recreações topológicas
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RECREAÇÕES TOPOLÓGICAS
Autores
Camila Araújo Peres, UEPA
Luiz Guilherme Pantoja Moreira, UEPA
Orientador
Dr. Pedro Franco de Sá, UEPA/UNAMA
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Curso de Licenciatura em Matemática
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NOSSO OBJETIVO
Construir um conjunto de atividades de Matemática
Recreativa que estão relacionadas com conhecimentos
topológicos .
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O QUE É TOPOLOGIA?
É o ramo da matemática que estuda as propriedades
das figuras que não sofrem alterações quando
submetidas a deformações tão drásticas a ponto de
perderem todas as suas propriedades métricas e
projetivas.
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NOSSA METODOLOGIA
Levantamento de material
Estudo do material
Seleção de atividades recreativas
Fotografias das etapas de solução dos desafios
Elaboração do texto
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RESULTADOS
Como resultado do estudo temos um esboço histórico
do desenvolvimento da topologia, alguns conceitos
relacionados a esta área e um conjunto de 35 desafios
com as respectivas soluções que podem ser utilizados
desde os anos iniciais do ensino fundamental.
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A HISTÓRIA
Leonhard Euler (1707-1783 )
Augustus F. Möbius (1790-1868)
Johann B. Listing (1808-1882)
1847: Vorstudiem zur Topologie
Bernhard Riemann (1826-1866)
Henri Poincaré (1854-1912)
Analisys situs (1895)
Grigori Perelman (1966-)
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AS PONTES DE KÖNIGSBERG
O TEOREMA DAS 4 CORES
A FAIXA DE MOEBIUS
A GARRAFA DE KLEIN
OS PROBLEMAS CLÁSSICOS
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CONCEITOS IMPORTANTES
Vizinhança
Interior e exterior
Dimensão
Variedades
Superfícies
Conexas;
Fechadas;
Trianguláveis;
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PROBLEMA DAS 3 UTILIDADES
TEOREMA DA
CURVA DE JORDAN
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MATEMÁTICA RECREATIVA
A Matemática Recreativa é um ramo da Matemática
que tem por finalidade evidenciar uma aplicação mais
prática desta disciplina. Este ramo vem tentar extinguir os
conceitos que, não muitas vezes, afastam nossos olhos e
pensamentos de uma aplicação ainda mais significativa
desta importante ciência.
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DESAFIOS TOPOLÓGICOS
Quebra-cabeças
PEIXE
Soltar e recolocar o
“peixe” no arco sem
danificar o brinquedo.
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Etapas da solução
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ESCADA
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DESAFIOS TOPOLÓGICOS
Papel e tecido
BURACO
Passe por um buraco de uma
folha de papel.
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Etapas da solução
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DESAFIOS TOPOLÓGICOS
Barbantes e cordas
Anéis interligados
Atando duas pessoas do modo ilustrado abaixo, com os fios
interligados, manuseie o barbante (sem danificar quaisquer
partes dos barbantes ou desatar seus nós) de modo a separar o
par.
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As soluções problemas como este
dependem do fato de o circuito formado
pelo barbante, braços e corpo não ser uma
verdadeira curva fechada, e sim uma
curva separável nos pulsos.
(Gardner, 1991)
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DESAFIOS TOPOLÓGICOS
Casacos e coletes
Colete ás avessas
Peça a um amigo de colete que
entrelace os dedos à frente do
corpo. Feito isso, vire o colete do
avesso sem que a pessoa deixe
de ter os dedos entrelaçados.
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DESAFIOS TOPOLÓGICOS
Elásticos
O elástico saltitante
Prenda um elástico nos dedos
indicador e médio e faça com que
num rápido salto, ele prenda no
dedo médio.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
O estudo das recreações topológicas pode propiciar a
construção do conhecimento da Matemática de forma
significativa, lúdica e prazerosa. Por meio
delas, acreditamos que o aluno pode conhecer melhor
esta disciplina, ainda que sem formalidades.
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PERGUNTAS...
Enquanto professor de Matemática, é viável trabalhar
conhecimentos além dos rotineiramente apresentados
em sala de aula?
Os professores dão prioridade aos assuntos que
envolvem em sua maioria números e fórmulas em
detrimento da riqueza de possibilidades “não
quantitativas” da Matemática?
Poderia um aluno de Ensino Fundamental se sentir
mais atraído pela Matemática em contato com as
recreações e os desafios curiosos desta geometria?
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REFERÊNCIAS• AZEVEDO, A. ESCHER: Um artista gráfico com alma de matemático. Colégio Santa Marcelina de Belo Horizonte. Revista
Theorema 01. Disponível em: <http://www.colegiosantamarcelina.com.br/Theorema/escher.pdf>. Acesso em: 8 dez. 2011.
• BERGAMINI, David. As Matemáticas. Biblioteca Científica Life, 1965.
• BORGES, C. C. A Topologia: considerações teóricas e implicações para o ensino da matemática. CADERNO DE FÍSICA
DA UEFS. V. 3. 2005. Disponível em: <http://depfis.uefs.br/caderno/vol3n2/CBorges.pdf>. Acesso 13 dez. 2011.
• BOYER, C. B. História da Matemática. Trad: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
• _______. Tópicos de História da matemática para uso em sala de aula. Trad: Hygino H. Domingues. Disponível em:
<http://drikamath.files.wordpress.com/2011/03/tc3b3picos-histc3b3ria-da-matemc3a1tica-para-sala-de-aula-howard-eves-
geometria1.pdf>. Acesso: 10 dez de 2011.
• CARLSON, James. Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman. Artigo postado em
março, 2010. Disponível em: <http://www.claymath.org/poincare>. Acesso em: 04 nov 2011
• CHINN, W. G.; STEENROD, N. E. Primeros conceptos de topologia. Madrid: Editora Alhambra S. A., 1975.
• CLAY MATHEMATICS INSTITUTE. Poincaré Conjecture (solved: Grigoriy Perelman, 2002-3). Disponível em:
<http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture>. Acesso em: 04 nov. 2011.
• COURANT, R; ROBBINS, H. O que é Matemática? Trad. de Adalberto Brito. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda,
2000.
• DEVLIN, Keith. El Lenguaje de las Matemáticas. Barcelona: Ediciones Robinbook, 2002.
• ENCICLOPÉDIA BRITÂNICA. Disponível em: <http://www.britannica.com>. Acesso em: 15 dez 2011.
• EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad: Hygino H. Domingues. São Paulo: Editora da Unicamp, 2004.
• GARDING, Lars. Encontro com a matemática. Trad. de Célio Alvarenga e Maria Manuela Alvarenga. – Brasília: Editora
Universidade de Brasília, 2ª Ed., 1997.
• GARDNER, Martin. Matemática, magia e mistério. Trad: Jorge Lima. Coleção O prazer da Matemática. nº 08. Lisboa:
Gradiva, 1991.
• LIMA, E. L. Espaços Métricos. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2003.
• LORENZATO, Sérgio (Org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores
Associados, 2006. Coleção Formação de Professores.
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REFERÊNCIAS• MARAR, T. Aspectos topológicos na arte concreta. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. Universidade de
São Paulo, São Carlos, 2004. Disponível em: < http://www.bienasbm.ufba.br/M39.pdf >. Acesso em: 9 dez 2011.
• MATOS, E. R.; NEVES, R. E. B. A geometria euclidiana e as geometrias não euclidianas. Trabalho de Conclusão de Curso
de Graduação (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2010.
• MENEZES, J. E; BRITO, J. de S; SANTOS, P. J. A. P. dos; Recreações matemáticas, conhecimento matemático e
Educação Matemática. Anais do VIII Encontro Nacional de Educação Matemática. Recife, PE: 2004. CD-ROM.
• MOYOTA, C.; FLORES, P. Los Puzzles en Alambre como recursos didácticos para la enseñanza de las Matemáticas.
2003. Disponível em: < http://www.ugr.es/~pflores/textos/articulos/propuestas/Articulo_Gaceta_Montoya_Flores.pdf >.
Acesso em: 16 dez. 2011.
• NEWMAN, J.; KASNER, E. Matemática e Imaginação. Trad: Jorge Fortes. 2ª Ed. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1976.
• O’CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. Biografias de matemáticos na internet. Disponível em: <http://www-history.mcs.st-
and.ac.uk/history/Mathematicians>. Acesso em: 9 dez 2011.
• O’SHEA, D. A solução de Poincaré. Trad: Paulo César Castanheira. Rio de Janeiro: Editora Record, 2009.
• PERES, C. A; MOREIRA, L. G. P; SÁ, P. F. de. A geometria da folha de borracha: um breve estudo sobre a topologia.
Anais do VII Encontro Paraense de Educação Matemática (VII EPAEM). Belém, PA: 2010. CD-ROM.
• PINTO, J. A. P. Notas sobre História da Topologia. Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, 2004. Disponível em:
<www.inf.unioeste.br/~rogerio/Topologia-ensino3.pdf>. Acesso em 12 maio 2011.
• PRAVDA. Grigori Perelman claims he can control Universe. Disponível em: <http://english.pravda.ru/science/tech/28-04-
2011/117727-Grigori_Perelman-0>. Acesso em: 04 nov 2011
• RISSI, Marlene. Topologia: uma proposta metodológica para o ensino fundamental. Universidade Estadual de Maringá.
2008. Disponível em: <www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2210-6.pdf>. Acesso em: 15 junho 2011.
• SÁ, P. F. A Resolução de Problemas como processo nas aulas de Matemática. Revista Trilhas (UNAMA), v. 8, nº 18, p. 59-
71, 2006.
• SAMPAIO, J. C. V. Quatro cores e Matemática. Universidade Federal da Bahia: II Bienal da SBEM, 2004. Disponível em:
<www.bienasbm.ufba.br/M35.pdf>. Acesso em: 20 abril 2011.
• _______________. Uma introdução à topologia geométrica: passeios de Euler, superfícies, e o teorema das quatro cores.
São Carlos: Edufscar, 2008.
![Page 24: Recreações Topológicas](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022020116/559fbdb41a28ab9c508b456d/html5/thumbnails/24.jpg)
REFERÊNCIAS• SAMPAIO, J. C. V.; MALAGUTTI, P. L. Geometria, Mágicas e Outras Diversões Matemáticas. Maringá, SP:
EdUFSCar, 2008.
• SCHEMMER, J.; PEREIRA, P. S. Uma aproximação entre a educação básica e o ensino superior por meio de aplicações
topológicas. Disponível em: < http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2210-8.pdf >. Acesso em 15 abril
2011.
• SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: 13 dez. 2011.
• SODERO, T. F. A conjectura de Poincaré em dimensões altas. Dissertação de Mestrado. UFRJ: Rio de Janeiro, 2009.
Disponível em: <http://www.im.ufrj.br/~arbieto/slaves/tesetati.pdf>. Acesso em: 16 nov. 2011
• STANDLER, M. M. Topologia Geral. Disponível em: <www.ehu.es/~mtwmastm/TG1011.pdf>. Acesso em: 16 dez. 2011.
• STEWART, Ian. Almanaque das curiosidades matemáticas. Trad: Diego Alfaro. Rio de Janeiro: Zahar, 2009.
• STEWART, Ian. Incríveis passatempos matemáticos. Trad: Diego Alfaro. Rio de Janeiro: Zahar, 2010.
• THE MATHEMATICS GENEALOGY PROJECT. Disponível em: <http://www.genealogy.ams.org/html>. Acesso em: 9 dez
2011.
• UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ. Departamento de Matemática. Disponível em: <http://www.inf.ufpr.br/dinf>.
Acesso em: 25 dez 2011.
• XAVIER, A. C; SANTANA, L. G. de; VERGETTI, Nubia. Desafios no ensinar/aprender matemática: o jogo na sala de aula.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática (X ENEM). Salvador, BA: 2010. CD-ROM.