qfes cristales metalicos bn - universidad … enlace metálico es específico de fases condensadas....

Química Física del Estado Sólido U A M 2 0 0 5 – 0 6

Cristales metálicosCristales metálicos

QFES. Cristales metálicos. U.A.M. 2005–06. 2

ContenidosContenidos

Cristales metálicos

� El gas de electrones libres• Monodimensional

- Energía de Fermi; densidad de estados; energía total• Tridimensional• Efecto de la temperatura: Distribución de Fermi-Dirac

� Electrones en un potencial periódico• Ondas planas; red de Bravais; celda unidad primitiva; red recíproca; celda de Wigner-Seitz; primera zona de Brillouin • Funciones de Bloch • Bandas


BibliografíaBibliografía

The Physical Chemistry of SolidsThe Physical Chemistry of Solids, R. J. Borg and G. J. Dienes, (Academic , R. J. Borg and G. J. Dienes, (Academic Press, San Diego, 1992).Press, San Diego, 1992).

Solid State Physics,Solid State Physics, N. W. Ashcroft and N. David Mermin, (Thomson N. W. Ashcroft and N. David Mermin, (Thomson Learning, 1976). [Caps. 2, 4, 5, 8 y 9]Learning, 1976). [Caps. 2, 4, 5, 8 y 9]

Electronic Structure of Materials,Electronic Structure of Materials, A. P. Sutton, (Clarendon Press, Oxford, A. P. Sutton, (Clarendon Press, Oxford, 1993).1993).


Cristales metálicosCristales metálicos

• no aporta una explicación simple de las fuerzas de cohesión entre los átomos de un metal

Un punto de vista (“químico”): extensión de t. MO; gran abundancia de MOs; bandas

El enlace metálico es específico de fases condensadas. (Tradicionalmente, es tratado muy superficialmente desde la química.)

(no muy convincente como teoría simple; muchas cuestiones por contestar)

Otro punto de vista (“físico”): extensión refinada de una teoría del “gas de electrones libres”

Modelo de Bandas.

• es la base de la comprensión de conductividad y magnetismo• cálculos (ab initio o semiempíricos) “caso a caso”

Ductilidad; entalpías de fusión pequeñas (5-10 kcal/mol)La pérdida de periodicidad cristalina no juega un papel determinante en el enlace metálico.

Un modelo de partida: “Gas de electrones libres”


El gas de electrones libres


Gas de electrones libres (Gas de electrones libres (monodimensionalmonodimensional): El modelo): El modelo

x0 L

eN electrones

Distribución monodimensional de electrones libres (*) con una densidad electrónica , de Ne electrones por segmento de longitud L. (*) Cada electrón se mueve

sometido el potencial creado por todos los demás y se acepta que éste es el mismo para todos los electrones y en cualquier punto del espacio disponible para todos los electrones.

)()(2 2

22

xxxm

xxx ψεψ =∂

∂−h

[condiciones de contorno periódicas (Born-von Karman)])()( xLx xx ψψ =+

Atención: éstas NO son las condiciones de periodicidad naturales del cristal; sólo son condiciones de contorno “razonables”

equivalen a construir una “macrored” de periodicidad L

ed


Gas de electrones libres (Gas de electrones libres (monodimensionalmonodimensional): Niveles permitidos): Niveles permitidos

⇒c.c.

;)(xki

kxx

xeNx =ψ ;

2)( 2

2

xx km

kh

=ε

xkiLkixki xxx eee = ⇒ 1=Lki xe1cos =Lkx0sen =Lkx

⇒

πππ 2,4,2,0 xx nLk =±±= L

( )L,2,1,0 ±±=xnL

nk xx

π2=

Niveles permitidos

xk0L

π21

L

π22

L

π23

L

π21−

L

π22−

Lπ2

;si0 xx

xkixkikkee xx ′≠=

′

[ ] 1−= Lkx


Gas de electrones libres (Gas de electrones libres (monodimensionalmonodimensional): Niveles ocupados a T=0): Niveles ocupados a T=0

eN es muy grande (del orden de )2310

Principio de Pauli ⇒ máximo de 2 electrones / nivel electrónico ocupado

Último nivel ocupado (nivel de Fermi):

22

2,,

πππe

eFxFx d

L

N

Lnk ===

( ) ;212 , eFx Nn =+ ;24 , eeFx NNn ≅−=4

,e

Fx

Nn =

Energía de los niveles ocupados: 2

2

22

2

222

2

2

4

22)( xxxx n

mL

hn

Lmk

mk ===

πε

hh

( )4,,2,1,0 ex Nn ±±±= L

–distribución quasi-continua de niveles

muy grande

–el nivel 0 se suele omitir2

22

8eF d

m

πε

h=

Energía de Fermi:


Gas de electrones libres (Gas de electrones libres (monodimensionalmonodimensional): Niveles): Niveles

xk

22

2)( xx k

mk

h=ε

niveles ocupados

niveles vacíos

2

π

L

Ne+2

π

L

Ne−

Energía de Fermi

1ª (macro) zona de Brillouin

(de la “macrored” de periodicidad L) L

Ne π2

4+

L

Ne π2

4−

Fε


Gas de electrones libres (Gas de electrones libres (monodimensionalmonodimensional): Densidad de estados): Densidad de estados

εε dD )(

Número de estados cuya energía está comprendida entre y ε εε d+

Número de estados cuyo vector de onda está comprendida entre y xk xx dkk +

xx dkkD )(

22

2xk

m

h=ε→xk

xx dkkm

d2

h=ε→xdk

( )xdk

m

m2/1

2 εh=

estadounidades de longitud del eje

xkLπ2

1

π2

L==)( xkD

( )ε

εππd

m

mLdk

Lx 2/1

222 h= ε

επd

mL2/12/3

2/1 1

2h=

2/12/3

2/1 1

2)(

επε

h

mLD =

ε

)(εD


Gas de electrones libres (Gas de electrones libres (monodimensionalmonodimensional): Energía total): Energía total

∫=F

dDETε

εεε0

)(2

∫=F

dmL

ETε

εεεπ 0 2/12/1

2/1 1

2h

2/3

2/1

2/1

3

2

2F

mLε

πh=

Energía media por electrónEnergía media por electrón

222

48e

e

T dmN

E πh=

2

4

22

23eedN

m⋅=

πh

Fε6

1=

222

8eF d

m

πε

h=


Gas de electrones libresGas de electrones libresDistribución tridimensional de electrones libres (*) con una densidad electrónica, de, de Ne electrones en un volumen V.

)()(ˆ2

22

rrm

rrhψεψ =∇−

[condiciones de contorno periódicas (Born-von Karman)]

),,(),,( zyxzyLx ψψ =+L

L

L

),,(),,( zyxzLyx ψψ =+),,(),,( zyxLzyx ψψ =+

;)( rki

keCr

rr

rr

=ψ 22

2)( k

mk

hr=ε

( )L,2,1,0 ±±=xnL

nk xx

π2=

( )L,2,1,0 ±±=ynL

nk yy

π2=

( )L,2,1,0 ±±=znL

nk zz

π2=

( );,, zyx kkkk ≡r


Gas de electrones libresGas de electrones libres

xk

yk

L

π2Número de estados permitidos por unidad de volumen del espacio :k

r

( ) 3382

1

ππ

V

L=

Número de estados permitidos en una esfera del espacio de radio :k

r

3

2

3

3 63

4

8FF k

Vk

V

ππ

π=

xk

yk

Fk


Gas de electrones libres: Niveles ocupados a T=0Gas de electrones libres: Niveles ocupados a T=0

eF NkV

=3

262

πÚltimo nivel ocupado (nivel de Fermi):

;3 2

3

πFe k

V

N= 23 3πeF dk = (vector de onda de Fermi)

Esfera de Fermi: Esfera del espacio que contiene todos los estados ocupados a T=0 en el gas de electrones libres.

kr

Superficie de Fermi: Superficie del espacio que contiene todos los estados ocupados a T=0 en un cristal dado; en general no es una superficie esférica.

kr

Energía de Fermi: Energía del último nivel ocupado a T=03/23/22

22

2

)3(22

eFF dm

km

πεhh

==

Momento lineal de Fermi: hFF kp =

Velocidad de Fermi: mkmp FFF h==v

Temperatura de Fermi: FBF Tk=ε

Constituida por todos los puntos del espacio que tienen energía

kr

Fε


Gas de electrones libres: Densidad de estadosGas de electrones libres: Densidad de estados

dkkD )(

Número de estados cuyo vector de onda tiene un módulo comprendida entre y k dkk +

estados por unidad de volumen del espacio k

r volumen del espacio kr

comprendido entre yk dkk +

dkkV 2

34

8π

π=

;2

22

km

h=ε

εε dD )( dkkV 2

34

8π

π=

dkkm

d2

h=ε

( )ε

επ

πd

mmV2

2/1

3

24

8 hh= εε

πd

mV 2/1

2/123

2/3

2h=

2/1

2/123

2/3

2)( ε

πε

h

mVD =

ε

)(εD


Gas de electrones libres: Energía total y otras propiedadesGas de electrones libres: Energía total y otras propiedades

∫=F

dDETε

εεε0

)(2

2/5

23

2/32/3

5

2FT

mVE ε

πh= 3/2

3/53/42

10

3ee dN

m

πh=

3/23/222

)3(2

eF dm

πεh

=

3/23/53/42

10

3e

e

T dmN

E πh=

Fε5

3=Energía media por electrón:

Variación de la energía de Fermi con el volumen: VV

FF

3

2εε−=

∂

∂

Presión (interna) debida al gas de electrones: V

EP T

3

2=

Módulo de compresibilidad del gas de electrones: V

EB T

9

10=


Distribución de FermiDistribución de Fermi--DiracDirac

Dado un conjunto de Ne electrones en equilibrio térmico a la temperatura T,la probabilidad de que haya un electrón ocupando el nivel de energía iεviene dada por:

1

1)(

)( +=≡

− TkiiBFie

ppεε

ε

Número total de electrones: ∑=i

ie pN 2

si la energía de los niveles varía de forma quasi-continua

εεε dDp∫+∞

∞−= )()(2


Propiedades térmicas del gas de electrones libresPropiedades térmicas del gas de electrones libres

Número total de electrones

εε

π εεd

e

mVTkBF∫

∞+

−+

=0 )(

2/1

2/123

2/3

12

2hεεε dDpNe ∫

+∞

=0

)()(2

Energía total electrónica a la temperatura

εεεε dDpET ∫+∞

=0

)()(2

T

2/3

2/123

2/3

3

22

2F

mVε

πh=

εε

π εεd

e

mVTkBF∫

∞+

−+

=0 )(

2/3

2/123

2/3

12

2h

Capacidad calorífica electrónica a volumen constante, a la temperatura T

εεεε

dDT

pC elecV ∫

∞+

∂

∂=

0, )(

)(2


Capacidad calorífica electrónica a V constanteCapacidad calorífica electrónica a V constante

número de electrones que se excitan (a T) TkB~

energía ganada por cada electrón que se excitan (a T)

TkB~





TkB~





TkB~

energía térmica (a T) 22~ TkB

capaciad calorífica electrónica a voluemen constante

T~


Capacidad calorífica electrónica a V constanteCapacidad calorífica electrónica a V constantepor volumen V del metal (que contiene Ne electrones)

εεεε

dDT

pC elecV ∫

∞+

∂

∂=

0, )(

)(2

( )[ ]TkTkT

p

BFB

F

2cosh4

1)(22 εε

εεε

−

−=

∂

∂

εεε

ε dT

pDC FelecV ∫

∞+

∂

∂=

0,

)()(2

εεεε dDpET ∫+∞

=0

)()(2



εεε

ε dT

pDC FelecV ∫

∞+

∂

∂=

0,

)()(2

( )[ ]ε

εε

εεεε d

TkTkD

BFB

FF ∫

∞+

−

−=

0 22 2cosh4)(2

;2 Tk

xB

Fεε −= ;2 FB xTk εε += dxTkd B2=ε

dxTkx

xTk

T

xD B

Tk

FBF

B

F2

cosh4

)2(2)(2

2

2∫∞+

−

+= ε

εε

εε

ε dkx

xTkxDC B

FBFelecV ∫

∞+

∞−

+=

2,cosh

)2()(2



εεε dx

xk

x

xTkDC FBBFelecV ∫

∞+

∞−

+=

22

22

,coshcosh

2)(2

0cosh 2

=∫∞+

∞−dxx

x

6cosh

2

2

2 π=∫

∞+

∞−dxx

x

TkDC BFelecV

22

, )(3

2ε

π= variación lineal con

pendiente proporcional a

T

)( FD εb

por volumen V del metal (que contiene Ne electrones)



TkN

CF

BeelecV

ε

π 22

,2

=

Aconee NnN ,=

Gas de electrones libres

por volumen V del metal (que contiene Ne electrones)

2/1

2/123

2/3

2)( FF

mVD ε

πε

h=

3/23/222

)3(2

eF dm

πεh

=

V

Nd ee =

por mol de metalp.ej. metal monoatómico

BA

F

BconeelecV kN

TknC 3

6

2

,,

=

ε

π

TkNk

nC BA

F

BconeelecV

=

ε

π

2

2

,, Tb=F

coneT

Rnb

2

2

,

π=

a temperatura ambiente

vibVC ,

210~ −vibV

F

cone CT

Tn ,

2

,6

≈

π


Electrones en un potencial periódico


Ondas planasOndas planasOnda plana que se propaga en la dirección del espacio real :kr

rr=propag

rkierr ( )

zyx kkkk ,,≡r

( )zyxr ,,≡r

reales

reales

– el valor de la onda plana es constante en cualquier plano del espacio real que sea perpendicular a k

r

Czkykxkrk zyx =++=rr

(un plano para cada valor de ) kr

⊥ C

– el valor de la onda plana es periódico a lo largo de líneas paralelas a , con periodicidad dada por k

rkπλ 2=

kr

p.ej., en la dirección de k

r )( λ+= rkirki ee– es un momento lineal; se conoce como el “vector de onda”k

r

;ˆ xki

x

xki

xxx ekep h= ;ˆ

yki

y

yki

yyy ekep h= zki

z

zki

zzz ekep h=ˆ

hrrkp =


Red de Bravais; Celda unidad primitivaRed de Bravais; Celda unidad primitivaRed de Bravais:

Conjunto de puntos discretos cuyo vector de posición viene dado por

332211 anananRrrrr

++= 321 ,, nnn enteros

321 ,, aaarrr

no coplanares

(definición alternativa) Red infinita de puntos discretos, cuya distribución y orientación es idéntica en todos los puntos de la misma.

ejemplo de red de Bravais bidimensional

ejemplo de red bidimensional que no es de Bravais

Celda unidad primitiva:Volumen del espacio que, trasladado a todos los puntos de una red de Bravais, llena todo el espacio sin vacíos ni solapamientos: Genera el cristal completo.


Red recíproca Red recíproca (de una red de Bravais)(de una red de Bravais)

Sea una red de Bravais , de periodicidad { }Rr

( )321 ,, aaarrr

Red recíproca:

Una onda plana cualquiera no tiene, en general, la periodicidad de esa red de Bravais, pero sí la tiene si su vector de onda apunta en ciertas direcciones y tiene ciertas longitudes.k

r

Conjunto de vectores de onda cuyas ondas planas tienen la misma periodicidad que la red de Bravais (o red directa)

{ }Kr

rKiRrKi eerrrrr

=+ )({ }Kr

1=RKierr { }R

r

{ }Kr

red directa

red recíproca

Caso de una red directa cúbica:

π211 naK x =π222 naK y =π233 naK z =

Cada punto de una red recíproca representa una onda plana con las mismas condiciones de periodicidad que la red directa.

Si una onda plana tiene las mismas condiciones de periodicidad que la red directa, está representada por algún punto de la red recíproca.


Red recíproca Red recíproca (monodimensional)(monodimensional)

11 =aKi xe π211 naK x = L,2,1,01 ±±=n

=x

red directa

0 1a 12a 13a1a−12a−13a−

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−

celda unidad primitiva

1ª zona de Brillouin


Periodicidad de las ondas planas Periodicidad de las ondas planas (monodimensionales)(monodimensionales)

xai

e 1

2π

1

2a

k==

πλ

=x

red directa

0 1a 12a 13a1a−12a−13a−

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−


onda planaperiodicidad en la dirección de propagación

tiene la periodicidad

de la red directa



xai

e 1

4π

2

2 1a

k==

πλ

=x

red directa

0 1a 12a 13a1a−12a−13a−

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−




de la red directa



xa

i

e 1

8.0 π

15.22

ak

==π

λ

=x

red directa

0 1a 12a 13a1a−12a−13a−

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−



NO tiene la

periodicidad de la

red directa


Red recíproca Red recíproca (bidimensional)(bidimensional)

)0,( 11 aa =r

red directa

red recíproca

),0( 22 aa =r

)0,2( 11 aK π=r

)2,0( 22 aK π=r

2211 alalRrrr

+=

),( 2211 alal=

2211 KmKmKrrr

+=

)2,2( 2211 amam ππ=

ππ 22)( 2211 nmlmlRK =+=rr



)0,( 11 aa =r

red directa

red recíproca

),0( 22 aa =r

)0,2( 11 aK π=r

)2,0( 22 aK π=r

+ ya

xa

i21

222exp

ππ

p.ej.:21 2aa =

2

2 2a

k==

πλ

onda plana

periodicidad en la dirección de propagación


de la red directa


Red recíproca Red recíproca (bidimensional)(bidimensional)

aa )0,1(1 =r

red directa

red recíproca

aa )23,21(2 =r

aK 34)1,0(1 π=r

aK 34)21,23(2 π=r

2211 alalRrrr

+=

alll )23,2( 221 +=

2211 KmKmKrrr

+=

ammm 34)2,23( 212 π+=

ππ 22)( 122221 nmlmlmlRK =++=rr


Celda primitiva de WignerCelda primitiva de Wigner--SeitzSeitz

Celda de Wigner-Seitz en torno a un punto de una red de Bravais:Región del espacio que está más próxima a dicho punto que a cualquier otro de esa red de BravaisContrucción prácita: Trazar líneas desde ese punto hasta sus primeros vecinos de la red de Bravais; trazar planos bisectrices de las mismas; tomar el poliedro limitado por dichos planos que contiene el punto de la red de Bravais de referencia.


Primera zona de BrillouinPrimera zona de Brillouin

Primera zona de Brillouin:La celda de Wigner-Seitz en torno a un punto de la red recíproca

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−

1ª zona de Brillouin 11 aka x ππ ≤≤−

Del mismo modo que una celda primitiva unidad contiene toda la información sobre la estructura de un cristal, la primera zona de Brillouin contiene toda la información sobre las ondas planas que se propaguen en ese cristal.

113 aka x ππ −≤≤−11 3 aka x ππ ≤≤



Electrones en un potencial periódico: Teorema de BlochElectrones en un potencial periódico: Teorema de Bloch

=x red directa

0 1a 12a1a−12a− 2/L2/L−

~ 1 Å ~ 106 Å

)()( 1axVxV +=

Teorema de Bloch:

)()()(ˆ2

22

xxxVm xxx knnkkn ψεψ =

+∇−h

)()( 1axVxV +=

⇒)()( xUex

x

x

x kn

xki

kn =ψ

con )()( 1axUxUxx knkn +=

Las funciones propias de la ec. de Schrödinger con un potencial periódico son ondas planas multiplicadas por una función periódica (con la misma periodicidad que el potencial)

1aNL =


Electrones en un potencial periódico: Teorema de BlochElectrones en un potencial periódico: Teorema de Bloch

)()( 1

1 xeaxx

x

x kn

aki

kn ψψ =+o, alternativamente:

)()( xUexx

x

x kn

xki

kn =ψ con )()( 1axUxUxx knkn +=

)()( rUerkn

rki

kn

rrv

rr

r =ψ con )()( RrUrUknkn

rrrvv +=

)()( reRrkn

Rki

kn

rrrv

rr

r ψψ =+En tres dimensiones:


Electrones en un potencial periódico: Estados permitidosElectrones en un potencial periódico: Estados permitidos

Periodicidad microscópica, natural en el cristal

Condiciones de Bloch⇓

Periodicidad a escala macroscópica, impuesta arbitrariamente

Condiciones de Born-von Karman⇓

)()( 1

1 xeaxx

x

x kn

aki

kn ψψ =+

)()( 1 xNaxxx knkn ψψ =+

)()( xLxxx knkn ψψ =+

)()( 1

1 xeNaxx

x

x kn

aNki

kn ψψ =+

11 =aNki xe

;21 πxx mNak = ;2

1

xx mNa

kπ

= ( )L,2,1,0 ±±=xm

En el eje (del que algunos de sus puntos constituyen la red recíproca) hay un estado permitido por cada segmento de longitud

xk

12 Naπ

Los estados permitidos de un electrón en un potencial periódico tienen los mismos valores de que los estados permitidos del Gas de Electrones Libres!xk


Electrones en un potencial periódico: Estados permitidosElectrones en un potencial periódico: Estados permitidos

Estados permitidos: )(xxkn

ψ ;2

1

xx mNa

kπ

= ( )L,2,1,0 ±±=xm

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−

1

2

Na

π

1

4

Na

π

1

6

Na

π1

2

Na

π−

1ª zona Brillouin

En una celda primitiva de la red recíproca, el número de estados permitidos es:

12 Naπ12 aπ unidades long. eje k / celda primitiva rr

unidades long. eje k / estado permitidoN=

estados permitidos

celda primitiva rr

El número de estados permitidos en la primera zona de Brillouin es igual al número de celdas primitivas del cristal.


Electrones en un potencial periódico: BandasElectrones en un potencial periódico: Bandas

– Una función con condiciones de contorno Born-von Karman puede expresarse como combinación lineal de todas las ondas planas que satisfagan dichas condiciones de contorno

– Un potencial periódico puede expresarse como combinación lineal de todas las ondas planas que tengan la misma periodicidad (la del cristal)

xqi

q

q

x

x

x

eCx ∑∈

=GEL

)(ψ

;xqi

qx

xeN ;

22

1

xxx mNa

mL

qππ

== ( )L,2,1,0 ±±=xm

;xKi xe ;

21

1

na

K x

π= ( )L,2,1,01 ±±=n

[porque son todos los estados permitidos de un gas de electrones libres con cc B-vK]

[que son los elementos de la red recíproca]

xKi

K

RRK

x

x

x

eaxV ∑∈

=)(

)()( 1axVxV +=


1. Cálculo de la matriz del Hamiltoniano, , en la base de ondas planas del gas de electrones libres


Método variacional linealxq

C

xqi xeVT +ˆ

22

GEL2

)(ˆ qm

qeNTeN qqqq

xqi

q

xqi

q

h′′

′′ == δεδ

a. La matriz de energía cinética es diagonal [es el caso de GEL]

xqi

q

xKixqi

qK

RRK

xqi

q

xqi

q eNeeNaeNxVeN x

x

x

′′

∈

′′ ∑=)(

b. Las interacciones entre ondas planas sólo proceden del potencial periódico

xKqi

q

xqi

qK

RRK

eNeNa )( +′′

∈

∑=

[omitimos los subíndices x]

xqi

q

xqi

qKqqK

RRK

eNeNa +′

∈

∑= ,δ KqqK

RRK

a +′

∈

∑= ,δ

Sólo se acoplan (se mezclan) ondas planas cuyos vectores de onda difieren exactamente en algún vector de la red recíproca Kqq +′=


Electrones en un potencial periódico: BandasElectrones en un potencial periódico: BandasConviene escribir qKkq −= ∈kde modo que 1ª zona de Brillouin

siendoqK un vector de la red recíproca

p.ej.

=xk 01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

qqK−k

1ª zona Brillouin

entonces Kqq +′=

;KqKk q +′=− ( )qq KkKKkq ′−=+−=′

Las ondas planas que se acoplan por el potencial periódico se corresponden a un mismo desplazamiento de dos puntos distintos de la red recíprocak

qKkq −=

qKkq ′−=′

⇓Los estados electrónicos en un potencial periódico se pueden caracterizar con un vector de onda de la 1ª zona de Brilloink

)(xkψ



=xk 01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

k

1ª zona Brillouin

Lista de ondas planas que contribuyen a la función de onda

ka

+1

2πk

a+

1

4πk

a+

1

6πk

a+−

1

2πLL

)(xkψ

xKki

Kk

K

k eCx )(

RR

)( −−

∈

∑=ψ ∈k 1ª zona de Brillouin

2. Diagonalización de la matriz del HamiltonianoKkC −⇒

Resultan tantos estados como ondas planas contribuyentes )(xnkψ⇒



k

ka +− 12π

ka +12π

ka +− 14π

ka +14π

L

k′

ka ′+− 12π

ka ′+12π

ka ′+− 14π

ka ′+14π

L

H

0

0 0

0

x

x

x

x

xL

x

x

x

x

xL

x

x

x

x

xL

x

x

x

x

xL

x

x

x

x

xL

L

L

L

L

L

L

x

x

x

x

xL

x

x

x

x

xL

x

x

x

x

xL

x

x

x

x

xL

x

x

x

x

xL

L

L

L

L

L

L

x

xL

x

xL

x

xL

x

xL

x

xL

L

L

L00

k ′′

ka ′′+− 12π


2

1

2

2 am

πε

h

Niveles del GEL(m) en representación de zona reducidaNiveles del GEL(m) en representación de zona reducida

k

k121 ak π⋅−

121 ak π⋅+122 ak π⋅−

122 ak π⋅+

123 ak π⋅−

123 ak π⋅+

1

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π− k0



Modelo simplificado:Interacción entre estados del gas de electrones libres de energía parecida

xki

keNxKki

Kk eN )( −−

)(GEL kε

)(GEL Kk −ε

KkkV −,

KkkV −,

11H 12H

12H 22H

( )( ) 02

122211 =−−− HHH εε ( ) 02211

2

122211

2 =+−+− HHHHH εε

( ) 2

12

2

22112211

22

1H

HHHH +

−±+=ε

( ) 2

,

2

GELGELGELGEL

2

)()()()(

2

1Kkkk V

KkkKkk −+

−−±−+≈

εεεεε kk 21 , εε

L

Punto Kk2

1= (plano de Bragg) Kk Vk ±= )(GELεε


=xk 01

2

a

π

1

2

a

π−

1

98.0a

π

1

02.1a

π−

Interacción Kkk −L

Electrones en un potencial periódico: Formación de bandasElectrones en un potencial periódico: Formación de bandas



01

2

a

π

1

2

a

π−




01

2

a

π

1

2

a

π−


N/2 estados del GEL

N/2 estados del GEL

N/2 estados del GEL


KV2

01

2

a

π

1

2

a

π−


banda de N estados

banda de N estados

espaciado entre bandas (band gap)

Esquema de zona extendida


01

2

a

π

1

2

a

π−

1a

π


KV2banda de N estados

banda de N estados

espaciado entre bandas (band gap)

Esquema de zona reducida


1a

π0

=N

N e electrones/celda primitiva unidad

2< banda (de valencia) incompleta⇒[conductores]

2= banda (de valencia) llena⇒[aislantes y semiconductores intrínsecos]

Energía de Fermi (nivel de Fermi) si

1=NN e

2=NN e

3=NN e

4=NN e

4;2 <> banda (de valencia) incompleta⇒[conductores]

4= banda (de valencia) llena⇒[aislantes y semiconductores intrínsecos]

L



Bandas (bidimensionales), Bandas (bidimensionales), a lo largo del eje (ka lo largo del eje (kxx,0) de la 1ªZB, ,0) de la 1ªZB, en representación de zona reducidaen representación de zona reducida

espacio recíproco y red recíproca(de una red de Bravais bidimensional cuadrada)

xk

yk


Niveles del GEL(b) a lo largo del eje (kNiveles del GEL(b) a lo largo del eje (kxx,0) de la 1ªZB, ,0) de la 1ªZB, en representación de zona reducidaen representación de zona reducida

a

π

a

π2

a

π−

a

π2− xk

22

2 am

πε

h

( )0,2 akx π−( )0,xk

( )0,2 akx π+

( )0,4 akx π−

ZBkx ª1∈



a

π

a

π2

a

π−

a

π2− xk

22

2 am

πε

h

( )0,2 akx π−( )0,xk

( )0,2 akx π+

( )0,4 akx π−

ZBkx ª1∈

( )aakx ππ 2,2 ±−( )akx π2,±

( )aakx ππ 2,2 ±+

( )aakx ππ 2,4 ±−



a

π

a

π2

a

π−

a

π2− xk

22

2 am

πε

h

ZBkx ª1∈

( )0,2 akx π−( )0,xk

( )0,2 akx π+

( )0,4 akx π−

( )aakx ππ 2,2 ±−( )akx π2,±

( )aakx ππ 2,2 ±+

( )aakx ππ 2,4 ±−

( )aakx ππ 4,2 ±−( )akx π4,±



a

π

a

π2

a

π−

a

π2− xk

22

2 am

πε

h


Superficie de Fermi 1=XF εεy Primera zona de Brillouin


Diagrama de bandas del KI


1a

π0

εNúmero de estados en un interalo diferencial de energía en torno a :

Electrones en un potencial periódico: Densidad de estadosElectrones en un potencial periódico: Densidad de estados

εε dDdNestados )(=

Densidad de estados en torno a la energía :ε

)(εD

)(εD

ε

modelo linealEnergía de Fermi (nivel de Fermi) si

1=NN e

2=NN e

3=NN e

4=NN e



)(εD

εFε

Gas de electrones libres tridimensional

)(εD

εFε

Conductor metálico tridimensional

)(εD

εFε

Aislante tridimensional

gapε∆ )(εD

εFε

Semiconductor intrínseco tridimensional

gapε∆

Densidades de ocupación a T=0



)(εD

εFε

Gas de electrones libres tridimensional

)(εD

εFε

Conductor metálico tridimensional

)(εD

εFε

Aislante tridimensional

gapε∆ )(εD

εFε

Semiconductor intrínseco tridimensional

gapε∆

Densidades de ocupación a T>0

qfes cristales metalicos bn - universidad … enlace metálico es específico de fases condensadas....

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