Quantum Computing

Curs 5

Andreea Arusoaie

November 2, 2020

1 / 25

Qubiţi multipli

Reamintim...

I Produsul tensorial a două spaţii vectoriale formează un spaţiuvectorial mai mare. (Este util atunci când vrem să construim sistemecu multiparticule)

I Dacă V ,W sunt spaţii Hilbert de dimensiune m, respectiv n, atunciV ⊗W este un spaţiu Hilbert de dimensiun m · n.Dacă |ϕ〉 ∈ V şi |ψ〉 ∈W , atunci

|ϕ〉 ⊗ |ψ〉 = |ϕψ〉

I Fie V este un spaţiu Hilbert şi fie |ψ1〉, |ψ2〉, . . . , |ψn〉 ∈ V n qubiţiindependenţi, atunci utilizând postulatul 4 starea sistemului compus|ψsistem〉 ∈ V ⊗ V ⊗ . . .⊗ V este

|ψsistem〉 = |ψ1〉 ⊗ |ψ2〉 ⊗ . . .⊗ |ψn〉 = |ψ1ψ2 . . . ψn〉

2 / 25

Circuit cuantic

I În teoria informaţiei cuantice, un circuit cuantic (o reţea cuantică)este alcătuit dintr-o succesiune de porţi cuantice interconectate prinfire cuantice.

I Porţile cuantice sunt transformări reversibile pe un registru den-qubiţi.

I Un circuit cuantic generalizează ideea de circuite clasice, ı̂nlocuindporţile logice AND, NOT sau OR cu unele porţi cuantice.

I O poartă cuantică este o transformare unitară pe un număr mic dequbiţi (1, 2 sau 3).

3 / 25

Porţi logice pentru 1 qubit:

I Poarta X - X =

(0 11 0

)I Poarta Y - Y Y =

(0 −ii 0

)I Poarta Z - Z Z =

(1 00 −1

)I Poarta Hadamard - H H =

1√2

(1 11 −1

)I Phase gate - S S =

(1 00 i

)I Poarta T - T T =

(1 00 e i

π4

)I Phase shift gate - Rθ Rθ =

(1 00 e iθ

)

4 / 25

Porţi logice clasice pentru biţi multipli

Poarta AND

A B A AND B0 0 00 1 11 0 11 1 1

Poarta OR

A B A OR B0 0 00 1 01 0 01 1 1

5 / 25

Porţi logice clasice pentru biţi multipli

Poarta XOR

A B A XOR B0 0 00 1 11 0 11 1 0

Poarta NAND

A B A NAND B0 0 10 1 11 0 11 1 0

6 / 25

Porţi logice clasice pentru biţi multipli

Poarta NOR

A B A NOR B0 0 10 1 01 0 01 1 0

I AND, OR, XOR, NAND, NOR sunt cele mai utilizate porţilogice clasice;

I Orice funcţie definită pe biţi poate fi evaluată utilizând o compunerede porţi NAND. Poarta NAND se mai numeşte poartă universală.

7 / 25

Porţi cuantice pentru qubiti multipli

Putem găsi un circuit cuantic care să simuleze poarta AND?

Asta ar ı̂nsemna să găsim o matrice astfel ı̂ncât să aibă loc

|00〉 = |0x〉, |01〉 = |0y〉, |10〉 = |0z〉, |11〉 = |1t〉

Nu există nici un operator unitar care să modeleze AND.

Operatorii unitari ar trebui sa fie reversibili, nu ar trebui sa se piardăinformaţii după aplicarea operatorului.

Singurul proces ireversibil din calculul cuantic este măsurătoarea, careeste de fapt şi singura posibilitate de a extrage informaţii asupra unuiqubit.

8 / 25

Porţi cuantice pentru 2-qubiţi

Poarta cuantică controlled - NOT

I Această poartă are ca input doi qubiţi, unul cunoscut drept qubit decontrol, iar celălalt numit qubit ţintă.

I Reprezentarea ı̂n circuit a porţii C-NOT este următoarea

|A〉 |A〉

|B〉 |B ⊕ A〉

unde ⊕ reprezintă adunarea modulo 2.I |A〉 reprezintă qubitul de control, iar |B〉 este qubitul ţintă;

9 / 25

Poarta cuantică Controlled-NOT

Cum acţionează poarta C-NOT:

I dacă qubitul de control este 0 atunci qubitul ţintă este neschimbat;I dacă qubitul de control este 1, atunci qubitul ţintă este inversat;

|00〉 = |00〉, |01〉 = |01〉, |10〉 = |11〉, |11〉 = |10〉

I C-NOT este o generalizare a porţii logice cuantice XOR deoarece

|AB〉 −→ |A(B ⊕ A)〉

unde ⊕ este adunarea modulo 2, exact acţiunea porţii XOR.

10 / 25

Poarta cuantică Controlled-NOT

Reprezentarea matriceală a porţii C-NOT:

11 / 25

Porţi cuantice pentru qubiţi multipli

Când proiectăm un circuit doar cu o poarta cuantică pentru 1 qubit, ca ı̂nexemplul de mai jos

U ⊗ I

U

Acţionăm doar asupra primului qubit, cel de-al doilea rămânândneschimbat.

12 / 25

Porţi Controlled UPresupunem că U este o poartă generală pentru un qubit.

Atunci putem defini poarta Controlled-U ce acţionează asupra unuiregistru cu 2 qubiti (un qubit de control şi un qubit ţintă) astfel:

|0x〉 → |0x〉, |1x〉 → |1(Ux)〉

U

I dacă un qubit de control este definit, atunci poarta U este aplicatăqubitului ţintă.

Exemplu:

• Poarta C-NOT este o poartă Controlled-X:

X

13 / 25

Exemplul 1

Ce rezultat are următorul circuit?

|A〉 |A′〉

|B〉 |B ′〉

X Xnotat cu

14 / 25

Exemplul 2 - Circuit SWAP

Ce rezultat are următorul circuit?

|A〉 |A′〉

|B〉 |B ′〉notat

15 / 25

Poarta Toffoli

I Este o poartă ce se aplică pe un registru de 3 qubiţi, cu următoareareprezentare

|A〉 |A′〉

|B〉 |B ′〉

|C 〉 |C ′〉

I Doi qubiţi sunt qubiti de control, şi nu sunt afectaţi de poartaToffoli, iar al treilea, numit target bit, se schimbă dacă bitii decontrol sunt 1, altfel rămân nemodificaţi.

I Poarta Toffoli se mai numeşte şi poarta Controlled Controlled -NOT sau CCNOT.

16 / 25

Poarta Toffoli

I Tabelul de adevăr pentru poarta Toffoli, iar matricea asociată:

A B C A’ B’ C’

0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 10 1 0 0 1 00 1 1 0 1 11 0 0 1 0 01 0 1 1 0 11 1 0 1 1 11 1 1 1 1 0

I A→ A, B → B, C → C ⊕ A · B

17 / 25

Poarta Toffoli

I Poarta Toffoli poate fi utilizată pentru a simula porţi NAND.

CCNOT|AB1〉 = |AB(1⊕ A · B)〉 = |AB NOT (A · B)〉

Aşadar, avem

|A〉 |A〉

|B〉 |B〉

|1〉 |1⊕ A · B〉

18 / 25

Poarta Toffoli

I Orice operator logic clasic poate fi implementat de un circuit cuajutorul porţii cuantice Toffoli

- dacă vom considera qubitul |C〉 egal cu |0〉, putem implementaAND;

- dacă vom considera qubiţii |A〉 = |B〉 = |1〉, atunci obţinem poartaNOT.

I Cum porţile AND şi NOT sunt suficiente pentru a implementaorice circuit clasic Boolean, cu ajutorul porţilor Toffoli vom puteaimplementa orice circuit clasic ı̂ntr-o manieră reversibilă.

19 / 25

Poarta Toffoli

Poarta Toffoli poate fi implementată folosind porţi cuantice pentru doiqubiţi astfel:

unde T =

(1 00 exp(iπ/4)

), iar H = 1√

2

(1 11 −1

).

Observaţie: Poarta Toffoli poate fi implementată cu un minim de 5 porţipentru cu 2-qubiţi.

20 / 25

Poarta Controlled generală

Dacă presupunem că avem un registru de n + k qubiţi, iar U este unoperator unitar asociat unui registru de k-qubiţi, atunci vom definioperaţia de control C n(U) astfel

C n(U)|x1 . . . xn〉|ψ〉 = |x1 . . . xn〉Ux1·...·xn |ψ〉.

unde x1 · . . . · xn este produsul biţilor x1, . . . , xn. Prin urmare, operatorul

U este aplicat ultimilor k qubiţi dacă primii n qubiţi sunt egali cu 1, altfelnu efectuăm nici o acţiune.

Primii n qubiţi sunt qubiţi de control, iar următorii k qubiţi sunt qubiţiţintă.

21 / 25

Măsurare

Măsurarea nu este descrisă de o transformare unitară, deoarece este:

• IreversibilăUnele informaţii legate de sistemul cuantic se pierd, şi nu pot firecuperate.

• ProbabilistăOrice stare din mecanica cuantică este deterministă doar până lamăsurare. Rezultatele măsurătorilor sunt aleatorii.

• Nu sunt continue: Are loc “colapsarea” vectorului de amplitudine.

22 / 25

Măsurare

Vom reprezenta ı̂n circuitele noastre măsurarea ı̂n baza computaţionalăprin simbolul “meter”

Dacă dorim să măsurăm starea |ψ〉 = α|0〉+ β|1〉 ı̂n baza computaţionalăatunci reprezentăm astfel

|ψ〉

şi obţinem bitul clasic 0 cu probabilitatea |α|2 sau 1 cu probabilitatea |β|2

23 / 25

Mai general, considerăm două stări de bază |a〉 şi |b〉 ale unui qubit.Atunci o stare arbitrară poate fi scrisă ca o combinaţie liniară de acelestări α|a〉+ β|b〉.

Dacă {|a〉, |b〉} formează o bază ortonormală, putem să efectuămmăsuratoarea ı̂n raport cu această bază, obţinând starea a cuprobabilitatea |α|2 şi b cu probabilitatea |β|2.

Însă, ı̂n unele situaţii, este mai dificil să măsurăm ı̂n baze arbitrare, astfel,uneori, vom face o schimbare de baze pentru a lucra doar cu bazacomputaţională.

24 / 25

Referinţe

1. M.A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum Computation and QuantumInformation, Cambridge University Press, 2010 (2nd edition)

2 E. Rieffel, An introduction to Quantum Computing for Non-Psysicists,ACM Computing Surveys, Vol 32, 2000.

25 / 25