Prìlogoc

To parìn sÔggramma apeujÔnetai se proptuqiakoÔc foithtèc TmhmĹtwn Polute-

qnikÿn Sqolÿn kai Teqnologikÿn Ekpaideutikÿn IdrumĹtwn sta opoÐa didĹskontai

eisagwgikĹ topografikĹ majămata. Epiplèon apeujÔnetai se epaggelmatÐec Mhqa-

nikoÔc ìlwn twn eidikotătwn pou epijumoÔn mia parousÐash twn arqÿn leitourgÐac

twn basikÿn topografikÿn orgĹnwn mètrhshc kai mejìdwn upologismoÔ, kajÿc kai

se epistămonec suggenÿn gnwstikÿn perioqÿn pou anazhtoÔn mia prÿth eisagwgă

sthn epistămh kai to antikeÐmeno thc TopografÐac.

Proerqìmenoc apì mia diaforetikă ereunhtikă perioqă, ìtan prin apì tèssera qrì-

nia anèlaba didaktikĹ kajăkonta sto PoluteqneÐo tou BerolÐnou me antikeÐmeno

thn TopografÐa, ărja antimètwpoc, katĹ th diadikasÐa proetoimasÐac tou didakti-

koÔ ulikoÔ twn sqetikÿn proptuqiakÿn majhmĹtwn, me kĹpoia basikĹ erwtămata.

Orismèna apì autĹ, pou apotèlesan kai shmeÐo ekkÐnhshc tou parìntoc biblÐou, ătan

ta exăc: Poia eÐnai h majhmatikă diatÔpwsh twn basikÿn topografikÿn problhmĹ-

twn; Poia h sqèsh twn topografikÿn orgĹnwn mètrhshc me to fusikì peribĹllon

twn metrăsewn kai poio rìlo paÐzoun basikĹ kataskeuastikĹ qarakthristikĹ twn

orgĹnwn sth sqèsh aută; Pÿc sundèontai oi topografikèc metrăseic pedÐou me to

telikì proðìn miac topografikăc ergasÐac, dhladă th sÔntaxh enìc topografikoÔ

qĹrth ă enìc topografikoÔ diagrĹmmatoc;

Prospajÿntac na diatupÿsw kĹpoiec apantăseic sta parapĹnw erwtămata kai èqo-

ntac wc odhgì to ulikì pou eÐqe sugkentrwjeÐ apì tic sqetikèc paradìseic sto

BerolÐno kai sth JessalonÐkh xekÐnhsa th suggrafă tou parìntoc. H filosofÐa

pou dièpei to grĹyimo twn kefalaÐwn kai ton trìpo parousÐashc eÐnai na dojeÐ èm-

fash stic arqèc leitourgÐac twn topografikÿn orgĹnwn mètrhshc kai sth sÔndesă

touc me to fusikì peribĹllon twn metrăsewn. Gia thn katanìhsh tou eÐdouc thc

plhroforÐac pou dÐnetai apì èna topografikì diĹgramma parousiĹzontai epÐshc kĹ-

poioi basikoÐ orismoÐ susthmĹtwn anaforĹc kai susthmĹtwn suntetagmènwn kajÿc

kai oi sqèseic metasqhmatismoÔ pou sundèoun diaforetikĹ sustămata sto epÐpedo.

Basikă ènnoia pou apoteleÐ to sundetikì krÐko metaxÔ twn epÐ mèrouc kefalaÐwn

eÐnai aută tou orizontÐou epipèdou. To orizìntio epÐpedo apoteleÐ to epÐpedo anafo-

rĹc gia ìlec tic metrăseic pou lambĹnontai apì ta epÐ mèrouc metrhtikĹ sustămata

sto pedÐo, enÿ tautìqrona eÐnai kai h epifĹneia sthn opoÐa anafèrontai ìloi oi

vi Prìlogoc

majhmatikoÐ upologismoÐ.

To biblÐo mporeÐ na qwristeÐ jematikĹ se treic enìthtec. Thn prÿth enìthta apo-

teloÔn ta prÿta tèssera kefĹlaia, sta opoÐa sugkentrÿnontai ìlec ekeÐnec oi je-

wrhtikèc ènnoiec kai oi orismoÐ pou dièpoun to sÔnolo twn praktikÿn topografikÿn

ergasiÿn. H parousÐash gÐnetai men sunoptikĹ, èqei ìmwc katablhjeÐ prospĹjeia

na gÐnei me ìso to dunatìn pio autìnomo trìpo. Sth deÔterh enìthta, sthn opoÐa

anăkoun to 5o kai to 6o kefĹlaio, parousiĹzontai ta kÔria ìrgana kai oi mèjodoi

mètrhshc twn basikÿn topografikÿn parathrăsewn, dhladă twn gwniÿn kai twn

apostĹsewn. Sto shmeÐo autì èqei dojeÐ idiaÐterh èmfash sthn arqă leitourgÐac

kai ta qarakthristikĹ enìc hlektromagnhtikoÔ orgĹnou mètrhshc apostĹsewn, pou

apoteleÐ plèon anapìspasto mèroc twn sÔgqronwn gewdaitikÿn stajmÿn. Tèloc,

sthn trÐth jematikă enìthta, pou apartÐzoun ta kefĹlaia 7 kai 8, dÐnontai oi basikèc

mèjodoi upologismoÔ thc jèshc qarakthristikÿn shmeÐwn tou edĹfouc sto epÐpedo

enìc topografikoÔ diagrĹmmatoc. O orizontiografikìc prosdiorismìc exetĹzetai

sto 7o kefĹlaio kai o prosdiorismìc uyomètrwn kai uyometrikÿn diaforÿn sto 8o

kefĹlaio. Apì ta trÐa parartămata pou paratÐjentai sto tèloc tou keimènou axÐ-

zei edÿ na anaferjeÐ to prÿto apì autĹ, sto opoÐo èqoun sugkentrwjeÐ ìlec oi

basikèc monĹdec mètrhshc me idiaÐtero endiafèron gia thn TopografÐa. To sugke-

krimèno parĹrthma mporeÐ na qrhsimopoihjeÐ autìnoma wc ènac qrăsimoc odhgìc

(pocket guide) gia tupikoÔc arijmhtikoÔc upologismoÔc, ìpwc p.q. gia thn allagă

tou sustămatoc monĹdwn mètrhshc miac gwnÐac.

Sto shmeÐo autì mou dÐnetai h eukairÐa na ekfrĹsw tic jermèc mou euqaristÐec se

ìlouc ìsouc sunèbalan me èmmeso ă Ĺmeso trìpo sthn oloklărwsh autoÔ tou biblÐ-

ou. Sthn prÿth kathgorÐa anăkoun sÐgoura ìloi oi prÿhn kajhghtèc mou kai nun

sunĹdelfoi sto Tmăma Agronìmwn kai TopogrĹfwn Mhqanikÿn tou AristoteleÐou

PanepisthmÐou JessalonÐkhc. Oi empneusmènec dialèxeic touc kai o enjousiasmìc

touc katĹ th diĹrkeia twn proptuqiakÿn mou spoudÿn mou dhmioÔrghsan gia prÿth

forĹ thn idèa miac akadhmaðkăc karièrac. KatĹ th diĹrkeia thc metèpeita ergasÐac

mou sto Mìnaqo kai sto BerolÐno thc GermanÐac eÐqa epÐshc thn tÔqh na sunerga-

stÿ me Ĺristouc sunadèlfouc kajhghtèc kai episthmonikoÔc sunergĹtec. IdiaÐterec

euqaristÐec anăkoun ston prÿhn sunĹdelfo sto PoluteqneÐo tou BerolÐnou Dr.

Svetozar Petrovic gia tic apolaustikèc kai sunăjwc ateleÐwtec suzhtăseic mac gÔ-

rw apì diĹfora gewdaitikĹ zhtămata. Pèra ìmwc apì ìlouc touc parapĹnw stic

selÐdec autoÔ tou biblÐou katagrĹfontai tìso stì keÐmeno ìso kai se arketĹ apì ta

sqămata pollèc eÔstoqec parathrăseic foithtÿn apì to BerolÐno kai th Jessalo-

nÐkh, pou proèkuyan kurÐwc katĹ thn pragmatopoÐhsh twn antÐstoiqwn ergasthrÐwn

Prìlogoc vii

kai thn prÿth touc epafă me ta topografikĹ ìrgana metrăsewn.

To aÐnigma thc qrăshc ellhnikÿn qaraktărwn apì to sÔsthma tupografÐac LATEX,

me to opoÐo grĹfthke autì to biblÐo, mou èlusan me ton plèon didaktikì trìpo oi

kÔrioi BasÐleioc AndritsĹnoc, Dhmătrioc Arampèloc kai Apìstoloc Surìpouloc.

Gia thn upomonă touc katĹ thn exăghsh diĹforwn teqnikÿn zhthmĹtwn me tètoion

trìpo, ÿste akìma kai egÿ wc mh eidikìc na mporÿ na katalĹbw, touc euqaristÿ

polÔ. H kurÐa IoulÐa KarrÐnth diĹbase to keÐmeno kai prìteine arketèc suntaktikèc

kai glwssikèc diorjÿseic. Thc axÐzoun idiaÐterec euqaristÐec, tonÐzontac ìti oi

ìpoiec asĹfeiec èqoun apomeÐnei barÔnoun apokleistikĹ kai mìnon to suggrafèa.

Ja ăjela tèloc na euqaristăsw jermĹ ton kÔrio ’Arh SÔrmo kai tic Ekdìseic Zăth

gia th boăjeia pou mou prosèferan sto telikì stĹdio thc proetoimasÐac tou biblÐou,

kajÿc kai gia thn èmprakth sumbolă touc sth beltÐwsh thc poiìthtac orismènwn

sqhmĹtwn.

JessalonÐkh, AÔgoustoc 2005 Dhmătrioc TsoÔlhc

Contents

1 Introduction 1

2 Basic definitions of reference frames and coordinate systems 11

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Local coordinate systems and fundamental transformations on the

plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Projection on the map plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Basic definitions of the gravity field 43

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Potential, gravity and acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Equipotential surfaces and geoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Global coordinate systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5 Gravity field approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.1 The ellipsoidal approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5.2 The spherical approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5.3 The planar approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 Definition of height and height difference 81

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2 Definition of the different height systems . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Instruments and methods for angle measurements 99

386 Introduction to Surveying

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2 Optical Prisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3 Theodolite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3.1 Connection of the Theodolite with the field of measurements 123

5.3.2 Levelling and centering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.3.3 Measurement of horizontal and vertical angles . . . . . . . . 133

6 Instruments and measurement methods of distances 137

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.2 Measuring tape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.3 Basis of known length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.4 The electromagnetic method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.4.1 Carrier and measuring signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.4.2 Pulse method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.4.3 Phase comparison method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.4.4 Range and accuracy of EDMs . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.4.5 Internal error sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.4.6 External error sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.5 Calibration of distance measurement instruments . . . . . . . . . . 188

6.5.1 Measuring tape calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.5.2 EDM calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7 Methods of computing the horizontal position of field points 205

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.2 The cartesian coordinates method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.3 The polar coordinates method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.3.1 Polygonal traverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.3.2 The intersection problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

7.3.3 The three-point resection problem . . . . . . . . . . . . . . . 236

Contents 387

7.3.4 The remote base problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

7.3.5 Line intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7.3.6 Circle center computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.3.7 Eccentric station . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7.4 Indirect computation of inclined distances . . . . . . . . . . . . . . 254

8 Instruments and methods for the computation of heights and

height differences 257

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

8.2 Geometric levelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

8.2.1 Line of sight error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

8.2.2 Accuracy of geometric levelling . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8.3 Trigonometric levelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

8.3.1 Effect of the gravity field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

8.3.2 Effect of the atmospheric refraction . . . . . . . . . . . . . . 311

8.3.3 Computation of the refraction coefficient from the mutual

and simultaneous observation of zenith angles . . . . . . . . 318

8.4 Barometric levelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

8.5 Gravimetric levelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

8.6 Algorithm for the computation of heights and height differences . . 337

Appendix A: Measurement units 343

Appendix B: Basic definitions in adjustment theory 355

Appendix C: Similarity transform on the plane 363

Literature 375

Index 377

KefĹlaio 1

Eisagwgă

Parìlo pou h prÿth istorikă anaforĹ sth GewdaisÐa wc anexĹrththc episthmonikăc

perioqăc gÐnetai apì ton Aristotèlh sta MetafusikĹ ton 5o aiÿna p.Q., h sÔgqronh

antÐlhyh gia thn epistămh thc GewdaisÐac akoloujeÐ ton orismì pou thc èdwse o

germanìc gewdaÐthc Friedrich Robert Helmert (1843-1917) to 1880 sth monogra-

fÐa tou “Die mathematischen und physikalischen Theorien der Hoheren Geodasie”.

Sthn prÿth parĹgrafo tou istorikoÔ autoÔ èrgou anafèretai wc GewdaisÐa “. . . h

epistămh thc mètrhshc kai apeikìnishc thc găinhc epifĹneiac”, orismìc pou stic

mèrec mac ja prèpei gia lìgouc plhrìthtac na epektajeÐ me thn prosjăkh “. . . kai

twn qronikÿn metabolÿn thc”. O sÔntomoc kai periektikìc autìc orismìc perilam-

bĹnei to sÔnolo twn jewrhtikÿn kai praktikÿn asqoliÿn tou sÔgqronou gewdaÐth,

tou sÔgqronou Agronìmou kai TopogrĹfou MhqanikoÔ. EÐte prìkeitai gia thn

anĹlush doruforikÿn eikìnwn me mejìdouc Thlepiskìphshc, eÐte gia th sullogă

twn aparaÐthtwn metrăsewn pedÐou kai to metèpeita sqediasmì enìc topografikoÔ

diagrĹmmatoc sta plaÐsia miac tupikăc topografikăc apotÔpwshc, o orismìc tou

Helmert apodeiknÔetai tìso petuqhmènoc ìso kai diaqronikìc. H epistămh thc Ge-

wdaisÐac, ìpwc aută orÐzetai apì ton Helmert, kalÔptei ìlec tic dunatèc klÐmakec

apeikìnishc perioqÿn thc ghc kai fainomènwn pou lambĹnoun qÿra sthn epifĹneiĹ

thc. EĹn periorÐsoume th sunolikă èktash thc perioqăc melèthc tìso, ÿste gia

thn anaparĹstash tou kampulìmorfou sqămatoc thc găinhc epifĹneiac na mporeÐ

na qrhsimopoihjeÐ èna epÐpedo, katalăgoume se mÐa exeidikeumènh gnwstikă perioqă

thc GewdaisÐac, thn TopografÐa. ’Enac genikĹ apodektìc orismìc thc epistămhc

thc TopografÐac dÐnetai apì to Dhmătrio BlĹqo (1987) wc exăc: H TopografÐa

eÐnai h epistămh pou didĹskei tic mejìdouc me th boăjeia twn opoÐwn apeikonÐzetai

upì klÐmaka h epifĹneia tou edĹfouc epĹnw se èna epÐpedo. O diaqwrismìc eÐnai sa-

făc. Enÿ ston orismì tou Helmert sumperilambĹnontai fainìmena kai parathrăseic

2 Eisagwgă

pou perigrĹfoun th gh sto sÔnolì thc, h epistămh thc TopografÐac periorÐzetai

se polÔ mikrìterec ektĹseic, afoÔ to telikì proðìn miac topografikăc melèthc -

to topografikì diĹgramma ă o topografikìc qĹrthc - apoteleÐ mia apeikìnish tou

upì melèth kommatioÔ thc găinhc epifĹneiac sto epÐpedo tou qĹrth me morfă sqe-

dÐou upì klÐmaka. H TopografÐa periorÐzetai loipìn se melètec mikrăc èktashc,

ìpou h ènnoia tou epipèdou eÐnai kurÐarqh allĹ kai epitreptă. H poluplokìthta

thc pragmatikăc topografikăc epifĹneiac kai o qaraktărac twn orgĹnwn kai twn

mejìdwn mètrhshc pou qrhsimopoioÔntai gia tic topografikèc efarmogèc eÐnai tè-

toia, pou den epitrèpoun th genÐkeush thc qrăshc tou epipèdou parĹ mìnon kĹtw

apì kĹpoiec proôpojèseic, pou upeisèrqontai mĹlista kai sto montèlo paratărhshc

wc anagkaÐec paradoqèc kai proseggÐseic pou ja analÔsoume me leptomèreia sta

epìmena kefĹlaia.

To basikì majhmatikì antikeÐmeno thc TopografÐac eÐnai o prosdiorismìc qara-

kthristikÿn shmeÐwn tou qÿrou me th morfă suntetagmènwn se kĹpoio topikì sÔ-

sthma anaforĹc. H gnÿsh autÿn twn suntetagmènwn epitrèpei sth sunèqeia thn

apeikìnish twn shmeÐwn sto orizìntio epÐpedo tou topografikoÔ diagrĹmmatoc pe-

rigrĹfontac me autìn ton trìpo kataskeuèc, ktÐsmata, ìria idiokthsiÿn kai genikĹ

to sÔnolo twn anjrÿpinwn parembĹsewn sthn perioqă pou èqei apotupwjeÐ. O

zhtoÔmenoc prosdiorismìc èqei apì majhmatikă Ĺpoyh kajarĹ gewmetrikĹ qarakth-

ristikĹ kai ja mporoÔse na antimetwpisteÐ plărwc me ta upologistikĹ ergaleÐa thc

klasikăc analutikăc gewmetrÐac. Wstìso, kajÿc pragmatopoieÐtai mèsa sto fu-

sikì peribĹllon twn metrăsewn me th boăjeia kĹpoiou topografikoÔ metrhtikoÔ

sustămatoc, adunateÐ na parèqei èna monosămanto apotèlesma. Autì shmaÐnei ìti

ta qarakthristikĹ tou peribĹllontoc twn metrăsewn, ìpwc h epÐdrash thc diĹjla-

shc thc atmìsfairac kai h qronikă metabolă thc katĹ th diĹrkeia thc hmèrac, h

diaforĹ sth dieÔjunsh thc katakorÔfou anĹmesa se dÔo opoiadăpote shmeÐa tou

qÿrou, oi metaballìmenec atmosfairikèc sunjăkec katĹ th diĹrkeia thc hmèrac pou

epidroÔn se diĹforec metroÔmenec paramètrouc, ephreĹzoun thn akrÐbeia tou pros-

diorismoÔ thc jèshc twn epilegmènwn shmeÐwn tou pedÐou. KurÐwc ìmwc h akrÐbeia

tou prosdiorismoÔ twn en lìgw shmeÐwn eÐnai Ĺmesa exarthmènh apì thn kataskeua-

stikă teleiìthta twn topografikÿn orgĹnwn mètrhshc pou qrhsimopoioÔntai ă pou

eÐnai diajèsima gia to skopì autì.

Ac exetĹsoume gia parĹdeigma, to jemeliÿdec prìblhma tou upologismoÔ thc apì-

stashc metaxÔ dÔo shmeÐwn A kai B pou anăkoun se èna prokajorismèno epÐpedo.

Gia th majhmatikă epÐlush tou problămatoc eÐnai aparaÐthtoc o orismìc kĹpoiou

koinoÔ sustămatoc suntetagmènwn sto Ðdio epÐpedo kai o prosdiorismìc twn sunte-

Eisagwgă 3

.

.

A

Bs

AB

Sqăma 1.1: Gewmetrikă perigrafă tou problămatoc upologismoÔ thc apìstashcmetaxÔ dÔo shmeÐwn A kai B pou anăkoun se èna prokajorismèno epÐpedo

tagmènwn (xA, yA) kai (xB, yB) twn dÔo shmeÐwn A kai B antÐstoiqa wc proc autì

to sÔsthma. GnwrÐzontac thn arijmhtikă timă twn suntetagmènwn o upologismìc

thc zhtoÔmenhc apìstashc apoteleÐ mÐa aplă Ĺskhsh thc eukleÐdeiac gewmetrÐac me

to monosămanto apotèlesma sAB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2. Wstìso, autìc o

upologismìc mporeÐ na qarakthristeÐ wc monosămantoc me th basikă proôpìjesh

ìti oi timèc xA, xB, yA kai yB apoteloÔn katĹ apìluto trìpo gnwstèc arijmhti-

kèc timèc, den eÐnai me Ĺlla lìgia ephreasmènec apì kanenìc eÐdouc abebaiìthtec

ă sfĹlmata. Sta plaÐsia afhrhmènwn problhmĹtwn thc analutikăc gewmetrÐac mÐa

tètoia paradoqă eÐnai epitreptă. OrÐzetai èna trÐto shmeÐo sto en lìgw epÐpedo wc h

afethrÐa tou koinoÔ sustămatoc suntetagmènwn kai dÔo kĹjetoi metaxÔ touc Ĺxonec

pou tèmnontai sthn afethrÐa. H afethrÐa tou sustămatoc apoktĹ ex orismoÔ tic

suntetagmènec (0, 0), enÿ oi suntetagmènec xA, xB, yA kai yB prokÔptoun metrÿ-

ntac thn apìstash twn dÔo shmeÐwn A kai B apì touc antÐstoiqouc Ĺxonec. Kajÿc

h apìstash enìc shmeÐou apì eujeÐa orÐzetai sthn analutikă gewmetrÐa wc to mètro

tou kĹjetou eujÔgrammou tmămatoc apì to shmeÐo proc thn eujeÐa, mia isodÔnamh

èkfrash gia tic parapĹnw suntetagmènec prokÔptei wc to mètro thc parĹllhlhc

metatìpishc twn axìnwn apì thn afethrÐa tou sustămatoc mèqri ta shmeÐa A kai B.

Gia ton trìpo orismoÔ twn susthmĹtwn anaforĹc kai twn susthmĹtwn suntetag-

mènwn ja anaferjoÔme analutikĹ sto epìmeno kefĹlaio. EÐnai ìmwc profanèc ìti

sth diamìrfwsh twn telikÿn arijmhtikÿn timÿn twn suntetagmènwn shmantikì rì-

lo paÐzei o trìpoc orismoÔ twn axìnwn kajÿc kai o trìpoc upodiaÐresăc touc sta

stoiqeiÿdh tmămata Ðsou măkouc, ta opoÐa apoteloÔn kai th bĹsh gia ton praktikì

upologismì twn xA, xB, yA kai yB. EĹn gia parĹdeigma exetĹsoume to sugkekrimèno

prìblhma sto epÐpedo tou qartioÔ, tìte ta stoiqeiÿdh tmămata pou mìlic anafèr-

jhkan tautÐzontai me tic mikrìterec upodiairèseic tou qĹraka pou qrhsimopoioÔme

gia th mètrhsh thc apìstashc twn shmeÐwn apì touc antÐstoiqouc Ĺxonec. EĹn

4 Eisagwgă

A

A

A

B

B(0,0) x x

y

y

y

x

B

Sqăma 1.2: O upologismìc thc orizìntiac apìstashc apaiteÐ ton orismì suntetag-mènwn gia ta dÔo sunepÐpeda shmeÐa

upojèsoume ìti (1) h kajetìthta twn axìnwn twn suntetagmènwn èqei epiteuqjeÐ

me apìluto trìpo, (2) ta tmămata pou perigrĹfoun thn apìstash twn shmeÐwn A

kai B apì touc Ĺxonec eÐnai apìluta kĹjeta se autoÔc, (3) h mètrhsh me to qĹraka

tou măkouc twn tmhmĹtwn de sunodeÔetai apì kamÐa phgă sfĹlmatoc (p.q. sfĹlma

anĹgnwshc thc alhjoÔc timăc upodiaÐreshc tou qĹraka ă adunamÐa taÔtishc thc

sugkekrimènhc upodiaÐreshc me to antÐstoiqo shmeÐo sto qartÐ) kai (4) o qĹrakac

pou qrhsimopoioÔme de fèrei kĹpoio susthmatikì sfĹlma, ìpwc sfĹlma upodiaÐre-

shc ă sfĹlma klÐmakac, tìte mporoÔme na poÔme ìti o upologismìc thc apìstashc

sAB me to majhmatikì tÔpo pou anafèrjhke parapĹnw eÐnai kai monosămantoc kai

apallagmènoc apì sfĹlmata tìso tou montèlou perigrafăc tou problămatoc ìso

kai tou metrhtikoÔ sustămatoc (qĹrakac) pou qrhsimopoiăjhke gia th diexagwgă

twn metrăsewn.

EĹn ìmwc to prohgoÔmeno jewrhtikì prìblhma èqei monosămanth lÔsh mìno kĹtw

apì sugkekrimènec proôpojèseic ta prĹgmata gÐnontai akìmh pio polÔploka tìso

Eisagwgă 5

apì pleurĹc montèlou ìso kai apì pleurĹc apaităsewn gia akrÐbeia twn qrhsi-

mopoioÔmenwn metrhtikÿn susthmĹtwn, ìtan anaferìmaste ston prosdiorismì thc

jèshc qarakthristikÿn shmeÐwn tou qÿrou katĹ th diexagwgă tupikÿn topografi-

kÿn ergasiÿn. Se autăn thn perÐptwsh oi suntetagmènec enìc shmeÐou den eÐnai potè

posìthtec gnwstèc katĹ mÐa apìluth ènnoia, allĹ eÐnai to apotèlesma thc epexer-

gasÐac kĹpoiwn prwtogenÿn dedomènwn pou èqoun sulleqjeÐ sto pedÐo me kĹpoio

apì ta diajèsima topografikĹ ìrgana metrăsewn. AnĹloga me thn orjìthta twn ge-

wmetrikÿn sqèsewn kai twn qarakthristikÿn twn mhqanikÿn merÿn pou sunjètoun

to eswterikì twn topografikÿn orgĹnwn pou ja qrhsimopoihjoÔn gia tic anagkaÐec

metrăseic pedÐou kai anĹloga me to katĹ pìso ta qarakthristikĹ autĹ paramènoun

stajerĹ me to pèrasma tou qrìnou ă tic metaballìmenec periballontikèc sunjăkec

emfanÐzontai sugkekrimèna sfĹlmata stic metrăseic. ’Etsi parathreÐtai to gegonìc

oi arijmhtikèc timèc tou Ðdiou gewmetrikoÔ megèjouc sto pedÐo me to Ðdio metrhtikì

sÔsthma na diafèroun metaxÔ touc ìtan h mètrhsh èqei epanalhfjeÐ se dÔo diafore-

tikèc qronikèc stigmèc. Sthn ousÐa h alhjină timă opoioudăpote gewmetrikoÔ ă fu-

sikoÔ megèjouc pou parathreÐtai sta plaÐsia miac topografikăc efarmogăc apoteleÐ

pĹntote mÐa Ĺgnwsth parĹmetro. To gegonìc autì mĹlista den allĹzei akìma kai

me thn epanalambanìmenh mètrhsh tou Ðdiou megèjouc me to Ðdio metrhtikì sÔsthma.

Autì pou epiqeiroÔme kĹje forĹ eÐnai, ekmetalleuìmenoi thn teqnologikă exèlixh

pou mac prosfèrei gia ìlo to fĹsma twn efarmosmènwn episthmÿn kataskeuastikĹ

ìlo kai teleiìtera basikĹ ìrgana mètrhshc kai bohjhtikèc metrhtikèc diatĹxeic, na

metrăsoume èna sugkekrimèno gewmetrikì (ă fusikì se orismènec periptÿseic) mège-

joc ston trisdiĹstato qÿro me ìlo kai megalÔterh akrÐbeia. H diaforĹ metaxÔ tou

jewrhtikĹ agnÿstou parathroÔmenou megèjouc kai mÐac memonwmènhc paratărhshc

ekfrĹzei to sfĹlma thc mètrhshc, gia to opoÐo eidikĹ sthn TopografÐa diakrÐnoume

sunolikĹ treic sunistÿsec, to susthmatikì, to tuqaÐo kai to qondroeidèc sfĹlma.

H jewrÐa sfalmĹtwn kai anĹlushc twn dedomènwn, pou apoteleÐ mÐa Ĺllh basikă

sunistÿsa thc ekpaÐdeushc tou TopogrĹfou MhqanikoÔ, analÔei se leptomèreia

tic ènnoiec autèc kai tic sundèei sthn perÐptwsh thc TopografÐac me tic praktikèc

topografikèc metrăseic (dieujÔnseic, gwnÐec kai apostĹseic) pou sullègontai apì

ta antÐstoiqa ìrgana metrăsewn sto pedÐo.

Pèra ìmwc apì ton kataskeuastikì parĹgonta pou upeisèrqetai sthn poiìthta twn

topografikÿn metrăsewn (mÐa ènnoia pou sunduĹzei thn akrÐbeia kai thn axiopistÐa),

exÐsou shmantikìc eÐnai kai o orismìc tou majhmatikoÔ montèlou pou perigrĹfei to

sugkekrimèno prìblhma ìtan anaferìmaste se pragmatikèc topografikèc efarmo-

gèc. Pìso orjă eÐnai h majhmatikă perigrafă tou montèlou kai pìso realistikĹ

perigrĹfei to zhtoÔmeno prìblhma sto plaÐsio tou fusikoÔ peribĹllontoc twn me-

6 Eisagwgă

.

.

A

B

sAB

Sqăma 1.3: To prìblhma tou prosdiorismoÔ thc keklimènhc apìstashc sAB metaxÔdÔo shmeÐwn A kai B sto qÿro

trăsewn; Qarakthristikă eÐnai kai pĹli h perÐptwsh tou upologismoÔ thc apìstashc

pou orÐzoun dÔo shmeÐa A kai B ìtan autĹ anafèrontai ston pragmatikì trisdiĹ-

stato qÿro. Se antÐjesh me thn teleutaÐa perÐptwsh ìpou to epÐpedo sto opoÐo

orÐzontai ta dÔo shmeÐa tautÐzetai me to epÐpedo upologismoÔ ìlwn twn sqetikÿn

gewmetrikÿn posotătwn (epÐpedo tou qartioÔ) sto nèo prìblhma apaiteÐtai prose-

ktikìc orismìc enìc epipèdou anaforĹc epĹnw sto opoÐo ja efarmostoÔn oi basikèc

arqèc thc epÐpedhc analutikăc gewmetrÐac pou anafèrjhkan parapĹnw. O lìgoc

eÐnai ìti h eujeÐa AB tèmnetai sto qÿro me ènan Ĺpeiro arijmì diaforetikÿn epi-

pèdwn. JewrhtikĹ kĹje èna apì autĹ ta epÐpeda ja mporoÔse na qrhsimopoihjeÐ

wc to epÐpedo upologismoÔ thc apìstashc sAB me ton trìpo pou perigrĹyame pro-

hgoumènwc. Kajÿc o upologismìc thc sugkekrimènhc apìstashc entĹssetai sthn

topografikă apotÔpwsh miac eurÔterhc perioqăc, eisĹgetai h ènnoia tou orizontÐou

epipèdou. Prìkeitai gia mÐa gewmetrikă posìthta me xeqwristă fusikă ermhneÐa,

pou perigrĹfei me eniaÐo trìpo thn perioqă melèthc kai ja exetasteÐ analutikĹ sth

sunèqeia.

’Etsi, to zhtoÔmeno tou upologismoÔ thc orizìntiac apìstashc metaxÔ dÔo shmeÐwn

A kai B sto qÿro anĹgetai se èna prìblhma pou apaiteÐ dÔo xeqwristĹ bămata.

Sto prÿto băma pragmatopoieÐtai h mètrhsh thc keklimènhc apìstashc pou orÐzoun

ta dÔo fusikĹ shmeÐa A kai B sto qÿro qrhsimopoiÿntac kĹpoio apì ta diajèsima

gia to skopì autì ìrgana mètrhshc apostĹsewn, enÿ sto deÔtero băma pragma-

topoieÐtai h anagwgă thc keklimènhc apìstashc sto orizìntio epÐpedo. Se kĹpoiec

efarmogèc, ìpwc gia parĹdeigma ston upologismì uyometrikÿn diaforÿn mèsw miac

Eisagwgă 7

trigwnometrikăc qwrostĹjmhshc, zhtoÔmeno eÐnai to mètro thc keklimènhc apìsta-

shc sAB. Se kĹje perÐptwsh ìmwc apaitoÔntai kĹpoia diakritĹ bămata sto pedÐo pou

epitrèpoun thn praktikă mètrhsh thc apìstashc metaxÔ dÔo shmeÐwn. ArqikĹ apai-

teÐtai h ulopoÐhsh twn shmeÐwn me kĹpoion eudiĹkrito trìpo epĹnw sthn topogra-

fikă epifĹneia. Gia to skopì autì qrhsimopoioÔntai diĹfora bohjhtikĹ exartămata

ìpwc karfiĹ ă pĹssaloi, pou epitrèpoun, anĹloga me thn efarmogă, mÐa proswrină

ă pio makroprìjesmh sămansh tou shmeÐou sto pedÐo. To eujÔgrammo tmăma pou

nohtĹ sundèei ta dÔo shmeÐa (korufă twn karfiÿn ă passĹlwn pou èqoun paktwjeÐ

katĹllhla sto èdafoc) mac dÐnei thn keklimènh touc apìstash stic treic diastĹ-

seic. Me thn emplokă miac seirĹc metrhtikÿn orgĹnwn kai bohjhtikÿn kataskeuÿn

pou ja perigrĹyoume sth sunèqeia, prospajoÔme na upologÐsoume thn kalÔterh

dunată ektÐmhsh gia to mètro thc keklimènhc autăc apìstashc kajÿc kai thc pro-

bolăc thc sto orizìntio epÐpedo pou èqei oristeÐ eniaÐa gia thn perioqă. H akrÐbeia

twn topografikÿn orgĹnwn, h pistìthta tou majhmatikoÔ montèlou kai to gegonìc

ìti ìlec oi metrăseic pragmatopoioÔntai sto idiaÐtera polÔploko peribĹllon twn

katÿterwn strwmĹtwn thc atmìsfairac dÐnoun èna mètro thc poluplokìthtac tou

aploÔ autoÔ egqeirămatoc enìc praktikoÔ upologismoÔ thc apìstashc metaxÔ dÔo

shmeÐwn sto qÿro. EĹn sto shmeÐo autì sunupologÐsoume to gegonìc ìti upĹr-

qei genikĹ mia apaÐthsh twn apodektÿn miac topografikăc ergasÐac gia auxhmènh

akrÐbeia kai axiopistÐa tou telikoÔ proðìntoc, tìte katadeiknÔetai me ton kalÔtero

trìpo h idiaÐtera auxhmènh apaÐthsh thc TopografÐac gia akrÐbeia se ìla ta epÐpe-

da: (a) sth majhmatikă diatÔpwsh tou montèlou paratărhshc, (b) sth sullogă twn

dedomènwn apì ta topografikĹ ìrgana mètrhshc, (g) sth diadikasÐa anĹlushc kai

epexergasÐac twn metrăsewn pedÐou gia ton upologismì twn zhtoÔmenwn parĹgwgwn

gewmetrikÿn posotătwn kai tèloc (d) ston upologismì thc akrÐbeiac twn telikÿn

apotelesmĹtwn.

EĹn kĹpoioc epijumoÔse na perigrĹyei to rìlo thc TopografÐac, allĹ kai thc Ge-

wdaisÐac genikìtera, ja mporoÔse na pei ìti prìkeitai gia ekeÐnec tic epistămec pou

epiqeiroÔn na ulopoiăsoun sthn prĹxh afhrhmènec majhmatikèc kai fusikèc ènnoiec,

ìpwc autèc twn suntetagmènwn, twn susthmĹtwn anaforĹc kai twn susthmĹtwn

suntetagmènwn ă tou uyomètrou kai twn uyometrikÿn diaforÿn. Gia parĹdeigma,

epistămec ìpwc h Fusikă ă ta MajhmatikĹ qrhsimopoioÔn gia tic dikèc touc efar-

mogèc katĹ kìron gewdaitikèc ènnoiec, ìpwc to Ôyoc, th gewdaisiakă grammă ă to

qĹrth, qwrÐc sunăjwc na anafèrontai stic sugkekrimènec mejìdouc ulopoÐhshc ă

mètrhshc autÿn twn megejÿn. Apì ta ìsa anafèrjhkan parapĹnw mporeÐ kaneÐc

na fantasteÐ tic idiaÐterec apaităseic kai ton idiaÐtero qaraktăra thc TopografÐac

se sqèsh me Ĺllec epistămec, ă to giatÐ èqei apoktăsei ton epijetikì prosdiorismì

8 Eisagwgă

thc epistămhc twn pollÿn dekadikÿn. Akribÿc lìgw thc fÔshc tou antikeimènou

thc h TopografÐa den mporeÐ na isquristeÐ thn apìluth orjìthta twn apotelesmĹ-

twn thc, pĹnta apì mÐa austhră majhmatikă skopiĹ. MporeÐ ìmwc na isquristeÐ

ìti, me bĹsh to majhmatikì montèlo pou uiojetăjhke kai kĹtw apì tic dedomènec

exwterikèc sunjăkec pou epikratoÔsan katĹ th qronikă stigmă twn metrăsewn, oi a-

rijmhtikèc timèc twn telikÿn apotelesmĹtwn brÐskontai mèsa sta ìria akrÐbeiac kai

axiopistÐac pou kajorÐzontai apì ta antÐstoiqa statistikĹ ergaleÐa twn mejìdwn

anĹlushc twn dedomènwn kai sunìrjwshc twn parathrăsewn pou èqoun sulleqjeÐ

sto pedÐo. ’Etsi, enÿ den filodoxoÔn na parĹgoun apotelèsmata pou na eÐnai a-

pallagmèna apì kĹje Ðqnoc sfĹlmatoc ă abebaiìthtac, oi teqnikèc mètrhshc kai oi

mèjodoi upologismoÔ thc TopografÐac eÐnai se jèsh na mac parèqoun thn kalÔterh

dunată ektÐmhsh gia to mètro sugkekrimènwn gewmetrikÿn megejÿn pou perigrĹfoun

th sqetikă jèsh qarakthristikÿn shmeÐwn epĹnw sthn epifĹneia thc ghc kajÿc kai

na ekfrĹsoun posotikĹ thn akrÐbeia thc telikăc apìdoshc autăc thc plhroforÐac

epĹnw sto epÐpedo tou topografikoÔ diagrĹmmatoc. H ektÐmhsh thc akrÐbeiac twn

telikÿn apotelesmĹtwn proèrqetai apì thn efarmogă analutikÿn statistikÿn ka-

nìnwn kai antikatoptrÐzei afenìc tic metrhtikèc ikanìthtec ă isodÔnama ta epÐpeda

akrÐbeiac twn topografikÿn orgĹnwn mètrhshc pou qrhsimopoiăjhkan gia tic me-

trăseic pedÐou, afetèrou de thn poiìthta twn metrăsewn kai thn empeirÐa thc omĹdac

pou tic pragmatopoÐhse.

O skopìc twn arqÿn kai mejìdwn pou perigrĹfontai sta epìmena kefĹlaia eÐnai

prwtÐstwc na analujoÔn oi arqèc leitourgÐac twn orgĹnwn mètrhshc kai oi mèjo-

doi prosdiorismoÔ thc jèshc shmeÐwn thc găinhc epifĹneiac epĹnw sto epÐpedo enìc

topografikoÔ diagrĹmmatoc. Wstìso, to telikì proðìn autăc thc diadikasÐac, pou

eÐnai ènac katĹlogoc suntetagmènwn qarakthristikÿn shmeÐwn tou edĹfouc wc proc

kĹpoio katĹllhla orismèno topikì ă uperkeÐmeno sÔsthma suntetagmènwn, prèpei

na exetĹzetai sto plaÐsio thc mellontikăc axiopoÐhshc autăc thc plhroforÐac apì

mÐa eurÔterh omĹda qrhstÿn. Kajÿc ta shmeÐa tou qÿrou pou prosdiorÐzontai

mèsa apì mÐa klasikă topografikă apotÔpwsh perigrĹfoun thn katĹstash enìc

ktÐsmatoc ă miac kataskeuăc th dedomènh qronikă stigmă, ja prèpei, sta plaÐsia e-

nìc swstĹ organwmènou topografikoÔ sqediasmoÔ, tìso oi topografikèc metrăseic

ìso kai oi antÐstoiqoi upologismoÐ na apojhkeÔontai katĹllhla se èna Gewgrafikì

SÔsthma Plhroforiÿn kai na eÐnai prosbĹsima gia mellontikèc efarmogèc. Se

autăn thn katĹllhla diamorfwmènh hlektronikă bĹsh dedomènwn ja prèpei na ka-

taqwroÔntai ìla ekeÐna ta stoiqeÐa, pou ja epitrèpoun thn parakoloÔjhsh kai thn

tekmhrÐwsh twn opoiwndăpote metabolÿn thc fusikăc epifĹneiac thc ghc, eÐte lìgw

fusikÿn fainomènwn (seismoÐ, plhmmÔrec, fusikèc katastrofèc), eÐte exaitÐac thc

Eisagwgă 9

anĹgkhc efarmogăc diafìrwn dikastikÿn apofĹsewn (allagă orÐwn idiokthsiÿn,

prĹxeic efarmogăc k.lp.). AxÐzei edÿ na shmeiwjeÐ ìti, enÿ h ènnoia tou gewgra-

fikoÔ sustămatoc plhroforiÿn prèpei na apoteleÐ èna anapìspasto tmăma enìc

swstĹ organwmènou EjnikoÔ KthmatologÐou, h efarmogă hlektronikÿn bĹsewn de-

domènwn gia thn katagrafă metrăsewn kai upologismÿn se diaforetikèc qronikèc

periìdouc apoteleÐ basikă arqă ulopoÐhshc miac megĹlhc kathgorÐac efarmogÿn me

uyhlèc apaităseic se akrÐbeia ìpwc biomhqanikèc efarmogèc, dianoÐxeic shrĹggwn

kai toÔnel, parakoloÔjhsh paramorfÿsewn teqnikÿn èrgwn k.lp.