PowerPoint PresentationRegresión por Mínimos Cuadrados
Regresión por Mínimos Cuadrados
La finalidad es generar una curva que minimice la discrepancia entre los puntos y la curva.
Derivar una función aproximada que ajuste la forma de la tendencia general de los puntos sin ajustar necesariamente con los puntos individuales
Datos que exhiben un error significativo
Ajuste polinomial mas allá de rango de datos
Ajuste por mínimos cuadrados
Regresión por Mínimos Cuadrados
Regresión Lineal
La primera aproximación es mediante el ajuste de un conjunto de pares de observaciones a una línea recta.
La mejor estrategia es minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal
Determinación de
Al fijar esas derivadas igual a cero, resultará en un mínimo de
Donde n es el numero total de puntos
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Regresión por Mínimos Cuadrados
Regresión Lineal:
Si observamos que , se expresan las ecuaciones como un conjunto de dos ecuaciones simultaneas, con dos incógnitas ( ):
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Regresión por Mínimos Cuadrados
Suma total de los cuadrados alrededor de la Media
Suma total de los cuadrados de los residuos alrededor de la línea de regresión
Regresión Lineal
El residuo en la regresión lineal representa la distancia vertical entre el dato y la línea recta.
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Regresión por Mínimos Cuadrados
Error Estándar del estimado
Regresión por Mínimos Cuadrados
Ejemplo de Regresión Lineal
Ajuste a una línea recta los valores de x y y en las dos primeras columnas de la siguiente tabla
xi yi St = (yi – y )2 Sr = ( yi – a0 – a1xi)2
1 0.5 8.5765306 0.1686862
2 2.5 0.8622449 0.5625000
3 2.0 2.0408163 0.3472577
4 4.0 0.3265306 0.3265306
5 3.5 0.0051020 0.5896046
6 6.0 6.6122449 0.7971939
7 5.5 4.2908163 0.1992985
28.0 24.0 22.7142857 2.9910714
Regresión por Mínimos Cuadrados
Ejemplo de Regresión Lineal
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Regresión por Mínimos Cuadrados
Ejemplo de Regresión Lineal
Calcule la desviación estándar total, el error estándar del estimado, el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación para los datos del problema anterior:
Como es Sy/x < Sy, el modelo de regresión lineal es adecuado. La mejora se puede cuantificar mediante
Los resultados indican que el modelo explicó el 86.8 % de la incertidumbre original.
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Regresión por Mínimos Cuadrados
Datos no adecuados para la regresión Lineal por Mínimos Cuadrados
Preferible una parábola
Linearización
Linearización
Linearización
Regresión por Mínimos Cuadrados
fácilmente al ajuste de datos con un
polinomio de grado superior.
Polinomio de Segundo grado o Cuadrático:
Estas ecuaciones se igualan a cero y se reordenan para obtener el siguiente conjunto de tres ecuaciones con tres incógnitas a0, a1 y a2
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Regresión por Mínimos Cuadrados
Se puede extender el caso en dos dimensiones a un polinomio de
m-ésimo orden.
La determinación de los coeficientes de un polinomio de m-ésimo orden es equivalente a resolver un sistema de m+1 ecuaciones lineales simultáneas
Error Estándar del estimado
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Ejemplo: Ajustar a un polinomio de segundo orden los datos en las dos primeras columnas de la siguiente tabla
Regresión por Mínimos Cuadrados
0
2.1
1
7.7
2
13.6
3
27.2
4
40.9
5
61.1
15
152.6
544.44
0.14332
314.47
1.00286
140.03
1.08158
3.12
0.80491
239.22
0.61951
1272.11
0.09439
2513.39
3.74657
Regresión por Mínimos Cuadrados
a0=2.47857
y= 2.47857 + 2.35929x + 1.86071x2