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Pequeña introuduccion a la cinematica todo el credito a mi profesor de fisica mecanica Alfredo LoraTRANSCRIPT
Escalares y Vectores
Alfredo Enrique Lora M
Dpto. de FísicaUniversidad del Norte
January 26, 2013
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 1 / 36
Precursores (1/3)
Galileo Galilei Sir. Isaac Newton Leohnard Euler(1564-1642) (1642-1727) (1707-1783)
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Precursores (2/3)
Jean D Alembert Joseph Lagrange Pierre Laplace(1717-1783) (1736-1813) (1749-1827)
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Precursores (3/3)
Siméon Poisson Gaspard Coriolis Albert Einstein(1781-1840) (1792-1843) (1879-1955)
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Magnitudes
Fundamentales: No son definibles en términos de otras magnitudes.Ejemplos
Masa⇐⇒ [m] = MTiempo ⇐⇒ [t] = TLongitud ⇐⇒ [l] = LCarga Electrica ⇐⇒ [C]
Derivadas: Son definibles en términos de las magnitudesfundamentales.
Ejemplos
Area ⇐⇒ [A] = L.L = L2
Volumen ⇐⇒ [V] = L.L.L = L3
Velocidad ⇐⇒ [~v] = LT
Aceleración ⇐⇒ [~a] = LT2
Momentun Lineal ⇐⇒ [~p] = MLT
Fuerza ⇐⇒[~F]= ML
T2
Energía ⇐⇒ [E] = ML2
T2
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Magnitudes
Fundamentales: No son definibles en términos de otras magnitudes.Ejemplos
Masa⇐⇒ [m] = MTiempo ⇐⇒ [t] = TLongitud ⇐⇒ [l] = LCarga Electrica ⇐⇒ [C]
Derivadas: Son definibles en términos de las magnitudesfundamentales.
Ejemplos
Area ⇐⇒ [A] = L.L = L2
Volumen ⇐⇒ [V] = L.L.L = L3
Velocidad ⇐⇒ [~v] = LT
Aceleración ⇐⇒ [~a] = LT2
Momentun Lineal ⇐⇒ [~p] = MLT
Fuerza ⇐⇒[~F]= ML
T2
Energía ⇐⇒ [E] = ML2
T2
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 5 / 36
Unidades y sistemas de medida usuales
Unidad S. I S. Gaussiano U. S. C. Uz
Masa Kilogramo ( kg) Gramo ( g) Slug (S lg)Longitud Metro (m) Centímetro ( cm) Foot ( ft)Tiempo Segundo ( s) Segundo ( s) Segundo ( s)
z U.S. Customary Units
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Escalares y Vectores
Escalares: Se especifican completamente dando solo su magnitud(número + unidades)
Ejemplos:
Tiempo: t = 30s, 5 mn.Masa: m = 3.2 kg, 10 g.Temperatura: T = 30◦C, 310.15 K.Rapidez: v = 80 km/ h; 343 m/ s.Energía: E = 9.8 J, 32 erg, 13.5 eV.
Vector: Se especifican completamente dando su magnitud (número +unidades), dirección y sentido.
Ejemplos
Velocidad: ~v = 80 km/ h, N 30◦ E, dirigido hacia arriba.Fuerza: ~F = 9.8 N, E 15◦ S dirigida hacia abajo.Aceleración: ~g = −9.8 m/ s2 = −32 ft/ s2 .Momentun lineal: ~p = 7.5 kg m/ s ı.
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Escalares y Vectores
Escalares: Se especifican completamente dando solo su magnitud(número + unidades)
Ejemplos:
Tiempo: t = 30s, 5 mn.Masa: m = 3.2 kg, 10 g.Temperatura: T = 30◦C, 310.15 K.Rapidez: v = 80 km/ h; 343 m/ s.Energía: E = 9.8 J, 32 erg, 13.5 eV.
Vector: Se especifican completamente dando su magnitud (número +unidades), dirección y sentido.
Ejemplos
Velocidad: ~v = 80 km/ h, N 30◦ E, dirigido hacia arriba.Fuerza: ~F = 9.8 N, E 15◦ S dirigida hacia abajo.Aceleración: ~g = −9.8 m/ s2 = −32 ft/ s2 .Momentun lineal: ~p = 7.5 kg m/ s ı.
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 7 / 36
Representación geométrica y algebráica de un vector
A
θx
y
Línea de acción del vector
Direccióndel vector
El símbolo ~A es la representación algebráica de la cantidad vectorial A
Su norma, magnitud o módulo, se denota por A o bien∥∥∥~A∥∥∥
En la gráfica A =∥∥∥~A∥∥∥ = 7u. Observación: A =
∥∥∥~A∥∥∥ ≥ 0
El ángulo θ define la dirección de la cantidad vectorial A.Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 8 / 36
Suma de vectoresMétodo del polígono
La suma de vectores es conmutativa.
La suma de vectores es asociativa.
Cuando el resultado obtenido al sumar n vectores es un polígonocerrado, entonces la resultante ~R =~0: Vector cero o nulo.
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Suma de vectoresMétodo del polígono
La suma de vectores es conmutativa.
La suma de vectores es asociativa.
Cuando el resultado obtenido al sumar n vectores es un polígonocerrado, entonces la resultante ~R =~0: Vector cero o nulo.
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 9 / 36
Suma de vectoresMétodo del polígono
La suma de vectores es conmutativa.
La suma de vectores es asociativa.
Cuando el resultado obtenido al sumar n vectores es un polígonocerrado, entonces la resultante ~R =~0: Vector cero o nulo.
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 9 / 36
Suma de vectoresMétodo del paralelográmo
Toda cantidad vectorial debe obedecer la regla del paralelogramo.Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 10 / 36
Iustración
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 11 / 36
Resta de vectoresEl negativo o el opuesto de un vector
El negativo de un vector ~A se denota por −~A y tiene la mismamagnitud y dirección de ~A, pero sentido contrario. Se dice que ~A y−~A son antiparalelos.
La resta de dos vectores ~A y ~B se define
~A− ~B = ~A+(−~B)
Ilustración
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Resta de vectoresEl negativo o el opuesto de un vector
El negativo de un vector ~A se denota por −~A y tiene la mismamagnitud y dirección de ~A, pero sentido contrario. Se dice que ~A y−~A son antiparalelos.La resta de dos vectores ~A y ~B se define
~A− ~B = ~A+(−~B)
Ilustración
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 12 / 36
Resta de vectoresEl negativo o el opuesto de un vector
El negativo de un vector ~A se denota por −~A y tiene la mismamagnitud y dirección de ~A, pero sentido contrario. Se dice que ~A y−~A son antiparalelos.La resta de dos vectores ~A y ~B se define
~A− ~B = ~A+(−~B)
Ilustración
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Resta de vectoresEl negativo o el opuesto de un vector
El negativo de un vector ~A se denota por −~A y tiene la mismamagnitud y dirección de ~A, pero sentido contrario. Se dice que ~A y−~A son antiparalelos.La resta de dos vectores ~A y ~B se define
~A− ~B = ~A+(−~B)
Ilustración
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 12 / 36
Producto de un vector por un escalar
El vector k~A donde k ∈ R, k 6= 0, se caracteriza por.∥∥∥k~A∥∥∥ = |k| ∥∥∥~A∥∥∥
Si k > 0 =⇒ k~A ‖ ~A
Si k < 0 =⇒ k~A ‖ −~A.
Ilustración
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Producto de un vector por un escalar
El vector k~A donde k ∈ R, k 6= 0, se caracteriza por.∥∥∥k~A∥∥∥ = |k| ∥∥∥~A∥∥∥
Si k > 0 =⇒ k~A ‖ ~A
Si k < 0 =⇒ k~A ‖ −~A.
Ilustración
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 13 / 36
Vectores unitarios
Dado un vector ~A, el vector unitario en la dirección de ~A se denotapor a y se define como
a =~A∥∥∥~A∥∥∥ ⇐⇒ ~A =
∥∥∥~A∥∥∥ a
a se caracteriza por que tiene magnitud 1 y define una dirección dada.
Ilustración
aA
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 14 / 36
Vectores unitarios
Dado un vector ~A, el vector unitario en la dirección de ~A se denotapor a y se define como
a =~A∥∥∥~A∥∥∥ ⇐⇒ ~A =
∥∥∥~A∥∥∥ a
a se caracteriza por que tiene magnitud 1 y define una dirección dada.
Ilustración
aA
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 14 / 36
Vectores unitarios Cartesianos
Para R2
El conjunto {ı, } forma una base para R2.
~A = ~Ax + ~Ay = Ax ı+ Ay
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 15 / 36
Vectores unitarios Cartesianos
Para R2
El conjunto {ı, } forma una base para R2.
~A = ~Ax + ~Ay = Ax ı+ Ay
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 15 / 36
Vectores unitarios Cartesianos
Para R3
y
z
x
k
ji
z
y
x
Fy
Fz
Fx
F
El conjunto {ı, , k} forma una base para R3.
~F = ~Fx + ~Fy + ~Fz = Fx ı+ Fy + Fz k
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Componentes rectangulares de un vectorEn el plano
En la figura:~Ax = Ax ı y ~Ay = Ay se llaman los vectores componentesrectangulares de ~A.Ax y Ay son las componentes rectangulares de ~A.
Además:~A = ~Ax + ~Ay = Ax ı+ Ay (1)
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 17 / 36
También de la figura
Ax = A cos θ y Ay = A sin θ
Sustituyendo en (1)
~A = A cos θ ı+ A sin θ (2)
Igualmente, de la figura, se obtiene para ~A:Su magnitud
A =√
A2x + A2
y (3)
Su dirección
θ = tan−1(
Ay
Ax
)(4)
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 18 / 36
Criterio de igualdad entre vectores
Dos vectores~A = Ax ı+ Ay + Az k
~B = Bx ı+ By + Bz k
son iguales, en cuyo caso se escribe
~A = ~B⇐⇒ Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz
Equivalentemente
Dos vectores son iguales si y solo si tienen iguales magnitud, dirección ysentido
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Criterio de igualdad entre vectores
Dos vectores~A = Ax ı+ Ay + Az k
~B = Bx ı+ By + Bz k
son iguales, en cuyo caso se escribe
~A = ~B
⇐⇒ Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz
Equivalentemente
Dos vectores son iguales si y solo si tienen iguales magnitud, dirección ysentido
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 19 / 36
Criterio de igualdad entre vectores
Dos vectores~A = Ax ı+ Ay + Az k
~B = Bx ı+ By + Bz k
son iguales, en cuyo caso se escribe
~A = ~B⇐⇒ Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz
Equivalentemente
Dos vectores son iguales si y solo si tienen iguales magnitud, dirección ysentido
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 19 / 36
Criterio de igualdad entre vectores
Dos vectores~A = Ax ı+ Ay + Az k
~B = Bx ı+ By + Bz k
son iguales, en cuyo caso se escribe
~A = ~B⇐⇒ Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz
Equivalentemente
Dos vectores son iguales si y solo si tienen iguales magnitud, dirección ysentido
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Suma de vectores (Método de la componentesrectangulares)
Dados los vectores
~A1 = A1x ı+ A1y + A1z k, ~A2 = A2x ı+ A2y + A2z k, ...~An = Anx ı+ An1y + Anz k, n = 1, 2, 3...
Su resultante se determina según
~R = ~A1 + ~A2 + ...+ ~An =(
A1x ı+ A1y + A1z k)+(
A2x ı+ A2y
+A2z k)
...+ ...(
Anx ı+ An1y + Anz k)
Aplicando distributiva
~R = Rx ı+ Ry + Rz k = (A1x + A2x + ...+ Anx) ı+(
A1y + A2y+
...+ Any)
+ (A1z + A2z + ...+ Anz) k
O equivalentemente
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~R = Rx ı+ Ry + Rz k =n
∑i=1
Aix ı+n
∑i=1
Aiy +n
∑i=1
Aiz k
Aplicando el criterio de igualdad entre vectores
Rx =n
∑i=1
Aix, Ry =n
∑i=1
Aiy, Rz =n
∑i=1
Aiz
Si cada ~Ai ∈ R2, entonces Rz = 0. Ilustración:
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 21 / 36
~R = Rx ı+ Ry + Rz k =n
∑i=1
Aix ı+n
∑i=1
Aiy +n
∑i=1
Aiz k
Aplicando el criterio de igualdad entre vectores
Rx =n
∑i=1
Aix, Ry =n
∑i=1
Aiy, Rz =n
∑i=1
Aiz
Si cada ~Ai ∈ R2, entonces Rz = 0. Ilustración:
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 21 / 36
~R = Rx ı+ Ry + Rz k =n
∑i=1
Aix ı+n
∑i=1
Aiy +n
∑i=1
Aiz k
Aplicando el criterio de igualdad entre vectores
Rx =n
∑i=1
Aix, Ry =n
∑i=1
Aiy, Rz =n
∑i=1
Aiz
Si cada ~Ai ∈ R2, entonces Rz = 0.
Ilustración:
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 21 / 36
~R = Rx ı+ Ry + Rz k =n
∑i=1
Aix ı+n
∑i=1
Aiy +n
∑i=1
Aiz k
Aplicando el criterio de igualdad entre vectores
Rx =n
∑i=1
Aix, Ry =n
∑i=1
Aiy, Rz =n
∑i=1
Aiz
Si cada ~Ai ∈ R2, entonces Rz = 0. Ilustración:
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EjerciciosEjercicio 1
Si ~M y ~N son los vectores representados en la figura y la resultante~R = ~M+ ~N + ~S = 5 ı− 2 , Halle el vector ~S.
x
y
N
M
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Ejercicio 2
Dos cables con tensiones conocidas están atados al extremo superior deuna torre AB. Si se usa un tercer cable AC como tirante de alambre,determine la tensión en el cable AC sabiendo que la resultante de todaslas fuerzas que actuan sobre el extremo superior de la torre (punto A)debe ser vertical. Halle también la magnitud de dicha resultante.
24m
32m
20kN45kN
12o30o
A
B C
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Ejercicio 3
Determine la resultante de todas las tensiones que actuan sobre unapartícula situada en el origen del sistema coordenado como se ilustra en lafigura
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Ejercicio 4
While steadily pushing the machine up an incline, a person exerts a 180 Nforce P as shown. Determine the components of P which are parallel andperpendicular to the incline
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 25 / 36
Ejercicio 5
Determine the resultant ~R of the two forces applied to the bracket. Write~R in terms of unit vectors along the (x− y) and (x′ − y′) axes shown.Compare your answers. What can you conclude?
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Ejercicio 6
The guy cables AB and AC are attached to top the transmission tower.The tension T in the cable AC is 8 kN. Determine the required tension Tin cable AB such that the net efect of the two cable tensions is adownward force at point A. Determine the magnitud R of this downwardforce. Ans. T = 5.68 kN, R = 10.21 kN.
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Ejercicio 7
Determine la resultante de las fuerzas que actuan sobre el perno de lafigura el cual se encuentra localizado en el punto A.
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 28 / 36
Ejercicio 8
En el punto C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en lafigura. Si se sabe que α = 20 ◦, determine la tensión en los cables AC yBC. Asuma que el sistema está en equilibrio.
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 29 / 36
Ejercicio 9
En el punto C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en lafigura. Si se sabe que la tensión máxima permisible en cada cable es de800 N, determine la magnitud de la fuerza máxima ~P que puede aplicarseen C y el valor correspondiente al ángulo α. Asuma que el sistema está enequilibrio.
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 30 / 36
Ejercicio 10
Una carga ~Q de magnitud 1800 N se aplica a la polea C, la cual puederodar sobre el cable ACB. La polea se sostiene en la posición mostrada enla figura mediante un segundo cable CAD, el cual pasa a través de lapolea A y sostiene una carga ~P. Determine la tensión en el cable ACB y lamagnitud de la carga ~P. Asuma que el sistema está en equilibrio.
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 31 / 36
Ejercicio 11
Si en la figura α = 75 ◦, determine la resultante de las fuerzas que actuansobre el bloque. Asuma que los efectos del peso del bloque y la reacciónde la supeficie del plano sobre el mismo, estan de alguna forma, implícitosen las fuerzas mostradas en la figura.
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 32 / 36
Ejercicio 12
The two structural members, one of which is in tension and the other incompression, exert the indicated forces on joint O. Determine themagnitud of the resultant R of the two forces and the angle θ which Rmakes with the positive x−axis.
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 33 / 36
Ejercicio 13
At what angle θ must the 800lb force be applied in order than theresultant R of the two forces has a magnitude of 2000lb? For thiscondition, determine the angle β between R and the vertical?
Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores January 26, 2013 34 / 36
Ejercicio 14
At what angle θ must the 400lb force be applied in order than theresultant R of the two forces has a magnitude of 1000lb? For thiscondition, determine the angle β between R and the vertical?
400lb
700lb O
q
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Referencias
[1] Física para Ciencias e Ingeniería. Quinta edición. Tomo 1 Serway &Beichner. Ed. Mc. Graw-Hill.
[2] Física cuarta edición. Vol. 1 Resnick Halliday & Krane. Ed. CECSA.
[3] Física Universitaria. Duodecima edición. Vol. 1. Sears, Semansky,Young & Freedman. Ed. Pearson-Addison Wesley.
[4] Mecánica Vectorial para Ingenieros. Dinámica. Novena edición. Beer,Jonhston & Cornwell. Ed. Mc. Graw-Hill.
[5] Engineering Mechanics. Dynamics. Sixth Edition. J.L Meriam & L.G.Kraige. John Wiley.
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