8/18/2019 Quadratic mean differentiability Example

1/5

 

 

 

 

 

 g(x) =   1

2 exp(−|x|)    g(x − θ)  

 g(x − θ)  

 

   

sθ+h(x)

−sθ(x) =  

  1

0

1

2

h

·sign(x

−θ

−uh) g(x −

θ

−uh)du

 

   sθ(x) =

 gθ(x)    sθ(x)    x  

 θ

   θ   =   x

   ṡθ(x) := 2

− 32 sign(x − θ)exp( |x−θ|

2  )

   sθ(x)

 sθ(x)    θ   =   x    sx(x) := 0  

 (δ n) ⊆  R    δ n → 0    (hn) ⊆  R    |hn| = 1

 hn → h    hn  

f n :=  sθ+δnhn − sθ

δ n  

f   := hṡθ.

 

 (f n − f )2dx → 0   

  (f n(x) − hnṡθ(x))2dx   = 

  (f n(x) − f (x) + (hn − h)sθ(x))2dx

≤   2 

  (f n(x) − f (x))2dx + 2 

  ((hn − h)ṡθ(x))2dx

 

 ((hn − h)ṡθ(x))2dx    hn − h  

 f n(x)    f (x)    x = θ  

 

 

f 2n   =  1

δ 2n(sθ+δnhn − sθ)2

=  1

δ 2n

   10

1

2δ nhn · sign(x − θ − uδ nhn)

 g(x − θ − uδ nhn)du

2≤   1

4

   10

g(x − θ − uδ nhn)du

 

8/18/2019 Quadratic mean differentiability Example

2/5

8/18/2019 Quadratic mean differentiability Example

3/5

  ||∆||2  := 

 ∆(x)2dx 1

2  

L2  

h

8/18/2019 Quadratic mean differentiability Example

4/5

 ṡθ(z )  

 I θ  

I θ   =

 R×{0,1}

f X (x)f 

xT θ2   y

F   1

2 (xT θ)+

  1 − y(1 − F (xT θ)) 12

2xxT dµ(x, y)

=  R

f X (x)f xT θ2   1F (xT θ)

 +   11 − F (xT θ)

xxT dx=

 R

f X (x)  f 

xT θ

2F (xT θ)(1 − F (xT θ))   

≤M 

xxT dx

  E(XX T )    I θ    

 

  (f λ)λ>0    f λ(x) = λe−λx   x ≥ 0    f λ(x) = 0  

x

8/18/2019 Quadratic mean differentiability Example

5/5

 

 

I (λ0) =  E

(1 − xλ0)2

4λ20

 =

  1

4λ20> 0

  √ n(λ̂n − λ0)    

4λ20