proglog2011-2012

8/9/2019 ProgLog2011-2012

1/94

Programare Logică

Ioana Leustean

http://moodle.fmi.unibuc.ro/course/view.php?id=186

1

Cont ̧inutul cursului

Introducere in MAUDE

Signaturi şi algebre multisortate. Termeni

Morfisme. Tipuri abstracte de date. Algebre iniţial̆e Subalgebre. Algebre libere

Semantica termenilor

Ecuaţii. Relaţia de satisfacere

Specificaţii algebrice

Γ-algebra iniţială

2

Teorema constantelor. Demonstraţii prin inducţie

Logica ecuaţională: sintaxa Logica ecuaţională: corectitudine şi completitudine

Regula ”Subterm Replacement”

Rescrierea termenilor

Substituţii. Algoritmul de unificare

3

Sisteme de rescriere abstracte

Rescrierea termenilor: terminare, confluenţă, completare Logica ecuaţională şi rescriere local̆a

Deducţie şi rescriere modulo axiome

Semantica algebrei iniţiale

Clauze Horn. Rezoluţie

4

http://fmi.unibuc.ro/ro/departamente/funinf/leustean_ioana/http://moodle.fmi.unibuc.ro/course/view.php?id=186http://fmi.unibuc.ro/ro/departamente/funinf/leustean_ioana/http://moodle.fmi.unibuc.ro/course/view.php?id=186http://moodle.fmi.unibuc.ro/course/view.php?id=186http://moodle.fmi.unibuc.ro/course/view.php?id=186http://fmi.unibuc.ro/ro/departamente/funinf/leustean_ioana/http://fmi.unibuc.ro/ro/departamente/funinf/leustean_ioana/http://moodle.fmi.unibuc.ro/course/view.php?id=186http://fmi.unibuc.ro/ro/departamente/funinf/leustean_ioana/

8/9/2019 ProgLog2011-2012

2/94

8/9/2019 ProgLog2011-2012

3/94

Comenzi sistem

in ../nume-fisier.mod show module nume-modul .select nume-modul .show sorts .

show ops .reduce termen .reduce termen1 == termen2 .parse term .set trace on .set trace off .quit

Manual de Maude (html)

9

Maude> in PL/Exemple-Curs1.maude

==========================================

fmod MYNAT

Maude> show module MYNAT .

fmod MYNAT is

sorts Nat .op 0 : -> Nat .

op s_ : Nat -> Nat .

endfm

Maude> select MYNAT .

10

Maude> reduce s s s s s 0 .

reduce in MYNAT : s s s s s 0 .

rewrites: 0 in 6641663802ms cpu (0ms real) (0 rew/sec)

result Nat: s s s s s 0

Maude> parse s s s s s 0 .

N a t : s s s s s 0

Maude> reduce s s s 0 = = s s 0 .

reduce in MYNAT : s s s 0 == s s 0 .

rewrites: 1 in 10534570934ms cpu (0ms real) (0 rew/sec)

result Bool: false

11

Exemplul 1

fmod MYNAT is

sorts Nat .

op 0 : -> Nat .op s_ : Nat -> Nat .

endfm

Acest modul introduce tipul de date Nat.Datele de tip Nat sunt:

0, s 0, s s 0 , s s s 0 , s s s s 0, s s s s s 0, ...

Reprezentarea matematica:S = {Nat }, Σ = {0 :→ Nat , s : Nat → Nat }

(S , Σ) este o signatură şi defineşte o clasă de algebre (structuri,structuri algebrice). Algebra (N, 0, succesor ) este un obiect”privilegiat” al acestei clase.

12

http://maude.cs.uiuc.edu/maude2-manual/html/maude-manual.htmlhttp://maude.cs.uiuc.edu/maude2-manual/html/maude-manual.htmlhttp://maude.cs.uiuc.edu/maude2-manual/html/maude-manual.htmlhttp://maude.cs.uiuc.edu/maude2-manual/html/maude-manual.htmlhttp://maude.cs.uiuc.edu/maude2-manual/html/maude-manual.htmlhttp://maude.cs.uiuc.edu/maude2-manual/html/maude-manual.html

8/9/2019 ProgLog2011-2012

4/94

fmod ... endfm

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .

subsort Nat < ListNat .

op nil : -> ListNat .

op _;_ : ListNat ListNat -> ListNat [ assoc ] .var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

e q L ; n i l = L .

endfm

Structura generală a unui modul:• importuri (protecting, extending, including),• declararea sorturilor si a subsorturilor,• declararea operaţiilor,• declararea variabilelor,

• ecuaţii.13

Importuri

Exista trei modalitati de importare a modulelor

protectingse foloseste atunci cand datele definite in modulul importantnu sunt afectate de operatiile dau ecuatiile noului modul: nu

se construiesc date noi pe sorturi vechi (”no junk”) si nu suntidentificate date care in modulul initial erau diferite (”noconfusion”)

extendingpermite aparitia unor date noi pe sorturile vechi (”junk”) darnu p ermite identificarea datelor care in modulul initial eraudiferite (”no confusion”)

includingnu are restrictii

14

[assoc]

op _;_ : ListNat ListNat -> ListNat [ assoc ] .

Atributul [assoc] inlocuieste ecuatiile:

eq (L;P);Q = L;(P;Q) .

eq L;(P;Q) = (L;P);Q .

Ecuatiile definite cu eq sunt transformate in reguli de rescriere.Cele doua ecuatii care definesc asociativitatea duc la neterminarearescrierii, deci ele nu pot fi adaugate in sectiunea eq. Efectulatributului [assoc] este faptul ca rescrierea se face pe clase determeni ”modulo asociativitate”. In mod asemanator, atributul[comm] se foloseste pentru a indica faptul ca o operatie estecomutativa.

15

Exemplul 2

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .




var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

e q L ; n i l = L .

endfm

16

8/9/2019 ProgLog2011-2012

5/94

Exemplul 2

Reprezentarea matematica:

sort Nat ListNat .


op 0 : -> Nat .op s_ : Nat -> Nat .


op _;_ : ListNat ListNat -> ListNat .

Signatura (ordonat-sortată): ((S , ≤), Σ)S = {Nat , ListNat }, ≤⊆ S × S , ≤= {(Nat , ListNat )}Σ = {0 :→ Nat , s : Nat → Nat , nil :→ ListNat ,

; : ListNat ListNat → ListNat }

17

Exemplul 2

Reprezentarea matematica:


var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

e q L ; n i l = L .

Prezentare (multime de ecuatii):(γ 1)∀L.ListNat (nil ; L = L)(γ 2)∀L.ListNat (L; nil = L)(γ 3)∀L.ListNat ∀P .ListNat ∀Q .ListNat ((L; P ); Q = L; (P ; Q ))Γ = {γ 1, γ 2, γ 3}

18

Exemplul 2

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .subsort Nat < ListNat .



var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

e q L ; n i l = L .

endfm

Reprezentarea matematica a unui modul este o

specificatie algebrica ordonat-sortată((S , ≤), Σ, Γ)

19

Exemplul 2

Date de tipul ListNat sunt:

n i l ; s 0

s s 0 ; s 0 ; 0( n i l ; s 0 ) ; s s 0 ; n i l ; 0

Aceste date le numim expresii sau termeni.Un program este un modul, adică o specificaţie; modelulmatematic al unei specificaţii este o algebră de termeni; oexecuţie este o rescriere ı̂n algebra de termeni asociată.

Maude> select MYNATLIST .

Maude> reduce (nil ; s 0) ; s s 0 ; nil ; 0 .

reduce in MYNATLIST : (nil ; s 0) ; s s 0 ; nil ; 0 .

rewrites: 2 in 2753904389ms cpu (0ms real)

result ListNat: s 0 ; s s 0 ; 0

20

8/9/2019 ProgLog2011-2012

6/94

Exemplul 2

Maude> set trace on .

Maude> reduce (nil ; s 0) ; s s 0 ; nil ; 0 .

reduce in MYNATLIST : (nil ; s 0) ; s s 0 ; nil ; 0 .

*********** equation

e q n i l ; L = L .

L - - > s 0

nil ; s 0 ---> s 0


e q n i l ; L = L .

L --> 0

nil ; 0 ---> 0


result ListNat: s 0 ; s s 0 ; 0

21

Exemplul 2

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .

subsort Nat < ListNat .op nil : -> ListNat .


var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

e q L ; n i l = L .

endfm

Ce date defineste MYNATLIST?

22

Exemplul 2

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .




var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

e q L ; n i l = L .

endfm

Modulul MYNATLIST defineşte

k ≥0Nk

(secvenţele ordonate finite de numere naturale ).

Maude> reduce (0 ; s 0 ) == (0 ; s 0 ; 0) .

...

result Bool: false 23

Exemplul 3

fmod MYNATLIST1 is

protecting MYNAT .

sort ListNat .



op _;_ : ListNat ListNat -> ListNat [ assoc comm ] .

var L : ListNat .

var I : Nat .

eq nil ; L = L .

e q L ; n i l = L .

eq I ; I = I .

endfm

Maude> reduce (0 ; s 0) == (0 ; s 0 ; 0) ....

result Bool: true

Ce defineste MYNATLIST1 ?24

8/9/2019 ProgLog2011-2012

7/94

Exemplul 4

fmod COMPLEXINT is

protecting INT .

sort ComplexInt .

subsort Int < ComplexInt .

op _+i_ : Int Int -> ComplexInt .op i_ : Int -> ComplexInt .

op _+_ : ComplexInt ComplexInt -> ComplexInt [ditto] .

var z : Int .

e q 0 + i z = i z .

eq z +i 0 = z .

...

endfm

Observaţi supraı̂ncărcarea operaţiei + si atributul [ditto]+ : Int Int − > Int

+ : ComplexInt ComplexInt − > ComplexInt 25

Exemplul 5

fmod GRUP is

sort Element .

op e : -> Element .

op _+_ : Element Element -> Element [ assoc ] .

op -_ : Element -> Element .vars x y : Element .

eq e + x = x .

eq x + e = x .

e q ( - x ) + x = e .

eq x + (- x) = e .

eq - - x = x .

eq - e = e .

e q - ( x + y ) = ( - y ) + ( - x ) .

endfm

26

TRS canonic

O ecuaţie l = r se transformă, prin orientare de la stânga la

dreapta, ı̂ntr-o regulă de rescriere l → r . Ecuaţiile modululuiGRUP determină astfel un sistem de rescriere canonic:

orice şir de rescrieri se termină,

ordinea de aplicare regulilor de rescriere nu schimbă rezultatulfinal.

O ecuaţie t 1 = t 2 din teoria de ordinul I a grupurilor este verificatăı̂n orice grup dacă şi numai dacă există un termen t astfel ı̂nĉatt 1

∗→ t şi t 2

∗→ t .

Maude-ul poate fi utilizat ca demonstrator.

27

Exemplul 5

Maude> select GRUP .

Maude> reduce x + (-( - y + x)) == y .reduce in GRUP : x + - (- y + x) == y .


e q - ( x + y ) = - y + - x .

x - - > - y

y --> x

- ( - y + x ) - - - > - x + - - y


eq - - x = x .

x --> y

- - y - - - > y

28

8/9/2019 ProgLog2011-2012

8/94

Exemplul 5


eq x + - x = e .

x --> x

x + - x + y ---> e + y


eq e + x = x .

x --> y

e + y - - - > y


(built-in equation for symbol _==_)

y == y ---> true


result Bool: true

29

Exemplul 6

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .




var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

e q L ; n i l = L .

endfm

fmod MYNATLIST2 is

protecting MYNATLIST .

op _ Bool .

...

endfm30

Exemplul 6

fmod MYNATLIST2 is

protecting MYNATLIST .

op _ Bool .vars I J : Nat .

eq s I < s J = I < J .

eq 0 < s I = true .

eq I < 0 = f alse .

c e q I ; J = J ; I i f ( J < I ) .

endfm

Observati ecuatia conditionala

c e q I ; J = J ; I i f ( J < I ) .

Ce tip de date defineste modulul MYNATLIST2 ?31

Exemplul 6

Maude> select MYNATLIST2 .Maude> r educe s s s 0 ; s s 0 ; s s s 0 ; 0 .

...

r e s u l t L i s t N a t : 0 ; s s 0 ; s s s 0 ; s s s 0

Modulul MYNATLIST2 defineste liste de numere naturale ordonatecrescator.

A se vedea si D. Dragulici, Revista de logica

32

http://egovbus.net/rdl/articole/No1Art94.pdfhttp://egovbus.net/rdl/articole/No1Art94.pdfhttp://egovbus.net/rdl/articole/No1Art94.pdfhttp://egovbus.net/rdl/articole/No1Art94.pdfhttp://egovbus.net/rdl/articole/No1Art94.pdf

8/9/2019 ProgLog2011-2012

9/94

Exemplul 7

fmod STACK{X :: TRIV} is

sorts EmptyStack{X} NonEmptyStack{X} Stack{X} .

subsorts EmptyStack{X} NonEmptyStack{X} < Stack{X} .

op empty : -> EmptyStack{X} .

op push : X$Elt Stack{X} -> NonEmptyStack{X} .

op pop_ : NonEmptyStack{X} -> Stack{X} .

op top_ : NonEmptyStack{X} -> X$Elt .

var E : X$Elt .

var S : Stack{X} .

eq top push (E , S) = E .

eq pop push (E , S) = S .

endfm

Modulul STACK{X } creaz̆a o stivă generică.Parametrul formal X este descris de teoria TRIV

fth TRIV is sort Elt. endfh 33

Exemplul 8

fth TRIV is

sort Elt.

endfh

fmod STACK{X :: TRIV} is ... endfm

Instanţiind modulul parametru X cu modulul predefinit NATdefinim stivele de numere naturale.

view Inst from TRIV to NAT is

sort Elt to Nat .

endv

fmod STACKNAT is

protecting STACK{Inst} .

endfm34

Exemplul 8

Maude> select STACKNAT .

Maude> show sorts .sort Bool .

sort Zero . subsort Zero < Nat .

sort NzNat . subsort NzNat < Nat .

sort Nat . subsorts NzNat Zero < Nat .

sort EmptyStack{Inst} .

subsort EmptyStack{Inst} < Stack{Inst} .

sort NonEmptyStack{Inst} .

subsort NonEmptyStack{Inst} < Stack{Inst} .

sort Stack{Inst} .

subsorts NonEmptyStack{Inst} EmptyStack{Inst} < Stack{Inst} .

35

Limbajul Maude este un limbaj de specificaţie bazat pe logicaecuaţională. Un program este o colecţ ie de module. Execuţia esteo rescriere. Câteva din caracteristicile acestui limbaj sunt:

modularizare si parametrizare,

definirea tipurilor de date este independentă de implementare,

extensibilitate,

permite tratarea erorilor şi supraı̂ncărcarea operaţ iilor,

poate fi folosit ca demonstrator.

36

8/9/2019 ProgLog2011-2012

10/94

Programare logic˘ a

Signaturi. Algebre. Termeni

37

Mult ̧imi S-sortate

S = ∅

O mulţime S - sortată A este o familie A = {As }s ∈S .

Dacă A = {As }s ∈S şi B = {B s }s ∈S atunci ∅ = {∅s }s ∈S , ∅s = ∅ or. s ∈ S , A ⊆ B ⇔ As ⊆ B s or. s ∈ S , A ∪ B = {As ∪ B s }s ∈S , A ∩ B = {As ∩ B s }s ∈S , A × B = {As × B s }s ∈S .

Exemplu: S = {nat , bool }, A = {Anat , Abool },Anat = N, Abool = {T , F }

sorturi=tipuri, elemente de sort s = date de tip s

38

Funct ¸ii S -sortate

A = {As }s ∈S , B = {B s }s ∈S , C = {C s }s ∈S

O funcţie S - sortată f : A → B este o familie de funcţiif = {f s }s ∈S , unde f s : As → B s oricare s ∈ S .

Dacă f : A → B şi g : B → C , definimf ; g : A → C , f ; g = {f s ; g s }s ∈S

f s ; g s : As → C s ,f s ; g s (a) := g s (f s (a)) or. s ∈ S , a ∈ As

1A : A → A, 1A = {1As }s ∈S (f ; g ); h = f ; (g ; h) (compunerea este asociativă)

f ; 1B = f , 1A; f = f or. f : A → B

39

Funct ¸ii S -sortate

A = {As }s ∈S , B = {B s }s ∈S , O funcţie S -sortat̆a f : A → B se numeşte

injectivă, (surjectivă, bijectivă)dacă f s este injectivă, (surjectivă, bijectivă) oricare s ∈ S .

O funcţie S -sortat̆a f : A → B se numeşte inversabil̆a dacăexist̆a g : B → A a.̂ı. f ; g = 1A şi g ; f = 1B .

Propoziţie. O funcţie S -sortat̆a f : A → B este inversabilă dac̆a şinumai dacă este bijectivă (f s este bijectivă oricare s ∈ S ).

40

8/9/2019 ProgLog2011-2012

11/94

8/9/2019 ProgLog2011-2012

12/94

8/9/2019 ProgLog2011-2012

13/94

Exemple

BOOL = (S = {bool }, Σ)Σ = {T :→ bool , F :→ bool , ¬ : bool → bool ,

∨ : bool bool → bool , ∧ : bool bool → bool }

BOOL-algebra A:Abool := {0, 1}AT := 1, AF := 0, A¬(x ) := 1 − x ,A∨(x , y ) := max (x , y ), A∧(x , y ) := min(x , y )

BOOL-algebra B :B bool := P (N)B T := N, B F := ∅, B ¬(X ) := N \ X ,B ∨(X , Y ) := X ∪ Y , B ∧(X , Y ) := X ∩ Y

49

Exemple

NAT = (S = {nat }, Σ)Σ = {0 :→ nat , succ : nat → nat }

NAT -algebra A:

Anat := NA0 := 0, Asucc (x ) := x + 1

NAT -algebra B :B nat := {0, 1}B 0 := 0, B succ (x ) := 1 − x

NAT -algebra C :C nat := {2n|n ∈ N}C 0 := 1, C succ (2

n) := 2n+1

50

Exemple

STIVA = (S = {elem, stiva}, Σ)Σ = {0 :→ elem, empty :→ stiva, pop : stiva → stiva,

push : elem stiva → stiva, top : stiva → elem}

STIVA-algebra A: Aelem := N, Astiva := N∗

A0 := 0, Aempty := λ, Apush(n, n1 · · · nk ) := n n1 · · · nk ,Apop (λ) = Apop (n) := λ,Apop (n1n2 · · · nk ) := n2 · · · nk pt. k ≥ 2,Atop (λ) := 0, Atop (n1 · · · nk ) := n1 pt. k ≥ 1.

STIVA-algebra B : B elem := {0}, B stiva := NB 0 := 0, B empty := 0, B push(0, n) := n + 1 or. n,B pop (0) := 0, B pop (n) := n − 1 pt. n ≥ 1,

B top (n) := 0 or. n.

51

Exemple

AUTOMAT = (S = {intrare , stare , iesire }, Σ)

Σ = {s 0 :→ stare , f : intrare stare → stare ,g : stare → iesire }

AUTOMAT -algebra A:Aintrare = {x , y }, Astare = {s 0, s 1}, A iesire := {T , F }As 0 := s 0, Ag (s 0) := F , Ag (s 1) := T ,Af (x , s 0) := s 0, A f (y , s 0) := s 1,Af (x , s 1) := s 0, A f (y , s 1) := s 1

AUTOMAT -algebra B :B intrare = B stare = B iesire := NB s 0 := 0, B f (m, n) := m + n, B g (n) := n + 1

52

8/9/2019 ProgLog2011-2012

14/94

Algebre ordonat-sortate

(S , ≤, Σ) signatură ordonat-sortatăO algebră ordonat-sortată de tipul (S , ≤, Σ) este o (S , Σ)-algebră

(AS , AΣ) care satisface următoarele proprietăţi: s 1 ≤ s 2 ⇒ As 1 ⊆ As 2 σ ∈ Σw 1,s 1 ∩ Σw 2,s 2 , w 1 ≤ w 2 ⇒

Aw 2,s 2σ (x) = Aw 1,s 1σ (x) oricare x ∈ Aw 1 .

Semantica unui modul functional in Maude este o algebrăordonat-sortată.

53

Mult ̧ime de variabile

(S , Σ) signatură multisortată

|Σ| :=

w ,s Σw ,s

|X | := s ∈S X s dacă X mulţime S -sortat̆aO mulţime de variabile este o mulţime S -sortată X a.̂ ı.:

X s ∩ X s = ∅ or. s = s

|X | ∩ |Σ| = ∅

simbolurile de variabile sunt distincte ı̂ntre ele şi sunt distincte desimbolurile de operaţii din Σ

54

Termeni (expresii, cuvinte)

(S , Σ) signatură, X mulţime de variabile

Mulţimea S -sortat̆a termenilor cu variabile din X , T Σ(X ), este ceamai mică mulţime de şiruri finite peste alfabetul

L =

s ∈S X s ∪

w ,s Σw ,s ∪ {(, )} ∪ {,}care verifică următoarele proprietăţ i:

(T1) X s ⊆ T Σ(X )s (T2) dc. σ :→ s , at. σ ∈ T Σ(X )s ,

(T3) dc. σ : s 1 · · · s n → s şi t i ∈ T Σ(X )s i or. i = 1, . . . , nat. σ(t1, . . . , tn) ∈ T Σ(X )s .

• Var (t ) := mulţimea variabilelor care apar ı̂n t ∈ T Σ

55

Termeni fără variabile (ground terms)


Mulţimea S -sortat̆a termenilor fără variabile, T Σ, este cea mai mică mulţime de şiruri finite peste alfabetul

L =


(T2) dc. σ :→ s , at. σ ∈ T Σ,s ,

(T3) dc. σ : s 1 · · · s n → s şi t i ∈ T Σ,s i or. i = 1, . . . , nat. σ(t1, . . . , tn) ∈ T Σ,s .

• T Σ = T Σ(∅)

56

8/9/2019 ProgLog2011-2012

15/94

Exemple

STIVA = (S , Σ)S = {elem, stiva}, X elem = {x , y }, X stiva = ∅,Σ = {0 :→ elem, empty :→ stiva,

push : elem stiva → stiva,pop : stiva → stiva,top : stiva → elem}

T Σ(X )elem = {0, x , y , top(pop(empty)),top(push(x , empty)), . . .}

T Σ(X )stiva = {empty, push(y , empty), pop(empty),push(top(empty), empty), . . .}

şiruri care nu sunt termenipop (0), (pop )top (empty ), empty (y ), . . .

57

Exemple

NATBOOL = (S , Σ)S = {bool , nat }Σ = {T :→ bool , F :→ bool , 0 :→ nat ,

s : nat → nat ,≤: nat nat → bool }

T NATBOOL,nat = {0, s(0), s(s(0)), . . .}T NATBOOL,bool = {T, F,≤ (0, 0),≤ (0, s(0)), . . .}

şiruri care nu sunt termeni≤ (T , F ), s ≤ (0), Ts (0), . . .

58

Exemple

AUTOMAT = (S , Σ), S = {

intrare , stare , iesire }

,Σ = {s 0 :→ stare ,

f : intrare stare → stare ,g : stare → iesire }

T AUTOMAT ,stare = {s0}, T AUTOMAT ,intrare = ∅,T AUTOMAT ,iesire = {g(s0)}

GRAF = (S , Σ), S = {arc , nod }Σ = {v 0 : arc → nod , v 1 : arc → nod }T GRAF ,arc = T GRAF ,nod = ∅

59

Expresii aritmetice

NATEXP = (S = {nat }, Σ) Σ = {0 :→ nat , s : nat → nat ,

+ : nat nat → nat , ∗ : nat nat → nat }

T NATEXP = {0, s(0), s(s(0)), . . .+(0, 0),∗(0, +(s(0), 0)),∗(s(0), s(s(0))), . . .}

şiruri care nu sunt termeni+(0), 0(s )s (0), ∗(0), . . .

T NATEXP este mulţimea expresiilor aritmetice peste N.

60

8/9/2019 ProgLog2011-2012

16/94

Induct ̧ia pe termeni

(S , Σ) signatură multisortată, X mulţime de variabileFie P o proprietate a.̂ı. următoarele condiţii sunt satisfăcute:

pasul iniţial:

P(x ) = true or. x ∈ X , P(σ) = true or. σ :→ s , pasul de inducţie:

dacă t 1 ∈ T Σ(X )s 1 , . . ., t n ∈ T Σ(X )s n şiP(t 1) = · · · = P(t n) = true atunciP(σ(t1, . . . , tn)) = true or. σ : s 1 . . . s n → s .

Atunci P(t ) = true oricare t ∈ T Σ(X ).

61

Algebra termenilor

Algebra termenilor

(S , Σ) signatură, X mulţime de variabileMulţimea termenilor T Σ(X ) = {T Σ(X )s }s ∈S este (S , Σ)-algebră

cu operaţiile definite astfel: pt. σ :→ s , operaţia corespunzătoare este T σ := σ

pt. σ : s 1 · · · s n → s , operaţia corespunzătoare esteT σ : T Σ(X )s 1 × · · · × T Σ(X )s n → T Σ(X )s T σ(t 1, . . . , t n) := σ(t1, . . . , tn)or. t 1 ∈ T Σ(X )s 1 , . . ., t n ∈ T Σ(X )s n

T Σ(X ) algebra termenilor cu variabile din X T Σ algebra termenilor fără variabile (X = ∅)

62

Algebra expresiilor aritmetice

NATEXP = (S = {nat }, Σ)

Σ = {0 :→ nat , s : nat → nat ,+ : nat nat → nat , ∗ : nat nat → nat }

T 0 := 0,

T s (t ) := s(t),

T +(t 1, t 2) := +(t1, t2)

T ∗(t 1, t 2) := ∗(t1, t2)

Semantica unui modul ı̂n Maude (care conţine numaideclaraţii de sorturi, operaţii şi variabile) este o algebră de

termeni.

63 64

8/9/2019 ProgLog2011-2012

17/94


Morfisme.Tipuri abstracte de date.Algebre iniţiale

65

Morfisme

Exemplu. SignaturaMONOID = (S = {s }, Σ = {e :→ s , ∗ : ss → s })Fie (A, 1, ) şi (B , 0, +) monoizi(Ae := 1, A∗ := , B e := 0, B ∗ := +)

O funcţie f : A → B este morfism de monoizi dacă: f (1) = 0 ⇔ f (Ae ) = B e f (x y ) = f (x ) + f (y ) ⇔ f (A∗(x , y )) = B ∗(f (x ), f (y ))

or. x , y ∈ A.

A × A A∗→ A

f ↓ f ↓ f ↓

B × B B ∗→ B

66

Morfisme

(AS , AΣ), (B S , B Σ) (S , Σ)-algebre

Un morfism de (S , Σ)-algebre ((S , Σ)-morfism) este o funcţieS -sortată f : A → B care verifică condiţ iile de compatibilitate:

f s (Aσ) = (B σ) oricare σ :→ s ,

f s (Aσ(a1, . . . , an)) = B σ(f s 1(a1), . . . , f s n (an))or. σ : s 1 · · · s n → s , or. (a1, . . . , an) ∈ As 1 × · · · × As n .

As 1 × · · · × As nAσ→ As

f s 1↓ . . . f s n ↓ f s ↓

B s 1 × · · · × B s nB σ→ B s

Observat ̧ie 1A : A → A este morfism or. A (S , Σ)-algebră.

67

Exemplu

NAT = (S = {nat }, Σ = {0 :→ nat , succ : nat → nat })

NAT -algebra A:Anat := N, A0 := 0, Asucc (x ) := x + 1

NAT -algebra B :B nat := {0, 1}, B 0 := 0, B succ (x ) := 1 − x

f : A → B , f = {f nat }, f nat (n) = n(mod 2)este morfism de NAT -algebre

Nu există morfism de NAT -algebre g : B → A.

68

8/9/2019 ProgLog2011-2012

18/94

Exemple





STIVA-algebra B : B elem := {0}, B stiva := NB 0 := 0, B empty := 0, B push(0, n) := n + 1 or. n,B pop (0) := 0, Apop (n) := n − 1 pt. n ≥ 1,B top (n) := 0 or. n.

69

Exemple

STIVA-algebra A = (Aelem = N, Astiva = N∗, . . .)

STIVA-algebra B = (B elem = {0}, B stiva := N, . . .)

f : A → B , f = (f elem

: N → {0}, f stiva

: N∗ → N)f elem(n) := 0 or. n,f stiva(λ) := 0, f stiva(n1 · · · nk ) := k pt. k ≥ 1

g : B → A, g = (g elem : {0} → N, g stiva : N → N∗)

g elem(0) := 0,g stiva(0) := λ, g stiva(k ) := 0 · · · 0

k

pt. k ≥ 1

f şi g sunt morfisme de STIVA-algebre

70

Morfisme de mpo

Observat ̧ie.

Mulţimile parţial ordonate se pot reprezenta ca (S , Σ)-algebre,

S := {elem, bool },Σ := {≤: elem elem → bool , T :→ bool , F :→ bool }.

Mpo (A, ≤) este reprezentată ca (S , Σ)-algebră prin(A, {0, 1} ≤, T , F ), undeAelem := A, Abool := {0, 1}, AT := 1, AF := 0,A≤(x , y ) = T ⇔ x ≤ y

Ce relaţiile este ı̂ntre funcţ ii crescătoare şi morfisme de(S , Σ)-algebre?

Orice (S , Σ)-morfism este funcţie crescătoare dar invers nueste adevărat!

71

Proprietăt ̧i


Propozit ̧ia 1.

Fie A, B , C algebre şi f : A → B , g : B → C morfisme. Atuncif ; g : A → C este morfism.

Dem.

σ :→ s ∈ Σ(f ; g )s (Aσ) = g s (f s (Aσ)) = g s (B σ) = C σ,

σ : s 1 · · · s n → s ∈ Σ, (a1, . . . , an) ∈ As 1 × · · · × As n(f ; g )s (Aσ(a1, . . . , an)) = g s (f s (Aσ(a1, . . . , an))) =

g s (B σ(f s 1(a1), . . . , f s n (an))) =C σ(g s 1(f s 1(a1)), . . . , g s n (f s n (an)))

= C σ((g ; f )s 1(a1), . . . , (g ; f )s n (an)). qed

72

8/9/2019 ProgLog2011-2012

19/94

Proprietăt ̧i

Teorema 2.

Exista un unic morfism f : T Σ → B or. B (S , Σ)-algebr̆a.

Dem. Fie B (S , Σ)-algebră.

Existent ̧a. Definim f : T Σ → B prin inducţie pe termeni(P(t ) = ” f (t ) este definită”).

pasul iniţial: dc. σ :→ s ∈ Σ, at. f s (σ) := B σ,

pasul de inducţie: dc. σ : s 1 . . . s n → s ∈ Σ şit 1 ∈ T Σs 1 , . . ., t n ∈ T Σs n a.̂ı f s 1(t 1), · · · , f s n (t n) definite at.

f s (σ(t1, . . . , tn)) := B σ(f s 1(t 1), · · · , f s n (t n))

Conform principiului inductiei pe termeni,f s (t ) este definită or. t ∈ T Σ.

73

Continuare

Demonstrăm c ̆a f este morfism.

dc. σ :→ s ∈ Σ, at. f s (T Σσ) = f s (σ) = B σ, dc. σ : s 1 . . . s n → s ∈ Σ şi

t 1 ∈ T Σs 1 , . . ., t n ∈ T Σs n at.

f s (T Σσ(t 1, . . . , t n)) = f s (σ(t1, . . . , tn))= B σ(f s 1(t 1), · · · , f s n (t n))

74

Continuare

Unicitatea. Fie g : T Σ → B un morfism.Demonstram că g = f prin inducţie pe termeni

(P(t ) = ” dc. t ∈ T Σs at. g s (t ) şi f s (t ) sunt egale”).

pasul iniţial: dc. σ :→ s ∈ Σ, at. g s (σ) = B σ = f s (σ),

pasul de inducţie: dc. σ : s 1 . . . s n → s ∈ Σ şit 1 ∈ T Σs 1 , . . ., t n ∈ T Σs n a.̂ı

g s 1(t 1) = f s 1(t 1), · · · , g s n (t n) = f s n (t n) at.

g s (σ(t1, . . . , tn)) = B σ(g s 1(t 1), · · · , g s n (t n)) =B σ(f s 1(t 1), · · · , f s n (t n)) = f s (σ(t1, . . . , tn))

Conform principiului inductiei pe termeni,g s (t ) = f s (t ) or. t ∈ T Σs , adică g = f . qed

75

Exemplu


D = (D S , D Σ), D s := N or. s ∈ S dacă σ :→ s atunci D σ := 0,dacă σ : s 1 . . . s n → s , k 1, . . ., k n ∈ N

D σ(k 1, . . . , k n) := 1 + max (k 1, . . . , k n)

f D : T Σ → D unicul morfism

Ce reprezintă valoarea f D (t ) pentru un termen t ?

76

8/9/2019 ProgLog2011-2012

20/94

Termeni ca arbori

Un termen t poat fi reprezentat ca un arbore arb (t ) astfel:

σ ∈ T Σs ⇒ arb (σ) := σ

t = σ(t1, . . . , tn) ⇒

arb (t ) := σ

arb (t 1) · · · arb (t n)

Pentru orice t valoarea f D (t ) este adâncimea arborelui arb (t ).

77

Izomorfisme

Un (S , Σ)-morfism f : A → B este izomorfism dacă exist̆a unmorfism g : B → A a.̂ı. f ; g = 1A şi g ; f = 1B .

Propozit ̧ia 3 Un morfism f : A → B este izomorfism dacă şi numai dacă estefuncţie bijectivă, adică f s : As → B s este bijecţie oricare s ∈ S .

Dem. Revine la a demonstra că implicaţia:

f morfism şi bijecţ ie ⇒ f −1 morfism.

78

Continuare

Demonstrăm c ̆a f −1 : B → A este morfism.

dc. σ :→ s ∈ Σ, at. f s (Aσ) = B σ, deci f −1s (B σ) = Aσ,

dc. σ : s 1 . . . s n → s ∈ Σ şib 1 ∈ B s 1 , . . ., b n ∈ B s n at.ex. a1 ∈ As 1 , . . ., an ∈ As n a.̂ı.f s 1(a1) = b 1, . . ., f s n (an) = b n şi

f s (Aσ(a1, . . . , an)) = B σ(f s 1(a1), . . . , f s n (an)) = B σ(b 1, . . . , b n)

Atunci f s −1(B σ(b 1, . . . , b n)) = Aσ(a1, . . . , an) =

Aσ(f s 1−1(b 1), . . . , f s n

−1(b n)). qed

79

Izomorfisme de mpo

(A = {x 1, x 2, x 3, x 4}, ≤), unde x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ x 4 (B = {0, 1}2, ≤), unde ≤ ordinea pe componente

A şi B sunt (S , Σ)-algebre, undeS := {elem, bool },Σ := {≤: elem elem → bool , T :→ bool , F :→ bool }

f : A → B f (00) = x 1, f (01) = x 2, f (10) = x 3, f (11) = x 4este funcţie bijectivă şi crescătoare

A B

80

8/9/2019 ProgLog2011-2012

21/94

Izomorfisme

Spunem că algebrele A = (AS , AΣ) şi B = (B S , B Σ) sunt izomorfedacă există un izomorfism f : A → B . În acest caz notăm A B .

A A (1A este izomorfism)

A B ⇒ B A A B , B C ⇒ A C

Relaţia de izomorfism este o relaţie de echivalenţă (reflexivă,simetrică şi tranzitivă).

Observat ̧ie.

A B ⇒ As B s oricare s ∈ S

81

Exemple

NAT = (S = {nat }, Σ = {0 :→ nat , succ : nat → nat })

NAT -algebra A: Anat = N, A0 := 0, Asucc (x ) := x + 1

NAT -algebra B : B nat := {0, 1}, B 0 := 0, B succ (x ) := 1 − x NAT -algebra C : C nat := {2

n|n ∈ N}C 0 := 1, C succ (2

n) := 2n+1

A B

A C f : A → C , f (n) := 2n este un NAT -izomorfism.

82

Exemple

BOOL = (S = {bool }, Σ)

Σ = {T :→ bool , F :→ bool , ¬ : bool → bool ,∨ : bool bool → bool , ∧ : bool bool → bool }

Abool := {0, 1}AT := 1, AF := 0, A¬(x ) := 1 − x ,A∨(x , y ) := max (x , y ), A∧(x , y ) := min(x , y )

B bool := P (N)B T := N, B F := ∅, B ¬(X ) := N \ X ,B ∨(X , Y ) := X ∪ Y , B ∧(X , Y ) := X ∩ Y

A B

83

Exemple

BOOL-algebra C :

C bool := {t : N → {0, 1}| t funcţie}C T (n) := 1, C F (n) := 0 or. n ∈ NC ¬(t )(n) := 1 − t (n) or. t ∈ C bool , n ∈ NC ∨(t 1, t 2)(n) := max (t 1(n), t 2(n)) or. t 1, t 2 ∈ C bool , n ∈ NC ∧(t 1, t 2)(n) := min(t 1(n), t 2(n)) or. t 1, t 2 ∈ C bool , n ∈ N

B C f : B → C , f (Y ) := χY oricare Y ∈ P (N)f (Y )(n) = 1 dacă n ∈ Y , f (Y )(n) = 0 dacă n ∈ Y f este BOOL-izomorfism

84

8/9/2019 ProgLog2011-2012

22/94

Exemple

STIVA-algebra A = (Aelem = N, Astiva = N∗

, . . .) STIVA-algebra B = (B elem = {0}, B stiva := N, . . .)

A B

85

Exemple

STIVA-algebra A: Aelem := N, Astiva := N∗ A0 := 0,

Aempty := λ, Apush(n, n1 · · · nk ) := n n1 · · · nk ,Apop (λ) = Apop (n) := λ,

Apop (n1n2 · · · nk ) := n2 · · · nk pt. k ≥ 2,Atop (λ) := 0, Atop (n1 · · · nk ) := n1 pt. k ≥ 1.

STIVA-algebra C : C elem := Z, C stiva := Z∗

C 0 := 0, C empty := λ, C push(x , x 1 · · · x k ) := x 1 · · · x k x ,C pop (λ) = C pop (x ) := λ,C pop (x 1 · · · x k −1x k ) := x 1 · · · x k −1 pt. k ≥ 2,C top (λ) := 0, C top (x 1 · · · x k ) := x k pt. k ≥ 1.

86

Exemple


STIVA-algebra C : C elem := Z, C stiva := Z∗

f : A → C , f = (f elem : N → Z, f stiva : N∗ → Z∗)

f elem(2k ) := k , f elem(2k + 1) := −k − 1 pt. k ∈ N,

f stiva(n1 · · · nk ) := f elem(nk ) · · · f elem(n1) pt. n1 · · · nk ∈ N∗.

f este STIVA-izomorfism

Algebrele izomorfe sunt ”identice” (modulo redenumire).

87

ADT

Un tip abstract de date este o mulţime de date ( valori) şioperaţii asociate lor, a căror descriere (specificare) esteindependentă de implementare.abstract=disassociated from any specific instance

O algebră este formată dintr-o mulţime de elemente şi omulţime de operaţii. Algebrele pot modela tipuri de date.

Două algebre izomorfe au acelaşi comportament, deci trebuiesa fie modele ale acelaşi tip de date. Aceasta asigurăindependenţa de implementare.

88

8/9/2019 ProgLog2011-2012

23/94

ADT

O signatură (S , Σ) este interfaţa sintactică a unui tip abstractde date.

O algebră A = (AS , AΣ) este o posibilă implementare. Dacă A B , atunci A şi B implementează acelaşi t ip de date.

Un tip abstract de date este o clasă C de (S , Σ)-algebre cuproprietatea că oricare două algebre sunt izomorfe:

A, B ∈ C ⇒ A B .

[A] := {B (S , Σ) algebr̆a| A B } este tip abstract de date.

89

Algebra init ̧ială

K clasă de (S , Σ)-algebre

O (S , Σ)-algebr̆a I este iniţială ı̂n K dacă I ∈ K şi pentru

orice B ∈ K exist̆a un unic morfism f : I → B .

Propozit ̧ia 4

(a) I iniţială ı̂n K, A ∈ K, A I ⇒ A iniţială ı̂n K

(b) A1 şi A2 iniţiale ı̂n K ⇒ A1 A2.

90

Continuare

Dem. (a) I iniţială ı̂n K, A ∈ K şi ϕA : A → I izomorfism

Fie B ∈ K şi f B

: I → B unicul morfism. Demonstrăm că există ununic morfism h : A → B .

Existent ̧a. h := ϕA; f B : A → B mofism

Unicitatea. dacă g : A → B morfism, atunci ϕA−1; g : I → B

morfism,deci ϕA−1; g = f B ; rezultă g = ϕA; f B = h.

(b) A1 şi A2 iniţiale ı̂n K

Există un unic morfism f : A1 → A2 şi un unic morfismg : A2 → A1. Atunci f ; g : A1 → A1 şi 1A1 : A1 → A1, deci

f ; g = 1A1 . Analog g ; f = 1A2 , deci A1 A2. qed

91

(S , Σ) -algebra init ̧ială


K clasa tuturor (S , Σ)-algebrelor. I este (S , Σ)-algebră iniţial̆a dacă oricare B (S , Σ)-algebră

există un unic morfism f : I → B .

Teorema 2. T Σ este (S , Σ)-algebră iniţ ială.

I (S ,Σ) = {I | I (S , Σ) -algebră iniţială}este un tip abstract de date şi T Σ ∈ I (S ,Σ).

Un modul funcţional ı̂n Maude (care conţine numai declaraţiide sorturi şi operaţii) defineşte un astfel de tip abstract de

date şi construieşte efectiv algebra T Σ.

92

8/9/2019 ProgLog2011-2012

24/94


Subalgebre. Algebre libere

93

Subalgebre

(S , Σ) - signatură multisortată, A (S , Σ)-algebr̆a

B ⊆ A este parte stabil ă a lui A dacă

Aσ ∈ B s or. σ :→ s ,

Aσ(b 1, . . . , b n) ∈ B s or. σ : s 1 · · · s n → s ,or. (b 1, . . . , b n) ∈ B s 1 × · · · × B s n .

Daca B este parte stabila a lui A atunci(B S = B , B Σ) este (S , Σ)-subalgebră a lui (AS , AΣ), unde

B σ := Aσ or. σ :→ s ,

B σ(b 1, . . . , b n) := Aσ(b 1, . . . , b n) or. σ : s 1 · · · s n → s ,or. (b 1, . . . , b n) ∈ B s 1 × · · · × B s n .

94

Exemple

BOOL-algebra B :B bool := P (N)B T := N, B F := ∅, B ¬(X ) := N \ X ,B ∨(X , Y ) := X ∪ Y , B ∧(X , Y ) := X ∩ Y

B 1 = {∅,N} ∪ { {n}|n ∈ N}nu este subalgebră.

B 2 = {∅,N} ∪ { {n},N \ {n}}este subalgebr̆a (n ∈ N fixat).

95

Exemple

AUTOMAT -algebra AAintrare = {x , y }, Astare = {s 0, s 1}, A iesire := {T , F }As 0 := s 0, Ag (s 0) := F , Ag (s 1) := T ,Af (x , s 0) := s 0, A f (y , s 0) := s 1,Af (x , s 1) := s 0, A f (y , s 1) := s 1

P = {P intrare := {x }, P stare := {s 0}, P iesire := {F }}este subalgebră A

96

8/9/2019 ProgLog2011-2012

25/94

Mult ̧imi de generatori

(S , Σ) signatură multisortată,A-algebr̆a, X mulţime, X ⊆ A

Algebra generat̆a de X ı̂n A este cea mai mică (⊆) subalgebră

B a lui A cu X ⊆ B . Vom nota B = X F := {B ⊆ A |B subalgebr̆a, X ⊆ B }

A ∈ F , deci F = ∅ {B i }i ∈I ⊆ F implică

i ∈I B i ∈ F

X =

{B | B ∈ F}

Spunem că A este generat̆a de X dacă X ⊆ A şi X = A. Înacest caz X este mulţime de generatori pentru A.

97

Construct ̧ia algebrei generate

(S , Σ) signatură multisortată,A-algebr̆a, X mulţime, X ⊆ A

Construim un şir de mulţimi S -sortate (X n)n astfel: X 0 := X , X n+1,s := X n,s ∪ {Aσ | σ :→ s } ∪ {Aσ(a1, . . . , an) |

σ : s 1 . . . s n → s , (a1, . . . , an) ∈ X n,s 1 × · · · × X n,s n }.

Propoziţia 5. X =

n X n.Dem: va fi adăugat̆a!

98

Proprietăt ̧i

h : A → B funcţieh−1 : P (B ) → P (A), h−1(Y ) := {a ∈ A|h(a) ∈ Y }

imaginea inversă

Propozit ̧ia 6.

Fie h : A → B morfism.

(a) dc. C ⊆ A subalgebră at. h(C ) ⊆ B subalgebră,

(b) dc. D ⊆ B subalgebră at. h−1(D ) ⊆ B subalgebră,

(c) h( X ) = h(X ) pentru X ⊆ A,

(d) h−1(Y ) ⊆ h−1( Y ) pentru Y ⊆ B .

Dem. (a), (b), (d) exercitii.

99

Continuare

(c) h( X ) = h(X ) pentru X ⊆ A,.

X ⊆ A subalgebr̆a ⇒ h( X ) ⊆ B subalgebră

h( X ) ⊆ B subalgebră, h(X ) ⊆ h( X ) ⇒ h(X ) ⊆ h( X )

h−1(h(X )) ⊆ A subalgebr̆a, X ⊆ h−1(h(X ))⇒ X ⊆ h−1(h(X )) ⇒h(X ) ⊆ h(h−1(h(X ))) ⊆ h(X )

h(X ) ⊆ h( X ) csi h(X ) ⊆ h(X ) ⇒ h(X ) = h(X )

100

8/9/2019 ProgLog2011-2012

26/94

Algebre libere

(S , Σ) signatură multisortată, X mulţime de variabile

O algebră A este liber generată de X dacă

• X ⊆ A,

• oricare ar fi B o algebră şi f : X → B o funcţie există un unicmorfism f̃ : A → B cu f̃ s (x ) = f s (x ) oricare x ∈ X s , s ∈ S .

Observat ̧ii ∗ Dacă A1 şi A2 sunt liber generate de X , atunci A1 A2.∗ Dacă X ⊆ A şi A este liber generată de X , atunci X = A.

Invers nu este ı̂ntotdeauna a adevă rat.

T Σ este liber generată de mulţimea ∅.

101

Mult ̧imi de generatori liberi

(S , Σ) signatură multisortată,A-algebr̆a, X mulţime de variabile, X ⊆ A

Dacă A este liber generată de X , atunci X = A.

Spunem că X este mulţime de generatori liberi pentru A.

NAT = (S = {s }, Σ), Σ = {0 :→ nat , succ : nat → nat }Anat := N, A0 := 0, Asucc (x ) := x + 1• A este liber generată de ∅• {1} este mulţime de generatori pentru A• {1} nu este mulţime de generatori liberi pentru A

102

Exemple





Dacă P := ∅ atunci P elem = {0} şi P stiva = {0}∗.

A este liber generată de X , unde X elem := N şi X stiva := ∅.

103 104

8/9/2019 ProgLog2011-2012

27/94



105

Mult ̧ime de variabile


|Σ| :=

w ,s Σw ,s

|X | := s ∈S X s dacă X mulţime S -sortat̆aO mulţime de variabile este o mulţime S -sortată X a.̂ ı.:

X s ∩ X s = ∅ or. s = s

|X | ∩ |Σ| = ∅

simbolurile de variabile sunt distincte ı̂ntre ele şi sunt distincte desimbolurile de operaţii din Σ

106

Termeni cu variabile din X


Mulţimea S -sortat̆a termenilor cu variabile din X , T Σ(X ), este ceamai mică mulţime de şiruri finite peste alfabetul

L =

s ∈S X s ∪


(T1) X s ⊆ T Σ(X )s (T2) dc. σ :→ s , at. σ ∈ T Σ(X )s ,

(T3) dc. σ : s 1 · · · s n → s şi t i ∈ T Σ(X )s i or. i = 1, . . . , nat. σ(t1, . . . , tn) ∈ T Σ(X )s .

107

Algebra de termeni T Σ(X )


Mulţimea termenilor T Σ(X ) = {T Σ(X )s }s ∈S este (S , Σ)-algebrăastfel:

pt. σ :→ s , operaţia corespunzătoare este T σ := σ

pt. σ : s 1 · · · s n → s , operaţia corespunzătoare esteT σ : T Σ(X )s 1 × · · · × T Σ(X )s n → T Σ(X )s T σ(t 1, . . . , t n) := σ(t1, . . . , tn)or. t 1 ∈ T Σ(X )s 1 , . . ., t n ∈ T Σ(X )s n

• T Σ(X ) algebra termenilor cu variabile din X • vom nota σ(t1, . . . , tn) := σ(t 1, . . . , t n)

108

8/9/2019 ProgLog2011-2012

28/94



Teorema 7 (Evaluarea termenilor ı̂n algebre).

Fie A o (S , Σ)-algebră. Orice funcţie e : X → A (evaluare,atribuire, interpretare)se extinde la un unic (S , Σ)-morfism

ẽ : T Σ(X ) → A.

Dem.

Definim ẽ(t ) prin inducţie pe termeni: or. x ∈ X s , ẽs (x ) := es (x ), or. σ :→ s , ẽs (σ) := Aσ or. σ : s 1 · · · s n → s , or. t 1 ∈ T Σ(X )s 1 , . . ., t n ∈ T Σ(X )s n

ẽs (σ(t 1, . . . , t n)) := Aσ(ẽs 1(t 1), . . . , ẽs n (t n))

Demonstrăm că ẽ : T Σ(X ) → A este morfism. Dacă f : T Σ(X ) → A morfism şi f |X = e atunci se

demonstrează prin inducţie pe termeni că f = ẽ. 109

Semantica expresiilor aritmetice

NATEXP = (S = {nat }, Σ), X = {x , y }

Σ = {0 :→ nat , s : nat → nat ,+ : nat nat → nat , ∗ : nat nat → nat }

T NATEXP (X ) = {0, x , y , s (0), s (x ), s (y ), s (s (0)), . . .+(0, 0), +(0, x ), +(x , y ), ∗(0, +(s (0), x )), ∗(s (y ), s (s (x ))), . . .}

A = (Z4, 0, s , +, ∗) cu operaţiile obişnuite

e : {x , y } → Z4, e(x ) := 1, e(y ) := 3

ẽ(+(x, y)) = A+(e(x ), e(y )) = 1 + 3 = 0 (mod 4)ẽ(∗(s(x), s(s(0)))) = A∗(As (e(x )), As (As (A0))) =(1 + 1) ∗ (0 + 1 + 1) = 2 ∗ 2 = 0 (mod 4)

110

Exemple


push : elem stiva → stiva, top : stiva → elem} STIVA-algebra A: Aelem := N, Astiva := N

∗


STIVA-algebra B : B elem := {0}, B stiva := NB 0 := 0, B empty := 0, B push(0, n) := n + 1 or. n,B pop (0) := 0, B pop (n) := n − 1 pt. n ≥ 1,

B top (n) := 0 or. n.

111

Exemplu

X elem := {x , y }, X stiva := {s },

t := push(x, push(y, s)) ∈ T Σ(X )stiva

e : X → Ae(x ) := 5, e(y ) := 3, e(s ) := 6 7

ẽ(t ) = Apush(e(x ), Apush(e(y ), e(s ))) = 5 3 6 7

e : X → B e(x ) := 0, e(y ) := 0, e(s ) := 10

ẽ(t ) = B push(e(x ), B push(e(y ), e(s ))) =(10 + 1) + 1 = 12

112

8/9/2019 ProgLog2011-2012

29/94

Consecint ̧e

T Σ(X ) este (S , Σ)-algebră liber generată de X ı̂n clasa tuturor(S , Σ)-algebrelor.

o expresie este un element al unei algebre libere

X = ∅T Σ este (S , Σ)-algebră iniţial̆a.

A = T Σ(Y )O substituţie este o atribuire ν : X → T Σ(Y ).

Orice substituţie ν : X → T Σ(Y ) se extinde la un unicmorfism de (S , Σ)-algebre ν̃ : T Σ(X ) → T Σ(Y ).

113

Proprietăt ̧i

Propozit ̧ia 8.

Fie A o (S , Σ)-algebră. Dacă f : T Σ(X ) → A şi g : T Σ(X ) → A

sunt morfisme, atunci g = f ⇔ g |X = f |X

Dem. Presupunem că g s (x ) = f s (x ) or. s ∈ S , x ∈ X s .

Demonstram că g = f prin inducţie pe termeni pasul iniţial: dc. s ∈ S şi x ∈ X s at. g s (x ) = f s (x ) (ipoteză),

dc. σ :→ s ∈ Σ, at. g s (σ) = Aσ = f s (σ), pasul de inducţie: dc. σ : s 1 . . . s n → s ∈ Σ şi

t 1 ∈ T Σ(X )s 1 , . . ., t n ∈ T Σ(X )s n a.̂ıg s 1(t 1) = f s 1(t 1), · · · , g s n (t n) = f s n (t n) at.

g s (σ(t1, . . . , tn)) = Aσ(g s 1(t 1), · · · , g s n (t n)) =Aσ(f s 1(t 1), · · · , f s n (t n)) = f s (σ(t1, . . . , tn))

Conform principiului inductiei pe termeni,

g s (t ) = f s (t ) or. t ∈ T Σ(X )s , adică g = f . 114

Proprietăt ̧i

Propozit ̧ia 9.

X Y ⇔ T Σ

(X ) T Σ

(Y )

Dem. Fie u : X → Y o functie bijectiva. Din Teorema 7 rezult̆a că

există un unic morfism f : T Σ(X ) → T Σ(Y ) âı.f s (x ) = us (x ) or. s ∈ S , x ∈ X s ,

există un unic morfism g : T Σ(Y ) → T Σ(X ) âı.g s (y ) = u

−1s (y ) or. s ∈ S , y ∈ X s .

Observ̆am c̆a (f ; g )s (x ) = g s (f s (x )) = x or. s ∈ S , x ∈ X .Aplicand Propozitia 6, obţinem că f ; g = 1T Σ(X ).

Similar, g ; f = 1T Σ(Y ), deci T Σ(X ) T Σ(Y ).

115

Proprietăt ̧i

Propozit ̧ia 10.

Fie h : A → B morfism surjectiv .Or. f : T Σ(X ) → B morfism,ex. g : T Σ(X ) → A a. ı̂. g ; h = f

A h B

T Σ(X )

f

g

Dem. Dacă f : T Σ(X ) → B morfism, atuncior. s ∈ S , x ∈ X s ex. a ∈ As a.̂ı. hs (a) = f s (x ).Oricare s ∈ S , x ∈ X s , alegem a ∈ As a.̂ı. hs (a) = f s (x ) şi definimes (x ) := a. Atunci e : X → A este o evaluare şi .(ẽ; h)s (x ) = f s (x ) r. s ∈ S , x ∈ X s .

Din Teorema 7, ẽ; h = f , deci g := ẽ.

116

8/9/2019 ProgLog2011-2012

30/94

Definirea operat ̧iilor derivate

A o Σ-algebră, t ∈ T Σ(X )

Definim funcţia termen At : An → A prin

At (a1, . . . , an) := ẽ(t ), unde e(x i ) := ai or. i = 1, . . . , nAt este operaţie derivată pe A

Σ = {0, 1, ∨, ∧,− } signatura algebrelor Boole,X = {x , y }, t = x ∨ y ∈ T Σ(X )Dacă B este o algebră Boole, atunciB t (b 1, b 2) = b 1 → b 2 oricare b 1, b 2 ∈ B .

117

Semantica instruct ̧iunii de atribuire x:=e

X este mulţimea variabilelor, x ∈ X , t ∈ T Σ(X )

D este Σ-algebra datelor

o stare a memoriei este o funcţie e : X → D semantica unei instrucţiuni descrie modul ı̂n care instrucţiunea

modifică starile memoriei

Mem := {e : X → D | e funcţie}Sem(x := t ) : Mem → Mem

Sem(x := t )(e)(y ) :=

ẽ(t ) dacă y = x ,e(y ) dacă y = x .

118

119 120

8/9/2019 ProgLog2011-2012

31/94


Ecuaţii. Relaţia de satisfacere.

121

Ecuat ̧iile şi semantica lor


O (S , Σ)-ecuaţie este formată dintr-o mulţime de variabile X şi din doi termeni t şi t de acelaşi sort din T Σ(X ).Vom nota o ecuaţie prin

(∀X )t ·

=s t .

Spunem că o (S , Σ)-algebră A satisface o ecuaţie (∀X )t ·=s t

(A este model al ecuaţiei) dacă ẽs (t ) = ẽs (t ) pentru orice

e : X → A. În acest caz, vom nota

A |= (∀X )t ·=s t

.

·= egalitate formală, = egalitate efectivă

122

Necesitatea cuantificării

S = {s , bool }, Σ := {T :→ bool , F :→ bool , g : s → bool }

T Σ,s = ∅, T Σ,bool = {T , F }

T Σ |= (∀∅)T ·=bool F

T Σ |= (∀X )T ·=bool F ,

unde X s := {x }, X bool := ∅

123

Ecuat ̧iile condit ̧ionate

O (S , Σ)-ecuaţie condiţionată este notată prin

(∀X )t ·=s t

if H .

şi este formată din:

o mulţime de variabile X ,

doi termeni de acelaşi sort t , t ∈ T Σ(X )s .

o mulţime H de ecuaţii u ·=s v , cu u ,v ∈ T Σ(X )s .

În practică H este finită H = {u 1·

=s 1 v 1, . . . , u n·

=s n v n}.Ecuaţiile din H sunt cuantificate cu X .

O ecuaţie (∀X )t ·=s t

este ecuaţie condiţionată ı̂n care mulţimea

condiţiilor H este vidă (∀X )t ·=s t if ∅.

124

8/9/2019 ProgLog2011-2012

32/94

Ecuat ̧iile condit ̧ionate

A (S , Σ)-algebră A, γ := (∀X )t ·=s t

if H

A satisface γ (A este model al lui γ ) dacă,

ẽs (u ) = ẽs (v ) or. u ·=s v ∈ H ⇒ ẽs (t ) = ẽs (t

).

pentru orice e : X → A.

Vom nota A |= (∀X )t ·=s t

if H .

A |= (∀X )t ·=s t

⇔ A |= (∀X )t ·=s t

if ∅

125

Exemplu

STIVA = (S , Σ), X elem := {E }, X stiva := {S , Q }

γ := (∀X )top (S ) ·=elem E if {S

·=stiva push(E , Q )}



STIVA-algebra B : B elem := {0}, B stiva := NB 0 := 0, B empty := 0, B push(0, n) := n + 1 or. n,B pop (0) := 0, B pop (n) := n − 1 pt. n ≥ 1, B top (n) := 0 or. n.

A |= γ şi B |= γ

126

Exemplu

X elem := {E }, X stiva := {S , Q }

A |= (∀X )top (S ) ·=elem E if {S


Fie e : X → A evaluare a. ı̂. ẽstiva(S ) = ẽstiva(push(E , Q )).

Rezultă ẽstiva(S ) = Apush(ẽelem(E ), ẽstiva(Q ))

Notam n = ẽelem(E ), w := ẽstiva(S ), w := ẽstiva(Q ).

Rezulta w = nw şi

ẽelem(top (S )) = Atop (ẽstiva(S )) = Atop (w ) =Atop (nw

) = n = ẽelem(E )

127

Exemplu

STIVA = (S , Σ), X elem := {E }, X stiva := {S , Q }

γ := (∀X )top (S ) ·=elem E if {S


STIVA-algebra C : C elem := N, C stiva := N∗C 0 := 0, C empty := λ, C push(n, n1 · · · nk ) := n1 · · · nk n,C pop (λ) = C pop (n) := λ,C pop (n1n2 · · · nk ) := n2 · · · nk pt. k ≥ 2,C top (λ) := 0, C top (n1 · · · nk ) := n1 pt. k ≥ 1.

C |= γ e : X → C evaluarea definită prin

eelem(E ) = 2, estiva(Q ) = 3 4, estiva(S ) = 3 4 2

Atunci ẽstiva(S ) = ẽstiva(push(E , Q )),dar ẽelem(E ) = 2 = 3 = ẽelem(top (S )).

128

8/9/2019 ProgLog2011-2012

33/94


Specificaţii algebrice

129

Γ-algebre

Γ mulţime de ecuaţii condiţionate

O algebră A este Γ-algebr̆a (A este model pentru Γ)dacă A |= γ oricare γ ∈ Γ.

În acest caz, vom nota A |= Γ.

Vom nota cu Alg (S , Σ, Γ) clasa Γ-algebrelor

Alg (S , Σ, Γ) := {A ∈ Alg (S , Σ) | A |= Γ}

130

Γ-algebre

Teorema 11.

Fie A B (S , Σ)-algebre, γ := (∀X )t ·=s t

if H .

A |= γ ⇔ B |= γ

Dem. Notăm ϕ : B → A un izomorfism.”⇒”Fie e : X → B a.̂ı. ẽs (u ) = ẽs (v ) or. u

·=s v ∈ H .

Definim f : X → A prin f := e; ϕAtunci f̃ = ẽ; ϕ, deoarece f̃ |X = ( ẽ; ϕ)|X .

f̃ s (u ) = ϕs (ẽs (u )) = ϕs (ẽs (v )) = f̃ s (v ) or. u ·=s v ∈ H

Din ipoteză rezultă f̃ s (t ) = f̃ s (t ), i.e.

ϕs (ẽs (t )) = ϕs (ẽs (t )).

ϕ este injectiv, deci ẽs (t ) = ẽs (t ).

131

Specificat ̧ii

O specificaţie este un triplet (S , Σ, Γ), unde (S , Σ) este osignatură multisortată şi Γ este o mulţ ime de ecuaţiicondiţionate. Specificaţia (S , Σ, Γ) defineşte clasa modelelorAlg (S , Σ, Γ), care reprezint̆a semantica ei.

În Maude teoriile

fth ... endfth

au ca semantică Alg (S , Σ, Γ), unde S este mulţimeasorturilor, Σ este mulţimea simbolurilor de operaţii, Γ estemulţimea ecuaţiilor definite ı̂n modul, iar fiecare ecuaţiee q t = t ’ şi ceq t = t’ if Heste cuantificată de variabilele care apar ı̂n t şi t’.

132

8/9/2019 ProgLog2011-2012

34/94

Specificat ̧ii echivalente

fth GROUP is

sort Element .

op e : -> Element.

op _+_ : Element Element -> Element [assoc] .op -_ : Element -> Element .

vars x y : Element .

eq e + x = x .

eq x + e = x .

e q ( - x ) + x = e .

eq x + (- x) = e .

endfth

133

Consecint ̧e semantice

(S , Σ, Γ) specificaţie, θ ecuaţie, Θ mulţime de ecuaţii

Ecuaţia θ este o consecinţă semantică a lui Γ dacă

A |= Γ implică A |= θ

pentru orice algebră A. În acest caz, vom nota Γ |= θ.

Γ |= Θ ⇔ Γ |= θ or. θ ∈ Θ

134

Teoria grupurilor

(S = {Element }, Σ := {e , −, +}, Γ)

Γ := (∀{x , y , z })(x + y ) + z ·= x + (y + z ),

(∀{x })e + x ·= x ,

(∀{x })x + e ·= x ,

(∀{x })(−x ) + x ·= e ,

(∀{x })x + (−x ) ·= e

θ1 := (∀{x , y , z })x ·= y if {x + z

·= y + z },

θ2 := (∀{x , y })x + y ·= y + x

Γ |= θ1, Γ |= θ2

135

Specificat ̧ii echivalente

Două specificaţii (S , Σ, Γ1) şi (S , Σ, Γ2) sunt echivalente dacădefinesc aceeaşi clasă de modele:

A |= Γ1 ⇔ A |= Γ2

Observat ̧ie

Fie Γ şi Θ mulţ imi de ecuaţii. Dacă Γ |= Θ atunci (S , Σ, Γ) şi(S , Σ, Γ ∪ Θ) sunt specificaţii echivalente.

136

8/9/2019 ProgLog2011-2012

35/94

Γ-algebra init ̧ială

(S , Σ, Γ) specificaţie

I Σ,Γ := {A | A iniţială ı̂n Alg (S , Σ, Γ)}

este un tip abstract de date.

I Σ,Γ reprezintă semantica unui modul funcţional ı̂n Maude

fmod ... endfm

unde S este mulţimea sorturilor, Σ este mulţimea simbolurilor deoperaţ ii, Γ este mulţimea ecuaţiilor definite ı̂n modul.Fiecare ecuaţiee q t = t ’ şi ceq t = t’ if Heste cuantificată de variabilele care apar ı̂n t şi t’ .

137

Specificat ̧ie corecta

(S , Σ) o signatură multisortată, A (S , Σ)-algebr̆a

O specificaţie (S , Σ, Γ) este adecvată pentru A dacă A este

Γ-algebră iniţ ială, i.e. A ∈ I Σ,Γ.

Exemplu

Determinaţi o specificaţie adecvată pentru A = (Z4, 0, succ ), undesucc (x ) := x + 1 (mod 4).

138

Continuare

fmod Z4 is

sort s .

o p 0 : - > s .op succ : s -> s .

v a r s x : s .

eq succ(succ(succ(succ(x)))) = x .

endfm

S := {s }, Σ := {0 :→ s , succ : s → s },

Γ := {(∀x )succ (succ (succ (succ (x )))) ·= x }

A este Γ-algebră iniţială dacă:

(a) A |= γ or. γ ∈ Γ, (b) or. B |= Γ ex. unic f : A → B morfism.

139

Continuare

A = (Z4, 0, succ ), unde succ (x ) := x + 1

(a) A |= (∀x )succ (succ (succ (succ (x )))) ·= x

Dacă X := {x } şi e : X → A, atunci

ẽ(succ (succ (succ (succ (x ))))) =Asucc (Asucc (Asucc (Asucc (e(x ))))) = e(x ) + 4 (mod 4)

= e(x ) = ẽ(x )

(b) Fie B o Γ-algebră.Existenţa: definim f : A → B prinf (0) := B 0, f (x + 1) := B succ (f (x )) pt. 0 ≤ x ≤ 2 .

f morfism: f (Asucc (x )) = f (x + 1) = B succ (f (x )) pt. 0 ≤ x ≤ 2.

Ramâne de demontrat f (Asucc (3)) = B succ (f (3)).

140

8/9/2019 ProgLog2011-2012

36/94

Continuare

(1) f (Asucc (3)) = f (0) = B 0

(2) B succ (f (3)) = B succ (B succ (f (2))) =B succ (B succ (B succ (B succ (B 0)))

Deoarece B |= (∀x )succ (succ (succ (succ (x )))) ·= x ,

pentru e

: X → B , e

(x ) := B 0 obţinemB succ (B succ (B succ (B succ (B 0)))) = ẽ

(succ (succ (succ (succ (x ))))) =ẽ(x ) = B 0

Din (1) şi (2) rezultă f (Asucc (3)) = B succ (f (3)).

Unicitatea: fie g : A → B un morfism;dem. că g (x ) = f (x ) prin inductie pt. i ∈ {0, 1, 2, 3}

g (0) = g (A0) = B 0 = f (0),g (x + 1) = g (Asucc (x )) = B succ (g (x )) = B succ (f (x )) =

f (Asucc (x )) = f (x + 1).141

Exercit ̧iu

Determinaţi un model inţial pentru specificaţia:

fmod NSET is

sorts nat nset .

op 0 : -> nat .op s : n at -> n at .

op vid : -> nset .

op ins : nat nset -> nset .

vars x y : nat .

var A : nset .

eq ins(x,ins(x,A)) = ins(x,A) .

eq ins(x,ins(y,A)) = ins(y,ins(x,A)) .

endfm

142

143 144

8/9/2019 ProgLog2011-2012

37/94


Congruenţe. Γ-algebra iniţială

145

Congruent ̧e

(S , Σ) signatură, A (S , Σ) algebră

O relaţie S -sortat̆a ≡= {≡s }s ∈S ⊆ A × A este congruenţadacă:

≡s ⊆ As × As echivalenţă or. s ∈ S , ≡ este compatibilă cu operaţiile

ai ≡s i b i or. i = 1, . . . , n ⇒ Aσ(a1, . . . , an) ≡s Aσ(b 1, . . . , b n)or. σ : s 1 . . . s n → s

146

Exemple

(S , Σ) signatură, A (S , Σ) algebră

NAT -algebra A:Anat := N, A0 := 0, Asucc (x ) := x + 1n1 ≡k n2 ⇔ k |(n1 − n2) pentru k ∈ N fixat• n1 ≡k n2 ⇒ Asucc (n1) ≡k Asucc (n2)

AUTOMAT -algebra B :B intrare = B stare = B iesire := NB s 0 := 0, B f (m, n) := m + n, B g (n) := n + 1≡ este congruenţă pe B , unde ≡intrare =≡stare =≡iesire :=≡k

147

Algebra cât

(S , Σ) signatură, A algebr̆a, ≡ congruenţ̆a pe A

[a]≡s := {a ∈ As | a ≡s a} (clasa lui a) As /≡s := {[a]≡s | a ∈ As } or. s ∈ S A/≡ := {As /≡s }s ∈S este (S , Σ)-algebră

(A/≡)σ := [Aσ] or. σ :→ s , (A/≡)σ([a1]≡s 1 , . . . , [an]≡s n ) := [Aσ(a1, . . . , an)]≡s

or. σ : s 1 . . . s n → s şi (a1, . . . , an) ∈ As 1 × · · · × As n [·]≡ : A → A/≡, a → [a]≡s or. a ∈ As este morfism.

[a]≡s = [b ]≡s ⇔ a ≡s b

148

8/9/2019 ProgLog2011-2012

38/94

Exemple


A0 := 0, Aempty := λ, Apush(n, n1 · · · nk ) := n n1 · · · nk ,Apop (λ) = Apop (n) := λ,Apop (n1n2 · · · nk ) := n2 · · · nk pt. k ≥ 2,

Atop (λ) := 0, Atop (n1 · · · nk ) := n1 pt. k ≥ 1. ≡elem:= N × N,

≡stiva:= {(w , w ) | (w , w ) ∈ N∗ × N∗, |w | = |w |}

≡= {≡elem, ≡stiva} congruenţă

A/≡ B , undeSTIVA-algebra B : B elem := {0}, B stiva := NB 0 := 0, B empty := 0, B push(0, n) := n + 1 or. n,B pop (0) := 0, B pop (n) := n − 1 pt. n ≥ 1, B top (n) := 0 or. n.

149

Ker (f )

(S , Σ) signatură, A şi B algebre, f : A → B morfism

Ker (f ) = {Ker (f s )}s ∈S , unde

Ker (f s ) := {(a, a

) ∈ As × As | f s (a) = f s (a

)} or. s ∈ S

Propozit ̧ia 12

(a) Ker (f ) este congruenţă pe A.

(b) Dacă ≡ congruenţ̆a pe A, atunci Ker ([·]≡) =≡.

Dem. exerciţiu

150

Proprietatea de universalitate

(S , Σ) signatură, A algebr̆a, ≡ congruenţ̆a pe A

Teorema 13 ( Proprietatea de universalitate a algebrei cˆ at)

Oricare ar fi B o algebră şi h : A → B un morfism a.ı̂. ≡⊆ Ker (h)există un unic morfism h : A/≡ → B a.̂ ı. [·]≡; h = h.

Dem. h : A → B , ≡⊆ Ker (h)

Existenţa: definim h s ([a]≡s ) := hs (a)or. a ∈ As

A [·]≡

h

A/≡

h B

151

Continuare

h este bine definit: [a1]≡s = [a2]≡s ⇒ hs (a1) = hs (a2)

[a1]≡s = [a2]≡s ⇒ (a1, a2) ∈≡s ⊆ Ker (hs ) ⇒ hs (a1) = hs (a2)

h morfism: dc. σ :→ s ∈ Σ, at.

hs (A/e quiv σ) = hs ([Aσ]≡) = hs (Aσ) = B σ,

dc. σ : s 1 . . . s n → s ∈ Σ şia1 ∈ As 1 , . . ., an ∈ As n at.

hs (A≡σ([a1]≡, . . . , [an]≡)) = hs ([Aσ(a1, . . . , an)]≡) =hs (Aσ(a1, . . . , an)) == B σ(hs 1(a1), · · · , hs n (an)) =

B σ(hs 1([a1]≡), · · · , hs n ([an]≡))

Unicitatea: fie g : A/≡ → B a.̂ ı. [·]≡; g = h

g s ([a]s ) = hs (a) = hs ([a]≡s ) or. a ∈ As .

152

8/9/2019 ProgLog2011-2012

39/94

Consecint ̧e

Teorema 14 (Teoremă I de izomorfism)

Oricare f : A → B morfism, A/Ker (f ) f (A).

Dem. exerciţiu

Propozit ̧ia 15 Fie K o clasă de (S , Σ)-algebre. Dacă

≡K:=

{Ker (h) | h : T Σ → B ∈ K, h morfism},

atunci următoarele proprietăţi sunt adevărate:

≡K este congruenţ̆a pe T Σ,

or. B ∈ K ex. unic morfism h : T Σ/≡K → B .

Dem. Intersecţia unei familii arbitrare de congruenţe este

congruenţă (exerciţiu). 153

Continuare

Fie B ∈ K si h : T Σ → B unicul morfism.

Existenţa: deoarece ≡K⊆ Ker (h), din

Proprietatea de universalitate aalgebrei cât ex. unic morfismh : T Σ/≡K → B a.̂ ı. [·]≡K; h = h.

T Σ[·]≡K

h

T Σ/≡K

h B

Unicitatea: fie g : T Σ/≡K → B un morfism; atunci[·]≡K; g : T Σ → B , deci [·]≡K; g = h, deci g verifică proprietateacare-l defineşte ı̂n mod unic pe h ; rezult̆a g = h.

154

Γ-algebre

(S , Σ, Γ) specificaţie,A algebră şi ≡ o congruenţ̆a pe A

Spunem că ≡ este este ı̂nchisă la substituţie dacă:CS(Γ,A)

or. (∀X )t ·=s t

if H ∈ Γ, or. e : X → A

ẽs (u ) ≡s ẽs (v ) or. u ·=s v ∈ H ⇒ ẽs (t ) ≡s ẽs (t

).

Propozit ̧ia 16

Dacă ≡ este o congruenţă pe A ı̂nchisă la substituţie atunciA/≡ |= Γ.

155

Continuare

Dem. Fie (∀X )t ·=s t

if H ∈ Γ şi f : T Σ(X ) → A/≡ a.̂ı.

f s (u ) = f s (v ) or. u ·

=s v ∈ H .[·]≡ : A → A/≡ morfism surjectiv ,f : T Σ(X ) → A/≡ morfism

Din Propoziţia 10, ex. ẽ : T Σ(X ) → Aa. ı̂. ẽ; [·]≡ = f

A[·]≡ A/≡

T Σ(X )

f

ẽ

Atunci ẽs (u ) ≡s ẽs (v ) or. u ·=s v ∈ H şi, deoarece ≡ este

ı̂nchisă la substituţie, obţinem ẽs (t ) ≡s ẽs (t ), adică f s (t ) = f s (t

).

156

C

8/9/2019 ProgLog2011-2012

40/94

Echivalent ̧a semantică

(S , Σ, Γ) specificaţie, A o (S , Σ)-algebr̆a

≡Γ,A:=

{Ker (h) | h : A → B morfism B |= Γ}echivalena̧ semantică pe A

A = T Σ notăm ≡Γ:=≡Γ,T Σ.

Propozit ̧ia 17

≡Γ,A este o congruenţă pe A ı̂nchisă la substituţie.

157

Continuare

Dem. Notăm ≡:=≡Γ,A

Fie (∀X )t ·=s t

if H ∈ Γ şi e : X → A a.̂ı.

ẽs

(u ) ≡s

ẽs

(v ) or. u

·

=s

v ∈ H .Rezultă (ẽs (u ), ẽs (v )) ∈≡⊆ Ker (h) or. h : A → B |= Γ, deci

h(ẽs (u )) = h(ẽs (v )) or. u ·=s v ∈ H .

Fie B |= Γ i̧ h : A → B . Atunci ẽ; h : T Σ(X ) → B şi

h(ẽs (u )) = h(ẽs (v )) or. u ·=s v ∈ H , deci h(ẽs (t )) = h(ẽs (t

)).Rezultă (ẽs (t ), ẽs (t

)) ∈ Ker (h) or. h : A → B |= Γ, deci(ẽs (t ), ẽs (t

)) ∈≡, i.e. ẽs (t ) ≡s ẽs (t ).

158

Γ-algebra init ̧ială


Definim pe T Σ congruenţa semantică≡Γ:=

{Ker (f ) | f : T Σ → A, A |= Γ},care este ı̂nchisă la substituţie cf. Propoziţiei 17.

T Σ/≡Γ |= Γ cf. Propoziţiei 16.

≡Γ=≡K, unde K = Alg (S , Σ, Γ)or. B |= Γ ex. unic morfism f : T Σ/≡Γ → B cf. Propoziţiei 15.

Teoremă 18.

T Σ/≡Γ este Γ-algebră iniţial̆a.

159

ADT


I Σ,Γ := {A | A iniţială ı̂n Alg (S , Σ, Γ)}este un tip abstract de date.

Un modul funcţional fmod ... endfm ı̂n Maude defineşte tipulabstract de date I Σ,Γ şi construieţ e efectiv algebra T Σ/≡Γ ,unde S este mulţimea sorturilor, Σ este mulţimea simbolurilor deoperaţ ii, Γ este mulţimea ecuaţiilor definite ı̂n modul. Fiecareecuaţiee q t = t ’ şi ceq t = t’ if Heste cuantificată de variabilele care apar ı̂n t şi t’ .

160

C i

8/9/2019 ProgLog2011-2012

41/94

Consecint ̧e

(S , Σ, Γ) specificaţie, A algebr̆a, hA : T Σ → A unicul morfism

Teoremă

Sunt echivalente: A este Γ-algebră iniţială A verifică următoarele proprietăţ i:

No Junk: hA este surjectiv No Confusion: hAs (t 1) = hAs (t 2) ⇔ Γ |= (∀∅)t 1

·=s t 2

or. t 1, t 2 ∈ T Σ,s

161 162

163 164

P l i ˘ D di i

8/9/2019 ProgLog2011-2012

42/94


Teorema constantelorDemonstraţii prin inducţie

165

Demonstrarea ec. condit ̧ionate

(S , Σ) signatura, X mulţime de variabileΓ mulţime de ecuaţii condiţionate

Γ?

|= (∀X )t ·=s t

if H

Propozit ̧ia 19

(a) Dacă Γ |= (∀X )t ·=s t

if H atunci

Γ

{(∀X )u ·=s v | u

·=s v ∈ H } |= (∀X )t

·=s t

.

(b) Implicaţia inversă nu este adevărtă ı̂n general .

(c) Dacă Γ

{(∀∅)u ·=s v | u

·=s v ∈ H } |= (∀∅)t

·=s t

atunci Γ |= (∀∅)t ·=s t

if H .

166

Continuare

Dem. (a) Fie A |= Γ

{(∀X )u ·=s v | u

·=s v ∈ H } şi e : X → A

o evaluare. Dar A |= (∀X )u ·=s v or. u

·=s v ∈ H , deci

ẽs (u ) = ẽs (v ) or. u ·=s v ∈ H . Deoarece A |= Γ, din ipoteză,

A |= (∀X )t ·

=s t if H . Deoarec e : X → A este o evaluare a.̂ı.ẽs (u ) = ẽs (v ) or. u

·=s v ∈ H , rezultă ẽs (t ) = ẽs (t

).

(b) Implicaţia inversă nu este ı̂n general adevărată.S = {s }, Σ = {0 :→ s }, X = {x , y }

{(∀X )x ·= 0} |= (∀X )y

·= 0 este adevărată, dar

|= (∀X )y ·= 0 if {x

·= 0}.

(b) Fie A |= Γ, ẽ : T Σ → A unicul morfism. Dacă ẽs (u ) = ẽs (v )

or. u ·=s v ∈ H , atunci A |= Γ

{(∀∅)u

·=s v | u

·=s v ∈ H }. Din

ipoteză, obţinem A |= (∀∅)t ·=s t

, deci ẽs (t ) = ẽs (t ). Am

demonstrat ca dacă unicul morfism ẽ : T Σ → A verificăẽs (u ) = ẽs (v ) or. u

·=s v ∈ H , atunci ẽs (t ) = ẽs (t

).167

Σ(X )


mulţimea X poate fi privită ca o signatură care are numaioperaţii constante:variabila x ∈ X s devine operaţia constantă c x :→ s

Σ(X ) := (Σ(X )w ,s )w ∈S ∗,s ∈S Σ(X )w ,s = Σw ,s pentru w = λ Σ(X )λ,s = Σλ,s ∪ {c x |x ∈ X s }

168

8/9/2019 ProgLog2011-2012

43/94

D t tii i i d ti ( + ) ( ) + ( )

8/9/2019 ProgLog2011-2012

44/94

Demonstrat ̧ii prin induct ̧ie

fmod MYNAT is

sort MyNat .

op 0 : -> MyNat .

op s_ : MyNat -> MyNat .

op _+_ : MyNat MyNat -> MyNat [comm assoc prec 50 ] .

op _*_ : MyNat MyNat -> MyNat [ comm assoc prec 49 ] .

vars x y : MyNat .

eq x + 0 = x .

e q x + s y = s ( x + y ) .

eq x * 0 = 0 .

e q x * s y = ( x * y ) + x .

endfm

173

cx ∗ (cy + cz ) = (cx ∗ cy ) + (cx ∗ cz )

fmod IND0 is

including MYNAT .

ops cy cz : -> MyNat .

endfm

*** pasul initial

r e d 0 * ( c y + c z ) = = 0 * c y + 0 * c z .

fmod IND is

including IND0 .

op cx : -> MyNat .

*** ipoteza inductie

e q c x * ( c y + c z ) = c x * c y + c x * c z .

endfm

*** pasul de inductie

r e d s c x * ( c y + c z ) = = s c x * c y + s c x * c z .

174

Demonstrat ̧ii prin induct ̧ie

==========================================

fmod MYNAT

==========================================fmod IND0

==========================================

reduce in IND0 : 0 * (cy + cz) == 0 * cy + 0 * cz .


result Bool: true

==========================================

fmod IND

==========================================

reduce in IND : s cx * (cy + cz) == cy * s cx + cz * s cx .


result Bool: true

175

Constructori S = {s }

. În exemplul anterior,Σ = {0 :→ MyNat , s : MyNat → MyNat ,

+ : MyNat MyNat → MyNat , ∗ : MyNat MyNat → MyNat }dar ı̂n inductıa sructurală am folosit numaiΣc = {0 :→ MyNat , s : MyNat → MyNat }.

Fie Σ o signatură (monosortată) şi A o Σ-algebră . O subsignaturăCons Σ ⊆ Σ se numeşte signatură de constructori p entru A dacăunicul morfism h : T Cons Σ → A este surjectiv.

Dacă P = (Σ, Γ) este o prezentare, notăm T P = T Σ/≡Γ . AtunciCons Σ se numeşte signatură de constructori pentru P dacă estesignatură de constructori pentru T

P .

176

Constructori S {s}

8/9/2019 ProgLog2011-2012

45/94

Constructori S = {s }

.P = (Σ, Γ) o prezentare, Cons Σ signatură de constructoriT P := T Σ/≡Γt ∈ T Σ, [t ] := [t ]≡Γ

Teorema (Demonstrat ̧ii prin induct ̧ie)∗

Fie Q o proprietate a elementelor lui T P a .̂ı. următoarele condiţ iisunt satisfăcute:

pasul iniţial:Q([σ]) = true or. σ ∈ Cons Σλ,s

pasul de inducţie:dacă t 1, . . ., t n ∈ T Σs şi Q([t 1]) = · · · = Q([t n]) = true atunciQ([σ(t1, . . . , tn)]) = true or. σ ∈ Cons Σs n,s .

Atunci Q([t ]) = true oricare [t ] ∈ T P .

177 178

179 180

Programare logică Regulile deductiei ecuationale

8/9/2019 ProgLog2011-2012

46/94

Programare logic a

Sintaxa logicii ecuaţionale

181

Regulile deduct ̧iei ecuat ̧ionale

(S , Σ) signatură, X ̧si Y mulţimi de variabileΓ mulţime de ecuaţii (necondiţionate)

R(∀X )t

·=s t

S (∀X )t 1

·=s t 2

(∀X )t 2 ·=s t 1

T (∀X )t 1

·=s t 2, (∀X )t 2

·=s t 3

(∀X )t 1·

=s t 3

CΣ(∀X )t 1

·=s 1 t

1, . . . , (∀X )t n

·=s n t

n

(∀X )σ(t 1, . . . , t n) ·=s σ(t 1, . . . , t

n)

σ : s 1 · · · s n → s

SubΓ(∀X )θ̃(t )

·=s θ̃(t )

unde

(∀Y )t ·=s t

∈ Γ , θ : Y → T Σ(X )

182

Deduct ̧ia sintactică

Fie Γ o mulţime de ecuaţii, numite axiome sau ipoteze. Spunem că

ecuaţia := (∀X )t

·

=s t

se deduce sintactic din Γ dac̆a exist̆a osecvenţă de ecuaţii 1, . . ., n a. ı̂.

n = şi

pentru orice i ∈ {1, . . . , n} i ∈ Γ sau i se obţine din ecuaţiile1, . . ., i−1 aplicând una din regulile R, S, T, CΣ, SubΓ.

În acest caz scriem Γ şi spunem c̆a este deductibil ă(sintactic), demonstrabilă, derivabil ă din Γ. Secvenţa1, . . ., n = este o demonstraţie pentru din ipotezele Γ.

183

Exemplu

Γ = {x + 0 ·= x , x + succ (y )

·= succ (x + y )}

E 0 + succ (0) ·= succ (0)

(1) x + succ (y ) ·= succ (x + y ) ∈ E

(2) 0 +�

proglog2011-2012

Documents