resine epoxy

8/20/2019 Resine Epoxy

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Com posites Science and Technology 38 (1990) 371-386

M i c r o m e c h a n i c a l C h a r a c t e r iz a t i o n o f t h e N o n l in e a r

V i s c o e l a s t ic B e h a v i o r o f R e s i n M a t r i x C o m p o s i t e s

J a c o b A b o u d i

Department o f Solid Mechanics Materials and Structures Faculty

of Engineering,

TeI-Aviv University, Ramat-Aviv, 69978,

Israel

(Received 2 August 1989; revised vers ion received 6 November 1989:

accepted 16 No vem ber 1989)

A B S T R A C T

A microm echan ical analysis is prop osed fo r the determinat ion o f the overall

response o f unidirectional co m po sites with non-linearly viscoelastic resins.

Th e non-linear behavior is m od ele d by the single-integral constitutive

equa t ions deve loped by Schapery . The me thod is imp lem en ted fo r t he

pred ic t ion o f t he non- l inear v i scoe las t i c behavior o f un id i rec t iona l

g lass / epoxy and graph i t e / epoxy compo s i tes sub jec ted to var ious t ypes o f

loading condit ions. The predicted response i s com pare d wi th a f in i te element

solution and go od agreem ent between

t h

two methods i s shown to exis t .

I N T R O D U T I O N

P o l y m e r m a t r i x c o m p o s i t e s e x h i b i t t i m e - d e p e n d e n t e f f e c t s , i . e . v i s c o e l a s t i c

b e h a v i o r. T h e m a g n i t u d e o f t h e v is c o e la s t ic d e f o r m a t i o n s i n d u c e d i n th e

c o m p o s i t e b y a g i v e n l o a d i n g c o n d i t i o n i s d e p e n d e n t u p o n v a r i o u s f a c t o r s

s u c h a s s t r e s s l e v e l , t e m p e r a t u r e a n d h u m i d i t y . I n p a r t i c u l a r , f o r h i g h s t r e s s

l ev e ls , t h e c o m p o s i t e m a y e x h i b i t n o n - l i n e a r v i s c o e l a s ti c b e h a v i o r . A s a

r e s u l t , t h e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p i s n o t l i n e a r a n d t h e B o l t z m a n n

s u p e r p o s i t i o n p r i n c i p l e i s n o l o n g e r a p p l i c a b l e . I n s o m e c a s e s , t h e s t r e s s

l e v e l a t w h i c h t h e m a t e r i a l b e c o m e s n o n - l i n e a r a p p e a r s t o d e c r e a s e w i t h

i n c r e a s i n g t im e . 1 T h e i m p l i c a t i o n i s t h a t e x t r e m e l y l o n g t i m e p r e d i c t io n s

m a y r e q u i re th e u s e o f n o n - l i n e a r v i s c o e l a s t i c c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s e v e n f o r

v e r y l o w s t r es s le v e ls . C o n s e q u e n t l y , n o n - l i n e a r s t r e s s - st r a i n r e l a t io n s m u s t

b e e s t a b l i s h e d i n s u c h a w a y t h a t t h e m a g n i t u d e o f th e a p p l i e d l o a d s tr e ss o r

s t r a i n ) i s t a k e n i n t o a c c o u n t .

371

Composites Science and Technology0266-3538/90/$03 50 © 1990 Elsevier Science Publishers

Ltd England. Printed in Great Britain


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J A b o u d i

A m e t h o d f o r t h e r e p r e s e n ta t i o n o f t h e c o n s ti tu t iv e e q u a t i o n s o f n o n -

l in e a r v i s c o e l a s ti c m a t e r i a l s is g i v e n b y a p o l y n o m i a l e x p a n s i o n o f a m u l t i p l e

i n t e g r a l e x p r e s s i o n { s e e , e .g . L o c k e t t - ' a n d r e f e r e n c e s c i t e d t h e r e in ) .

E x p e r i m e n t a l d e t e r m i n a t i o n o f th e m a t e r i a l f u n c t i o n s in v o l v e d i n th i s

d e s c r i p t i o n r e q u ir e s a la r g e n u m b e r o f te sts . F o r t h is r e a s o n a p p r o x i m a t e

s i n g l e - i n t e g r a l c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s w h i c h i n c o r p o r a t e t h e n o n - l i n e a r

b e h a v i o r w e r e c o n s i d e r e d b y s e v e r a l i n v e s t ig a t o r s . 2

S c h a p e r y 3 h a s d e v e l o p e d s i n g le - in t e g ra l n o n - l i n e a r c o n s t i t u t iv e e q u a -

t io n s , d e r i v e d f r o m t h e t h e r m o d y n a m i c t h e o r y o f ir r ev e r si b le p r o c e ss e s.

T h e o n l y t i m e - d e p e n d e n t p r o p e r t i e s t h e se e q u a t i o n s c o n t a i n a r e t h e l in e a r

v i s c o e l a s ti c p r o p e r t i e s (e .g . c o m p l i a n c e s ) . F u r t h e r m o r e , f o r u n i a x i a l l o a d i n g ,

o n l y f o u r s t re s s- ( o r s t ra i n -) d e p e n d e n t n o n - l i n e a r p r o p e r t i e s e n te r , w h i c h

c h a r a c t e r i z e t h e n o n - l i n e a r e f f e c t s .

T h e s i ng l e -i n te g r a l r e p r e s e n t a t i o n o f S c h a p e r y w a s u s e d b y s e ve r al

i n v e s t i g a t o r s , e .g . R e f s 4 - 8 , t o d e s c r i b e t h e n o n - l i n e a r v i s c o e l a s ti c b e h a v i o r

o f c o m p o s i t e m a t e r ia l s . O w i n g t o t h e e x is ti n g a n i s o t r o p y , t h e c r e e p

c o m p l i a n c e k e rn e l i n c lu d e s se v e ra l c o m p o n e n t s t o c h a r a c t e ri z e t h e r e s p o n s e

o f t h e v i s c o e l a s t i c a n i s o t r o p i c m a t e r i a l i n t h e v a r i o u s d i r e c t i o n s . T h i s

n e c e s s i t a t e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e v a r i o u s v i s c o e l a s t i c p a r a m e t e r s i n

v a r i o u s d i r e c t i o n s ( e.g . f r o m 0 , 9 0 °, 1 0 ° sp e c i m e n s , et c. ; h o w e v e r , t h e n u m b e r

o f t e s ts n e e d e d is l i m i te d ) . 9 If a d i f fe r e n t f i b e r - m a t r i x c o m b i n a t i o n is

r e q u i re d , t h is c h a r a c t e r i z a t i o n m u s t b e c a r r ie d o u t i n d e p e n d e n t l y o f t h e

p r e v i o u s o n e .

A m i c r o m e c h a n i c a l a p p r o a c h f o r th e a n a ly s is o f c o m p o s i t e m a t e ri a ls

p r e d i c t s th e i r b e h a v i o r f r o m t h e k n o w l e d g e o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e fi be r a n d

m a t r i x m a t e r i a l s . S u c h a n a n a l y s i s re li es o n t h e s t u d y o f t h e d e t a i l e d

i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e f i b e r s a n d m a t r i x . A s t h e f i b e r s c a n u s u a l l y b e

c o n s i d e r e d a s p e r f e c t l y e l a s t i c ( i . e . w i t h n o t i m e d e p e n d e n c e ) , a n d t h e

m a t r i c e s g e n e r a l ly e x h i b i t is o t r o p i c b e h a v i o r , t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e

c o m p o s i t e f r o m m i c r o m e c h a n i c a l c o n s i d e r a t i o n s w o u l d b e r el a ti v el y e a si er .

T o t h is e n d , it w o u l d b e n e c e s s a r y t o d e t e r m i n e t h e n o n - l i n e a r v i s c o e la s ti c

b e h a v i o r o f th e u n r e i n f o r c e d i s o tr o p i c m a t ri x . M e t h o d s f o r t h e c h a ra c t e r -

i z a t io n o f n o n - l i n e a r v i s c o e la s ti c p o l y m e r s w e r e g i v e n b y P e r e t z a n d

W e i t s m a n ~° a n d B r u l l e r, 1L f o r e x a m p l e . A s o n l y t h e i n d i v i d u a l c o n s t i t u e n t

p r o p e r t ie s o f t h e c o m p o s i t e n e ed t o b e d e t e r m i n e d , th e m i c r o m e c h a n i c s

a p p r o a c h i s e x t r e m e l y c o s t - e f f e c t i v e , e s p e c i a l l y i f v a r i o u s f i b e r - m a t r i x

c o m b i n a t i o n s n e e d t o b e e v a lu a t e d .

S c h a f fe r a n d A d a m s 1 2'1 3 p e r f o r m e d a t w o - d i m e n s i o n a l f i n i te - e l e m e n t

m i c r o m e c h a n i c a l a n a l y s is f o r t h e p r e d i c t i o n o f t h e n o n - l i n e a r v i s co e l a st ic

b e h a v i o r o f u n i d i r e c t i o n a l c o m p o s i t e s w i t h e p o x y r e s i n s . T h e n o n - l i n e a r

c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e p o l y m e r i c m a t r i x w a s o b t a i n e d f r o m a s e rie s o f

e x p e r i m e n t s u s in g S c h a p e r y s i n g le - in t eg r a l r e p r e se n t a ti o n . T h e c o m p u t e d


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Non linear viscoelastic behavior of resin matrix composites

7

r e s p o n se o f t h e c o m p o s i t e w a s c o m p a r e d w i t h m e a s u r e d d a t a o b t a i n e d i n

v a r io u s s i t u a t io n s .

I n r e c e n t y e a rs t h e a u t h o r p r e s e n t e d a n a n a ly t i c a l m i c r o m e c h a n i c a l

t h e o r y f o r t h e p r e d i c t i o n o f t h e o v e r a l l b e h a v i o r o f f i b e r - r e i n f o r c e d

c o m p o s i t e s . T h i s t h e o r y i s b a s e d o n t h e a n a l y s i s o f a r e p e a t i n g c e l l i n a

u n i d i r e c t i o n a l c o m p o s i t e i n w h i c h t h e fi b er s a re d i s t r i b u t e d u n i f o r m l y in t h e

m a t r i x . T h e a b i l it y o f t h e t h e o r y t o p r o v i d e t h e o v e r a l l r e s p o n s e o f e l as t ic

t h e r m o e l a s t i c a n d l i n e a r ly v i s c o e la s t ic c o m p o s i t e s w a s r e v i e w e d in R e f. 14.

I n i t i a l y i e l d s u r f a c e s o f m e t a l m a t r i x c o m p o s i t e s a n d t h e i r e l a s t o p l a s t i c

r e s p o n s e w e r e a ls o p r e d i c t e d f r o m t h is m i c r o m e c h a n i c a l t h e o r y . R e c e n t l y ~5

t h e t h e o r y w a s u s e d t o p r e d i c t t h e o v e r a l l v i s c o e l a s t i c b e h a v i o r o f

u n i d i r e c ti o n a l c o m p o s i t e s w i th t h e r m o r h e o l o g i c a l l y c o m p l e x r e si n m a t r ic e s .

I n t he p r e s en t p a p e r t h e m i c r o m e c h a n i c a l m e t h o d o f c el ls is i m p l e m e n t e d

f o r t h e p r e d i c t i o n o f t h e n o n - l i n e a r v i s c o e l a s t i c b e h a v i o r o f u n i d i r e c t i o n a l

c o m p o s i t e s . T h e n o n - l i n e a r l y v i sc o e l a s ti c m a t r i x i s m o d e l e d b y t h e S c h a p e r y

s i n g l e - in t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n f o r i s o t r o p i c m a t e r i a l s . T o a s se s s c r it i c a ll y t h e

p r e d i c t io n o f t h e p r e s e n t m i c r o m e c h a n i c a l m e t h o d c o m p a r i s o n s w i t h th e

f in i t e - e l em en t so lu t io n o f Re f . 1 2 a r e g iv en . To th i s en d g l a s s an d g r a p h i t e

f ib e r s w e r e u sed to r e in f o r ce Her c u le s 3 50 1- 6 ep o x y r e s in th e n o n - l in ea r

v i s c o e la s t ic c h a r a c t e r i z a t i o n o f w h i c h w a s g i v e n i n R e f . 1 2. I t is s h o w n t h a t

g o o d c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e p r e s e n t a n d f i n i t e - e l e m e n t p r e d i c t i o n

e x is ts w h i c h s u p p o r t s t h e r e l ia b i l it y a n d a c c u r a c y o f t h e m e t h o d . T h e

p r e s e n t m i c r o m e c h a n i c a l a p p r o a c h c a n b e ea s il y a p p l ie d t o p r e d i c t th e

r e s p o n s e o f u n i d i r e c t io n a l c o m p o s i t e s s u b j e c t e d t o v a r i o u s t y p e s o f

c o m b i n e d n o r m a l a n d s h e a r l o a d in g s . T h e s i m p l i ci ty o f t h e m e t h o d r e su l ts

f r o m t he f a ct t h a t t h e p r o c e d u r e f o r th e d e t e r m i n a t i o n o f t h e c o m p o s i t e

r e s p o n s e w h i c h is c o m p u t e d p r o g r e s s i v e l y i n a s t e p w i s e m a n n e r i n v o l v e s

s m a l l s y s te m s o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s w h i c h a r e s o l v e d a t e a c h t i m e s te p .

G e n e r a l i z a t io n s o f t h e p r o p o s e d m e t h o d f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f th e n o n -

l in e a r v is c o el a st ic r e s p o n s e o f c o m p o s i t e l a m i n a t e s a n d c o m p o s i t e

s t r u c tu r e s a r e p o ss ib le . F u r t h e r m o r e i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e a p p r o a c h

g iv en in Re f . 1 5 i t sh o u ld a l so b e p o ss ib l e t o g en e r a l i ze th e p r e sen t

m i c r o m e c h a n i c a l a n a l y si s t o t h e p r e d i c t i o n o f t h e o v e r a ll b e h a v i o r o f

u n i d i r e c t i o n a l c o m p o s i t e s w i t h n o n - l i n e a r t h e r m o v i s c o e l a s t i c r e si n m a t r i c e s .

A n e x p e r i m e n t a l c h a r a c t e r i z a t i o n o f th is t y p e o f u n r e i n f o r c e d p o l y m e r w a s

given in Ref . 16.

M I C R O M E C H A N I C A L A N A L Y S I S

T h e c o n t i n u u m m o d e l f o r u n i d i r e c t i o n a l f ib e r -r e in f o r ce d m a t e r i a ls is b a se d

o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e c o n t i n u o u s s q u a r e f ib e rs e x t e n d i n t h e x 1


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J Aboudi

d i r e c t io n a n d a r e a r r a n g e d i n a d o u b l y p e r i o d i c a r r a y i n t h e x , a n d x 3

d i r e c t i o n s ( s e e F i g . l ( a) ). T h e c r o s s - s e c t i o n o f t h e s q u a r e f i b e r is h~ , a n d

h 2

r e p r e s e n t s i ts s p a c i n g in t h e m a t r i x . A s a r e s u lt o f th i s p e r i o d i c a r r a n g e m e n t ,

i t is s u f f i c i e n t t o a n a l y z e a r e p r e s e n t a t i v e c e ll a s s h o w n i n F i g . l ( b ). T h i s

r e p r e s e n t a t i v e c e l l c o n t a i n s f o u r s u b c e l l s / ~ ,7 = 1 ,2 . L e t f o u r l o c a l c o -

o r d i n a t e s y s t e m s t~c ~ (P ) ~ (m b e i n t r o d u c e d , a l l o f w h i c h h a v e o r i g i n s t h a t

~- 1 - 2 ~ 3 /

a r e l o c a t e d a t t h e c e n t e r o f e a c h s u b c e ll .

A s t h e a v e r a g e b e h a v i o r o f th e c o m p o s i t e is s o u g h t , i t t u r n s o u t t h a t a f i rs t-

o r d e r t h e o r y i n w h i c h t h e d i s p l a c e m e n t i n t h e s u b c e ll is e x p a n d e d l i n e a r l y in

t e r m s o f t h e d i s t a n c e s f r o m t h e c e n t e r o f t h e s u b c e l l (i.e . i n t e r m s o f £(2 ) a n d

~ ( ; h

- - 3 / i s s u f f i c i e n t f o r t h i s p u r p o s e . S e c o n d - o r d e r t h e o r i e s w e r e u s e d i n w a v e

p r o p a g a t i o n p r o b l e m s w h e r e a v e r a g e p r o p e r t i e s a r e c e r t a i n ly n o t s u f fi ci en t

f o r th e p r e d i c t i o n o f d i s p e rs i o n a n d a t t e n u a t i o n . T h e f o l lo w i n g f i r s t -o r d e r

d i s p l a c e m e n t e x p a n s i o n i n e a c h s u b c e l l i s c o n s i d e r e d :

u l ; ', - = w l ~ ; + . ~ ( 2 ~ ) ~ I ~ ; ' )- . T - '3 c ( ~ ') '/ '(~ ; ') v 'i i = 1 , 2 , 3 ( I )

w h e r e wl~r a r e t h e d i s p l a c e m e n t c o m p o n e n t s o f th e c e n t e r o f t h e su b ce ll , a n d

th e m ic r o v a r i ab l e s ~bl. ;) , ~,I ~') ch a r ac t e r i ze t h e l i n ea r d ep en d e n c e o f t h e

IX2

f i ers

/ f X

( a )

iX2

-F

J L I t . v : ] _ Y : 2 _ _ _ . ~

. ' i s . 2

: s z

l

i i . .2 L /

X3

F i g . 1 .

/ ~ X l

X3

b )

(a) Unidirectional fib er composite. (b) Representative unit cell.


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Non linear viscoelastic behavior o f resin matr ix composites 3 7 5

d i s p l a c e m e n t s o n t h e l o c a l c o o r d i n a t e s 2(2 ', 2~3 '. I n e q n (1 ) a n d t h e s e q u e l ,

r e p e a t e d fl o r y d o n o t i m p l y s u m m a t i o n .

T h e c o m p o n e n t s o f t h e s m a l l s tr a i n t e n s o r a r e g iv e n b y

e ~ .; " = x 2 [ O lu } ~ ' ~ '+ ~ i u l ~ ~ ' ] i , j

= 1, 2, 3 (2)

j

w h e r e ? l =

~ / O x ~ , ~ 2 = 3 /0 2 ( 2 a '

a n d 0 3 =

d / O 2 ~ ~ ' .

I n t h e p r e s e n t p a p e r , i t is a s s u m e d t h a t t h e f ib e r s c a n b e r e p r e s e n t e d b y

l in e a r ly e l as t i c a n d a n i s o t r o p i c m a t e r ia l s , w h e r e a s t h e m a t r i x is m o d e l e d a s a

n o n - l i n e a r v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l . I t s h o u l d b e n o t e d , h o w e v e r , t h a t t h e

p r e s e n t a n a l y s i s c a n e a s i l y b e g e n e r a l i z e d t o v i s c o e l a s t i c f i b e r s a s w e l l .

F o r t r a n s v e r s e l y i s o t r o p i c e l a s t i c f i b e r s , w i t h x ~ b e i n g t h e d i r e c t i o n o f

a n i s o t r o p y , t h e s t r e s s e s a r e r e l a t e d t o t h e s t r a i n s i n t h e f o r m

w h e r e

atP~) = C(% (t~r' fl = 7 = 1 (3)

O . 1 # 7 , = [ - 0 - ( 1 0 7 , , 0 . ( 2 0 2 , ', , f ig / I; ') ,3 3 0 " ( 1 # ~ ' 0 " ( 1 /1 3 / } ' 0 " ~ ' ) ]

~{a~., = [-e]a ie,, e(2a~/,, da;.,,33 2e 'ta~', 2dae'13,2e(2a3']

a n d t h e e l a s t i c i ty m a t r i x o f t h e f i be r p h a s e ( d e n o t e d b y ' f ') is g i v e n b y

C ( f ,

c? i c? ; 0 o 0

c(2f; o 0 0

c(2. 0 o 0

c~f~ 0 0

4

s y m m e t r i c ~f' 0

- 4 . ` *

. ( , - , ( f ) , ~ ( f ) " ~

q ' 2 2 - - ' - 2 3

(4)

T h e e l e m e n t s rtr~ i n

i j --- (4 ) c a n b e e a s i l y e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e e n g i n e e r i n g

c o n s t a n t s o f t h e f ib e rs .

T h e m a t r i x ( fl + 7 # 2 ) is c o n s i d e r e d a s a n o n - l i n e a r l y v i s c o e l a s t ic m a t e r i a l .

T o t h i s e n d , th e s i n g l e - in t e g r a l n o n - l i n e a r v i s c o e l a s t i c c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s

d e r i v e d b y S c h a p e r y 3 f o r a n i s o t r o p i c m a t e r i a l u n d e r i s o t h e r m a l c o n d i t i o n s

a r e u s e d . F o r a u n i a x i a l l o a d i n g , t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n i s o b t a i n e d :

e ( t ) = g o D o a ( t ) + g , f l

A D (¢ - # ' ) 0-~7

g z a ( , ' ) ] d r '

(5)

w h e r e D O s t h e i n it ia l ( t i m e - i n d e p e n d e n t ) v a l u e o f t h e c o m p l i a n c e a n d A D ( #)

is th e t r a n s i e n t ( t i m e - d e p e n d e n t ) v a l u e o f t h e c o m p l i a n c e , W h ic h re p r e s e n t s

t h e l i n e a r v i s c o e l a s t i c r e s p o n s e . T h e r e d u c e d t i m e ~ (t) is d e f i n e d b y

= [

d r / a .

6 )

3 0


6/16

376 J . A b o u d i

w h e r e a , i s a t i m e - s c a l e s h i f t f a c t o r , a n d ~ ' = ~ (t'). T h e f u n c t i o n s g o , g t , g 2 a n d

a , d e p e n d o n t h e s tr e ss l ev e l a . T h e B o l t z m a n n r e p r e s e n t a t i o n f o r l in e a r ly

v i sc o e la s t i c m a t e r ia l s u n d e r i s o t h e r m a l c o n d i t i o n s c a n b e r e c o v e r e d f r o m (5)

b y s e t t i n g g o = g t = g 2 = a , , = 1 .

G e n e r a l i z a t i o n o f th e c o n s t i t u t i v e e q n (5) to m u l t ia x i a l l o a d i n g w a s g i v e n

b y S c h a p e r y . 3 F o r i s o t r o p i c m a t e r i a ls , t h e r e p r e s e n t a t i o n i n v o lv e s t w o

i n d e p e n d e n t f u n c t i o n s i n s t e a d o f t h e s in g l e f u n c t i o n A D ( ~) i n e q n ( 5).

F o l l o w i n g R e f . 1 2, w e a s s u m e i n t h e p r e s e n t a n a l y s i s t h a t t h e o n l y c o u p l i n g

b e t w e e n a p p l i e d s t re s s e s is t h a t d u e t o t h e P o i s s o n e f fe c ts . T h i s a s s u m p t i o n

l e a d s to t h e f o l lo w i n g m u l t i a x i a l n o n - l i n e a r v i s c o e l a s t ic r e l a t i o n s h i p s f o r t h e

i s o t r o p i c m a t r i x (fl + 7 -¢ 2 ):

e #.~) = (1 + v ( t ) ) { D } t r l ] ~ ' - v ( t) { D } a ~ k k ~ ) 6 i j (7)

U

w h e r e t h e o p e r a t i o n f r ~ a is d e f in e d b y th e r i g h t - h a n d s id e o f e q n ( 5), a n d

v ( t )

u j

is t h e t i m e d e p e n d e n t P o i s s o n ' s r a t i o o f t h e m a t r i x m a t e r i a l.

T h e a v e r a g e s t re s se s , 6i~ , i n t h e c o m p o s i t e a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e a v e r a g e

s t r e s s e s i n t h e s u b c e l l s , S ~ ] ~ , i n t h e f o r m

2

= y 8 )

f l , 7 = l

w h e r e t :~ . = h h , . , V = ( h i h 2 2 , w h i c h is th e a r e a o f t h e r e p r e s e n t a t i v e c e ll ,

a n d

S [ ~ 7 ) = - - 1 l a a 2 l h > . / 2 , - , -- 2 , ~ - - 3 9 )

U f l 7 J h f l / 2 J b y ~ 2

T h e c o n d i t i o n s f o r th e c o n t i n u i t y o f t r a c t i o n s , w h i c h a r e i m p o s e d a l o n g

t h e i n t e r f a c e s o f t h e s u b c e l l s o f t h e r e p r e s e n t a t i v e c el l i n a n a v e r a g e s e n s e,

l e a d t o ~ v

S ~ l e ~ c ~ 2 e ) ( 1 0 )

2i ~ - 2i

S( f l l ) C( /~2)

(11 )

3i = - 3i

T h e c o n t i n u i t y o f th e d i s p l a c e m e n t s a t t h e i n te r f a c e s b e t w e e n t h e s u bc e l l s

a n d n e i g h b o r i n g c e l ls a r e g i v e n b y t7

w~~~ ' = w l a 2 ' = w 1 2~ ' = w l z z ' - w , (12 )

h l ~ b l ' ~ ' + h 2 ~ 2 ~ ' = ( h t + h 2 ) ~ x 2 W i (13)

0

h , ~ ' l # 1 , + h 2O ~# 2 , = ( / h +

h 2 ) 7 - - - w i

(14 )

CX3


7/16

N o n - l i n e a r v i sc o e l a st ic b e h a v i o r o f re s in m a t r i x c o m p o s i t e s 3 7 7

T h e a v e r a g e s t r a i n i n th e c o m p o s i t e i s g i v e n b y

2

y ,, ~ ~ . )

g ij -= --~ '~13 , ~ij

l . . . d

# . ' / = 1

U s i n g e q n s ( 2 ) , ( 1 3 ) a n d ( 1 4 ) , w e r e a d i l y o b t a i n t h a t

1 5 )

I / ' ' i

w f k

gii=-~t~xj + ~

(16)

T h e m i c r o m e c h a n i c s a n a ly s i s e s t a b l i s h e s t he r e l a t io n s h i p s b e t w e e n t h e

a v e r a g e s t r e s s e s , ~; j, a n d t h e a v e r a g e s t r a i n s , g~j, i n t h e c o m p o s i t e , w h i c h l e a d s

t o t h e d e t e r m i n a t i o n o f it s o v e ra l l b e h a v i o r .

S u b s t i t u t i o n o f (3 ) i n (9 ) l e a d s, i n c o n j u n c t i o n w i t h (2), to t h e f o l l o w i n g

r e l a t i o n s i n t h e f i b e r r e g i o n f l = 7 = 1 :

, - , (f) ,4d t 1) , . ,{f) . I , (1 1 ) ( 1 7 b )

S(11) c]f~2g + . . (r ). ll 1~ . . it) ,/,{ tl (1 7c )

3 3 = 1 ~ ' 2 3 W 2 °i - - 2 2 7 ' 3

1 2 = t 4 a . - t O . \ . 1 { -

17d)

sp3 = c o ? )

,L\~--~-i + (1 7e )

S ( l l ) . ( f ~ { ,4 ~1 11 ) 0 ( 2 1 l

2 3 ~ - - t - 6 6 t W ' 3 1 - ( 1 7 f )

I n t h e m a t r i x r e g i o n (fl + 7 g : 2), t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s a r e o b t a i n e d f r o m

e q n s ( 7 ) a n d ( 9 ) :

g l~ = (1 + v ( t ) ) { O } S ~ e' - v tt ~s[ I~ kk ( 1 8 a )

~b~2aT'= (1 + v ( t) ){ D } S ~ a ~ : ' , , t , ~ f n ~ c ' ,

- - v , t - s o k k ( 1 8 b )

~3Pr ' = (1 + v ( t) ) {D } S ~ P J , - v ( t ) { D } S ~ ' : ' (1 8 c)

0't '2 q~]#~'= v( t ) ){D} S~:2 ' 18d)

8 x - - - 7 + 2(1 + (

C'W3 ~fllBT) v ( t )) { D } S ~ # 3 ' ( 1 8 e )

- + = 2 ( 1 +

~b~3#~'+ ~2P7' = 2(1 + v ( t ) ) { D } S ~ 2 # J ' ( 1 8 f )

I t is r e a d i l y s e e n t h a t i n t h e m a t r i x r e g i o n ( fl + 7 ~ 2 ), e q n s ( 18 ) f o r m a s y s t e m

o f n o n - l i n e a r e q u a t i o n s , a s a re s u l t o f w h i c h i t i s n o t p o s s i b l e t o e x p r e s s t h e

s u b c e l l s t r e s s e s S ~ f f~ d ir e c t l y in t e r m s o f t he m i c r o v a r i a b l e s . C o n s e q u e n t l y ,


8/16

3 7 8 3 . boudi

t h e s o l u t i o n p r o c e d u r e i s i n c r e m e n t a l i n t h e se n s e t h a t i t is a p p l i e d s t e p b y

s t e p in t i m e u n t il t h e v a l u e s o f th e f ie ld v a r i a b l e s a r e o b t a i n e d a t t h e

r e q u e s t e d t im e . T h e f u n c t i o n s go , g ~, g 2 a n d a ~ t o b e u s e d i n t h e e q u a t i o n { D }

in (1 8) a r e t a k e n t o d e p e n d o n t h e e q u i v a l e n t s tr e ss S ~ ~) ( r a t h e r t h a n t h e

s i n g l e s t r e s s w h i c h e x i st s in t h e u n i a x i a l r e l a t i o n s h i p ( 5 )) . T h e e q u i v a l e n t

s t r e s s i s d e f i n e d b y

= - +' ' , - - _ -

R ( ~ , ( / / ; ,) / 2 ' ~ i K , ( ~ ; , ) ~ 2 ) 1 2

+ 3(S{tt2 )) + ~ -'13 , + o,'-'z3 , ~ (1 9)

L e t u s c o n s i d e r t h e c a s e i n w h i c h t h e c o m p o s i t e i s s u b j e c t e d t o n o r m a l

s t r e s s e s # 1 l , 6 , 2 , 0 33 , fo r w h i c h r e s u l t s a r e g i v en i n t h i s p a p e r a n d a f i n i t e

s o l u t i o n is a v a i l a b l e . 12 A t a n y t i m e t th e i n t e g r a l e x p r e s s i o n s i n v o l v e d i n

e q n s ( 18 ) a r e a p p r o x i m a t e d a s f o ll o w s . L e t a t y p i c a l in t e g r a l b e r e p r e s e n t e d

i n t h e f o r m

f o g ' '

I ( t ) = A D ( ~ - - ~ ) - O f q ( t ) d t (20)

T h i s i n t e g r a l c a n b e a p p r o x i m a t e d a t t h e c u r r e n t t i m e t a s f o ll o w s :

I ( t ) ~ - ½[AD (~(t) - ~(At)) + A D ( ~ ( t ) - - ~(0)) ] [q (A t ) - - q (0 ) ]

+

+ ½lAD(0) +

A D ( ~ ( t ) - 4 ( t - A t ) ) ] [ q ( t ) - q ( t -

At}] (21)

w h e r e A t is a t i m e i n c r e m e n t . T h e f u n c t i o n ~ (t) ( w h i c h is g i v e n b y e q n ( 6)) c a n

b e e v a l u a t e d b y th e t r a p e z o i d a l r ul e. A s t h e f u n c t i o n q ( t ) i n (2 1 ) i n v o l v es t h e

s u b c e l l s t r e s s e s S { ~ ; ) , S ~ f l ~ ) an d S ]~ ) (13 + 7 ¢= 2 ) w h i c h a re a s y e t u n k n o w n a t

t i m e t , t h e i r v a l u e s a t t h e p r e v i o u s t i m e s te p t - A t a r e u s e d . T h i s p r o v i d e s a

s u f fi c ie n t a c c u r a c y f o r s m a l l v a l u e s o f A t . C o n s e q u e n t l y , a t e a c h t i m e s t e p a

s y s t e m o f 2 3 l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n s is so l v e d i n t h e e i g h t n o n - t r i v i a l

m ic ro v a ri a bl es q~t~.), ~,~t~r), hr ee c o m p o si te s t r ai ns g~t , g2_,, g33 a n d 12 su bc el l

s tr e s s e s S]e~ '), S~2e2') a n d S~t~3~). T h e 2 3 eq u a t i o n s a r e g i v en b y eq n s (10 ) (w i t h

i = 2 ), eq ns (11) (w i th i = 3 ), eq ns (13) (w i th i = 2 ), eq ns (14) (wi th i = 3 ), eq ns

( 1 7 a )- ( 1 7 c) , e q n s ( 1 8 a ) -( 1 8 c ), a n d t h e g i v e n v a l u e s o f t h e a p p l i e d s t r e s se s ~ ~,

#22 a n d O a3 a t t i m e t. S i m i l a r t r e a t m e n t c a n b e a p p l i e d f o r t h e c a s e o f a p p l i e d

s h e a r s t r e s s e s .

A P P L I C A T I O N S

T o e x a m i n e t h e p r e d ic t e d r e s p o n s e o f th e u n i d i r e c t i o n a l c o m p o s i t e b y t h e

p r o p o s e d m i c r o m e c h a n i c a l a p p r o a c h , e x t e n s iv e c o m p a r i s o n s w i t h t h e f in it e-

e l e m e n t a n a l y s i s o f S c h a f f e r a n d A d a m s 12 a r e g i v e n , f o r H e r c u l e s 3 5 0 1- 6


9/16

N o n - l i n e a r v i s c o e la s t i c b e h a v i o r o f r es i n m a t r i x c o m p o s i t e s

TABLE 1

Elastic Constants of Glass and Graphite Fibers

379

E A G P a ) v a E r G P a ) vT

Glass 86 9 0 22 86-9 0-22

Grap hi te 221 0.2 13 8 0-25

E, and v~, denote the axial Young's modulus and Poisson's ratio, and

E r and v are the transverse Young' s modulus and Poisson's ratio.

e p o x y r e si n r e i n f o r c e d b y p e r f e c t l y e l a s ti c g la s s a n d A S g r a p h i t e f ib e rs . T h e

r e i n f o r c e m e n t v o l u m e r a t io i s 6 3 % u n l es s m e n t i o n e d o t h e rw i s e . T h e

p r o p e r t i e s o f th e m a t e r i a l p r o p e r t i e s o f th e f i b e rs a r e g iv e n i n T a b l e 1. I t

s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e f ib e r s a r e a s s u m e d t o b e h a v e t i m e - i n d e p e n d e n t l y ,

i . e . t o s h o w n o v i s c o e l a s t i c b e h a v i o r .

T h e i ni ti al v a l u e o f th e Y o u n g ' s m o d u l u s o f th e i s o t ro p i c e p o x y m a t r ix is

E t

= 0 ) = 4 . 1 4 G P a a n d i ts P o i s s o n ' s r a ti o is a s s u m e d i n R e f . 1 2 t o b e t im e

i n d e p e n d e n t , w i t h a v a l u e o f v = 0 -3 4.

T h e f u n c t i o n s g o , g t , g 2 a n d a , o f t h e H e r c u l e s 3 5 0 1 -6 e p o x y r e si n w e r e

d e t e r m i n e d i n R e f . [ 1 2 ] f r o m a s e ri e s o f e x p e r i m e n t a l r e s u lt s i n c o n j u n c t i o n

w i t h t h e t e c h n i q u e d e v e l o p e d b y L o u a n d S c h a p e r y . '~ T o t hi s e n d , t h e p o w e r

l a w w a s u s e d f o r th e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t r a n s ie n t c r e e p c o m p l i a n c e

f u n c t i o n A D ( ~ ) , i . e .

AD (~) = C~ ~ (22)

w h e r e C is a c o n s t a n t a n d n is t h e e x p o n e n t .

T h e f u n c t i o n g o ( a ) = 1 f o r a < 1 7 M P a . F o r o > 1 7 M P a i t w a s f o u n d t o

r ise l in e ar ly f r o m g o = 1 a t a = I 7 M P a t o g o = l . 0 9 a t a = 1 3 8 M P a .

S i m i l a r l y , t h e f u n c t i o n g t ( o ) = 1 f o r 0 < 1 7 M P a , a n d f o r o > 1 7 M P a i t r is e s

l in e a r l y t o g t = 3 38 a t 0 = 1 3 8 M P a .

T h e g r a p h s o f t h e f u n c t i o n

g2 0)

a n d t h e s h i f t f a c t o r a ,, a r e s h o w n i n F i g s 2

a n d 3. C u b i c s p l i n e s c a n b e e a s i ly c o n s t r u c t e d t o r e p r e s e n t t h e s e f u n c t i o n s .

I n F ig . 4 th e c r e e p r e s p o n s e o f th e u n r e i n f o r c e d e p o x y m a t r i x d u e t o an

a p p l i e d u n i a x i a l s t re s s o f a = 13 -8 M P a is s h o w n . T h e f ig u r e g i v e s t h e

e x p e r i m e n t a l r e s p o n s e , t h e f i n i t e - e l e m e n t s o l u t i o n o b t a i n e d i n t h e p r e s e n t

s i t u a t i o n o f n e a t r e s in ~2 a n d t h e p r e s e n t r e su l ts . T h e l a st a r e b a s e d o n t h e

f o l l o w i n g v a l u e s : C = 6 - 2 9 3 / ( M P a - h o u r s ) , a n d n = 0 2 6 t o b e u s e d i n e q n

(22 ). I t c a n b e s e e n t h a t g o o d a g r e e m e n t e x i st s b e t w e e n t h e t h r e e c a s e s . It

s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e s tr a i n s c a l e i n t h e f ig u r e is e x p a n d e d , a n d t h a t t h e

i n i ti a l s t r a i n e (t = 0 ) f o r t h e p r e s e n t c a s e o f a r e l a t iv e l y l o w a p p l i e d s t r e s s , i n

w h i c h n o n - l i n e a r i t y is n e g li g ib l e , h a s t h e v a l u e o f 0 . 3 3 % .


10/16

3 8 0 J A b o u d i

Fig . 2 .

1.0

0 . 8

0.6

O ~

0.4

0.2

[

0 20 40 60 80 I00 120 14(9

O (MPQ)

S t r e ss d e p e n d e n c e o f t h e f u n c t i o n g 2 w h i c h c h a r a c t e r i z e s t h e n o n - l i n e a r b e h a v i o r o f

t h e H e r c u l e s 3 5 0 1 - 6 e p o x y r e s in . ~z

I n F i g s 5 a n d 6 th e r e s p o n s e o f t h e u n r e i n f o r c e d r e si n is s h o w n f o r a p p l ie d

s t r e s se s o f 5 5 2 an d 1 31 MP a , r e s p ec t i v e l y . H e re , t h e e f f ect o f n o n - l i n e a r i t y i s

a p p r e c ia b l e a n d t h e c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d p r e d ic t e d

r e s p o n s e b y t h e f i n it e - e le m e n t p r o c e d u r e t2 a n d t h e p r e s e n t a p p r o a c h is fa ir .

I n b o t h f i g u re s t h e n o n - l i n e a r c h a r a c t e r i z a t i o n f u n c t i o n s g o, g =, g 2 a n d a ¢ a r e

o p e r a t i v e .

H a v i n g e s t ab l is h e d t h e a c c u r a c y o f t h e m o d e l i n g o f th e u n r e i n f o r c e d

m a t r i x ( w h i c h i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e c o n s t a n t s D o , C a n d n a n d t h e

b

o

Fig . 3 .

I.O

0.8

0.6

0.4

0.2

I I 4 l [ - ~ I 1

0 20 40 60 80 I00 120 140

O MPo,)

• l .

S t r e s s d e p e n d e n c e o f t h e s h i f t f a c t o r , a~ ,, o f t h e H e r c u l e s 3 5 0 1 - 6 e p o x y r e s in . -


11/16

0 . 5 7 5 - -

~V

0 . 3 5 0

0 . 5 2 5

o . 3 o c I I I

5 I .O 1.5 2 . 0

t ( h o u r s )

F i g . 4 . P l o t o f s t r a i n a g a i n s t t i m e o f t h e 3 5 0 1 - 6 e p o x y r e s in s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l st re s s

l o a d i n g ¢ = 1 3 - S M P a . ( ) M e a s u r e d r e s p o n s e , ( . . . ) p r e d i c t e d r e s p o n s e b y a fi n it e -

e l e m e n t m e t h o d , Z2 ( _ _ _ ) p r e s e n t m e t h o d ( e ( 0 ) = 0 - 3 3 % ) .

1 . 6

1 . 4

1.2

1 .0

p • • •

I I I

. 5 1.0 1.5 2 . 0

t ( h o u r s )

F i g . 5 . P l o t o f s t ra i n a g a i n s t t i m e o f th e 3 5 0 l - 6 e p o x y r e s i n s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l st re s s

l o a d i n g t r = 5 5 '2 M P a . ( ) M e a s u r e d r e s p o n s e , ( . . . ) p r e d i c t e d r e s p o n s e b y a f i n i t e - e l e m e n t

m e t h o d , t~ ( - - - ) p r e s e n t m e t h o d ( e l 0 ) = 1 . 36 % ) .

4 . 0 0 -

3 . 7 5 ~ •

3 . 5 0 . o

W

3 . 2 5

3 . o ~ I 1 I I

. 5 I .O 1 .5 2 . 0

t ( h o u r s )

F i g . 6 . P l o t o f s t r a i n a g a i n s t t i m e o f t h e 3 5 0 1 -6 e p o x y r e s i n s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l s t re s s

l o a d i n g tr = 13 1 M P a . ( ) M e a s u r e d r e s p o n s e ( . . . ) p r e d i c t e d re s p o n s e b y a f in i t e - e l e m e n t

m e t h o d , t2 ( - - - ) p r e s e n t m e t h o d ( e ( 0 )= 3 43 % ).


12/16

382 J A b o u d i

1 0

0.9

0.8

L T

0 7 0 I 0 2 0 3 0 4 0 5 0

t ( h o u r s )

F i g . 7. A v e r a g e t r a n s v e r s e c r e e p s t r a in o f t h e g l as s , e p o x y c o m p o s i t e a g a i n s t t i m e , d u e t o a

t r a n s v e r s e u n i a x i a l s t r e ss 6 2 , = 1 3 7 . 9 M P a . ( ) M e a s u r e d v a l u e s , ( . . . ) f i n i t e - e l e m e n t

so l u t i on , l- 1 - - - ) p r e s e n t m e t h o d ( g 2 2( 0 )= 0 .7 7 % ) .

f u n c t i o n s g o , g ~, g 2 a n d a , ,) , w e c a n p r o c e e d t o t h e m i c r o m e c h a n i c a l

p r e d i c t io n o f th e c o m p o s i t e c r e e p r e s p o n s e t o a p p l ie d l o a di n gs .

I n F i g. 7, t h e o v e r a l l c r e e p r e s p o n s e o f a u n i d i r e c t i o n a l g l a s s / e p o x y

c o m p o s i t e s u b j e c t e d t o a t r a n s v e r s e s t re s s o f ~ 22 = 13 7.9 M P a is s h o w n . I n

t h e s a m e f ig u re , m e a s u r e d d a t a a n d t h e f i n it e - e le m e n t s o l u t i o n ~2 a r e

i n c l u d e d . I t c a n b e r e a d il y o b s e r v e d t h a t t h e p r e s e n t m i c r o m e c h a n i c a l

p r e d i c t io n d e v i a t e s fr o m t he f i n it e -e l e m e n t s o l u t io n b y n o t m o r e t h a n 8 .

I n F ig . 8 t h e p r e d i c t e d , fi n i te - e l e m e n t a n d m e a s u r e d r e s p o n s e a r e s h o w n

f o r a u n i d i r e c t i o n a l g l a s s / e p o x y c o m p o s i t e s u b j e c t e d t o a tr a n s v e r s e s t r e s s

6

= 1 58 .6 M P a . T h e r e s p o n s e i s r e c o r d e d o v e r a p e r i o d o f 1 4 h , a n d t w o

1.2

I . I

~ 1.0

~

0.9

0 . 8

0

70 2 4

I T I I I

6 8 I 12 14

t ( h o u r s )

F i g . 8 . A v e r a g e t r a n s v e r s e c r e e p s t r a in o f t h e g l a s s / e p o x y c o m p o s i t e a g a i n s t t i m e , d u e t o a

t r a n s v e r s e u n i a x i a l s t re s s 6 22 = 1 58 .6 M P a . ( ) M e a s u r e d v a l u e s , ( . . . ) f i n i t e - e l e m e n t

s o l u t i o n , - ( - - - ) p r e s e n t m e t h o d ( g ., 2( 0 )= 0 . 9 % ) .


13/16

Non- l inear v i scoe last i c behav ior o f res in m a t r i x compo s i t e s

383

0,6--

0.56

0.52

I ~ 0 . 4 e

0 44

0.4

I [ [ [

aO 60 90 120 150

t (hours)

Fig . 9 .

b i a x i a l t r a n s v e r s e s t r e s s l o a d i n g 6 ., 2 = 1 03 4 M P a a n d 6 33 = 3 4.5 M P a . (

s o l u t t o n , - 1 - - - ) p r e se n t p r e d ic t io n

gz2 O)=

0 - 5 2 % t .

A v e r a g e t r a n s v e r s e c r e e p s t r a i n o f th e g l a s s e p o x y c o m p o s i t e a g a i n s t t i m e , d u e t o a

) F i n i t e - c l e m e n t

s e ts o f m e a s u r e d d a t a tz a r e s h o w n . T h e r e li a b il it y o f t h e p r e s e n t

m i c r o m e c h a n i c a l p r e d i c t i o n c a n b e c l e a r l y s e e n .

L e t u s c o n s i d e r a c a s e i n w h i c h t h e u n i d i r e c t i o n a l g l a s s/ e p o x y c o m p o s i t e is

s u b j e c t e d t o a c o m b i n e d b i a x i a l l o a d i n g . I n F ig . 9 t h e a v e r a g e c r e e p r e s p o n s e

o f t h e c o m p o s i t e s u b j e c t e d t o t r a n s v e r s e s t re s se s

6

= 1 03 .4 M P a a n d

G 3 3 = 3 4-5 M P a is s h o w n . T h e f i g u r e g i v e s a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e p r e s e n t

a n d f in i te e l e m e n t t z p r e d i c t i o n . T h e m a x i m u m r e l a ti v e d e v i a t i o n i s l es s t h a n

7°/0.

T h e e f f ec t o f fi b e r v o l u m e r a t i o o n t h e c r e e p r e s p o n s e o f t he u n i d i r e c t io n a l

g l a s s / e p o x y c o m p o s i t e i s s h o w n i n F i g . 1 0. H e r e t h e c o m p o s i t e is s u b j e c t e d t o

a t r a n s v e r s e s tr e s s l o a d i n g 6 22 = 1 37 .9 M P a a n d r e s u lt s f o r t w o v a l u e s o f

oJ

1.5

I

0.9

0.7

o . = I I I

30 60 90

t ( h o u r s )

. . . . . . 50%

63%

120 150

Fig. 10 .

v o l u m e r a t i o s 0 6 3 a n d 0 -5 , d u e t o a u n i a x i a l t r a n s v e r s e s t r e s s 0 2 z = 1 3 7 -9 M P a . (

e l e m e n t s o l u t t o n , - ( - - - ) p r e s e n t p r e d i c t io n ( g z 2( 0 )= 0 .7 7 ; 1 1 3% ).

A v e r a g e t r a n s v e r s e c r e e p s t r a i n o f t h e g l a s s / e p o x y c o m p o s i t e f o r tw o d i f fe r e n t f ib e r

) F i n i t e -


14/16

3 8 4 J A b o u d i

N

0 . 8 . . . . . . . .

f

0 . 4 - -

0 m

- 0 . 4 - -

_0 .8 ¸ -

i

o

, I , I , I

2 4 6 8

t h o u r s )

Fig . I I .

unia x ia l t ra nsv erse s t re ss

# , . , = ___ 1 3 7 . 9 M P a

a ppl i ed in 2 l - h in t erv a l s.

(

s o l u t i o n , l z ( _ _ _ )

present predic t io n .

A v e r a g e t r a n s ve r s e c r e ep s t r a i n o f t h e g l a s s / e p o x y c o m p o s i t e a g a i n s t t i m e , d u e t o

) F i n i t e - e l e m e n t

r e i n f o r c e m e n t v o l u m e r a t io s , 5 0 a n d 6 3 , a r e g i v e n . T h e f i gu r e e x h i b i t s th e

f i n i t e -e l e m e n t s o l u t i o n s t-' a n d t h e p r e s e n t p r e d i c t i o n s , a n d t h e a g r e e m e n t i s

s a t i s f a c t o r y .

S o f a r t h e g l a s s / e p o x y c o m p o s i t e w a s s u b j e c te d t o c o n s t a n t a p p l ie d

s t re s se s . L e t u s c o n s i d e r t h e c a s e in w h i c h a c y c l i c l o a d i n g i s a p p l i e d . T h e

r e s p o n s e o f a g l a s s / e p o x y u n i d i r e c t i o n a l c o m p o s i t e t o a t r a n s v e r s e c y c l ic

l o a d i n g ¢Y_,2 = -+ 1 3 7 - 9 M P a , a p p l i e d a t i n t e r v a l s o f 2 .1 h , i s s h o w n i n F i g . 1 1 .

T h e f i g u re g iv e s b o t h t h e p r e s e n t a n d f i n i t e - e le m e n t p r e d i c t io n , 1 2 a n d g o o d

a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t w o m e t h o d s is c l ea r ly o b s e r v e d .

2 . 4

2 . 3

~ 2 .2

v

I , ~

a.t

2 0

I . ¢

j~

/ e *

e . o • •

Y t I I I P f I

2 4 6 8 IO 12 14

t h o u r s )

F i g . 1 2 . A v e r a g e t r a n s v e rs e cr e e p s tr a i n o f t h e g r a p h i t e / e p o x y c o m p o s i t e a g a i n s t t i m e , d u e

t o u n i a x i a l t r a n s v e rs e l o a d i n g

52z

= 1 8 6 1 M P a . ( )

M e a s u r e d v a l u e s ,

( . . . . )

f i n i t e - e l e m e n t

s o l u t i o n , t2 ( - - - ) p r e s e n t p r e d i c t i o n ( g 2 2 ( 0 ) = 2 - 0 9 % ) .


15/16

Non-linear viscoelastic behavior of resin matrLv composites 385

A s a f i na l c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e f i n it e - e le m e n t s o l u t i o n a n d t h e p r e s e n t

m i c r o m e c h a n i c a l a p p r o a c h , le t us c o n s i d e r a g r a p h i t e / e p o x y u n i d i re c t io n a l

c o m p o s i t e . H e r e t h e A S g r a p h i t e f ib e rs a r e t r a n s v e r se l y i s o t ro p i c a n d t h e ir

p r o p e r t i e s a r e g i v e n in T a b l e 1 ( t h e r e i n f o r c e m e n t v o l u m e r a t i o i s 0 .6 3). T h e

p r e d i c t e d a n d m e a s u r e d o v e r a l l c re e p r e s p o n s e o f t h is t y p e o f c o m p o s i t e is

s h o w n i n F i g . 1 2 . T h e r e s p o n s e s h o w n i n t h e f i g u r e i s d u e t o a n a p p l i e d

t r a n s v e r s e s t re s s f f2 z = 1 86-1 M P a . T h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e n u m e r i c a l

a n d p r e s e n t m e t h o d is e x c e ll e n t ( th e m a x i m u m r e la t iv e d e v i a t i o n is le ss t h a n

3 .6 ) .

C O N C L U S I O N S

A m i c r o m e c h a n i c a l p r e d i c ti o n o f t h e n o n - l i n e a r b e h a v i o r o f u n i d ir e c t io n a l

f i b r o u s c o m p o s i t e s is p r e se n t e d . T h e p r e d i c t i o n r e li es o n t h e k n o w l e d g e o f

t h e p r o p e r t i e s o f b u l k ( u n r e i n f o r c e d ) c o n s t i t u e n t s . T h e r e s p o n s e o f t h e

c o m p o s i t e , o b t a i n e d b y t h e p r o p o s e d m i c r o m e c h a n i c s t he o r y , is s h o w n t o

c o r r e l a t e w e l l w i t h a f i n it e - e le m e n t c o m p u t a t i o n . T h e p r e d i c t i o n o f t h e

a c t u a l n o n - l in e a r b e h a v i o r o f th e c o m p o s i t e m i g h t r e q u ir e t h e k n o w l e d g e o f

t h e i n - s it u b e h a v i o r o f t h e c o n s t i t u e n t s , a n d , i n p a r t i c u l a r , o f t h e v i s c o e l a s ti c

r e si n m a t r i x c h a r a c t e rs . I f s u c h i n f o r m a t i o n is n o t a v a i la b l e , t h e u s e o f t h e

p r o p o s e d m i c r o m e c h a n i c s e q u a t io n s t o e s ta b li sh t h e r e q u es t e d p r o p e r t ie s

s h o u l d b e c o n s i d e r e d . A s i g n if i ca n t a d v a n t a g e o f t h is a p p r o a c h s t e m s f r o m

t h e s i m p l i c i t y o f i t s a p p l i c a t i o n .

A C K N O W L E D G E M E N T

T h e a u t h o r t h a n k s P r o f e s s o r s C . T . H e r a k o v i c h a n d M . J . P i n d e r a f o r a

f r u i t f u l d i s c u s s i o n .

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