p.w. white and j.a.c. weideman- numerical simulation of solitons and dromions in the...
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8/3/2019 P.W. White and J.A.C. Weideman- Numerical Simulation of Solitons and Dromions in the Davey-Stewartson System
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N U M E R I C A L S I M U L A T I O N O F S O L I T O N S A N D D R O M I O N S I N
T H E D A V E Y - S T E W A R T S O N S Y S T E M
P . W . W H I T E A N D J . A . C . W E I D E M A N
A b s t r a c t . W e e x t e n d t h e w e l l - k n o w n s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d f o r s o l v i n g t h e n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r
e q u a t i o n t o t h e D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m . W e d i s c u s s b o t h t h e e l l i p t i c - h y p e r b o l i c a n d h y p e r b o l i c -
e l l i p t i c c a s e s , a s w e l l a s t h e i m p l e m e n t a t i o n o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s . N u m e r i c a l t e s t s , i n c l u d i n g t h e
s i m u l a t i o n o f r a t i o n a l s o l i t o n s a n d d r o m i o n s , a r e p r e s e n t e d .
1 . I n t r o d u c t i o n . T h e n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n ( N L S )
i u
t
+
1
2
u
x x
+ u
2
u = 0 ;( 1 )
w i t h = 1 , u ( x ; t ) 2 C , x 2 I R , t > 0 , a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s u ( x ; t ) ! 0
a s x ! 1 , a r i s e s f r e q u e n t l y i n n o n l i n e a r d y n a m i c s . I t m o d e l s w e a k l y n o n l i n e a r
d i s p e r s i v e w a v e s i n a r e a s s u c h a s w a t e r w a v e s , p l a s m a s , a n d o p t i c s . T h e N L S m a y b e
v i e w e d a s a n i n n i t e d i m e n s i o n a l c o m p l e t e l y i n t e g r a b l e H a m i l t o n i a n s y s t e m a n d i t i s
t h e r e f o r e s o l v a b l e , a t l e a s t i n p r i n c i p l e , b y t h e i n v e r s e s c a t t e r i n g m e t h o d d e v e l o p e d
i n t h e l a s t t w o o r t h r e e d e c a d e s ( s e e 1 ] a n d t h e r e f e r e n c e s t h e r e i n ) . H o w e v e r , t h e
s o l u t i o n p r o c e d u r e f o r a r b i t r a r y i n i t i a l d a t a u ( x ; 0 ) = u
0
( x ) i s n o s i m p l e m a t t e r ,
a n d a c c u r a t e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n r e m a i n s a n i n d i s p e n s a b l e t o o l f o r c o m p l e m e n t i n g
a n a l y t i c a l s t u d i e s o f t h e N L S . P r o b a b l y t h e m o s t e c i e n t n u m e r i c a l m e t h o d f o r t h i s
p u r p o s e i s t h e s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d p r o p o s e d i n 9 ] .
T h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o e x t e n d t h e s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d t o t h e s o - c a l l e d
D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m ( D S )
i u
t
+
1
2
( u
y y
u
x x
) + u
2
u ? u
x
= 0( 2 )
x x
y y
? 2 ( u
2
)
x
= 0 ;
w h e r e ( x ; y ) 2 I R I R a n d ( x ; y ; t ) 2 I R . F i r s t d e r i v e d i n t h e c o n t e x t o f w a t e r w a v e s
6 ] , t h i s s y s t e m r e p r e s e n t s t h e c l o s e s t c o m p l e t e l y i n t e g r a b l e a n a l o g o f t h e N L S i n t w o
s p a c e d i m e n s i o n s 7 ] .
W i t h t h e u p p e r a n d l o w e r c h o i c e s o f s i g n , e q u a t i o n s ( 2 ) a r e r e f e r r e d t o a s t h e
e l l i p t i c - h y p e r b o l i c a n d h y p e r b o l i c - e l l i p t i c s y s t e m s , r e s p e c t i v e l y , o r s i m p l y D S I a n d
D S I I . F o r a d i s c u s s i o n o f t h e a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n e a c h c a s e w e r e f e r
t o 2 ] . T h e i n v e r s e s c a t t e r i n g m e t h o d a n d o t h e r t e c h n i q u e s h a v e b e e n e m p l o y e d t o
c o n s t r u c t v a r i o u s s o l u t i o n s t o t h e D S e q u a t i o n s ; a g e n e r a l r e f e r e n c e i s 1 ] . F o r e x a m p l e ,
l o c a l i z e d e x p o n e n t i a l l y d e c a y i n g s o l i t o n s d r i v e n b y b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a l s o r e f e r r e d
t o a s d r o m i o n s , h a v e b e e n d e r i v e d f o r D S I i n 5 , 7 ] . N o n - l o c a l i z e d l i n e - s o l i t o n s o f D S I I
a r e g i v e n i n 3 ] . O t h e r s o l u t i o n s o f D S I I i n c l u d e r a t i o n a l s o l i t o n s a n d s i n g u l a r s o l u t i o n s
4 ] .
T h e l i s t o f r e f e r e n c e s a t t h e e n d o f t h i s p a p e r a t t e s t t o v i g o r o u s r e s e a r c h a c t i v i t y
i n t h e l a s t f e w y e a r s o n a n a l y t i c a l a n d p h y s i c a l a s p e c t s o f t h e D S s y s t e m . Y e t , l i t t l e
h a s b e e n d o n e i n t h e a r e a o f n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s . T h e o n l y r e f e r e n c e w e a r e
D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , O r e g o n S t a t e U n i v e r s i t y , C o r v a l l i s , O r e g o n , 9 7 3 3 1 - 4 6 0 5
( w h i t e @ m a t h . o r s t . e d u , w e i d e m a n @ m a t h . o r s t . e d u . ) C o r r e s p o n d e n c e t o : P . W . W h i t e .
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a w a r e o f i s 1 3 ] , w h i c h t r e a t s t h e n o n i n t e g r a b l e c a s e i n w h i c h b o t h s i g n c h o i c e s i n
( 2 ) a r e t a k e n t o b e p o s i t i v e . T h i s l e a d s t o b l o w - u p s o l u t i o n s i n n i t e t i m e , p r o v i d e d
c e r t a i n m i n i m u m a m p l i t u d e r e q u i r e m e n t s a r e m e t i n i t i a l l y . T h e m e t h o d o f d y n a m i c
r e s c a l i n g w a s u s e d t o s t u d y t h e b l o w - u p n u m e r i c a l l y .
T h e o u t l i n e o f o u r p a p e r i s a s f o l l o w s : I n t h e n e x t s e c t i o n w e b r i e y s u m m a r i z e
t h e s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d a s i m p l e m e n t e d o n t h e N L S . I n x 3 w e e x t e n d t h e m e t h o d
t o t h e D S I I s y s t e m , a n d w e t e s t t h e s c h e m e o n a r a t i o n a l s o l i t o n . I n x 4 w e d i s c u s s t h e
D S I s y s t e m , a n d w e p r e s e n t w h a t w e b e l i e v e t o b e t h e r s t n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f
d r o m i o n s .
2 . R e v i e w o f t h e s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d f o r t h e N L S . A s r e m a r k e d
a b o v e , o n e o f t h e m o s t e c i e n t w a y s o f s o l v i n g t h e N L S n u m e r i c a l l y i s t h e s p l i t -
s t e p m e t h o d i n t r o d u c e d i n 9 ] . W e b a s e t h i s a s s e s s m e n t o n t h e c o m p r e h e n s i v e t e s t s
r e p o r t e d i n 1 6 ] , i n w h i c h s p l i t - s t e p m e t h o d p r o v e d t o b e s u p e r i o r t o v a r i o u s o t h e r
n u m e r i c a l a p p r o a c h e s t o t h e N L S . A b r i e f s u m m a r y o f t h e m e t h o d w i l l b e u s e f u l f o r
f u r t h e r d i s c u s s i o n s .
F i r s t , t h e N L S i s s p l i t i n t o a l i n e a r a n d n o n l i n e a r p a r t
L : i u
t
+
1
2
u
x x
= 0 ; N : i u
t
+ u
2
u = 0( 3 )
O b s e r v e t h a t t h e n o n l i n e a r p a r t c a n b e s o l v e d e x a c t l y , n a m e l y
u ( x ; t ) = a e x p ( i a
2
t ) ;( 4 )
f o r a n y a = a ( x ) 2 C
T h e t i m e v a r i a b l e i s d i s c r e t i z e d a s t
l
= l t , l = 0 ; 1 ; 2 ; : : : . I n t h e r s t - o r d e r
v e r s i o n o f t h e m e t h o d , t h e s o l u t i o n i s a d v a n c e d o v e r a n y t i m e i n t e r v a l t
l
; t
l + 1
b y
r s t s o l v i n g t h e n o n l i n e a r p r o b l e m ( N ) , w i t h s t e p - s i z e t , t o p r o d u c e a n i n t e r m e d i a t e
s o l u t i o n ~ u . A c c o r d i n g t o ( 4 ) , ~ u c a n b e c o m p u t e d e x a c t l y , n a m e l y
~u ( x ; t
l
+ t ) = u ( x ; t
l
) e x p ( i u ( x ; t
l
)
2
t )
T h i s i n t e r m e d i a t e s o l u t i o n t h e n b e c o m e s t h e i n i t i a l d a t a f o r t h e l i n e a r p r o b l e m ( L ) ,
w h i c h i s s o l v e d b y t a k i n g a d i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m a n d a d v a n c i n g t h e s o l u t i o n i n
F o u r i e r s p a c e f o r a t i m e - s t e p t . T a k i n g t h e i n v e r s e F o u r i e r t r a n s f o r m p r o d u c e s t h e
s o l u t i o n a t t i m e t = t
l + 1
, a n d t h e p r o c e s s i s r e p e a t e d . S c h e m a t i c a l l y :
u ( t
l
+ t ) = L
t
N
t
u ( t
l
)( 5 )
F o r a n a n a l y s i s o f t h i s m e t h o d w e r e f e r t o 1 7 ] .
T h e s e c o n d - o r d e r v a r i a n t o f t h e s p l i t - s t e p m e t h o d c o n s i s t s o f t w o n o n l i n e a r s t e p s
o n e i t h e r e n d w i t h s t e p - s i z e
1
2
t , w i t h a f u l l l i n e a r s t e p t i n b e t w e e n
u ( t
l
+ t ) = N 1
2
t
L
t
N 1
2
t
u ( t
l
)( 6 )
T h e s e c o n d - o r d e r m e t h o d i s r e c o m m e n d e d , s i n c e t h e b u l k o f t h e w o r k l i e s i n s o l v i n g
t h e l i n e a r p r o b l e m . I t s h o u l d a l s o b e o b s e r v e d t h a t i f o u t p u t i s n o t r e q u i r e d a t e v e r y
s t e p , t w o s t e p s c o u l d b e c o n c a t e n a t e d t o r e d u c e t h e c o m p u t a t i o n a l w o r k .
T h e s u c c e s s o f t h e s p l i t - s t e p m e t h o d m a y b e a t t r i b u t e d , a t l e a s t i n p a r t , t o t h r e e
f a c t o r s : F i r s t , t h e m e t h o d c o n s e r v e s t h e d i s c r e t e a n a l o g o f t h e i n t e g r a l i n v a r i a n t
R
1
? 1
u
2
d x ( s e e 1 7 ] ) . S e c o n d , t h e m e t h o d p r e s e r v e s t h e s y m p l e c t i c s t r u c t u r e o f t h e
H a m i l t o n i a n f o r m u l a t i o n ( s e e 1 0 , 1 2 ] ) . T h i r d , t h e f a c t t h a t t h e n o n l i n e a r p a r t o f t h e
p r o b l e m c a n b e s o l v e d e x a c t l y a v o i d s t h e n e e d f o r a n y n o n l i n e a r i t e r a t i o n .
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3 . T h e D S I I s y s t e m . T o e x t e n d t h e s p l i t - s t e p m e t h o d t o t h e D S I I s y s t e m , w e r e -
s t r i c t o u r s e l v e s f o r t h e m o m e n t t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s u ( x ; y ; t ) ! 0 , ( x ; y ; t ) !
0 a s x
2
+ y
2
! 1 . W e s p l i t t h e D S I I s y s t e m i n t o a l i n e a r a n d a n o n l i n e a r p a r t , a k i n
t o ( 3 )
L : i u
t
+
1
2
( u
y y
? u
x x
) = 0 ;( 7 )
a n d
N :
x x
+
y y
? 2 ( u
2
)
x
= 0( 8 )
i u
t
+ u
2
u ? u
x
= 0
T h e t i m e i n t e g r a t i o n p r o c e e d s a s s u m m a r i z e d i n ( 5 ) o r ( 6 ) , b y s o l v i n g t h e n o n l i n e a r
a n d l i n e a r p r o b l e m s s e q u e n t i a l l y .
W e r s t f o c u s o n t h e l i n e a r p r o b l e m ( L ) . T h i s i s s o l v e d b y t h e a n a l o g o u s p r o c e d u r e
a s i n t h e N L S c a s e , b y t a k i n g F o u r i e r t r a n s f o r m s a n d a d v a n c i n g t h e s o l u t i o n i n F o u r i e r
s p a c e . W e s k e t c h t h e d e t a i l s b r i e y . T h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s r e s t r i c t e d t o t h e
s q u a r e ( x ; y ) 2 ? P ; P ? P ; P ] . P r o v i d e d P i s s u c i e n t l y l a r g e s o t h a t u a n d i t s
d e r i v a t i v e s a r e s m a l l o u t s i d e o f t h i s d o m a i n , i t i s r e a s o n a b l e t o a p p r o x i m a t e u b y t h e
d o u b l e F o u r i e r s e r i e s
u
j k
=
X
m
X
n
a
m n
e
i (
m
x
j
+
n
y
k
)
;( 9 )
w h e r e u
j k
u ( x
j
; y
k
) ,
x
j
= j x ; y
k
= k y ; x = y =
P
N
;
a n d
m
= m ;
n
= n ; = =
P
H e r e , a n d b e l o w , a l l i n d i c e s m ; n ; j ; k r a n g e o v e r ? N t o N ? 1 . I n s o m e s i m u l a t i o n s i t
m i g h t b e a d v a n t a g e o u s t o u s e a r e c t a n g u l a r g r i d b u t w e r e s t r i c t o u r d i s c u s s i o n t o t h e
s q u a r e c a s e . T h e F o u r i e r s p a c e e q u i v a l e n t o f t h e l i n e a r p r o b l e m i u
t
+
1
2
( u
y y
? u
x x
) = 0
i s
i
d a
m n
d t
+
1
2
(
2
m
?
2
n
) a
m n
= 0 ;( 1 0 )
w i t h s o l u t i o n
a
m n
( t
l
+ t ) = e x p
1
2
i (
2
m
?
2
n
) t
a
m n
( t
l
)( 1 1 )
T h e l i n e a r p r o b l e m c a n t h e r e f o r e b e s o l v e d a s f o l l o w s : G i v e n t h e d a t a u
j k
( t
l
) , c o m p u t e
t h e c o e c i e n t s a
m n
( t
l
) f r o m ( 9 ) . T h i s r e q u i r e s o n e t w o - d i m e n s i o n a l d i s c r e t e F o u r i e r
T r a n s f o r m . N e x t a d v a n c e t h e s o l u t i o n i n F o u r i e r s p a c e a c c o r d i n g t o ( 1 1 ) . T h e s o l u t i o n
u
j k
( t
l
+ t ) f o l l o w s b y t a k i n g t h e i n v e r s e t r a n s f o r m .
T u r n i n g t o t h e n o n l i n e a r p r o b l e m , w e n e e d t o s o l v e f o r
x
, g i v e n u , f r o m t h e r s t
e q u a t i o n i n ( 8 ) . T o t h i s e n d , c o n s i d e r t h e F o u r i e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s
u
j k
2
=
X
m
X
n
b
m n
e
i (
m
x
j
+
n
y
k
)
;
j k
=
X
m
X
n
c
m n
e
i (
m
x
j
+
n
y
k
)
( 1 2 )
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T h e F o u r i e r s p a c e e q u i v a l e n t o f
x x
+
y y
? 2 ( u
2
)
x
= 0 i s
(
2
m
+
2
n
) c
m n
+ 2 i
m
b
m n
= 0 ;( 1 3 )
f r o m w h i c h w e c a n s o l v e f o r t h e c
m n
i n t e r m s o f t h e b
m n
. O n c e t h e c
m n
a r e k n o w n ,
o n e c a n c o m p u t e t h e v a l u e s o f (
x
)
j k
t h r o u g h
(
x
)
j k
=
X
m
X
n
i
m
c
m n
e
i (
m
x
j
+
n
y
k
)
( 1 4 )
N o t e t h a t ( 1 3 ) d o e s n o t d e t e r m i n e c
0 0
u n i q u e l y , b u t t h i s c o e c i e n t v a n i s h e s i n t h e
c o m p u t a t i o n o f ( 1 4 ) .
T o s o l v e t h e s e c o n d e q u a t i o n i n t h e n o n l i n e a r p r o b l e m ( 8 ) , w e f o l l o w t h e s u g g e s t i o n
i n 1 , p . 2 4 7 ] a n d u s e t h e s t r o n g c o u p l i n g l i m i t o f t h e D S e q u a t i o n s d e r i v e d i n 1 5 ] .
S u b s t i t u t i n g u = r e x p ( i ) i n t o ( 8 ) , w i t h b o t h r a n d a s s u m e d t o b e r e a l f u n c t i o n s o f
x ; y , a n d t , y i e l d s
r
t
= 0 ; a n d
t
= r
2
?
x
F r o m t h e r s t e q u a t i o n o n e g e t s r = r
0
( x ; y ) , a t i m e - i n d e p e n d e n t q u a n t i t y , a n d f r o m
x x
+
y y
? 2 ( r
2
0
)
x
= 0 w e c o n c l u d e t h a t i s t i m e - i n d e p e n d e n t t o o . T h u s
= ( r
2
0
?
x
) t +
0
;
a n d w e h a v e s o l v e d t h e n o n l i n e a r p r o b l e m ( 8 ) e x p l i c i t l y . O v e r o n e t i m e - s t e p t h i s
s o l u t i o n c a n b e e x p r e s s e d a s
u ( x ; y ; t
l
+ t ) = u ( x ; y ; t
l
) e x p
i ( u ( x ; y ; t
l
)
2
?
x
( x ; y ; t
l
) ) t
( 1 5 )
S u m m a r i z i n g , t h e r s t o r d e r s p l i t - s t e p m e t h o d f o r t h e D S I I s y s t e m p r o c e e d s a s
f o l l o w s : G i v e n t h e d a t a u
j k
a t a n y t i m e - s t e p t = t
l
, r s t s o l v e f o r (
x
)
j k
a s i n d i c a t e d
b y ( 1 2 ) { ( 1 4 ) . T h e n a d v a n c e t h e s o l u t i o n a c c o r d i n g t o t h e n o n l i n e a r p a r t , n a m e l y
( 1 5 ) . T h i s b e c o m e s t h e i n i t i a l d a t a f o r t h e l i n e a r p r o b l e m w h i c h i s s o l v e d b y F o u r i e r
t r a n s f o r m s a s i n d i c a t e d b y ( 1 0 ) { ( 1 1 ) .
O v e r a s i n g l e t i m e - s t e p t h e p r o c e s s r e q u i r e s f o u r t w o - d i m e n s i o n a l F a s t F o u r i e r
T r a n s f o r m s ( F F T 2 s ) . T h e r s t c o m p u t e s t h e c o e c i e n t s b
m n
i n ( 1 2 ) , t h e s e c o n d
c o m p u t e s t h e v a l u e s o f (
x
)
j k
i n ( 1 4 ) , a n d t h e t h i r d a n d f o u r t h a d v a n c e t h e l i n e a r
p a r t . T h e r e m a i n i n g w o r k , n a m e l y t h e c o m p u t a t i o n o f ( 1 1 ) , ( 1 3 ) , a n d ( 1 5 ) , i s o f l o w e r
c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y t h a n t h e F F T s . W e r e m a r k t h a t t h e F F T 2 o n a n N N
m a t r i x c a n b e i m p l e m e n t e d a s N F F T 1 s o n t h e r o w s , f o l l o w e d b y N F F T 1 s o n t h e
c o l u m n s o f t h e r e s u l t . I n b o t h c a s e s t h e F F T 1 s c a n b e p r e f o r m e d s i m u l t a n e o u s l y v i a
e i t h e r p a r a l l e l p r o c e s s i n g o r a v e c t o r p r o c e s s o r a n d t h e p r o p e r c o d i n g . I n t h i s m a n n e r
t h e n u m b e r o f o p e r a t i o n s i s r e d u c e d t o O ( N l o g N ) p e r F F T 2 .
T h e e x t e n s i o n o f t h e r s t - o r d e r s p l i t - s t e p m e t h o d t o t h e s e c o n d - o r d e r m e t h o d ( 6 )
i s s t r a i g h t f o r w a r d . T h i s a d d s o n l y t w o e x t r a F F T 2 s , c o r r e s p o n d i n g t o t h e a d d i t i o n a l
a p p l i c a t i o n o f t h e n o n l i n e a r o p e r a t o r .
W e t e s t t h e s e c o n d - o r d e r s c h e m e o n a r a t i o n a l 1 - s o l i t o n . W i t h = ? 1 , t h e D S I I
s y s t e m a d m i t s t h e s o l u t i o n
u ( x ; y ; t ) =
2 e x p ( 2 i ( y ? t ) )
1 + ( x + 1 )
2
+ ( y ? 2 t )
2
;( 1 6 )
4
-
8/3/2019 P.W. White and J.A.C. Weideman- Numerical Simulation of Solitons and Dromions in the Davey-Stewartson System
5/10
-100
10-100
10
0
2
t=-3.5
-100
10-100
10
0
2
t=3.5
-100
10-100
10
0
2
t=0
F i g . 1 N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f t h e r a t i o n a l 1 - s o l i t o n ( 1 6 ) o f t h e D S I I s y s t e m , a s c o m p u t e d b y
t h e s e c o n d - o r d e r s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d . H e r e N = 3 2 x = y = 0 5 x y 2 ? 1 6 1 6 t = 0 0 1
w h i c h i s a s p e c i a l c a s e o f t h e m o r e g e n e r a l s o l i t o n s o l u t i o n s o b t a i n e d i n 4 ] . T h e p r o l e
u r e p r e s e n t s a s i n g l e h u m p , t r a v e l i n g w i t h s p e e d 2 a l o n g t h e l i n e x = ? 1
W e s h o u l d p o i n t o u t t h a t r a t i o n a l s o l i t o n s l i k e t h e s e a r e n o t o r i o u s l y h a r d t o s i m -
u l a t e n u m e r i c a l l y , e v e n i n t h e c a s e o f o n e s p a c e d i m e n s i o n . ( S u c h s o l i t o n s a r i s e f o r
e x a m p l e i n t h e B e n j a m i n - O n o e q u a t i o n ; s e e 1 1 ] ) . T h e r e a s o n f o r t h e d i c u l t y i s t h a t
t h e s e s o l u t i o n s d e c a y m u c h s l o w e r t h a n t h e s t a n d a r d s o l i t o n s w i t h e x p o n e n t i a l d e c a y ,
a n d t h e r e f o r e a v e r y w i d e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s r e q u i r e d , c a u s i n g a l a c k o f r e s o l u -
t i o n . N e v e r t h e l e s s , o u r s c h e m e d i d n o t h a v e a n y d i c u l t y i n p r o d u c i n g a s a t i s f a c t o r y
a p p r o x i m a t i o n .
I n F i g . 1 w e s h o w t h e c o m p u t e d p r o l e o f u a s a f u n c t i o n o f x a n d y , a t t i m e s t =
? 3 5 ; 0 ; 3 5 . T h e i n i t i a l d a t a w a s p i c k e d f r o m t h e e x a c t s o l u t i o n ( 1 6 ) , a t t = ? 3 5 . W e
h a v e u s e d 6 4 g r i d p o i n t s i n b o t h x a n d y d i r e c t i o n s , o v e r t h e s q u a r e ? 1 6 ; 1 6 ? 1 6 ; 1 6 ] ,
i . e . , x = y = 0 5 , u s i n g a t i m e - s t e p t = 0 0 1 . E v e n w i t h t h i s r e l a t i v e l y c o a r s e g r i d ,
t h e c o m p u t e d s o l i t o n p r e s e r v e s i t s i n t e g r i t y t o a n a c c e p t a b l e d e g r e e . A c o m p a r i s o n
w i t h t h e t r u e s o l u t i o n i s p r e s e n t e d i n F i g . 2 , w h e r e w e s h o w c o n t o u r l e v e l s o f t h e
s o l u t i o n s . N o t e t h a t t h e s p e e d o f t h e s o l i t o n i s a l s o a p p r o x i m a t e d a c c u r a t e l y .
A s a n a d d i t i o n a l c h e c k , w e q u o t e f r o m 8 ] t h e f o l l o w i n g t w o c o n s e r v e d q u a n t i t i e s
o f D S I I
I
1
=
Z
1
? 1
Z
1
? 1
u
2
d x d y ; ( 1 7 )
I
2
=
Z
1
? 1
Z
1
? 1
u
y
2
? u
x
2
? u
4
+
1
2
(
2
x
+
2
y
)
d x d y : ( 1 8 )
T h e i n t e g r a l I
2
i s r e l a t e d t o t h e H a m i l t o n i a n ( s e e 1 ] ) . I t i s e a s y t o s h o w t h a t o u r
s c h e m e p r e s e r v e s t h e d i s c r e t e a n a l o g o f t h e i n t e g r a l I
1
, a n d t h i s w a s v e r i e d f o r t h e
s i m u l a t i o n s h o w n i n F i g . 1 . O n t h e o t h e r h a n d , o u r m e t h o d d o e s n o t c o n s e r v e t h e
i n t e g r a l I
2
. I n p r a c t i c e , h o w e v e r , i t s d i s c r e t e a n a l o g w a s f o u n d t o b e c o n s t a n t t o a t
l e a s t s i x s i g n i c a n t d i g i t s o v e r t h e p e r i o d o f t h e s i m u l a t i o n , n a m e l y t 2 ? 3 5 ; 3 5
W e s h o u l d p o i n t o u t t h a t o u r m e t h o d a s d e s c r i b e d h e r e i s n o t y e t a p p l i c a b l e t o
t h e s i m u l a t i o n o f t h e l i n e - s o l i t o n s p r e s e n t e d i n 3 ] . T h o s e s o l u t i o n s d o n o t s a t i s f y t h e
b o u n d a r y c o n d i t i o n s u ! 0 a s x
2
+ y
2
! 1 a n d o u r s c h e m e n e e d s t o b e m o d i e d
a c c o r d i n g l y . S u c h m o d i c a t i o n s w i l l b e a d d r e s s e d i n 1 8 ] .
5
-
8/3/2019 P.W. White and J.A.C. Weideman- Numerical Simulation of Solitons and Dromions in the Davey-Stewartson System
6/10
-10 0 10
-10
0
10
Theoretical Solution
t=-3.5
t=0
t=3.5
-10 0 10
-10
0
10
Numerical Solution
t=-3.5
t=0
t=3.5
F i g . 2 C o m p a r i s o n o f t h e t h e o r e t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o F i g . 1 . L e v e l
c u r v e s o f u a r e s h o w n .
4 . T h e D S I s y s t e m . I t i s l e s s s t r a i g h t f o r w a r d t o e x t e n d t h e s p l i t - s t e p m e t h o d
t o t h e D S I s y s t e m . T h e k e y d i s t i n c t i o n l i e s i n t h e f a c t t h a t t h e o p e r a t o r i n t h e s e c o n d
e q u a t i o n i n ( 2 ) i s n o w h y p e r b o l i c r a t h e r t h a n e l l i p t i c . A l s o , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s
x
! 0 , x
2
+ y
2
! 1 , d o n o t g i v e r i s e t o a n y i n t e r e s t i n g s o l u t i o n s : a l l i n i t i a l p r o l e s
s i m p l y d i s p e r s e a w a y ( s e e 7 ] ) . T o o b t a i n c o h e r e n t s t r u c t u r e s l i k e s o l i t o n s o r d r o m i o n s ,
n o n - t r i v i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n n e e d t o b e s p e c i e d a t i n n i t y . W e w i l l c o n t i n u e
t o a s s u m e t h e c o n d i t i o n s u ! 0 , x
2
+ y
2
! 1 , h o w e v e r .
P e r h a p s t h e s i m p l e s t w a y t o p r e p a r e t h e D S I s y s t e m f o r s p l i t - s t e p s o l u t i o n i s t o
c h a n g e v a r i a b l e s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c c o o r d i n a t e s x = x + y , y = x ? y . T h i s i s t h e s a m e
a p p r o a c h u s e d i n 7 ] t o p r e p a r e t h e D S I s y s t e m f o r t h e i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o c e d u r e .
T h e s y s t e m ( 2 ) i s t h u s t r a n s f o r m e d i n t o
i u
t
+ ( u
x x
+ u
y y
) ? u V = 0 ;( 1 9 )
w h e r e
V =
1
2
Z
x
? 1
( u
2
)
y
d x +
Z
y
? 1
( u
2
)
x
d y
+
x
( x ; ? 1 ; t ) +
y
( ? 1 ; y ; t )( 2 0 )
N o t e : a t t h e r i s k o f c o n f u s i n g t h e r e a d e r w e h a v e r e p l a c e d ( x ; y ) w i t h ( x ; y ) f o r n o t a -
t i o n a l s i m p l i c i t y . T h e l a s t t w o t e r m s o n t h e r i g h t a r e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t n e e d
t o b e s u p p l i e d .
T h e l i n e a r p a r t a s s o c i a t e d w i t h ( 1 9 ) , n a m e l y i u
t
+ ( u
x x
+ u
y y
) = 0 , c a n b e s o l v e d
a s b e f o r e : t a k e t h e t w o - d i m e n s i o n a l F o u r i e r t r a n s f o r m , a d v a n c e i n t i m e i n c o e c i e n t
s p a c e , a n d r e t u r n t o p h y s i c a l s p a c e b y a n i n v e r s e t r a n s f o r m .
L i k e w i s e , t h e n o n l i n e a r p r o b l e m , n a m e l y i u
t
? u V = 0 , c a n b e s o l v e d a s b e f o r e , b y
s u b s t i t u t i n g u = r e x p ( i ) . T h i s l e a d s t o t h e s y s t e m r
t
= 0 ,
t
= ? V , w i t h s o l u t i o n
r = r
0
( x ; y ) ; = ?
Z
t
0
V d t +
0
O v e r a s i n g l e t i m e - s t e p t h e n o n l i n e a r p a r t m a y t h e r e f o r e b e a d v a n c e d a c c o r d i n g t o
u ( x ; y ; t
l
+ t ) = u ( x ; y ; t
l
) e x p ( ? V ( x ; y ; t
l
) t ) ;( 2 1 )
6
-
8/3/2019 P.W. White and J.A.C. Weideman- Numerical Simulation of Solitons and Dromions in the Davey-Stewartson System
7/10
w h e r e w e h a v e u s e d t h e a p p r o x i m a t i o n
Z
t
+ 1
t
V d t = V ( t
l
) t + O ( t
2
)
I t r e m a i n s t o d i s c u s s t h e c o m p u t a t i o n o f V f r o m ( 2 0 ) w h e n u a n d b o u n d a r y
c o n d i t i o n s
x
( x ; ? 1 ; t ) ,
y
( ? 1 ; y ; t ) , a r e s u p p l i e d . C o n t i n u i n g t o a s s u m e b o u n d a r y
c o n d i t i o n s u ! 0 a s x
2
+ y
2
! 1 , w e c o n s i d e r t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n ? P ; P
? P ; P ] a s a p p r o x i m a t i o n t o I R I R . T h u s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s
x
( x ; ? 1 ; t ) ,
y
( ? 1 ; y ; t ) a r e a s s u m e d t o b e s u p p l i e d a t x ; y = ? P , r a t h e r t h a n x ; y = ? 1 . N e x t
w e c o n s i d e r t h e F o u r i e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n o f u
2
g i v e n i n ( 1 2 ) . D i e r e n t i a t i o n o f
u
2
w i t h r e s p e c t t o y , a n d i n t e g r a t i o n w i t h r e s p e c t t o x , y i e l d
Z
x
j
? P
( u
2
)
y
d x =
X
m 6= 0
X
n
n
m
b
m n
e
i
n
y
k
h
e
i
m
x
j
? e
? i
m
P
i
+ ( x
j
+ P )
X
n
i
n
b
0 n
e
i
n
y
k
T h i s r e p r e s e n t s t h e a p p r o x i m a t i o n t o t h e r s t t e r m o n t h e r i g h t s i d e o f ( 2 0 ) . A s i m i l a r
f o r m u l a a p p r o x i m a t e s t h e s e c o n d t e r m . E a c h o f t h e s e f o r m u l a s c a n b e c o m p u t e d
w i t h o n e F F T 2 a n d t w o F F T 1 s . T o g e t h e r w i t h t h e p r e s c r i b e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s
x
( x ; ? P ; t ) ,
y
( ? P ; y ; t ) , t h e y e n a b l e o n e t o c o m p u t e V
S u m m a r i z i n g , t h e r s t - o r d e r s p l i t - s t e p m e t h o d f o r t h e D S I s y s t e m p r o c e e d s a s
f o l l o w s : F o r g i v e n d a t a u
j k
a t a n y t i m e - l e v e l t
l
, t h e c o r r e s p o n d i n g V
j k
i s c o m p u t e d a s
d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h . O n c e V
j k
i s k n o w n , t h e s o l u t i o n c a n b e a d v a n c e d
a c c o r d i n g t o t h e n o n l i n e a r p a r t i u
t
? u V = 0 , n a m e l y ( 2 1 ) . T h i s p r o v i d e s t h e i n i t i a l
d a t a f o r t h e l i n e a r p r o b l e m i u
t
+ ( u
x x
+ u
y y
) = 0 , w h i c h i s a d v a n c e d i n t h e u s u a l
m a n n e r t h r o u g h F o u r i e r t r a n s f o r m s .
T h e a l g o r i t h m f o r t h e D S I s y s t e m i s s o m e w h a t m o r e e x p e n s i v e t h a n t h e o n e f o r t h e
D S I I s c h e m e : t h e d i e r e n c e l i e s i n t h e f a c t t h a t t h e c o m p u t a t i o n o f V i n ( 2 0 ) r e q u i r e s
t h r e e F F T 2 s , w h e r e a s t h e c o m p u t a t i o n o f
x
i n ( 1 4 ) r e q u i r e s o n l y t w o . T h u s , o n e s t e p
o f t h e r s t - a n d s e c o n d - o r d e r s p l i t - s t e p s c h e m e s ( 5 ) a n d ( 6 ) r e q u i r e s r e s p e c t i v e l y v e
a n d e i g h t F F T 2 s f o r D S I . T h e c o r r e s p o n d i n g g u r e s f o r D S I I a r e f o u r a n d s i x . I t i s
t h u s a d v i s a b l e t o r e o r d e r t h e s e c o n d - o r d e r s c h e m e ( 6 ) f o r D S I s o a s t o d o t w o l i n e a r
s t e p s a n d o n e n o n l i n e a r s t e p . T h i s s a v e s o n e F F T 2 p e r t i m e s t e p .
W e r s t t e s t e d t h e s e c o n d - o r d e r m e t h o d o n t h e d r o m i o n s o l u t i o n
u ( x ; y ; t ) =
4 i e x p ( ? ( x + y + 4 t ) ? i ( x + y ) )
( 1 + e x p ( ? 2 x ? 4 t ) ) ( 1 + e x p ( ? 2 y ? 4 t ) ) + 1
;( 2 2 )
w i t h = ? 1 . I t r e p r e s e n t s a l o c a l i z e d h u m p , m o v i n g w i t h s p e e d 2
p
2 i n t h e n e g a t i v e
d i r e c t i o n o f t h e l i n e y = x . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a s s o c i a t e d w i t h a r e
x
( x ; ? 1 ; t ) = ? 2 s e c h
2
( x + 2 t ) ;
y
( ? 1 ; y ; t ) = ? 2 s e c h
2
( y + 2 t )
T h i s s o l u t i o n i s a s p e c i a l c a s e o f t h e g e n e r a l f o r m u l a f o r ( 1 ; 1 ) - d r o m i o n s p r e s e n t e d i n
7 ] .
I n o u r s i m u l a t i o n w e h a v e p i c k e d t h e i n i t i a l c o n d i t i o n f r o m t h e t h e o r e t i c a l s o l u t i o n ,
c o r r e s p o n d i n g t o t = ? 3 . W e u s e d a d o m a i n x ; y 2 ? 1 2 ; 1 2 ] , w i t h 6 4 g r i d p o i n t s i n
e a c h d i r e c t i o n , a n d t = 0 0 1 , t 2 ? 3 ; 3 ] . I n p l o t s s u c h a s t h o s e i n F i g s . 1 a n d 2 ,
w e c o u l d n o t s e e t h e d i e r e n c e i n t h e n u m e r i c a l a n d t h e o r e t i c a l s o l u t i o n s . S i n c e t h e
p i c t u r e s a r e n o t v e r y i n t e r e s t i n g , w e d o n o t r e p r o d u c e t h e m h e r e .
7
-
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8/10
-10
0-10
00
2
4
t=-3
-10-5
05
-10-5
050
2
4
t=-1
-50
5-5
05
0
2
4
t=0
0
10
0
10
0
2
4
xy
t=3
F i g . 3 N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f a ( 2 2 ) - d r o m i o n o f t h e D S I s y s t e m , a s c o m p u t e d b y t h e s e c o n d -
o r d e r s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d . H e r e N = 1 2 8 x = y = 1 1 = 6 4 x y 2 ? 2 2 2 2 t = 0 0 1
A s a m o r e s t r i n g e n t t e s t , w e a l s o a t t e m p t e d t h e s i m u l a t i o n o f a ( 2 ; 2 ) - d r o m i o n .
W e c h o s e t h e s a m e s e t o f p a r a m e t e r v a l u e s a s t h e d r o m i o n p i c t u r e d i n F i g . 1 { 3 o f 7 ] ,
a n d a l s o F i g . 1 ( a ) { ( f ) o f 1 4 ] . T h e p i c t u r e s i n t h e s e t w o r e f e r e n c e s w e r e n o t g e n e r a t e d
b y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f c o u r s e , b u t f r o m t h e t h e o r e t i c a l s o l u t i o n . W e c o m p u t e d
t h i s s o l u t i o n , w h i c h i s m u c h t o o c o m p l i c a t e d t o r e p r o d u c e h e r e , f r o m t h e f o r m u l a s i n
1 4 ] u s i n g M a t h e m a t i c a .
W e h a v e p i c k e d t h e i n i t i a l c o n d i t i o n f r o m t r u e s o l u t i o n , a t t = ? 3 . W e a l s o p i c k e d
t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n f r o m t h e t r u e s o l u t i o n . T h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n w a s
t h e s q u a r e x ; y 2 ? 2 2 ; 2 2 ] , w i t h 2 5 6 g r i d p o i n t s i n e a c h d i r e c t i o n . T h e t i m e - s t e p w a s
t = 0 0 1
F i g . 3 s h o w s t h e r e s u l t o f t h i s s i m u l a t i o n . A t t = ? 3 , t h e i n i t i a l p r o l e u c o n s i s t s
o f f o u r e x p o n e n t i a l l y d e c a y i n g h u m p s , l o c a l i z e d i n t h e t h i r d q u a d r a n t o f t h e ( x ; y )
p l a n e . T h e y m o v e t o w a r d t h e o r i g i n , w h e r e t h e y c o l l i d e a r o u n d t = 0 . A f t e r t h e
c o l l i s i o n f o u r l o c a l i z e d c o h e r e n t s t r u c t u r e s c o n t i n u e t o m o v e i n t o t h e r s t q u a d r a n t .
N o t e t h a t e n e r g y i s e x c h a n g e d d u r i n g t h e i n t e r a c t i o n . I n t h i s r e s p e c t d r o m i o n s d i e r
f r o m s o l i t o n s , w h i c h d o n o t e x c h a n g e e n e r g y d u r i n g c o l l i s i o n 1 4 ] . A c o m p a r i s o n o f
o u r F i g . 3 w i t h t h e p i c t u r e s i n 7 ] a n d 1 4 ] c o n r m s t h a t o u r n u m e r i c a l r e s u l t s a r e
a c c u r a t e . A s a f u r t h e r c h e c k o n t h e a c c u r a c y , w e p r e s e n t i n F i g . 4 l e v e l c u r v e s o f
u c o r r e s p o n d i n g t o t h e t h e o r e t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s . T h e d i e r e n c e i s h a r d l y
n o t i c e a b l e .
8
-
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9/10
-5 0 5-5
0
5Numerical Solution (t=0)
-5 0 5-5
0
5Theoretical Solution (t=0)
0 5 10 150
5
10
15Theoretical Solution (t=3)
0 5 10 150
5
10
15Numerical Solution (t=3)
F i g . 4 C o m p a r i s o n o f t h e t h e o r e t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o F i g . 3 . L e v e l
c u r v e s o f u a r e s h o w n .
5 . C o n c l u s i o n s . W e h a v e e x t e n d e d t h e w e l l - k n o w n s p l i t - s t e p m e t h o d f o r s o l v -
i n g t h e N L S e q u a t i o n t o t h e D S s y s t e m . I n t h e p r o c e s s w e h a v e p r e s e n t e d v a r i o u s
s i m u l a t i o n s o f s o l i t o n s , a n d i n p a r t i c u l a r , d r o m i o n s . W e a r e n o t a w a r e o f a n y o t h e r
n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f d r o m i o n s i n t h e l i t e r a t u r e .
T h e n u m e r i c a l t e s t s r e p o r t e d h e r e s u g g e s t t h a t o u r s c h e m e i s a c c u r a t e a n d r e l i a b l e .
I t i s a l s o r e l a t i v e l y f a s t : t h e c p u t i m e o n a V A X 9 0 0 0 w i t h 6 4 e l e m e n t v e c t o r p r o c e s s o r
r a n g e d f r o m a r o u n d 3 m i n u t e s f o r t h e s i m u l a t i o n o f F i g . 1 , t o j u s t u n d e r 1 . 5 h o u r s f o r
t h e s i m u l a t i o n o f F i g . 3 . T h e s c h e m e w a s c o d e d i n F o r t r a n 7 7 i n d o u b l e p r e c i s i o n , a n d
t h e v e c t o r c a p a b i l i t i e s w e r e e x p l o i t e d i n c o m p u t i n g t h e F F T 2 s .
W e w a n t t o p o i n t o u t t h a t o u r t e s t e x a m p l e s a r e s o m e w h a t s p e c i a l i n t h e s e n s e t h a t
t h e y c o r r e s p o n d t o p u r e s o l i t o n s a n d d r o m i o n s . ( I n t h e l a n g u a g e o f i n v e r s e s c a t t e r i n g ,
a l l p o t e n t i a l s a r e r e e c t i o n l e s s . ) T h e s e s o l u t i o n s a r e k n o w n t o b e v e r y s t a b l e . N o
o t h e r e x p l i c i t s o l u t i o n s c o u l d b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e h o w e v e r . O f c o u r s e , w e e x p e c t
t h a t t h e m a i n u s e o f o u r c o d e w o u l d b e t o c o m p l e m e n t a n a l y t i c a l s t u d i e s w h e n c l o s e d
f o r m s o l u t i o n s a r e n o t r e a d i l y o b t a i n a b l e . T h u s f u r t h e r n u m e r i c a l t e s t s a r e i n t h e
o n g . A l s o p l a n n e d f o r f u t u r e i n v e s t i g a t i o n i s a c l o s e r e x a m i n a t i o n o f t h e t h e o r e t i c a l
p r o p e r t i e s o f o u r s c h e m e . F o r e x a m p l e , i t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o k n o w w h e t h e r o u r
v e r s i o n o f t h e s p l i t - s t e p m e t h o d i s a s y m p l e c t i c s c h e m e , a s i s t h e c a s e f o r t h e N L S
e q u a t i o n ( s e e 1 0 , 1 2 ] ) . A c o n v e r g e n c e p r o o f o f o u r s c h e m e i s a l s o l a c k i n g a t t h i s s t a g e ,
b u t s o i s o n e f o r t h e N L S e q u a t i o n a s f a r a s w e k n o w . S o m e o f t h e s e i s s u e s w i l l b e
r e p o r t e d o n i n 1 8 ] .
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R E F E R E N C E S
1 ] M . J . A b l o w i t z a n d P . A . C l a r k s o n , S o l i t o n s , N o n l i n e a r E v o l u t i o n E q u a t i o n s , a n d I n v e r s e S c a t -
t e r i n g ( C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , 1 9 9 1 . )
2 ] M . J . A b l o w i t z , S . V . M a n a k o v , a n d C . L . S c h u l t z , O n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e D a v e y -
S t e w a r t s o n e q u a t i o n , P h y s . L e t t . A 1 4 8 ( 1 9 9 0 ) 5 0 { 5 2 .
3 ] D . A n k e r a n d N . C . F r e e m a n , O n t h e s o l i t o n s o l u t i o n o f t h e D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m f o r l o n g
w a v e s , P r o c . R o y . S o c . L o n d o n A 3 6 0 ( 1 9 7 8 ) 5 2 9 { 5 4 0 .
4 ] V . A . A r k a d i e v , A . K . P o g r e b k o v , a n d M . C . P o l i v a n o v , I n v e r s e s c a t t e r i n g t r a n s f o r m m e t h o d
a n d s o l i t o n s o l u t i o n s f o r D a v e y - S t e w a r t s o n I I e q u a t i o n , P h y s i c a D 3 6 ( 1 9 8 9 ) 1 8 9 - 1 9 7 .
5 ] M . B o i t i , J . J . L e o n , L . M a r t i n a , a n d F . P e m p i n e l l i , S c a t t e r i n g o f l o c a l i z e d s o l i t o n s i n t h e p l a n e ,
P h y s . L e t t . A 1 3 2 ( 1 9 8 8 ) 4 3 2 { 4 3 9 .
6 ] A . D a v e y a n d K . S t e w a r t s o n , O n t h r e e - d i m e n s i o n a l p a c k e t s o f s u r f a c e w a v e s , P r o c . R o y . S o c .
L o n d o n A 3 3 8 ( 1 9 7 4 ) 1 0 1 { 1 1 0 .
7 ] A . S . F o k a s a n d P . M . S a n t i n i , D r o m i o n s a n d a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o f t h e D a v e y - S t e w a r t s o n
I e q u a t i o n , P h y s i c a D 4 4 ( 1 9 9 0 ) 9 9 { 1 3 0 .
8 ] J . M . G h i d a g l i a a n d J . C . S a u t , O n t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m f o r t h e D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m s ,
N o n l i n e a r i t y 3 ( 1 9 9 0 ) 4 7 5 { 5 0 6 .
9 ] R . H . H a r d i n a n d F . D . T a p p e r t , A p p l i c a t i o n s o f t h e s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d t o t h e n u m e r i c a l
s o l u t i o n o f n o n l i n e a r a n d v a r i a b l e c o e c i e n t w a v e e q u a t i o n s , S I A M R e v i e w , C h r o n i c l e 1 5
( 1 9 7 3 ) 4 2 3 .
1 0 ] B . M . H e r b s t a n d F . V a r a d i , S y m p l e c t i c m e t h o d s f o r t h e n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n ,
p r e p r i n t .
1 1 ] R . L . J a m e s a n d J . A . C . W e i d e m a n , P s e u d o s p e c t r a l m e t h o d s f o r t h e B e n j a m i n - O n o e q u a t i o n ,
i n : R . V i c h n e v e s t k y , K . D o y l e , a n d G . R i c h t e r ( e d s . ) , A d v a n c e s i n C o m p u t e r M e t h o d s f o r
P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s V I I ( I M A C S , 1 9 9 2 . )
1 2 ] R . M c L a c h l a n , S y m p l e c t i c i n t e g r a t i o n o f H a m i l t o n i a n w a v e e q u a t i o n s , t o a p p e a r i n N u m e r .
M a t h .
1 3 ] G . C . P a p a n i c o l a o u , C . S u l e m , P . L . S u l e m , X . P . W a n g , F o c u s i n g s i n g u l a r i t i e s o f D a v e y -
S t e w a r t s o n e q u a t i o n s f o r g r a v i t y - c a p i l l a r y w a v e s , p r e p r i n t .
1 4 ] P . M . S a n t i n i , E n e r g y e x c h a n g e o f i n t e r a c t i n g c o h e r e n t s t r u c t u r e s i n m u l t i d i m e n s i o n s , P h y s i c a
D 4 1 ( 1 9 9 0 ) 2 6 { 5 4 .
1 5 ] C . L . S c h u l t z a n d M . J . A b l o w i t z , S t r o n g c o u p l i n g l i m i t o f c e r t a i n m u l t i d i m e n s i o n a l n o n l i n e a r
w a v e e q u a t i o n s , S t u d . A p p l . M a t h . 8 0 ( 1 9 8 9 ) 2 2 9 { 2 3 8 .
1 6 ] T . R . T a h a a n d M . J . A b l o w i t z , A n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l a s p e c t s o f c e r t a i n n o n l i n e a r e v o l u t i o n
e q u a t i o n s I I . N u m e r i c a l , n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n , J . C o m p . P h y s . 5 5 ( 1 9 8 4 ) 2 0 3 - 2 3 0 .
1 7 ] J . A . C . W e i d e m a n a n d B . M . H e r b s t , S p l i t - s t e p m e t h o d s f o r t h e s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r
S c h r o d i n g e r e q u a t i o n , S I A M J . N u m e r . A n a l . 2 3 ( 1 9 8 6 ) 4 8 5 - 5 0 7 .
1 8 ] P . W . W h i t e , N u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m , P h . D . T h e s i s , O r e g o n S t a t e
U n i v e r s i t y , i n p r e p a r a t i o n .
1 0