question 1

15
LOCAL MATRICIES, ELEMENT A: n a ⊗n a = [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] ; s a ⊗s a = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ; t a ⊗t a = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] ; t a ⊗s a = [ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ] ; s a ⊗t a = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] k fu a = AE L a n a ⊗n a + 12 EI tt L a 3 s a ⊗s a + 12 EI ss L a 3 t a ⊗t a k fu a = AE L a [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] + 12 EI tt L a 3 [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] + 12 EI ss L a 3 [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] = [ 12 EI tt L a 3 0 0 0 AE L a 0 0 0 12 EI ss L a 3 ] k mu a = 6 EI tt L a 2 t a ⊗s a 6 EI ss L a 2 s a ⊗t a k mu a = 6 EI tt L a 2 [ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ] 6 EI ss L a 2 [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] = [ 0 0 6 EI ss L a 2 0 0 0 6 EI tt L a 2 0 0 ] k mu aT = 6 EI tt L a 2 [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] 6 EI ss L a 2 [ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ] = [ 0 0 6 EI tt L a 2 0 0 0 6 EI ss L a 2 0 0 ]

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Frame stiffness

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Page 1: Question 1

LOCAL MATRICIES, ELEMENT A:

na⊗na=[0 0 00 1 00 0 0]; sa⊗sa=[1 0 0

0 0 00 0 0 ]; t a⊗ t a=[0 0 0

0 0 00 0 1 ]; t a⊗ sa=[ 0 0 0

0 0 0−1 0 0]; sa⊗ t a=[0 0 −1

0 0 00 0 0 ]

k fua= AE

Lana⊗ na+

12 E I ttLa3 sa⊗sa+

12E I ssLa3 t a⊗ t a

k fua= AE

La [0 0 00 1 00 0 0]+12 E IttLa

3 [1 0 00 0 00 0 0]+ 12E I ssLa

3 [0 0 00 0 00 0 1]=[

12E I ttLa3

0 0

0AELa

0

0 012E I ssLa3

]kmua =

6 E I ttLa2 t a⊗sa−

6 E I ssLa2 sa⊗ ta

kmua =

6 E I ttLa2 [ 0 0 0

0 0 0−1 0 0]−6 E I ssLa

2 [0 0 −10 0 00 0 0 ]=[ 0 0

6 EI ssLa2

0 0 0−6E I ttLa2 0 0 ]

kmua T=

6 E IttLa2 [0 0 −10 0 00 0 0 ]−6 E I ssLa

2 [ 0 0 00 0 0

−1 0 0]=[ 0 0−6 E IttLa2

0 0 06 E I ssLa2 0 0 ]

kmθa = JG

Lana⊗ na+

4 E I ttLa

t a⊗ t a+4 E I ssLa

sa⊗sa

kmθa = JG

La [0 0 00 1 00 0 0]+ 4 E I ttLa [0 0 0

0 0 00 0 1]+ 4 E I ssLa [1 0 0

0 0 00 0 0]=[

4 E I ssLa

0 0

0JGLa

0

0 04 E I ttLa

]

Page 2: Question 1

k̂ amθ=−JGLa

na⊗na+2E I ttLa

t a⊗ ta+2E I ssLa

sa⊗ sa

k̂ amθ=−JGLa [0 0 0

0 1 00 0 0 ]+ 2E I ttLa [0 0 0

0 0 00 0 1]+ 2 E I ssLa [1 0 0

0 0 00 0 0]=[

2 E I ssLa

0 0

0−JGLa

0

0 02 E I ttLa

]LOCAL MATRICIES, ELEMENT B:

nb⊗nb=[1 0 00 0 00 0 0]; sb⊗sb=[0 0 0

0 1 00 0 0 ]; t b⊗ t b=[0 0 0

0 0 00 0 1 ]; t b⊗ sb=[0 0 0

0 0 00 −1 0]; sb⊗ t b=[0 0 0

0 0 −10 0 0 ]

k fub= AE

Lbnb⊗ nb+

12 E I ttLb3 sa⊗sa+

12E I ssLb3 t b⊗ t b

k fub= AE

Lb [1 0 00 0 00 0 0]+12 E IttLb

3 [0 0 00 1 00 0 0]+ 12E I ssLb

3 [0 0 00 0 00 0 1]=[

AELb

0 0

012E I ttLb3 0

0 012E I ssLb3

]kmub =

6 E I ttLb2 t b⊗sb−

6 E I ssLa2 sb⊗ tb

kmub =

6 E I ttLb2 [0 0 0

0 0 00 −1 0]−6 E I ssLa

2 [0 0 00 0 −10 0 0 ]=[

0 0 0

0 06 EI ssLa2

0−6 E I ttLb2 0 ]

kmub T=

6 E IttLb2 [0 0 00 0 −10 0 0 ]−6 E I ssLa

2 [0 0 00 0 00 −1 0]=[

0 0 0

0 0−6 E IttLb2

06 E I ssLa2 0 ]

Page 3: Question 1

kmθb = JG

Lbnb⊗ nb+

4 E I ttLb

t b⊗ t b+4 E I ssLb

sb⊗sb

kmθb = JG

Lb [1 0 00 0 00 0 0]+ 4 E I ttLb [0 0 0

0 0 00 0 1]+ 4 E I ssLb [0 0 0

0 1 00 0 0]=[

JGLb

0 0

04 EI ssLb

0

0 04 E I ttLb

]k̂ bmθ=

−JGLb

nb⊗nb+2E I ttLb

t b⊗ tb+2E I ssLb

sb⊗ sb

k̂ bmθ=−JGLb [1 0 0

0 0 00 0 0 ]+ 2E I ttLb [0 0 0

0 0 00 0 1]+ 2 E I ssLb [0 0 0

0 1 00 0 0]=[

−JGLb

0 0

02 E I ssLb

0

0 02 E I ttLb

]

Page 4: Question 1

GLOBAL MATRIX:

k=[ k11a k 12

a 0

k 21a k22

a +k22b k 21

b

0 k 12b k11

b ]k=[ [ k fu kmu

T

kmu kmθ]a

[−k fu kmuT

−kmu k̂mθ]a

0

[−k fu −kmuT

kmu k̂mθ ]a

[ k fu −kmuT

−kmu kmθ ]a

+[ k fu −kmuT

−kmu kmθ ]b

[−k fu −kmuT

kmu k̂mθ ]b

0 [−k fu kmuT

−kmu k̂mθ]b

[ k fu kmuT

kmu kmθ]b ]

Page 5: Question 1

k=[ [[12E I ttLa3 0 0

0AELa

0

0 012E I ssLa3

] [ 0 0−6 E IttLa2

0 0 06 E I ssLa2

0 0 ][ 0 0

6 EI ssLa2

0 0 0−6 EI ttLa2 0 0 ] [

4 E I ssLa

0 0

0JGLa

0

0 04 E I ttLa

]]a

[−[12E I ttLa3 0 0

0AELa

0

0 012E I ssLa3

] [ 0 0−6 EI ttLa2

0 0 06 EI ssLa2

0 0 ]−[ 0 0

6E I ssLa2

0 0 0−6 E I ttLa2 0 0 ] [

2E I ssLa

0 0

0−JGLa

0

0 02 EI ttLa

]]a

[0 ]

[−[12E I ttLa3 0 0

0AELa

0

0 012E I ssLa3

] −[ 0 0−6 E IttLa2

0 0 06 E I ssLa2 0 0 ]

[ 0 06E I ssLa2

0 0 0−6E I ttLa2 0 0 ] [

2 E I ssLa

0 0

0−JGLa

0

0 02 E I ttLa

]]a

([[12E I ttLa3 0 0

0AELa

0

0 012E I ssLa3

] −[ 0 0−6 E I ttLa2

0 0 06 E I ssLa2 0 0 ]

−[ 0 06 EI ssLa2

0 0 0−6 E I ttLa2 0 0 ] [

4 E I ssLa

0 0

0JGLa

0

0 04 E IttLa

] ]a

+[ [AELb

0 0

012 E I ttLb3 0

0 012 E I ssLb3

] −[0 0 0

0 0−6 E I ttLb2

06 E I ssLa2 0 ]

−[0 0 0

0 06 E I ssLa2

0−6 EI ttLb2 0 ] [

JGLb

0 0

04 E I ssLb

0

0 04 E I ttLb

] ]b

) [−[AELb

0 0

012E I ttLb3 0

0 012 E I ssLb3

] −[0 0 0

0 0−6 E I ttLb2

06 E I ssLa2 0 ]

[0 0 0

0 06 E I ssLa2

0−6 E I ttLb2 0 ] [

−JGLb

0 0

02 EI ssLb

0

0 02E I ttLb

]]b

[0 ] [−[AELb

0 0

012E I ttLb3 0

0 012E I ssLb3

] [0 0 0

0 0−6 EI ttLb2

06 E I ssLa2 0 ]

−[0 0 0

0 06E I ssLa2

0−6 E I ttLb2 0 ] [

−JGLb

0 0

02 E I ssLb

0

0 02 EI ttLb

]]b

[[AELb

0 0

012E I ttLb3 0

0 012 E I ssLb3

] [0 0 0

0 0−6E I ttLb2

06 E I ssLa2 0 ]

[0 0 0

0 06 E I ssLa2

0−6 E I ttLb2 0 ] [

JGLb

0 0

04 E I ssLb

0

0 04 E I ttLb

] ]b ]

Page 6: Question 1

Simplify the global matrix:

Page 7: Question 1

k=[[12 E I ttLa3 0 0

0AELa

0

0 012 E I ssLa3

] [ 0 0−6 E I ttLa2

0 0 06 E I ssLa2 0 0 ]

[ 0 06 E I ssLa2

0 0 0−6 E I ttLa2 0 0 ] [

4 E I ssLa

0 0

0JGLa

0

0 04 E I ttLa

][−12E I ttLa3 0 0

0−AELa

0

0 0−12E I ssLa3

] [ 0 0−6 E IttLa2

0 0 06 E I ssLa2 0 0 ]

[ 0 0−6E I ssLa2

0 0 06 E I ttLa2 0 0 ] [

2 EI ssLa

0 0

0−JGLa

0

0 02 E IttLa

][ [0 ] [0 ]

[0 ] [0 ]]

[−12 E IttLa3 0 0

0−AELa

0

0 0−12 E I ssLa3

] [ 0 06 EI ttLa2

0 0 0−6 EI ssLa2 0 0 ]

[ 0 06 E I ssLa2

0 0 0−6 E I ttLa2 0 0 ] [

2E I ssLa

0 0

0−JGLa

0

0 02E I ttLa

][12 EI ttLa3 + AE

Lb0 0

0AELa

+12E I ttLb3

0

0 012 E I ssLa3 +

12E I ssLb3

] [ 0 06 E IttLa2

0 06 E IttLb2

−6 E I ssLa2

−6 EI ssLa2 0 ]

[ 0 0−6 E I ssLa2

0 0−6 E I ssLa2

6 E I ttLa2

6 E I ttLb2 0 ] [

4 E I ssLa

+ JGLb

0 0

0JGLa

+4 E I ssLb

0

0 04 EI ttLa

+4 E I ttLb

][−AELb

0 0

0−12 E IttLb3 0

0 0−12 EI ssLb3

] [0 0 0

0 06 E I ttLb2

0−6 E I ssLa2 0 ]

[0 0 0

0 06 E I ssLa2

0−6 EI ttLb2 0 ] [

−JGLb

0 0

02E I ssLb

0

0 02 E I ttLb

][ [0 ] [0 ]

[0 ] [0 ] ][−AELb

0 0

0−12 EI ttLb3 0

0 0−12E I ssLb3

] [0 0 0

0 0−6 E IttLb2

06 EI ssLa2 0 ]

[0 0 0

0 0−6E I ssLa2

06 E I ttLb2 0 ] [

−JGLb

0 0

02 E I ssLb

0

0 02 E IttLb

][AELb

0 0

012 E IttLb3 0

0 012 EI ssLb3

] [0 0 0

0 0−6 E I ttLb2

06 E I ssLa2 0 ]

[0 0 0

0 06 E I ssLa2

0−6 E I ttLb2 0 ] [

JGLb

0 0

04 E I ssLb

0

0 04 E IttLb

]]

Page 8: Question 1

Simplify the global matrix futher:

Page 9: Question 1

Substitute the global matrix into our system of equations:

{P1x¿P1 y¿P1 z

¿M 1x

¿M 1 y

¿M1 z

¿P2 x¿P2 y¿P2 z¿M 2 x

¿M 2 y

¿M2 z

¿P3 x¿P3 y¿P3 z

¿M 3x

¿M 3 y

¿M3 z

}=¿ {u1x¿u1 y¿u1 z¿θ1x¿θ1 y¿θ1 z¿u2x¿u2 y¿u2 z¿θ2x¿θ2 y¿θ2 z¿u3x¿u3 y¿u3 z¿θ3x¿θ3 y¿θ3 z

}12E I ttLa3 0 0 0 0

−6 E IttLa2

−12E I ttLa3 0 0 0 0

−6 E IttLa2 0 0 0 0 0 0

0AELa

0 0 0 0 0−AELa

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 012E I ssLa3

6 EI ssLa2 0 0 0 0

−12E I ssLa3

6 EI ssLa2 0 0 0 0 0 0 0 0

0 06 EI ssLa2

4 E I ssLa

0 0 0 0−6 E I ssLa2

2E I ssLa

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0JGLa

0 0 0 0 0−JGLa

0 0 0 0 0 0 0

−6 E IttLa2 0 0 0 0

4 E I ttLa

6 EI ttLa2 0 0 0 0

2E I ttLa

0 0 0 0 0 0

−12E I ttLa3 0 0 0 0

6 EI ttLa2

12E I ttLa3 + AE

Lb0 0 0 0

6 EI ttLa2

−AELb

0 0 0 0 0

0−AELa

0 0 0 0 0AELa

+12 E I ttLb3 0 0 0

6 EI ttLb2 0

−12E I ttLb3 0 0 0

6 EI ttLb2

0 0−12E I ssLa3

−6 E I ssLa2 0 0 0 0

12E I ssLa3 +

12E I ssLb3

−6 E I ssLa2

−6 E I ssLa2 0 0 0

−12E I ssLb3 0

−6 E I ssLa2 0

0 06 EI ssLa2

2E I ssLa

0 0 0 0−6 E I ssLa2

4 E I ssLa

+ JGLb

0 0 0 0 0−JGLb

0 0

0 0 0 0−JGLa

0 0 0−6 E I ssLa2 0

JGLa

+4 E I ssLb

0 0 06 EI ssLa2 0

2E I ssLb

0

−6 E IttLa2 0 0 0 0

2E I ttLa

6 EI ttLa2

6 EI ttLb2 0 0 0

4 E I ttLa

+4 EI ttLb

0−6 E IttLb2 0 0 0

2E I ttLb

0 0 0 0 0 0−AELb

0 0 0 0 0AELb

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0−12E I ttLb3 0 0 0

−6 E IttLb2 0

12E I ttLb3 0 0 0

−6 E IttLb2

0 0 0 0 0 0 0 0−12E I ssLb3 0

6 EI ssLa2 0 0 0

12E I ssLb3 0

6 EI ssLa2 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0−JGLb

0 0 0 0 0JGLb

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0−6 E I ssLa2 0

2E I ssLb

0 0 06 EI ssLa2 0

4 E I ssLb

0

0 0 0 0 0 0 06 EI ttLb2 0 0 0

2E I ttLb

0−6 E IttLb2 0 0 0

4 E I ttLb

Page 10: Question 1

P1x12E I ttLa3 0 0 0 0

−6 E IttLa2

−12E I ttLa3 0 0 0 0

−6 E IttLa2 0 0 0 0 0 0 u1 x

P2 y 0AELa

0 0 0 0 0−AELa

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u2 y

P3 z 0 012E I ssLa3

6 EI ssLa2 0 0 0 0

−12E I ssLa3

6 EI ssLa2 0 0 0 0 0 0 0 0 u3 z

M 1x 0 06 EI ssLa2

4 E I ssLa

0 0 0 0−6 E I ssLa2

2E I ssLa

0 0 0 0 0 0 0 0 θ1 x

M 1 y 0 0 0 0JGLa

0 0 0 0 0−JGLa

0 0 0 0 0 0 0 θ1 y

M 1 z

−6 E IttLa2 0 0 0 0

4 E I ttLa

6 EI ttLa2 0 0 0 0

2E I ttLa

0 0 0 0 0 0 θ1 z

P2x−12E I ttLa3 0 0 0 0

6 EI ttLa2

12E I ttLa3 + AE

Lb0 0 0 0

6 EI ttLa2

−AELb

0 0 0 0 0 u2 x

P2 y 0−AELa

0 0 0 0 0AELa

+12 E I ttLb3 0 0 0

6 EI ttLb2 0

−12E I ttLb3 0 0 0

6 EI ttLb2 u2 y

P2 z 0 0−12E I ssLa3

−6 E I ssLa2 0 0 0 0

12E I ssLa3 +

12E I ssLb3

−6 E I ssLa2

−6 E I ssLa2 0 0 0

−12E I ssLb3 0

−6 E I ssLa2 0 u2 z

M 2x

=0 0

6 EI ssLa2

2E I ssLa

0 0 0 0−6 E I ssLa2

4 E I ssLa

+ JGLb

0 0 0 0 0−JGLb

0 0 θ2 x

M 2 y 0 0 0 0−JGLa

0 0 0−6 E I ssLa2 0

JGLa

+4 E I ssLb

0 0 06 EI ssLa2 0

2E I ssLb

0 θ2 y

M 2 z

−6 E IttLa2 0 0 0 0

2E I ttLa

6 EI ttLa2

6 EI ttLb2 0 0 0

4 E I ttLa

+4 EI ttLb

0−6 E IttLb2 0 0 0

2E I ttLb

θ2 z

P3x 0 0 0 0 0 0−AELb

0 0 0 0 0AELb

0 0 0 0 0 u3 x

P3 y 0 0 0 0 0 0 0−12E I ttLb3 0 0 0

−6 E IttLb2 0

12E I ttLb3 0 0 0

−6 E IttLb2 u3 y

P3 z 0 0 0 0 0 0 0 0−12E I ssLb3 0

6 EI ssLa2 0 0 0

12E I ssLb3 0

6 EI ssLa2 0 u3 z

M 3x 0 0 0 0 0 0 0 0 0−JGLb

0 0 0 0 0JGLb

0 0 θ3 x

M 3 y 0 0 0 0 0 0 0 0−6 E I ssLa2 0

2E I ssLb

0 0 06 EI ssLa2 0

4 E I ssLb

0 θ3 y

M 3 z 0 0 0 0 0 0 06 EI ttLb2 0 0 0

2E I ttLb

0−6 E IttLb2 0 0 0

4 E I ttLb

θ3 z

From our boundary conditions we can reduce our system of equations as follows:

Page 11: Question 1

After applying the boundary conditions we arrive at:

M 2 z

4 E I ttLa

+4 EI ttLb

0−6 E IttLb2

2E I ttLb

θ2 z

P3x=

0AELb

0 0 u3 x

P3 y−6 E IttLb2 0

12E I ttLb3

−6 E IttLb2 u3 y

M 3 z

2E I ttLb

0−6 E IttLb2

4 E I ttLb

θ3 z

Make the following substitutions to write the governing matrix in terms of the given variables:

La=L2

Lb=L1

M 2 z

4 E I ttL2

+4 EI ttL1

0−6 E IttL12

2E I ttL1

θ2 z

P3x=

0AEL1

0 0 u3 x

P3 y−6 E IttL12 0

12E I ttL13

−6 E IttL12 u3 y

M 3 z

2E I ttL1

0−6 E IttL12

4 E I ttL1

θ3 z

Page 12: Question 1

Applying the boundary conditions for the support at node 3:

This question differs from Homework 4, Question 1 at node 2 (referred to as node 1 in Homework 4). This problem has a pin at node 2 resulting in an additional unknown rotation. Homework 4 is fixed at this node and cannot rotate; this reduces the degrees of freedom. The end result is a stiffness matrix in homework 4 that is 4x4 and a stiffness matrix in this problem that is 5x5.

04 E I ttL2

+4 EI ttL1

0−6 E IttL12

2E I ttL1

0 θ2 z

−12

=

0AEL1

0 0−1√2

u3 x

−12

−6 E IttL12 0

12E I ttL13

−6 E IttL12

1

√2u3 y

02E I ttL1

0−6 E IttL12

4 E I ttL1

0 θ3 z

0 0−1√2

1

√20 0 −λ