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Rectificador monofsico de onda completa no controlado
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Rectificadores Trifsicos no controlados de Media Onda y Onda Completa: Anlisis Matemtico y Simulacin en MATLAB.Three-phase uncontrolled rectifiers Media Wave and Full Wave: Mathematical Analysis and Simulation in MATLAB.Dr. Rodrigo Alfonso Villarreal Ortiz. Instituto Tecnolgico de Morelia. Divisin de Estudios Profesionales. Departamento de Ingeniera Electrnica. [email protected]. Telfono (443)2740558 Ext. 275. Avenida Tecnolgico # 1500. Colonia Lomas de Santiaguito. Morelia Michoacn. Cdigo Postal 58120. Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo. Preparatoria Jos Mara Morelos y Pavn. Licenciado Adolfo Cano No. 201, Colonia Chapultepec Sur. Morelia Michoacn.RESUMEN.
En el presente artculo se describe la metodologa para desarrollar mediante series de Fourier, las ecuaciones matemticas y la construccin de la forma de onda de voltaje, de los rectificadores trifsicos de media onda y onda completa no controlados.
The present article describes the methodology to develop by Fourier series, mathematical equations and the construction of the voltage waveform of the half-wave and full wave rectifiers uncontrolled.
INTRODUCCIN.Los rectificadores son convertidores de voltaje de corriente alterna a corriente directa y son ampliamente utilizados en la industria. En las referencias [], [] y [], los autores no realizan el desarrollo matemtico de Fourier, con las que se construye la forma de onda del voltaje de salida de los rectificadores trifsicos no controlados. En este trabajo se desarrollan las ecuaciones matemticas mencionadas mediante series de Fourier, las cuales sern de utilidad en artculos posteriores para determinar los parmetros de rendimiento de los rectificadores trifsicos no controlados, adems de utilizarse en estudios de calidad de la energa.
En las secciones siguientes se presenta el desarrollo de las ecuaciones matemticas de los rectificadores trifsicos de media onda y onda completa no controlados.
RECTIFICADOR TRIFSICO DE MEDIA ONDA NO CONTROLADO. En la figura 1 se muestra el circuito del rectificador trifsico de media onda no controlado.
Figura 1.- Circuito del Rectificador Trifsico de Media Onda no Controlado.En la figura 2 se presenta la forma de onda construida mediante el anlisis de las series de Fourier en el programa MATLAB utilizando la ecuacin (1), considerando una amplitud del voltaje pico sinusoidal de 163 volts, con n = 50 armnicas.En la siguiente seccin se procede a realizar el desarrollo matemtico correspondiente al voltaje de salida del rectificador trifsico de media onda no controlado mostrado en la figura 2.
(1)
Figura 2.- Forma de onda del Voltaje de Salida en la Carga del Rectificador Trifsico de Media Onda no Controlado.DESARROLLO MATEMTICO.Para construir la forma de onda del rectificador trifsico de media onda no controlado, se aplican las frmulas de la serie de Fourier:
(2)Donde:
; ;
(3)
cuando
;
La forma de onda de la seal de salida se vuelve repetitiva en el intervalo de ; observe que la forma de onda del voltaje de salida es de una frecuencia tres veces mayor que la frecuencia de la seal de entrada, ya que el voltaje de entrada tiene periodo de y la seal de salida tiene un periodo . En base a las frmulas anteriores y considerando los lmites correspondientes, se calculan los valores respectivos:
Clculo de .
Aplicando los valores correspondientes a la ecuacin (3) para calcular , entonces:
(4)Clculo de para todo n.
De la ecuacin (3), se aplican los parmetros correspondientes para calcular la serie de Fourier de .
Aplicando la frmula:
Donde , , por lo tanto:
Factorizando los denominadores se tiene:
Desarrollando la ecuacin como una operacin de quebrados:
(5)Aplicando la frmula
(6)Desarrollando cada uno de los trminos de de la ecuacin (5), se tiene que:
Reduciendo los trminos semejantes se tiene:
Cambiando los dos ltimos trminos de posicin para aplicar la identidad correspondiente:
(7)Aplicando en la ecuacin (7) las frmulas (8) y (9)
(8)
(9)Se tiene que:
Como y entonces:
(10)Clculo de para todo n.
Se aplica la ecuacin (3) para calcular mediante series de Fourier. Observe que al igual que en el caso de , la forma de onda del voltaje de salida del rectificador tiene como periodo el triple de la frecuencia de la seal que se analiza. Sustituyendo los valores correspondientes se tiene que:
Aplicando la frmula:
(11)Como , , entonces
Factorizando los denominadores se tiene:
Desarrollando la ecuacin como una operacin de quebrados.
(12)Aplicando la identidad trigonomtrica (13) en la ecuacin (12)
(13)Desarrollando cada uno de los trminos de
Reduciendo los trminos semejantes se tiene:
(14)
(15)Aplicando
(16)
(17)Sustituyendo
(18)Como y
(19)Construccin de la forma de onda de Fourier.
La forma de onda de la figura 3, se construye aplicando los resultados obtenidos en la ecuacin (2) de Fourier considerando n=50 armnicas. Sustituyendo los valores se tiene que:
(20)
A continuacin en la figura 4 se presenta la reconstruccin de la forma de onda utilizando Vp=169 volts y n = 5, 10, 20 y 40 armnicas.
Figura 3.- Voltaje de salida del rectificador trifsico no controlado de media onda.
n=5
n=10
n=20
n=40
Figura 4.- Formas de onda del voltaje de salida del rectificador trifsico de media onda no controlado, para n = 5, 10, 20 y 40 armnicas.RECTIFICADOR TRIFSICO DE ONDA COMPLETA NO CONTROLADO.En la figura 5 se muestra el circuito rectificador de voltaje trifsico de onda completa no controlado y en la figura 6 se muestra su forma de onda construida mediante las series de Fourier en MATLAB.
Figura 5.- Circuito del Rectificador Trifsico de Onda Completa no Controlado.
Figura 6. Forma de onda del Rectificador Trifsico de Onda Completa no Controlado.
A continuacin se realiza el anlisis matemtico con el que se construir en MATLAB la forma de onda correspondiente a este convertidor.
DESARROLLO MATEMATICO.
Para construir la forma de onda del rectificador trifsico de media onda no controlado, se aplican las frmulas de la serie de Fourier:
(21)Donde:
; ; (22)
cuando
; .
La forma de onda de la seal de salida se vuelve repetitiva en el intervalo de ; observe que la forma de onda del voltaje de salida es de seis veces mayor que la frecuencia de la seal de entrada, ya que el voltaje de entrada tiene periodo de y la seal de salida tiene un periodo . En base a las frmulas anteriores y considerando los lmites correspondientes, se calculan los valores respectivos:
Clculo de .
Desarrollando la ecuacin (22) para el clculo de , se tiene que:
(23)Clculo de para todo n.
Usando la ecuacin (22) de la serie de Fourier de .
Aplicando la frmula:
(24)Como , , entonces
Factorizando los denominadores se tiene:
Se expande la ecuacin al multiplicar los trminos del numerador.
Aplicando la frmula
(25)Desarrollando cada uno de los trminos de
Reduciendo los trminos semejantes se tiene:
(26)Clculo de para todo n.
Para calcular la serie de Fourier de se utiliza la ecuacin (22). Observe que al igual que en el caso de , la forma de onda del voltaje de salida del rectificador tiene como periodo el sextuple de la frecuencia de la seal que se analiza. Sustituyendo los valores se tiene que:
Aplicando la frmula:
(27)Como , , entonces
Factorizando los denominadores se tiene:
Resolviendo como si fuera un quebrado.
Expandiendo la ecuacin
(28)Aplicando la identidad trigonomtrica (13), se tiene que:
Sustituyendo en la ecuacin (28) los resultados de cada uno de los trminos;
(29)Construccin de la forma de onda de Fourier.
Para construir la forma de onda del voltaje de salida del rectificador trifsico controlado de onda completa de la figura (6), se sustituye en la ecuacin (21), los valores obtenidos de los coeficientes de la serie de Fourier,obteniendose la ecuacin siguiente:
(30)
(31)En la figura 7 se presentan las formas de onda para Vp=169, o Vm=Vp, para n = 5, 10, 20 y 40 armnicas.
n=5
n=10
n=20
n=40
Figura 7.- Formas de onda del voltaje de salida del rectificador trifsico de onda completa no controlado,
para n = 5, 10, 20 y 40 armnicas.CONCLUSIONES.Se desarrollaron las ecuaciones matemticas de los rectificadores trifsicos de media onda y onda completa no controlados, demostrando la veracidad de las ecuaciones matemticas obtenidas.De las grficas presentadas se concluye que en los rectificadores no controlados entre ms fases se rectifiquen, las formas de onda se reconstruyen con un menor nmero de armnicos. Segn las expresiones matemticas obtenidas, el contenido armnico se atena en (1-r2n2) donde r es el nmero de semiciclos rectificados del convertidor, en el caso de media onda r = 3 y en el caso de onda completa r = 6. Se observa que entre mayor sea el armnico n, mayor ser la atenuacin segn el trmino (1-r2n2).En caso de que se desee calcular los parmetros de rendimiento de los rectificadores analizados o para realizar estudios de calidad de la energa de esta clase de convertidores, se pueden implementar en MATLAB las ecuaciones correspondientes para que realicen los clculos requeridos, ya que se cuentan con todos los parmetros necesarios con las ecuaciones matemticas y simulaciones desarrolladas.
AGRADECIMIENTOS.
Se agradece ampliamente al Instituto Tecnolgico de Morelia y a la Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo por las facilidades otorgadas para el desarrollo del presente artculo.
SEMBLANZAS.Dr. Rodrigo Alfonso Villarreal Ortiz. Egresado del Doctorado en Ciencias en Ingeniera Elctrica del Instituto Tecnolgico de Morelia. Trabaj en Comisin Federal de Electricidad en la Divisin Norte. Actualmente labora como docente en el Departamento de Ingeniera Electrnica del Instituto Tecnolgico de Morelia adems de fungir como Jefe de Proyectos de Docencia del mismo departamento y como Profesor y Tcnico Acadmico del rea de Computo de la Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo.
Solicita el archivo de MATLAB de los rectificadores analizados en este artculo a los autores.
Solicita el archivo de MATLAB a los autores de este convertidor.
REFERENCIAS.
Muhammad H. Rashid. Electrnica de Potencia: Circuitos, Dispositivos y Aplicaciones. Tercera Edicin. Mxico. Editorial Pearson, Prentice Hall. 2004. Pginas de la 87 a la 121.
Murphy J. M. D., Turnbull F. G., Power Electronic Control of AC Motors. First Edition. Great Britain. Pergamon Press. A. Wheaton & Co. Ltd., Exeter. 1988. Pages 73 to 100.
Mohan Ned, Undeland Tore M., Robbins William P. Power Electronics: Converters, Applications and Design. Second Edition. Editorial John Wiley and Sons Inc. 1994. Pages 103 to 120.
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