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1. Incertidumbre de Medida

1.1.- En la calibración de un proyector de perfiles con lectores de cabeza micrométrica, cuya divisiónde escala es de 0.001 mm, se procede a determinar la incertidumbre parcial en el punto de la escala“10 mm”. Para ello se utiliza un bloque patrón longitudinal de longitud nominal L = 10 mm cuyaincertidumbre, para k = 3, es de 0,24 :m y se realizan 15 lecturas sobre el mismo obteniéndose lossiguientes resultados:

9.995 10.005 10.002

9.999 10.002 10.002

10.004 10.002 10.003

10.003 10.003 10.002

9.994 10.000 10.004

1) Aplicar el criterio de rechazo de Chauvenet 2) Calcular con los valores no rechazados para k=2:

a) incertidumbre de calibraciónb) incertidumbre global de medida (corrección sistemática como componente de incertidumbre)c) incertidumbre global de medida (aplicar corrección sistemática al resultado)

1.2.- Para determinar la incertidumbre de calibración de un micrómetro de exteriores de dos contactosmilesimal, de campo de medida de 0-25 mm, se procede a la determinación de las incertidumbresparciales en los puntos 0, 5, 10, 15, 20, 25 mm de su escala, eligiendo como incertidumbre global delinstrumento la máxima obtenida de las anteriores.

Para ello se realizan 15 lecturas sobre bloques patrones longitudinales cuya incertidumbreglobal, de acuerdo con el certificado de calibración, viene dada por la expresión:

u (:m) = 0,2 + 0,004 A l (mm) k=3

Las lecturas correspondientes al punto “20 mm” se realizan sobre un bloque patrónlongitudinal de lo = 20 mm, y son las siguientes:

19,998 20,002 20,00220,002 20,002 20,00220,002 20,003 20,00120,000 20,004 20,00320,001 20,001 20,005

Aplicar el criterio de Chauvenet y determinar la incertidumbre parcial de calibración en elpunto "20 mm", para un nivel de confianza del 95,4%.

Asimismo, se han llevado a cabo el resto de las calibraciones parciales en los demás puntos

Problemas de Metrología

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de la escala (se ha introducido la corrección sistemática como componente de incertidumbre),obteniéndose los siguientes valores:

Punto de escala incertidumbre, u(mm) Valor de k0 0 25 0,003 210 0,002 315 0,006 225 0,004 3

Ordenar, por orden de precisión, las incertidumbres parciales correspondientes a cada puntosde la escala.

¿Cuál es la incertidumbre a asignar a dicho instrumento?

1.3.- Para la medida del diámetro interior de un cojinete de acero se ha empleado un imicro, concampo de medida 12÷25 mm y división de escala 1/500. Las tres medidas realizadas arrojan unosvalores, en mm, iguales a:

16,002 16,000 16,004

Previamente a la realización de estas medidas, se ha calibrado con un anillo patrón, del quese tiene un valor certificado de:

16,0001 ± 0,0009 (k=3) mm

encontrándose los siguientes valores de calibración (en mm):

15,990 16,000 16,002 16,00216,002 15,998 15,996 15,99815,996 16,000 16,000 16,002

Las mediciones se han realizado a una temperatura de 20 ± 0,5 °C, siendo el coeficiente dedilatación térmica del acero igual a 12A10-6 K-1.

Se pide:

a) Aplicar el criterio de rechazo de Chauvenet al conjunto de valores, indicando el número demediciones a tener en consideración.b) Determinar el valor de la corrección sistemática a tener en cuenta.c) Calcular la incertidumbre de la medida.d) Indicar el valor completo de la medida, con el número de cifras significativas adecuado.

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Coeficientes de Chauvenet:

n k(n) n k(n)

9 1.92 12 2.04

10 1.96 13 2.07

11 2.00 14 2.10

1.4.- Se quiere determinar la incertidumbre con la que debe trabajar una medidora horizontal de unacoordenada, cuya división de escala es de 5 :m e indicación redondeada de la última cifra decimal.Para su calibración se ha utilizado un juego de bloques patrones longitudinales cuya incertidumbrecertificada viene dada por la expresión:

u (:m) = 0,10 + 0,0003 A L (mm) (k = 3)

La calibración en el punto 18,735 se lleva a cabo con tres bloques, de forma que:

L (18,735) = 1,005 + 1,23 + 16,5

La Tª en el puesto de trabajo será de 20 ± 1 (°C)

Las lecturas de calibración son las siguientes:

18,735 18,745 18,735 18,740 18,73518,740 18,745 18,750 18,730 18,72518,725 18,740 18,720 18,730 18,735

Se pide:- Aplicar el criterio de Chauvenet y determinar la incertidumbre global de medida, para unnivel de confianza del 95,4%, teniendo en cuenta las características especificadas.

1.5.- Se lleva a cabo la calibración de un goniómetro mediante un juego de bloques patrones angularescuya incertidumbre, para un nivel de confianza del 99,7%, es de 2". Para obtener la calibraciónparcial de dicho instrumento en el punto de calibración 20° se han tomado 10 lecturas con el siguienteresultado:

20° 3' 20° 0' 20° 7' 19° 58' 20° 0'20° 0' 19° 57' 20° 1' 20° 2' 20° 3'

Aplicar el criterio de Chauvenet y determinar la incertidumbre global de medida para dicho punto decalibración (no incluir la corrección sistemática como componente de incertidumbre), para un K=2.

Coeficiente K para el criterio de Chauvenet

nc = 10 K = 1,96 nc = 9 K = 1,92nc = 8 K = 1,86

Problemas de Metrología

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1.6.- Para llevar a cabo la calibración de un juego de bolas calibradas se ha utilizado una máquina de

medición cuya división de escala es de 0,0001 mm, y cuyo certificado de calibración arroja un valor

de incertidumbre para dicha máquina de 0,0009 mm (k = 3).

En particular, para las bolas de diámetros nominales D1 = 5 mm y D2 = 20 mm la calibración se

lleva a cabo realizando 10 medidas sobre cada una de ellas, arrojando el resultado los siguientes valores:

Para la bola con D1 = 5 mm Para la bola de D2 = 20 mm

5,0018 20,0004

5,0000 20,0003

5,0012 20,0002

5,0004 20,0001

5,0003 20,0004

5,0015 20,0005

5,0004 20,0004

5,0000 20,0002

5,0004 20,0004

5,0002 20,0004

Se pide:

1) Aplicar el criterio de Chauvenet a cada una de las series de medidas.

2) Calcular las incertidumbres globales de medida respectivas uD1 y uD2, con una probabilidad

del 95,4%.

nc k (nc)

8 1,86

9 1,92

10 1,96

1.7.- Las dimensiones de una chapa rectangular se han medido con un pie de rey que aprecia 1/10 mm,obteniéndose 41.2 y 62.4 mm respectivamente. Calcúlese el área y la incertidumbre de sudeterminación.

1.8.- En la medida del diámetro medio de una rosca M20x2,5 con máquina medidora de coordenadasy por el método de las tres varillas, se emplea la ecuación:

D M dsen

D

tagc cM = − + + − +( )1

1

22

2

1 2α α

en donde: DM diámetro medioM medida en la máquinad diámetro de las varillasp paso de la roscac1, c2 correcciones por ángulo de hélice y deformación en el contacto.

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Las varilla calibradas son de diámetro 1,45 mm con una calidad de ±0,0005 mm; el paso p yel ángulo " se han medido previamente en proyector óptico, obteniéndose unos valores p=2,502±0,003y "=59° 58' ±10'.

La medida de la máquina es M=20,426±0,002 y las correcciones c1 y c2 se considerandespreciables.

¿Cuál es el valor del diámetro medio de la rosca y cuál es la incertidumbre que cabe asociara dicho valor por el hecho de haberlo calculado a través de la fórmula matemática indicada?.

1.9.- Para obtener el diámetro D en una superficie cónica, a una distancia h de la base menor, se midecon clavijas la distancia M y se deduce el diámetro mediante la expresión, a partir del semiángulo "y del radio r de las clavijas:

M = D + 2r + 2rcos"D = M - 2r (1 + cos")

Los datos de partida son:

r = 5 mm u (r) = 0,5 :m" = 30° u (") = 3'

u (M) = 2 :

Determinar la incertidumbre que puede asignarse al diámetro D calculado.

1.10.- Para conocer la distancia X de la pieza representada se ha utilizado una varilla calibrada dediámetro 15 ± 0,002 mm y un micrómetro milesimal, obteniéndose de forma directa la distancia M devalor 63,240 ± 0,002 mm.

Determinar la expresión para el cálculo de X, suvalor y la incertidumbre cometidos en sudeterminación.

Valor del ángulo "=105° ± 5'

1.11.- Para medir el ancho de una escotadura H de una guía en cola de milano, se dispone de dospares de bolas calibradas de diámetros i15 y i10 mm, cuya incertidumbre en diámetro es de ±0,25:m. Se realizan dos medidas sucesivas de la distancia interior entre cada pareja de bolas iguales,colocadas según indica la figura, en una máquina de una coordenada, obteniéndose los valores:

M1 = 11,033 mm con bolas de i15 mmM2 = 24,689 mm con bolas de i10 mm

La incertidumbre de estas medidas puedeestimarse en ±5 :m, y frente a ella es despreciableel error de esfericidad de las bolas. Calcular:

a) Ángulo " y escotadura H de la guía.b) Incertidumbre que puede asignarse a la escotadura H calculada.

Problemas de Metrología

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c) ¿Es admisible el error que se cometerá, si al calcular H se emplease el valor nominal " =60° en lugar del valor real deducido de las dos mediciones?d) ¿Es admisible el ángulo real de los planos inclinados de esta cola de milano?

1.12.- Para determinar el ángulo de la pieza representada, se realizan las mediciones sucesivas M1

y M2 con sendas parejas de varillas calibradas D1 y D2 respectivamente. Determinar el ángulo a partirde las expresión trigonométrica correspondiente y obtener la incertidumbre correspondiente al cálculode dicho ángulo. Datos:

M1 = 115,14 D1 = 10 mm.M2 = 62,57 D2 = 5 mm.

u (M1) = u (M2) = 24 :m (k =2)u (D1) = u (D2) = 12 :m (k =2)

1.13.- Se pretende determinar el diámetro interior de un cilindro a través de medición indirecta. Paraello se realiza la siguiente construcción con dos bolas calibradas con diámetros D1 = 25 mm y D2 =15 mm. La medida de la altura H se realiza con una medidora de altura milesimal, con la que se haobtenido el valor H = 28,718 ± 0,003 mm.

La incertidumbre de las bolas se supone igual a:uDi [::::m] = 0,20 + 0,004 Di [mm] (k=3)

Se pide:a) Incertidumbre de las bolas calibradas.b) Valor del diámetro interior del cilindro.c) Incertidumbre de la medida del diámetro del cilindro.

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2. Instrumento de Medida

2.1.- La calibración de una medidora vertical de una coordenada se realiza mediante una serie de 12mediciones sobre bloques patrón longitudinales de calidad 0 y de valores nominales 25, 50, 100 y 150mm. La incertidumbre de éstos, para un factor K=3 es:

u0 (µm)= 0,10 + 0,002 AAAA l0(mm).

Los valores obtenidos en el punto de la escala 50 mm son los siguientes:

50,004 50,003 50,00250,001 49,999 49,99949,999 50,002 49,99450,000 50,003 50,000

Coeficiente K para el criterio de Chauvenet

nc = 12 K = 2,04 nc = 11 K = 2,00nc = 10 K = 1,96

1º) Aplicar el criterio de Chauvenet y determinar la incertidumbre parcial de calibración endicho punto para K=2.

Se considera que la precisión de dicho instrumento es buena cuando su valor es inferior a±4:m. Asimismo la repetibilidad será buena si su valor no supera los ±3:m. De acuerdo con esto,

2º) Razonar en qué condiciones se encuentra dicho instrumento en cuanto a estascaracterísticas, para el punto de calibración tratado.

2.2.- Un micrómetro tiene un tambor de diámetro 12 mm y en él lleva 50 divisiones, siendo su paso de

0,5 mm. Determinar su sensibilidad.

2.3.- Se dispone de un reloj comparador milesimal de recorrido 10 mm, compuesto de una esfera de

diámetro 56 mm, graduado en 200 divisiones. Determinar: campo de medida, división de escala y

sensibilidad. ¿Cuántas vueltas dará el indicador para recorrer 1 mm?.

2.4.- Al realizar con un micrómetro centesimal una serie de cinco medidas a un patrón de valorcertificado 60 ± 0,0016 mm (K=1), se ha obtenido un valor medio de 60.030 y una desviación típicade 0,006. Sabiendo que el factor de incertidumbre k es igual a 2, para el nivel de confianza establecido,calcular:

a) Corrección sistemática. d) Repetibilidad.b) Varianza del patrón e) Precisiónc) Incertidumbre de medida

2.5.- Se tienen cuatro micrómetros o palmer centesimales para medida de exteriores A, B, C, D,localizados en cuatro puestos de control diferentes; estos micrómetros pueden medir longitudescomprendidas entre 75 y 100 mm, mediante el empleo de una escala longitudinal graduada en

Problemas de Metrología

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milímetros junto con otra circular graduada en centésimas de milímetro, y en ambas escalas los trazosse encuentran grabados a una distancia de 1mm.

Se realiza una operación de calibración, para lo cual, el Departamento de Control de Calidadde la fábrica envía sucesívamente a cada puesto un bloque patrón de 90 mm en calidad III ( 90, 000± 0,0028), que es medido 5 veces con cada uno de los micrómetros obteniéndose los siguientes valores:

A B C D

90,08 90,07 89,99 89,98

90,03 90,06 90 89,9

89,97 90,06 90,01 89,89

89,9 90,06 90 89,99

90,02 90,07 90 90,04

a) Indicar el campo de medida, alcance, división de escala, sensibilidad y dispersión de estoscuatros micrómetros.

b) Calcular la corrección sistemática a introducir en cada micrómetro, como resultado de lacalibración realizada.

c) Calcular para cada instrumento la incertidumbre global de medida, con un nivel deconfianza del 95,4 %.

d) ¿Cual es la repetibilidad en cada micrómetro?

e) ¿Cual es la reproducibilidad de este tipo de medidas en esta fábrica?

f) La fábrica tiene una norma interna por la que considera que la repetibilidad y la precisiónde este tipo de instrumentos es BUENA, cuando los errores respectivos son inferiores a ± 0,05 mm parauna medida y con nivel de confianza del 95 %, y MALA en caso de superar dicho valor. Califíquese larepetibilidad y precisión de cada uno de los cuatro micrómetros según esta norma.

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3. Patrones

3.1.- Se dispone de un juego de 16 bloques patrón angulares, con los siguientes valores nominales:

grados = 1, 3, 5, 15, 30, 45minutos = 1, 3, 5, 20, 30segundos = 1, 3, 5, 20, 30

Todos ellos tienen la misma incertidumbre de medio segundo de arco.

a) Indicar las composiciones de los siguientes ángulos nominales:

85° 41' 7''

1° 41' 19''

11' 54''

b) Incertidumbre de cada una de las tres composiciones realizadas.

c) Para componer un patrón de 9°, se puede emplear el anterior juego de bloques angulareso formarlo a partir de dos rodillos calibrados de i15 y i10, cuya incertidumbre asociada al diámetroes de ±0.5 :m, y un juego normal de 112 bloques patrón de calidad I compuesto según la tablaadjunta:

INTERVALO(mm)

BLOQUES(mm)

NÚMERO DEBLOQUES

0.005 1.005 1

0.001 1.001, 1.002 ............ 1.009 9

0.01 1.01, 1.02 ................. 1.49 49

0.5 0.50, 1.00, .............. 24.50 49

25 25, 50, 75, 100 4

Calcular qué bloques angulares y de caras paralelas han de utilizarse en cada uno de estos dosmontajes y comparar la precisión de ambos.

Problemas de Metrología

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3.2.- Se desea verificar la pieza que se muestra en la figura

a) De entre la siguiente lista, justificar la elección del instrumento adecuado para la verificación de cada

una de las cotas.

Dicha selección se realizará teniendo en cuenta el siguiente criterio:

, donde T = tolerancia T Tu20 6≤ ≤

u = incertidumbre

Instrumento E(mm) uA (mm) uB (mm)

Pie de rey (0 - 150) 0,02 0.04 0.02

Micrómetro ext. (0 - 25) 0.01 0.03 0.02

Micrómetro de int. (25 - 50) 0.01 0.03 0.02

Micrómetro ext. (0 - 25) 0.001 0.002 0.001

Imicro (10 - 20) 0.001 0.002 0.001

b) Explicar las tolerancias de forma que aparecen en la pieza

3.3.- Se desea mecanizar un eje con un diámetro nominal de 50 mm que presente un juego mínimo de

0,13 mm y un juego máximo de 0,48 mm, respecto a un agujero 50H11. Una vez mecanizado se

procede a su verificación. Primeramente se verifica la tolerancia de redondez, para lo que se monta en

un banco de verificación y se halla el radio de la pieza en doce puntos de su perímetro, con los

siguientes resultados (mm):

24,948 24,946 24,948 24,947

24,946 24,950 24,945 24,951

24,947 24,950 24,948 24,949

Para verificar las dimensiones del eje se selecciona como instrumento de medida un pie de rey

con división de escala 0,02 mm. Primero se realiza la calibración de éste, en el punto “50" con la ayuda

de dos bloques patrón de 25 mm de longitud, una incertidumbre de 0,2 :m (cada uno de ellos) y un

factor de incertidumbre de 3. Se realizan 10 medidas sobre los bloques, obteniéndose una media de

49,9878 y una desviación típica de 0,0072. Posteriormente se realizan con este instrumento 3 medidas

sobre el eje considerado, arrojando dicha medición los siguientes valores:

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49,88 49,88 49,84

Se pide:

a) Dar las dimensiones del eje según normas ISO, escogiendo la tolerancia más económica que cumpla

con las restricciones del problema.

b) Calcular la incertidumbre global de medida del pie de rey, para un nivel de confianza del 99,7 %. En

este cálculo sólo se tiene en cuenta al patrón y al equipo, ninguna otra componente más (ni siquiera la

de la corrección sistemática).

c) Indicar si la incertidumbre del instrumento cumple con el criterio de selección del mismo. El criterio

es el siguiente:

donde: t = tolerancia del ejet

ut

20 6≤ ≤

u = incertidumbre

d) Expresar el resultado de la medición con todas sus componentes (teniendo en cuenta que la

corrección sistemática no se ha considerado anteriormente para el cálculo de la incertidumbre) y discutir

si la pieza es correcta (a través de la relación entre incertidumbre, corrección sistemática y tolerancia).

e) Determinar si la pieza cumple la tolerancia de redondez, teniendo en cuenta que dicha tolerancia es

de 0,008 mm.