rela-sztrajman - cap1 - fuerzas
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dÉ lsaac Newton (1642-1727)nació en Woolsthorpe, Inglaterra,y estudió en el Colegio de laTrini-dad, en Cambridge. Investigó temasde matemática, óptica y mecánica,y se lo considera uno de los másgrandes sabios de la humanidad.Fue un hombre muy retraído yno se conoce nada de su vida oer-sonal.A él se debe la unión entrela mecánica y la astronomía, puesantes de que enunciara sus leyesse creía que los objetos del cieloeran de naturaleza y comporta-miento muy diferentes de los delaTierra. El genio halla semejanzasdonde el común de las personassólo ve diferencias.
Laidea de vector no se limita a la física. También en com-putación es un concepto muy familiar: se lo considera un conjun-to ordenado de números. Por ejemplo, el conjunto (23 45;0,32;l; 1; 1; 0; 0;0; -8) es un vector de dimensión 10. En biología escomún referirse al gradiente de la concentración de una sustanciaen una zona del organismo. Ese gradiente es un vector que, en ca-da lugar, apunta en la dirección y sentido en que crece la concen-tración.
El tratamiento vectorial permite estudiar los efectos de lasfuerzas sobre las partículas y los cuerpos extensos,f
La historia de las ideas acerca del mundo físico nos mues-tra un gran cambio en la actitud mental de los estudiosos a partirde mediados del siglo XVII, cuando se estableció con suficienteclaridad el significado de fuerza. Hasta esa época su sentido eraincierto y oscuro: se la consideraba como una tendencia o volun-tad de los cuerpos hacia determinado sitio del universo (como silas piedras pudieran tomar decisiones): los cuerpos graves tendíanhacia abajo, los leves hacia el cielo.
Fue a partir de Newton que comenzó a concebirse la fuer-za como una acción que ejerce un cuerpo sobre otro. Si existe unafuerzahay alguien -o algo- que la ejerce, y alguien -o algo-que la recibe.
Así, se acepta que elpeso, quizás el caso más familiar de fuer-zaque experimentamos a diario, no es una tendencia de los cuerposa bajar, sino una atracción que ejerce la Tierra sobre los objetos.
Casi al mismo tiempo en que se aceptó esa idea, se halló queno existen acciones unilaterales: si un cuerpo afrae aotro, también esafraído por éste; si el Sol atrae alipifer,Júpiter atrae al Sol; si un óm-nibus empuja a una mariposa, la mariposa empuja al ómrubus exnc-Iamente con lq misma fuerza, aunque opuesta.
Los intensidodes de los fuerzos son rguoles sobre los dos objetos que chocon.(No es gue seon rguoles los doños ni otros efectos, ni que cada vez que un óm-nibus oplasta a uno moriposo con su porabrisos se produzco iguol estrogo en e/vehículo o gue despierte, sobresaltodo, el pasoje.)
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Cuando se marti l la un clavo, ¿qué fuerza es mayor, la que ha-
ce el marti l lo sobre el clavo o la que hace el clavo sobre el
marti l lo?
¿Cómo vivirÍamos si no hubiera gravedad?
¿Cómo podemos aflolar cómodamente la tuerca de la rueda
del auto,si está endurecida y sólo disponemos de una llave de
manivela?
¿Cómo hacemos para discar en un antiSuo teléfono de disco,
si está muy duro, tenemos la otra mano ocupada ¡ además, el
aparato resbala sobre la mesa por haber perdido sus regato-
nes?
Temas de este capítulo
o Vectores: cantidades físicas con dirección y sentido.o Sistemo de fuerzos: conjunto de ellas.a Diogroma de cuerpo /ibre: esquema de las fuerzas que actúan.o Sistemos equivolentes:distintas formas de conseguir lo mismo.o La resultonte: una fuerza que vale Por todas.o Fuerzos que concurren en el mismo punto, y fuerzos que no lo
hocen.a Lo cupla'. el par de fuerzas con el que abrimos o cerramos
una canil la.o El momento o poder de giro de una cuplo.o Lo inercio de rotoción: lo que gira seguirá haciéndolo aunque
no actúen fuerzas.o No importa en qué lugar de un cuerPo rígido se aplica una
cupla.a Lecturo'. equil ibrio de monedas sobre una regla.
Vectores
¿Conocen uno o más significados de la palabra vectorl (Re-
cuerden, arriesguen una respuesta y después consulten un
diccionario.)
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Anillo dinomométrico embleodo en
lo industrio poro medir fuerzos o
través de los deformociones gue
producen. EI reloj comporodor mide
con uno sensibilidod de un milimetro
por codo vuelto de lo agujo.
5
7
¿A qué se debe que a algunos Proyecti les de uso militar se los
llame vectores?
¿Qué mosquito es el vector del paludismo?
En algunas comedias se suele recurrir al conocido recurso
de contestar estrictamente lo que se pregunta, envez de poner em-
peño en ayudar:-Disculpe, ¿sabe dónde hay una oficina de correos?-Sí.-Bien -algo molesto- , ¿podría decírmelo?-¡Claro!-Dígamelo, entonces, por favor -insiste ln víctima, que cree
haber descubierto porfin la clase de locura de su inlerlocutor-Queda a tres cuadras para allá -le responde, obedien-
te, eI pesado suieto, sin levantar la mirada del suelo ni ha-
cer ningún gesto que permita saber a qué lugar se reJiere
(pues le han pedido que lo dijera, no que lo señale)'
Esta gastada brorna, que recomendamos no repetir. ni si-
quiera con gente pacífica o de confianza, sirve aquí para significar
qu", "n
ciertos casos, la información de utilidad requiere una indi-
cación o especificación de dirección geográfica o geométrica'
Vectores y escalares
Las magnitudes que quedan bien definidas con un solo número se
llaman escalares. Algunos ejemplos de magnitudes escalares son:
dos bajo cero), 80,5 m2, etcétera.Para explicar a una persona cómo llegar a cierto lugar, no
basta con decirle que queda a dos kilómetros: además, hay que
indicarle hacia dónde debe ir (por ejemplo, hacia el norte)' El
desplazamiento resulta, así, una magnitud que tiene intensidad (o
módulo), dirección y sentido, y que puede ser representada por
una flecha. A este tipo de magnitudes se las conoce como vecto-
res. Ejemplo de vectores son: la velocidad, el campo eléctrico, la
f'terza y la aceleración
EI concePto de vector es muY omPlio
y oporece en muchas especiolidodes
profesionoles. Lo pontallo ofrece Io
opción veaoriol en Io definición de
uno vorioble de Progromo.
Los flechos se desPlozon con menor
resistencio en uno dirección y sentido
preferencicles (que es el de sus
puntos), en comparoción con otro
close de proyectiles;esto ho llevodo
o elevarlos o lo cotegorío de símbolos
de indicación, de omplísimo difusión
en el lenguoje grófico universol.
En ene caPrtulo se los emPleo Pororepresentor los mognitudes frsicosgue poseen dirección Y sentido,
llamadas magnitudes vectoriales o,
mcb brwemente. vecco res.
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Suma y resta de vectores
Para sumar dos vectores, se colocan las flechas de modo que ten-gan sus colas en el mismo punto u origen (pero que conserven susdirecciones y sentidos originales). Se completa un paralelogramo,una de cuyas diagonales (aquella que pasa por ese origen cofrúna ambos vectores que se suman) será el vector suma.La otra dia-gonal será e7 veclor resta.
La cola del vector suma coincide con las colas de los.su-mandos.
La punta del vector resta coincide con la punta del minuen-do. (Recordemos que en una resta se llama minuendo al primerode sus términos y sustraendo al otro.)
A + B
A + B = 0
Sumo de dos yectores A y É. Lo diogonol del parolelogramo es lo sumo. Si se
sumon dos vectores que forman un óngulo muy obierto,la suma puede ser rne-
nor que uno de los sumondos. lncluso puede ser cero, si los vectores gue se su-
mon son del mismo módulo y sentidos opuestos.
a - l
-_ Í
-
Poro efectuor uno resta entre dos vectores? y E,se ¡nv¡erte primero ol vectorJ J
E , con lo gue se /o convierte en -É . Lrego, se sumon yV y .-E . nua¡o, otro mé-
todo equivolente.'se unen los puntos de los flechos,desdeB hociaV.
)***,0;
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De vorios vectores parolelos puede
decirse gue poseen la mismo direc-
ción, ounque olgunos de el/os tengon
sentidos opuestos entre sí. fute signif-
codo es díferente del empleodo en el
lenguoje ordinorio (Por ejemplo, en
olgunos entrodos de subterróneo hoy
corteles que dicen "Línea A, ambas
direcciones"; nosotros diríomos
ambos sentidos)
Lo combonente horizontol de un vector
se suele ídentificor con un subíndice x;
lo verticol,con un subíndice y. Si el vec-
tor opunto hocia orribo y hocio lo dere-
cho, ombos componentes son positivos;
en otros cosos hobró cornDonentes ne-
goüvas o nulos. Los componentes de un
vector se consideran como los proyecc¡G
nes /o sombros) del vector sobre los
ejes coordenodos. Pueden pensorse co-
rno vectores o como simpfes números,porgue sus direcciones y sentidos son
conocidos de ontemono.
A
Los com|onentes de un vectorisobre
los ejes coordenodos se obtienen por
medio del coseno y el seno de uno
de los dos ángulos que formon el
vector y el eje x. Es conveniente usor
el óngulo no moyor que 90";de esto
monero se simPfifco lo obtención
del coseno y el senq Pues osí ombos
resulton positivos. El srino de los
componentes se adiudico desPués
observondo hocio dónde a\untan
los proyecciones.
d( Las funciones trigonométricas
de empleo más frecuente son el
seno, el coseno y la tangente de
un ángulo.
Para sumar más de dos vectores hay dos caminos: uno de
ellos es sumar los vectores de a uno por vez (cada nuevo vector es
sumado al resultado acumulado de las sumas anteriores). Es más
práctico, sin embargo, este otro procedimiento, que en el fondo es
"1 tnirrno, se disponen los vectores uno a continuación del otro en-
cadenándolos cabeza con cola, de modo que cada uno conserve su
orientación original. El vector suma del conjunto es el que va des-
de la cola del primero hasta la cabeza del último'
Et vedor? es lo sumo aefl,12y ?j. crondo el Polígono de vectoresse cieno, la sumo resulto nulo.
H resultodo no dePende del orden en
que se tomon los sumondos poro cons'
truir el polígono.
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Componentes de un vector
Un vector 7, co-o el representado en la figura siguiente, puede
considerarse como suma de dos cantidades vectoriales constituti-
vas o componentes. En realidad, hay infinitas combinaciones de
dos vectores que, sumados, dan como resultado el vector; pero, de
todas esas combinaciones, podemos restringirnos a los casos en
los que las componentes de los vectores son perpendiculares entre
sí (por ejemplo, una dirección horizontal y otra vertical). A partir
de estos vectores perpendiculares, se definen las llamadas compo-
nentes cartesianas mediante la siguiente regla: lo que apunta en el
mismo sentido que cada uno de dos ejes de referencia perpendicu-
lares, se considera positivo, y lo que apunta en sentido opuesto,
negativo.El módulo de un vectorv+ se indica con I v- I o más breve-
mente V. Si v+forma un ángulo cr con el eje de las .x, sus proyec-
ciones se calculan como
Ax: A cos uAY: A sen a
E¡emeloEncontrar las componentes de un vector de módulo6 que forma un ángulo de 120" con el sentido positi-
vo del eje x.
Sor-uctóNSi llamamos P a ese vector, se ve en el dibujo que A*
es negativa (apunta hacia la izquierda) y Au positiva(apunta hacia arriba). El ángulo que formael vectorcon la parte negativa del eje x es de 60".
i . . . . i l t t
ilr: \. \ Ñ
i\:\+
Entonces,
Ax= -A .cosa= -6 .cos60" : -6 .0 ,5=-3
Ay: A.sen a :6. sen 60":6.0,866 : 5,20
El lado moyor de un triángulo redángulo
recibe el nombre de hipotenuso (en
gríego:lo gue estó debojo,pues lo escuelo
pttogórica solío rcpresentor los trióngulos
reaóngulos opoyodos sobre su lado
mayor).El lodo que se enfrenta ol ángulo
considerodo se llomo coteto opuesto. El
Iodo restante recibe el nombre de coteto
odyocente (en lotín: que se ocuesto ol
lado).Así
s e n ü : o p l h t p
coscx, -- ody I htP
Ea =op I ody : ssns ¡ ..tt
EI teoremo de Pttógoros (siglo vt o.C)
estoblece que los cuodrodos construidos
sobre los cotetos (los mongos de la túnica
del personoje) sumon un órea igual o lo
del cuodrodo construido sobre lo
hipotenusa (foldo de la túnica):
od,l+ op':¡1¡p'
sen'(x * cos'a,: 'l
Los gue no empleon o menudo estos
expresiones encuentron úül lo polobro
mógico SOHCAHTOA,qUe no es el
nombre de una isla del Pocífico sino uno
reglo mnemotécnico que se /ee: seno
iguol opuesto sobre hipotenuso; coseno
igual odyocente sobre hipotenuso;
tongente iguol opuesto sobre oó¡ocente
{É Un método alternativo Para
hallar la suma de varios vectores
sin el empleo de medios gráficos,
es sumar todas las comPonentes x'
por un lado,Y todas las comPonen-
tes y por separado. Cada suma es
igual, respectivamente' a la comPo-
nente x e y de la suma. Esta mane-
ra de sumar los vectores se
conoce como método onalítico.
j¡t Los u"ctores generalmente
tienen tres comPonentes' Porque
el esoacio ordinario tiene tres
dimensiones (largo, alto Y ancho).
Sin embargo, la dificultad de rePre-
senÉr las tres dimensiones espacia-
les en las páginas de un libro
aconseia restringir los eiemplos a
los vectores del Plano' o sea aque-
l los que sólo Poseen dos comPo-
nentes según los eies x e Y.
Los vectores del esPacio tienen
componentes según x'Y Y z HaY
temas avanzados de la física Y de la
matemática que emPlean más de
tres dimensiones, Y hasta infinitas
de el las.
A v = 5
r l<-----l r+
A x = - 4
Dodos /os componentes de un vector
se io reconstruye fác¡lmente con el
trozodo de líneos parolelos c los ejes'
E.¡eneuo¿óuáles son el módulo y el ángulo del vector de
componentes Ax :6 Y A, = -3r
El módulo es
Recomposición de un vector
teorema de Pitágoras. Como el vector y sus componentes forman
un triángulo rectángulo,
A -
Y el ángulo o¿ entre el vector y el eje x es'
4 , ,oL = drctáti ;'
Ax
Es conveniente omitir los signos de A* y A, en el cálculo'
con lo que el ángulo obtenido será el ángulo no mayor de 90" que
forma ei vector con el eje -r. El cuadrante en el que está ubicado
el vector se determina gráficamente sin dificultad'
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El ángulo es,
l A v la = arctan l--Ll
Ax
n¡t =@ . r-zr :F = t''
- arctanl- arctanL= 26"6 2
A = t +
i,- I'
eJe x.
Al+ Ai
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Revrstót¡
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S ,t" qué se diftrencia un vector de un escalar?
$ iawA información hay que dar para definir un vector?
;f# U, módulo de unvector, ¿puede ser negativo? "
fd ¿Para qué sirve la regla del paralelogramo y cómo se usa?
f3 ¿Cómo se suman varios vectores en forma grófica?
é 3 ¿Qué son las componentes de un vector?
y4" ,rí*o se suman y restan vectores en forma analítica?
E.¡rncrcros
7 g Los vecÍores y ? yl¡ormqn entre sí un dngulo de 30'y tie-lJ nen móclulos t0 y 6, respectivamente. Obtengan grtífica-
mente los vecfores ¡- + ¡t y 3_ i.
'! { El veuor?fiene módulo 4, elvectoritiene módulo 7 y am-ll) bos fotman un dngulo de 45'. El vector d, de módulo 2,
forma conTrn ángulo de 120" y cori uno de 165". Sumengráficamente los tres vectores.
t a Et vectur ? üene módulo 30 y et l, 40. Forman entre sí unt / dngulo de 135'. Encuentren un vector dtal que la suma de
los tres vectores dé cero.
á( El empleo de la notación
a = arctan Av/Ax
signif ica que o¿ es el ángulo cuya
tangente vále Ar/Ar. En muchas
calculadoras la función arctan está
indicada como tan 1 o INV tan.
Por convención internacional
las funciones tr igonométricas seno,
coseno y tangente se indican como
sin, cos y ton; sin embarto, en nues-
tro país se encuentra muy arraiga-
do el empleo de sen y tg.
Cuadrante es el nombre de la cuorta
Darte de un círculo. Los cuodrontes se
numeron, en sentido ontihororio, co-
menzondo por el superior derecho.
Sextante es el término con que se de-
nomino a lo sexto parte de un círculo,
y tombién recibe ese nombre un ins-
trumento de navegoción gue posee
uno escolo de ó0 grados.
;P Algrnor llaman orgumento al án-
gulo que forma un vector con el
ere x.
Cursrro¡.¡¡s
t {\ )Es posible que la suma de dos vectores dé como resultadoJ Ó in ,'rrro, de-módulo menor que el del menor cle los suman-
dos?
El ejemplo mós fomiliar de fuerzo es
el peso. El peso de uno moceto, que es
lo otrocción que loTierro eierce sobre
ello, se rePresento Por medio de un
vector fuerzo con dirección vert¡cal y
senüdo hocío oboio.
Sobre lo colillo del cigarríllo de "Boogie
ef aceitoso" octúan el Peso hocio
obajo (fuerzo que eierce loTierro),
y lo fuerzo hocio orribo que hace
el lobio inferior del motón. Ambos
sumon cero. El díbuionte, Fontonarroso,
suele dibujor la colillo seporodo de lo
cabeza del Personoje; lo cuol nos
focilita lá tonsi¡rúccíón del diogromo
de cuerbo aislodo.
I {I La suma de dos vectores de direcciones distintas, ¿puede
"l 7 dar cero?
)g1 ¿Podría darse el caso de dos vectores de módulo 7 cuyo
.{,L,1 ,rrto, suma tenga también módulo 7?
3 I 2os fuerzas de uno tonelada,, ¿pueden equilibrarse con Ltna
.{d A de un gramo!
Fuerzas e interacciones
Los efectos que los cuelpos ejercen entre sí, sus interacciones, se
representan por medio de fuerzas' Así, a cada interacción corres-
ponde unafuerTa. Para indicar una fuerza no basta con dar su in-
iensidad o tamaño; hay que decir' además, hacia dónde apunta'
Entonces, la especificación de una fuerza requiere casi siempre la
indicación de su intensidad, dirección y sentido, o sea ser conside-
rada como vector
Diagramas de cuerPo libre
Sobre los cuerpos suelen actuar muchas firerzas: fuerzas de sogas,
elásticas, de contacto, gravitatorias, de rozamiento, eléctricas,
magnéticas, entre otras. Cuando en un cuerpo se representan todas
las fuerzas que otros cuerpos eJercen sobre é1, se dice que se cons-
truye su diagrama de cuerpo libre. Se dibuja así al cuerpo con un
conjunto de fuerzas que representan todas las interacciones. Este
tipo de diagrama, también llamado de cuerpo aislado, es de gran
utilidad para resolver problemas estáticos y dinámicos. No es que
se piense que dicho cuelpo esté verdaderamente aislado de los de-
mái cuerpos o del resto del universo, o que se encuentre libre de
fuerzas. Simplemente, se lo dibuja separado de los demás para de-jar muy en claro cuáles son sus límites geométricos; de esa forma,
toda fuerza aplicada al cuerpo (representada con una flecha) ten-
drá que tener su punto de aplicación bien marcado dentro de ese
contorno.El diagrama de cuerpo libre sirve, entonces, para no con-
fundirnos cuando, entre distintos cuerpos que interaccionan, con-
sideramos las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos'
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é>d*Debemos el sistemo métrico
decimol a la Revolución Francesa
de 1789 que, en su afán de dar
por t¡erra con todo vestigio de la
monarquía, la nobleza y el absolu-
tismo personalista, reemplazó las
medidas antropomórficas como
el pie, la yarday la pulgada, por
otras que se basaban en el mundo
y los objetos y no en las personas:
el metro, el grado Celsius.
Otras reformas de esa revolución,
como la semana de diez días o el
cambio de los nombres de tos me-
ses, fueron muy resistidas y caye-
ron en el olvido.
d1* No se usa simplemente kg
para el kilogramo fuer¿a porque ese
símbofo se reserva para el kilogramo
moso.La moso está estrechamente
vinculada con la fuerza, pero en la
práctica comercial no hace falta
distinguir entre kilogramo fuerza
y kilogramo masa porque un cuerpo
que,aquí en laTierra,pesa 1 kgf,
tiene una masa (en cualquier lugar)
de 1 l€.
dÉ Todavía se oye a personas de
edad avanzada usar la expresión
medio libro al pedir en el almacén
chocolate para taza. Es que hace
años se vendían tabletas de
225 gramos; las actuales son de
150 gramos.
Representoción en dia-
gramo de cuerpo libre.
Unidades de medida de la fuerza
Una de las unidades más corrientes para medir las fuerzas es el ki-logramo fuerza, vulgarmente llamado kilo, qu'e se indica comokgf, kgr o kf . Un kilogramo fuerza es la fuerza con la que la Tie-rra atrae a un objeto llamado kilogramo patrón que se guarda enun museo en Sévres, Francia, cuyo peso es, aproximadamente, elde un litro de agua; es decir que un litro de agua pesa más o me-nos 1 kgf. Es frecuente usar múltiplos y submúltiplos del kgf co-mo el gramo fuerza (gf, 1 kgf = 1000 80, el miligramo fuerza(mgf, 1 gf = 1000 mgf) y la tonelada fuerza (fonf; 1 tonf = 1000keO"
En la práctica técnica y científica se usan otras unidades pa-ralafuerza. Las más habituales son el Newton (N; 1 kgf = 9,8 N)y la dina (dy; 1 kgf = 980.000 dy). Hay también algunas unidadesantiguas que aún se usan, como la libra (lb;1 lb = 0,45 kgfl.
Sistemas de fuerzas concurrentes
Un conjunto o sistema de fuerzas cuyas rectas de acción pasan porel mismo punto, es un sistema de fuerzas concurrentes.
Resultonte y equilibronte de un sisterno de fuerzos concurrentesCuando un sistema de fuerzas concuffentes actúa sobre un cuerporígido, su efecto puede reemplazarse por el de una única fuerza,que es la suma vectorial de todas las fuerzas del sistema. Esa fuer-iu, qu" rcemplazaa todo el sistema, se conoce como resultante?,del sistema de fuerzas.
La equilibrantelde un sistema de fuerzas concurrentes esaquella fuerza que, agregada al sistema, lo contrarresta o equili-bra; es decir que la suma vectorial de la equilibrante y las fuerzas
:--.-r-
Lo figura a) muestro un sistema de fuer-zos concurrentes y lo b) un s¡s¿emo de
fuerzos que no lo son. En el coso a) elsrstemo eguivole o uno único fuerzo: loresultante.
ff Un cuerpo ngido es el queno se deforma cuando se le aplicanfuerzas. No existen cuerpos absolu-tamente rígidos: los rieles del ferro-carril parecen no deformarse
cuando los pisa una persona o unpequeño auromóvil, pero se ve có-mo se doblan casi un centímetrocuando Dasa el tren. Si se midieranlas deformaciones con un instru-mento muy sensible, se vería quehasta las fuerzas más pequeñas pro-ducen deformaciones en materialesdurísimos. Así, cuando se dice deun cuerpo que es rígido, debe en-tenderse que se trata de un cuerpocuya deformación es insignificanteen el rango de fuerzas considerado.
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del sistema da cero. En otras palabras, Ia equilibrante es una fuer-za del mismo módulo y dirección que la resultanre, pero de senti-do contrario.
PnocF,l--rn¿rExroCon la fan i ta v e l : r lamhre .nnc t ra r \ /qn r rnq nenr ra iqL v r r o . r u J a ¡ ¡ u r t 4 P U q u l r I 4
Go¡llra coMo MEDIDoR DE FuERzAsLIna banda elástica contún nos servirá pat.a construirun instrumento qLre nos peffnita medir la intensidadde diferentes fuerzas.
Maree.ml-es NtscE.sARIoso una gomita,ounatapi tadeplást ico(degaseosaoagLlaminera1) ,o a lgunas monedas del n l is lno valor .o un trozo de alambre delgado,o una fegla,o un clávo,c una pinza
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Condición de equilibrio de un sistemo de fuerzas concurrentesEl problema de la estática es determinar bajo qué condiciones uncuerpo sometido a la acción de un sistema de fuerzas se quedaráquieto. Cuando un cuerpo rígido que estaba inicialmente quietocontinúa en reposo bajo la acción de un sistema de fuerzas se di-ce que el cuerpo (y también el sistema de fuerzas) está en equili-brio. Si las fuerzas son concuffentes, la condición de equilibrio esque la resultante sea nula; entonces,
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E F ' = 0 '
donde el símbolo )advierte que deben sumarse todas las fuerzas delsistema. La notación D'indica que se trata del vector cero. J es laletra griega sigma mayiscula, que suena como nuestra S, la letrain:.ctal de suma.
Dinomómetro de loborotorio
construido con un resorte oloiodo
dentro de un tubo ranurodo.
En lo figuro se indica lo resultonte y
lo equilibronte de un sistemo de fuer-zos concurrentes.
5e estiron los gomitos previomente
colibrodos en direcciones cualesquiero(no es necesorio guordor la simetrío);
se morcan sobre e/ popel el punto
medio y los tres puntos extremos. Conlos yolores de longitud obtenidos y los
toblas de colibrocíón de los gomitos
se hallon los módulos de los tres fuer-zos, que se representon con flechosde longitudes odecuadas o codo mó-
dulo;se compruebo con la reglc Celpolígono si sumcn o no cero.
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oMomento de una fuerza
A veces un plomero inexperto emplea una llave inglesa demasia-do larga para apretar un caño y lo rompe. Queda sorprendido, por-que empleó la misma fuerza que solía hacer con la llave pequeñaque acostumbraba usar. Es que una fuerza pequeña con un granbrazo de palanca puede producir el mismo efecto que una grandeaplicada a menor distancia.
Desde un punto de vista intuitivo, se llama momento de unafuerza a su poder de giro. Más rigurosamente, se define eI momen-to M de una fuerzal respecto de un punto (centro de giro) comoel producto de la intensidad de la fuerza por la distancia a la queestá aplicada. Esa distancia tiene que medirse desde el centro degiro y perpendicularmente a la recta de acción de la fuerza,
M : F.df
l,as unidades del momento de una fuerza son las de fuerzamultiplicadas por las de longitud: N.m, kgf.m, etcétera.
2 6
En medios técnicos, al momento de una fuerza suele lla-márselo torque. Por ejemplo, el manual de mantenimiento de unvehículo puede recomendar que su filtro de aceite se ajuste con untorque no mayor que 0,2 daN.m (decanewtons metro), aproxima-damente 200 gf aplicados al extremo de una llave de un metro debrazo de palanca, o una fuerza de 1 kgf con una llave de 20 cm.
Si el centro de giro se encuentra en la misma recta en la queactúa la fuerza, el momento de ésta es nulo.
No debe tomarse la distancia entre el centro de giro y'elpunto de aplicación de la fuerza; interesa sólo la distancia entreese centro y la recta de acción de la fuerza; esa distancia se obtie-ne prolongando hacia ambos lados el segmento orientado o la fle-cha que representa ala fuetza, y trazando luego la perpendicularque pasa por el centro de giro.
Momento de un sistemo de fuerzosUn sistema de fuerzas es un conjunto. una cierta cantidad de fuer-zas (que pueden ser dos, una, muchas o ninguna).
Para calcular el momento de un sistema de fuerzas con res-pecto a un punto, se suman los momentos de todas las fuerzas quecomponen el sistema.
Notemos que hay fuerzas que tiran del cuerpo de tal modoque, si éste estuviera inicialmente quieto, fijo en un punto, y sóloactuasen esas fuerzas, giraúa hacia la izquierda. Y hay otras fuer-zas que, por su solo efecto, iniciarían un giro hacia la derecha aparlir del cuerpo en reposo.
Se acepta convencionalmente que los momentos de lasfuerzas de efecto de giro hacia la izquierda son positivos, y que losotros son negatlvos.
lnercio de giroA veces se afirma erróneamente que los momentos positivos pro-ducen giros hacia la izquierda, y los negativos hacia la derecha.Esto sólo es ciefto si se trata de cuerpos que no giraban inicial-mente.
Veamos este ejemplo: un ventilador está marchando haciala izquierda, y se lo apaga. Tarda algunos segundos en detenerse(si no hubiera ningún rozamiento, quedaría girando indefinida-mente). Si se detiene, es porque sus paletas rozan contra el aire ysu eje contra las partes mecánicas fijas del motor. El aire, por con-siderar sólo una de esas dos resistencias, aplica un momento defrenado opuesto a Ia marcha del ventilador, o sea un torque haciala derecha: un momento negativo. Vemos aquí, pues, un caso demomento negativo que coexiste con un giro positivo.
Esta aparente contradicción no debeía sorprendernos másque el hecho de que un cuerpo pueda tener velocidad hacia el nor-
El momento o poder de giro de
uno fuerza es iguol ol produao de
su intensídod (F) por lo distoncio per-
pendiculor desde la recto en que oc-
túa lo fuerzo hosto el Punto respecto
del cuol se colculo ese momento (d1).
En el ejemplo de esto figuro, el mo-
mento vole 30 N por 1,41 m (que
es la diogonol del cuodrodo),y eso
do 42,3 Nm.
M = F ' d , -Frdr+ F . .d3+ F4d4
Momento de un sistemo de fuerzascon respecto o un punto. El momento
de F2 es negotivo, porque s¡ cominóro-
mos sobre lo flecho en su mismo sen-
tido,veríomos ol punto O a nuestro
derecho.
'l
Uno porücularidod de lo cuplo es que
su momento no depende de qué pun-
to se el4o pora colculorlo.
te y aceleración hacia el sur; es una manifestación más de la iner-cia, propiedad de los cuerpos por la cual pueden estar en movi-miento sin que se les apliquen fuerzas, y aun conservar durante untiempo el sentido del movimiento que tenían, contra fuerzas anta-gónicas.
CuploSe llama cupla, o par de fuerzas, a dos fuerzas paralelas de la mis-ma intensidad o módulo y de sentido opuesto.
culo. La llove de cruz de lo izquierdo aplica el mismo torque que lo llave de mo-nivelo de lo figuro centrol. La figuro de lo derecha ilustro un empleo incorrecto deeso lloye: se estó aplicondo un momento y una fuerza; ésta deformaró lo mani-vela o el Derno.
ResultonteEn algunos textos llaman resultante al vector suma de un sistemade fuerzas. Nosotros preferimos decir, simplemente, suma cüandode eso se trata, y usar la palabra resultante con este otro significa-do más exacto que se emplea en los medios profesionales: resul-tante de un sistema de fuerzas es una únicafuerza equivalente aese sistema.
Hay casos en que no existe resultante. Por ejemplo, si elsistema de fuerzas que estamos analizando es una cupla, entoncesno hay ninguna fuerza que por sí sola pueda producir sobre uncuerpo el mismo efecto que el par. (En algunos textos, sin embar-go, como se considera que resultante es sinónimo de suma, seafirma que la resultante de una cupla es cero)
La resultante de un sistema de fuerzas aplicadas a un cuer-po (no importa ya si son o no concurrentes) es igual, cuando exis-te, ala suma vectorial de las fuerzas del sistema, y está aplicadaen una rccfa tal que el momento de esa resultante vale lo mismoque el del sistema de fuerzas, independientemente del punto quese elija para hacer el cálculo del momento.
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EquilibronteEs la contraria de la resultante. Es la única fuerza capaz de equi-librar a un sistema de fuerzas dado. Cuando un sistema de fuerzasno tiene fuerza resultante, tampoco tiene fuerza equilibrante.
lEl = lñ"1 = 25 N no hay equil ibrante(n¡ resultante)
Lo equilibrante de un sistemo de fuerzos, cuondo existe, es uno único fuerzacopaz de equilibror o todo el sistemo Lc resultante es opuesto o Io equilibrantey produce sobre el cuerpo el mismo efeao gue el sistemo originol de fuerzas.
Momento resultonteCuando no existe fuerza resultante, y esto sucede con las cuplas,suele hablarse del momento resultante, qtJe es, precisamente, elmomento del sistema de fuerzas que se considera. En cambio,cuando sí hay fuerza resultante es menos usual referirse al momen-to resultante, pues se tataría de un concepto confuso y de escasaaplicación práctica: ese supuesto momento resultante sería diferen-te según el punto con respecto al cual se 1o calculase; habría queespecificar cuál es ese punto en cada caso.
ff todo sistema de fuerzas sepuede reducir a una fuerza másuna cupla.Y todo conjunto de unafuerza más una cupla se puede re-ducir a sólo una fuerza (porque elagregado de una cupla equivale atrasladar lateralmente la fuerza).
Por tanto, el único caso en el queno hay resultante es aquel en elque el sistema equivale a sólo unacuola.
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Sistemas de fuerzas equivalentes
Hay casos en los que, cuando se consideran dos sistemas o con-juntos de fuerzas, es indiferente aplicar uno u otro a un cuerpo o auna partícula: a éstos les pasa lo mismo en ambos casos, si es quese movían de idéntica manera en el momento inicial. Cuando ocu-rre esto, decimos que esos sistemas de fuerzas son equivalentes.
Por pasarle lo mismo a un cuelpo puede entenderse cual-quiera de estas cosas, a elección:
1. Tener el mismo movimiento y, si se trata de un cuerpoque no es rígido, tener además la misma deformación.
tes,
2. Ser equilibrado por la misma fuerza, o por el mismo sis-tema de fuerzas.Por ejemplo, estos dos sistemas de fuerzas son equivalen-
no importa a qué cuerpo estén aplicados:
Dos sistemos de fuerzas equivolentes: do lo mismo oplicor uno fuerza de 2 Nhocio lo derecha, que uno de ó N hocio la derecha y otro simuftónea de 4 N ho-cio lo izquierda.
A continuación tenemos el caso de dos sistemas de fuerzasque sólo son equivalentes si se aplican a un cuerpo rígido, pero nolo son si el cuerpo sobre el que se aplican es deformable.
Dos sistemos de fuerzos que
seríon equivolentes si se aplicoron
o un cuerpo rígido. Al oplicorse
o un cuerpo deformoble, no son
equivolentes: un resorte, por ejem-p/0, se estiro mós en un cosoque en el otro.
Para que dos sistemas de fuerzas sean equivalentes cuandose los aplica a un cuerpo rígido, tienen que cumplir las siguientescondiciones:
1. Las fuerzas de ambos sistemas tienen que sumar lomismo como vectores, cuando se las supone aplicadas almismo punto (aunque no lo estén).2. La suma de los momentos de todas las fuerzas tieneque ser la misma para ambos sistemas cuando esos mo-mentos se calculan con respecto al mismo punto. El pun-to para calcular los momentos puede ser cualquiera, pe-ro debe ser el mismo Dara ambos sistemas.
ff La fuerza y el hombre.
La confusión entre fuerza y ener-
gía nos induce a veces al error de
creer oue sólo el esfuerzo muscu-
lar es capaz de producir fuerzas.
La verdad es que podemos l ibrar-
nos casi siempre de la incomodi-
dad de esforzarnos para obtener
fuerzas: si nos cansamos de soste-
ner un objeto podemos dejarlo
sobre el suelo, sobre una mesa o
una carret i l la, y el los harán la
fuerza que antes hacían nuestros
músculos.
¿Hasta qué punto la práctica anti-
gua de dar forma humana a los
pi lares y columnas de las construc-
ciones obedecía a conceociones
artísticas, o a la creencia de que
sin ese cuidado el edif icio se des-
olomaríal Hace miles de años no
existía demasiada dist inción entre
el arte, la ciencia y la magia.
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I!
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Mo¡¡eons EeurLtBRADAs EN UNA REGLA
Supongamos que sobre una regla que puede balancearse sobre su pun-to medio apoyamos cierta cantidad de monedas en disposición simé-trica.
Monedos sobre uno reglo opoyado en su punto medio. Si lo disposición es simé-trica, hobrá equilibrio.
Si desplazamos la misma distancia una moneda hacia la izquierda y otracualquiera hacia la derecha, el equil ibrio se conserva, aunque la nuevadisposición ya no sea simétrica.
El equilibrio se rnontiene si se desplozon pesos iguoles o distoncios igualesy opuestos.
Quizá resulte un tanto difícil aceptar que la operación de repartir elmismo peso hacia un lado y otro conserve el equil ibrio, cuando el pun-to a partir del cual se hace ese desplazamiento simétrico no es el cen-tro de simetría. Puede ofrecerse el argumento que sigue: imaginemosun soporte de peso despreciable sobre el que descansan dos pesas, alprincipio en su centro y después hacia los costados:
Produce el mismo efecto opoyar dos rnonedos en el centro o en los costodos del
soporte de peso desprecioble;en ombos cosos /o reglo "siente" el mismo peso de
dos monedos, y en el mismo punto.
Los efgies del frente del Polocio Piz-
zurno, en Euenos Aires, porecen ayu-
dor o sos¡ener lo construcción r,cro
en verdad cuelgon de ello.
En los cosos ont¡guos suelen verse
sillas con patas en formo de extremi-
dod de animal y bañaderos con poti-
tos de león. El ariete (diminutivo de
aries, cornero en lotín) ero un enorme
tronco con el que /os soldalos golpeo-
ban de punta los puertcs fortificodosporo derriborlos; debío su nombre a
que se adornabo su extremo con
cuernos como los del cornero. Este
onimal (el mocho de lo oveja) es
conocido por lo furio con Ia que topo
de frente o sus contrincantes en /os
duelos por lo posesión de los hembros
del rebaño.Todovío hoy olgunos outo-
movilistos cuelgan de sus vehiculos
cuernos (de verdod o de plóstico) con
lo esperonza de que les den bueno
suerte en caso de choque, ounque
también lo hocen sin esto creencio
dJ puntos rnedios y cargadas con monedas. que mucstra
la f igura, es larán o no en equi l ibr io . Damos un par de
sea impositrle:.i,,r.:.: :r ,:.p!d4{1!+r,!r!!Yrr..YYLrlrPYllJ.qqv-.c., cvllr..La:.IfY:.¡.Y-1Y.,'::a:*:l:::: . . ..,
,,,,,., ,., ,rina¡simé1ría,, se trataiáde un desequili'brio',Otro,'tru. ,, ,'..
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Revlslót t
"z a .'Oué es una fuerz¿.'^:.r{ "'
n X ¿Qué es un sistema de fuerzas concurrentes ?/ i
3{* ¿Qr¿ ¿s /a resultante de un sistema de Juerzas?¿*\.s
3*y ¿Q"¿ es Ia equlllbranle de un sistema de Ji.rerzas?& d f
, \ { } , :Qué se enÍ iende por equi l ibr io . 'l r \ " - -
k\. , r
3{ A ¿Cual es la condición para que un sistema de fuerzas con-*,Y currentes aplicado a un cuetpo lo deje en equilibrio?
áffi ;Or¿ es e1 momento de una fuerza?*l[*f
Q f iCómo se calculq el momento de un sistema de fuerzes?*:3 .X
Sr\ ¿Qué es una cupla? ¿Qué propiedad tiene?
"3¿"-
Q Q lExiste siempre la resultante de un sistema de fuerzas?t t
S& ,r"Ondo dos sistemas de .fuerTas son equivalentes?
EJencrcros
# q ¿Cuat es la resultante de lres fuerzcts horizontales que ac-
*3J túan en la misma recta de acción, una de 15 kgf hacia laderecha, una de 6 kgf hacia la izquierda y ofra de 2,5 kgfhacia la derecha?
* g/' Encuenfren la equilibrante de dos fuerzas perpendiculares,*3W ambas de l5 k i lc ts .
3ff Sobre los exÍremos de una regla de unos 30 cm de longitud-] f estan aplic'adas dos fuerzas perpendiculares ct la reglay de
sentidos iguales. La de la izquierda es de 2 kgfy la de la de-rechct de 5 kgf. ¿En qué lugar habríe que aplicar una tínica
fuerza para que produzca los mismos efectos que las dos
fuerzas anteriores? ¿Cuál sería la íntensidad de esaJuerza?
Revrs¡óN
? í¿ ¿Qu¿ es un vínculo?- l ( J
p¡¡ Den cinco ejemplos de vínculos.I V
A {} ¿Qu¿ es ur mecanismo?.TLl
4 y Citen cinco ejemplos de mecanismos (cle tos ya?1 otros).
7fj iHacia dónde giraró el engranaje de lafigura?* , / .
vtstos, u
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,,9 2 Para que un cuerpo gire sobre sí mismo siempre con laYJ misma velocidad, ¿es necesario que eslé actuando una cu_
Pla?
E¡encrctos
¿Qué fuerza es necesaria para levantar un vehículo de 600kilos, si se dispone de una palanca cuyos brazos miden 2 m4&
y 10 cm? (¡Se supone que se hace fuerza en el extremo delbrazo largo! )
,d € ;O, qué diúmetro deberíct ser el tambor alrededor del cualof, n s¿ arrolla la sttga de un tornr¡, para poder izar un balde de
25 kgf con una fuerz.a de 3 kilos aplicada al extremo de unamanivela de medio metro?
,á f- iQué fuerza hay que hacer para sostener una heladera deryí, j 150 kilogramos sobre un plano inclinado de 20"?
¡f Y ¿Con qué fuerza aprieta un tornillo de media pulgada de
"* f diametro y 1/32 de pulgada de paso, cuando se lo aiustacon un torque de 5 kgf.m? (Una ayuda: conviene despre-ciar el rozamienlo y aplicar el principio de los trabajos vir-tuales. Otra ayuda: una pulgada equivale a 2,54cm.)
Cuesrro¡¡es
K La tendencia internacionar es
favorable a las medidas métricas;
sin embargo, en los Estados Unidos
de América y en nuestro país, entre
otros pocos, son muy usadas las
unidades inglesas, que ya no se em-
olean ni en el mismo Reino Unido:
dif íci lmente podamos comprar tor-
nillos métricos en una ferretería
pequeña, a pesar de que casi todos
los aparatos domésticos los po-
seen.
:*.{-::LÁ?F
:)
¿ ge ,Podría iz.arse a sí mismr¡ un individuo, si dispusiera dee*t3 una roldqna simple colgada del techo y de una soga atada
a su cintwra? Elijan entre las siguientes opciones:
a) Sí, si dispone de fuerza muscular suJiciente, que en eslecaso seró la mitad de su propio peso.b) Sí, si es capaz de hacer una fuerza igual al doble de supeso.c) No. En virtud del principio de acción y reacción, unapersono no puede hctcerse fuerza a sí misma y elevarse, asísea con el auxilio de mecanismt¡s.
,¡f { * "Curil de lo.s alambres
--f V de la tranquera de lafi-gurq no cumple ninguna
funcíón útil?
\Ci .- , -.^'-y-it-
üf \;CuAt de las cedenas puede eliminarse sin que se inclineJW hacia abajo el certel de lafigura? (Se supone que el rema-
che estóflojo.
5t
a) Ninguna; ambas son imprescindibles.b) Ambas: las dos sobran.c) Lq de aruiba.d) La de abajo.e)-Cualquiera de las dos, pero no ambas.
Hay una balanza -como la de la.figura- apoyada en unosupe(icie firme y a cuyo plato se.fija un plano inclinado,que suponemos de un peso de l0 kilos. ¿Qué marcaró labalanza cuando un objeto cuyo peso es tombién de I0 kilosresbale sobre el plano, sin rozamiento?
a) Cero.b) 10 kd.c) Más de l0 pero menos de 20 kgf.d) 20 ksl:.
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5
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48
e) Más de 20 kilogramos.fl La balanza no indica ningún valor.
{*} ¿¿r verdadera o falsa la^-t Á* sigwiente afirmación?
CierÍos empleados in-
fieles de carnicerías, fa-vorccen a clientes ami-gos pesando las ristrasde choriz.os de modoque algunos cuelguen
fuera del plato. De estamanera no se regislra-ría el peso completo dela mercadería.