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Bloque 4

Representación algebraica de relaciones parte todo

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 4

Representación algebraica de relaciones parte todo

Presentación Entre otros, este bloque de actividades se orienta al logro de dos

grandes propósitos: (i) introducir la producción de expresiones algebraicas para describir relaciones parte-todo y (ii) introducir el uso de las expresiones algebraicas como herramienta para plantear y resolver problemas.

La habilidad para representar algebraicamente relaciones parte-todo es

de especial importancia para plantear y resolver problemas matemáticos en muchos contextos, por ejemplo, problemas que involucran porcentajes y problemas geométricos. En este bloque abordarás algunos problemas clásicos de carácter geométrico.

De igual manera que en los bloques de actividades que preceden a

éste, es muy relevante el apoyo que brinda un procesador algebraico como el que está instalado en la calculadora. En las actividades que aquí realizarás se aprovecha la estructura algebraica de las relaciones parte-todo para introducir el uso de números negativos y ampliar los conocimientos que has adquirido en el bloque anterior acerca del concepto de equivalencia entre expresiones algebraicas.

Te invitamos a abordar estas actividades reflexionando constantemente

sobre el tipo de competencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al resolverlas. Esta reflexión enriquecerá tu formación como futuro docente, nuestra mayor expectativa es que esta experiencia fortalezca tus competencias matemáticas y que esto te sea de mucha utilidad cuando te desempeñes profesionalmente como educador.



HOJA DE TRABAJO 32

¿Cómo expreso la parte restante? 1. En una ferretería hay carretes de un tipo de cable que se vende por kilo, todos los

carretes pesan lo mismo. Para saber cuánto cable queda en cada uno, el administrador de la ferretería construyó un programa que hace lo siguiente:

Si teclea la cantidad que se vende el valor de salida le indica cuánto cable le queda.

Cable vendido Cable que queda

1.7 8.3

2.4 7.6

3.1 6.9

4.06 5.94

5.2 4.8

2. De acuerdo con la información que te da este programa, ¿cuántos kilos de cable hay en

cada carrete? _____________________________________________________ 3. ¿Puedes hacer un programa que produzca los mismos valores de salida que el del inciso

(1)? Pruébalo en tu calculadora y escríbelo abajo.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.

Cable venido 2.83 3.03 3.5 4.8 Cable que queda 5.01 6.2 7.04 7.32

5. ¿Cómo puedes comprobar que son correctos los valores que encontraste para 5.01, 6.2,

7.04 y 7.32? Explícalo de manera que cualquiera de tus compañeros te pueda entender. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 33 El todo respecto a sus partes (1)

1. Una estudiante construyó un programa que produce lo siguiente:

Valor de entrada

Valor de salida

1.3 18.7 2.5 17.5 3.8 16.2 4.4 15.6 5.9 14.1

2. Si el valor de entrada es 6, ¿qué valor de salida producirá el programa? _______ ¿Y si

el valor de entrada es 7? ____________ ¿Si es 9? _________________________ ¿Qué operaciones hiciste para obtener los valores de salida? __________________ ________________________________________________________________

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga lo mismo? Usa la calculadora para

verificar tu respuesta y escribe tu programa en el recuadro.

3. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

2.83 3.03 - 3.5 - 4.8 5.01 6.2 27.04 37.32

4. ¿Qué ocurre cuando el valor de entrada es un número negativo? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ¿A qué crees que se deba eso? _______________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 34 Aplicaciones de la relación parte todo (1)

1. Hay varios trozos de cable, todos

miden 16 cm. Se quieren cortar en dos partes. En la siguiente figura se muestran algunas posibilidades:

4 cm 12 cm 11 cm 5 cm

3 cm 13 cm 9 cm 7 cm

6 cm 10 cm14 cm 2 cm

2. ¿Puedes construir un programa de manera que si le das la medida de una de las

partes te dé como resultado la medida de la otra? Escribe el programa que hiciste en el cuadro de abajo.

3. Describe cómo razonaste para construir tu programa. Hazlo de manera que

cualquiera de tus compañeros te pueda entender. ________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________

4. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

Valor de entrada

1.7 3.8 6.8 7.9

Valor de salida

12.8 14.9 15.6 17.4

5. ¿Cómo puedes comprobar que los valores que encontraste para los números 12.8, 14.9, 15.6 y 17.4 son los correctos?___________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________




1. Hay una pieza cuadrada de cartón que se usará para hacer

una caja recortando cuadrados en cada esquina de la pieza de cartón y luego doblando hacia arriba (figura 3).

El tamaño de los cuadrados que se recorten determinan cuánto van a medir la base y la altura de la caja. Las figuras 1 y 2 muestran dos posibles maneras de armar la caja.

4 cm

16 cm 8 cm

8 cm

8 cm

8 cm16 cm

4 cm

Figura 1 Figura 2

Fig. 3

1. ¿Cuánto mide por lado la pieza de cartón? _________________ ¿Cuál es su área?

_____________ ¿Qué operaciones que hiciste para calcular el área de la pieza de cartón? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________

2. Completa la siguiente tabla:

En la Figura 1 En la figura 2 Área de la base Altura de la caja Volumen de la caja

3. Se quiere que la caja tenga el mayor volumen posible. Únicamente puedes hacer un intento para obtener la caja de volumen máximo porque sólo se tiene esta pieza de cartón. ¿Puedes programar tu calculadora para obtener el volumen de cualquier caja que pueda formar con esta pieza de cartón cortando cuadrados en las esquinas? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

4. Usa tu programa para encontrar cuánto deben medir el lado de la base y la altura de la caja para obtener el volumen máximo. Anota en el cuadro de abajo las medidas que encontraste para que la caja tenga volumen máximo.

Lado de la base Altura de la caja Volumen máximo




1. Se tiene una pieza de cartón de forma rectangular. El

largo de la pieza de cartón mide 38 cm y el ancho 20 cm. Se quiere usar este cartón para hacer una caja recortando cuadrados en cada esquina de la pieza de cartón y luego doblando hacia arriba (figura 3).

El tamaño de los cuadrados que se recorten determina cuánto van a medir el largo y ancho de la base de la caja y también cuánto va a medir su altura. Las figuras 1 y 2 muestran dos posibles maneras de armar la caja.

Fig. 3

2. ¿Qué operaciones necesitas realizar para calcular el área de la pieza de cartón? ____

________________________________________________________________ ________ ¿Qué operaciones tendrías que hacer para calcular el volumen de la caja una vez que esté armada? ____________________________________________ ________________________________________________________________

3. Completa la siguiente tabla. Largo=30; Ancho=12 Largo=32; Ancho=14

Área de la base Altura de la caja

Volumen de la caja 5. Se quiere que la caja que armes tenga el mayor volumen posible. Únicamente se cuenta

con esta pieza de cartón, por esto solamente puedes hacer un intento para obtener la caja con volumen máximo. ¿Puedes construir un programa para calcular el volumen de cualquier caja que se pueda formar cortando cuadrados en las esquinas? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

6. Usa tu programa para encontrar cuánto deben medir el lado de la base y la altura de la

caja con volumen máximo. Anota en el cuadro de abajo las medidas que encontraste. Lado de la base Altura de la caja Volumen máximo

Fig.1 Fig.2



HOJA DE TRABAJO 37 El todo respecto a sus partes (2)

1. Unos estudiantes construyeron un programa que produce la siguiente tabla de valores:

Valor de entrada

Valor de salida

1 0 2 -1 3 -2 4 -3 5 -2

2. Si el valor de entrada es 6, ¿qué valor de salida va a producir el programa? ________ Si el valor de entrada es 7, ¿qué valor de salida va a producir la calculadora? _______ ¿Qué valor de entrada produce 17 como valor de salida? ____________________________________________________

3. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados? Explícalo mediante un

ejemplo. ___________________________________________________

4. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga lo mismo que el programa que crearon esos estudiantes? Escríbelo en el recuadro.

5. Construye un programa distinto que produzca los mismos resultados. Pruébalo

en tu calculadora y si funciona como esperas anótalo en el cuadro de abajo.



HOJA DE TRABAJO 38 ¡Esta no es una relación parte todo!

1. Se creó un programa que produce esta

tabla de valores:

Valor de entrada

Valor de salida

1 4 2 9 3 14 4 19 5 24

2. Si el valor de entrada es 7, ¿qué valor de salida producirá ese programa? ______ ¿Y si el valor de entrada es 10? ___________ ¿Cuál es el valor de entrada si el valor de salida es 19? ________________________________

3. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?

__________________________________________________________ __________________________________________________________

4. ¿Puedes crear un programar que produzca los mismos valores que el del inciso

(1)? Verifica tu respuesta con la calculadora y escribe tu programa en el recuadro.

5. Construye un programa equivalente al que hiciste para contestar la pregunta anterior. Verifica si tu programa funciona como esperas y escríbelo en el recuadro.



HOJA DE TRABAJO 39 ¡Esta tampoco es una relación parte todo!

1. Hay un programa que produce los siguientes

valores de salida:

Valor de entrada

Valor de salida

1 -1.5 2 -2.5 3 -2.5 4 -3.5 5 -5.5

2. Si el valor de entrada es 7, ¿qué valor de salida producirá ese programa? _______ ¿Si el valor de entrada es 8? _____________ ¿Qué valor de entrada produce como valor de salida -7? ___________________________________________

3. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados? ___________________

_____________________________________________________________ _____________________________________________________________

4. ¿Puedes crear un programar para que produzca los mismos valores de salida que el del inciso (1)? Verifica que tu programa funcione como esperas y escríbelo en el recuadro.

5. Construye dos programas equivalentes al programa que hiciste para contestar la

pregunta anterior. Verifica que funcionen correctamente y escríbelos en los recuadros de abajo.

6. Un estudiante dice que el programa -1−(X+X)÷2 produce los mismos resultados

que se muestran en la tabla. ¿Estás de acuerdo con él? Muestra dos ejemplos que justifiquen tu respuesta. ______________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 40 Patrones decrecientes (1)

1. Hay un programa que produce los

siguientes valores:

1 4 2 2 3 0 4 −2 5 −4

2. Una estudiante dice que el programa 6−2×a produce esos resultados. ¿Estás de acuerdo con ella? _______________ Muestra dos ejemplos que justifiquen tu respuesta. __________________________________________________ __________________________________________________________

3. Construye dos programas equivalentes al programa 6−2×a. Verifica que tus

respuestas sean correctas y anota los programas que creaste en los recuadros de abajo.

4. Un estudiante dice que el programa 6−a+a es equivalente al programa 6−2×a.

¿Estás de acuerdo con él? ________________ Si tu respuesta es afirmativa

escribe dos ejemplos que la justifiquen. _____________________________

__________________________________________________________

5. Si no estás de acuerdo con él, explica tan claramente como te sea posible por

qué 6−a+a no es equivalente al programa 6−2×a. ________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 41 Patrones decrecientes (2)

1. Hay un programa que produce los siguientes valores:

1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5

2. Si el valor de entrada es 7.5, ¿qué valor de salida producirá el programa? ________ ¿Y si es valor de entrada es 10.1? ________ ¿Cuál es el valor de entrada si el valor de salida es 5.75? _______________________________

3. ¿Qué hiciste para obtener esos valores? ____________________________

__________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

4. ¿Puedes crear un programa que produzca los mismos valores de salida que el del

inciso (1)? Escríbelo en el recuadro de abajo.

5. Una estudiante dice que el programa a−2×a produce los resultados que se

muestran en la tabla. ¿Estás de acuerdo con ella? ______________ Da dos ejemplos que justifiquen tu respuesta. ______________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

1. ¿Puedes construir otros dos programas que sean equivalentes al programa a−2×a?

Escríbelos a continuación. _______________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. Discute con tus compañeros y tu profesor las actividades de este bloque donde se aborda la relación parte-todo y concluyan en qué consiste esta relación.

2. Organícense en equipos para redactar tres problemas que involucren la relación parte-todo y que requieran plantearse mediante una expresión matemática. Intercambien con los problemas que propusieron y resuélvanlos.

3. Utiliza la calculadora, Excel u otro programa que te permita construir las gráficas

de las funciones (expresiones algebraicas) que generaste para resolver los problemas de las hojas de trabajo 35 y 36. ¿Qué tan cerca de los valores máximos que muestran las gráficas están los valores que encontraste para el volumen máximo usando tu programa en la calculadora?

4. Con base en la experiencia que viviste al completar las hojas de trabajo 32-36,

discute con tus compañeros y tu profesor las ventajas didácticas que ofrece este tipo de actividades para favorecer las competencias matemáticas de los alumnos de educación básica.


discute con tus compañeros y tu profesor cuáles pueden ser los obstáculos que encuentren los alumnos de educación básica y propón alguna estrategia para ayudarles a superarlos.


discute con tus compañeros y tu profesor las ventajas didácticas que ofrece este tipo de actividades para favorecer las competencias matemáticas de los alumnos de educación básica.


discute con tus compañeros y tu profesor cuáles pueden ser los obstáculos que encuentren los alumnos de educación básica y propón alguna estrategia para ayudarles a superarlos.

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cable vendido cable

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