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Equation Chapter 1 Section 1

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

Evaluación del flujo de tensiones tangenciales en el

cajón de torsión de un ala de aeronave constituida de

material compuesto.

Autor: Miguel Ángel Galiano Andrades

Tutor: Juan Carlos Marín Vallejo

Dep. de Mecánica de Medios Continuos y

Teoría de estructuras

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2018

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

Evaluación del flujo de tensiones tangenciales en el

cajón de torsión de un ala de aeronave constituida

de material compuesto.

Autor:

Miguel Ángel Galiano Andrades

Tutor:

Juan Carlos Marín Vallejo

Profesor titular

Dep. de Mecánica de Médios Continuos y Teoría de Estructuras

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2018

Proyecto Fin de Carrera: Evaluación del flujo de tensiones tangenciales en el cajón de torsión de un ala de

aeronave constituida de material compuesto.

Autor: Miguel Ángel Galiano Andrades

Tutor: Juan Carlos Marín Vallejo

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2018

El Secretario del Tribunal

Agradecimientos

A mi familia y amigos y en especial a todas y cada

una de aquellas personas que me han hecho disfrutar de

tantos y tan buenos momentos y que indirectamente han

provocado que el presente documento se haya postergado

demasiado.

Miguel A. Galiano

Sevilla, 2018

Resumen

El presente trabajo aborda la evaluación del flujo de tensiones tangenciales a través de la extensión de la fórmula

de Jourawski. Esta idea se desarrolla para el caso de una sección multicelular de pared delgada fabricada en

material compuesto. En primer lugar, se desarrollará la teoría para la obtención de la expresión para el cálculo

del flujo de tensiones tangenciales debido a cortantes y torsor, teniendo en cuenta las simplificaciones aplicadas.

A continuación, se aplicará el modelo obtenido al cálculo de tensiones tangenciales en una configuración real

del cajón de torsión del ala de una aeronave. A este fin, se desarrolla un modelo que tiene en cuenta las

características geométricas de estos elementos estructurales (secciones multicelulares, presencia de rigidizadores

longitudinales). La aplicación de este modelo simplificado de Resistencia de Materiales para el cálculo de

tensiones en una geometría específica de cajón de torsión bajo unas condiciones de carga dadas permite la

comparación de los resultados obtenidos, en términos de flujo de tensiones, con aquellos obtenidos a través de

unmodelo numérico de Elementos Finitos, usando discretizaciones equivalentes.

Abstract

The present work addresses the evaluation fo the shear stress flow as an extension of the Jourawski’s formula.

This idea is developed here for the case of multi-celled composite thin-walled section. First it will obtain the

explicit formulation of the shear flow due to shear forces and torsion, noting the simplifications adopted. Then,

the obtained model will be applied to the evaluation fo the shear flow on an actual configuration of an aircraft

wing torsion box. To this end, a specific model that considers the geometric characteristics of these structural

elements (multicellular sections, presence of longitudinal and transverse stiffeners) has been developed. The

application of the Strength of Material simplified model on a specific geometry of an aircraft wing under a given

load conditions has allowed to compare results, in terms of shear stress flows, with those obtained by a numerical

Finite Element model for the same problem, using equivalent discretizations.

Índice

Agradecimientos 7

Resumen 9

Abstract 11

Índice 12

Índice de Tablas 14

Índice de Figuras 16

1 Introducción 1 1.1. Objetivos. 2 1.2. Los materiales compuestos en la industria aeronáutica. 3 1.3. Tipologías de laminados y funciones que desempeña. 3

2 Antecedentes 5 2.1. Cajón de torsión del ala de aeronave. 5

2.1.2. Descripción de la geometría. 6 2.1.3. Materiales y laminados del cajón de torsión. 10 2.1.4. Cargas y condiciones de contorno del cajón de torsión. 13

2.2. Modelo de Elementos Finitos del cajón de torsión. 14 2.2.1. Cargas y condiciones de contorno en el modelo de elementos finitos. 18

2.3. Una herramienta para el cálculo de tensiones tangenciales en palas de aerogenerador. 20 2.3.1. Modelo de Resistencia de Materiales 20 2.3.2. Estructura del programa. 23 2.3.3. Resultados obtenidos. 25

2.4. Cálculo de tensiones normales en cajón de torsión a partir de modelo de Resistencia de Materiales. 27 2.4.1 Resultados 27

2.5. Conclusiones 28

3 Modelo de Resistencia de Materiales para el cajón de torsión 29 3.1. El cajón de torsión como elemento barra. 29 3.2. Marco teórico del modelo de Resistencia de Materiales 30

3.2.1 Sistemas de Coordenadas Locales 30 3.2.2. Descripción del campo de desplazamientos y deformaciones. 31 3.2.3. Descripción del campo de tensiones del sólido. 33 3.2.4. Cálculo de tensiones tangenciales mediante equilibrio. 35 3.2.5. Cálculo del flujo de tensiones tangenciales en perfiles cerrados. 37 3.2.6. Cálculo del flujo de tensiones debidas al torsor. 39 3.2.6.1. Flujo de tensiones tangenciales debidas a un torsor externo. 39 3.2.6.2. Aporte del torsor inducido generado por los cortantes. 41 3.2.7. Efectos del acoplamiento axil en el alabeo de la sección. 41 3.2.8. Cálculo de propiedades mediante teoría de laminado. 43

3.3. Aplicación del modelo teórico al cajón de torsión. 48

3.3.1. Discretización del cajón de torsión para su estudio por Resistencia de Materiales. 49 3.3.2. Cálculo de propiedades del elemento y la sección. 51 3.3.3. Cálculo de tensiones normales en los elementos de la sección. 54 3.3.4. Cálculo de tensiones tangenciales debidas a los esfuerzos cortantes. 56 3.3.5. Cálculo de tensiones tangenciales debidas al torsor. 59 3.3.6. Efecto del esfuerzo axil en el alabeo de la sección. 60 3.3.7. Cálculo del campo tensional del cajón de torsión según modelo de Resistencia de Materiales.60

3.4. Cargas y condiciones de contorno en el modelo de Resistencia de Materiales. 63 3.5. Los programas de cálculo NDATA y NPALA. 64

3.5.1 El código NDATA – Acondicionamiento de Datos 65 3.5.2 El código NPALA – Cálculo de tensiones. 66

4 Evaluacion y comparación de resultados obtenidos por el modelo. 69 4.1 La Sección 10 del Modelo de Resistencia de Materiales. 69 4.2 Evaluación del Flujo de Tensiones Normales. 71 4.3 Evaluación del Flujo de Tensiones Tangenciales. 72 4.4 Efecto del esfuerzo Axil en el alabeo de la sección. 78

5 Conclusiones y mejoras futuras. 81 5.1 Mejoras futuras. 82

Referencias 84

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2–1. Propiedades de la aleación AL7050 10

Tabla 2–2. Propiedades de las láminas prepreg AS4/8552 11

Tabla 2–3. Espesor total de laminados y orientación las láminas que lo conforman. 12

Tabla 2–4. Cargas y momentos del caso de carga LC_A00018 y punto de aplicación de éstos. 13

Tabla 2–5. Propiedades de los laminados de los elementos FEM en “sección 10” 16

Tabla 2–6. Cargas y momentos puntuales aplicados en el modelo de EF. 18

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2-1.Vista general del modelo EF del cajón de torsión 5

Figura 2-2.Posición del cajón de torsión en ala. 6

Figura 2-3.Largueros y costillas de cierre. 7

Figura 2-4.Geometría y sección de larguero FS. 7

Figura 2-5.Geometría y sección de los largueros ICS e IFS. 8

Figura 2-6.Geometría y sección del larguero IRS. 8

Figura 2-7.Geometría y sección del larguero RS. 9

Figura 2-8.Costillas de cierre interior (izq.) y exterior (drcha.). 9

Figura 2-9.Revestimientos superior (US) e inferior (LS) 10

Figura 2-10.Disposición de láminas en ejes de laminado 11

Figura 2-11. Sistemas de referencia para expresar cargas y puntos de aplicación de éstas. 14

Figura 2-12. Sistemas de referencia para expresar cargas y puntos de aplicación de éstas. 15

Figura 2-13. Definición de los offset de los laminados de los elementos del revestimiento. 15

Figura 2-14.Transmisión de cargas a estructura. 18

Figura 2-15. Condiciones de contorno de empotramiento y extensión “dummy”. 19

Figura 2-16.Geometría típica de la sección de una pala de aerogenerador 20

Figura 2-17. Vista general de la pala utilizada para el modelo. 21

Figura 2-18. Discretización de una sección de la pala. 21

Figura 2-19. Representación de flujos de tensiones tangenciales en perfil de pala de aerogenerador. 23

Figura 2-20. Diagrama del código DATAPALA.exe. 23

Figura 2-21. Diagrama del código DIPALA.exe. 24

Figura 2-22. Resultados del modelo RM sobre la pala de aerogenerador. 26

Figura 2-23. Tensiones normales del modelo RM en la “sección 10” del cajón de torsión. 27

Figura 3-1. Dimensiones generales del cajón de torsión tipo 30

Figura 3-2. Sistemas de Referencia Local (izq.) y Local en Curvilíneas. 31

Figura 3-3. Centro elástico y de gravedad de una sección tipo del cajón de torsión. 35

Figura 3-4. Tensiones expresadas en coordenadas curvilíneas en una rebanada de una sección de pared delgada.

36

Figura 3-5. Representación simbólica de tensiones 𝜎𝑠𝑛 y 𝜎𝑥𝑛 a lo largo del espesor de una rebanada. 36

Figura 3-6. Representación simbólica de tensiones 𝜎𝑠𝑛 y 𝜎𝑥𝑛 a lo largo del espesor de una rebanada. 40

Figura 3-7. Representación simbólica de un laminado de material compuesto. 44

Figura 3-8. Sección multicelular típica del cajón de torsión 48

Figura 3-9. Sección multicelular típica del cajón de torsión 49

Figura 3-10. Centroide y longitud de un elemento. 50

Figura 3-11. Elementos de las espinas en una sección. 51

Figura 3-12. Cálculo de momentos de inercia. 52

Figura 3-13. Cálculo de momentos de inercia 53

Figura 3-14. Puntos de evaluación de la tensión normal. 56

Figura 3-15. Puntos de apertura de la célula y sentido de recorrido de éstas. 61

Figura 3-16.Distribución de puntos de aplicación de cargas y momentos puntuales en el MEF (Arriba e

izquierda). En una sección del MEF, elementos de transmisión de cargas a la estructura (abajo y derecha).

63

Figura 3-17.Esfuerzos sobre una sección de estudio del Modelo de Resistencia de Materiales. 64

Figura 3-18. Diagrama del código NDATA.exe. 65

Figura 3-19. Diagrama de bloques del código NPALA 67

Figura 3-20. Archivos de entrada y salida del ejecutable NPALA.exe 68

Figura 4-1. Sección 10 de estudio. Vista general de la sección 10 (izquierda) y detalle de la sección 10 con la

línea media del espesor de la sección resaltada (derecha). 70

Figura 4-2. Representación de los nodos de la discretización de la Sección 10, en planta (arriba) y tridimensional

(abajo). 70

Figura 4-3. Componente fuera de la sección de los nodos escogidos del Modelo de Elementos Finitos. 71

Figura 4-4. Flujo de tensiones normales, 𝑁𝑥𝑖𝑁𝑚𝑚, frente al identificador de nodo, 𝑛, para los elementos de la

sección de estudio. 72

Figura 4-5. Flujo de tensiones normales, 𝑁𝑥𝑖𝑁𝑚𝑚, representado sobre la geometría de la sección, [𝑦𝑐𝑚, 𝑧𝑐𝑚], para los elementos de la sección de estudio. 72

Figura 4-6. Flujo de tensiones tangenciales calculado a través del modelo RM, 𝑞𝑖𝑁𝑚𝑚, representado sobre la

geometría de la sección, [𝑦𝑐𝑚, 𝑧𝑐𝑚], para los elementos de la sección de estudio. 73

Figura 4-7. Flujo de tensiones tangenciales calculado a través del modelo EF, 𝑞𝑖𝑁𝑚𝑚, representado sobre la

geometría de la sección, [𝑦𝑐𝑚, 𝑧𝑐𝑚], para los elementos de la sección de estudio. 73

Figura 4-8. Flujo de tensiones tangenciales, 𝑞𝑖𝑁𝑚𝑚, calculado a través del Modelo RM (en rojo) y a través del

modelo EF (en verde) para los rigidizadores intermedios anterior (IFS), central (IS) y posterior (IRS),

representados frente a la coordenada 𝑧𝑐𝑚. 74

Figura 4-9. Flujo de tensiones tangenciales, 𝑞𝑖𝑁𝑚𝑚, calculado a través del Modelo de Elementos Finitos (en

verde) y el Modelo de Resistencia de Materiales (en rojo) para los elementos exteriores de la sección 10,

representados frente al identificador, 𝑛, de los elementos. 75

Figura 4-10. Error absoluto, 𝑞𝑅𝑀 − 𝑞𝐸𝐹𝑁𝑚𝑚, calculado para los elementos de la sección 10, representado

sobre la geometría de la sección, [𝑦𝑐𝑚, 𝑧𝑐𝑚]. 76

Figura 4-11. Error absoluto, 𝑞𝑅𝑀 − 𝑞𝐸𝐹𝑁𝑚𝑚, a lo largo de los elementos exteriores de la sección 10,

representados frente al identificador, 𝑛, de los elementos. 76

Figura 4-12. Linea media del modelado de la sección 10 a través del modelo RM (en rojo) sobre el modelado

de la sección 10 a través del modelo EF (en amarillo). Se identifican claramente las extensiones en ambos

extremos del revestimiento. 77

Figura 4-13. Error absoluto, 𝑞𝑅𝑀 − 𝑞𝐸𝐹𝑁𝑚𝑚, para los rigidizadores intermedios anterior (IFS), central (IS) y

posterior (IRS), representados frente a la coordenada 𝑧𝑐𝑚. 77

Figura 4-14. Flujo de tensiones tangenciales, 𝑞𝑖𝑁𝑚𝑚, calculado a través del modelo RM (en rojo) y del modelo

EF (en verde), representado sobre la geometría de la sección, [𝑦𝑐𝑚, 𝑧𝑐𝑚], para los elementos de la sección de

estudio. 78

Figura 4-15. Flujo de tensiones tangenciales calculado a través del Modelo de Resistencia de Materiales,

𝑞𝑖𝑁𝑚𝑚, sin tener en cuanta el efecto axil en el alabeo (rojo) y teniendo en cuenta este efecto (verde),

representado sobre la geometría de la sección, [𝑦𝑐𝑚, 𝑧𝑐𝑚], para los elementos de la sección 10. 79

Figura 4-16. Diferencia entre flujos de tensiones tangenciales, 𝑞𝑅𝑀 ∗ −𝑞𝑅𝑀𝑁𝑚𝑚, calculados a través del

Modelo de Resistencia de Materiales teniendo en cuenta y despreciando el efecto del esfuerzo axil en el alabeo

de la sección 10, representados frente al identificador, 𝑛, de los elementos del contorno de la sección. 79

Figura 4-17. Diferencia entre flujos de tensiones tangenciales, 𝑞𝑅𝑀 ∗ −𝑞𝑅𝑀𝑁𝑚𝑚, calculados a través del


de la sección 10, representado sobre la geometría de la sección, [𝑦𝑐𝑚, 𝑧𝑐𝑚]. 80

Figura 5-1. Zonas de inclusión de nuevos nodos (en amarillo) para mejorar la aproximación del modelo. 82

Evaluación del flujo de tensiones tangenciales en el cajón de torsión de un ala de aeronave constituidas en

Material Compuesto.

1 INTRODUCCIÓN

l avance experimentado en el campo de los materiales compuestos en las últimas décadas, tanto científica

como tecnológicamente, ha propiciado la consideración de estos materiales para sustituir a los

tradicionales en funciones estructurales. La reducción en peso que se logra con el uso de estos materiales

ha hecho que se conviertan en uno de los componentes básicos en la industria aeronáutica, como prueba que los

diseños más recientes contengan más del 50% en peso de material compuesto (AIRBUS 350, Boeing 787), lo

que supone un considerable ahorro en combustible y por tanto un decidido compromiso con la sostenibilidad.

Esta tendencia ha conducido a plantearse el diseño en material compuesto de uno de los elementos más

característicos de las aeronaves, como son las alas. Este problema, que ha sido objeto de estudio recientemente

en el proyecto europeo ALCAS (Advanced Low Cost Aircraft Structures, VI Programa Marco), actualmente

estamos asistiendo a las primeras implementaciones a nivel comercial, como el A350 XWB que integra la

estructura básica del cajón central de las alas constituida en compuesto de fibra de carbono.

La complejidad geométrica de estos elementos, junto con la inherente a la naturaleza del material compuesto

(anisotropía), ha hecho decantarse habitualmente a los diseñadores por el uso de herramientas numéricas,

mayoritariamente Elementos Finitos (EF), para llevar a cabo el análisis estructural. Sin embargo, aunque los

modelos de EF resultan apropiados para el análisis de una configuración concreta (es decir, una geometría, una

disposición de laminados y unas cargas determinadas), el uso de esta herramienta numérica en el proceso de

diseño de elementos constituidos por laminados de material compuesto resulta muy costoso en cuanto a tiempo

de proceso de los resultados y de modificación de los modelos. Como consecuencia de ello, han surgido

planteamientos alternativos en problemas similares que han afrontado estas dificultades con anterioridad. Así,

primero en el caso del diseño de palas de helicópteros, y posteriormente en el diseño de palas de aerogenerador

se han desarrollado modelos simplificados de Resistencia de Materiales (RM) que aprovechan la esbeltez de

estos elementos para tratarlos como barras con sección de pared delgada constituida por laminados de material

compuesto.

En la bibliografía científica relacionada podemos encontrar desde libros enteros [1], hasta capítulos completos

[2] dedicados a este tipo de elementos estructurales. Específicamente y para el análisis de palas de helicóteros,

el trabajo de Chandra y Chopra [3] plantea una extensión de la teoría de Vlasov, considerando una sección

cerrada bi-celular constituida por laminados de material compuesto sometida a flexión y torsión. Los resultados

experimentales que obtuvieron han servido como referencia en trabajos posteriores. Volovoi y Hodges [4], [5]

aplicaron el método variacional asintótico a secciones de pared delgada anisótropas abiertas y cerradas

multicelulares. Yu y Hodges [6], siguiendo esta línea, presentaron resultados para validar el método anterior, y

Yu y otros [7] desarrollaron una generalización de la teoría de Vlasov sobre la base del método asintótico. Jung

y otros [8] emplearon un enfoque mixto que combina la formulación en rigidez con la de flexibilidad, incluyendo

el efecto de la deformación a cortante, acoplamientos elásticos y restricción al alabeo. Un planteamiento más

simple lo encontramos en el trabajo de Barbero y otros [9], que asumen las hipótesis cinemáticas de la teoría de

barras de Timoshenko (secciones planas) aplicándolas al caso de secciones abiertas y cerradas simétricas, con

laminados simétricos y balanceados, sometidas a axil y flexión. Massa y Barbero [10] desarrollan un modelo de

RM extendiendo el trabajo anterior a secciones de forma arbitraria e incluyendo la acción de la torsión. Salim y

Davalos [11] realizan una extensión de la teoría de Vlasov para analizar secciones abiertas y cerradas de forma

arbitraria y constituidas por laminados con secuencia de apilado también arbitraria. El objeto común de todos

estos trabajos es la evaluación de los desplazamientos, cuyo conocimiento es relevante para el análisis

aeroelástico de las palas de helicóptero. Las hipótesis básicas comunes a todas estas teorías son: el uso de la

E

Introducción

2

Teoría Clásica de Laminados (TCL) para evaluar la rigidez equivalente de cada laminado, y la discretización de

la sección en segmentos correspondientes a los distintos laminados.

En el caso del diseño de las palas de aerogenerador, además de los desplazamientos, resulta imprescindible el

conocimiento del estado tensional en la sección. En este sentido, y siguiendo las hipótesis básicas descritas, junto

con la hipótesis de secciones planas, Paluch [12] desarrolló una formulación explícita para las tensiones y

deformaciones normales longitudinales usando el concepto de centro elástico. Siguiendo este planteamiento

Cañas y otros [13], miembros del GERM, emplean este modelo RM para el diseño de una pala de 700 kW. En

este trabajo se realizó una comparación del flujo de tensiones normales obtenido mediante el modelo RM con

el obtenido mediante un modelo EF empleando discretizaciones similares, observándose un buen acuerdo entre

ambos resultados. Asi mismo, los valores de las deformaciones calculadas fueron contrastados con las medidas

mediante bandas extensométricas durante un ensayo de flexión sobre un prototipo a escala real, obteniéndose

un buen ajuste. Como consecuencias importantes que se obtienen de este trabajo, hay que mencionar en primer

lugar el hecho de que el uso del modelo RM para el proceso de diseño resulta más eficiente que el modelo EF,

y además que al disponer de una expresión explícita de las tensiones y deformaciones nos permite identificar los

parámetros fundamentales de diseño. Este modelo RM ha sido empleado con exito sobre otras configuraciones

de palas reales para análisis de fallo por fatiga, como se describe en Marín y otros [14], [15].

Dado los resultados satisfactorios que ofrece el modelo RM para el cálculo de las tensiones normales

longitudinales, Fernandes y otros [16] plantean la obtención de una expresión explícita para el flujo de tensiones

tangenciales como extensión de la formula de Jourawski. Esta idea se ha desarrollado para secciones bicelulares

constituidas por laminados de material compuesto, el modelo obtenido fue verificado mediante un problema con

solución analítica conocida, y finalmente aplicado sobre una configuración real de pala, obtenida de la refencia

[14], comparándose los resultados con los de un modelo EF de discretización similar.

Dada la similitud geométrica de las palas de aerogenerador con las alas de las aeronaves, parece razonable

considerar los modelos simplificados desarrollados para las primeras con el fin de aplicarlos a estas estructuras

aeronáuticas. Para el desarrollo de este proyecto, se dispone de un modelo de EF del cajón resistente de un ala

confeccionado en Patran/Nastran, y de un programa de desarrollo propio que implementa el modelo RM para

palas de aerogenerador con sección bicelular.

1.1. Objetivos.

El objetivo fundamental de este proyecto es investigar la viabilidad del empleo de modelos simplificados de RM

para el diseño de alas de aeronave constituidas de material compuesto. Esto supondría poder disponer de una

herramienta alternativa a los modelos de EF, que pese a ser una herramienta muy potente y versatil, requiere

mucho trabajo (tiempo) de posproceso y modificación de los modelos, por lo que resulta ineficiente para las

tareas de diseño. Para conseguir dicho objetivo se habrán de comparar los resultados, en términos de flujos

tensionales, obtenidos mediante ambos modelos RM y EF sobre una configuración concreta. En particular, en

este proyecto nos centraremos en la evaluación del flujo de tensiones tangenciales. Esta tarea implica que será

preciso alcanzar una serie de objetivos parciales:

• El desarrollo de un modelo específico que contemple las particularidades geométricas de estos

elementos estructurales (secciones multicelulares, presencia de rigidizadores longitudinales y

transversales), y los esfuerzos a los que se ven sometidos (axil, cortantes, flectores y torsor).

• La implementación del modelo desarrollado en un programa de ordenador para su ejecución práctica.

• La aplicación del modelo simplificado de RM sobre una geometría concreta de un ala de aeronave y

bajo un estado de cargas determinado.

• La comparación de los resultados obtenidos con los de un modelo numérico de EF para la misma

geometría y el mismo estado de cargas, empleándose discretizaciones equivalentes.


Material Compuesto.

3

3

1.2. Los materiales compuestos en la industria aeronáutica.

La pujante lucha en el sector aeronáutico por la reducción del peso de los componentes estructurales de una

aeronave ha llevado a un progresivo reemplazo de componentes tradicionalmente fabricados en aleaciones

metálicas de baja densidad, como las basadas en aluminio, por componentes fabricados a partir de laminados de

material compuesto.

De esta manera, el proceso que se inició con la fabricación de elementos como carenas, spoilers y superficies de

control en la década de 1960 [17] ha llevado hasta la actual fabricación de fuselajes y alas casi íntegramente en

material compuesto, en diseños como el Boeing 787 o Airbus A350XWB.

Las principales ventajas de los materiales compuestos frente a las aleaciones metálicas son sus excelentes

propiedades específicas (por unidad de masa), obteniendo una gran resistencia y rigidez específicas frente a las

que se pueden obtener en aleaciones metálicas. Otra de las principales ventajas de los materiales compuestos

frente a los metálicos es su gran resistencia a la corrosión.

Los materiales compuestos preferentemente utilizados en la industria aeronáutica son los formados por matriz

termoestable epoxy reforzada mediante fibra de carbono, fibra de vidrio o kevlar. La matriz termoestable da

lugar a un elemento muy ligero que a su vez presenta temperaturas de servicio cercanas a los 100ºC. Por otro

lado, la fibra de carbono confiere al material la resistencia y rigidez necesarias para soportar los esfuerzos a los

que se encuentra sometido el componente. La utilización de fibra de kevlar confiere al material una mayor

resistencia ante impactos y la fibra de vidrio, debida a su menor resistencia y rigidez pero bajo coste, se utiliza

en componentes no sometidos a grandes esfuerzos, como estructuras terciarias.

Estos materiales se fabrican a través de la apilación de láminas formadas por fibras dispuestas en una misma

orientación impregnadas de resina termoestable. Las propiedades propias de las fibras dan lugar a materiales

anisótropos lo que permite que a partir de la orientación y disposición de cada una de estas láminas dentro del

laminado se consigan materiales diseñados específicamente para tener mejores propiedades resistentes según las

direcciones de mayor solicitación de las cargas aplicadas.

Por todo lo anterior, los materiales compuestos se han convertido en el presente y futuro del diseño de estructuras

aeronáuticas. La introducción de nuevos tipos de material compuesto como aquellos formados de matriz

termoplástica permitirá en un futuro la reducción en costes del proceso de fabricación de materiales compuestos.

1.3. Tipologías de laminados y funciones que desempeña.

Las propiedades de rigidez, resistencia y estabilidad del laminado dependen de la secuencia apilado de las

diferentes láminas que lo conforman. De esta manera, el láminado necesitará láminas a 0º (orientadas según la

dirección principal de las cargas) para dar rigidez y resistencia al componente en la dirección principal de las

cargas; láminas a 90º para soportar fuerzas laterales y, por último, láminas a +45/-45º para reaccionar frente a

las cargas cortantes [18].

Las estructuras monolíticas son aquellas formadas íntegramente por la apilación de láminas de material

compuesto. Este tipo de componentes se diseñan para las zonas de mayores cargas estructurales y es también la

estructura típica de los rigidizadores de estructuras semimonocasco, es decir, largueros, larguerillos, etc.

Entre estas estructuras monolíticas destacan los laminados de propiedades quasi-isotrópicas, formados por

secuencias de orientación de fibras [0º, -45º, 45º, 90ª] ó [0º, -60º, 60º] y que simulan materiales isótropos con

propiedades casi equivalentes en todas las direcciones. Estos materiales se utilizan como reemplazo a

componentes típicamente fabricados en aleaciones de aluminio o titanio, consiguiendo un ahorro en el peso de

estos componentes.

Por otro lado, las estructuras sándwich consisten en dos laminados paralelos separados y unidos a un núcleo de

gran espesor y bajo peso. Se suelen utilizar núcleos de tipo honeycomb que confieren al núcleo gran resistencia

a comprensión en relación con su bajo peso. Este tipo de estructura confiere al componente grandes resistencias

ante esfuerzos flectores, reemplazando a estructuras que tradicionalente necesitarían rigidizadores dispuestas a

lo largo del elemento para permitir soportar cargas a flexión. Este tipo de láminados sándwich predominan en

estructuras de carenas, alerones, flaps, etc.


Material Compuesto.

2 ANTECEDENTES

n el presente apartado del documento se describe y profundiza en todas las herramientas y trabajos previos

que sirven de base para el presente estudio. En primer lugar, se expone y describe la geometría,

propiedades y cargas definidas para un cajón de torsión del ala de una aeronave, inspirado en los modelos

CN-235 y C-295. Este elemento estructural, un cajón de torsión de un ala de aeronave, es el objeto donde se

aplicará el modelo de resistencia de materiales generado.

Una vez descrita la geometría y propiedades de este cajón de torsión tipo, se profundiza el modelo de elementos

finitos generado para esta estructura descrito según Llamas y Graciani [17]. Se describirán las aproximaciones

realizadas, así como las características propias del modelo de Elementos Finitos. Este modelo servirá como base

comparativa de resultados respecto al modelo de resistencia de materiales que aborda el presente documento.

A continuación, se describe la herramienta para la evaluación de flujos de tensiones tangenciales en palas de

aerogenerador desarrollada por Fernandes y otros [16]. Por último, se darán los esbozos de una herramienta para

el cálculo de tensiones normales sobre el cajón de torsión de estudio, a través de la teoría extendida de Resistencia

de Materiales para elementos de sección de pared delgada multicelular fabricados en material compuesto.

2.1. Cajón de torsión del ala de aeronave.

El cajón de torsión es el principal elemento estructural del ala de una aeronave. Se localiza en la zona central del

ala abarcando más del 50% de la cuerda. Se trata de un elemento diseñado para soportar esfuerzos de flexión y

de torsión debido a las cargas aerodinámicas generadas en la superficie del ala.

Figura 2-1.Vista general del modelo EF del cajón de torsión

E

Antecedentes

6

El cajón de torsión del ala es un elemento cuya forma puede aproximarse a la de un paralelepípedo hueco con

una de sus dimensiones (a lo largo de la envergadura de ala) mucho mayor a las otras dos y está formado por los

siguientes componentes:

• Se encuentra delimitado en la zona superior e inferior a través de los revestimientos del extradós e

intradós del ala;

• En la zona del encastre del ala y en el extremo opuesto se encuentra delimitado por las costillas de

cierre interior y exterior.

• Y, por último, la rigidez entre revestimientos se alcanza a través de cinco largueros que recorren el ala

en dirección desde encastre a punta: el larguero anterior que hace cierre en la zona más cercana al

borde de ataque, el larguero posterior que hace de cierre en la zona más cercana al borde de salida y

tres largueros intermedios.

Figura 2-2.Posición del cajón de torsión en ala.

A su vez, el cajón de torsión aloja en su interior un depósito para almacenado de combustible y debe de permitir

el paso de todo el cableado, instalación hidráulica y neumática, así como las ligaduras mecánicas desde los

mandos de vuelo hasta las superficies de control del ala.

El cajón de torsión del ala es un componente históricamente fabricado en metal, pero que progresivamente se

está incluyendo el uso de material compuesto en su fabricación.

2.1.2. Descripción de la geometría.

El cajón de torsión del ala está compuesto por cinco largueros que se extienden en dirección hacia la punta del

ala. Estos largueros están unidos entre sí en ambos extremos en las costillas interna y externa del cajón de torsión.

Por último, asentada sobre los largueros y las costillas, se definen los revestimiento superior e inferior del cajón

que dan forma a la superficie aerodinámica del ala. En el siguiente apartado se describe uno a uno los

componentes que conforman al cajón de torsión, haciendo hincapié en la geometría y propiedades de cada uno

de ellos.

2.1.2.1. Largueros del cajón de torsión:

El cajón de torsión presenta cinco largueros que se extienden en dirección de la envergadura del ala. Estos

largueros son denominados larguero anterior (FS, más cercano al borde de ataque del ala), larguero posterior

(RS, más cercano al borde de salida) y largueros intermedio anterior (IFS), intermedio central (ICS) e intermedio

posterior (IRS) dispuestos entre los dos primeros. Cada uno de estos largueros presenta características

geométricas propias, que se describirán a continuación. Todos estos largueros están diseñados a partir de

laminados de material compuesto.


Material Compuesto.

7

Figura 2-3.Largueros y costillas de cierre.

• Larguero anterior (FS, front spar):

El larguero anterior es el situado en la zona más cercana al borde de ataque del ala y conforma la superficie de

cierre del cajón en el extremo más cercano al borde de ataque.

Está definido como un perfil en “C”, con las superficies superior e inferior del perfil, o faldillas, extendiéndose

60mm en dirección contraria al borde de ataque del ala. Presenta a su vez unos cordones de refuerzo de 50mm

de ancho que se localizan en el alma del perfil, en la zona de unión entre el alma y la faldilla.

Por último, el larguero anterior presenta una serie de agujeros y rigidizadores en vertical a lo largo de todo el

alma del perfil, estos últimos por su superficie opuesta a la cercana al borde de ataque.

Figura 2-4.Geometría y sección de larguero FS.

• Larguero intermedio central e intermedio anterior (IS, intermediate spar; IFS, intermediate front spar):

El larguero intermedio anterior (IFS) es el segundo larguero que nos encontramos a medida que avanzamos por

la cuerda del ala desde el borde de ataque y el larguero intermedio el tercero desde el borde de ataque.

Antecedentes

8

Ambos largueros presentan un perfil en “I”, “o doble T”, sin rigidizadores verticales, agujeros o cordones de

refuerzo en el alma del perfil. Las faldillas del perfil en “I” se extienden 30mm a cada lado del alma en ambos

largueros.

Figura 2-5.Geometría y sección de los largueros ICS e IFS.

• Larguero intermedio posterior (IRS, intermediate rear spar)

El larguero intermedio posterior es el penúltimo larguero, y el siguiente tras el larguero intermedio (IS), que nos

encontramos si recorremos el cajón de torsión en dirección de la cuerda del ala desde el borde de ataque.

Está definido también como un perfil de sección en “I”, cuyas faldillas se extienden 30mm a cada lado del alma.

Presenta agujeros en el alma del perfil, así como rigidizadores verticales en la cara más cercana al borde de

salida. Este larguero presenta, a su vez, unos cordones de refuerzo en el alma, en las zonas adyacentes a las

faldillas del perfil de 50mm de ancho.

Figura 2-6.Geometría y sección del larguero IRS.

• Larguero posterior (RS, rear spar):

El larguero posterior del ala es un larguero con perfil en forma de “C”, con sus faldillas extendiéndose en

dirección contraria al borde de salida del ala. Las faldillas de este larguero presentan una extensión variable,

desde los 50mm en la zona más cercana al encastre hasta los 30 mm de ancho en la zona más cercana a la punta

del ala.

Además, el larguero presenta agujeros en el alma del perfil, así como rigidizadores verticales en la cara más

cercana al borde de salida del ala.


Material Compuesto.

9

Figura 2-7.Geometría y sección del larguero RS.

2.1.2.2. Costillas de cierre:

El cajón de torsión consta de tres costillas de cierre, una exterior, una interior y una tercera costilla del tanque de

ventilación. Presentan todas ellas un perfil en “I” con faldillas. En el cajón de torsión que se toma de modelo,

las costillas de cierre exterior e interior han sido definidas en Aluminio 7050 mientras que la costilla del tanque

de ventilación, al igual que el resto de componentes del cajón, han sido definidos en material compuesto.

Dado que nuestro estudio no se centra en zonas cercanas a ninguna costilla, su geometría y descripción no es

determinante para nuestro estudio.

• Costilla de cierre interior (ICR, inner close rib):

Es la superficie de cierre del cajón de torsión en la zona más cercana al encastre del ala. Consta de cuatro

agujeros, tres de ellos sellados con tapas y tres rigidizadores verticales. Las faldillas del perfil en “I” se extienden

22,5mm a cada lado del alma.

• Costilla de cierre exterior (OCR, outer close rib):

Es la superficie de cierre del cajón de torsión en la zona más cercana a la punta del ala. Esta costilla consta de

tres agujeros y tres rigidizadores verticales en el alma del perfil. Las faldillas del perfil en “I” se extienden, al

igual que en la costilla de cierre interior, 22,5mm a cada lado del alma.

Figura 2-8.Costillas de cierre interior (izq.) y exterior (drcha.).

• Costilla del tanque de ventilación o costilla intermedia (VCR, vent close rib).

Se trata de una costilla modelada como un perfil en “I” situada únicamente entre los largueros intermedio

posterior (IRS) y larguero posterior (RS), a una distancia de 3575 mm de la costilla de cierre interior del ala.

2.1.2.3. Revestimientos:

Los revestimientos superior e inferior del cajón de torsión forman parte de la superficie aerodinámica del

Antecedentes

10

extradós e intradós del ala. Son superficies en forma de láminas 3D modeladas en material compuesto y que,

junto con el revestimiento del borde de ataque y borde de salida conforman la superficie aerodinámica de esta

zona del ala.

Estos revestimientos descansan sobre las faldillas de los perfiles de los largueros y costillas del cajón de torsión.

Figura 2-9.Revestimientos superior (US) e inferior (LS)

2.1.3. Materiales y laminados del cajón de torsión.

El cajón de torsión del ala es un elemento estructural que históricamente se ha fabricado a partir de componentes

metálicos pero que, en los modelos más modernos de aeronaves se ha comenzado a diseñar en material

compuesto.

El cajón de torsión que se utiliza como modelo [17] está diseñado casi íntegramente en material compuesto, a

excepción de las costillas de cierre exterior e interior. Sin embargo, el hecho de que estos componentes estén

fabricados en aluminio no afecta al estudio debido a que los resultados se van a evaluar a suficiente distancia de

estos componentes. Estas costillas están fabricadas en Aluminio AL-7050-T7451:

Tabla 2–1. Propiedades de la aleación AL7050

Propiedades de la aleación AL-7050-T7451

Módulo de Elasticidad, 𝐸 71 GPa

Módulo de Poisson, 𝜈 0,33

Módulo de Cortadura, 𝐺 26,9 GPa

El resto de los componentes del cajón de torsión están fabricados a partir de laminados de material compuesto.

Estos laminados están formados por la apilación de láminas de grafito-epoxy (AS4/8552) en orientaciones 0º,

45º o 90º con respecto a los ejes del laminado.

Los elementos estructurales del cajón presentan diferentes tipos de laminados según la zona, variando el número

de láminas que conforman el laminado, su orientación y la secuencia de apilado según las propiedades requeridas

y tipos de esfuerzos que deban soportar el componente en cada zona.

Las láminas, fabricadas a partir de prepreg de grafito-epoxy AS4/8552, que conforman los diferentes laminados

presentes en el cajón disponen de las propiedades descritas en la tabla siguiente. Las propiedades asociadas al


Material Compuesto.

11

laminado completo se obtendrán en el “Capítulo 3” a partir de la teoría de laminado.

Tabla 2–2. Propiedades de las láminas prepreg AS4/8552

Propiedades de las láminas AS4/8552

Módulo de Elasticidad, 𝐸11 131 GPa

Módulo de Elasticidad, 𝐸22 8,85 GPa

Módulo de Poisson, 𝜈12 0,3

Módulo de Cortadura, 𝐺12 3,95 GPa

Densidad, 𝜌 1,59·103 g/mm3

Espesor de lámina, 𝑒𝑖 0,184 mm

La gran versatilidad que caracteriza el diseño de componentes en material compuesto, pudiendo ajustar la

orientación, secuencia y número de láminas del laminado para adaptarse a la intensidad y direcciones principales

de las tensiones que sufre el componente en diferentes zonas da lugar al gran número de laminados definidos

para los diferentes componentes del cajón de torsión.

En la tabla 2-3 se recogen las propiedades de algunos de estos láminados, los correspondientes a la zona cercana

a una sección localizada a 2718 mm de la sección de la costilla de cierre interior (posteriormente, en el “capítulo

4” del presente documento, se definirá esta sección como “Sección 10”).

En las primeras dos columnas de esta tabla se muestran la designación del laminado y la descripción, indicando

la zona en la que se aplica. La tercera columna muestra el espesor final del laminado completo y a partir de la

cuarta columna se muestra el apilado de las láminas.

Figura 2-10.Disposición de láminas en ejes de laminado

Antecedentes.

12

Tabla 2–3. Espesor total de laminados y orientación las láminas que lo conforman.

Material Descripción Thickness L01 L02 L03 L04 L05 L06 L07 L08 L09 L10 L11 L12 L13 L14 L15 L16 L17 L18 L19 L20

LC Lower Cover 2.944 45 -45 90 90 0 0 -45 45 45 -45 0 0 90 90 -45 45

FSlrf Front Spar – Lower rear flange 3.312 45 -45 90 90 0 -45 45 -45 45 45 -45 45 -45 0 90 90 -45 45

ICSlff Intermediate Center Spar –Lower forward flange 1.84 -45 45 0 -45 45 0 90 90 45 -45

ICSlrf Intermediate Center Spar – Lower rear flange 1.84 45 -45 0 45 -45 0 90 90 -45 45

IFSlff Intermediate Forward Spar – lower forward flange 1.656 -45 45 0 -45 45 0 90 45 -45

IFSlrf Intermediate forward Spar – Lower rear flange 1.656 45 -45 0 45 -45 0 90 -45 45

IRSlff Intermediate Rear Spar – Lower forward flange 1.656 -45 45 -45 45 0 90 90 45 -45

IRSlrf Intermediate Rear Spar – Lower rear flange 1.656 45 -45 45 -45 0 90 90 -45 45

RSlff Rear spar – Lower forward flange 3.312 -45 45 90 0 45 -45 0 45 -45 -45 45 0 -45 45 0 90 45 -45

UC Upper cover 3.312 45 -45 90 90 0 0 -45 45 0 0 45 -45 0 0 90 90 -45 45

Fsurf Front Spar – Upper rear flange 3.128 -45 45 90 90 0 45 -45 45 -45 -45 45 -45 45 0 90 90 45

ICSuff Intermediate Center Spar – Upper forward flange 1.84 45 -45 90 90 0 -45 45 0 -45 45

ICSurf Intermediate Center Spar – Upper rear flange 1.84 -45 45 90 90 0 45 -45 0 45 -45

IFSuff Intermediate Forward Spar – Upper forward flange 1.656 45 -45 90 0 -45 45 0 -45 45

IFSurf Intermediate forward Spar – Upper rear flange 1.656 -45 45 90 0 45 -45 0 45 -45

IRSuff Intermediate Rear Spar – Upper forward flange 1.656 45 -45 90 90 0 -45 45 -45 45

IRSurf Intermediate Rear Spar – Upper rear flange 1.656 -45 45 90 90 0 45 -45 45 -45

RSuff Rear spar – Upper forward flange 3.312 45 -45 90 0 -45 45 0 -45 45 45 -45 0 45 -45 0 90 -45 45

FSr Forward Spar – Reinforcement 3.312 45 -45 90 90 0 -45 45 -45 45 45 -45 45 -45 0 90 90 -45 45

FSw Forward Spar – Web 2.576 45 -45 90 90 0 -45 45 45 -45 0 90 90 -45 45

IFSw Intermediate Forward Spar – Web 3.312 45 -45 90 0 -45 45 0 -45 45 45 -45 0 45 -45 0 90 -45 45

ICSw Intermediate Center Spar – Web 3.68 45 -45 90 90 0 -45 45 0 -45 45 45 -45 0 45 -45 0 90 90 -45 45

IRSr Intermediate Rear Spar – Reinforcement 3.312 45 -45 90 90 0 -45 45 -45 45 45 -45 45 -45 0 90 90 -45 45

IRSw Intermediate Rear Spar – Web 3.312 45 -45 90 90 0 -45 45 -45 45 45 -45 45 -45 0 90 90 -45 45

IRSr.TSrif Intermediate Rear Spar – T- Stiffener flange 4.968 45 -45 90 90 0 90 90 -45 45

RSw Rear Spar – Web 3.312 45 -45 90 0 -45 45 0 -45 45 45 -45 0 45 -45 0 90 -45 45


Material Compuesto.

13

2.1.4. Cargas y condiciones de contorno del cajón de torsión.

Una vez definidas la geometría y propiedades de los elementos que conforman el cajón de torsión, en el presente

apartado se analizan los casos de carga y condiciones de contorno definidos para el componente. Dentro de las

solicitaciones previstas para el cajón de torsión destacan las cargas de vuelo y las cargas de presión de los

tanques.

Las cargas de vuelo conforman las principales solicitaciones que sufre el componente. Estas cargas corresponden

a las cargas y momentos aerodinámicos generados por el paso de flujo por la sección alar. Se han modelado

como fuerzas y momentos equivalentes aplicados sobre los puntos del 35% de la cuerda del ala.

Se definen diferentes casos de carga para el modelado de cargas de vuelo [17]: LC_A00018, LC_A00985,

LC_A02283, LC_A02378, LC_B06410, entre otros. Sin embargo, para el presente estudio sólo se considerará el

caso de carga LC_A00018.

Las fuerzas y momentos integrados asociados al caso de carga LC_A00018, expresados en el sistema de

referencia LAS2, y los puntos de aplicación de estas fuerzas y momentos, expresados en el sistema de referencia

ABCS, se resumen en la siguiente tabla 2-4.

Tabla 2–4. Cargas y momentos del caso de carga LC_A00018 y punto de aplicación de éstos.

Estación Punto de aplicación (ABCS) Cargas y momentos integradas (LAS2)

𝑥(𝑚𝑚) 𝑦(𝑚𝑚) 𝑧(𝑚𝑚) 𝐹𝑋(𝑘𝑁) 𝐹𝑌(𝑘𝑁) 𝐹𝑍(𝑘𝑁) 𝑀𝑋(𝑘𝑁𝑚) 𝑀𝑌(𝑘𝑁𝑚) 𝑀𝑍(𝑘𝑁𝑚)

1940 0 -1.966 5.261 97.752 326.612 -22.138 6.856

2420 1 12040.201 -6666.684 4842.182 -1.716 4.880 92.074 281.368 -20.456 5.847

2900 2 12063.086 -7146.025 4866.138 -1.489 4.512 86.021 239.324 -18.735 4.930

3380 3 12085.973 -7625.368 4890.094 -1.285 4.157 79.591 200.481 -16.976 4.104

3860 4 12108.856 -8104.710 4914.051 -1.103 3.815 72.786 164.839 -15.178 3.371

4310 5 12130.312 -8554.094 4936.510 -0.954 3.506 66.064 134.332 -13.458 2.766

4760 6 12151.768 -9003.477 4958.969 -0.825 3.208 59.011 106.638 -11.703 2.243

5210 7 12173.221 -9452.860 4981.428 -0.716 2.922 51.628 81.758 -9.915 1.799

5660 8 12194.676 -9902.243 5003.887 -0.626 2.648 43.914 59.690 -8.094 1.437

6120 9 12216.607 -10361.612 5026.845 -0.556 2.379 35.687 40.041 -6.196 1.150

6580 10 12238.539 -10820.982 5049.804 -0.507 2.122 27.114 23.331 -4.264 0.947

7040 11 12261.200 -11279.700 5085.500 -0.478 1.877 18.196 9.560 -2.296 0.828

7500 12 12283.000 -11739.100 5107.600 -0.471 1.644 8.933 -1.270 -0.293 0.794

8000 13 12306.800 -12238.500 5131.500 -0.486 1.405 -1.528 -9.709 1.925 0.852

Además de estas cargas de vuelo, el cajón de torsión también presenta definidas una serie de cargas de presión

debidas a la aceleración del combustible presente en el interior del cajón de torsión. Estas cargas no se

considerarán en el presente estudio.

En la tabla anterior conviven datos expresados en diferentes sistemas de referencia. Estos sistemas de referencia

utilizados se muestran a continuación:

• Sistema de coordenadas ABCS (“Aircraft Basis Coordinate System”): origen de coordenadas en el

punto de referencia de la aeronave en el punto más adelantado del fuselaje. El eje “x” según el eje de

referencia del fuselaje (contenido en el plano de simetría del avión) y positivo a medida que avanzamos

hacia el empenaje del avión; el eje “y” perpendicular al plano de simetría y positivo hacia la semiala

derecha; y, por último, eje “z” perpendicular a los dos anteriores y positivo hacia la zona superior de la

aeronave.

• Sistema LAS2: se define respecto al anterior sistema a partir de los siguients cosenos directores:

o Origen de coordenadas (𝑋𝑜, 𝑌𝑜, 𝑍𝑜) = (10400, 4250, 1690)𝐴𝐵𝐶𝑆

Antecedentes

14

o Cosenos directores del eje “x” (𝛼𝑥 , 𝛽𝑥 , 𝛾𝑥) = (1, 0, 0)𝐴𝐵𝐶𝑆

o Cosenos directores del eje “y” (𝛼𝑦, 𝛽𝑦 , 𝛾𝑦) = (0, 0.99863, 0.05234)𝐴𝐵𝐶𝑆

o Cosenos directores del eje “z” (𝛼𝑧, 𝛽𝑧, 𝛾𝑧) = (0,−0.05234, 0.99863)𝐴𝐵𝐶𝑆

Figura 2-11. Sistemas de referencia para expresar cargas y puntos de aplicación de éstas.

Por último, respecto a las condiciones de contorno, el cajón de torsión se encuentra unido al resto de la estructura

del ala a través de la costilla interior. Esta unión no permite desplazamientos o giros relativos entre la costilla de

cierre y el resto de la estructura del ala.

2.2. Modelo de Elementos Finitos del cajón de torsión.

A partir de la geometría, casos de carga y propiedades del cajón de torsión descrito en el “apartado 2.1” del

presente documento, Llamas y Graciani [17] generan un modelo de elementos finitos del cajón de torsión. Los

resultados obtenidos para los flujos de tensiones de este modelo se utilizarán como base para validar y comparar

con los resultados del modelo de resistencia de materiales.

Para el modelado de elementos finitos del cajón de torsión se han utilizado elementos planos tipo QUAD4 para

la definición de la geometría de todos los elementos constituyentes del cajón de torsión. Sobre estos elementos,

se han aplicado propiedades tipo PCOMP para definir el laminado de material compuesto con el que están

fabricados estos componentes. Para ambas costillas de cierre, modeladas en aleación AL-7050, se han aplicado

propiedades tipo PSHELL en lugar de PCOMP.

Al definirse la geometría a través de elementos planos se ha definido una superficie 2D de referencia de

modelado de cada uno de los elementos constituyentes del cajón de torsión:

• Revestimiento superior (UC): superficie superior del revestimiento (la superficie externa del cajón de

torsión).

• Revestimiento inferior (LC): superficie inferior del revestimiento (la superficie externa del cajón).

• Larguero anterior (FS): superficie del alma más cercana al borde de ataque (la superficie exterior del

cajón de torsión).

• Larguero posterior (RS): superficie del alma más cercana al borde de salida (la superficie exterior del

cajón de torsión).

• Largueros intermedios (IRS, ICS, IFS): superficie de simetría del alma (plano central del alma).


Material Compuesto.

15

• Costilla exterior, interior y de cierre del tanque de ventilación: superficie de simetría del alma de la

costilla (plano central de la costilla).

En función de estas superficies de referencia, las diferentes propiedades tipo PCOMP que se han aplicado a los

elementos se han definido teniendo en cuenta los offsets necesarios para ajustarse a los criterios anteriores.

Figura 2-12. Sistemas de referencia para expresar cargas y puntos de aplicación de éstas.

Por otro lado, cuando zonas pertenecientes a diferentes componentes del cajón de torsión están unidas en la

instalación y no se esperan movimientos relativos entre estas, en el modelo de Elementos Finitos se ha creado

un único elemento al que se le aplica como propiedad un único láminado que surge de la unión de ambos. Esto

es, se ha generado una propiedad PCOMP que aglutine ambos laminados y se ha aplicado esta propiedad al

elemento plano en cuestión.

Esto ocurre, por ejemplo, con las faldillas de los largueros y el revestimiento. En las zonas en las que el

revestimiento asienta sobre las faldillas de los largueros, se ha incluido el laminado perteneciente a las faldillas

de los largueros dentro de la propiedad del elemento del revestimiento. De esta manera, tomando como superficie

de referencia de modelado la exterior, encontramos en primer lugar el laminado del revestimiento y, unido a él,

el laminado perteneciente a la faldilla del larguero. Por tanto, los elementos del mallado definido en esta zona

tienen aplicados un único laminado que se define como el apilado de ambos laminados.

Esto mismo ocurre con las faldillas de los rigidizadores verticales presentes en los largueros y el alma de estos

rigidizadores; o en la zona en la que los revestimientos se asientan sobre las faldillas de las costillas de cierre.

Los laminados aplicados a los elementos pertenecientes a la “sección 10” (sección localizada a 2718 mm de la

sección de la costilla de cierre interior) se muestran en la tabla 2-5.

Figura 2-13. Definición de los offset de los laminados de los elementos del revestimiento superior (izq), 𝑜𝑓1 =

𝑒𝑟/2, y del revestimiento superior + faldilla de larguero (der), 𝑜𝑓2 = (𝑒𝑟 + 𝑒𝑓)/2.

Antecedentes.

16

Tabla 2–5. Propiedades de los laminados de los elementos FEM en “sección 10”

Material Offset Thickness L01

L02

L03

L04

L05

(L21) L06

(L22) L07

(L23) L08

(L24) L09

(L25) L10

(L26) L11

(L27) L12

(L28) L13

(L29) L14

(L30) L15

(L31) L16

(L32) L17

(L33) L18

(L34) L19

(L35) L20

(L36)

LS 0 2.944 45 -45 90 90 0 0 -45 45 45 -45 0 0 90 90 -45 45 - - - -

LS + FSlr 0 6.256 45 -45 90 90 0 0 -45 45 45 -45 0 0 90 90 -45 45 45 -45 90 90

- - - - (0) (-45) (45) (-45) (45) 45 (-45) (45) (-45) (0) (90) (90) (-45) (45) - -

LS+ICSlff 0 4.784 45 -45 90 90 0 0 -45 45 45 -45 0 0 90 90 -45 45 -45 45 0 -45

- - - - (45) (0) (90) (90) (45) (-45) - - - - - - - - - -

LS+ICSlrf 0 4.784 45 -45 90 90 0 0 -45 45 45 -45 0 0 90 90 -45 45 45 -45 0 45

- - - - (-45) (0) (90) (90) (-45) (45) - - - - - - - - - -

LS+IFSlff 0 4.6 45 -45 90 90 0 0 -45 45 45 -45 0 0 90 90 -45 45 -45 45 0 -45

- - - - (45) (0) (90) (45) (-45) - - - - - - - - - - -

LS+IFSlrf 0 4.6 45 -45 90 90 0 0 -45 45 45 -45 0 0 90 90 -45 45 45 -45 0 45

- - - - (-45) (0) (90) (-45) (45) - - - - - - - - - - -

LS+IRSlff 0 4.6 45 -45 90 90 0 0 -45 45 45 -45 0 0 90 90 -45 45 -45 45 -45 45

- - - - (0) (90) (90) (45) (-45) - - - - - - - - - - -

LS+IRSlrf 0 4.6 45 -45 90 90 0 0 -45 45 45 -45 0 0 90 90 -45 45 45 -45 45 -45

- - - - (0) (90) (90) (-45) (45) - - - - - - - - - - -

LS+RSlff 0 6.256 45 -45 90 90 0 0 -45 45 45 -45 0 0 90 90 -45 45 -45 45 90 0

- - - - (45) (-45) (0) (45) (-45) (-45) (45) (0) (-45) (45) (0) (90) (45) (-45) - -

US -3.312 3.312 45 -45 90 90 0 0 -45 45 0 0 45 -45 0 0 90 90 -45 45 - -

US+FSurf -6.624 6.624 -45 45 90 90 0 45 -45 45 -45 -45 45 -45 45 0 90 90 45 -45 45 -45

- - - - (90) (90) (0) (0) (-45) (45) (0) (0) (45) (-45) (0) (0) (90) (90) (-45) (45)

US+ICSuff -5.152 5.152 45 -45 90 90 0 -45 45 0 -45 45 45 -45 90 90 0 0 -45 45 0 0

- - - - (45) (-45) (0) (0) (90) (90) (-45) (45) - - - - - - - -

US+ICSurf -5.152 5.152 -45 45 90 90 0 45 -45 0 45 -45 45 -45 90 90 0 0 -45 45 0 0

- - - - (45) (-45) (0) (0) (90) (90) (-45) (45) - - - - - - - -

Evaluación del flujo de tensiones tangenciales en el cajón de torsión de un ala de aeronave constituidas en Material Compuesto.

17 17

Tabla (cont.). Propiedades de los laminados de los elementos FEM en “sección 10”

Material Offset Thickness L01

L02

L03

L04

L05

(L21) L06

(L22) L07

(L23) L08

(L24) L09

(L25) L10

(L26) L11

(L27) L12

(L28) L13

(L29) L14

(L30) L15

(L31) L16

(L32) L17

(L33) L18

(L34) L19

(L35) L20

(L36)

US+IFSuff -4.968 4.968 45 -45 90 0 -45 45 0 -45 45 45 -45 90 90 0 0 -45 45 0 0 45

- - - - (-45) (0) (0) (90) (90) (-45) (45) - - - - - - - - -

US+IFSurf -4.968 4.968 -45 45 90 0 45 -45 0 45 -45 45 -45 90 90 0 0 -45 45 0 0 45

- - - - (-45) (0) (0) (90) (90) (-45) (45) - - - - - - - - -

US+IRSuff -4.968 4.968 45 -45 90 90 0 -45 45 -45 45 45 -45 90 90 0 0 -45 45 0 0 45

- - - - (-45) (0) (0) (90) (90) (-45) (45) - - - - - - - - -

US+IRSurf -4.968 4.968 -45 45 90 90 0 45 -45 45 -45 45 -45 90 90 0 0 -45 45 0 0 45

- - - - (-45) (0) (0) (90) (90) (-45) (45) - - - - - - - - -

US+RSuff -6.624 6.624 45 -45 90 0 -45 45 0 -45 45 45 -45 0 45 -45 0 90 -45 45 45 -45

- - - - (90) (90) (0) (0) (-45) (45) (0) (0) (45) (-45) (0) (0) (90) (90) (-45) (45)

FSc 0 3.312 45 -45 90 90 0 -45 45 -45 45 45 -45 45 -45 0 90 90 -45 45 - -

FSw 0 2.576 45 -45 90 90 0 -45 45 45 -45 0 90 90 -45 45 - - - - - -

IFSw -1.656 3.312 45 -45 90 0 -45 45 0 -45 45 45 -45 0 45 -45 0 90 -45 45 - -

ICSw -1.84 3.68 45 -45 90 90 0 -45 45 0 -45 45 45 -45 0 45 -45 0 90 90 -45 45

IRSc -3.312 3.312 45 -45 90 90 0 -45 45 -45 45 45 -45 45 -45 0 90 90 -45 45 - -

IRSc+TSrif -3.312 4.968 45 -45 90 90 0 -45 45 -45 45 45 -45 45 -45 0 90 90 -45 45 45 -45

- - - - (90) (90) (0) (90) (90) (-45) (45) - - - - - - - - -

IRSw -3.312 3.312 45 -45 90 90 0 -45 45 -45 45 45 -45 45 -45 0 90 90 -45 45 - -

IRSw+TSrif -3.312 4.968 45 -45 90 90 0 -45 45 -45 45 45 -45 45 -45 0 90 90 -45 45 45 -45

- - - - (90) (90) (0) (90) (90) (-45) (45) - - - - - - - - -

RSw -3.312 3.312 45 -45 90 0 -45 45 0 -45 45 45 -45 0 45 -45 0 90 -45 45 - -


Material Compuesto.

18

2.2.1. Cargas y condiciones de contorno en el modelo de elementos finitos.

Tal y como ya se ha comentado en el “apartado 2.1.3”, el cajón de torsión se encuentra unido a la estructura de

la aeronave a través de la costilla de cierre interior. Para modelar esta unión, Llamas y Graciani [17] incluyen

en el modelo de Elementos Finitos unas condiciones de contorno de empotramiento en el extremo del cajón de

torsión más cercano al encastre del ala.

Sin embargo, debe tenerse en cuenta que estas condiciones de empotramiento dan lugar a concentraciones de

tensiones en las proximidades de los puntos de empotramiento no presentes en la realidad. Para contrarrestar el

falseo de los resultados que estas tensiones de empotramiento pueden provocar, se extiende el cajón de torsión

incluyendo una zona “dummy” de empotramiento.

Esta nueva zona “dummy” se obtiene extendiendo los revestimientos y largueros más allá de la costilla de cierre

interior (extendidos en dirección al encastre del ala). Una vez añadida ésta, se han aplicado condiciones de

empotramiento sobre todos los nodos de la sección más cercana al encastre del ala de la zona “dummy” del

cajón.

Aplicando esta solución, las concentraciones de tensiones en las zonas próximas a los puntos de empotramiento

siguen existiendo, pero, por el Principio de Saint-Venant, estas distribuciones de tensiones no se extenderán

hasta la costilla de cierre interior, por lo que el campo de tensiones del modelo entre ambas costillas de cierre no

se ve afectado por el empotramiento.

Por otro lado, las cargas de vuelo dadas por el caso de carga LC_A00018 se incluyen en el modelo de elementos

finitos a través cargas y momentos puntuales aplicados sobre nodos situados en el 35% de la cuerda de cada

sección y en el plano medio del cajón de torsión.

Estas cargas y momentos se han aplicado sobre nodos situados en los puntos de aplicación de cargas comentados

en el párrafo anterior. Sin embargo, estos nodos no se encuentran presentes en la estructura del cajón de torsión

y se localizan en algún punto intermedio entre los largueros FS e IFS.

Para transmitir estas cargas y momentos a la estructura se han introducido elementos RBE3 que relacionan los

seis grados de libertad de estos nodos situados en los puntos de aplicación de cargas con los tres grados de

libertad en desplazamientos de 10 nodos situados en la misma sección y que coinciden con la intersección de

los cinco largueros con ambos revestimientos. Un esquema en el que pueden apreciarse estos elementos RBE3

en una sección tipo, así como el nodo del punto de aplicación de cargas y su transmisión a la estructura, puede

apreciarse en la siguiente figura.

Figura 2-14.Transmisión de cargas a estructura.

Las cargas y momentos dados en el caso de carga LC_A00018 son cargas y momentos integrados y expresados

en ejes LAS2. Para su aplicación al modelo de elementos finitos se han transformado a ejes ABCS y expresados

como cargas puntuales que equilibren la estructura [17]. Estas cargas y momentos puntuales aplicados sobre el

modelo de Elementos Finitos del cajón y los puntos de aplicación de éstas se muestran en la siguiente tabla:

Tabla 2–6. Cargas y momentos puntuales aplicados en el modelo de EF.

Estación Cargas puntuales (ACBS) Momentos puntuales (ABCS)

RS IRS ICS

IFS

FS


Material Compuesto.

19

𝑓𝑋(𝑘𝑁) 𝑓𝑌(𝑘𝑁) 𝑓𝑍(𝑘𝑁) 𝑚𝑋(𝑘𝑁𝑚) 𝑚𝑌(𝑘𝑁𝑚) 𝑚𝑍(𝑘𝑁𝑚)

2420 1 -250.000 -83.292 5690.163 2151587.637 384543.529 -1876.561

2900 2 -227.000 -50.682 6063.969 2447131.292 207317.846 -18982.002

3380 3 -204.000 -17.967 6439.772 2561666.949 20646.792 -22265.787

3860 4 -182.000 14.642 6813.577 2246802.777 -160695.859 -18472.158

4310 5 -149.000 43.253 6728.964 2034841.386 -339079.070 -784.258

4760 6 -129.000 71.562 7058.935 1675129.375 -522429.678 23400.271

5210 7 -109.000 100.818 7387.855 1164831.296 -711929.172 60194.882

5660 8 -90.000 130.126 7717.773 551810.198 -931251.539 107885.607

6120 9 -70.000 161.970 8229.808 -293382.882 -1142867.348 164947.604

6580 10 -49.000 192.063 8574.706 -1324397.521 -1337328.837 232599.655

7040 11 -29.000 222.104 8918.606 -2457454.607 -1593200.612 310577.487

7500 12 -7.000 252.145 9262.505 -3969062.959 -1986306.672 437173.889

8000 13 -471.000 -1174.195 9006.809 9709000.000 1877769.070 -951587.260

2420 1 -250.000 -83.292 5690.163 2151587.637 384543.529 -1876.561

Figura 2-15. Condiciones de contorno de empotramiento y extensión “dummy”.

(Se ha eliminado el revestimiento superior para mayor claridad)

Antecedentes

20

2.3. Una herramienta para el cálculo de tensiones tangenciales en palas de aerogenerador.

Debido al auge que ha experimentado en las últimas décadas el campo de las energías renovables y la

proliferación de parques eólicos, la demanda de fabricación de aerogeneradores y palas de aerogenerador ha

aumentado y, con ella, la demanda de métodos más eficientes para el diseño de estos componentes.

Las palas de aerogenerador se fabrican actualmente a partir de laminados de material compuesto que conforman

superficies aerodinámicas 3D. Las diferentes secciones de la pala son en realidad perfiles aerodinámicos

rigidizados interiormente por uno o varios largueros que recorren longitudinalmente la pala.

Figura 2-16.Geometría típica de la sección de una pala de aerogenerador

Debida a la geometría de estas palas de aerogenerador, estos componentes son perfectos para su modelado a

partir de desarrollos de Resistencia de Materiales, debido a que longitud del componente (desde encastre hasta

punta) es mucho mayor al resto de dimensiones de la pala (cuerda y espesor del perfil).

Teniendo en cuenta estos factores, Fernandes y otros [16] desarrollan una herramienta para el cálculo de las

tensiones tangenciales en palas de aerogenerador a partir de un modelo de Resistencia de Materiales,

considerando estos elementos como barras de sección de pared delgada multicelular.

2.3.1. Modelo de Resistencia de Materiales

La pala de aerogenerador utilizada para el estudio de este modelo de Resistencia de Materiales presenta una

serie de propiedades y características geométricas que se detallan a continuación. Se trata de una pala 15m de

longitud y fabricada mayoritariamente a base de fibra de vidrio y resina viniléster.

Respecto a la geometría de las secciones, la pala cuenta con un tramo de sección circular en la zona cercana al

encastre de la pala que, tras un tramo de transición, pasa a tener sección de perfil aerodinámico. Estos perfiles

aerodinámicos presentan una espina central rigidizadora que se extiende longitudinalmente.

A medida que avanzamos hacia la punta de la pala, las dimensiones de la sección van disminuyendo hasta que,

llegado a cierto punto, la espina central rigidizadora desaparece.

Las cargas a las que se somete el modelo se definen teniendo en cuenta las cargas aerodinámicas de la pala, las

fuerzas inerciales como la centrífuga y el propio peso de la pala. Sin embargo, efectos aerolásticos no se

introducen en el estudio.


Material Compuesto.

21

Figura 2-17. Vista general de la pala utilizada para el modelo.

Para el estudio a través de un modelo de Resistencia de Materiales, es necesario realizar una discretización del

componente. En primer lugar, la pala se divide en diferentes secciones, independientes entre sí,

perpendiculares a la dirección longitudinal de la pala. Sobre la geometría de cada una de estas secciones se

definen una serie de nodos repartidos a lo largo de la sección. Se definen, a su vez, elementos de estudio como

el material de la sección existente entre dos nodos.

Figura 2-18. Discretización de una sección de la pala.

Cada uno de estos elementos de la sección se define a partir de un laminado de material compuesto, con un

número, secuencia y orientación de láminas determinado. Una de las hipótesis principales aplicables al modelo

implica que, si bien las propiedades de los laminados varían de un punto a otro de la sección, las propiedades

del laminado se consideran constantes dentro de cada elemento de estudio. Esta hipótesis no tiene porque

repercutir en la precision de los resultados del modelo si la elección de los nodos de la sección se ajusta a los

diferentes laminados del componente.

Respecto al desarrollo teórico que acompaña al modelo de Resistencia de Materiales, se basa en una

generalización aplicable a materiales compuestos del cálculo del flujo de tensiones tangenciales en una barra

de sección de pared delgada multicelular. Este desarrollo teórico es análogo al que se utilizará posteriormente

para el cajón de torsión del ala y que será expuesto con detalle en el “capítulo 3” del presente documento.

De forma resumida, el cálculo de las tensiones normales longitudinales en cada elemento se obtiene a través de

la ecuación (2-1), que implica la reducción del problema al centro elástico de la sección.

Antecedentes

22

𝜎𝑥𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) [𝑁(𝑥)

∫ 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

+ (𝑀𝑦(𝑥)∫ 𝑧2 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

−𝑀𝑧(𝑥)∫ 𝑦𝑧 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

)𝑧

𝑘𝑥𝑦

− (𝑀𝑧(𝑥)∫ 𝑦2 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

−𝑀𝑦(𝑥)∫ 𝑦𝑧 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

)𝑦

𝑘𝑦𝑧]

(2–1)

A continuación, el cálculo de las tensiones tangenciales implica un cálculo del flujo como perfil abierto a partir

de la ecuación (2-2). Este flujo de tensiones como abierto se complementa con un flujo como perfil cerrado,

ecuación (2-3), constante para cada célula, que se obtiene imponiendo condiciones de continuidad en el alabeo

de la sección. A estos dos componentes habría que sumarle el flujo debido al esfuerzo torsor externo aplicado

sobre la sección y al torsor inducido provocado por los cortantes; ecuaciones (2-4) y (2-5). Este último se debe

a que el problema está reducido al centro elástico de la sección, que no coincide con el centro de esfuerzos

cortantes de ésta.

𝜎𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)𝑒(𝑠) = 𝜎𝑥𝑠(𝑥, 0)𝑒(0) − ∫ [𝛿𝜎𝑥𝛿𝑥(𝑥, 𝑠′)] 𝑒(𝑠′)𝑑𝑠′

𝑠

0

(2–2)

𝑞𝑐(𝑥)∫1

𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒(𝑠)𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

= −∫𝑞𝑎(𝑥, 𝑠)

𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒(𝑠)𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

(2-3)

∫𝜎𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)

𝐺(𝑥, 𝑠)𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

− 2𝜃Ω = ∫𝑞𝑡(𝑥)

𝐺(𝑥, 𝑠)𝑒(𝑠)𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

− 2𝜃Ω = 0 (2-4)

𝑀𝑡𝑖𝑛𝑑 = ∫ (𝑞(𝑥, 𝑠) + 𝑞𝑐(𝑥)) ∗ 𝑟⊥(𝑥, 𝑠)𝑑𝑠𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛

(2-5)

La suma de estos tres flujos, como abierto, 𝑞𝑎(𝑥, 𝑠), como cerrado, 𝑞𝑐𝑘(𝑥), y debidos al torsor, 𝑞𝑡

𝑘(𝑥),

asociados a cada elemento da lugar al flujo de tensiones tangenciales totales del elemento de la sección.

𝑞(𝑥, 𝑠) = 𝑞𝑎(𝑥, 𝑠) + 𝑞𝑐𝑘(𝑥) + 𝑞𝑡

𝑘(𝑥) (2–6)

Para este desarrollo, se necesitan conocer ciertas propiedades de cada elemento. Algunas de ellas, como

inercia, longitud, etc., son puramente geométricas; sin embargo, otras propiedades, como espesor, módulo de

elasticidad, módulo de cortadura, etc., dependen de las propiedades del laminado y se obtienen aplicando la

Teoría de Laminado.

Por último, para calcular las tensiones tangenciales según el Modelo de Resistencia de Materiales se han de

fijar, de forma arbitraria, el sentido de cálculo de los flujos de tensiones, así como qué puntos de cada una de

las celdas se considerarán como puntos iniciales, y por tanto se considerará como un punto abierto, de cada

una de las secciones.

En este caso, el sentido de los flujos de tensiones tangenciales será siempre antihorario y los puntos de inicio

de cada celda serán: la unión del extradós e intradós en el borde de salidad, para la celda posterior, y la zona de

unión del rigidizador central con el extradós, para la celda anterior. Esto viene descrito en la figura 2-19.


Material Compuesto.

23

Figura 2-19. Representación de flujos de tensiones tangenciales en perfil de pala de aerogenerador.

2.3.2. Estructura del programa.

Para el cálculo de tensiones normales longitudinales y tensiones tangenciales del modelo de Resistencia de

Materiales de la pala de aerogenerador, se desarrolló una herramienta para el cálculo de resultados de forma

numérica. Estos programas se bautizaron como “DIPALA 3.1” para el cálculo de tensiones normales

longitudinales y “DIPALA 3.2” para el cálculo de tensiones tangenciales en la sección.

Estos programas de cálculos se definen a través de lenguaje de programación FORTRAN. Ambos programas

presentan una estructura muy similar por lo que se va a describir la estructura de la herramienta “DIPALA 3.2”,

subrayando las diferencias con respecto a “DIPALA 3.1”.

La herramienta “DIPALA 3.2” presenta dos etapas del proceso obtención de tensiones: un código central del

cálculo de tensiones denominado “DIPALA.exe” y un código previo, denominado “DATAPALA.exe”. Este

segundo código realiza un acondicionamiento previo de los datos geométricos y propiedades en bruto de la pala

de aerogenerador, estructurando la información para su posterior uso en el código central del cálculo de

tensiones.

2.3.2.1. El código DATAPALA

El cógido “DATAPALA.exe” está diseñado para acondicionar los datos de entrada de geometría y propiedades

preparados para un modelo de Elementos Finitos a través de la herramienta comercial ANSYS. Este archivo de

entrada lo reestructura, agrupando y extrayendo la información necesaria para su uso en programa central de

cálculo de tensiones.

Figura 2-20. Diagrama del código DATAPALA.exe.

DATAPALA.exe

DATAPALA.exe entradaANSYS.txt

entradadata.txt

espinadata.txt

salidadata.txt

DIPALA.exe

Antecedentes

24

Este ejecutable presenta como única entrada de datos un archivo de salida generado por ANSYS que incluye

toda la información de geometría, materiales, laminados, etc. extraídos de un modelo de Elementos Finitos. Este

documento ha sido denominado en la figura 2-20 como “entradaANSYS.txt”.

Una vez ejecutado, genera tres documentos de salida: un documento con la geometría y propiedades ya

estructuradas y que sirve de datos de entrada para el código central de cálculo, denominado entradadata.txt; un

documento análogo al anterior, pero incluyendo cabeceras de datos y rótulos para su mayor comprensión,

denominado salidadata.txt; y un ultimo fichero, denominado espinadata.txt, con la información de conectividad

entre los diferentes elementos del modelo.

El documento entrada.txt presenta la misma información que el documento de entrada, pero ya estructurada por

secciones, segregando aquellas con rigidizador (espina) de aquellas que no presentan espina. La posición de los

nodos ahora se expresa en coordenadas cartesianas “x” e “y”. Del mismo modo, se muestra las propiedades de

cada uno de los laminados asociados a los elementos de la sección.

El documento espinadata.txt segrega en primer lugar las secciones con espina central y las secciones sin ella

indicando la sección más cercana al encastre y la más cercana a la punta del ala que presenta rigidizador. A

continuación, para las secciones con rigidizador indica el identificador de los nodos entre los cuales se localiza

el rigidizador de la sección.

2.3.2.2. El código DIPALA

El código DIPALA es el cógido principal de cálculo de tensiones en las diferentes secciones de la pala del

aerogenerador. La información de entrada necesaria para el cálculo de tensiones se obtiene a través de varios

ficheros: los datos de geometría y propiedades de elementos se obtiene a través de los elementos generados por

DATAPALA.exe, los archivos espinadata.txt y entradadata.txt. Las propiedades de cada uno de los materiales

que conforman los laminados del cajón se vuelcan a través del archivo materialpro.txt. Por último, los diferentes

casos de cargas y esfuerzos aplicados en cada sección se vuelcan a través del archivo cargas.txt

Figura 2-21. Diagrama del código DIPALA.exe.

Tras la ejecución del código, la información del cálculo de tensiones se muestra en diferentes archivos de salida:

• salida.txt: se trata del archivo principal de salida, que incluye la información generada para cada una de

las secciones, así como los datos de tensión normal longitudinal para cada uno de los elementos. Esta

información se estructura como sigue:

o Propiedades de la sección: se recoge, en primer lugar, las propiedades globales de cada una de

las secciones, como coordenadas del centro elástico, area total, inercia total de la sección o

modulo de elasticidad equivalente de la sección completa.

o Propiedades del laminado: se recogen los espesores y modulo de elasticidad equivalente para

cada uno de los elementos de cada sección de la pala.

DATAPALA.exe

DIPALA.exe

materialpro.txt salida.txt

open_shear_flow.txt

closed_shear_flow.txt

torsion_shear_flow.txt

total_shear_flow.txt

otros

DIPALA.exe

cargas.txt

entradadata.txt

espinadata.txt

otros

sólo DIPALA 3.2


Material Compuesto.

25

o Estudio dinámico de la pala: muestra una aproximación de las primeras frecuencias naturales

propias de la pala, así como la distribución equivalente de masas concentradas para cada una

de las estaciones.

o Estudio resistente de los elementos: para cada uno de los elementos de la estación se obtienen

los valores de tensión normal longitudinal, así como la capacidad resistente del elemento y

máximas deformaciones que sufre.

o Estudio resistente de la sección: en función de los datos anteriores se indica la máxima

deformación alcanzada en cada sección, y en qué elemento se alcanza, así como se obtiene el

coeficiente de seguridad de la sección.

• Además del archivo de salida anterior, el código genera los siguientes archivos con toda la información

referente a las tensiones tangenciales: open_shear_flow.txt, con el flujo como abierto de los elementos

de las diferentes secciones, closed_shear_flow.txt, con el flujo como cerrado, torsion_shear_flow.txt,

con el componente debido a torsión del flujo, y, por ultimo, total_shear_flow.txt, que muestra un

resumen de los componentes que conforman el flujo y la suma total de estos. Estos archivos solo son

aplicables para la version “DIPALA 3.2”.

• Por ultimo, también genera una serie de archivos de salida secundarios, que únicamente muestran los

resultados de comprobaciones geométricas como areacomparison.txt, distancecomparison.txt ó

checkinggeometry.txt.

Para la obtención de estos resultados, el ejecutable “DIPALA.exe” realiza una lectura de la geometría y

propiedades asociadas a cada elemento discretizado de la sección, calcula las propiedades geométricas y

resistivas de cada elemento y de la sección completa y calcula finalmente las tensiones nomales y el flujo de

tensiones tangenciales en cada uno de estos elementos.

2.3.2.3. Cálculo de tensiones del modelo de Resistencia de Materiales.

Como resumen, para la validación del modelo de Resistencia de Materiales comparando los resultados de

tensiones respecto de un modelo de elementos finitos calculado en ANSYS, únicamente habría que exportar el

modelo de ANSYS y utilizar este archivo para correr el código DATAPALA.exe. Con los archivos obtenidos de

este ejecutable y definiendo unas propiedades mecánicas del material en los materiales usados (en archivo

materialpro.txt) y los casos de carga aplicable (en cargas.txt), se corre el ejecutable DIPALA.exe y se obtienen

los valores de tensiones normales y tangenciales que arroja este modelo.

Cabe detacar, una vez descritas las herramientas para el cálculo de tensiones según el modelo de Resistencia de

Materiales, su gran versatilidad y bajo coste computacional. Estas herramientas permiten modificar las

propiedades de un laminado de una sección de la pala tan solo variando pocos parámetros. Esto supone un gran

ahorro en términos de coste computacional con respecto a otros modelos más elaborados, como modelos de

Elementos Finitos donde un cambio en una lámina de un elemento provoca una carga de trabajo mucho mayor.

2.3.3. Resultados obtenidos.

Para apreciar el grado de aproximación de los resultados obtenidos a través del modelo de Resistencia de

Materiales, utilizando la herramienta “DIPALA 3.2”, estos resultados se pueden comparar con los obtenidos a

través de un modelo de elementos finitos de la pala de aerogenerador modelado en ANSYS.

Tal y como indican Fernandes y otros [16], a pesar de las multiples simplificaciones implementadas en el

modelo de Resistencia de Materiales, este modelo da lugar a unas tensiones longitudinales normales y unas

tensiones tangenciales que replican el comportamiento de las obtenidas a través del modelo de Elementos

Finitos y siempre del lado conservativo, en la mayoría de las secciones de estudio de la pala de aerogenerador.

Antecedentes

26

Figura 2-22. Resultados del modelo RM sobre la pala de aerogenerador. Tensiones normales longitudinales en

una sección cercana al encastre (arriba-izquierda) y en una sección con rigidizador (arriba derecha). Flujo de

tensiones tangenciales en sección cercana a la punta y sin rigidizador (abajo izquierda) y en una sección en la

zona media y con rigidizador (abajo derecha).


Material Compuesto.

27

2.4. Cálculo de tensiones normales en cajón de torsión a partir de modelo de Resistencia de Materiales.

Como estudio previo de la aplicabilidad del modelo de Resistencia de Materiales planteado en el apartado

anterior a geometrías diferentes a la de una pala de aerogenerador, Marín y otros [18] plantean adaptar el modelo

anterior a las particularidades geométricas de un cajón de torsión tipo y probar el cálculo de las tensiones

normales longitudinales.

La geometría a la que se debe aplicar el modelo es la decrita en el “apartado 2.1”. El modelo teórico para

adaptar la herramienta a esta geometría se desarrollará el en siguiente capítulo. Este modelo se basa en considerar

el cajón de torsión como una barra de sección variable, una sección de pared delgada con cuatro células cerradas.

Para el cálculo de las tensiones normales longitudinales se desarrolla una herramienta análoga a la mostrada en

el apartado anterior que se denominará como “MULTIESPINA 1.0”. Esta herramienta presenta la misma

estructura que la herramienta “DIPALA 3.1”, con el cálculo de tensiones dividido en dos fases, una primera fase

“NDATA.exe” cuyo cometido es el de adaptar los resultados extraídos del modelo de Elementos Finitos a las

necesidades del programa, y una segunda fase del cálculo con “NPALA.exe”, con la lectura de geometría,

propiedades y cargas, la confección del módelo y el cálculo de las tensiones.

Un análisis más profundo del modelo de Resistencia de Materiales aplicado al cajón de torsión, sus

particularidades en cuanto a geometría y propiedades de los elementos del modelo, así como cargas y

condiciones de contorno se muestra en el siguiente capítulo.

Para la validación de los resultados obtenidos a través de este modelo, las tensiones normales obtenidas se

compararon con los resultados arrojados por el módelo de Resistencia de Materiales del cajón de torsión descrito

en el “apartado.2.2”.

2.4.1 Resultados

Para llegar a conocer el nivel de aproximación de los resultados obtenidos por el Modelo de Resistencia de

materiales, estos se comparan con los resultados del modelo de Elementos Finitos del cajón. Los resultados

aplicados a una sección localizada a 271,8mm (denominada “sección 10” durante el estudio) se muestran en la

siguiente figura:

Figura 2-23. Tensiones normales del modelo RM en la “sección 10” del cajón de torsión.

Puede apreciarse claramente que el modelo aproximado de resistencia de materiales copia claramente el

comportamiento de las tensiones normales del modelo de Elementos Finitos. Cabe destacar, también, que en

todo momento la aproximación llevada a cabo se mantiene del lado de la seguridad, dando lugar a tensiones

Antecedentes

28

mayores que las obtenidas por el modelo de elementos finitos.

2.5. Conclusiones

La exposición llevada a cabo a lo largo del “apartado 2.3” refleja los buenos resultados obtenidos para el cálculo

del flujo de tensiones tangenciales en la pala de aerogenerador a través del modelo de Resistencia de Materiales

confeccionado por Fernandes y otros [17].

A su vez, se ha hecho hincapié en las similitudes geométricas existentes (desde el punto de vista de la Resistencia

de Materiales) entre la pala de aerogenerador y un cajón de torsión del ala de una aeronave. En particular, la pala

de aerogenerador se ha podido modelar como una barra de sección de pared delgada de una o dos células cerradas

y el cajón de torsión podría modelarse como una barra de sección de pared delgada multicelular (4 células).

Además, este desarrollo también muestra la buena aproximación obtenida para el cálculo de tensiones normales

longitudinales sobre el cajón de torsión a través del modelo de Resistencia de Materiales análogo al anterior

[18].

A la luz de estas conclusiones, todo hace indicar que la generación de un modelo de Resistencia de Materiales

para el cálculo del flujo de tensiones tangenciales en las secciones del cajón de torsión debería de arrojar una

buena aproximación de los resultados.

Para completar esta empresa, en el “capítulo 3” se aborda la confección de este modelo de Resistencia de

Materiales para el cálculo de tensiones tangenciales en las secciones del cajón de torsión. Para la validación de

los resultados obtenidos por el modelo, en el “capítulo 4” se compararán éstos con los resultados que arroja el

modelo de Elementos Finitos confeccionado por Llamas y Graciani [17].


Material Compuesto.

29

3 MODELO DE RESISTENCIA DE MATERIALES

PARA EL CAJÓN DE TORSIÓN

a finalidad del presente estudio es la de generar y validar una herramienta para el cálculo de tensiones

normales y tangenciales aplicada al cajón de torsión del ala de una aeronave sin llegar a perder la

versatilidad propia de una aproximación a través de un modelo de Resistencia de Materiales.

A lo largo del presente capítulo se profundizará, en primer lugar, en el marco y desarrollo teórico del modelo de

Resistencia de materiales. Se continúa con la aplicación del desarrollo anterior al cajón de torsión del ala de una

aeronave, describiendo cálculo de propiedades y discretización necesaria para el cálculo, así como la definición

de cargas aplicadas sobre el modelo. Por último, se entrará en detalle en la estructura y proceso de cálculo de las

herramientas generadas para el cálculo de la aproximación de las tensiones indicadas por el modelo.

3.1. El cajón de torsión como elemento barra.

Para confeccionar un modelo de Resistencia de Materiales de un cajón de torsión de un ala, lo primero es

garantizar que el cajón de torsión cumple con las condiciones necesarias para el estudio a través de teoría de

barras de Resistencia de Materiales. El cajón de torsión se modela a través de la Teoría de Resistencia de

Materiales como una barra de sección de pared delgada de varias células cerradas, divididas por cada uno de los

largueros del interior del componente.

En primer lugar, para poder considerar que el cajón de torsión es una barra se debe garantizar que una de las

dimensiones es mucho mayor a las otras dos. Tomando los valores de la geometría del cajón de torsión descrita

en el “capítulo 2”: el cajón de torsión presenta una longitud en dirección de la envergadura del ala del orden de

7000 mm, mientras que la máxima distancia entre ambos revestimientos del ala es del orden de los 450 mm; por

último, en dirección de la cuerda varía desde los 900mm en las primeras secciones más cercanas al encastre

hasta los 500mm en las secciones más cercanas a la punta del ala, tomaremos el valor medio, 700mm, como

distancia característica en esta dirección.

𝐿𝑐⁄ = 7000 700⁄ = 10 (3–1) 𝐿

𝑤⁄ = 7000 450⁄ = 15,555 (3–2)

Al comparar estas dimensiones, se aprecia que se alcanza el ratio de diez veces superior establecido comúnmente

para la definición de un elemento como barra, al comparar ambas direcciones con la envergadura del elemento.

Por otro lado, el cambio de geometría de la sección se produce de forma gradual a medida que avanzamos en el

cajón de torsión en dirección a la punta del ala y la línea directriz que une los puntos centrales de cada sección

no presenta gran curvatura.

L

Modelo de Resistencia de Materiales para el cajón de torsión

30

Figura 3-1. Dimensiones generales del cajón de torsión tipo

Por último, se trata de una barra de sección de pared delgada debido a que el espesor de los laminados que la

forman, del orden 7mm el más grueso, es despreciable con respecto a las dimensiones de la sección.

𝑐𝑒⁄ = 128,571 (3–3) 𝑤

𝑒⁄ = 64,261 (3–4)

Con todo esto, podemos afirmar que, para el estudio por Resistencia de materiales, el cajón de torsión puede

asemejarse a una barra de sección de pared delgada multicelular cuya geometría varía gradualmente a lo largo

de la envergadura del ala.

En la siguiente sección se desarrollará, a raíz de esta premisa, el marco teórico que permite el cálculo de tensiones

normales y tangenciales sobre barras de sección de pared delgada multicelular fabricada en material compuesto.

3.2. Marco teórico del modelo de Resistencia de Materiales

3.2.1 Sistemas de Coordenadas Locales

Dado que el cajón de torsión del ala puede modelarse como una barra con secciones de pared delgada,

necesitaremos definir un sistema de referencia local que podamos ir colocando en cualquier punto de la directriz

de la barra y nos permita un estudio más cómodo de cada una de las secciones.

Sea el sistema de referencia local centrado en el punto de intersección de la directriz de la curva con cada sección

de la barra. Definimos eje “X” el paralelo a la directriz en este punto y perpendicular a la sección, eje “Y” el

perpendicular al anterior y contenido en el plano de la directriz de la curva y, por último, eje “Z” perpendicular

a los dos anteriores.

El sistema de referencia anterior es bastante útil en barras de secciones llenas. Sin embargo, para secciones de

pared delgada como las que conforman el modelo de estudio, conviene expresar las magnitudes en coordenadas

curvilíneas. De esta manera definimos la variable “s” como la variable que recorra la línea media del espesor de

la barra en cada una de las secciones.

Por tanto, dependiendo de la geometría de la sección de estudio podremos definir unas funciones y(s) y z(s) que

nos definan geométricamente la línea media del espesor para cada una de las secciones del sólido.

Una vez definida esta variable, necesitamos establecer un sistema de referencia local en coordenadas curvilíneas.

Para cada valor de la variable “s” y, por tanto, para cada punto de la línea media del espesor de la sección,

definimos el sistema local centrado en este punto, con eje “x” perpendicular a la sección, eje “s” tangente a la

L

c

w


Material Compuesto.

31

línea media del espesor en ese punto y “n” para el perpendicular a la línea media y contenido en la sección.

Figura 3-2. Sistemas de Referencia Local (izq.) y Local en Curvilíneas.

Cabe destacar que ambos sistemas de referencia locales definidos, local (SRL) y local en curvilíneas (SRC),

pueden expresarse uno en función del otro a través de un giro tomando de eje la tangente a la directriz de la barra

(eje perpendicular a la sección). Esto se debe a que en ambos sistemas de referencia coincide el eje “x” en

dirección y sentido. Definiendo los vectores unitarios en ambos sistemas de referencia:

𝑒𝑥 = (1,0,0)⌋𝑆𝑅𝐿; 𝑒𝑦 = (0,1,0)⌋𝑆𝑅𝐿; 𝑒𝑧 =(0,0,1)⌋𝑆𝑅𝐿; (3–5)

𝑒𝑥 = (1,0,0)⌋𝑆𝑅𝐶; 𝑒𝑠 = (0,1,0)⌋𝑆𝑅𝐶 ; 𝑒𝑛 = (0,0,1)⌋𝑆𝑅𝐶; (3–6)

La relación entre estos vectores unitarios puede expresarse fácilmente a través del ángulo α(s), que se define

como el ángulo que forma la tangente a la línea media del espesor en cada punto de la sección con el eje z del

sistema de referencia local:

𝑒𝑠 = 𝑒𝑦𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑒𝑧𝑐𝑜𝑠𝛼; (3–7)

𝑒𝑛 = 𝑒𝑦𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑒𝑧𝑠𝑒𝑛𝛼; (3–8)

Por último, también podemos obtener las siguientes expresiones que relaciona los elementos diferenciales de las

variables del sistema de referencia local incluidas dentro de la sección con la coordenada curvilínea descrita.

𝑑𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑑𝑠 (3–9) 𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑑𝑠 (3–10)

3.2.2. Descripción del campo de desplazamientos y deformaciones.

Sea el siguiente campo de desplazamientos genérico de las secciones del sólido.

𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑢𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) (3–11)

Si expresamos los desplazamientos de cualquier punto de una sección del ala como un desarrollo en serie

respecto al centro de gravedad de la sección, que por definición coincide con el eje “X”:


32

𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢𝑥(𝑥, 0,0) +𝜕𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦| 𝑦=𝑧=0𝑦 +

𝜕𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧|𝑦=𝑧=0

𝑧 (3–12)

𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢𝑦(𝑥, 0,0) +𝜕𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦|𝑦=𝑧=0

𝑦 +𝜕𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧|𝑦=𝑧=0

𝑧 (3–13)

𝑢𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢𝑧(𝑥, 0,0) +𝜕𝑢𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦|𝑦=𝑧=0

𝑦 +𝜕𝑢𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧|𝑦=𝑧=0

𝑧 (3–14)

Si ahora tomamos la hipótesis de que las secciones planas permenece planas tras la deformación, es decir,

indeformable en su plano, se establece un campo de desplazamientos que en dirección “Y” y “Z” son iguales

para todos los puntos de una sección:

𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢𝑦(𝑥) = 𝑢𝑦(𝑥, 0,0)

𝑢𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢𝑧(𝑥) = 𝑢𝑧(𝑥, 0,0) (3–15)

𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢𝑥(𝑥) − 𝜙𝑧(𝑥)𝑦 + 𝜙𝑦(𝑥)𝑧

𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢𝑦(𝑥)

𝑢𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢𝑧(𝑥)

(3–16)

donde el campo de desplazamientos de la sección puede expresarse como el desplazamiento del centro de

gravedad de la sección 𝑢𝑥(𝑥), 𝑢𝑦(𝑥), 𝑢𝑧(𝑥) y el giro de esta respecto al centro de gravedad 𝜙𝑧(𝑥), 𝜙𝑦(𝑥):

𝜙𝑧(𝑥) = −𝜕𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦|𝑦=𝑧=0

; 𝜙𝑦(𝑥) =𝜕𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧|𝑦=𝑧=0

(3–17)

Si expresamos ahora el campo de desplazamientos en función de la coordenada curvilínea “s” y mediante las

funciones y(s) y z(s):

𝑢𝑥(𝑥, 𝑠) = 𝑢𝑥(𝑥) − 𝜙𝑧(𝑥)𝑦(𝑠) + 𝜙𝑦(𝑥)𝑧(𝑠)

𝑢𝑦(𝑥, 𝑠) = 𝑢𝑦(𝑥)

𝑢𝑧(𝑥, 𝑠) = 𝑢𝑧(𝑥) (3–18)

𝑢𝑠(𝑥, 𝑠) = 𝑢𝑦(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝛼(𝑠)) + 𝑢𝑧(𝑥)cos (𝛼(𝑠))

𝑢𝑛(𝑥, 𝑠) = 𝑢𝑦(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝛼(𝑠)) − 𝑢𝑧(𝑥)sen (𝛼(𝑠))

Una vez calculado el campo de deformaciones del sólido, utilizando la definición de deformaciones y añadiendo

el campo de desplazamientos calculado obtenemos el campo de deformaciones para cada una de las secciones

del sólido.

𝜖𝑥𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑑𝑢𝑥(𝑥)

𝑑𝑥−𝑑𝜙𝑧(𝑥)

𝑑𝑥𝑦 +

𝑑𝜙𝑦(𝑥)

𝑑𝑥𝑧 (3–19)

𝜖𝑦𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0;

𝜖𝑧𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0;

𝛾𝑦𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0;

(3–20)

𝛾𝑥𝑦(𝑥) =𝑑𝑢𝑦(𝑥)

𝑑𝑥− 𝜙𝑧(𝑥)

𝛾𝑥𝑧(𝑥) =𝑑𝑢𝑧(𝑥)

𝑑𝑥+ 𝜙𝑦(𝑥)

(3–21)

Analizando las ecuaciones anteriores se pueden extraer las siguientes consecuencias sobre el campo de

deformaciones del sólido:

• Las deformaciones tangenciales de todos los puntos de una misma sección del sólido son iguales.


Material Compuesto.

33

• No existen deformaciones normales o tangenciales según direcciones contenidas en la sección

(direcciones Y y Z), es decir, 𝜖𝑦𝑦, 𝜖𝑧𝑧, y 𝛾𝑦𝑧 son nulas.

• Las deformaciones según la dirección perpendicular (eje X) de todos los puntos de la sección se

expresan según una función linear en Y y en Z:

𝜖𝑥𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [𝑎 + 𝑏 𝑧 + 𝑐𝑦](𝑥) (3–22)

3.2.3. Descripción del campo de tensiones del sólido.

Una vez descrito el campo de desplazamientos y deformaciones del sólido, el campo tensional puede expresarse

en función del anterior usando las ecuaciones de comportamiento del material. Para un comportamiento elástico,

lineal y anisótropo del material, y usando las hipótesis asumidas para las deformaciones, la expresión de las

tensiones normales longitudinales quedaría:

𝜎𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶11휀𝑥 + 𝐶15𝛾𝑥𝑧 + 𝐶16𝛾𝑥𝑦 (3–23)

Despreciando los términos de acoplamiento 𝐶15 y 𝐶16 frente al término de 𝐶11, la expresión de las tensiones

normales 𝜎𝑥𝑥 se resume a:

𝜎𝑥𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜖𝑥𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) [𝑑𝑢𝑥(𝑥)

𝑑𝑥−𝑑𝜙𝑧(𝑥)

𝑑𝑥𝑦 +

𝑑𝜙𝑦(𝑥)

𝑑𝑥𝑧] (3–24)

Despreciando también los acoplamientos en las tensiones tangenciales:

𝜎𝑥𝑦(𝑥) = 𝐺𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦 = 𝐺𝑥𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) [𝑑𝑢𝑦(𝑥)

𝑑𝑥− 𝜙𝑧(𝑥)]

𝜎𝑥𝑧(𝑥) = 𝐺𝑥𝑧𝛾𝑥𝑧 = 𝐺𝑥𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) [𝑑𝑢𝑧(𝑥)

𝑑𝑥+ 𝜙𝑦(𝑥)]

(3–25)

Por tanto, las tensiones normales según la dirección X pueden ser reducidas a una función lineal de las

coordenadas Z e Y:

𝜎𝑥𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [𝑎 + 𝑏 𝑧 + 𝑐𝑦](𝑥) (3–26)

Esta hipótesis planteada nos lleva a un campo de tensiones que no describe de manera correcta la evolución de

tensiones tangenciales en el sólido. Por tanto, esta hipótesis sólo se puede tomar como válida para el cálculo de

tensiones normales, y no para definir el campo de tensiones tangenciales del sólido.

Para el estudio de sólidos en Resistencia de Materiales, expresamos el campo tensional anterior en función de

los esfuerzos definidos a través de integración del campo de tensiones.

De esta manera, obtenemos que los esfuerzos cortantes se encuentran desacoplados del resto de esfuerzos:

𝑑𝑢𝑦(𝑥)

𝑑𝑥− 𝜙𝑧(𝑥) =

𝑉𝑦(𝑥)

∫ 𝐺𝑥𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

𝑑𝑢𝑧(𝑥)

𝑑𝑥+ 𝜙𝑦(𝑥) =

𝑉𝑧(𝑥)

∫ 𝐺𝑥𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

(3–27)

Y, por último, los esfuerzos axil y flectores generan un sistema de tres ecuaciones desacoplado de los esfuerzos

anteriores:


34

(

𝑁𝑥(𝑥)

𝑀𝑦(𝑥)

𝑀𝑧(𝑥)

) =

(

∫ 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

∫ 𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

−∫ 𝑦 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴


∫ 𝑧2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

−∫ 𝑦𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

−∫ 𝑦 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

−∫ 𝑦𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

∫ 𝑦2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴 )

(

𝑑𝑢𝑥(𝑥)

𝑑𝑥𝑑𝜙𝑦(𝑥)

𝑑𝑥𝑑𝜙𝑧(𝑥)

𝑑𝑥 )

(3–28)

La expresión matricial anterior puede simplificarse aún más eliminando los términos asociados a los momentos

de inercia de primer orden, si utilizamos como referencia el centro elástico de la sección. Realizando esto,

estaríamos desacoplando los efectos del Momento Axil respecto a los Flectores.

Para suprimir los términos asociados a momentos de inercia de primer orden sólo debemos desplazar en cada

rebanada de estudio el centro de coordenadas local en direcciones “y” y “z” un vector:

∀𝑥, 𝑑𝐸⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑑𝑦𝐸 , 𝑑𝑧

𝐸) / ∫ 𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

= 0; ∫ 𝑦 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

= 0 (3–29)

𝑥𝐸⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥𝐸 = 𝑥, 𝑦𝐸 = 𝑦 + 𝑑𝑦𝐸 , 𝑧𝐸 = 𝑧 + 𝑑𝑧

𝐸) (3–30)

Con este simple cambio conseguimos simplificar el problema desacoplando los efectos de los esfuerzos Axil y

Flectores. De esta manera, realizando la inversión de la matriz anterior:

𝑑𝑢𝑥(𝑥)

𝑑𝑥=

𝑁(𝑥)


(3–31)

(

𝑑𝜙𝑦(𝑥)

𝑑𝑥𝑑𝜙𝑧(𝑥)

𝑑𝑥

) =1

𝑘𝑦𝑧∗

(

∫ 𝑦2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

∫ 𝑦𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

∫ 𝑦𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

∫ 𝑧2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴 )

∗ (𝑀𝑦(𝑥)

𝑀𝑧(𝑥)) (3–32)

Donde:

𝑘𝑦𝑧 = (∫ 𝑦2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

) ∗ (∫ 𝑧2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

) − (∫ 𝑦𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

)

2

(3–33)

Una vez conocidas la relación entre el campo de desplazamientos y sus deformaciones con los esfuerzos

aplicados en la sección y reduciendo el problema al centro elástico, incluyendo estas ecuaciones (3-31) y (3-32)

en la ecuación (3-26) previamente obtenida:

𝜎𝑥𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) [𝑁(𝑥)


+ (𝑀𝑦(𝑥)∫ 𝑧2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

−𝑀𝑧(𝑥)∫ 𝑦𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

)𝑧

𝑘𝑥𝑦

− (𝑀𝑧(𝑥)∫ 𝑦2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

−𝑀𝑦(𝑥)∫ 𝑦𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

)𝑦

𝑘𝑦𝑧]

Donde: 𝑘𝑦𝑧 = (∫ 𝑦2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴) ∗ (∫ 𝑧2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

) − (∫ 𝑦𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴)2

(3–34)


Material Compuesto.

35

En conclusión, finalmente se alcanza la ecuación (3-34) que permite definir las tensiones normales

perpendiculares a la sección en cada uno de los puntos de ésta en función de los esfuerzos a los que se encuentra

solicitada dicha sección.

Figura 3-3. Centro elástico y de gravedad de una sección tipo del cajón de torsión.

Cabe destacar que, bajo las hipótesis planteadas, las tensiones normales perpendiculares de la sección dependen

únicamente de los esfuerzos axiles y flectores aplicados en ella y no de los esfuerzos cortantes ni torsores.

Siguiendo este mismo desarrollo, se pueden obtener de igual manera las tensiones tangenciales en la sección en

función de los esfuerzos cortantes a ésta, incluyendo las ecuaciones (3-25) en las ecuaciones (3-27):

𝜎𝑥𝑦(𝑥) = 𝐺𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦 = 𝐺𝑥𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑉𝑦(𝑥)

∫ 𝐺𝑥𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

𝜎𝑥𝑧(𝑥) = 𝐺𝑥𝑧𝛾𝑥𝑧 = 𝐺𝑥𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑉𝑧(𝑥)

∫ 𝐺𝑥𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

(3–35)

Como ya indicamos anteriormente, el modelo permite aproximar de forma adecuada las tensiones normales a la

sección, pero da lugar a un campo de tensiones tangenciales no aproximado de forma adecuada, por lo que las

tensiones tangenciales deben de ser obtenidas por un método alternativo.

3.2.4. Cálculo de tensiones tangenciales mediante equilibrio.

Dado que la expresión de las tensiones normales longitudinales resulta bastante precisa, sería razonable la

obtención de una expresión de las tensiones tangenciales por equilibrio con las normales, mediante el uso de la

fórmula de Jourawski.

En base a las características de las secciones consideradas, resulta conveniente un tratamiento como sección de

pared delgada.

Utilizando el sistema de coordenadas curvilíneas, podemos inferir que la tensión 𝜎𝑠𝑛 debe de ser nula o igual a

la excitación superficial externa en las superficies superior e inferior del espesor de la viga en la rebanada y que

debido a que se trata de una viga de pared delgada, las superficies superior e inferior de la pared están muy

próximas. No esperando variaciones gigantescas en las tensiones 𝜎𝑠𝑛 a lo largo del espesor de la rebanada en

dirección “n” y sabiendo que están acotadas en los extremos, siendo su valor nulo o el de la excitación externa,

podemos realizar la hipótesis simplificativa de que las tensiones 𝜎𝑠𝑛 son despreciables a lo largo del espesor de

la rebanada.


36

Figura 3-4. Tensiones expresadas en coordenadas curvilíneas en una rebanada de una sección de pared

delgada.

Por el mismo razonamiento que el anterior, podemos suponer también despreciables las tensiones 𝜎𝑥𝑛, ya que

de nuevo deben de ser nulas o iguales a la excitación superficial externa en las superficies superior e inferior del

espesor de la rebanada en dirección “n” y no se esperan grandes variaciones de estas tensiones a lo largo del

espesor.

Por último, al ser una viga de pared delgada, el espesor en dirección “n” de la rebanada es pequeño, por lo que

podemos aproximar que las tensiones 𝜎𝑥𝑠 son iguales a lo largo del espesor.

Figura 3-5. Representación simbólica de tensiones 𝜎𝑠𝑛 y 𝜎𝑥𝑛 a lo largo del espesor de una rebanada.

Con todo esto, alcanzamos la siguiente hipótesis sobre el estado tensional de la rebanada de la viga de pared

delgada:

𝜎𝑠𝑛(𝑥, 𝑛, 𝑠) = 𝜎𝑛𝑠(𝑥, 𝑛, 𝑠) ≈ 0

𝜎𝑥𝑛(𝑥, 𝑛, 𝑠) = 𝜎𝑛𝑥(𝑥, 𝑛, 𝑠) ≈ 0

𝜎𝑥𝑠(𝑥, 𝑛, 𝑠) = 𝜎𝑠𝑥(𝑥, 𝑛, 𝑠) ≈ 𝜎𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)

(3–36)

Esta hipótesis nos permite, por medio del cálculo mediante equilibrio en la rebanada, obtener una distribución

más aproximada de las tensiones tangenciales. Aplicando equilibrio según dirección “x” al trozo de rebanada

𝐴′(𝑥, 𝑠)𝑑𝑥, es decir, el trozo de rebanada desde 𝑠 = 0 hasta un valor arbitrario de esta variable:

Coord. “s”

𝜎𝑠𝑛

𝜎𝑥𝑠

𝜎𝑥𝑠 𝜎𝑥𝑛

𝜎𝑠𝑛

𝜎𝑥𝑛

𝜎𝑠𝑛~0 𝜎𝑥𝑛~0


Material Compuesto.

37

ΣFx(𝑥, 𝑠) +∂Σ𝐹𝑥𝜕𝑥

𝑑𝑥 − Σ𝐹𝑥(𝑥, 𝑠) + ΣSx(x, s, n) +∂ΣSx∂x

dx − ΣSx(x, s, n) + 𝜎𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)𝑒(𝑠)𝑑𝑥

− 𝜎𝑥𝑠(𝑥, 0)𝑒(0)𝑑𝑥 = 0 (3–37)

Donde ΣFx(𝑥, 𝑠) es la resultante de las tensiones normales según dirección “x” sobre el trozo de rebanada

𝐴′(𝑥, 𝑠)𝑑𝑥 y ΣSx(𝑥, 𝑠) es la resultante de las fuerzas externas de superficie según dirección “x” aplicadas sobre

las superficies superior e inferior del espesor del trozo de rebanada 𝐴′(𝑥, 𝑠)𝑑𝑥 y cuya aportación al cálculo

despreciamos:

Σ𝐹𝑥(𝑥, 𝑠) = ∫ 𝜎𝑥(𝑥, 𝑠′)𝑑𝑛𝑑𝑠′

𝐴′(𝑥,𝑠)

= ∫ 𝜎𝑥(𝑥, 𝑠′)𝑒(𝑠′)𝑑𝑠′

𝑠

0

(3–38)

Σ𝑆𝑥(𝑥, 𝑠) = ∫ (𝑆𝑥(𝑥, 𝑠′, 𝑛))𝑑𝑠′

𝐶(𝐴′)(𝑥,𝑠)

= ∫ (𝑆𝑥(𝑥, 𝑠′, 𝑛𝑚á𝑥) + 𝑆𝑥(𝑥, 𝑠

′, 𝑛𝑚𝑖𝑛))𝑑𝑠′𝑠

0

≈ 0 (3–39)

Por tanto, volviendo a la expresión anterior del equilibrio sobre el trozo de rebanada, ecuación (3-37), obtenemos

la siguiente expresión para el cálculo de tensiones tangenciales en una rebanada de una viga de pared delgada

en función de las tensiones normales:

𝜎𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)𝑒(𝑠) = 𝜎𝑥𝑠(𝑥, 0)𝑒(0) − ∫ [𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥(𝑥, 𝑠′)] 𝑒(𝑠′)𝑑𝑠′

𝑠

0

(3–40)

Sin embargo, para el cálculo de tensiones tangenciales en vigas de pared delgada, en lugar de utilizar la tensión

tangencial como variable de cálculo, suele utilizarse el sumatorio de las tensiones tangenciales a lo largo de todo

el espesor, variable conocida como flujo de tensiones tangenciales:

𝑞(𝑥, 𝑠) ≐ 𝜎𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)𝑒(𝑠) (3–41)

𝑞(𝑥, 𝑠) = 𝑞0(𝑥, 0) − ∫ [𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥

(𝑥, 𝑠′)] 𝑒(𝑠′)𝑑𝑠′𝑠

0

(3–42)

𝑞(𝑥, 𝑠) = 𝑞0(𝑥, 0) + 𝑞𝑎(𝑥, 𝑠); 𝑞𝑎(𝑥, 𝑠) = −∫ [𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥

(𝑥, 𝑠′)] 𝑒(𝑠′)𝑑𝑠′𝑠

0

(3–43)

Por tanto, a través de la expresión anterior, podemos calcular las tensiones tangenciales de la rebanada de estudio

únicamente en función de la geometría de la sección y de las tensiones normales que sufre ésta.

La manera de proceder será calculando primero las tensiones normales de la rebanada según la hipótesis del

apartado anterior, a través de la ecuación (3-38), que sí aproximaba bien las tensiones normales pero no así el

campo de tensiones tangenciales. Una vez calculadas éstas, se puede calcular las tensiones tangenciales a lo

largo de la rebanada en función sólo de su geometría.

3.2.5. Cálculo del flujo de tensiones tangenciales en perfiles cerrados.

El único término problemático en la expresión anterior, ecuación (3-43), es conocer el flujo en el punto definido

como inicial de la variable curvilínea, 𝑞0(𝑥, 0). Para secciones abiertas viene dado por las solicitaciones externas

en el extremo abierto de la rebanada pero, para rebanadas con secciones cerradas y con varias células como con

las del cajón de torsión que estudiamos, este término debe de calcularse de forma independiente.

La idea para el cálculo de este factor es calcular la distribución de tensiones tangenciales a lo largo de cada célula

como si ésta fuera una sección abierta en el punto de inicio de la variable curvilínea (𝑠 = 0). Esta distribución

de tensiones podría dar lugar a un desplazamiento relativo debido al alabeo de la sección entre los puntos inicial

(𝑠 = 0) y final del recorrido (𝑠 = 𝑆(𝑥)) y que no cumpliría las ecuaciones de compatibilidad debido a que, al

ser una célula cerrada, los puntos inicial y final del recorrido de la célula son esencialmente el mismo.


38

𝑢𝑥(𝑥, 𝑠 = 0) = 𝑢𝑥(𝑥, 𝑠 = 𝑆(𝑥))

𝑢𝑠(𝑥, 𝑠 = 0) = 𝑢𝑠(𝑥, 𝑠 = 𝑆(𝑥))

𝑢𝑛(𝑥, 𝑠 = 0) = 𝑢𝑛(𝑥, 𝑠 = 𝑆(𝑥))

(3–44)

Para obtener la distribución real de tensiones tangenciales deberíamos añadirle al flujo de tensiones tangenciales

como sección abierta un flujo de tensiones adicional, constante a lo largo de la sección y que fuerce que el alabeo

total de la célula sea nulo.

𝑞(𝑥, 𝑠) = 𝑞𝑐(𝑥) − ∫ [𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥(𝑥, 𝑠′)] 𝑒(𝑠′)𝑑𝑠′

𝑠

0

= 𝑞𝑐(𝑥) + 𝑞𝑎(𝑥, 𝑠) (3–45)

Si expresamos los desplazamientos de un punto cualquiera de la sección en función de los desplazamientos del

punto “s=0” y el gradiente de desplazamientos:

𝑢𝑥(𝑥, 𝑠) = 𝑢𝑥(𝑥, 0) + ∫𝜕𝑢𝑥(𝑥, 𝑠)

𝜕𝑠𝑑𝑠

𝑠

0

(3–46)

Utilizando la expresión de definición de las deformaciones tangenciales según direcciónes “x” y “s”:

𝛾𝑥𝑠(𝑥, 𝑠) =𝜕𝑢𝑥(𝑥, 𝑠)

𝜕𝑠+𝜕𝑢𝑠(𝑥, 𝑠)

𝜕𝑥=𝜕𝑢𝑥(𝑥, 𝑠)

𝜕𝑠+𝜕

𝜕𝑥(𝑢𝑦(𝑥)

𝜕𝑦

𝜕𝑠+ 𝑢𝑧(𝑥)

𝜕𝑧

𝜕𝑠)

𝑢𝑥(𝑥, 𝑠) − 𝑢𝑥(𝑥, 0) = −𝑑𝑢𝑦(𝑥)

𝑑𝑥∫𝜕𝑦

𝜕𝑠𝑑𝑠

𝑠

0

−𝑑𝑢𝑧(𝑥)

𝑑𝑥∫𝜕𝑧

𝜕𝑠𝑑𝑠

𝑠

0

+∫ 𝛾𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)𝑑𝑠𝑠

0

𝑢𝑥(𝑥, 𝑠) − 𝑢𝑥(𝑥, 0) =𝑑𝑢𝑦(𝑥)

𝑑𝑥(𝑦(0) − 𝑦(𝑠)) +

𝑑𝑢𝑧(𝑥)

𝑑𝑥(𝑧(0) − 𝑧(𝑠)) + ∫ 𝛾𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)𝑑𝑠

𝑠

0

(3–47)

Evaluando la última expresión en el punto “𝑠 = 𝑆(𝑥)” obtenemos la siguiente expresión que representa que la

suma del alabeo de todos los puntos de sección debe ser nulo en un perfil cerrado:

∫ 𝛾𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)𝑑𝑠𝑠

0

= 0 (3–48)

Esta será, por tanto, la nueva condición necesaria para el cálculo de las tensiones tangenciales como flujo cerrado

y garantiza la compatibilidad del campo de desplazamientos y deformaciones del sólido. Expresando la

condición anterior en función de las tensiones tangenciales de acuerdo con la ecuación (3-25):

∫ 𝛾𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)𝑑𝑠𝑆(𝑥)

0

= ∫𝜎𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)

𝐺𝑥𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

= ∫𝑞(𝑥, 𝑠)

𝐺𝑥𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒(𝑠)𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

= ∫𝑞𝑎(𝑥, 𝑠) + 𝑞𝑐(𝑥)


𝑆(𝑥)

0

(3–49)

𝑞𝑐(𝑥)∫1


𝑆(𝑥)

0

= −∫𝑞𝑎(𝑥, 𝑠)


𝑆(𝑥)

0

(3–50)

La expresión anterior, que surge de forzar el alabeo de la sección nulo, nos permitiría el cálculo del flujo de

tensiones tangenciales como cerrado de la célula en el caso de un perfil con sólo una célula cerrada.

Para el caso de un perfil con varias células, en cada una de ellas abría que garantizar la condición de alabeo nulo

y generar flujos como cerrado para cada una de estas células. En los tramos compartidos por varias células

convivirían ambos flujos como cerrado por lo que el flujo de tensiones como cerrado de la célula contigua

afectaría al alabeo de la célula de estudio.

Definiendo un flujo como cerrado 𝑞𝑐𝑖(𝑥) para cada célula, obtendríamos el siguiente sistema de ecuaciones


Material Compuesto.

39

donde 𝑛 es el número de celdas, 𝑆𝑖(𝑥) es la longitud de la línea media de la célula de estudio y 𝑆𝑖𝑗(𝑥) sería la

longitud de la línea media en el tramo compartido entre las células 𝑖 y 𝑗:

∫𝑞𝑎𝑖(𝑥, 𝑠)


𝑆𝑖(𝑥)

+ 𝑞𝑐𝑖(𝑥)∫1


𝑆𝑖(𝑥)

−∑(𝑞𝑐𝑗(𝑥)∫1


𝑆𝑖𝑗(𝑥)

)

𝑗≠𝑖

= 0 ∀𝑖 = 1,2,…𝑛 (3–51)

Este sistema de 𝑛 ecuaciones con 𝑛 incógnitas 𝑞𝑐𝑖(𝑥) nos permitiría el cálculo de los flujos como cerrado de

cada una de las células que, junto al flujo como abierto de cada una de ellas, nos permitiría el cálculo del campo

de tensiones tangenciales a lo largo de toda la rebanada.

𝑞𝑖(𝑥, 𝑠) = 𝑞𝑎𝑖(𝑥, 𝑠) + 𝑞𝑐𝑖(𝑥) = 𝜎𝑥𝑠𝑖(𝑥, 𝑠)𝑒(𝑠) (3–52)

3.2.6. Cálculo del flujo de tensiones debidas al torsor.

Las tensiones tangenciales calculadas hasta ahora son las tensiones provocadas por los cortantes y flectores

actuando sobre la sección del cajón de torsión.

Sin embargo, el cajón de torsión instalado en el ala sufrirá grandes esfuerzos de torsión, debido a que el centro

aeródinámico (punto donde se reducen las cargas aerodinámicas de sustentación) suele encontrarse en torno al

25% de la cuerda del ala (zona más cercana al borde de ataque) mientras que el centro de gravedad de la sección

se encontrará en torno al 50% de la cuerda. Debemos, por tanto, añadir al cálculo de tensiones tangenciales

aquellas provocadas por el torsor externo sobre la sección.

Además, debido a que el problema está reducido en el centro elástico de la sección y no en el centro de esfuerzos

cortantes, la acción de los esfuerzos cortantes sobre la sección añadirá un torsor inducido que debe de sumarse

al torsor externo.

3.2.6.1. Flujo de tensiones tangenciales debidas a un torsor externo.

Para el cálculo de las tensiones tangenciales debidas al torsor, incluimos la hipótesis de torsión libre aplicada

sobre la sección, es decir, suponemos que en el área cercana a la sección el momento torsor es constante y no se

aplican restricciones al alabeo del cajón de torsión en ningún punto.

En ese caso, el desplazamiento que surge en una sección debido a la torsión libre puede descomponerse en dos

factores: un giro dentro del plano de la sección como solido rígido respecto al centro de gravedad y un alabeo

en dirección “x” de la barra. En las proximidades de la sección de estudio puede suponerse, por tanto, que el

giro como sólido rígido variará linealmente con respecto a la coordenada “x” y el alabeo será independiente de

dicha coordenada:

𝑢𝑥(𝑥, 𝑠) ≈ 𝑢𝑥(𝑠)

𝑢𝑠(𝑥, 𝑠) ≈ 𝜙(𝑥)𝑟𝑔(𝑠) ≈ 𝜃𝑥𝑟𝑔(𝑠) (3–53)

Donde 𝑟𝑔(𝑠) es la distancia a la tangente a cada punto de la sección desde el centro elástico y 𝜃 es el ángulo de

giro de la sección.

Como el cajón de torsión está formado por secciones cerradas multicelulares, el alabeo de la sección se calculará

imponiendo la continuidad en desplazamientos entre un punto y sí mismo de la sección, es decir, que el

acumulado del alabeo de los puntos al recorrer una célula cerrada de la sección sea nulo.


40

Figura 3-6. Representación simbólica de tensiones 𝜎𝑠𝑛 y 𝜎𝑥𝑛 a lo largo del espesor de una rebanada.

En este caso lo que obtenemos, como para el cálculo del flujo de tensiones tangenciales como sección cerrada

bajo acción de cortantes y flectores, un flujo de tensiones tangenciales debidas al torsor que, en el caso de una

sección unicelular, es constante.

Incluyendo en la expresión anterior ecuación (3-46), la hipótesis para el campo de desplazamientos debidos a

torsión:

𝑢𝑥(𝑥, 𝑠) = 𝑢𝑥(𝑥, 0) + ∫𝜕𝑢𝑥(𝑥, 𝑠′)

𝜕𝑠′𝑑𝑠′

𝑠

0

= 𝑢𝑥(𝑥, 0) + ∫ 𝛾𝑥𝑠(𝑥, 𝑠′)𝑑𝑠′𝑠

0

− 𝜃∫ 𝑟𝑔(𝑠′)𝑑𝑠′𝑠

0

(3–54)

Evaluando la última expresión en el punto “𝑠 = 𝑆(𝑥)” obtenemos la siguiente expresión que representa que la

suma del alabeo de todos los puntos de sección debe ser nulo en un perfil cerrado:


𝐺𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

− 2𝜃Ω = ∫𝑞𝑡(𝑥)

𝐺𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)𝑒(𝑠)𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

− 2𝜃Ω = 0 (3–55)

Donde Ω es el área encerrada por la línea media de la célula de la sección.

De igual manera, para el caso de una sección multicelular, definimos un flujo de tensiones tangenciales debidos

al torsor 𝑞𝑡𝑖(𝑥) para cada una de las células y formamos el sistema de ecuaciones análogo al planteado en el

cálculo del flujo de tensiones como cerrado, donde 𝑛 es el número de celdas, 𝑆𝑖(𝑥) es la longitud de la línea

media de la célula de estudio, 𝑆𝑖𝑗(𝑥) sería la longitud de la línea media en el tramo compartido entre las células

𝑖 y 𝑗 y Ωi es el área encerrada por la línea media del laminado de la célula 𝑖:

𝑞𝑡𝑖(𝑥)∫1


𝑆𝑖(𝑥)

−∑(𝑞𝑡𝑖(𝑥)∫1


𝑆𝑖𝑗(𝑥)

)

𝑗≠𝑖

− 2𝜃Ω𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1,2, …𝑛 (3–56)

Obtenemos de este modo un sistema de 𝑛 ecuaciones con 𝑛 + 1 incógnitas 𝑞𝑡𝑖(𝑥) y 𝜃. La última ecuación surge

de aplicar la propiedad de que, como el flujo de tensiones de la expresión anterior se corresponde sólo a los

generados por el momento torsor, la resultante de estas tensiones en toda la sección debe de ser nulo y el

momento resultante debe ser igual al torsor aplicado:

𝑟𝐺 𝑦(𝑠), 𝑧(𝑠)

𝐴(𝑠)

𝑦(0), 𝑧(0)

𝑠 = 0

𝑠


Material Compuesto.

41

𝑀𝑥 =∑(∫ 𝑞𝑡𝑖(𝑥)𝑟𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑆𝑖(𝑥)

)

𝑖

=∑(𝑞𝑡𝑖(𝑥)∫ 𝑟𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑆𝑖(𝑥)

)

𝑖

= 2∑Ωi𝑞𝑡𝑖(𝑥)

𝑖

(3–57)

Incluyendo esta última ecuación al sistema de ecuaciones obtenemos un sistema de de 𝑛 ecuaciones con 𝑛

incógnitas que nos permite el cálculo del flujo de tensiones tangenciales debidas al torsor externo.

3.2.6.2. Aporte del torsor inducido generado por los cortantes.

Por último, tal y como hemos comentado anteriormente, el hecho de que el sistema se reduzca en el centro

elástico de la sección y no en el centro de esfuerzos cortantes da lugar a que debamos añadir el efecto del torsor

inducido por los esfuerzos cortantes.

El flujo de tensiones debidos a este torsor inducido se calcula obteniendo la resultante torsional de la distribución

de tensiones tangenciales de la sección (incluyendo términos como abierto y como cerrado).


(3–58)

Donde 𝑟⊥(𝑥, 𝑠) es la distancia entre el centro elástico de la sección y la recta tangente al elemento diferencial de

la sección de coordenada 𝑠.

Esta resultante sería el torsor inducido generado por los esfuerzos cortantes y su distribución de tensiones

tangenciales inducidas puede obtenerse de igual manera a la expuesta en el apartado anterior (una vez obtenida

la resultante puede tratarse como si de un momento torsor externo se tratara). Incluyendolo en el sistema obtenido

en el apartado anterior:



𝑆𝑖(𝑥)

−∑(𝑞𝑡𝑖(𝑥)∫1


𝑆𝑖𝑗(𝑥)

)

𝑗≠𝑖

− 2𝜃Ω𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1,2,… 𝑛

𝑀𝑥 +𝑀𝑖𝑛𝑑 = 2∑Ωi𝑞𝑡𝑖(𝑥)

𝑖

(3–59)

3.2.7. Efectos del acoplamiento axil en el alabeo de la sección.

El cajón de torsión de ala de estudio se trata de un elemento fabricado en material compuesto. Esto da lugar a

que, en función de las propiedades del apilado, puedan darse lugar todo tipo de acoplamientos entre diferentes

efectos.

En particular, en todo el pasado desarrollo previo, se ha obviado el posible acoplamiento que surge entre

deformaciones tangenciales de la sección y el efecto que produce en ellas el momento axil.

Es decir, según el tipo de apilado, el esfuerzo axil aplicado sobre la sección puede dar lugar a añadir un

componente al alabeo de esta; componente que no tenemos en cuenta a la hora de forzar la continuidad en un

perfil cerrado.

De esta manera, si queremos tener en cuenta este acoplamiento, debemos de añadir un término extra a la

descripción del alabeo de la sección que incluya los efectos debidos al axil:


0

= ∫ [𝑎33]−1 𝑁𝑥𝑠 𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

+∫ [𝑎31]−1𝑁𝑥 𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

= 0 (3–60)

El primero de los términos de la expresión anterior es el que ya se ha incluido en el desarrollo anterior y que

modela las deformaciones tangenciales debidas a las tensiones tangenciales que sufre el sólido. El término

[𝑎33]−1 de la matriz de comportamiento no es más, por tanto, que el módulo de cortadura equivalente del

material.


42

∫ [𝑎33]−1 𝑁𝑥𝑠 𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

= ∫𝜎𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)

𝐺𝑥𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

= ∫𝑞(𝑥, 𝑠)


𝑆(𝑥)

0

= ∫𝑞𝑎(𝑥, 𝑠) + 𝑞𝑐(𝑥)


𝑆(𝑥)

0

(3–61)

El segundo término, sin embargo, es el añadido debido al acoplamiento. El término [𝑎31]−1 de la matriz de

comportamiento indica las deformaciones tangenciales que sufre la sección por unidad de axil aplicado. Esta

propiedad debe de obtenerse también a través de la teoría de laminado, de igual manera que la obtención del

módulo de elasticidad y cortadura equivalentes.

∫ [𝑎31]−1𝑁𝑥 𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

= ∫𝑁𝑥

ℎ𝑥𝑠(𝑠)𝑒(𝑠) 𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

(3–62)

Por tanto, añadiendo este nuevo término a nuestro desarrollo obtenemos que el cálculo de flujo de tensiones

tangenciales como sección abierta no varía, pero sí el cálculo del flujo como sección cerrada:

Rescatando la expresión del alabeo de una sección cerrada de longitud de línea media 𝑆(𝑥), ecuación (3-48), e

introduciendo las expresiones anteriores, ecuaciones (3-61) y (3-62):


0

= ∫𝑞𝑎(𝑥, 𝑠) + 𝑞𝑐(𝑥)


𝑆(𝑥)

0

+∫𝑁𝑥


𝑆(𝑥)

0

= 0 (3–63)

𝑞𝑐(𝑥)∫1


𝑆(𝑥)

0

= −∫𝑞𝑎(𝑥, 𝑠)


𝑆(𝑥)

0

−∫𝑁𝑥


𝑆(𝑥)

0

(3–64)

La expresión anterior, que surge de forzar el alabeo de la sección nulo, nos permitiría el cálculo del flujo de

tensiones tangenciales como perfil cerrado en el caso de que la sección estuviera compuesta únicamente de una

célula cerrada.

Para el caso de un perfil con varias células, como ya se realizó en el desarrollo previo, en cada una de ellas habría

que garantizar la condición de alabeo nulo y generar flujos como cerrado para cada una de estas células.

Definiendo un flujo como cerrado 𝑞𝑐𝑖(𝑥) para cada célula, obtendríamos el siguiente sistema de ecuaciones

donde 𝑛 es el número de celdas, 𝑆𝑖(𝑥) es la longitud de la línea media de la célula de estudio y 𝑆𝑖𝑗(𝑥) sería la

longitud de la línea media en el tramo compartido entre las células 𝑖 y 𝑗.

𝑞𝑐𝑖(𝑥)∫1


𝑆𝑖(𝑥)

−∑(𝑞𝑐𝑗(𝑥)∫1


𝑆𝑖𝑗(𝑥)

)

𝑗≠𝑖

= −∫𝑞𝑎𝑖(𝑥, 𝑠)


𝑆𝑖(𝑥)

− ∫𝑁𝑥

ℎ𝑥𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒(𝑠) 𝑑𝑠

𝑆𝑖(𝑥)

∀𝑖 = 1,2, … 𝑛

(3–65)

Este sistema de 𝑛 ecuaciones con 𝑛 incógnitas 𝑞𝑐𝑖(𝑥) difiere del planteado anteriormente en que incluye un

término del efecto de acomplamiento axil. Este término actúa en todas las ecuaciones como un término

independiente, junto con la integral del flujo como abierto de la célula.

Por tanto, el cálculo de los nuevos flujos como cerrado de las células, que incluyen los efectos del acoplamiento

axil en alabeo, se puede seguir calculando de igual manera al caso que desprecia este acoplamiento, resolviendo

el sistema de ecuaciones planteado en la última expresión.

Por otro lado, este acoplamiento no sólo se apreciaría en el cálculo de las tensiones debidas a esfuerzos cortantes,

este acoplamiento también afectaría al flujo de tensiones debido al torsor.

Partiendo del desarrollo de la expresión del desplazamiento de los puntos en dirección perpendicular a la sección,

ecuación (3-54), y evaluando esta expresión en el punto “𝑠 = 𝑆(𝑥)” imponemos la condición de continuidad en

alabeo de la sección de perfil cerrado:


Material Compuesto.

43

∫ 𝛾𝑥𝑠(𝑥, 𝑠′)𝑑𝑠′𝑆(𝑥)

0

− 𝜃∫ 𝑟𝑔(𝑠′)𝑑𝑠′

𝑆(𝑥)

0

= 0 (3–66)

Incluyendo ahora en esta expresión el efecto sobre el alabeo de las tensiones tangenciales y el término del

acoplamiento axil en alabeo, ecuaciones (3-60), (3-61) y (3-62), obtenemos las siguientes expresiones en función

de las tensiones tangenciales o del flujo de tensiones tangenciales.


𝐺𝑥𝑠(𝑥, 𝑠)𝑑𝑠

𝑆(𝑥)

0

+∫𝑁𝑥


𝑆(𝑥)

0

− 2𝜃Ω = 0 (3–67)

∫𝑞𝑡(𝑥)


𝑆(𝑥)

0

+∫𝑁𝑥


𝑆(𝑥)

0

− 2𝜃Ω = 0 (3–68)

De igual manera que en el caso anterior, para una sección multicelular definimos un flujo de tensiones

tangenciales debidos al torsor 𝑞𝑡𝑖(𝑥) para cada una de las células y formamos el sistema de ecuaciones análogo,

donde 𝑛 es el número de celdas, 𝑆𝑖(𝑥) es la longitud de la línea media de la célula de estudio, 𝑆𝑖𝑗(𝑥) sería la

longitud de la línea media en el tramo compartido entre las células 𝑖 y 𝑗 y Ωi es el área encerrada por la línea

media del laminado de la célula 𝑖:



𝑆𝑖(𝑥)

−∑(𝑞𝑡𝑖(𝑥)∫1


𝑆𝑖𝑗(𝑥)

)

𝑗≠𝑖

= 2𝜃Ω𝑖 −∫𝑁𝑥


𝑆(𝑥)

0

,

∀𝑖 = 1,2, …𝑛

(3–69)

Obtenemos, al igual que en el caso sin acoplamiento axil, un sistema de 𝑛 ecuaciones con 𝑛 + 1 incógnitas

𝑞𝑡𝑖(𝑥) y 𝜃. En este sistema, el término de acoplamiento actua de nuevo como un término independiente en las

ecuaciones por lo que el flujo de tensiones debidas a torsor puede seguir calculándose de igual manera,

añadiendo la expresión del torsor resultante en función del flujo de tensiones tangenciales para cerrar el sistema.

𝑀𝑥 =∑(∫ 𝑞𝑡𝑖(𝑥)𝑟𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑆𝑖(𝑥)

)

𝑖

=∑(𝑞𝑡𝑖(𝑥)∫ 𝑟𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑆𝑖(𝑥)

)

𝑖

= 2∑Ωi𝑞𝑡𝑖(𝑥)

𝑖

(3–70)

3.2.8. Cálculo de propiedades mediante teoría de laminado.

En los capítulos anteriores se ha realizado el desarrollo teórico para el cálculo del campo de tensiones normales

y tangenciales así como el campo de deformaciones sobre una rebanada de un perfil de pared delgada de varias

células; en función de los esfuerzos a los que se encuentra sometida dicha rebanada, su geometría y las

propiedades del material.

Los esfuerzos vienen dados por la hipótesis de carga a la que se somete el cajón de torsión y la geometría es

conocida. Sin embargo, el componente se encuentra fabricado a partir de laminados de material compuesto, por

lo que se debe de calcular las propiedades del laminado a partir de la propiedades y orientación de las láminas

que lo conforman.

En todo el desarrollo teórico anterior, las propiedades del material se han definido a través de su módulo de

elasticidad y módulo de cortadura equivalentes del laminado, por lo que será necesario la obtención de estas

propiedades para cada uno de los tipos de laminado que podamos encontrar en el cajón de torsión. El objetivo

de esta sección será la de sentar el desarrollo teórico para la obtención de estas propiedades a partir de las

propiedades de las láminas y el apilado del laminado.


44

Figura 3-7. Representación simbólica de un laminado de material compuesto.

La ley de comportamiento de una lámina puede expresarse a partir de la ley de comportamiento de un material

ortótropo en condiciones de tensión plana. En direcciones principales del material (por convención dirección

“1” paralela a la fibra y dirección “2” trasversal a esta):

𝜎12 = [𝑄]𝜖12, (

𝜎11𝜎22𝜎12) = (

𝑄11 𝑄12 0𝑄21 𝑄22 00 0 𝑄33

)(

𝜖11𝜖22𝛾12) (3–71)

𝑄11 =𝐸11

1 − 𝜈12𝜈21, 𝑄22 =

𝐸221 − 𝜈12𝜈21

, 𝑄33 = 𝐺12

𝑄12 = 𝑄21 =𝜈12𝐸22

1 − 𝜈12𝜈21=

𝜈21𝐸111 − 𝜈12𝜈21

(3–72)

Las propiedades de la lámina quedan definidas entonces por los siguientes 5 parámetros: 𝐸11 y 𝐸22, Módulos

de Young en dirección de la fibra y en dirección transversal; 𝜈12 y 𝜈21, coeficientes de Poisson para ambas

direcciones anteriores (𝜈𝑖𝑗 se define como el acortamiento unitario en dirección “j” que sufre el material por

alargamiento unitario en dirección “i”); y 𝐺12, Módulo de cortadura del material.

Estas cinco propiedades no son independientes, tal y como se muestra en las ecuaciones anteriores la matriz de

comportamiento es simétrica:

𝜈21 = 𝜈12𝐸22𝐸11

(3–73)

Generando entonces la matriz de comportamiento de la lámina en direcciones principales:

𝑄 = (𝑄11 𝑄12 0𝑄21 𝑄22 00 0 𝑄33

) =

(

𝐸111 − 𝜈12𝜈21

𝜈12𝐸221 − 𝜈12𝜈21

0

𝜈21𝐸111 − 𝜈12𝜈21

𝐸221 − 𝜈12𝜈21

0

0 0 𝐺12)

= 𝑓(𝐸11, 𝐸22, 𝐺12, 𝜈12, 𝜈21) (3–74)

Sin embargo, el laminado completo formado por el apilamiento de láminas con diferentes orientaciones tendrá

sus propios ejes de referencia que no coincidirán generalmente con los ejes principales de cada lámina por lo

que, antes de poder utilizar la ley de comportamiento de la lámina debemos rotar ésta a ejes de referencia del

láminado usando una matriz de giro en la dirección de la tensión plana (dirección del apilamiento de láminas):

(

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑥𝑦) = (

cos2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 −2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛2𝜃 cos2 𝜃 2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 cos2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃

)(

𝜎11𝜎22𝜎12) , 𝜎𝑥𝑦 = [𝑇]−1𝜎12 (3–75)


Material Compuesto.

45

(

𝜖𝑥𝜖𝑦

𝜖𝑥𝑦 = 𝛾𝑥𝑦 2⁄) = (

cos2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 −2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛2𝜃 cos2 𝜃 2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 cos2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃

)(

𝜖11𝜖22

𝜖12 = 𝛾12 2⁄) , 𝜖∗𝑥𝑦 = [𝑇]−1𝜖∗12

(3–76)

Incluyendo estas expresiones en la ley de comportamiento del material obtenemos la matriz de comportamiento

de la lámina en ejes cualesquiera (ejes de referencia del laminado):

𝜎𝑥𝑦 = [�̅�]𝜖𝑥𝑦, [�̅�] = [𝑇]−1[𝑄][𝑇] (3–77)

𝑄11̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑄11 cos4 𝜃 + 2(𝑄12 + 2𝑄66) sin

2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄22 sin4 𝜃

𝑄12̅̅ ̅̅ ̅ = (𝑄11 + 𝑄22 − 4𝑄66) sin2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄12(sin

4 𝜃 + cos4 𝜃)

𝑄22̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑄11 sin4 𝜃 + 2(𝑄12 + 2𝑄66) sin

2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄22 cos4 𝜃

𝑄13̅̅ ̅̅ ̅ = (𝑄11 + 𝑄22 − 2𝑄66)sin𝜃 cos3 𝜃 + (𝑄12 − 𝑄22 + 2𝑄66) sin

3 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑄23̅̅ ̅̅ ̅ = (𝑄11 − 𝑄12 − 2𝑄66) sin3 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 + (𝑄12 −𝑄22 + 2𝑄66)𝑠𝑖𝑛𝜃 cos

3 𝜃

𝑄33̅̅ ̅̅ ̅ = (𝑄11 + 𝑄22 − 2𝑄12 − 2𝑄66) sin2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄66(sin

4 𝜃 + cos4 𝜃)

(3–78)

Una vez definidas las matrices de comportamiento de todas las láminas del apilado y convertidas a unos mismos

ejes de referencia, se obtiene la matriz de comportamiento del apilado completo.

Para ello, aplicamos las hipótesis de Kirchhoff para el estudio de láminas, que implica que las deformaciones

normales y tangenciales en dirección perpendicular a la lámina, dirección “z”, son nulas:

𝜖𝑧𝑧 = 0, 𝛾𝑥𝑧 = 𝛾𝑦𝑧 = 0, (3–79)

Esto implica que el espesor en dirección “z” no varía con la acción de las cargas y que líneas rectas de material

perpendiculares a la línea media (según dirección “z”) permanecen rectas tras la acción de las cargas.

Esto nos permite expresar el campo de desplazamientos de cualquier punto de la lámina

𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑢𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) en función de los desplazamientos de la línea media,

𝑢𝑥𝑜(𝑥, 𝑦), 𝑢𝑦

𝑜(𝑥, 𝑦), 𝑢𝑧𝑜(𝑥, 𝑦).

𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢𝑥𝑜(𝑥, 𝑦) − 𝑧 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛽 ≅ 𝑢𝑥

𝑜(𝑥, 𝑦) − 𝑧𝛽𝑢𝑥𝑜(𝑥, 𝑦) = 𝑢𝑥

𝑜 − 𝑧𝛿𝑢𝑧

𝑜

𝛿𝑥

𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢𝑦𝑜(𝑥, 𝑦) − 𝑧 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ≅ 𝑢𝑦

𝑜(𝑥, 𝑦) − 𝑧𝛼 = 𝑢𝑦𝑜 − 𝑧

𝛿𝑢𝑧𝑜

𝛿𝑦

𝑢𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≅ 𝑢𝑧𝑜(𝑥, 𝑦)

(3–80)

Calculando el campo de deformaciones:

𝜖𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝛿𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝛿𝑥=𝛿𝑢𝑥

𝑜(𝑥, 𝑦)

𝛿𝑥− 𝑧

𝛿2𝑢𝑧𝑜

𝛿𝑥2

𝜖𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝛿𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝛿𝑦=𝛿𝑢𝑦

𝑜(𝑥, 𝑦)

𝛿𝑦− 𝑧

𝛿2𝑢𝑧𝑜

𝛿𝑦2

𝛾𝑥𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝛿𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝛿𝑦+𝛿𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝛿𝑥=𝛿𝑢𝑥

𝑜(𝑥, 𝑦)

𝛿𝑦+𝛿𝑢𝑦

𝑜(𝑥, 𝑦)

𝛿𝑥− 2𝑧

𝛿2𝑢𝑧𝑜

𝛿𝑥𝛿𝑦

(3–81)

Expresando las tres relaciones anteriores de forma matricial y definiendo las deformaciones de la línea media y

las curvaturas de la línea media, obtenemos la ley de comportamiento para una lámina dentro del laminado.


46

𝜖𝑥𝑜(𝑥, 𝑦) =

𝛿𝑢𝑥𝑜(𝑥, 𝑦)

𝛿𝑥, 𝑘𝑥

𝑜 = −𝛿2𝑢𝑧

𝑜

𝛿𝑥2

𝜖𝑦𝑜(𝑥, 𝑦) =

𝛿𝑢𝑦𝑜(𝑥, 𝑦)

𝛿𝑦, 𝑘𝑦

𝑜 = −𝛿2𝑢𝑧

𝑜

𝛿𝑦2

𝛾𝑥𝑦𝑜 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝛿𝑢𝑥𝑜(𝑥, 𝑦)

𝛿𝑦+𝛿𝑢𝑦

𝑜(𝑥, 𝑦)

𝛿𝑥, 𝑘𝑥𝑦

𝑜 = −2𝛿2𝑢𝑧

𝑜

𝛿𝑥𝛿𝑦

(3–82)

𝜎𝑥𝑦 = [�̅�](𝜖𝑜𝑥𝑦+ 𝑧𝑘𝑜

𝑥𝑦), (

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑥𝑦) = [�̅�] [(

𝜖𝑥𝑜

𝜖𝑦𝑜

𝛾𝑥𝑦𝑜)+ 𝑧(

𝑘𝑥𝑜

𝑘𝑦𝑜

𝑘𝑥𝑦𝑜)] (3–83)

Esta ecuación anterior sería aplicable para cada una de las láminas que forman el laminado, si incluimos la matriz

de comportamiento [�̅�] de la lámina convertida a ejes de referencia del laminado.

Integrando a lo largo del espesor las tensiones de la expresión anterior podemos obtener la relación entre los

esfuerzos de la lámina y las deformaciones en la línea media.

(

𝑁𝑥𝑁𝑦𝑁𝑥𝑦

) = ∫ (

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑥𝑦)𝑑𝑧

𝑒

= [�̅�] [∫ (

𝜖𝑥𝑜

𝜖𝑦𝑜

𝛾𝑥𝑦𝑜)𝑑𝑧

𝑒

+∫ (

𝑘𝑥𝑜

𝑘𝑦𝑜

𝑘𝑥𝑦𝑜)𝑧𝑑𝑧

𝑒

] (3–84)

(

𝑀𝑥𝑀𝑦𝑀𝑥𝑦

) = ∫ (

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑥𝑦)𝑧𝑑𝑧

𝑒

= [�̅�] [∫ (

𝜖𝑥𝑜

𝜖𝑦𝑜

𝛾𝑥𝑦𝑜)𝑧𝑑𝑧

𝑒

+∫ (

𝑘𝑥𝑜

𝑘𝑦𝑜

𝑘𝑥𝑦𝑜)𝑧2𝑑𝑧

𝑒

] (3–85)

Reagrupando los términos:

(

𝑁𝑥𝑁𝑦𝑁𝑥𝑦

) = (𝐴11 𝐴12 𝐴13𝐴21 𝐴22 𝐴23𝐴31 𝐴32 𝐴33

)(

𝜖𝑥𝑜

𝜖𝑦𝑜

𝛾𝑥𝑦𝑜)+ (

𝐵11 𝐵12 𝐵13𝐵21 𝐵22 𝐵23𝐵31 𝐵32 𝐵33

)(

𝑘𝑥𝑜

𝑘𝑦𝑜

𝑘𝑥𝑦𝑜) (3–86)

(

𝑀𝑥𝑀𝑦𝑀𝑥𝑦

) = (𝐵11 𝐵12 𝐵13𝐵21 𝐵22 𝐵23𝐵31 𝐵32 𝐵33

)(

𝜖𝑥𝑜

𝜖𝑦𝑜

𝛾𝑥𝑦𝑜) + (

𝐷11 𝐷12 𝐷13𝐷21 𝐷22 𝐷23𝐷31 𝐷32 𝐷33

)(

𝑘𝑥𝑜

𝑘𝑦𝑜

𝑘𝑥𝑦𝑜) (3–87)

Donde cada uno de estos términos de las matrices anteriores puede obtenerse a través de la integración a lo largo

del espesor de los componentes de la matriz de comportamiento de la lámina dentro del laminado. Estas

expresiones incluyen también los efectos de la posición relativa de las láminas respecto a la línea media del

laminado.

Como finalmente estamos estudiando un laminado de material compuesto formado tras apilar un número de

láminas, los componentes de las matrices anteriores pueden obtenerse como el sumatorio de las integrales

aplicadas en cada una de las láminas que conforman el laminado en función de las matrices de comportamiento

de cada una de las láminas, 𝑄𝑖𝑗̅̅ ̅̅ |𝑘 .

𝐴𝑖𝑗 = ∫ 𝑄𝑖𝑗̅̅ ̅̅ 𝑑𝑧𝑒

=∑∫ 𝑄𝑖𝑗̅̅ ̅|

𝑘

𝑑𝑧

𝑧𝑘

𝑧𝑘−1𝑘

=∑𝑄𝑖𝑗̅̅ ̅|

𝑘

(𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1)

𝑘

(3–88)


Material Compuesto.

47

𝐵𝑖𝑗 = ∫ 𝑄𝑖𝑗̅̅ ̅̅ 𝑧𝑑𝑧𝑒

=∑∫ 𝑄𝑖𝑗̅̅ ̅|

𝑘

𝑧𝑑𝑧

𝑧𝑘

𝑧𝑘−1𝑘

=1

2∑𝑄

𝑖𝑗̅̅ ̅|

𝑘

(𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1)2

𝑘

(3–89)

𝐷𝑖𝑗 = ∫ 𝑄𝑖𝑗̅̅ ̅̅ 𝑧2𝑑𝑧

𝑒

=∑∫ 𝑄𝑖𝑗̅̅ ̅|

𝑘

𝑧2𝑑𝑧

𝑧𝑘

𝑧𝑘−1𝑘

=1

3∑𝑄

𝑖𝑗̅̅ ̅|

𝑘

(𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1)3

𝑘

(3–90)

En el desarrollo anterior, para garantizar ecuaciones de compatibilidad debemos realizar la hipótesis de que no

se producen desplazamientos relativos entre láminas, es decir, la adhesión entre láminas es perfecta.

Por último, una vez obtenida la relación entre los esfuerzos que sufre el laminado y las deformaciones en la línea

media del laminado, definimos finalmente un Módulo de Young y Módulo de Cortadura equivalentes del

laminado completo. Realizando la inversa a la matriz completa:

(𝑁𝑀)6𝑥1

= ([𝐴] [𝐵][𝐵] [𝐷]

)6𝑥6

(𝜖𝑘)6𝑥1, (

𝑁𝑀) = [𝐶] (𝜖

𝑘), (

𝜖𝑘) = [𝐶]−1 (

𝑁𝑀) (3–91)

Tomando el eje “x” como la dirección representativa, el Módulo de Young equivalente de todo el laminado se

obtendría realizando el ensayo análogo a un ensayo de tracción sobre el laminado. En este caso, tendríamos sólo

una solicitación axil 𝑁𝑥y el resto de esfuerzos serían nulos. La deformación que sufre este laminado según esta

misma dirección sería:

𝜖𝑥𝑜 = (𝐶−1)11𝑁𝑥 (3–92)

A pesar de que las tensiones variarán a lo largo del espesor del laminado, como el esfuerzo axil se obtiene

integrando las tensiones a lo largo del espesor, 𝑒 , si tomamos el valor medio de las tensiones 𝜎𝑥𝑚:

𝑁𝑥 = 𝑒𝜎𝑥𝑚, 𝜖𝑥

𝑜 = (𝐶−1)11𝑒𝜎𝑥𝑚 (3–93)

𝐸𝑒𝑞 =𝜎𝑥𝑚

𝜖𝑥𝑜 =

1

(𝐶−1)11𝑒 (3–94)

Realizando el mismo desarrollo anterior, podemos obtener el módulo de cortadura equivalente del laminado

completo, como la respuesta en deformaciones tangenciales, 𝛾𝑥𝑦𝑜 , que sufre el laminado solicitado sólo a esfuerzo

axil tangencial, 𝑁𝑥𝑦:

𝛾𝑥𝑦𝑜 = (𝐶−1)33𝑁𝑥𝑦 (3–95)

𝑁𝑥𝑦 = 𝑒𝜎𝑥𝑦𝑚 , 𝛾𝑥𝑦

𝑜 = (𝐶−1)33𝑒𝜎𝑥𝑦𝑚 (3–96)

𝐺𝑒𝑞 =𝜎𝑥𝑦𝑚

𝛾𝑥𝑦𝑜 =

1

(𝐶−1)33𝑒 (3–97)

Por último, de forma análoga a los dos anteriores, se puede obtener el término de acoplamiento del esfuerzo axil

en alabeo, ℎ𝑒𝑞 , como la respuesta en deformaciones tangenciales del laminado, 𝛾𝑥𝑦𝑜 , cuando el laminado se

encuentra sujeto únicamente a un esfuerzo axil puro, 𝑁𝑥:

𝛾𝑥𝑦𝑜 = (𝐶−1)31𝑁𝑥 (3–98)

𝑁𝑥 = 𝑒𝜎𝑥𝑚, 𝛾𝑥𝑦

𝑜 = (𝐶−1)31𝑒𝜎𝑥𝑚 (3–99)


48

ℎ𝑒𝑞 =𝜎𝑥𝑚

𝛾𝑥𝑦𝑜 =

1

(𝐶−1)31𝑒 (3–100)

3.3. Aplicación del modelo teórico al cajón de torsión.

Tras el desarrollo de un modelo a través de la Teoría de Resistencia de Materiales para el cálculo de tensiones

normales y tangenciales en una barra de sección de pared delgada multicelular fabricada a partir de laminados

de material compuesto, se establece a continuación los pasos para la aplicación del presente modelo al cajón de

torsión del ala de estudio.

Para el estudio de las tensiones en el cajón de torsión, se define un número de secciones para para la evaluación

de resultados, enumeradas desde el encastre hacia la punta del ala. Todas y cada una de estas secciones presentan

una geometría muy parecida, formada por cuatro células cerradas.

Figura 3-8. Sección multicelular típica del cajón de torsión

Estas células están formadas por los siguientes componentes: se delimitan por el revestimiento superior y

revestimiento inferior en dirección vertical y divididas por cinco largueros que se prolongan en dirección hacia

la punta del ala: larguero anterior (RS, rear spar), intermedio anterior (IRS, intermediate rear spar), intermedio

central (ICS, intermediate central spar), intermedio anterior (IFS, intermediate forward spar) y larguero anterior

(FS, forward spar).

Cada una de estas secciones se estudiarán de forma independiente, calculando las tensiones normales y flujo de

tensiones tangenciales en cada uno de sus puntos en función de los esfuerzos aplicados en ella.

Tal y como hemos comentado, dentro de una misma sección, el material pertenece a diferentes componentes

estructurales (revestimientos, largueros, etc.), todos ellos diseñados en laminados de material compuesto, pero

cuyo número de láminas, orientación y disposición de éstas varían no sólo de un componente a otro, sino que

también entre diferentes zonas de un mismo componente.

El cálculo de tensiones en estas secciones se realizará por métodos numéricos, definiendo una serie de puntos o

nodos a lo largo de la línea media del espesor de la sección. Estos nodos a su vez definen elementos formados

por el material de la barra que se encuentra delimitado por dos nodos. Es decir, toda la sección del componente

podrá formarse a través de la unión de diferentes elementos acotados por nodos en sus extremos.

La hipótesis principal que se realiza para el cálculo de tensiones en las diferentes secciones por medio de métodos

numéricos es que las propiedades del material serán constantes dentro de un mismo elemento delimitado por

dos nodos. Es decir, consideraremos que a lo largo de un elemento no varía el espesor, orientación de las fibras

y apilado de las láminas. Se utilizará, a su vez, el Módulo de Elasticidad y Módulo de Cortadura equivalentes

para el laminado.

Tenemos, por tanto, que las propiedades y capacidad resistente del material cambiará según los diferentes


Material Compuesto.

49

elementos definidos en la sección, pero permanecerán constantes dentro de éstos.

Esta aproximación realizada no tiene porqué mermar la fiabilidad de los resultados obtenidos por el presente

desarrollo si se aplica un mallado de nodos adaptado a la geometría y material del cajón; estableciendo nodos

más próximos en aquellas zonas que presenten grandes cambios en la geometría o en la constitución del

laminado.

Por tanto, se desarrolla a continuación una descripción de los métodos empleados para el cálculo las propiedades

de los elementos y nodos definidos en el mallado de cada sección, así como la discretización necesaria para

adaptar el desarrollo teórico previamente expuesto para el cálculo de tensiones sobre el cajón de torsión.

3.3.1. Discretización del cajón de torsión para su estudio por Resistencia de Materiales.

El estudio de las tensiones alcanzadas en el cajón de torsión se realizará a través de una discretización del

elemento en diferentes secciones de estudios y de, a su vez, discretización de cada una de estas secciones en

elementos 𝑘𝑖𝑗 delimitados por nodos 𝑛𝑖𝑗.

Figura 3-9. Sección multicelular típica del cajón de torsión

Como ya hemos descrito anteriormente, las diferentes secciones del cajón de torsión presentan geometría de una

sección de pared delgada multicelular (en particular, una sección de pared delgada de cuatro células). Por tanto,

al ser de pared delgada implica que podemos apoyar nuestro estudio sobre la línea media del espesor de los

diferentes laminados que conforman la sección.

Se trata de esta línea media del espesor (para la que hemos definido la coordenada curvilínea 𝑠 que la recorre),

la que se discretizará definiendo una serie de nodos 𝑛𝑖𝑗 a lo largo de ella. La posición de un nodo arbitrario 𝑗

contenido en la sección 𝑖 será descrita, por tanto, como:

𝑛𝑖𝑗 = (𝑥𝑖, 𝑠𝑗) = (𝑥𝑖 , 𝑦(𝑠𝑗), 𝑧(𝑠𝑗)) (3–101)

Una vez definidos los nodos de una sección, quedan definidos a su vez los diferentes elementos 𝑘𝑖𝑗 que

conforman la sección. Estos elementos se definen como el laminado contenido entre dos nodos contiguos.

De esta manera, el elemento 𝑘𝑖𝑗 será definido como el laminado existente entre los nodos 𝑛𝑖𝑗 y 𝑛𝑖,𝑗+1; y que

presenta las siguientes propiedades geométricas:

• Longitud del elemento 𝑘𝑖𝑗:

𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑘𝑖𝑗) = √(𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗)2+ (𝑧𝑗+1 − 𝑧𝑗)

2 (3–102)

𝑘𝑖+1 𝑘𝑖

𝑛𝑖 𝑛𝑖+1 𝑛𝑖+2

𝑛𝑖+4

𝑘𝑖+2 𝑘𝑖+3

𝑛𝑖+3


50

• Espesor del elemento 𝑘𝑖𝑗: constante dentro del elemento (hipótesis de estudio) y obtenido a partir de

la teoría de laminado aplicada al elemento, como suma del espesor de cada una de sus láminas:

𝑒(𝑘𝑖𝑗) =∑𝑒𝑚⌋𝑘𝑖𝑗𝑚

(3–103)

• Área del elemento 𝑘𝑖𝑗:

𝐴(𝑘𝑖𝑗) = 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑘𝑖𝑗) ∗ 𝑒(𝑘𝑖𝑗) (3–104)

• Posición central o centroide de elemento 𝑘𝑖𝑗: este punto es sobre el que se reducirán las diferentes

propiedades del elemento cuando quieran aproximarse como concentradas en un único punto.

𝑧𝑚(𝑘𝑖𝑗) =12⁄ (𝑧𝑗 + 𝑧𝑗+1)

𝑦𝑚(𝑘𝑖𝑗) =12⁄ (𝑦𝑗 + 𝑦𝑗+1)

(3–105)

Figura 3-10. Centroide y longitud de un elemento.

Sin embargo, debido a la geometría especial de la sección, existen cuatro elementos que no se definen de forma

análoga al resto: el elemento de cierre de la sección y las tres espinas de la sección.

• Elemento de cierre: como todas las secciones son secciones cerradas, el último elemento de la sección

será contiguo al primero y estará delimitado por el último y primer nodos definidos en la sección.

Siendo 𝐽 el número total de nodos definidos en la sección, el elemento 𝑘𝑖𝐽 estará delimitado por los

nodos 𝑛𝑖𝐽 y (𝑛𝑖,𝐽+1 ≡ 𝑛𝑖1).

𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑘𝑖𝐽) = √(𝑦1 − 𝑦𝐽)2+ (𝑧1 − 𝑧𝐽)

2 (3–106)

𝑧𝑚(𝑘𝑖𝐽) =12⁄ (𝑧𝐽 + 𝑧1)

𝑦𝑚(𝑘𝑖𝐽) =12⁄ (𝑦𝐽 + 𝑦1)

(3–107)

• Espinas de la sección: llamamos espinas de la sección a los elementos que modelan los largueros

intermedios del cajón de torsión (larguero intermedio posterior, intermedio e intermedio anterior) y

que, por tanto, actúan como elementos de separación entre dos células de la sección.

Estos largueros se modelarán a través únicamente de un elemento por larguero, elementos

𝑛𝑖

𝑛𝑖+1

𝑦𝑚𝑖 , 𝑧𝑚𝑖

𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑘𝑖)


Material Compuesto.

51

𝑘𝑖𝑒1 , 𝑘𝑖𝑒2 , 𝑘𝑖𝑒3, que estarán delimitados por dos nodos, uno sobre el revestimiento superior y otro sobre

el revestimiento inferior, que deben ser previamente definidos en el mallado.

𝑘𝑖𝑒1 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (𝑛𝑖𝑒11𝜖 𝑈𝑆) 𝑦 ( 𝑛𝑖𝑒12𝜖 𝐿𝑆)



(3–108)

𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑘𝑖𝑒1) = √(𝑦𝑖𝑒11 − 𝑦𝑖𝑒12)2+ (𝑧𝑖𝑒11 − 𝑧𝑖𝑒12)

2 (3–109)

𝑧𝑚(𝑘𝑖𝑒1) =12⁄ (𝑧𝑖𝑒11 + 𝑧𝑖𝑒12)

𝑦𝑚(𝑘𝑖𝑒1) =12⁄ (𝑦𝑖𝑒11 + 𝑦𝑖𝑒12)

(3–110)

Una de las condiciones aplicables al discretizado de la sección queda definida en el desarrollo anterior: los puntos

de unión entre los tres largueros y el revestimiento superior/inferior deben de definirse siempre como nodos de

la discretización de la sección. De esta manera, en los puntos de unión entre larguero central y revestimiento

siempre confluirán tres elementos (que comparten nodo), dos elementos del revestimiento y un tercer elemento

de larguero.

Figura 3-11. Elementos de las espinas en una sección.

Debido a que la sección de estudio es una sección cerrada, la definición de los elementos inicial y de cierre, así

como el nodo de inicial y final de sección son completamente arbitrarios y pueden colocarse en cualquier punto,

aunque conviene que este coincida con uno de los puntos de apertura de las células de la sección (para cálculo

de tensiones como sección abierta).

El término espina referido a los diferentes elementos de separación entre células se ha heredado de la primera

aplicación para la que se diseñó la herramienta de cálculo, el cálculo de tensiones en una pala de aerogenerador

descrita en el capítulo 2. Esta pala presentaba un perfil bicelular con un único rigidizador central al que se

denominó espina.

3.3.2. Cálculo de propiedades del elemento y la sección.

Además de las propiedades ya definidas de los elementos, para el posterior cálculo del campo de tensiones del

cajón de torsión es necesario calcular una serie de propiedades de cada uno de los elementos que conforman la

sección (p. ej. la masa y momentos de inercia de primer y segundo orden) así como una serie de propiedades

aplicables a cada una de las secciones.

En primer lugar, se calculan las propiedades necesarias para cada uno de los elementos de la sección. Para el

𝑘𝑖𝑒1 𝑘𝑖𝑒2 𝑘𝑖𝑒3

𝑛𝑖𝑒11

𝑛𝑖𝑒12

𝑛𝑖𝑒21

𝑛𝑖𝑒22

𝑛𝑖𝑒31

𝑛𝑖𝑒32

𝑈𝑆

𝐿𝑆

𝐹𝑆 𝐼𝐹𝑆 𝐼𝑆 𝐼𝑅𝑆 𝑅𝑆


52

cálculo de estas propiedades nos basamos en que cada elemento se encuentra definido como un laminado de

sección rectangular de longitud 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑘𝑖𝑗) y espesor 𝑒(𝑘𝑖𝑗).

• Masa: esta propiedad se calcula a partir de las características geométricas del laminado, conociendo la

longitud del elemento y densidad y espesor de cada una de las láminas que lo conforman:

𝑚(𝑘𝑖𝑗) = 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑘𝑖𝑗) ∗ ∑𝜌𝑚𝑒𝑚⌋𝑘𝑖𝑗𝑚

(3–111)

• Módulo de Elasticidad y Módulo de Cortadura del elemento: como hipótesis de cálculo, estas

propiedades se consideran constantes dentro del elemento e iguales a los módulos de elasticidad y

cortadura equivalentes obtenidos a través de la teoría del laminado.

𝐸𝑥(𝑘𝑖𝑗) = 𝐸𝑒𝑞 =𝜎𝑥𝑚

𝜖𝑥𝑜 =

1

(𝐶−1)11𝑒 (3–112)

𝐺𝑥𝑠(𝑘𝑖𝑗) = 𝐺𝑒𝑞 =𝜎𝑥𝑦𝑚

𝛾𝑥𝑦𝑜 =

1

(𝐶−1)33𝑒 (3–113)

• Momentos de inercia de primer orden:

𝑚𝑧(𝑘𝑖𝑗) = ∫ 𝑦 𝑑𝐴𝑖𝐴𝑖

≅ 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑘𝑖𝑗) ∗ 𝑒(𝑘𝑖𝑗) ∗ 𝑦𝑚(𝑘𝑖𝑗) (3–114)

𝑚𝑦(𝑘𝑖𝑗) = ∫ 𝑧 𝑑𝐴𝑖𝐴𝑖

≅ − 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑘𝑖𝑗) ∗ 𝑒(𝑘𝑖𝑗) ∗ 𝑧𝑚(𝑘𝑖𝑗) (3–115)

• Momentos de inercia de segundo orden: sea ℎ y 𝑏 las dimensiones de la sección rectangular del

elemento 𝑘𝑖𝑗 definido por los elementos 𝑛𝑖𝑗 y 𝑛𝑖,𝑗+1. Sea 𝛼 el ángulo que forma con respecto a la

horizontal. Entonces:

Figura 3-12. Cálculo de momentos de inercia.

ℎ = 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝑘𝑖𝑗), 𝑏 = 𝑒(𝑘𝑖𝑗) (3–116)

ℎ𝑧 = 𝑧(𝑛𝑖,𝑗+1) − 𝑧(𝑛𝑖𝑗)

ℎ𝑦 = 𝑦(𝑛𝑖,𝑗+1) − 𝑦(𝑛𝑖𝑗) (3–117)

𝑠𝑒𝑛 (𝛼(𝑘𝑖𝑗)) = −ℎ𝑧 ℎ⁄

cos (𝛼(𝑘𝑖𝑗)) = ℎ𝑦 ℎ⁄

(3–118)

𝑛𝑖

𝑛𝑖+1

ℎ𝑦

ℎ𝑧

𝛼


Material Compuesto.

53

𝐼𝑧𝑧(𝑘𝑖𝑗) = ∫ 𝑦2 𝑑𝐴𝑖𝐴𝑖

=𝑏ℎ

12(ℎ2 cos2 𝛼 + 𝑏2𝑠𝑒𝑛2𝛼) =

𝑏ℎ

12(ℎ𝑦

2 +𝑏2ℎ𝑧

2

ℎ2)

𝐼𝑦𝑦(𝑘𝑖𝑗) = ∫ 𝑧2 𝑑𝐴𝑖𝐴𝑖

=𝑏ℎ

12(ℎ2 sin2 𝛼 + 𝑏2𝑐𝑜𝑠2𝛼) =

𝑏ℎ

12(ℎ𝑧

2 +𝑏2ℎ𝑦

2

ℎ2)

𝐼𝑦𝑧(𝑘𝑖𝑗) = ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴𝑖𝐴𝑖

=𝑏ℎ

24(𝑏2 − ℎ2) sin(2𝛼) =

𝑏ℎ

12ℎ𝑦ℎ𝑧 (1 −

𝑏2

ℎ2)

(3–119)

• Mínima distancia desde el origen hasta la recta tangente al elemento (que pasa por ambos nodos del

extremo del elemento), 𝑟⊥. Esta propiedad será necesaria para el posterior cálculo del momento torsor

generado por el flujo de tensiones de un elemento.

Sabiendo que la recta debe pasar por ambos nodos del extremo del elemento podemos obtener la

ecuación de esta recta:

𝑚(𝑘𝑖𝑗) =𝑧(𝑛𝑖,𝑗+1) − 𝑧(𝑛𝑖𝑗)

𝑦(𝑛𝑖,𝑗+1) − 𝑦(𝑛𝑖𝑗)

𝑟𝑡𝑎𝑛𝑔 ≡ 𝑧 = 𝑧𝑚(𝑘𝑖𝑗) + 𝑚(𝑘𝑖𝑗) (𝑦 − 𝑦𝑚(𝑘𝑖𝑗))

(3–120)

Obteniendo los puntos de corte de esta recta con los ejes coordenados: 𝑧𝑜, 𝑦𝑜

𝑧 = 𝑧𝑜 (𝑦 = 0)⁄ → 𝑧𝑜 = 𝑧𝑚 −𝑚𝑦𝑚

𝑦 = 𝑦𝑜 (𝑧 = 0)⁄ → 𝑦𝑜 = 𝑦𝑚 −𝑧𝑚

𝑚⁄ (3–121)

Una vez obtenidos los puntos de corte se puede calcular el ángulo que forma la recta tangente al

elemento con el eje de abscisas que coincide con el ángulo que forma la recta perpendicular a 𝑟𝑡𝑎𝑛𝑔que

pasa por el origen de coordenadas, 𝑟⊥:

tg(α) =|zo|

|𝑦𝑜| (3–122)

𝑟⊥ = 𝑦𝑜𝑐𝑜𝑠𝛼 (3–123)

Figura 3-13. Cálculo de momentos de inercia

Una vez calculadas las propiedades necesarias de cada uno de los elementos que discretizan la sección, a

𝑟𝑡𝑎𝑛𝑔

𝑧0

𝑦0

𝑟𝑦𝑧

𝑟⊥

𝛼


54

continuación, se calculan una serie de propiedades propias de la sección completa también necesarias para el

cálculo posterior de tensiones.

• Centro de masas de la sección: se calcula como el centro de gravedad de la distribución de masas

consistente en agrupar toda la masa de cada elemento como una masa puntual en el punto medio

(centroide) de cada elemento.

𝑦𝑐𝑑𝑔𝑖 =∑ (𝑚(𝑘𝑖𝑗)𝑦𝑚(𝑘𝑖𝑗))𝑗

∑ 𝑚(𝑘𝑖𝑗)𝑗

𝑧𝑐𝑑𝑔𝑖 =∑ (𝑚(𝑘𝑖𝑗)𝑧𝑚(𝑘𝑖𝑗))𝑗

∑ 𝑚(𝑘𝑖𝑗)𝑗

(3–124)

• Centro elástico de la sección: punto de la sección donde se reducen los esfuerzos de la sección en

nuestro estudio para así para así poder desacoplar el efecto de los flectores y cortantes en el cálculo de

tensiones del elemento.

(𝑦𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖 , 𝑧𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖) /∫ 𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

= 0; ∫ 𝑦 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

= 0 (3–125)


≅∑𝐸𝑥(𝑘𝑖𝑗)𝑚𝑦(𝑘𝑖𝑗)

𝑗

≡ 𝑦𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖 ∗∑𝐸𝑥(𝑘𝑖𝑗)𝐴(𝑘𝑖𝑗)

𝑗

∫ 𝑦 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

≅∑𝐸𝑥(𝑘𝑖𝑗)𝑚𝑧(𝑘𝑖𝑗)

𝑗

≡ 𝑧𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖 ∗∑𝐸𝑥(𝑘𝑖𝑗)𝐴(𝑘𝑖𝑗)

𝑗

(3–126)

𝑦𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖 =∑ 𝐸𝑥(𝑘𝑖𝑗)𝑚𝑦(𝑘𝑖𝑗)𝑗

∑ 𝐸𝑥(𝑘𝑖𝑗)𝐴(𝑘𝑖𝑗)𝑗

𝑧𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖 =∑ 𝐸𝑥(𝑘𝑖𝑗)𝑚𝑧(𝑘𝑖𝑗)𝑗

∑ 𝐸𝑥(𝑘𝑖𝑗)𝐴(𝑘𝑖𝑗)𝑗

(3–127)

• Área encerrada por la línea media de una célula. Esta área se va a calcular aproximando el área bajo el

elemento 𝑘𝑖𝑗 como el de un rectángulo de altura el punto centroide de éste.

Ω𝑘 ≅ ∑ 𝑧𝑚(𝑘𝑖𝑗) ∗ Δ𝑦(𝑘𝑖𝑗)

𝑗𝜖𝐶𝑘

= ∑ (𝑧(𝑛𝑖,𝑗+1) − 𝑧(𝑛𝑖𝑗)) ∗ (𝑦(𝑛𝑖,𝑗+1) − 𝑦(𝑛𝑖𝑗))

𝑗𝜖𝐶𝑘

(3–128)

3.3.3. Cálculo de tensiones normales en los elementos de la sección.

Una vez calculadas las propiedades de los elementos y de las secciones que conforman la discretización del

cajón de torsión del ala, procedemos a formalizar las ecuaciones del cálculo de tensiones normales previamente

obtenidas.

Partiendo de las ecuaciones (3-31) a (3-33) y transformando las integrales en sumatorios para todos los

elementos de la sección donde en cada uno de ellos las propiedades del material son constantes (y calculadas a

través de la teoría general de laminado):

𝑑𝑢𝑥(𝑥)

𝑑𝑥=

𝑁(𝑥)


→ 𝑑𝑢𝑥𝑑𝑥

=𝑁

∑ 𝐸𝑖𝐴𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1

(3–129)


Material Compuesto.

55

𝑑𝜙𝑦(𝑥)

𝑑𝑥=1

𝑘𝑦𝑧(𝑀𝑦(𝑥)∫ 𝑧2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴

𝐴

−𝑀𝑧(𝑥)∫ 𝑦𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

) →

→ 𝑑𝜙𝑦

𝑑𝑥=1

𝑘𝑦𝑧(𝑀𝑦 ∑ 𝐼𝑦𝑦𝑖𝐸𝑖

𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚

𝑖=1

−𝑀𝑧 ∑ 𝐼𝑦𝑧𝑖𝐸𝑖


𝑖=1

)

(3–130)

𝑑𝜙𝑧(𝑥)

𝑑𝑥=1

𝑘𝑦𝑧(𝑀𝑧(𝑥)∫ 𝑦2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴

𝐴

−𝑀𝑦(𝑥)∫ 𝑦𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

) →

→ 𝑑𝜙𝑧(𝑥)

𝑑𝑥=1

𝑘𝑦𝑧(𝑀𝑧 ∑ 𝐼𝑧𝑧𝑖𝐸𝑖


𝑖=1

−𝑀𝑦 ∑ 𝐼𝑦𝑧𝑖𝐸𝑖


𝑖=1

)

(3–131)

𝑘𝑦𝑧 = (∫ 𝑦2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

) ∗ (∫ 𝑧2 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

) − (∫ 𝑦𝑧 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐴

)

2

→

→ 𝑘𝑦𝑧 = ( ∑ 𝐸𝑖𝐼𝑧𝑧𝑖


𝑖=1

∑ 𝐸𝑖𝐼𝑦𝑦𝑖


𝑖=1

−( ∑ 𝐸𝑖𝐼𝑦𝑧𝑖


𝑖=1

)

2

)

(3–132)

Para la discretización de estas expresiones se han incluido las expresiones de los momentos de inercia de segundo

orden para cada elemento de la sección. Cabe destacar que los momentos de inercia de primer orden no aparecen

en los cálculos debido a que estos términos ya se anularon en el desarrollo teórico previo al reducir la distribución

en el centro elástico de la sección.

[𝐼] = (𝐼𝑦𝑦𝑖 𝐼𝑦𝑧𝑖𝐼𝑦𝑧𝑖 𝐼𝑧𝑧𝑖

) , [𝑀] = (𝑚𝑧𝑖𝑚𝑦𝑖

) = 0 (3–133)

Recapitulando, la expresión para cada uno de los sumandos de las deformaciones normales de los elementos se

obtendría, una vez discretizado el problema, a través de las siguientes expresiones:

𝑑𝑢𝑥𝑑𝑥

=𝑁


(3–134)

𝑑𝜙𝑦

𝑑𝑥=

(𝑀𝑦 ∑ 𝐼𝑦𝑦𝑖𝐸𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1 −𝑀𝑧 ∑ 𝐼𝑦𝑧𝑖𝐸𝑖

𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1 )

(∑ 𝐸𝑖𝐼𝑧𝑧𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1

∑ 𝐸𝑖𝐼𝑦𝑦𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1 − (∑ 𝐸𝑖𝐼𝑦𝑧𝑖


2) (3–135)

𝑑𝜙𝑧𝑑𝑥

=(𝑀𝑧 ∑ 𝐼𝑧𝑧𝑖𝐸𝑖

𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1 −𝑀𝑦 ∑ 𝐼𝑦𝑧𝑖𝐸𝑖



∑ 𝐸𝑖𝐼𝑦𝑦𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1 − (∑ 𝐸𝑖𝐼𝑦𝑧𝑖


2) (3–136)

Por lo tanto, una vez calculado estos tres parámetros podemos obtener las deformaciones y tensiones normales

sobre cada uno de los elementos de la sección:

𝜖𝑥𝑥𝑘 =𝑑𝑢𝑥𝑑𝑥

+𝑑𝜙𝑦

𝑑𝑥 𝑧𝑘 −


𝑦𝑘 (3–137)

𝜎𝑥𝑥𝑘 = 𝐸𝑘𝜖𝑥𝑥𝑘 = 𝐸𝑘 (𝑑𝑢𝑥𝑑𝑥

+𝑑𝜙𝑦

𝑑𝑥 𝑧𝑘 −


𝑦𝑘) (3–138)

Por último, incluyendo las ecuaciones (3-134), (3-135) y (3-136) en estas dos últimas expresiones obtenemos


56

finalmente la expresión para el cálculo de las tensiones normales en los elementos de la sección:

𝜎𝑥𝑥𝑘 = 𝐸𝑘 (𝑁


+(𝑀𝑦 ∑ 𝐼𝑦𝑦𝑖𝐸𝑖

𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1 −𝑀𝑧 ∑ 𝐼𝑦𝑧𝑖𝐸𝑖



∑ 𝐸𝑖𝐼𝑦𝑦𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1

− (∑ 𝐸𝑖𝐼𝑦𝑧𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1 )

2) 𝑧𝑘 −

(𝑀𝑧∑ 𝐼𝑧𝑧𝑖𝐸𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1 −𝑀𝑦 ∑ 𝐼𝑦𝑧𝑖𝐸𝑖





2)𝑦𝑘) (3–139)

Donde:

• 𝑁,𝑀𝑦, 𝑀𝑧 son los esfuerzos axil y flectores actuando sobre la sección.

• 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 son las coordenadas del centroide del elemento de estudio.

• 𝐸𝑖 es el Módulo de Young equivalente del laminado, para cada uno de los elementos.

• 𝐼𝑖𝑗 son los momentos de inercia de segundo orden de los elementos.

• 𝐴𝑖 es el área del elemento.

Para el cálculo del flujo de tensión normal al que está sometido cada elemento, utilizamos la ecuación anterior,

ecuación (3-139), para evaluarla en los 4 extremos de cada uno de los elementos, obteniendo los valores de

tensión normal 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3, 𝜎4. A partir de estos, aproximamos el flujo de tensión como una media de estos

cuatro puntos según la siguiente ecuación:

𝑁𝑥 =(𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 + 𝜎4)𝑒

4 (3–140)

Figura 3-14. Puntos de evaluación de la tensión normal.

3.3.4. Cálculo de tensiones tangenciales debidas a los esfuerzos cortantes.

Para el cálculo de tensiones tangenciales en secciones de pared delgada multicelular debemos discretizar el

método de flujos de tensiones tangenciales previamente descrito.

Se discretiza la ecuación (3-43) para el cálculo del flujo de tensiones tangenciales en un elemento “k” de la

sección. De esta manera, la integral desde el punto que hayamos escogido como referencia (𝑠 = 0) hasta el

elemento de estudio puede reducirse al sumatorio de las integrales dentro de cada elemento. El sumatorio

incluye, pues, todos los elementos desde el elemento elegido como inicial hasta llegar al elemento de estudio.

𝜎4

2

𝑧0

𝑦0

𝜎3

𝜎1

𝜎2

1


Material Compuesto.

57

De esta manera, tanto el espesor como las propiedades del material son constantes dentro de cada integral

(aunque variarán de un elemento a otro).

𝑞𝑎𝑘 = −∑𝑒𝑗∫ [

𝜕𝜎𝑥𝑥𝑗

𝜕𝑥] 𝑑𝑠′

𝑠𝑗

𝑠𝑗−1

𝑘

𝑗=1

(3–141)

Sobre esta última expresión incluimos la expresión de las tensiones normales para un elemento cualquiera “j”,

ecuación (3-139):

𝜎𝑥𝑥𝑗 = 𝐸𝑗 (𝑁








2) 𝑧 −

(𝑀𝑧 ∑ 𝐼𝑧𝑧𝑖𝐸𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1 −𝑀𝑦 ∑ 𝐼𝑦𝑧𝑖𝐸𝑖





2)𝑦) (3–142)

Donde los siguientes elementos son constantes dentro de la sección y no dependen del parámetro “x”. Esto nos

permite acortar la expresión:

𝑘𝑥𝑦 = ( ∑ 𝐸𝑖𝐼𝑧𝑧𝑖


𝑖=1

∑ 𝐸𝑖𝐼𝑦𝑦𝑖


𝑖=1

−( ∑ 𝐸𝑖𝐼𝑦𝑧𝑖


𝑖=1

)

2

) (3–143)

𝐸𝐴 = ∑ 𝐸𝑖𝐴𝑖


𝑖=1

(3–144) (𝐸𝐼)𝑦𝑧 = ∑ 𝐼𝑦𝑧𝑖𝐸𝑖


𝑖=1

(3–145)

(𝐸𝐼)𝑦𝑦 = ∑ 𝐼𝑦𝑦𝑖𝐸𝑖


𝑖=1

(3–146) (𝐸𝐼)𝑧𝑧 = ∑ 𝐼𝑧𝑧𝑖𝐸𝑖


𝑖=1

(3–147)

Incluyendo estas expresiones anteriores en la ecuación (3-141) y ecuación (3-142), obtenemos unas expresiones

en función de los términos constantes por sección:

𝜎𝑥𝑥𝑗 = 𝐸𝑗 (𝑁

𝐸𝐴+𝑀𝑦(𝐸𝐼)𝑦𝑦 −𝑀𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑧

𝑘𝑥𝑦 𝑧 −

𝑀𝑧(𝐸𝐼)𝑧𝑧 −𝑀𝑦(𝐸𝐼)𝑦𝑧

𝑘𝑥𝑦𝑦) (3–148)

𝑞𝑎𝑘 = −∑𝑒𝑗𝐸𝑗∫

𝛿

𝛿𝑥[𝑁

𝐸𝐴+𝑀𝑦(𝐸𝐼)𝑦𝑦 −𝑀𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑧

𝑘𝑥𝑦 𝑧 −

𝑀𝑧(𝐸𝐼)𝑧𝑧 −𝑀𝑦(𝐸𝐼)𝑦𝑧

𝑘𝑥𝑦𝑦] 𝑑𝑠′

𝑠𝑗

𝑠𝑗−1

𝑘

𝑗=1

(3–149)

Separando en términos:

𝑞𝑎𝑘 = −∑𝑒𝑗𝐸𝑗 [

1

𝐸𝐴

𝛿𝑁

𝛿𝑥∫ 𝑑𝑠′𝑠𝑗

𝑠𝑗−1

+

𝛿𝑀𝑦𝛿𝑥

(𝐸𝐼)𝑦𝑦 −𝛿𝑀𝑧𝛿𝑥

(𝐸𝐼)𝑦𝑧

𝑘𝑥𝑦∫ 𝑧(𝑠′) 𝑑𝑠′𝑠𝑗

𝑠𝑗−1

−

𝛿𝑀𝑧𝛿𝑥

(𝐸𝐼)𝑧𝑧 −𝛿𝑀𝑦𝛿𝑥

(𝐸𝐼)𝑦𝑧

𝑘𝑥𝑦∫ 𝑦 (𝑠′)𝑑𝑠′𝑠𝑗

𝑠𝑗−1

]

𝑘

𝑗=1

(3–150)

Por un lado, las integrales que hemos obtenido son la longitud del elemento, 𝑙𝑗 , y los momentos de inercia de

primer orden del elemento:

𝐴𝑗 = 𝑒𝑗𝑙𝑗 = 𝑒𝑗∫ 𝑧(𝑠′) 𝑑𝑠′𝑠𝑗

𝑠𝑗−1

(3–151)

𝑚𝑦𝑗 = ∫ 𝑧(𝑠′)𝑑𝐴′

𝐴𝑗

= ∫ 𝑒𝑗𝑧(𝑠′)𝑑𝑠′

𝑠𝑗

𝑠𝑗−1

(3–152) 𝑚𝑧𝑗 = ∫ 𝑦(𝑠′) 𝑑𝐴′

𝐴𝑗

= ∫ 𝑒𝑗𝑦(𝑠′) 𝑑𝑠′

𝑠𝑗

𝑠𝑗−1

(3–153)


58

Por otro lado, las derivadas de los esfuerzos aplicados sobre la sección pueden obtenerse a través de las

ecuaciones de equilibrio, suponiendo que no hay aplicados, o son despreciables, momentos externos distribuidos

a lo largo del cajón, 𝑔𝑦 e 𝑔𝑧:

𝛿𝑁𝑥𝛿𝑥

+ 𝑃𝑥 = 0

𝛿𝑀𝑦

𝛿𝑥− 𝑉𝑧 + 𝑔𝑦 = 0


+ 𝑉𝑦 + 𝑔𝑧 = 0

(3–154)

𝛿𝑁𝑥𝛿𝑥

= −𝑃𝑥

𝛿𝑀𝑦

𝛿𝑥= 𝑉𝑧


= −𝑉𝑦

(3–155)

Incluyendo estas expresiones en obtenemos finalmente el flujo como sección abierta de un elemento cualquiera,

“k”, de la sección:

𝑞𝑎𝑘 = −[∑(−

𝐸𝑗𝐴𝑗

𝐸𝐴𝑃𝑥)

𝑘

𝑗=1

+𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑦 + 𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑦𝑧

𝑘𝑥𝑦∑𝐸𝑗𝑚𝑦𝑗

𝑘

𝑗=1

+𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑧𝑧 + 𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑧

𝑘𝑥𝑦∑𝐸𝑗𝑚𝑧𝑗

𝑘

𝑗=1

] (3–156)

En el cálculo de tensiones tangenciales suele aplicarse la hipótesis de despreciar el primer término, por considerar

despreciable la acción de la carga externa en dirección “x” aplicada sobre la sección.

De esta manera:

𝑞𝑎𝑘 ≈

−1

𝑘𝑥𝑦[(𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑦 + 𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑦𝑧)∑𝐸𝑗𝑚𝑦𝑗

𝑘

𝑗=1

+ (𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑧𝑧 + 𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑧)∑𝐸𝑗𝑚𝑧𝑗

𝑘

𝑗=1

] (3–157)

Por último, desde el punto de vista computacional, interesa expresar el flujo de tensiones tangenciales como

sección abierta en función del elemento anterior:

𝑞𝑎𝑘 = 𝑞𝑎

𝑘−1 + Δ𝑞𝑘 (3–158)

𝑞𝑎𝑘 =

−1

𝑘𝑥𝑦[(𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑦 + 𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑦𝑧)(∑𝐸𝑗𝑚𝑦𝑗

𝑘−1

𝑗=1

+ 𝐸𝑘𝑚𝑦𝑘) + (𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑧𝑧 + 𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑧)(∑𝐸𝑗𝑚𝑧𝑗

𝑘−1

𝑗=1

+ 𝐸𝑘𝑚𝑧𝑘)] (3–159)

Δ𝑞𝑘 = −[(𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑦 + 𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑦𝑧)𝐸𝑘𝑚𝑦𝑘 + (𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑧𝑧 + 𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑧)𝐸𝑘𝑚𝑧𝑘]

𝑘𝑥𝑦 (3–160)

Por tanto, esta última expresión indicaría la cantidad de flujo de tensiones tangenciales que se crea o desaparece

en cada elemento.

Una vez obtenidas las tensiones tangenciales en cada uno de los elementos de la sección como sección abierta,

completamos el cálculo añadiendo la constante de flujo de tensiones tangenciales como cerrado forzando la

ecuación de continuidad a través de la expresión del alabeo de la sección.

Tal y como hemos comentado, las secciones del cajón de torsión presentan una estructura multicelular, en

particular, las secciones están formadas por 4 células cerradas, por lo que necesitaremos calcular el flujo de

tensiones tangenciales como cerrado en cada una de ellas. Añadimos, por tanto, cuatro incógnitas más al

problema.

Discretizamos la ecuación (3-51), sabiendo que dentro de cada uno de los elementos el módulo de cortadura y

el espesor es constante y siendo 𝐶𝑘 el conjunto de elementos de la sección que pertenecen a la célula “k” de la

sección.


Material Compuesto.

59

∑𝑞𝑎𝑖 𝑙𝑖𝐺𝑖𝑒𝑖

𝑖 𝜖 𝐶𝑘

+ 𝑞𝑐𝑘 ∑

𝑙𝑖𝐺𝑖𝑒𝑖

𝑖 𝜖 𝐶𝑘

−∑(𝑞𝑐𝑗

∑𝑙𝑖𝐺𝑖𝑒𝑖

𝑖 𝜖 (𝐶𝑘&𝐶𝑗)

)

4

𝑗=1𝑗≠𝑘

= 0, 𝑘 = 1,2,3,4. (3–161)

Obtenemos, por tanto, un sistema de cuatro ecuaciones (una ecuación por cada una de las células de la sección

y con cuatro incógnitas, los flujos como cerrado que atraviesan cada una de ellas: 𝑞𝑐1,𝑞𝑐2,𝑞𝑐3 y 𝑞𝑐4. Resolviendo

este sistema obtenemos, al fin, las tensiones tangenciales de cada uno de los elementos de la sección:

𝑞(𝑥, 𝑠) = 𝑞𝑎(𝑥, 𝑠) + 𝑞0(𝑥, 0) → 𝑞𝑘 = 𝑞𝑎

𝑘 + ∑ 𝑞𝑐𝑖

4

𝑖=1𝑘 𝜖 𝐶𝑖

(3–162)

3.3.5. Cálculo de tensiones tangenciales debidas al torsor.

Como ya se comentó anteriormente, el flujo de tensiones tangenciales debidas al torsor está formado por dos

componentes, el flujo de tensiones debidas al torsor externo (aerodinámico) que está actuando sobre la sección

y el flujo de tensiones debidas al torsor inducido por lso esfuerzos cortantes aplicados sobre la sección. Este

último se debe a que el problema está reducido en el centro elástico de la sección y no en el centro de esfuerzos

cortantes.

El proceso a seguir para el cálculo de estos dos componentes consiste en calcular primero el momento torsor

inducido por los esfuerzos cortantes de la sección y, una vez calculado este, sumarlo al torsor externo y calcular

las tensiones tangenciales debidas al momento resultante de ambos.

El flujo de tensiones tangenciales debidas a cortante no debería de generar torsor alguno, el torsor inducido se

calcula entonces como la resultante torsional de esta distribución de flujos de tensiones. Discretizando la

ecuación (3-58), convirtiendo las integrales en sumatorios de cada uno de los elementos, dentro de los cuales las

propiedades de los elementos son constantes:


≈∑(𝑟𝑗⊥𝑙𝑗 (𝑞𝑎

𝑗+∑𝑞𝑐

𝑖

𝑗𝜖𝐶𝑖

))

𝑘

𝑗=1

(3–163)

Donde 𝑟𝑗⊥es la mínima distancia entre el centro elástico de la sección y la recta que une ambos nodos que definen

el elemento 𝑗. Esta distancia se calcula, tal y como se ha desarrollado anteriormente, según las ecuaciones (3-

121), (3-122) y (3-123).

Una vez calculado el momento torsor inducido por los cortantes, cálculamos la distribución de flujos de tensiones

tangenciales según la ecuación (3-59). Discretizando éstas, sabiendo que dentro de cada uno de los elementos el

módulo de cortadura y espesor es constante.

𝑞𝑡𝑖 ∑

𝑙𝑗

𝐺𝑗𝑒𝑗𝑗 𝜖 𝐶𝑖

−∑(𝑞𝑐𝑖 ∑

𝑙𝑘𝐺𝑘𝑒𝑘

𝑘 𝜖 (𝐶𝑘&𝐶𝑖)

)

4

𝑖=1𝑖≠𝑗

= 2𝜃Ω𝑖 , 𝑖 = 1,2,3,4.

𝑀𝑥 +𝑀𝑖𝑛𝑑 = 2∑Ω𝑖𝑞𝑡𝑖𝑖

(3–164)

Donde Ω𝑖 es el área de la célula i encerrada por la línea media de la sección.

Cabe destacar que estas expresiones dan lugar a un sistema de cinco equaciones con cinco incógnitas (los cuatro

flujos debidos a torsión y el parámetro de giro 𝜃). Resolviendo este sistema obtenemos el flujo de tensiones

tangenciales debidas a torsión.


60

3.3.6. Efecto del esfuerzo axil en el alabeo de la sección.

En todas las expresiones anteriores no se ha tenido en cuenta el posible acoplamiento entre tensiones tangenciales

y el esfuerzo axil que sufre la sección. Debido a que el cajón de torsión está fabricado en material compuesto,

dependiendo del laminado, el esfuerzo axil sobre la sección puede dar lugar al alabeo de esta.

Tal y como se ha desarrollado anteriormente, ecuaciones (3-67) a (3-71), este acoplamiento modifica el cálculo

del flujo de tensiones como perfil cerrado y del flujo de tensiones debidas al torsor añadiendo un término

independiente extra a todas las ecuaciones del sistema de ecuaciones resultante.

∫𝑁𝑥


𝑆𝑘(𝑥)

0

(3–165)

A la hora de discretizar este término tenemos que tener en cuenta, que como en el resto del desarrollo, las

propiedades del laminado dentro de un elemento permanecen constantes:

∫𝑁𝑥


𝑆𝑘(𝑥)

0

≡ ∑𝑁𝑥𝑙𝑖

ℎ𝑥𝑠𝑖 𝑒𝑖𝑖𝜖𝐶𝑘

(3–166)

Incluyendo este nuevo término en las expresiones obtenidas para el cálculo del flujo como perfil cerrado debido

a esfuerzos cortantes, ecuación (3-65):

𝑞𝑐𝑘 ∑


𝑖 𝜖 𝐶𝑘

−∑(𝑞𝑐𝑗



)

4

𝑗=1𝑗≠𝑘

= − ∑𝑞𝑎𝑖 𝑙𝑖𝐺𝑖𝑒𝑖

𝑖 𝜖 𝐶𝑘

−∑𝑁𝑥𝑙𝑖


, 𝑘 = 1,2,3,4. (3–167)

Por otro lado, añadiendo este mismo término en la expresión obtenida para el cálculo del flujo de tensiones

tangenciales debidas al torsor, expresión (3-69), y discretizando:

𝑞𝑡𝑖 ∑

𝑙𝑗


−∑(𝑞𝑐𝑖 ∑



)

4

𝑖=1𝑖≠𝑗

= 2𝜃Ω𝑖 −∑𝑁𝑥𝑙𝑗

ℎ𝑥𝑠𝑗𝑒𝑗𝑗𝜖𝐶𝑖

, 𝑖 = 1,2,3,4.


(3–168)

De esta manera, se añade el efecto del acoplamiento entre el esfuerzo axil y las deformaciones tangenciales de

la sección.

3.3.7. Cálculo del campo tensional del cajón de torsión según modelo de Resistencia de Materiales.

Según la discretización y herramientas de cálculo de tensiones descritas en el apartado anterior, el cálculo de las

tensiones en el cajón de torsión se realiza de la siguiente manera.

En primer lugar, la discretización en dirección de la envergadura del ala da lugar a que el cálculo de tensiones

sea independiente para cada una de las secciones.

Para cada sección, se calculan los esfuerzos internos en función de las cargas y solictaciones externas a las que

está sometido el cajón y se define una discretización de la sección por nodos y elementos (apartado 3.3.1). Para

cada uno de estos elementos se calculan las propiedades geométricas y resistentes (apartado 3.3.2) y, con estas,

las propiedades necesarias de la sección en su conjunto.

Con toda esta información, se calcula en primer lugar las tensiones normales en cada uno de los elementos según


Material Compuesto.

61

la ecuación (3-139). Como ya hemos comentado, calculando las tensiones normales de esta manera, obtenemos

un campo de tensiones variable en la sección pero que será constante en cada uno de los elementos.

Con estas tensiones normales, se calcula las tensiones tangenciales como sección abierta en cada uno de los

elementos, ecuación (3-156). Estas tensiones se obtienen como un flujo de tensiones tangenciales donde en cada

uno de los elementos se “crea” o “destruye” parte del flujo en función de los esfuerzos, ecuación (3-159).

Para el cálculo de estas tensiones, es necesario definir un punto de apertura en cada una de las células de la

sección. Tomando este como punto de partida, donde el flujo de tensiones tangenciales es hipotéticamente nulo

(condición de contorno que necesitábamos para completar la información), se calcula secuencialmente el flujo

de tensiones tangenciales para todos los elementos de la célula en función de las propiedades del elemento,

esfuerzos de la sección y flujo en el elemento anterior.

De igual manera, se calculan los flujos como sección abierta del resto de células de la sección. Las tensiones

tangenciales como sección abierta en cada elemento se obtienen como la resultante de los componentes

calculados para cada célula.

Los puntos de apertura de cada célula y sentido de recorrido se muestran en la siguiente imagen.

Figura 3-15. Puntos de apertura de la célula y sentido de recorrido de éstas.

La hipótesis de sección abierta se corrige mediante el sistema de ecuaciones de continuidad en el alabeo de cada

célula, que da lugar a un flujo de tensiones tangenciales como cerrado que es constante para todos los elementos

de la célula, expresión (3-161).

Por último, se calcula el flujo de tensiones tangenciales debidas a los torsores que, de nuevo, da lugar a un flujo

de tensiones tangenciales constantes para cada una de las células de la sección, expresión (3-164).

La resultante de las tensiones tangenciales en cada elemento se obtiene de sumar todos los componentes

anteriores.

Resumiendo, las expresiones necesarias para este cálculo para el caso en el que se desprecia el acomplamiento


62

axil en el alabeo de la sección se muestran a continuación:

• Cálculo de tensiones normales en cada elemento:

𝜎𝑥𝑥𝑘 = 𝐸𝑘 (𝑁








2) 𝑧𝑘 −

(𝑀𝑧∑ 𝐼𝑧𝑧𝑖𝐸𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑚𝑖=1 −𝑀𝑦 ∑ 𝐼𝑦𝑧𝑖𝐸𝑖





2)𝑦𝑘) (3–169)

• Cálculo del flujo de tensiones tangenciales como sección abierta en cada elemento:

𝑞𝑎𝑘 ≈

−1

𝑘𝑥𝑦[(𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑦 + 𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑦𝑧)∑𝐸𝑗𝑚𝑦𝑗

𝑘

𝑗=1

+ (𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑧𝑧 + 𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑧)∑𝐸𝑗𝑚𝑧𝑗

𝑘

𝑗=1

] (3–170)

• Cálculo del flujo de tensiones tangenicales como sección abierta que se “crea” o “destruye” en cada

elemento.

Δ𝑞𝑘 = −[(𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑦 + 𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑦𝑧)𝐸𝑘𝑚𝑦𝑘 + (𝑉𝑦(𝐸𝐼)𝑧𝑧 + 𝑉𝑧(𝐸𝐼)𝑦𝑧)𝐸𝑘𝑚𝑧𝑘]

𝑘𝑥𝑦 (3–171)

• Sistema de ecuaciones para el cálculo del flujo como perfil cerrado de cada una de las células:

∑𝑞𝑎𝑖 𝑙𝑖𝐺𝑖𝑒𝑖

𝑖 𝜖 𝐶𝑘

+ 𝑞𝑐𝑘 ∑


𝑖 𝜖 𝐶𝑘

−∑(𝑞𝑐𝑗



)

4

𝑗=1𝑗≠𝑘

= 0, 𝑘 = 1,2,3,4. (3–172)

• Sistema de ecuaciones para el cálculo de tensiones debidas al torsor inducido y torsor externo:

𝑞𝑡𝑖 ∑

𝑙𝑗


−∑(𝑞𝑐𝑖 ∑



)

4

𝑖=1𝑖≠𝑗

= 2𝜃Ω𝑖 , 𝑖 = 1,2,3,4.


(3–173)

• Suma final total para el cálculo de flujo y tensiones tangenciales en cada elemento de estudio:

𝑞𝑘 = Δ𝑞𝑘 + 𝑞𝑎𝑘−1 + ∑ 𝑞𝑐

𝑖

4


+ ∑ 𝑞𝑡𝑖

4


(3–174)

𝜎𝑥𝑠𝑘 =

𝑞𝑘𝑒𝑘⁄ (3–175)

De igual manera que se ha presentado el proceso de cálculo de tensiones normales y tangenciales en el cajón de

torsión, podemos incluir también en este estudio el efecto descrito del axil en el alabeo de la sección. El cálculo

seguiría el mismo proceso que el descrito pero incluyendo el termino del efecto axil:

• Sistema de ecuaciones para el cálculo del flujo como perfil cerrado de cada una de las células incluyendo

efecto en el alabeo de la sección:


Material Compuesto.

63

𝑞𝑐𝑘 ∑


𝑖 𝜖 𝐶𝑘

−∑(𝑞𝑐𝑗



)

4

𝑗=1𝑗≠𝑘

= − ∑𝑞𝑎𝑖 𝑙𝑖𝐺𝑖𝑒𝑖

𝑖 𝜖 𝐶𝑘

−∑𝑁𝑥𝑙𝑖


, 𝑘 = 1,2,3,4. (3–176)

• Sistema de ecuaciones para el cálculo de tensiones debidas al torsor inducido y torsor externo,

incluyendo efecto axil en el alabeo de la sección.

𝑞𝑡𝑖 ∑

𝑙𝑗


−∑(𝑞𝑐𝑖 ∑



)

4

𝑖=1𝑖≠𝑗

= 2𝜃Ω𝑖 −∑𝑁𝑥𝑙𝑗

ℎ𝑥𝑠𝑗𝑒𝑗𝑗𝜖𝐶𝑖

, 𝑖 = 1,2,3,4.


(3–177)

3.4. Cargas y condiciones de contorno en el modelo de Resistencia de Materiales.

De todo el proceso descrito a lo largo del capítulo para el cálculo de las tensiones normales y tangenciales sólo

faltaría definir el cálculo de los esfuerzos internos en cada una de las secciones de estudio, valores necesarios

para el cálculo de las tensiones en cada elemento.

El modelo de elementos finitos del cajón de torsión modela las distribuciones de carga definidas para el caso de

carga LC_A00018 como cargas y momentos puntuales aplicados sobre nodos situados en el 35% de la cuerda

de cada sección y en el plano medio del cajón de torsión. Estas cargas se trasnmiten a la estructura a través de

elementos RBE3 que relacionan los seis grados de libertad de los nodos de aplicación de cargas con los tres

grados de libertad en desplazamientos de 10 nodos de intersección entre revestimientos y largueros.

Estos puntos donde se aplican las cargas y momentos concentrados no tienen por que coincidir con las secciones

de estudio en el modelo de resistencia de materiales, por lo que es necesario calcular los esfuerzos sobre la

sección de estudio a través de equilibrio, considerando el cajón de torsión una barra empotrada en un extremo.

Figura 3-16.Distribución de puntos de aplicación de cargas y momentos puntuales en el MEF (Arriba e

izquierda). En una sección del MEF, elementos de transmisión de cargas a la estructura (abajo y derecha).

Cabe destacar que el punto de partida para la estimación de esfuerzos para las secciones del modelo de

Resistencia de Materiales es la aproximación realizada para el Modelo de Elementos Finitos, y no la distribución

de cargas y momentos descritas en el caso de carga LC_A00018. Esto se debe a que la comparación de los

resultados obtenidos a través del Modelo de Resistencia de Materiales se realiza directamente contra los datos

R

S

IR

S

IC

S

IF

S F

S


64

obtenidos del Modelo de Elementos Finitos. Por tanto, para obtener el grado de aproximación y la bondad de

los resultados del modelo RM, debemos adaptar y aplicar sobre las secciones los efectos de carga aplicados

sobre el Modelo de Elementos Finitos.

Sobre cada sección de estudio del Modelo de Resistencia de Materiales se definen, por equilibrio con las cargas

definidas para el Modelo de Elementos finitos, los siguientes esfuerzos representados acontinuación: esfuerzo

axil, 𝐴𝑥, esfuerzos cortantes, 𝑉𝑦, 𝑉𝑧, esfuerzos flectores, 𝑀𝑦, 𝑀𝑧, y esfuerzo torsor 𝑀𝑡.

Figura 3-17.Esfuerzos sobre una sección de estudio del Modelo de Resistencia de Materiales.

3.5. Los programas de cálculo NDATA y NPALA.

De manera análoga a la herramienta para el cálculo de tensiones en la pala de un aerogenerador descrita en el

apartado 2 del presente documento, se ha generado una herramienta para el cálculo de tensiones normales y

tangenciales en el cajón de torsión de estudio en función del modelo descrito en el presente apartado.

Esta herramienta nos permite el cálculo numérico de la aproximación de las tensiones normales y tangenciales

en cada uno de los elementos de la discretización del modelo. El lenguaje elegido para la codificación de estas

herramientas es el lenguaje de programación FORTRAN.

El procesado de la información extraída del modelo de elementos finitos del cajón de torsión y el cálculo de las

tensiones normales y tangenciales se estructura a través de dos ejecutables independientes: el ejecutable

“NDATA.exe”, que acondiciona y reordena los datos extraídos y seleccionados del modelo de elementos finitos,

y el ejecutable “NPALA.exe”, que toma estos datos para el cálculo de tensiones normales y tensiones

tangenciales en cada uno de los elementos de la discretización del cajón de torsión.

Cada uno de estos dos ejecutables es analizado en los dos siguientes apartados, estudiando en primer lugar su

interacción entre ellos y los documentos de entrada y salida con los que interacciona. Después, cada uno de estos

ejecutables será analizado en detalle.

Direc. Vuelo

Punta Ala

Ax

Vy

Vz

Mt

My

Mz


Material Compuesto.

65

3.5.1 El código NDATA – Acondicionamiento de Datos

El cógido “NDATA.exe” está diseñado para acondicionar los datos de geometría y propiedades generados para

un modelo de Elementos Finitos a través de la herramienta comercial Ansys. Este archivo de salida lo

reestructura, agrupando y extrayendo la información necesaria para su uso en programa central de cálculo de

tensiones. Además, este ejecutable transforma las coordenadas cilindricas extraídas de los datos de EF a

coordenadas cartesianas.

Figura 3-18. Diagrama del código NDATA.exe.

Este ejecutable presenta como única entrada de datos el archivo “Datos.txt” con la información del modelo,

incluyendo toda la información de geometría, materiales, laminados, etc. extraídos del modelo de Elementos

Finitos. La estructura de este documento podría resumirse:

• Definición de nodos y elementos de la discretización del cajón de torsión:

o Se definen y numeran en primer lugar las diferentes secciones de estudio del cajón de torsión

en función de su coordenada “z” de estación. Las secciones de estudio son numeradas de

encastre a punta de ala.

o A continuación, para cada una de las anteriores, se define la posición (en coordenadas

cilindricas) de cada uno de los nodos de la sección, asignándoles un identificador de nodo. Cada

uno de estos nodos vienen acompañados de un elemento, con el que comparte identificador y

al que se le asigna una propiedad, es decir, un tipo de laminado.

o A continuación, se define la posición y conectividad de cada una de las espinas de las

secciones., es decir, los elementos que modelan los largueros del cajón de torsión. Estas espinas

vienen definidas por la estación a la que pertenece y el identificador de los nodos del contorno

de la sección entre los que se define el elemento espina. Al igual que con el resto de los

elementos, se le asigna a estos elementos espina un identificador del laminado.

• Definición de laminados:

o Se describen los diferentes tipos de laminado presentes en el cajón de torsión, identificados a

partir de un identificador de laminado. Cada uno de los tipos de laminado viene definido por el

número de laminas, disposición, material, ángulo de orientación y espesor de cada una de éstas.

Una vez ejecutado, genera dos documentos de salida: un documento con la geometría y propiedades ya

estructuradas y que sirve de datos de entrada para el código central de cálculo, denominado Datos_ent.txt; un

documento análogo al anterior, pero incluyendo cabeceras de datos y rótulos para su mayor comprensión,

denominado Datos_dis.txt. Es el primero de estos, con la información presentada de forma más condensada, el

que se utiliza como entrada para el ejecutable de cálculo “NPALA.exe”.

El documento Datos_ent.txt presenta la misma información que el documento de entrada, pero ya estructurada

por secciones, segregando aquellas con rigidizador (espina) de aquellas que no presentan espina. La posición de

los nodos ahora se expresa en coordenadas cartesianas “x” e “y”. Del mismo modo, se muestra las propiedades

de cada uno de los laminados asociados a los elementos de la sección.

NDATA.exe

NDATA.exe Datos.txt

Datos_ent.txt

Datos_ent.txt

Datos_dis.txt

Datos_dis.txt

NPALA.exe


66

3.5.2 El código NPALA – Cálculo de tensiones.

El código NPALA.exe es el ejecutable central del cálculo de tensiones en las diferentes secciones del cajón de

torsión definidas en el modelo. La información de entrada necesaria para el cálculo de tensiones se estructura

según varios ficheros:<

• Datos_ent: archivo generado por el ejecutable inicial “NDATA.exe” y que contiene información sobre

la definición de secciones de estudio, nodos y elementos en cada una de ellas y tipos de laminado

asociados a cada uno de los elementos. También indica el número de láminas, material, orientación y

disposición de éstas para cada uno de los tipos de laminado del estudio.

• fichpro.txt: mientras que en los archivos anteriores se describe el material utilizado para confeccionar

cada una de las láminas de cada uno de estos laminados, el archivo fichpro.txt indica las propiedades de

cada uno de estos materiales. Las propiedades consideradas son densidad 𝜌, módulo de elasticidad en

dirección de la fibra, 𝐸11, y en dirección perpendicular, 𝐸22, el coeficiente de poisson, 𝜈12, y el módulo

de cortadura del material, 𝐺12.

• cargas.txt: este archivo introduce los datos de carga necesarios para el cálculo de tensiones. Para cada

uno de los casos de carga, se indica para cada una de las estaciones definidas, los seis componentes de

los esfuerzos sobre la sección.

• Además, el programa incluye una serie de archivos de entrada no considerados para este estudio,

necesarios para estudios dinámicos, estudios de fatiga, factores de seguridad, etc.

Con los datos contenidos en los archivos descritos, el ejecutable NPALA.exe calcula las tensiones tangenciales

y normales en el cajón de torsión siguiendo el siguiente proceso de cálculo.

• En primer lugar, se realiza el cálculo de las propiedades equivalentes de cada uno de los tipos de

laminados definidos, es decir, espesor, módulo de elasticidad, módulo de cortadura y módulo de

acoplamiento axil en el alabeo, mediante el proceso descrito en el apartado 3.2.8 del desarrollo.

• A continuación, se calculan las propiedades geométricas de cada uno de los elementos de la

discretización, como longitud, centroide, momentos de inercia, etc. y propiedades de cada sección de

estudio como centro de gravedad, centro elástico, área encerrada en la sección, etc. Una vez calculado

el centro elástico, se reduce el problema en este punto para facilitar el cálculo de tensiones desacoplando

efectos axil y flectores en el cálculo de tensioner normales.

• El siguiente paso es el cálculo de las deformaciones y tensiones normales estimadas en los centroides

dé cada uno de los elementos de las secciones de estudio según proceso descrito en el apartado 3.3.3

del presente documento.

• Una vez calculadas las tensiones normales, se calculan las tensiones tangenciales en cada uno de los

elementos debidas a los esfuerzos cortanes, primero como sección abierto y añadiendo los componentes

como sección cerrada que garantizan ecuaciones de continuidad debida al alabeo, según proceso

descrito en apartado 3.3.4. A continuación, se calculan las tensiones tangenciales debido al torsor

aerodinámico externo y al torsor inducido según proceso descrito en apartado 3.3.5.

• Finalmente, se suman las contribuciones de las tensiones tangenciables debidas a los torsores (inducido

y externo) y las debidas a los esfuerzos cortantes para finalmente obtener las tensiones tangenciales

totales en cada uno de los elementos de acuerdo al modelo de resistencia de materiales.

• Por último, el código contiene una serie de comprobaciones geométricas y cálculos paralelos sobre

factores de seguridad, fatiga, estudio dinámico, etc. que no son objeto de estudio en el presente

desarrollo.


Material Compuesto.

67

La estructura del ejecutable NPALA.exe puede, por tanto, fácilmente expresarse a través del siguiente diagrama

de bloques:

Figura 3-19. Diagrama de bloques del código NPALA

Tras la ejecución del código NPALA.exe, la información del cálculo de tensiones se muestra en diferentes

archivos de salida:

• Datos_sal.txt: incluye la información generada para cada una de las secciones, así como los datos de

tension normal longitudinal para cada uno de los elementos. Esta información se estructura como sigue:

o Propiedades de la sección: se recoge, en primer lugar, las propiedades globales de cada una de

las secciones, como coordenadas del centro elástico, area total, inercia total de la sección o

modulo de elasticidad equivalente de la sección completa.

o Propiedades geométricas y resistentes de los elementos: se recogen los espesores y modulo de

elasticidad equivalente, etc. para cada uno de los elementos de la discretización.

o Deformaciones y tensiones normales: se listan las deformaciones y tensiones normales

calculadas para cada uno de los elementos definidos en la discretización.

o Otros datos de estudio dinámico del cajón y factores de seguridad.

• Flujo Nxi.txt: informe de resultados sobre el flujo de tensiones normales en cada uno de los elementos,

calculado de acuerdo a ecuación (3-144). Indica para cada uno de los elementos el identificador de la

sección a la que pertenece, el identificador del nodo dentro de ésta y la aproximación del flujo calculada.

• Los resultados referentes al cálculo de tensiones tangenciales vienen recogidos en los siguientes

archivos de salida: open_shear_flow.txt, con el flujo como abierto de los elementos de las diferentes

secciones, closed_shear_flow.txt, con el flujo como cerrado, torsion_shear_flow.txt, con el componente

debido a torsión del flujo, y, por ultimo, total_shear_flow.txt, que muestra un resumen de los

componentes que conforman el flujo y la suma total de estos.

Lectura de geometría,

propiedades y cargas.

Cálculo de

propiedades de

laminado

Cálculo de

propiedades de

elemento

Cálculo de

propiedades de la

sección

Reducción al centro

elástico de la sección.

Calculo de tensiones y

deformaciones

normales

Cálculo de tensiones

tangenciales como

sección abierta


tangenciales como

sección cerrada


tangenciales debidas a

torsión


tangenciales totales

Otros…

(cálculo a fatiga, factores de

seguridad, estudio dinámico…)


68

• Por ultimo, también genera una serie de archivos de salida secundarios, que únicamente muestran los

resultados de comprobaciones geométricas como areacomparison.txt, distancecomparison.txt ó

checkinggeometry.txt.

Figura 3-20. Archivos de entrada y salida del ejecutable NPALA.exe

En resumen, la herramienta generada permite obtener finalmente, una aproximación del flujo de tensiones

normales en cada uno de los elementos de la discretización, presentado en documento Flujo Nxi.txt, así como

un estudio y descomposición en componentes del flujo de tensiones tangenciales en cada uno de estos

componentes a través del archivo total_shear_flow.txt. Además de esto, las propiedades geométricas y las

características de la discretización de la sección también se pueden consultar y son presentadas en el documento

Datos_sal.txt.

NDATA.exe

NPALA.exe

fichpro.txt Datos_sal.txt

open_shear_flow.txt

closed_shear_flow.txt

torsion_shear_flow.txt

total_shear_flow.txt

otros

NPALA.exe

cargas.txt

Datos_ent.txt


Material Compuesto.

69

4 EVALUACION Y COMPARACIÓN DE

RESULTADOS OBTENIDOS POR EL MODELO.

n este cuarto capítulo, se evaluarán los resultados obtenidos de la herramienta generada para el cálculo

de las tensiones tangenciales en el cajón de torsión a través de la teoría de Resistencia de Materiales (en

adelante, modelo RM). Estos resultados se estudiarán y compararán con los resultados obtenidos a través

del Modelo de Elementos Finitos del cajón de torsión (en adelante, modelo EF). En particular, se evaluarán y

estudiarán los resultados para una de las secciones del Cajón de Torsión de estudio, la conocida como “Sección

10” del cajón de torsión.

En primer lugar, se describirá la sección 10 de estudio, su localización, propiedades y características propias de

esta sección. A continuación, se realizará un breve repaso sobre los resultados obtenidos previamente para las

tensiones normales en la sección, descrito en el apartado 2. El siguiente paso es finalmente la evaluación del

flujo de tensiones tangenciales obtenido para la sección de estudio a través del modelo RM. Estos resultados

obtenidos se compararán con el modelo EF. Por último, se estudiará la importancia del efecto del esfuerzo axil

en el alabeo de la sección, realizando una comparación entre los resultados obtenidos a través del modelo RM

teniendo en cuenta y sin tener en cuenta este efecto.

4.1 La Sección 10 del Modelo de Resistencia de Materiales.

El alcance del presente documento es la evaluación de la tensiones normales y tangenciales en una sección

modelo del cajón de torsión de estudio y la comparación de los resultados obtenidos con los resultados que se

obtienen del Modelo de Elementos Finitos. Esta comparación permitirá obtener un grado de la bondad de la

aproximación realizada a través del Modelo de Resistencia de Materiales.

No es el alcance del presente documento el estudio de cómo posibles efectos tridimensionales ni concentraciones

locales de tensiones afectan a la aproximación realizada por el modelo. Por tanto, el modelo de Resistencia de

Materiales se evalúa en una sección en condiciones favorables, lejos de zonas con agujeros en los largueros,

puntos de aplicación de cargas puntuales o lo más alejado possible de rigidizadores en alguna de sus superficies.

La sección elegida para la evaluación de resultados es la conocida como “Sección 10” del modelo, localizada a

2718 mm respecto a la costilla de cierre interior. Presenta unas dimensiones generales de 7369,15mm entre

larguero delantero y larguero trasero y una máxima distancia entre revestimientos de 3321,5mm. Esta sección

se encuentra lejos de agujeros presentes en los largueros de la sección, sin embargo, tal y como puede apreciarse

en la figura 4-1 se encuentra en la proximidad de un rigidizador del larguero intermedio posterior.

Sobre esta sección se realiza una discretización a partir de los nodos del modelo de elementos finitos que consta

de 81 nodos, 28 de ellos para el modelado de cada uno de los revestimientos y 7 nodos para el modelado de cada

uno de los largueros (siempre dos de ellos, los de los extremos, compartidos con los nodos del revestimiento).

E

Evaluacion y comparación de resultados obtenidos por el modelo.

70

Los nodos de la sección, cuyas coordenadas han sido tomadas directamente del modelo de elementos finitos, no

forman un plano perfecto llegando a tener una diferencia máxima en dirección perpendicular a la sección de

160,6 mm, despreciable frente a las dimensiones de la sección.

Figura 4-1. Sección 10 de estudio. Vista general de la sección 10 (izquierda) y detalle de la sección 10 con

la línea media del espesor de la sección resaltada (derecha).

Una representación en planta de los nodos de la discretización de la sección en el modelo de elementos finitos y

una representación tridimensional de éstos puede observarse en la figura 4-2. Es en esta figura tridimensional

donde se aprecia claramente que las diferencias en componente fuera de la sección son despreciables respecto a

las propias dimensiones de la sección.

Figura 4-2. Representación de los nodos de la discretización de la Sección 10, en planta (arriba) y

tridimensional (abajo).

-300-200-1000100200300-200

0200

-200

20

z

Representación espacial de nodos

y

x

Representación bidimensional de los nodos

y

z


Material Compuesto.

71

Por otro lado, se representa la componente fuera de la sección de cada uno de los nodos del modelo de Elementos

Finitos en la figura 4-3. Estos valores, una vez adimensionalizadas por un valor de referencia de la dimensión

de la sección, por ejemplo, un valor representativo de 300cm, demuestra que los nodos escogidos del modelo de

Elementos Finitos pueden considerarse una sección plana.

La principal diferencia entre la discretización del modelo de resistencia de materiales y el modelo de elementos

finitos es que, mientras que el segundo discretiza los largueros interiores tomando 7 nodos, el modelo de

Resistencia de materiales utilizado modela los rigidizadores interiores con sólo dos nodos y un único elemento,

es decir, con los dos nodos pertenecientes a los revestimientos.

Por último, cabe destacar que no se han modelado los tramos finales de los revestimientos que se extienden hacia

el exterior de la sección, más allá de los largueros anterior y posterior.

Figura 4-3. Componente fuera de la sección de los nodos escogidos del Modelo de Elementos Finitos.

4.2 Evaluación del Flujo de Tensiones Normales.

En primer lugar, se va a profundizar en la evaluación del flujo de tensiones normales 𝑁𝑥𝑖 sobre la sección de

estudio. Estos resultados ya fueron descritos en el Capítulo 2 del presente documento y analizados por Marín y

otros [18], por lo que sólo se tratará de forma superficial.

Este flujo de tensiones normales se corresponde con la suma de las tensiones normales a lo largo de la sección.

Como estas tensiones normales han sido aproximadas por la tensión normal longitudinal media, obtenemos que

el flujo se calcula según la siguiente expresión.

𝑁𝑥𝑖 = 𝜎𝑥𝑖𝑒𝑖 (4–1)

La representación de los resultados del modelo de resistencia de materiales se muestra en la figura 4-4 y figura

4-5. En primer lugar, se muestra una representación del flujo de tensiones normales calculados a través del

Modelo de Elementos Finitos y el Modelo de Resistencia de Materiales frente al identificador del nodo de la

sección. En segundo lugar, se muestran los mismos resultados anteriores pero representados sobre la geometría

de la sección.

Cabe destacar que se ha representado por cada nodo y elemento del modelo de Resistencia de Materiales, SM,

los valores de tensiones normales de los dos elementos contiguos del modelo de Elementos Finitos dando lugar

a dos cadenas de resultados para el segundo, los resultados de los elementos sobre sus superficies exteriores,

FE(+) o outboard, y sus superficies interiores, FE(-) o inboard.


72

Figura 4-4. Flujo de tensiones normales, 𝑁𝑥𝑖(𝑁 𝑚𝑚⁄ ), frente al identificador de nodo, 𝑛, para los elementos

de la sección de estudio.

Figura 4-5. Flujo de tensiones normales, 𝑁𝑥𝑖(𝑁 𝑚𝑚⁄ ), representado sobre la geometría de la sección,

[𝑦(𝑐𝑚), 𝑧(𝑐𝑚)], para los elementos de la sección de estudio.

A raíz de los resultados mostrados en las dos figuras anteriores, se aprecia que el modelo de Resistencia de

Materiales (en rojo) aproxima de manera muy precisa los valores obtenidos a través del Modelo de Elementos

Finitos (en negro).

Sin embargo, como sólo se obtiene un valor para las tensiones normales en los rigidizadores internos, el modelo

de la sección no representa de manera correcta el comportamiento del flujo de tensiones normales a lo largo del

rigidizador, aunque sí aproxima de forma adecuada el valor de flujo de tensión en su punto medio.

4.3 Evaluación del Flujo de Tensiones Tangenciales.

Una vez descrita de forma somera la distribución del flujo de tensiones normales como resultado del Modelo de

Resistencia de Materiales y habiendo comparado ésta con los resultados dados por el Modelo de Elementos

Finitos, el siguiente paso es repetir este estudio con los resultados obtenidos para el flujo de tensiones

tangenciales.

-400-300

-200-100

0100

200300

400

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

z

Flujo Nxi(RM) vs Nxi(FEM) representado sobre sección

y

Nxi

Geometría sección

Flujo Nxi

FE(-)

FE(+)

-400-300-200-100

0100200300400

-150-100

-500

50100

150200

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

y

Flujo Nxi(RM) vs Nxi(FEM) representado sobre sección

z

Nxi

Geometría sección

Flujo Nxi

FE(-)

FE(+)


Material Compuesto.

73

El flujo de tensiones tangenciales en cada uno de los elementos de la discretización se calcula a través de la

siguiente expresión, que aúna el flujo de tensiones tangenciales debido a los esfuerzos cortantes, calculado a

través de las expresiones (3-160), (3-164) y (3-165), y el flujo de tensiones tangenciales debidas al torsor externo

y el torsor inducido de la sección, calculado a través de la expresión (3-171).

𝑞𝑘 = 𝜎𝑘𝑒𝑘 = 𝑞𝑎𝑘 + ∑ 𝑞𝑐

𝑖

4


+ ∑ 𝑞𝑡𝑖

4


(4–2)

Cabe destacar que en este primer análisis de las tensiones tangenciales no se tiene en cuenta el acoplamiento axil

en el alabeo de la sección, mejora que se incluye más adelante en el desarrollo.

A continuación, se muestra una representación tridimensional del flujo de tensiones tangenciales del modelo

RM representado sobre la geometría de la sección, figura 4-6, frente a los resultados obtenidos al través del

modelo EF, figura 4-7.

Figura 4-6. Flujo de tensiones tangenciales calculado a través del modelo RM, 𝑞𝑖(𝑁 𝑚𝑚⁄ ), representado

sobre la geometría de la sección, [𝑦(𝑐𝑚), 𝑧(𝑐𝑚)], para los elementos de la sección de estudio.

Figura 4-7. Flujo de tensiones tangenciales calculado a través del modelo EF, 𝑞𝑖(𝑁 𝑚𝑚⁄ ), representado sobre

la geometría de la sección, [𝑦(𝑐𝑚), 𝑧(𝑐𝑚)], para los elementos de la sección de estudio.


74

En estos diagramas puede apreciarse un comportamiento cualitativo similar de los resultados obtenidos por

ambos modelos:

El flujo de tensiones tangenciales aumenta según avanzamos en el sentido de la resultante de los cortantes, es

decir, “creando” flujo de tensiones tangenciales a medida que recorremos el perfil en dirección al larguero

posterior.

La presencia de los largueros intermedios provoca la absorción de parte de este flujo de tensiones tangenciales,

reduciendo drásticamente el valor de las tensiones tangenciales en los puntos de intersección entre los largueros

intermedios y el revestimiento. Es gracias a estos largueros intermedios que el flujo de tensiones tangenciales

no continúa con una tendencia monótona creciente a medida que recorremos el revestimiento en dirección al

larguero posterior, evitando así valores de tensión tangencial excesivos en la zona posterior.

Sin embargo, el modelo no representa bien el comportamiento del flujo de tensiones tangenciales a lo largo de

los largueros intermedios, frente a los resultados de Elementos Finitos. Esto se debe a que, mientras que el

modelo de Elementos Finitos discretiza los largueros a través de un total de seis elementos, el modelo generado

a través de resistencia de materiales sólo establece un único elemento por larguero. La evolución de la tensión

tangencial en los largueros intermedios de la sección en ambos modelos se muestra en la siguiente imagen.

Cabe destacar que la evolución de la tensión tangencial para el modelo de Resistencia de Materiales

representada se obtiene a través de los valores dados por los elementos contiguos pertenecientes al

revestimiento y el valor dado para el elemento que conforma el rigidizador, representado sobre el centroide del

elemento, que coincide con el centroide del elemento central de la discretización del modelo de elementos

finitos.

Figura 4-8. Flujo de tensiones tangenciales, 𝑞𝑖(𝑁 𝑚𝑚⁄ ), calculado a través del Modelo RM (en rojo) y a

través del modelo EF (en verde) para los rigidizadores intermedios anterior (IFS), central (IS) y posterior

(IRS), representados frente a la coordenada 𝑧(𝑐𝑚).


Material Compuesto.

75

Figura 4-9. Flujo de tensiones tangenciales, 𝑞𝑖(𝑁 𝑚𝑚⁄ ), calculado a través del Modelo de Elementos Finitos

(en verde) y el Modelo de Resistencia de Materiales (en rojo) para los elementos exteriores de la sección 10,

representados frente al identificador, 𝑛, de los elementos.

Se aprecia en los resultados que, mientras que el modelo no es capaz de adecuarse al comportamiento del flujo

de tensiones tangenciales en esta zona, sí que se obtienen valores coherentes y cercanos al flujo de tensión

tangencial medio a lo largo del rigidizador.

Estudiamos a continuación los resultados obtenidos para los elementos del contorno de la sección, es decir, para

los largueros anterior, posterior y ambos revestimientos. En la figura 4-9 se muestran los resultados obtenidos

para el flujo de tensiones tangenciales dados por el modelo de Resistencia de Materiales (en rojo) y los dados

por el modelo de Elementos Finitos (en verde).

Los resultados para el flujo de tensiones tangenciales del modelo de RM se ajustan considerablemente a los

obtenidos para el modelo EF, alcanzando errores absolutos entorno a los 5-10 N/mm. Sin embargo, se detectan

varias zonas con un incremento de este error de hasta 20-25 N/mm.

Tal y como se muestra en la figura 4-10, las zonas de mayor error en la aproximación de los resultados se

corresponden al entorno del rigidizador intermedio posterior (IRS) y las zonas de intersección de los largueros

exteriores con el revestimiento.

Hay que destacar que en las inmedicaciones del larguero IRS de la sección 10 se encuentra un rigidizador vertical

de perfil en T. El efecto de este rigidizador no se integra dentro de los resultados obtenidos a través del modelo

RM ya que no se encuentra dentro de la propia sección de estudio. El efecto que este rigidizador sí que se

incorpora al cálculo en el modelo EF, que es capaz de integrar el efecto de elementos cercanos, pero no incluidos

dentro de la sección.

El error en la aproximación en las zonas de intersección de los largueros exteriores se debe a que el modelo EF

considera la extensión de los revestimientos más allá de los largueros mientras que el modelo RM desprecia esta

parte del revestimiento, tal y como puede apreciarse en la figura 4-12.


76

Figura 4-10. Error absoluto, [𝑞𝑅𝑀 − 𝑞𝐸𝐹](𝑁 𝑚𝑚⁄ ), calculado para los elementos de la sección 10,

representado sobre la geometría de la sección, [𝑦(𝑐𝑚), 𝑧(𝑐𝑚)].

Figura 4-11. Error absoluto, [𝑞𝑅𝑀 − 𝑞𝐸𝐹](𝑁 𝑚𝑚⁄ ), a lo largo de los elementos exteriores de la sección 10,

representados frente al identificador, 𝑛, de los elementos.


Material Compuesto.

77

Figura 4-12. Linea media del modelado de la sección 10 a través del modelo RM (en rojo) sobre el modelado

de la sección 10 a través del modelo EF (en amarillo). Se identifican claramente las extensiones en ambos

extremos del revestimiento.

Por último, en la figura 4-13 se muestra el error absoluto calculado para las aproximaciones de los rigidizadores

interiores. Cabe destacar que, aunque el modelo no es capaz de reproducir el comportamiento de las tensiones

debido a los reducidos puntos de evaluación, sí que el error se mantiene dentro de los límites obtenidos para el

contorno, no superando los 5-10 N/mm.

Figura 4-13. Error absoluto, [𝑞𝑅𝑀 − 𝑞𝐸𝐹](𝑁 𝑚𝑚⁄ ), para los rigidizadores intermedios anterior (IFS), central

(IS) y posterior (IRS), representados frente a la coordenada 𝑧(𝑐𝑚).

A la luz de los resultados obtenidos para la sección 10 se aprecia claramente como el comportamiento de la

aproximación del modelo RM replica el comportamiento de las tensiones del modelo EF, permitiéndonos

identificar zonas de máximas tensiones tangenciales.

La aproximación realizada mediante esta herramienta aproxima los resultados del modelo EF con errores

entorno a 5-10N/mm pero siempre estimando las tensiones del lado de la seguridad, permitiéndonos obtener

límites superiores a las tensiones en la zona de estudio.

Rigidizador en las inmediaciones

del IRS en sección 10


78

Figura 4-14. Flujo de tensiones tangenciales, 𝑞𝑖(𝑁 𝑚𝑚⁄ ), calculado a través del modelo RM (en rojo) y del

modelo EF (en verde), representado sobre la geometría de la sección, [𝑦(𝑐𝑚), 𝑧(𝑐𝑚)], para los elementos de

la sección de estudio.

4.4 Efecto del esfuerzo Axil en el alabeo de la sección.

Una vez evaluado los resultados del modelo generado a través de la teoría de Resistencia de Materiales para el

flujo de tensiones tangenciales en una sección del cajón, a continuación estudiamos el efecto sobre estos

resultados de la inclusion del esfuerzo axil en el alabeo de la sección.

Los efectos del esfuerzo axil en el alabeo de la sección se incluyen en el modelo añadiendo un término

independiente según expresión (4-3) sobre las expresiones del cálculo del aporte al flujo de tensiones del torsor

y el flujo como cerrado de la sección.

∑𝑁𝑥𝑙𝑖


(4–3)

Tal y como puede apreciarse en las figuras siguientes, los resultados obtenidos teniendo en cuenta el efecto axil

en el alabeo de la sección son muy similares a los obtenidos previamente. La diferencia de los resultados

obtenidos al incluir el efecto del axil no supera el orden de 10-3 N/mm en los diferentes elementos de la sección.

Cabe destacar que, como el efecto del axil se hace presente para el cálculo de las tensiones como flujo cerrado

y debido al torsor, la inclusión del efecto del axil afecta por igual a elementos pertenecientes a las mismas celdas

de la sección.

Por tanto, podemos llegar a la conclusión de que el efecto del esfuerzo axil sobre el flujo de tensiones

tangenciales de la sección, calculados a través de la herramienta generada a través de la teoría de Resistencia de

Materiales es despreciable dentro de la magnitud de la aproximación realizada.


Material Compuesto.

79

Figura 4-15. Flujo de tensiones tangenciales calculado a través del Modelo de Resistencia de Materiales,

𝑞𝑖(𝑁 𝑚𝑚⁄ ), sin tener en cuanta el efecto axil en el alabeo (rojo) y teniendo en cuenta este efecto (verde),

representado sobre la geometría de la sección, [𝑦(𝑐𝑚), 𝑧(𝑐𝑚)], para los elementos de la sección 10.

Figura 4-16. Diferencia entre flujos de tensiones tangenciales, |𝑞𝑅𝑀∗ − 𝑞𝑅𝑀|(𝑁 𝑚𝑚⁄ ), calculados a través del


de la sección 10, representados frente al identificador, 𝑛, de los elementos del contorno de la sección.


80

Figura 4-17. Diferencia entre flujos de tensiones tangenciales, |𝑞𝑅𝑀∗ − 𝑞𝑅𝑀|(𝑁 𝑚𝑚⁄ ), calculados a través del


de la sección 10, representado sobre la geometría de la sección, [𝑦(𝑐𝑚), 𝑧(𝑐𝑚)].


Material Compuesto.

81

5 CONCLUSIONES Y MEJORAS FUTURAS.

adas las similitudes geométricas entre el cajón de torsión de un ala y las palas de aerogeneradores, así

como los buenos resultados obtenidos para la aproximación de tensiones en estos últimos, se ha generado

un modelo basado en teoría de Resistencia de Materiales para el cálculo del flujo de tensiones

tangenciales en una geometría de un cajón de torsión fabricado en material compuesto.

Se han evaluado los resultados arrojados por este modelo en una sección característica del elemento y se han

comparado los resultados con los obtenidos a través del modelo de Elementos Finitos. A la luz de los resultados

obtenidos, se aprecia que el modelo de Resistencia de Materiales replica el comportamiento de las tensiones

permitiendo estudiar la evolución de las tensiones en las diferentes zonas del cajón y permitiendo identificar

zonas de máximas tensiones tangenciales.

Asimismo, el modelo generado a través de la teoría de Resistencia de Materiales arroja unos valores próximos

a los resultados del modelo de Elementos Finitos, con diferencias en el valor del flujo de tensiones del orden de

5-10 N/mm. Además, se aprecia que la aproximación realizada por el modelo es una aproximación conservativa,

permitiéndonos obtener límites máximos de las tensiones tangenciales.

Sin embargo, cabe destacar que la diferencia anteriormente citada se incrementa en ciertas zonas donde aparecen

efectos tridimensionales que no contempla el modelo de Resistencia de Materiales, como elementos

estructurales fuera de la sección, pero en el área de influencia de ésta.

Por otro lado, cabe detacar la buena aproximación de los resultados obtenidos mediante el tratamiento adoptado

para la interpretación de los valores del flujo en los rigidizadores interiores. Lo cual implica que el modelado de

esos largueros con sólo un elemento, aunque mejorable, da una precisión suficiente.

Se ha estudiado, además, la incorporación del efecto del acomplamiento del esfuerzo axil en el alabeo de la

sección, obteniéndose diferencias entre los valores obtenidos del orden de 10-3 N/mm. Se obtiene como

conclusión que este factor puede considerarse despreciable dentro de las tolerancias de la aproximación realizada

a través del modelo.

Desde el punto de vista computacional, la herramienta generada basada en la teoría de Resistencia de Materiales

presenta un bajo coste computacional y un diseño que facilita las modificaciones a todos los niveles de la

estructura, es decir, la inversión en carga de trabajo necesaria para realizar cualquier modificación a nivel de

lámina, laminado, geometría, etc. es mucho menor que la necesaria en otras herramientas más precisas como

Elementos Finitos.

La versatilidad de la herramienta generada, la obtención de resultados próximos y conservadores respecto a los

de Elementos Finitos y el bajo coste computacional de la herramienta, hace este modelo perfecto para el cálculo

de tensiones en la fase del diseño del componente, cuando aún no se encuentra definida de forma precisa la

geometría final y propiedades de los laminados, y donde la baja carga de trabajo para la inclusión de variaciones

D

Conclusiones y mejoras futuras.

82

de las propiedades anteriores y la versatilidad de una herramienta priman por encima del grado de precisión del

cálculo de tensiones.

Para comprobaciones finales del diseño de este tipo de componentes aeronáuticos, la utilización de herramientas

complementarias como las basadas en Elementos Finitos permitirían afinar la precisión de los resultados

mediante estudios de tipo local, permitiendo captar efectos tridimensionales, si bien a costa de una mayor carga

de tabajo y mayor coste computacional.

5.1 Mejoras futuras.

A la luz de los resultados obtenidos a través de la herramienta basada en la Teoría de Resistencia de Materiales

para el cálculo de tensiones tangenciales en un cajón de torsión, se han identificado una serie de interesantes

futuros estudios o posibles mejoras a implementar en el modelo.

En primer lugar, una posible mejora al modelo consistiría en incorporar nuevos nodos en los largueros

intermedios de la sección, permitiendo la definición de varios elementos a lo largo de un larguero. Esto nos

permitiría aproximar de manera más precisa el flujo de tensiones tangenciales, así como el estudio de la

evolución de estas tensiones a lo largo de este elemento estructural.

Otra de las posibles mejoras a incorporar, y de la misma naturaleza que la anterior, consistiría en incluir nuevos

nodos que modelaran las extensiones de los revestimientos más allá de los largueros anterior y posterior. El

efecto de estas zonas es actualmente despreciado en el modelo, provocando cierto aumento en el error de

aproximación de las tensiones calculadas para estas zonas.

Figura 5-1. Zonas de inclusión de nuevos nodos (en amarillo) para mejorar la aproximación del modelo.

Por otro lado, los resultados del modelo de Resistencia de Materiales generado se han evaluado en una de las

secciones de estudio, sección 10, que se encuentra lejos de agujeros en los largueros del cajón y lejos de

rigidizadores verticales de los largueros, particularmente sólo presenta un rigidizador cerca de la sección, en el

larguero intermedio posterior.

La extensión del estudio a los resultados obtenidos para diferentes secciones del cajón de torsión permitiría

analizar como la existencia de estos elementos (rigidizadores y agujeros en largueros) afectan a la estimación de

las tensiones tangenciales realizada por la herramienta. Además, permitiría analizar si otros factores como

geometría, tipo de laminado, cargas, afectan a la bondad de la estimación del modelo de Resistencia de

Materiales.


Material Compuesto.

83

En la línea de lo anterior, otro posible estudio a realizar consistiría en analizar como afecta la definición de una

discretización más fina de la sección con, por ejemplo, el doble de nodos de los considerados en el presente

estudio. Comparar los resultados obtenidos para estas dos discretizaciones permitiría analizar si la inclusión de

nuevos nodos y elementos en la sección da lugar a una mejor aproximación de los resultados del modelo de

Elementos Finitos.

Por otra parte, hay que resaltar que en este estudio se evalúan las diferencais encontradas en el flujo de tensiones

tangenciales calculado con los modelos de RM y EF, siendo conveniente realizar algún tipo de comparación con

resultados experimentales.

Por último, dada la filosofía de la herramienta enfocada para las primeras fases del diseño de componentes, una

interesante aplicación sería el estudio de la variación de las tensiones al modificar ciertos parámetros del diseño

del cajón como, por ejemplo, al cambiar el laminado utilizado en la zona de máximas tensiones tangenciales.

Referencias

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