quantum mechanics course qm004

8/14/2019 Quantum mechanics course qm004

1/7

1 E s a k i D i o d e

W h e n t h e c o n c e n t r a t i o n o f i m p u r i t y a t o m s i n a p n - d i o d e i s v e r y h i g h , t h e

d e p l e t i o n l a y e r w i d t h i s r e d u c e d t o a b o u t 1 0 n m . C l a s s i c a l l y , a c a r r i e r m u s t

h a v e a n e n e r g y a t l e a s t e q u a l t o t h e p o t e n t i a l - b a r r i e r h e i g h t i n o r d e r t o c r o s s

t h e j u n c t i o n . H o w e v e r , q u a n t u m m e c h a n i c s i n d i c a t e s t h a t t h e r e i s a n o n z e r o

p r o b a b i l i t y t h a t a p a r t i c l e m i g h t p e n e t r a t e t h r o u g h a b a r r i e r a s t h i n a s t h a t

i n d i c a t e d a b o v e . T h i s p h e n o m e n o n i s c a l l e d t u n n e l i n g , a n d b e c a u s e o f t h i s , t h e s e

h i g h - i m p u r i t y d e n s i t y p - n d e v i c e s a r e c a l l e d t u n n e l d i o d e s , o r E s a k i d i o d e s .

T h e c o n d i t i o n t h a t t h e b a r r i e r b e l e s s t h a n 1 0 n m t h i c k i s a n e c e s s a r y b u t

n o t a s u c i e n t c o n d i t i o n f o r t u n n e l i n g . I t i s a l s o r e q u i r e d t h a t o c c u p i e d e n e r g y

s t a t e s e x i s t o n t h e s i d e f r o m w h i c h t h e e l e c t r o n s t u n n e l a n d t h a t a l l o w e d e m p t y

s t a t e s e x i s t o n t h e o t h e r s i d e .

T h e e n e r g y - b a n d d i a g r a m f o r a h e a v i l y - d o p e d d i o d e u n d e r o p e n c i r c u i t

a n d r e v e r s e b i a s c o n d i t i o n s i s s h o w n b e l o w .

F i g u r e 1 : E s a k i d i o d e

1


2/7

a U n d e r z e r o - b i a s c o n d i t i o n s , t h e r e a r e n o l l e d s t a t e s o n o n e s i d e o f t h e

j u n c t i o n w h i c h a r e a t t h e s a m e e n e r g y a s t h e e m p t y a l l o w e d s t a t e s o n t h e o t h e r

s i d e . H e n c e , t h e r e c a n b e n o o w o f c h a r g e i n e i t h e r d i r e c t i o n a c r o s s t h e j u n c t i o n ,

a n d t h e c u r r e n t i s z e r o , a n o b v i o u s l y c o r r e c t c o n c l u s i o n f o r a n o p e n - c i r c u i t e d

d i o d e .

b I f a r e v e r s e b i a s i s a a p p l i e d , t h e h e i g h t o f t h e b a r r i e r i s i n c r e a s e d a b o v e

t h e o p e n - c i r c u i t v a l u e E

0

. H e n c e , t h e n - s i d e l e v e l s m u s t s h i f t d o w n w a r d w i t h

r e s p e c t t o t h e p - s i d e l e v e l s . I n t h i s c a s e , t h e r e a r e s o m e e n e r g y s t a t e s i n t h e

v a l e n c e b a n d o n t h e p - s i d e t h a t l i e a t t h e s a m e l e v e l a s a l l o w e d e m p t y s t a t e s

i n t h e c o n d u c t i o n b a n d o f t h e n - s i d e . H e n c e , t h e s e e l e c t r o n s m i g h t t u n n e l f r o m

t h e p t o t h e n - s i d e , g i v i n g r i s e t o t h e r e v e r s e d i o d e c u r r e n t . A s t h e m a g n i t u d e

o f t h e r e v e r s e b i a s i n c r e a s e s , t h e h e a v i l y - s h a d e d a r e g r o w s i n s i z e , c a u s i n g t h e

r e v e r s e c u r r e n t t o i n c r e a s e , a s s h o w n b y s e c t i o n 1 i n t h e F i g u r e b e l o w .

F i g u r e 2 : I V c h a r a c t e r i s t i c s .

C o n s i d e r n o w t h e f o r w a r d b i a s c a s e w h e n t h e p o t e n t i a l b a r r i e r i s d e c r e a s e d

b e l o w E

0

. T h e n - s i d e l e v e l s h i f t s u p w a r d w i t h r e s p e c t t o t h o s e o n t h e p - s i d e ,

a n d t h e e n e r g y - b a n d p i c t u r e f o r t h i s s i t u a t i o n i s i n d i c a t e d i n F i g u r e 3 .

2


3/7

F i g u r e 3 : F o r w a r d B i a s

3


4/7

I t i s c l e a r t h a t t h e r e w i l l b e o c c u p i e d s t a t e s i n t h e c o n d u c t i o n b a n d o n t h e

n - s i d e w h i c h a r e a t t h e s a m e e n e r g y a s t h e a l l o w e d e m p t y s a t e s h o l e s i n t h e

v a l e n c e b a n d o n t h e p - s i d e . H e n c e e l e c t r o n s w i l l t u n n e l f r o m t h e n t o t h e p

m a t e r i a l g i v i n g r i s e t o t h e f o r w a r d c u r r e n t o f s e c t i o n 2 . A s t h e f o r w a r d b i a s

i n c r e a s e s f u r t h e r , t h e c o n d i t i o n i n b i s r e a c h e d , g i v i n g r i s e t o m a x i m u m c u r r e n t

v a l u e . I f m o r e f o r w a r d b i a s i s a p p l i e d , t h e s i t u a t i o n i n c i s o b t a i n e d a n d t h e

t u n n e l i n g c u r r e n t d e c r e a s e s , g i v i n g t o s e c t i o n 3 . A t e v e n l a r g e r b i a s , t h e r e w i l l

n o t b e e m p t y a l l o w e d s t a t e s o n o n e s i d e o f t h e j u n c t i o n a t t h e s a m e e n e r g y a s

t h e o c c u p i e d s t a t e s o n t h e o t h e r s i d e a n d t h e t u n n e l i n g c u r r e n t d r o p s t o z e r o .

I n a d d i t i o n t o t h e q u a n t u m - m e c h a n i c a l c u r r e n t d e s c r i b e d a b o v e , t h e r e g u -

l a r p n - j u n c t i o n c u r r e n t i s b e i n g c o l l e c t e d a t l a r g e r v o l t a g e s , g i v i n g r i s e t o s e c t i o n

4 .

M a t h e m a t i c a l a n a l y s i s o f t h e t u n n e l i n g c u r r e n t i s b a s e d o n t h e r e s u l t s

d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s . I n o t h e r w o r d s , o n e c a n u s e t h e W K B a p -

p r o x i m a t i o n t o c a l c u l a t e t h e t u n n e l i n g c o e c i e n t o r p r o b a b i l i t y a n d t h e n u s e

t h e r e s u l t i n t o t h e L a n d a u e r e x p r e s s i o n f o r t h e c u r r e n t .

T o c a l c u l a t e t h e t u n n e l i n g c o e c i e n t , w e c o n s i d e r t h e c a s e w h e n E

?

= 0

a n d E

z

6= 0 , a n d w e a p p r o x i m a t e t h e b a r r i e r h e i g h t b y E

G

:

F i g u r e 4 : T u n n e l i n g b a r r i e r

V Z = E

G

1 ,

Z

W

1

T h e a t t e n u a t i o n o f t h e b a r r i e r i s t h u s

2 = 2

Z

Z

0

0

r

2 m

~

2

V Z , E

Z

d Z

4


5/7

= 2

Z

Z

0

0

s

2 m

~

2

E

G

1 ,

Z

W

, E

Z

d Z

= 2

Z

Z

0

0

s

2 m E

G

~

2

1 ,

Z

W

,

E

Z

E

g

d Z

= 2

Z

Z

0

0

r

2 m E

G

~

2

s

1 ,

Z

W

,

E

Z

E

g

d

,

Z

W

, W

= , 2 W

Z

Z

0

0

r

2 m E

G

~

2

s

1 ,

Z

W

,

E

Z

E

g

d

,

Z

W

= , 2 W

r

2 m E

G

~

2

1 ,

Z

W

,

E

Z

E

g

3 = 2

3 = 2

Z

0

0

= ,

4 W

3

r

2 m E

G

~

2

"

1 ,

Z

0

W

,

E

Z

E

g

3 = 2

,

1 ,

E

Z

E

g

3 = 2

2

w h e r e

1 ,

Z

0

W

,

E

Z

E

g

= 1 ,

E

g

, E

Z

E

g

,

E

Z

E

g

=

E

g

, E

Z

E

g

,

E

g

, E

Z

E

g

3

H e n c e

=

4 W

3

r

2 m E

G

~

2

1 ,

E

Z

E

g

3 = 2

4 W

3

r

2 m E

G

~

2

1 ,

3

2

E

Z

E

g

4

p r o v i d e d t h a t E

Z

= E

G

1 . S u b s t i t u t i n g t h e l a s t e x p r e s s i o n i n t o t h e W K B

r e s u l t f o r t h e t r a n s m i s s i o n c o e c i e n t g i v e s

T E

Z

= e

, 2

=

e

,

4 W

3

r

2 m E

G

~

2

| z

T

0

e

2 W

E

g

r

2 m E

G

~

2

E

Z

= T

0

e

E

Z

= E

0

5

w h e r e w e h a v e d e n e d

5


6/7

E

0

=

E

g

2 W

s

~

2

2 m E

g

=

s

~

2

E

2

g

2 m E

g

1

2 W

=

1

2 W

r

~

2

E

g

2 m

6

T h e e x p r e s s i o n f o r T E

Z

s u g g e s t s t h a t t h e l a r g e r t h e e n e r g y E

Z

, t h e l a r g e r

t h e p r o b a b i l i t y f o r t r a n s m i s s i o n , w h i c h s h o u l d b e e x p e c t e d .

T h e n e x t t a s k i s t o c a l c u l a t e t h e c u r r e n t u n d e r f o r w a r d b i a s c o n d i t i o n s , f o r

w h i c h w e u s e t h e p r e v i o u s l y d e r i v e d e x p r e s s i o n

F i g u r e 5 : F o r w a r d b i a s c o n d i t i o n s .

J = J

L ! R

, J

R ! L

= ,

e m

2

2

~

3

Z

1

0

d E

Z

T E

Z

Z

1

0

d E

t

f

L

E

Z

+ E

t

, f

R

E

Z

+ E

t

+ e V

a

7

w h e r e

E = E

Z

+ E

t

= E

Z

1

+ E

t

, E

c n

8

U s i n g t h e a p p r o x i m a t i o n v a l i d a t T ! 0 ;

f

L

E

Z

+ E

t

, f

R

E

Z

+ E

t

+ e V

a

=

6


7/7

= f E

Z

+ E

t

, f E

Z

+ E

t

, e V

a

@ f

@ E

E

Z

+ E

t

=

= , e V

a

E

Z

+ E

t

, E

F

9

w e g e t f o r t h e f o r w a r d c u r r e n t

J = ,

e m

2

2

~

3

, e V

a

T

0

Z

1

0

d E

t

Z

1

0

d E

Z

e

E

Z

= E

0

E

Z

+ E

t

, E

F

0

=

e

2

m

V

a

T

0

2

2

~

3

Z

E

m a x

t

0

d E

t

e

E

F

, E

t

= E

0

=

e

2

m

V

a

T

0

2

2

~

3

, E

0

e

, E

t

= E

0

E

m a x

t

0

= ,

e

2

m

V

a

T

0

E

0

2

2

~

3

h

e

, E

m a x

t

= E

0

, 1

i

1 0

w h e r e

E

m a x

t

= E

V P

+ E

c n

, e V

a

1 1

T h e r e f o r e

e

, E

m a x

t

= E

0

, 1 = e

, E

V P

+ E

c n

, e V

a

= E

0

, 1

1

.

,

E

V P

+ E

c n

, e V

a

E

0

, 1

.

1 2

i . e . ,

J = ,

e

2

m

V

a

T

0

E

0

2

2

~

3

,

E

V P

+ E

c n

, e V

a

E

0

=

e

2

m

V

a

T

0

2

2

~

3

E

V P

+ E

c n

| z

E

t

, e V

a

!

=

e

2

m

T

0

E

t

2

2

~

3

V

a

1 ,

e V

a

E

t

1 3

T h e m a x i m u m t r a n s v e r s e e n e r g y i s o b t a i n e d u s i n g

, E

c n o

+ e V

a

+ E

m a x

?

= E

V P

1 4

E

?

m a x

= E

V P

+ E

c n

, e V

a

1 5

7

quantum mechanics course qm004

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