una viga enMr aiemwe ms estable respeote a efectes laterales da pand .que etra. rectangular de la miema altura. y memente resistente.~

FlCJ. 84

A ~te lmite se a-proxroan 188 secciones en [ de la. prctica.~ ,an las que la mo.yor parte del mo.terial estO. en las al.... Debido;'o. lo. existencia necesario. del alma de io. viga no puede aloan.arse'el valor (o) y para ia mayorla da les perfiles de catlogo se tiane,'da modo aproximado,

Z '" O,30 Ah. (d)'La cemparaci6n da (4) y (a) muestra que la seooin en (

es ma econmico. que la rectanguiar da la miema alturo.. Al mie-:.

Si este resuJw.do le comparamos con la ecuacin (b), .. ve ;qua 1", seccin cuadrada. es ms econmica. que la circular.

Estudiande la distribucin de ia ratiga con ia altUIo. (fig. 78), .i.a llega a la conclusin de que para qua una ..ccin sea eco- rnmica, la mayor po.rte del material de la viga dabe stua_ :'tan alajade cerno sea posibla da lo. lineo. neutra. El caso i!mite "serlo.: dado. uno. altura " y un rea A, situar reas da Vf>IQt :'

~ o. distancias ~ da la line'a nautra. Entonces,

96

.,

@~I(((o~

~(((l.eou:7C(l(eL(LLLL((l

!'Icblo"",' . FLG. 88

I -~ "-,'. e6

+

AR

1==:,..:~=~,t'-U:d,=_.:o:1~.d-'1 --ToIT ~

1 1, \: I

1M...~ 1.700 X 2'83 - 600 X 2' 2'83' - 240.000 kg. X cm.

El momento resist.-ente necesariD -es.

FIn. 87

FATTOA3 EN LS VIGAS 9~

z = ~e;:O = 200 cm.'Esta condicin queda satiafeohEL pa.ra

una 1 le.minada da altum :20 cm. reu, de lalIIeccin recta 33,40 cm,:I Y Z :=o 2.14 cm.~,catlogo de la Saciedad Mela.lrgi ca. DucoFelguem.

2. UnE!;. presf'. de Ill&dera. (fig. :B8~ estformada por tablones. vel't-icalea: tales como.d. B. dtJo seccin reeta.ngulB.r~cuya dimensin hes 30 cm.~ 8.JI'Oyadol! en 61lS e'Xtremo.s. Deter~millal' (O:JI;ltll.B-lo": si la lDngitud de hs barras. ea. ! = .'5-,4 m. y su peso 6e,desprecia,

Solucin: goo. b el anoho de un tabln. La presin nidrollttica so ~ore 61, repreoentedB. por 01 prllme ",i",,u1ar A BO, ea W = i bI'. la

Q = R, - '1" = 1.100~ 600 x.1.100

Esta. fuerza es cero pro. ::t:: = 600 = 2,83 m Pa:ra esta 8000iD

el momento es un mAlcimo:

La. fuerza. cortante pa.ra. cualquier 800cin dl:l la parle AO de la.viga. ea-

el diagrama. del eafuer:w cortant6 -fig. :B 7 {!:J)-. La. reacdn en al.t:l-O ap()l'W izquieTdo es

O, = 3,6 X eoo X 4,06~ 1,8 X 600 X o'e 1.100 kg.

.i.

,

.':,

RESISTENClA UE M.J..TERIAr..'ES

A continuacin daro"" diversos ejemplos de aplicaoi6n d;esta ecuQcin~

l. Determinft.T 1M dimensiones neeeMriae de un pedil cameroien 1 que ha de eopuol'tal' un:.a ca:rga distribuida. de t501J kg.jm. tal 00 ,:indica.ll1r figura 87, 'Biendo el coeficiente de tmbtljo (l:j =:o 1.'2-00 kg/lWl.~Se tendr. en cuenta. BOlaroente 1& fa.t.iga. normeJ y 8-& despreoiar- el ..de la. viga.. .-."

Rol-uci&n: P.e.ra. obtener la aeooin peHgrusa de la viga SIiII oona

Mmll.xa,= __ oZ

25. Caso general de vigas eargadas Iransvcrsalmente.-En 4el caso genera! de vigas cargadas transversalmente, la diatr;.-(bncin de fatigaa aobre una ""ccin transversa! de la. viga equi-'libra a la fuerza cortante y al momeuto f1ector correspondienlea)a dicba seccin. El clculo de las fRtigRS ae bace corriBlltemente)en dos etapas, deWrminando primeramBllre las fatigas produ-;cidaa por el momento f1eeror, llamadas fatig... de flexin Y des.;pUM 1aa fatigas cortantes producid... por la fuerza cortante..En esre artculo nos limitaremos a! clcnlo de las fatigas d,~',flexin, dejando para el prximo artculo el anlisis de 1... r.;. "tigas cortantes.

Para calcular las ratigas de flexin anpondremos qne dich... ;fatigas "" distribuyen del mismo modo que en el caso de la lIe-'xi6n pura Y emplearemos las f6rmulas deducidas en e\ ar-;tloulo 23. Los resultados experimentales muestran que esta mip6tesi. es auficientemente aproximada si la seccin que se con~aidera. no est my prxima a! punto de aplicacin de UJlI' earga,'concentrada. En las proximidades de la aplicacin de una. earga:concen trada la diatribuci6n de fatiga. ea ms complicada.. Este:'problema se estudiar. Bll la Segunda porl.. El c.lcuJo de w(fatigaa de f1exi6n "" realiza para. las .ecciones Bll las que el mo;menro lIector tiene BU valor mximo pooitivo o IlllgatiVO. Co'.nocido el valor mximo del momBllto f1ector y el valo

resistencia de materiales- timoshenko- 1º parte

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direccin n

n de rbo

toa ejeo x

fi fatiga normal

aeco d r

s peqljeas

s prisrn

s moleculare