programa educativo: bachillerato...
TRANSCRIPT
1
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
VICERRECTORÍA DE DOCENCIA
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
PROGRAMA EDUCATIVO: BACHILLERATO UNIVERSITARIO
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II
DGEMSDGEMS
2
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
VICERRECTORÍA DE DOCENCIA
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
UNIDAD ACADÉMICA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
PROGRAMA EDUCATIVO: PREPARATORIA
NIVEL EDUCATIVO: BACHILLERATO UNIVERSITARIO
CÓDIGO:
NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II
PR06 0016
DGEMSDGEMS
3
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
VICERRECTORÍA DE DOCENCIA
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
UBICACIÓN EN EL MAPA CURRICULAR
La asignatura de Matemáticas II se ubica en el segundo año del mapa
curricular del Plan de Estudios del bachillerato de la BUAP, es obligatoria para
todos los alumnos y tiene carácter teórico.
DGEMSDGEMS
4
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
VICERRECTORÍA DE DOCENCIA
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
CORRELACIÓN
ASIGNATURA PRECEDENTE: MATEMATICAS I
ASIGNATURA CONSECUENTE: CÁLCULO O ESTADÍSTICA
DGEMSDGEMS
5
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
VICERRECTORÍA DE DOCENCIA
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
CARGA HORARIA DEL ESTUDIANTE
TEORÍA PRACTICA ESTUDIO
INDEPENDIENTE
TOTAL
HORAS CREDITOS HORAS CREDITOS HORAS CREDITOS HORAS CREDITOS
4
8 4 0 2 0 10 8
AUTORES: Academia General de Matemáticas
FECHA DE DISEÑO: OTOÑO 2006
DGEMSDGEMS
6
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
VICERRECTORÍA DE DOCENCIA
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
REVISORES
DR. MIGUEL NÚÑEZ CABRERA
FECHA DE REVISIÓN: DICIEMBRE 2006
COMISIÓN DE LA ESCUELA DE MATEMÁTICAS DE LA FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICO-MATEMÁTICAS
FECHA DE REVISIÓN: ABRIL, 2007
SINOPSIS DE LA REVISIÓN Y/O ACTUALIZACIÓN:
En el primer caso, indicaciones de carácter gramatical, algunas conceptuales y de orden temático;
en el segundo, además de las mencionadas, hubo sugerencias didácticas y metodológicas.
DGEMSDGEMS
7
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
VICERRECTORÍA DE DOCENCIA
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
PERFIL DESEABLE DEL PROFESOR
Disciplina Profesional:
Matemáticas, Matemáticas Aplicadas, Física, Física
Aplicada, Ciencias e Ingeniería de la Computación,
Electrónica e Ing. Electrónica, Ingeniería (con 4 semestres de
matemáticas como mínimo en sus programas de estudio)
Nivel Académico: Licenciatura
Experiencia Docente: Criterios del RIPPPA
DGEMSDGEMS
8
PRESENTACIÓN La Geometría es la ciencia del espacio, desde sus raíces como una herramienta para describir y medir figuras ha crecido hacia una teoría
de ideas y métodos mediante las cuales podemos construir y estudiar modelos idealizados tanto del mundo físico como de otros fenómenos del
mundo real, ha revelado sus poderes ocultos y su extraordinaria versatilidad y adaptabilidad, transformándose así en una de las herramientas más
universales y útiles en todas las partes de las matemáticas, más todavía, es una herramienta para el entendimiento, tal vez la parte de las
matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad y nos permite captar los procesos con los cuales, partiendo de la realidad, se conduce
gradualmente hacia una percepción más refinada del espacio.
La Geometría es muchas cosas, entre ellas: un método para las representaciones visuales de conceptos y procesos de otras áreas en
matemáticas y en otras ciencias, por ejemplo gráficas y teoría de gráficas, diagramas de varias clases. Es un punto de encuentro entre matemáticas
como una teoría y matemáticas como una fuente de modelos. La Geometría como una herramienta en aplicaciones, tanto tradicionales como
renovadas. Estas últimas incluyen por ejemplo, gráficas por computadora, procesamiento y manipulación de imágenes, reconocimiento de
patrones, robótica, investigación de operaciones.
Merece mención particular el hecho de que la ciencia en cuestión sea un ejemplo paradigmático para la enseñanza del razonamiento
deductivo. Uno de los temas claves en la enseñanza media superior de las matemáticas es el aprendizaje del razonamiento abstracto y las
demostraciones matemáticas, para nuestro caso no siempre será posible presentarla como pruebas pero si al menos se pueden dar justificaciones
plausibles porque si la geometría puede ser considerada como el mejor ejemplo de ciencia deductiva pura también es el mejor ejemplo de ciencia
experimental, para hacer comprender el teorema de Pitágoras que mejor método que dibujar triángulos, medir y comprobar, es decir ¡experimentar!
No hay duda de que el paso de lo experimental a lo abstracto es prácticamente inmediato en Geometría e incluso se llega a confundir, se dice que
se dibujan rectas, triángulos, auque los dibujos no corresponden fielmente a los conceptos abstractos.
En el momento presente las herramientas informáticas pueden ofrecer simulaciones virtuales de prácticamente todo, se podría pensar en
otro tipo de ejemplos para llevar a cabo esta formación, pero sin duda nos alejaríamos de la vida cotidiana, de la proximidad y del interés general
que posee la Geometría. Lo que sí ocurre es que las herramientas informáticas están viniendo en la ayuda de la enseñanza de la Geometría y la
9
revolución que están causando no ha hecho más que comenzar.
La geometría forma parte de la cultura básica de cualquier persona, los conceptos geométricos aparecen en la vida cotidiana de forma muy
variada: folletos turísticos, comentarios deportivos, manuales de construcción de muebles o utensilios, además de que la geometría es vital para
continuar otros estudios, por ejemplo, arquitectura, ingenierías, física, y un largo etc.
ENFOQUE DE LA ASIGNATURA
La estructura del programa está determinada por la estructura de la geometría elemental, tanto en su versión euclidiana como la cartesiana, sin
embargo no se intenta un proceso deductivo estricto, de hecho se insiste en usar elementos intuitivos y se invita a emplear medios electrónicos para
ilustrar los objetos y las relaciones geométricas; por medio de los objetivos reducimos al mínimo la parte conceptual, aumentando en cambio la
dosis de elementos heurísticos. Lo que hemos descrito se basa en la concepción de la geometría directamente como una matematización del
entorno físico, más que como una estructura axiomática, con el fin de tomar de ese sustrato físico apoyos intuitivos para facilitar la construcción de
significados; se recomienda también abordar ejemplos y ejercicios con la misma base. Complementariamente, la asignatura debe entenderse como
un producto cultural que no ha sido creado sólo por los matemáticos, sino también por percepciones y usos de fácil acceso para las personas, esta
es la base para reducir la distancia entre lo que los estudiantes pueden construir por sí mismos y el apoyo que el profesor debe proporcionarles para
desarrollarlas.
10
CONTRIBUCIÓN AL PERFIL DEL EGRESADO
La misión de toda institución educativa, es preparar a las nuevas generaciones para el mundo que tendrán que vivir. Ello
implica propiciar la adquisición de los conocimientos y las habilidades que los alumnos requieren para desempeñarse con éxito ante
las exigencias de una sociedad cada día más demandante, caracterizada por vertiginosos avances en la ciencia y la tecnología, pero
que ofrece en forma paralela enormes oportunidades. En este contexto, el Bachillerato Universitario de la BUAP, asume el
compromiso de preparar y formar alumnos de manera que sepan interpretar, construir, y solucionar problemas relativos a procesos
naturales y sociales concretos y accesibles, y que al mismo tiempo propicien hábitos de estudio e investigación, así como el
desarrollo de la curiosidad, la perseverancia, la creatividad, la confianza en sí mismo, y la autonomía intelectual. Así, la asignatura de
matemáticas es, en suma, el conocimiento numérico y algebraico, y debe contribuir a alcanzar el siguiente perfil de egreso del
estudiante, sustentado en los cuatro pilares de la educación:
Saber comprender: fenómenos, datos, conceptos, principios, leyes y modelos.
Saber cómo proceder para: Leer, escribir, y abstraer en ciencias; resolver ejercicios y problemas. Realizar
actividad investigativa en lo experimental y teórico.
Saber ser: Estar dispuesto a mostrar una actitud positiva hacia la ciencia, su aprendizaje, y sus implicaciones
sociales.
Saber convivir: Disposición al trabajo colaborativo, al diálogo, a ser tolerante y propositivo
Todo lo anterior, pretende una formación integral y propedéutica dentro del área, para acceder a la educación superior, y contar
con educación para la vida.
11
OBJETIVOS DEL PLAN DE ESTUDIOS
GENERAL: Formar integralmente egresados con una concepción holística de la realidad, que sean capaces de
interpretarla y coadyuvar responsablemente a la transformación del mundo social y natural, así como a la
conservación del medio ambiente en beneficio de la sociedad, a partir del carácter formativo, general y
propedéutico del Nivel Medio Superior de la BUAP. Esto se consolidará a través de una educación
humanista para la vida, expresada en su actividad cotidiana como ciudadano y en la preparación para el
ingreso a estudios de nivel superior
OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA
Al concluir el curso los alumnos habrán aprendido contenidos básicos de carácter cognitivo, procedimental y
actitudinal propios de la matemática de la forma, especialmente los relativos a las relaciones métricas de los
cuerpos reales desde el punto de vista de la magnitud y de la posición, desarrollando en el transcurso la apreciación
matemática del espacio en sus versiones euclidiana y cartesiana, comprobando y apreciando los resultados
obtenidos.
12
Mapa conceptual de la asignatura
13
MAPA CONCEPTUAL DE LA PRIMERA UNIDAD:
GEOMETRÍA
Término
primitivo
s
Definición
Postulado
Teorema
Mediante
demostración
Las bases son
Medición
Se
agrega
Longitud Ángulo
s
Con
postulados
para
Geometría
de
incidencia
Primeros
resultados
Esencial para
la geometría
euclidiana
Paralelism
o
Triángulo
Se introduce un
importante objeto y
medio de estudio
14
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD 1 PUNTOS, RECTAS, PLANOS, ÁNGULOS Y MEDICIÓN.
TRIÁNGULOS (1)
Carga Horaria
20 hrs.
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD
OBJETIVOS CONCEPTUALES OBJETIVOS PROCEDIMENTALES OBJETIVOS ACTITUDINALES
Al finalizar la presente unidad los alumnos estarán en condiciones de:
1. Describir en propias palabras las
nociones de: término indefinido,
postulado, definición y teorema
2. Seguir los pasos de demostraciones
dando las correspondientes
justificaciones
3. Explicar las ideas básicas de la
axiomática de incidencia
4. Explicar con auxilio de regla
graduada y transportador los
postulados de la medida de
segmentos y ángulos
5. Describir los pares de ángulos
importantes que se forman cuando
una secante corta a dos rectas
(incluidos opuestos por el vértice y
suplementarios)
1. Identificar elementos del entorno físico (del
aula, etc.) con nociones geométricas (rectas,
ángulos, etc.) y usar esas correspondencias en el
planteamiento y resolución de problemas
geométricos.
2. Efectuar procedimientos deductivos breves
3. Utilizar sistemáticamente procedimientos
heurísticos
4. Participar en desarrollos constructivos de temas
selectos en actividades grupales.
5. Utilizar sensatamente software para conjeturar o
ilustrar propiedades de figuras o relaciones entre
ellas
Realizar construcciones geométricas sencillas con
ayuda de los instrumentos de dibujo
a. Responsabilizarse y tomar iniciativas en su
propio aprendizaje, lo que le permitirá hacer
sugerencias didácticas para desarrollar temas
del curso
b. Practicar una actitud crítica, que le permita
superar las limitaciones de sus conocimientos
geométricos previos
c. Auto regulación responsable de su
comportamiento a partir de los acuerdos
adoptados en el grupo académico
d. Respeto a los compañeros y profesor (a) en el
examen y crítica de los diversos puntos de vista
que se susciten en las actividades académicas,
particularmente en las que se efectúan por
equipos
e. Interesarse por la investigación sobre formas y
configuraciones geométricas en el plano
f. Autocriticar de forma constructiva los errores
geométricos en construcciones o
representaciones
7. Interesarse por la presentación limpia, ordenada y
clara de los trabajos geométricos que efectúe
durante el curso, reconociendo el valor práctico
que esto posee
15
INTRODUCCION A LA UNIDAD
El objetivo de la asignatura nos remite de entrada a la matematización del espacio y de las formas de lo existente en él, vienen de inmediato
a la mente propósitos al respecto: desarrollar la imaginación espacial y geométrica; familiarizarse con los objetos, propiedades y relaciones de la
geometría; articular todo ello en un “cálculo” geométrico, con el cuál se pueda conectar todo lo anterior con la actividad que lo originó, a saber, la
resolución de cierta clase específica de problemas prácticos, en particular más accesibles a la percepción que los característicos de otras ramas de
las matemáticas, atributo que es la base de otra virtud de la geometría, su aptitud para construir la noción de demostración. Pero hay que empezar
por el principio, y para nosotros es la geometría euclidiana, el producto más directo de la percepción del espacio y de la forma, adicionándole un
elemento moderno poderoso que los griegos clásicos no lograron edificar con los mismos estándares de rigorismo que ellos consagraron, nos
referimos a la medida, con lo cual se facilitan muchos de sus conceptos. A su vez, los elementos básicos son los sugeridos por el título de la
unidad; se puede decir que la idea que articula a la unidad es la de geometría de incidencia, la que trata de las relaciones entre los elementos
geométricos más elementales. Si bien se empezará a atender la deducción, en general se evitará ese enfoque en términos globales, a lo más se
efectuarán axiomáticas locales
16
CONTENIDOS EDUCATIVOS Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
Contenidos temáticos Descripción de los temas Comentarios y estrategias didácticas Utc
I.1 Visualización de puntos,
rectas, planos y ángulos
I.2 Términos no definidos,
postulados, definiciones y
teoremas. Postulados de
incidencia
1.3 Segmentos, rayos y
distancia
Rememoración de algunos elementos de la
geometría asimilada hasta el presente
Descripción de las correspondientes
nociones
Primeros postulados y teoremas de
incidencia:
- Postulado 1: dos puntos definen una
recta
- Postulado 2: tres puntos no alineados
definen un plano
- Teorema: si dos rectas se intersecan,
lo hacen en un sólo punto
- Teorema: si dos rectas se intersecan,
están contenidas en el mismo plano
Definiciones
Representaciones
Postulado de la regla
Los alumnos deben distinguir los objetos de estudio de
esta sección y algunas de sus relaciones en figuras
geométricas dadas en dos y tres dimensiones, en la
mayor medida posible en contextos realistas, lo mismo
que en formas del entorno,
Se introducen para pulir y precisar lo dicho en I.1
Observación: cuando anotamos aquí proposiciones,
sólo se escribe la idea principal, no el enunciado
preciso, cosa que debe hacerse en la clase
En general, es muy conveniente utilizar un software
adecuado para visualizar el sentido de las
proposiciones, en el caso de los teoremas conviene
conjeturar los resultados antes de presentar el
procedimiento formal
Utilizar correctamente la regla para dibujar y medir
segmentos
Se omite el postulado de la adición de segmentos, que
se usará implícita e intuitivamente; lo mismo se hará
con el punto medio de un segmento, no cuidaremos
demasiado este aspecto del formalismo.
Básicamente dice que: la “madre de todas las reglas
graduadas” es la recta de los números reales:
precisión máxima, extensión infinita, “linealidad”
2
3
3
17
I.4 Ángulos y medición de
ángulos
I.5 Algunos pares especiales de
ángulos
I.6 Paralelismo y teoremas al
respecto
Congruencia de segmentos
Definición
Postulado del transportador
Ángulos congruentes
Ángulos adyacentes
Bisectriz de un ángulo
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Ángulos opuestos por el vértice
Teorema. estos últimos son congruentes
Rectas perpendiculares
Rectas paralelas
Recta secante (o transversal) a otras y
clases de pares de ángulos generados
Teoremas relativos a los pares de ángulos
generados por una secante a dos restas
Dos rectas perpendiculares a una tercera
son paralelas entre sí
Postulados de las paralelas
perfecta, completitud numérica
Como en I.3, se omite el postulado de adición de
ángulos, en cambio, por ejemplo, a diferencia de la
omisión del punto medio de un segmento, no
conviene omitir la definición de la bisectriz por ser
menos familiar
Omitimos la proposición: si dos ángulos son
suplementos de ángulos congruentes, los dos ángulos
son congruentes (y el análogo para complementos),
porque no estamos interesados en un desarrollo
axiomático riguroso. En adelante seguiremos esta
orientación
Efectuar suficientes ejercicios con los alumnos
trabajando en equipos.
Conocer y utilizar procedimientos para el trazado de
paralelas y perpendiculares con regla y compás
Nombrar los distintos tipos de ángulos determinados
por una recta secante a otras dos
Ejercitar los cálculos relativos a los pares de ángulos
generados por la secante que corta a dos paralelas
Puede comentarse su necesidad y su historia
Reconocer la clase a la que pertenece un triángulo
atendiendo a sus lados y a sus ángulos y justificar por
3
3
5
18
Clasificación de triángulos por sus lados y
por sus ángulos
qué
Construir un triángulo, dados los tres lados, dos lados
y el ángulo comprendido, o un lado y los dos ángulos
contiguos
19
MAPA CONCEPTUAL DE LA SEGUNDA UNIDAD:
Permite
generalizar la
TRIÁNGULOS
Congruencia
Desigualdad
geométrica
Semejanza
Proporcionalidad (tr. Fundamental)
Una de sus
primeras
cualidades
Importantes para
caracterizar a la
La contraparte
de la
congruencia
Una cualidad más
débil que la
congruencia
Axiomática
local
Posibilita
una
Axiomática
local
Posibilita
una
Geometría
euclidiana (postulado V)
20
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD 2 TRIÁNGULOS: TEOREMAS, CONGRUENCIA Y
SEMEJANZA
Carga Horaria
22 utc
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD
OBJETIVOS CONCEPTUALES OBJETIVOS PROCEDIMENTALES OBJETIVOS ACTITUDINALES
Al finalizar la presente unidad los alumnos estarán en condiciones de:
1.
2. Identificar las partes correspondientes
en figuras congruentes o semejantes
3. Dado un conjunto de triángulos
identificar los que son congruentes,
indicando el correspondiente criterio
4. Dado un conjunto de triángulos
identificar los que son semejantes,
indicando el correspondiente criterio
5. Conocer el teorema de Pitágoras
1. Construir triángulos con regla y compás,
con base en elementos dados
2. Dadas demostraciones de las propiedades
básicas de los triángulos, justificar los
pasos
3. Resolver problemas que requieran el uso
de propiedades de triángulos
4. Resolver problemas que requieran el uso
de congruencia o de semejanza de
triángulos
5. Motivar los teoremas con el uso de un
software
6. Resolver problemas que involucren el
teorema de Pitágoras
1. Responsabilizarse y tomar iniciativas en su
propio aprendizaje, lo que le permitirá hacer
sugerencias didácticas para desarrollar temas
del curso
2. Practicar una actitud crítica, que le permita
superar las limitaciones de sus conocimientos
geométricos previos
3. Auto regulación responsable de su
comportamiento a partir de los acuerdos
adoptados en el grupo académico
4. Respeto a los compañeros y profesor (a) en el
examen y crítica de los diversos puntos de vista
que se susciten en las actividades académicas,
particularmente en las que se efectúan por
equipos
5. Interesarse por la investigación sobre formas y
configuraciones geométricas en el plano
6. Autocriticar de forma constructiva los errores
geométricos en construcciones o
representaciones
7. Interesarse por la presentación limpia, ordenada
y clara de los trabajos geométricos que se
efectúen durante el curso, reconociendo el valor
práctico que esto posee
21
INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD
El triángulo se mantiene como un excelente instrumento geométrico para abordar una gran diversidad de aplicaciones, sean de carácter
puramente matemático o extramatemático, en esta unidad desarrollamos sus propiedades más usuales, empezando con el conocido teorema de la
constancia de la suma de los ángulos interiores y otros teoremas importantes de carácter semejante para lo que bastan los postulados de incidencia
y el postulado 5 de Euclides; pero enseguida se introducen otros postulados que nos permitirán desarrollar el tema de la igualdad de triángulos, o,
con más propiedad, de la congruencia de triángulos; haremos lo propio para estudiar la semejanza de triángulos, que, en particular nos conducirá al
teorema de Pitágoras y a la trigonometría, parte esta última que se estudia en la Unidad 4
22
CONTENIDOS EDUCATIVOS Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
Contenidos Descripción de los temas Sugerencias didácticas utc II.1 Triángulos
II.1 Teoremas básicos sobre
triángulos
II.2 Congruencia de Triángulos
II.3 Rectas y puntos notables en
el triángulo
Introducción
Suma de los ángulos interiores
Un ángulo externo es igual a la suma de los
dos ángulos interiores no adyacentes a él
Suma de los ángulos exteriores
Definición
Postulados de congruencia
teorema del triángulo isósceles
A lado mayor se opone mayor ángulo
Desigualdad del triángulo
Mediatrices y circuncentro, bisectrices e
incentro, medianas y baricentro, alturas y
ortocentro
Motivar los teoremas con un software adecuado, por
ejemplo el cabri-gomètre II
Se puede comentar el quinto postulado de Euclides
Partir de la noción de que dos figuras son congruentes
cuando “tienen la misma forma y tamaño” ¿Cuándo
tienen la misma forma y tamaño”?, postulamos que
cuando sus lados son respectivamente congruentes,
etc.
Ejercitar suficientemente el tema de la congruencia,
desde los ejercicios directos (dados los datos,
identificar el postulado que garantiza la congruencia),
hasta los problemas cuya resolución implica el uso de
triángulos congruentes
Son consecuencia de la congruencia de triángulos
Puede como ejercicio y como verificación
determinarse la recta de Euler
4
5
5
23
II.4 Semejanza
de triángulos
Definición
Postulados de semejanza
Teorema fundamental de la
proporcionalidad
teorema de Pitágoras
La noción inicial es que dos triángulos son semejantes
si tienen la misma forma pero no el mismo tamaño:
por ejemplo, postulamos que esto ocurre cuando sus
ángulos son respectivamente congruentes, etc.
Ejercitar suficientemente el tema de la semejanza,
desde los ejercicios directos (dados los datos,
identificar el postulado que garantiza la congruencia),
hasta los problemas cuya resolución implica el uso de
triángulos semejantes
Una paralela a un lado de un triángulo determina en
los lados intersecados segmentos proporcionales
De ser posible examinar una prueba geométrica y una
analítica
Dadas las longitudes de los tres lados de un triángulo
reconocer si es o no rectángulo
Calcular el lado desconocido de un triángulo
rectángulo conocidos los otros dos lados
Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de
problemas geométricos sencillo.
9
24
MAPA CONCEPTUAL DE LA TERCERA UNIDAD:
Polígonos y
circunferencia
Polígono
Digonales
Perímetros
y áreas
Circunferencia
Rectas
notables Ángulos
notables
D
P
25
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD 3 POLÍGONOS, CUADRILÁTEROS Y CIRCUNFERENCIA
Carga Horaria
22 utc
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD OBJETIVOS CONCEPTUALES OBJETIVOS PROCEDIMENTALES OBJETIVOS ACTITUDINALES
Al finalizar la presente unidad los alumnos estarán en condiciones de:
1. Clasificar los polígonos por el
número de lados
2. Clasificar los polígonos por sus
ángulos
3. Comparar las características de
diferentes clases de cuadriláteros
4. Describir los elementos de la
circunferencia
5. Describir los ángulos en la
circunferencia
6. Describir las características de los
polígonos regulares, sus
elementos y sus relaciones
básicas
7. Conocer los elementos de la
circunferencia y sus relaciones
1. Calcular el número de diagonales que se pueden
trazar desde un vértice y el número total de
diagonales en un polígono
2. Calcular la suma de ángulos interiores de un
polígono
3. Construir cuadriláteros a partir de algunos de sus
elementos y de sus relaciones
4. Medir o calcular ángulos centrales, inscritos,
exteriores, interiores y seminscritos
5. Aplicar procedimientos y fórmulas para el
cálculo directo de áreas y perímetros de figuras
planas
6. Aplicar los procedimientos del cálculo de
perímetros y áreas para resolver problemas
realizar cálculos y construcciones basados en
ellos.
1. Responsabilizarse y tomar iniciativas en su
propio aprendizaje, lo que le permitirá hacer
sugerencias didácticas para desarrollar temas
del curso
2. Practicar una actitud crítica, que le permita
superar las limitaciones de sus conocimientos
geométricos previos
3. Auto regulación responsable de su
comportamiento a partir de los acuerdos
adoptados en el grupo académico
4. Respeto a los compañeros y profesor (a) en el
examen y crítica de los diversos puntos de vista
que se susciten en las actividades académicas,
particularmente en las que se efectúan por
equipos
5. Interesarse por la investigación sobre formas y
configuraciones geométricas en el plano
6. Autocriticar de forma constructiva los errores
geométricos en construcciones o
representaciones
7. Interesarse por la presentación limpia, ordenada
y clara de los trabajos geométricos que se
efectúen durante el curso, reconociendo el valor
práctico que esto posee
26
INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD
La geometría, a través de los polígonos está presente en múltiples ámbitos del sistema productivo de nuestras actuales sociedades
(producción industrial, diseño, arquitectura, topografía, etc.). La forma geométrica es también un componente esencial del arte, de las artes
plásticas, y representa un aspecto importante en el estudio de los elementos de la naturaleza. Los conceptos apoyados en la realidad de las figuras
adquieren más sentido y se aprenden mejor, con el estudio de los polígonos y en general de la geometría, se podrá reconocer diversos elementos
geométricos en el mundo real, utilizar modelos de la geométricos para representar situaciones de la vida real y resolver problemas prácticos,
interpretando su solución. También a través de este tema se ratificará que en las matemáticas se tiene un recurso formal un recurso formal para
fomentar y desarrollar un pensamiento crítico y analítico. Por lo demás, continuamos con un estudio más intuitivo que axiomático.
27
CONTENIDOS EDUCATIVOS Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
Contenidos Descripción de los temas Sugerencias didácticas utc
III.1 Polígonos
Definición, nomenclatura y elementos
Clasificación
Número de diagonales trazadas desde un
vértice y el número real de diagonales
Suma de ángulos internos
Perímetros y áreas de polígonos regulares
Construir con regla y compás un hexágono regular de
lado desconocido.
Distinguir polígonos regulares de no regulares y explica
el por qué son lo uno o lo otro.
Clasificación por el número de lados: triángulo,
cuadrilátero, pentágono, etc.
Conocer el valor de la suma de los ángulos de un
polígono y utilizarlo para realizar mediciones indirectas
de ángulos.
Calcular la medida del ángulo central y del ángulo
interior de un polígono regular.
Construir polígonos regulares a partir del ángulo
central.
Cálculo del apotema de un polígono regular a partir del
lado y del radio.
Utilizar la relación entre radio, apotema y lado para,
hallar uno de estos elementos a partir de los otros,
aplicando el teorema de de Pitágoras.
Calcular áreas y polígonos por aplicación de la formula,
por descomposición y composición y aplicar la técnica
de triangulación para calcular el área de polígonos
irregulares.
Trazar los ejes de simetría de un polígono regular
dado, previas definiciones al respecto.
7
28
III.2 Cuadriláteros
III.3 Circunferencia
Definición
Paralelogramo
Algunos cuadriláteros especiales:
rectángulo, rombo, cuadrado
Definición y elementos
Ángulos en la circunferencia: inscrito,
central, interior, exterior, semi-inscrito
Perímetro y área del círculo
Los lados opuestos son congruentes, los ángulos
opuestos son congruentes, las diagonales se bisecan,
dos ángulos consecutivos son suplementarios.
Comprobaciones con software educativo.
Las diagonales de un rectángulo son congruentes, las
diagonales de un rombo son perpendiculares.
Comprobaciones con software educativo.
Construcción de triángulos equiláteros, cuadrados,
pentágono y hexágonos regulares por métodos basados
en sus propiedades y características. En este tema usar como auxiliar un software educativo.
Conocer las relaciones entre ángulos inscritos y
centrales en la circunferencia y utilizarlas para resolver
sencillos problemas geométricos Por definición, la
medida de un arco es la medida del ángulo central que
lo subtiende.
Relacionar numéricamente el radio de una
circunferencia con la longitud de una cuerda y su
distancia al centro.
Dada una recta, dibujar una (o dos) circunferencia
tangente(s) a ella(s) (conocido su centro o conocidos su
radio y el punto de tangencia).
Dada una circunferencia, dibujar otra circunferencia (o
dos) tangente a ella, conocido su centro o conocidos su
radio y el punto de tangencia.
Calcula el área y el perímetro de un sector circular
(dibujado) dándole el radio, el ángulo y la distancia del
centro a la base. Deducción de las fórmulas.
Calcular el área de figuras en las que debe
descomponer y recomponer para identificar otra figura
7
8
29
conocida.
Resolver situaciones problemáticas en las que
intervengan las áreas y los perímetros. Estimación
como paso previo a las diversas mediciones (para tener
una primera idea del resultado y, después, poder juzgar
lo razonable de las mismas)
30
MAPA CONCEPTUAL DE LA CUARTA UNIDAD:
En particular se
emplean las
Y el
procedimiento
Inverso al de la
función
Generalizando los
conceptos de
Tiene un apoyo
visual en las Sus medios de
transformación
son las
Se generaliza al
comportamiento
cíclico en la
Originalmente
se ocupa para
TRIGONOMETRÍA
Resolver
triángulos
Trigonometría
analítica
Ángulo
(en posición
.normal)
Identidades
trigonométricas Ecuaciones
trigonométricas
Función
trigonométrica
Razón trigonométrica
La medición
indirecta origina la
Motiva las
definiciones
para la
Gráficas de las
Fun. Trigonom.
amplitud frecuencia
periodo
Facilitan la
comprensión de
31
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD 4 TRIGONOMETRÍA
Carga
Horaria
25 utc
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD OBJETIVOS CONCEPTUALES OBJETIVOS PROCEDIMENTALES OBJETIVOS ACTITUDINALES
Al finalizar la presente unidad los alumnos estarán en condiciones de:
1. Reconocer la diferencia que existe
entre el estudio de la trigonometría
del triángulo y la trigonometría
analítica
2. Reconocer la relación que existe entre
razones trigonométricas y funciones
trigonométricas
3. Describir el concepto de identidad
trigonométrica
4. Dada una función de la forma
( )y a sen bx c , identificar los
parámetros de amplitud, frecuencia y
fase e identificarlos en la respectiva
gráfica, lo análogo para el caso del
coseno
1. Manejar con soltura las razones
trigonométricas
2. Resolver triángulos
3. Simplificar expresiones dadas mediante
identidades trigonométricas
4. Verificar identidades trigonométricas de
baja y mediana dificultad
5. Graficar las funciones seno, coseno y
tangente
6. Resolver ecuaciones trigonométricas
1. Responsabilizarse y tomar iniciativas en su
propio aprendizaje, lo que le permitirá hacer
sugerencias didácticas para desarrollar temas
del curso
2. Practicar una actitud crítica, que le permita
superar las limitaciones de sus conocimientos
geométricos previos
3. Auto regulación responsable de su
comportamiento a partir de los acuerdos
adoptados en el grupo académico
4. Respeto a los compañeros y profesor (a) en el
examen y crítica de los diversos puntos de vista
que se susciten en las actividades académicas,
particularmente en las que se efectúan por
equipos
5. Interesarse por la investigación sobre formas y
configuraciones geométricas en el plano
6. Autocriticar de forma constructiva los errores
geométricos en construcciones o
representaciones
7. Interesarse por la presentación limpia, ordenada
y clara de los trabajos geométricos que se
efectúen durante el curso, reconociendo el valor
práctico que esto posee
32
INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD El significado etimológico de trigonometría viene a ser la medición de los triángulos y corresponde a lo que hoy denominamos como
resolución de triángulos, nace de la necesidad de la medida indirecta, su base ha sido la semejanza de triángulos y bien se sabe de
su amplio rango de aplicaciones, ya sea para calcular magnitudes de un terreno o para estimar la distancia a una estrella. Pero sus
mayores éxitos matemáticos o extra matemáticos provienen del hecho de ser la base para estudiar los fenómenos cíclicos, desde el
funcionamiento del corazón hasta el movimiento de los cuerpos celestes; pero cabe destacar su papel en el estudio de toda clase de
fenómenos ondulatorios, como los involucrados en las comunicaciones de TV. El paso de la acepción original de trigonometría a la de
la base de los fenómenos cíclicos se corresponde con el tránsito de la trigonometría del triángulo a la trigonometría analítica de que
hablaremos aquí, basada en el uso de elementos de la geometría cartesiana. En una u otra forma, la importancia de la trigonometría
en matemáticas es inestimable.
33
CONTENIDOS EDUCATIVOS Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
Contenidos Descripción de los temas Sugerencias didácticas utc IV.1 Trigonometría del triángulo
IV.2 Resolución del triángulo
rectángulo
IV.3 Resolución de triángulos
oblicuángulos
Triángulo rectángulo
Definición de las razones trigonométricas
Aplicaciones de las razones trigonométricas
Ley de senos
Ley de cosenos
Obtener las razones trigonométricas de un ángulo
agudo, en un triángulo rectángulo, conociendo los
lados de este.
Obtener una función trigonométrica de un ángulo
agudo conociendo otra.
Obtener las razones trigonométricas exactas de
30°, 45° y 60°.
Justificar el hecho de que las razones
trigonométricas dependan del ángulo y no del
tamaño del triángulo
Utilización de papel milimetrado para fabricarse
un sencillo instrumento con el qué medir
directamente las razones trigonométricas de un
ángulo.
Uso de la calculadora científica para el cálculo de
las funciones trigonométricas de un ángulo
cualquiera, para conocer el ángulo a partir de una
de las razones trigonométricas o para obtener una
razón trigonométrica conociendo ya otra.
Obtención de las identidades trigonométricas
fundamentales.
Ejercicios y resolución de problemas con los alumnos
trabajando en equipos
Hay que probar que si A es un ángulo obtuso y A‟ es
su suplemento, entonces las leyes se mantienen en las
siguientes formas (estrategia de la altura):
' 2 2 2
y 2 cos 'sen A senB senC
a b c bc Aa b c
34
IV.4 Generalidades sobre
sistemas coordenadas de
rectangulares
IV.5 Trigonometría analítica
IV.6 Definición de las funciones
trigonométricas para
ángulos en posición
normal
IV.7 Identidades trigonométricas
Distancia entre dos puntos
Escala
División de un segmento de recta en una
razón dada
Lugares geométricos
Generalidades
El ángulo en geometría y en
trigonometría. Medida circular y
sistema sexagesimal
Ángulo en posición normal
Signos de las funciones en los
cuadrantes
Funciones trigonométricas de ángulos
múltiplos de /2
Funciones trigonométricas de un ángulo de
cualquier magnitud
Fundamentales
Ejercicios y resolución de problemas con los alumnos
trabajando en equipos
Definir la distancia entre dos puntos de la recta
numérica. Calcular la distancia entre dos puntos en el
plano
Dibujar un polígono, dadas las coordenadas de los
vértices, con dos escalas distintas, apreciando las
diferencias para poder elegir la más conveniente, según
el propósito.
Conviene distinguir entre longitud de un segmento y
longitud de un segmento dirigido
Hallar el punto medio de un segmento
Hallar el simétrico de un punto respecto de otro
Efectuar ejercicios en los dos sentidos usuales: dada la
condición realizar el dibujo y recíprocamente
Obtener una función trigonométrica de un ángulo en
posición normal conociendo otra y un dato adicional
Obtiene las razones o las funciones trigonométricas
de un ángulo cualquiera dibujándolo en la
circunferencia goniométrica (unitaria) y
relacionándolo con alguno del primer cuadrante
Verificar identidades trigonométricas de baja y
mediana dificultad
35
IV.8 Gráficas de las funciones
trigonométricas
IV.9 Ecuaciones
trigonométricas
De ángulos compuestos
Seno
Coseno
Tangente
Resolubles con operaciones algebraicas
simples
Resolubles con identidades
Simplificar expresiones trigonométricas
Verificar identidades trigonométricas de baja y
mediana dificultad
Simplificar expresiones trigonométricas
Ejercicios como el cálculo de valores exactos de
ángulos como 0 0
3075 45o
El caso más general a abordar es:
( )y a sen bx c
Incluir de manera oportuna ejercicios de los alumnos,
trabajando en equipo
36
MAPA CONCEPTUAL DE LA QUINTA UNIDAD:
Elementos definitorios
Partiendo de una llegar a la otra
El caso de
Partiendo de una llegar
a la otra
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Álgebra Geometría
Sistema de coordenadas
Componentes básicos
Dado un lugar
geométrico
hallar
Dada una
ecuación
hallar
Ecuación Lugar
geométrico
Ecuación
lineal
La recta
El caso de
pendiente pendiente
Agregamos Agregamos
Elementos
definitorios
Ecuación
cuadrática en
x y en y
El caso de
La circunferencia
El caso de
Discriminante > 0 Centro radio
agregamos
problemas
Distancia entre dos puntos
agregamos
37
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA. GENERALIDADES, RECTA Y
CIRCUNFERENCIA
Carga
Horaria
23 utc
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD OBJETIVOS CONCEPTUALES OBJETIVOS PROCEDIMENTALES OBJETIVOS ACTITUDINALES
Al concluir la presente unidad los estudiantes estarán en condiciones de:
1. Describir un lugar geométrico
dada la condición
2. Describir la pendiente como
una razón de cambio
3. Identificar las condiciones
suficientes para determinar una
recta
4. Identificar la fórmula para
obtener la ecuación de una
recta, dependiendo de los datos
dados
5. Identificar las condiciones
necesarias para determinar una
circunferencia
1. Hallar la ecuación de una recta dados los datos
suficientes
2. Trazar una recta dada su ecuación
3. Manejar con soltura las distintas formas de la
ecuación de una recta y resolver con ellas
problemas de intersección, paralelismo y
perpendicularidad
4. Trazar una circunferencia dada su ecuación
5. Hallar la ecuación de una circunferencia dados los
datos suficiente
6. Resolver los problemas típicos relacionados con
la circunferencia
1. Responsabilizarse y tomar iniciativas en su
propio aprendizaje, lo que le permitirá hacer
sugerencias didácticas para desarrollar temas
del curso
2. Practicar una actitud crítica, que le permita
superar las limitaciones de sus conocimientos
geométricos previos
3. Auto regulación responsable de su
comportamiento a partir de los acuerdos
adoptados en el grupo académico
4. Respeto a los compañeros y profesor (a) en
el examen y crítica de los diversos puntos de
vista que se susciten en las actividades
académicas, particularmente en las que se
efectúan por equipos
5. Interesarse por la investigación sobre formas
y configuraciones geométricas en el plano
6. Autocriticar de forma constructiva los
errores geométricos en construcciones o
representaciones
7. Interesarse por la presentación limpia,
ordenada y clara de los trabajos geométricos
que se efectúen durante el curso,
reconociendo el valor práctico que esto posee
38
INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD En el año de 1637 publicó Rene Descartes (1596-1650) su geometrie, dividida en tres libros, de los cuales dedica el segundo a lo que se
ha llamado Geometría Analítica, en ella establece el enlace entre el número y el espacio, y aunque su importancia sólo se evidenció años más
tarde, su publicación influyó en forma decisiva en el desarrollo de todas las ramas de las ciencias exactas; aunque si se ve el inicio de la geometría
analítica en el uso de coordenadas para localizar un punto, entonces sus albores se remontan a Arquímedes (287-212 a. de J.C.), a Apolonio de
Perga (siglo II a. de J.C.) y, cerca de 18 siglos después, a J. Képler (1571-1630), pues para el estudio de las cónicas se valían ya, sustancialmente,
de las coordenadas (cartesianas) refiriéndose, empero, a ejes intrínsecamente conectados con la curva estudiada.
Pero en cuanto al logro principal de René Descartes (1596-1650) en su propia opinión y en la de otros fue que su método permitió liberar
a la geometría de los argumentos típicos de Euclides y Apolonio, criticados por la ausencia de un método general, hay subrayar aquí el uso de los
métodos algebraicos, podríamos decir que hasta el siglo XVII el álgebra estuvo subordinada a la geometría y a partir de este momento el rol se
invirtió y, con ello, se dio un cambio sustancial en la historia de las matemáticas.
Aquí subrayaremos la naturaleza de la geometría analítica como una fructífera síntesis entre la geometría y el álgebra, lograda con base
en el concepto de sistema de coordenadas; en este contexto, se entienden los dos problemas fundamentales de la analítica: dada una cierta figura
geométrica, hallar una expresión algebraica que la caracteriza y recíprocamente; en esto se basa lo que se presenta enseguida.
39
CONTENIDOS EDUCATIVOS Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
Contenidos Descripción de los temas Comentarios y sugerencias didácticas utc
V.1.1 Generalidades
V.1.2 Pendiente de una recta
V.1.3 La recta
V.1.4 Formas de la ecuación de
la recta
V.2 Trazar la gráfica de una
ecuación de primer grado
con dos variables
V.3 Distancia de un punto a una
recta
V.4 La circunferencia
Los dos problemas fundamentales de la
geometría analítica y su aplicación a la
pareja recta-ecuación de 1er grado
Inclinación de una recta
Pendiente de la recta
Rectas paralelas y rectas perpendiculares
Definición de recta como lugar geométrico
Dos puntos, punto - pendiente, pendiente –
ordenada en el origen, simétrica, general,
normal
Definición de circunferencia como lugar
geométrico
Forma ordinaria
Explorar estos conceptos con software
En particular describir la pendiente como razón de
cambio e ilustrar con ello la equivalencia de pendientes
de la forma np
mnq
, siendo n un número real
Comprobar con la ecuación si puntos dados pertenecen
o no a la recta
Aplicación de la recta en modelación de situaciones
reales
Aplicaciones matemáticas como la determinación de
los puntos notables en los triángulos
El tema anterior pertenece al llamado “primer
problema fundamental de la geometría analítica” (dada
la figura determinar la ecuación), el presente se refiere
al caso recíproco, que correspondería al “segundo
problema de la geometría analítica”.
Distinguir entre la distancia del punto a la recta y la
distancia dirigida, relacionadas con los signos del
radical en la fórmula.
1
40
V.5 Trazar la gráfica de una
ecuación de la forma
x2 + y
2 + Dx + Ey + F = 0,
si existe
Forma general
Aquí estamos en el primer problema fundamental de la
geometría analítica.
Comprobar con la ecuación si puntos dados pertenecen
o no a la circunferencia.
Dados tres puntos, hallar la ecuación.
Hallar la ecuación recta tangente a una circunferencia
de ecuación dada.
Determinar las intersecciones de una circunferencia
con una recta
Aplicación de la circunferencia en modelación de
situaciones reales.
Ahora estamos en el segundo problema fundamental de
la geometría analítica.
Identificación del centro y del radio de una
circunferencia dada su ecuación.
41
MAPA CONCEPTUAL DE LA SEXTA UNIDAD:
Partiendo de
una llegar a la
otra
CÓNICAS
Ecuación
Ax2 + Cy
2 + Dx + Ey + F = 0
Secciones de un cono
foco
Ejes de
curvas
directriz Distancia
Entre dos
puntos
Condiciones
sobre A y C
componentes geométricamente
algebraicamente
Parábola
AC = 0 y
A ≠ 0 ó C ≠ 0
Corresponde
a cada figura
según las
si Se
corresponden
Elementos
definitorios de la
Concepto para la
relación álgebra-
geometría para la
Para los casos de:
Circunferencia, elipse, hipérbola
no hay diferencias conceptuales
importantes, sólo definitorias
42
UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD 6 LAS CÓNICAS Carga
Horaria
X utc
OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD Al concluir la presente unidad los estudiantes estarán en condiciones de:
OBJETIVOS CONCEPTUALES OBJETIVOS PROCEDIMENTALES OBJETIVOS ACTITUDINALES
1. Comprender las secciones
cónicas como lugares
geométricos
2. Conocer la relación que existe
entre las representaciones
sintéticas y sus correspondientes
representaciones analíticas
3. Dada una ecuación de segundo
grado en dos variables,
determinar por inspección a qué
cónica corresponde
1. Convertir representaciones sintéticas
(geometría euclidiana) en analíticas
(„algebraicas‟) y recíprocamente
2. Resolver los problemas típicos
relacionados con las cónicas
1. Responsabilizarse y tomar iniciativas en su propio
aprendizaje, lo que le permitirá hacer sugerencias
didácticas para desarrollar temas del curso
2. Practicar una actitud crítica, que le permita superar las
limitaciones de sus conocimientos geométricos
previos
3. Auto regulación responsable de su comportamiento a
partir de los acuerdos adoptados en el grupo académico
4. Respeto a los compañeros y profesor (a) en el examen y
crítica de los diversos puntos de vista que se susciten en
las actividades académicas, particularmente en las que
se efectúan por equipos
5. Interesarse por la investigación sobre formas y
configuraciones geométricas en el plano
6. Autocriticar de forma constructiva los errores
geométricos en construcciones o representaciones
7. Interesarse por la presentación limpia, ordenada y clara
de los trabajos geométricos que se efectúen durante el
curso, reconociendo el valor práctico que esto posee
43
INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD El estudio de las secciones cónicas se inició en la Grecia clásica con Menecmo en el siglo IV a.d.C., y de hecho se llegó a la segunda cumbre
en la geometría clásica Griega alrededor de los 200 a. C. con el trabajo sobre las secciones cónicas de Apolonio (262-190 a.C.). Desde un interés
puramente matemático, las secciones cónicas han evolucionado hasta su utilidad en muchos y variados contextos.
Las aplicaciones de las cónicas son abundantes, por ejemplo, las propiedades de reflexión de la elipse son aprovechadas en la destrucción de
los cálculos renales y también las de la parábola en las antenas parabólicas. Para realizar ciertos movimientos mecánicos de los robots, se necesitan
engranes elípticos. La hipérbola es aprovechada en navegación (navegación hiperbólica, sistemas Navegadores Decca). Sin apenas darnos cuenta,
de muchas maneras las secciones cónicas son parte de nuestra vida diaria. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio
de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se
obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz
en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un
espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.
Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda
de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos
parabólicos. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco.
Es, por supuesto, de principal importancia el que se incluyeran en las descripciones del movimiento planetario de Kepler al inicio del siglo
XVII; y más tarde por Newton al final del siglo XVII cuando, en uno de los mayores adelantos en la ciencia, él dedujo de su ley de gravitación que
la forma de la órbita de los planetas era una elipse y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una
curva cónica.
44
CONTENIDOS EDUCATIVOS Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
Contenidos Descripción de los temas Comentarios y sugerencias didácticas utc
VI.1 Parábola
VI.1.2 Trazar la parábola dada la
ecuación
VI.2 Elipse
VI.2.1 Trazar la elipse dada la
ecuación
VI.3 Hipérbola
Definición de parábola como lugar
geométrico
Forma ordinaria de la ecuación de una
parábola
Forma general de la ecuación de una
parábola
Excentricidad
Dadas ecuaciones de las formas
Ax2+DX+Ey+F = 0 y Cy
2+DX+Ey+F = 0,
hallar las gráficas.
Definición de elipse como lugar geométrico
Forma ordinaria de la ecuación de una
elipse
Forma general de la ecuación de una elipse
Excentricidad
Dada una ecuación de la forma
Ax2+Cy
2+DX+Ey+F = 0, donde AC > 0,
hallar la gráfica
Definición de hipérbola como lugar
geométrico
Forma ordinaria de la ecuación de una
hipérbola
Trazar parábolas a mano
Se aborda el primer problema fundamental de la
geometría analítica
Hallar la ecuación dados tres puntos, conociendo la
posición del eje focal
Recta tangente a la parábola Entre las aplicaciones se sugieren la propiedad de
reflexión de la parábola y el tiro parabólico
Se aborda el segundo problema fundamental de la
geometría analítica.
Realizar ejercicios y resolver problemas con los
alumnos trabajando en equipo.
Trazar elipses a mano
Hallar la ecuación de la elipse dados cuatro puntos
Hallar la ecuación de la recta tangente a una elipse
Realizar ejercicios y resolver problemas, por ejemplo
la propiedad de reflexión de la elipse
Se aborda el segundo problema fundamental de la
geometría analítica.
Trazar hipérbolas a mano
Hallar la ecuación de la hipérbola dados cuatro puntos
Hallar la ecuación de la recta tangente a una hipérbola
45
VI.3.1 Trazar la hipérbola dada
la ecuación
VI.3.2 Asíntotas
Forma general de la ecuación de una
hipérbola
Excentricidad
Dada una ecuación de la forma
Ax2+Cy
2+DX+Ey+F=0, donde AC<0, hallar
la grafica.
Realizar ejercicios y resolver problemas, por ejemplo
la propiedad de reflexión de la hipérbola
Se insiste en el segundo problema fundamental de la
geometría analítica
Bastan los casos de las hipérbolas equiláteras y
conjugadas
46
ORIENTACIÓN DIDÁCTICO–PEDAGÒGICA
1. Ambientes
Salón de clases, biblioteca
Laboratorio de cómputo
Museo de ciencias
Sala audiovisual
2. El ambiente es concebido como construcción diaria, reflexión cotidiana, singularidad permanente que asegure la diversidad y con ella
la riqueza de la vida en relación; la expresión ambiente educativo induce a pensar el ambiente como sujeto que actúa con el ser
humano y lo transforma. De allí se deriva que educa la ciudad, la calle, la escuela, la familia, el barrio y los grupos de pares, entre
otros; involucra acciones, experiencias, vivencias por cada uno de los participantes, así como actitudes, condiciones materiales y
socio afectivas, múltiples relaciones con el entorno y la infraestructura necesaria para la concreción de los propósitos culturales que se
hacen explícitos en toda propuesta educativa. En el salón de clases, se trata de propiciar un ambiente que posibilite la comunicación y
el encuentro con las personas que participen en el proceso, dando lugar a materiales y actividades que estimulen la curiosidad, la
capacidad creadora y el diálogo, y donde se permita la expresión libre de las ideas, intereses, necesidades y estados de ánimo de todos
y sin excepción.
3. Enlistamos las siguientes líneas de trabajo a cuidar en el desarrollo del curso:
El entorno escolar ha de facilitar a todos y a todas el contacto con materiales y actividades diversas que permitan abarcar un amplio
abanico de aprendizajes cognitivos, afectivos y sociales.
El medio ambiente escolar ha de ser diverso, debiendo trascender la idea de que todo aprendizaje se desarrolla entre las cuatro paredes del
aula. Deberán ofrecerse escenarios distintos, -ya sean construidos o naturales- dependiendo de las tareas emprendidas y de los objetivos
perseguidos.
Establecer una interacción comunicativa efectiva y circular entre el maestro, el estudiante y el grupo, considerando las diferencias
individuales.
Fortalecer el autoconcepto y autoestima de los estudiantes y del maestro.
El carácter ético del entorno escolar.
Incorporar la lúdica en los ambientes educativos. Este punto da lugar a los procesos de construcción de identidad y pertenencia. cognitiva.
47
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA
A continuación presentamos algunas de las estrategias de enseñanza que el docente puede emplear con la intención de facilitar el aprendizaje
significativo de los alumnos
El docente:
al inicio de cada tema, escribirá en el pizarrón él o los objetivos a lograr
al final del desarrollo de un tema, realizará un resumen de la información relevante, donde se enfatizan conceptos clave
debe ubicar cada tema, de tal manera que cuide la continuidad de los conceptos y la presentación sistemática de la simbología
en la medida de lo posible, utilizará elementos visuales de los conceptos (interpretaciones) con la finalidad de facilitar su comprensión
insertará preguntas, ejercicios y problemas en el desarrollo de los temas, que permitan mantener la atención del estudiante y que al mismo
tiempo informe al profesor sobre el alcance de los objetivos
dará algunos pistas o señalamientos a los estudiantes que conlleven en la solución de ejercicios y problemas
presentará a los estudiantes el mapa conceptual de la unidad, con el fin de que ellos visualicen los conceptos importantes, la organización,
la estructura y sus interrelaciones
planteará problemas, su diseño y su solución
a través de trabajos, desarrollará la capacidad analítico-sintética de investigación
promoverá el trabajo en equipo, la toma de decisiones y el planear el trabajo
a través del planteamiento y resolución de ejercicios y problemas, desarrollará habilidades y destrezas
desarrollará la capacidad del razonamiento lógico-matemático
hará manejo de la tecnología informática y del lenguaje digital
Educación mediante descubrimiento guiado bajo el enfoque del constructivismo sociocultural.
48
RECURSOS DIDÁCTICOS
Salones adecuados (iluminación, ventilación, pizarrón y sillas)
Notas para el estudiante
Calculadora
Software
Libros de texto suficientes en la biblioteca ( los sugeridos en el programa)
Computadora con cañón en el salón de clase
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
La evaluación es un aspecto integral del proceso enseñanza-aprendizaje. El profesor deberá evaluar de manera continua para asegurar que
los alumnos estén logrando los objetivos del programa. Se sugiere que al detectar una deficiencia, el profesor retroalimente el aprendizaje en horas
de asesoría, o bien, dedique tiempo adicional durante la clase para aclarar cualquier concepto que no se domine adecuadamente. El profesor habrá
de propiciar que los alumnos participen activamente en las actividades y en los ejercicios, para lograr un aprendizaje significativo y tener éxito en
el curso.
La calificación de cada unidad temática se integrará de la siguiente manera:
1. Participación en clase: 15 %
2. Tareas y trabajos: 15 %
3. Examen escrito al final de la unidad: 70 %
Los aspectos a evaluar en cada caso son los siguientes:
49
1. Participación
La nota de participación se debe considerar para las sesiones normales de clase y debe incluir los siguientes criterios:
Las preguntas que hacen los alumnos al desarrollar un tema.
La preparación de la clase del tema en cuestión.
Las respuestas y comentarios sobre los conocimientos previos, a lo largo del tema y en general del curso.
La participación en la discusión de un tema.
El análisis y reflexión sobre el tema.
La participación activa en las actividades de clase
Revisión de libreta, comprobando el total de clases y la presentación
La nota de participación constituye un 15 % de la calificación de la unidad correspondiente.
2. Tareas y trabajos
Otro aspecto importante a evaluar son las tareas y trabajos, dichas actividades se evaluarán de acuerdo a los objetivos planteados, y se
sugiere incluir criterios tales como:
La creatividad que se desarrolle en los trabajos de investigación y tareas.
El manejo de información en tal o cual tema.
La reflexión generada por el trabajo.
Las estrategias o procedimientos matemáticos utilizados.
La calidad de la presentación final.
Los puntos evaluados en esta parte constituyen un 15 % de la calificación de la unidad correspondiente.
3. Examen escrito al final de la unidad:
El propósito de este examen es explorar en que medida han alcanzado los alumnos los objetivos de aprendizaje propuestos para la unidad
Este examen constituye un 70 % de la calificación final de cada unidad, siempre y cuando la calificación del examen sea aprobatoria.
50
La calificación final del curso será el promedio de las calificaciones obtenidas en las unidades temáticas, siempre y cuando se tengan aprobadas
más del 50 % de estas
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
1. Cuellar, Antonio. Geometría y Trigonometría. Mc-Graw Hill. México, 2006
2. Clemens, Stanley R., et. al. Geometría. Con Aplicaciones y Solución de Problemas. Addison-Wesley Iberoamericana. USA, 2001
3. Barnett, Ziegler & Byleen. Analytic Trigonomety. With Applications. Jhon Wiley & Sons, Inc. USA, 2003. Existe edición en español
4. Swokowski, Earl. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México, Grupo Iberoamérica, 1994.
5. Ruiz Basto Joaquín. Geometría Analítica. Grupo Patria Cultural. México, 2004.
6. Cuevas Vallejo, Carlos Armando, et al. Geometría Analítica Dinámica (incluye CD), Oxford, México,2005.
7. De Oteyza, Elena et al. Geometría Analítica. Prentice-Hall Hispanoamérica, México 2001.
8. Lehman, Charles. Geometría analítica. México, Limusa 1994.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
1. García Arenas, Jesús. Geometría y Experiencias, México, Alambra Mexicana,1995.
2. Ortiz Campos Francisco J. Geometría Analítica, México, Grupo Patria Cultural 2005
3. Rodríguez López Manuel. Geometría y trigonometría de bachillerato. Editorial Publicaciones Cultural. México, 2005.
4. Niles, Nathan O. Trigonometría plana. Noriega Limusa. México,1991.