Eindhoven University of Technology

MASTER

Synthese van smalbandige piezo-elektrische keramische ladder-filters zonder spoelen

Benning, H.J.G.M.

Award date:1970

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

,STU 0 iEBiSUO l'H ~:r~K

El EK T~,I, 0 1" C f1 ;, l t K

E - HOOGSOUW

I N H 0 U D SOP G A V E

1. Samenvatting

2. In:leiding

3. Motivering van de synthese-methode

4. Transformatie van de elementwaardenvan een resonator

5. Bepaling van R(p) uit de configuratie"

6. Bepaling van R(p) uit de gewenste1'requentie - a fhanke 1 i jkhe i d

~

7. Bepaling van de elementwaarden

8. Het impedantie-niveau

9. Voorbeeld

Grafieken

, Apendices

Gebruikte symbolen

Litteratuuropgave

-. - - -

bI. 1

" 1

" 5

" 12

" 15

" 27

" 39

It 44

II 47

" 53

" 69

" 99

H 101

,)•

Afdeling der Elektro-techniek

Groep Theoretische Elektro-techniek B

ET.B,

SYNTHESE VAN SMALBANDIGEPIEZO~ELEKTRISCHE KERAMISCHELADDER-FILTERS ZaNDER SPOELEN

door: H.J.G.M. BENNING

Verslag van het afstudeerwerk verrichtin de 'groep Theoretische Elektro-techniek Bbij Prof.Dr.lng. H.J. Butterweck

Mei· 1970.ETB - i - 1970

..

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - ~

Technische Hogeschool - Eindhoven

-1-

SYNTHESE VAN SMALBANDIGE PIEZO-ELEKTRISCHE KERAMISCHE

LADDERFILIERS 'ZONDER SPo.ELEN

1. SAMENVATTING

Nadat eerst de voo'rllaarden af'gel,eid zijn, wf!larQnder- door middel van een transfqrm~ti9 van de element­waarden - de overdracht van het banddoorlaatfilter inhet doorlaatgebied beschreven ken worden door een z.g.polynoom overdrachtsfunctie, worden voor enkele'typenamplitude - en groepslooptijdkarakteristieken met wil­lekeurige orde n, de genormeerde en getransformeerdeelernentwaarden berekend als funetie van de verhoudingtuss~n de totale verliezen in de eerste en laatste 'see tie van het filter door middel van de z.g. directesynthese methode.

Tevens wordt aangegeven hoe di~ verhouding bepaald kanworden, waarbij de invloed van de verliezen van de re­so~atoren minimaal is.

Tenslotte wordt een modifieatie van het ingangs- enuitgangseireuit beaproken, waarmee het mogelijk is lletimpedantieniveau van de resonatoren vrij te kiezen, zon­der het impedantieniveau yap het filter te wijzigen.

2. INLEIDING

Pi~zo-elektr~sehe keramisehe filters zijn elektrisehepassieve filters die als geconeentreerde elementennaast eondensatoren, transxormatoren, spoelen en weer­standen, resonatoren bevatten, gemaakt van een ferro­elektriseh, uitwendig gepolariseerd, keramiseh materi­aaJ J1let relatief hoge pi~zo-elektrisehe koppelf'aktor enrelatief lage di~lektrisehe verliezen (1).

In di t verslag wor'den aIleen pi~zo-elektrisehe kerami­sehe filters besproken, die (om b.v. teehnologisehe re­denen) geen transformatoren en spoelen bevatten.Tevens worden oak de meehanisehe filters - waarbij aI­leen aan de ingang en de uitgang van het filter elektro­mechanisehe energie-omzetting plaats heeft en dUB hetsignaaltransport tUBsen de verschillende seeties langsmeeha~ische weg plaats vindt - buiten beschouwing gela­ten (monoli thisehe fil ters)., (2, J, 4, 5)

Ret impedantieverloop van een keramisehe resonator alsfunetie van de frequentie heaft hoof'dzakelijk een kapa­citief karakter. In een frequentiegebied rond de mecha­nisehe grondresonantie is het verloop analoog met datvan een quartz-reso,na tor, echter met aanzienlijk meerverliezen.

-2-

,., .

:- ..~

Het elektrische vervangin4(slIche... van -en ker-.nischeresonator is dUB alS1 w••rgegeyen in fig•. ,.

_(N.B. De gelijk$troOJl't ~n'III.cban1.che v:er-laeillen z:ljnverwaarloosbaar ~l.U t.o.v.d. di"1-~k\ri.cn.verliezen.)

. Fig. 1. Symbool en vervangingssch-ema van .en lC.e..eUDd['.~*~·':':resona tor vaoX' f'req. rond d., mfllQ-h,T••• tt:'llJlh

,','.",,- ~ ~., -

" "',iJ~';:-",;r:De ad.mittantie van de rel5onator kan geechreven :w*)rdenta!i1

t;'f,:\~;-,

p'o<LC "'po<!?C +41< ~ 1---------. jtJC

prj, .f.I'I?C.,.,Dus

I

IJe<C'I e../ ,4'

4ft ;: + I "'ell+ - -<

,=

1

.,<

"

, I

(i s:.)

•-3-

,,";,'.'';;: .

'-3-

Het pool~nulpunten-diagramvan de iapedantie v;,an d,eresonator is als weergegeven in ~ig. 2.

,..;

-It" I f,

ItI

II'T -,fa'

Fig.2. Pool-nulpunten-diagram van Z(p) van een rel!lQ­nator.

.... ," .",-,:,-

• terwijl

Dus Z(jW ). nadeFt voor uJ» /.J~

1tot

/ AI /fI{~t}C

is voor '-J - 41'7,. en maximaal voo.;r

tot en voor

als i. voldoende klein is.De Bode-diagrammen van Z(jN) zijn geschetst in ~ig.,.

-~

- ItI-_t-J"-:- ~~1

.....t"1;r~....) t

Fig. 3. Bode-diagrammen van een resonator.

Hierui t: bli jkt da t Z (/"" ) aIleen voor w'l .c ~ <:. "'..een induktief karakter haeft.Naast de grondresonantiefrequentie ~'Z. en de grond-

-4-

....

-4-

~.

antiresonfl.ntief'requentie W• kOlB.am.~liltal nO,g meer re.sonantie- en antirefJonanti.4lI:fJ:'e.qu.nti•• voot'. welke een­ter afbankelijk van de fya:,iseh,. tonf'igura-tte--v-JQl 4e ret-'

8onator, in zekere mat. oQd...drukt kunn~l'l w,or<len.(6, 7, 8) " , ,

Vergelek~n met quartz r.s<Jaat:ore1i ".r:tone~ ~lt.~.·~heresonatoren een grater. re1atieve t-.per.t\l~,t~~A~.~·/}lijk.h8i~ van de resonant:le:f1'".(Ju.nt1e{ohg.Sfj~:;.tQ, I~Jn'.len hog:ere verliezen, welk! ho.o:fd..U.J~j!'4vlUltl~~l~'tjti.- ..ache ,oor.prong ziJh ( 6_ •. ~ A 20 • to). ,,; " ,',.Daart.,gertover staat, dat d. :verh.Wii." CP/C .•~ Ii(.: /·'v••l.kle:lner i. (3.5 a 10). wa,ardo-oS" 4~. ttfI·l...~p:ot.~ ,1t. .•J:;HierdooT ligt het toepalBeingsgebi&d van pi.zo....lekt'$,:~ J. '" '

'sehe keramisehe reeonat<>r-en biJ banddoorlaatt'ilter••• t';,;"\\:,een relatieve bandbreedte '.,,'

!~:;~"za}w:~~e~:5 a 2~, hetgeen ,in par. 4 nad~r g.IlH>~~':~tj.

Technologisch gezien :;r;ijJ} Xer4D1isohe resonatorea i~ he.t..voordeel t.o.v. quartz resonat..oren. Qmdat het kera.i"0~

materiaal polykristallijn van structuur is. waar400T e.n,,'.vrije vormkeuze van de resoD. tOT mogelijk is en teV'ens d~.

richting van de reaanente polarisatie vrij gekozen kanworden. '

. -5- ..

. ..,..,

-5-

J. MOTIVERING VAN DE SYNTHESE METHODEi

Siuds het beschikbaar komen van voldoende $tabiel materiaalmet redelijk lage verliezen en hoge Curie-temperatuur(n.l. loodzirkonaat - titan~at Pb (Zr ' Ti ) OJ ) in

195J (9) z~jn veel publikati~8 verBchenen over het onder­werp: elektrische filters met keramische resonatoren •.Een over~icht hiervan is gegeven in (26) en (~7).

Met betrekk:1ng tot filters zonder spoelen geven CurrlU'l(10, 11), Mattiat (12) en Macario (13) een filter ont~warp op ·ba~is van spiegelbeeldimpedantia.-Ge~ien de relatief grots verliezen van keramische resona­toren is deze methode·minder geschi~t voor :filter ontwer­pen met genoemde relatieve bandbreedte (13).Schoeffler (14, 15, 16) behandelt het problee~ op basisvan tussanschakeldemping ech·ter voor verliesloze resonQ­toren geschakeld in z.g. L sec ties en met onbeperkt lag.waarde van 0< •Configuraties met kapacitief gekoppelde resonatoren (top­of' voe tkoppel.ing) worden behandeld door Voorman (18) enDishal (20), waarbij de laatste auteur de r ...onatoren weer'verlieBloos ~eronderstelt. Beiden gebruiken een z6danigef'requentietransformatie dat de admittantie van een resona-tor de vorm "," I' Sole c< C) IJ kri jgt, waarbi jJ de getransformeerde frequentie is. Een nadael van dezem~thode is dat de frequentie variabele ~ een functie isvan de resonator resonantie- of anti resonantiefrequentieen niet een f'unct.ie van de centrale frequentie van hetfilter.

In dit verslag wordt voor de synthese de z.g. directemethode gebruikt (21, 23). Deze methode, voar het eerstgebruikt door No.rton en Bennett voor z. g. polynoom fil­ters, omvat de volgende stappen:

1. Bepaal de overdrachtsIunctie van de ~aagdoorlaat trans­formatie van een polynoom filter. De noemer van dazefunctie heeft de vorm

/

waarin peen genormeerde complexe frequentie var~abele

is en n de ot-de van het fil ter. De cl:HU'f'icienten b kzijn reUel en een functie van de filter elementen.

Bepaal de 2 n complexe wortels van de polynoom ampli­tudefunctie, die de gewenste en een door een genor­meerd· polynoom-laagdoorlaatfilter van de orda nreali seerbare, f'requen tie-afhankeli jkheid beschri j ft.Bepaal de noemer van de overdrachtsfunctie door van de2 n wortels het Hurwitz aandeel te ~emen en brengdeze in polynoomvorm.

-6-

-6-

1't

/'1" ~2~

lJl'lat)

waarin ok du. numeriek en relel is~

met k.. Q. ,1, 2 • '. .n.'

De methode' vereist dUB hat vooraf beken<:t zijn van '''n'of meer mogeliJke configuraties van het filter.~t bieraan in het onderhavige geval Yoldaan i.t'w'Q~d'

in het au Yolgende aangetoond.

Afgezien van niet te vermijden verliesweerstanden 4i.­nen in een filter aIleen weer"tanden voor t$komen'al.afsluitweerstand, om de aanvangsverzwakking in de door­laatband zo laag mogelijk to houden. l,-anneer bovendi4ln,nog galiet wordt dat geen gebruik gemaakt wordt vanspoelen en/of transformatoren, dan bevat het te ontYer­pen filter dus, afgezien van de afsluitweerstanden, aI­leen condensatoren en resona~oren.

.lo <

Met betrekking tot de structuur is de ladderstructuurg~kozen, omdat brugfilters een hogere gevoeligheid hab­ben voor spreiding in de el~mentwaarden, welke bij ke­ramische resonatoren in sommige opzichten vrij groot is.ook overbrugging tussen niet naburige see ties wordtachterwege gelaten, omda~t t.g.v. het kapacitievekarakter van de resonatoren voor t.J < ""II ,,, 1..1,. IJ..

leidt tot vermindering van de verzwakking bij die fre­quenties.

Echter compensati~ van de parallelcapaciteit (cC)van de resonator d.m.v. balancering in eenJaumann-struetuur is een veel gebruikte metho~

de (25). Deze companaatie is .~nder transforma­toren aIleen mogelijk bij de $erete en l~at.t.

see tie van het filter door dit te sturen ••teen gebalanceerde bron. en· a:f te sluiten met eenversterker met differentiaal ingang (fig.4). Opdeze wijze wordt de sperbandonderdrukking aanzien­lijk beter, tervijl de balaneering betrekkelijkweinig invloed heeft op de overdracht in de door-,laatband, waardoor hat systeem weinig critisch is.

~-;----i I---r--..--I 1---.- - - - -

z. IV.i'--+-----......-;-'------- - - - ~ ----;--'----+--.

z. l~'tJ( C, elC",

Fig.4. Cornpensatie van de parallelcapaciteit vaneen resonator in de eerste en 1aatste sect~~

., tie voetnoo~ op b1. 7.' , .

-7-

Wanneer de impedantie van de shuntcondensatoX'klein is t.o.v. die yaa de compensetiecapaciteiten· de pa.rallelcapacite:L:t t kan de balansstructuurteruggebracht worden tot een normale lad4erstrttc­tuur met ongebalanceerde b:l:'on en belasting, e-ch"!"ter met een waarde nul voor de ~ van de r ••ana­to.rEin uit de Gerste en laat.te ••ctie.

Er zijn nu drie zinvollevan het filter, n.l.:

mogel:1.Jkheden

I"'!It 1

vaor .en $ectie

.....-

-tJ

(

Fig. 5. Mogelijkheden voor een seetie bestaande uiteen resonator en een condensator.

+) Lp.v. de • troo... turing 11ITkan men ook de equivalente spanningsturing

gebruiken, met E = JZ!

-8..

~

i:

-8-

In ~ig. 5 is naa5t elk~ sec tie het ~.rloop van de over­draeht geschetst; waarbij teven19 .h't ver.loop biJ Q( -. 0i s ~~Et:l'_~_I?_fJ_ven.

VergeIijklng van de mogelijkheden leidii totc:te va;lge.uC}ecoftclu19ieSI

•a. 0. .erste mogelijkheid ( L ••etles) ~(JJ,el't .•.,n .~

metri8che kromme rorid de centrale .. :f"~quent:l.e .8h ••:ft vO'or f'requenti~ul in de omgevingvu de ovi~­drachtsm:t.nima meer onderdrukking dan he-t polynoo.;'fil ter (CIl. 0).

b. De twe. laatst"e mogelijkhe-den (capacitlev.·voet- entopkoppeling) leiden tot .en aeymmetriaoh. ~requ.DM

tie karakteristiek•. waarbij de verzvakking in de ()1!Il""geving van het ovet'drachtsJDinimum aanzienlijk grot.~..is dan bij het polynoomfilter, echter de verzw.~in.

aan de andere zijde van de doorlaa~band is .1.ehtar.~

Teven. zijn bij geli·jke orde (n) van ~et filter 1'1.-."condensatoren extra nodig t.o.v. de struQtuur met

L sectiee. .

sec tie vlg. 5.1m.t een even aan­tal rS'8ona toren.

sec tie vlg. ~11'met een oDev.~ a~

tal re.onatove ..(.hin serie. r t

Hoevel filters welke opgebouwd zijn uit eombinaties vangenoemde eeeties mogelijk zijn, worden in dit verslagaIleen filters in beschouwing genomen met geli~ke struc­tuur in de seeties.Er blijven dan 5 mogelijkheden voor de eonf'iguratie van

7Irr~----fkl~

71£LL-----~ Iv.

see tie ylg. .5 • .2

seet1e vlg. 5.1met .en oneven ~tal r • .son."'tore~.::~(~en shuntree.e.x'tio

:c.._.....,.-........~ 1--....-- - - - - - - .....-. l--r--.,..--

".Iv.

sec tie vlg.:to

I

...----.,.-...,-..--tl---.,.-- - - - - - . -.,..--Ill--_._-_-

Fig. 6. Mogelijkheden voor ds c::onf'iguratie van la44er:f'.1:-.t"r~ ..•met kerami.che t'e8onato~.n zailder spo tlen. ,.P uf;.p•...

--------__..l.t....jk••'III1I'..eIllS.t.~.'••·•·•••••••IIiI'...'··••••.•' •.1I··II;\.i~.•'.r·i·J"II··".,·r,;.w:tJ

-9-

De conf'iguratiee van het :filter ziJn hiermee QUfJ bepaald.yoor het verdere verloop van de synthese ~orat .. bet be­,rip "resonantiecircnit" ingevoerd.~nde~ een resonantiecircuit wordt bij config. " 2 en Jde tota~e impedantie van een serietak (inc.lusier evtl.af'Slluitimpedanties).of de total. admittantie van ....shunt~ak verstaan. Bij conf'iguratie 4 i$ ••n r ••onanti.~, .

circui t gede:finieerd door de totale maa.imp4ldut·ie van.en sectie, waarbij de naburige ma.zen onderbl,"oken zijn.terwijl ten,l1otte bij con:figuratie .5 de total. ahwtt. .admittanti.. van een sec tie het re.onantie"it."'~uit 'Vonlat.,'indien d$ naburige shunt,takke.n kortgeslot.en 1I1Jt:te

De afsluitimpedanties Zt eQ Z hebben aen Oba of capa";'citief karakter, dUB een resoftantiecircuit be.taat inzijn algemene vorm uit de serieschakeling van sen reso­nator met een sarie- (of parallel-) RC-lid en/Of eenkoppelcondensator (serie-rasonantiecircuit); of het be­staat uit de 'parallelschakeling van een resonator en e&nparallel- (of serie-) RC-lid en/of sen koppelcondeneator(e~unt-resonantiecircuit). .

Wanneer het nu mogelijk is voor de doorlaatband een serie­resonantiecircuit te.'benadere:n door een serie LCR kringen een shunt-resonantiecircuit goor een parallel LCR­kring, dan is dus de overdrachtsfunctie:

1-/ (.p) =

voo. het doorlaatgebied benaderd door een polynoom £unctieen kan de directe synthase-methode ook worden toegepast opladderfilters met keramische resonatoran. Deze benaderingwordt in par. 4 uitgewerkt; terwijl in par • .5 wordt aan­getoond dat de frequentie-afhankelijkheid van aIle 5 ge­noemde configuraties beschraven kan worden door 'enpolynoom, zodat slechts "n synthese uitgewerkt behoeftte worden.

Tengevolge van de toegepaste benadering kan dus aIleenvoldaan worden aan de aisen voor de doorlaatband. T.g.v.de antiresonantia van een sarie-resonator en de serie­resonantie van eeE'shuntresonator, treden t.o.v. de fre­quentie-afhankelijkheid van een polynoom-filter af'wijkin­gan in de sperband op, zoals aangegeven in fig. 5. Dezeafwijkingen·zijn t.g.v. de gestelda eisen (ladderBtrue­tuur met slechta condensatoren an resonatoren) onvermijTdelijk en ook n1et betnvloedbaar. Immers, sen maximaalrealiseerbare pilzo-elektrische koppelfactor r~.ulte.r~

in een minimale waarde van ~ • Dus het frequentieverechiltU5sen N en UJ v.ana r

_. - ,....--10-

een resonator

beperkt en dus'en de centrale

-10-

2

(414. .t, + I )

AI.t • .--.-- .

ook de afstandf'reque.tie.

.is naar boyen. "

AnderJlijds i,8 1:l.et ongunstig de waarde van ett' tl04.11>0Il"';",'· .,hoger te maken (b.v. door het shunten van ..'i'n '~••~at()~~'·met sen extra eondensator), omdat h1.rd.,o.r~ .~:i"'''t.1Jeap.acitieve karakter van de r ••onator.n voor ....'<t/t . -1:',-. ".' r.

en ..., > fill t , de verzwakking bi J dea. t'r.Q.u.~'tj,.. 8 Jr• ..-t:er wordt. a '." ~ > ::1.,

Dus de ligging van de verzwakkj.ngspol.en i. hocffd'a.M,• .l.141c:·be,paaid doer de technologische eigenschappen van ~.;t'·"',oo;

teriaal.

De directe synth~5enietho<le is door Wei_her« (28) gebru£kt.,voor het berekenen van de element,waarden van LC-filter.volgens eonfiguratia 1 uit fig. 5. 'met orde 1 tim 10.Dishal (19) past de methode toe op polynoom LCR-f'ilterevan de Je tot en met de 6e orde volgens eonfiguratie.4en'5, waarb1j hij de eleme~twaarden in verband .etdekleine relatiave bandbreedt~ uitdrukt in (op de band­breedte genormeerde) verlies- an koppelfactoren. Henze (22)maakt een uitbreiding op hat werk van'Dishal door devergelijkingen op te stellen voar polynoomfilters vanwillekeurige orde volgens eonfiguratie 5, waarbij hijspeeiaal aandaeht besteedt aan de bepaling van de nume­rieke eo~ffieienten (ek ). Green (2?) voert willekeurigeverhouding'en in tusBen de verliesfaetoren van de eerBt~

en de laatste seetie, eehter hij beschauwt slechta LC.filters en beperkt de orde van het filter tot 6.Drost (24) gebruikt eveneens willekeurige verliesfactor­verhoudingen, eehter voor LCR-filters van de orde J, 4

.5 .,)' .en • ',' .

In dit verslag wordt de methode toegepast op filters v~

willekeurige orde n volgens de 5 genoemde con£iguratie_.voorzien van resonatoren met relatief hoge verliezen,terwijl behalve de amplitude-karakteristiek ook de groep."looptijd kromme in bese~ouwing wordt genomen.

Het is bekend dat verliezen in rekening gebra~ht kunnenworden door middel van de z.g. predistorsie-methode (17),waardoor de Darlington-synthase (21) voor verlieslo••filters gebruikt kan worden. Bij daze meth.de wordt desynthase voor een bepaaldeoverdraehtsfunetie H(p) via d.refleetieeo~:rfieient f' (p)~ in fei te ui tgevoerd op deingangsimpedantie Zi(p) van het filter.Eehter bij smalbandige filters wordt de ingangsimpedan,:t.ie,slechts zwak be!nvloed door secties welke "ver verwiJd,.rd".zijn van de ingangsklemmen t.g.v. de lage koppeling tus­sen de seeties.

+) Zie voetnoot op bl. 11.-11-

.~r,,; ,:' ;)~.,

-11-

De direete synthase methode maakt alleen gebruik van deoverdracbtsf'unctie, zodat bij daze methode geen nauwkeu­~~t{h..id.probleraE!n optred.en en dU8 weinig significan.t.c..ij:feX'. nodig 'zijn bij de berekening.

90vendJ..en heef't de methode ~oa18 bij in dit vtilrelagg,,­bru:l.kt wordt- hat voordeel dat men direct de !nvloedbn.,i•.n: van de verhouding tu.sen de verliesfactort'Il, "'_: a.:eer.te e~ de laatste sec tie op da bedrij:f'.verlltOpp.advel.".dracht van het filter.Hierdoar ~ op eenvoudige vijze die vernouding bepaaJ4wo~¢.n, waarbij de invloed van de niet te'ver..1.jden ve.r...

',J.:t":.e.nvan de resona toren minimaal is.

+) De directe synthese methode wordt in ean recentartikel van Holbrook toegepast in gewijzigde vorm.Hierbij worden n.l. niet de polynoom coUfficientengelijkgesteld maar de determinanten (recurrent­continuant methode). Daze methode is' alleen toepas­baar op filters met verlies~oze elementen.J.G. HOLBROO}( - The recurrent-continuant methode of'transf'liJr·f'unction syntheeis - Rad,& Electr,Enflinegr,"Vol. 38 - "02, A.ug. 1969, p.p. 73 - 79.

-12-

'.

.,

-12 ...

4. TRANSFORM,A.TIE VAN DE E,L:ptENTWAARPEN V/tN EEl! :,mSQNA:rol

Om de directe syntl1ese methode voar pO~}!Ila4:dj t..tIters.te kunnen toepaesen bij ladderfilters met kerAJnla"OMresonatoren. is'het, zoals reeds genoemd is up bl. '9,nodig am de genoemde l\!erie-:-re8onant;i.ecircui.1<. 'V:oo:r 4.'dOOl'laatband te benaderen door een LCR-8ei~.kring••.de ahunt-reeonantiecircui ts door .en Lea paX"allel-~~~.,Hierdoor wordt dan tevens een transformatie naar .en 'laagdoorlaat filter' mogelijk dOQr het invoeren van d. ,v.rst.~ing t.o.v. de centrale frequenti••1. rrequ.n-~ie varlabele. . .

4.1 Serig-re8onantiecir~~i~

- ...Fig.7. Serie re~onantiecircuit.

De impedantie Z (iw) van een serie-reso.nantie­circuit, zoals ~angegeven in fig. 7, is: .

t

Indien voldaan is aan.:

dan geldt voor de doorlaatband bij benadering:(zi,e appendix 1)

I

..,. . e"I'" •

4/••"N' :

~... ;: t:)! ,•.ole}(I r ~ I.,. C.

. -lJ-

-13-

o:fwel:

.Z ~~.. ),

fl. ~/~") ~41•oS

~eN.s

;;

~.,0'

f I.) N..I

~.It} - ;4.1 ~,.,~~ ....

-J" ~ • '-'$.,

... .s'

4.2 Shunt-resonantiecircuit

c'.,

Fig. 8. Shunt-resonantiecircuit.

De admittantie Yp <itJ) van een shunt resonanti••

circuit zoals aangegeven in :fig. 8 is:

+ -~'•

Cod '.. of.,. c ' 01 u .5

waarin

Onder dezelfde voorwaarden aL$ in 4.1,-, " ~ IX 'liJ) = J It! t; .,.;;;; ~ -:-z"

;D t7 ~ /1eI?

geldt:

If

q' (.r-) Clu <.)II". <.' J~ = e<' (<<oO)C

«(-<-1,fC I <.)/ C.:} II += Ir- /T'-j

,.fit L. t -< C ItJt., I C ~'

iA' •

-14-"..):

~, -,

:,~~i~

L

"..•

II

LJ:1 '(tJ(~ l'

of'wel:

-14-

(It:' /zI ~. •

(tIIf' .;./) C

.',.~ i.

r 14J~ •r' Lit t:: II

:;- -,0

-15-

•

5. ~EPALING VAN H(p) UIT DE CONFIGURATIE

Gezien He.Z.(~2J slechta voot' ¢f)n£igura.'tl:le . .5 sen u~:t­drukkfng gee£t :voor'.d;a overdrachts£W1ctie H{-p)· l'J·ond•.rtlf'leidi.ng'en bewijs, wor* in'dez. parafJ;"a.:f,VOO1:'" •._,.·.1.1~.5 con£iguraties de overdrachtsfunctie H p) .1,li~g.~t',.in de diverse koppel- 'en verliesf'actorent - tertd.jl-,a_'formulas bewezen worQen vonr willekeurig.~d.VaR ••o:rde n. "

Het zal blijken dat de overdrachtsf'unctie vaa elke ~otl~,-

figuratie gelijk i.s aan het p:roduct van een tr.qutin:t ~onaf'hankelijke factor, welke'het impedant1e...nive~u ','het filter bepaalt en een f'Fequentie-afhankeliJke r&C~

tor, waarbij daze laatste factor - bij een vaste waard. nvan het aanta.l resonatoren in het filter - voor aIle Q_­figuratie.s gelijk is.Om dit aan te tonen wordt gebru1k gemaakt van de st.l­ling:

2

X1 -X 12 0 ------ 0 X1 -x 0 - - -- ...- O'12

2 I

X12 X2 -X23 -1 X2 -X23 II

0 -X23 X3

0 -1 XJ I

\ \ ID =: = , t

n ,, 0,

0\ \

2Xn-1 -Xn-1,n

Xn-l -Xn-1

0 ------ 0 -X X 0 -- --- 0 -1 Xn-1,n n n

z ), n-~ n· .,

, )/' 1 )h- ,7' - " - ., -X· .

~ ~Lh (. Xt • I .. ~ +LL J; !- X" t,,1 ;./#'

e-

Xt" Xl .. , .(. Xl.. I ~. ~;.. ,'·f L'~ 1 i~i~Z

n· so lIoJ II_ ~

rILI-I i"~' li"2

~ (- %'::... ,)1- x,::~/)!-~ t~",J

A:. t·.. , ~: ..t;~, .v ""'-',oJ'

-1-.' .... -r

-, .(;i ;0#1 1/ )~:"'-;lh .

't1 t:_. ~..

-16-

Het bewijs hiervan wordt gegeven door. volled'ig$ !n<!uq­tie (zie app. 3).,f:'

... ;.

Voor2

...x 1r ,r+ 1 .. en =:

= Yt:"+l

, .

t·a' .%>~~

I\

, '"

b.v. oneven r en n over in:

Zl 1 0 --- -- -- 0

I.1 Y2 1 ", J

I0 -1 Z3 t

II ....I " 0 4- (Zl Z ) ,I " n •"I -1 Y

n-11

II

0 -- - -- 0 -1 q,'r

welke uitdrukking continuant ()1) of cumulant (32) ge­noemd wordt.,.Wanneer bovengenoemde stelling toegepast wordt op eencumulant, voIgt

twaarin voor i, J, 1 • • • • oneven: X = Z en X .. Y

•i, j, I • • • • ewen: X =: y en X = Z

Dit is de uit de cumulanten theorie bekende regel vanEulerr echter hier in formulevorm.

De eer3te uitdrukking"voor Dn is dUB een Uitbreiding

op de regel Euler, waarmee het mogelijk is om configu­raties met een imaginair, frequentie onafhankelijk +)koppelelement (conf. 4 en 5) op eenvQudige wijze tebetrekken op configuratiea met selectieve impedantiesin zowel de serie ala de shunttakken (conf. 1, 2 en J)

I

Z =: - ii' .,~ • .v.. c ,dus slechts bi j benaderingfrequentie vnafhankeliJk.

-17-

.' '

-17-

Omtrent de afsluitimpedantie zij het volgende ()pge~er)[t'

HiJ'eeo'seriesehakeling vaneen resonator Ulet gen a.:f­sluitimpedantie (Z. of' Z ) wordt deze a18 aerie RC lid

10· .opgenomen in het betreffende resonantie circ,u.it van deresona tor (z (i~.». Bi j een parallelschakel1ng, VJlJ1 "

een resonatoi!- met een af'sluit.a~lUittantia.(f/Zi of', "/10,1:'Wordt deze als parallel RC lid opgenomen :1n 'hElt betr.r-f'ende res~nantieeireuit (Yp (i~~·». , 'F:t;;t1;;;1~:rZ;~e;~i~~~:Citeiten in Zi of Zo wordt in par,a ~._~~~:

Het is bekend (JO) dat een filter met geliJk afge8tellld.,::':(;~i;<i,k;' ...;.

resoiian tiecireui ts equivalen t is me teen fil tar wluu'biJ," ,.daze ei;rcui te onderling iets verstemd ziJn, wanneer d., ','koppeling tussen daze eireui ts op een bepaalde wiJ.ze ge';""eorrigeerd wordt (staggered tuning). Daze equivalenti.geldt eehter aIleen voor de relatieve f'requentie-at'han­kelijkheid van het filter.

De absolute waarde van de overdraeht in de doorlaatbandis 'het grootst bij gelijke afstemming.Om dez~ r~den worden ongelijk af'gestemde f'ilters hi~r ­butten besehouwing gelaten; dus:

tV W '" I4J== ==s Pr eq

en ~s = ;1p ~j3 voor aIle q en r.q r

Dus

Fig.9. Ladderf'ilter met L- seeties en een even aan~tal resO,na toren.

;r.t Ifl' '

,/lit

,...,....-........- .... I--...,....._..u ..._.....,...- - - - --

;'.

I:

-18-.: ~..,'"., "

~ '·'ir.;.~t

-18-

De con~iguratie, zoals weergegev~n in fig. 9 is&quivalent aan de con~iguratie w••r~«.ven in ~ig.10,

Fig.10. Equivalente con~iguratie aan die van

o --- .... -- 0 I,

V2

13

III

Vn-2

I n-1V

n -,

~ .'

1

o

yn

Zn-1

1

-1

- 1

1

-1" _.­"" '"

o - - - - -- 0

o

E Zl .1

0 -1 Y2

a -1

=

o

Du,s:

·;: '

Waaruit met behulp VRn de regel van Cramer volgt1

V ~~ fn- ::: •-E t.I (.z, Y,,)

DUB: ~

~ Z·~/f;~) -

,- ::

1 (z, t)2 "C serieWij det'ini~ren '(-r, r+ 1 = "

dueC shunt

-,'

2

"1(r,r+l ="Csr

11

Cp(r+l)

voor r = Qneven

-19- .\,

-19-

en 2

J{r, r+ 1

"csJ r+ 1) ..

"Cpr

voor r >I: even.

Dan volgt

"..,

r

J/ Yi')

n-I

ff 'f"'-Ilt'l

,N~,

met:

N"

r l I

if" X;~ ~'.../ ~~i+-/ ~./, /." ~ ...If; ·/I')(('H i'~) (~. +/.11)/~...(~I~) I {P"/~)!~..:7/1)

6.2 Configuratie 2

;r',r,

%,

r---~--t 1-----.--11'--.,.- - - - - -

~ 1~'--_-I-- ..L- ....L- _'_ ...a.-_

% -Z·.,.2', . ,

Fig.ll. Ladderfilter met L sec ties en oneven aantalresonatoren.

-20-

-20-

(z,--_. .t;,:. -----

~ (z, --Y"./) + (~- z".• )

(zie app. 5)

-21-

-21-

6.3 Cpnf'i,Q!ratie J

~.

-----.-.......~ ...-_r- -------,.......-..; 1---..---....--if ~. ~ y. v..•\ ~ t~ ."

.~. , '

Fig.12. Ladder£ilter met L sec ties en oneven 4Antalresonatoren.

I - 1

(Y:--------t)

ofweI'

(z1e app. 6).

6.4 Configuratie 4

"$ of r.6Zr.6 _,

,.(1# "

-----

II r:: (C' or. t~~..... ..., -.11

Fig. 13, Ladderfilter met capacitiev8 voetkoppeling.o

•• 0, .0

-22- .

-22-

Dust "-1

::rr t!" z; Z. 7TzJ-/!;~)

... ~ -t.,,* 1

- - . z

7.- (z, - :z1, ,,~.,

z" )

)(eerie reat'H!!', :':'nantie-ciJlelat:ta

Waarins Z :;: Zr.r-l + Z + Zr.r+lr res.r

Z, • Zi + Zres.' + Z,2

enZ :;: Z

n-l.n + Z + Zn res,n °

JZ. Z, -Z'2 e - - ---- .... - 0 I.l- .t

I I0 -~'2

Z -Z2J I I.2 t----.-.I

;!: . I0 :;: 0 -Z23 ZJ I t

I •I t "- II ..... 0 I1 ......I ......

I I Z -z 1, I n-l n-l',n ,0 0 --- - - - 0 -Z Z I

n-l.n n n,

Wij definiUren:

:;:

11 tI

C C.fT 2 S'r+ 1 )

fit) Cr.r+l

iCr.r+l

Dan voIgt:

Ii) p-f

(zie app. 7)~,' '

-2)-

""''',

.h '"

.~. '.~~~

• ),;* I:, ;~"::~j:(L~i

-2)-

6.5 Configuratie J

z·•

Fig.14. •Ladderfilter met capacitieve topkoppe~ing.

Dit is de duale vorm van fig. 1), dus:

-

y == y + Y + Yr r,r-l res,r r,r+l

v 1 + Y~ 1 == Z . res

1

en 1Yn = y + Y +n-1,n res.n Zo

\{ij definiMren:

j) (shunt-resonan­

tie-cireui ta) ,

j

22

1( r,r+l =~c

Dan voIgt:

2

Cr,r+l" ItC Cpr p,(r+l )

II)

-24-

"-1

2

Cr,r+l

" "c Cpr p(r+l)

-24-

-Pual

De overdrachtstuncties a(;fta ) van lilt 5 c()a(i;~"r;ties verschillen dUB 1I.leeh't$.. in "ell (bijn.a.) t:r.Q~.

O'f.lilt'hankeliJke~mp~daD~ieni'v'.~auta~~~~.. ~._ d .•... ; .....;-... >Het :fre.qu8nt1~.af'b~.1~'Jk.d.e~.~Nh;~. oem n ". ~~~~.:fuDctie van I~ .et 'I•. tt•.:1(1',-'%' ... 1 al. pa~..j.e.~,~~:,

p. groothede" IJ ,,1i(: •• 6 Word4Ul genorm••r4· 'Q.~; .: \"relatieve bEuldbr••dte t ';:';;"

~ .

X;'

Er voIgt dan:

l-/rrJ •

4-1

ft:n,#I . .!!-'....v .a'/~~

~~ ~ (;'.1,'111, I) A. ,

De analytieche voortzetting van N (jbjd,k) zijn

Nn (J?,.dt~)~.

Voor de genoemde synthase methode is het noaigN (p;d,k) uit te drukken ala sen polyno~ in pm3-t 're~l;e co~f'ficienten die e'en :functie zijn vand en k

r r,r+1

Hiervoor maken wij gebruik van de stellings

•

a; ......, .

/I I'" .,It.~ II.~_I

~ -- 01-3 ••• .,f.

I" " ':.1." .(v~or bewijs ~ie app. 8)

I'~ .

~:

-2,5-

+ ...•..

Dust

Er i$ afgeleid da~t

waarin(i)

a k aIleen ~ termen van a k bevat

die de factor d. d. 1 bevatten.1. 1.+ .

(i,j)a

kaIleen di~ termen van a

kbevat

die de factor d i d i 1 d. d. 1 bevatten.. + J J+ .

enz.

(voor bewijs zie app. 9).

Dus het aantal d's in de noemer is kleiner of gelijk(i.j, ••• )

aan n-k, want a k (en dus ook a k ) bevat

slechta n-k factoren van d.

, , /(,/).Ii, (H .,fi/'" A~ "

II; PI"." Ii ~i""

",

A[ i!') • L .I.I!' .I. J.,

Dus:

~,.

r

-26-

-26-

In (22) wordt voor de coU£fictent bk eveneens eenuitdrukking gegeven. Hoewel de £ormulering a~wijkt

levert uitwerking voor Gen bepaalde waarde van n enk een g~lijk resultaat. O-p-. +) ,

De frequentie afhankelijkheid van de 5 genoemdeconfiguraties van piUzo-electrische keramische lad­derfilters is, voor wat betreft de doorlaatband, uit­gedrukt in een polynoom in

p = jp = ,~~~ , met re@le co6fficienten bk wel~eeen functie zi.jn van de genormeerde koppelfactoren(k 1) tussen de sectias en de genormeerde verlies-r,r+ ,factoren (d ) van die secties.r

\

+) De coijfficyent b n _k wordt' in genoemd artikel aange-

duid met Uk' zoda t de ·frequentie af'hankelijkheid dua

n

Lk-O

nbepaald wordt door ~

k-OUk (iy)k, zoals

Uk (iy)n~ en niet door

staat in formule 6 van het

artikel. Bovendien moet toegevoegd worden

U (=b)~ 1.o n

-27-

-27-

6. BEPALING VAN g(p) UIT DE GDENS'l'E f};tE9U!NT1E;-AF'H:4!D­LIJKHEID

De eisen voor de frequentie-afhankelijkbeid worden bt­paald door het z. g. tOleranfieveld waarbinnen de ,Nf.lPli­tude karakteristiek fn{ jb)J en/of de groepslofJpti,Jd, .kromme T (b)' moet verlopen.g

Er dienen dus overdrachtefunctiee bepaald te worden dieaan genoemde eisen voldoen en tevens realiseerbaar zijndoor polynoom-Iaagdoorlaa·tfil tars van de orde n. +)

Bekende polynoomfuncties die hieraan voldoen en te~.ns

aantrekkelijke filtereigenBchappen·geven zijnr deButterworth en Chebychev-polynomen voor wat betreftamplitude karakteristieken (29). Met betrekking totgroepslooptijd geven polynomen met een parabolischepoolverdeling volgens ,Mullick (33 - 34) en Chebychev­polynomen met imaginaira rimpelfactor (22) gunstigeeigenschappen.

In daze paragraaf worden van genoemde overdrachtsfunc­ties de colfficienten c k bepaald. Hoewel van deButterworth- en Chebychev-functies met re~le rimpel deco~fflcientenbepali~gbekend is (29), wordt terwillevan het overzich·t hiervan toch een korte beschrijvinggegeven. Tavens wordt een normering van peide Chebychev­functies op de Butterworth bandbreedte (B ) ingevoerd.

. . ~

Hierdoor wordt de ButterwQrth functie een limiatovergangtUBsen de Chebychev-functie met re@le en imaginaire rLM­pel.Voor de filters met parabolische poolverdeling wordt denormering op de V2 - bandbreedte benaderd door aenreeks welke geldig is voor filters tot en met de 10-deorde.

De Butterworth functie

Deze overdrachts~unctieheeft als eigenschap dat deamplitudekarakteristiek in de omgeving van frequen­tie nul, voor een gegeven polynoomorde n, maximaalvlak is, terwijl de karakteristiek voor aIle fre­quent-ies monotoom dalend is.. (fig. 15)

• +) Met be trekking tot de afwijkingen buiten de door­laatband gelden de opmerkingen op bl. 9.

-28-

-28-

De analyti8che voortzetting hiervan iSI

Fig. 15. ~utterwarth-f'unctie

"

-_.... .

,.~.'

BH (-p)

1

1 + b a-n .

B'" H (p)

=

12 n

l+(-p )

'. a :0(Jb)/

B

n

/H

2

/H/

1'

De polen hiervan liggen op de eenheidscirkel en welin quadruples t.g.v. het fait, dat de Butterw.rth­functieBeen re~le functie in b 2 is.

Omdat H (p) uit stabiliteitsoverweging&n moet vol­doen aan h~t Hurwi tzcri terium, . wordeA,.. de polen van

BH (p) gelijk gesteld aan de polen uit het linkerhalfvlak.DUB:

1:J

1-/I}') =I - . f

/1-"

,

AI. '1'.?-.3 ',',.',. "/- - " "

, -29-

:t:

,'-,...'

.'·~.. ~~A

-29-

Dus:

j .~.

Bwaarbij c k numeriek bepaald kan worden,volgens'

de uitdrukking in app. 8.Echter in (29) ~ordt een eenvoudiger uitdrukk1neaf'geleid, welke mogelijk is t.g.v. de syuunetriacheligging van de pol~n.

~.."f (,H -I) 71""

7Tt::--o ~

e" ~

~~ "'" I'/1r II t: -L,./", 1 AI;"

~JT"

en

Aangezien

B B ngeldt Ck = Cn _k • Immers voor~> 12 vallen steeds

meer teller- en noemerfactoren tegen elkaar weg.BDus. ck

behoeft slechts berekend te worden tot

n+1k = ""2 of n , bij n resp. oneven of even.

2

Op page 53 tim 57 zijn de rela tieve ampli tude- engroepslooptijdkrommen weergegevanBvoor n = 1 tim 5.De bijbehorende co~f'ficienten e kYindt men oppage 66 •

• 7.2 p.' Chebychev"",f'uu.oti.'.

7.2.1 De Chebychev-f'urictie met re~le positieve engelijke rimpels ~n de doorlaatband heef't bijgegeven orde n de maximale afvalsteilheidin de sperband. (fig. 16)

-30-

-30-

I'f • +'.

1

Fig.16. Chebychev-functie met retlle rilft~l.

C

/Hn

=1

waarin l. een maat voor de -rimpel in de door.-laatband is en "7

cos (n arc cos b ) voor b "1c c

= cos:b(n arc cos h b )voor b > 1,c c

het Chebychev-polynoom van de eerate soort enn-de orde (35).De co~fficient van de hoogste graad term is

2n

- 1 •

<:. - 3 dB) kannaar b • A/A.~'

rimpe'l,A/,.4~

Voor If ~ 1 (d.w.z. eeneen normering van b ~

ctoegepast worden om een bater vergelijk metde Butterworth functie mogelijk te maken en,tevens om dezelfde normering voor de te hap.-] en groo theden t5 en?( 1 te kunnenr r,r+handhaven.De normeringsfactor is

= cos h ( 1 . arc c08"h~ )"n '"'

(zie app.l0).

Er voIgt dus:

-31-

C

/Hn

2(jb.)/ =

12 2

1+ t!. rC,n

."Voor £ -- 0 gaa t deze vorm over in

, zodat de Butterw.rth functie voor1

1+b2n

~ -- 0 de limietovergang vormt voor de ofB v2 genormeerde Chebychev-karakteristiek.

(zie app.10).

De polen van de Chebychev-overdrachtsfunctieworden op dezelfde wijze bepaald ala inpar. 7.1. Zij liggen op de ellips

-.,

cr',

=ft'"· t;Ak ~"f-

let! ·2

I /3(J

met sin h( .1 5in~ .h 1 )~ = arcn f

h( 1 sin,.h 1 )en ; == cos 'arcn r

due 1 > IfC •

o

'. Butterwe.rth

l' Chebych..~.

• Chebychev gc_-.!10rmeerd

n .. J

F~g.17. Poolligging voor een Chebychev-£unctiemet reUle rimpel.

-J2-

-32-

Voor de wortels voIgt dan:

IU ~ 1, 2. J •••• n

( ~ i e a pp • 1 1 ) •

Dus:

CH (p) =

c:C·

·awaarbij de constante C bepaald wordt doorde co~fficient van de hoogste graadterm vande noemer van

IH~ (jb)/2

Doze is (riJ~, ) ~ E. Z

~

/-/{~) =

c CDe co~fficienten C k van M

nkunnen berekand

worden m.b.v. de uitdrukking uit app.8.

N.B. Voor n = oneven geldt CC • c Co

en 58 tim 61 zijn de relatieveen groepslooptijdkrommen weergege-= 1 tim .5 en re~p. 0 • .5 - 1 - .2 - J dB

terwijl voor:

n = even

Op page 53amplitude­ven voor nrimpel.

geldt ;z,+t

-33-

-33-

"C'De bijbehorende eo'fficienten \ ¥1udt menop pa.g. ii'...De Chebychev-funetie met imag~ire rimpe~­

factor (z.g. onderkritische'koppeliag) be.ttweliswaar elittl ongun~tiger verlopende ampl:ltu4w­karakteristiek (n.l. mono.toom dalend ~o~d.r'

max.v3;akheid bij b ... 0), echter de groCllP.loCJP"·t=!-jd is bater constant in de doorlaatban4.

A 2! 1IH (jba)1 II:

n1+ (!)2 r 2 (b ) y:;

I A,n a

met T (b ) = j sin h (n arc sin h bal .'A,n a

sin (n arc sin j b a )

(zie :fig.18)

~A (b) is geen rationale functie ~or n I: .ve~t n a 2 p-

echter TA

(b) weI. (Zie app. 12),n a ,

e

If-! I If

Fig. 18. Chebychev-functie met imagina.lre r~~.

Evenals in par.b via

\ .

7.2.1 wo~dt b genormeerd~a

;.3~..q::: sin h ( ~ arc sin h f)(zie app • .10)

Er voIgt dan:

A 2

/ H (jb)/ ::;n

-34-

1

-34-

Voor ~- 0 gaatook dfl/ze vorm over i-n

dUB d.---Butt.r1f~th-£uncti..vonat

voor ~ - 0 de linsiatovergang tU8sen o'V• .r...~,,:,ondercri ti soh gekoppelde fil ters. (Z1••P.~: ' '

• ." #·.,·.·•.0.·"1

De polen van de ChebYCh.v-overdr~cht.f~ctil;~,,~fmet imaginaire rimpelfactor liggen .v.n.en~ o~,

een ellipe., ~ :!:,!:,~1,

en

N.B.

0--:. • Z :#"<, .....;

IIJ =-(;4.):;...a "...r-

7'Aj. I"A,

= cos h ( ~ arc cos h 1/£ )n

'? = sin h ( 1 arc coe h '/ ~ )n

(Zie app. , 1 en fig. 1:9)

E en n zijn positief, dUB j > '/.-/'

/

I

\

\

"

\_...-"........ I

-/?

®Bu t terw.1f6'it;h

_.. Chebyehev imagi..nair:

x Chebychev ilB~g•.genormeerd

n = J

Fig. '9. Poolligging voor een Chebychev-f~~~t

met, imaginaire rimpel.

Voor de wortels voIgt dana

/~ :a 1, 2, 3 .'.. n

(Zie app. 11)

-35-

-35-

Dusl

Awaarbij de constanta C is aannu galijk

e. ("~A rJ-~

Dus:

,4

II (1') =1'1

ADe co~fficienten ek van

berekend worden m~b.v. deapp.8.

AM kunnen weer

nuitdrukking in

A AN.B. C = I!.' o

Op pag. 53 en 62 tim 65 zi jn d9 rela tieveamplitude- en groepslooptijdkrommen we9rgege­ven voor n == 1 tim , en dezelfde ~ - wa.a.rdenals bij par. 7.2.1.

ADe bijbehorende eo~ffieienten Ck vindt menop pag.66.

Parabolische poolvardeling

Een maximale vlakk~ groepslooptijdkromme voorb = a is de eigerisehap van de z.g. Be88elpoly~

nQm.~ (29), eehter de amplitude karakteristtekis t.g.v. de relatie tussen amplitude en f'a$evan een netwerk vrij ongunstig. Butt9rworth ­Thomson polynomen (29) geven filtereig9n8chap~

pen welke een eompromis vormen tussen ampli-tude- en groepslooptijd-eisen. 'Deze en diverse andere systemen 'Wo:t'den doorScanlan (34) vergeleken. Deze analyse leidttot de conclusie dat het ~n8tigste compromis

-)6...

-36-

tussen amplitude en linea!re faee verk~egen

wor<ft bij een parabolieche poolverdeling zo"'als Mullick (33 )deze beBchrlj£t. .

De polen liggen op een parabool, waarvan detop ligt in het punt p =-1, 0, en het brand....punt in p = O. Evenals· bij d. Butterw~th­

functie liggeri de polen onder geliJke hoek••in het 'linker halfvlak (zie fig.20).

,j/olL' .;-, ~ -/"- /I¥ ",

/// @

Fig. 20. Parabolische poolverdeling.

Zij zijn dus bepaald door de snijpunten van:2

ll(r- +l)=WJm nt

en

waarin7r

2

(~ -I) rr

.?n

Dus voIgt uit

(";../-1)' 'll~/III

-'/v -'1-0......

=

I

c ~ {D~ t. CiJ~g..-~

~ 1- c.,'t.2 ~.tll'~

I + c•• t-.

-37- ,!"

Voof' het berekenen van dQ numerieke pol'Ylloomcolf£icisnten is het nuttig oOk d.ze.w~~t.14

te normeren op de V2 ...bandbree.4te.-- /i

Erie nu eehter g.en analytiache vor,m beken4Vode modulu8 van de overdraaht.t"unctie~ .•.001t-.t :,'<,'

daarui t geen normerings fae tor b.rekWtid .JJ~,,:~{'.,::.. worden. Daarom is v,oor n = 1 t/_ lO d.·c~~q~..t·~;·~,Ius van de relatieve overdrach'ta:fUft.t::tt., ~~~i:rkend met de poolli.gging zeals boven lIl"e.~',\~:r::

ven. Hier\li t· is de verhouding ,4./;&J'1'~.~~':als functie "Van n. . ·';\~b.:

Di.t verband wordt met goede nauwkeurigh.l~.~derd door :; '1',;,-

16~, • ° 133 +.~~(1M .' n

10,46 5.362 +-r

n n

;.~

De maximum afwijking treedt op bij n • 4·.n~..draagt dan + 5%. .

De genormeerde wortels.worden dan:

2 .s i.., ~

waarbij

Dus:

~-1r fee-- - I) 7T2" - en

IU :z 1, 2 .!.. n

(1 ~n __ 10)

• . Mwaarbij C voIgt uit tabel 1. De co~fficient.n

M MC" van M . kunnen weer op de bekende wiJze" ~ n

berekend worden. '-Op pag. 53 en 57 zi jn de amp!i tUde en g11oep••

. looptijd karakteristiek weergegeven voor n ia •1 tim 5.

>,-, ...

-J8..

-,

-38-

I' MDe bijbehorende c03ffiei&nt.A~~v~ndt .enop pat'. 66.

Tabel 1• M(

n C

1 1,007'2 1,006J 1,1.514 1,839.'5 3,6986 8,8277 24.138 73.709' 247,1

10 896,5

-39-

-39-

7. BEPAL1NG VAN DE ELEMENTWAARDEN

Om het ·te ontwerpen filter te laten voldoen aan de ge­'Wanate f'requentie-a:fhankelijkheid dianen de co'-f'f'icienten'b

k(zie par. 5) gelijkgesteld te worden aan de nu l1Ufl.'U;;lri$k

bekende coUf'f'ieienten Ck welke hor-en bij de gBkozen fre-'qu.ntie-afhankelij~eid (zie par.6). Hierdoor ontstaan d~.

n vergeliJkingen met d en k 1 als onbekenden, dueo r r,r+

n + (n-l) = ~ n-l onbekende grootheden.

n

Af'gezien van de eerste en de laatste sectie wordt de ver~

liesfaetor van elke sec tie uitsluitend bepaald door d.relatieve verliezen van de resonator in die seetie.Deze verliezen worden uiteraard minimaal gekozen, ~odat

de genormeerde verliesfaetor van aIle seeties, behalve deeerste en de laatste gelijk is aan

;~8== do· +)

o .'

In par.S is afgeleid b =n-ld.

].dus

d l ~ d = ~ 1 - (n-2) dn n- 0

ofweI

Bij een vaste (gekozen) waarde van c 1 (en dus ook van n)n-

en een gageven (minimum) waarde van d is dus de som vano

dl

en d n constant.

Beschouwt men een van deze twee verliesfaetoren ala onaf­hankelijke variabele dan zijn de n-l koppelfactoren en deandere verliesfactor uit te drukken in daze onafhankelijkevariabele door de n vergelijkingen op te lossen.

Voor n ~ 4 is de set vergelijkingen niet lineair. In hetalgemeen is dus een subroutine nodig om de oploasingen tevinden ++), hoewel voor lag. waarde van n de vergelijkin­gen nog betrekkelijk eenvoudi~ "met de hand!' te bewerkenzijn.

+) Deze conditi~ had uiteraard ook in par. 5 reeds inge­voerd kunnen worden, echter daardoor zou het inzicht in.de'systematiek minder duidelijk geworden zijn.

++) B.v. SUBROUTINE MINIM, gesehreven in PLl en geschikt voo50 niet lin. vlg.met 50 onbekenden. IBM 360/75.Hr. de Beer - Rekencentrum N.V. Philips' Gloeilampenfa­brieken, Eindhoven.

_40-

-40-

De bedrijfsvermogensoverdraeht is:

2

~ j.t-/2f'J.I ..li'i .flo

2.

~ II-I/~)I

..fi .R. j'6e2

Voor een afsluitweerstand in eerie met aen resonatorgeldt

'$1 -b. <5 n -6Zi R. 0 of' Z R 0

= = " = = "~

we e, 0 0'j,J e

c n

en voor een af'slui tweerstand parallel ilan eel') reson,,"r ".,geldt:

Z.1.

= R. =1. "we

e 1

,of'

Z = R =o 0

,(J - J )n 0

i ••;I !o.

'.'4'Di~ ingevuld in de formule voor ~ levert voor aIle 3 coft­figuraties

,,~, z

Lj(/, -i")(/,, -IDJ ,Z[.J... "'~I

~:

Dus:

\'

En Nn min

:: terwijl Mn min :: e , omdat

1IHImax

DUB:

-41-

-41-

{c1~

;'"

voor de pa.rabolische poolv.rcUtl!rw,~,

"i

1 voor de Butterw.rth.~unetie

e C of CA voor de c;h"bychev-t'unct£~, ':

CM

DUB oak p.? is te berekenen ale functie van d 1 of d n,.nttllX .

It

Waarinl e '*H-

e ==J!

en C_ ::.:,

Zoals te verwachten was, is de invloed van do op ~M••

aanzienlijk. Immers uit de afleiding vantde colrricientb k voIgt:

.-~.'~

b = d 1 + d + (n-2) d :: cn-ln-l n 0

n-1

2-2

b = f (d 1 ,dn ,do ) + k. . 1 = cn-2n-2 1 1,1+,

i=l

n-1 n

b n-J =

i=l

2

(k i ,i+1' L '}, ) ==

/=1,j I: i of 1+1

do

IJ ViS 2 1 ,~ f

..J. r I r~ • t:" -/It IJ -I," .,...' ,

;I!d In-~) ~ d j -I- -12

/ / -I- ./' fa/- /A-J) ~ Il/,JII c- "JIf # n ~3 A-I." '. .., ,

.,I' .. I t;,-tt - / (~~~, ~}/I~ IA-.,)+~/ -Ic;'.3 - I (-:~~.I',)J+ '/'6'/ ..I~

+ ....

J t =- LC,,-z -, (P',.~.~)If-I; "

~ (".,)",,,,;-d.., - al,, -

-4-2-

, ~. ~'''; ...?'l.... "~

<:i.e.

ahebben :\c. 12 -en

-..;

(of'k 1 ).n- ,n

... J...

c n _ 1 - (n-2) dO

2 ---

-III.

Fig.2'. Invloed van do op k 12

2k een enkelvoudige ppol, waarbij echter VOQr

n-l,ndalende -waarde van do de absolute waarde van de at'p~

le1de van de f'unctie k 12 = 1'(d,) rand d 1 ;: d. et...q.*grote~ wardt. (zie fig. 21).

f

rkr -I

Tengevolge van deze pool ontstaat er een gebied vand, (of' d) (d .. d 1 < ,/~) , waar k 1

Z

2 (of' k2

1 ) AlIi 0n' gr ,n n- ,nis. In dit gabied is dUB oOk ~ ~ 0 terwijl ¢'" tev_nll~,__ _If.negatief' is voor d, <: d en d <: d • Er zijn dUB slechtao n 0

fysische oploBsingen voor

do

en

Hiertussen heef't P1 minstens een maximum (b.v~ bij ~ ofd := d ) • ""'¥.

n opt_

Bij deze keuze van d 1/dn is het f'ilter dUB zodanig ge­

dimensioneerd dat de invloed van de niet te vermijden ver-liezen minimaal is. ~

+) De f'iguur is symmetriech rond t/2 t.g.v. de recipro­citeit van het filter.

-43-

-43-

.--- '"

(

. ,, I

I I

,./'

/""'."1"/

/ ..-......~I

~.-' .

Fig. 22. ¢,t,".X verloop al. f'unctie van d1

(dn

).

Voor d ::= 0o

o < d1

<. cn

_1

ziJn er oplossingen mogelijk voor

en O.t:: d <. e me tn 1'1-1

II

cn-1 ~d t = - waa.rbJ.J 'I ::= 1.

o P 2 INK, .~I

Dus bij een verliesloo$ filter leidt een geliJke waardevan d 1 en d n to teen op1iima,1 e waarda van ¢t- max' tel"-

wijl bij verliezun in het filter de k9uZe d, • dn

altijd

reBul teert in een onl'yei eche Oplo9sing en de aHimal.waarde van ~L jUist ontstaat bij een onge1ijk. w.ar_Y',. maxde van d

1en d •n

-44-

8.

-44-

•RET !MPEPA~TIE NIVEAU

Bij bekende n, d, , d , d en k 1 iSAet fi~ter be-n 0 r,r+paald op het impedantieniveau na. V'oor eonfiguratie" 2, en J (L seeties) wordt dit impedantieniveau be­paald door 46n grootheid. Men kan hiervoor R

i, R

odr

IH (/;9)/ kiezen. Blj conf'iguratie '4 en .5 (capaci­tieve voe~~xresp. ~opkoppeling) is het impedantieniveauper see tie v~ij te kiezen. Kie~t men nu 2 grootheden u~t

R. ~ R en /H(//'!I )1 dan is daarmee het impedantieni-3.. 0 max .veau van de eerste en laatste seet3..e bepaald.Het impedantieniveau van de tU8senliggende seetles heertaIleen een secundaire invloed op de eigenschappen vanhet filter (b.v. de onderdr~kking van ongewenete neven­resonanties).

Door de keuze van het impedantieniveau kan het voorkomendat het impedantieniveau van de resonatoren (b.v. dewaarde van lAJ L") zodanig ui tval t. da t di t technologisch ..ongewenst is: Door nu in serie met, of parallel aan, deafsluitweerstand(en) een condensator op te neman is b.tmogelijk het impedantieniveau van de re6on~toren te wij­zigen zonder het impedantieniveau van het filter te ver­anderen.

Immers voor de (smalle) doorlaatband kan een serie RC-lidvervangen worden door een paralle~ He-lid (fig.2J). Duswanneer bij een serieschakeling van een afsluitweerstand (~

/11'I

®... l · 1(* jf

z~::".

I z I? " ;:: C.zI;II II:

/"""I',

I~ z

,.

• .I?tf ,..

Z/+~

It I I.. I .,. Tz.

.J?"I " ICz.. Cz T • '""e ,fCz • • It ... T-

1:- x '-'.,. Jf C, JCJC

-4.5-

-45-

,y .:

f

-I

If!"

..Cy • C,.

,

Equivalentie van serie en parallel RC-Iedenvoor (P • t4 •

c

en een resonator, een condensator (C) parallel aandeze afsluitweerstand opgenomen word!, dan wordt hier.door in het equivalente serie.RC-lid de weerstand R+kleiner dan R, dus voor behoud van de waarde van d moetdan ook het impedantie-niveau van de resofator dalen

L· 1( Vi :: 2)

': 1 + 'l"z

•Echter is ar nu een condensator C. in serie opgenomenin het serie-resonantiecircuit. Om de resonanti-frequ~n~

tie van dit circuit te handhaven op w moet dUB de aerie.. ,resonantie:"frequentie van de .e8onato~ lager gekozen waX',""den, due (bij vas~e Wc L-) mosten de waardmvan de cond.n~satoren uit het vervangingsschema van de resonator etij­gen t.o.v. waarden behorende bij L·. De begrenzing wOrdtgevormd door de waarde van 0<. (zie app. 1J) •Bij de paralle·lschakeling van een afslui tweeretand (~),en een resonator veroorzaakt een condensator (c ) inserie met deze afsluitweerstand, een stijging vIn de

weerstand (~) in hat equivalente parallel RC-lid,dus hetimpedantie-niveau van de resonator moet dan stijgen

L- 1 + T 2( rn = 2 Y ) en de resonator-condensator moetr

ydalen.

Bij configuratiel, 2 en J veroorzaakt een verandering v~

impedantie-niveau van 6'n van de resonatoren een noodza- .kelijke, evenredige wijziging van de overige resonatore:a,

-46- .......,

. ',~c~;j::~~

-46-

{. ';ii'"

Bij c~n:tiguratie 4 en 5 kan men. met behoud van de wa·~.'~::'~~'voor Ri , ,R en IH (/~ )/max het impedantie..niveatJ Veh«~,:":ri'all. relllona~oren vrij kiezen door het kiezen van a-e JU!.~,.(te '\It'slui ttl en koppelcondensataren.. . .

t.g.v. de vasta w.aarden van d. k:oppelf'actoren. Het toe­vG"~n van een condensator aan de ·i~ganc v.n he~f±lter

imp1teeert due- tevens Qet toevoegen van ••n condensatoraan-ae Uit-gl;\ng van het :fi~t.er. Ri ' ~o· enl~ <II' >{ ._

.•-,X~l:i.jv.n ongew1jzigd.

,.c--

otw, ••

'r;

,':;"

-47-

-47-

9 • VOORBEELD

Resonatorgegevens:

Eisen:

()(;;: 4.0Q ;;: 1.54 ~ooJ mH.L ~ 6mH

f ::: 460 kHzc

BreI = 1%rimpel in doorlaatband ~1pO dB"

verzwakking bi j 451 en 469 kHz ,. '.Q~,.".

geen groepslooptijd eisen

Rt

= 2400 Ohm Ro

• 1000 o•. ,.'

De grafieken op b..1.58 , 59, 55 en 63 tonen aan datminstens 3 resonatoren nodig zijn.In verband met de te verwachten arwijkingen in de door­laatband wordt 0.5 d6" rimpel gekozen i.p.v. 1.0 db,

Gezien zowel R. a18 R vBstIiggen, kan aIleen con£1gura.tie 4 of' 5 geb?uikt w&rdan. Configuratle 't i13 gekozen,

10 lC)f~ ::: 0,5, "dus1" + l :2

1 1 ") 0 , 6'3:K = 8lH b ('1 arc :'!In h0,35 =r

1 11 , 181 = ("~O5 h (3 arc I:1tl1 h ~) =

'"" .

;341' =~c

I: I , 17

DE' wOl'tplg zljn:

rr ."..-K~Jll b + -il eoe r

A.~t:'= - 0,27 + j 0,88

= _ U, ')l~

0,27 - j 0,88

-48-

-48-

De co~ff~c~enten wordeni

: ~ ,

Ct:•

t J

-2..) (-';~)(-" ) - 2 C;,;; -1- ~.~ IJ/, ... (. f3'4, -',

~ .. I ...w ....,.,..".,-L -r. - -2 tr; - a; .. ?; "7,. .. ;

b = dldo~J + 'k~ 2dJ + k~Jdl0

b 1d 1d o d 1d

J dodJ2

k~J= + + + k 12 +

b 2 = d1 + d + d

J0

bJ

:;;:

Dus: dJ = c 2 - d - d

1:: 0,92 -d 10

.,.. - --

;:; c 1 - d 1 (C 2 -d1

) - d (c -d-4.)o 2 () ~

Dus:

en

- c o:;;:

of'wel:

•

-49-

-49-

~= 4 (d1 d )(c'--' 2d d 1 )

k~2 .k~J- - - 2o _ 0miliA C

a

immars c = cC amdat n anavan is.0

In fig. 25 (bl. (7) zijnd, ' k 12 ' k2J

en ~~..xuitgezet

als functie van d 1 • Hieruit voIgt dat ¢f = 0,17bij"'''',)', ",II f

d 1 = 0,J07 of 0,612.

Omdat R. >Rl 0

wGrdt ook d 1> dJ

gekozan, dus:

d1 = 0,612 - 6 1 = 0,612 %

dJ = 0,J07 cS) = 0,)07'%

k12 = o 46' ~12 = 0,46 %' .

k 2 ) =: 0,77 ~23 = 0,77 %

k'..,I

cJ l- $ ~ ¥SB

17/ ... L .. of"/ .m 1-/:= i" = , 00 4i- 1

(

~Ro

.Ill> " m ,1../- cfe \1& 0, /S3 .. L.J 22b1,),; L;' -

Aangezien bij 0<= 1+.0, Ltt niat va$l zal afwijken van Len 3 mH~L ~ 6 mH kiezan wij voor L .. rasp. 5,8 - 4,0 en),6 mH ·n.

~ Zie voetnoot op bIz. 50.

-50-

•

1815:"8 • 31,' ==

-50-

.,?if. ."..,

£ ... •T."'c

..--..... T..z •

dus q~.. 2760 pF,

Ri• 2400 76,7 Ohma - ::::

31.3

en

R .'226 ~lt ~ I

0 62,7- = M == .=R· Tit'

0 ~~

R· 1000 16,0 Ohm= b2;7 :;0

dUB '0· III 819 pF.. ·;i,z

I

<,t ..IJ\jL/fL* "" 5"4'ooj;F

?(1,2 , / z

./C •

~?VL,'" L3*"" J,lo8o~C

?-1>x ..u

•",7' C~3

~,."" ~3•

C..... "ttl''If

C"3~ "'4-

c·I <::'..,

20,6 pF - 34,4=IfJ'L

tf :::s -- • If' ::::1 C,

t: I

c· I C.... .= 'L· == 29,9 pF' --- --=--- :::: 77,7

2 Ide , c·z

c· 33,0 pFc~J

49,9=" ~:t.;..... :::: --- -a3 c·

:I

Via -\)(7.)'- Co!!. /4 - +1C -'+ c* C"C. •

~()

+) De zelf'inducties worden ongelijk gelCozen OlD ong.£~·,j~:ir(;'"neven~esonantie8 n:htt te lat.,1'1 samenvallen. '0

-51~"~'. ':~ "

"~.,, ~:."

'",'

i;;~~

voIgt dan:

-51-

::: 0,0406 __~__ C1

::: 28,85 pF

C2 0,0146 c 33,99 pF- = - =CO,2

2

~~ ::: 0,0248 .. C

3 = 40,74 pFCO,3

en

L*4,3 III 452 kHz

L,,

= mIl =z~ c, r - r 1(/ ~C""

",.

'z ~.i,

3,57 ntH tJ 457 kHz~

:::

(I 01-0( c., ) t - r 2

~II

,IfL

J~

.J 3,0 mH W 455 kHz::: -- =(I 01- 0( C! )1 r

J~'3

Dus: R 1::: J W L1 = 19,0 ohm

0 r 1 •R2

::: do w L ::: 15,8 ohmr 2 2

R3

::: !J 0 tJ L "" 13,3 ohmr

J3

.. *C.

Ci.:r.793 pF 0

c.,~2709 pI

::: = = a. :::

~.% ".1. <12 ..'''' T,

I .,. TIIt .-~, :It

-52-

-52-

Schema van filter uit voorbeeld.

De berekende waarden z1Jn ingevuld' in een analyse­programma KKFAM voor dit filter, welke de IH (/~ )/m.x'en de relatieve amplitude- en groepslooptijdgra£iekenberekent.De resultaten zijn weergegeven in fig. 27 (bl.68 ).Hieruit is af t~ lezen dat het filter aan de gesteideaisen voldoet an dat de benadering voor de doorlaatbandrasulteert in een helling van de amplitudekromme in derichting van de verzwakkingspolen. Afgezien van dezehelling blijft de gelijke rimpelhoogte gehandhaafd.

- --

-53-

EE.5

1-'

:~tt:;,.;..+-...

+-,

I I WE:I mtmm1m;

t'

............

-53-I, I I II I I

'+;

~ .14-;~ :t.":-t., IlIff -1 t~r ~~. T+ ltJflf. ++:. T H ,+ -+.

+11

....

..----

:--

-I,

~-

...-0-

...

,i

J-+ I '+1".1-

t d

,+

~r.+, ' t

titt' ,~ 1

I 'I~; i ~+L; ~,',tII I' '!,II,it ,H

'f Witii

I

II I II

1 ~2 3 7 8

J~I

~

f--__l1li :.:

2

-J'T-

, i

I I

6

r+t1 'i

i.Ii

1Jt,)

....-

JIj

,>

.5

....-

tt

H+

·.1-

I I I I

t+

Htt1.ntiittttttttt f ,ft)ofittttttttfttt\ti+t

't'

...,f+, t

I,+:,;:. ,

.'~

'~i

I"'44

U~, l, Itt, :Ii fi tt: •

'm '~ di 1II11 '

4' I!JIUtl'~

:> ,~ - :.;

+

, t,,'

4

il

,t

I I

+ ,

I " it ,rtf ltitiu ~T ~%~~;.l' ,WI I UlI!i' ~H4 'jJJ'

~t;~(:i+:li+i!H.t,'+'1++1rtttf; d!~niJ~~ ,i, ~lli~! 4'" I I ~i~;,il:!:; I:Ht

- • ,- .,.-' ......"1 +. ~ e .. . 4

...H • t , ~.

-55-

+H11 tt11+tt1m+fllifH+t++tt+t+H+++++++t+++t++ttH+tiH+~fH+thH++ti+Hf+H1+ttH'II+++ttlfHttttt1+H·tl+'tt+t+ttj ttf ~~t

+ , '

ft'

... I

r t,,

t,i' :1

II

lli~Ii

III IiiI

2 3

'g j \.

.II!"~,I'-

+t+

+'

-

-

-

-

.-

N

-5 -_I,. M*.. ~ Ii

c t.l

~tt+.

~.&

1

- 11J

m:t '

- t

.......

,j. , .t

-

,.~

II-~ '.

o...

,. ,

~ fE 'fuf :~'-'-;tt,tt.J!f4-++Hii ijj1~

,+

it:l..\.- ......... of'

, . ~.j.+. +

it

+ •

t·

. .--1 - .

+ J+;!L-.+-r .t ~

t ,t+ -H H-t- +h '-t-t ,:,;,.:11

"

•t·' +' w·ttrn +~+

IIIitt,,. .!'~t++1-+ t

fPH t

mf tit

I.

n

0-

-

JII~.

b >,-.....~ I6

" '

Ii

Ii

J

-

-

r-

......

o...

IE~~

I, ~~; 1

L 'I I

~~

~ f4 • ;,,: b

+_ t:r'-r

1- ~.:

'+'if tt;.: ~t··- IJft ~t ' ..:.' - •

+

-57-

I

,+<+

I I I

H:

~t

J ++'11'

I :'

'1

I I I

•

o

-

-

... -

N-

o I I I...

-58-

....-

7

,+

;1

"I~-..

+>++++HIf+t++H-I+4tf'+i'+'H.+f' 'j , trrt-l,f+t-11#++++I1+I+1+n- I

43

t

2. 1

, I

.......

11

I1J

o...B.5

•

J 2

t.,. •

N I~

, :1,

i' I

-1M; ~l ·14

t' ;T:

::>ill'! Ii jII! III

:> '7 ~ -1: ~

, j

I

It

I I

+Hi,jH.I+++H+:++ttI1-+++H+tiWlt++++++H+++HH+++f+f+ttH+ttt+H+++H-I~ttH+t+t+HttHL+!+H'"

I I

. ~."'-.j-~ _tt-rT!~

...:;::$ tlrlft

T --.t

pttr"~T .. -+ 4 t ~-ttt+

H "H-~-+..l-;~ ,j'-f

"'

t~+: t :+i H~-H+' , .j ,+-H..tj

t ' ~"t"I++

't", ii H~~:::+ 'i

m r;+JtjH 0:t

Hhr- H

~f '+IH!

~ +I'

tn! .1 t1 r

'I ;I fj ) fff.-l 'H~rr '~~ +'' ' I

i Itt t~ il I

~f ittt II, il

i[11 Iflll!1 i!l

1 2 ,

+

t'

-

-,

-

-

..'1+

r-~

T.

I'

t++1tf '

1

N

N

.5

;)l-

is

J".

""'",

''.. .

'.. ,;

:#"~I·'til

dt

II , j! ' II II I 'I I ,,!I ',I.+!-UI'r+l-4+m.UlM.IUUH+H+H+f+,H1,++,++IHI,',,1-I

4' I!, I I I II ' , ",II I t 'I, 3 dB

~_I-++I+++++'~' ",I 'i! !, I' ';ii: I

11,"'''' i!1I"~

'i, "'. " • 1 '::' Ii 'I'111111

II,!IIIIII:I'.!J~I II.;

+

I! ; ;

-64-I " j I \

- -

-

I I I

-,,

,II I'

i',I

'111 Illi I

II' III IIII I

,,1 I fl'

'-,

+

ttt, II,

, ,

,I' " I

"

~o ,i

- 1o 5 ldB

~f-oi

i

d~)

!.'"':

~dJtl

I

,,'c

I ., , ,... tl;l! ~ ~, ....

-

+.j +'UttitPtlittHtI:tl:ttt

l~t

/" -+

i liti ~ ++.\-.,-+ ++-:1'

. HW

r: :jJ'

'tt':' +,

"t ~jt

.u. ++4ci.: +l!-tt+

!,H+rit+

- ...-

-

j I + .,f I' 'I H, ,+-IJt, ,,' ,

:11 II " Mf '<-illli+" fl', 'I~' I /1111, 1 i lll II rttJ;tf!l~, ' ! ,I) ',:,: tH,+:,;:, I ,, I ;nll.rr I 'J; ,I , ~, , , 4+# :i :! i+i~++W-'~'tn,-+!+j'!++Hn~+!';".'++l+HH-J-+++t't++J-j'4++I++J+f

'. II' II 'It Hfl/J,i II 1!!11.' I +m"" 'li'll :ill ~;, 4HJ,~; in TTl, il!lilll :fT!- Illl I' ' 'w!I,' UI"Ht:11i.,IJ(li +-'4 I :1111111, I',I~~ "i

L ", ! '1Iil;:,lil! I,ll II Iilll ItP •..1 " :MI:.~ ;1i'.I'·""'~ ,,"""if'lllllil' o-

, , t

" ~III 'ftIII lL

I--­

~

I't."~

6

"

H H 1+ j

4

I++Ht+H:IH++t 1H+HH++f+++HH-I,HH I H+HH++J+++jH+HH'H'! H~-H1,+iH1hiJ ,; ~Httttlttlttti'+H+# ' ,,, t ~:! Ii

, IIfH++lf+-H+i++- I I ' ' II 1/ ,

~t!! iI IIil,ll

-

-,

1r-

1I1

....-

Ii

-m-tittitj:titt4L 1l+l-1" 'Ii hm+H_;+t,!+t+ftt+1itt+

++, , t4++tf+tl+l+t-!+I+,

rmttt!+l1-Hftl tJ-HjftH+t+~1+ :+1+H+t+WH-H-i-t+tHiH+l+++i+HH-i+t

H-

.f;, ", ~ '." ",c;_- - - ---'---,---"~ -----"--~-----,-- --,---;-" --- ::;-~---

"/~~~?}~~'\i-":"9,:'~~;:~';,~;: ;::~~~~~N-~:t-~) .;~,,:<- '/"~~~~·~f?~:, ..~;-,~~~" ~'-~ !

'\-~, Butt, ChelJ., J'elht,l. '91e9 .# 1:1M1at1E- Mullick. ' ~ ..."\",

.- "ritup~l" 0.5 dB 1.0 dB 2.0 dB 3.0 dB 0.5 dB 1.0 dB 2,0 dB ).0 dB

n = 1".-

cO 1 • 00 1 • 00 1.00 1.00 1.00 1.00 ltOti 1.00 1.00 1 •.01cl 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

'.. 2n =

cO 1.00 0.79 0.74 0.71 0.71 1.41 1.63 2.02 2.41 1.01cl 1 .41 1.03 0.90 0.75 0.65 1.95 2.22 2.67 3.10 1.42c2 1.00 1.00 1.00 1.00 1,00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

n == 3

~ cO 1.00 O. J..j. 5 0.37 0.30 0.25 2.91 4.07 6.51 9.41 1 • 15;,':r ~ t

cl 2.00 1.13 1.03 0.96 0.93 5.04 6.75 10.16 14.03 2.33c2 2.00 1.07 0.90 0.71 0.60 3.73 4.43 5.60 6.10 2.02

I c3 1.00 1.00 1.00 1.00 1 .00 1-.00 1.00 1.00 1.00 1.00 I0\ 0\~ 0\I 4 I

n =00 1.00 0.27 0.22 0.19 0.18 8.12 13.90 28.96 51.07 1.84cl 2.61 0 •.79 0.64 0.49 0.40 '-6.28 26.24 50.49 8).89 4.47c2 3.41 1.44 1 .31 1 .21 1 • 17 14.67 20.95 :33.82 48.76 4.78c) 2.61 1 .10 0.90 0.70 0.58 6'.23 7.55 9.71 11.74 2.88c4 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0'0 1.00 1.00 1.00 1.00

~! '" •

n = 5

cO 1.00 0.13 0.10 0.077 0.063 28.66 60.41 164.81 355.26 3.70cl 3.24 0.60 0.51 0.44 0.41 ·63.96 125.38 311.)d 624.._"'1 10.07c2 5.24 1 .10 0.88 0.67 0.55 65.65 113.74 2:36.56 412,89 1;2.36c3 5.24 1.7) 1.58 1.46 1. 41 35.23 51.86 68.23 12",~Sl 8.85c4 ).24 1 • 1 1 0.91 0.70 0.57 9~46 11.56 1',..00 18.23 '.93

~c5 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 t .00 1.00 1.00 1.00 ' 1,,00

r _

10\(Xl

I

:..-.~.",. ...... 90~ V...........'" in IMI.'~ "i _w. ..." '

3

No. 17

2

9 10'

7 8 9 10'

7

6

5

54

4

3

. 1

.. 1i ': 1 .1:

,--+ • ,. "

2

f 1i

~ -t --

.Dr..kkerij ..Me!-c"rlus" Worm....._

L

.;

m'''''''1·'·' 'f'" .. r' '-'T-'- T~:: ~ r;HEj:~:: r :;;;;: i ~_~§~·fI

+- •• <- t,· <- t •. _. _.

..... .':; +- ..

~ . r-' ••

., -+-':'-'---'--'-- ' +--+.

1 ..: ,- .,. .. "

.;I~·-I-

APPENDIX'

=

-69-

I

I

,

.,+.-f+­• )~C.

+ ~o

Dus:

zs =

'Z. • J ~N-<f. t'~ -(1ft'..,. ~= ,iwL.,.~ "'"N7-'" -<R"L(, ~fI' Nt/( ~RC.,.~ (fI(~,/ '" C, ... 4 -,

- J.oJ 'I tJJ( L C + /141 ,« I? C -10 -< .;. I

met L I ::s

Lo<C + Co

c()

+ 0( H RC{)

C Is =

cc()

(c(+l)C + Co

•= H

o<.C+C()

co

'J

+ R (01. +' 1) - I4J R (I( LCo 0

Stelt men nu als eerste voorwaarde 0< ~ « I dan voIgt0

LI

voors

l~ C + C R o«j o<C + CL

IL

0 {)L

0= c. + R

s:::z:;Cs

0 0

-70-

ImmerSI

Noem

C ::

-70-

12

Id Lr

1~

B

"' eKC. CC I 0L B B :c {o<.. 1 ) C .C 0 . LC

oc:C • Co l'

-.t'r

= Co C ' zodat

en

0( ('(-if;)' of- 0( (" ". t:c: ..,. 0( C

u

Co

= C +o(Co

(0( •Co

~C

• .. C ) •

~ C en C zijn positief, dUBo

o ~AtC

C + oc'Co~1 dUB 0< +

()('C

C +o<.Co~ C( + 1

Stellen wij nu als tweede voorwaarde:

Co

C + p( Codan geldt

(ES); C+ 1 Ar ",:,c-_o","--~

o +0( C

-71-

Hierdoor kan de formu~e voor Zs (/~) vereenvoudigd wor4en.n.l. :

- '" '« LC +)w «,,fC + "'"' ~ - "'1/-1:;rIo +) ..,: o(.f•

.f':

Dus:

,.. " ~

·r/~L.., ~ ..f... I('~)'" i~ t'.C.

waarin Rl

S = R0< C+C o

Co

+ R!. 0

ilia1 +0«1-­

1,jJ2r

O(C+C CI

R0

R0 ... R

S:=:: +

C 0 0< C+C0 0

Dus:

Z (jw) ::: /'wL s " R "1 met+ +s s jwC s

II

L ,( 0( C+C ) 2

L "s 0

L ( 1 ~)::: ::: +S C C

0 0

R' , ( 0( C+C ).C<C 2

RS

II 0 0R ( 1 ) R= = + +C C 0

0 0

C " =S

C ' C8 0

o(.C+Co (0< +1) C}

C'o

ongeveer gelijk aan 1 zal zijn.C

o

Tengevolge van de kleine relatieve bandbreedte zal C/Coklein zijn t.o.v. 1, zodato<.C + C

.0

-72-

. ,.~, .

Bovendien geldt

-72-

-.J 21 - ( .)

s=

",:2 _ ~...;SQ2

s

)•

Om de benadering dus te "laten gelden binnen het doorlaat­gebied (113 I < B 1) moet voldaan zijn aan., re

en 1B ~~-r.~ 0(

Voor lage inwendige verliezen moat bovendien geldend .:.c: B l' duso re

1B 1 c::..::. -re eX

~ R" . 4JDe verwaarlozing van de term tI/~ L c( ~ If ..rI 101'1 C1( So ;f"

in de teller wGrdt (afhankelijk van de waarde van R/R ) ge­deeltelijk gecompenseerd door de verwaarlozing van deOterm

;:£ "" £ in de noemer. Bovendien compenseren de frequentie­~ Atr ~

afhankelijkheid van teller en noemer elkaar min of meer.

De relatieve afwijking van de f'ase-resonantie t.o.v. 105 is

10-60< 6" <: 10-

2 R1 1\ 4 voor en o/R <: 20.

De relatieve afwijking van Iz (j~ )/ t.o.v.s

I", 1 ( 6J + /~4 )1 blijkt dan bij 1/98 / 0,5 10-2 ,c " "'"5 5

ong.veer .:t 4% voor eX. = 3,6 en .±. 13% voor 0(== 10.

•-73-

-73-

AFPINDIX 2

• I "

.y" C./W) ",,/W,,((i--.------P , .JMlL .,.. ~ + . ' -'

~ /N<;,.

I

=

C;o .. tJ(le

". ,of ,of C " I

I• ".

~I'I"') L "f' All~'1.~ •,",.

LL' a·

NIt' K '.,., l',tf'.'

Noemen wij de equivalente parallelverlie8weeretand van de

resonator R L dan geldt:= oc.'RCp

R L R L R 0< 'R2 C R ,- = = ..:..£

R' = ....E- o ::::; ~ 0(' illR ' R 'R 0{ I C R' D<. f C ~ I L R'

0 0 p 0 p 0 0

Dus wanneer aan de voorwaarde ~ b~ ~<

-74-

voldaan is, geldt

LP

-74-

L=

L

Noem 1;;[T

p

..= L ' C ' =: LCp P 0( I + 1 c(' +l

zodat,.(' +1

:2

1 - C~). 0: 1

. 2

-(~) ( "'. )2• :.....£ =Ii'

Stellen wij alB tweede voorwaarde:

2

1 - (~)

2

1-(~) =

1 CDeC + C'o

D(' + 1

dan geldt:

Hierdoor kan de ui tdrukking voor Yp

(/w) vereenvoudigd wor­

den. Voor de noemer geldt n.l.:

-1

Dus:

R+ 11-./ L + 1 =

2

-(~) - I Jo

-75-

, I-,

-75-

metI -

Dus: yp

I I

r . II

IIJIp

1- cR "

P

,c( + /

=

L " =p

I

L".

0( '~ /- L /

De voorwaarden kunnen, zoals afgeleid in app. 1, uitged~ukt

worden als

tfo « .13r~/.

De relatieve afwijkingen zijn als bij app. 1.

-76-'

"'!'..It~..•

-76-

APPENDIX J

Stelt m~n Do'~ 1 en D1 ~ X1 , dan voIgt volgens de ontwik­

keling naar onderdeterminanten

{ x2 nk-l,k k-2

Voor n :: 1 voIgt Dn = X1

; dUB ?8 formula galdt voar n :D 1.

Voor n :: k voIgt

~ (:. J:; ~~/)1- K/"~/) <#

~. Yi .. / ~ XI""

geIdt:

~-~+I

dus voar Dk + 1

~ (- A';~',..,)!-Yj,,,,J~

~ X,.." ~ ~'+I

i ~.

\

-77-, Ii<.~,.

(

-77"1'

,..

De formule geldt dus voor n = 1 en voor n = k+1, wanneer ~en

aanneemt dat de uitdrukking geldt voor n = k (volledige in­ductie).

Voorbeeld: n = 6

t·

+X 1X2 (-X;4)X5X6

+X1X2XJ(-X45)X6

+(-X~2)XJ(;X45)X6

+(-X~2)XJX4(-X56)

- - ---

'.

t. I

-78-

-78-

APPENDIX 4

Z'I

." " . ~:'" .C)tItrJIj " If) l"

met~1 -7T . 7T./~ 'l~)".f. " Cstn-'J . .If·;

x _ s, ...,i'r - 4J C"

c ar

en

voor r IE oneven (serie ree.circ. met R .~ 0;o. '"

en C == ~ , behalVa bij %"11o

x = I4J CIl ("r +/" ...... )r c pr /- voor•

r = even~

.-..Dus

(shunt res.circ. met Rot • ~

en Cl == 0, behalve bij r _ no

+) De index s of p bij 6 is hier overbodig t.g.v. de numm.rlhg

-79-

'-79-

met Qn :: 7T ( J, ~//3)'1 .. /

en

:Aii:~,r+ 1 =

:z

C" sr

c; (r+1)

C"s(r+1)CItpr

voor r = oneven

voor r = even.

Dus

Voorbeeld: n = 6

met

waarin p zr ..

-80-

APPENDIX .5

..80-

en Xr als bij app.4

Dus: I" "C$tz'-~f ~

c;;' (,.j

of'wel:

Voorbeeld: n: 5

~, ~. J i1I('llt' )f....r

~-

-8~-

+

-81-

APPENDIX 6

met

• 'I'

/

rf -X-"X-'-'~_;'I_3_x-'i"'_'-i"1 /oi.,.1

~;

T H /I n

71 ~ /:JI'~) t;; . 7TI;, 'li3)-t", c:./I-tj ",,

(eerie res.eire. met ~o

en

i.,.,. jfIJGil

l.J e srvoor r '" even

en co:::OQ)

11: 0

X = ",j Gil (&r +i(3 )r e pr (Jvoor

Dus

r = oneven (Shunt res.eire.met R~

en G' = 0, behalve bijo

r = 1 of n).

/I

r ~("I.,.;)?( It

C:"-t, ~.,41$~

en

"7 C"p'1

1'(/'1,-'+1 • /I'$ 1,.,.Fj

voor r "" oneven

voor r =·even

-82-

·f

Dus:

• -82-

I

. .

-83-

APPENDIX 7

-83-

met

Dus

ofwel,Z;.<;. ~v;:;;~

II) A-/

-84-

-8~-

APPENDIX 8

" " ~7T (pi,. ~~) ;A 1T" -I:. ~;.,./ A-. -',," .

De recursie is n; • (~ r/J ) !?;./

Alvorens hat bewijs te lev.ren, worden eerst enkele eiBen.·schappen gegeven van a k :

~ ~. ~ ----- II!.i -I "-Jf

dus: 1 ) bevat n - k factoren van d

2)

"3) a n _ 1 = L't., • L ,;(;

-1:,.~ i-I

h)

5)

a ~ 1n

(:]Hot aantal termen van a k == ~

-85-

11.'==

,(,' /". A).'

-8~-

6)"-L t:lq

R,1/1.',

i. I Due de d-£aetoren perterm die niet vOQrk~

~ ,-

in a k zijn de d-f'aet;o-ran per term, vana n _ k •

a....

;:(,: ~. 11'/

an ~ 1

N.B, d ), want er wordenn

~"Q

enkelvoudige factoren van d, weggedeeld i.p.v.paren d. d. 1 1

~ ~+

Voorbeeld: n = 4

d dr

1r

2

\ .

i=l

= 1

"-J.

d.1 =

-~'-

-8'J.-

Dus

't~';;o\

H.t bewije van de stelling' voIgt door·vo11ediC.'i;Ua.t.tcil.e.

stelt men dat de uitdrukking geldig ifJ voor n.voIgt voor n = k + 1

I

.JT d;1 .. d 1,'.,+ p= a o

•

,~ - --

~A 1 dus ook a

tk + 1

1=: =

1+/ .'

at = a d k +1 = 7T d. 'C'§:, " 0 0 :l.

i=1i. ' '.

" i~,

~ = d k +1 • 1 + ·I d:t. • 2: d ii=l i.1

,'''~

..... at d k + 1 += a a q-1q q

-,11::, " •

• ' If':,.:.,',·, .:)~'"

-8(1-, -'

,'§

I

---Af

Voorbeeld: k=4 qm3

a'q

,J( .v\.

.--.> ,.,-"

Vf""---~---_.I· \....·----""'iiiolJiJiiV I,:; :,~~",,/j;:,I' '• ~" " • ',j' .': ..... I.'

.:', • .):[:,} ;.f'r',;;~~~~i'alle' comb.! ,Y:aJ?i' _".11 :}";::~:(~,;t,

....1.t "'.'.";; ".' •.,'::', ',r ,<:~.,\' ",q . ;1'0 .. " . ", <}(;::,;

all. coAtb.vQ.n k-q+l = (k+l)-q uit k+f ;::

\...

(aIle coab.van k-q ui't A}....·14-1

'. ,,'

t..t .. '

.I 'I

8.2 == L L. d r 1d r 2 >:id l d 2 +d ldJ +d 1d 4 +ftadj +dfd4 +Cilf.r 1=1 r 2 ==r , :i:l

~l ~~ ~2 ~~ ~2.x, x

x x

X x

x x

x x

:x x

a1le comb. van 2 tiit 4 = 8.2

xx

x

De uitdrukking

;},a118~91dt dU8

_a' ....

1

comb. yah 1 'uit 4).d.5 == a"J~'

ook voor n • k+l.

"

\';~~il'

-8t-

_APPENPI! 2

\,.J

x· ~t

-

;1

wa(1rbij X. een polynoom in p is van de craad n ... 2.'~

X p2 .. al1e t.ermen van ~ die d:1, .til d i + 1 e.&t;1i -

DUB

.. ",-

~:...

X.d.d. ,~ 1 1+

• aIle termen van a k d~e d i ~ d i +, bevatten •

-.;,!O

-.-

DUsl

kp

( i t j t 1 t • • .;r )a k

Xi . 1 at J t ••• r

I

..

(di+P)(di+,*p)···(dr+P)(dr+,+P) =, /V

graad~

waarin r' de graa~ van het noemer polynoom in pis.

-89-

-89-

(t' I'~J

Q- • Xi j P +P (n , •• ',r

Al1een X .i.J ••• r

• "r·'

immers hat aantal d-:faet.Gr..a·1.,

de noemer van de aom:terii.n (l)moet 6 n-k, dUB voor :k =- n--'1'.'mag slechta '~I\. rJ_in de no.._.. 'voorkomen, Dit gaat niet (s1eebpar-en van d kllaan voor)d.ufJ erzi jn geen L termen bi j bn... , •

Dus b 1 = a l'n- n-

.. , .

I't

bn-l

z: an-1

::;: L di

1.:1

b • a ~ 1'n n

N,B.

1

Voorbeeld n "" 4 (vgl, bIz,8,)

b , "" d , d 2 d J + d , d 2 d 4 + d , d J d 4 +d2dJd4+k~2~J+k~2d4+dlk~.)+k~)44,----:-- - ---..--

-90-

-90...

APPENDIX 10

Voor L <. 1 en posi tief geldt:

I"r"'~ > f."

......- --...

cos' h (,; arc cos h 15./~t: ) .. ;

),

arc coS' h E1

( fi,-g~ = cos·h

o f'wel

I

I,

Voor de limietovergang van E -- 0 maken wij g~bruik van

lim arc cos h x = In 2 xx--Immers stel y = arc cos h x , dan is

voor x(en y) -- ~t ~¥

x = cos h y.. c;

Dus limi~o

cos h ( 1n

arc cos h -')E

= lim cos~ .... o

1 12 In It

h In <e-) =t <1-)en

'/lim t cos n arc cos ~s/t (1) n} =E-o

/$/ f' (2) tj . t { IJ .! I.!.. J1" I".lim l cos h n arc cos h ~B i I' 'S; 219.. ' 2 !I j f .E.... D

-91-,

~~}·;,,\:.(:tir ~ .t

-91-

Dus

,Lim I~ ~iJ)'.·[_0

I ..

voor aIle n) 0

I

. --, ;'.

Bij imaginaire rimpel geldt:

sin h (n arc sin h . ~a/ ) .LJ /A..q.:: ~

ofweI: sin h (jn sin h 19% ) Larc ;t,q = L

(n arc ~% )I

sin h ffin h = T/'..4

'"~% 1 t

Dus: = sin h ( - arc sin h L )~.4 n

===============~=====~============

De limietovergang voor E-- 0 wordt bepaaid m. b.v. :

E-- ()

Ii . h (1 . hi)m S1n narc 81n i'Dus:

limx-- arc sin h' :K . = In 2 x

='Iim sin&.. 0

11"n ';2 1 2]h In(i) = 2 (1)

en

lim £.sin 11 (n arc sin h ~~£ .... 0 . a {

1 2 l /nj-(-), 2 t

":92-

-92..

APPENDIX 11

(vgl 29 bl:z;~ 512)

T (b) .. cos (it arc C08 be) ,; C08 n tA & 008 nG,n c T

De wortels volgen uitt~:,

Dus ct>S "1" - 0..

Dan is sin n ~ = 1 , dus uit het imag1naire deel van de

vergelijking voIgt:

sin+ II

h nJPt·-- IF

of'wel: ",. .,...!..:IIr - n

Verder geldt 7' = arc Cos be ' dUB

4- • co~ (tt ~/'p:) » CoS J< ~t:lSj,~. -I' si" ~ ..si;,h ~.

Iln J:'~.j'{ '" 5/nt: $""~~' +; CoS ~ ~#S,,·~·

Dus de genormeerde wortels van het Hurwitz aandeel zijn

~ K 5/-" .~ +11 "co~ ~-'a

~ -~e.tf4>c

t~-I)7T+/", €DS

1~'-I)1T--:X Slh 2" . l'n..

-93-

,1'7

-93-

( 1 • )met ~= sin h - arc sin h -n fan

1= h ( t sin hI )cos - arc -n I

Voor 1ma.si-naire rimpal geldt.

De wortels volgen uit: , '

'\\"" .-f " ,c

DU8 & CI$ n~,. I:)

:"'._ J

dan is sin n~. = 1

Dus uit het imaginaire deel van de vergeIijking voIgt:

ofweI

Verder geldt

cos h $1'1 .. ..,. 1Ln

f, 1h (,t If£ )= - arc cosn

<f z: arc sin h b , dusa

'bJ a

• .sin I'A CtI$~' - CC151'~ $In f','

• /' oS in.h ~ c-s Yr' - ~ I:'sh ~ S I';., 1':'

DUB de genormeerde worteis van het Hurwitz-aandeel zijn

-94-

Pi ( 1 I)met II:: cos h - arc cos h -n t

en'. 1 I, sin h ( - arc cos h - )= In

•

_j $In

- f !>in

-94-

-95-

.'

-95-

APPENDIX 12

T (b) = sin (n arc sin j b a )A,n a

Dus T (b ) :::: sin nJA,n a

;.';

(k+ 1 )?Nu geldt: sin = sin

:: sin

k J C08/ + co,s kl sin;

k') cosl+ i sin (k+t );- ! ain/'k- 1 l,Dus:

Hieruit voIgt dan de recursie formula

.TA ,(k+1) = 2 cos; TA,k TA, (k-1) .. - --

of'wel

T = 2 V1 + b2TA k - T

A,(k+1) a , , A,(k-l)

met TA :z: 0,0

b a

Dus voor n = oneven is T rationaalA,n

en voor n :z: even TA

== 2 \' /1 + b 2 .(rat. functie).,n V a

DUB

immers k-1 is even als k+1 even is.

2T is €len rationale f'unctie voor aIleA,n

De coUf'f'icient van de hoogste graadterm is weer

-96-

n-l2 •

-96-

, ..~ ,

c

DuBt

c·.8

Tenaevolge van d. wa.rde V$.DOC 'kan bi.J J'.jU~·po.t:i:i.•~;'.!(_;:'lVld~ .ex-ie condet1sator . (c) van de ~.l!!on~.Qr; c:~. .n1.t~1;11.e.F;"

. :' ' ,"

keurig groat wordeR, .immer&t..

Dan voIgt:

Co \ I(~.)t~.-/<-<'+1)"" ~. -Vl -;;; - RI2-<+I) ti4f + I

?O<{-<<l-I)

(het + teken leidt tot zeal' lags impedantieniveaux-voal' de resonatoren)

De serie candeneator C wordt complex a1&:

+ 1 < 0

DuB:

== 2 0( + 1 ~ 2'1« (-< + 1)

(zie fig.24)

-97-

-97-

f

'0 .. 0(

Fig. 24.'

DUB voor < ;-. < 2~ +1 + 2V.(!q(,,,.,,jc

zijn er geen reUle oplossingen voar C.,

De bovengrens voar C wordt dan:

=

,pD{oI/ -I' 2'./tJ(!tJl+/)

VtJ( I«~//

13ij parallelllchakeling van een re&onator en een a:f.luitwe.r."stand ,geldt een anal age redenering.

i',

voIgt:

-98... ,

-98-

\;_.

'~. '.

. ~.. I .

/- ;- ."'.'-Jil .?"ijl·/<t,~/l ·

atU!l:,:f

, '

en.. .

(~)~. • 2« + 1 :t \Ie( l.t~/)l' .

•

..

-99-.,' '0/. """" '

-99-

GEBRUIKTE SYMSOLj§N

polynoomcolf£icient

? "';if~,'j;:::;i:

ii.r:ie~~~~~~:(. ::.:

veratemming t.o.v. c.entrale f'raq.

ver6temming t.o.v. resonantt• .-n .~tie-circuit

. \ ~ ~-i,.~;

verstemming t.o.v. resonantie van' ••fJ .h\lnt~~•• '. "":.

tie-circuit

verhouding tuseen par. en lIeriecapaciteit yan eCfJ1resonator

=

::

b

.0<.

~, ,.

Brel relatieve bandbreedte

:: polynoom colfficient ui tgedrukt in eleMentwaardeb,<'

c = serie capaciteit van een resonator

e"s :: capaci tei t van een serie-resonantie-ci,rcui t

=

=

capaciteit van een shunt resonantie-aircuit

capaciteit in serie met sen resonator

C to = capaciteit parallel aan een resonator

capaci tei t van een resonantie-circui t met geW:1J'~1_;'impedantie niveau

•..• = serie-capaciteit van aen equivalent. afsluitimp..ant

shunt·capaeiteit van een equivalente a:flJluitimpe4~$

tellerconstante van H (p)" ....

::

=

numerieke polynoom coUfficient

verliesfactor van een resonator. r

verliesfactor van een serie resonantie-eirQuit

::

::

verliesfactor van een parallel resonant'i-e-circuit."·>'

lI.__" ... ,

genormeerde verliest'actor

l rimpelfactor. .

= shuntgeleiding van een

-100-

..,.100-

overdrachtB:functie -

== orde van hat fil tar, aiUltal 'resonatoren .

\ '"

cQmplexe f'requentie

genormeerde' koppel/actor. .

koppelfac~or tu••en 2 ••o~~..

.. ~ ~;.:;;: ".....'\." :. "~;.

>;:"0'" ':':';. .'~

zelf'in.duc tie V~ gen l"e8o..nat,.r, t;;~'\\:',{",\ .f',,;

• .• , ... ' .' .', ')I~" ,,(:}1. . ....'!t.~;.zel£ind~cti. via eerl ••rie~~••~~l.·~il~~il~i;

ze1nnduct~ ,,_ e_"~t"'~.~~~"~'i-;,.. .. ' .. :~:',' ,'{~'~__:': '~', " " . ,:,'''; :':'.{.';;.'~);:~",;'} .

zelt'inductie van €ten r ••4Jnan.,ti••ei..r:cu4'i .•,,;;«mzigd impeaanti nive..u .. , . . . ',« -·;·~~]·:£·'t

rtoe..erpo'1ynoo et _"1ek. COll~C1C'-~~'"

n

p

H :z

'( r.r+l ..k

r.r+1=:0

L Ill'

Lf!t a•L" =

P

••L 1:1

-I:';

. ,eigen f'requentie vatl het ne.twerk

= weer~tand van een resonator

R" = weeretand van een serie-re8on.anti.-ci~cul,t•R" = weerstand van een shunt-re.on~tie':oircuit

p

R· = weeretand in een equivalent. ai'sluit ... :lmpeda:nt:t.e

== af'sluitweerstand bi.j de bran

R()

:: af'sluitweerst.and aan de ui'tgang van het filttl:%-1 ",weerstand i.n 8et'1. m.et ••n, resonator , ....

Rto

== we·eretand parallel aan .en resonator

Tg

= groepslooptijd

= b~drij£svermogensoverdracht• •

== poolhoek

• re8onantie£reque~ti. van ••n. resoDator

anti-resonantie-t'requ.ntie ~an een r ••onator

van ••nvan e'en

resonantie..:Crequenti..resonantie- f're quanti·.centrale frequenti,

af'slui timpedanties '•z. Z:1.. 0

".=io

-101-

.'

'"

. '

High frequency monoli thic crystal filter•• · "

'reg,ueJ},c,x, May/JUn. '19­.vol,4 - no.', pp.42-4'

'.'1 '~

-.

Pie,zo_den0;; ~~~!'.'

. • . ,t!: .. ,c' , " , ""'. :"'. i: "';,''/ -.~;; . ... ~, :.;'

Ft.-equea.it- .q~tlQDa ',:ter, ·It> '. ;~L '~:.t~'\"·"{<}:"'''''····:'••~han:l.c.llr coupl.4: j~'••Q~:~.~c:tt')l.c ~"~~~f:: .

. ItiLt '•• ·.t~?iL! . '., .•i.I.~":i .... '~;1i!:,",., 1

;~lr. I, ~ c ' ':. • ,~ ••

.:~. "QUWOODlM~.'.,. akILLT

. '. i.B,A. SntES J'. "11.1>:., .:eEAVER

5. V. BELEVITCH;Y. IU1l4P r

·i.

Theory of' monolithic orystal filters us.i:n.g;thickness-twis.t vibrations t,

~ilip.. Rell.arch :,..800.'...1:1,

-')1 - .., '. , ,,"~;'-.1909, vol. 24,. no •. i',:, . ..... ;PP. "1-,69"'\' '

?~, ,.:-.

, .

"

,4).1f. SHOCKLEyr..',: :r> • .It. CURRAN J. D.J, ~,~OPVAL

'1~.M. ORO:l:.. H. JUMOXJiI J

'.:' If. K030RI

. ,-Energy trapping and related studie. of' mUlti~. :electrode f'~lter. crystals. "',,'

;';:u=aa;:=.t!~

High. frequency crystal filter empJoyi,tJ,g lIl'q11Lpl.mode resonators vibrating in tra,ped .n~r&'Y

modes.

The equivalent electrical circuit :for rei4!.a,J.modes of' a piazo-electric c~U'am1e disc wi tk)conoan~ric electrodes.

,,'.

t:tiliRII·I&U<lh._16,5, vol. . '.• " ,<"f,.,

p,p. 17O",'8~" .

,"':' .... 102..

"

-102-

9. D.BERLINCOUR'1';C.C.CMOLIK;B.JAFFE

10". D ..R. CURR.UlJW.J'. GERBER .

11. D.. ij..CURRAN;'b. 'J. KONEYAL

12. a.E. MATTIAT

Pie2o-electrie px-o.,ert1e. ,0£ p()lyct'i.'t.li.~clead titanate ,.irconat. eQM.poai-t1.oite. "

'If'~~ '131.1.,' ~"~)i;P' -,-p•••:2. " ,,:.,,; ;" .!

',.

Piezo-eleotr!,c 0.('..101.':.

Mi.niature oeX'fUIIic band-passp19

13. R.C.V. MACARIO Design data'for band-pas. ladder-:fi.1'tet'.employing ceramic resonators. '

1.4. 3 •.1>. SCHOEFFLER On the existence and reali.ation 0'£ erte",""l .~.

ladder-filters.

".".,},jl>of'

. ~.

, /

15. J.D. SCHOEFFLER A solution. to the appro][imation'~4 re.11••~;I.~;:problem for crystal ladder-!'!! ters. ·.... "':'ir'

. ~:II~·~f~~t"J~'"pp.. 2 2 • 288 ' ' -

-l0-J..

ApprOXimation problem f,9r r ••onator la44.r~fl1".' ~ '.~ ,

.''t.

16. J.D.SCHOEFFLER;A.D •. WAREN

'. . 17. V. aELEVITCH J-J. GQETlL\LS;J. NEIRYNCK

19,". DISHAL

21. M. DISHAL

22. E. BEliZE

. 24. H. titQST, f;

-103-

Dar1infJton :fi1 ters w.i tho unequf',1 uniform dissi...pati,on.j.n indue 'tors ~ c-.paci'tora.. ,.

;.:'

Design of' dissipative bande-PAS. fil tera p:t'o4uo$.l14desired exact amplitude fr.q.uency ch.aractttrieti.,C.

'" , 'i

P;r-oc,I,R.E, 194?,:' ~_l;pp. 10,50 .. If)69 '.

Two new equations £or the design o£ fi1tera.... . .

E~ectrica,l conaootcAt.j.J1953, vol.30,pp., ~~,'

Bandf'ilter v~ Tschebyschef'fschen Typ mitbeliebig vielen Kreieen.

4 •.E.•1t. 19.5.5, vol.'9'P'P':'11t .. 1'9

Synthesis of' ladder-networks to' give Butterw"rthor ChebYshev response in the pa.4b~. .

~~:I~~E:on~:;lph.~'4pp. 192 - 203

Synthesis of' Chebychev-type bandpass filt-erswith 3 ~ 4 or , coupled 'tt:ma4<'Q.!.rcuita. '

, ' ~~

",. ~. .

~..

25. H.J.G.M. BENNING Synthesis o:f hybrid ceramic bapd-p••8 filteX". i;tsecond orde1" wi tb prescribed ampl:i tude re8po~.,.·

curve.

~.. "

..,'·o:-\t~h.

-.104-

•

ALGEMEEN_._*===cc..= I:;

,.«",

27'.: F. SAUERLAND•..W. BLtJM. ,·C.rUl1c

26~ PU,VAlf BASTELAiER The de8..ign of'resonator.'.·

,f..' ._ ~

synthesis ••

ltti;~f.%'~$.·

.,

,"

Network ~a~Y$is and

)iet'tfork d ••icnteoliUiquea ..,net

L. WEINBERG29,'

)0. B.D.H. TELLEGEN Coupled circuit••

B.D.H. TELLEGEN Theor~e der w181i"ill.tr~n. D••11t~ {"!;.. ~

l~.),)o~~ci;' ;::'t9~2 ".' ~ ..;li..•.:.j"~, '!'-A,e-» - -~ " '

J.L. HERREROlG. WILLONER

5.i. MULLICK

34. .J.• O. sCANti,AN

35. :V.W. BELL

PuIs. ne'tTorkapoles,

The linear pha.... apP~Qx~Ji.on pr'o\t-1C.~~..;". •• <, • ':',i:A-: ','~'. '·~'~':~:;:~.~'<,};:~·L~\,';f~"""P;':·.~"" <'

.. -- ....... , ~-~:,!, "- ... -"..