r. tyrrell rockafellar and stanislav uryasev - optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘...

21
Optimization of conditional value-at-risk R. Tyrrell Rockafellar Department of Applied Mathematics, University of Washington, 408 L Guggenheim Hall, Box 352420, Seattle, Washington 98195-2420, USA Stanislav Uryasev Department of Industrial and Systems Engineering, University of Florida, PO Box 116595, 303 Weil Hall, Gainesville, Florida 32611-6595, USA A new approach to optimizing or hedging a portfolio of ®nancial instruments to reduce risk is presented and tested on applications. It focuses on minimizing conditional value-at-risk CVaR) rather than minimizing value-at-risk VaR), but portfolios with low CVaR necessarily have low VaR as well. CVaR, also called mean excess loss, mean shortfall, or tail VaR, is in any case considered to be a more consistent measure of risk than VaR. Central to the new approach is a technique for portfolio optimization which calculates VaR and optimizes CVaR simultaneously. This technique is suitable for use by investment companies, brokerage ®rms, mutual funds, and any business that evaluates risk. It can be combined with analytical or scenario- based methods to optimize portfolios with large numbers of instruments, in which case the calculations often come down to linear programming or nonsmooth programming. The methodology can also be applied to the optimization of percentiles in contexts outside of ®nance. 1. INTRODUCTION This paper introduces a new approach to optimizing a portfolio so as to reduce the risk of high losses. Value-at-risk VaR) has a role in the approach, but the emphasis is on conditional value-at-risk CVaR), which is also known as mean excess loss, mean shortfall, or tail VaR. By de®nition, with respect to a speci®ed probability level , the -VaR of a portfolio is the lowest amount such that, with probability , the loss will not exceed , whereas the -CVaR is the conditional expectation of losses above that amount . Three values of are commonly considered: 0.90, 0.95, and 0.99. The de®nitions ensure that the - VaR is never more than the -CVaR, so portfolios with low CVaR must have low VaR as well. A description of various methodologies for the modeling of VaR can be seen, along with related resources, at URL http://www.gloriamundi.org/. Most ap- proaches to calculating VaR rely on linear approximation of the portfolio risks and assume a joint normal or lognormal) distribution of the underlying market parameters see, e.g., Due and Pan 1997, Jorion 1996, Pritsker 1997, JP Morgan 1996, Simons 1996, Beder 1995, Stambaugh 1996). Also, historical 21 Implemented in Portfolio Safeguard by AORDA.com

Upload: lycong

Post on 21-Jul-2018

220 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

����������� � �������� �� ����������

�� ������� ���������

���������� ���� �� �������� ��� �� ���� �� ���� ����� ��� � �������� � �����

! "#$�$�� %������� ���� ���� &�'&#($�$�� �%�

�������� �������

���������� )������ �� ��� %������ *�� ���� ��� �� ���� �� +�� ��� ,- ! ''.#&#�

"�" �� � ����� �� ���� ���� +�� �� "$.''(.#&#� �%�

� ��� ������ �� ���� ����� �� ������ � ��������� �� ������� ������ ���� ��

����� ���� �� ��������� ��� ������ �� ������������ �� ������ �� ��� �����

���������� ������������� ������ ����� ��� ��� ����� ������������� ����� !��

���������� ��� ��� ���� ���������" ��� ��� ��� �� ����� ���� ���� ����� ���

�#��� ���� ��� �������� �� ���� ��� �� �� ��" ��� ��������� �� !� � ���

��������� ������ �� ���� ��� ���� ������� �� �� ��� ������ �� � ����$�� ���

��������� ���� ������� �� �������� ��� ��� ���� ���� ���� �� ����������"� %��

����$�� �� �����!�� ��� ��� !" ������ ��� � ������ !�������� �� � ����� �����

��� ��" !������� ��� ��������� ����� �� �� !� � !���� ��� ����"���� �� ��������

!���� ����� �� ���� ��� ���������� ��� ����� �� !��� �� ������ ���� �� ��

��� �� ���������� ����� � � ���� �� ������ ������ ��� �� ���� ���

������ ���� %� ��������" �� ���� !� ������� �� �� ���� ������� �� ����������

�� ����#�� ������� �� ������

&� �'%�()*�%�('

���� ����� ��������� � �� �������� �� ��������� � ����� �� �� �� �� ������

��� ���� � ���� ������ �� ���������� ����� ��� � �� � � ��� ��������� ��� ���

�������� �� � �������� �� ���������� � ����� ����� �� � �� ��� �� ���

�!���� ���� ��� ������ � �� ��� ���� "# ��$����� ���� ������� �� � �����$��

������� ��# ��� �� ��� ����� � � ����� �� �� ��� ����� ����� � ���� ��������� ������� ��# �� ��� ��� �� �� �!���� �� ������� ��� �� ��� �� ���

�������� �!�������� � ����� ����� ���� ����� �� ����� �� ��� � � �������� # ���������% &�'&� &�'(� �� &�''� ��� ��$����� ����� ���� ��� ����� �� ���� ���� ��� ��� �� ���� �� ����� ��� ���� �� ��� ���� ����

�� ��� �� �� �

) ���������� � ������� ������� ����� �� ��� ���� �� � ��� �� �� ����

� �� ���� �� ���� ���������� �� *�+ �������������� ���������� ,��� ���

�������� �� �� �� ���� ��� �� # � ���� �����!������ � ��� ����� �� �����

�� ������ � -��� ���� ��� ������ � ����������� � ��� ���� #�� ������

���������� ����� ����� .�/� �� 0� 1''2� 3���� 1''4� 0������� 1''2�

30 ,���� 1''4� 5���� 1''4� "���� 1''(� 5�������� 1''4�� ) ��� ���������

��

Implemented in Portfolio Safeguard by AORDA.com

Page 2: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

�� ,��� �� � ���� ���������� ��� � ��� ���� ��� ��� ����� �� ������

� ���� ��������� ���� �� ������ �"���# �� ���� 1'''� 3���� 1''4�

,����� �� ���� 1'''� 0������� 1''2� 30 ,���� 1''4� "���� 1''(�

5�������� 1''4�� .��������� � ����������� ���� ��� ��� ��� ��� ��

�� ��� � ������ �# +������� �1''2��1''2��� 6��� �� � �1''7�� �� +����

�� 6 ����� �1''7��

) ������ ��� �� � ���# ���� �� ������� � ����� �� ��� �������� �

����������� ��������������� ���� �� � ��� � ������������# �� ����!��# ����

)����� �� � 1''2� 1'''�� ��� �� ������� � # ��� �� �� ����� � ��� �������

�������� � ���� ������������ ��� � ���� ������������ ��� �� �������

���� �� ��� ������� ���������� 8�� �!��� �� ��� ���������� ���� �

��������� � ��� ����� ��� �� �� ������ ������� ��� ��� ��� � ��� �����

� ��� �������� ����� ���� 8����������� ��� �� ��/�� � �� �������� ��� �� ��

�� �� ���� ��� ��������� ,����� �� ���� �1'''� �� ,�6�# �� 6����

�1''4� ������ ���� ��� �� �� � �������� �� � ����� � ����� �� ��������

�� �� �!����� �� ��� � ��� �!������ ����� �� �� � ��-�� ������� � ��#��

�� �������� � ������ ��! � �������� �� ��� ��� ��� � � ������� �� ��!�

)� � � �������� ������� � ����� ��� �� ��� �� ���� ������ ���������� ���

��� ���� )����� �� � 1''2 �� 9�������� �� � 1'''�� ����� #� 0:�� �;&&&�

������ ���� ��� �� � ������� ���� ������� ����� ��� � ���� ����������%

����������<��������� �������� # ����������� ����!� ������� ������ ����

������� ������� � ����� 1� �� ������� ������ ������� ������� �

����� ;� ) ���� � ���������� � ��� �������� �� ���������� � ��� ��

����������� ���� ��� ���� ��� ��������� �� �� ��� � ��� ������ �����

�# *�#���� �;&&&�� ) ������ ��� ��� �� ������ � ������� � ��� $���

������#� ��� �� ����� � ��� ������� ������# ���� 9�������� �� � 1''2��

"���# �� ���� �1'''� ���� ��� � ������ ���� ��� ������� ) ���� ����# �

��� ������ � ��� ��� ������� ��# �� ��� ������ ���� �� ��������� �#

)������ �� *�#���� �1'''�� ,������� ���� �� �� ��� ���� ��� ����

����� � ��� ���������� ���������� ���������� � ������ �� � � $����

����������� ����!�� ��� �������� �!�������� ��������� �� ���������

����� ��������� ��������� �# 0������ �1''(� ��# ����� ��� ���� �������

�� ����

,������� ��� ��� � � ����� �� �� � ��� # �� ���� �� �������� ���� ��

� ����# �������� ��� ��� ��$���� � ����� ��������� ��� ����� ����������

� ���� ����� �� � �������� �����<�� � ��������� ��� �� �� �� ���� ���

�� ��� ���� ����� =� �>���� � ������� ��# � ��� �����%

� ���� �� � ���� ����������� �������� �������?

� ������� ������� �� ��������� �����?

� ������������ � �# ���������� ���� �� �!����� �� $���� ������

=� �� �� ���� �� ���� �������� �# �������� ��������� ��������� $����

����� ���� �� � ��������

= ��� ����������� � ����� ���� ��� �� �������� ���� �� �� ��� �

���������� ����������� ���� ��� ,�# ������� � �������� ��� ���� �� � ��

+������ �� ����

�� %� ���������� ��� ,� *�"������

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 3: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

���� ����� ����� "���� �� +������! 1''2� 9��� ��� �� @��� 1'77� 6� ��

@� ��� 1''(� 6� �� 6���� 1''4� 0:�� 1''4� 0������ 1''(�� �����

� �������� ��� �� � �� ���� ��� � ������ ����������� ������� � ���

����� �� �� �� ����� # �� ������� ���� �� #���� �� ���� ����������

�������� = ����� ����� ��� ��������# �� ���� �� �# �������� �� � $���

��� # � �������� �� �� ����� �� � �����!������� ��� ���� �� �� �� �� ���

�� ��� ������ �� �� � ���� ����������� 8�� ��� ������� � ��������

��� � $���� ���� �� ������� A���� �1''4� �� A����� �� ,� ��#

�1''7��

-� ).,���/%�(' (0 %1. �//�(��1

+�� � ��� �� �� ��� ��� ���������� ���� ��� ������� ������ �� �� �� ����� ��� �

������ ������ � � ��� �� ��� ����� ������ � � ��� ��� ������ � �� ��

���������� �� ���������� � ����� ��� ���� � �� ��� ��� � ���� �� � ����� ���

����-��� �� ������� ����������� ��� ����� ������������� ��� � �� ������ �� ���

������ � ����� �� ��� ������������ ���� ������ ������ ��� ���� �� �>��� ���

���� � ������� ��� ��� ����� �� ������� �� ����� � �>���� ��������� � ����

8�� ���� �� ��� ��� � ��� �� �� � ����� ������ � ����� � ����������� � �

������ �# ���� � �� ��� ���� #�� ������� ��# ����������� � � � �� �� ��

������� �� �������� �� ���� �����#� ����� �� ����� �# ����� B������� ���� �� ���� ����� � �� #���� �!������� ���� �� ��� ��� �������� � ����������� �� �� ������ =� �� ��/���� �� ���� � � ������� ������ �����

�������� ����� ���� �� ��� ����� ) �������� ��������� �� �� ���� ��

������ �� #���� �!������� �� ���� �� �������� � ,��� �� � ���� ���� ������ ������ ���� �� ��� ���� ����� ����� 30 ,���� 1''4�% �1� ���� �� � ���������� � �

�1 � ���� �1 � �? �;� ����� � ��� ��������������� � �������� �

�� � 1� � � � � ��� ��� ����������� ���� �� �� ������� �� ���� ��������� ��������� �� � ���� ������ �� ��� ����� ���� �� ��� �����# ���� �� ��

�����������

��� ������� ��# � � ��� �� �� �!������ � ������� � � �� ��� ���� �#

���� �� ��

� �������

���� ��� �1�

)� � ����� � � �� $!�� �� � �� ��� ���� ����� ����������� ����� �� ���

��� ���������� ���� �� =� ���� ��� # ��������� ��� �������� � ���� �����

������ � �� �� ������� � ��$�� ��� �� ���� = ����� � ���� �� ������������ ���� ������� �� � �� �������� ��� ��� ������ ��� ��

�������� # ��� ��� �� ������� � ��� ������� ��# � -����� @� �������

�������� � ���� � ��� ���� ��� ������� ��# ������������ ��� ���� ���� �

-���� ������ ��� � ����� ������ ���� ���� �� �� ����#����� �������� ����������� �� �� ���� ���������� ��� ��� �������� �� ����� �����# � �� �� ����

�� ���� ����#� @������ �� ����� ��� ����������� ���� �������� ��� � ���

���� � -2'� !�� 3 ,����� -444

(��� ������� �� ���������� ������������� ��

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 4: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

��$���� � ���� ����� ��� � ��� ���� �!� ������ @� ����� �� ����

���� ������� ������ �� � �����<��� ������ = ���� ����� ���������� ���

��<����� �������# � ��� ��� ���������� � ��� � ��� �� �� ��� �����# �������� *�#���� 1''(��

��� ����� �� �� ��� �� ��� �� ��� ��� ����� ������ � ���������� ����

� �� �# �����$�� ������� ��# ��� � � �&� 1� �� �� ������ �# ����� �������� = ��� ������� ���# ��� ���� �#

����� � ��� � � � � ���� ��� � � �;���

����� � �1� ���1�

� �����������

� ��� ������ ��� �C�

= ��� $��� ���� �� ����� ����� ��� �� ��� �� ������ � ��� �����#������ �������� � ��� �� ��� � ���� ���� ���� �� � �� ����� � ��� ������� �� ���� �������� �� ���������� ���� ������� �� �� ��� ������ ����� ����� ���� ��� � ��� � ���� � � ��� DD:�� �����EE�� = ��� �����

���� �� ��� ������� ��# ���� � ��� ��� ����� �� �������� �<�� �� 1� �� ���������� ����� ��� �� ��� �������� �!�������� � ��� ��� ���������� ���� �

�� ����� �� ���� ��� ���� ����� �� ����������� ��# �� ��� �������� �� � ��������������� � ����� �� ����� � ����� �

��� ����� �� � �� � ��$�� �� � ���%

����� �� � � �1� ���1�

����

� ��� �� � �� ���� ��� �F�

�����

� � ��� � &�

& ��� � &�

��� ������ ������� � ��� ���� ��� ���������� ���� ������ ��� �� � ����

8�� ��������� � ����!��#� ����� �� � ��# �������# � ����������� ���� �

������� �� � ������� ��� ������� ��# � � ��� ������ ���� ��>���� ��� �

� ��� ������� ��� ������ �� �1'2&� �� 5��� �1'7(�� �� �������

������� 1 �� ������� � �� ����� �� �� ����� �� ��������� ���������� ��� ��� ��� ! � ��� �� ���� ��� ���� �� � � � � � �� ���������� ���

��� ����

����� � �����

����� ��� �(�

"� ���� ���� � ��� ��� ��������� � ��� � ��� � � �� ����� ��� ������� ��

�� ����� � ���

���� � ��������

����� ��� �4�

+������ �� ����

�� %� ���������� ��� ,� *�"������

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 5: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

�� ������� ���� ������ ������ #���� �� �������� � ����� ����$� �� ���

�� ! � ��� �� �� ����� ��

����� � ��� ������� � ����� �2�

"� � ����� �� �� � �� � �

����� � ��������

����� �� �� ����� � ��

��� �����

�� �7�

������� 1 �� ������ � ��� )�����!� G��� ���� �� ����������� ��������

�� ��� � -��� �� �� ������� �1� ������� �� �� ������� ����� ��� ���� ��� ������ ������� ��� ������ �# 1� � �� ����� �� ������ ������� # ��� 1� ��� ��� �

��� ����� � ��� ���� �� � ������� 1 �� ������� ������� �������� #

��>������� � ����! ������ ��� ������� # ���# �� ������� ������� #� ) ��

����� �� �� ��� ��� ���� �� ��� �� �� �� �� ���� ������� $��� ����� ��

�� �� ��� ��� ����� � ����� ��� ��$���� ������� ����� ��� � �� ����

���� ������� ��� ����� ��# �� ������� ������ �� � �#��������� ��� ��� �!����>��� ���� ���� ����� ���� �� ��������� ��� ������ ���� �� �!������� ��� �� ������� � �� ������ ���� ��� �� ����� �� �� ������� � ����� �� ��������

8����������� ��� ������ � ��� ��$���� �F� � ����� �� �� �� �����!������� � ������� ��#�� 8�� �!��� �� ���� �� �� ��� �# ���� �� ���

������� ��# ����������� � � �������� �� ��� �����# ����� = ��� ���� ���������� � �� ����� � ������� �1� � � � � ��� ��� ��� ����������� �����!������� �� ����� �� ��

������ �� � � 1

��1� ������1

� ��� ��� � ��� �'�

��� �!������� ������ �� �� ����! �� ��������� ���� ���� ������� �� ��) ������ �� �� �� ��>������� � ���� ������� �� �� �� �� ����� # �� ��������������� �# �� ������ �����<��� �� �# ������������ � ����� � � � ������#

���� ���������� ���� ���

����� �������� ��������� � ������ ��� �� ��� ������� ���

���� �� � ������� 1 ��� ������ � ��� �!� ��������

������� ; %�����&��� ��� ��� ! � ��� �� ���� ��� ���� � ��� � � �

�� �'��� ��� � ������&��� ����� �� ��� ��� �� � �� �� �� ��� ����� �� �

�����

����� � ������� ����

����� ��� �1&�

������ ������� � �� ���� ��� ������� ��� ����� ������� �� �� �� �� ��

������� ��� (��� ������� �� �� � ������ "� � ����� �� ��������� �� ��������� ���� ����� ��� ������ ����� ������� � ����� ���� # � �� ����� $� ���������& ��� � ���� �� ��� ��� �� � �� � ������� � �� ���� ���� ������ � -2'� !�� 3 ,����� -444

(��� ������� �� ���������� ������������� ��

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 6: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

������ ��� ���'��� ���� �� � �� ������&�� ��� ��� ! �� �� ����� ���

����������� �� !�)���������� ����� �� �� ����� ���� ������� � ��� ��� �� ����� �� �����

���� ������� � �� ���� � ��� �� �� ����� ���� ������� � �� �� ����� � ��� �� ���

����� ���� �� ���� �� � � �� ����� ���� ��� *��� ������& ��� �� � ���� ��� �

����� ���� ������

)���� ��� ���� �� ������� � ��� )�����!� )������� �� ������� ;� �� ��

�� �������#� �� ��� ������� � ��������� � � ���� #�� �� ������ �� ���� �� ���� ������ # ���� ��� ����� ������ ����� ��# �� ���� �� ��������� � ��� ����� � ��� ��$���� � ����� � ��� ����� �� �� ����� �� ������ ����� ����� ����������� ���������� � ���� �� ��� =������ �� ��

������� � ��� �� ���� �� �!������� ����� �� ���� ��� ����!��# � ��� ������ �� �� ���� ���# ����� #� ���� ������� �� ��� ������ ����������� �������� ��������� �# ������� ; �� �� ������� ����

����� �� �����!������ ��� ������ � ��� ��$���� �F� � ����� �� ���� �� ����� ����# ��� �������� ���� �>��� � ���� ���� � ������� ������ ���!��# �

� ��� �� ���� ������� �� � �������� ����!��# � ��� �����!������ �!������������� �� � �'�� �� ���������� ���������� � �� ���� �� � � � ��� ��� �������# � ����������

������������ �� ���� �����$�� # ���������� ����������� ������� � ���

������� � � DD�!��������EE � ��� ��$���� � ����� ��� )� ���� �� ��� �������� ��� ����!��#� ����� �� � ���� ��������� � �� ��� ���� ���� ��� �"����

�� +������! 1''2� 9��� ��� �� @��� 1'77� 6� �� @� ��� 1''(� 6� ��

6���� 1''4� 0:�� 1''4� 0������ 1''(�� ������� ; ���� ��� ���� �� ��� #��

���������� ���������� ���������� �� ��� ���������� � �� ����

3� �' �//5���%�(' %( /(�%0(5�( (/%�6�7�%�('

�� � ������� ��� �������� �� �������� �� �� ������� ��� ���� ����� ���

������� ������ � ��������� � ����� �� � $���� ��������� � ��� ���� ����

� � � 1� � � � � ��� ���� � ���� ��� ������� � �������� � ��

� � & �� � � 1� � � � � �� ��������1

� � 1� �11�

.����� �# �� ��� ����� � �������� �� �� ���� ��� ����� ������ �� ��

� � ��1� � � � � ���� ��� ����������� � � ���������� � -��� ����������� � ���

������� ������ �� �� �������� � �? �� ��� �����# �������� ����� � � ����� �� � �� ��� ��� � ��� ������ � ��� ��������

��������� � ��� ����� ��� ��� �� �# ��� ���������� �� ��� ���� ���� ���

������� � ����� �� �������� ���� �#

� ��� �� � � 1�1 ���� � ����� �1;�

+������ �� ����

�� %� ���������� ��� ,� *�"������

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 7: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

)� �� �� ���� �� �������� ���� ������� �� �� ��� ���� ����� �����������

����� �� ��� ��� ���������� ���� � �� ���� �� �������� ���� 6� ��

6���� 1''4� *�#���� 1''(��

) ������ ��� �� ��� ��� ���� # ��$�� � ����� � ������# �� ���

���� ���# ��� ��$�� �� ��������� ������� @� ������� ��� ���� ��� ����� �� �

�������� ������������ ������ ��������� ����� �� ������# �� �� �����

��# �� �� ���� �� ��� ����� ��� ���� ���� �� ���������� = ���� ������� ��

������� ��� ������ ��� ������� ��# ���� ��� ������ �������

��������� �� ��� �� �� ��������� �� ������� ��� ��� � ��������� ������

��� ��������� ����� � ����� �� ���� ���� � ������� ���� ������� �� ��� ��

����� �� � � �1� ���1�

����

����� �� ���� ��� �1C�

=� �� �������� �� ������� ����� � ���� ������� ����� �� �� ����! �� � ����� �� �� �� �� -��� �� ���� �� �� � �� ��>������� � � ����� ������ �� ���� 6� ��6���� 1''4� *�#���� 1''(�� 5��� ���������� ��� ��� ����� ���# ���������� # ��

��� �������� � ��� ���� � ����������� ������� ��������� ������

8�� � � ���� ���� �� ���� �� ��� ����� ��� ��� �� ������� � ��� ������������� ���� ����� �� �? � ����� � ��� ��� � �� ������� � � �� �� ����

���� � ���� �� ;��� � ����� �1F�

��� #� ���� �� � ���� ����� � �� ������� ��� �� � <�������� ����� � ��@� ������ ��� ��<������� ���� � # ����� ��� ���� �� �� �!������ �� ����� ��

���� � ���� ����� � �� �� ��������� = ����� ������ �� �������� ��� ����

��������������� �1(�

�� ���� ��� ����� � ��� � ����� ��� �� ��

� � �� � � �����$�� �11� �� �1(�

�� �14�

���� ��� � �� ����! �� ��� DD�� #����� EE� ���� �� ������# � � ���

����������� ��� ���� �� � �������� �� ���� �� � �� �������� �� �

����! ����������� �� ��� ������ ��� ��� � ������� ;�

G�� ������� ��� ��� � �����!������ � �� ������� �# ���� �� ���

������� ��# ����������� � �� �� � �'�� ) ���� � ��� �1� � � � � �� #�� �� ��������!����� �����

������ �� � � 1

��1� ������1

����� � ��� �12�

��� ���������� � ��� ���� �� �� � ����� �� ��� � �����!����� �� ���� ��

��� ���������� � �� ���� �� �� �� � ��� �� ������� �� ����!

����������� = ����� � ��!� ���# ��� ������ �� �� �� � � 1� � � � � �� �� ��

���� � -2'� !�� 3 ,����� -444

(��� ������� �� ���������� ������������� ��

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 8: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

�<���� �� �� �������� ��� ���� �!�������

� 1

��1� ������1

��

���-��� �� ��� ���� ��������� �11�� �1(�� ��

�� � & �� ���� � �� � & �� � � 1� � � � � ��

G��� ���� ��� ������� ��# � ���� �������� �� ���� ���������� ���� ��

����� � � ����� � ������ ������������ ���� �� � ���� �����������? ��

����� �� ����� ������������ -��� �� �� �

��� ��������� �� �� ��� ��� �������� ������ �������� �� ���� ��� ������ ������ ��� ���� ��

������� ����� ���� � � ���01�

���� ���� �� ���� �� ������ ������ � ��� ����� � ������� ;� ��� �� ��

�������� ���� �� �� ��� �� ���� ���� �� � $��� � ����� �� ����

�������� ����� �6��� �� � 1''7� ,����� �� ���� 1'''�� ����� �� ����

�� ��� ��� ���� ��

������� ����� ���� � � ���0;�

�� �� ������� ������ #� B������� ������� ������ ������ �� ����� �� �01� ���� �� �� �� ���� ��� ��� ����������� � �0;�� )������� �� ������� ;� ���

�����<�� � �������� ����� �� ���� �� � �� �� �� �01� � �� ��������� ���

����� � ��� ����� �� �� ���� �������� �� ���� ���� �� �� ��� ���� ���� ��� �0;�� ��� �#��# �� ������� ���� �01� �� � ������ ���� �� �� �� �� ���

�� ���� �������� ��� �0;��

= ���� ��������� �� �� ���� � �� �� ������� �01� �� �0;� ���� � ���#

���� �� ���� ��� ���� � �������� ������� ���� ,�������� 1'(;�%

������� ;��� ���� � � ���0C�

) ���������� ����������� ������ � ���� �� �0C� �� ���� �� ������� �� <��������

����������� ��� ��� �0;� ��� ������� ��# ��� ��� <��������� ,�# �����

���������� ��� �� � ������� � �� �� �������� ��� ��� ���� ��� ��������

�������� � 6�� �� H������� �1''1�� ��� ������ ����������� �������� �

.���� �1''(� �� .���� �� 6�� �1'';�� �� ��� �����! ��������

��������� �# H��� �1''7� ��� ���� � � ������� ���� ��� �����!������

������ �12� �� ��� ���������� ������� ���# � �� ��� ���� ����������

� ���������

����� ���� ��� �� #�� �� � �� ���� �� �������� ����� ��� ���� ������

����� �� ��� @� ����� ��� ���� ��� �!� �� ��� ��� �� �� ��� � ������� �������

+������ �� ����

�� %� ���������� ��� ,� *�"������

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 9: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

�������� 1 +����� �� � ��� �� ���� ��� ���� � �� � �� ��� �

������������ � ��� ���� � �� ��� � ������������ "� �� &�( �� ��� ����� ���#,-$ �� ����� � ������ � �� �� � ��� ������ #.,$� #./$� �� #.0$� ����

��� ������ � ���� �� ������ �� ��� � ��1 ���� ����� �� �� ���� �� ��� ������� �

.��� *��� ��� �� #���� ������ ����� � ��� % ���� ��� �������� ���� ���

���� ��# ��������� �� ���� �� &�(� �� �!������� ��� ����� �� �� ��� ������ � ��� �� ������� �#

����� � ���� �1������� ���� �1��� ����;

����1�;�� 1� �17�

��

����� � ���� �;������� ���� �;��� �� ������;

��!����1�;�� 1��;�1� ����1�

�1'������ ���1 ������ ��� ������ � ��� ����� ������ ����� �� ��$�� �#

����� � ;���

���&

��;

��

@�� ��� �������� �1(� �� ������ �� ������ ��#� ��� ��� � �� -��� �� �� ��

��� ���� � ��� ���������� �# ��� ����� # ��� �� ��� �� ������� �#

����������� ��� �<����� ���� � �� �� ��� ��<�� ��# �������� 8��

� � ��� �������� �� ����

����� � �� �1������ �� ����� � �� �;�������

����� ��� ���/����� �1��� �� �;��� ��� ��������� ,������� ������ � ������!�������� ���� � � �

� �� ������ # ��� ���� �� �������� ���; ���� � � ���

����� � ��� �������� �1(� �� ������ � ��� � ��� ���� ���� ��� �# ����� ��

�� ���� �������� ��� ���� � � �� �� ������ �� ����� ��� ���� ���� �

0��������� 1 ������� � ���������# � ���� <�������� ����������

�� ����� �� ���� �� �0C� �� � �������� � ������ ��� ������ � ��������

�� ��� �# ��� ���� �� �����!������� � �12� �� ����� �������� �� ����

����������� @� ����# ���� ��� �� � �!��� � � ����� � ������ ����� �� ��

�� �� ���������� ��� ����� ���������% 5I0 (&&� � ����� �� � ������� *5

�������� ����� �� � ����� �� � ��� ���� ������� ��� ������ � �����

��������� ���� ���� �� �# � �-���� ���� ������������ ��� �� �� �����

���� �������� �# �� �� ������� �� ���� � � ���-��� � ��� 5���������

����������� ������ �� ��� *�������# � 8 ������

��� ��� � � ���� # ������ �� ��� ��������� �����! � � ���� �!��� �

��� ���� � ��� �� 1 �� ;� ���������� #� @� ���� � � &�&11 � ��� ���������1(� � �!������ ���J������

8����� �� �� ��� ��� <�������� ���������� ���� �� �0C� �� ����� ����

� ������ ������� ��� ����� �� �� ���� �#�� � ��� � C �� ��� ��<�� ������ ����� �� � ��� ,�������� ������ ������� ����� ��� �����������

���� � -2'� !�� 3 ,����� -444

(��� ������� �� ���������� ������������� ��

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 10: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

������� ��� ����; � &�&&C27(;' �� ��� ��� ��� ����� � �&�&11? ����� ����������� �1(� ��� ������ � ���� ������ � �0C�� ���� �� ��� ���� ��� &�''�&�'(� �� &�'&� �� �� �� ���� ��� ����� �� �� ��� � ���� ����� �� �� ����17� �� �1'�� ������� ��� ���� �� ���� � ��� � F�

@��� ����� �� ��� �� ��� �� ��������� ��������� �� ��������� ���� ���

��������� ����� � ������� ;� � �� ��� ��� �� ��� ���� �� �01� �#

�������� ����� �� ���� ��� �� � �� �� �� �����!����� ��� ������ � ���

�!������� �1C� �� ����� ��� �� ���� �� ��� ����� ������ � �������� �� ���

�����# ���� � ��� ��� ������� ����������� ����� � � �C� ��� ���� ��

�������� �����!������� ������ �� �� � �12�� ��� ���������� � ������ �� ������� �� � �� � ��� �������� � ���� ���� �� � ���� ���������� ���� �� �

%�85. &� /�������� ��� �������

=������� ,�� �����

5I0 &�&1&111&

K��� ��� &�&&FC(C;

5�� ��� &�&1C2&(7

%�85. -� /�������� �������� ����#�

5I0 K��� ��� 5�� ���

5I0 &�&&C;F4;( &�&&&;;'7C &�&&F;&C'(

K��� ��� &�&&&;;'7C &�&&&F''C2 &�&&&1';F2

5�� ��� &�&&F;&C'( &�&&&1';F2 &�&&24F&'2

%�85. 3� (��� �� ��������� ��� �� ���� � ������� �������

5I0 K��� ��� 5�� ���

&�F(;&1C &�11((2C &�FC;F1F

%�85. 9� ��� ��� ���� �!������ ��� �� ��� � ������� �������

� � &�'& � � &�'( � � &�''

��� &�&427F2 &�&'&;&& &�1C;1;7

��� &�&'4'2( &�11('&7 &�1(;'22

+������ �� ����

�� %� ���������� ��� ,� *�"������

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 11: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

��� ���� �!� ���� ���� �12�� ����� �����!����� �� �� ����� #�� ���

��������� �� �� ��� ������ ����� �� � �01� � �� ���� ����������� ����������� �� ����� ����� �� ������� ��� �� ����� �� ������� ���� ���������� �� �� ����� ���� ������� ��� ���� ��� 0+9L

���� ���������� �� ��� � � C&&,B� 0����� == ������� = �������� ���

����� ���� ��� �� ������ ���� ��� �#��� � DD�����EE ������% ���

����������� ��<���� � ������ ��������� ,��� �� � ���������

�� ��� 5��� <��������� ��<���� �0���� �� � 1'';� �� C1&�� 8�� ���� ��

��� ������� � ��� <��������� ��<������ ��� "���� �1''(�� "�# � �� � �1''2��

�� 6���� �� � �1''7�� ��� ���� �� �� ��� ����������� ��<���� ��� ����

� ��� � (� ��� � ����� �� ��� <��������� ��<���� ��� ���� � ��� � 4�

= �������� ��� ���� �� � ��� � ( �� ��� ������ ��� �������� ����

����������� ���� �� �� ����� ���� ��������� �� ��� ������ ����� ��

���� ��� ������ ������� �������� � ��� �� C �� F� �� ��� ���� ��� ���

�� ��� ��>�� �# � # �� ��������� ������ ������� ��� ��� ����� �

���� ��� �� ������� �� ��� ��� �� ���� B������� ��� ��������� � ���

��� ��������� � ��� � ( �� ��� �� ��� � ��� � F ������ 0��������� 1 ���� ��

�� �!����� �� � �� �� ����� ���� � ����� ����� �� ���������� � �� ��� ���� ��

������ � ��� ,��� �� � ���� ������ "������� �� ������ ��# ��� �������� ����

�� ��� ������ �� ���� �� ������������ �� ��� ������ � ��� ����� ��

���������

%�85. :� %� ��������� ��� ��� ���� ��� ��� � ���� ������; 6���� ������� �������� ��������� !" ����������� �� !����

� 5��� �����

5I0 K������

5�� ���

��� �����>� �M�

��� �����>� �M�

=���������

��������

&�' 1&&& &�C(;(& &�1(C7; &�F'C47 &�&42'( &�1(F &�&''4; ;�2C 11(2 &�&

&�' C&&& &�((2;4 &�&2(1; &�C424; &�&4(C2 C�4F( &�&'(11 �1�'; 4C4 &�&

&�' (&&& &�F;'1F &�1;FC4 &�FF4F' &�&444; 1�7&' &�&'7;F 1�C& 74& &�1

&�' 1&&&& &�F7;1( &�1&C'' &�F1C74 &�&44;; ;�C'7 &�&'(&C �;�&& ;;'& &�C

&�' ;&&&& &�F('(1 &�11;4' &�F;27& &�&44;' �;�;'' &�&'4&; �&�'7 72&F 1�(

&�'( 1&&& &�(C212 &�&7;7F &�C2''' &�&';;F ;�;(' &�11(14 �&�4F 1(4 &�&

&�'( C&&& &�(F72( &�&27C' &�C2;74 &�&'F;7 F�(;F &�11777 ;�(4 4(; &�&

&�'( (&&& &�(2'74 &�&44FC &�C(C21 &�&'12( 1�21( &�114(' &�(' C77 &�1

&�'( 1&&&& &�F21&; &�1&7;2 &�F;&2; &�&7';2 �1�&C &�11F42 �1�&& 1F(1 &�;

&�'( ;&&&& &�F'&C7 &�1&&7; &�F&72' &�&'1C4 1�;7F &�1121' 1�11 ;4FC &�2

&�'' 1&&& &�F17FF &�1;7F7 &�F(C&7 &�1CF(F 1�7;' &�1F(1C �(�1; CF& &�&

&�'' C&&& &�41'4& &�&(114 &�C;';F &�1;2'1 �C�172 &�1F7(( �;�7' 1&(7 &�&

&�'' (&&& &�4C';4 &�&FC4& &�C121F &�1C124 �&�;27 &�1(1;; �1�1F '&' &�1

&�'' 1&&&& &�F(;&C &�11((4 &�FC;F& &�1;771 �;�(1 &�1F2'1 �C�C1 47& &�1

&�'' ;&&&& &�F(244 &�11CF& &�F;7'F &�1C1(C �&�F(1 &�1(CCF &�;F C&7C &�'

���� � -2'� !�� 3 ,����� -444

(��� ������� �� ���������� ������������� ��

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 12: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

��� ���� �� ������� � ��� � 4 ��� ��� ������ ��� �������� ����

<��������� ���� �� �!����� ��>���� �� ������ ��������� ����� �� �� ����� #

��� ��������� �� ��� �� ��� �� ��� ������ ������� ���� ��� @�� ���

���� � ���� �� ����� 1& &&&� ��� ��>������ � ��� �� ��� ������� ���� ���

������ ��� �� ��� ������ ������� ���������� ��� ��� ��� 1M�

9� �' �//5���%�(' %( 1.)<�'<

)� � ������ � �������� � ��� ��������� �� ������� �!� � �!��� � ����� �

G����� ����� �� �� ������� ���� ���� ��� ��� � ,����� �� ���� �1'''�� ���

�������� �� �� �# ��� �������� ����� � ) ���������� =�� ,����� �� ����

�1'''� ��������� ��� ��#� � ������% ���������� �� ���� ���� ���

�����<���� = ���� ����� ��� ���� ����� �� �� �� ���� �# �����������

���������� � ���� ����� �# ������ � ��� �� � ��� �������� � ���

����� �� $!�� �� ���#�� ���� ��� ����� � �����$�� ����� ��� ��� ���

� ��� ����� �� ������� �� �� �� �� �� ������ �� B���� �� ���� $��� ���� ���

��� ���� ��������� �� � ���� ��� � ����� � �������� ���� ��� ���

�������� ������ ������� ��� ���# � ��� �� ��� ��� ������� � ����� �

�������� ���� @� �� � �� ����� �������� ���� ��� ���������� ��� ���

�������� � ���� �������� ��#�� ��� ����������� ������� 0������� �

%�85. =� %� ��������� ��� ��� ���� ��� ��� � ���� ������; �� ����������������� !" $��������� ,�!�� ��$������

� 5��� �����

5I0 K������

5�� ���

��� �����>� �M�

��� �����>� �M�

=���������

��������

&�' 1&&& &�FC2&' &�1;1C1 &�FF14& &�&4'1F 1�'& &�&'(C1 �1�21 F;' &�&

&�' C&&& &�F(F;( &�11F21 &�FC1&F &�&424; �&�CF &�&'4(7 �&�F1 (;C &�&

&�' (&&& &�FF4'7 &�112(1 &�FC((1 &�&427F �&�&; &�&'44F �&�C( 7C2 &�1

&�' 1&&&& &�F(F41 &�11F(2 &�FC&71 &�&47&4 &�C; &�&'4'( �&�&; 1'&& &�C

&�' ;&&&& &�F4&24 &�11;;1 &�F;2&C &�&42'& &�&7 &�&'4'; �&�&4 F717 &�4

&�'( 1&&& &�FC771 &�1;&4( &�FF&(F &�&'&&1 �&�;1 &�11;F' �;�'( '27 &�&

&�'( C&&& &�FC771 &�1;&4( &�FF&(F &�&'&&1 �&�;1 &�11(11 �&�4' F&2 &�&

&�'( (&&& &�F4&7F &�11;17 &�F;4'7 &�&'&C4 &�17 &�11(14 �&�4F (2& &�1

&�'( 1&&&& &�F(2;C &�11C(2 &�F;';& &�&'&14 �&�&( &�11(22 �&�1; 1CF( &�;

&�'( ;&&&& &�F(F7' &�11FF2 &�FC&4F &�&'&;C &�&C &�11(22 �&�1; 17(1 &�2

&�'' 1&&& &�(;;(( &�&77F4 &�C77'' &�1;F'& �(�F2 &�1F&F7 �7�12 ''7 &�&

&�'' C&&& &�FC&C& &�1;C'; &�FF(27 &�1;7&1 �C�1; &�1(&7( �1�C' F1' &�&

&�'' (&&& &�F(F4; &�11F(2 &�FC&71 &�1C&2C �1�&4 &�1F''' �1�'( 424 &�1

&�'' 1&&&& &�C'1(4 &�1C771 &�F4'4C &�1C;77 &�(2 &�1(;&7 �&�(' 1&4( &�;

&�'' ;&&&& &�F4&4( &�11;;( &�F;21& &�1C1'7 �&�11 &�1(;11 �&�(2 1C12 &�(

+������ �� ����

�� %� ���������� ��� ,� *�"������

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 13: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

������ � �� ��� ��#� ��������� ��# �� ��-����� ���� ������ # � � �������

���� � �������

)� � ��� ��� ������ �� ����� �� ����������� � ��� �������� ������� ���

�� �� ����� ��� � �� ������� �� ���� ���������� �# ��� ��� � �������

��������� ���� �14�� ����� ���� � �!��� ������ � �� ���� ������� ���� ��

���������� ���� ����� �� ����������� �� ������ ��� ��� ��� ���� ������

��-������ � �������� � � ���� ����� � ��������� ���# �1&&&�� ��� ������������ ���� ����� �� ������ ���� �� ����� # �� ��������� ���� ��-������

������� ����������� �����<��� �� ������� ���� ���� �����������

@��� ���� �����<���� ����� �� � ��� �� ��� �!��� ������ ��� �� ��� �������

� ��� ���� �� ���#� ��� ���� ������ ��� � ��� ��# �������� ��� ����������

��� � 2 ����� � ����� �� ���� ��� ����� � ������:# ������ � ��� G�����

���!� �� � 1 3� # 1''2� = ������� �� ����� ������ � 6������ ��

,���������� ��� ����� �� �� ���� ������ 9������ �� �� ��� ������ �

����� �<������� ���� ����� �� ����� �!������ ��� � ������ �� ������� ���

������� ��#�> ���$ �� 8����� 1� ���������� ��� ,����� �� ���� �1'''��

����� ��� ����������� � �����# ����� ���� � ��� � 1&&& ,��� �� �

��������� =� �������� ���� ��� ���� ����������� $�� ��� ���� ���� #� ������

���� ������ ��� �� ������ ������� ���������� ��� �� � ���� �����

��� �� <���� ��>���� ������ �� ������

8�� ��� 11 ��������� � <������� �� � �� ��� ������ � �������� � ���

����� �� �� �� ���������� � ������� �� �� ��� ������ � ����� �������� �

��� � 2 ���� $�� �� ���� ����� ������� �� �� �� �11� = ��� ������� �� ����

� # �������� � ������� ���� ���#�� ���� � ��� �������� � � ���# ���

����� � �� ��� �� ����� �� ���� ��� ��>���� ����������� ���� �� �� �������

� � ����� � �� ����� � ���! ��� � ����� �1� � � � � 11� �� ������� ���

��������� ���� ��� ��� �� ��-������� = ��� ���� � ����������� �������

%�85. >� '����� ��������� ��������� ��� 6����� ��� ����� �&???��

=������� �#�� .�#� ���������#

5����� ������1&C 30H�

0�������1&C�

�� ���1&C 30H�

,��������� 9 4�� 74& � 17F 74& 11�( (4CCF&

,��������� ��� 9<���# J� J� ;�& 12;&&&&

,��������� -� ;' 7&& � 2 7&& �14�& �'42;7&,��������� ���C& 7C4 � 2& 7C4 7�& C7;&2&

,��������� 0���C& 7&& 0�� 2& 7&& F&�& ;F17&1;

6������ +�� 9<���# J� J� ;�( ;1&&&&&

6������ -� ;' '&& � 2 '&& �;7�& �11('C6������ -�; 42& � C14 42& ;;�( (1(&F41

6������ -�; 24& � C14 24& 2�( 1&;&11&

6������ 0���C1 24& 0�� F& 24& �1&�& �47'1'6������ 0���C1 7C& 0�� F& 7C& 1&�& 172142

���� � -2'� !�� 3 ,����� -444

(��� ������� �� ���������� ������������� ��

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 14: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

�� ������� �� ���� � �� �����# � ��� � �������� ��� ���������� # ���

������� ��>���� ������� � ���� ���������

B���� �� ����� � ������� �� �� �� ��� ���� ��� � ������ ���� ��� ��

���!� �� �������� � ��� ���������� � � �� ��� ���������

������ � � ���� �� � � �� �;&���

� � �� �� � �� �� �;1����� �����

� � �� � � �����$�� �;&� �� �;1�

�� �;;�

��� ��������� �;1� ��� �� � ������� �� ���� �� � ������ ��� ������ �� � ��

� �� � ��� ��� ���� ��� ����� �� ��� � ��������� ��� ���� ���� ���� ���� �$��

��� ������ �� ��� ������ ���������� ������ ��>���� ������� � �� ���

���� ��� �� ��� ������ � �;&� ������� ����� �������� ��� ���������� �#

������� �������

+�� � �� ��� ������ � ����� ������ ���� ���� � ��� ��������� � <������

�� �� � �� ��� ����� ������ � ������ �� ��# ����� ��� ��� �� �� ��� � ����

� ���� ����!� �� ��� ����� �� �� � ��� ����� ����� �� ���� ��� �� �� �� ��#

����� ��� #

� ��� �� � ���� ��� � ����� ��� �;C�

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

–194 –121 –48 –11 25 62

Size of loss (millions JPY)

–84–157

Prob

abili

ty

Normal approx.

Empirical

0�<*�. &� )�����!����� �� ������ ��� �� '����� ��������� ��� !��� ��� �� �����#� ������ �&444 ��������� ��������� ��� 6����� ��� ����� �&???��

+������ �� ����

�� %� ���������� ��� ,� *�"������

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 15: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

��� ����������� ����� � ��� ��� ���������� �������� �� ��������

����� �� � � �1� ���1�

���11����� �� � �� ���� ��� �;F�

��� ���� �� �� �� �� ���� � ��������� ���� ������� ;� �� ���� � �������

�� ����� �� ���� �� �� ���� �� ��� ���������� � � ����! ����� ���� �

����! ����

�� �����!����� ��� ������ � �� �������� ���� � ����� �1� � � � � �� ���������� # ��� ���� ����� �� �#

������ �� � � 1

��1� ������1

����� ��� � ��� �;(�

� �!������� ���� �� ���� ����! � ��� �� ��� ��������� ��������� �����0����� ��� ����� �� ��� ���������� � ������ �� ���� �� �� �� ��� � ����

�������� ��� �� �� ����� �� ���� ����������� ��� ������� �� � ����#

�!� ����� ���� ��� ����� � ������� ������������ ���� ��� ��� ������

���� ��� ���������� ��� ����� ���� �������� ��� ���������� ���� ��� �� ��� �������� ������� � � ������� � �

11 � � � ��� ���

��� 1� 1

��1� ������1

����� ����1� ����

�� � 1 � ����� ��� � � � &�

�� � &� 1� � ����� ��� � � � &�

�� � & � ����� ��� � � � &�

��

�;4�@� ���� ��� ������ � ������ � ������� ���� ���� �# *�#���� �1''1� ��

������� ����������� ���� ���� ����� � � &�'(� ����� ���� ��� �����

����� �� �� ��� �� ��� � ��� ����� �� 4(2 714 �� ; &;; &4&�

��� ���� �� �� ��� ����������� ������ ������ ����� �� � ���� ���

�������� �� ������� �� ��� ���� � � �1�� ��� ���� � � �;�� �� �� ����� ����������� � ��� � 7� ��� ������ ������ �� ������� ��� � ��� �� ��� ��� ����

���� ������� �# ,����� �� ���� �1'''� �# �������� ������ "������ �

�������� � � ��� � ���!� � ��� -��� ����������� � ����� �����? ��������

��� ���� ������� �� ��� �� ��� �������� ������������ � ��� � ������� �����

��� ��� 1&& ��������� �� $� 4 ������� ������ � ��� ��������� ����� ��

������ ���

8�� ������ ��������� �� ��� �#�� ��� % ���� ��� ������ � ��� ������ �

������ ���� � � F(&,B� 0����� == ������� ���� 8����� �� % ���� ���

������� � ��� ���� ��� ���� �� � �� ����������������2�������� ����� ���

��������� ���� �������� �� �# ������� ��� �# ������� 9��� �� ����

��� ��� �� ����� � �������� ����� ��� �� �� ���� ���� ��� � ��

����$��� # �������� ���� ��� � ������� ��� ������ ���� 8����� �� ?

�������� ���� ����������� ������� ���� ��#�� ��� ����� � ���� ������

)��� $����� ���� ��� ����������� ������ �� ����� ������ ���� �������

���� � -2'� !�� 3 ,����� -444

(��� ������� �� ���������� ������������� ��

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 16: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

��� ��� F � ��� 11 ���������� ���� ������ #� ��� ������ ����� ��

��������� � ���� ��# �� �������� � ��� � '� ��� ����������� ��� �� �����

��� �������� � 6������ -�; 42& �� 6������ 0���C1 24&� ��� ���

�������� � 6������ -�; 24& �� 6������ 0���C1 7C& ������ �� � #

� �������� ��� � �� � ���� = ��������� ���� ����������� ������� ��

������� ���� �� ��� ���������� ������ ��������� # �������� ��� ��� ��

���� = ���� ����� ��� $� ����� �<�� � �1 F&& &&& �� ��� $� �� ����<�� � C2 CCF�4� ����� �� ���� ��� ���� ���������� ����� ����

�� ��� � �1 ;&& &&& �� �� ��� � C4C ((4 ���� �� ' � ��� � 7�� 5�!

������� ������ � ��� ��������� ����� �� ��� �������� ���� ������� ����

F&&N7&& ��������� � ��� ������ � ������ � ������� �# *�#���� �1''1�� ������

�� ��� ��� ����� ����������� =� ���� ����� FN7 ������ ���� � % ���� ���

������ � ��� ������ � ������ ���� � � F(&,B� 0����� ==�

= ������� �� ��� ��� ������ � ��� �������� ������� ����� �� ����

���� ���������� �����<���� ��� ������� � ��� ������� �����������

%�85. @� 8��� ���� ��� ������������ ��� ��� ���� ��� ��� � ���� ������; ���������� ��� ����� �� � 4�?:��

=������� "��� ����� ��� ���

,��������� 9 4�� 74& 2CC2�(C �;&(';2 117C&F&

,��������� ��� �';4�&2C �117&&&& ((17';

,��������� -� ;' 7&& �17'27�4 �112&&&& ((C4'4

,��������� ���C& 7C4 FC71�;; �11(&&&& (F'&;;

,��������� 0���C& 7&& FC4C2�1 �11(&&&& (F;147

6������ +�� �1'4�142 �117&&&& ((17';

6������ -� ;' '&& �1;F'C' �1;&&&&& ('C&27

6������ -�; 42& 1''4F�' �1;;&&&& C7(4'7

6������ -�; 24& F2F(�;& �1;&&&&& C4C((4

6������ 0���C1 24& C1F;4�C �11;&&&& (C744;

6������ 0���C1 7C& 1'C(4�C �11(&&&& (C4(&&

%�85. ?� ������� ��������� ��� !��� ���� ��� ��� � ���� ������; �� ��������� ���� ������� ��� �������� ���� ������ ���� �� � 4�?:A ��� �� !��� ���� �$����

�& 944 444 ������ ���� �$���� 3>339�=��

=������� 0������ ������ ��

"��� �����

6������ -�; 42& ;;(&& ;;(&&

6������ -�; 24& 2(&& �(;26������ 0���C1 24& �1&&&& �1&&&&6������ 0���C1 7C& 1&&&& �1&&&&

+������ �� ����

�� %� ���������� ��� ,� *�"������

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 17: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

���� �� ���� �� ����� ���� � ������� � ��� ����� � ��������� ���� ��#

���� ���� ����������� ��������� �� ���� ��� ���� � ���# ���� ����� �

���������

���� �!��� � � ��� # ������ �# ��� ��#� ��� ����������# � ��� ���� ��� �

�������� ����� 0���� ��� ��� ���� �#�� ���� ���� �������� �� ��� ��� �������

����� �� ��� ���� ��� � � � &�'(� ��� ����� �� ����������� �� ��� $��� �� � ��� � 7� �� ������� ��� ����� �<�� �� �;&( ';2 ��� �� ��� �<�� ��1 17C &F&� ) ������� ��� ��� � ������� � ����1 ��� ����� �� � <������ ��

���� ���� � ���� ������� ��# &�'( � � ��� � ;&( ';2 �� ����� ���� $���� ����

�� ����� � �������� ��� ������� ��� ������� ����� �� ��� ���� � ��� ����� ���

��� $���� ��#� � ��� ����� � ��� ����� ����� ��� ��� � �� ���� ;&( ';2 ��

�� ��� ����� ����� ��� � ��� �������� � ��� � 1 17C &F&�

:� �('�5*)�'< �.6��B,

��� ����� ��������� � �� �������� �� ���� ������ �� �� ���� � ��� ��

����������� � ��� �� � ����� � ��� � ���� ���� @� ������ ���� ��� ��

�� �/���� # �������� ���� ���� ���������� �� ������� �����������

�����<���� ) ������� ���� #� ��� ������ �������� � # ���� ��� �����

��� �!�������� ������� ���� �� � �� ����� ��� ������� ���� ����@� ����������� ���� ��� �!��� �� ���� ��� �������� �������� �� �� ���� ���

����� �!��� �� ���� �� ����� # �� �������� �� ��� �>���� ���� ��

� ��������� ��������� G������� �!�������� ���� ��� �������� �� �����

���� ���� ��� ����� ���� �� �� �� �������� � ������� � � ��������� �

������� ������� � ������� ���� ���������� �����<��� �� ����� ��

������������

����� �� ���� �� ���� ���������� �� ��$���� � ��� ���������

��������� 8�� ������� ��� ��������� ���� ����� �� � -��� �����# �

�������� ������ �� �� �� �!��� 8����������� �!������ �� �� ���� ��

����������� ���� ��� ���� �� ���������� ���������� +���� ���������� ��

������� ����������� � �������� ���� ��� ��� ��� ������ ��������� � ���

������ ��� �������� �� �� ���� ����� )������� �������� ���� �� ��

�������� � ������� ���������� �� ������� ������� � ��� ������� ��#�

�//.')�C

���� �� ����� ����� �������� 1 �� ; �� ��� � ���� ��� ����� ���

�������� ���� ������� �� � � ��� ������ �!������� � ��� ��$���� �F� �

����� ��� @� �� # ���� � ��� ��������� ���� ���� �� �� �������� ���� ��������� �� ����� �� �<���� �� �� ����� ����� ������ ��� � ��� ������ � �� ��� ���

1 ��� ��# �� ������� ������� �� �� ��$�� �� ����� �� ����� ��� �� �� ����� �� ��� ��� �� � ���

����� � ��� ������� ���������

���� � -2'� !�� 3 ,����� -444

(��� ������� �� ���������� ������������� ��

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 18: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

� � ���� � ��� �� � � ��� ������� ��# ����� �����

�� �������

���� �� � &� �;2�

���� 1 3��� � (���� �� ���� � ���� ���� ������ ��� ����� ���� �� �

� ��� �� � ��� ���� � �� ����� ��������� ��������� �� ������� ����

����� ����

����� � ���� �� � 1� �;7�

.��� ���� ���� � ��� ��� 0��������� ;�1 � 5������ �� @����

�1''F�� �

.�� � ������ ,� = ���� � ��� ��$�� ���� � �� ����� �� � �F�� �� ����������� ��� +���� 1 ���� ����� �� �� ����! �� �������� # ��>������� ����� ����������

������ �� � 1 �1� ���1���� �� � 1� � �1� ���1���� �� � ��� �C&�

�������� ��� �� ��� � � ���� ����� ��� ������ � ����� ��� ����� ��� ������������ ��� ��� ���� � �4�� ��� ������� # ����� �� ����� ���� �� � � � &�

���# ��� � �����# � ���� ������ � ������� �� ���� �� �� �������� ������������ � � ���� ���� 1 �� � � � �� ���� & �� � � ��� ���� ������#�� �� ��� �� ����# � ��� ����� ���� � � �2�� = ������� ��� ���� �� ����

�����

����� �� � ����� ������ � ����� �1� ���1�

����

� ��� �� � ������ ���� ���

"�� ��� ������ ���� �<�� �

�� �����������

� ��� �� � ���������� ��

��

� �����������

� ��� ������ ��� ������

� �����������

���� ���

����� ��� $��� ������ � ��� ����� �� �# ��$���� �1� ������� �� ��� ������� 1��

��� �����

��# ������ � �;2�� ,�������� �

��� �����

� � �� �����

�����

����� �� � ����� �1� ���1�1� ������� � ������1� ��� � ������

���� ��$��� ��� ���� � �� �� ��� � �(� �� ���� ���� ��� ���� �

������� 1� �

.�� � ������ ;� ��� ����� � ����� ��������� �1&�� ��� � ������# ���

��<����� � ��� ���� � �� ����� � ������� 1 �� ��� ��� ���� ���

���������� � ����� �� ���� ������� �� ��� �� � �� � �� �� ������� ���

+������ �� ����

�� %� ���������� ��� ,� *�"������

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 19: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

�# $��� �������� ���� � � � �� $!�� � �� ��� �������� ��� ���� �

���� � � ��

3����$����� � ��� ����!��# � ��� ������ ���� ��� ���������� ���� ����� ���� ����! ���� ������� �� ��� �� ������� ��� ������� � ��� �� � �� � ���

���� � �F� �� ����� �� �� ���� ����! ���� ������� �� ��� ��� 8�� ���� �� ����

������� �� ��� ���������� � ��� ����� ��� �� �� � ��� �� � � ���� ���

���������� ����! ����� �� �� ��� �# ��� �� �� ���� � ������ ���1'2&� ������� (�1�� �� �� ����! �� �� �� ��� ����� ��� �� �� � ��� �� � � ������!� ��� ����� �� ���� ��� � ��� �� �� ����! ���� ������� �� �� ��� ����!��#

� ��� ����� ����� � ��� ��� ��� ��� ���� �������� � �!��������� �

�� ��� ����! ����� � ��� ������ ������ �� ����� �$��# ����������

���������� ���� ������� �� �� � ����� ������ �� ���� �� � � ����! �����

� ��� ������� ������ � ������� �� 1'2&� ��� C7NC'�� �

�������������

@� ��� ������ �� �� �� �������� ��� �������� ������� �!�������� �� ���

�!��� � � ��������� � ��� ������ ��� �� ��� ������ �������

���������� �� ��� ����� �� ������������ @� � �� ��� �� ���� ��� ��������

����� � ) ���������� =�� �� ��� ����� ���������� �� �������� ���� ��

�������� ������� �!�������� ���� ��� G����� ����� �� � �������

�.0.�.'�.,�.0.�.'�.,

)������� 8�� �� *�#����� 5� �1'''�� ����� ���� ����������� ���� �������� �� ���

������� ��������� �������� ������ ''�'� =59 .��������� *�������# � 8 ������

)������ 0�� .� ��� 8�� 9���� 3� ,�� �� B����� .� �1''2�� ������ ������� #� !��4�

���11�� 47N21�

)������ 0�� .� ��� 8�� 9���� 3� ,�� �� B����� .� �1'''�� ������ �������� � �����

% ���� ��� )�� ���� �� ;&CN;;7�

"����� �� 5� �1''(�� �)�% 5�������� ��� ��������� )�� ��� �� ���� 5��� � ���(��

1;N;F�

"����� 3� �� �1''(�� O����N,��� �� � ������� ���������� �� ����� ������� �������

������ 'F�1'� .�������� � =������� �� ��������� 9�������� *�������# �

,�������

"����� 3� ��� �� +������!� 8� �1''2�� "��������� � +��� ���� .��� ������ 5�������

"�# �� 0� 0�� "������� ,�� �� K �������� 0� �1''2�� ,��� �� � ������� �� �������#

������� 5��� � 6����� 7�� ���� �� ����� ���7J'�� 1;42N1C;1�

"���#� G�� �� ����� .� �1'''�� ����� ���� � � ��������� ��� ����� ��% ) ����

����#� �89: !��� ��� ;� ������ ��1�� 'N;'�

���� � -2'� !�� 3 ,����� -444

(��� ������� �� ���������� ������������� ��

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 20: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

.����� �� 5� �1''(�� ������ ����� �� ��� ������� ) ���������� ������� 0���� 5������

'(N&1�

.����� �� 5� �� 6��� )� 3� �1'';�� ������� ���� � �� ��� ������ ������

����������� � ����� � ������� ������ +��� ���� %��� �� 7 � �� ����� ��

1(1N1(2�

.�/�� .�� �� 0�� 3� �1''2�� ) �������� � �� ����������� 5��� � 7���� ������ ��

2NF'�

9��������� 0�� 6 ���� ����� 5�� �� ,������� �� �1''2�� 6����� 6����� �� )�� ��� ��

"���� ���� 5�������

9��������� 0�� ������� 5� =�� �� 5����������#� K� �1'''�� 9!����� �� �� �����# �� �

���� �������� ��� � <��� ������ � ���� �� 5��� � ��;�� C;NF1�

9��� ���� H��� �� @���� �� 3��"� ������ �1'77�� <������ ������'��� �� +��� ����

:�����& ���� 5������ 5����� � ���������� ,����������� �� � 1&� 5�������

3����� 0� �1''4�� �� � !��4� � <�� =����� �4 �� %� ������ 7���� ����� !��4� =���

0�������� 0�� ������

30 ,���� �1''4�� !��4%������ ������� % �� � F�� ��� 30 ,����� G�� H����

6� � 0�� �� @� ���� 5�@� �1''(�� +��� ���� .��� ������ @� �#�

6���� ��� +������ 9�� �� 0������� +� �1''7�� ! �� :�����& ���� 0��������� � ���

;� =�������� @������� � 0�������� �� .�������� ������ 1NC 3� # 1''7�

6�� H� 5�� �� 6����� )� =� �1''4�� +��� ���� .��� ����� .����� ���� .�� �����

�� ;� ���� )�������� @� �#�

6��� B�� �� H�������� B� �1''1�� ,�� ���� ��� �������� ����� �� �����������

���� �� ��� ��� ������ �� ���#� 5���� ,������ % � ������ +������� �� (1'N(C1�

6����� )�� ,����� ������� +�� ����� .�� �� ,����� � A� �1''7�� ,������� ����� ��

���� ���� <���� ,��� �� � �������� �89: !��� ��� ;� ������ ��1�� 12N;(�

+�������� �� �1''2��� B�� ����� �� ������� 0��� =� !��4� ���C�� F;NF(�

+�������� �� �1''2��� B�� ����� �� ������� 0��� ==� !��4� ���(�� C7NF;�

+����� )�� �� 6 ������ 0� �1''7�� 9!����� ������� ������� ����� �� ������ �����

� ������� 5��� � .���� % � ������� ���1�� 21N2'�

,�6�#� ��� �� 6����� �� 9� �1''4�� ��� �� � �������� �����<��� ���� �� )�� ����

5������� �� 5#����� =�������� 5��� ����� 5���������

,��������� B� ,� �1'(;�� 0���� �� �� ������ 5��� � )�� ���� �1�� 22N'1�

,������� B�� �� ����� .� �1'''�� "�#�� ���% 8��� �������� ���� �� ������

����� �89: !��� ��� ;� ������ ��;�� (N;&�

0:��� K� �� �1''4�� :�����& ��� � +��� ���� %���� ��� "����� �� =������

+��� ��� �� :�����& ���� 6 �����

0:��� K� �� �;&&&�� 5��� ������� � ��� �� ���������� �� ��� �������� �� ������

����� =% .�� ������� ����� ���� :�����& ���� %������ �� ����� ���� ����

5� *�#������ 6 �����

0������� )� �1''(�� +��� ���� .��� ������ 6 �����

+������ �� ����

�� %� ���������� ��� ,� *�"������

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com

Page 21: R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev - Optimization of ... · ˙12˛ˇ ! # ˙01˛ ˘ ˘ ˆ˝ ˆ˝ˇ ˘ ˘ ˘ 0+9l ˘ ˘ c&&,b0 == ˇ = ˘ ˘

0����� @� B�� ����� ��#� 5� )� ������ ��� @� ��� �� 8 ���#� "� 0� �1'';�� <������

!������ �� �� �������� *�������# 0�����

0�������� ,� �1''2�� 9�� ����� �� �� �� ���� ������� ������ 5��� � )�� ��� +�������

!��� ���� ���;JC�� ;&1N;F;�

������ ��� �� �� �1'2&�� ����� �� ����� 0������ ,����������� �� � ;7� 0������

*�������# 0�����

5������� )� �� @����� H� �1''F�� G���>�������� ��# � ��� �����#������ ����� �

�������� ���� �#���� �#������ "666 �� �� ����� � ���� ��� ����� ���

12&2N1211�

5���� G� A� �1'7(�� %�����& ��� %����� �� <��7�������� �� )�������� 5�������

5����� 6� �1''4�� �� ���������� �� ���������� �� ���� ��������� <�� 6�� ��

6����� !������ 5���J���� CN1C�

5��������� 8� �1''4�� ���� �� �� ����������� 6���� � % � ������ 5��� � ���4��

41;N4;1�

*�#����� 5� �1''1�� G�� ������ �������� � �������� �� ���>������ �����������

���� ���� 5��� � :�����& ��� ����� �� ����� ����� ��;�� C('NC77�

*�#����� 5� �1''(�� .���������� � ������� ��# ������ �� ���� ��� �������� ��� � �

:��� ���� !��� ���� �� ;72NC11�

*�#����� 5� �;&&&�� ������� �� ����������% ����������� � �������� �� ��� ��������

)�� ��� 6���������� <���� ��� 8������#� 1N(�

H���� ,��� �1''7�� ) �����! ����� �� �� ����� �� � ���� ���� ����������

�� ����� % � ������ +������� ���(�� 42CN47C�

A����� 5� )� ����� �1''4�� )�� ��� :�����& ���� �������� *�������# 0�����

A������ @� ��� �� ,� ��#� 3� ,� ������ �1''7��3������ ����� �� 8� ����� %������

�������� *�������# 0�����

���� � -2'� !�� 3 ,����� -444

(��� ������� �� ���������� ������������� ��

Implemented in Portfolio Safeguard by AOrDa.com