IEEE corresponde a las siglas de The Institute of Electrical and Electronics Engineers, el Instituto de Ingeniera Elctrica y Electrnica, una asociacin tcnico-profesional mundial dedicada a la estandarizacin, entre otras cosas

IEEE corresponde a las siglas de The Institute of Electrical and Electronics Engineers, el Instituto de Ingeniera Elctrica y Electrnica, una asociacin tcnico-profesional mundial dedicada a la estandarizacin, entre otras cosas. Es la mayor asociacin internacional sin fines de lucro formada por profesionales de las nuevas tecnologas, como ingenieros elctricos, ingenieros en electrnica, ingenieros en sistemas e ingenieros en telecomunicacin....

El estndar de la IEEE para aritmtica en coma flotante (IEEE 754) es el estndar ms ampliamente usado para las computaciones en punto flotante, y es seguida por muchas de las implementaciones de CPU y FPU. El estndar define formatos para la representacin de nmeros en punto flotante (incluyendo el cero) y valores desnormalizados, as como valores especiales como infinito y NaNs conjuntamente con un conjunto de operaciones en punto flotante que opera sobre estos valores. Tambin especifica cuatro modos de redondeo y cinco excepciones (incluyendo cuando dichas excepciones ocurren, y que sucede en dichos momentos).

IEEE 754 especifica cuatro formatos para la representacin de valores en punto flotante: precisin simple (32 bits), precisin doble (64 bits), precisin simple extendida ( 43 bits, no usada normalmente) y precisin doble extendida ( 79 bits, usualmente implementada con 80 bits). Slo los valores de 32 bits son requeridos por el estndar, los otros son opcionales. Muchos lenguajes especifican qu formatos y aritmtica de la IEEE implementan, a pesar de que a veces son opcionales. Por ejemplo, el lenguaje de programacin C, ahora permite pero no requiere la aritmtica de la IEEE (el tipo de C float es tpicamente usado para la precisin simple de la IEEE y el tipo double usa la precisin doble del la IEEE).

El ttulo completo del estndar es IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985), y tambin es conocido por IEC 60559:1989, Binary floating-point arithmetic for microprocessor systems (originalmente el nmero de referencia era IEC 559:1989).

Anatoma de un nmero en punto flotanteA continuacin se realiza una descripcin del formato estndar de la IEEE para nmeros de punto flotante.

Convenciones de Bit usadas en este artculoLos Bits dentro de una palabra de tamao W estn indexados por enteros en el rango 0 a W1 inclusive. El bit cuyo ndice es 0 se sita a la derecha. El menor bit indexado es normalmente el menos significativo.

Precisin simple 32-bitsUn nmero en punto flotante de precisin simple se almacena en una palabra de 32 bits.

1 8 23 tamao en bits

+-+--------+-----------------------+

|S| Exp | Fraccin |

+-+--------+-----------------------+

31 30 23 22 0 ndice del bit (0 a la derecha)

desplazado +127

donde S es el bit de signo y Exp es el campo exponente. (Para el signo: 0=Positivo; 1= Negativo).

El exponente es desplazado en el sentido de la IEEE para una palabra. El valor almacenado es el offset (desplazado 127 en este caso) del valor actual. El desplazamiento ocurre porque los exponentes pueden ser valores con signo, para permitir la representacin de valores pequeos y grandes, pero la representacin en complemento a dos hara esta tarea ms difcil. Para resolver esto, el exponente es desplazado antes de ser almacenado, ajustando su valor para ponerlo dentro de un rango sin signo adaptable a una comparacin. As, para un nmero en precisin simple, un exponente en el rango 126 a +127 es desplazado mediante la suma de 127 para obtener un valor en el rango 1 a 254 (0 y 255 tienen valores especiales descritos ms adelante). Cuando se interpreta el valor en punto flotante, el nmero es desplazado de nuevo para obtener el exponente real.

El conjunto de valores posibles pueden ser divididos en los siguientes:

ceros

nmeros normalizados

nmeros desnormalizados

infinitos

NaN (Not a Number, no es un nmero, como por ejemplo, la raz cuadrada de un nmero negativo)

Las clases se distinguen principalmente por el valor del campo Exp, siendo modificada sta por el campo fraccin. Considera Exp y Fraccin como campos de nmeros binarios sin signo (Exp se encuentra en el rango 0255):

Clase Exp Fraccin

Ceros 0 0

Nmeros desnormalizados 0 distinto de 0

Nmeros normalizados 1-254 cualquiera

Infinitos 255 0

NaN (Not a Number) 255 distinto de 0

Para nmeros normalizados, los ms comunes, Exp es el exponente desplazado y Fraccin es la parte fraccional del significando. El nmero tiene valor v:

v = s 2e m

Donde

s = +1 (nmeros positivos) cuando S es 0

s = 1 (nmeros negativos) cuando S es 1

e = Exp 127 (en otras palabras, el exponente se almacena con 127 sumado a l, tambin llamado "biased with 127" en ingls)

m = 1.Fraccin en binario (esto es, el significando es el nmero binario 1 seguido por el punto decimal seguido por los bits de Fraccin). Por lo tanto, 1 m < 2.

Notas:

1. Los nmeros desnormalizados son iguales excepto que e = 126 y m = 0.Fraccin. (e NO es -127: el significando ha de ser desplazado a la derecha por un bit ms, de forma que incluya el bit principal, que no siempre es 1 en este caso. Esto se balancea incrementando el exponente a -126 para el calculo.)

2. 126 es el menor exponente para un nmero desnormalizado

3. Hay dos ceros. +0 (S es 0) y 0 (S es 1)

4. Hay dos infinitos + (S es 0) y (S es 1)

5. Los NaN s pueden tener un signo y un significando, pero estos no tienen otro significado que el que puedan aportar en pruebas de diagnostico; el primer bit del significando es a menudo utilizado para distinguir NaN s sealizados de NaN s silenciosos

6. los NaN s y los infinitos tienen todos los bits a 1 en el campo Exp.

Un EjemploCodifiquemos el nmero decimal -118.625 usando el sistema de la IEEE 754.

Necesitamos obtener el signo, el exponente y la fraccin.

Dado que es un nmero negativo, el signo es "1". Busquemos los dems valores.

Primero, escribimos el nmero (sin signo) usando notacin binaria. Mira el sistema de numeracin binario para ver como hacer esto. El resultado es 1110110.101.

Ahora, movamos el punto decimal a la izquierda, dejando solo un 1 a su izquierda.

1110110.101=1.11011010126 Esto es un nmero en coma flotante normalizado.

La fraccin es la parte a la derecha del punto decimal, rellenada con ceros a la derecha hasta que obtengamos todos los 23 bits. Es decir 11011010100000000000000.

El exponente es 6, pero necesitamos convertirlo a binario y desplazarlo (de forma que el exponente ms negativo es 0, y todos los exponentes son solamente nmeros binarios no negativos). Para el formato IEEE 754 de 32 bits, el desplazamiento es 127, as es que 6 + 127 = 133. En binario, esto se escribe como 10000101.

Poniendo todo junto:

1 8 23 tamao en bits

+-+--------+-----------------------+

|S| Exp | Fraccin |

|1|10000101|11011010100000000000000|

+-+--------+-----------------------+

31 30 23 22 0 ndice del bit (0 a la derecha)

desplazado +127

Precisin doble 64-bitsLa precisin doble es esencialmente lo mismo, exceptuando que los campos son de mayor tamao (ms bits por campo):

1 11 52

+-+-----------+----------------------------------------------------+

|S| Exp | Fraccin |

+-+-----------+----------------------------------------------------+

63 62 52 51 0

desplazado +1023

Los NaN s y los infinitos son representados con todos los bits de los Exp siendo 1 (2047 en decimal).

Para los nmeros normalizados, el exponente es desplazado +1023 (as nuestro e anterior es Exp - 1023) Para nmeros normalizados es exponente es -1022 (el mnimo exponente para un nmero normalizado no es 1024 porque los nmeros normalizados tienen un bit a 1 delante del punto binario y los nmeros desnormalizados no). Como antes, ambos infinitos y los ceros contienen signo.

Comparacin de nmeros en punto flotanteLa comparacin de nmeros en punto flotante se realiza generalmente usando instrucciones de punto flotante. Sin embargo esta representacin (IEEE 754) hace la comparacin de determinados subconjuntos posible byte-por-byte, si comparten el mismo orden de bytes y el mismo signo, y adems los NaN s son excluidos.

Por ejemplo, para dos nmeros positivos a y b, a < b es cierto siempre que los enteros binarios sin signo con los mismos patrones de bits y el mismo orden de bytes que a y b son tambin ordenados de forma a < b. En otras palabras, dos nmeros positivos (que se sabe que no son NaN s) puede ser comparados con una comparacin entre enteros binarios sin signo entre los mismos grupos de bits, teniendo como base que los nmeros tienen el mismo orden de bytes (esta ordenacin, por tanto, no puede ser utilizada a travs de una union en el lenguaje de programacin C. Este es un ejemplo de ordenacin lexicogrfica.

Redondeo de nmeros en punto flotanteEl estndar de la IEEE tiene cuatro formas diferentes de redondeo:

Unbiased que redondea al nmero ms cercano, si el nmero cae en medio, este es redondeado al valor ms cercano con un valor par (cero) en su menos significativo. Este modo es el requerido como por defecto.

Hacia el cero

Hacia el infinito positivo

Hacia el infinito negativo