r a n g k u m a n d a n s o a l l a t i h a n u u s g a n ... · ʃcos = sin ʃ tan . sec = sec ......

The essence of mathematics lies in its freedom. / J’s Mathematics Tutorial / 2017 1

R a n g k u m a n d a n S o a l L a t i h a n – U U S G a n j i l

Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Yang dijumlahkan/dikurangkan adalah komponen matriks di posisi

sama.

Bisa dilakukan hanya kalau ordo matriksnya sama.

Contoh :

1. (1 23 4

) + (5 67 8

) = (1 + 5 2 + 63 + 7 4 + 8

) = (6 810 12

)

Perkalian Matriks

Aturan : baskom (baris × kolom)

INGAT!!! Misal matriks A ordo 𝒑 × 𝒒 dan matriks B ordo 𝒓 × 𝒔 → A dan

B bisa dikalikan jika 𝒒 = 𝒓 → hasilnya matriks ordo 𝒑 × 𝒔.

Contoh :

1. (1 23 4

) (56) = (

1 × 5 + 2 × 63 × 5 + 4 × 6

) = (1739)

2 × 2 2 × 1 2 × 1

2. (1 23 4

) (5 6) = tidak bisa dikalikan

2 × 2 1 × 2

Transpose Matriks

Aturan : baris jadi kolom / ke kanan jadi ke bawah

Contoh :

1. (1 2 34 5 6

)𝑡

= (1 42 53 6

)

Determinan Matriks

Rumus : |𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

INGAT!!! Matriks yang punya determinan hanya yang bentuknya

persegi.

Contoh :

1. |1 23 4

| = 1 × 4 − 2 × 3 = −2

2. Determinan Matriks Ordo Tiga

|1 2 3−1 0 −13 2 1

|1 2−1 03 2

= 1 × 0 × 1 + 2 × (−1) × 3 + 3 × (−1) × 2 −

3 × 0 × 3 − 1 × (−1) × 2 − 2 × (−1) × 1

= −8

Invers Matriks

Rumus : (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

)−1

=1

𝑑𝑒𝑡(𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

)

INGAT!!! Matriks yang punya invers hanya yang bentuknya persegi.

Contoh :

1. (1 23 4

)−1

=1

−2(4 −2−3 1

) = (−2 13

2−1

2

)


2. Invers Matriks Ordo Tiga

(1 2 3−1 0 −13 2 1

)

−1

= ………

#1 Cari determinannya → det = −8

#2 Buat matriks ‘bantuan’ dengan cara :

(+ − +− + −+ − +

)

↓ tentukan determinan matriks-matriks kecil

yang selain baris dan kolom anggota matriks tersebut

(

+ |0 −12 1

| − |−1 −13 1

| + |−1 03 2

|

− |2 32 1

| + |1 33 1

| − |1 23 2

|

+ |2 30 −1

| − |1 3−1 −1

| + |1 2−1 0

|)

↓

(2 −2 −24 −8 4−2 −2 2

)

#3 Buat transpos dari matriks ‘bantuan’

(2 −2 −24 −8 4−2 −2 2

)

𝑡

= (2 4 −2−2 −8 −2−2 4 2

)

#4 Invers =1

𝑑𝑒𝑡(𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 #3)

= 1

−8 (2 4 −2−2 −8 −2−2 4 2

) =

(

−1

4−1

2

1

41

41

1

41

4−1

2−1

4)

Persamaan Matriks

Rumus : 𝐴𝑋 = 𝐵 → 𝑋 = 𝐴−1𝐵

𝑋𝐴 = 𝐵 → 𝑋 = 𝐵𝐴−1

Contoh :

1. 𝑋 (7 45 3

) = (3 21 1

)

𝑋 = (3 21 1

) (7 45 3

)−1

= (3 21 1

) [1

1(3 −4−5 7

)]

= (−1 2−2 3

)

Program Linier

Pertidaksamaan → Grafik

Aturan : kandang ayam (tipot sb-𝑥 dan sb-𝑦) ; titik uji untuk

menentukan HP → (0,0)

Grafik yang harus dihafalkan :

𝑦 = 𝑏 𝑥 = 𝑎

𝑦 = 𝑥

𝑦 = −𝑥


Contoh :

1. Grafik dari 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 6

x 0 2 y 3 0

Grafik → Persamaan

Aturan : kalau tipot sb-𝑦 (𝟎, 𝒂) dan tipot sb-𝑥 (𝒃, 𝟎) → 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒂𝒃

→ pakai titik uji untuk tahu tanda ≤ / ≥ (biasanya (0,0))

Grafik yang harus dihafalkan → sama dengan bagian sebelumnya

Contoh :

1. Pertidaksamaan dari grafik berikut ini adalah ………

Tipot nya (0,9) dan (3,0)

→ 9𝑥 + 3𝑦 = 27 → titik (0,0)

termasuk dalam HP,

9.0 + 3.0 < 27

→ 9𝑥 + 3𝑦 ≤ 27

Nilai Optimum Fungsi Tujuan

Aturan : Gambar semua grafik → pilih titik-titik sudut HP →

masukkan ke fungsi tujuan, pilih yang minimum / maksimum.

INGAT!!! Ada beberapa HP yang tidak mempunyai nilai maksimum

dan atau minimum.

Contoh :

1. Tentukan nilai maksimum dari fungsi 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 yang

memenuhi sistem pertidaksamaan 3𝑥 + 𝑦 ≤ 6, 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4,

sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦.

#1 Gambar grafiknya (gunakan aturan kandang ayam)

#2 Tentukan titik sudut HP

𝑂(0,0) ; 𝐴(2,0) ; 𝐶(0,2)

Titik B adalah perpotongan 3𝑥 + 𝑦 = 6 dan 𝑥 + 2𝑦 = 4

→ gunakan substitusi-eliminasi → diperoleh 𝐵 (8

5,6

5)

#3 Masukkan ke fungsi Z

𝑂(0,0) → 𝑍 = 0 + 0 = 0

𝐴(2,0) → 𝑍 = 2 + 0 = 2

𝐵 (8

5,6

5) → 𝑍 =

8

5+6

5=14

5 → nilai maksimum Z

𝐶(0,2) → 𝑍 = 0 + 2 = 2

3

2

Titik (0,0) memenuhi pertidaksamaan

→ masuk daerah HP

HP


Integral

Integral Biasa – Aljabar

Aturan : pangkat +1 → ×1

𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡

INGAT!!! ① Bentuk aljabar tidak bisa diintegralkan langsung kalau

ada perkalian rumit / pembagian rumit / bentuk pangkat rumit

→ harus pakai metode lain ② Ubah bentuk akar jadi pangkat.

Contoh :

1. Tentukan nilai dari

∫𝑥−3 + 2√𝑥 𝑑𝑥

∫𝑥−3 + 2√𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑥−3 + 2𝑥12 𝑑𝑥

=1

−2𝑥−2 + 2.

2

3𝑥32 + 𝑐 = −

1

2𝑥2+4

3𝑥√𝑥 + 𝑐


∫

𝑥2 −3

√𝑥𝑥

𝑑𝑥

∫

𝑥2 −3

√𝑥𝑥

𝑑𝑥 = ∫1

𝑥(𝑥2 − 3𝑥−

12 ) 𝑑𝑥

= ∫𝑥 − 3𝑥−32𝑑𝑥

=1

2𝑥2 − 3. (−2)𝑥−

12 + 𝑐 =

1

2𝑥2 +

6

√𝑥+ 𝑐

Integral Biasa – Trigonometri

Rumus dasar :

ʃ sin = − cos ʃ − cotan . cosec = cosec

ʃ cos = sin ʃ tan . sec = sec

ʃ sec2 = tan ʃ − cosec2 = cotan

Rumus trigonometri yang bisa digunakan :

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1

tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥

sin2 𝑥 =1 − cos2𝑥

2

cos2 𝑥 =1 + cos 2𝑥

2

2 sin𝐴 cos𝐵 = sin(𝐴 + 𝐵) + sin(𝐴 − 𝐵)

2 cos𝐴 sin𝐵 = sin(𝐴 + 𝐵) − sin(𝐴 − 𝐵)

2 cos𝐴 cos𝐵 = cos(𝐴 + 𝐵) + cos(𝐴 − 𝐵)

−2 sin𝐴 sin𝐵 = cos(𝐴 + 𝐵) − cos(𝐴 − 𝐵)

Jangan lupa untuk menghafal rumus trigonometri lainnya.

INGAT!!! Bentuk trigonometri tidak bisa diintegralkan langsung

kalau ada perkalian trigono / pangkat rumit / sudut beda → harus

diubah bentuknya / pakai metode lain.

Contoh :


∫sin 7𝑥 + sec2 3𝑥 𝑑𝑥

∫sin 7𝑥 + sec2 3𝑥 𝑑𝑥 = −1

7cos 7𝑥 +

1

3tan 3𝑥 + 𝑐


∫cos 5𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

∫cos 5𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = ∫1

2(sin 6𝑥 − sin 4𝑥) 𝑑𝑥

= ∫1

2sin 6𝑥 −

1

2sin 4𝑥 𝑑𝑥

=1

2. (−

1

6cos 6𝑥) −

1

2. (−

1

4cos 4𝑥) + 𝑐

= −1

12cos 6𝑥 +

1

8cos 4𝑥 + 𝑐


Integral Substitusi

Aturan : yang dimisalkan (jadi u) adalah yang akan diturunkan

INGAT!!! Metode integral substitusi hanya bisa dilakukan jika ada

bentuk turunan dari u (du).

Terkadang, ada soal yang perlu disubstitusi lebih dari 1 kali.

Contoh :


∫3𝑥(𝑥2 − 2)2 𝑑𝑥

Misalkan 𝑢 = 𝑥2 − 2 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥 → 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

2𝑥

∫3𝑥(𝑥2 − 2)2 𝑑𝑥 = ∫3𝑥. 𝑢2.𝑑𝑢

2𝑥

= ∫3

2𝑢2𝑑𝑢 =

1

2𝑢3 + 𝑐 =

1

2(𝑥2 − 2)3 + 𝑐


∫sin3 3𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥

Misalkan 𝑢 = sin 3𝑥 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 3 cos 3𝑥 → 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

3 cos 3𝑥

∫sin3 3𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑢3. cos 3𝑥 .𝑑𝑢

3 cos 3𝑥

= ∫1

3𝑢3𝑑𝑢 =

1

12𝑢4 + 𝑐 =

1

12sin4 3𝑥 + 𝑐

Integral Parsial

Aturan : tabulasi / tabel → yang satu diturunkan, yang satu

di’naik’kan → di depan suku yang diturunkan diberi + / − lalu

dikalikan

INGAT!!! Yang mau diturunkan harus bisa jadi 0

Contoh :


∫3𝑥(𝑥 − 2)4 𝑑𝑥

Perhatikan bahwa (𝑥 − 2)4 kalau diturunkan supaya jadi 0 butuh 4

kali turunan → ribet. Jadi, yang akan diturunkan adalah 3𝑥.

+ 3𝑥 (𝑥 − 2)4

− 3 1

5(𝑥 − 2)5

+ 0 1

6(𝑥 − 2)6

↓ turun

↓ naik

= 3𝑥.1

5(𝑥 − 2)5 − 3.

1

6(𝑥 − 2)6 + 𝑐 =

3

5𝑥(𝑥 − 2)5 −

1

2(𝑥 − 2)6 + 𝑐


∫𝑥2 sin 𝑥 𝑑𝑥

Perhatikan bahwa sin 𝑥 kalau diturunkan tidak akan bisa jadi 0. Jadi,

yang akan diturunkan adalah 𝑥2.

+ 𝑥2 sin 𝑥 − 2𝑥 −cos 𝑥 + 2 −sin 𝑥 − 0 cos 𝑥

↓ turun

↓ naik

= 𝑥2. (− cos 𝑥) − 2𝑥. (− sin 𝑥) + 2 cos 𝑥 + 𝑐

= −𝑥2 cos 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝑐


Integral Substitusi Trigonometri

~ TIDAK IKUT UUS ~

Luas dan Volume

Aturan : gambar grafik → pilih daerah tertutup → tentukan batas-

batasnya → hitung

Grafik yang harus dihafalkan :

Selain grafik di atas, cara menggambarnya adalah :

a. Linier

Gunakan aturan kandang ayam (lihat bab Program Linier)

b. Kuadrat

Langkah-langkah :

#1 Tentukan tipot sb-𝑥

#2 Kalau 𝑎 > 0 → hadap ke atas, kalau 𝑎 < 0 → hadap ke bawah

#3 Gambar sketsanya

Contoh :

1. Grafik 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 − 4

#1 𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0

(𝑥 − 4)(𝑥 + 1) = 0

𝑥 = 4 atau 𝑥 = −1

#2 𝑎 = 1 > 0 → hadap ke atas

#3

c. Grafik 𝒙 = …

Langkah-langkah :

#1 Gambar sketsa 𝑦 = …

#2 Rotate grafik 90° searah jarum jam terhadap (0,0)

Contoh :

1. Grafik 𝑥 = 𝑦2

#1 #2

𝑦 = 𝑥

𝑦 = −𝑥

𝑦 = 𝑥2

𝑦 = −𝑥2

𝑦 = 𝑥3

𝑦 = −𝑥3

𝑦 = √𝑥


Aturan dan Rumus Luas :

dalam 𝒅𝒙 (soal normal) dalam 𝒅𝒚

𝐿𝑥 = ∫ … 𝒅𝒙

𝑏2

𝑏1

𝐿𝑦 = ∫ … 𝒅𝒚

𝑏2

𝑏1

fungsi → 𝑦 = … fungsi → 𝑥 = … batas (𝑏1 dan 𝑏2) → sumbu-𝑥 batas (𝑏1 dan 𝑏2) → sumbu-𝑦

𝐿𝑥 = ∫ (𝑎𝑡𝑎𝑠) − (𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ) 𝒅𝒙

𝑏2

𝑏1

𝐿𝑦 = ∫ (𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛) − (𝑘𝑖𝑟𝑖) 𝒅𝒚

𝑏2

𝑏1

Aturan dan Rumus Volume :

diputar mengelilingi sb-𝒙 diputar mengelilingi sb-𝒚

𝑉𝑥 = ∫ … 𝒅𝒙

𝑏2

𝑏1

𝑉𝑦 = ∫ … 𝒅𝒚

𝑏2

𝑏1

fungsi → 𝑦 = … fungsi → 𝑥 = … batas (𝑏1 dan 𝑏2) → sumbu-𝑥 batas (𝑏1 dan 𝑏2) → sumbu-𝑦

𝑉𝑥 = ∫ (𝑎𝑡𝑎𝑠)2 − (𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ)2 𝒅𝒙

𝑏2

𝑏1

𝑉𝑦 = ∫ (𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛)2 − (𝑘𝑖𝑟𝑖)2 𝒅𝒚

𝑏2

𝑏1

Contoh :

1. Luas, volume diputar sb-𝑥, dan volume diputar sb-𝑦 daerah

yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥2 dan 𝑦 = 𝑥

Grafik :

Batas-batasnya adalah tipot antar grafik.

Aturan tipot antar grafik : 𝒚 = 𝒚.

𝑦 = 𝑦

𝑥2 = 𝑥

𝑥2 − 𝑥 = 0

𝑥(𝑥 − 1) = 0

𝑥 = 0 atau 𝑥 = 1 → batasnya (sb-𝑥) dari 0 sampai 1

𝐿 = ∫𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥

1

0

= [1

2𝑥2 −

1

3𝑥3]

0

1

= (1

2−1

3) − 0 =

1

6 𝑆𝐿

𝑉𝑥 = ∫(𝑥)2 − (𝑥2)2 𝑑𝑥

1

0

= ∫𝑥2 − 𝑥4 𝑑𝑥

1

0

= [1

3𝑥3 −

1

5𝑥5]

0

1

= (1

3−1

5) − 0 =

2

15 𝑆𝑉

Untuk menghitung volume diputar sb-𝑦 :

Batas yang digunakan adalah batas sb-𝑦

Dari batas sb-𝑥 (0 dan 1), kita masukkan ke salah satu fungsi, misal

𝑦 = 𝑥2. Diperoleh hasilnya (batas sb-𝑦) berturut-turut 0 dan 1.

Fungsi harus dalam 𝑥 = …

𝑦 = 𝑥2 → 𝑥 = √𝑦

𝑦 = 𝑥 → 𝑥 = 𝑦

𝑉𝑦 = ∫(√𝑦)2− (𝑦)2 𝑑𝑥

1

0

= ∫𝑦 − 𝑦2 𝑑𝑥

1

0

= [1

2𝑥2 −

1

3𝑥3]

0

1

= (1

2−1

3) − 0 =

1

6 𝑆𝑉

𝑦 = 𝑥2

𝑦 = 𝑥


Aplikasi dalam Grafik

Aturan :

Keterangan pada Soal Bentuk Matematika melalui titik (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥) = 𝑦 turunan pertama 𝑑𝑦

𝑑𝑥= ⋯

𝑓′(𝑥) = ⋯

titik stasioner di (𝑥, 𝑦) titik balik di (𝑥, 𝑦)

𝑓′(𝑥) = 0

grafik naik 𝑓′(𝑥) > 0 grafik turun 𝑓′(𝑥) < 0 gradien garis singgung di (𝑥, 𝑦)

𝑚 = 𝑓′(𝑥) = ⋯

turunan kedua 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= ⋯

𝑓′′(𝑥) = ⋯

titik belok di (𝑥, 𝑦) 𝑓′′(𝑥) = 0

Contoh :

1. Diberikan sebuah fungsi 𝑓(𝑥) dimana mempunyai titik

stasioner di (1,1) dan 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 𝑎. Tentukan 𝑓(2).

Titik stasioner di (1,1) → 𝑓′(1) = 0 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 𝑎 → 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 𝑎

Dari 2 persamaan di atas, diperoleh

𝑓′(1) = 2.1 + 𝑎 = 0 → 𝑎 = −2. Jadi, 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑐. Dari soal diketahui bahwa grafik melalui

titik (1,1) → 𝑓(1) = 12 − 2.1 + 𝑐 = 1 → 𝑐 = 2. Jadi,

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 2.

𝑓(2) = 22 − 2.2 + 2 = 2.

Transformasi Geometri

Transformasi 1 Kali

Rumus :

Jenis Transformasi Matriks Hasil Translasi

𝑇 = (𝑎𝑏) (

𝑥′𝑦′) = (

𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏)

Refleksi

titik (0,0) (𝑥′𝑦′) = (

−𝑥−𝑦)

titik (𝑎, 𝑏) (𝑥′𝑦′) = (

2𝑎 − 𝑥2𝑏 − 𝑦

)

sb-𝑥 / 𝑀𝑦=0 (𝑥′𝑦′) = (

1 00 −1

) (𝑥𝑦)

sb-𝑦 / 𝑀𝑥=0 (𝑥′𝑦′) = (

−1 00 1

) (𝑥𝑦)

garis 𝑥 = 𝑎 / 𝑀𝑥=𝑎 (𝑥′𝑦′) = (

2𝑎 − 𝑥𝑦

)

garis 𝑦 = 𝑏 / 𝑀𝑦=𝑏 (𝑥′𝑦′) = (

𝑥2𝑏 − 𝑦)

garis 𝑦 = 𝑥 / 𝑀𝑦=𝑥 (𝑥′𝑦′) = (

0 11 0

) (𝑥𝑦)

garis 𝑦 = −𝑥 / 𝑀𝑦=−𝑥 (𝑥′𝑦′) = (

0 −1−1 0

)(𝑥𝑦)

Rotasi

𝛼° , pusat (0,0) / 𝑅(𝑂,𝛼°) (𝑥′𝑦′) = (

cos 𝛼 −sin 𝛼sin 𝛼 cos 𝛼

) (𝑥𝑦)

𝛼° , pusat (𝑎, 𝑏) (𝑥′𝑦′) = (

cos 𝛼 −sin 𝛼sin 𝛼 cos 𝛼

) (𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏) + (

𝑎𝑏)

Dilatasi

skala 𝑘 , pusat (0,0) / [𝑂, 𝑘] (𝑥′𝑦′) = (

𝑘 00 𝑘

) (𝑥𝑦)

skala 𝑘 , pusat 𝑃(𝑎, 𝑏) / [𝑃, 𝑘] (𝑥′𝑦′) = (

𝑘 00 𝑘

) (𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏) + (

𝑎𝑏)

Transformasi (𝑥′𝑦′) = (

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (𝑥𝑦)


Contoh :

1. Bayangan 𝑀(2,−6) oleh dilatasi [𝐴, 3] dimana 𝐴(3,4)

(𝑥′

𝑦′) = (

3 00 3

) (2 − 3−6 − 4

) + (34)

= (3 00 3

) (−1−10

) + (34) = (

−3−30

) + (34) = (

0−26

)

Jadi, 𝑀′(0,−26).

2. Bayangan Garis

Bayangan 𝑦 = 3𝑥 − 7 oleh 𝑅(𝑂,90°)

#1 Masukkan matriks yang sesuai

(𝑥′𝑦′) = (

cos 90 − sin90sin 90 cos 90

) (𝑥𝑦) = (

0 −11 0

)(𝑥𝑦) = (

−𝑦𝑥)

→ 𝑥′ = −𝑦 dan 𝑦′ = 𝑥

#2 Ubah menjadi 𝑥 = … dan 𝑦 = …

𝑥′ = −𝑦 → 𝑦 = −𝑥′

𝑦′ = 𝑥 → 𝑥 = 𝑦′

#3 Masukkan ke persamaan awal

𝑦 = 3𝑥 − 7

−𝑥′ = 3𝑦′ − 7 → hasil : −𝑥 = 3𝑦 − 7

Transformasi > 1 Kali

Aturan :

khusus translasi → 𝑇1 ∘ 𝑇2 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝑇1 +𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝑇2

selain translasi → 𝑇1 ∘ 𝑇2 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝑇1 ×𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝑇2

𝑇1 lanjut 𝑇2 → 𝑇2 ∘ 𝑇1

Contoh :

1. Bayangan dari 𝑃(3,4) oleh transformasi 𝑇2 ∘ 𝑇1 dimana 𝑇1 =

(2 13 2

) dan 𝑇2 = (−2 51 −3

)

𝑇𝑡𝑜𝑡 = 𝑇2 ∘ 𝑇1 = (−2 51 −3

)(2 13 2

) = (11 8−7 −5

)

(𝑥′

𝑦′) = 𝑇𝑡𝑜𝑡 × (

34) = (

11 8−7 −5

) (34) = (

65−41

)

Jadi, 𝑃′(65,−41).

Luas

Rumus :

Jika ada bangun ABC lalu ditransformasikan oleh 𝑇 sehingga menjadi

A’B’C’, maka

𝐿𝐴𝐵𝐶 = 1

2{|𝐴𝐵| + |

𝐵𝐶| + |

𝐶𝐴|} 𝐿𝐴′𝐵′𝐶′ = |𝑇| × 𝐿𝐴𝐵𝐶

INGAT!!! Jika bangunnya bersisi > 3, gambar terlebih dahulu

koordinat masing-masing titik sudutnya di bidang Cartesius untuk

menentukan urutannya.

Contoh :

1. Diketahui segi-4 PQRS dengan 𝑃(2,1), 𝑄(8,1), 𝑅(8,5), 𝑆(2,5)

PQRS akan ditransformasi menurut matriks (2 51 3

)

𝐿𝑃𝑄𝑅𝑆 = 1

2{|𝑃𝑆| + |

𝑆𝑅| + |

𝑅𝑄| + |

𝑄𝑃|}

=1

2{|2 12 5

| + |2 58 5

| + |8 58 1

| + |8 12 1

|}

=1

2{8 + (−30) + (−32) + 6} =

1

2. |−48| =

1

2. 48 = 24 𝑆𝐿

P Q

S R

Dari gambar di samping,

Mulai dari P, lalu searah

jarum jam, jadi

urutannya P, S, R, Q.


𝐿𝑃′𝑄′𝑅′𝑆′ = |𝑀| × 𝐿𝑃𝑄𝑅𝑆

= |2 51 3

| × 24 = 1 × 24 = 24 𝑆𝐿

Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Yang dijumlahkan/dikurangkan adalah komponen vektor di posisi

sama.

Contoh :

1. �⃗� = (12), �⃗⃗� = (

34)

�⃗� + �⃗⃗� = (1 + 32 + 4

) = (46)

Perbandingan Vektor dan Koordinat

Rumus :

𝐴𝐵 ∶ 𝐵𝐶 = 𝑚 ∶ 𝑛

𝐴𝐶 ∶ 𝐶𝐵 = (𝑚 + 𝑛) ∶ (−𝑛)

Misalkan 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵), 𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶), maka

𝑥𝐵 =𝑛. 𝑥𝐴 +𝑚. 𝑥𝑐𝑚 + 𝑛

, 𝑦𝐵 =𝑛. 𝑦𝐴 +𝑚. 𝑦𝑐𝑚 + 𝑛

dan berlaku juga

�⃗⃗� =𝑛. �⃗� + 𝑚. 𝑐

𝑚 + 𝑛

Contoh :

1. Titik 𝑃(3,−1) dan 𝑄(6,5) terdapat pada sebuah garis lurus l.

Titik R juga berada di garis l menurut perbandingan 𝑃𝑅 ∶ 𝑅𝑄 =

3 ∶ −1. Koordinat titik R adalah ………

INGAT!!! 𝑚 dan 𝑛 pada rumus di samping adalah untuk

perbandingan yang nilainya positif semua (dicetak tebal pada

gambar di atas)

𝑥𝑄 =1. 𝑥𝑃 + 2. 𝑥𝑅1 + 2

𝑦𝑄 =1. 𝑦𝑃 + 2. 𝑦𝑅1 + 2

6 =1.3 + 2. 𝑥𝑅

3 5 =

1. (−1) + 2. 𝑦𝑅1 + 2

𝑥𝑅 =15

2 𝑦𝑅 = 8

Jadi, koordinat R adalah 𝑅 (15

2, 8)

Panjang Vektor

Rumus Panjang Vektor Tunggal :

Misal �⃗� = (𝑥𝑎𝑦𝑎) → |�⃗�| = √(𝑥𝑎)

2 + (𝑦𝑎)2

A

B C

m n

Ingat bahwa vektor bisa

bernilai negatif kalau

arahnya ke kiri / ke bawah.

P(3,-1)

Q(6,5) R(x,y)

3

-1 2

1


Rumus Panjang Vektor Ganda :

Misal �⃗� = (𝑥𝑎𝑦𝑎) dan �⃗⃗� = (

𝑥𝑏𝑦𝑏)

|�⃗� + �⃗⃗�| = √|�⃗�|2 + |�⃗⃗�|2+ 2|�⃗�||�⃗⃗�| cos 𝜃 atau |�⃗� + �⃗⃗�| =

√(𝑥𝑎 + 𝑥𝑏)2 + (𝑦𝑎 + 𝑦𝑏)

2

|�⃗� − �⃗⃗�| = √|�⃗�|2 + |�⃗⃗�|2− 2|�⃗�||�⃗⃗�| cos 𝜃 atau

|�⃗� − �⃗⃗�| = √(𝑥𝑎 − 𝑥𝑏)2 + (𝑦𝑎 − 𝑦𝑏)

2

Contoh :

1. Vektor �⃗� = (12) dan vektor �⃗⃗� = (

34).

|�⃗�| = √12 + 22 = √5

|�⃗⃗�| = √32 + 42 = 5

|�⃗� + �⃗⃗�| = √(1 + 3)2 + (2 + 4)2 = √52

|�⃗� − �⃗⃗�| = √(1 − 3)2 + (2 − 4)2 = √8

2. Panjang vektor �⃗� adalah 3 dan panjang vektor �⃗⃗� adalah 4.

Kedua vektor membentuk sudut 60ᴼ.

|�⃗� + �⃗⃗�| = √32 + 42 + 2.3.4 cos 60 = √37

|�⃗� − �⃗⃗�| = √32 + 42 − 2.3.4 cos 60 = √13

Perkalian Vektor (Skalar / Dot)

Rumus :

Misal �⃗� = (𝑥𝑎𝑦𝑎) dan �⃗⃗� = (

𝑥𝑏𝑦𝑏) → �⃗� . �⃗⃗� = 𝑥𝑎𝑥𝑏 + 𝑦𝑎𝑦𝑏

Contoh :


34)

�⃗� . �⃗⃗� = 1.3 + 2.4 = 11

Sudut Antara Dua Vektor

Rumus :

cos 𝜃 = �⃗� . �⃗⃗�

|�⃗�||�⃗⃗�|

Contoh :


34). Kosinus sudut antara

kedua vektor adalah ………

cos 𝜃 = �⃗� . �⃗⃗�

|�⃗�||�⃗⃗�|=1.3 + 2.4

√5. 5=11

5√5=11

25√5


3𝑘). Keduanya tegak lurus.

Tentukan nilai k.

Tegak lurus → 𝜃 = 90° → cos 𝜃 = 0

0 = �⃗� . �⃗⃗�

|�⃗�||�⃗⃗�| → �⃗� . �⃗⃗� = 0

1.3 + 2. 𝑘 = 0 → 𝑘 = −3

2

Vektor Proyeksi dan Panjang Proyeksinya

Rumus :

Proyeksi skalar ortogonal (disebut juga panjang proyeksi)

vektor �⃗� terhadap �⃗⃗�

|𝑐| =�⃗� . �⃗⃗�

|�⃗⃗�|

Proyeksi vektor ortogonal vektor �⃗� terhadap �⃗⃗�

𝑐 =�⃗� . �⃗⃗�

|�⃗⃗�|2 × �⃗⃗�


Contoh :

Vektor 𝑝 = (12) dan vektor �⃗� = (

34)

1. Proyeksi skalar ortogonal dari 𝑝 terhadap �⃗�

|𝑐| =𝑝 . �⃗�

|�⃗�|=1.3 + 2.4

√32 + 42=11

5

2. Proyeksi vektor ortogonal dari 𝑝 + �⃗� terhadap �⃗�

𝑐 =(𝑝 + �⃗�). �⃗�

|�⃗�|2× �⃗� =

(46) . (34)

(√32 + 42)2 × (

34)

=4.3 + 6.4

25× (34) =

36

25× (34) = (

108

25144

25

)

S o a l - s o a l L a t I h a n

1. Diketahui 4 matriks A, B, C, dan D dimana 2𝐴 − 2𝐵𝑡 + 𝐶 = 𝐷𝑡. Jika

𝐴 = (−4 2−3 𝑝

), 𝐵 = (𝑞 −75 0

), 𝐶 = (3 𝑠𝑟 −1

), dan 𝐷 =

(−1 13

−𝑝 − 𝑞 − 𝑟 1), nilai 𝑠 = ………

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

E. −1

2. Diketahui 𝐴 = (𝑥 11 4

) , 𝐵 = (3 21 0

) , dan 𝐶 = (1 05 2

). Nilai 𝑥

sehingga 𝐴𝐵 − 2𝐵 = 𝐶 adalah ………

A. −2

B. −1

C. 0

D. 1

E. 2

3. Jika I matriks identitas berordo 2 dan 𝐼 × (√𝑎𝑏) = (

2−2), nilai 𝑎 −

𝑏 = ………

A. 6

B. 4

C. 2

D. −2

E. −6


4. Jika diketahui matriks (3 −2 04 𝑝 41 −3 1 − 𝑝

) determinannya 38, salah

satu nilai 𝑝 yang memenuhi adalah ………

A. 2

3

B. 3

2

C. 1

3

D. 1

E. −1

5. Diketahui 𝑃 = (3 20 3

). Nilai dari 𝑃2 − 𝑃 = ………

A. (9 130 9

)

B. (9 120 9

)

C. (12 140 12

)

D. (6 100 6

)

E. (6 110 6

)

6. Diketahui 𝑋, 𝑌, dan 𝑍 matriks berordo 2. Jika 𝑋 = (2 −11 0

), 𝑍 =

(−4 −113 2

), dan 𝑋−1𝑌 = 𝑍𝑡 , determinan matriks 𝑌 adalah ………

A. 25

B. 7

C. 0

D. −7

E. −25

7. Diketahui 𝐴 = (4 −16 −2

) dan 𝐵 = (𝑝 𝑞𝑥 𝑟

). Jika invers dari matriks

𝐴 sama dengan transpose dari matriks 𝐵, nilai 𝑝 − 𝑞 − 𝑟 = ………

A. −4

B. −2

C. 0

D. 2

E. 4

8. Ada 2 matriks, 𝐾 dan 𝑀, dimana 𝐾 = (−2 𝑛𝑛 −2

), 𝑀 = (2𝑛 11 3

),

dan kedua matriks tersebut determinannya sama. Jika 𝑛1 dan 𝑛2

adalah kemungkinan nilai 𝑛 yang memenuhi, nilai 1

𝑛1+

1

𝑛2= ………

A. 6

B. 5

C. 5

6

D. 6

5

E. −6

5

9. Matriks Q yang memenuhi persamaan (2 3−1 −2

)𝑄 = (−10)

adalah ………

A. (−21)

B. (2−1)

C. (−2 1)

D. (2 −1)

E. tidak ada


10. Nilai dari 16 × (1 −2 3−1 0 −13 −2 1

)

−1

adalah ………

A. (−1 −2 1−1 −4 −11 −2 −1

)

B. (−2 −4 2−2 −8 −22 −4 −2

)

C. (1 2 −11 4 −1−1 2 1

)

D. (2 4 −22 8 2−2 4 2

)

E. (−4 −8 4−4 −16 −44 −8 −4

)

11. Diketahui matriks (1 𝑘 −33 2𝑘 𝑘−𝑘 3 3

) singular. Misalkan 𝑎

menyatakan jumlahan semua 𝑘 yang mungkin, dan 𝑏 menyatakan

hasil kalinya, nilai 𝑎

𝑏= ………

A. −2

9

B. 2

9

C. −1

D. 1

E. 6

12. Nilai dari

∫(𝑥2 − 1

𝑥)

2

𝑑𝑥

4

2

= ⋯

A. 221

12

B. 173

12

C. 149

12

D. 77

4

E. 45

4

13. Nilai dari

∫(2𝑥 − 1)3 𝑑𝑥 = ⋯

A. 2𝑥4 − 4𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 𝑐

B. 2𝑥4 − 4𝑥3 + 3𝑥2 − 1 + 𝑐

C. 2𝑥4 − 4𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑐

D. 1

2𝑥4 −

1

4𝑥3 +

1

3𝑥2 − 𝑥 + 𝑐

E. 1

2𝑥4 −

1

4𝑥3 +

1

3𝑥2 + 𝑐

14. Nilai dari

∫cos4 8𝑥 𝑑𝑥 = ⋯

A. 1

4cos 32𝑥 −

1

8sin 16𝑥 +

3

8𝑥 + 𝑐

B. 1

4cos 32𝑥 −

1

8sin 16𝑥 +

1

8𝑥 + 𝑐

C. 𝟏

𝟐𝟓𝟔𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟐𝒙 −

𝟏

𝟑𝟐𝐬𝐢𝐧𝟏𝟔𝒙 +

𝟑

𝟖𝒙 + 𝒄

D. 1

256cos32𝑥 −

1

32sin16𝑥 +

1

8𝑥 + 𝑐

E. 1

256cos32𝑥 −

1

32cos 16𝑥 +

1

8𝑥 + 𝑐


15. Nilai dari

∫6sin4𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 = ⋯

A. 1

6cos 6𝑥 +

1

2cos 2𝑥 + 𝑐

B. 1

2cos 6𝑥 +

3

2cos 2𝑥 + 𝑐

C. cos6𝑥 + 3 cos 2𝑥 + 𝑐

D. −1

2cos 6𝑥 −

3

2cos 2𝑥 + 𝑐

E. −1

6cos 6𝑥 −

1

2cos 2𝑥 + 𝑐

16. Nilai dari

∫1

(1 + sin 𝑥) (sin𝑥 − 1)𝑑𝑥

𝜋/4

0

= ⋯

A. 1

B. 1

2√2

C. 0

D. −1

E. −1

2√2

17. Nilai dari

∫sin3 2𝑥 𝑑𝑥 = ⋯

A. 1

6cos3 2𝑥 −

1

2cos 2𝑥 + 𝑐

B. 1

3cos3 2𝑥 −

1

2cos 2𝑥 + 𝑐

C. 1

2cos3 2𝑥 −

1

2cos 2𝑥 + 𝑐

D. 1

6cos3 2𝑥 +

1

2cos 2𝑥 + 𝑐

E. 1

3cos3 2𝑥 +

1

2cos 2𝑥 + 𝑐

18. Nilai dari

∫2𝑥√2𝑥2 − 1 𝑑𝑥

2

√2

= ⋯

A. 7

3√7 + √3

B. 7

3√7 − √3

C. 4

3− √2

D. 4

3+ √2

E. 2

3√2 −

1

3√84

19. Nilai dari

∫2𝑥 sin(2𝑥2 − 2) cos2(2𝑥2 − 2) 𝑑𝑥 = ⋯

A. 1

6cos3(2𝑥2 − 2) + 𝑐

B. 1

12cos3(2𝑥2 − 2) + 𝑐

C. −1

6cos3(2𝑥2 − 2) + 𝑐

D. −1

9cos3(2𝑥2 − 2) + 𝑐

E. −1

12cos3(2𝑥2 − 2) + 𝑐

20. Nilai dari

∫2𝑥√2𝑥 − 5 𝑑𝑥 = ⋯

A. 2

3𝑥√(2𝑥 − 5)3 +

8

15√(2𝑥 − 5)5 + 𝑐

B. 2

3𝑥√(2𝑥 − 5)3 +

4

15√(2𝑥 − 5)5 + 𝑐

C. 2

3𝑥√(2𝑥 − 5)3 +

2

15√(2𝑥 − 5)5 + 𝑐

D. 2

3𝑥√(2𝑥 − 5)3 −

4

15√(2𝑥 − 5)5 + 𝑐

E. 2

3𝑥√(2𝑥 − 5)3 −

2

15√(2𝑥 − 5)5 + 𝑐


21. Nilai dari

∫(3𝑥 − 4) sin(4𝑥 − 3)𝑑𝑥 = ⋯

A. 1

4(3𝑥 − 4) cos(4𝑥 − 3) −

3

16sin(4𝑥 − 3) + 𝑐

B. 1

4(3𝑥 − 4) sin(4𝑥 − 3) +

1

16cos(4𝑥 − 3) + 𝑐

C. 1

4(3𝑥 − 4) sin(4𝑥 − 3) −

1

16sin(4𝑥 − 3) + 𝑐

D. 1

4(3𝑥 − 4) sin(4𝑥 − 3) +

3

16cos(4𝑥 − 3) + 𝑐

E. 1

4(3𝑥 − 4) cos(4𝑥 − 3) +

3

16cos(4𝑥 − 3) + 𝑐

22. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) dimana gradien garis singgung di titik (𝑥, 𝑦)

bernilai 4

3√𝑥3

. Jika 𝑓(𝑥) melalui (0,1), maka garis singgung di titik

berabsis 1 persamaannya ………

A. 𝑦 = 1

B. 𝑦 = −1

C. 𝑦 − 𝑥 = 1

D. 3𝑦 + 4𝑥 = 2

E. 3𝑦 − 4𝑥 = 2

23. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) di mana 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 6𝑥 + 2, 𝑓(1) = 4, 𝑓(−1) = 0.

Nilai dari 𝑓(0) = ………

A. 2

B. 1

C. 0

D. −1

E. −2

24. Luas daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥3 dan 𝑦 = 𝑥 adalah ……… SL.

A. 1

2

B. 1

3

C. 1

4

D. 1

6

E. 1

8

25. Luas daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 2 − 𝑥 dan 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 dimana

𝑥 ≤ 3 adalah ……… SL.

A. 11

B. 11

6

C. 1

D. 1

6

E. 5

6

26. Volume benda diputar mengelilingi sumbu-𝑥 yang dibatasi oleh

𝑥 = 𝑦2 + 1 dan 𝑦 = 𝑥 − 1 adalah ……… SV.

A. 23

6𝜋

B. 17

6𝜋

C. 11

6𝜋

D. 5

6𝜋

E. 1

6𝜋


27. Volume benda diputar mengelilingi sumbu-𝑦 yang dibatasi oleh

𝑦 = 𝑥2 dan 𝑦 = 2𝑥 adalah ……… SV.

A. 40

3𝜋

B. 40

12𝜋

C. 8

3𝜋

D. 8

6𝜋

E. 6𝜋

Soal nomor 28-29 menggunakan informasi berikut ini.

Sebuah daerah tertutup dalam koordinat Cartesius dibatasi oleh grafik

𝑦 = 𝑥3, 𝑥 = 1, dan 𝑦 = 8.

28. Luas daerah tersebut adalah ……… SL.

A. 18

4

B. 17

4

C. 16

4

D. 15

4

E. 14

4

29. Volume benda yang terbentuk jika daerah tersebut diputar 360ᴼ

mengelilingi sumbu-𝑦 adalah ……… SV.

A. 58

5𝜋

B. 43

5𝜋

C. 28

5𝜋

D. 17

5𝜋

E. 12

5𝜋

30. Sistem pertidaksamaan yang tepat untuk grafik di bawah ini

adalah .........

A. 𝑦 ≥ 2𝑥 + 2, 2𝑦 ≤ 3𝑥 + 18, 3𝑦 ≥ −𝑥 + 13

B. 𝑦 ≤ 2𝑥 + 2, 2𝑦 ≤ 3𝑥 + 18, 3𝑦 ≥ −𝑥 + 13

C. 𝑦 ≥ 2𝑥 + 2, 2𝑦 ≥ 3𝑥 + 18, 3𝑦 ≥ −𝑥 + 13

D. 𝑦 ≤ 2𝑥 + 2, 2𝑦 ≤ 3𝑥 + 18, 3𝑦 ≤ −𝑥 + 13

E. 𝑦 ≤ 2𝑥 + 2, 2𝑦 ≤ 3𝑥 + 18, 3𝑦 ≤ −𝑥 + 13

31. Dari grafik di bawah, yang merupakan daerah penyelesaian dari

sistem pertidaksamaan 𝑥 − 2𝑦 ≤ −2, 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 12, sumbu-𝑥, dan

sumbu-𝑦 adalah ………

A. I

B. II

C. III

D. IV

E. V

HP

(1,4) (4,3)

(2,6)


32. Nilai maksimum fungsi 𝑍 = 𝑥 + 2𝑦 yang memenuhi 3𝑥 + 6𝑦 ≥ 18,

5𝑥 + 4𝑦 ≤ 20, sumbu-𝑥, dan sumbu-𝑦 tercapai pada titik ………

A. tidak ada

B. (0,3)

C. (4,0)

D. (0,5)

E. (6,0)

33. Nilai minimum fungsi 𝑍 = −3𝑥 + 𝑦 yang memenuhi 𝑥 + 𝑦 ≥ 8,

3 ≤ 𝑥 ≤ 6, dan 2 ≤ 𝑦 ≤ 5 adalah ………

A. −3

B. −4

C. −5

D. −12

E. −15

34. Nilai minimum fungsi 𝑍 = 2𝑥 + 4𝑦 yang memenuhi 𝑦 ≥ 𝑥, 𝑥 +

𝑦 ≤ 3, sumbu-𝑥, dan 𝑦 = 2 adalah ………

A. tidak ada

B. 0

C. 4

D. 8

E. 9

35. Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg tepung dan 2 kg pasir. Ia ingin

membuat dua macam kue: kue dadar dan kue apem. Unutk membuat kue

dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung, sedangkan

untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50

gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp 300,00 per buah dan

kue apem dengan harga Rp 500,00 per buah, pendapatan maksimum

yang diperoleh pembuat kue adalah ………

A. Rp. 55.000,00

B. Rp. 60.000,00

C. Rp. 75.000,00

D. Rp. 80.000,00

E. Rp. 95.000,00

36. Mbah To mempunyai lahan 10 hektar untuk ditanami padi dan jagung.

Dengan kondisi yang ada, Mbah To memutuskan untuk menanami padi

seluas 2 sampai 6 hektar dan untuk jagung seluas 4 sampai 6 hektar.

Dibutuhkan biaya Rp 400.000,00 per hektar untuk proses penanaman

dan perawatan padi, sedangan untuk jagung diperlukan Rp 200.000,00.

Agar biaya yang dikeluarkan minimum, luas lahan yang ditanami padi

adalah ……… hektar.

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

E. 10


37. Pak Gembul punya modal Rp. 1.200.000,00 dan hendak menjual buah

mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pak Gembul membeli

buah mangga dengan harga Rp 8000,00/kg dan membeli buah pisang

dengan harga Rp 6000,00/kg. Gerobaknya hanya bisa menampung

beban paling berat 180 kg. Jika Pak Gembul menjual mangga Rp

10000,00/kg dan pisang Rp 7000,00/kg, keuntungan maksimum yang

dapat diperoleh Pak Gembul dari berjualan buah adalah ………

A. Rp. 180.000,00

B. Rp. 240.000,00

C. Rp. 300.000,00

D. Rp. 1.440.000,00

E. Rp. 1.500.000,00

38. Seorang penjahit mempunyai persediaan kain sutera 16 meter, kain wol

12 meter, dan kain katun 15 meter. Kain-kain tersebut akan dibuat

menjadi 2 model baju, model A membutuhkan 2 m kain sutera, 1 m kain

wol, dan 1 m kain katun, dan model B membutuhkan 1 m kain sutera, 2

m kain wol, dan 3 m kain katun. Bila keuntungan penjualan baju model A

Rp 30.000,00 dan model B Rp 50.000,00 per baju, banyak baju kodel B

yang perlu diproduksi sehingga keuntungan penjahit tersebut

maksimum adalah ………

A. 8

B. 6

C. 5

D. 3

E. 0

39. Bayangan garis 𝑦 = 3𝑥 + 2 oleh translasi (1−2) dilanjutkan (

−35)

adalah ………

A. 𝑦 = 3𝑥 − 7

B. 𝑦 = 3𝑥 − 5

C. 𝑦 = 3𝑥 + 5

D. 𝑦 = 3𝑥 + 7

E. 𝑦 = 3𝑥 + 11

40. Matriks M berordo 2 × 2. Jika matriks M memetakan titik 𝑃(1,4)

dan 𝑄(2,7) ke titik 𝑃′(1,3) dan 𝑄′(5,4), maka matriks 𝑀 = ………

A. (5 −2−3 1

)

B. (−13 35 −2

)

C. (13 −3−5 2

)

D. (14 −3−5 3

)

E. (−14 35 −3

)

41. Bayangan titik (−2,4) oleh rotasi 90ᴼ searah jarum jam terhadap

(1,−1) adalah ………

A. (−5,−3)

B. (−4,−4)

C. (4,2)

D. (6,2)

E. (5,3)

42. Garis 2𝑥 = 3𝑦 − 7 didilatasi dengan skala 3 terhadap titik asal,

lalu direfleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Hasil dilatasi garis tersebut

adalah 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 21. Nilai dari 𝑎 − 𝑏 = ……….

A. −5

B. −1

C. −5

3

D. 5

3

E. 5


43. Diberikan titik 𝐾(−3,4). Koordinat titik K’ jika titik K mengalami

transformasi 𝑇1 ∘ 𝑇2 dimana 𝑇1 = (1 −2−3 5

) dan 𝑇2 = (−2 5−3 7

)

adalah ………

A. (−48, 107)

B. ( 43, 85)

C. ( 37, −65)

D. ( 32, 83)

E. ( 24, −95)

44. Bayangan garis 𝑔 terhadap transformasi 𝑅(𝑂,180°) dilanjutkan

pencerminan terhadap sumbu-𝑦 adalah 𝑔′: −3𝑥 + 4𝑦 = −5.

Persamaan garis berikut ini yang tepat adalah ………

A. 𝑔:−3𝑥 + 4𝑦 = 5

B. 𝑔:−3𝑥 − 4𝑦 = 5

C. 𝑔: 3𝑥 + 4𝑦 = 5

D. 𝑔:−3𝑥 + 4𝑦 = −5

E. 𝑔:−4𝑥 + 3𝑦 = −5

45. Segi-4 KMNP mempunyai koordinat 𝐾(1,1), 𝑀(3,5), 𝑁(5,6), dan

𝑃(7,4). Segi-4 ini akan ditransformasi menurut matriks (18 3111 19

)

menjadi K’M’N’P’. Selisih luas bangun K’M’N’P’ dengan KMNP

adalah ……… SL.

A. 0

B. 12

C. 24

D. 132

E. 8196

46. Bayangan titik 𝑁 terhadap transformasi (1 22 2

) ∘ 𝑀𝑦=𝑥 adalah

𝑁′(−6,−10). Koordinat titik N adalah ………

A. (1, 4)

B. (−1,−4)

C. (−2,−8)

D. (−11,−16)

E. (−22,−32)

47. Bayangan garis −3𝑥 + 𝑦 = −2 terhadap transformasi (6 99 13

)

adalah ………

A. −10𝑥 + 7𝑦 + 2 = 0

B. 10𝑥 − 7𝑦 + 2 = 0

C. −10𝑥 − 11𝑦 − 2 = 0

D. 16𝑥 + 11𝑦 − 2 = 0

E. 10𝑥 + 11𝑦 − 2 = 0

48. Diketahui vektor �⃗� = (1−23) dan �⃗⃗� = (

60𝑥). Nilai 𝑥 sehingga vektor

�⃗� tegak lurus terhadap vektor �⃗⃗� adalah ………

A. −2

B. −4

3

C. 1

D. 4

3

E. 2


49. ABC adalah sebuah segitiga sama sisi. Jika koordinat 𝐴(1, 𝑘, −2),

𝐵(2,2, −1), dan 𝐶(4,−1,−𝑘) dan keliling segitiga ABC adalah 𝑚,

nilai dari 𝑚 = ………

A. 0

B. √14

C. 14

D. 3√14

E. 42

50. Diketahui vektor 𝑝 = (1−23), �⃗� = (

−45−6), dan 𝑟 = (

7−89). Nilai dari

|3𝑝 − 2�⃗� + 𝑟| = ……….

A. 50√6

B. 30√2

C. 60√3

D. 30√6

E. 60√5

51. Titik 𝐴(−5,3,0), 𝐵(7,0,12), dan 𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧) kolinier. Jika

𝐵𝐴 ∶ 𝐴𝐶 = −3 ∶ 1, nilai nilai dari 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ………

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

52. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor �⃗� terhadap vektor �⃗� + �⃗⃗�, jika

vektor �⃗� = (−2102) dan �⃗⃗� = (

10−110), adalah ………

A. 130

√108

B. 98

√108

C. 130

17

D. 98

17

E. 7

53. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor �⃗⃗� − �⃗� terhadap vektor �⃗�, jika

diketahui bahwa vektor �⃗� = (342) dan �⃗⃗� = (

201), adalah ………

A. (

−42

√29

0

−21

√29

)

B. (

42

√29

021

√29

)

C. (

−42

29

0

−21

29

)

D. (

42

29

021

29

)

E. (

−42

29

021

29

)


54. Diketahui vektor �⃗⃗� = (3−11), �⃗� = (

2𝑝2), dan panjang proyeksi

vektor �⃗⃗� terhadap �⃗� sama dengan setengah panjang vektor �⃗�.

Nilai 𝑝 = ………

A. −2 atau 4

B. −4 atau 2

C. 2 atau 2

D. 2 atau 4

E. −4 atau −2

55. Nilai 𝑛 sehingga ∠(�⃗� , �⃗⃗�) =𝜋

3 dimana �⃗� = (

13−2), �⃗⃗� = (

4−𝑛2) adalah

………

A. 𝑛 =140

11 ⋁ 𝑛 = −

140

11

B. 𝑛 =140

11

C. 𝑛 = √140

11 ⋁ 𝑛 = −√

140

11

D. 𝑛 = √140

11

E. 𝑛 = −√140

11

KUNCI JAWABAN

1 B 11 B 21 D 31 C 41 D 51 E 2 E 12 B 22 E 32 D 42 E 52 D 3 A 13 A 23 B 33 E 43 A 53 C 4 E 14 C 24 A 34 A 44 C 54 B 5 D 15 D 25 B 35 E 45 A 55 E 6 A 16 D 26 E 36 B 46 B 7 C 17 A 27 C 37 C 47 D 8 D 18 B 28 B 38 D 48 A 9 A 19 C 29 A 39 E 49 D 10 E 20 E 30 B 40 C 50 B

r a n g k u m a n d a n s o a l l a t i h a n u u s g a n ... · ʃcos = sin ʃ tan . sec = sec ......

Documents