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Congrès Francophone de Techniques Laser, CFTL 2010, Vandoeuvre-lès-Nancy, 14 – 17 septembre 2010

Reconstruction de la Masse Volumique À partir des Images CBOS

Friedrich LEOPOLD*, Frédéric SOURGEN, Daniel KLATT, Frédérique JAGUSINSKI Institut franco-allemand de recherches de Saint-Louis, F-68300 Saint-Louis

*[email protected]

1 Introduction La connaissance de la répartition de la densité est un élément particulièrement important de l’étude des écoulements compressibles. La technique CBOS (Colored Background Oriented Schlieren), traduite par Strioscopie Couleur Orientée vers l’Arrière-plan et présentée dans cet article, est basée sur la mesure de la déflection de la lumière due à la présence de gradients de densité dans un écoulement compressible, en utilisant la distorsion d’une image d’arrière-plan en couleurs. L’arrière-plan monochromatique de la technique d’origine BOS (Background Oriented Schlieren), a été remplacé par un arrière-plan en couleurs, lequel, grâce à un traitement séparé des différentes couleurs, permet d’obtenir une précision accrue des résultats et une meilleure résolution spatiale. De plus, contrairement à d’autres méthodes optiques, la technique BOS permet de mesurer les gradients de masse volumique dans deux directions perpendiculaires à l’axe optique. Cet article est complété par la reconstruction du champ de densité à partir des images obtenues par la technique CBOS.

2 Technique CBOS

2.1 Principe de la technique BOS

La technique BOS (Background Oriented Schlieren), traduite par Strioscopie Orientée vers l’Arrière-Plan, basée sur un brevet de Meyer (1999), développée par Raffel (2001). Elle s’appuie sur la mesure de la déviation de la lumière traversant un objet de phase, en utilisant la distorsion d’un arrière-plan pour détecter les variations des gradients de densité. Grâce à la loi empirique de Gladstone-Dale, la densité peut directement être reliée à l’indice de réfraction :

,100686.1107132.6

1102244.2)(

)(1

472834

mm

kg

mG

withGn

(1)

où n représente l’indice de réfraction, ρ remplace la densité du milieu, G est la constante de Gladstone-Dale, laquelle dépend des caractéristiques du gaz et de λ, longueur d’onde de la lumière.

Comme les variations de la constante de Gladstone-Dale, dans la partie visible du spectre sont

très faibles, la constante est fixée à la valeur kgmG /10226)( 31 pour une longueur d’onde

moyenne de nm550 .

La distorsion χ peut s’exprimer par intégration des gradients d’indice locaux le long du trajet de la lumière par :

,),(

1

0

dzyxr

n

nfZZ

Zf

zBC

B

(2)


où z est la coordonnée le long du trajet de la lumière, f la distance focale de la lentille de l’appareil photo, ZC la distance entre l’appareil photo et l’objet de phase et ZB la distance entre l’objet de phase et l’image d’arrière-plan (Figure 1).

La relation de Gladstone-Dale et la distorsion bidimensionnelle χ(x,y) nous permettent de déterminer les gradients de densité δρ/δx et δρ/δy dans les directions horizontale et verticale, respectivement. (Richard and Raffel 2001, Augenstein et al. 2001).

Figure 1 : Montage optique pour la technique BOS

ZB Zc f

Image plane

Lens

Phase objectBackground

ZB Zc f

Image plane

Lens

Phase objectBackground

2.2 Principe de la technique CBOS

La technique CBOS (Coloured Background Oriented Schlieren), traduite par Strioscopie Couleur Orientée vers l’Arrière-plan utilise un motif (ou mouchetis) placé à l’arrière du volume de test et comprenant un ensemble de points en couleurs générés par ordinateur. Ce motif doit avoir une fréquence spatiale élevée afin de présenter un fort contraste. Il comprend généralement une distribution aléatoire de minuscules points, dont la répartition a été optimisée (Leopold et al. 2006). Les couleurs utilisées sont les couleurs primaires, rouge, vert, bleu (selon le modèle de couleurs RGB), lesquelles peuvent être facilement détectées par des appareils photos numériques à capteur CMOS du commerce. Le motif est obtenu de la manière suivante : Une distribution identique pour chacune des couleurs primaires est effectuée sur l’image d’arrière-plan, qui conduit à un ensemble de points de couleurs pures et points de couleurs composées (Figure 2).

Figure 2 : Distribution des couleurs composées en fonction du taux de remplissage des couleurs primaires

Figure 3 : Image d’arrière-plan en couleurs


Avec un taux de remplissage de 35% pour chacune des couleurs pures on obtient une distribution maximale de couleurs pures. De plus, le taux de couleurs composées et celui de zones sans couleur est de l’ordre de 30%. Un exemple d’image s’arrière-plan ainsi obtenue est représentée en figure 3 (Leopold et al. 2006).

2.3 Traitement d’image

Le traitement tient compte du fait que l’appareil photo est équipé de capteurs pour les couleurs primaires rouge, vert, bleu. Les données des capteurs sont directement stockées sans aucun traitement ou compression préalables, sous un format raw. De par la décomposition en 3 couleurs primaires, 8 motifs de points élémentaires peuvent être extraits de l’image (Figure 4) :

- un motif pour chacune des couleurs primaires (rouge, vert, bleu) - un motif pour l’ensemble des couleurs secondaires - 3 motifs dont les points contiennent respectivement le rouge, le vert, le bleu - un motif des zones non colorées, c'est-à-dire composées de « points noirs »

La distorsion de l’image est estimée en traitant séparément chacun des 8 motifs élémentaires et en effectuant des intercorrélations. L’utilisation de fenêtres d’interrogation glissantes permet d’augmenter la précision de la méthode ; chaque fenêtre d’interrogation étant décalée de un huitième dans les directions verticale et horizontale (Figure 5).

Figure 4: Extraction des 8 motifs à partir de l’image CBOS

Points rouge pur Points vert pur Points bleu pur

Points de Couleurs secondaires Points noirs”Image CBOS

Points avec du bleuPoints avec du rouge Points avec du vert

Figure 5: Fenêtre glissante Figure 6: Points voisins pris en compte pour la moyenne (les chiffres 1 à 8 indiquent les différents motifs de points)


A la fin, une valeur moyenne pour chaque emplacement est déterminée à l’emplacement lui-même et par les résultats d’interpolation entre des valeurs voisines opposées (Figure 6) ; les valeurs intervenant dans le calcul de la moyenne sont soumises à des critères standards de sélection afin d’améliorer la précision des résultats.

3 Reconstruction du champ de densité

3.1 Présentation

La reconstruction du champ de densité à partir des mesures CBOS dépend de l’écoulement, axisymétrique ou tridimensionnel. Si l’écoulement peut être considéré comme axisymétrique, les algorithmes de reconstruction basés sur la transformation d’Abel ou Radon peuvent être utilisés. En particulier, la transformation directe d’Abel ou l’algorithme de rétroprojection filtrée peuvent conduire à des résultats fiables (Haertig et al). Cependant, dans le cas d’écoulements asymétriques et dans le cas de projections incomplètes, (cas d’un écoulement autour d’un corps en incidence, par exemple), la technique de reconstruction est confrontée au nombre limité de projections ainsi qu’à la discontinuité de ces projections, pouvant être masquées par le corps. Il est à noter que la discontinuité des projections devient un problème uniquement pour les écoulements asymétriques. En effet, dans le cas d’écoulements symétriques, il n’y a pas de discontinuité angulaire dans le sinogramme (représentation angulaire des projections), les lignes de contour suivant la forme du corps (cercles). Par contre, dans le cas d’écoulements asymétriques, le masque dû au corps interrompt les lignes de contour des projections, de telle sorte qu’elles sont désignées par « projections incomplètes ». Un filtre peut être utilisé pour la partie masquée des projections, sauf si la discontinuité est trop importante, le filtre devant relier les projections incomplètes des 2 cotés. En effet, dans le cas de champs asymétriques, l’algorithme de rétroprojection filtrée est fortement influencé par les artefacts numériques liés au nombre limité des projections. La littérature suggère d’autres algorithmes (Grangeat, 2002); néanmoins, dans le cas particulier du champ de densité d’un écoulement compressible, l’approche par l’algorithme de rétroprojection filtrée sera conservée, en recherchant puis corrigeant les principaux artefacts numériques rencontrés.

3.2 Algorithme de projection filtrée

Le principe de l’algorithme de rétroprojection filtrée est rappelé rapidement dans cette partie, des développements plus complets pouvant être trouvés dans les ouvrages de Kak & Slaney (1987) et de Grangeat (2002), etc. L’algorithme de rétroprojection filtrée est une approche analytique basée sur la transformation de Radon pour des rayons parallèles, le théorème de la transformation de Fourier d’une projection (Fourier slice theorem) et le théorème de convolution. Tout d’abord est décrite la mesure des projections en utilisant l’opérateur de la transformation de Radon (Figure 8). Dans ce formalisme, la mesure des projections dans une coupe donnée est la transformation de Radon du champ scalaire "f" à déterminer.

(3)

praydsyxfpPpf

),()(),]([ R

Le théorème de la transformation de Fourier d’une projection (Fourier slice theorem) permet ensuite d’écrire la transformation de Fourier monodimensionnelle des projections en utilisant la transformation de Fourier bidimensionnelle du champ à reconstruire (Figure 9).

(4) ) )(()sin,cos)((),])([( nTFTFRTFp

fff


Figure 8: Transformation de Radon Figure 9 Théorème de la transformation de Fourier d’une projection (Fourier slice theorem)

Une conséquence de l’invariance par translation et du théorème de la transformation de Fourier est le théorème de convolution, qui permet de déterminer le champ scalaire f.

(5) fhfh p ][ ][ RRR

R+ est l’opérateur adjoint et h est une fonction monodimensionnelle. Pour déterminer le champ scalaire f, la fonction h doit être telle que l’opérateur adjoint appliqué à h donne la fonction de Dirac. La solution est fournie par le noyau de convolution TF[h] = |υ|. Ainsi, la transformation de Fourier de la fonction h est une rampe et h est appelée filtre rampe (Figure 10). Par conséquent, la reconstruction du champ scalaire f consiste en une rétroprojection des projections filtrées. Le filtre h est en effet la combinaison de l’opérateur de dérivation et de la transformation de Hilbert multipliée par le facteur 1/2п. De plus, le support de h n’étant pas fermé, il doit être multiplié par un filtre passe-bas (une fenêtre de Hamming, par exemple) avec une fréquence maximale compatible avec le critère de Nyquist. Un exemple de reconstruction analytique utilisant l’algorithme de rétroprojection filtrée à partir de 100 projections est montré en figure 11.

Figure 10 : Filtre rampe Figure 11: Le type de champ “fantôme tête” de Shepp et Logan (gauche) et la reconstruction à partir de 100 projections (droite)


4 Essais en soufflerie Les essais ont été effectués dans la veine de section 0,2 m x 0,2 m la soufflerie à rafales de l’ISL à Mach 3. ; le nombre de Reynolds ReD basé sur le diamètre de la maquette (D = 40 mm) est de 2,7 106 et la pression totale p égale à 190 hPa. La maquette utilisée se compose d’un hémisphère-cylindre terminé par une pointe (spike) à embout biconique (Figure 19) Afin de mesurer des projections selon différentes directions, le support de la maquette peut être tourné par pas de 5 degrés, autour d’un axe parallèle à la direction de l’écoulement ; le centre de rotation restant fixe. Le montage expérimental est représenté sur la figure 20.

Figure 19: Maquette Figure 20: Dispositif expérimental Les images CBOS sont réalisées avec un appareil photo Canon EOS 1 Ds Mark II à haute résolution (capteur CMOS 4992 x 3328 pixels) équipé d’un objectif de distance focale f = 400 mm. La mise au point se fait sur un arrière-plan artificiel et afin d’augmenter la profondeur de champ, toutes les images sont prises avec l’ouverture du diaphragme minimale (1/64) ; les fenêtres de corrélation ont une taille de 40 pixels de coté. La distance ZB entre l’arrière-plan et la maquette est de 600 mm, la distance ZB entre la maquette et l’objectif de l’appareil photo de 1400 mm ; l’arrière-plan est éclairé par un flash d’une durée de 2,5 µs. Des images CBOS (après traitement), pour différentes positions de la maquette sont représentées en figure 21. Une projection est enregistrée par rafale et la maquette est tournée de 5 degrés entre deux rafales consécutives, pour un nombre total de 19 projections Dans la pratique, plusieurs enregistrements sont effectués durant une même rafale, la projection retenue étant la moyenne de plusieurs enregistrements instantanés. La simulation de l’écoulement lui-même a été faite en utilisant une approche par les équations RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes) stationnaires et les outils ANSYS CFX (Figure 23) Une bonne reconstruction de la zone de recirculation et du choc supérieur sont obtenues (Figure 22). Par contre, à l’extrémité de la maquette et pour le fort choc de recompression dans la partie inférieure, la valeur de la densité est sous-estimée ; ceci est dû aux problèmes d’astigmatisme rencontrés avec les techniques (C)BOS en cas d’importants gradients de densité (Sourgen et al. 2004). Dans de telles zones, les déviations sont sous-estimées, en fait non mesurées, de telle sorte que la reconstruction y est fortement déformée


90°

45°

0°

φ Déplacements horizontaux

Déplacements verticaux Norme des déplacements

Figure 21: Déplacements pour les angles d’attaque 0°, 45°, 90°, à partir d’images CBOS

Figure 22: Reconstruction du champ de densité à partir de mesures CBOS


Figure 23: Simulation RANS (maillage grossier)

5 Conclusion La technique CBOS est un outil prometteur pour l’analyse tridimensionnelle d’un écoulement avec gradients de densité, simple de mise en œuvre. L’utilisation d’un arrière-plan en couleurs et les traitements d’images confèrent à cette méthode une grande précision et une bonne résolution spatiale, permettant d’obtenir une reconstruction sure du champ de densité dans un écoulement stationnaire tridimensionnel en soufflerie.

6 Références [1] Meier GEA., G E A. Hintergrund-Schlierenverfahren, Deutsche Patentanmeldung, DE 19942856 A1, 1999

[2] Settles G S. Schlieren and Shadowgraph Techniques, Springer, Berlin Heidelberg New York, pp. 1-24, 2001.

[3] Raffel M., Optische Untersuchungen in technischen Strömungen unter besonderer Berücksichtigung eines Verfahrens zur Detektion von Dichtegradienten, Institut für Aerodynamik und Strömungstechnik, 2001

[4] Richard H, Raffel M. Principle and Applications of the Background Oriented Schlieren (BOS) method, Meas. Sci. Technol., Vol. 12, No. 9, pp. 1576-1585, 2001.

[5] Leopold F, Simon J, Gruppi, D, Schäfer HJ, Recent improvements of the background oriented schlieren technique (BOS) by using a colored background, 12th International Symposium on Flow Visualization, Göttingen, DE, 2006

[6] Kindler K., Goldhahn E, Leopold F, Raffel, M. Recent developments in background oriented schlieren methods for rotor blade tip vortex measurements, Experiments in Fluids, 43, pp. 233-240, 2007

[7] Wernekink U, Merzkirch W. Speckle photography of spatially extended refractive-index fields, Appl. Optics, 26, pp. 31-32, 1987.

[8] Niessen R, Schäfer H J, Merzkirch W. Measurement of length scales in the turbulent wake behind a cylindrical body at supersonic flow velocities, IUTAM Symposium “Eddy Structure Identification in Free Turbulent Shear Flows”, Poitiers, France, ISL-CO 235/92, 1992.

[9] Leopold F, Simon J, Gruppi, D, Schäfer HJ, Recent improvements of the background oriented schlieren technique (BOS) by using a colored background, 12th International Symposium on Flow Visualization, Göttingen, DE, 2006.

[10] Grangeat, P., La Tomographie, Hermes Lavoisier, 2002, ISBN 2-7462-0356-1

[11] Kak, C. A., Slaney, M., Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, 1987, ISBN 0-87942-198-3

[12] Sourgen F, Haertig J, Rey C. Comparison between Background Oriented Schlieren measurements (BOS) and numerical simulations, 24th AIAA Aerodynamic Measurements Technology and Ground Testing Conference, Portland, USA, 2004

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