problemas matemáticos problemas matemáticos sin esfuerzo - … · 2019. 5. 8. · para resolver...
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Boira Editorial
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Cómo enseñar el proceso mental en Primaria y Secundaria
Daniel Gabarró y Marta Bellmunt
Basado en una metodología deJavier López Apesteguía
Problemasmatemáticos
...paso a paso
Problemasmatemáticos
Cómo enseñar el proceso mental
en Primaria y Secundaria
...paso a paso
Boira Editorial
Redacción: Marta Bellmunt – [email protected]ón de arte: Jorge Herreros – [email protected]
© Boira [email protected]
Primera edición: Enero de 2019
Depósito legal: L 38 - 2019ISBN: 978-84-16680-65-8
1. Introducción:enseñarapensarmatemáticamente .............. 06
2. Cómo enseñar… ...................................................................... 08
2.1 Problemas de suma-resta ............................................... 09
2.2 Problemasdemultiplicación-división ............................ 19
2.3 A diferenciar problemas de suma-resta de problemas demultiplicación-división ............................................... 29
2.4 Problemas de dos operaciones ....................................... 31
2.5 Problemas de fracciones ................................................. 41
2.6 Problemas con sistema métrico decimal ...................... 55
2.7 Problemasdesuperficiesyvolúmenes .......................... 63
3. Ampliación:ciclosuperioryESO............................................. 70
3.1 Problemasdevariasoperaciones pordoscaminosdistintos ............................................... 71
3.2 Problemas de porcentajes .............................................. 85
4. Conclusión ............................................................................. 100
Índi
ce
/ 6 /
1INTRODUCCIÓN:
ENSEÑAR A PENSAR MATEMÁTICAMENTE
/ 7 /
Pararesolvercualquierproblemamatemático,laclaveesenseñar a pensar matemáticamente; esdecir,adeducircuáleslarelaciónexistenteentrelosdatos,yaplicarla.Así,podremosdecidir,deformarazonada,encadaunodeloscuatropasosdelprocesoderesolución.Estosson:
(1) Leer para identificar los datos
(2) Ordenar los datos en un diagrama de resolución
(3) Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar y calcularla
(4) Escribir la respuesta y valorar si la respuesta es lógica
Siguiendoestoscuatropasos,ordenadamente,descubriremoslarelaciónexistenteentrelosdatosy,graciasaella,hallaremosdeformarazonadalasolucióndelproblema.Consecuentemente,esmuyimportanteenseñaraejecutarcorrectamentecadaunodeestospasos,anuestroalumnado,paraevitaratascoscognitivos.
Sinunmétodoclaroparaenseñararesolverlosproblemas,elalumnadocarecerádeherramientasparaenfrentarseaellosytenderáavivirlasmatemáticascomounáreaincomprensibleeinsuperable.Encambio,silesenseñamosaresolver,pasoapaso,lesayudaremosacrearunamentematemática,quelesacompañarátodasuvida.
Estametodologíaesútilparatodoelalumnadoy,especialmente,paraaquelloscondificultadespararesolverlosproblemaso,simplemente,quenolesgustanlasmatemáticasporquenolasentienden.Aplicándola,sabráscuándounalumnoestárazonandocorrectamenteycuándonoloestáhaciendo,enquéfallaycómoenseñárselocorrectamente.El alumno sabrá qué está haciendo, por qué y para qué lo está haciendo. De esta forma,elprocesoderesolucióndeproblemasmatemáticoscobrasentidoparaélyevitamosquelorechace.Alosalumnossíquelesgustaresolverproblemas,loquenolesgustaeslaincomprensión.
¿Te apetece conocer esta metodología y ayudar a tu alumnado?
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2CÓMO ENSEÑAR...
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Enelapartadoanterior,hemosafirmadoque,paraenseñararesolverlosproblemasmatemáticos,lofundamentalesenseñarapensarmatemáticamente;esdecir,verlarelaciónqueexisteentrelosdatos.
¿Ycuáleslarelaciónqueexisteentodoslosproblemasdesuma-resta?
¿Cómopodemosenseñarlospasosanteriores,aplicadosaunproblemadesuma-resta?Veámoslomedianteelsiguienteejemplo:
Mi abuelo tiene en su granja ovejas y gallinas. Si hay 25 animales y 15 son ovejas, ¿cuántas gallinas tiene mi abuelo?
Leer para identificar los datos
Enesteprimerpaso,suelencometersealgunoserrores,puessecreeque“entendiendoelproblema”yaessuficiente,peroesonoescierto;lacomprensiónlectoraesnecesaria,peronosuficiente.Loquenoseexplicaesque,“entenderelproblema”conllevaidentificarlarelaciónqueconectalosdatosydescubrirquépapeljuegacadadatoenesarelación.
2.1 PROBLEMAS DE SUMA-RESTA
Enlosproblemasdeuna operación de suma-resta, la relación entre las cifras siempre es la misma: hay dos o más Partes (P) y un Total (T). SinosdanelvalordelasPartesynospreguntanelTotal,nosencontramos con un problema de SUMA.SisabemoselTotalyunadelasPartes,esunproblemadeRESTA.
/ 10 /
Conesteobjetivo,esfundamentalidentificarlosdatosdesdetresperspectivasdiferentes:datos simbólicos, datos explicativos y datos numéricos.
• Datos simbólicos (Parte-Parte-Total= PPT):losnecesitamosporquenosindicaneltipoderelaciónqueconectalosdatos.Solamentehaydosposiblesrelaciones,ladesuma-restaylademultiplicación-división.Enlosproblemasdesuma-restasiemprehabrá:
Dosomáspartes,quesiempreseráncantidadesmenoresqueeltotal,alasquedenominaremos“P”.
UnacantidadTOTAL,quesiempreserámayorquelaspartes,alaquedenominaremos“T”.
• Datos explicativos (datos redactados con palabras): los necesitamos paraconcretaraquéserefierenlaspartes(PyP)yaquéeltotal(T),encada problema.
• Datos numéricos(cantidades):losnecesitamosparapoderrealizarlasoperaciones.
Enesteproblema,elTotal(T)eselconjuntodeanimalesquehayenlagranja;esdecir,25animales.LasPartesquelacomponenson:15ovejas(unaparte,P)yunnúmerodesconocidodegallinas(otraparte,P).
PPT
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Estarelaciónserepresentavisualmentedelasiguientemanera:
Dato simbólico
Dato numérico
Dato explicativo
15Ovejas Gallinas Animales en
la granja
? 25TP P
Pararesolver,razonadamente,unproblemadesuma-resta,esconvenientepracticarconnuestroalumnadoesteprimerpaso,antesdepasaralsiguientepunto.Nodebesaltarsenihacerseconprisas.Sidamoseltiemposuficienteparaquetodalaclaselodomine,elrestodelprocesoseráextremadamentesencillo.Sindominarestepunto,resultarácasiimposible.
2 Ordenar los datos en un diagrama de resolución:
Setratadeelaborarunplanderesolucióndeformaexplícita.Tengoquesaberquédatomepreguntanyquédatosnecesitoparaaveriguarlo.Deestaforma,vemosquérelaciónlosconectayquépapeljuegacadaunodeellos en esa relación.
Así,podremosdeducir,deformarazonada,laoperaciónquedebemosrealizarpararesolverelproblema.
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) ¿Qué dato me preguntan? ) ¿Qué datos necesito para averiguarlo?
25
15 Ovejas
GallinasAnimales en la granja
?PP T
Comosepuedeobservar,sielprimerpuntosedomina,estepasoesmuysencillo.Eldiagramanoslleva,deformalógica,alpasosiguiente,dondedecidiremos,deformarazonada,quéoperaciónrealizar.
3 Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar y calcularla
> Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar
Graciasaldiagrama,esevidentequéoperaciónescoger.¿Porqué?Porqueenlosproblemasdesuma-restasolohaydosoperaciones,dependiendodeloquebusquemos:
• ParaencontrarelTotal(T),SUMOlasPartes(P).Explicadodeformasimbólica,sería:
T = P + P
• ParaencontrarunaParte(P),RESTOlaotraParte(P)delTotal(T).Explicadodeformasimbólica,sería:
P = T - P
P = T - P
/ 13 /
ComobuscamosunadelasPartes(P)delproblema,laoperaciónquedebemosrealizaresunaresta.Enestecaso,laoperaciónqueescogemoshacereferenciaala(P)deldatoexplicativo“gallinas”:
P = T - P
T = P + PP = T - P
> Calcular la operación
Unavezelegidalaoperación,calculamosenelespacioreservadoparaesefin:
25- 15
10_______
4 Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica
> Escribir el resultado
Enesteúltimopunto,seescribeelresultado,dandorespuestaalapreguntaquenosformulabanenelproblema:¿cuántasgallinastienemiabuelo?
Elresultadodebecomprendersealleerlo,porloquenopuedeestarescritosoloconnúmeros.Escribirsolo“10”noseríacorrecto,comotampoco“10gallinas”,puestoquenosonunasgallinascualquiera.
Resultado:mi abuelo tiene 10 gallinas
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> Valorar si la respuesta es lógica
Entodoslosproblemasdesuma-resta,elTotal(T)siempreserámayorquelasPartes(P),porloquelesanimaremosacomprobarsielresultadodesuproblematienelógica,medianteunasencillapregunta.Paravalorar,primero,completamoslarelacióncontodoslosdatosy,luego,respondemoslapregunta:¿elTotalesmayorquelasPartes(P)?
15Ovejas Gallinas Animales en
la granja
10 25TP P
¿ElTotal(T)esmásgrandequelasPartes(P)?-Sí/No
Deestemodo,podrándeducirsilarespuestaquehanescritoeslógica.Cuandohacemosestepaso,nopodemossaberconcertezasielresultadodelaoperaciónescorrecto;sinembargo,sísabremossieslógico.SicadaunadelasPartes(P)esmenorqueelTotal(T)oelTotal(T)esmayorquelasdosPartes(P),sabremosquelarespuestatienesentido.
/15/
¿CÓMO EVALUAR UN PROBLEMA DE SUMA-RESTA? Acontinuación,osproponemosunaorientación,paralabaremaciónde un solo problema de suma-resta:
1. Leerparaidentificarlosdatos:0,3puntos
a)0,1paralosdatossimbólicos
b)0,1paralosdatosnuméricos
c)0,1paralosdatosexplicativos
2. Organizarlosdatosenundiagramaderesolución:0,3puntos
3. Calcular:0,2puntos
a)0,1porlaoperaciónelegida
b)0,1porelcálculo
4. Responderyvalorar:0,2puntos
a) 0,1paralarespuesta
b)0,1paralavaloración
NOTA:fallar,encualquierpasodelproblema,supondráperderlapuntuacióndelospasosposterioresalmismo.Ejemplo:sifalloeneltercerpaso,enelegirlaoperación,yloanteriorlotengobien,tendría0,6puntos.Así,damosvaloralprocesomentalypodemosdescubrirquépasosdelprocesonodomina.Saber,exactamente,enquépasostienemayordificultadesfundamental:¡ahora,sabremosenquéfallay,graciasaestametodología,cómoenseñárselocorrectamente!
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ERRORES A EVITAR EN LOS PROBLEMAS DE SUMA-RESTA: 1. Deberemosevitarfrasesdeltipo:«si sale la palabra “más”, “ganar”… es un problema de suma»; «si sale la palabra “menos”, “perder” … es un problema de resta». Esoesaplicarlalógicalingüística,enlugardeaplicarlalógicamatemática,loquelespuedellevaraerror.Estoseevidenciaenelsiguientecaso:
Ejemplo: Juan tiene 40 años y su hija 16. ¿Cuántos años tiene más el padre que la hija?
Siaplicásemoslalógicalingüística,sumaríamos,ylarespuestaseríaque,aunqueelpadresolotiene40años,lahijatiene56años;y,porlotanto,seríamayorqueelpadre.¡Unabsurdo!
2. “Ve a tu sitio y vuelve a pensarlo”. Enlosproblemasdeunaoperación,esafraseimplicaqueelalumno/acambiarálaoperación,peronopensará;esmás,creeráquepensares“probar”, yesocrearáunatascocognitivo.
3. Evitemosquelosproblemasseconviertanenunaovariasoperacionesaresolver.Nolosagrupemosporlaoperaciónquelosresuelve.Sielalumnointuyequelosproblemasestánagrupadosdeestamanera,sutareasereduciráacogerlosdatosnuméricosyrealizarlaoperacióncorrespondiente.“Estamosdandoenclaselasuma,puessumo”.Deestaforma,nohayrazonamiento.Paraquesílohaya,tenemosqueidentificarquédatossonlaspartesyquédatoeseltotalyvercómoestánrelacionados.
4. Y,porúltimo,nodemosindicacionesdeltipo:“utiliza la resta para resolver estos problemas”.
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Parapracticarestetipodeproblemas,loscuadernos“Dominar los problemas matemáticos 1 y 2”, de Boira Editorial, cuentanconvariosejerciciosqueayudanaintegrarcadaunodelospasos.Además,incluyenunaplantillafotocopiablecomoésta,enlaquesetrabajandeformaexplícitaloscuatropasosdelproceso:
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PLANTILLA FOTOCOPIABLE
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2.2 PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Enelprimerapartado,hemosafirmadoque,paraenseñararesolverlosproblemasmatemáticos,lofundamentalesenseñarapensarmatemáticamente;esdecir,verlarelaciónqueexisteentrelosdatos.
¿Ycuáleslarelaciónqueexisteentodoslosproblemasdemultiplicación-división?
¿Cómopodemosenseñarlospasosanteriores,aplicadosaunproblemademultiplicación-división?Veámoslomedianteelsiguienteejemplo:
Para la excursión de hoy, hemos cogido tres mochilas entre todos. Si, en cada una, hemos puesto seis bocadillos, ¿cuántos bocadillos llevamos?
Leer para identificar los datos
Hemosvistoquelacomprensiónlectoraesnecesaria,peronosuficiente.Esfundamentalidentificarlarelaciónqueconectalosdatosydescubrirquépapeljuegacadadatoenesarelación.
Enlosproblemasdemultiplicación-división,tambiénexisteunarelacióndeducibleentrelascifras.SiemprehayunaCantidad Unitariaestable(U),queserepiteunnúmerodeVeces(V),yunaCantidad Total(T).SisabemoslaCantidadUnitariaylasVeces,encontraremoslaCantidadTotalMULTIPLICANDO; si sabemos la CantidadTotalylaCantidadUnitariaolaCantidadTotalylasVeces,encontraremosloquenosfaltaDIVIDIENDO.
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Conesteobjetivo,esfundamentalidentificarlosdatosdesdetresperspectivasdiferentes:datos simbólicos, datos explicativos y datos numéricos.
• Datos simbólicos(CantidadUnitaria-Veces-CantidadTotal=UVT):losnecesitamos,porquenosindicaneltipoderelaciónqueconectalosdatos.Enlosproblemasdemultiplicación-división,siempreson:
U UnaCantidadUnitaria(U),queeslacantidadquesevarepitiendo
V UnnúmerodeVeces(V),queserepitelaCantidadUnitaria.
T LaCantidadTotal(T),queincluirálaCantidadUnitariaundeterminadonúmerodeveces.
•Datosexplicativos(datosredactadosconpalabras):losnecesitamosparaconcretaraquéserefierenlaCantidadUnitaria(U),lasVeces(V),ylaCantidadTotal(T),encadaproblema.
•Datosnuméricos(cantidades):losnecesitamosparapoderrealizarlasoperaciones.
Enesteproblema,sabemosquehayunaCantidadUnitariaqueserepite:elnúmerodebocadillosenUNAmochila(6);tambiénsabemosqueestacantidadserepitetresVECES,yaquellevamostresmochilas(3);porúltimo,nospreguntanporlaCantidadTotal,esdecir,porelnúmerodebocadillosentreTODASlasmochilas.
/21/
Estarelaciónsepuederepresentarvisualmentedelsiguientemodo:
Dato simbólico
Dato numérico
Dato explicativo
6Lápices de colores en un bote
Botes Lápices de colores en todos los
botes
3 ?TU V
Igualqueenlosproblemasdesuma-resta,pararesolverrazonadamenteunproblemademultiplicación-división,esconvenientepracticarconnuestroalumnadoesteprimerpaso,antesdepasaralsiguientepunto.Nodebesaltarsenihacerseconprisas.Sidamoseltiemposuficienteparaquetodalaclaselodomine,elrestodelprocesoseráextremadamentesencillo.Sindominarestepunto,resultarácasiimposible.
2 Ordenar los datos en un diagrama de resolución:
Setratadeelaborarunplanderesolución,deformaexplícita.Tengoquesaberquédatomepreguntanyquédatosnecesitoparaaveriguarlo.Deestaforma,vemosquérelaciónlosconectayquépapeljuegacadaunodeellos en esa relación.
Así,podremosdeducir,deformarazonada,laoperaciónquedebemosrealizarpararesolverelproblema.
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) ¿Qué dato me preguntan? ) ¿Qué datos necesito para averiguarlo?
3
6Lápices de colores en un bote
Lápices de colores en todos los botes
Botes?
UVT
3 Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar y calcularla
> Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar
Enlosproblemasdemultiplicación-división:
•ParaencontrarlaCantidadTotal(T),MULTIPLICOlacantidadunitaria(U)porlasVeces(V).Estarelación,explicadadeformasimbólica,sería:
T = U × V•ParaencontrarlaCantidadUnitaria(U),DIVIDOlaCantidadTotal(T)entrelasVeces(V).Estarelación,explicadadeformasimbólica,sería:
U = T : V•ParaencontrarlasVeces(V),DIVIDOlaCantidadTotal(T)entrelaCantidadUnitaria(U).Estarelaciónexplicadadeformasimbólica,sería:
V = T : U
/23/
Enestecaso,comobuscamoslaCantidadTotal(T),marcaremosconunacruzlaoperaciónarealizar,entreestastresopciones:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
> Calcular la operación
Llegadosaestepunto,calculamoslaoperacióncorrespondiente,enelespacioparaesefin:
6x 3
18_______
4 Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica
> Escribir el resultado
Enesteúltimopunto,seescribeelresultadodandorespuestaalapreguntaquenosformulabanenelproblema:¿cuántosbocadillosllevamos?
Remarcamosqueesimportantenoescribirúnicamentelacifra,sinolarespuestacompleta;esdecir,lainformaciónnuméricadebeiracompañadadelainformaciónexplicativa.
Resultado:entre todos llevamos 18 bocadillos
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> Valorar si la respuesta es lógica
Entodoslosproblemasdemultiplicación-división,laCantidadTotal(T)eselresultadodemultiplicarlaCantidadUnitaria(U)porlasVeces(V).Porestemotivo,sugerimoscomprobarlarespuesta,atravésdeunasimplepregunta.Paravalorar,primero,completamoslarelacióncontodoslosdatosy,luego,respondemosalapregunta:¿eslaCantidadTotal(T)elresultadoderepetirvariasVeces(V)lasUnidades(U)?
6Lápices de colores en un bote
Botes Lápices de colores en
todos los botes
3 18TU V
T V U¿Eselresultadoderepetirveces?-Sí/No18 3 6
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¿CÓMO EVALUAR UN PROBLEMA DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN? Acontinuación,osproponemosunaorientación,paralabaremacióndeunsoloproblemademultiplicación-división: 1. Leerparaidentificarlosdatos:0,3puntos
a)0,1paralosdatossimbólicos b)0,1paralosdatosnuméricos c)0,1paralosdatosexplicativos 2. Organizarlosdatosenundiagramaderesolución:0,3puntos 3. Calcular:0,2puntos
a)0,1porlaoperaciónelegida b)0,1porelcálculo 4. Responderyvalorar:0,2puntos
a) 0,1paralarespuesta b)0,1paralavaloración NOTA:encualquierpasodelproblema,supondráperderlapuntuacióndelospasosposterioresalmismo.Ejemplo:sifalloeneltercerpaso,enelegirlaoperación,yloanteriorlotengobien,tendría0,6puntos.Saber,exactamente,enquépasostienemayordificultadesfundamental:¡ahora,sabremosenquéfallay,graciasaestametodología,cómoenseñárselocorrectamente!
Sielalumno/ahacecorrectamenteelprimeroyelsegundopaso,puedeobtener0,6puntos.¿Porqué?Porque,enrealidad,identificarlosdatosyorganizarlosenundiagramaeslonuclear.Apartirdeahí,esinevitablededucirlosresultados.
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Parapracticarlosproblemasdemultiplicación-división,enloscuadernos“Dominar los problemas matemáticos 3 y A1”, deBoiraEditorial,sehansecuenciadolosejercicios,detalforma,quepodrásencontrar,desdeejerciciosenlosqueseabordasolounapartedelproblema,hastaejerciciosenlosqueseabordaelproblemaensutotalidad.Deestamanera,seconsigueintegrar,pasoapaso,elprocesomentalquepermitedominarlosproblemasmatemáticos.Además,incluyenunaplantillafotocopiable,paraquepuedas,tantoacabarderesolverlosproblemasquequedaronsinrespuesta,porestartrabajandosolamenteunapartedelproceso,comolosplanteadospararesolverlosporcompleto.Éstaeslaplantilla:
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PLANTILLA FOTOCOPIABLE
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2.3 A DIFERENCIAR PROBLEMAS DE SUMA-RESTA DE PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN
Existendosmanerasparadistinguirunproblemadesuma-restadeotrodemultiplicación-división:
Observando cómo se forma la CANTIDAD TOTAL (T).
Tengo2estuches.Enunohay5 rotuladoresyenelotrohay8. ¿Cuántos rotuladores tengo entre los dos?
Tengo4estuches.Encadaestuchehay9 rotuladores. ¿Cuántos rotuladores tengo entre todos los estuches?
LaCANTIDAD TOTAL (T) se forma a partirdecantidadesdiferentesqueno se repiten (PyP)
LaCANTIDAD TOTAL (T) se forma repitiendolamismacantidad(U) unnúmerodeveces(V)
¿Se repite alguna cantidad en esta situación?
Sí/No
¿Se repite alguna cantidad en esta situación?
Sí/No-(se repite el 9)
PROBLEMAS DE SUMA-RESTA
PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN
5 9 9 9 98
P5
P8
T?
U9
V4
T?
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2 Observando si hacen referencia al MISMO concepto o a DOS CONCEPTOS DIFERENTES.
Tengo2estuches.Enunohay5 rotuladoresyenelotrohay8. ¿Cuántos rotuladores tengo entre los dos?
Tengo4estuches.Encadaestuchehay9 rotuladores. ¿Cuántos rotuladores tengo entre todos los estuches?
TodoslosdatosserefierenalMISMOconcepto
(ej: ROTULADORES)
TodoslosdatosserefierenaDOSconceptos diferentes
(ej: ROTULADORES y ESTUCHES)
PROBLEMAS DE SUMA-RESTA
PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN
? ?
5 8
T T
P P
Rotuladores en los dos estuches
Rotuladores en los dos estuches
Rotuladores en un
estuche
Rotuladores en un
estuche
Rotuladores en el otro estuche
Estuches
9 4U V
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2.4 PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
Enseñaralalumnadoapensarmatemáticamente,esenseñarleaverlarelaciónentrelosdatos.¿Cómosehaceenproblemasdedosoperaciones?
¿Cómoenseñarlodeformasencillayfácil?Veámosloconelsiguienteejemplo:
En un avión hay 125 maletas pequeñas y 35 maletas grandes. Si sabemos que cada pasajero lleva dos maletas, ¿cuántos pasajeros viajan en el avión?
Enunproblema de una operación, como los anteriormente explicados,siempretendremoselvalordetodoslosdatosquenecesitamos,pararesponderalapreguntadelproblema.
Encambio,enlosproblemas de dos operaciones, nosfaltaráelvalordeunodelosdatos,quedescubriremosmedianteunaoperaciónprevia.Aestedatolollamaremos“dato de enlace”, yeselqueunelasdosrelaciones.Paraidentificarlo,loseñalaremosconunasterisco(*).Unavezdescubiertosuvalor,podremoscalcularlaoperaciónquedarespuestaalapreguntadelproblema.
Porlotanto,cuandonosenfrentemosaunproblemadedosoperaciones,necesitaremosidentificardosrelaciones,unaparacadaoperación.Ycomohemosvistoenlosapartadosanteriores,estaspuedenserdedostipos:PPT (suma-resta), enlaquehaydosomásPartes(P)yunTotal(T);oUVT (multiplicación-división), enlaquesiemprehayunaCantidadUnitaria(U),queserepiteunaseriedeVeces(V),yunaCantidadTotal(T).
/ 32/
Leer para identificar los datos
Queremosremarcarquelafinalidaddelalecturaesidentificarlasrelacionesentrelosdatos.Además,lalecturanosayudaadesecharlainformacióndelosdatosquenoesrelevante,pararesolverelproblema.Porejemplo,enestecaso,“pequeñas”y“grandes”noesrelevante,lorelevanteesquesonmaletas.
Enlosproblemasdedosoperaciones,debemosidentificarlosdatosdelasdosrelaciones,desdelastresperspectivas:datossimbólicos,datosexplicativosydatosnuméricos.
Porunlado,encontramoslarelaciónprincipal.Estarelacióncontienelapreguntadelproblema,peronopodemoscalcularlaporquenosfaltaelvalordeunodelosdatos.
Porotro,encontramoslarelacióncomplementaria.Estarelaciónnospermitedescubrirelvalordeldatodeenlacequenosfaltaba,enlarelaciónanterior.
2
35
Maletas lleva UN pasajero
Maletas pequeñas
U
P
?
125
Pasajeros
Maletas grandes
V
P
Maletas llevan entre TODOS los pasajeros
Maletas llevan entre TODOS los pasajeros
T
T
Enesteproblema,larelación complementaria,laquenospermitirádescubrirelvaloreldatodeenlace,esunarelación PPT(suma-resta),querepresentaríamosdelsiguientemodo:
Dato de enlace
/ 33 /
2 Ordenar los datos en un diagrama de resolución:
Setratadeelaborarunplanderesolución,deformaexplícita.Tengoquesaberquédatomepreguntanyquédatosnecesitoparaaveriguarlo.Deestamanera,vemosquérelacioneslosconectanyquépapeljuegacadaunodeellos,enesasrelaciones.Así,podremosdeducir,deformarazonada,lasdosoperacionesquedebemosrealizarpararesolverelproblema.
Setrata,entonces,deconectarlasdosrelaciones.
1. ¿Para qué la RELACIÓN PRINCIPAL?Pararesponderalapreguntadelproblema (?).
2. ¿Para qué la RELACIÓN COMPLEMENTARIA?Paraaveriguarelvalordeldatoquenecesito,enlarelaciónprincipal(*).
PP
Pasajeros
Maletas lleva UN pasajero
Maletas pequeñas
Maletas grandesMaletas llevan
TODOS los pasajeros
?
RELACIÓNCOMPLEMENTARIARELACIÓNPRINCIPAL
VU
T T
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3 Decidir, a partir del diagrama, qué operaciones realizar y calcularlas
Enprimerlugar,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelacióncomplementaria.ComoesunarelaciónPPT(suma-resta),tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta:
T = P + P
P = T - P
P = T - P
x
Acontinuación,calculamoslaoperación.Así,descubriremoselvalordeldatodeenlace,elqueunelasdosoperaciones.
Operación correspondiente a la relación complementaria:
125+ 35
160_______
/35/
Actoseguido,yapodemosdecidirlaoperacióndelarelación principal, con eldatoquenosfaltabapararesponderalapreguntadelproblema.Enestecaso,comoesunarelaciónUVT (multiplicación-división), tenemos tres opciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta:
T = U × V
U = T : V
V = T : Ux
Conelvalordeldatoquenoteníamos,yquehemosdescubiertograciasalaoperaciónanterior,calculamoslaoperacióncorrespondientealarelación principal.
Operación de la relación complementaria:
160 280_______
4 Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica
> Escribir el resultado
Comohemoscomentadoanteriormente,escribirelresultadonoconsisteúnicamenteenescribirlacifra.Éstadebeiracompañadadesuexplicación.Enestecaso,sería:
Resultado:en el avión viajan 80 pasajeros
/ 36 /
> Valorar si la respuesta es lógica
SilarelaciónprincipalfuesePPT(suma-resta),nospreguntaríamossielTotal(T)esmayorquelasPartes(P),paracomprobarsilarespuestaeslógica.Como,enestecaso,larelaciónprincipalesUVT(multiplicación-división),nospreguntaremossilaCantidadTotal(T)esfrutodemultiplicarlaCantidadUnitaria(U)undeterminadonúmerodeveces(V).
Enesteejemplo,primero,completamoslarelaciónprincipal,escribiendolosdatosy,luego,respondemosalapregunta.
2Maletas lleva UN pasajero
Pasajeros Maletas entre TODOS los pasajeros
80 160TU V
T V U¿Eselresultadoderepetirveces?-Sí/No160 80 2
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¿CÓMO EVALUAR UN PROBLEMA DE DOS OPERACIONES? Acontinuación,osproponemosunaorientación,paralabaremaciónde un solo problema de dos operaciones: 1. Leerparaidentificarlosdatos:0,3puntos
a)0,1paralosdatossimbólicosdeambasrelaciones b)0,1paralosdatosnuméricosdeambasrelaciones c)0,1paralosdatosexplicativosdeambasrelaciones 2. Organizarlosdatosenundiagramaderesolución:0,3puntos 3. Calcular:0,2puntos
a)0,1porelegirlasoperacionescorrectas b)0,1porelcálculodelasoperaciones 4. Responderyvalorar:0,2puntos
a) 0,1paralarespuesta b)0,1paralavaloración NOTA:Fallarencualquierpasodelproblema,supondráperderlapuntuacióndelospasosposterioresalmismo.Ejemplo:sifalloeneltercerpaso,enelegirlaoperación,yloanteriorlotengobien,tendría0,6puntos.Saberexactamenteenquépasostienemayordificultadesfundamental:¡ahora,sabremosenquéfallay,graciasaestametodología,cómoenseñárselocorrectamente!
Sielalumno/ahacecorrectamenteelprimeroyelsegundopaso,puedeobtener0,6puntos.¿Porqué?Porque,enrealidad,identificarlosdatosyorganizarlosenundiagramaeslonuclear.Apartirdeahí,esinevitablededucirlosresultados.Además,lasdificultadesquepuedensurgirenlosúltimospasossonmásfácilesdesuperarqueenlosprimeros,porloquedebemosprestarles,aesosprimerospasos,lamáximaatención.
/ 38 /
Parapracticarlosproblemasdedosoperaciones,enelcuaderno“Dominar los problemas matemáticos 4”, de Boira Editorial, sehansecuenciadolosejercicios,detalforma,quepodrásencontrar,desdeejerciciosenlosqueseabordasolounapartedelproblema,hastaejerciciosenlosqueseabordaelproblemaensutotalidad.Deestaforma,seconsigueintegrar,pasoapaso,elprocesomentalquepermitedominarlosproblemasmatemáticos.Además,incluyenunaplantillafotocopiable,paraquepuedas,tantoacabarderesolverlosproblemasquequedaronsinrespuestaporestartrabajandosolamenteunapartedelproceso,comolosplanteadospararesolverlosporcompleto.Éstaeslaplantilla:
/ 39 /
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
/ 40 /
/ 41 /
2.5 PROBLEMA DE FRACCIONES
Paraenseñarapensarmatemáticamente,esdecir,paraquenuestroalumnadovealarelaciónentrelosdatosypuedadeducirlasoperacionesarealizar,debemosevitarexplicareltrucohabitualde,“multiplicaporeldearribaydivideporeldeabajo”.Loqueconvienehacer,encambio,esenseñarlesapensar,atravésdeunmétodoqueconduzca,deformalógica,a la resolución del problema.
Loúnicoqueconseguimosconelusodelostrucos,esgeneraratascoscognitivosennuestroalumnado.Elalumno/acreeestarresolviendoelproblemacuando,enrealidad,noloentiendey,consecuentemente,nopuedeseguiravanzando.
Veámosloconelsiguienteejemplo:
Si se han vendido las 5/7 partes de 560 entradas, ¿cuántas entradas se han vendido?
Sihacemoscasodeltruco,primeromultiplicaríamosporelnumerador;esdecir:
560 x 5 = 2.800 entradas
Peroestaoperaciónesabsurda:sisolotenía560entradas,¿dedóndehansalidoestas2.800?¿Quélesestamosenseñandomedianteestetruco?
Lolamentabledeestetrucoesquenosllevaalresultadocorrecto.Noobstante,generaunosatascoscognitivosennuestroalumnadoque,alalarga,seránmuydifícilesdesuperar.
Poreso,¿noesmejorenseñarapensaranuestroalumnadomediantelossencillospasosanteriores?
/ 42/
Veámosloenlassiguientespáginas.
Enunproblemareferentealafraccióndeunnúmero,haydosmanerasdeformularlapreguntadelproblema:
? ?______ ______
1 2
de de= =
Porunlado,veamosun ejemplo de la primera opción:
En un jardín quieren plantar 125 plantas. Si ayer plantaron 2/5, ¿cuántos árboles han plantado ya?
> Leer para identificar los datos
Estosignificavercuáleslarelaciónentrelosdatos,teniendoencuentaquénosestánpreguntando.Enestecaso,sería:
?______ de =2
5125
Deestos5grupos, 2yaestánplantados
Los125árbolesestándivididosen5 grupos
Árbolesqueyaestánplantados en eljardín
Árbolesquequierenplantareneljardín
/ 43 /
> Ordenar los datos en un diagrama de resolución:
TU
Árboles en TODOS los grupos plantados
Grupos de árboles plantados
Árboles que quieren plantar en el jardín
Grupos en los que están divididos los árboles
Árboles en UN grupo
?
RELACIÓNCOMPLEMENTARIARELACIÓNPRINCIPAL
TU
V V
> Decidir, a partir del diagrama, qué operaciones realizar y calcularlas
Enprimerlugar,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelación complementaria. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslaCantidadUnitaria(U),porlotantolaopciónválidaserá:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Unavezdecidida,calculamoslaoperación.Así,descubriremoselvalordeldatodeenlace,elqueunelasdosoperaciones.
/ 44 /
Operación correspondiente a la relación complementaria:
125 525_______
Acontinuación,yapodemosdecidirlaoperacióncorrespondienteala relación principal,coneldatoquenosfaltaba,pararesponderalapreguntadelproblema.Enestecaso,comoesunarelaciónUVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.ComoestamosbuscandolaCantidadTotal(T),señalamos esta opción:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Conelvalordeldatoquenoteníamos,yquehemosdescubiertoconlarelacióncomplementaria,calculamoslaoperacióncorrespondientealarelación principal.
Operación correspondiente a la relación principal:
25x 2
50_______
/45/
> Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica
> Escribir el resultado
Comoenlosejemploscomentadosanteriormente,debemosescribirunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema;esdecir,noescribiendoúnicamentelosdatosnuméricos.Enestecaso,lapreguntaera,¿cuántosárboleshanplantadoya?
Resultado:han plantado 50 árboles
> Valorar si la respuesta es lógica
Porúltimo,valoramoselresultado,completandolarelaciónprincipalyrespondemosaunapreguntareferenteaella:
25Árboles en UN grupo
Grupos de árboles
plantados
Árboles en todos los grupos
2 50TU V
T V U¿Eselresultadoderepetirveces?-Sí/No50 2 25
/ 46 /
Ahora,veamosun ejemplo de la segunda opción posible, en un problema referente a la fracción de un número:
Mario ha leído 3/5 partes de un libro. Va por la página 72. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Leer para identificar los datos
Enesteprimerpaso,vemoscuálessonlasdosrelacionesentrelosdatos.Enestecaso,sería:
?______ de =3
572
Deestos5grupos, 3yaloshaleído
Gruposdepáginas quetieneellibro
Páginasquesehaleído
Páginasquetiene el libro
/ 47 /
2 Ordenar los datos en un diagrama de resolución:
TV
Páginas que tiene el libro
Grupos de páginas que tiene el libro
Páginas leídas
Grupos leídosPáginas en UN grupo
?
RELACIÓNCOMPLEMENTARIARELACIÓNPRINCIPAL
TV
U U
5
72
3
3 Decidir, a partir del diagrama, qué operaciones realizar y calcularlas
Enprimerlugar,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelación complementaria. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslaCantidadUnitaria(U);porlotanto,laopciónválidaserá:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Luego,calculamoslaoperación.Así,descubriremoselvalordeldatodeenlace,elqueunelasdosoperaciones.
/ 48 /
Operación correspondiente a la relación complementaria:
72 324_______
Acontinuación,yapodemosdecidirlaoperacióncorrespondientealarelaciónprincipal,coneldatoquenosfaltabapararesponderalapreguntadelproblema.Enestecaso,comoesunarelaciónUVT(multiplicación-división),tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.ComoestamosbuscandolaCantidadTotal(T),señalamosestaopción:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Conelvalordeldatoquenoteníamos,yquehemosdescubiertoconlaoperaciónanterior,calculamoslaoperacióncorrespondientealarelación principal.
/ 49 /
Operacióncorrespondientealarelaciónprincipal:
24x 5
120_______
4 Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica
> Escribir el resultado
Enestepunto,debemosescribirunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema;esdecir,noescribiendoúnicamentelosdatosnuméricos.Enesteproblema,nospreguntaban,¿cuántaspáginastieneellibro?
Resultado:el libro tiene 45 páginas
/ 50/
> Valorar si la respuesta es lógica
Porúltimo,valoramoselresultadocompletandolarelaciónprincipalyrespondemosaunapreguntareferenteaella:
24Páginas en UN grupo
Grupos de páginas que tiene el libro
Páginas tiene el libro
5 120TU V
T V U¿Eselresultadoderepetirveces?-Sí/No120 5 24
/51/
¿CÓMO EVALUAR UN PROBLEMA DE FRACCIONES? Acontinuación,osproponemosunaorientación,paralabaremaciónde un problema de fracciones:
1. Leerparaidentificarlosdatos:0,3puntos
a)0,1paralosdatossimbólicos
b)0,1paralosdatosnuméricos
c)0,1paralosdatosexplicativos
2. Organizarlosdatosenundiagramaderesolución:0,3puntos
3. Calcular:0,2puntos
a)0,1porlaoperaciónelegida
b)0,1porelcálculo
4. Responderyvalorar:0,2puntos
a) 0,1paralarespuesta
b)0,1paralavaloración
NOTA:fallarencualquierpasodelproblema,supondráperderlapuntuacióndelospasosposterioresalmismo.Ejemplo:sifalloeneltercerpaso,enelegirlaoperación,yloanteriorlotengobien,tendría0,6puntos.Saber,exactamente,enquépasostienemayordificultadesfundamental:¡ahora,sabremosenquéfallay,graciasaestametodología,cómoenseñárselocorrectamente!
/ 52/
Parapracticarlosproblemasdefraccionesdeunnúmero,loscuadernos“Dominar los problemas matemáticos 5”, de Boira Editorial, no solo incluyenestaplantillafotocopiable,sinounagranvariedaddeejercicios,quepermitenafianzarelprocesomental.Así,elalumnadopuedeavanzarconseguridad,haciaproblemasdemayorcomplejidad.
/53/
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
/ 54/
/55/
2.6 PROBLEMAS CON SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
× 10
Km Hm Dam M Dm Cm Mm
: 10
Enunproblemadelsistemamétricodecimal,esmuyimportanteconocerlasrespectivasunidadesysusequivalencias.
Porejemplo,cuandohablamosdemedidasdelongitud:
> Fíjateenelsiguienteejemplo:
La calle principal de mi ciudad mide 4 km de longitud. Cada 200, metros hay un tramo con un semáforo. ¿Cuántos tramos con semáforo hay?
Leer para identificar los datos
Enesteprimerpasovemoscómoestánrelacionadoslosdatos.EnunadelasdosrelacionesestánimplicadasdosunidadesSMD.Tenemosqueverquéoperacioneshayentreellas,paraconvertirlasenlamismaunidad.
/ 56/
¿Qué dos unidades se relacionan en elproblemayquéoperacioneshayentreellas?
x 1.000
Km
M
: 1.000
Porlotanto,1mes1.000 veces más pequeñoque1km.
RELACIÓN COMPLEMENTARIARELACIÓN PRINCIPAL
200 4Metros de cada tramo entre semáforos
Km mide la calleU U
? 1.000Tramos entre semáforos VecesV VMetros que mide la calle
Metros que mide la calleT T
Hayotraformaderesolveresteproblema,estableciendolarelaciónprincipal en Km: U=Kmencadatramodesemáforos(*),V=tramosentresemáforos(?)yT=Kmquemidelacalle(4).Ahora,eldatodeenlacecorrespondealosKmdecadatramoentresemáforos.Estableceremos,entonces,larelacióncomplementaria,paracalcularesevalor:U=Kmdecada tramo entre semáforos (*),V=veces(1000),T=Mdecadatramoentresemáforos. Nosotros vamos a resolverlo de la primera forma.
/57/
2 Ordenar los datos en un diagrama de resolución:
UV
Tramos entre semáforos
Metros en cada tramo entre semáforos
Km mide la calle
VecesMetros mide la calle
?
RELACIÓNCOMPLEMENTARIARELACIÓNPRINCIPAL
VU
T T
200
4
1.000
3 Decidir, a partir del diagrama, qué operaciones realizar y calcularlas
Enprimerlugar,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelación complementaria. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslaCantidadTotal(T),porloquelaseñalamosconunacruz:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Luego,calculamoslaoperación.Así,descubriremoselvalordeldatodeenlace,elqueunelasdosoperaciones.
/ 58/
Operación correspondiente a la relación complementaria:
1.000x 4
4.000_______
Acontinuación,yapodemosdecidirlaoperacióndelarelación principal, coneldatoquenosfaltabapararesponderalapreguntadelproblema.Enestecaso,comoesunarelaciónUVT (multiplicación-división), tenemos tresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.ComoestamosbuscandolasVeces(V),señalamosestaopción:
T = U × V
U = T : V
V = T : Ux
Conelvalordeldatoquenoteníamos,yquehemosdescubiertoconlaoperacióndelarelacióncomplementaria,calculamoslaoperacióndelarelación principal.
Operación correspondiente a la relación principal:
4.000 20020_______
/59/
4 Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica
> Escribir el resultado
Enestepunto,debemosescribirunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema;esdecir,noescribiendoúnicamentelosdatosnuméricos.Enesteproblema,nospreguntaban,¿cuántostramosconsemáforohay?
Resultado:hay 20 tramos con semáforo
> Valorar si la respuesta es lógica
Porúltimo,valoramoselresultado,completandolarelaciónprincipalyrespondemosaunapreguntareferenteaella:
200Metros en cada tramo que hay un semáforo
Tramos que hay un semáforo
Metros que mide la calle
20 4.000
TU V
T V U¿Eselresultadoderepetirveces?-Sí/No4.000 20 200
/ 60 /
¿CÓMO EVALUAR UN PROBLEMA DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL? Acontinuación,osproponemosunaorientación,paralabaremaciónde un problema de fracciones:
1. Leerparaidentificarlosdatos:0,3puntos
a)0,1paralosdatossimbólicos
b)0,1paralosdatosnuméricos
c)0,1paralosdatosexplicativos
2. Organizarlosdatosenundiagramaderesolución:0,3puntos
3. Calcular:0,2puntos
a)0,1porlaoperaciónelegida
b)0,1porelcálculo
4. Responderyvalorar:0,2puntos
a) 0,1paralarespuesta
b)0,1paralavaloración
NOTA:fallarencualquierpasodelproblema,supondráperderlapuntuacióndelospasosposterioresalmismo.Ejemplo:sifalloeneltercerpaso,enelegirlaoperación,yloanteriorlotengobien,tendría0,6puntos.Saber,exactamente,enquépasostienemayordificultadesfundamental:¡ahora,sabremosenquéfallay,graciasaestametodología,cómoenseñárselocorrectamente!
/ 61 /
Parapracticarlosproblemasconsistemamétricodecimal,loscuadernos“Dominar los problemas matemáticos 5”, de Boira Editorial, no solo incluyenestaplantillafotocopiable,sinounagranvariedaddeejercicios,quepermitenafianzarelprocesomental.Así,elalumnadopuedeavanzarconseguridad,haciaproblemasdemayorcomplejidad.
/ 62/
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
/ 63 /
2.7 PROBLEMAS DE PERÍMETROS, SUPERFICIES Y VOLÚMENES
Enesteapartado,aprenderemoscómopodemosenseñaradominarproblemasdesuperficiesyvolúmenes.
Enlosproblemasdeperímetros,superficiesyáreas,esimportantetenerclaroaquéhacenreferenciaestosconceptos:
Elperímetroeslasumadelaslongitudesdelosladosdeunafigurageométricaplana.
Eláreaeslamedidadelasuperficiequeocupaunafigura.Paramedirsuperficies,seutilizacomounidadelmetrocuadrado(m2).
Mientrasqueelvolumeneslacantidaddeespacioqueocupauncuerpo.Laprincipalunidaddevolumeneselmetrocúbico(m3).
Acontinuación,veamoscómopodemosaplicarloscuatropasos,enunproblemadesuperficies.Fíjateenelsiguienteejemplo:
Vamos a cambiar las baldosas del fondo de nuestra piscina. Es de forma rectangular y mide 20 metros de largo y 12 metros de ancho. Si vamos a colocar baldosas de 25 dm2, ¿cuántas utilizaremos?
Leer para identificar los datos
Enesteprimerpaso,vemoscómoestánrelacionadoslosdatos.
Debemostenerencuentaque,enlosproblemasdesuperficiesyvolúmenes,unadelasrelacionescorrespondealafórmuladelafigura.Porejemplo,enesteproblema,senoshabladeunapiscinaconformarectangular.
/ 64 /
Lafórmulaparaencontrareláreaseríalasiguiente:
Largo Ancho SuperficieTU V× =
LargoAnchoV
U
Ahora,yatenemostodoslosdatosparaescribirlasrelacionesdelproblema.Estasserían:
m2/baldosa
Metros de largo
Metros de ancho
M2 de superficie
m2/baldosaU
U
U) M2 y BALDOSAS ) M2 / BALDOSA
) M2 SUPERFICIE SUELO
20 12
Baldosas BaldosasV
V
V? 100
m2 en total m2 en totalT
T
T 25
× =
/65/
2 Ordenar los datos en un diagrama de resolución:
Ahora,yatenemoslastresrelacionesquenecesitamos,paraelaborareldiagramaderesolución.
Paraelaborarlo,pondremosenprimerlugarlarelaciónprincipal,laquecontienelapreguntadelproblema.Enestecasoes:m2 y baldosas. Enestaocasión,larelaciónprincipaltienedosdatosdeenlace,porloquenecesitaremos dos relaciones complementarias.
Fíjateencómohacerlo:
?
RELACIÓNCOMPLEMENTARIARELACIÓNPRINCIPAL
V
V
U
T
V
U U
T T
100
25
20
12
3 Decidir, a partir del diagrama, qué operaciones realizar y calcularlas
Enestaocasión,podemosdecidirlasoperacionesdelasrelacionescomplementarias,indistintamente,esdecir,podemosempezarporlarelación de arriba o por la de abajo.
/ 66 /
Enprimerlugar,empezamospordecidirlaoperaciónquecorrespondea la relación complementaria de arriba. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones.Enestecaso,buscamoslaCantidadUnitaria(U),porlotanto:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Acontiuación,realizamoslaoperacióndeestarelacióncomplementaria.
> Operación correspondiente a la relación complementaria:
25 1000,25_______
Ensegundolugar,decidimoslaoperacióndelarelacióncomplementaria.Enestecaso,tenemosquecalcularelárea:
U × V = TLargo Ancho Superficie
x
Laoperacióndeestasegundarelacióncomplementariaseríalasiguiente:
/ 67 /
> Operación correspondiente a la relación complementaria:
20x 12
+ 2040
60
_______
_______
Porúltimo,decidimoslaoperacióndelarelaciónprincipal.ComoesunarelaciónUVT(multiplicación-división),tenemostresopciones.Enestecaso,buscamoslasVeces(V),porlotanto:
T = U × V
U = T : V
V = T : UxY,conlosdosvaloresdeldatodeenlacequehemosdescubiertoenlasrelacionescomplementarias,calculamoslaoperaciónprincipal.
> Operación correspondiente a la relación principal:
240 0,25960_______
/ 68 /
4 Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica
> Escribir el resultado
Enestepunto,escribiremosunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema.Enestecaso,nospreguntaban,¿cuántasbaldosasutilizaremos?
Resultado:para el fondo de la piscina, utilizaremos 960 baldosas
> Valoro si la respuesta es lógica
Porúltimo,valoramoselresultado,completandolarelaciónprincipalyrespondemosaunapreguntareferenteaella:
0,25M2/baldosa Baldosas M2 en total
960 240
TU V
T V U¿Eselresultadoderepetirveces?-Sí/No240 960 0,25
/ 69 /
/ 70 /
3AMPLIACIÓN: CICLO SUPERIOR Y ESO
/ 71 /
3.1 PROBLEMAS DE VARIAS OPERACIONES, POR DOS CAMINOS DISTINTOS
SegúnafirmóKenRobinson,educadoryconferenciantebritánico,“laescuelamatalacreatividad”.Ensuopinión,elsistemaeducativoestábasadoenlahabilidadacadémica,pero,encambio,noseeducaenelusodelcuerponienlacapacidaddecrearniimaginar.
Siesoescierto,unabuenamaneraderevertirestasituaciónesenseñandoanuestroalumnadocómoresolverproblemas,pordoscaminosdistintos.
Enlosproblemasdevariasoperaciones,porcaminosdistintos,deberemosvertodaslasrelacionesdesdedosperspectivas:aquellasrelacionesquehablandeunmismoconcepto(seránrelaciones PPT),yaquellasquehablandedosconceptos(seránrelaciones UVT).
Unavezelaboradastodaslasrelaciones,identificaremoscuálessonlas dos relaciones principales;esdecir,aquellasquecontienenlapreguntadelproblema.
Deestaforma,elaboraremosdosplanesderesolucióndiferentes(PlanAyPlanB),cadaunoconsupropiodiagramaderesolución,quenosconducirán,deformalógica,alarespuestadelproblema.
Veámoslodeformafácil,medianteelsiguienteejemplo:
El equipo femenino y el masculino de mi colegio han comprado 55 pelotas de baloncesto. Cada pelota les ha costado 4€. Si el equipo femenino se ha gastado 104€, ¿cuánto dinero se ha gastado el equipo masculino?
/ 72/
Leer para identificar los datos
Talcomohemosvisto,enesteprimerpaso,vemoscómoestánrelacionados los datos. Dos de las relaciones descubiertas corresponderán a las dos relaciones principales del problema.
Porunlado,identificaremoslasrelacionesPPT(suma-resta);esdecir,aquellasquehacenreferenciaaunsoloconcepto.Sitefijas,enesteproblemasehabladePELOTASyEUROS.
Acontinuación,debemosescribirestosdatosdesdelastresperspectivas.Sidesconocemoselvalordealgúndato,pondremosunasteriscoensucasillacorrespondiente(*),ytambiénescribiremosuninterroganteenlacasilladeldatoquesealapreguntadelproblema(?).Enestecaso,nospreguntan:¿cuánto dinero ha gastado el equipo masculino?
De las dos relaciones PPT, la que contenga la pregunta del problema será la relación principal deunodeloscaminos,quenospermitiránresolverelproblema.
Veámoslo:
) PPT - Pelotas ) PPT - Euros
Pelotas compradas por el equipo masculino
€ gastados por el equipo masculino
€ gastados por el equipo femenino
P PPelotas compradas por el equipo femeninoP PPelotas compradas por los dos equipos
€ gastados por los dos equiposT T
104
55
?
/ 73 /
> ¿Cuál de las dos relaciones PPT contiene a la pregunta del problema? PPT - Euros
Porotro,identificamoslasrelacionesUVT(multiplicación-división);esdecir,aquellasquehacenreferenciaadosconceptos,EUROSyPELOTAS.Enestecaso,tenemostresrelaciones.Fíjate:
) UVT - Equipo masculino ) UVT - Equipo femenino ) UVT - Los dos equipos
€ que vale UNA pelota € que vale UNA pelota € que vale UNA pelotaU U U
Pelotas que ha comprado el equipo masculino
Pelotas que ha comprado el equipo femenino
Pelotas que han comprado entre los dos equipos
V V V
€ que valen TODAS las pelotas del equipo masculino
€ que valen TODAS las pelotas del equipo femenino
€ que valen TODAS las pelotas entre los dos equipos
T T T
4 4 4
55
104?
> ¿Cuál de las tres relaciones UVT contiene la pregunta del problema? UVT – Equipo masculino
Ahora,podemosdiseñardosPlanesdeResolución:PLANAyPLANB,unocon cada una de las dos relaciones principales. Cada Plan es uno de los caminosposiblespararesolverelproblema.Veámosloacontinuación.
/ 74 /
2 Ordenar los datos en un diagrama de resolución:
Enprimerlugar,diseñaremoselPLAN A,utilizandolarelaciónprincipalPPT:PPT – Euros,pueseslaquecontienelapreguntadelproblema(¿cuántodinerosehagastadoelequipomasculino?).Antesdehacereldiagrama,situaremosenunladolarelaciónprincipaly,enelotro,larelacióncomplementariaquenosvaaayudaradescubrirelvalordeldatodeenlace.EstarelacióncomplementariaesUVT-LOSDOSEQUIPOS,yaqueincluyeeldatocuyovalornecesitamosenlarelaciónprincipal,paraasípodercalcularlarespuestaalapreguntadelproblema.
) PPT - Euros ) UVT - Los dos equipos
€ gastados por el equipo masculino
€ que vale UNA pelota
Pelotas que han comprado entre los dos equipos
P U€ gastados por el equipo femeninoP V€ gastados por los dos equipos
€ que valen TODAS las pelotas entre los dos equipos
T T55
4
104
?
RELACIÓNPRINCIPAL RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
Plan A
/75/
Ahorayatenemoslasdosrelacionesquenecesitábamosparaelaborareldiagramaderesolución:
UV
?
RELACIÓNCOMPLEMENTARIARELACIÓNPRINCIPAL
PP
T T
104
4
55
Plan A
Ahora,hacemoslomismoconlaotrarelaciónprincipal.Enestecaso,será UVT – Equipo masculino, ydiseñamosnuestroPLAN Bque,comoelanterior,tambiénnosconducirá,demaneralógica,alasolucióndelproblema.
Enunlado,situaremoslarelaciónprincipal,laquecontienelapreguntadelproblema.Juntoaella,larelacióncomplementariaUVT-EQUIPOFEMENINO,quenosvaapermitirdescubrirelvalordeldatodeenlace,“Pelotasquehacompradoelequipomasculino”.Sinembargo,deestarelacióncomplementariatambiéndesconocemoselvalordeunodesusdatos,“Pelotasquehacompradoelequipofemenino”,¿quéhacemos,entonces?Elegirotrarelacióncomplementariaquenospermitadescubrirelvalordeestesegundodatodeenlace.Yesarelaciónserá:UVT-LOSDOSEQUIPOS.Fíjate:
/ 76 /
) UVT - Equipo masculino ) PPT - Equipo femenino ) UVT - Los dos equipos
€ que vale UNA pelota
Pelotas compradas por el equipo masculino
€ que vale UNA pelota
U P U
Pelotas que ha comprado el equipo masculino
Pelotas que ha comprado el equipo femenino
Pelotas que han comprado entre los dos equipos
V P V
€ que valen TODAS las pelotas del equipo masculino
€ que valen TODAS las pelotas del equipo femenino
€ que valen TODAS las pelotas entre los dos equipos
T T T
4 4
55 104?
RELACIÓNPRINCIPAL
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
Plan B
/ 77 /
Ahorayatenemoslastresrelacionesquenecesitábamosparaelaborareldiagramaderesolución:
Plan B
T
TPU
?TUV P V
4
554
104
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
RELACIÓNPRINCIPAL
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
Enprimerlugar,decidimoslasoperacionesquecorrespondenalPLANA.
Recordemoselenunciadoyeldiagrama:
El equipo femenino y el masculino de mi colegio han comprado 55 pelotas de baloncesto. Cada pelota les ha costado 4€. Si el equipo femenino se ha gastado 104€, ¿cuánto dinero se ha gastado el equipo masculino?
UV
?
RELACIÓNCOMPLEMENTARIARELACIÓNPRINCIPAL
PP
T T
104
4
55
/ 78 /
Comosiempre,empezamospordecidirlaoperaciónquecorrespondeala relación complementaria. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslaCantidadTotal(T),“€quevalenTODASlaspelotasentrelosdosequipos”,porlotanto:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Unavezdecidida,calculamoslaoperaciónenelespacioparaesefin:
> Operación correspondiente a la relación complementaria:
55x 4
220_______
Acontinuación,yapodemosdecidirlaoperacióndelarelación principal, coneldatoquenosfaltaba,pararesponderalapreguntadelproblema.Enestecaso,comoesunarelaciónPPT (suma-resta),tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.
/ 79 /
ComobuscamosunadelasPartes(P),“€ gastados por el equipo masculino”, señalamos esa opción:
T = P + P
P = T - P
P = T - P
x
Conelvalordeldatodeenlacequehemosdescubierto,enlaoperaciónanterior,calculamoslaoperación principal:
> Operación correspondiente a la relación principal:
220- 104
116_______
/ 80 /
PLAN B
Luego,decidimoslasoperacionesquecorrespondenalPLAN B: UVT – Equipo masculino.
Recordemoselenunciadoyeldiagrama:
El equipo femenino y el masculino de mi colegio han comprado 55 pelotas de baloncesto. Cada pelota les ha costado 4€. Si el equipo femenino se ha gastado 104€, ¿cuánto dinero se ha gastado el equipo masculino?
T
TPU
?TUV P V
4
554
104
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
RELACIÓNPRINCIPAL
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
Enprimerlugar,empezamospordecidirlaoperaciónquecorrespondealaúltimarelación complementaria, laqueestásituadaaladerechadeldiagrama.ComoesunarelaciónUVT (multiplicación-división), tenemos tresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslasVeces(V),“las pelotas que ha comprado el equipo femenino”, por lo tanto:
T = U × V
U = T : V
V = T : Ux
/ 81 /
Unavezdecidida,calculamoslaoperaciónquecorrespondealaúltimarelación complementaria.
> Operación correspondiente a la relación complementaria:
104 426_______
Luego,yapodemosescogerlaoperacióndelaotrarelación complementaria, laqueseencuentraenelcentrodeldiagrama.Enestecaso,comoesunarelaciónPPT (suma-resta), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Necesitamosaveriguarunadelaspartes(P),“las pelotas que ha comprado el equipo masculino”, por lo tanto:
T = P + P
P = T - P
P = T - P
x
> Operación correspondiente a la relación complementaria:
55- 26
29_______
/ 82/
Porúltimo,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelación principal, laquecontienelapreguntadelproblema.ComoesunarelaciónUVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscaremoslaCantidadTotal(T),“€ gastados por el equipo masculino”, por lo tanto:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Conelúltimovalordeldatodeenlace,calculamoslaoperaciónprincipal.
> Operación correspondiente a la relación principal:
29x 4
116_______
3 Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica
> Escribir el resultado
Enestepunto,compararemoslosresultadosdeambosPlanesy,trascomprobarqueestoscoinciden,escribiremoslarespuestadelproblema.
/ 83 /
Igualqueenlosejemplosanteriores,debemosescribirunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema;esdecir,noescribiendoúnicamentelosdatosnuméricos.Enesteproblema,nospreguntaban,¿cuántodinerosehagastadoelequipomasculino?
Resultado:el equipo masculino se ha gastado 116€
> Valorar si la respuesta es lógica
Porúltimo,valoramoselresultadorespondiendoaunapreguntayaunaafirmación,quenospermitencomprobarsilarespuestaquehemosdadoescoherente.
¿Te parece que tiene sentido? Sí/No
ElequipomasculinosehagastadoMÁS / menosdineroqueelequipofemeninoy,porlotanto,hacompradoMÁS / menospelotasqueelotroequipo.
Parapracticarestetipodeproblemas,loscuadernos“Dominar los problemas matemáticos”, de Boira Editorial,incluyenunaplantillafotocopiable,quepermitealalumnadointegrarcadaunodeestospasosconéxito.
Estaplantillaesespecialmenteútilcuandosedominancadaunodelospasos(leerparaidentificarlosdatos;ordenarlosdatosenundiagramaderesolución;decidir,apartirdeldiagrama,quéoperaciónrealizarycalcularla,yvalorarsilarespuestaeslógica).
Conestefin,loscuadernosacompañanalalumnado,pasoapaso,haciendoespecialhincapiéencadaunadelaspartes,hastallegaralaresolucióndelproblema.
/ 84 /
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
/85/
Enesteapartado,aprenderemoscómopodemosenseñaradominarproblemas de porcentajes.
Enlosproblemasdeporcentajes,podemoselaborarrelaciones,teniendoencuentalacantidadoriginal,ypodemoselaborarrelaciones,teniendoencuentalacantidadresultantedeaplicarelaumentoolarebajaalacantidadoriginal.
Comoenelcasoanterior,deberemosbuscarcuálessonlasrelacionesprincipales,esdecir,lasquecontienenlapreguntadelproblema.Apartirdeahí,diseñaremosunPlan AyunPlan Bquenosconduciránal mismo resultado.
Acontinuación,veamoscómopodemosaplicarloscuatropasos,enunproblemadeporcentajes.Fíjateenelsiguienteejemplo:
El precio de cada bicicleta tándem es de 800€. Si he comprado 12, en las rebajas para mi tienda de alquiler de bicicletas, y me han hecho un descuento del 20%, ¿cuánto dinero me han costado?
Leer para identificar los datos
Enesteprimerpaso,establecemoslasrelacionesentrelosdatos.Vamosapoderencontrartresrelaciones,teniendoencuentael precio sin rebajar delasbicicletas,yotrastresrelaciones,teniendoencuentael precio rebajado de las bicicletas.
3.2 PROBLEMAS DE PORCENTAJES
/ 86 /
Luego,escribiremoscadadato,enellugarquelecorresponda.Delmismomodo,pondremosunasterisco(*)enlascasillasdeaquellosdatoscuyosvaloresnuméricosdesconozcamosyuninterroganteenlacasilladeldatoquehagareferenciaalapreguntadelproblema(?).
Veámosloacontinuación:
Primero,observaremoselproblema,teniendoencuentaelPrecioSinRebajar.Enestecaso,nosencontramoscontresrelaciones.
Recordemoselproblemaparasituartodoslosdatos:
El precio de cada bicicleta tándem es de 800€. Si he comprado 12, en las rebajas para mi tienda de alquiler de bicicletas, y me han hecho un descuento del 20%, ¿cuánto dinero me han costado?
PRECIOSIN REBAJADEUNAYDETODASLASBICICLETAS
Precio de una bicicleta sin rebajar
€ / BicicletaU 800
Bicicletasque hecomprado
BicicletasV 12
Precio de todas las bicicletas sin rebajar
€ todas las bicicletasT
1. € Y BICICLETAS
/ 87 /
GRUPOSDE100€QUEPODEMOSHACERCONELPRECIODEUNABICICLETA
20%=20/100=decada100€merebajan20€yporlotantopago80€.
Entoncesnecesitosaberlosgruposde100€quepuedohacerconelpreciode UNAbicicleta.
Los100€quehay encadagrupo
€ / GrupoU 100
Losgruposde100€ quepuedohacer
GruposV800Elpreciodeuna
bicicleta sin rebajar€ todos los gruposT
2. € Y GRUPOS DE 100 (una bicicleta)
/ 88 /
GRUPOSDE100€QUEPODEMOSHACERCONENELPRECIODE TODASLASBICICLETAS
20%=20/100=decada100€merebajan20€yporlotantopago80€.
Entoncesnecesitosaberlosgruposde100€quepuedohacerconelpreciodeTODASlasbicicletas.
Los100€quehay encadagrupo
€ / GrupoU 100
Losgruposde100€ quepuedohacer
GruposVElpreciodetodaslas bicicletas sin rebajar
€ todos los gruposT
3. € Y GRUPOS DE 100 (todas las bicicletas)
Ahora,observaremoselproblema,teniendoencuentaelPrecio Rebajado. Esosignificaque,sinoshacenundescuentodel20%,de cada 100€ me descuentan 20€. Porlotanto,decada100€pagaré80€.
Enestecaso,nosencontramos,también,contresrelaciones.Recordemoselproblema,parasituartodoslosdatos:
El precio de cada bicicleta tándem es de 800€. Si he comprado 12 en las rebajas, para mi tienda de alquiler de bicicletas, y me han hecho un descuento del 20%, ¿cuánto dinero me han costado?
/ 89 /
PRECIOCON REBAJADEUNAYDETODASLASBICICLETAS
Precio de una bicicleta con rebaja
€ / BicicletaUBicicletasque hecomprado
BicicletasV 12
Precio de todas las bicicletas con rebaja
€ todas las bicicletasT
4. € Y BICICLETAS CON REBAJA
?
GRUPOSDE80€ENELPRECIODEUNABICICLETA
Recuerda,decada100€,solopagaremos80€.
Los80€quepago decadagrupo
€ / GrupoU 80
Losgruposde80€ quepuedohacer
GruposVElpreciodeuna bicicleta con rebaja
€ todos los gruposT
5. € Y GRUPOS DE 80 (una bicicleta)
/ 90 /
GRUPOSDE80€ENELPRECIODETODASLASBICICLETAS
Recuerda,decada100€,solopagaremos80€.
Los80€quepago decadagrupo
€ / GrupoU 80
Losgruposde80€ quepuedohacer
GruposVElpreciodetodaslas bicicletas con rebaja
€ todos los gruposT
6. € Y GRUPOS DE 80 (todas las bicicletas)
?
Unaveztenemostodaslasrelaciones,nospreguntamos:
Delasseisrelaciones,¿quérelacionescontienenlapreguntadelproblema?
Enestecaso,sondos:UVT - € y bicicletas con rebajas y UVT - € y Grupos de 80 (todas las bicicletas).
2 Ordenar los datos en un diagrama de resolución:
Enprimerlugar,diseñaremoselPLANA,utilizandolarelaciónprincipalUVT-€ybicicletasconrebajas,pueseslaquecontienelapreguntadelproblema(¿cuántodineronoshancostadolasbicicletas?).Antesdehacereldiagrama,escribiremoslarelaciónprincipaly,asulado,lasrelacionesquenosvanaayudaradescubrirelvalordelosdatosdeenlace.
/ 91 /
) UVT - €yBicicletacon rebaja
) UVT - €ygruposde 80€(unabicicleta)
) UVT - €ygruposde 100€(unabicicleta)
Plan A
€ / bicicleta € / grupo € / grupoU U U
Bicicletas Grupos BicicletasV V V
€ todas las bicicletas € todos los grupos € todos los gruposT T T
100
800
12
80
?
RELACIÓNPRINCIPAL
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
Plan A
U
TVU
?TVU T
12
80100
800
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
RELACIÓNPRINCIPAL
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
V
/ 92/
Ahora,hacemoslomismoconlaotrarelaciónprincipal.Enestecaso,UVT - € y Grupos de 80 (todas las bicicletas),ydiseñamosnuestroPLAN Bque,comoelanterior,tambiénnosconducirá,demaneralógica,alasolucióndel problema.
Escribiremoslarelaciónprincipaly,asulado,lasrelacionesquenosvanaayudaradescubrirelvalordelosdatosdeenlace.
) UVT - €ygruposde80€ (todas las bicicletas)
) UVT - €ygruposde100 €(todaslasbicicletas)
) UVT - €ybicicletas
Plan B
€ / grupo € / grupo € / bicicletaU U U
Grupos Grupos BicicletasV V V
€ todos los grupos € todos los grupos € todas las bicicletasT T T
80 800
12
100
?
RELACIÓNPRINCIPAL
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
/ 93 /
Plan B
U
VT U?T
UV V
80
100800
12
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
RELACIÓNPRINCIPAL
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
T
3 Decidir, a partir del diagrama, qué operaciones realizar y calcularlas
> PLAN A
Enprimerlugar,decidimoslasoperacionesquecorrespondenalPLAN A: UVT - € y bicicletas con rebaja.
Recordemoselenunciadoyeldiagrama:
El precio de cada bicicleta tándem es de 800€. Si he comprado 12 en las rebajas para mi tienda de alquiler de bicicletas, y me han hecho un descuento del 20%, ¿cuánto dinero me han costado?
U
TVU
?TVU T
12
80100
800
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
RELACIÓNPRINCIPAL
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
V
/ 94 /
Enprimerlugar,empezamospordecidirlaoperaciónquecorrespondealaúltimarelación complementaria. Como es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslasVeces(V),porlotanto:
T = U × V
U = T : V
V = T : UxUnavezdecidida,calculamoselvalordeldatodeenlace.
> Operación correspondiente a la relación complementaria:
800 1008_______
Después,decidimoslaoperaciónquecorrespondealaotrarelación complementaria. Como también es una relación UVT (multiplicación-división), tenemostresopciones.Enestecaso,buscamoslaCantidadTotal(T),porlotanto:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Conelvalordeldatodeenlacequehemosconseguido,graciasalaoperaciónanterior,calculamoslaotrarelacióncomplementaria.
/95/
> Operación correspondiente a la relación complementaria:
80x 8
640_______
Porúltimo,decidimoslaoperacióndelarelación principal,coneldatoquenosfaltaba,pararesponderalapreguntadelproblema.TambiénesunarelaciónUVT,enlaquebuscamoslaCantidadTotal(T):
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Conelvalordeldatodeenlacedelarelacióncomplementaria,calculamosla operación principal.
> Operación correspondiente a la relación principal:
640x 12
+ 6401.280
7.680
_______
_______
/ 96 /
> PLAN B
Acontinuación,decidimoslasoperacionesquecorrespondenalPLANB:UVT-€yGruposde80(todaslasbicicletas).
Recordemoselenunciadoyeldiagrama:
El precio de cada bicicleta tándem es de 800€. Si he comprado 12 en las rebajas para mi tienda de alquiler de bicicletas, y me han hecho un descuento del 20%, ¿cuánto dinero me han costado?
U
VT U?T
UV V
80
100800
12
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
RELACIÓNPRINCIPAL
RELACIÓNCOMPLEMENTARIA
T
Empezamospordecidirlaoperaciónquecorrespondealaúltimarelación complementaria,laqueestásituadaaladerechadeldiagrama.Comoesuna relación UVT (multiplicación-división),tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslaCantidadTotal(T),porlotanto:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
/ 97 /
Unavezdecidida,calculamos:
Operación correspondiente a la relación complementaria:
800x 12
+ 8001.600
9.600
_______
_______
Luego,escogemoslaoperacióndelaotrarelación complementaria,laqueseencuentraenelcentrodeldiagrama.Enestecaso,comotambiénesunarelación UVT (multiplicación-división),tenemostresopciones,entrelasquedebemosseñalarcuáleslacorrecta.Enestecaso,buscamoslasVeces(V),porlotanto:
T = U × V
U = T : V
V = T : Ux
Conelvalordeldatodeenlacequehemosaveriguado,graciasalaoperaciónanterior,calculamoslaotraoperacióncomplementaria:
/ 98 /
Operación correspondiente a la relación complementaria:
9.600 10096_______
Porúltimo,decidimoslaoperaciónquecorrespondealarelación principal, laquecontienelapreguntadelproblema.SetratadeunarelaciónUVT (multiplicación-división)y,porlotanto,tenemostresopciones.Enestecaso,buscamoslaCantidadTotal(T):
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Conelúltimovalordeldatodeenlace,calculamoslaoperaciónprincipal.
Operación correspondiente a la relación principal:
80x 96
+ 7.2004.800
7.680
_______
_______
/ 99 /
4 Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica
> Escribir el resultado
Enestepunto,compararemoslosresultadosdeambosPlanesy,trascomprobarqueestoscoinciden,escribiremoslarespuestadelproblema.
Igualqueenlosejemplosanteriores,debemosescribirunarespuestaquedésentidoalapreguntadelproblema,esdecir,noescribiendoúnicamentelosdatosnuméricos.Enesteproblema,nospreguntaban,¿cuánto dinero me han costado las bicicletas?
Resultado:las bicicletas me han costado 7.680 €
> Valorar si la respuesta es lógica
Porúltimo,valoramoselresultadorespondiendoaunapreguntayaunaafirmación,quenospermitencomprobarsilarespuestaquehemosdadoescoherente.
¿Te parece que tiene sentido? Sí/No
Porquelasbicicletaslehancostadomás / MENOSdineroqueantesdehacerleeldescuento.
/ 100 /
4CONCLUSIÓN
/ 101 /
Todaestametodologíaestárecogidaenloscuadernos“Dominar los problemas matemáticos”, de Boira Editorial,queteinvitamosaconocerensupáginaweb.
Además,teanimamosaveralgunadelasbrevesconferenciasonline,enlasqueseenseñacadatipologíadeproblema,porseparado.Esunaopciónmuyútilyrecomendable,paraverlaconotrosdocentesdeciclooclaustroycomentarlo.Losencontrarásenlapáginaweb:https://boiraeditorial.com/recursos/recursos-dominar-los-problemas-matematicos/formacion-online
Siquieresseguirdescubriendomássobreloscuadernos“Dominarlosproblemasmatemáticos”,puedesbajarteunamuestragratuitaenPDF,ensupáginaweb:https://boiraeditorial.com/recursos/recursos-dominar-los-problemas-matematicos
O,siloprefieres,puedesempezaraobtenerresultadosincreíblescontualumnado,desdeestemismoinstante.¿Cómo?Solonecesitasaccederalapáginaweb(http://tienda.boiraonline.es/c210088-materiales-escolares.html)ypedirelmaterialparatuescuela.Asídesencillo.
Antesdefinalizar,terecordamosbrevementelosaspectos clave para dominarlosproblemasmatemáticos.Sitienesalgunaduda,teanimamosaconsultarelcapítulodedicadoacadaapartado.
/ 102/
PROBLEMAS ASPECTOS CLAVE1. Suma-resta Enestosproblemas,noscentraremosenenseñarque
la relación entre las cifras siempre es la misma: hay dos o más Partes (P) y un Total (T). Además,explicaremosquesinosdanelvalordelasPartesynospreguntanelTotal,nosencontramosconunproblema de SUMA.SisabemoselTotalyunadelasPartes,esunproblemadeRESTA.
2. Multiplicación- división
Enestosproblemas,haremoshincapiéenquetambiénexisteunarelacióndeducibleentrelascifras.Asímismo,expondremosquesiemprehayuna Cantidad Unitariaestable(U),queserepiteunnúmerodeVeces(V),yunaCantidad Total(T).Porotrolado,mostraremosalalumnadoquesisabemoslaCantidadUnitariaylasVeces,encontraremoslaCantidadTotalMULTIPLICANDO.Encambio,sisabemoslaCantidadTotalylaCantidadUnitariaolaCantidadTotalylasVeces,encontraremosloquenosfaltaDIVIDIENDO.
3. De dos operaciones
Enesteapartado,esmuyimportantequeexpliquemosal alumnado la diferencia entre un problema de una operaciónyunproblemadedosoperaciones.Laexplicaciónes sencilla: en un problema de una operación, siempre tendremoselvalordetodoslosdatospararesponderalapreguntadelproblema.Encambio,enlosproblemas de dos operaciones, nos faltaráelvalordeunodelosdatos,quedescubriremosmedianteunaoperaciónprevia.Aestedatolollamaremos“dato de enlace” yeselqueunelasdosrelaciones.Paraidentificarlo,debemosremarcarqueloseñalaremosconunasterisco(*).Unavezdescubiertosuvalor,podremoscalcularlaoperaciónquedarespuestaalapreguntadelproblema.Convienerecordaralalumnadoquelasrelacionessiempreserán PPT (suma-resta), enlasquehaydosomásPartes(P)yunTotal(T);oUVT (multiplicación-división),enlasquesiemprehayunaCantidadUnitaria(U),queserepiteunaseriedeVeces(V),yunaCantidadTotal(T).
PPT
T
UV
/ 103 /
PROBLEMAS ASPECTOS CLAVE4. Fracciones Enunproblemareferentealafraccióndeunnúmero,
mostraremosquesiemprehaydosmanerasdeformularlapreguntadelproblema.Laclavesebasaensaberquéopciónnosestánpreguntando,ysituarlosdatosparapoderrealizareldiagramaderesolución.1)2)
?______ de = ?______ de =
5. Sistema métrico decimal
Enunproblemadelsistemamétricodecimal,esmuyimportanteconocerlasrespectivasunidadesysusequivalencias.Porello,esimportanterepasarconnuestroalumnadotodaslasequivalencias:medidasdelongitud,capacidad,tiempoypeso.Así,podránsaberquédosunidadesserelacionanenelproblemayquéoperacioneshayentreellas.
6. Superficies y volúmenes
Enlosproblemasdeperímetros,superficiesyáreas,merecelapenarecordar,connuestroalumnado,losconceptosclave:Elperímetroeslasumadelaslongitudesdeunafigurageométricaplana.SecalculasumandotodaslasPartes(P).Eláreaeslamedidadelasuperficiequeocupaunafigura.Secalculateniendoencuentasusdosdimensiones.UserálamedidadeunadelasdimensionesyVserálaotradimensión,quecorrespondealnúmerodevecesqueserepite la primera.Mientrasqueelvolumeneslacantidaddeespacioqueocupauncuerpo.Y,porlotanto,localcularemosteniendoen cuenta sus tres dimensiones: U (será la medida de una delasdimensiones),V1(lasvecesqueserepiteU)yV2(lasvecesqueserepitelasuperficieUxV1).
/ 104 /
PROBLEMAS ASPECTOS CLAVE7. Varias
operaciones por dos caminos distintos
Enlosproblemasdevariasoperacionesporcaminosdistintos,esfundamentalrecalcarquedeberemosvertodaslasrelacionesdesdedosperspectivas:aquellasrelacionesquehablandeunmismo concepto(seránrelacionesPPT),yaquellasquehablandedos conceptos (serán relaciones UVT).Unaveztengamostodaslasrelaciones,ayudaremosanuestroalumnadoaidentificarcuálessonlasrelaciones principales, aquellasquecontienenlapreguntadelproblema.Unavezdetectadas,lesenseñaremoscómoelaborardosplanesderesolucióndiferentes(PlanAyPlanB)quenosconducirán,deformalógica,alarespuestadelproblema.CadaPlantendrásupropiodiagramaderesolución,enelquedeberemossituarunadelasdosrelacionesprincipalesysuscorrespondientesrelacionescomplementarias.
8. Porcentajes Aligualqueenelrestodeproblemasdemásdeunaoperación,enlosproblemasdeporcentajespodemoselaborarrelaciones,teniendoencuentalacantidadoriginal,ypodemoselaborarrelaciones,teniendoencuentalacantidadresultantedeaplicarelaumentoolarebajaalacantidadoriginal.
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(1) Leer para identificar los datos
(2) Ordenar los datos en un diagrama de resolución
(3) Decidir, a partir del diagrama, qué operación realizar y calcularla
(4) Escribir la respuesta y valorar si la respuesta es lógica
Siguiendoestoscuatropasos,ordenadamente,descubriremoslarelaciónexistenteentrelosdatosy,graciasaella,hallaremosdeformarazonadalasolucióndelproblema.Consecuentemente,esmuyimportanteenseñaraejecutarcorrectamentecadaunodeestospasos,anuestroalumnado,paraevitaratascoscognitivos.
Sinunmétodoclaroparaenseñararesolverlosproblemas,elalumnadocarecerádeherramientasparaenfrentarseaellosytenderáavivirlasmatemáticascomounáreaincomprensibleeinsuperable.Encambio,silesenseñamosaresolver,pasoapaso,lesayudaremosacrearunamentematemática,quelesacompañarátodasuvida.