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Reductions and Parameterized IntractabilitySeminar Parameterisierte Komplexitat
Arne Meier
Institut fur Theoretische InformatikLeibniz Universitat Hannover
09. Mai 2007
Vortragsinhalt
1 fpt-ReduktionenDefinitionen und AbschlussBeispiele fur fpt-Reduktionen
2 para-NPDefinitionBeziehung zwischen FPT und para-NP
3 XPXPnu
Definition XPp-Exp-DTM-Halt
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≤fpt-Reduktion
(Q, κ) ⊆ Σ?, (Q ′, κ′) ⊆ Γ? parameterisierbare Probleme.Abbildung R : Σ? → Γ? heißt fpt many-one reduction von (Q, κ)nach (Q ′, κ′) falls
(1) ∀x ∈ Σ? gilt x ∈ Q ⇔ R(x) ∈ Q ′
(2) R ist fpt-berechenbar in Zeit f (κ(x)) · p(|x |),f berechenbare Funktion, p Polynom
(3) es gibt berechenbare Funktion g : N → N, sodass ∀x ∈ Σ? gilt
κ′(R(x)) ≤ g(κ(x))
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FPT abgeschlossen unter ≤fpt
(Q, κ), (Q ′, κ′) parameterisierbare Probleme
(Q, κ) ≤fpt (Q ′, κ′) via x 7→ x ′
Zu zeigen: ist (Q ′, κ′) ∈ FPT, so auch (Q, κ) ∈ FPT
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Notationen
≡fpt: fpt-Aquivalenz
[(Q, κ)]fpt: Menge von auf (Q, κ) reduzierbaren param.Problemen
[C ]fpt =⋃
(Q,κ)∈C
[(Q, κ)]fpt: Abschluss fur Klasse C unter ≤fpt
Harte und Vollstandigkeit wie ublich
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Ruckblick: Clique und Independent-Set
Clique := {〈G , k〉 | G ungerichteter Graph
mit einer Clique der Große k}
Independent-Set := {〈G , k〉 | G ungerichteter Graph
mit einem Independent-Set der Große min. k}
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Ruckblick: Clique ≡p Independent-Set
Abbildung: 〈G , 4〉 ∈ Clique?
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Ruckblick: Clique ≡p Independent-Set
Abbildung: Ja! 〈G , 4〉 ∈ Clique
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Ruckblick: Clique ≡p Independent-Set
Abbildung: 〈G , 4〉 ∈ Independent-Set?
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Ruckblick: Clique ≡p Independent-Set
Abbildung: Ja! 〈G , 4〉 ∈ Independent-Set
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p-Clique ≡fpt p-Independent-Set
p-Clique ≤fpt p-Independent-Set
via R(x) :=
{〈G , k〉, wenn x = 〈G , k〉 fur einen Graphen G , k ∈ Nx , sonst,
wobei G die Vertauschung aller Einsen und Nullen in derAdjazenzmatrix von G ist.
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p-Clique ≡fpt p-Independent-Set
p-Clique ≤fpt p-Independent-Set
via R(x) :=
{〈G , k〉, wenn x = 〈G , k〉 fur einen Graphen G , k ∈ Nx , sonst,
wobei G die Vertauschung aller Einsen und Nullen in derAdjazenzmatrix von G ist.Diese Reduktion geht in beide Richtungen!
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Achtung: ≤p-Reduktion ist nicht immer ≤fpt-Reduktion!
Gegenbeispiel hierfur ist Reduktion von Independent-Setauf Vertex-Cover
〈G , k〉 7→ 〈G , |V | − k〉 verletzt Bedingung (3) der≤fpt-Reduktion, denn es gibt keine berechenbare Funktiong : N → N, sodass fur alle Eingaben gilt
|V | − k ≤ g(k)
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para-NP
Motivation: FPT entspricht P in der parameterisierten Welt. Gibtes eine Klasse, welche NP gegenubersteht?
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para-NP
Motivation: FPT entspricht P in der parameterisierten Welt. Gibtes eine Klasse, welche NP gegenubersteht?
Definition
Param. Problem (Q, κ) ⊆ Σ? gehort zu para-NP, wenn folgendesexistiert:
berechenbare Funktion f : N → N, Polynom p
nichtdeterministischen Algorithmus gibt, der bei Eingabex ∈ Σ? in Zeit hochstens f (κ(x)) · p(|x |) entscheidet, obx ∈ Q.
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Folgerungen
Q ∈ NP ⇒ (Q, κ) ∈ para-NP fur jede Parameterisierung κ
Damit sind
p-Clique,
p-Independent-Set,
p-Dominating-Set und
p-Hitting-Set
alle in para-NP.
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Beziehung zwischen FPT und para-NP
Satz
FPT = para-NP gdw. P = NP
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Unschone Eigenschaft der para-NP-Vollstandigkeit
Satz
Wenn (Q, κ) ∈ para-NP, dann sind aquivalent
(1) (Q, κ) ist para-NP-Vollstandig fur ≤fpt
(2) Die Vereinigung von endlich vielen Slices von (Q, κ) istNP-vollstandig.
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Unschone Eigenschaft der para-NP-Vollstandigkeit
Satz
Wenn (Q, κ) ∈ para-NP, dann sind aquivalent
(1) (Q, κ) ist para-NP-Vollstandig fur ≤fpt
(2) Die Vereinigung von endlich vielen Slices von (Q, κ) istNP-vollstandig.
Folgerung 1: p-Clique, p-Independent-Set,p-Dominating-Set, p-Hitting-Set sind nichtpara-NP-vollstandig unter ≤fpt.
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Unschone Eigenschaft der para-NP-Vollstandigkeit
Satz
Wenn (Q, κ) ∈ para-NP, dann sind aquivalent
(1) (Q, κ) ist para-NP-Vollstandig fur ≤fpt
(2) Die Vereinigung von endlich vielen Slices von (Q, κ) istNP-vollstandig.
Folgerung 1: p-Clique, p-Independent-Set,p-Dominating-Set, p-Hitting-Set sind nichtpara-NP-vollstandig unter ≤fpt.Folgerung 2: p-Colorability ist para-NP-vollstandig unter ≤fpt.
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In P-Zeit entscheidbare Slices
Definition (XPnu)
(Q, κ) ∈ XPnu (nonuniform XP), wenn fur alle k ≥ 1 (Q, κ)k ∈ P.
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In P-Zeit entscheidbare Slices
Definition (XPnu)
(Q, κ) ∈ XPnu (nonuniform XP), wenn fur alle k ≥ 1 (Q, κ)k ∈ P.
Satz
Wenn P 6= NP, dann ist para-NP 6⊆ XPnu.
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XP
Definition
(Q, κ) ∈ XP, wenn
es gibt berechenbare Funktion f : N → N und
Algorithmus, der x ∈ Q in Zeit hochstens |x |f (κ(x)) + f (κ(x))entscheidet
XP entspricht EXPTIME in param. Komplexitat
XP ist abgeschlossen unter ≤fpt
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Ein XP-vollstandiges Problem
p-Exp-DTM-Halt := {〈M, 1n, k〉 | M ist DTM, k ∈ N,
M akzeptiert die leere Eingabe in mindestens nk Schritten.}
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Beziehung von FPT zu XP
Satz
FPT ⊂ XP
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Beziehungen der Klassen untereinander
para-NP XP
FPT
Abbildung: Inklusionen von FPT, para-NP und XP
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