prof. massimiliano de magistris - unina.it · come ad esempio nei partial element equivalent...

M. de Magistris - Macromodeling circuitale & simulazione "system level" 1

Macro-modeling circuitaledi strutture e sistemi complessi

per il “system level design”

Corso di Teoria dei CircuitiLaurea Magistrale in Ingegneria

Elettrica, Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni

Prof. Massimiliano de [email protected], www.elettrotecnica.unina.it

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA E TECNOLOGIE DELL'INFORMAZIONE

mailto:[email protected]

http://www.elettrotecnica.unina.it/


• Introduzione a macro-modeling circuitale ed applicazioni

• Un po’ di storia sul “model identification” e stato dell’arte

• Causalità, stabilità e passività dei modelli, “passivity enforcement”

• Il Positive Real Lemma e l’approccio “Convex Constrained Optimization” per l’identificazione passiva “a-priori”

• Generalizzazione della sintesi di Foster ai multiporta RLCM

• L’approccio “Positive Partial Fraction” con sintesi diretta di multiporta concretamente passivi

• Il “Positive Fraction Vector Fitting” e il “Disciplined Convex Programming” (CVX), validazione e casi di studio

• Stato e prospettive sull’attività

Sommario


La maggior parte dei sistemi elettrici/elettronici sono composti di sotto-sistemi concentrati e distribuiti, su diverse scale, che interagiscono fra loro. È da sempre di grande interesse disporre di loro modelli equivalenti circuitali ridotti

Gli approcci più tradizionali per ottenerli sono tutti del tipo “physics driven”, come ad esempio nei Partial Element Equivalent Circuit.

Per strutture lineari si può “sistematizzare” il processo di ricerca dell’equivalente caratterizzandole “ai terminali” (con esperimenti o simulazioni) e identificare circuiti equivalenti che riproducano con accuratezza le caratteristiche (nel tempo o in frequenza)

Le tecniche più usate sono basate su approssimazioni razionali ai minimi quadrati, e differiscono fra loro essenzialmente nel modo di effettuare il fitting e nel modo di conseguire un’adeguata robustezza numerica.

Introduzione/1


Nel problema della ricerca dei modelli (circuiti) equivalenti ridotti ci sono alcuni sottoproblemi che “ritornano”, indipendentemente dagli autori e dagli approcci:

– accuratezza della approssimazione e convergenza

– stabilità numerica delle procedure

– compattezza della rappresentazione (sintesi?)

– stabilità del modello identificato

Allo stato attuale nessuna delle tecniche note risponde contemporaneamente a tutti i requisiti, in particolare quando si pensi ad uno schema agevolmente implementabile in un “design-automation environment” (SPICE-like)

Introduzione/2


Alcuni esempi di campi di applicazione (attuali o “potenziali”):– riduzione d’ordine delle parti lineari di circuiti molto complessi;

– modelli interconnessioni in sistemi elettronici “high speed” o “mixedsignal” (analogico- digitale);

– modelli equivalenti per strutture a microonde, antenne integrate, strutture radianti, strutture acceleranti etc.;

– analisi di sistemi elettrici di potenza (in condizioni estreme: es. linee di trasmissione soggette a fulminazione);

– simulazione elettrotermica di dispositivi e sistemi elettronici mediante reti termiche equivalenti;

– interpolazione/estrapolazione di cross-sections radar

– implementazione numerica efficiente di problemi elettromagneticiformulati con equazioni integrali (approssimazione funzioni di Green);

– realizzazione passiva di sistemi di ordine frazionario (FractanceDevices) ……

Introduzione/3


Questioni generali per l’identificazione in frequenza– l’approssimazione deve spesso valere su ampi intervalli in frequenza;

– è auspicabile che il modello identificato verifichi intrinsecamente basilari vincoli fisici (come causalità, stabilità e passività);

– è opportuno che laddove importanti proprietà strutturali dei sistemi distribuiti quali propagazione e/o radiazione possono essere modellate analiticamente vengano estratte dal modello prima dell’identificazione

– è importante valutare di volta in volta quale tipo di rappresentazione (es: Z, Y, H, S) permetta di avere i dati in forma “più regolare”

– il modello identificato deve consentire una sintesi agevole, possibilmente “concretamente passiva” (es: senza generatori controllati)

– infine è opportuno che il tutto risulti direttamente compatibile con SPICE, riferimento industriale per la simulazione “system level”

Identificazione in frequenza/1


L’identificazione (approssimazione) di una risposta in frequenza nota con una funzione razionale fratta è stato un problema molto studiato (Levy 1959). Esso può essere formulato come un problema ai minimi quadrati:

Ci sono alcune intrinseche difficoltà:

– le incognite aj compaiono al denominatore (problema non lineare);– per ampi intervalli in frequenza (es: 10 GHz) e per ordine dei polinomi P e Q

elevati i coefficienti jωi spaziano in un range elevatissimo (es: 1010*N), portando a problemi numericamente mal condizionati

– infine per la sintesi circuitale è più comodo di disporre della forma in poli e residui piuttosto che in rapporto di polinomi

{ } { }( ) ( ) { }

ωω ω ω

ω

−

=

−=

=

−∑

∑∑

2

1

1, 11

1

min , nota in i i

Pi

i kNi

k k kQa b jkj k

j

b jf j f j

a j



Nel riformulare il problema ha senso considerare direttamente il caso matriciale di N campioni in frequenza di una matrice di mxm complessa H(jω):

La matrice H(jω) può essere approssimata con l’espansione:

dove {Bi} sono matrici mxm, {aj} valori scalari, {fi} {gj} generiche funzioni di base.

( ){ } 1....k k k NH H jω

==

( ) 1

1

( )

( )

P

i iiQ

j jj

B f jH j

a g j

ωω

ω

=

=

=∑

∑



Scelte le funzioni di base l’identificazione di {aj} {Bi} è un classico problema di fitting:

dove indica la norma di Frobenius

Si tratta di un problema ai minimi quadrati (non lineare). Esso può essere risolto con algoritmi classici quali Levenberg-Marquardt o Gauss-Newton. Per i sistemi a parametri concentrati (circuiti) la scelta più ovvia per le funzioni di base è:

In questo caso H(jω) risulta una matrice di rapporti di polinomi.

{ } { }( )

ωω

ω

=

=

=

−∑

∑∑

2

1, 1

1

( )min

( )i i

P

i i kNi

k QB a kj j k

j F

B f jH j

a g j

= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∑

1/ 22 2

1 1

N N

ijFi j

A A

ω ω− −= =1 1, i ji jf j g j

“Model Based Parameter Estimation” (Brittingham 1980) e “Rational Function Approximation” (Gao 2005).



Il problema di fitting può essere “linearizzato” se riformulato:

In sostanza abbiamo moltiplicato i due termini per il denominatore, minimizzando una nuova funzione “pesata”.

In tal caso il problema ai minimi quadrati è lineare. Esso però dà luogo ad errori elevati se i termini in:

danno grosse variazioni di tale “peso” sull’insieme delle frequenze ωkconsiderate.

{ } { }( )

2

B , 1 1 1min H ( ) B ( )

i i

N Q P

k j j k i i ka k j i F

j a g j f jω ω ω= = =

−∑ ∑ ∑

ω=

∑1

( )Q

j j kj

a g j



È possibile ottenere una formulazione iterativa a partire dalla precedente considerando il problema:

Essa è lineare all’interno dell’iterazione come la precedente, in quanto il denominatore è fissato, e se converge riporta al caso di partenza. Questo schema (simile ad una iterazione di punto fisso) va sotto il nome di iterazione di “Sanathanan Koerner”* e supera gli svantaggi descritti prima.Come spesso accade tutto ciò fu dimenticato …

{ } { }

( )2

( 1) ( 1)

1 1

B , ( )1

1

H ( ) B ( )min

( )i i

Q Pn n

k j j k i i kNj i

Qa nkj j k

j F

j a g j f j

a g j

ω ω ω

ω

+ +

= =

=

=

−∑ ∑∑

∑

*C.K. Sanathanan, J. Koerner, ”Transfer Function Synthesis as Ratio of two Complex Polynomials”, IEEE Trans. Automatic Control, Vol.8 n°1, 1963.



Per tutti gli schemi considerati è importante ricordare che la scelta

(H(jω) rapporto di polinomi) dà importanti limitazioni alla crescita contemporanea dell’ordine di approssimazione ed alla ampiezza della banda di interesse, in quanto le potenze elevate di jω portano presto a problemi numericamente mal condizionati.

Il problema è superato naturalmente con una diversa base di espansione dove i termini dell’espansione sono i singoli “fratti”. Tale scelta è alla base dell’algoritmo di Gustavsen- Semlyen chiamato Vector Fitting

Sono anche state proposte espansioni in polinomi ortogonali, che però allo stato non hanno mostrato particolari vantaggi all’approccio VectorFitting

ω ω− −= =1 1, i ji jf j g j



0 11

( )K

k

k k

rf s r r ss p −

=

= + +−∑

Approssimiamo la risposta in frequenza nella forma poli residui:

Si parte con una scelta di poli di tentativo e si introduce una funzione“peso” (incognita) σ(s) assumendo:

kp

0 11

1

( ) ( )

( ) 1

Kk

k kK

k

k k

rs f s r r ss p

rss p

σ

σ

−=

=

≈ + +−

≈ +−

∑

∑

0 11 1

1 ( )K K

k k

k kk k

r rr r s f ss p s p−

= =

⎛ ⎞+ + ≈ +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

∑ ∑

È da notare che le approssimazioni di f(s) e σ hanno gli stessi poli! Datali posizioni otteniamo l’equazione (lineare):

“Vector Fitting”/1


Imponendo la precedente uguaglianza negli N campioni in frequenza in cui è nota la funzione f(s) è possibile determinare i coefficienti mediante la soluzione del sistema lineare Anx = b dove:

0 1, , , −k kr r r r

[ ]

[ ]

1 1

2( 1)

1 2 0 1 1 2

2( 1)

1 2

( ) ( )1 1... ,1, , ...

, ,... , , , , ,...

( ), ( ),... ( )

n nn n

n n K n n K

K

TK K

K

N

N

f s f sA ss p s p s p s p

r r r r r r r r

f s f s f s

+

−

+

⎡ ⎤− −= ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

=

=

x

b T

Anx=b risulta sovra-determinato se N>2(K+1). Può essere risolto con i minimi quadrati, questa volta lineari!



( )

1 1

1 10

1 1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

K K

k kk k

fitN Nfit

k kn n

s r s rf s r s

s p s pσ σ

+ +

= =

= =

− −= =

− −

∏ ∏

∏ ∏

( )1

10

1

( )( )( )

( ) ( )

K

kfit k

Nfit

kn

s rf sf s r

s s r

σσ

+

=

=

−= =

−

∏

∏

da cui si ricava:

Ogni somma di frazioni può essere scritta come:

dunque i poli di f(s) risultano proprio gli zeri (residui) di σ e:

( ) 1fit sσ →



- l’algoritmo definisce dei poli iniziali di tentativo;

- riformula all’interno della iterazione il problema nella forma

lineare Ax=b (sovra-determinata) tramite la funzione σ ;

- risolve un problema di minimi quadrati lineari all’interno della

iterazione, trovando i nuovi poli e residui approssimati;

- riprende l’iterazione dal primo punto con i nuovi poli trovati;

- arresta l’iterazione quando σ ≈ 1.

“Vector Fitting”/4 (in sintesi…)


- l’algoritmo è molto efficace su di un ampio insieme di casi (sembra allo stato imbattibile!)

- per sistemi a più ingressi e più uscite le matrici di trasferimento sono identificate con un set di poli comune, ponendo i vari elementi in un unico vettore (da cui il nome di Vector Fitting);

- è importante la scelta dei poli iniziali di tentativo ai fini della corretta convergenza dell’algoritmo;

- si può accelerare la convergenza rimuovendo il vincolo sul comportamento asintotico della funzione peso σ(s), adottando la definizione:

1 ( )

Kk

k k

rs ks p

σ=

≈ +−∑

“Vector Fitting”/5 (proprietà)


L’algoritmo VF è stato sviluppato indipendentemente da Gustavsen e Semlyen (1999). Successivamente è stato riconosciuto come una specifica riformulazione dello schema Sanathanan Koerner (Hendrix, Dahene 2006):

( )

( )

1

( )( )

( ) ( ) ( ) 11 1

1

1

1 1, , 2; 1; ;

1 1, , 1; 1;

i Q Qi

j Pj

Nn

n iNjn n n i

N N Nj j

jj

f i Q f f ss p

g j P gs p

s zaa a

s p s pσ

−

=+ +

=

=

⎧ = = − = =⎪ −⎪⎨⎪ = = − =⎪ −⎩

−= + =

− −

∏∑

∏

…

…

“Vector Fitting”/6 (inquadramento)


La passività dei modelli identificati (dei sotto-sistemi) èfondamentale per la simulazione “system level”. Infatti*:

PassivitàCausalità

Stabilità

Vale inoltre l’importante proprietà di “chiusura”:“connessioni in serie, parallelo, cascata e retroazione di sistemi passivi portano ancora a sistemi passivi ”

{Esempio: circuito strettamente passivo soluzione di regime sinusoidale; nel dominio s l’asse immaginario deve appartenere alla R.O.C., dunque:

i poli sono tutti a Re{pi}<0il sistema è causale

*P. Triverio, S. Grivet-Talocia et al., ”Stability, Causality and Passivity in Electrical InterconnectModels”, IEEE Trans. on Advanced Packaging, 2007

S. Grivet-Talocia, ”On driving non passive macro-models to instability”, Int. Journal of Circuit Theory and Applications, 2008

Identificazione di modelli passivi/1


L’accuratezza nell’identificazione di f(s) non garantisce i requisiti di stabilità, causalità e passività che invece hanno le strutture da modellare. Ciò origina da diversi tipi di problemi:

– il modello con cui abbiamo costruito f(s) è inaccurato– i dati sperimentali su f(s) sono rumorosi– f(s) verifica tali proprietà, ma nell’identificazione esse vengono

“perse” a favore di una soluzione più accurata

Mentre è piuttosto immediato forzare la stabilitànell’identificazione (Re{pi}<0) è abbastanza più complesso garantire la passività.

I più diffusi algoritmi (es: VF) forniscono macro-modelli stabili ma non necessariamente passivi anche se applicati a dati rigorosamente passivi!



La matrice di rappresentazione di un multiporta passivo (impedenze o ammettenze) finito è razionale e “Positive Real” (PR)*:

Le condizioni 1) 2) sono soddisfatte da qualsiasi funzione strettamente stabile (tutti i poli nel semipiano sinistro); la condizione 3) è equivalente a Re{H} ≥0 e corrisponde al fatto che la potenza attiva assorbita sia positiva (passività). Re{H} ≥ 0 equivale a eig{Re[H(jω)]} ≥ 0 (per ogni ω) con “eig” l’intero set degli autovalori

Le condizioni di (matrice) PR sono necessarie e sufficienti per la sintesi passiva

>

= >

+ ≥ >

* *

1) ( ) è analitica per Re{ } 02) ( ) ( ) per Re{ } 03) ( ) ( ) 0 per Re{ } 0H

H s sH s H s sH s H s s

*O. Brune, “Synthesis of a Finite Two Terminal Network Whose Driving-Point Impedance is a Prescribed Funcion of Frequency”, J. of Mathematical Physics, vol 10, 1931.



Si può perseguire la passività con due strategie:– a-posteriori, correggendo le “violazioni di passività” del modello

identificato (tecniche perturbative)– a-priori identificando sotto-sistemi intrinsecamente passivi,

ovvero vincolando opportunamente il modello nel corso della identificazione

La prima è di più semplice implementazione ma meno generale. Attualmente è quella più usata e va sotto il nome di “Passivity Enforcement”.

La seconda è più generale, ma computazionalmente onerosa quando formulata come problema di ottimizzazione. Ne esistono diverse varianti, quelle più interessanti sono basate sull’ottimizzazione convessa*

*M. de Magistris, L. De Tommasi, “Identification of broadband passive macromodels for electromagnetic structures”, Compel vol.26 n° 2, 2007.



La passività viene verificata dopo lo step di identificazione, ed in caso negativo il modello deve essere “corretto”

Il “forzamento della passività” a-posteriori (perturbativo) inevitabilmente degrada la qualità dell’identificazione originaria

Sono applicabili a strutture con elevata dimensionalità e molti poli, scalando in modo abbastanza favorevole con la dimensione del problema. Si possono distinguere le tecniche:

– correzioni “locali” (e trucchi vari)

– QP_passive (Gustavsen 2001*) QPVF

– Hamiltoniana (Grivet-Talocia 2004**) IDEM

*Gustavsen, B. and Semlyen, A., “Enforcing passivity for admittance matrices approximated by rational functions”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 16, No. 1, 2001.

**Grivet-Talocia, S. “Passivity enforcement via perturbation of Hamiltonian matrices”, IEEE Trans. on Circuit and Systems I, Vol. 51, No. 9, 2004.

“Passivity enforcement”


Si forza la passività in corrispondenza di un set di pulsazioni {ωi} aggiungendo un termine correttivo ΔH al modello non passivo H:

Viene poi linearizzata la relazione tra autovalori e residui in funzione della perturbazione risolvendo un problema ai minimi quadrati (vincolato) che minimizza le perturbazioni che rendono il modello passivo.

La tecnica si basa su assunzioni piuttosto restrittive:– imposizione passività su un set finito di pulsazioni

– linearizzazione legame autovalori/perturbazioni

Non c’è garanzia che il risultato sia passivo, e comunque non c’è garanzia di passività “globale” (cioè per le pulsazioni diverse dal set {ωi}!)

λ λ ω ω=

ΔΔ = Δ +

−

+ Δ = + Δ ≥ =

∑…

01

( ( ) ( )) 0 1

Nn

n n

i i

RH Rs a

eig H j H j i I

λΔ = ΔR R

“PE”: Quadratic Programming Passive


Si può forzare la passività “globalmente” (cioè per tutte le pulsazioni) partendo dalla forma di stato (A,B,C,D) attraverso la matrice Hamiltoniana:

La presenza di autovalori immaginari di N0 rivela la non passività del modello. Inoltre analizzando le sequenze di autovalori immaginari e dei corrispondenti autovettori si determinano esattamente gli intervalli con violazioni di passività. La correzione si ottiene perturbando la matrice C opportunamente, con uno schema iterativo che converge quando tutti gli autovalori immaginari scompaiono.

– i vincoli sono posti sul matrici indipendenti dalla frequenza;

– le perturbazioni vengono calcolate sulla base di una linearizzazione.

Quando l’algoritmo converge il risultato è garantito passivo per tutte le frequenze!

− −

− −

⎛ ⎞− + − += ⎜ ⎟+ − + +⎝ ⎠

1 1

0 1 1

( ) ( )( ) ( )

T T T

T T T T T

A B D D C B D D BNC D D C A C D D B

“PE”: formulazione con Hamiltoniana


Si può formulare l’identificazione di modelli passivi come minimizzazione vincolata, imponendo la passività. In generale si tratta di un problema di ottimizzazione non lineare, di complessa implementazione. Per semplificarlo è possibile:

a) realizzare una identificazione parametrica di modelli a sottoblocchi passivi (una pletora di casi particolari in letteratura!);

b) identificare vincolando i residui dopo aver identificato i poli

i. Identificazione residui sulla forma di stato

ii. Identificazione residui di espansioni con vincoli sui singoli termini

È facile convincersi che le formulazioni di tipo a) sono solo casi particolari di quelle di tipo b)

L’identificazione dei residui con poli fissati permette di scrivere i vincoli in forma di relazioni “affini”, e ciò apre la strada alle formulazioni basate sull’ottimizzazione convessa.

Formulazioni “a-prori passive”


Un generico problema di ottimizzazione non lineare vincolata:

si dice convesso quando f0, fi, sono tutte funzioni “convesse” e i vincoli di uguaglianza hi sono affini.

I problemi che possono essere così formulati hanno enormi vantaggi rispetto alla generica ottimizzazione non lineare:

– l’ottimo è garantito come globale– è possibile stabilire a-priori l’eventuale non fattibilità, non limitatezza

e pseudo-ottimalità– sono disponibili algoritmi numerici robusti ed efficienti

≥ =

= =

0minimize ( )subject to: ( ) 0, 1...( ) 0, 1...

i

j

f

f i ph i q

x

xx

α α α α α+ − ≤ + − ∀ ∈ℜ ∈( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) , , (0,1)nf x y f x f y x y

Convex programming/1


Perché il problema sia formulato in modo “convesso” è fondamentale la forma dei vincoli. Per la funzione da minimizzare (in genere una norma) si dimostra l’equivalenza ad una forma affine con la stessa soluzione.

Gli algoritmi di convex programming accettano in ingresso ben precise formulazioni, dette standard forms. La “traduzione” del problema originario in una forma standard può essere ottenuta tramite interfacce ad alto livellooramai disponibili anche in ambiente Matlab (CVX*)

Nel nostro caso sfruttiamo tale approccio formulando un problema di minimizzazione con vincoli di semi-positiva definitezza su opportune matrici.

*Grant M., Boyd S., Ye Y., Disciplined Convex Programming, Chapter in Global Optimization: From Theory to Implementation, L. Liberti and N. Maculan, eds., in the book series NonconvexOptimization and Applications, Springer, 2006.

*Grant M., Boyd S., CVX: Matlab software for disciplined convex programming (web page and software). http://stanford.edu/~boyd/cvx

Convex programming/2

http://stanford.edu/~boyd/cvx


Considerato un sistema nella forma {A,B,C,D} con matrice di trasferimento H(s)=D+C(sI-A)-1B, con H(s) stabile. Se esiste una matrice W=WT tale che:

allora H(s) è Positive-Real e vice-versa*. Osserviamo che:– si introduce una matrice ausiliaria W (aumento dimensionalità)

– i vincoli sono posti su matrici indipendenti dalla frequenza

Il “Positive Real lemma” riporta ad un problema algebrico quello della sintesi di circuiti passivi, passando per la forma di stato.

⎧⎡ ⎤− − − +≥⎪⎢ ⎥− + +⎨⎣ ⎦

⎪ ≥⎩

0

0

T T

T T

A W WA WB CB W C D D

W

*B.D.O. Anderson “A System Theory Criterion for Positive Real Matrices”, J. SIAM Control, Vol. 5, No. 2, 1966.R.F. Curtain “Old and New Perspectives on Positive Real Lemma in Systems and Control Theory”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 79, 1999.

PR lemma e Convex programming/1


* C.P Coelho et al., “A convex programming approach for generating guaranteed passive approximations to tabulated frequency-data”, IEEE Trans. on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, Vol. 23, No. 2, 2004.

Sfruttando il PR-lemma si può costruire un approccio basato sull’idea di avere una buona stima dei poli del sistema, e di cercarne i rispettivi residui con un’ottimizzazione vincolata. In questo modo i vincoli posti dal PR lemma sui residui divengono “affini” e il problema può essere messo in forma “convessa”*

Si dimostra che in tal modo si identifica univocamente il sistema passivo(con i poli assegnati) a minima distanza dai dati!

A causa della complessità della formulazione e della mancanza di un’implementazione di pubblico dominio, tale approccio ha avuto scarso impatto nonostante la sua generalità.

Inoltre la sintesi passa per la forma di stato e non permette di utilizzare (direttamente) solo elementi passivi.

PR lemma e Convex programming/2


Partendo dalla teoria generale della sintesi dei multiporta si può pensare alternativamente di identificare direttamente la H(s) garantendo a-priori la passività, basandosi su tre fatti:

1. un sistema passivo può essere sempre approssimato da una espansione poli residui dove la passività è imposta per ciascun termine (cond. sufficiente!)

2. il vincolo di passività può essere scritto per ciascun termine (o coppia) in modo indipendente dalla frequenza;

3. a seguito dell’identificazione dei poli (ad es. con VF) l’identificazione dei residui può essere formulata come un problema convesso (ed in modo semplice!)

L’idea, non generale come quella basata sul Positive Real Lemma, riduce però la complessità e dà notevoli vantaggi nella sintesi! Si tratta di valutarne le qualità ed i limiti.

Partial Fraction e Convex programming


Nella sintesi classica è nota la forma funzionale di H(s) e si cerca una realizzazione minima. Storicamente la realizzazione doveva essere anche “concretamente passiva”. Nell’identificazione invece sono noti i campioni (in frequenza) di H(s), mentre la forma funzionale è scelta in relazione a:

– forma in cui sono disponibili i dati;

– semplicità di formulazione identificazione;

– vantaggi numerici;

– semplicità schema di sintesi.

Le due visioni del problema si intersecano quando vogliamo realizzare modelli ridotti SPICE-like a valle di procedure di identificazione.

Nella letteratura sull’identificazione al problema della sintesi non viene in genere data grande rilevanza. In realtà, soprattutto quando si vogliono costruire equivalenti SPICE concretamente passivi, può essere vantaggioso formulare l’identificazione in visione della sintesi.

Identificazione poli-residui e sintesi/1


Consideriamo ora in generale l’espansione in frazione parziale:

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nZ s Z s Z s Z s= + + +

dove il generico termine dell’espansione può eventualmente essere visto come la combinazione di termini complessi coniugati del tipo:

( ) i ii

i i

r rZ ss p s p

= +− −

che corrispondono a blocchi del tipo (cella di “Foster” generalizzata)

La condizione che Z(s) sia PR non garantisce in generale che lo siano le sue componenti nella espansione (ci possono essere “cancellazioni”). Ai singoli termini non è richiesto (in generale) di essere PF.

Sintesi di Foster generalizzata/1


Studiamo le condizioni perché il singolo termine dell’espansione

precedente (cella di Foster generalizzata) risulti PR.

Rielaborando opportunamente la somma dei termini complessi coniugati,

si mostra che ciò dipende solo dal numeratore (essendo il denominatore

il prodotto di un numero complesso per il suo coniugato risulta reale

positivo) e la condizione si esprime con le relazioni [Guillelmin]:

{ } { } { } { }{ } { } { } { }

(Re Re Im Im ) 0(Re Re Im Im ) 0

i i i i

i i i i

p r p rp r p r

⎧− + ≥⎪⎨− − ≥⎪⎩

È importante osservare che tali vincoli sono relazioni indipendenti dalla

frequenza, e pertanto garantiscono la passività in generale.

Sintesi di Foster generalizzata/2


L’estensione della sintesi al caso dei multi-porta passa per l’interpretazione delle trasformazioni lineari su matrici di multiporta in termini di trasformatori ideali*.

Si può mostrare che presa una matrice (ad esempio di impedenze Z) e considerata la trasformazione Z’=ATZA, con A matrice reale non singolare, il multiporta Z’ può essere sempre realizzato con il multiportaZ opportunamente collegato ad un insieme (finito) di trasformatori ideali.

Dunque a partire da Z si può costruire un’intera classe di matrici di impedenze.

In un certo senso ciò è l’estensione al caso matriciale della proprietà di trasporto al primario per un trasformatore ideale Z’=k2Z.

W. Cauer, “Ideale Transformatoren und lineare Transformationen”, Elektrische NachrichtenTechnik, 1932.

Sintesi di Foster multiporta/1


Consideriamo un doppio bipolo passivo e

poniamo:

11 12

12 22

Z ZZ

Z Z⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

11 1211

12 22

00 0

Z ZZZ Z Z

Z Z′′′ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′′= + = + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 11 1211 22 12

12 22

0, Z ZZ Z Z kZ Z

′′′′ − = = =

Dunque è possibile lo schema di sintesi

(analogo al trasformatore). Il caso però

di interesse è k “reale”. Ciò è garantito

se:– il doppio bipolo ha un solo “tipo” di

elementi (R, L o C)– ci sono solo reattanze pure



Analizziamo il circuito equivalente ottenuto:

11 11 11 11112 2

11 11

0 1 1

0 0 1 1Z Z Z k Z k

ZZ k Z k k k′ ′′ ′′ ′+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′′ ′ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

11 11 112

22 11

12 11

Z Z Z

Z Z kZ Z k

′ ′′= +

′=′′=

2

1 11 1

kk k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Va osservato che la matrice rappresenta in realtà la

caratterizzazione Z di un trasformatore ideale di rapporto k quando alla

porta 1 è collegata un’impedenza reale di valore unitario (R=1 Ω)



Percorso alternativo. Supponiamo che esista una trasformazione reale

non singolare per cui (per semplicità consideriamo pure resistenze):

**

* ** 11 11

**2222

0 00 000 0 0

ba

T

RR

R RR T RTRR

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

con Ra ed Rb singolari in quanto simili a R*a ed R*

b

*

*

Ta a

Tb b

R T R T

R T R T

=

=

Per la condizione R11 R22-R212 =0 ognuna di esse può essere scritta

come:

12 1111 11 2

12 11 22 11

1 1 11 1

i ii i i

i i i i

R R kR R R

R R R R k k⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠



Generalizzando quanto visto la matrice delle impedenze (ammettenze) di un multiporta “lossless” può essere posta nella forma (matrice di Foster):

∞=

⎛ ⎞= + + ⋅ +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

∑01

( )

( )

n

Nn n

nn n n

H s

r rH s R R R ss p s p

con Rn matrici reali, simmetriche e semidefinite positive ed Hn(s) funzioni complesse scalari (impedenze o ammettenze).

Diagonalizzando le matrici Rn e scomponendo nella somma di matrici a rango 1 (come visto prima), per i singoli termini si ottengonoespressioni del tipo:

( )

( )

( ) ( )11 1 1

2( ) ( ) ( ) ( )11 11 11 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 1 1

1

( ) ( ) ( )

i iM

i i i iMi i i i

n n n n

i i i iM M M

k k

k k k kH s h s K h s

k k k k

−

−

− − −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠



L1C1

L2C2

LNCN

k12k11

k22k21

kN2kN1

1 1' 2 2' M M'

k1M

k2M

kNM

La sintesi corrispondente è quella proposta da Cauer per i multiporta (nel lavoro originale erano considerati soli resistori)



Val la pena osservare che è possibile estendere lo schema di sintesi la caso “lossy”; ad esempio per le impedenze:

k12k11

k22k21

kN2kN1

1 1' 2 2' M M'

k1M

k2M

kNM

Z1

Z2

ZN



•L. De Tommasi, D. Deschrijver, T. Dhaene, “Single-Input-Single-Output Passive Macromodeling via Positive Fractions Vector Fitting”, Proceedings 12th IEEE Workshop on Signal Propagation on Interconnects, Avignon (France) 2008•M. de Magistris, L. De Tommasi, D. Deschrijver, T. Dhaene, “Validation of Positive Fraction Vector Fitting Algorithm in the identification of Passive Immittances”, Proceedings 10th International Workshop on Inverse Problems inElectromagnetism, Ilmenau (Germany) 2008•L. De Tommasi, M. de Magistris, D. Deschrijver and T. Dhaene, “An Algorithm for Direct Identification of Passive Transfer Matrices with Positive Real Fractions via Convex Programming,” International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, J. Wiley, 2010

L’idea è strutturalmente basata su:

1. una espansione (tipo “Foster”) per la quale viene forzata la passività sui singoli termini (cond. sufficiente);

2. i vincoli di passività su ciascun termine sono scritti in forma indipendente dalla frequenza

3. l’identificazione avviene in due step: dopo aver identificato i poli (con. VF), l’identificazione dei residui soggetti ai vincoli conduce ad un problema (standard) di ottimizzazione convessa (semi-definite programming)

Positive Fraction Vector Fitting (PFVF)


=

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

∑01

( )N

n n

n n n

R RH s Rs p s p

{ } { } { } { }{ } { } { } { }

≥

≥

⎧− + ≥⎨− − ≥⎩

0 0

0 (termini con poli-residui reali)

(Re Re Im Im ) 0(Re Re Im Im ) 0

n

n n n n

n n n n

RR

p R p Rp R p R

( )2{ }

{ } argmin ( ) - ( )i

i k kR

R vec H j H jω ω=

1.Espansione tipo Foster

2.vincoli di passività

3.identificazione

Positive Fraction Vector Fitting (PFVF)/2


( )

[ ]

i2{R }

0

1

{ } argmin vec ( ) ( )

subject to:0

for n 1:N if is real 0 else if and are a complex conjugate pair Re( )Re( ) Im( )Im( ) 0

i k k

n

n

n n

n n n n

R H j H j

R

pRp p

p R p R

ω ω

+

= −

≥

=

≥

− + ≥

[ ]Re( )Re( ) Im( )Im( ) 0end

n n n np R p R− − ≥

“pseudo-codice” CVX

Positive Fraction Vector Fitting (PFVF)/3


Caso M=1 (bipolo, impedenze/ammettenze)

R1

C1G1

L1E s +

-

RN

CNGN

LN

I s

PFVF 1-D: validazione/1


•Impedenza con 15 poli (identificata con 30), con un livello di violazioni di passività del 4% (esteso a circa il 60% del range in frequenza)

•Errori RMS 1,31e-4 per il VF, 2,58e-4 per il PFVF

•Violazioni di passività corrette al 100%.

101 102 103 104 105 10610-5

100

105

omega [rad/s]

abs

(Y)

Data amplitude plot & passivity violations

violationpassive

101 102 103 104 105 106-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

omega [rad/s]

real

(Y) v

iola

tions

violation intervals comparison

data violationsVF violationsPFVF identification

101 102 103 104 105 10610-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104identification results

omega [rad/s]

abs

(Y)

dataVFPFVFerrVFerrPFVF



•Impedenza passiva con 15 poli (identificata con 30), con aggiunta di errore numerico 1%. L’identificazione con il VF porta ad una esteso intervallo di violazioni.

•Il PFVF corregge completamente le violazioni sebbene con una certa una perdita di accuratezza

101 102 103 104 105 10610-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104VF identification

omega [rad/s]

abs

(Y)

dataVFerrorviolations

101

102

103

104

105

106

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104identification results

omega [rad/s]

abs

(Y)

dataVFPFVFerrVFerrPFVF



Caso multi-dimensionale (matrice ammettenze multiporta)

YS(1)

YS(2)

YS(3)

YT(1-3)

YT(1-2)

YT(2-3)

1

2

3

PFVF multi-D: validazione/1


100

101

102

103

104

105

106

107

10810

-2

100

102

104

106

omega [rad/s]

|Yij|

Original data :|Yij|

|Y11|

|Y12|

100

101

102

103

104

105

106

107

1080

2000

4000

6000

8000

omega [rad/s]

i-th

eige

nval

ue

Y Matrix Eigenvalues

1° eig2° eig

100

101

102

103

104

105

106

107

10810

-5

100

105

omega [rad/s]

|Y11

|

|Y11| data

|Y11| VF

|Y11| PFVFVF errorPFVF errorVF violations

100

101

102

103

104

105

106

107

10810

-4

10-2

100

102

104

omega [rad/s]

|Y12

|

|Y12| data

|Y12| VF


•Caso 2x2 120 poli e dati passivi non rumorosi, identificazione VF con violazioni di passività (circa 12% in banda)

•Errori RMS 0.035 per il VF, 0.034 per il PFVF

•Violazioni di passività corrette al 100% con PFVF.



100

101

102

103

104

105

106

107

10810

-4

10-2

100

102

104

omega [rad/s]

|Y11

|

|Y11| data|Y11| VF


100

101

102

103

104

105

106

107

10810

-4

10-2

100

102

104

omega [rad/s]

|Y12

|

|Y12| data

|Y12| VF


100

101

102

103

104

105

106

107

10810

-4

10-2

100

102

104

omega [rad/s]

|Y11

|

|Y11| data

|Y11| VF

|Y11| PFVF

VF errorPFVF errorData violationsVF violations

100

101

102

103

104

105

106

107

10810

-5

100

105

omega [rad/s]

|Y12

|

|Y12| data|Y12| VF

|Y12| PFVF


•b) caso 2x2 120 poli e dati passivi e rumorosi (2%) identificazione VF con violazioni di passività corrette dal PFVF

•c) caso 2x2 80 poli dati con violazioni di passività del (3%) che il VF estende a circa il 36%



100 101 102 103 104 105 106 107 10810-5

100

105

omega [rad/s]

|Y11

|

|Y11| data

|Y11| VF


100 101 102 103 104 105 106 107 10810-4

10-2

100

102

104

omega [rad/s]

|Y12

|

|Y12| data

|Y12| VF


100 101 102 103 104 105 106 107 10810-4

10-2

100

102

104

omega [rad/s]

|Y11

|

|Y11| data

|Y11| VF

|Y11| PFVF


100 101 102 103 104 105 106 107 10810-5

100

105

omega [rad/s]

|Y12

||Y12| data

|Y12| VF

|Y12| PFVF


•d) caso 2x2 120 poli identificato con 40 poli, dati passivi e rumorosi (1%) con violazioni di passività del VF corrette dal PFVF

•e) caso 4x4 42 poli dati non passivi (2% della banda)



case

datapoles

Ident.poles

datanoise

errorVF PFVF

viol. band %Data VF

a) 120 120 0% 0.035 0.034 0 12,4

b) 120 120 2% 0.059 0.08 0 11,4c) 80 80 0% 0.095 0.069 3 35,6

d) 120 40 1% 0.033 0.071 0 15,6e) 44 44 0% 0.055 0.039 1,6 30,2

d) caso 2x2 120 poli identificato con 40 poli, dati passivi e rumorosi (2%) con violazioni di passività corrette dal PFVF

e) caso 4x4 42 poli dati non passivi (2% della banda)



•Caso test: cavo twistato non schermato (UTP):

•raggio 0.25 mm, distanza centro-centro 0.9 mm, periodo di pitch 17 mm

•Intervallo in frequenza 0-1GHz

Modello elettromagnetico “full wave” realizzato con SurfCode

Identificazione dati con PFVF e QPpassive, con 16 poli (10 iterazioni VF)

PFVF: un caso test/1


PFVF: un caso test/2


•L’approccio “Partial Fraction” e ottimizzazione convessa sembra funzionare sorprendentemente bene nonostante il limite intrinseco di “sub-ottimalità” ….

•La sua formulazione ne permette un’interpretazione puramente circuitale e una agevole sintesi concretamente passiva ….

•È sicuramente molto più generale della maggior parte di quelli proposti in letteratura, che in alcuni casi ne sono sottocasi “propri”

•La formulazione come problema di ottimizzazione ne suggerisce l’utilizzo a sistemi con dimensionalità (#poli x #porte) non elevatissime

•L’implementazione tramite CVX mostra limiti di robustezza e situazioni di non convergenza e/o violazione dei vincoli (bisogna lavorare ancora!)

Alcune conclusioni (work in progress!)


•Miglioramento robustezza numerica e svincolo dal CVX

•Analisi di altri casi test dalle applicazioni

•Ingegnerizzazione codice e realizzazione sito web

•Implementazione di uno schema PFVF con rilocazione dei poli

•Implementazione nel dominio del tempo

•Particolarizzazione vincoli al problema termico (poli reali e residui positivi)

•Analisi di problemi termici con altre tecniche di identificazione

!!!! Tesi di Laurea in teoria dei circuiti !!!!

Open problems and future work


1. Gustavsen B., Semlyen A., “Rational Approximation of Frequency Domain Responses by Vector Fitting”, IEEE Trans. on Power Delivery, vol.14, 1999.

2. http://www.energy.sintef.no/produkt/VECTFIT/index.asp

3. Gustavsen, B. and Semlyen, A., “Enforcing passivity for admittance matrices approximated by rational functions”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 16, No. 1, 2001.

4. Grivet-Talocia, S. “Passivity enforcement via perturbation of Hamiltonian matrices”, IEEE Trans. on Circuit and Systems I, Vol. 51, No. 9, 2004.

5. T. Mangold, P. Russer, ”Full-wave modeling and automatic equivalent-circuit generation of millimeter-wave planar and multilayer structures”, IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques, Vol:47, 1999.

6. P. Triverio, S. Grivet-Talocia et al., ”Stability, Causality and Passivity in Electrical Interconnect Models”, IEEE Trans. on Advanced Packaging, 2007.

7. S. Grivet-Talocia, ”On driving non passive macro-models to instability”, Int. Journal of Circuit Theory and Applications, 2008

8. C.P. Coelho, et. al., “A convex programming approach for generating guaranteed passive approximations to tabulated frequency-data”, IEEE Trans. on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, Vol. 23, 2004.

9. M. de Magistris, L. De Tommasi, “Identification of broadband passive macromodels for electromagnetic structures”, Compel vol.26 n° 2, 2007.

10. L. De Tommasi, M. de Magistris, D. Deschrijver and T. Dhaene, “An Algorithm for Direct Identification of Passive Transfer Matrices with Positive Real Fractions via Convex Programming,” International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, J. Wiley, 2010

11. V. d’Alessandro, M. de Magistris, A. Magnani, N. Rinaldi, S. Russo “Dynamic Electrothermal Macromodeling: an Application to Signal Integrity Analysis in Highly Integrated Electronic Systems” IEEE Trans. on Components Packaging Manifacturing Techniques , vol.3, n°7, July 2013

Riferimenti bibliografici

http://www.energy.sintef.no/produkt/VECTFIT/index.asp

prof. massimiliano de magistris - unina.it · come ad esempio nei partial element equivalent...

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