Projet numrique - Relation masse-rayon des nainesblanchesSiex + Collaboratrice16 janvier 20121Table des matires1 Introduction : Nature des naines blanches 32 Approche polytropique 42.1 Equation du polytrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Dmonstration de lexpression deP(kF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.1 Non Relativiste : (kF mec). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Relativiste : (kF mec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3 Densit critique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Rsolution numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.1 Equation de Lane-Emden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2 Rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.3 Conclusion sur lapproche polytropique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Approche newtonienne 93.1 Thorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Conclusion sur lapproche newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Conclusion 14AAnnexe A : Code Source pour lapproche polytropique 15BAnnexe B : Code Source pour lapproche newtonienne 18CAnnexe C : DmonstrationC() 2021 Introduction : Nature des naines blanchesLUnivers est compos par un trs grand nombre dtoiles (comme le Soleil) ayant des carac-tristiques direntes, et suivant des cycles dirents. Pour les toiles dont la masse est modre(environ 8M

) ce cycle se termine dans la majorit des cas par la formation dune naine blanche.Cette formation dbute lors de la n de vie de ltoile o les ractions thermonuclaires se droulanten son coeur ne se produisent plus, entrainant une diminution de la pression interne, et ltoiledevient instable. Cette dernire commence se collapser sous son propre poids, dclanchant ladiminution de son rayon et laugmentation de sa densit centrale. Cette progression entraine unediminution de lespace attribu aux lectrons. En se rappelant du principe dincertitude dHeisen-berg1, si la position diminue, en contre-partie, sa vitesse doit augmenter considrablement. Cetteaugmentation de vitesse entraine une nouvelle type de pression, la pression de dgnrescence,rsiste leondrement de ltoile et devient ainsi un naine blanche.Lune des principales caractristiques des naines blanches est la masse limite quelles peuventatteindre. Elle fut dtermine en 1930 par Subrahmanyan Chandrasekhar et est value 1.44M

.Elle reprsente la masse limite que peut supporter la pression de dgnrescence et donc viter uneondrement de ltoile d sa masse.Ce sujet consiste tudier lvolution de la masse, du rayon et de la pression dune naine blancheselon deux approches. Une approche polytropique o nous considrerons deux types de mcaniquespour llectron, un premier cas o la vitesse de llectron sera prise comme tant classique, et uncas o elle sera relativiste. Dans la deuxime section, nous combinerons ces deux cas pour avoirune approche dite newtonienne.Source : Principes fondamentaux de structure stellaire - Manuel Forestini1. xp

232 Approche polytropiqueDans un premier temps nous tudions la naine blanche en lassimilant un polytrope. Celasignie cette supposition : que lquation dtat reliant la pression et la masse volumique ne dpendque de ces deux paramtres.La relation obtenue (appele quation du polytrope) peut tre tudie selon deux cas extrmes :le cas "classique", o limpulsion de Fermi kFest largement infrieure la quantit de mouvementdes lectronsmec, et le cas relativiste, okFdomine.2.1 Equation du polytropeNous partons de lquation de lquilibre hydrostatique :

P = gMais, g =Gmr2er, tout en projettant sur laxe er2, nous obtenons :dPdr= Gmr2Nous drivons cette quation selonr :ddr(r2dPdr ) = GdmdrSachant :dmdr= 4r2(r),on obtient :ddr(r2dPdr ) = 4Gr2(r)Nous obtenons ainsi lquation du polytrope :1r2ddr_r2dPdr_ = 4G(r) (1)2.2 Dmonstration de lexpression deP(kF)P(kF) =

024_(2x3F 3xF)_(1 + x2F) + 3 sinh1(xF)_(2)2.2.1 Non Relativiste : (kF mec)Nous avons besoin desDL suivant :(1 + x)= 1 + x + ( 1)x22! + ...sinh1x = x 12x33+ 1 32 4x55+ ...2. Pne dpend ni de, ni de4On fait leDL de _1 + x2Fen posantu = x2F, avecxF 1 :1 + u = 1 + 12u 18u2+116u3+ o(u4)Donnant :_1 + x2F = 1 + 12x2F 18x4F +116x6F + o(x8F)En faisant de mme pour sinh1(xF) :sinh1(xF) = xF 16x3F +340x5F + o(x6F)En injectant ces deux expressions dans P(kF), et aprs quelques lignes de calculs, nous obtenons :P(kF) =115

0x5FMais comme0 =m4ec52

3 ,xF =kFmec,k3F =32mn2

3, nous obtenons :P =115

22me_322mn_5353(3)2.2.2 Relativiste : (kF mec)Sous cette condition, nous avons : xF , nous pouvons alors faire les approximations suivantes :_1 + x2F xF(2x3F + xF) 2x3FDonc leur produit tend vers 2x4F. Mais commex4F sinh1xF, nous pouvons crire :P(kF) =

012x4FEn se rappelant des prcdentes relations, et quelques lignes de calculs, nous obtenons lexpressiondeP:P =c122_ 322mn_4343(4)2.2.3 Densit critiqueOnpeutdtermineranalytiquementladensitcritique critaudeldelaquellelapprochenon-relativiste nest plus valable : elle vriePREL(crit) = PNONREL(crit)KR crit43 = KR crit53KRKN= crit13crit =_KRKN_3= 3.789 106g.cm3AvecKR = 4.936 1014g.cm3etKN = 3.166 1012g.cm352.3 Rsolution numriqueDans les deux cas (relativiste et non-relativiste) nous obtenons une relation de la formeP=K. Il sagtprsentdetransformerlquationdupolytropeci-dessusandesimplierlarsolution numrique.2.3.1 Equation de Lane-EmdenNous avons :1r2ddr_r2dPdr_ = 4G(r)En appliquant les changements de variables (le but tant de manipuler des variables adimension-nes) :r = an(r) = cn(r)Avec :an =__(n + 1)Pc4G2c_Et lquation dun polytrope reliantP :P = K= Kcn(1+1n)= cn+1Nous arrivons :1a2n2dand_a2n2cnd(Pcn+1)and_ = 4GcnPc22ca2ndd_2ndn+1d_ = 4GnMais :dn+1= (n + 1)ndDo :Pc(n + 1)4G2can12dd_2dd_ = nCommePc(n+1)4G2can= 1, nous obtenons lquation du polytrope adimensionne :12dd_2dd_ = n(5)On pose :V=dDonc :612dd (2V ) =2V2+22dVd=2V+dVd= nNous obtenons le systme dquations suivant :_dVd= n2VV =dd2.3.2 RsultatsNous avons choisi de rsoudre le systme en utilisant une mthode de Runge-Kutta dordre 4.Pour des raisons pratiques, nous avons pris un pas dintgration de 0.01, et un rayon minimumc = 0.01. Nous prsentons ici les rsultats obtenus.Tout dabord, lvolution de la masse et du rayon de ltoile pour direntes valeurs du loga-rithme de la densit centralec :Figure 1 Evolution de la masse et du rayon (rels et naux, en units solaires) de la naineblanche en fonction du logarithme de la densit centrale initialement choisie.La premire observation que nous pouvons faire est sur lallure des courbes : dans les deux cas,la masse relle nale augmente avec la densit centrale, tandis que le rayon diminue, ce qui esten accord avec la thorie. Ce sont les dirences au niveau des valeurs prises dans chaque cas quivont nous intresser ici.Sur le prol de la masse, nous pouvons observer quen cas classique, celle-ci explose lorsque ladensit centrale dpasse la densit critique, en atteignant rapidement des valeurs de 200 1000fois la masse solaire. En cas relativiste, les valeurs rcupres nous montrent que la masse resteconstante, et ne dpend donc pas de la densit centrale. Analytiquement, cela sexplique bien :pour passer de la masse adimensionnem = _n2d la masse relle, il sut de multiplier par4an3c. Or :an3c ____c43c2___3 c =_c46_3c3 c =c2c2 = 17Au nal, la masse relle en fonction de la densit centrale, est une constante et a une valeurcomprise entre 1.4 et 1.5 fois la masse solaire. Ceci est plus visible en eectuant un zoom sur legraphe :Figure 2 Evolution de la masse en fonction du logarithme de la densit centrale, zoom sur lepassage classique-relativisteLa sparation des deux courbes se fait pour une densit de lordre de 106, soit la densit critique.Sur le prol de rayon, on remarque quen cas relativiste, le rayon augmente bien plus rapidementquen cas classique pour des densits dcroissantes. La sparation se fait galement pour une densitde lordre de 106. Par conclusion, aucun des deux modles nest valable sur le domaine des densitcentrales considr (entre 5 103et 5 1012g.cm3). Pour la suite, nous prendrons une densit faible(c = 103g.cm3) pour le modle classique et une densit forte (c = 1012g.cm3) pour le modlerelativiste.Voyons prsent le prol de la masse en fonction du rayon dans chacun des cas :Dans le cas relativiste la masse tend vers une valeur numrique de 1.443 fois la masse solaire,et 0.015 dans le cas classique, pour des rayons de 0.0006 et 0.06 le rayon solaire respectivement.La valeur vers laquelle la masse tend est la masse de Chandrasekhar ; cest la masse maximale quepeut supporter ltoile sans seondrer. Cest bien la masse atteinte dans le cas relativiste, maispour un rayon trs petit. Le cas classique donne des valeurs de masse trop petite pourc = 103.La pression dcrot avec le rayon, jusqu atteindre des valeurs nulles. Ce rsultat tait videm-ment attendu. On remarque quil y a une forte dirence entre la pression centrale dans le casrelativiste et classique : il y a un facteur 1011.2.3.3 Conclusion sur lapproche polytropiqueEn conclusion, lapproche polytropique se rvle peut raliste pour certaines toiles, puisquellesimpose de sparer deux rgimes qui, en ralit, peuvent cohabiter dans la mme toile. Nous avonsvu les faiblesses de chaque cas, nous allons maintenant chercher rsoudre le problme dune autremanire : avec une approche dite newtonienne.8Figure 3 Graphique reprsentant lvolution de la masse en fonction du rayon (en units solaires)de la naine blanche.3 Approche newtonienneDanslapprochepolytropique, nousavonsanalyslanaineblancheselondeuxaspects. Lepremier, en considrant les particules qui la composent comme tant classiques, cette approche taitsatisfaisante, tant quec tait inferieur critique. Ensuite, pour le cas relativiste, nous observonsune masse constante quelque soitc nous permettant den faire lanalyse pour desc suprieurs critique.Au cours de cette section, nous allons combiner ces deux situations pour avoir une modlisationde la naine blanche correcte.3.1 ThorieOn pose :(r) = 0(r)o0 = _KrelKnorel_3et :r = asNous avons : P=PNPRP2N+P2R, maisPN=KN5/3etPR =KR4/3, donc, nous pouvons rcrirePcomme :P = KR4/305/31 + 2/3Que nous injectons dans lquation du polytrope (1) :1r2ddr_r2dPdr_=1a2s2dads_a2s20 KR5/3 dads_5/31+2/3__=KR1/3a2s2dds_s2dds_5/31+2/3__= 4G09Figure 4 Graphique reprsentant lvolution de la pression en fonction du rayon (en cm) de lanaine blanche.Nous obtenons ainsi lquation suivante :KR2/3a24G1s2dds__s2d_5/31+2/3_ds__ = Mais en posant :a2=KR2/34G=K2NKR14Go a possde la dimension dune longueur, nous pouvons de nouveau crire lquation du polytropesous une nouvelle forme adimensionne :1s2dds_s2dds_5/31 + 2/3__ = (6)Oncherchesparercettequationdirentielledordre2, etunsystmededeuxquationsdirentielles dordre 1. Pour cela, on calcule le dveloppement suivant :dds_5/31+2/3_=532/31+2/3235/31/321+2/3(1+2/3)dds=532/31+2/3134/31+2/3(1+2/3)3/2dds=532/3(1+2/3)134/3(1+2/3)2/3dds=434/3+532/3(1+2/3)3/2ddsAinsi, en posantV=dds, on obtient :1s2dds_s2_434/3+532/3(1+2/3)3/2V__=1s2__2s431/3+531/3(1+2/3)3/2V_ + s2dds_431/3+531/3(1+2/3)3/2_V+ s2_431/3+531/3(1+2/3)3/2_dVds_10On pose par la suite :B() =431/3+531/3(1+2/3)3/2C() =dds_431/3+531/3(1+2/3)3/2_On obtient ainsi :2sBV+ CV 2+ BdVds= et donc :dVds= 2sV CBV 21BDonnant le systme dquation suivant :_dds= VdVdS= 2sV CBV 21BO :B() = (1 + 2/3)1/2_531/3131/3(1 + 2/3)1_C() =13(1 + 2/3)1/2_534/322/3(1 + 2/3)1+ (1 + 2/3)2_3.2 RsultatsNous allons commencer par tudier lvolution de la masse et le rayon de la naine blanche(ici, en masse solaire et en rayon solaire), pour direntes valeurs initiales delog10(c) o nousutiliserons comme pas dintgration, h = 0.01 et le rayon adimensionn centrale s = 0.0000000001.Figure 5 Graphique reprsentant lvolution de la masse et du rayon (en units solaires) de lanaine blanche en fonction du logarithme de la densit centrale initialement choisi11Une premire tude de lvolution de la masse en fontion dulog10(c) nous montre que pourla dernire valeur prise en compte, nous avons une "explosion" de la masse qui est suprieure auxautres dun facteur denviron 2.5. Cela nous fait penser quune naine blanche ne peut pas trestable pour une telle densit centrale. Par la suite, nous ne prendrons pas en compte la dernirevaleur, nous donnant le nouveau graphe suivant :Figure 6 Graphique reprsentant lvolution de la masse et du rayon (en units solaires) de lanaine blanche en fonction du logarithme de la densit centrale initialement choisiEn regardant ce graphique, la masse augmente progressivement jusqu 1.2M

pour une valeurdenviron8.5pour log10(c). Ensuite, celle-ci descendenviron0.8M

pour11.5delog10(c).Enn, comme on le remarque sur le graphe prcdent, on constate que la masse recommence augmenter.La masse que peut avoir une naine blanche, se situe aux alentours de 1.2M

pour une densitcentrale denviron 9.109g.cm3. En se rappelant la valeur de la masse de Chandrasekhar, reprsen-tant la masse limite pour une naine blanche, de 1.44M

, nous nous situons en dessous de cettemasse limite, avec un dirence denviron 0.2M

.En passant sur ltude de lvolution du rayon, il est de 0.04R

pour la plus faible des densitscentrales, et si cette dernire augmente, alors le rayon diminue pour tendre vers une valeur denviron0.001R

pour les plus grandes densits centrales.En se rappelant les courbes des rayons, classique et relativiste, nous avons une mme volutiono celui ci diminue lorsquec augmente, et ceux, de la mme manire.Maintenant, nous allons nous intresser lvolution de sa masse en fonction de son rayon pourdirentes valeurs dec. Comme dans le cas prcdent, nous avons dlibrment retir les deuxdernires valeurs pour les plus grands c puisque la masse tait trs importante et nous empchaitde pouvoir tudier les premier cas.Dans lapproche polytropique, nous avions, pour dirents c, une masse qui voluait de la12mme manire mais avait une masse nale quivalente, avec un rayon croissant, et ce dans le casrelativiste. Pour le cas classique, nous avions une masse croissante si les valeurs de c augmentaienttandis que les rayons diminuaient. Dans cette approche, nous avons la combinaison des deux, opour desc croissant, nous avons une masse qui augmente, pour tendre une valeur critique etenn diminuer alors que le rayon diminue.Figure 7 Graphique reprsentant lvolution de la masse en fonction du rayon (en unit solaire)pour direntscAprs avoir tudi lvolution de la masse et du rayon sous direntes conditions, nous allonsretarder la pression et tudier sa progression en fonction du rayon pour direntsc. Pour cela,nous allons nous appuyer sur les graphes suivants.Tout dabord, la pression (gure 8) est trs leve, de lordre de 1.1029ba (soit lquivalent de1.1028Pa), o par la suite, elle diminue considrablement lorsque le rayon augmente, pour tendrevers des valeurs nulles. On peut galement observer lvolution de la pression sic augmente. Eneet, si la densit centrale progresse, la pression est de plus en plus importante, mais elle tend plusvite vers zro, et atteint une pression nulle pour des valeurs du rayon plus faibles. Nous voyonsclairement lvolution de la pression lorsquec progresse, o sa valeur augmente, mais possde unrayon avec des pressions qui tendent vers zro.3.3 Conclusion sur lapproche newtonienneLapprochenewtonienneconsistecombinerlesdirentesmcaniquesdelapprochepoly-tropiqueosi ladensitcentralecestinfrieurecritcestlamcaniqueclassiquequi seraprpondrante pour reprsenter la physique de ltoile. Mais, si la densit centrale dpasse la den-sit critique, ce sera la mcanique relativiste qui modlisera au mieux ltoile.13Figure 8 Graphique reprsentant lvolution de la pression en fonction du rayon (en unit cgset en unit solaire) pour direntsc allant de 1.108 1.1011g.cm34 ConclusionUne naine blanche est caractrise par la pression de dgnrescence qui soppose leon-drement de ltoile sous leet du champ gravitationnel. Cette pression provient de la vitesse deslectrons se situant au coeur de celle-ci qui peut tre considre comme classique ou relativiste.Au cours de la modlisation, nous sommes partis de deux approches direntes. Lune, lap-proche polytropique, o lon tudie indpendamment le cas classique, et lautre relativiste. Lautre,lapproche newtonienne, o elles sont relies partir de la masse critique c. La premire approchenous a permis dtudier le cas classique qui reste valable pour de faibles densits contrairement aucas relativiste qui lui est valable pour de fortes densits. La deuxime approche consiste com-biner les deux cas polytropiques, qui se rlve plus intressant pour des densits centrales sur unintervalle plus large.La naine blanche est une phase de n de vie de certaines toiles, elle est rgie par des quationsdirentielles qui se trouvent tre dicile rsoudre de manire analytique, malgr la possibilitden tirer la masse de Chandrasekhar. Mais sa modlisation, en la considrant comme un polytrope,a pour avantage de permettre de dterminer lvolution de sa masse par rapport au rayon.14A Annexe A : Code Source pour lapproche polytropique1 from pyl ab i mport 23 Nrel =34 Krel =4. 9361014 #en cgs5 Ncl =3 . / 2 .6 Kcl =3. 1661012 #en cgs78 gl obal h9 h=. 0110 gl obal r c11 r c =0. 0112 gl obal thc13 thc =1.1415#not at i on : r i et mi , rayon et masse sans di mensi on , Rayon et Masse avec dim16#De f i ni t i o n des d i f f e r e n t e s f onc t i ons17 def TC_masse( r l , th , n ) :18 S=z e r os ( l en ( r l ) )19 f o r i i n range ( 1 , l en ( r l ) 1):20 S [ i +1] =S [ i ] +( h / 2 . ) ( ( th [ i 1]n) r l [ i 1]2 +( th [ i ] n) r l [ i ] 2)21 r et ur n S[ 1]2223 def an( n , k , pc ) :24 G=6. 6752910 825 a =1 +1. / n26 r et ur n s qr t ( ( n+1)(kpc a ) /( 4 pi Gpcpc ) )2728#rungekutta 42930 def fV( r , v , th , n ) :31 r et ur n 2.v/ r thn3233 def fTh( v ) :34 r et ur n v3536 def RK4( n ) :37 V=[ 0 . ]38 Th=[ thc ]39 i =040 r i =[ r c ]41 mi =[ ]42 whi l e (Th[ i ] / thc >0 . 0 0 0 1 ) :43 #RK444 VK1=fV( r i [ i ] , V[ i ] , Th[ i ] , n)45 VK2=fV( r i [ i ]+h/3. , V[ i ]+VK1h/3. , Th[ i ] , n)46 VK3=fV( r i [ i ]+2h/3. , V[ i ]VK1h/3+VK2h , Th[ i ] , n)47 VK4=fV( r i [ i ]+h , V[ i ]+VK1hVK2h+VK3h , Th[ i ] , n)48 ThK1=ThK2=ThK3=ThK4=fTh(V[ i ] ) #fTh ne depend pas de th49 V. append (V[ i ] +h/8. (VK1+3VK2+3VK3+VK4) )50 Th. append (Th[ i ] +h/8. (ThK1+3ThK2+3ThK3+ThK4) )5152 mi . append (TC_masse( r i , Th, n) ) #c a l c ul masse adim.53 r i . append ( r i [ i ]+h) #rayon adim.5455 i +=156 mi . append (TC_masse( r i , Th, n) ) #c a l c ul masse adim.57 r et ur n V, Th, r i , mi #r envoi e 4 t abl eaux [ ]5859 Vrel , Threl , r r e l , mrel =RK4( Nrel )60 Vcl , Thcl , r c l , mcl =RK4( Ncl )6162#a f f i c ha g e de Masse ( en g ) en f onc t i on de Rayon (cm) , pour d i f f e r e n t s rho_c6364 rho_c =[ ]65 n=066#Par amet r i s at i on de rho_c67 f o r i i n range ( 3 , 13 , 1) :68 f o r mi n range ( 1 , 3 ) :1569 i f m%2 != 0:70 rho_c . append(10 i )71 e l s e :72 rho_c . append(510 i )73 n+=17475MS=1. 98911033 #masse du s o l e i l7677#dependent de rho_c : s e r a t abl eau de [ ]78 Rayon_i_rel =[ ]79 Mas s eSol ai r e_i _r el =[ ]80 Rayon_i_cl =[ ]81 MasseSol ai r e_i _cl = [ ]82 rho_c_log =l og10 ( rho_c )83 RayonSol ai re_i _rel = [ ]84 RayonSol ai re_i _cl =[ ]85 f o r i i n range ( 1 0 ) :86 an_rel =an( Nrel , Krel , rho_c [ i ] )87 an_cl =an( Ncl , Kcl , rho_c [ i ] )88 f o r j i n range ( l en ( r r e l ) ) :89 Rayon_i_rel . append ( [ ] )90 Rayon_i_rel [ i ] . append ( an_rel r r e l [ j ] )91 Mas s eSol ai r e_i _r el . append ( [ ] )92 Mas s eSol ai r e_i _r el [ i ] . append(4 pi ( an_rel 3) rho_c [ i ] mrel [ j ] /MS)93 RayonSol ai re_i _rel . append ( [ ] )94 RayonSol ai re_i _rel [ i ] . append ( Rayon_i_rel [ i ] [ j ] / ( 6. 095991010) )95 f o r j i n range ( l en ( r c l ) ) :96 Rayon_i_cl . append ( [ ] )97 Rayon_i_cl [ i ] . append ( an_cl r c l [ j ] )98 MasseSol ai r e_i _cl . append ( [ ] )99 MasseSol ai r e_i _cl [ i ] . append(4 pi ( an_cl 3) rho_c [ i ] mcl [ j ] /MS)100 RayonSol ai re_i _cl . append ( [ ] )101 RayonSol ai re_i _cl [ i ] . append ( Rayon_i_cl [ i ] [ j ] / ( 6. 095991010) )102103 #Cas Re l a t i v i s t e : par t i e pour a f f i c h e r l e s d i f f e r e n t e s courbes104 i f i ==1:105 pl ot ( rho_c_log [ i ] , RayonSol ai re_i _rel [ i ] [ 1] , ob , l a be l =" Re l a t i v i s t e " )106 e l s e :107 pl ot ( rho_c_log [ i ] , RayonSol ai re_i _rel [ i ] [ 1] , ob )108 yl abe l ( " Rayon ( en rayon s o l a i r e ) " )109 s ubpl ot ( 211)110 l egend ( )111 i f i ==1:112 pl ot ( rho_c_log [ i ] , Mas s eSol ai r e_i _r el [ i ] [ 1] , ob , l a be l =" Re l a t i v i s t e " )113 e l s e :114 pl ot ( rho_c_log [ i ] , Mas s eSol ai r e_i _r el [ i ] [ 1] , ob )115 xl abe l ( " l og ( rho_c ) " )116 yl abe l ( " Masse ( en masse s o l a i r e ) " )117 t i t l e ( " Evol uti on de l a Masse et du Rayon en " +118 " f onc t i on de l og ( rho_c ) dans l e s cas Cl as s i que s et Re l a t i v i s t e s " )119 s ubpl ot ( 212)120 l egend ( )121122 #Cas Cl as s i que123 i f i ==1:124 pl ot ( rho_c_log [ i ] , RayonSol ai re_i _cl [ i ] [ 1] , ^ r , l a be l =" Cl as s i que " )125 e l s e :126 pl ot ( rho_c_log [ i ] , RayonSol ai re_i _cl [ i ] [ 1] , ^ r )127 s ubpl ot ( 211)128 i f i ==1:129 pl ot ( rho_c_log [ i ] , MasseSol ai re_i _cl [ i ] [ 1] , ^ r , l a be l =" Cl as s i que " )130 e l s e :131 pl ot ( rho_c_log [ i ] , MasseSol ai re_i _cl [ i ] [ 1] , ^ r )132 s ubpl ot ( 212)133 show( )134135 i f i ==1:136 pl ot ( RayonSol ai re_i _rel [ i ] , Mas s eSol ai r e_i _r el [ i ] , l a be l ="Cas Re l a t i v i s t e " )137 e l s e :138 pl ot ( RayonSol ai re_i _rel [ i ] , Mas s eSol ai r e_i _r el [ i ] )139 xl abe l ( " Rayon ( en rayon s o l a i r e ) " )16140 yl abe l ( " Masse ( en Masse So l a i r e ) " )141 s ubpl ot ( 211)142 l egend ( )143 i f i ==1:144 pl ot ( RayonSol ai re_i _cl [ i ] , MasseSol ai re_i _cl [ i ] , l a be l ="Cas Cl as s i que " )145 e l s e :146 pl ot ( RayonSol ai re_i _cl [ i ] , MasseSol ai re_i _cl [ i ] )147 xl abe l ( " Rayon ( en rayon s o l a i r e ) " )148 yl abe l ( " Masse ( en Masse So l a i r e ) " )149 t i t l e ( " Evol uti on de l a Masse en f onc t i on du" +150 " Rayon pour d i f f e r e n t e s val e ur s de rho_c c r o i s s a nt e " )151 s ubpl ot ( 212)152 l egend ( )153 show( )154155#Pr es s i on Re l a t i v i s t e156 rho_c_rel =1012157 Pr es s i on_r el =[ ]158 Rayon_rel =[ ]159 An_rel =an( Nrel , Krel , rho_c_rel )160 f o r i i n range ( l en ( r r e l ) ) :161 Rayon_rel . append ( An_rel r r e l [ i ] )162 rho_rel =rho_c_rel ( Threl [ i ] Nrel )163 Pr es s i on_r el . append ( Krel rho_rel )164165166#Pr es s i on Non Re l a t i v i s t e167 rho_c_cl =103168 Pr es s i on_cl =[ ]169 Rayon_cl =[ ]170 An_cl =an( Ncl , Kcl , rho_c_cl )171 f o r i i n range ( l en ( r c l ) 1):172 Rayon_cl . append ( An_cl r c l [ i ] )173 rho_cl =rho_c_cl ( Thcl [ i ] Ncl )174 Pr es s i on_cl . append ( Kcl rho_cl )175176 pl ot ( Rayon_rel , Pr es s i on_r el , ob , l a be l =" Pr es s i on " )177 pl ot ( Rayon_cl , Pressi on_cl , or , l a be l =" Pr es s i on " )178 xl abe l ( " Rayon ( en rayon s o l a i r e ) " )179 yl abe l ( " Pr es s i on ( en ba ) " )180 t i t l e ( " Evol uti on de l a Pr es s i on en f onc t i on du Rayon"+181 " dans l e cas Cl as s i que pour rho =103" )182 l egend ( )183 show( )17B Annexe B : Code Source pour lapproche newtonienne1 from pyl ab i mport 23#De f i ni t i o n des va r i a bl e s4Kn=3. 1661012 #en cgs5 Kr =4. 9361014 #en cgs6G=6. 6752910 87MS=1. 98911033 #masse du s o l e i l8RS=6. 095991010 #rayon du s o l e i l9 gl obal a10 a =s qr t (Kn2/(Kr4 pi G) )1112 gl obal h13 h=0. 011415 gl obal po16 po=3. 7891061718#De f i ni t i o n des f onc t i ons1920#i nt e g r a t i o n masse2122 def TC_masse( r l , th ) :23 S=z e r os ( l en ( r l ) )24 f o r i i n range ( 1 , l en ( r l ) 1):25 S [ i +1] =S [ i ] +( h / 2 . ) ( ( th [ i 1] ) r l [ i 1]2 +( th [ i ] ) r l [ i ] 2)26 r et ur n S[ 1]2728#rungekutta 42930 def fV( s , V, Th) :31 B=(1+Th( 2. /3. ) ) ( . 5) ( 5. /3. Th( 1. /3. ) 1. /3. Th( 1. /3. ) /( 1+Th ( 2 . / 3 . ) ) )32 C1=( 5. /3. Th( 4. /3. ) )33 C2=2Th( 2. /3. )/(1+Th ( 2 . / 3 . ) ) +(1+Th( 2. /3. ) ) 234 C=( ( 1. /3. ) ( 1+Th( 2. /3. ) ) . 5) ( C1 C2)35 r et ur n 2./ s V C/BVV Th/B3637 def fTh(V) :38 r et ur n V3940 def RK4( thc ) :41 V=[ 0 . ]42 Th=[ thc ]43 i =044 s i =[ 0. 0000000001] #rayon adim.45 r i =[ ] #rayon dim.46 p= [ ]47 m =[ ] #masse adim.48 whi l e (Th[ i ] / thc >0 . 0 0 0 1 ) :49 VK1=fV( s i [ i ] , V[ i ] , Th[ i ] )50 VK2=fV( s i [ i ]+h/3. , V[ i ]+VK1h/3. , Th[ i ] )51 VK3=fV( s i [ i ]+2h/3. , V[ i ]VK1h/3+VK2h , Th[ i ] )52 VK4=fV( s i [ i ]+h , V[ i ]+VK1hVK2h+VK3h , Th[ i ] )53 ThK1=ThK2=ThK3=ThK4=fTh(V[ i ] ) #ne depend que de V, pas de Th54 V. append (V[ i ] +h/8. (VK1+3VK2+3VK3+VK4) )55 Th. append (Th[ i ] +h/8. (ThK1+3ThK2+3ThK3+ThK4) )56 #t r ans f or mat i on en va r i a bl e s di mensi onnees57 r i . append ( s i [ i ] a )58 p . append (Th[ i ] po )59 m. append (TC_masse( s i, Th) )60 s i . append ( s i [ i ]+h)61 i +=162 r et ur n p , r i , m, Th6364 pc =[ 5000]65 Thc =[ pc [ 0 ] / po ]66#Par amet r i s t at i on de rho_c67 f o r x i n range ( 4 , 1 3 ) :68 pc . append(10x)1869 pc . append(510x)70 Thc . append ( pc [ 2] /po )71 Thc . append ( pc [ 1] /po )7273#Programme pr i nc i pal , c a l c ul des d i f f e r e n t e s grandeurs74 pc_log =l og10 ( pc )75 f o r i i n range ( l en ( pc ) 2):76 rho , r , m, t het a =RK4( Thc [ i ] )77 Ms=[ ]78 Rs = [ ]79 P=[ ]80 f o r j i n range ( l en ( r ) ) :81 Rs . append ( r [ j ] /RS)82 Ms . append (m[ j ] 4 pi po ( a 3)/MS)83 P. append ( Kr( po ( 4 . / 3 . ) ) ( ( t het a [ j ] ( 5 . / 3 ) ) / ( s qr t (1+t het a [ j ] ( 2 . / 3 . ) ) ) ) )84## pl ot ( Rs , Ms, l a be l=s t r ( Ms( Rs ) , rho_c= +s t r ( pc [ i ] ) ) )85##86 ###Par t i e s er vant a a f f i c h e r l e s d i f f e r e n t e s courbes : Commenter/Decommenter87 ###pour c h o i s i r l a par t i e a a f f i c h e r ( s e l on l e s 3 pa r t i e s )88##89 ###Par t i e 190##t i t l e ( " Evol uti on de l a masse de l a nai ne bl anche en f onc t i on de son rayon " )91##xl abe l ( " Rayon ( en rayon s o l a i r e ) " )92##yl abe l ( " Masse ( en masse s o l a i r e ) " )93##l egend ( )94##show( )9596 ###Par t i e 297## i f ( pc [ i ] =1109) :98## pl ot ( Rs , P, l a be l ="P( l og ("+ s t r ( pc [ i ] ) +" ) ) " )99##xl abe l ( " Rayon ( en rayon s o l a i r e ) " )100##yl abe l ( " Pr es s i on ( en ba ) " )101##t i t l e ( " Evol uti on de l a Pr es s i on en f onc t i on du Rayon" +102## " dans l approche Newtonienne pour d i f f e r e n t s rho_c " )103##l egend ( )104##show( )105106 ###Par t i e 3107## i f i ==1:108## pl ot ( pc_log [ i ] , Rs [ 1] , or , l a be l ="Rayon " )109## e l s e :110## pl ot ( pc_log [ i ] , Rs [ 1] , or )111## xl abe l ( " l og ( rho_c ) " )112## yl abe l ( " Rayon ( en rayon So l a i r e ) " )113## s ubpl ot ( 211)114## i f i ==1:115## pl ot ( pc_log [ i ] , Ms[ 1] , ob , l a be l ="Masse " )116## e l s e :117## pl ot ( pc_log [ i ] , Ms[ 1] , ob )118## xl abe l ( " l og ( rho_c ) " )119## yl abe l ( " Masse ( en Masse So l a i r e ) " )120## t i t l e ( " Evol uti on de l a Masse et du Rayon" +121##" dans l approche Newtonienne en f onc t i on de l og ( rho_c ) " )122## s ubpl ot ( 212)123##l egend ( )124##show( )19C Annexe C : DmonstrationC()C() =dds_431/3+531/3(1+2/3)3/2_=_d_(1 + 2/3)1/2_ _531/313(1 + 2/3)1_ + (1 + 2/3)1/2_594/313d_1/3(1 + 2/3)1___ddsMais :d_1/3(1 + 2/3)1_=132/3(1 + 2/3)123(1 + 23)2Donc :C() =13(1 + 2/3)1/2_534/3132/3(1 + 2/3)1+23(1 + 2/3)2532/3(1 + 2/3)1+13(1 + 2/3)2)ddsOn obtient ainsi :C() = 13(1 + 2/3)1/2_534/322/3(1 + 2/3)1+ (1 + 2/3)2_ dds20