regressão - aula 03/04
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Análise deRegressão:Extensões eregressãomúltipla
Rodrigo deSá
Extensões
Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Análise de Regressão:Extensões e regressão múltipla
Rodrigo de Sá
Fundação de Economia e Estatística, 2011
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Análise deRegressão:Extensões eregressãomúltipla
Rodrigo deSá
Extensões
Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Livro texto
Damodar GujaratiEconometria Básica3ª ed. 2005.
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Análise deRegressão:Extensões eregressãomúltipla
Rodrigo deSá
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Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Regressão pela origem
Há ocasiões que a Teoria Econômica diz que o melhormodelo a ser utilizado é Yi = β1Xi + ui .
Nesse modelo, o intercepto é igual a zero, ou seja, aregressão passa pela origem.
Por exemplo, temos o Capital Asset Pricing Model(CAPM).
No CAPM, o retorno de um ativo i e o retorno da carteirade mercado são relacionados pela fórmula(ERi − rf ) = βi (ERm − rf ).
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Análise deRegressão:Extensões eregressãomúltipla
Rodrigo deSá
Extensões
Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Regressão pela origem
Há ocasiões que a Teoria Econômica diz que o melhormodelo a ser utilizado é Yi = β1Xi + ui .
Nesse modelo, o intercepto é igual a zero, ou seja, aregressão passa pela origem.
Por exemplo, temos o Capital Asset Pricing Model(CAPM).
No CAPM, o retorno de um ativo i e o retorno da carteirade mercado são relacionados pela fórmula(ERi − rf ) = βi (ERm − rf ).
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Análise deRegressão:Extensões eregressãomúltipla
Rodrigo deSá
Extensões
Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Regressão pela origem: visualização
Figura: CAPM
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Extensões
Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Regressão pela origem: propriedades
Estimador da inclinação
β1 =
∑XiYi∑X 2
i
A soma dos resíduos não é necessariamente igual a zero,como no caso com intercepto.
O r2 não precisa ser positivo.
Usa-se o r2 ajustado.
Pode ser mais interessante utilizar a regressãoconvencional, com intercepto.
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Rodrigo deSá
Extensões
Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Regressão pela origem: propriedades
Estimador da inclinação
β1 =
∑XiYi∑X 2
i
A soma dos resíduos não é necessariamente igual a zero,como no caso com intercepto.
O r2 não precisa ser positivo.
Usa-se o r2 ajustado.
Pode ser mais interessante utilizar a regressãoconvencional, com intercepto.
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Rodrigo deSá
Extensões
Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Modelo log-linear (log-log)
Linearização
Considere o modelo de regressão exponencial
Yi = β0Xβ1ieui
lnYi = lnβ0 + β1 lnXi + ui
Y ∗i = α + β1X
∗i + ui
onde Y ∗i
= lnYi , X ∗i
= lnXi e α = lnβ0.
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Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
log-log: propriedades
No modelo log-log, a inclinação β1 meda aELASTICIDADE de Y em relação a X .
Elasticidade é a variação percentual em Y dada umavariação percentual em X (variação pequena, assim comono conceito de derivada).
Elasticidade
β1 =variação % em Yvariação % em X
β1 =∆Y /Y
∆X/X
=∆Y
∆X
X
Y
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Extensões
Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
log-log: propriedades
No modelo log-log, a inclinação β1 meda aELASTICIDADE de Y em relação a X .
Elasticidade é a variação percentual em Y dada umavariação percentual em X (variação pequena, assim comono conceito de derivada).
Elasticidade
β1 =variação % em Yvariação % em X
β1 =∆Y /Y
∆X/X
=∆Y
∆X
X
Y
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Extensões
Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
log-log: exemplo
Considere um modelo de demanda de um certo produto:
Y é a quantidade demandada;X é o preço.
Regredindo as duas variáveis em log, β1 será aelasticidade-preço do produto.
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Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
log-log: visualização
Figura: Elasticidade
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Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Modelo log-lin
Linearização
Considera a equação do crescimento (ou juros compostos)
Yt = Y0 (1 + r)t
lnYt = lnY0 + t ln (1 + r)
lnYt = β0 + β1t + ut
onde β0 = lnY0, β1 = ln (1 + r) e r é a taxa de crescimento outaxa de juros.
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Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
log-lin: propriedades
No modelo log-lin, a inclinação β1 mede a variaçãoproporcional (ou relativa) constante em Y para uma dadavariação absoluta do regressor.
β1 =variação % em Y
variação absoluta em X
=∆Y /Y
∆X
Caso o regressor seja o tempo, t, a inclinação mede a taxade crescimento da variável Y .
Note que a taxa de crescimento é constante neste modelo.Para o cálculo desse modelo, a variável deve serestacionária.
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Regressãomúltipla -inferência
log-lin: propriedades
No modelo log-lin, a inclinação β1 mede a variaçãoproporcional (ou relativa) constante em Y para uma dadavariação absoluta do regressor.
β1 =variação % em Y
variação absoluta em X
=∆Y /Y
∆X
Caso o regressor seja o tempo, t, a inclinação mede a taxade crescimento da variável Y .
Note que a taxa de crescimento é constante neste modelo.Para o cálculo desse modelo, a variável deve serestacionária.
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log-lin: exemplo
Figura: Exemplo - taxa de crescimento
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Modelo lin-log
lin-log
Yi = β0 + β1 lnXi + ui
β1 =variação absoluta em Y
variação % em X
=∆Y
∆X/X
Assim, se X crescer 1%, Y crescerá β1 unidades.
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Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Modelos recíprocos
Modelo recíproco
Yi = β0 + β1
(1Xi
)+ ui
Propriedade: conforme X aumenta inde�nidamente
o termo β1 (1/Xi ) se aproxima de zero.Y se aproxima do valor-limite ou assintótico β0.
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Modelos recíprocos
Modelo recíproco
Yi = β0 + β1
(1Xi
)+ ui
Propriedade: conforme X aumenta inde�nidamente
o termo β1 (1/Xi ) se aproxima de zero.Y se aproxima do valor-limite ou assintótico β0.
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Modelos recíprocos: grá�cos
Figura: Modelo recíproco
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Modelos recíprocos: curva de Phillips
Figura: Curva de Phillips
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Síntese das formas funcionais
Figura: Modelos, inclinações e elasticidades
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Regressão múltipla
Regressão de três variáveis
Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + ui
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Hipótese - ausência de colinearidade
Dentre as 10 hipóteses do modelo clássico de regressãolinear, é importante ressaltar a hipótese da AUSÊNCIA DECOLINEARIDADE (exata) entre as variáveis X .
Quando uma variável explicativa tem correlação com outra,dizemos que elas são COLINEARES ou LINEARMENTEDEPENDENTES.
Colinearidade perfeita existe quando HÁ RELAÇÃOLINEAR EXATA ENTRE as variáveis explicativas,X3 = a + bX2.
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Hipótese - ausência de colinearidade
Dentre as 10 hipóteses do modelo clássico de regressãolinear, é importante ressaltar a hipótese da AUSÊNCIA DECOLINEARIDADE (exata) entre as variáveis X .
Quando uma variável explicativa tem correlação com outra,dizemos que elas são COLINEARES ou LINEARMENTEDEPENDENTES.
Colinearidade perfeita existe quando HÁ RELAÇÃOLINEAR EXATA ENTRE as variáveis explicativas,X3 = a + bX2.
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Colinearidade perfeita
Efeito da colinearidade perfeita
X2i = 2X1i
Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + ui
= β0 + (β1 + 2β2)X1i + ui
= β0 + αX1i + ui
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Regressãomúltipla -inferência
Interpretação
Tomando a esperança em ambos os lados
E (Yi |X1i ,X2i ) = β0 + β1X1i + β2X2i
β1 mede a mudança no valor médio de Y , E (Yi |X1i ,X2i ),por variação unitária em X1, mantendo constante todas asoutras variáveis explicativas (X2).
Isto é, fornece o efeito DIRETO ou LÍQUIDO da mudançaem X1.
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Regressãomúltipla -estimação
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Interpretação
Tomando a esperança em ambos os lados
E (Yi |X1i ,X2i ) = β0 + β1X1i + β2X2i
β1 mede a mudança no valor médio de Y , E (Yi |X1i ,X2i ),por variação unitária em X1, mantendo constante todas asoutras variáveis explicativas (X2).
Isto é, fornece o efeito DIRETO ou LÍQUIDO da mudançaem X1.
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Regressãomúltipla -estimação
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Propriedades dos estimadores de MQO
A reta (superfície) de regressão passa pelas médias Y , X 1
e X 2.
O valor médio do Yi estimado é igual ao valor médio do Yi
verdadeiro.
A soma dos resíduos é igual a zero.
Os resíduos não tem correlação com nenhuma das variáveisexplicativas.
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Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Propriedades dos estimadores de MQO
As variâncias dos estimadores de MQO são diretamenteproporcionais a σ2.
Os estimadores são MELNV (não viesados e de variânciamínima).
Conforme aumenta r12 (o coe�ciente de correlação entreX1e X2), as variâncias de β1e β2 aumentam.
No limite, quando r12 = 1, as variâncias de β1e β2 setornam in�nitas.Quanto mais correlacionadas forem as variáveisexplicativas, mais difícil �ca fazermos testes sobre os seusefeitos (isolados).
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Regressãomúltipla -inferência
Propriedades dos estimadores de MQO
As variâncias dos estimadores de MQO são diretamenteproporcionais a σ2.
Os estimadores são MELNV (não viesados e de variânciamínima).
Conforme aumenta r12 (o coe�ciente de correlação entreX1e X2), as variâncias de β1e β2 aumentam.
No limite, quando r12 = 1, as variâncias de β1e β2 setornam in�nitas.Quanto mais correlacionadas forem as variáveisexplicativas, mais difícil �ca fazermos testes sobre os seusefeitos (isolados).
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Regressãomúltipla -inferência
R2 e R2 ajustado
Chamamos de R2 o COEFICIENTE MÚLTIPLO DEDETERMINAÇÃO, semelhante ao r2 do caso univariado.
Uma propriedade do R2 é que ele é uma função nãodecrescente do número de variáveis explicativas.
Quando o número de regressores aumento, o R2 quaseinvariavelmente aumenta, e nunca diminui.
Uma variável adicional X não diminuirá o R2.
Assim devemos ser cautelosos ao usar o R2 paracompararmos modelos com um número diferente devariáveis.
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R2 e R2 ajustado
Chamamos de R2 o COEFICIENTE MÚLTIPLO DEDETERMINAÇÃO, semelhante ao r2 do caso univariado.
Uma propriedade do R2 é que ele é uma função nãodecrescente do número de variáveis explicativas.
Quando o número de regressores aumento, o R2 quaseinvariavelmente aumenta, e nunca diminui.
Uma variável adicional X não diminuirá o R2.
Assim devemos ser cautelosos ao usar o R2 paracompararmos modelos com um número diferente devariáveis.
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R2 e R2 ajustado
Chamamos de R2 o COEFICIENTE MÚLTIPLO DEDETERMINAÇÃO, semelhante ao r2 do caso univariado.
Uma propriedade do R2 é que ele é uma função nãodecrescente do número de variáveis explicativas.
Quando o número de regressores aumento, o R2 quaseinvariavelmente aumenta, e nunca diminui.
Uma variável adicional X não diminuirá o R2.
Assim devemos ser cautelosos ao usar o R2 paracompararmos modelos com um número diferente devariáveis.
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Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
R2 e R2 ajustado
O R2 ajustado(R2)leva em conta o número de variáveis
para melhorar a comparação.
R2
= 1−∑
u2i/ (n − k)∑
y2i/ (n − 1)
O R2 ajustado pode ser menor do que um e é menor doque o O R2 não ajustado quando k > 1.
Mesmo com o O R2 ajustado deve-se tomar cuidado aousá-lo para comparar dois ou mais modelos concorrentes.
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Regressãomúltipla -inferência
R2 e R2 ajustado
O R2 ajustado(R2)leva em conta o número de variáveis
para melhorar a comparação.
R2
= 1−∑
u2i/ (n − k)∑
y2i/ (n − 1)
O R2 ajustado pode ser menor do que um e é menor doque o O R2 não ajustado quando k > 1.
Mesmo com o O R2 ajustado deve-se tomar cuidado aousá-lo para comparar dois ou mais modelos concorrentes.
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Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
R2 e R2 ajustado
O R2 ajustado(R2)leva em conta o número de variáveis
para melhorar a comparação.
R2
= 1−∑
u2i/ (n − k)∑
y2i/ (n − 1)
O R2 ajustado pode ser menor do que um e é menor doque o O R2 não ajustado quando k > 1.
Mesmo com o O R2 ajustado deve-se tomar cuidado aousá-lo para comparar dois ou mais modelos concorrentes.
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Análise deRegressão:Extensões eregressãomúltipla
Rodrigo deSá
Extensões
Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Exemplo: função de produção Cobb-Douglas
Linearização
Seja a seguinte função de produção, onde Y é o produto, X1 éo trabalho e X2 é o capital.
Yi = β0Xβ11iX
β22ieui
lnYi = lnβ0 + β1 lnX1i + β2 lnX2i + ui
Esse é um modelo log-log.
β1 é a elasticidade parcial do produto em relação ao insumotrabalho, isto é, mede a variação percentual no produto parauma variação de 1% na quantidade de trabalho, mantendocontante o capital.
Analogamente, β2 é a elasticidade parcial do produto emrelação ao insumo capital.
A soma β1 + β2 nos informa sobre os RETORNOS DE ESCALA.
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Exemplo: função de produção Cobb-Douglas
Linearização
Seja a seguinte função de produção, onde Y é o produto, X1 éo trabalho e X2 é o capital.
Yi = β0Xβ11iX
β22ieui
lnYi = lnβ0 + β1 lnX1i + β2 lnX2i + ui
Esse é um modelo log-log.
β1 é a elasticidade parcial do produto em relação ao insumotrabalho, isto é, mede a variação percentual no produto parauma variação de 1% na quantidade de trabalho, mantendocontante o capital.
Analogamente, β2 é a elasticidade parcial do produto emrelação ao insumo capital.
A soma β1 + β2 nos informa sobre os RETORNOS DE ESCALA.
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Regressãomúltipla -estimação
Regressãomúltipla -inferência
Exemplo: função de produção
Figura: Produto real, dias-trabalho e capital no setor agrícola deTaiwan
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Exemplo: função de produção
Figura: Produto real, dias-trabalho e capital no setor agrícola deTaiwan
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Regressãomúltipla -inferência
Modelo de regressão polinomial
Regressão polinomial de k-ésimo grau
Yi = β0 + β1Xi + β2X2
i + . . .+ βkXki + ui
Polinômios aproximam bem funções contínuas(aumentando k).
Há apenas uma variável explicativa (X ).
X , X 2, X 3, . . . são correlacionados, mas não apresentamcorrelação perfeita.
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Modelo de regressão polinomial
Regressão polinomial de k-ésimo grau
Yi = β0 + β1Xi + β2X2
i + . . .+ βkXki + ui
Polinômios aproximam bem funções contínuas(aumentando k).
Há apenas uma variável explicativa (X ).
X , X 2, X 3, . . . são correlacionados, mas não apresentamcorrelação perfeita.
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Exemplo: função custo total
Figura: Função custo total
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Exemplo: função custo total
Figura: Função custo total
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Exemplo: função custo total
Figura: Função custo total
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Outra vez a hipótese da normalidade
Assim como na regressão simples, supondo a normalidadedos resíduos, os estimadores de MQO da regressãomúltipla são os melhores estimadores não viesados.
Os estimadores dos betas são normalmente distribuídoscom esperança igual ao valor verdadeiro do parâmetropopulacional.
Para cada um dos estimadores, pode-se aplicar o teste t,como no caso simples.
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Teste de hipótese individuais
Pode-se testar uma certa hipótese sobre um estimador deregressão parcial INDIVIDUALMENTE.
Funciona de maneira idêntica à regressão simples.
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Teste de signi�cância global
Consideremos a hipótese H0 : β1 = β2 = 0.
A hipótese nula é uma hipótese conjunta de que β1 e β2são conjunta ou simultaneamente iguais a zero.
Este teste é um teste de SIGNIFICÂNCIA GLOBAL da retade regressão observada ou estimada, isto é, se Y temrelação linear tanto com X1 quanto com X2.
Testar esta hipótese não é o mesmo que testar asigni�cância de cada um dos parâmetros individualmente!
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Teste de signi�cância global: teste F
Dada a impossibilidade de testar a signi�cância dosparâmetros isoladamente, outra abordagem é necessária.
A alternativa é o teste F.
Pode-se mostrar que, sob a hipótese nula β1 = β2 = 0, avariável F tem distribuição F com 2 e n − 3 graus deliberdade.
F =SQE/ (k − 1)
SQR/ (n − k)
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Teste de signi�cância global: teste F
Dada a impossibilidade de testar a signi�cância dosparâmetros isoladamente, outra abordagem é necessária.
A alternativa é o teste F.
Pode-se mostrar que, sob a hipótese nula β1 = β2 = 0, avariável F tem distribuição F com 2 e n − 3 graus deliberdade.
F =SQE/ (k − 1)
SQR/ (n − k)
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ANOVA
Figura: Tabela de análise de variância (ANOVA)