ProgettoProgettoComplex Systems in EconomicsComplex Systems in Economics

Seminario di studio Seminario di studio

““Modern Portfolio Performance Modern Portfolio Performance in Asset Pricing Modelsin Asset Pricing Models””

Trieste, Facoltà di EconomiaTrieste, Facoltà di Economia23-24 giugno 200423-24 giugno 2004

Finanza Moderna, variabili di stato e sistema di forze in Finanza Moderna, variabili di stato e sistema di forze in un mercato efficiente: verso l’econofisica? un mercato efficiente: verso l’econofisica?

Ricerca di analogieRicerca di analogie

(a cura di Maurizio Fanni e Michele Ibba)(a cura di Maurizio Fanni e Michele Ibba)

22

Obiettivi della ricercaObiettivi della ricerca

Individuazione delle grandezze e Individuazione delle grandezze e

su un mercato finanziario efficientesu un mercato finanziario efficiente

Ruolo e importanza delle variabili di stato. Ruolo e importanza delle variabili di stato.

m m

33

I PARTEI PARTE

RICHIAMI DELLA TEORIA DI SHARPE PER L’INDIVIDUAZIONE DEI RICHIAMI DELLA TEORIA DI SHARPE PER L’INDIVIDUAZIONE DEI PUNTI DELLA FRONTIERA EFFICIENTEPUNTI DELLA FRONTIERA EFFICIENTE

1)1) L’espressione di Sharpe per L’espressione di Sharpe per trovare il set di portafogli efficientitrovare il set di portafogli efficienti

si indica con un sistema di si indica con un sistema di riferimento cartesiano ortogonale in cui si riferimento cartesiano ortogonale in cui si rappresentano i titoli di coordinate rappresentano i titoli di coordinate

il metodo consiste nel minimizzare in detto il metodo consiste nel minimizzare in detto spazio spazio )1( R

~- p pV

jj R~

, V

pp R~

o V

44

pV

pR

frontiera efficiente

curve di indifferenza

55

2)2) Tale espressione conduce ad un’analisi Tale espressione conduce ad un’analisi computazionale ben nota che qui si rinuncia a computazionale ben nota che qui si rinuncia a riesporreriesporre

ci si limita ad osservare che la logica di Sharpe ci si limita ad osservare che la logica di Sharpe consiste nell’individuazione della funzione di utilità consiste nell’individuazione della funzione di utilità (1) la quale nel sistema di coordinate indicato (1) la quale nel sistema di coordinate indicato esprime l’equazione di una rettaesprime l’equazione di una retta

la pendenza della retta dipende dal valore di la pendenza della retta dipende dal valore di

in particolare esprime il valore della in particolare esprime il valore della

cotangente dell’angolo formato dall’intersezione cotangente dell’angolo formato dall’intersezione della retta data con l’asse delle ascissedella retta data con l’asse delle ascisse

66

3)3) Con il metodo di Sharpe il set efficiente Con il metodo di Sharpe il set efficiente individua nel sistema di coordinate prescelto una individua nel sistema di coordinate prescelto una parabola di cui non è nota l’equazione. Pertanto, il parabola di cui non è nota l’equazione. Pertanto, il metodo suggerisce di attivare l’equazione della metodo suggerisce di attivare l’equazione della retta (1) per tutti i profili di rischio: potendo avere retta (1) per tutti i profili di rischio: potendo avere ogni soggetto una differente funzione di utilità, ogni soggetto una differente funzione di utilità, questa viene ripetuta in modo da individuare tutti i questa viene ripetuta in modo da individuare tutti i profili di rischioprofili di rischioCambia così continuamente la sua pendenza e la Cambia così continuamente la sua pendenza e la condizione di tangenza rimane univocamente condizione di tangenza rimane univocamente determinata dal valore minimo di determinata dal valore minimo di (esiste un valore minimo di associato a ogni (esiste un valore minimo di associato a ogni punto della frontiera)punto della frontiera)

77

pV

pR

curve di indifferenza

frontiera efficiente

o

88

4)4) In conclusione, riassumendo secondo In conclusione, riassumendo secondo l’assunto di Sharpe, l’obiettivo di un ipotetico l’assunto di Sharpe, l’obiettivo di un ipotetico investitore è quello di selezionare un investitore è quello di selezionare un possibile portafoglio giacente sulla funzione possibile portafoglio giacente sulla funzione di utilità più conveniente. La scelta di utilità più conveniente. La scelta dell’investitore è condizionata da due vincoli:dell’investitore è condizionata da due vincoli:

a)a) il portafoglio selezionato deve essere il portafoglio selezionato deve essere efficiente e giacere, quindi, lungo la efficiente e giacere, quindi, lungo la frontiera frontiera

b)b) nel punto selezionato la curva di utilità è nel punto selezionato la curva di utilità è di fatto tangente alla frontiera efficientedi fatto tangente alla frontiera efficiente

99

Si consideri ora un sistema Si consideri ora un sistema cartesiano ortogonale , nel quale i cartesiano ortogonale , nel quale i valori delle deviazioni standard siano valori delle deviazioni standard siano distribuiti lungo l’asse delle ascisse .distribuiti lungo l’asse delle ascisse .

Nel nuovo sistema di riferimento Nel nuovo sistema di riferimento l’equazione della retta di indifferenza l’equazione della retta di indifferenza (tangente alla frontiera efficiente) (tangente alla frontiera efficiente)

diventadiventa

(2)(2)

R~

o

)( p

pp RV~

pp R~2

1010

L’equazione (2) rappresenta una parabola L’equazione (2) rappresenta una parabola avente l’asse di simmetria coincidente avente l’asse di simmetria coincidente con l’asse ordinato e concavità rivolta con l’asse ordinato e concavità rivolta verso l’alto.verso l’alto.

Si riscrive la (2) esplicitata rispetto alla Si riscrive la (2) esplicitata rispetto alla variabile dipendente variabile dipendente

pR~

pR~

(3) 1

R~ 2

p

p

1111

Nell’equazione della parabola (3) il coefficiente Nell’equazione della parabola (3) il coefficiente indica l’ampiezza della conica.indica l’ampiezza della conica.Si noti che nel passare dal sistema di riferimento Si noti che nel passare dal sistema di riferimento al sistema di riferimento al sistema di riferimento la condizione di tangenza tra la curva di indifferenza la condizione di tangenza tra la curva di indifferenza

la retta in la retta in

la parabola in la parabola in

e la frontiera efficiente e la frontiera efficiente si conserva.si conserva.

1

pp R~

o V pp R~

o

pp R~

o V

pp R~

o

1212

IL CASO DELLE ASPETTATIVE IL CASO DELLE ASPETTATIVE OMOGENEEOMOGENEE

Si voglia ora calcolare il valore di nel caso Si voglia ora calcolare il valore di nel caso siano noti il portafoglio di mercato di coordinate siano noti il portafoglio di mercato di coordinate

, e l’equazione della C.M.L., che è , e l’equazione della C.M.L., che è tangente alla frontiera efficiente nel punto , tangente alla frontiera efficiente nel punto , ossia la ossia la

M

)~

,( mm RpM

p

m

mp

RfRfRR

~~~

pM

1313

La curva d’indifferenza (parabola) tange per La curva d’indifferenza (parabola) tange per costruzione la frontiera efficiente nel punto :costruzione la frontiera efficiente nel punto :risulta, pertanto, tangente, nel medesimo punto risulta, pertanto, tangente, nel medesimo punto anche alla C.M.L.anche alla C.M.L.Della parabola di equazione (3) sono noti l’asse Della parabola di equazione (3) sono noti l’asse di simmetria, il punto e la retta tangente in di simmetria, il punto e la retta tangente in

. . E’ possibile determinarne l’espressione tenendo E’ possibile determinarne l’espressione tenendo conto di questi dati.conto di questi dati.

pM

pMpM

1414

Si ricordi che il valore del coefficiente Si ricordi che il valore del coefficiente angolare della tangente a una parabola è pari angolare della tangente a una parabola è pari al valore della derivata prima di quest’ultima nel al valore della derivata prima di quest’ultima nel punto di tangenza punto di tangenza

(4) 2

~

m

m

m

fm RR

coefficiente angolare derivata prima calcolata in m

1515

e quindie quindi

fm

m

fm

mmm RRRR

~

2~

2 2

1616

p

pR

o

C. M. L

.

Frontiera efficiente

parabola

1717

II PARTEII PARTE

Riscriviamo la relazione notevole (4) Riscriviamo la relazione notevole (4)

Con il CAPM in presenza di massima Con il CAPM in presenza di massima diversificazione (indice di Sharpe su un mercato diversificazione (indice di Sharpe su un mercato ad efficienza forte e, perciò, senza informazioni ad efficienza forte e, perciò, senza informazioni insider) deve anche essere: insider) deve anche essere:

(4) 21

~

m

mm

fm RR

(5) ~~

jmm

fm

j

fj cRRRR

1818

e quindie quindi

che è l’indice di Sharpe, espresso sulla base che è l’indice di Sharpe, espresso sulla base della conoscenza di della conoscenza di

(6) 21

~

jmm

mj

fj cRR

m

1919

Dalle versioni precedenti si ottengono Dalle versioni precedenti si ottengono espressioni equivalenti in termini di quantità di espressioni equivalenti in termini di quantità di rischio e di betarischio e di beta

Così dalla (4) moltiplicando 1° e 2° Così dalla (4) moltiplicando 1° e 2° membro per si hamembro per si ha

e dividendo poi pere dividendo poi per

jm

(7) 21

)~

( jmm

m

jfm QRR

m

(8) 21

)~

( jm

m

jfm RR

2020

Le (7) e (8) costituiscono Le (7) e (8) costituiscono nuove relazioni notevoli nuove relazioni notevoli del premio per il rischio.del premio per il rischio.

In particolare la (8) mostra la coincidenza tra In particolare la (8) mostra la coincidenza tra premio per il rischio del titolo j e valore della funzione di premio per il rischio del titolo j e valore della funzione di utilità (secondo la logica delle aspettative omogenee) per utilità (secondo la logica delle aspettative omogenee) per un investimento nel titolo j: un investimento nel titolo j:

la retta di equazione la retta di equazione

è tangente in è tangente in

ad una curva di indifferenza simile alla parabola di ad una curva di indifferenza simile alla parabola di equazione (3)equazione (3)

jjm

m

fmfj c

RRRR

~~

)~

,( jj R

2121

Noti gli elementi del CAPM la determinazione di Noti gli elementi del CAPM la determinazione di

può avvenire in più modi:può avvenire in più modi:

Dalla (4)Dalla (4)

Dalla (6)Dalla (6)

m

(9) R~2

m

2m

m

fR

(10) 21~

jmjm

m

fj cRR

(11) ~

2fj

jmm RR

2222

Necessità di introdurre la grandezzaNecessità di introdurre la grandezza Lo studio del mercato dei capitali in termini Lo studio del mercato dei capitali in termini

di grandezze fisiche richiede la conoscenza di grandezze fisiche richiede la conoscenza dell’andamento del prezzo dei titoli.dell’andamento del prezzo dei titoli.

A tale scopo occorre comprendere che il A tale scopo occorre comprendere che il parametro di tolleranza al rischio da parte parametro di tolleranza al rischio da parte della generalità degli investitori (modello ad della generalità degli investitori (modello ad aspettativa omogenee), coglie il processo aspettativa omogenee), coglie il processo avversione (propensione) nell’istante dell’analisi avversione (propensione) nell’istante dell’analisi con variabili di stato predefinite: sistema con variabili di stato predefinite: sistema economico, politica della banca centrale, politica economico, politica della banca centrale, politica fiscale, relazioni internazionali, ecc).fiscale, relazioni internazionali, ecc).

*m

m

2323

Una nuova grandezza è Una nuova grandezza è chiamata ad interpretare la presenza delle chiamata ad interpretare la presenza delle variabili di stato nel momento in cui si variabili di stato nel momento in cui si incorporano nel incorporano nel sentimentsentiment degli operatori i degli operatori i quali negoziano i titoli: pertanto è quali negoziano i titoli: pertanto è connessa al sistema dei prezzi. connessa al sistema dei prezzi.

In generale è direttamente In generale è direttamente proporzionale a .proporzionale a .Può accadere che si modifichi pur Può accadere che si modifichi pur rimanendo costante , variando rimanendo costante , variando unicamente la capitalizzazione di borsa.unicamente la capitalizzazione di borsa.

m

m

m

m

m

2424

Ecco la relazione che lega e Ecco la relazione che lega e

prezzo attuale di un titolo rischiosoprezzo attuale di un titolo rischioso

numero di diritti in circolazione per uno numero di diritti in circolazione per uno stesso titolostesso titolo

mm

(12) )...( 2211 nnmm NPNPNP

capitalizzazione di borsa

jP

jN

2525

Allora dalle (8) e (12) risultaAllora dalle (8) e (12) risulta

jm

m

nn

m

jm

m

fm NPNPNPRR

21

)...( 2211

premio per il rischio

totale del titolo j

valore dell’utilità in j misurata attraverso il rapporto

capitalizzazione

m

2626

Grazie alle (10) e (11) otteniamo la relazione del Grazie alle (10) e (11) otteniamo la relazione del CAPM (SML) sulla base di come segue:CAPM (SML) sulla base di come segue:

Questa tenendo conto della (12) può così essere Questa tenendo conto della (12) può così essere scritta:scritta:

m

(14)

2...~ 2211

m

jmnnfj

NPNPNPRR

(13) 21

R~

f jm

m

jR

2727

Moltiplicando 1° e 2° membro della (14) per Moltiplicando 1° e 2° membro della (14) per

si ottienesi ottiene

Quindi, sapendo che Quindi, sapendo che

si ha dopo vari passaggi:si ha dopo vari passaggi:

jP

m

jmjnnjfjj

PNPNPNPPRRP

2)...(~ 2211

(15)~

1 m

jfj

fj

SRPP

jjfj RPP

~1

2828

dove si è postodove si è posto

jmjnnj PNPNPNPS 2)...( 2211

2929

La (15) consente di pronosticare (prezzo La (15) consente di pronosticare (prezzo futuro) una volta ipotizzati futuro) una volta ipotizzati

La logica adottata è differente da quella di La logica adottata è differente da quella di Sharpe in quanto mira a stabilire i successivi Sharpe in quanto mira a stabilire i successivi valori di per effetto di:valori di per effetto di:

a)a) modificazione di modificazione di

b)b) modificazione delle principali variabili di statomodificazione delle principali variabili di stato

La (15) si estende al titolo D privo rischio: La (15) si estende al titolo D privo rischio:

in tal caso risulta e la relazione diviene in tal caso risulta e la relazione diviene

fjP

mf e ,R , mjP

fjP

m

0jm )1( fDf

D RPP

3030

I cambiamenti di influenzano sempre quelli I cambiamenti di influenzano sempre quelli

di ; mentre quelli di possono aver luogo di ; mentre quelli di possono aver luogo per fattori di rischio che lasciano invariata per fattori di rischio che lasciano invariata implicando un mutamento congiunto di e del implicando un mutamento congiunto di e del prezzo dei titoli.prezzo dei titoli.

Trattasi allora di una sorta di ebollizione del Trattasi allora di una sorta di ebollizione del mercato che innalza la tolleranza al rischio dello mercato che innalza la tolleranza al rischio dello stesso con manifestazioni congiunte che stesso con manifestazioni congiunte che mostrano il loro peso su mostrano il loro peso su

mm

m

m

mm

3131

Cambiamento a carico dei fattori che coinvolgonoCambiamento a carico dei fattori che coinvolgono

Si tratta di una genesi complessa. Il processo più Si tratta di una genesi complessa. Il processo più frequente prende avvio, non da una frequente prende avvio, non da una modificazione delle funzioni di utilità dei singoli modificazione delle funzioni di utilità dei singoli risparmiatori, bensì da interventi su date società risparmiatori, bensì da interventi su date società e titoli da parte di lenders e borrowers che e titoli da parte di lenders e borrowers che operano nella previsione di cambiamenti del operano nella previsione di cambiamenti del tasso ufficiale di sconto e conseguenti maggiori tasso ufficiale di sconto e conseguenti maggiori investimenti, con lievitazione del prezzo dei titoli.investimenti, con lievitazione del prezzo dei titoli.

Risultano ridisegnate la frontiera ed M.Risultano ridisegnate la frontiera ed M.

m

3232

Cambiamento a carico dei fattori che coinvolgonoCambiamento a carico dei fattori che coinvolgono

La crescita del livello termico del mercato è La crescita del livello termico del mercato è prodotta dall’incremento del rapporto traprodotta dall’incremento del rapporto tra ee e, dunque, dai movimenti della e, dunque, dai movimenti della capitalizzazione di borsa. La lievitazione capitalizzazione di borsa. La lievitazione di trova una prima spiegazione nel fenomeno di trova una prima spiegazione nel fenomeno descritto nella slide precedente, e descritto nella slide precedente, e successivamente in massicci interventi successivamente in massicci interventi speculativi, con operazioni allo scoperto su titoli speculativi, con operazioni allo scoperto su titoli target, con introduzione, sugli stessi titoli, di target, con introduzione, sugli stessi titoli, di processi imitativi che possono dar vita ad una processi imitativi che possono dar vita ad una crescita esponenziale dei prezzi.crescita esponenziale dei prezzi.

m

m

mm

3333

Ecco la formula di predizione del valore per Ecco la formula di predizione del valore per l’intero mercatol’intero mercato

Quanto già descritto per il titolo j nelle slides Quanto già descritto per il titolo j nelle slides precedenti si estende alla formula (16).precedenti si estende alla formula (16).

fmj

f

jmjj PNPPNP )( ;

(16) 1

2...22

)R(1

222111

f)(

m

nmnnjjmjjmjj

mf

m

NPNPNPNPNPNP

PP

3434

III PARTEIII PARTE

Il ruolo e l’importanza delle Il ruolo e l’importanza delle variabili di statovariabili di stato

L’analisi precedente è stata condotta L’analisi precedente è stata condotta immaginando un mercato finanziario immaginando un mercato finanziario efficiente, completo, simmetrico dal punto efficiente, completo, simmetrico dal punto di vista informativo. In detto mercato sono di vista informativo. In detto mercato sono presenti delle condizioni di fase del ciclo presenti delle condizioni di fase del ciclo economico che si suppongono in un primo economico che si suppongono in un primo momento invarianti.momento invarianti.

1

3535

Il mercato si presenta come un grande Il mercato si presenta come un grande contenitore di particelle (i movimenti dei prezzi contenitore di particelle (i movimenti dei prezzi dei titoli, raccolti in un dato intervallo dei titoli, raccolti in un dato intervallo temporale) su cui si esercitano una pressione temporale) su cui si esercitano una pressione verso l’investimento e una serie di restrizioni ai verso l’investimento e una serie di restrizioni ai finanziamenti: emerge una condizione finanziamenti: emerge una condizione dinamica corrispondente a dati gradi di dinamica corrispondente a dati gradi di temperatura della platea degli investitori; in temperatura della platea degli investitori; in special modo si incontra una condizione di special modo si incontra una condizione di tolleranza al rischio riferibile al parametro , tolleranza al rischio riferibile al parametro , che, come tale, caratterizza anche l’equilibrio che, come tale, caratterizza anche l’equilibrio del mercato. del mercato.

m

2

3636

L’insieme delle condizioni prefissate L’insieme delle condizioni prefissate conduce a leggere i movimenti del conduce a leggere i movimenti del sistema: si muove l’economia con il PIL, sistema: si muove l’economia con il PIL, segue a ruota il mercato finanziario in segue a ruota il mercato finanziario in condizioni di efficienza e di perfezione. Il condizioni di efficienza e di perfezione. Il movimento del mercato finanziario movimento del mercato finanziario implica anche il movimento del titolo implica anche il movimento del titolo privo di rischio e dei titoli rischiosi.privo di rischio e dei titoli rischiosi.

3

3737

L’equazione di stato su un mercato perfetto L’equazione di stato su un mercato perfetto ed efficienteed efficiente

Riscriviamo la relazione (8), relativa al premio Riscriviamo la relazione (8), relativa al premio per il rischio, tendendo conto della (12) e perciò per il rischio, tendendo conto della (12) e perciò in termini di .in termini di .Otteniamo la seguente espressione che Otteniamo la seguente espressione che costituisce l’equazione di stato su un mercato costituisce l’equazione di stato su un mercato ad efficienza forte per qualunque titolo o fondo ad efficienza forte per qualunque titolo o fondo (compreso il portafoglio di mercato)(compreso il portafoglio di mercato)

e quindie quindi

m

(17) 2~

2 jmmm

jmfm RR

2~

2m

mfm RR

m

3838

dovedove

indica la pressione esercitata dalla indica la pressione esercitata dalla Banca centrale sulla generalità degli investitori Banca centrale sulla generalità degli investitori affinchè investano: riducendo e perciò il affinchè investano: riducendo e perciò il tasso ufficiale di sconto, la differenzatasso ufficiale di sconto, la differenza

aumenta di peso (maggiore pressione o spinta).aumenta di peso (maggiore pressione o spinta).

Al contrario l’incremento di distoglie Al contrario l’incremento di distoglie dall’investimento (minore pressione) e spinge dall’investimento (minore pressione) e spinge verso operazioni di prestitoverso operazioni di prestito

fm RR ~

fR fm RR ~

fR

3939

esprime il volume di contenimento del esprime il volume di contenimento del rischio che emerge dalla funzione di utilità rischio che emerge dalla funzione di utilità della generalità degli investitori, misurato in della generalità degli investitori, misurato in termini di valore della tolleranza stessa per termini di valore della tolleranza stessa per unità di rischio.unità di rischio.

K indica il livello dell’equilibrio termico del K indica il livello dell’equilibrio termico del sistema (che può variare a seconda della sistema (che può variare a seconda della dinamica degli interventi degli operatori) dinamica degli interventi degli operatori) misurato attraverso la capitalizzazione di misurato attraverso la capitalizzazione di borsa: borsa:

2/ mm

nnNPNPNPK ...2211

4040

Ecco allora il significato economico della (17): Ecco allora il significato economico della (17): equazione di statoequazione di stato

Dato un mercato ad efficienza forte, ad un Dato un mercato ad efficienza forte, ad un aumento della pressione all’investimento aumento della pressione all’investimento (riduzione del tasso ufficiale di sconto) fa riscontro (riduzione del tasso ufficiale di sconto) fa riscontro una riduzione del volume di contenimento del una riduzione del volume di contenimento del rischio, tale da lasciare invariato il prodotto 2K.rischio, tale da lasciare invariato il prodotto 2K.

(18) 2RR~

2fm

m

m

pressione

verso gli investitori

volume di contenimento del

rischio

costante livello termico

4141

Va poi ribadito che la (18) è valevole per Va poi ribadito che la (18) è valevole per ogni attività finanziariaogni attività finanziaria

infatti, nel caso del portafoglio di infatti, nel caso del portafoglio di mercato la relazione può essere così scrittamercato la relazione può essere così scritta

Ma ciò equivale alla (18)Ma ciò equivale alla (18)

2RR~ 2

m2

2

fm

m

m

m

4242

La proiezione del prezzo del titolo rischioso La proiezione del prezzo del titolo rischioso

Riscriviamo la (15) in modo integrale Riscriviamo la (15) in modo integrale

Appare con chiarezza che, una volta individuati e è Appare con chiarezza che, una volta individuati e è possibile chiedersi:possibile chiedersi:

a)a) come varierà per le sollecitazione su provocate da come varierà per le sollecitazione su provocate da possibili variazioni del tasso ufficiale di scontopossibili variazioni del tasso ufficiale di sconto

b)b) come varierà per la presenza di lenders e borrowers che come varierà per la presenza di lenders e borrowers che intervengono con azioni mirate su singoli titoli considerati intervengono con azioni mirate su singoli titoli considerati eccellenti ed alterando K eccellenti ed alterando K

(19) )......(

)......(P2R1PP

2211

2211jfj

fj

nnjjm

nnjjjm

NPNPNPNP

NPNPNPNP

m m

m m

m

4343

Il valore massimo di ogni e di Il valore massimo di ogni e di

a)a) con attuale consente di con attuale consente di prefigurare futuri, ovvero max.prefigurare futuri, ovvero max.

b)b) contenuto nella (19) risente di tutto ciò contenuto nella (19) risente di tutto ciò e l’insieme delle informazioni si ritara per e l’insieme delle informazioni si ritara per produrre alla luce degli spostamenti di produrre alla luce degli spostamenti di

e e

jP

Kmm

jP

KK K

K

fjP

,R mf m

4444

Le modificazioni del livello termico del Le modificazioni del livello termico del mercatomercato

L’equazione di stato (vedasi le 17 L’equazione di stato (vedasi le 17 e 18) consente di leggere quali e 18) consente di leggere quali cambiamenti implichi il mantenimento cambiamenti implichi il mantenimento del livello termico del mercato in del livello termico del mercato in presenza di cambiamenti di pressione presenza di cambiamenti di pressione (prefigurati da prossime modificazioni (prefigurati da prossime modificazioni del tasso ufficiale di sconto):del tasso ufficiale di sconto):

4545

1° CASO1° CASO

a)a) se il tasso ufficiale di sconto viene ridotto il se il tasso ufficiale di sconto viene ridotto il mantenimento del livello termicomantenimento del livello termico genera una genera una riduzione di (con, quindi, crescita di ). riduzione di (con, quindi, crescita di ).

La parabola di cui all’equazione (3) si restringe La parabola di cui all’equazione (3) si restringe ed M si colloca in un punto più basso della ed M si colloca in un punto più basso della frontiera efficiente;frontiera efficiente;

m m/1

4646

2° CASO2° CASO

b)b) se il tasso ufficiale di sconto viene se il tasso ufficiale di sconto viene accresciuto, il mantenimento del livello accresciuto, il mantenimento del livello termico genera un incremento di termico genera un incremento di

(con riduzione di ).(con riduzione di ).

La parabola di cui all’equazione (3) si La parabola di cui all’equazione (3) si amplia ed M si colloca in un punto più alto amplia ed M si colloca in un punto più alto della frontiera efficiente.della frontiera efficiente.

mm/1

4747

La lievitazione del livelloLa lievitazione del livello termico del mercatotermico del mercato

Non di rado, per fenomeni di Non di rado, per fenomeni di prociclicità, quando viene ridotto il tasso prociclicità, quando viene ridotto il tasso ufficiale di sconto, si genera una ufficiale di sconto, si genera una lievitazione del livello termico.lievitazione del livello termico.

Ciò dipende dal probabile Ciò dipende dal probabile accrescimento di accrescimento di dovuto a consistenti acquisti di singoli dovuto a consistenti acquisti di singoli titoli (emessi da soggetti ad alta forza titoli (emessi da soggetti ad alta forza d’investimento) da parte di borrowers che d’investimento) da parte di borrowers che puntano al successivo rialzo dei prezzi puntano al successivo rialzo dei prezzi dei titoli su cui intervengono.dei titoli su cui intervengono.

m

4848

La formula (19) suggerisce il La formula (19) suggerisce il fenomeno descritto per i riflessi su sia fenomeno descritto per i riflessi su sia dei processi di preferenza intertemporale dei processi di preferenza intertemporale sia del futuro andamento di (che, del sia del futuro andamento di (che, del resto, può poi consentire ulteriori resto, può poi consentire ulteriori variazioni di architettura del mercato e, variazioni di architettura del mercato e, perciò, di modificazioni di )perciò, di modificazioni di )

jP

m

m

4949

La bolla speculativaLa bolla speculativa

L’alterazione del livello termico, per le ragioni L’alterazione del livello termico, per le ragioni descritte, può condurre -con operazioni descritte, può condurre -con operazioni speculative ed allo scoperto- a ridisegnare la speculative ed allo scoperto- a ridisegnare la configurazione di K.configurazione di K.

Qualora si possa prefigurare un , il Qualora si possa prefigurare un , il fenomeno si sviluppa secondo la logica di un fenomeno si sviluppa secondo la logica di un sistema discreto, con possibile evoluzione verso sistema discreto, con possibile evoluzione verso una bolla speculativauna bolla speculativa

MAXK

5050

IV PARTEIV PARTE continuazionecontinuazione

Temperatura ed energia del sistemaTemperatura ed energia del sistema

Si è già detto che il mercato si presenta Si è già detto che il mercato si presenta come un grande contenitore di particelle come un grande contenitore di particelle (i movimenti dei prezzi dei titoli raccolti in (i movimenti dei prezzi dei titoli raccolti in un dato intervallo temporale). Il moto un dato intervallo temporale). Il moto delle particelle del mercato è disordinato delle particelle del mercato è disordinato in quanto esse si muovono in molte in quanto esse si muovono in molte direzioni differenti con differenti energie.direzioni differenti con differenti energie.Le particelle possono essere considerate Le particelle possono essere considerate puntiformi e i loro urti attivano il processo puntiformi e i loro urti attivano il processo di diversificazione del rischio.di diversificazione del rischio.

5151

In questa analisi ci limitiamo a In questa analisi ci limitiamo a considerare le interazioni tra le particelle considerare le interazioni tra le particelle secondo la logica dei mercati efficienti, (la secondo la logica dei mercati efficienti, (la Efficient Market Hypothesis). La Efficient Market Hypothesis). La diversificazione del rischio conduce a creare diversificazione del rischio conduce a creare situazioni di equilibrio e di linearità delle situazioni di equilibrio e di linearità delle relazioni tra rischio e rendimentorelazioni tra rischio e rendimento

si riscontrano grazie alle diversificazioni del si riscontrano grazie alle diversificazioni del rischio analogia tra la teoria cinetica dei gas e rischio analogia tra la teoria cinetica dei gas e la E.M.H.la E.M.H.

5252

Si consideri qualsiasi punto di trade Si consideri qualsiasi punto di trade off-rischio rendimento lungo la security off-rischio rendimento lungo la security market line. market line.

Ogni particella (combinazione di più titoli), Ogni particella (combinazione di più titoli), entrata a fare parte del portafoglio di entrata a fare parte del portafoglio di mercato non può espandersi senza mercato non può espandersi senza incontrare l’ostacolo rappresentato incontrare l’ostacolo rappresentato dall’esigenza di contenimento del rischio dall’esigenza di contenimento del rischio (ideali pareti del mercato)(ideali pareti del mercato)

5353

La particella è così costretta a seguire un La particella è così costretta a seguire un percorso obbligato: questo si orienta su tre percorso obbligato: questo si orienta su tre dimensioni.dimensioni.

Su un mercato efficiente, in media, in ogni istante, Su un mercato efficiente, in media, in ogni istante, la velocità di ogni particella (composta da più titoli) la velocità di ogni particella (composta da più titoli) sarà espressa da un vettore sarà espressa da un vettore

scomposto secondo tre assi ortogonali . scomposto secondo tre assi ortogonali .

Per N particelle si otterranno in generale N valori Per N particelle si otterranno in generale N valori diversi.diversi.

Si ponga, per esempio:Si ponga, per esempio:

v

zyx vvv

, ,

N

vvvvv nxxxxx

2222

22 ...

31

5454

In media, in ogni istante le componenti In media, in ogni istante le componenti

lungo le tre dimensioni sono uguali. Ciò non lungo le tre dimensioni sono uguali. Ciò non significa che per tutte le particelle in ogni significa che per tutte le particelle in ogni istante siano ugualiistante siano uguali

Se in un dato istante esistono particelle per cui Se in un dato istante esistono particelle per cui

ha un determinato valore, ne esisteranno ha un determinato valore, ne esisteranno altrettante con il medesimo valore di e . altrettante con il medesimo valore di e . Dato, inoltre, l’enorme numero di particelle, non Dato, inoltre, l’enorme numero di particelle, non c’è ragione che dei tre assi ve ne sia uno c’è ragione che dei tre assi ve ne sia uno privilegiato lungo il quale si abbia un più rapido privilegiato lungo il quale si abbia un più rapido spostamento medio delle particelle. spostamento medio delle particelle.

Si può allora riscrivere:Si può allora riscrivere:

zyx vvv

yv

zv

222 zyx vvv

xv

5555

Ricordando che (scomposizione Ricordando che (scomposizione vettoriale)vettoriale)

si chiama velocità quadratica media la radice quadrata si chiama velocità quadratica media la radice quadrata di :di :

Si fa riferimento all’espressione della pressione trattata dalla Si fa riferimento all’espressione della pressione trattata dalla teoria, nella quale compare il valore :teoria, nella quale compare il valore :

2222 zyx vvvv

22 3... xvvmqv 2v

2v

2

3

1v

V

Nmp

5656

La sua estensione alla finanza è esprimibile come La sua estensione alla finanza è esprimibile come

seguesegue: : 2

2

3

1vRR

m

m

mfm

23

3

1vRR

m

mfm

5757

Questa relazione, verificabile sperimentalmente, Questa relazione, verificabile sperimentalmente, consente di determinare la media delle velocità delle consente di determinare la media delle velocità delle particelle entrate a far parte del portafoglio di mercato particelle entrate a far parte del portafoglio di mercato (che hanno composto).(che hanno composto).

Si riscontra la seguente relazione tra medio e Si riscontra la seguente relazione tra medio e il livello del tasso privo di rischio: a mano a mano che il livello del tasso privo di rischio: a mano a mano che esso decresce, emerge un incremento nel valore delle esso decresce, emerge un incremento nel valore delle velocità espresse come sopra.velocità espresse come sopra.

Inoltre è possibile connettere la velocità ora Inoltre è possibile connettere la velocità ora descritta con l’energia interna di un mercato perfetto ed descritta con l’energia interna di un mercato perfetto ed efficiente.efficiente.

Si dimostra, anche sperimentalmente, che in ogni Si dimostra, anche sperimentalmente, che in ogni mercato finanziario ad efficienza forte l’energia cinetica mercato finanziario ad efficienza forte l’energia cinetica costituisce una grandezza invariante una volta definiticostituisce una grandezza invariante una volta definiti

ee

2v

jm R ,R m

5858

segue l’espressione: segue l’espressione:

dove è la deviazione standard del dove è la deviazione standard del portafoglio di mercato portafoglio di mercato

Questa relazione rappresenta l’unità di misura Questa relazione rappresenta l’unità di misura del grado di efficienza del mercato dei capitali. del grado di efficienza del mercato dei capitali.

mm

2

2

1vE mk

2

2

1vmEk

5959

Si noti che il termine Si noti che il termine che appare che appare nell’espressione della pressione rappresenta la nell’espressione della pressione rappresenta la densità del gas. densità del gas.

Parimenti il termineParimenti il termine

rappresenta la densità del mercato.rappresenta la densità del mercato.

La velocità quadratica media può essere riscritta La velocità quadratica media può essere riscritta nella forma nella forma

E la relazione che lega a è la seguenteE la relazione che lega a è la seguente

3

)~

(33

00

m

mfm RR

p

pmqv

kE2v

3~

2

32m

mfmk

RRE

Nm

m

mkm

mm

33

6060

V PARTEV PARTE Studio del grado di simmetria informativa Studio del grado di simmetria informativa

del mercatodel mercatoNel caso di un mercato perfetto ed Nel caso di un mercato perfetto ed

efficiente deve valere il seguente graficoefficiente deve valere il seguente grafico

KVRR fm /)~

(

2

)~

( fm RR

equazione di stato di un mercato perfetto ed efficiente

6161

Nei mercati finanziari reali il principio sopra Nei mercati finanziari reali il principio sopra esposto non trova sempre riscontro. Esiste però esposto non trova sempre riscontro. Esiste però una pressione di equilibrio legata al livello di una pressione di equilibrio legata al livello di capitalizzazione.capitalizzazione.

Nei mercati finanziari reali ad un aumento Nei mercati finanziari reali ad un aumento della pressione all’investimento fa riscontreo della pressione all’investimento fa riscontreo un’equazione differente assimilabile ad una retta un’equazione differente assimilabile ad una retta della quale varia il coefficiente angolare in della quale varia il coefficiente angolare in funzione della variazione di pressione o di funzione della variazione di pressione o di densità?densità?

Le cause di allontanamento della costante Le cause di allontanamento della costante di cui al grafico sono da individuare di cui al grafico sono da individuare sperimentalmente.sperimentalmente.

6262

In via intuitiva dipendono dai seguenti In via intuitiva dipendono dai seguenti parametri:parametri:

a)a) aumento della densità del mercato (crescita del aumento della densità del mercato (crescita del numero di movimenti del prezzo di ciascun titolo numero di movimenti del prezzo di ciascun titolo per unità di tempo)per unità di tempo)

b)b) crescita, in numero assoluto, del numero di crescita, in numero assoluto, del numero di scambi per fenomeni intuitivi che allargano il scambi per fenomeni intuitivi che allargano il contenimento del rischiocontenimento del rischio

c)c) riduzione, comunque, del livello di simmetria riduzione, comunque, del livello di simmetria informativa (o crescita dell’opacità)informativa (o crescita dell’opacità)