principios de la hidráulica 2

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Principios de la Hidráulica 2

Book · May 2020

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Washington Ramiro Sandoval Erazo

Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE

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Principios de la Hidráulica 2 2

Ing. Washington Sandoval E., Ph.D.

2013 Rev.2020

A mi Familia,

a quienes más valoro y amo:

Mi esposa Elena,

mis hijos; Lina, Nasty y Ramiro

y a mis nietos Luciana y Santy.


Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 5

“El Chambo… se golpea contra peñascos, salta convertido en espuma, se hunde en sombríos vórtices, vuelve a surgir a borbotones, se retuerce como un condenado, brama como cien toros heridos, truena como la tempestad, y mezclado luego con el otro río continúa con mayor ímpetu cavando abismos y estremeciendo la tierra" Juan León Mera

(Cumandá)

PREFACIO

"Hay cosas que para saberlas no basta con haberlas aprendido" (Séneca),

para saberlas hay que haberlas aplicado y enseñado y de esta interrelación

creativa surge la sabiduría, proceso complejo, pero cuyo resultado final deja

huella en la naturaleza.

El material de este texto es la base teórica que todo profesional de

Ingeniería Civil debe conocer para introducirse en el mundo de las obras

hidráulicas. Para comprensión de los temas tratados, se necesita el

conocimiento previo de las propiedades de los fluidos, de hidrostática, de los

principios de la hidrodinámica y se requiere disponer de cierta destreza en el uso

y aplicación de la ecuación de Bernoulli.

El autor agradece a la Escuela Politécnica del Ejército por el apoyo en la

publicación del presente trabajo y en especial al Ing. José Luís Carrera,

Catedrático de la EPN, por su valiosa colaboración en la revisión y

recomendaciones dadas a este libro.

Este trabajo al ser un esfuerzo personal, no está exento de errores, por lo

que cualquier inquietud o comentario sobre su contenido dirigirla al correo

electrónico del autor [email protected].

Autor

mailto:[email protected]



CONTENIDO

Pág.

CAPITULO I

PERDIDAS EN TUBERIAS

1.1. Origen de las Resistencias (Pérdidas) 11

1.2. Pérdidas por Longitud (Primarias) 15

1.2.1. Régimen Laminar 15

1.2.2. Régimen Turbulento 15

1.3. Pérdidas Locales o de Forma 21

1.3.1. Métodos 21

1.3.2. Expansión Brusca de un Flujo 23

1.4. Carga y Potencia de una Bomba 38

CAPITULO II

LINEAS Y REDES DE CONDUCCION

2.1. Conceptos Generales 44

2.2. Tuberías Simples 46

2.2.1. Cálculo de Tuberías Simples Cortas 49

2.2.2. Cálculo de Tuberías Simples Largas 51

2.3. Tuberías Complejas 52

2.3.1. Tuberías de Diferente Diámetro Unidas en Serie 52

2.3.2. Tuberías en Paralelo 56

2.3.3. Red Abierta 60

2.3.4. Conducto con Descarga Uniformemente Distribuida 62

2.3.5. Tuberías Anulares o Cerradas 65

2.4. Redes de Distribución 67

2.4.1. Expresión para la Determinación de Pérdidas por Fricción 68

2.4.2. Cálculo Hidráulico 69

2.4.3. Procedimiento de Cálculo 73



CAPITULO III

FLUJO EN CANALES

3.1. Flujo Uniforme 78

3.1.1. Ecuación Básica del Movimiento Uniforme 79

3.1.2. Determinación del Calado Normal 81

3.1.3. Sección Hidráulica Optima 86

3.1.4. Canales de Sección Cerrada 88

Cálculo Hidráulico 89

3.2. Flujo no Uniforme en Canales 91

3.2.1. Ecuación Diferencial del Flujo No Uniforme Gradualmente Variado 93

3.3. Energía Específica de una Sección 97

3.3.1. Tirante Crítico 99

3.3.2. Pendiente Crítica 101

3.4. Formas de la Superficie Libre 102

3.5. Diseño de la Superficie Libre 105

3.5.1. Puntos de Control 107

CAPITULO IV

VERTEDEROS

4.1. Elementos de los Vertederos 110

4.2. Clasificación de los Vertederos 111

4.3. Ecuación de Caudal para Vertederos 115

4.4. Vertederos de Pared Delgada 118

4.4.1. Coeficiente de Caudal de un Vertedero de Pared Delgada 118

4.4.2. Coeficiente de Inmersión 119

4.4.3. Otros Vertederos de Pared Delgada 120

4.5. Vertederos de Cresta Ancha 121

4.6. Vertederos de Perfil Curvo 125

4.6.1. Vertederos de Perfil Práctico 126

4.7. Contracciones Laterales en los Flujos 129

CAPITULO V

FLUJO A TRAVES DE ORIFICIOS Y COMPUERTAS

5.1. Condiciones de Flujo 131

5.2. Flujo Libre en Orificios Pequeños de Pared Delgada 132

5.2.1. Velocidad y Caudal del Flujo 135

5.3. Flujo a Través de un Orificio Sumergido 137



5.4. Descarga Libre a través de un Orificio Grande 140

5.5. Flujo a través de Toberas o Pared Gruesa 141

5.5.1. Velocidad y Gasto en una Tobera 142

5.5.2. Formación de Vacío en las Toberas 144

5.6. Flujo bajo Compuertas 147

5.6.1. Flujo Bajo una Compuerta Plana no Sumergida 148

5.6.2. Compuertas Inclinadas y Curvas 150

CAPITULO VI

CONJUGACION DE AGUAS

6.1. Cambios de Pendientes en Canales 153

6.1.1. Cambio de Régimen Fluvial a Torrencial 153

6.1.2. Cambio de Régimen Torrencial a Fluvial 154

6.2. El Resalto Hidráulico 154

6.2.1. Ecuación del Resalto para un Cauce Prismático 156

6.2.2. Pérdida de Carga en el Resalto 159

6.2.3. Longitud del Resalto Hidráulico 161

6.3. Conjugación de Aguas en Vertederos 163

6.3.1. Tirante Contraído al Pie de la Presa 165

6.3.2. Colchón de Aguas Tipo Pozo 168

6.3.3. Colchón de Aguas Tipo Muro 170

6.4. Caídas 172

6.4.1. Rápidas 172

6.4.2. Escalones 174

6.5. Conjugación de Aguas con Deflector Tipo Esquí 175

CAPITULO VII

FLUJO DE SEDIMENTOS EN CAUCES ABIERTOS

7.1. Concentración de Sedimentos o Turbidez 183

7.2. Velocidad de Caída de las Partículas 185

7.3. Movimiento de los Azolves 188

7.4. Transporte de Fondo 189

7.4.1. Formas del Fondo 194

7.5. Azolves en Suspensión 196

7.6. Transporte Total de Sedimentos 198



CAPITULO VIII

FLUJO VARIABLE EN EL TIEMPO (NO ESTACIONARIO)

8.1. Ecuación de Bernoulli para el Flujo Variable 199

8.1.1. Tubería de Sección Constante 200

8.2. Golpe de Ariete (Choque Hidráulico) 201

8.2.1. Presión de Choque y Velocidad de Difusión 203

8.2.1.a. Tubería Absolutamente Rígida 203

8.2.1.b. Paredes Elásticas 205

8.3. Flujo No Estacionario en Rápidamente Variado en Canales. Ondas Móviles 208

8.3.1. Tipos de Ondas 208

8.3.2. Las Olas Según sus Causas 209

8.3.3. La Superficie Libre de una Onda Movil 211

8.3.4. Velocidad de Desplazamiento de la Onda 212

8.4. Flujo No Estacionario en Orificios 214

8.4.1. Desagüe con Carga Variable y Aflujo Constante 214

8.4.2. Flujo de un Tanque a Otro 218

BIBLIOGRAFIA 221



CAPÍTULO I

PÉRDIDAS EN TUBERÍAS

1.1. ORIGEN DE LAS RESISTENCIAS (PÉRDIDAS)

Un flujo al actuar sobre la superficie de un cuerpo genera un gradiente de velocidad

como resultado de la presencia de esfuerzos de corte o rozamiento, a su vez implica

cierta transformación de energía (pérdida) que es proporcional a la superficie de

acción, por lo que se dice que las fuerzas de resistencia producen pérdidas por

contacto con la superficie.

La fuerza de resistencia, al movimiento de un cuerpo o un fluido en contacto con un

cuerpo, se descompone en una componente normal y otra de corte o tangencial; la

primera corresponden a la presión que el fluido ejerce sobre el cuerpo y la segunda a

la suma los esfuerzos rasantes, como se muestra en la figura 1.1. La sumatoria de los

esfuerzos cortantes en la superficie del cuerpo de A a B generan las pérdidas por

fricción.

Figura 1.1 Perfil Aerodinámico Trunco



En los puntos B y B` de la superficie del cuerpo, debido a la desaceleración del flujo,

por causa de los esfuerzos cortantes, así como por la existencia de un gradiente

positivo de presiones, que se opone al movimiento por la forma del cuerpo, la capa

de fluido se desprende del cuerpo, formando en la parte posterior una estela de

vórtices, las cuales generan una pérdida por fricción. Indudablemente, el punto de

desprendimiento B o separación de la capa adyacente depende de la forma del

cuerpo.

Este fenómeno conduce a que la suma de los esfuerzos de presiones en los extremos

anterior y posterior del cuerpo no esté en equilibrio. A la fuerza resultante de este

fenómeno se la llama fuerza de forma o resistencia de forma. A la transformación

de energía, producto de este fenómeno, se le denomina pérdida de forma o local.

Las causas que producen la transformación de energía, da origen a la clasificación de

las llamadas pérdidas de energía que son de dos tipos: pérdidas por longitud o

primarias y pérdidas locales o secundarias.

Pérdidas primarias son producto de las fuerzas de resistencia por contacto del

fluido con los bordes de los cauces o contornos de los cuerpos y el rozamiento entre

las mismas capas de los fluidos.

Pérdidas secundarias se generan por los vórtices producto de la forma de las

paredes del cauce, el contorno de los cuerpos y las condiciones de flujo, razón por la

cual se les denomina pérdidas locales o de forma (pérdidas en accesorios).

La magnitud de las fuerzas de resistencia dependen de factores como: Velocidad del

flujo, parámetros geométricos, rugosidad y otros factores.

Las características geométricas más importantes de un flujo, figura1.2, son:

A - área de la sección transversal del flujo,



χ - parte del perímetro por la cual el flujo tiene contacto con las paredes del

cauce, llamado perímetro mojado,

R - radio hidráulico, R = A/ χ

Figura 1.2 Características Geométricas de Flujos

El radio hidráulico para un cauce rectangular es,

hb

hbR

2

*

+= (1.1)

Para un conducto circular a sección llena,

4

4

2

D

D

D

R ==

(1.2)

El radio hidráulico no es una relación que representa la forma ni dimensión del flujo,

este determina condiciones de flujo geométricamente semejantes, por ejemplo: un

canal de sección rectangular y una tubería de sección circular pueden tener el mismo

radio hidráulico; así, para un canal rectangular de dimensiones h = 2m y b = 4m, y la

tubería de diámetro D=4, su radio hidráulico es R=1.

La rugosidad k de las paredes de la tubería, también juega un papel importante en la

resistencia al desplazamiento del flujo para un régimen turbulento. El grado de

influencia en las pérdidas de energía de la rugosidad k depende del espesor de la



subcapa de flujo laminar δ, presente en los contornos de la tubería en régimen

turbulento.

La existencia de la subcapa laminar δ la detectó el físico alemán Ludwing Prandtl,

estudiando la distribución de la velocidad en el régimen turbulento. Este espesor δ no

es constante y disminuye al aumentar el número de Reynolds, por lo que se pueden

presentar tres casos relacionados a las alturas de las rugosidades, figura 1.3:

a. Cuando las rugosidades de la tubería son menores al espesor de la subcapa

laminar, éstas no influyen en la formación de pérdidas y se denomina flujo en la

zona de pared lisa o tubería lisa figura 1.3.a;

b. Si la magnitud de las rugosidades corresponden a la de la subcapa laminar, éstas

intervienen conjuntamente con el número de Reynolds en el valor de las pérdidas

y se conoce como zona de pared de transición, figura 1.3.b;

c. Cuando las rugosidades son mayores que el espesor de la subcapa laminar,

tenemos que su influencia en las pérdidas es significativa y se conoce como zona

de pared rugosa o tubería rugosa, figura 1.3.c.

Figura 1.3 Condiciones de Flujo según la Rugosidad



1.2. PÉRDIDAS POR LONGITUD (PRIMARIAS)

Las pérdidas de carga por función a lo largo de una tubería, tanto para el régimen

laminar como para el turbulento, determinamos con la ecuación de Darcy-

Weisbach.

gD

vhr

2

1 2

= (1.3)

donde:

- coeficiente de pérdidas,

1 – longitud de la tubería,

v - velocidad del flujo,

D – diámetro de la tubería

g – aceleración de la gravedad.

1.2.1. Régimen Laminar

El coeficiente de pérdidas en el régimen laminar es:

Re/64= (1.4)

Como se puede ver, el coeficiente de pérdidas para el régimen laminar

depende únicamente del número de Reynolds.

1.2.2. Régimen Turbulento

A) Ley de Pared Lisa. Una pared se puede considerar lisa si el número

de Reynolds del flujo es menor a cierto valor Re*, o sea

Re < Re* = 10 D/k (1.5)



Donde, k es la rugosidad de la tubería en mm.

En el flujo turbulento depende de muchos factores y su

dependencia del número de Reynolds es más compleja.

Prandtl dedujo teóricamente la ecuación de para tuberías lisas de la

siguiente manera: En la ecuación de Darcy-Weisbach (1.3) el

diámetro de la tubería representó a través del radio hidráulico,

entonces

== ihr

1 gR

v

24

2

donde;

i - es el gradiente hidráulico o pendiente hidráulica y corresponde a

la pérdida de energía por unidad de longitud.

Después de varios reemplazos obtuvo una ecuación que tiene la

siguiente forma.

( ) BA −=

Relg1

, (1.6)

donde: A y B son constantes. Experimentalmente se demostró que A

= 2 y B = 0,8; por consiguiente;

( ) 8,0Relg21

−=

, (1.7)



Esta es la ecuación de Prandtl para la determinación de , que se le

conoce como Ley de Paredes Lisas.

Para determinar con esta ecuación se debe realizar varias

aproximaciones sucesivas. Para valores de 510Re se recomienda

el uso de la expresión de Blasius (1913), para tuberías lisas.

25,0Re

316,0= (1.8)

B) Ley de Pared Rugosa. La condición para considerar a una pared

rugosa es:

(1.9)

El estudio detallado de flujos en conductos rugosos lo realizó

Nikuradse. Sus investigaciones fueron en diferentes tuberías con

rugosidades formadas artificial y uniformemente, por medio de

granos de arena graduada de distintos tamaños; con rugosidades

relativas Dk de 1/30 a 1/1014, figura 1.4.

Figura 1.4 Resultados Experimentales de Nikuradse

kD500ReRe ** =



De estas investigaciones se obtuvo que, el coeficiente no depende

del número de Reynolds después de cierto valor, donde solo influye

la rugosidad de la tubería. El valor del número de Reynolds a partir

del cual deja de depender es aproximadamente el dado por la

ecuación (1.9).

En esta zona la viscosidad no influye sobre el flujo y la resistencia al

movimiento tiene una relación cuadrática con la velocidad y por eso

se le denomina a ésta; zona de pared rugosa o zona de resistencia

cuadrática.

Según Nikuradse, se debe determinar con la siguiente ecuación:

( ) 74,12lg21 += kD (1.10)

En base a los resultados de Nikuradse, que como se dijo fueron en

una rugosidad uniforme, se pudo establecer que la rugosidad interna

de cualquier tubería comercial se puede expresar en términos de la

rugosidad uniforme k de Nikuradse, llamada rugosidad equivalente.

Esta rugosidad equivalente se obtiene midiendo la pérdida de carga

en las tuberías comerciales y reemplazando el valor de en la

ecuación (1.10).

Ciertos valores de la rugosidad equivalente k presentamos en la tabla

1.1.

Otra ecuación aplicable a la zona de pared rugosa es la propuesta por

Shifrinson.

( ) 25,011,0 Dk= (1.11)



Tabla 1.1. Valores de Rugosidad Equivalente k

TIPO DE TUBERÍA k (mm)

Vidrio, plomo, cobre, latón

PVC y mangueras plásticas

Mangueras de caucho

Tubos industriales de latón

Hierro fundido nuevo

Hierro fundido con protección interior de

asfalto

Hierro fundido medio oxidado

Hierro galvanizado

Acero laminado nuevo

Acero soldado nuevo

Asbesto-cemento nuevo

Concreto centrifugado nuevo

Concreto en galerías, encofrado madera

normal

Concreto armado con acabado liso

0,0015 a 0,01

0,06 a 0,07

0,03

0,025

0,02 a 0,1

0,014 a 0,018

0,3 a 0,7

0,15 a 0,3

0,04 a 0,1

0,05 a 0,1

0,16

0,15 a 0,3

1,0 a 2,0

0,2 a 0,3

C) Pared de Transición. Nikuradse experimentalmente demostró que

existe una zona en la cual depende tanto del número de Reynolds

como de la rugosidad, a esta zona le denominó de transición.

Posteriormente Colebrook y White realizaron investigaciones con

tuberías cubiertas con granos distribuidos en forma aislada y al azar,

obteniéndose resultados que tenían mayor coincidencia con los

correspondientes a tuberías comerciales, especialmente para la zona

de transición.



Colebrook y White utilizando los conceptos de las ecuaciones de

Prandtl y Nikuradse proponen una única expresión de para todo el

régimen turbulento, que es:

+−=

Re

51,2

7,3lg2

1

D

k , (1.12)

y se le conoce como ley de transición de Colebrool-White.

A. D. Altshul, en base a datos experimentales propios propuso la

siguiente expresión:

25,0

Re

6811,0

+=

D

k (1.13)

En las ecuaciones (1.12) y (1.13) es característico que para valores

altos de Re es más representativo el miembro que considera la

rugosidad, y cuando la rugosidad relativa es pequeña las ecuaciones

describen la ley de las tuberías lisas.

Con el fin de simplificar el cálculo de se crearon una serie de

ábacos y nomogramas, como el propuesto por Moody L. F, el cual no

se presenta en este texto por las facilidades actuales de resolución de

las diferentes ecuaciones, especialmente la (1.13).

Las diferentes expresiones y nomogramas contienen cierto error, que

aproximadamente es; para tuberías lisas en un 5% y para rugosas en

un 10%.

En cierto tipo de problemas, en los cuales se desconoce el diámetro u

otro parámetro y por lo tanto el número de Reynolds, como primera

aproximación se recomienda tomar los valores de 02,0= a 0,03.



Las tuberías en el transcurso del tiempo, por diferentes causas,

cambian su rugosidad y en estos casos se utiliza la fórmula de

Colebrook.

tkkt += , (mm) (1.14)

Donde: k – la rugosidad en el material nuevo

kt – rugosidad después de t años de explotación

- velocidad de aumento de la rugosidad

Dependiendo del grado de mineralización del fluido 025,0= a 3

mm/año. Para tuberías de acero galvanizado en la ciudad de Quito

= 0,10 a 0,30 mm/año, Sandoval (1993).

Para renovar la capacidad de descarga de las tuberías con

incrustaciones de minerales se deben utilizar métodos mecánicos o

químicos de limpieza, que no se trata en el presente texto.

1.3. PÉRDIDAS LOCALES O DE FORMA

1.3.1. Métodos

Las pérdidas locales, o resistencia de forma, son las que se producen en

singularidades tales como: Entradas y salidas de conductos, cambios de

sección, contracciones, expansiones, codos, tés, diafragmas, válvulas y

todo tipo de accesorios y obstrucciones localizadas en el interior de

conductos.

Existen tres métodos de valorar las pérdidas hidráulicas locales que son:



1. Por métodos teóricos directos de valorización. Por este método se ha

logrado resolver muy pocos casos, como por ejemplo, expansión

brusca de sección, giro gradual de un flujo, confluencia de dos

corrientes y otros.

2. Por medio de la fórmula

g

vh f

2

2

= (1.15)

Donde, hf son las pérdidas de energía en accesorios, es un

coeficiente obtenido experimentalmente y se le denomina coeficiente

de pérdidas locales o de forma o secundarias; los valores están dados

en la tabla 1.3. Este coeficiente depende de la viscosidad del fluido,

la velocidad y la forma geométrica del elemento analizado.

3. Por medio de la fórmula de pérdidas por longitud

g

v

D

leh f

2

2

=

donde, le es una longitud equivalente en magnitud a las pérdidas

producidas por la forma, dados en la tabla 1.2, por consiguiente:

= Dle

Este método se recomienda para los casos en los cuales el diámetro y

el material de la tubería son constantes, ya que las pérdidas totales,

por longitud y forma, se determinan en una sola ecuación.

g

vlel

Dh

2)(

2

+=

(1.16)



Tabla 1.2 Longitud Equivalente para Pérdidas

ACCESORIOS

Longitud equivalente (m) para

diferentes diámetros

12,7 mm 25,4 mm 38,1 mm

Entrada

Reducción

Expansión

CODOS

Redondeado

Arista viva

GIROS

Suave a 90º

Brusco a 90º

Leve a 45º

TES

VALVULAS

Globo

De cierre

De pie con coladera

De retención (check)

MEDIDOR

0,22

0,15

0,23

0,30

0,80

0,25

0,32

0,19

0,80

0,25

0,80

4,00

0,10

1,10

0,80

6,00

0,45

0,30

0,50

0,60

1,70

0,52

0,68

0,38

1,70

0,52

1,70

8,00

0,19

2,50

1,70

13,00

0,70

0,42

0,73

0,90

2,60

0,80

1,00

0,56

2,60

0,80

2,60

13,0

0,25

3,60

2,60

20,0

1.3.2. Expansión Brusca de un Flujo

Para el esquema mostrado en la figura 1.5 queremos determinar las

pérdidas producidas entre las secciones 1 y 2, para lo cual, aplicamos el

teorema de cambio de cantidad de movimiento en estas secciones.



)( 1212211321 AApApApPPPFx −+−=+−=

)( 21 vvQt

mv−=

con lo que,

)( 122122 vvQApAp −=+−

Figura 1.5 Expansión Brusca en una Tubería

así:

2112

2

)( ppvvA

Q−=−



Esta expresión dividimos para g y el caudal le expresamos a través del

área y la velocidad,

g

p

g

pvv

g

v

21

122 )( −=−

o,

2121

2

2 pp

g

vv

g

v−=−

Sumamos a cada uno de los miembros gv 22

1

g

vpp

g

v

g

v

g

vv

g

v

22222

2

2

121

2

2

2

221

2

1 +−=++−

,

o,

g

vv

g

vp

g

vp

2

)(

22

2

21

2

22

2

11 −++=+

(1.17)

Ahora apliquemos la ecuación de Bernoulli en las mismas secciones:

hrg

vp

g

vp++=+

22

2

22

2

11

Comparando esta ecuación con la (1.17) vemos que existe una completa

analogía, siendo:



(1.18)

Tomando en consideración la ecuación de continuidad tenemos que:

.2

1

2

1

2

2

1

g

v

A

Ahf

−=

Así, el coeficiente de pérdidas de forma es

2

2

11

−=

A

A (1.19)

En el caso particular de que 12 AA (salida a un tanque), 0,1 y la

pérdida de energía

gvh f 22

1=

Los demás valores de coeficiente de pérdidas secundarias para

diferentes cambios de forma se presentan en la tabla 1.3.

,2

)( 2

21

g

vvhfhr

−==



Tabla 1.3 Valores del Coeficiente de Forma

ESPECIFICACIONES ESQUEMA

ENTRADA A

CONDUCTOS

A tope

Abocinado

Entrante

EXPANSIONES Y

REDUCCIONES

Expansión

gradual (difusor cónico

o prismático)

Se determina con 1V

0,5

0,10 a 0,05

1,0

( )2

212 /)()8/( AAAsenk −+=

o 5 7,5 10 15 30 45

k 0,17 0,27 0,42 0,7 1,18 1,1



Expansión brusca

Diafragma-orificio

(según Altshul)

Reducción brusca, se

determina con respecto

a 2V

Reducción gradual,

se determina con

respecto a 2V

2

2

11

−=

A

A

2

11

−

=

AAo

, AAo−

+=1,1

043,057.0

12 AA 0,01 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8

0,45 0,39 0,35 0,28 0,2 0,09

2

1

221 116

−

+=

A

A

sen



GIROS (CODOS)

Giro gradual

Giro brusco

TES (DIVISION DE

FLUJOS)

Las flechas indican los

sentidos del flujo

k90 =

( ) rD.)100(001,02,0 8

90 +=

oo

o

k

senk

90/35,07,0;90

;90

+=

=

0,16 0,32 0,56 0,81 1,19 2,24

2,0

3,0

0,1



VALVULAS

Los valores son para

válvulas abiertas

Válvula de tapón

Válvula de tapón

diagonal

1,5

1,2

0,5

2,0 a 3,0

0,4 a 2,0



Válvula de compuerta

Válvula de mariposa

Válvula de macho

Válvula de retención

(check)

a/D 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0

10 2,1 1,0 0,44 0,17 0,05

o 0 10 20 30 40 50

0,4 0,52 1,54 3,91 10,8 32,6

o 10 20 30 40 50 60

0,05 0,29 1,56 5,47 17,3 52,6

o 10 20 30 40 50 60

5,25 2,40 2,00 1,85 1,80 1,55



Válvula de pie con

alcachofa

MEDIDORES DE

AGUA

de eje vertical

de eje horizontal

REJILLAS

D 40 50 65 80

12,0 10,0 8,80 8,00

D 100 150 200 300

7,0 6,0 5,2 3,7

D 12,7 15,0 20 30 40

3,93 8,8 10 12,7 10

D 50 80 100 150 200 250

2 1,0 0,82 0,80 0,88 0,92

= ki (s/b) 4/3 sen

ki-coeficiente de forma

s-espesor de las barras

b-espaciamiento entre

barras

-ángulo de inclinación

de las rejas con respecto

al sentido del flujo



EJEMPLO 1.1. Dada una tubería de acero soldado nuevo por el cual

fluye un caudal Q = 25 l/s de petróleo ligero a 20º C )/1025( 26 sm−= ,

por una tubería de 500m de longitud y diámetro D = 120 mm. Determinar

las pérdidas por distancia o fricción.

Datos: Q = 25 l/s = 0,025 m3/s

l = 500 m

D = 120 mm = 0,12 m

= 25.10-6 m2/s

k = 0,05 mm (según tabla 1.1)

a) Determinamos el régimen del flujo:

2000Re

1060810.25

12,0.21,2Re

01131,04

)12,0(

4

/21,201131,0

025,0

6

222

===

===

===

−

vD

mD

A

smA

Qv

Por consiguiente el régimen es turbulento

b) Definimos la zona del régimen turbulento

Re*Re

2400005,0

1201010*Re

===k

D

corresponde a la zona de pared lisa.



c) Calculamos el coeficiente de pérdidas por distancia, para esta zona se

recomienda las ecuaciones (1.5) y (1.6)

- según Blasius

031,0)10608/(316,0 025 ==

- según Prandtl, como primera aproximación utilizamos el valor

obtenido según Blasius

0304,08,0)031,010608lg(21 =−=

como se ve la diferencia entre los valores obtenidos es

despreciable, por lo que tomamos

d) Determinamos las pérdidas de carga en el flujo

.19,326,19

21,2

12,0

500031,0

2

mh f ==

031,0=



EJEMPLO 1.2. Determinar la carga H del sistema compuesto por dos

tuberías de hierro galvanizado (l1=150 m y l2=50 m) como se muestra en

la figura 1.6, se tiene un flujo de Q = 7,5 l/s de agua a 15º C,

)/1014,1( 26 sm−= . La válvula al final de la tubería es de compuerta y

está abierta en un 50%.

Datos:

Q = 7,5 l/s

a/D = 0,5

= 1,14.10-6 m2/s

k = 0,15 mm (según tabla 1.1)

l1 = 150 m

l2 = 50 m

Figura 1.6 Esquema de Cálculo para el Ejemplo 1.2.

Separamos los flujos según los diámetros de las tuberías

a) Calculamos velocidades y Reynolds

;00196,0

;01767,04

15,0

2

2

22

1

mA

mA

=

==



smV

smV

/83,3

/42,001767,0

0075,0

2

1

=

==

5526310.14,1

15,0.42,0Re

61 ==−

> Recr

16798210.14,1

05,0.83,3Re

62 ==−

> Recr

El régimen del flujo para las dos tuberías es turbulento, determinamos

la zona del flujo.

16666715,0

50500**Re

50000015,0

150500**Re

2

1

==

==

**ReRe*Re 211 Zona de transición

222 Re**Re*Re Zona de pared rugosa

b) Calculamos la carga H, para lo cual aplicamos Bernoulli en las

secciones 1-1 y 2-2, figura 1.6.

hrg

vpz

g

vpz

ooo +++=++

22

2

222

2

donde: 02/;1;;0;2

22 ==== gvppzHz ooo

hrg

vH +=

2

2

2

330015,0

5010*Re

1000015,0

15010*Re

2

1

==

==



y; ,54321 hfhfhfhrhrhr ++++=

g

v

g

v

g

v

g

v

D

l

g

v

D

lhr volredent

22222

2

2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

1

1

11 ++++=

determinamos los valores de los coeficientes

1 = 0,11 (68/55263 + 0,15/150)0,25 = 0,024 según ecuación (1.11)

1 = 0,11 (0,15/50)0,25 = 0,026 según ecuación (1.9)

cent = 0,5 según tabla (1.3)

red = 0,39; para A2/A1 = 0,1 según tabla (1.3)

vol = 2,10; para a/D = 0,5 según tabla (1.3)

mg

v009,0

6,19

42,0

2

22

1 = ; mg

v748,0

6,19

83,3

2

22

2 ==

hr1 = 0,024 · (150/0,15) · 0,009 = 0,216 m

hr2 = 0,046 · (50/0,05) · 0,748 = 19,45 m

hf3 = 0,50 · 0,009 = 0,004 m

hf4 = 0,39 · 0,748 = 0,29 m

hf5 = 2,1 · 0,748 = 1,57 m

mH

mhrgvH

28,22

279,22531,21748,02/2

2

=

=+=+=



1.4. CARGA Y POTENCIA DE UNA BOMBA

Analicemos el esquema presentado en la figura 1.7. Se bombea desde un pozo A a

un tanque B, un determinado caudal Q. Para mantener este caudal Q, la bomba

comunica a cada unidad de peso del líquido determinada cantidad de energía, la

energía específica que la bomba le comunica al líquido se llama carga y su

magnitud es igual a la diferencia de las cargas hidrodinámicas (energías

específicas) a la salida y a la entrada de la bomba, secciones 4-4 y 3-3 en la figura

1.7.

Figura1.7 Esquema de un Sistema de Bombeo

La potencia de una bomba está dada por la ecuación

HtQgP = , (vatios) (1.20)



Donde: Ht es la carga de la bomba y es el coeficiente de rendimiento total de la

bomba.

34 eeHt −= (1.21)

La energía específica de la sección 3-3 está compuesta por la energía inicial en la

sección 1-1 menos las pérdidas que se producen de esta sección hasta 3-3.

Tomamos la ecuación de Bernoulli para estas secciones,

31

23

3

2

101

22−+++=++ h

g

vpz

g

vpz

o,

31133131 −− −=+= heehee

La ecuación de Bernoulli para las secciones 4-4 y 5-5

54

2

555

2

44

22−++++=++ h

g

vppz

g

vpz o

,

,

según la ecuación (1.21)

Como: Hp

zz =+−

515

5454 −+= hee

,//

02

,22

3154

2

5515

2

1

31

2

1154

2

555

−−

−−

++++−=

+−−−++++=

hhvpzzHt

g

v

hg

vpzh

g

vppzHt oo



51

2

5 2/ −++= hgvHHt

Aquí la velocidad v5 es igual a la velocidad del sistema v y la energía específica

formada por este miembro v2/2g se pierde desde la sección 5-5 a la 6-6, (h5-6). Así,

61−+= hHHt (1.22)

EJEMPLO 1.3 Una bomba de 2,5 kw de potencia, de coeficiente de rendimiento

0,75, debe abastecer un caudal de 0,6 m3/min de agua a 15º C, a un recipiente cuyo

nivel se encuentra a 10m arriba del nivel del pozo de bombeo. La tubería es de

acero galvanizado en uso (k = 0,4 mm), de una longitud de 30m, con tres codos de

giro gradual de 90º de r = 5D, una válvula de pie con alcachofa, una válvula de

regulación completamente abierta y una de retención con un ángulo de abertura

= 50º. Determinar el diámetro necesario de la tubería.

Figura 1.8 Sistema de Bombeo del Ejemplo 1.3



Datos:

p = 2500 W

= 0,75

Q = 0,6 m3/min = 0,01 m3/s

H = 10 m

l = 30 m

D/r = 0,2

= 50º

k = 0,4 mm

= 1,14 · 10-6 m2/s

= 1000 kg/m3

Desarrollo:

Según la ecuación (1.20) tenemos que,

2500 = 1000* 9,8* 0,01* Ht/0,75 Ht = 19,13 m.

De la ecuación (1.22)’ despejando tenemos que,

.13,90,1013,1921 mHHth =−=−= −

Determinamos la sumatoria de todas las pérdidas:

gvDh schvce 2/)3/1( 2

21 +++++= − (a)

Donde:

e = es el coeficiente de entrada (válvula de pie),

c = coeficiente de pérdidas en codos,



v = coeficiente de la válvula de regulación,

ch = coeficiente de la válvula de retención (check),

s = coeficiente de pérdida por salida del flujo.

Los coeficientes , e, c, dependen de la magnitud del diámetro, que no se

conoce, por esta razón, consideremos las pérdidas en accesorios iguales a un 50%

de las pérdidas por longitud, por lo que:

42

2

22

21

8)/1(5,12/)/1(5,12/)/1(5,1

Dg

QDgvDgvDh

== −

,

Si asumimos 025,0= en esta igualdad, tenemos:

)8,9/(01,0830025,05,113,9 522 D= ,

de donde; D = 0,061 m

Siendo este valor una aproximación, tomamos como magnitud para los cálculos el

diámetro estándar más próximo D = 75 mm = 0,075 m;

750.934,0/80500Re

917.1481014,1075,026,2Re

/26,2005,0/01,0

00442,04/08,0

**

6

22

==

==

==

==

−

smV

mA

como: Re > Re** , el flujo es en la zona de pared rugosa, por lo que;

03,00297,075/4,0411,0 ==

Tomando los valores de las pérdidas de forma de la tabla 1.2 para D = 75 mm:



e = 8,27 -aproximando entre D=65 y D=80,

c = 3,024,

v = 2,5,

ch = 1,8

s = 1,0

Reemplazando los valores calculados en la ecuación (a), tenemos

( ) 03,96,19/26,218,15,2)024,3(327,8075,0/3003,013,9 2 =+++++

El resultado nos indica que el diámetro de 75mm es casi igual al necesario para

obtener la igualdad exacta. Si tomamos una tubería de diámetro menor, por

ejemplo D = 50mm, la sumatoria de pérdidas nos daría mayor a 9,13 m. Por lo que

como diámetro definitivo establecemos D = 75mm.



CAPITULO II

LINEAS Y REDES DE CONDUCCION DE AGUA

2.1 CONCEPTOS GENERALES

Las líneas y redes de conducción de agua están compuestas por un conjunto de

tuberías y desde el punto de vista del cálculo hidráulico, las tuberías se dividen en

cortas y largas, simples y complejas.

Tuberías cortas. Son aquellas que, por condiciones técnicas, los cálculos

hidráulicos se realizan minuciosamente, considerando todas las pérdidas, tanto

locales como por longitud, y no se desprecia la altura de velocidad. Aquí, la

magnitud de las pérdidas locales es comparable a las de superficie, como por

ejemplo en una tubería de presión de una central hidroeléctrica.

El procedimiento del cálculo hidráulico de las tuberías cortas se expuso en el

capítulo anterior.

Tuberías largas. Se llaman aquellas en las que predominan las pérdidas por

longitud; las pérdidas locales y la altura de velocidad en primera instancia se

pueden despreciar. Las pérdidas locales son menores al 30% del total de las

pérdidas de carga, ejemplo: las tuberías de conducción de agua potable.

Tuberías simples. Son aquellas en las que el diámetro del conducto, así como el

caudal, son constantes en toda su longitud.

Tuberías complejas. son todas las tuberías que no se contemplan en las simples,

incluyendo las mallas o redes, tanto abiertas como cerradas.

En el cálculo de líneas y redes de conducción es muy frecuente el uso de la

ecuación de Chezy,

RiACQ = , (2.1)



Conde C – es el coeficiente de Chezy

Partiendo de esta ecuación se puede determinar el gradiente hidráulico.

RCA

Qhri

22

2

1==

Si representamos,

, (2.2)

La ecuación (2.1) se escribirá:

iKQ = , (2.3)

K, (m3/s)- se le denomina Factor de Forma o Caudal, y es el caudal que fluye por

una tubería si su gradiente es igual a la unidad.

Como se nota claramente de la ecuación (2.2), el valor de K depende de las

condiciones geométricas del conducto y de su rugosidad. Pero, según la ecuación

(2.3), para un caudal y gradiente dados, existe un solo valor de K, representado por

Ko y se le denomina Factor de Gasto o Caudal Característico, de tal manera que:

i

QKo = (2.3a)

Según Manning, 6/11

Rn

C = , y n es el coeficiente de rugosidad dado en la tabla

2.1.

RACK =



Tabla 2.1. Valores para el Coeficiente de Rugosidad “n”

CARACTERISTICAS DE LA SUPERFICIE n

PVC, superficies esmaltadas, barnizadas.

Pléxiglass (Mica)

Enlucido de cemento puro

Tubos limpios de cerámica y acero

Tubos de hierro galvanizado. Hormigonado bueno

Tubos de alcantarillado buenos. Tubos de

suministro de agua con algún tiempo en uso.

Tubos de suministro y alcantarillado con

incrustaciones.

Mampostería de piedra y ladrillos colocados

rudimentariamente.

Canales cubiertos por una capa de lodo.

Canales sin revestimiento de suelo compactado o

roca de superficie regular.

Canales de tierra en condiciones normales. Ríos y

arroyos en condiciones óptimas.

Canales y ríos en condiciones relativamente malas.

Canales y ríos con muchas piedras, algas y

basuras.

0,009

0,010

0,011

0,012

0,013

0,014

0,015

0,018

0,020

0,025

0,030

0,040

1.5 2.2 TUBERIAS SIMPLES

Para analizar el cálculo hidráulico de tuberías simples se consideran dos esquemas

de flujo: flujo con descarga libre y flujo con descarga sumergida.

Descarga Libre. El esquema con flujo con descarga libre se muestra en la figura

2.1.



Figura 2.1 Flujo con Descarga Libre

En la figura, al plano o línea de energía se le conoce también, como gradiente de

energía y a la línea piezométrica como línea de nivel hidráulico o línea de cotas

totales; este último nombre es debido a que esta línea está constituida por la altura

geodésica z y la piezométrica p/ . Como se sabe, estas líneas muestran el cambio

de cada uno de los componentes de la ecuación de Bernoulli a lo largo del flujo.

Escribimos la ecuación de Bernoulli para este esquema:

y,

como, v2 = v (velocidad de la tubería) tenemos:

g

v

g

v

D

l

g

vH

222

222

++= ,

hrg

vpz

g

vpz atat +++=++

22

2

2

2

2

1

1

hrg

vHzz +==−

2

2

221



o,

++=

D

l

g

vH 1

2

2

(2.4)

Descarga Sumergida. El esquema de flujo con descarga sumergida presentamos en

la figura 1.10.

Figura 1.10 Flujo con Descarga Sumergida

La ecuación de Bernoulli para este caso es:

de donde:

hrHzz ==− 21

y,

hrg

vpz

g

vpz atat +++=++

22

2

2

2

2

1

1



g

vv

g

v

g

v

D

lhr

2

)(

22

2

2

22 −++= ,

Siendo el último miembro de esta igualdad, el correspondiente a la pérdida de

salida del flujo al tanque; como la velocidad v2 es despreciable por ser la velocidad

del flujo en el tanque,

g

v

g

v

g

v

D

lhrH

222

222

++== ,

Así:

++= 1

2

2

D

l

g

vH (2.5)

Como vemos, esta ecuación es idéntica a la ecuación (2.4) del flujo con descarga

libre, permitiéndonos llegar a la conclusión de que el método de cálculo para los

dos esquemas es igual.

La diferencia física entre las ecuaciones (2.4) y (2.5) consiste en que, la altura de

velocidad para una descarga libre no se pierde y puede ser utilizada, por ejemplo,

para dar movimiento a una rueda hidráulica o una turbina Pelton. Mientras que

para una descarga sumergida, la altura de velocidad se pierde a la salida del flujo al

tanque.

2.3 CÁLCULO DE TUBERÍAS SIMPLES CORTAS

Por razones obvias, para el cálculo hidráulico la longitud de las tuberías es

un parámetro dado, quedando tres problemas tipos:



PRIMERO; dados Q y d, determinar H. Este es el caso más sencillo, ya

que consiste en la aplicación directa de la ecuación (2.4).

SEGUNDO; dados la carga H y el diámetro d, determinar el caudal Q. La

solución es mediante los siguientes pasos:

1) Tomar = 0,02 a 0,03

2) Determinar

3) Determinamos v reemplazando los valores en la ecuación (2.4)

4) Con v determinamos Re

5) Con Re determinamos

6) Regresamos al paso 3

7) Si 1−

= ii se conoce v

8) Calculamos A

9) Q = A · v

TERCERO; dados H y Q, determinar el diámetro d. La solución se

determina con los siguientes pasos:

1) )/(;)(5,53 35,0 slQQd =

2) Tomamos d = dST

3) Determinamos A

4) Determinamos v

5) Determinamos Re

6) Determinamos

7) Determinamos

8) Determinamos Hi

9) Comparamos Hi con H dado

10) di+1>di si Hi > H ; y di+1<di si Hi < H

11) D solución corresponde al valor más cercano a Hi H dado.



2.4 CÁLCULO DE TUBERÍAS SIMPLES LARGAS

Las tuberías largas son aquellas en las cuales las pérdidas locales se desprecian y los

cálculos hidráulicos se resuelven utilizando la ecuación

52

22 8

2 dg

lQ

gd

lvH

== (2.7)

si,

52

8

dg

lr

= , entonces

2rQH = (2.8)

El cálculo se facilita más si se supone, como en la mayoría de los casos, que el flujo

corresponde a la zona de pared rugosa, o sea y C, no dependen del número de

Reynolds. En este caso se utiliza la ecuación:

lK

QH

2

2

= (2.9)

Los valores de K se obtienen con la ecuación (2.2) para cada uno de los diámetros, o

con la tabla 2.2, dividiendo el valor dado para 103 y la rugosidad.



Tabla 2.2. Valores del Factor de Forma K = F/n

(según la ecuación de Manning)

DIAMETRO

mm

F.103

m3/s

DIAMETRO

mm

F.103

m3/s

12

19

25

40

50

75

80

100

125

0,002

0,008

0,017

0,058

0,106

0,312

0,370

0,672

1,218

150

200

250

300

350

400

450

500

1,980

4,264

7,731

12,571

18,963

27,073

37,064

49,088

2.5 TUBERÍAS COMPLEJAS

Como elementos de una tubería compleja se consideran las tuberías de diferente

diámetro unidas en serie y/o en paralelo, tuberías con caudal variable en su

trayectoria, redes abiertas, redes cerradas, etc.

2.5.1 Tuberías de diferente diámetro unidas en serie

Son tuberías de diferentes diámetros colocadas en línea como se muestra

en la figura 2.3.

Suponemos que el conducto está compuesto por n tramos de diferentes

diámetros. Es obvia la siguiente igualdad:

ni hhhhH +++== ...21 (2.10)



Siendo: h1, h2, …, las pérdidas de carga en las tuberías de diámetros d1,

d2, … Aquí despreciamos las pérdidas de forma o locales, razón por la

cual, cada una de las pérdidas por longitud se determinan.

i

i

i lK

Qh

2

2

= ; (2.11)

Figura 2.3 Tuberías Unidas en Serie

Como los factores de gasto Ki, los caudales y las longitudes li, son

diferentes para cada tubería, reemplazando en la ecuación (2.10)

obtenemos:

n

n

n lK

Ql

K

Ql

K

QH

2

2

22

2

2

212

1

2

1 ... +++= (2.12)



Para el caso particular en que Q = constante (no existen descargas en las

diferentes tuberías) se tiene que,

+++=

22

2

2

2

1

12 ...n

n

K

l

K

l

K

lQH (2.12)’

EJEMPLO 2.1. Del tanque elevado A se abastece de agua a los edificios,

B, C, D y E, con una tubería con algún tiempo en uso; consumiéndose en

cada uno de estos 8 l/s. Para las dimensiones y niveles mostrados en la

figura 2.4, determinar el nivel de agua en el tanque A y las alturas

piezométricas en los puntos B, C, D, E.

Figura 2.4 Esquema para el Ejemplo 2.1.

Los caudales y los factores de gasto en cada uno de los tramos son:

smslQQ

smslQQ

smslQQ

smslQQ

ED

DC

CB

BA

/008,0/8

/016,0/16

/024,0/24

/032,0/32

3

4

3

3

3

2

3

1

===

===

===

===

−

−

−

−

Tomamos, según la tabla 2.1, un coeficiente de rugosidad n = 0,013, y

con ayuda de la tabla 2.2 determinamos;



smK

smK

smKK

/052,0013,0/10672,0

/152,0013,0/10980,1

/328,0013,0/10264,4

33

4

33

3

33

21

==

==

===

−

−

−

La ecuación de equilibrio de pérdidas es

DECDBCAB hhhhH +++= ,

o,

42

4

2

433

3

2

322

2

2

212

1

2

1 lK

Ql

K

Ql

K

Ql

K

QH +++=

Reemplazando valores:

m

H

32,1552,610,323,147,4275)052,0/008,0(

280)152,0/016,0(230)328,0/024,0(470)328,0/032.0(

2

222

=+++=+

+++=

Con el valor obtenido calculamos el nivel del agua HA y los demás niveles

piezométricos;

.52,1810,362,21

,62,2123,185,22

,85,2247,432,27

,32,2712

mhHH

mhHH

mhHH

mHH

CDCD

BCBC

ABAB

A

=−=−=

=−=−=

=−=−=

=+=



2.3.2 Tuberías en Paralelo

Supongamos que tenemos un conducto principal con caudal Q, que se

divide en el punto B en n ramales de diferentes longitudes li y diámetros

di, que se unen en el punto C, figura 2.5.

Figura 2.5 Tuberías Unidas en Paralelo

El problema básico en este caso consiste en la determinación de los

caudales Q1, Q2 , …, Qn y la pérdida de carga H que se produce en el

tramo desde el punto B al C.

La carga en el punto B es Hb y en el punto C es Hc y la pérdida de energía

del punto B al C, como se ve en la figura 2.5, es H y es la misma pérdida

independiente de la trayectoria que siga el flujo. Para cada ramal las

pérdidas de carga que se producen son iguales a:



H = Hb – Hc,

En cada uno de los ramales tenemos:

i

i

i lK

QH

2

2

= (2.13)

n

n

n lK

Ql

K

Ql

K

QH

2

2

22

2

2

212

1

2

1 ... ==== (2.13)’

sabemos que,

nQQQQ +++= ...21 (2.14)

Escogiendo por pares los elementos de la ecuación (2.13)’ y

expresándoles a través de un solo caudal, por ejemplo Q1, tenemos que:

nn

n llK

KQQ

llK

KQQ

1

1

1

21

1

212

=

=

(2.15)

Reemplazando estas igualdades en la ecuación (2.14) obtenemos:

++++= n

n llK

Kll

K

Kll

K

KQQ 1

1

31

1

321

1

21 ...1 (2.16)

De esta ecuación determinamos el caudal Q1 perteneciente al primer

ramal. Conociendo Q1 reemplazamos en el sistema de ecuación (2.15) y

obtenemos todos los valores de los caudales Q2, Q3, … Qn.



La pérdida de carga H obtenemos utilizando la ecuación (2.13) con los

datos correspondientes a cualquier ramal.

EJEMPLO 2.2. De un tanque elevado A se abastece un caudal Q = 48l/s,

a una piscina B, a través de tres tuberías unidas en paralelo, figura 2.6.

Determinar el nivel de la superficie del tanque A y los caudales en cada

una de las tuberías, si estas son de PVC.

Figura 2.6 Esquema de Abastecimiento en Paralelo

Datos:

009,0

100

150

200

/048,0

3

2

1

3

=

=

=

=

=

n

mm

mm

mm

smQ

ml

ml

ml

436

510

615

3

2

1

=

=

=

De la ecuación de equilibrio de pérdidas tenemos:

3

2

3

3

2

2

2

2

1

2

1

1 lK

Ql

K

Ql

K

QH

=

=

=

según tabla 2.1.



La condición de continuidad es,

,321 QQQQ ++=

Reemplazando (ver ecuación 2.15)

31

1

3

121

1

211 ll

K

KQll

K

KQQQ ++=

De donde:

smQ /0283,0

436

615

264,4

672,0

510

615

264,4

980,11

048,0 3

1 =

++

=

Aquí se reemplazó directamente el valor de F en vez de K, ya que la

relación de los factores de gasto no se altera.

Reemplazando Q1 en la primera igualdad obtenemos que,

smQ /0143,0 3

2 = , y

smQ /0055,0 3

3 =

La pérdida de carga es,

615=H * 264,4/(0283,0 2 * m19,2)009,0/10 23 =−

Siendo la cota del nivel de agua en el tanque

mHA 69,1619,250,14 =+=



2.5.3 Red Abierta

Veamos el caso más simple, cuando la tubería principal se divide en dos

ramales, figura 2.7.

Figura 2.7 Esquema de una Red Abierta

Supongamos que se conocen las cotas ZA, Z1, Z2, así como las longitudes y

los diámetros de todas las tuberías que conforman la red, y es necesario

determinar los caudales del conducto principal y los ramales Q, Q1 y Q2.

De la figura 2.5 tenemos que:

CBBAA hhHZZ −− +==− 11

y

DBBAA hhHZZ −− +==− 22



hA-B, hB-C y hB-D, son las pérdidas de carga pertenecientes al conducto

principal y a los ramales BC y BD. Por consiguiente;

12

1

1

2

2

1 lK

QL

K

QH += (2.17)

22

2

2

2

2

2

2 lK

QL

K

QH +=

de donde:

22

2

2

222

2

12

1

2

112

2

lK

QHL

K

Q

lK

QHL

K

Q

−=

−=

(2.17)’

Igualando estas ecuaciones y despejando Q2, tenemos:

( )2

1

2

1112

2

22 KQlHH

l

KQ +−= (2.18)

De la condición de continuidad sabemos que,

(2.19)

Así,

( )12

2

1

2

11

2

21 HHKQl

l

KQQ −++= (2.20)

21 QQQ +=



Reemplazando esta ecuación en la primera del sistema (2.17) tenemos:

( ) 12

1

2

1

2

12

2

1

2

11

2

2

121 lK

QHHKQl

l

KQ

K

LH +

−++= (2.21)

La expresión obtenida es una función de Q1 y se puede resolver por

aproximaciones sucesivas. Una vez determinado éste, se puede obtener el

caudal del segundo ramal.

Si z1 = z2,

H1 = H2

o,

(2.22)

Por consiguiente, el caudal total se determina con la ecuación (2.19).

2.5.4 Conducto con Descarga Uniformemente Distribuida

El sistema que se presenta en la figura 2.8 es común para sistemas de

riego, drenaje y distribución de agua en pequeñas poblaciones.

En el sistema presentado, por cada unidad de longitud el caudal disminuye

en un valor medio Qd/l. Siendo Qd el caudal distribuido (para un sistema

de drenaje se puede suponer que es el caudal receptado, manteniéndose la

forma de cálculo). El caudal distribuido Qd más el caudal de paso Qp,

forman el caudal Q que se abastece del tanque elevado A.

22

2

2

212

1

2

1 lK

Ql

K

Q=



Figura 2.8 Distribución Uniforme de Caudal

Analicemos las pérdidas de carga en este conducto con ciertas

simplificaciones. En la sección C a la distancia X de la sección inicial B,

el caudal es menor en la cantidad

Xl

Qd ,

El caudal en la sección C es:

Xl

QdQdQpQc −+= (2.27)

Supongamos que en cualquier sección de la tubería se puede determinar el

gradiente hidráulico con la ecuación de Chezy para el flujo uniforme,

ciKcQc =

o sea,



2

2

Kc

Qcic =

Kc, depende del diámetro de la tubería y la rugosidad, y esos parámetros

en este caso no cambian para todo el flujo, entonces Kc tomamos igual a

K de la tubería dada. Así:

2

2

1

−+= X

l

QdQdQp

Kic (2.28)

Para una longitud diferencial dx la disminución de carga se determina,

dH = ic dx

Reemplazando la ecuación (2.28) en ésta y desarrollando obtenemos:

( ) ( )2

2

2

22

2K

dxX

l

QdXQdQp

l

QdQdQpdH

++−+= ,

Integramos esta relación de 0 a l,

l

0

Reemplazando y simplificando,

++= 22

2 3

1QdQpQdQp

K

lH (2.29)

Aproximadamente esto es:

( ) ( ) 3

2

222

2 3

11X

l

Qd

l

XQdQpQdXQdQp

KH ++−+=



2

2)55,0( QdQp

K

lH + (2.30)

Cuando, Qp = 0

2

23Qd

K

lH = (2.31)

Como se puede observar de la ecuación (2.30) y ecuación (2.31), las

pérdidas de energía para un conducto con descarga uniforme es menor a la

pérdida que se produce si Qd se descargaría de manera concentrada al

final de la conducción (punto D del sistema).

2.5.5 Tuberías Anulares o Cerradas

Para el análisis de tuberías anulares supongamos que tenemos el esquema

de la figura 2.9, donde el caudal principal Q se divide en el nudo A en Q1

y Q2 de sentidos opuestos, y en cada uno de los nodos se descargan los

caudales q1, q2 y q3.

Es obvio que, hay un nodo, llamado de unión (por ejemplo el nodo 2), al

cual fluye el líquido de los dos sentidos. Para este punto la carga debe ser

mínima y por consiguiente la suma de las pérdidas en un sentido, debe ser

igual al del otro sentido, siempre y cuando el punto analizado sea

realmente el punto de unión.

En este tipo de problemas generalmente se conoce el caudal Q, los

caudales descargados en los nodos, las longitudes y los diámetros de las

tuberías; deseándose conocer la distribución de caudales, el punto de

unión y las pérdidas de nodo a nodo.



Figura 2.9 Ejemplo de un Sistema Anular Cerrado

Para realizar los cálculos tenemos que definir un punto de unión, en este

caso para la figura 2.9, suponemos que es el 2, de tal manera que las

pérdidas de carga h(A-1-2) debe ser igual a la pérdida h(A-3-2). Así,

42

4

2

422

2

2

232

3

2

312

1

2

1 lK

Ql

K

Ql

K

Ql

K

Q+=+ (2.23)

Las ecuaciones de continuidad son:

1214

113

432

1321432

311

QqqQ

qQQ

QQq

QqqqQQQ

QqQ

−+=

−=

+=

−++=+=

+=

(2.24)

Reemplazando este sistema en la ecuación (2.23) obtenemos:



( ) ( ) ( )

42

4

2

12122

2

2

132132

3

2

1112

1

2

1 lK

Qqql

K

Qqqql

K

qQl

K

Q −++

−++=

−+ (2.25)

Por aproximaciones sucesivas se obtiene el valor de Q1 y demás caudales

del sistema (2.24). Se permite un desequilibrio del 5% en la magnitud de

las pérdidas, calculadas para los dos sentidos.

2.6 REDES DE DISTRIBUCION

Las redes de distribución se dividen en principales y secundarias:

La red principal se utiliza para la distribución de agua en una zona o población, y la

red secundaria se utiliza para el abastecimiento interno de viviendas, edificios u

otras obras de consumo de agua.

En esta sección nos dedicaremos al cálculo hidráulico de las redes principales de

distribución, dejando a un lado los parámetros de su diseño que corresponden a otro

curso.

Las condiciones hidráulicas y geométricas dependen de la topografía del territorio,

de la planificación de la ciudad, localización de las calles, localización de pequeños

y grandes consumidores (escuelas, fábricas, etc.), condición social de la población,

etc.

La demanda de agua depende del clima, población y tipo de industrias de la zona.

Actualmente el consumo doméstico por persona por día es de 250 a 300 l. Para la

determinación de la demanda se debe recurrir a la bibliografía especializada y

normas de diseño.

Para una zona determinada, el agua se puede distribuir en base a dos formas de red:

en paralelo figura 2.10a y en mallado o reticulado figura 2.10 b.



(a) (b)

Figura 2.10 Formas de Redes de Distribución

Para la distribución de agua en zonas urbanas, las normas de diseño recomiendan el

sistema de mallado como el más adecuado, debido a que, una interrupción del

servicio en determinado ramal no suspende el servicio a los demás ramales, lo que

no se puede evitar en el sistema ramificado.

2.6.1 Expresión para la Determinación de Pérdidas por Fricción

El cálculo de las pérdidas de carga se realiza con la ecuación de Darcy-

Weissbach, dada de la forma descrita en la ecuación (2.8); o a través de la

ecuación general (2.33) que sirve para representar a cualquier expresión

de determinación de pérdidas:

hr = rQm , (2.33)

donde, r depende de la fórmula que se utilice y las características de la

tubería; m, es el exponente que depende del tipo de relación existente

entre las pérdidas y la velocidad del flujo para la fórmula dada. Para la

ecuación de Darcy-Weissbach m=2, y

52

8

Dg

lr

= , (2.34)



Existen varios métodos para el cálculo de redes de distribución, siendo el

más práctico el de Hardy Cross, que consiste en una aproximación

sucesiva del equilibrio de pérdidas o equilibrio de caudales. Otro método

que se utiliza en la práctica es la semejanza eléctrica, donde la caída de

presión se sustituye por el voltaje y el caudal por la intensidad.

2.6.2 Cálculo Hidráulico

Analicemos el sistema mostrado en la figura 2.11, donde es necesario

determinar los caudales en cada uno de los ramales.

Para el análisis de la red están dados los caudales de consumo o demandas

en cada nodo q1, q2, …, y por lo tanto el caudal total Q, además, están

dadas las longitudes y el tipo de tuberías. Después de la numeración de

los nodos se realiza una distribución inicial de los caudales de diseño,

según del caudal de entrada Q y las demandas qi.

Figura 2.11 Red de Distribución



Designados los caudales en cada uno de los ramales, se procede a

determinar los diámetros estándar económicamente más convenientes.

Qade )3,17,0( (2.35)

donde, de - es el diámetro económico recomendado, en metros. Q es el

caudal en m3/s.

Existen otras expresiones como la del autor, cuyas unidades son

35,0)(5,53 slmm = .

35,05,53 Qd = (2.35)’

De esta forma, se determinan los valores de r para cada uno de los

ramales.

Se sabe que, la distribución real de caudales tiene que satisfacer la primera

y segunda leyes de Kirchhoff:

1) El equilibrio de caudales en cada uno de los nodos.

0=+ iij qQ (2.36)

2) El equilibrio de las pérdidas en cada uno de los circuitos elementales.

0)( == ij

m

ij Qrh (2.37)

Donde; i, j corresponden a la numeración de los nodos de cada uno de

los ramales del circuito.



Al establecer estas ecuaciones obtenemos un sistema cuya resolución es

posible de diferentes maneras. En la práctica se ha difundido el método

de Hardy Cross (1936) que utiliza el método de iteraciones de Newton

para la resolución de las ecuaciones y consiste en lo siguiente:

Definidos rij y Qij en cada tramo, se determinan para éstos las pérdidas de

carga.

ij

m

ij Qrh )(=

Considerándose que las pérdidas de carga en cada tramo, de cada uno de

los circuitos, son positivas si tienen el mismo sentido que el giro de las

manecillas del reloj, en caso contrario negativas.

Generalmente, en la primera distribución de caudales la suma de las

pérdidas de carga no es igual a cero

kij hh = 0 ,

Donde, k es el número del circuito.

Con estas consideraciones establecemos el siguiente sistema de

ecuaciones para el esquema de la figura 2.9, para m = 2;

III

II

I

hrQrQrQrQ

hrQrQrQrQ

hrQrQrQrQ

=−−+

=−−+

=−−+

78

2

67

2

56

2

58

2

25

2

45

2

34

2

23

2

18

2

58

2

25

2

12

2

)()()()(

)()()()(

)()()()(

(2.38)

Los valores III hh , y IIIh , son las cantidades con las que difieren de

cero la suma de las pérdidas para cada uno de los circuitos, por ser la

primera aproximación.



El acercamiento de h a cero es posible con una distribución adicional de

caudales en cada uno de los circuitos, en un valor - Q , que por ahora

desconocemos. Incluyendo en los circuitos este decremento de caudal

Q , obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Abrimos paréntesis en la primera ecuación del sistema (2.39) y agrupamos

de la siguiente manera:

0)(2)(2

)()()()(2)()()()(

5825

1858251218

2

58

2

25

2

12

2

=++

+++−−−+

IIIIII QrQQrQQ

rQrQrQrQrQrQrQrQ

La primera parte de esta ecuación es igual a Ih , la segunda es:

Iij QrQ )(2

para el circuito I, y por consiguiente la ecuación toma la forma,

(2.40)

Aquí se desconocen los valores de IQ , IIQ y IIIQ y los valores de

Ih , IIh y IIIh se conocen después de la primera distribución de

caudales.

0)(

)()()(

0)(

)()()(

0)(

)()()(

2

7878

2

6767

2

5656

2

5858

2

2525

2

4545

2

3434

2

2323

2

1818

2

5858

2

2525

2

1212

=+−

−+−−+−+

=+−−

−+−−+−

=+−

−+−+−+−

III

IIIIIIIIII

III

IIIIII

I

IIIIIIII

QQr

QQrQQrQQQr

QQQr

QQrQQrQQr

QQr

QQQrQQQrQQr

(2.39)

0)(2)(2])[(2 5825 =++− IIIIIIIijI QrQQrQQrQh



El método de Cross supone la simplificación de esta ecuación

suprimiendo los valores que contienen IIQ y IIIQ , de tal manera que la

ecuación (2.40) es igual a:

0])[(2 =− IIijI QrQh

o,

Iij

Iij

Iij

II

rQ

rQ

rQ

hQ

])[(2

])[(

])[(2

2

=

=

O, para cualquier Q correspondiente a los diferentes circuitos.

kij

kij

krQ

rQQ

])[(2

])[( 2

= (2.41)

La utilización de esta ecuación simplifica las operaciones para la

determinación de Q , pero es necesario una mayor cantidad de

iteraciones para la determinación del valor real de kQ .

2.6.3 Procedimiento de Cálculo

Una vez diseñada la configuración de la red de distribución se deben

seguir los siguientes pasos:

I. Atribuir unos caudales hipotéticos Qij a las diversas tuberías del

sistema, de tal manera que se cumpla en los nodos la condición.

0=+ iij qQ



II. Asignar los diámetros de acuerdo a la ecuación (2.35).

III. Calcular el valor de r para cada tubería de acuerdo a la ecuación

(2.34) o de la expresión que se obtiene al reemplazar a través del

coeficiente de Chezy.

33,523,10 Dlnr = , o 2K

lr = (2.42)

IV. Dividir la red en circuitos cerrados asegurando que cada tubería

esté incluida en por lo menos un circuito.

V. Calcular el valor de hr para cada tubería con la ecuación (2.8).

ijQrhr )( 2=

VI. Determinar la suma algebraica de las pérdidas en cada circuito.

VII. Calcular los valores de hrij/Qij para cada elemento, y su sumatoria

para cada circuito cerrado.

VIII. Determinar la corrección Q que hay que aplicar a los caudales

supuestos en cada circuito, utilizando la expresión (2.41).

ij

ij

ij

ij

ij

Q

hr

hr

Qr

hrQ

=

=

2)(2

IX. Revisar los caudales de acuerdo con la ecuación

QQQ ij =



considerando Q con el signo contrario al obtenido en el paso VII.

X. Repetir el proceso hasta que se obtenga por convergencia la

exactitud de equilibrio deseada.

Actualmente existen programas para simular el flujo en redes de

distribución, los cuales disminuyen completamente el tiempo de cálculo,

aumentan el grado de exactitud y dan la posibilidad de analizar varias

alternativas, se puede sugerir el programa EPANET 2.0 en español, de

disponibilidad gratuita.

EJEMPLO 2.3. Para la red mostrada en la figura 2.12 determinar los

caudales que pasan a través de cada ramal y las pérdidas de carga que se

producen en estos, considerando que la tubería es de PVC.

Figura 2.12 Red de Distribución de Agua de Tres Circuitos



Definimos el coeficiente de rugosidad de la tubería de PVC, según la tabla

2.1, n = 0,009.

Asignamos caudales hipotéticos a cada uno de los ramales; con estos

caudales definimos un diámetro referencial y calculamos el parámetro r

para cada ramal. Todos los cálculos están representados en la tabla 2.3.

El ejemplo de cálculo de equilibrio de caudales y pérdidas lo realizamos

con el apoyo de una hoja electrónica, en la cual se realizaron dos

iteraciones, dando como resultado los valores expuestos en la tabla 2.4.

En la tabla 2.5, se muestran los valores calculados con los programas

LOOP y EPANET; que, comparados con los obtenidos en la hoja

electrónica se nota una pequeña diferencia, producto de las pocas

iteraciones realizadas en la tabla 2.4.

Tabla 2.3 Cálculos Preliminares

Ramal Lontigud

L (m)

Caudal

(Q (l/s)

Diámetro

(mm)

Resistencia

r 103

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

100

120

150

80

150

80

120

80

120

300

120

15,0

6,0

2,5

1,0

2,0

2,0

2,0

7,5

3,5

1,0

1,5

125

75

50

50

50

50

50

75

50

50

50

5,4

99,1

1075,8

573,8

10,75,8

573,8

860,7

66,1

860,7

2151,7

860,7



Tabla 2.4 Análisis de Equilibrio de Caudales (Hoja Electrónica)

CIR. RAM. r*10-3 Qi*103 r*Qi2 r*Qi Q Q Qi r*Qi

2 r*Qi Q Q Qi

I

2 99,1 +6,0 +3,568 594,6 +0,16 +6,16 +3,760 610,4 +0,03 +6,19

6 573,8 +2,0 +2,295 1147,6 +0,16 +0,09 +2,25 +2,905 1291,0 +0,03 -0,04 +2,24

7 -860,7 -2,0 -3,443 1721,4 +0,16 -0,14 -1,98 -3,374 1704,2 +0,03 -0,01 -1,96

8 -66,1 -7,5 -3,718 495,8 +0,16 -7,34 -3,561 485,2 +0,03 -7,31

-1,298 3959,4 -0,270 4013,8

II

3 1075,8 +2,5 +6,724 2689,5 -0,09 +2,59 +7,216 2786,3 +0,04 +2,63

4 573,8 +1,0 +0,574 573,8 -0,09 +0,91 +0,452 522,2 +0,04 +0,95

5 -1075,8 -2,0 -4,303 2151,6 -0,09 -0,14 -2,23 -5,350 2399,0 +0,04 -0,01 -2,20

6 -573,8 -2,0 -2,295 1147,6 -0,09 -0,16 -2,25 -2,905 1291,0 +0,04 -0,03 -2,24

+0,700 3875,7 -0,587 6998,5

III

5 1075,8 +2,0 +4,303 2151,6 +0,14 +0,09 +2,23 +5,350 2399,0 +0,01 -0,04 +2,20

7 860,7 +2,0 +3,443 1721,4 +0,14 -0,16 +1,98 +3,374 1704,2 +0,01 -0,03 +1,96

9 -860,7 -3,5 -10,54 3012,4 +0,14 -3,36 -9,717 2892,0 +0,01 -3,35

10 -2151,7 -1,0 -2,152 2151,7 +0,14 -0,86 -1,591 1850,5 +0,01 -0,85

11 860,7 +1,5 +1,936 1291,0 +0,14 +1,64 +2,315 1411,5 +0,01 +1,65

-3,014 10328, -0,269 10257,

Tabla 2.5 Caudales para el Ejemplo 2.3

RAMAL

PROCESO

MANUAL LOOP EPANET

Q (l/s) V (m/s)

1 15,00 15,00 15,00 1,22

2 6,19 6,27 6,35 1,44

3 2,63 2,60 2,63 1,34

4 0,95 1,10 1,13 0,58

5 2,20 2,09 2,21 1,12

6 2,24 2,17 2,21 1,13

7 1,96 1,92 1,99 1,01

8 7,31 7,23 7,15 1,62

9 3,35 3,31 3,16 1,61

10 0,85 0,81 0,66 0,34

11 1,65 1,69 1,24 0,94



CAPÍTULO III

FLUJO EN CANALES

3.1. FLUJO UNIFORME

Uniforme se llama al movimiento en el cual los parámetros del flujo, en secciones

diferentes, permanecen constantes. Esta condición implica que la sección en el

tramo analizado del cauce permanezca constante.

En el movimiento uniforme la línea de energía, el plano de la superficie libre y la

pendiente de la solera del canal tienen que ser paralelos, como se muestra en la

figura 3.1.

Figura 3.1 Movimiento Uniforme en Cauces Abiertos

En esta figura tenemos que:



dl

dhri = , es el gradiente hidráulico

dl

hzdI

)( +−= , es la pendiente de la superficie libre del cauce,

dl

dzis −= , es la pendiente de la solera del cauce.

En el movimiento uniforme: siIi ==

3.1.1. Ecuación Básica del Movimiento Uniforme

La ecuación principal del movimiento uniforme en cauces abiertos es la

ecuación de Chezy.

RiCv = (3.1)

Aquí, C es el coeficiente de Chezy determinado en base a las siguientes

relaciones:

a) Con la ecuación analítica

/8gC = (3.2)

- se determina con las ecuaciones (1.12), (1.13) u otras, previo el

reemplazo del diámetro a través del radio hidráulico, D = 4R.

Este procedimiento se utiliza para cualquier tipo de régimen de flujo,

pero existe la dificultad en la determinación del coeficiente de

rugosidad k.



b) Con expresiones empíricas, desarrolladas bajo la consideración de que

)Re,,( RkfC =

De las fórmulas empíricas, la más difundida es la de Manning

propuesta en 1890,

nRC /6/1= , ]/[ 2/1 sm (3.3)

donde, n es el coeficiente de rugosidad según la tabla 2.1.

N. Pavlovsky (1925) considera variable el valor exponencial del radio

hidráulico y propone determinar de la siguiente manera,

nRC y /= , (3.4)

donde, ny 5,1= , para R < 1,

ny 3,1= , para R > 1.

I. Agroskin propone:

nRC /1lg72,17 += , (3.5)

Altshul y V. Teyn para cauces naturales, cuyos lechos estén formados

con grava y arena, canales no revestidos que acarreen azolves,

recomiendan la siguiente fórmula:

26)/8,14( 6/1 −= iC , i<0,03 (3.6)



Existen varias fórmulas para el paso del coeficiente de rugosidad n al

de rugosidad equivalente k, las cuales se pueden simplificar en la

siguiente expresión:

70

6/1kn = (3.7)

Del procesamiento de los datos obtenidos por Ivad-Zade (1983), en

varios canales artificiales se obtuvo la ecuación:

𝑛 = 0,014𝑑0,176 (3.7b)

3.1.2. Determinación del Calado Normal

Como calado o tirante normal conocemos a la profundidad que se

establece en un canal con flujo uniforme y se lo representa con ho.

Existen varios métodos para el cálculo de este calado; a continuación

analizaremos tres métodos, para lo cual son necesarios los siguientes datos

geométricos e hidráulicos. Para el canal trapezoidal mostrado en la figura

3.2 tenemos:

Figura 3.2 Condiciones Geométricas de los Canales



b, ancho de la base del canal; m = ctg , inclinación de las paredes

laterales con respecto a la horizontal o talud; Q, caudal o gasto; is = i,

pendiente del lecho del canal. Con los cuales se calcula:

Área de una sección trapezoidal:

hhmmbA ]2/)([ 21 ++= , (3.8)

Perímetro mojado:

)11(2

2

2

1 mmhb ++++= , (3.9)

Radio Hidráulico:

/AR = (3.10)

Cuando el canal es trapecial, m1 = m2;

hmhbA )( += , (3.8)’

212 mhb ++= (3.9)’

Para canales triangulares b = 0, y para rectangulares 090= (m=0).

a) Método analítico

Se aplica en canales de sección geométrica definida y constante

(canales prismáticos) utilizando la ecuación

RiACQ =



en donde cada una de las variables se le deja expresado en función de

h.

b) Método del Factor de Gasto o Caudal Característico

Para cauces naturales no siempre existen ecuaciones en función de h,

por lo que se puede encontrar la solución con ayuda de las ecuaciones

(2.2) y (2.3a):

RACK = ,

iQKo /=

Para las condiciones dadas conocemos el caudal característico Ko, por

esto, la solución consiste en determinar un valor de K, de tal manera

que K = Ko.

Esta condición se cumple dándose valores de h en las ecuaciones (3.8)

y (3.9) y calculando el factor de gasto K, hasta obtener el valor

buscado de Ko, por aproximaciones sucesivas.

c) Método del Exponente Hidráulico

Según Bakhmeteff los factores de gasto con sus profundidades, para

un mismo canal, guardan la siguiente relación:

x

h

h

K

K

=

2

1

2

2

1 ,

donde, x es el exponente hidráulico del cauce, considerado constante

para cada cauce natural o artificial.



La solución, según este método, consiste en tomar dos profundidades

h1 y h2, determinar K1 y K2, de tal manera se puede obtener el valor

del exponente hidráulico:

)/lg(

)/lg(2

21

21

hh

KKx = (3.10)

Una vez determinado este exponente hidráulico, calculamos el tirante

normal con la expresión:

x

ii KKohho /2)/(= (3.11)

Los métodos b y c son aplicables prioritariamente en cauces naturales,

pero se puede aplicar también en prismáticos. Se considera un cauce

prismático al de sección geométrica definida y constante a todo lo

largo

En el caso de tener como dato h y como incógnita b, se sigue el

procedimiento descrito en los métodos a y b.

EJEMPLO 3.1. Determinar el tirante normal ho en un canal trapecial de

tierra, si b = 1,5 m; Q = 2 m3/s; m = 1 y la pendiente i = 0,005.

Para canales de tierra, según la tabla 2.1, n = 0,025.

METODO a)

RiACQ = ,

donde,



h

hhA

225,1

)5,1(

+=

+=

6/1

025,0

1

225,1

)5,1(

RC

h

hhAR

=

+

+==

Resolviendo se tiene que

mhh o 62,0==

METODO b) Calculamos en base a la tabla 3.1, en la cual se utiliza la

fórmula de Manning para el coeficiente de Chezy.

Siendo, .28,28005,0/2/ === iQKo

Nos damos como primer tirante para el cálculo de K, h1 = 1m, obteniendo

que K1 > Ko, por lo que tomamos h2 = 0,5 m al cual le corresponde K2 =

19,60. Después de varias iteraciones encontramos que ho = 0,62 m, cuyo

valor de K es el más próximo a Ko.

Tabla 3.1 Cálculo del tirante normal

No. h A R K

I

II

1

0,5

2,5

1,0

4,328

2,91

0,578

0,343

69,39

19,60

.

.

N

0,62

1,314

3,25

0,403

28,71



METODO c) En este método, también, nos damos dos profundidades que

pueden ser h1 = 1 m y h2 = 0,5 m, obteniéndose los valores de K

expuestos en la tabla 3.1, con ayuda de los cuales calculamos el exponente

hidráulico,

64,3)5,0/1lg(

)60,19/39,69lg(2==x

y el tirante normal con la ecuación (3.11)

mho 61,039,69

28,281

64,3/2

=

=

Como se puede notar, de los dos métodos, el más rápido es el del

exponente hidráulico. Existiendo un cierto error admisible debido a que,

como se ha demostrado actualmente, el exponente hidráulico es

ligeramente variable.

3.1.3. Sección Hidráulica Óptima

Sección hidráulica óptima se llama a la sección transversal A de un canal

que tiene la capacidad máxima de escurrimiento o caudal.

Si analizamos la ecuación RiACQ = , notamos que, tanto el área A, el

gradiente i y la rugosidad n de canal, están dados, por lo que un valor

máximo del caudal obtendremos para Rmax, que corresponde a un valor

mínimo del perímetro mojado.

Analicemos una sección trapecial por ser más general, así

212 mhb ++= ,



y,

hmhbA )( += ,

de donde, mhhAb −= / ,

Remplazando,

212/ mhmhhA ++−= ,

)12(/ 2 mmhhA −++=

Derivando por h, considerando que A y m constantes:

012// 22 =++−−= mmhAdhd ,

Sustituyendo A

2

212

)(0 mm

h

hmhb++−

+=

212/0 mmmhb ++−−−=

o,

)1(2/ 2 mmhb −+= (3.12)

Si tomamos la segunda derivada de esta ecuación obtenemos un valor

positivo, lo que nos indica que la ecuación (3.12) es el mínimo de la

función.

La ecuación (3.12) nos da la relación hidráulica óptima de un canal

trapecial, para un canal rectangular el talud m igualamos a cero, y

obtenemos b/h = 2.



En general, el radio hidráulico óptimo es

,214

12

)1(2)1(2

)1(2

12

)(

2

2

22

222

2

mm

mhmh

mhmmh

mhmmh

mhb

hhmbRop

−+

−+=

++−+

+−+=

=++

+=

2/hRop = (3.13)

3.1.4. Canales de Sección Cerrada

Los canales de sección cerrada comprenden los túneles, conductos y

diferentes tuberías a través de los cuales el líquido fluye a gravedad. En

este caso el líquido puede o no llenar toda la sección.

Figura 3.3 Secciones de Canales Cerrados

a) Circular, b) Rectangular, c) de Baúl, d) Herradura, e) Ovalada



Cálculo Hidráulico. Para el cálculo hidráulico de canales de

sección cerrada se utiliza también, la ecuación de Chezy, pero debido a

la gran complejidad de las expresiones algebraicas para la

determinación del área, el perímetro mojado y el radio hidráulico, se

utilizan tablas o monogramas para simplificar el cálculo.

Entre los métodos de mayor sencillez tenemos el gráfico, en el cual se

utilizan las relaciones:

)/()/(1 HhHh QQfKKfa == ,

)/(2 Hh VVfb = ,

donde: a – es la relación de llenado para el caudal dado;

Kh, Qh – factor de gasto, y el caudal para el tirante h;

KH, QH – factor de gasto y caudal para la sección llena;

Vh – velocidad del flujo con el tirante h;

VH – velocidad del flujo para la sección llena.

En la figura 3.4 presentamos relaciones a y b para conductos de

sección circular y tipo baúl.

EJEMPLO 3.2. Determinar el caudal y la velocidad del flujo, en un

tubo de alcantarillado con pendiente i = 0,001 y diámetro D = 500

mm, para una relación de llenado h/H = 0,7.

Solución:

Según la tabla 2.1; n = 0,014,

22 1963,04/5,0 mA == ;



mDR 125,04/5,04/ === ;

51,50014,0/125,0 6/1 ==C ;

smRiACQ /1108,0001,0125,051,501963,0 3=== ;

smRiCVH /565,0==

Para la relación de llenado 0,7, según figura 3.4a, obtenemos:

a = 0,82 y b = 1,13; de donde:

smQaQ Hh /091,01108,082,0 3=== ;

smVbV Hh /638,0565,013,1 === .

Figura 3.4a Curvas de Caudal y Velocidad para Canales Circulares



Figura 3.4b Curvas de Caudal y Velocidad de Canales Tipo Baúl

3.2. FLUJO NO UNIFORME EN CANALES

Una de las principales tareas del estudio del flujo no uniforme en canales es la

determinación de las diferentes formas de los perfiles de la superficie libre y por

consiguiente los tirantes que se establecen a lo largo del flujo.

Conocemos que para el flujo no uniforme la velocidad media V, el tirante h, la

pendiente de la superficie libre I, etc., no se mantienen constantes a lo largo del

flujo, figura 3.5.

Para cauces con pendiente del lecho del canal o solera is constante, el tirante h

cambia a lo largo del cauce y el perfil de la superficie libre es una línea curva.



Figura 3.5 Flujo No Uniforme en Canales

Si el flujo es retardado, figura 3.6a, el tirante h aumenta a lo largo de éste y la

superficie libre forma una curva llamada de remanso o presión. Para un flujo

acelerado el tirante disminuye y la superficie forma una curva de derrame o

depresión, figura 3.6b.

a) Curva de Remanso b) Curva de Derrame

Figura 3.6 Formas de la Superficie Libre



3.2.1. Ecuación Diferencial del Flujo no Uniforme Gradualmente Variado

Recordemos que tener un flujo gradualmente variado implica que la

distribución de la presión es hidrostática para el plano normal al flujo, lo

que nos permite aplicar la ecuación de Bernoulli en cualquier sección.

En la figura 3.5 se puede ver que,

H = z + h

diferenciando y dividiendo para –dl obtenemos,

dl

dh

dl

dz

dl

dH−−=− ,

como,

Idl

dH=− y si

dl

dz=−

resulta que,

dl

dhiI s −= (3.18)

Por otro lado, la energía específica entre dos secciones está dada por la

ecuación de Bernoulli.

.2

2

consthrg

vhz =+++

Remplazando z + h = H, tenemos:



.2

2

consthrg

vH =++

Derivando para dl.

0)2/( 2

=++dl

dhr

dl

gvd

dl

dH ,

de donde,

dl

dhr

dl

gvd

dl

dH+=−

)2/( 2

Como; -dH/dl = I ; i = dhr/dl

idl

gvdI +=

)2/( 2 (3.19)

Analicemos los miembros de la derecha de la ecuación:

Según la ecuación de Chezy tenemos que,

)/()/( 22222 RCAQRCvi == ,

además;

dl

Ad

g

Q

dl

gAQd

dl

gvd )/1(

2

)2/()2/( 22222 == ,

El área de una sección invariable en el tiempo es función de la longitud l y

la profundidad h, el diferencial total de la función A es:



dhh

Adl

l

AdA

+

= ,

por lo que,

+

−=−= dh

h

Adl

l

A

AAdAAd

3

32 2/2)/1( ;

y,

+

−=

dl

dh

h

A

l

A

AdlAd

3

2 2/)/1( ;

Un incremento de área A = B h; donde B es el ancho del cual en la

superficie libre, figura 3.7, tenemos que

Figura 3.7 Incremento del Área en un Canal

A/ h = B



Por lo tanto:

322 /)//(/)2/( gAdlBdhlAQdlgvd +−=

Reemplazando esta ecuación y la de Chezy en la ecuación (3.19)

obtenemos:

RCAQdlBdhlAgA

QI 222

3

2

/)//( ++−=

(3.20)

Igualando las ecuaciones (3.18) y (3.20)

)/()//(/ 222

3

2

RCAQdlBdhlAgA

Qdldhis ++−=−

,

De donde,

BgA

Q

RCA

Q

l

A

gA

Qi

dl

dhs

−

−

+

=

3

2

22

2

3

2

1

(3.21)

Esta es la ecuación diferencial del movimiento no uniforme para canales

abiertos de sección variable.

En cauces prismáticos (sección constante), el área no depende de la

longitud l, por consiguiente A/ l = 0, tomando la ecuación (3.21), la

siguiente forma:

BgA

Q

RCA

Qi

dl

dh s

−

−

=

3

2

22

2

1

(3.22)



De acuerdo con Altshul (1977), el coeficiente de Coriolis es igual a:

𝛼 = 1 + 208/𝐶2 (3.23)

3.3. ENERGIA ESPECIFICA DE UNA SECCION

Como energía específica de una sección, se conoce a la parte de la energía del flujo

determinada por el tirante h y la altura de velocidad v2/2g, sin la consideración de la

energía específica de posición, de tal manera que:

gvhe 2/2+= (3.24)

Esta energía corresponde a cada sección y es independiente una de otra sección,

razón por la cual 12 ee

= , figura 3.8, lo que no se puede decir de la energía

específica total E.

Figura 3.8 Energía Específica de una Sección



Para el flujo uniforme la energía específica de una sección se mantiene constante, o

sea 𝑒1 = 𝑒2, donde:

gvhe 2/2

111 += ,

gvhe 2/2

222 +=

Para un canal, con caudal dado, la energía específica de la sección depende del

tirante h, y siempre es positiva, e>0;

02/)( 22 +== gAQhhfe (3.24)’

Si analizamos gráficamente la ecuación (3.24)’, tenemos que:

si 0→h , entonces 0→A , →)2/( 22 gAQ , y →e ;

si →h , entonces →A , 0)2/( 22 →gAQ , y →e ;

La representación gráfica de la energía específica de una sección hidráulica se

muestra en la figura. 3.9.

La ecuación (3.24), tiene un valor mínimo, correspondiente a un valor de la

profundidad llamada tirante crítico.

Figura 3.9 Variación de la Energía Específica



3.3.1. Tirante Crítico

El tirante crítico corresponde a la energía mínima de una sección, y

analíticamente se obtiene derivando la ecuación (3.23)

dh

dA

gA

Q

dh

gAQhd

dh

de3

222

1)2/(

0

−=+

==

Como dA/dh = B (ver figura 3.7), tenemos que,

32 /10 gABQ−= ,

o,

g

Q

B

A 23 = (3.25)

Esta expresión nos determina el tirante crítico de canales de cualquier

sección geométrica, resolviéndose esta por aproximaciones sucesivas o

gráficamente.

Para un cauce de sección rectangular es fácil determinar la magnitud del

tirante crítico, ya que A = b hcr,

gQbhcrb // 233 =

de donde:

3 22 / bgQhcr = (3.26)

Introduciendo el concepto de caudal unitario o específico a la relación q =

Q/b, tenemos:

3 2 / gqhcr = (3.26’)



Para canales prismáticos este autor propone resolver la siguiente ecuación

por aproximaciones sucesivas, asignando como primer valor hcr= 1.

ℎ𝑐𝑟 =[𝛼𝑄2{𝑏+(𝑚1+𝑚2)ℎ𝑐𝑟}/𝑔]1/3

[𝑏+(𝑚1+𝑚2

2)ℎ𝑐𝑟]

(3.27)

El tirante crítico tiene gran importancia física, ya que permite dividir a las

corrientes en dos tipos de flujo. Si el flujo posee una profundidad mayor

que el tirante crítico éste se denomina subcrítico, tranquilo o fluvial, y si

su profundidad es menor al tirante crítico, se denomina flujo supercrítico,

rápido o torrencial. Las condiciones físicas para estos flujos son diferentes

e influyen drásticamente en las condiciones de diseño en las obras

hidráulicas.

Como parámetro determinante de un régimen subcrítico o supercrítico se

tiene el Número de Froude, que es la relación adimensional entre la

velocidad media del flujo y la velocidad de difusión de las ondas en el

agua √𝑔ℎ.

𝐹𝑟 =𝑉

√𝑔ℎ (3.28)

Si, Fr < 1 – el régimen en subcrítico

Fr = 1 – régimen crítico

Fr > 1 – régimen supercrítico



3.3.2. Pendiente Crítica

Crítica se llama la pendiente a la cual, dado un caudal Q, se establece un

flujo uniforme con una profundidad igual al tirante crítico.

La pendiente crítica, también sirve de parámetro de comparación para la

determinación de flujos subcríticos y supercríticos; si la pendiente del

canal es menos que la crítica, el régimen es fluvial y si es mayor, es

torrencial.

La pendiente crítica se encuentra a partir de la ecuación de Chezy.

RcrCcrAcrQIcri 222 /==

EJEMPLO 3.3 Determinar el tipo de flujo que se establece en un canal

rectangular de pendiente is = 0,005, ancho b=10m y un caudal Q=20m3/s.

Si el canal tiene un revestimiento de hormigón.

Solución:

Según la tabla 2.1, el coeficiente n= 0,014

Calculamos el tirante crítico, tomando 1=

(Con la ec.3.2, =1,047)

mhcr 745,0108,9/203 22 ==

Por lo tanto:

Acr = 10 · 0,745 = 7,45m2

cr = 10 + 2 · 0,745 = 11,2m

Rcr = 7,45/11,5 = 0,65m

Ccr = (0,65)1/6/0,014 = 66,48 m1/2/s

Icr = 202/(7,452*66,482* 0,65) = 0,0025

Como tenemos que, 0,005 = is > Icr = 0,0025, entonces el flujo es

supercrítico, rápido y torrencial.



3.4. FORMAS DE LA SUPERFICIE LIBRE

Dependiendo del valor de la pendiente de la solera del canal is y de la pendiente

crítica se puede obtener la siguiente clasificación:

is < icr pendiente suave

is > icr pendiente pronunciada

is = icr pendiente crítica

is = o pendiente horizontal

is < o pendiente adversa

Para determinar las diferentes formas de la superficie libre expresamos la ecuación

(3.22) de la siguiente forma:

BA

gQ

KKoi

BA

gQ

K

Qi

l

hs

s

/

/1

)/(1

/

/1

3

2

2

3

2

2

2

−

−=

−

−

=

(3.29)

donde:

Ko – caudal característico correspondiente al flujo uniforme,

K – factor de gasto de la tirante existente h,

gQ /2 - función que corresponde a la profundidad crítica,

A3/B – función que corresponde a la profundidad existente.

Esta ecuación nos expresa la variación de la profundidad a lo largo del flujo. El

valor positivo de h/ l corresponde a las curvas de remanso y el negativo a las

curvas de derrame. Para el análisis de la superficie libre simplifiquemos la

ecuación (3.29) a la siguiente forma:

)/(1

)/(1

hhcrf

hhofi

l

hs

−

−=

La existencia del tirante crítico y del tirante normal, dividen al flujo en tres zonas, a

cada una de las cuales le corresponde una forma, expuestas en la tabla 3.2.



Tabla 3.2 Formas de la Superficie Libre

FORMAS DE LOS PERFILES ANALISIS DE LA

ECUACION (3.28)

1. PENDIENTE SUAVE

is<icr . TIPO M (Mild)

TIPO M1

h>ho>hcr

f/ho/h)<l

f(hcr/h)<l

h/ l = +/+

REMANSO

TIPO M2

ho>h>hcr

f(ho/h)>1

f(hcr/h)<1

h/ l = -/+

DERRAME

TIPO M3

ho>hcr>h

f(ho/h)>1

f(hcr/h)>1

h/ l = -/-

REMANSO

2. PENDIENTE PRONUNCIADA

Is>icr . TIPO S (Steep)

TIPO S1

h>hcr>ho

f(ho/h)<1

f(hcr/h)<1

h/ l = +/+

REMANSO

TIPO S2

hcr>h>ho

f(ho/h)<1

f(hcr/h)>1

h/ l = +/-

DERRAME

TIPO S3

hcr>ho>h

f(ho/h)>1

f(hcr/f>1

h/ l = -/-

REMANSO

M1

M2

M3

Is<icr

h0

hcr

h0

hcr

S1

S2

S3

Is>icr



Tabla 3.2 Formas de la Superficie Libre (Continuación)

3. PENDIENTE CRITICA

is = icr . TIPO C

TIPO C1

h>ho=hcr

f/ho/h)<1

f(hcr/h)<1

h/ l = +/+

REMANSO

TIPO C2

ho=hcr>h

f(ho/h)>1

f(hcr/h)>1

h/ l = -/-

REMANSO

4. PENDIENTE HORIZONTAL

is = 0 . TIPO H

TIPO H2

h>hcr

f(ho/h)>1

f(hcr/h)<1

h/ l = -/+

DERRAME

TIPO H3

hcr>h

f(ho/h)>1

f(hcr/h)>1

h/ l = -/-

REMANSO

5. PENDIENTE ADVERSA

is < 0 . TIPO A

TIPO A2

h>hcr

f(ho/h)>1

f(hcr/h)<1

h/ l = -/+

DERRAME

TIPO A3

hcr>h

f(ho/h)>1

f(hcr/h)>1

h/ l = -/-

REMANSO

h0=hcr

C1

C3

Is=icr

hcr

H2

H3

Is=0

hcr

A2

A3

Is<0



3.5. DISEÑO DE LA SUPERFICIE LIBRE

La ecuación (3.29) describe diferencialmente la forma de la superficie libre y se

resuelve mediante diferentes métodos desarrollados por varios autores. En la

actualidad, debido al uso más frecuente de los microcomputadores es posible la

solución de esta ecuación en base a métodos numéricos, una de las cuales

corresponde a la integración por el método de los trapecios.

==2

1

2

1

1

1)/(

h

hhhldll , (3.30)

Conociendo el valor de h1 y estableciendo un h, se puede determinar h2 y la

longitud a la cual ésta existe, hasta obtener el valor de h2 o h1 dados.

A continuación presentamos el método desarrollado por Pavlovsky como resultado

de la integración de la ecuación. (3.29):

A) Para canales is > 0

))(1( 12

2

12−−−−= FrlNis (3.31)

donde,

,1

1lg151,1

,1

1lg151,1

/

,/

),/()(

22

11

1212

−

+=

−

+=

=

=

−−=

i

ii

i

ii

o

o

KK

KK

hhN

si, h < ho

si, h > ho



)/()(22

gBiCFr s=

Aquí, 2

Fr corresponde al valor medio de las características del flujo para las

secciones 1 y 2.

B) Para canales is = 0

)()( 1212

2 −−−= crcr FrlNi , (3.32)

donde,

crKK /11= ; crKK /22

= ,

3/3

11 = ; 3/3

22 = ,

)/()(22

crcrcrcrcr gBiCFr = ,

C) Para canales is < 0

))(1()( 12

2

12−++−−= FrlNis (3.33)

donde,

*

011 / KK= ; *

022 / KK=

Ko*, corresponde a un valor ficticio de ho, tomando el valor absoluto de la

pendiente, si .

)(arctg= .



3.5.1. Puntos de Control

Para definir el perfil de una superficie libre, a más de la geometría del

canal, se debe conocer al menos en un punto la velocidad o caudal y el

tirante del flujo, a estos puntos se les conoce como puntos de control.

La ubicación del punto de control depende del régimen del flujo. Para

regímenes subcríticos, las condiciones de aguas abajo son las que

imponen la forma del perfil, y en esa zona debe encontrarse el punto de

control; para el régimen supercrítico las condiciones de aguas arriba son

las determinantes.

EJEMPLO 3.4 Determinar el perfil de la superficie libre para un canal

rectangular de hormigón, el cual cambia de pendiente de suave a

pronunciada (is = 0,1) y se muestra en la figura 3.10. El ancho del canal

es b = B = 2m, la longitud L =50 m y el caudal Q = 1,8 m3/s.

Figura 3.10 Perfil de la Superficie Libre en una Rápida



Solución. Para un canal de hormigón, según la tabla 2.1, el coeficiente de

rugosidad n = 0,014. Para el tramo inicial, de pendiente suave,

suponemos que el flujo es uniforme y corresponde a la entrada de la

rápida o canal de pendiente pronunciada.

Calculamos el caudal característico,

smKo /69,51,0

8,1 3==

Siguiendo el procedimiento descrito en el ejemplo 3.1, obtenemos el

tirante normal:

44,01 =h ; 52,281 =K ;

4,02 =h ; 79,242 =K ,

93,2=x

mmho 15,0146,0 =

El paso del régimen fluvial al torrencial es a través del tirante crítico y

este se establece en el punto correspondiente al cambio de pendiente,

siendo este un punto de control.

Calculamos el tirante crítico:

.436,0)28,9(8,13 22 mhcr ==

Con el apoyo de la ecuación (3.31) de Pavlovsky obtenemos el perfil de la

superficie libre, cuyos resultados se muestran en la primera parte de la

tabla 3.3. Y los resultados del método de integración directa de la

ecuación (3.29) en las tres últimas columnas de la mencionada tabla.



Tabla 3.3 Perfil de la Superficie Libre con los métodos de Pavlovsky e integración

directa.

h A x R C K æ ho B φ Fr Δl Σ l F(x) Δl Σ l

0,435 0,87 2,87 0,30 58,54 28,0 4,93 0,15 2,00 0,21 24,37 -0,04

0,425 0,85 2,85 0,30 58,38 27,1 4,76 0,15 2,00 0,21 24,41 0,00 0,00 -0,80 0,00 0,00

0,415 0,83 2,83 0,29 58,22 26,2 4,60 0,15 2,00 0,22 24,45 0,01 0,02 -1,64 0,01 0,02

0,405 0,81 2,81 0,29 58,05 25,2 4,44 0,15 2,00 0,23 24,48 0,02 0,04 -2,57 0,02 0,04

0,395 0,79 2,79 0,28 57,88 24,3 4,27 0,15 2,00 0,24 24,51 0,03 0,07 -3,61 0,03 0,07

0,385 0,77 2,77 0,28 57,70 23,4 4,12 0,15 2,00 0,25 24,53 0,04 0,11 -4,76 0,04 0,11

0,375 0,75 2,75 0,27 57,52 22,5 3,96 0,15 2,00 0,26 24,55 0,05 0,16 -6,06 0,05 0,16

0,365 0,73 2,73 0,27 57,33 21,6 3,80 0,15 2,00 0,27 24,57 0,07 0,23 -7,52 0,07 0,23

0,355 0,71 2,71 0,26 57,14 20,8 3,65 0,15 2,00 0,28 24,59 0,08 0,31 -9,16 0,08 0,32

0,345 0,69 2,69 0,26 56,94 19,9 3,50 0,15 2,00 0,29 24,59 0,10 0,42 -11,03 0,10 0,42

0,335 0,67 2,67 0,25 56,73 19,0 3,34 0,15 2,00 0,31 24,60 0,12 0,54 -13,16 0,12 0,54

0,325 0,65 2,65 0,25 56,51 18,2 3,20 0,15 2,00 0,32 24,60 0,14 0,68 -15,60 0,14 0,68

0,315 0,63 2,63 0,24 56,29 17,4 3,05 0,15 2,00 0,34 24,59 0,17 0,85 -18,43 0,17 0,85

0,305 0,61 2,61 0,23 56,06 16,5 2,90 0,15 2,00 0,36 24,57 0,20 1,05 -21,70 0,20 1,05

0,295 0,59 2,59 0,23 55,82 15,7 2,76 0,15 2,00 0,38 24,55 0,24 1,28 -25,54 0,24 1,29

0,285 0,57 2,57 0,22 55,57 14,9 2,62 0,15 2,00 0,40 24,52 0,28 1,56 -30,08 0,28 1,57

0,275 0,55 2,55 0,22 55,31 14,1 2,48 0,15 2,00 0,43 24,49 0,33 1,89 -35,51 0,33 1,89

0,265 0,53 2,53 0,21 55,05 13,4 2,35 0,15 2,00 0,46 24,44 0,39 2,28 -42,06 0,39 2,28

0,255 0,51 2,51 0,20 54,77 12,6 2,21 0,15 2,00 0,49 24,39 0,46 2,73 -50,08 0,46 2,74

0,245 0,49 2,49 0,20 54,48 11,8 2,08 0,15 2,00 0,52 24,32 0,55 3,28 -60,09 0,55 3,29

0,235 0,47 2,47 0,19 54,17 11,1 1,95 0,15 2,00 0,57 24,25 0,66 3,94 -72,81 0,66 3,96

0,225 0,45 2,45 0,18 53,85 10,4 1,82 0,15 2,00 0,62 24,16 0,81 4,75 -89,42 0,81 4,77

0,215 0,43 2,43 0,18 53,52 9,7 1,70 0,15 2,00 0,67 24,06 1,00 5,75 -111,82 1,01 5,78

0,205 0,41 2,41 0,17 53,17 9,0 1,58 0,15 2,00 0,75 23,94 1,27 7,02 -143,41 1,28 7,05

0,195 0,39 2,39 0,16 52,80 8,3 1,46 0,15 2,00 0,84 23,81 1,65 8,67 -190,81 1,67 8,72

0,185 0,37 2,37 0,16 52,41 7,7 1,35 0,15 2,00 0,96 23,66 2,26 10,93 -268,95 2,30 11,02

0,175 0,35 2,35 0,15 52,00 7,0 1,23 0,15 2,00 1,13 23,49 3,35 14,28 -420,04 3,44 14,47

0,165 0,33 2,33 0,14 51,57 6,4 1,13 0,15 2,00 1,42 23,29 5,82 20,10 -828,09 6,24 20,71

0,155 0,31 2,31 0,13 51,11 5,8 1,02 0,15 2,00 2,32 23,08 18,82 38,91 -5546,39 31,87 52,58

La curva se acerca asintóticamente al tirante normal, por lo que, a la

distancia de 39m, se puede decir que, ya se tiene la profundidad normal.

Por el método de integración de trapecios se tendría que a los 50m alcanza

el valor del tirante normal.

En la actualidad hay diferentes programas libres disponibles cómo el H-

CANALES, que resuelven este y otros problemas.



CAPITULO IV

VERTEDEROS

Si en la solera de un canal, natural o artificial, se coloca una obra para el paso del flujo

sobre ésta, el nivel de la superficie libre de la corriente superficial se eleva hasta que el

caudal que pasa sobre la estructura es igual al caudal que fluye por el canal. A esta

estructura sobre la cual se vierte el líquido libre o controlado se le denomina vertedero o

vertedor hidráulico.

4.1. ELEMENTO DE LOS VERTEDEROS

Siguiendo el sentido del flujo, al sector o zona anterior a cualquier estructura se le

denomina “aguas arriba” y al tramo posterior “aguas abajo”.

En la figura 4.1 presentamos los parámetros característicos de un vertedero y son:

Figura 4.1 Parámetros de los Vertederos

H - tirante o carga de un vertedero, se denomina a la altura de la lámina vertiente

medida a la distancia 1 > 3H aguas arriba del vertedero.

s - ancho de la cresta o borde, de la parte horizontal superior de un vertedero.



b - longitud de la cresta.

p1, p2 - alturas del vertedero de aguas arriba y aguas abajo.

ha - profundidad o tirante del flujo en la zona de aguas abajo.

B - ancho del canal de acercamiento.

Vo - velocidad de acercamiento al vertedero.

Existen otros parámetros que influyen en la descarga de un vertedero, como: La

forma del canal de acercamiento, la forma de la cresta, la profundidad del nivel de

aguas abajo, etc., etc.

4.2. CLASIFICACION DE LOS VERTEDEROS

A los vertederos se los clasifica de diferentes maneras, de las cuales presentamos

las siguientes:

I. POR SU PERFIL

a) Pared Delgada. Son aquellos, en los cuales el ancho de la cresta s no

influye en la forma de la lámina vertiente, debiéndose cumplir la

condición s < 0,67H, figura 4.2

Figura 4.2 Vertedero de Pared Delgada Figura 4.3 Vertedero Poligonal

b) Perfil Poligonal. El ancho de la cresta s toma valores de 0,67H a

2,00H, figura 4.3. Además, los taludes aguas arriba y aguas abajo tienen



cualquier inclinación con respecto a la horizontal y están determinados

por los ángulos 1 y 2 .

c) Cresta Ancha. El ancho de la cresta varía entre 2H<s<10H figura 4.4.

Para este valor de s las pérdidas por longitud todavía son despreciables.

Figura 4.4 Vertedero de Cresta Figura 4.5 Vertedero de Cresta

Ancha Redondeada

d) Cresta Redondeada. Figura 4.5. Su perfil, generalmente, se diseña

según la superficie inferior de una vena líquida que se derrama

libremente, cuya carga corresponde al caudal de proyecto. Se les

conoce con el nombre de vertederos de perfil práctico o Creager –

Ofitzérov.

En esta clasificación se incluyen los vertederos de perfil circular, de

perfil parabólico y otros.

II. POR LA FORMA DEL ORIFICIO VERTIENTE

La forma geométrica del orificio depende de las condiciones de

funcionamiento que el diseñador considera es adecuada para cada aplicación

y hay triangulares, rectangulares, trapeciales, circulares, ovalados y otros

Figura 4.6.



a) b) b)

c) d) e)

Figura 4.6 Vertederos Según su Orificio

a) Rectangulares, b) Trapeciales, c) triangulares, d) curvos, e) combinados.

III. POR SU CONFIGURACION EN EL PLANO

a) Vertederos Extendidos. La cantidad del líquido que se vierte por un

vertedero depende de la longitud de la cresta b, razón por la que, para

aumentar la cantidad de descarga del vertedero, a las crestas en el plano

se les da diferentes formas como se muestra en la figura 4.7.

b)

Figura 4.7 Vertederos Extendidos



c) Cresta Cerrada. Figura 4.8. Guardan relación con los aliviaderos tipo

pozo, que están conectados a un túnel. Entre estos se encuentran los

abocinados (conocidos como aliviaderos Morning Glory), los de pétalos

de margarita y otros.

Figura 4.8 Cresta Cerrada

IV. POR SU POSICION RESPECTO AL SENTIDO DEL FLUJO

La posición del vertedero con respecto a la dirección del flujo de llegada

también da el nombre a estos, por ejemplo los mostrados en la figura 4.9.

Figura 4.9 Vertederos según el Sentido del Flujo

a) normales, b) diagonales y c) laterales.



V. SEGÚN EL TIRANTE DE AGUAS ABAJO

Se les clasifican en sumergidos y no sumergidos, figura 4.10. En el caso de

que, el tirante de aguas abajo ha sea menor que p2 el vertedero no está

sumergido, en caso contrario es un vertedero sumergido. La condición de

sumergido influye directamente en la capacidad de paso del flujo por el

vertedero.

Figura 4.10 Vertederos No Sumergido y Sumergido

4.3 ECUACIÓN DE CAUDAL PARA VERTEDEROS

La ecuación de gasto para vertederos la obtenemos a partir de la ecuación de

Bernoulli para los puntos 1 y 2 figura 4.11.

Figura 4.11 Determinación de la Ecuación de Caudal



)1(2222

2

2

2

2

2

2

2

1 +=+=+g

u

g

u

g

u

g

vh o ,

Donde: h1 es variable y vo2/2g = const.

01

2

12

hg

vh o =+ ,

y,

2

/11 vC=+ ,

De donde,

012 2 hgCu v= (4.1)

El caudal es igual a:

=A

dAuQ 2 .

El tirante h01 toma valores de cero a Ho.

2/3

0

10 23

22 HogbCbdhhgCQ v

Ho

v == .

Si, vCm3

2=

2/32 HogmbQ = , (4.2)



Esta es la ecuación principal de vertederos, donde a m se le conoce como

coeficiente de gasto o caudal.

En ciertos casos la ecuación (4.2) se utiliza reemplazando Ho a través de H, y la

velocidad de acercamiento se le considera en el coeficiente de gasto, y se

escribe,

2/32 HgbmQ o= (4.3)

donde:

2/32

21

+=

gH

vmm o

o

Si, 02 Cgmo = , entonces

2/3

0bHCQ = , (4.4)

Siendo ésta, otra de las formas en que se representa a la ecuación de caudal para

vertederos, muy difundida en la bibliografía americana.

Para considerar la variación de caudal en los vertederos no sumergidos o

sumergidos, se introduce un coeficiente adicional a la ecuación (4.3) llamado

coeficiente de inmersión ns. Para vertederos no sumergidos ns = 1 y

sumergidos ns < 1. Así:

2/32 HogbmnQ os= (4.5)

Experimentalmente se ha demostrado que el coeficiente de caudal m

frecuentemente toma valores de 0,3 a 0,6 o, para la ecuación (4.4) 1,0 < C <

2,7, pero según la forma del labio pueden tomar otros valores.



4.4 VERTEDEROS DE PARED DELGADA

Los vertederos de pared delgada se utilizan, comúnmente, en calidad de medidores

de caudal, figura 4.12.a

a) b)

Figura 4.12 Condición de Flujo en Pared Delgada

En este tipo de vertederos, en la parte posterior, pueden establecerse presiones

menores a la atmosférica, eliminar este fenómeno se consigue poniendo en contacto

la superficie inferior de la lámina vertiente con el medio ambiente. La presión

negativa modifica el caudal de descarga y la forma de la lámina vertiente como se

muestra en la figura 4.12.b.

4.4.1 Coeficiente de Caudal de un Vertedero de Pared Delgada

La apreciación del coeficiente de caudal m se realiza en base a ecuaciones

empíricas y tenemos:

Bazin

H

m003,0

405,0 += (4.6)



R. Chugaev, para valores de p1 > 0,5 y H > 0,1m

1

005,04,0p

Hmo += (4.7)

H. Smith, (British Standard)

−==

b

Hmm o 1,01616,0

3

2 (4.8)

La utilización de las ecuaciones presentadas u otras, en su mayoría, dan un

error aproximado del orden del 1 a 2%, aceptables en la determinación de

caudales.

4.4.2 Coeficiente de Inmersión

Para la determinación del coeficiente de inmersión se utilizan tablas,

gráficos y ecuaciones dadas en la mayoría de los manuales de hidráulica;

aquí presentamos la ecuación de Bazin.

3

2

/2,0105,1 Hzp

hn s

s

+= (4.9)

Figura 4.13 Vertedero de Pared Delgada Sumergido



Para un vertedero de pared delgada sumergido, con un tirante de aguas

abajo que sobrepase el borde o cresta en una magnitud mayor a 0,1H, en

el vertedero se forma una lámina ondulada como se muestra en la figura

4.13.

4.4.3 Otros Vertederos de Pared Delgada

Por facilidades constructivas y utilidad en la medida de caudales son

bastante comunes los vertederos de orificio triangular y trapecial.

Vertedero de Orificio Triangular. Se muestra en la figura 4.14a. Para

éstos vertederos, es muy difundidas las ecuaciones de King y Tomson

siempre y cuando ese ángulo de abertura º90= y la ecuación de Grava

para los ángulos 22º º118 :

a) b)

Figura 4.14 Vertederos Triangular y Trapecial

Ecuación de King

47,2343,1 HQ = (4.10)

Ecuación de Tomson

2/54,1 HQ = (4.11)



Ecuación de Grava

47,2996,0)2/(331,1 HtgQ = (4.12)

Vertedero con Orificio Trapecial. Figura 4.14b. La ecuación para la

determinación de caudal, aplicable para ctg 4/1= , es:

2/386,1 bHQ = , (4.13)

4.5 VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA

Anotemos la ecuación de energía específica de una sección localizada sobre la

cresta del vertedero, figura 4.15:

22

22

22 hgb

Qhz

g

vhze

++=++= (4.14)

Figura 4.15 Flujo en un Vertedero de Cresta Ancha

Según Bakhmeteff (1912), el tirante que se establece sobre la cresta de un vertedero

es aquel, al cual la energía de la sección del flujo alcanza su valor mínimo.



La ecuación (4.14) diferenciamos por dh para encontrar el mínimo de energía,

0132

2

=−=hgb

Q

dh

de ,

de donde:

crhgbQh == 3 22 / (4.15)

Como se definió en el capítulo anterior, hcr es el tirante crítico, por lo que:

2

2

22

2

2

2

2 )(cr

crcrcr

cr vgb

hb

gb

vA

gb

Qh

===

por consiguiente,

g

vh cr

cr

2

= (4.16)

Esta relación utilizaremos para determinar el valor del tirante sobre la cresta.

Anotamos la ecuación de Bernoulli para las secciones 1 y 2 de la figura 4.15.

g

v

g

vh

g

vH crcr

cro

222

222

++=+ ,

el coeficiente depende de la forma de la cresta, y

Hog

vH o =+

2

2

,



por lo que:

)1(2

2

++=g

vhHo cr

cr ,

y:

)(21

1crcr hHogv −

+=

,

reemplazando,

vC=

+ 1

1 ,

Cv - es el coeficiente de velocidad para el vertedero

)(2

22

crvcr hHoCg

v−= ,

También,

)(22

2

crvcr hHCg

v−= ,

y según la ecuación (4.16):

)(22

crvcr hHoCh −=

Consideremos hcr = kHo, entonces:

)(22

kHoHoCkHo v −= ,



De donde:

2

2

21

2

v

v

C

Ck

+= , (4.17)

La inexistencia de pérdidas hidráulicas en el vertedero (flujo ideal) corresponde

para un valor de Cv = 1,0 nos daría el valor máximo sobre la cresta del vertedero:

.3

2Hoh =

La ecuación de caudal según Bakhmeteff es,

)(2 crvcr hHogChbQ −=

o,

2/321)(2 HogkkbCkHoHogHokbCQ vv −=−= ,

Si, kkCm v −= 1 , entonces:

2/32 HogbmQ = ,

Para, Cv = 1 obtenemos m = 0,385, que corresponde al valor máximo del

coeficiente de caudal para un vertedero de cresta ancha. Generalmente m = (0,30 a

0,35).

El coeficiente de caudal m para un vertedero de cresta ancha con aristas vivas, se

puede determinar con la ayuda de la ecuación de A. Berezinsky, Figura 4.15:



H

pH

p

m1

1

75,046,0

3

01,032,0

+

−

+= , (4.19)

Para vertederos con aristas redondeadas a la entrada, con r/H 2, el coeficiente de

gasto según A. Berezinsky es:

H

pH

p

m

2

32,1

3

01,036,01

1

+

−

+= (4.20)

.

Para un régimen sumergido en la ecuación de caudal se introduce el coeficiente de

inmersión ns.

2/32 HogmbnQ s= ,

donde, ns se puede apreciar con la siguiente ecuación, aplicable para 0,75 ≤ℎ𝑠

𝐻0≤

0,98.

𝑛𝑠 = 26,799 − 96,532 (ℎ𝑠

𝐻𝑜) + 121,55 (

ℎ𝑠

𝐻𝑜)

2

− 51,607 (ℎ𝑠

𝐻𝑜)

3

4.6 VERTEDEROS DE PERFIL CURVO

Los vertederos de perfil curvo son todos aquellos que, no están considerados como

vertederos de pared delgada ni como de cresta ancha y, se caracterizan por tener sus

aristas redondeadas.



Según su perfil existen tres tipos principales que son:

1) Vertederos de perfil práctico o Creager – Ofitzarov figura 4.16 a

2) Perfil curvo con cresta horizontal figura 4.16 b

3) Perfil alargado figura 4.16 c.

Figura 4.16 Vertederos de Perfil Curvo

4.6.1 Vertederos de Perfil Práctico

Se denomina así, al vertedero cuyo perfil se diseña según la trayectoria de

la lámina interior de una vena líquida en derrame libre a través de un

vertedero de pared delgada. Figura 4.16 a.

En base a los resultados experimentales de Creager-Ofitzérov se

determina la trayectoria de la vena vertiente, cuyas coordenadas

presentamos en la tabla 4.2. Para obtener las del vertedero diseñado se

deben multiplicar los valores de la tabla por la carga H.



Tabla 4.2 Coordenadas de un Vertedero de Perfil Práctico

Figura 4.17 Vertederos de Perfil Práctico

El coeficientes de caudal para el vertedero de la figura 4.16a tiene el valor

de m = 0,49; y para el mostrado en la figura 4.16 b, si el tramo horizontal

= 0, se tiene que m = 0,48.

Para 0,3H < s <2,5H (figura 4.16 b), el coeficiente de gasto se determina

con la ecuación de A. Berezinsky,

Hs

Hsm

/21

/5,21,036,0

+

−+= (4.21)

Para vertederos sumergidos el coeficiente de inmersión está dado por la

siguiente relación obtenida del trabajo de Pavlovsky.

𝑛𝑠 = 1,0 − 1,2924 (ℎ𝑠

𝐻𝑜)

3

+ 1,0682 (ℎ𝑠

𝐻𝑜)

2

− 0,3291 (ℎ𝑠

𝐻𝑜) (4.22)



El Bureau of Reclamation de los Estados Unidos recomienda diseñar el perfil de los

vertederos como se muestra en la figura 4.18, en el que se consideran cuatro

opciones de inclinación de la pared de ingreso al vertedero. Las más utilizadas son

la pared vertical (90°) y la 3:3 (45°).

Figura 4.18 Perfil del vertedero USBR

Los valores de los coeficientes están presentados en el manual de Diseño de presas

Pequeñas (1982, págs. 304-310), sin embargo, de manera aproximada, algunos de

los coeficientes presentamos a continuación.

Para un paramento vertical (90°)

𝐾 = 0,4985 + 0,3802𝑉0

2/2𝑔

𝐻0− 2,6894(

𝑉02/2𝑔

𝐻0)2 , (4.23)

𝑛 = 1,8722 − 0,5945𝑉0

2/2𝑔

𝐻0+ 2,0862(

𝑉02/2𝑔

𝐻0)2 , (4.24)

𝑅1

𝐻0= 0,5277 − 0,3282

𝑉02/2𝑔

𝐻0− 2,127(

𝑉02/2𝑔

𝐻0)2 , (4.25)

𝑅2

𝐻0= 0,2317 − 0,4776

𝑉02/2𝑔

𝐻0+ 1,5152(

𝑉02/2𝑔

𝐻0)2 , (4.26)



Si, P/H0 0,5

𝐶0 = 1,716 + 1,576 (𝑃

𝐻0) − 1,635 (

𝑃

𝐻0)

2

, (4.27)

Si, P/H0 0,5

𝐶0 = 2,047 + 0,1276 (𝑃

𝐻0) − 0,0443 (

𝑃

𝐻0)

2

+ 0,0052 (𝑃

𝐻0)

3

, (4.28)

2/3

0bHoCQ = (4.29)

Con inclinación del paramento 3:3 (45°):

𝐾 = 0,5397 − 0,0091𝑉0

2/2𝑔

𝐻0− 0,316(

𝑉02/2𝑔

𝐻0)2 − 5,1233(

𝑉02/2𝑔

𝐻0)3, (4.30)

𝑛 = 1,7803 − 0,5677𝑉0

2/2𝑔

𝐻0+ 2,4068(

𝑉02/2𝑔

𝐻0)2 , (4.31)

𝑅1

𝐻0= 0,45 + 0,4161

𝑉02/2𝑔

𝐻0− 2,7622(

𝑉02/2𝑔

𝐻0)2 , (4.32)

𝑅2 = ∞ , (4.33)

𝐶45

𝐶0= 1,0552 − 0,1252 (

𝑃

𝐻0) + 0,0993 (

𝑃

𝐻0)

2

− 0,025 (𝑃

𝐻0)

3

, (4.34)

4.7 CONTRACCIONES LATERALES EN LOS FLUJOS

Generalmente, el ancho del canal de acercamiento es mayor que el de la lámina que

se vierte (longitud de la cresta), por tal razón, el flujo sufre una contracción al pasar

por el vertedero. Además, sobre la cresta del vertedero puede ser necesario el

colocar pilas para el apoyo de compuertas y/o puentes, figura. 4.19, las que

producen contracciones del flujo adicionales.



Figura 4.19 Contracción de la Lámina Vertiente

Debido a la contracción del flujo, la longitud efectiva de la cresta be es menor que

la longitud real de ésta (be < b). Siendo el caudal que se vierte por el vertedero

igual a:

2/32 HogbmQ e=

La longitud efectiva be se determina con la fórmula de Francis.

1,0−= bbe n Ho (4.35)

Donde, n es el número de contracciones;

es el coeficiente hidrodinámico de las pilas, se toman según la figura

4.20.

Figura 4.20 Coeficiente Hidrodinámico de Pilas.

=1,0

=0,7

=0,7

=0,4



CAPITULO V

FLUJO A TRAVES DE ORIFICIOS Y COMPUERTAS

El estudio de los flujos a través de orificios es de gran importancia por su aplicación en

obras hidráulicas de diferente tipo y se inicia con la expresión de Torricelli, obtenida de

manera analítica,

gHu 2= (5.1)

Muchos investigadores trataron de demostrar esta hipótesis pero, fue Daniel Bernoulli

quien explicó el fenómeno físico del flujo a través de orificios, que fueron completados

posteriormente por G. Venturi.

5.1. CONDICIONES DE FLUJO EN ORIFICIOS

Las condiciones de flujo a través de orificios pueden ser diferentes, tales como:

Carga constante o variable. Orificio con descarga libre, figura 5.1a; semisumergida,

figura 5.1b; y sumergida , figura 5.1c. Orificio pequeño o grande. Orificio en pared

delgada, figura 5.1a, b y c; o en pared gruesa (toberas), figura 5.2 d y e.

Figura 5.1 Flujo a través de Orificios de Pared Delgada



Figura 5.2 Flujo a través de Orificios de Pared Gruesa

La importancia de conocer las condiciones de flujo radica en que estas influyen

directamente en la magnitud de la velocidad de salida y en el caudal de descarga.

5.2. FLUJO LIBRE EN ORIFICIOS PEQUEÑOS DE PARED DELGADA

Analicemos el flujo mencionado para una carga o caída constante (H = const). En

este caso los parámetros hidráulicos permanecen invariables con respecto al tiempo

(flujo estacionario).

En un tanque con orificio circular, el fluido se dirige hacia el orificio desde todos

los lados y forma la vena líquida que sale a través de éste, figura 5.3. La vena

líquida, a una distancia de 0,5 veces el diámetro del orificio, se contrae y su sección

transversal es mínima y se le llama sección contraída.

La relación del área de la sección contraída Ac para el área del orificio Ao, se conoce

como coeficiente de contracción .

o

c

A

A= (5.2)



Para un orificio circular, el diámetro de la vena en la sección contraída es dc =

0,8do.

Por consiguiente el coeficiente de contracción es:

64,08,0

22

=

=

=

oo

c

d

d

d

d

La contracción del flujo, o sea la formación de la sección contraída, se debe a que

la velocidad media de esta sección es mayor que la velocidad media del flujo en la

sección del orificio, figura 5.3.

Figura 5.3 Diagrama de Velocidades en la Vena Líquida

Analicemos la distribución de la velocidad en la sección contraída y en el plano del

orificio. Supongamos que el fluido es ideal y que todas las partículas salen del

orificio con la misma velocidad e igual a la dada por la ecuación (5.1).



El caudal de salida depende de las proyecciones de la velocidad al eje horizontal,

siendo que las líneas de corriente en la sección misma del orificio no proyectan

toda la velocidad a la horizontal, el diagrama de velocidades resulta como el que se

muestra en la figura 5.3. No así para la sección contraída, donde todas las líneas de

flujo son paralelas y por consiguiente tenemos un diagrama de velocidades

rectangular.

Comparando los dos diagramas de velocidad concluimos que, la velocidad media

del flujo en el orificio es menor a la de la sección contraída, razón por la cual existe

esa diferencia de áreas,

oco AAVV → .

Aclaremos los conceptos de orificio pequeño y pared delgada. Se ha demostrado

experimentalmente que para orificios de diámetro menor a 0,1H, la distribución de

la velocidad en la sección contraída se puede tomar como el de la figura 5.3,

produciéndose un error no mayor al 5% en la determinación de la velocidad de

salida del flujo.

Para orificios de mayor diámetro se tiene que, la diferencia de cargas entre la

actuante en la parte superior y la parte inferior del orificio es tal que, el diagrama de

velocidades no es uniforme, figura 5.7, produciéndose mayor error en la

determinación de la velocidad media y del caudal de salida, si se toma la carga

media en el cálculo de estos valores.

En conclusión, si se cumple la condición dada por la ecuación 5.3 el orificio es

pequeño, en caso contrario grande.

1,0d H (5.3)



Se considera que un orificio es en pared gruesa, cuando la vena líquida que pasa a

través de éste topa las paredes interiores del orificio en una sección posterior a la

contraída, llenando el flujo toda la sección de salida. Figura 5.2.

Como esta condición de contacto de la vena líquida depende de la velocidad del

flujo y de la longitud del orificio, para mantener las condiciones de pared delgada

se debe cumplir que dal )43( .

5.2.1. Velocidad y Caudal del Flujo

Anotemos la ecuación de Bernoulli para las secciones 1-1 y 2-2 en la figura 5.4.

g

v

g

vpz

g

vpz o

222

22

22

2

11

1

+++=++

Figura 5.4 Determinación de la Velocidad y Descarga a través de un Orificio

Pequeño

La velocidad en la sección 1-1 es despreciable, en comparación a la velocidad en

la sección 2-2. El coeficiente Coriolis tomamos 0,1= . El coeficiente valora



todas las pérdidas hidráulicas producidas entre las dos secciones. Por lo que, la

ecuación anterior se transforma en:

g

v

g

vzz

22

22

21 +=− ,

Reemplazando; z1 – z2 por H, donde H es la carga al centro del orificio:

)1(2

2

+=g

vH ,

de donde:

gHv 21

1

+= ,

siendo, +

=1

1vC , el coeficiente de velocidad, obtenemos la ecuación

definitiva para la velocidad de descarga,

gHCv v 2= (5.4)

Experimentalmente se ha determinado que = 0,06, por consiguiente Cv = 0,97.

Este valor permanece constante para números de Reynolds mayores que 105, con

valores menores que este, el coeficiente de velocidad Cv disminuye.

Determinamos el caudal de desagüe.

cAQ = cAv = gHCv 2 ,



Conociendo que oc AA = y Ao tomamos como A,

AQ = gHCv 2 ,

Reemplazando vC por Cq , tenemos

CqQ = gHA 2 , (5.5)

Donde: Cq es el coeficiente de gasto o caudal, que para orificios pequeños es

=Cq 62,097,0·64,0 ==vC .

Se puede ver que, el coeficiente de gasto depende en su mayoría del coeficiente de

contracción y no del de velocidad. En otras palabras, la capacidad de desagüe de

un orificio depende de la contracción del flujo para una misma carga H.

La contracción de un flujo es perfecta cuando el orificio se encuentra ubicado a

una distancia l > 3d de las paredes laterales. En caso contrario la contracción es

afectada y Cq es mayor que el dado anteriormente.

5.3. FLUJO A TRAVES DE UN ORIFICIO SUMERGIDO

Analicemos un orificio lo suficientemente sumergido con flujo estacionario como

el presentado en la figura 5.5.

Figura 5.5 Flujo a través de un Orificio Sumergido



Determinamos la velocidad en la sección 2-2 en base a la ecuación de Bernoulli

entre 1-1 y 2-2.

g

v

g

vH

g

vH

222

2

2

2

2

11

++=+

En este caso se podría considerar que existe una velocidad de acercamiento, por

consiguiente.

g

v

g

v

g

vHH

222

222

121 +=+− ,

de donde,

)2/(21 2

121 gvHHgv

+−+

= ,

como: +

=1

vC , y ; =− 21 HH H

)2/(22

1 gvHgCv v +=

(5.16)

La ecuación obtenida es similar a la del flujo libre, ecuación (5.4), pero como se ve,

la magnitud de la velocidad depende de la diferencia de niveles de las superficies

libres o niveles energéticos.

El caudal se determina con la ecuación,

)2/(22

1 gvHgACqQ += (5.7)



Si, la velocidad de acercamiento V1 = 0, tenemos que el caudal es:

HgCqAQ = 2 (5.7)’

Experimentalmente se ha demostrado que los valores de los coeficientes, Cv y Cq

son los mismos que para flujo libre.

En el caso de dos o más orificios, la velocidad de salida del flujo a través de éstos

es la misma, independientemente de la profundidad a la que se encuentran, ya que

la velocidad depende de la diferencia de los niveles energéticos existentes, ecuación

(5.7)´, cómo se ve en la figura 5.6, v1 = v2.

Figura 5.6 Velocidad para Varios Orificios Sumergidos



5.4. DESCARGA LIBRE A TRAVES DE UN ORIFICIO GRANDE

Para orificios grandes, con una abertura a > 0,1H, el diagrama de velocidad en la

sección contraída no es posible considerarle constante, estableciéndose en esta

sección un diagrama de velocidades como el mostrado en la figura 5.7.

Figura 5.7 Flujo Libre a través de un Orificio Grande

La determinación del caudal para un orificio rectangular (muy frecuentes en obras

hidráulicas), es posible mediante el siguiente procedimiento:

Para una sección infinitesimal de flujo, dA = bdH, es posible aplicar la formula de

flujo a través de orificios pequeños, así:

dHgHbCqgHdACqdQ 22 == ,

Integrando la ecuación entre H1 y H2 obtenemos el caudal total del orificio,



dHHgbCqQH

H=2

1

2 ,

y,

)(2)3/2(2/3

1

2/3

2 HHgbCqQ −= (5.8)

Ecuación con la que determinamos el caudal que pasa a través de un orificio

grande, sin embargo, no es muy exacta ya que al integrar se considera que Cq =

constante. Y este coeficiente puede variar de acuerdo a las condiciones de

ubicación del orificio.

5.5. FLUJO A TRAVES DE TOBERAS O PARED GRUESA

Toberas se llaman a los tubos cortos en los cuales es posible despreciar las pérdidas

por longitud, y pueden ser de diferentes formas: cilíndricas, cónicas convergentes o

divergentes, abocinadas /boquillas), etc. Figura 5.8.

Figura 5.8 Tipos de Toberas (a. Venturi; b. Interior;

c. Convergente; d. Divergente; e. Boquilla)



Existe una longitud mínima que debe tener una tobera, que es la condición de pared

gruesa, o sea l > (3 a 4)d. Además, su carga H no debe ser mayor a Hlim valor que

definiremos posteriormente.

En una tobera el flujo a la salida ocupa toda la sección de salida, por consiguiente,

el coeficiente de contracción 0,1= y el coeficiente de gasto es igual al de la

velocidad Cq = Cv.

5.5.1. Velocidad y Gasto en una Tobera

Al entrar a la tobera el flujo se contrae por causas explicadas anteriormente y la

velocidad en la sección n-n, figura 5.9, es igual a la del flujo sin tobera y mayor

que la velocidad a la salida de esta, vc > v.

La contracción del flujo, con su aumento de velocidad, condiciona el

aparecimiento de vacío en la sección n-n. En realidad este debe existir ya que,

según la ecuación de Bernoulli, para un mismo plano el aumento de velocidad

produce una disminución de presión, y siendo la presión a la salida de la tobera la

atmosférica, en la sección n-n debe ser menor a ésta.

La ecuación de Bernoulli para las secciones 1-1 y 2-2 es:

21

22

1

22−+=+ h

g

v

g

vH

Las pérdidas de carga están conformadas por las de contracción a la entrada hasta

la sección n-n y las de expansión en la zona posterior a esta sección (las pérdidas

por longitud se consideran despreciables desde el concepto mismo de tobera).

De esta forma las pérdidas son iguales a:

g

vv

g

vh cc

2

)(

2

22

21

−+=− ,



Figura 5.9 Flujo a través de una Tobera

Despreciando la altura de velocidad en la sección 1-1 la ecuación queda:

g

vv

g

v

g

vH cc

2

)(

22

222 −++= ,

Conociendo que;

=v

vc

22

2

22

11

222

−

+

+=

g

v

g

v

g

vH ,

de donde,

gHCgHv v 22)11(1

122

=−++

=



Considerando que: = 0,06 y = 0, 64; entonces Cv = 0,82.

Como el flujo en la sección 2-2 llena toda el área interior de la tobera,

Cq = Cv = 0,82 ,

El caudal de igual manera determinamos con la ecuación (5.5).

5.5.2 Formación de Vacío en las Toberas

La ecuación de Bernoulli entre las secciones 1-1 y n-n es:

g

v

g

vppH ccco

22

22

++=+ ,

de donde:

Hg

vh

pp cvac

co −+==−

)1(2

2

,

pero,

=v

vc y gHCv v 2= ,

HHC

h vvac −

+=

2

2

)1( ,

( )

−+

= 11

2

2

vvac

CHh (5.9)



Conocido que: = 0,06; Cv = 0,82 y = 0,64; entonces

Hhvac 75,0 (5.10)

De esta ecuación se puede determinar el valor máximo de la carga H. Siendo que

el máximo valor de vacío es igual a:

at

v

ph =max ,

La carga límite por condición de vacío máximo es:

atpH 3,1lim , (5.11)

Este valor límite nos informa que, para una carga mayor el flujo pierde

continuidad, por lo que es necesario adoptar o diseñar toberas con entrada gradual

y otras precauciones como la aireación del flujo.

A continuación se presentan ciertos valores de coeficientes para diferentes toberas

y boquillas para números de Re > 105.



Tabla 5.1 Coeficientes para Orificio y Toberas

FIGURA Cv Cq OBSERVACION

0,64 0,97 0,62

1,0 0,82 0,82

0,98 0,96 0,94

1,0 0,5 0,5

5°< < 13°

1,0 0,7 0,7

º13=



5.6. FLUJO BAJO COMPUERTAS

La regulación de caudales en orificios, canales y vertederos, se realiza por medio de

compuertas, y en éstas, la cantidad de flujo que se escurre es proporcional a la

abertura de la compuerta.

Las compuertas pueden tener diferentes formas, las más comunes son las planas y

las de forma de un segmento de circunferencia. En la figura 5.10 a, b se muestran

ejemplos de éstas.

a. Compuerta Plana b. Compuerta Tipo Segmento

Figura 5.10 Flujo Bajo Compuertas

Los flujos al pasar bajo las compuertas sufren una contracción en el plano vertical y

a cierta distancia de la compuerta se observa la formación de un tirante contraído

hc, igual a:

ahc = , (5.12)

donde; es el coeficiente de contracción vertical.

En el análisis del escurrimiento bajo compuertas se considera el flujo

bidimensional, el coeficiente de contracción solo corresponde al plano vertical, las

contracciones laterales pueden considerarse en base a la ecuación (4.22).



5.6.1. Flujo Bajo una Compuerta Plana no Sumergida

Anotemos la ecuación de Bernoulli para una sección anterior a la compuerta y la

sección del tirante contraído, figura 5.10 a)

g

v

g

vhc

g

vH cco

222

222

++=+ ,

en donde;

)1()(22

+=− co vhcHg ,

o,

)(21(

1hcHgv oc −

+=

,

)(2( hcHgCv ovc −= ,

Además; hc = a,

)(2 aHgCv ovc −= (5.13)

En la sección del orificio la velocidad media es,

)(2 aHgCvv ovc −== .



El caudal

)(2 aHgCabvabQ ov −==

o,

)(2 aHgCqabQ o −= (5.14)

El coeficiente de contracción depende del grado de abertura a la compuerta y de

la carga H.

Para pequeñas aberturas (a/H < 0,1 y Re > 105), el coeficiente de contracción es

= 0,615.

Si la relación a/H > 0,75 el escurrimiento corresponde a un flujo sobre un

vertedero o un canal con una perturbación que produce una pérdida de forma.

Los valores de para 0,1 < a/H < 0,75, están dados por la ecuación:

𝜖 = 0,6089 + 0,0787 (𝑎

𝐻) − 0,1944 (

𝑎

𝐻)

2

+ 0,3489 (𝑎

𝐻)

3

El coeficiente de velocidad para compuertas planas en canales es Cv = 0,96 y si se

encuentran sobre vertederos curvos Cv = 0,85 a 0,95.

La determinación de la abertura necesaria para descargar un caudal dado se realiza

por aproximaciones sucesivas (tanteo), tomando el coeficiente de contracción

= 0,62 como primera aproximación.



5.6.2 Compuertas Inclinadas y Curvas

Las ecuaciones que se obtuvieron para compuertas planas verticales, son válidas y

para compuertas inclinadas y curvas, como las presentadas en la figura 5.11.

Figura 5.11 Compuertas Inclinada y Radial

Indudablemente, los coeficientes de contracción y caudal son diferentes a los

obtenidos para compuertas planas verticales. En este caso, depende del ángulo

de inclinación de la compuerta con respecto a la horizontal. Mientras mayor es el

ángulo mayor es la contracción y menores son el coeficiente y el caudal.

El coeficiente de contracción para valores de < 90º se determina con la

fórmula de K. Jimitsky.

+

=353,01

1

sen (5.15)

Para valores de > 90º el coeficiente de contracción es demasiado pequeño por

lo que no se recomienda el diseño con ángulos de estas magnitudes.

Para compuertas con el borde inferior redondeado o compuertas cilíndricas, el

coeficiente de contracción se aproxima a la unidad.



Para una compuerta ubicada sobre un vertedero de perfil práctico, el coeficiente de

velocidad Cv = 0,95 y los valores del coeficiente de contracción se determina con

la tabla 5.2 o la ecuación (5.15) según sea el caso.

EJEMPLO 5.1 Tres cámaras están comunicadas entre sí por toberas y orificio

como se muestra en la figura 5.12. Determinar el caudal y los niveles de las

superficies libres en cada cámara, si el diámetro de la tobera d1 = 0,1m; el de la

tobera cónica d2 = 0,2m y el diámetro del orificio d3 = 0,1. La diferencia total de

los niveles es H = 5m.

Figura 5.12 Flujo a través de Varios Orificios

La ecuación (5.5) se cumple para todos los casos y considerando que Q1 = Q2 =

Q3,

222111 22 ghACqghACq = ,

y

333111 22 ghACqghACq = ,

de donde:



4

21

2

21112

2

2

2

2

1

2

12 )/()/( ddCqCqhh

ACq

ACqh ==

y

4

31

2

31112

3

2

3

2

1

2

13 )/()/( ddCqCqhh

ACq

ACqh ==

Geométricamente tenemos que

321 hhhH ++= ,

y, según la tabla 5.1, Cq1 = 0,82; Cq2 = 0,94 y Cq3 = 0,62: obtenemos:

11

42

3

11

42

2

7492,1)1,0/1,0()62,0/82,0(

,0476,0)2,0/1,0()94,0/82,0(

hhh

hhh

==

==

así,

57492,10476,0 111 =++= hhhH

de donde:

mh 79,11 = ; mh 09,02 = y mh 12,33 =

El caudal obtenemos con h1 en la ecuación (5.5)

32 0381,079,16,19)05,0(82,0 mQ ==



CAPITULO VI

CONJUGACION DE AGUAS

Como Conjugación de Aguas entendemos a los fenómenos físicos que suceden en

cambios de pendientes o niveles en los canales, especialmente en lo relacionado a la

forma de la superficie libre y todas las características del flujo. En este capítulo

analizaremos las conjugaciones de aguas más comunes que se presentan en las obras

hidráulicas.

6.1. CAMBIOS DE PENDIENTES EN CANALES

Para diferentes pendientes del lecho de un canal la profundidad normal no es la

misma, ya que a un cambio de pendiente le corresponde un cambio de profundidad.

Existen varias combinaciones de valores de las pendientes, pero solo analizaremos

las que producen cambios de un régimen a otro.

6.1.1 Cambio de Régimen Fluvial a Torrencial

El paso de régimen fluvial a torrencial en canales, para flujo estacionario, se

produce al cambio de pendiente de is < icr a una pendiente is > icr. Como se

estudió en el Capítulo III, para todos los casos de régimen fluvial el tirante normal

siempre está sobre el tirante crítico y para el torrencial éste está bajo el tirante

crítico, por lo que la superficie libre que se forma es una curva de derrame, la cual

pasa por el valor correspondiente a la profundidad crítica, figura 6.1.

Figura 6.1 Conjugación de Aguas de Régimen Fluvial a Torrencial



La superficie libre en este proceso no sufre cambios bruscos de profundidad y el

tirante pasa de un valor normal a otro de manera gradual.

6.1.2 Cambio de Régimen Torrencial a Fluvial

La conjugación de aguas es mucho más compleja en el paso de régimen rápido a

fluvial, éste corresponde a una pendiente inicial is > icr y pasa a is < icr. En estas

condiciones de paso de régimen, la superficie libre tiene un cambio brusco y es

siempre a través del fenómeno físico llamado resalto hidráulico, figura 6.2.

Figura 6.2 Conjugación de un Régimen Torrencial a un Fluvial

6.2. EL RESALTO HIDRAULICO

El paso del flujo supercrítico a subcrítico solo es posible con la formación del

llamado salto o resalto hidráulico, que no es más que una elevación brusca de la

superficie libre.

El resalto hidráulico puede tener dos formas: la primera con la formación de un

remolino superficial figura 6.3a, llamado resalto directo y la segunda con la

formación de una onda, que se transmite aguas abajo, llamado resalto ondulado.

Figura 6.3b.



Los principales elementos geométricos del resalto directo son: la primera y segunda

conjugadas h1 y h2, y son los calados en las secciones anterior y posterior al resalto

hidráulico; la altura del resalto 12 hhh −= ; la longitud de resalto ls, que, en este

caso, corresponde a la proyección del remolino del resalto a la horizontal. El punto

B, en la figura 6.3a, nos marca el término del remolino superficial o la línea

divisoria entre el flujo y el contraflujo superficial. Hay una zona posterior a la del

resalto, lps, en la cual las macro turbulencias y la disipación de energía producidas

por el resalto se mantienen todavía.

Figura 6.3a Resalto Hidráulico Directo

Figura 6.3b El Resalto Hidráulico Ondulado



6.2.1 Ecuación del Resalto para un Cauce Prismático

Una de las principales tareas en el estudio del resalto hidráulico es la

determinación de sus conjugadas h1 y h2, y es posible tomando como volumen

de control la zona del resalto y aplicado el concepto de cambio de cantidad de

movimiento, figura 6.4.

Suponiendo una pendiente casi horizontal, despreciando las fuerzas de

resistencia y aplicando el cambio de cantidad de movimiento para las secciones

1 y 2 tenemos:

2

2

2

2

21

2

1121 AvAvPP oo +−=− ,

donde;

0,121 oo

222111 ; ZAPZAP ==

Z1 y Z2 son las profundidades a los centroides de A1 y A2.

Figura 6.4 Volumen de Control en el Resalto Hidráulico

Así,



2

2

1

2

2211gA

Q

gA

QZAZA

+−=− ,

simplificando y agrupando:

22

2

2

11

1

2

ZAgA

QZA

gA

Q+=+ , (6.1)

a ésta se le conoce como ecuación principal del resalto hidráulico. Y tenemos

que los únicos parámetros variables son; el área y la profundidad al centroide Z,

de esta manera:

)(2

hfZAgA

Q=+ ,

la función )(hf se le denomina función del resalto, por lo que la ecuación (6.1)

está representada por:

)()( 21 hfhf =

Gráficamente esta ecuación se muestra en la figura 6.5.

La determinación de una de las conjugadas, es posible, si se conoce la otra

conjugada, con la ayuda de la ecuación (6.1).

La función del resalto hidráulico posee un valor mínimo y éste corresponde a la

profundidad crítica, figura 6.5.



Figura 6.5 Gráfica de la Función del Resalto

Para cauces rectangulares en la ecuación (6.1) tenemos que: A = bh y Z = h/2,

de donde

22

2

2

11

1

2

22bh

h

gbh

Qbh

h

gbh

Q+=+ ,

dividiendo para b,

2

112

1

2

2

21

2

2 hh

hhgb

Q −=

− ,

o,

( )( )2112

21

12

2

22hhhh

hh

hh

gb

Q+−=

− ,



simplificando en (h2 – h1) y como Q2/gb2 = hcr3 obtenemos

02 3

2

2

1

2

21 =−+ crhhhhh , (6.2)

de donde:

−

+= 181

2

3

1

12

h

hhh cr , (6.3)

y,

−

+= 181

2

3

2

21

h

hhh cr (6.4)

La relación 2

11

2

11

2

1

223

1 /)/()/( FrghvhhgbQhhcr === , por lo que:

−+= 181

2

2

2

21 rF

hh (6.3)’

y

−+= 181

2

2

1

12 rF

hh (6.4)’

6.2.2 Pérdida de carga en el Resalto

De la aplicación de la ecuación de Bernoulli y el uso de la función del resalto

ecuación (6.1), se tiene que la pérdida en el resalto hidráulico es



Ehh

hhhr =

−=

21

3

12

4

)( . (6.5)

Este valor corresponde a la pérdida de energía o energía disipada en todo el

resalto hidráulico, que corresponde a la longitud del remolino más la longitud

donde la variación de velocidad, con respecto a la zona de aguas abajo, es

despreciable.

Investigaciones realizadas por Kusnetzov (1983) nos demuestran que, la energía

disipada en el remolino del resalto hidráulico es una parte de la energía

calculada con la ecuación (6.5), la diferencia de energía es la que se disipa en

una zona posterior a éste.

Según Kusnetzov, la energía que se disipa en la zona misma del resalto

hidráulico es:

g

vh

g

vhE cr

s22

2

2

2

11 −−+= (6.6)

Y la energía que se disipa en la zona posterior al resalto,

g

vh

g

vhE a

acr

ps22

22

2 −−+= , (6.7)

donde: va y ha son la velocidad y el calado de aguas abajo del resalto, si ha = h2.

g

v

g

vE cr

ps22

2

2

2

−= (6.8)

La condición para la existencia de un resalto directo es de que (Fr1)2 > 3, para

valores 1< (Fr1)2 < 3 tenemos el resalto ondulado.



Para el resalto hidráulico ondulado, figura. 6.3b, la altura desde el lecho del

cauce hasta la cima de la primera onda se determina con la ecuación de

Kusnetzov:

cr

cr hh

hhh 16,05,0

1

2

12 −+= (6.9)

6.2.3 Longitud del Resalto Hidráulico

Según Taraymovich (1966), Ohtsu (1990) y Márquez (2006), en el resalto

hidráulico se pueden considerar tres longitudes características, figura 6.6:

a) La longitud del remolino, ( 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ).

b) La longitud donde el tirante se iguala al nivel de aguas abajo, ( 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ).

c) La longitud donde la velocidad del flujo se estabiliza y no difiere

significativamente de la velocidad de aguas abajo, (𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ). Longitud a la que

prácticamente la energía del resalto se disipa completamente.

Figura 6.6 Longitudes en el Resalto Hidráulico



La longitud del remolino ls se determinar con la ayuda de varias ecuaciones

empíricas como las siguientes:

Einwachter 𝑙𝑠 = 8,3ℎ1(𝐹𝑟1 − 1) ,

Kumin )(67,5 12 hhls −= ,

Kusnetzov )(7,16 1hhls cr −= ,

Ohtsu ls = 3,7h2 ,

Pavlosky )9,1(5,2 12 hhls −= , (6.10)

Sáfranez 116 Frhls = ,

Sandoval 𝑙𝑠 = ℎ1(−0,1𝐹𝑟12 + 7,5𝐹𝑟1 − 4,1) ,

Schaumián 2

2112 )/1)((6,3 hhhhls +−= ,

Al ser la ecuación de S. Kusnetzov de origen semiempírico es la que se

recomienda para su uso.

Para determinar la longitud a la que el nivel de las profundidades se igualan ls2,

(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ), figura 6.6, se pueden sugerir las siguientes expresiones:

Márquez 𝑙𝑠2 = 9,8ℎ1(𝐹𝑟1 − 1) ,

Silvester 𝑙𝑠2 = 9,5ℎ1(𝐹𝑟1 − 1)1,01 , (6.11)

USBR 𝑙𝑠2 = 6,1ℎ2 ,



Woycicki 𝑙𝑠2 = (ℎ2 − ℎ1) (8 − 0,05ℎ2

ℎ1) ,

Con fines prácticos, para el diseño de protecciones del lecho del cauce aguas

abajo, es importante conocer la longitud posterior al remolino del resalto figura

6.6, lps =lT - ls ; (𝐴𝐷̅̅ ̅̅ -𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ), para lo cual existen las siguientes expresiones:

Chertousov 𝑙𝑝𝑠 = 2,5𝑙𝑠 ,

Kumin 𝑙𝑝𝑠 = 8ℎ𝑐𝑟 ,

Ohtsu 𝑙𝑝𝑠 = 3,9ℎ2 ,

Vuizgo nhl ops /4,0= (6.12)

ho - es el tirante normal aguas abajo (h2) y, n - coeficiente de rugosidad del

lecho.

6.3. CONJUGACION DE AGUAS EN VERTEDEROS

La lámina líquida que se derrama sobre el cimacio del vertedero llega a aguas abajo

a gran velocidad, lo que corresponde a un régimen supercrítico y las condiciones

físicas de aguas abajo, generalmente, corresponden a un flujo subcrítico, por lo que

se tienen todas las condiciones para que se forme el resalto hidráulico.

La solera de aguas abajo es horizontal o con una ligera pendiente, por lo que, es

necesario un radio de transición entre la curvatura del vertedero y la pendiente de la

solera, figura 6.7. La transición se logra trazando dos líneas tangentes al vertedero

y a la solera, en cuya bisectriz se encuentra ubicado el centro del radio R, dado por

la siguiente expresión:



chR 5 (6.13)

Figura 6.7 Cambio de Pendiente tras un Vertedero

Desde el punto de vista hidráulico, el resalto puede presentarse de las siguientes

tres posiciones posibles, figura 6.8.

I. resalto libre y corrido,

II. resalto libre al pie de presa,

III. resalto sumergido.

Figura 6.8 Ubicación del Resalto Aguas Abajo de un Vertedero



El criterio de estas tres ubicaciones es la siguiente:

Si, ha < h2 el resalto está libre y desplazado hacia aguas abajo a cierta distancia de

la presa;

ha = h2 el resalto está libre al pie de la presa, en una posición llamada crítica (al

pie del vertedero);

ha > h2 el resalto se encuentra sumergido.

Estos criterios del resalto también se aplican en el caso de flujos bajo compuertas.

6.3.1 TIRANTE CONTRAÍDO AL PIE DE LA PRESA.

Determinemos la posición del resalto hidráulico en un cambio de pendiente de i >

icr a i <icr, como el mostrado en la figura 6.8; supongamos que el resalto se forma

inmediatamente en la sección de cambio de pendiente (II forma). En este caso el

calado hc corresponde a la primera conjugada del resalto y ha a la segunda

conjugada, entonces

−+== 181

2

2

2 cc

a Frh

hh

En el caso de que ha sea menor a la segunda conjugada h2, el resalto se desplaza

hacia aguas abajo a la distancia l, en la cual, forma una curva de remanso hasta el

instante en que la profundidad del resalto hidráulico h1, tiene como segunda

conjugada h2 igual a ha.

Con el fin de determinar, cuál es la segunda conjugada h2 que se necesita para las

condiciones dadas de aguas abajo, hay que determinar la profundidad contraída hc

que se establece al pie de la presa, figura 6.9.



Figura 6.9 Determinación del Calado Contraído

Supongamos que tenemos dados el caudal Q y la caída T. Apliquemos la ecuación

de Bernoulli entre las secciones 1 y 2.

gvgvhgvT ccc 2/2/2/222

0 ++=+ ,

Si, gvTT 2/2

00 += , remplazando tenemos;

gvhT cco 2/)(2

++= ,

)(2

22

2

++=ghb

QhT

c

co ,

de donde;

)(21

coc hTghbQ −+

=

,



conocemos que, +

=1

vC , reemplazando y despejando:

)(2 cov

chTgCb

Qh

−= (6.14)

Como ésta es una ecuación de tercer grado, se resuelve por aproximaciones

sucesivas. Como primer valor de hc se toma:

ov

cgTCb

Qh

2

El coeficiente de velocidad depende del tipo de vertedero y de su altura. Para

presas pequeñas de perfil Creager Cv = 0,97; una mejor apreciación de este

coeficiente se obtiene con la ecuación (6.21). En el caso de compuertas sobre los

vertederos estos coeficientes son menores (Cv=0,90).

En la práctica de la ingeniería hidráulica, conocemos la profundidad del sector de

aguas abajo ha, por lo que se procede de la siguiente manera:

Tomamos h2 = ha y calculamos la primera conjugada del resalto

1812

2

1 −+= aa Fr

hh ,

y comparamos: si, h1 > hc, el resalto está corrido; y para h1 = hc el resalto está al pie

del vertedero, y si hc > h1 el resalto está sumergido.

En el caso de que el resalto esté alejado del pie de la presa, se debe dibujar la curva

de remanso en la longitud tal que hc se una con h1 en base a algún método dado en

el Capítulo III.



Como el desplazamiento del resalto hacia aguas abajo acarrea mayores gastos en la

protección del lecho del cauce. Es frecuente que, en obras de ingeniería la

conjugación de aguas se diseña de tal manera que, el resalto se encuentra a pie de

presa o ligeramente sumergido con un coeficiente de inmersión ns = 1,05 a 1,10 que

tendría como fin el evitar la socavación del lecho.

Para evitar el corrimiento del resalto del pie de la presa, para cuando h2 > ha, se

diseña un colchón de aguas, que permite controlar la posición del resalto hidráulico

y concentrar, en lo posible, la disipación de la energía en un solo sitio. Existen

varias formas de crear un colchón de aguas, los más comunes son: Mediante un

estanque tipo pozo, con un muro o pared y la combinación de estos.

6.3.2 Colchón de Aguas Tipo Pozo

En la figura 6.10 se muestra un colchón de aguas tipo pozo, el cual debe tener

suficiente profundidad d para que el resalto y sus turbulencias no se desplacen

hacia aguas abajo.

Figura 6.10 Colchón de Aguas Tipo Pozo



El cálculo del colchón de aguas consiste en determinar la profundidad del pozo d y

la longitud lp.

Para un funcionamiento normal del pozo, hp tiene que ser mayor o igual a la

segunda conjugada del resalto, tomada como primera conjugada la profundidad

contraída.

chh =1 y 2hnh sp =

En donde,

−+= 181

2

2

cc

sp Frh

nh (6.15)

De igual manera, de la figura 6.10 tenemos que,

Zhdh ap ++= , (6.16)

Igualando y despejando obtenemos la profundidad de pozo;

ZhFrh

nd ac

s −−−+= 1812

2 (6.17)

Donde: hc se determina según (6.14),

)(2 cov

chdTgCb

Qh

−+= , (6.17)’

Z - se determina como una pérdida de carga a la entrada de un vertedero de

cresta ancha, o entrada a un canal;



22

2

222

2

22 ppaav hgb

Q

hbgC

QZ −= , (6.18)

2222

2 11

2pav hhCgb

QZ −= (6.18)’

Aquí, Cv = 0,8 a 0,9;

La dependencia de todas las magnitudes del valor de d implica una resolución por

aproximaciones sucesivas.

La longitud del pozo lp se diseña de tal manera que en éste quepa el resalto

hidráulico. Según Pavlovsky lp se puede tomar aproximadamente igual a la

longitud del remolino.

sp lal )8,00,1(= (6.19)

El USBR y otros autores recomiendan tomar igual a la longitud ls2, ecuaciones

6.11.

6.3.3 Colchón de Aguas Tipo Muro

En la mayoría de los casos, económicamente no conviene que el pozo sea muy

profundo, ya que esto produce un aumento del volumen de obras y por ende un

aumento de los costos. Para ciertos casos es posible la construcción de un muro

cuya función es mantener al resalto sumergido al pie de la presa, figura 6.11.

El cálculo hidráulico del muro es más sencillo que el cálculo de la profundidad del

pozo, y utilizamos la ecuación (6.15),

1812

2−+= c

csp Fr

hnh ,



( )cov

chTgbC

Qh

−=

2

Figura 6.11 Colchón de Aguas Formado por un Muro

De la figura 6.11, tenemos que hp = Hp + C, de donde:

pp HhC −= , (6.20)

y Hp es la carga sobre el muro, el cual se calcula como un vertedero,

2/3

2 pHgmbQ =

Un diseño más económico del colchón de aguas se obtiene de la combinación de

un pozo con un muro, cuyo cálculo hidráulico es la combinación de los dos

métodos expuestos anteriormente, figura 6.12.



Figura 6.12 Colchón de Aguas Formado con un Pozo y Muro

6.4 CAIDAS

Se entiende como caída a una variación brusca de niveles del terreno, entre los

cuales se deben diseñar las obras hidráulicas necesarias para la conjugación de las

aguas de arriba con las de abajo.

Las obras hidráulicas más frecuentes en estos casos son las Rápidas y los

Escalones. Entendiéndose como rápidas a los canales de pendiente pronunciada is

> icr, y escalones la sucesión de varias caídas libres del flujo, hasta vencer la

depresión.

6.4.1 RÁPIDAS

Los elementos constitutivos de una rápida son: Canal de entrada, sección de

entrada o vertedero, canal de pendiente pronunciada, estanque de disipación y

canal de salida o de empate con aguas abajo, figura 6.13.



Figura 6.13 Esquema de una Rápida

La sección de control, generalmente, se diseña como un vertedero de cresta

ancha o de perfil redondeado, figura 6.13, ya que ésta obra se utiliza para

regulación de caudales por descarga libre o mediante compuertas y sirve de

unión entre el canal de acercamiento y la rápida misma (el canal de

acercamiento puede o no existir). En algunos casos, en este tramo se prevé una

reducción del flujo, que puede ser gradual o brusca.

El canal de régimen torrencial (supercrítico) se diseña de sección rectangular y

el cálculo hidráulico consiste en determinar el tirante normal, el tirante crítico y

la variación de la superficie libre en éste, que es de derrame.

La profundidad del flujo en la sección de entrada del canal se toma igual al

tirante contraído tras el vertedero (en el caso de estar presente) y al tirante

crítico, si el derrame es directo (sin vertedero).



El tirante al final de la rápida se puede apreciar, de manera aproximada,

suponiendo que se tiene al final del canal un tirante contraído, calculado con la

ecuación (6.14), cuyo coeficiente de velocidad Cv se determina con la siguiente

expresión propuesta por V. Borovkov (1979) para rápidas con revestimiento de

hormigón.

3/4)(0015,0

11

o

sv

HTiC

−+ , (6.21)

donde: is = sen, es la pendiente del canal.

En la sección de salida es común el diseño de un colchón de aguas, tema

expuesto en las páginas anteriores. Adicionalmente, puede estar presente una

expansión del flujo que, generalmente, es gradual y con un grado de divergencia

lateral no mayor a 7º. Esta expansión es con el fin de disminuir el caudal

unitario en el sector de aguas abajo y por consiguiente la segunda conjugada del

resalto, y así empatar más favorablemente con el flujo de aguas abajo.

6.4.2 ESCALONES

Los escalones se utilizan para caudales relativamente pequeños en suelos firmes,

de preferencia en roca. A más de las huellas y contrahuellas estas estructuras

también tienen una sección de entrada y otra de empate con aguas abajo, figura

6.14.

El cálculo hidráulico consiste en determinar las longitudes de las huellas y

contrahuellas y por consiguiente el número de escalones.

La longitud de caída libre del flujo l1 se calcula con la siguiente expresión de M.

Chertousov,

)24,0(64,11 oo HCHl += (6.22)



Figura 6.14 Escalones Hidráulicos

La longitud lp, es la necesaria para contener por lo menos al resalto hidráulico y

se la calcula con la ecuación (6.19), y la longitud l2 depende de la topografía y

del número de huellas necesarias para vencer la caída.

Desde el punto de vista hidráulico es preferible que en cada escalón se forme un

colchón de aguas, ya que esto mejora notablemente la disipación de la energía.

6.5 CONJUGACION DE AGUAS CON DEFLECTOR TIPO ESQUI

Un deflector tipo esquí es más conveniente que una rápida o un escalón, debido a

que las obras de conjugación a ejecutarse son menores a las analizadas

anteriormente y su diseño es posible siempre y cuando existan las condiciones,

especialmente geológicas, para su construcción.

El cálculo de este tipo de conjugación consiste en la determinación de la longitud

de alcance del chorro lanzado por el deflector hacia aguas abajo, longitud que tiene

que ser suficiente para no poner en peligro cualquier obra adyacente al punto de

caída al chorro o el medio ambiente; y el cálculo de la profundidad de socavación

que produce la caída del chorro.



Para determinar la longitud de alcance del flujo se analiza el movimiento de una

partícula que sigue la trayectoria del eje central del chorro.

La solera a la salida del vertedero o canal tiene un deflector con un ángulo de

desprendimiento , con el cual sale el flujo a la velocidad v1, figura 6.15.

Figura 6.15 Deflector Tipo Esquí

La trayectoria de la partícula del eje central se describe con la siguiente ecuación:

)cos2/( 22

1

2 vgxtgxz −= (6.23)

Si se conoce v1 y el ángulo del deflector . Generalmente = 25º a 35º, el alcance L

del chorro es:

)/2(cos2

12

2

2

1 vgzsenseng

vkL a −+= , (6.24)

donde: ka es el coeficiente de aireación del flujo, que para flujos con Fr12 < 35,

ka = 1; y para Fr12 > 35, ka = 0,8 a 0,9.



z2 = - (zs + h1cos/2)

Para la determinación de la profundidad de socavación hs existen varias fórmulas

empíricas, una de las cuales es la propuesta por M. Vuizgo,

3,0

%90

15,0

21

567,0

)2,0(

/)(13,5

+

+=

d

gzzqKhs (6.25)

donde: K es el coeficiente de desprendimiento del flujo del deflector (K = 1,0 a

0,4), para deflectores en vertederos de grandes presas K = 0,7.

q = Q/b, caudal unitário (m3/s)/m.

d90% diámetro de las partículas en mm, que corresponden al 90% de la

masa del suelo en el sitio de impacto del chorro.



EJEMPLO 6.1 Diseñar una presa vertedora y un colchón de aguas en un río que en

cuya sección de cierre se tienen los siguientes datos, figura 6.16:

Nivel Máximo de Aguas Arriba (NMA) = 24,

Nivel del Lecho del Río = 18,5,

Tirante Aguas Abajo ha = 2m,

Ancho del Cauce para ha, b = 6,2 m,

Caudal de Diseño Q = 29,4 m3/s.

Figura 6.16 Sección de Cierre para el Diseño de una Presa

A. Cálculo del Vertedero

Utilizamos la ecuación (4.2). Para no afectar la magnitud del caudal unitario, la

longitud de la cresta del vertedero tomamos igual a b = 6,2m. Por ser un

vertedero tipo Creager-Ofizerov m = 0,49, por lo tanto:

.68,16,19·2,6·49,0

4,29

2

3/23/2

mgbm

QHo =

=

=

Calculamos la velocidad de acercamiento vo, considerando la profundidad del

flujo en Aguas Arriba, T = 24 - 18,5 = 5,5 m.



smbTQvo /862,0)5,5·2,6/(4,29/ === ,

de donde: .64,104,068,12/2

mgvHH oo =−=−=

Cota de la cresta del vertedero = 24 – 1,64 = 22,36. En esta cota se ubican

las coordenadas de diseño del vertedero, calculadas con la tabla 4.2,

modificadas con el valor de H = 1,64.

X 0,000 0,164 0,328 0,492 0,656 0,984 1,312 1,640

Z 0,207 0,059 0,011 0,000 0,011 0,098 0,241 0,420

X 1,968 2,296 2,778 3,280 4,100 4,920 5,740 6,560

Z 0,644 0,927 1,432 2,025 2,624 4,631 6,260 8,085

Determinamos el tirante contraído ecuación (6.14) tomando Cv = 0,97;

.493,0)54,5(6,19·97,0·2,6

4,29m

hh

c

c =−

=

Calculamos la segunda conjugada considerando h1 = hc = 0,493m, siendo el

número de Froude:

,81,2115,19812

493,0

,15,19)493,0·8,9/(62,9/)/(/

2

2

1

2

11

2

1

2

mh

ghbhQghvFr

=−+=

====

ha < h2, por consiguiente el resalto se recorre del pie de la presa y es necesario

el diseño de un colchón de aguas.

B. Diseño del Colchón de Aguas

Diseñemos un colchón de aguas tipo pozo y como primera aproximación

tomamos,



.8,081,000,281,22 mhhd a =−=−=

La profundidad del pozo cambia las condiciones del flujo aguas abajo y por

consiguiente el tirante contraído, calculándose nuevamente con la ecuación

(6.14):

mh

hc

c 46,0)8,054,5(6,19·97,0·2,6

4,29=

−+= ,

para este tirante el número de Froude es Fr2 = 23,57.

La profundidad en el pozo en forma aproximada,

mhdh ap 8,20,28,0 =+=+ ,

Tomando Cv = 0,85 (para arista viva), calculamos Z:

mZ 25,08,2

1

)285,0(

1

2,66,19

)4,29(222

2

=

−

= .

Según la ecuación (6.17) tenemos:

.98,025,00,2157,2381)2/46,0(1,1 md =−−−+=

Tomamos d = 1,0m y realizamos una segunda iteración, con los siguientes

resultados:

hp = 1,0 + 2,0 + 0,25 = 3,25m.

Z = 0,29m.

hc = 0,45m, Fr2 = 25,19

d = 0,985m.

Por razones constructivas tomamos, definitivamente, d = 1,0m, lo que aumenta

ligeramente el coeficiente de inmersión.



Siendo la cota del fondo del pozo 17,5. Figura 6.17.

Determinamos la longitud del pozo lp = ls:

.5,1453,14)45,032,1(7,16

,45,0

,32,1)2,68,9/(4,29

),(7,16

1

3 22

1

mlp

mhh

mh

hhlp

c

cr

cr

=−=

==

==

−=

Para completar el cálculo de la conjugación de las aguas determinamos el radio

de curvatura con el cual empatamos el vertedero diseñado con el pozo, según

ecuación (6.13):

R = > 5h1 = 2,25m,

en este caso tomamos R = 2,3m.

Las demás condiciones de conjugación se ejecutan analíticamente,

geométricamente y en base a consideraciones constructivas.

Figura 6.17 Diseño de un Vertedero con Colchón de Aguas



CAPITULO VII

FLUJO DE SEDIMENTOS EN CAUCES ABIERTOS

Los flujos, tanto en cauces naturales como artificiales, arrastran y transportan ciertas

cantidades de material sólido llamado azolves o sedimentos. Formando de esta manera

una corriente de dos componentes; líquido y sólido. Las partículas sólidas transportadas

por el flujo se dividen en arrastre de fondo y en suspensión.

El agua al pasar por cauces no revestidos ejecuta una acción de lavado del suelo,

produciendo una socavación general del cauce o socavaciones parciales. Los azolves no

solamente se forman por la acción de flujo, sino también por otros factores como el

viento.

Los sedimentos son de diferente tamaño y forma. Las partículas más grandes tienen

generalmente la forma esférica o una forma cercana a ésta, o la de elipsoide que es común

para los cantos rodados. Las partículas más pequeñas tienen una forma geométrica

irregular o en forma de placas o láminas.

Para el estudio de los sedimentos se ha sugerido caracterizar la geometría exterior a través

del coeficiente de forma (Ff), para cuyo cálculo se han sugerido varias fórmulas, de las

cuales las más usadas son:

ba

dFf e

=

2

, (7.1)

ba

cFf

= , (7.1)’

donde: a, b y c son las dimensiones de la partícula (longitud, ancho y espesor); de, es el

diámetro equivalente al de una esfera cuyo volumen corresponde al de la partícula. El

diámetro equivalente se determina con la ecuación,



3 /6 Vde = , (7.2)

aquí, V es el volumen de la partícula.

También, para la determinación del diámetro equivalente se utiliza la relación,

3/)( cbade ++= , (7.2)’

esta relación no es aplicable para partículas muy planas.

Además del factor de forma, para caracterizar a los sedimentos se utilizan ciertos

diámetros obtenidos del análisis de la curva granulométrica de todos sus componentes.

7.1. CONCENTRACIÓN DE SEDIMENTOS O TURBIDEZ

Para determinar el grado de concentración de sedimentos en un flujo utilizamos el

concepto de turbidez, siendo ésta la cantidad de sedimentos que contiene un

volumen determinado de mezcla de agua y sedimentos. La turbidez se puede

expresar en función de su masa o volumen.

El caudal volumétrico de la mezcla agua-sedimentos es igual

Qm = Qs + Q, (7.3)

donde: Qm es el caudal de la mezcla (m3/s); Qs es el caudal de sedimentos (m3/s); Q

es el caudal de agua (m3/s).

El caudal másico es,

QQQ ssmm += , (7.4)

aquí: ,, sm , son las densidades de la mezcla, sedimentos y del agua (kg/m3).



Se considera que el valor promedio de la densidad de los sedimentos de los ríos es

de 2650=s Kg/m3.

De la ecuación (7.4) obtenemos que la concentración de sedimentos Gs es,

sss QG = , (kg/m3) (m3/s) = kg/s (7.5)

por lo tanto, la turbidez media del flujo o concentración, en kg/m3, es:

T = Gs/Qm (7.6)

Si en esta ecuación consideramos que Qm = Q tendremos una buena aproximación

del valor de la turbidez.

T = Gs/Q (7.6)’

La turbidez también se expresa en partes por millón (ppm).

Para ríos de llanura y montaña G. Lopatin la ecuación 7.7, en la que se observa la

relación de la turbidez con el gradiente de la superficie libre I, la profundidad del

flujo H, la velocidad de caída de las partículas w y a la rugosidad del cauce n.

)/(4 2wnIHT = , (kg/m3) (7.7)

La turbidez es un parámetro que se determina experimentalmente y generalmente,

los valores obtenidos por medio de ecuaciones empíricas no siempre dan valores

satisfactorios o la ecuación es válida y aplicable para determinadas cuencas.



7.2. VELOCIDAD DE CAIDA DE LAS PARTICULAS

En el estudio del movimiento de los azolves uno de los factores más importantes es

la velocidad uniforme de caída de las partículas en el agua en reposo w.

Para determinar una relación entre la velocidad de caída w y las dimensiones de la

partícula, consideremos las fuerzas actuantes sobre una partícula que cae en un

fluido en reposo. Supongamos que la partícula sólida es más pesada que el agua y

tiene la forma esférica, en este caso, ésta cae por la acción de la siguiente la fuerza,

)(6

1 3 −= sgdp , (7.8)

Al movimiento de la partícula se opone una fuerza igual a,

gvACF z 2/2= . (7.9)

Aquí:

Cz - es el coeficiente de arrastre o coeficiente de resistencia de la partícula; A

es el área, y es igual a la proyección de la partícula a un plano normal al del

movimiento; v – la velocidad relativa del movimiento de la partícula en el

fluido.

El coeficiente de arrastre Cz depende de muchos parámetros, entre éstos del número

de Reynolds y de la forma de la partícula. En la figura 7.1 se muestra la

dependencia de Cz del número de Reynolds (Re = wd/ ), para una forma esférica.

Figura 7.1 Coeficiente de Arrastre Cz para Partículas Esféricas



Para partículas esféricas y valores pequeños de Reynolds (Re < 1), de la solución

de las ecuaciones de Navier-Stokes, se obtiene que:

wdF 3= , (7.10)

De las ecuaciones (7.9) y ecuación (7.10)

Re

24=zC (7.11)

De la igualdad entre P y F se obtiene la ecuación para la determinación de la

velocidad uniforme de caída w para cuando Re < 1,

18

1)/(2 −= sgdw (7.12)

Se ha demostrado que esta ecuación es válida hasta valores de Re 104 a 105, para

diámetros de la partícula d < 0,05 mm.

Los regímenes de flujo que aparecen de la interrelación de la partícula con el agua

(fluido) dependen de la velocidad de caída w y del diámetro de la partícula.

En el régimen laminar la velocidad de caída no depende de la forma de la partícula.

En condiciones normales la zona de resistencia cuadrática (zona en la cual la

velocidad de caída no depende de la viscosidad) aparece cuando Re 500.

La velocidad real de caída de los sedimentos es mucho menor a la obtenida

teóricamente por la ecuación (7.12), ya que en la determinación de la velocidad w

no se considera la influencia de las partículas adyacentes y por tanto, la

perturbación entre partículas en el proceso de caída.

La ecuación (7.12) para el caso general tiene la forma:



1)/(6

−= s

z

gC

dw , (7.13)

Para utilizar esta ecuación es indispensable conocer la relación experimental Cz =

f(Re), para cada forma de partícula.

El tamaño de las partículas de los azolves es diferente, por lo tanto poseen

diferentes velocidades de caída.

Para el cálculo de la velocidad media de caída, que represente a todo el flujo de

sedimentos, se utiliza la curva granulométrica de éstos, la cual se la divide en varias

fracciones (cuatro o cinco) y para cada fracción se determina la media aritmética de

la velocidad de caída wi;

2/)( 21 www i += , (7.14)

o la media geométrica;

3/)·( 2121 wwwww i ++= , (7.14)’

Donde, w1 y w2 son las velocidades de caída de las partículas extremas de cada

fracción. En la tabla 7.1 tenemos las velocidades de caída en función el diámetro.

Con las velocidades parciales de caída wi se calcula la velocidad media

representativa de los azolves

iim pww ·01,0 = , (7.15)

Donde, pi es el porcentaje en peso de las fracciones independientes tomadas de la

curva granulométrica para el cálculo de wi.



Tabla 7.1 Velocidad de Caída de las Partículas para Ff = 0,8, (Shterenligth, 1984)

MATERIAL d

(mm)

w

(m/s)

REGIMEN DE

CONTORNO

arcilla

limo

arena

grava

cantos

rodados

0,001

0,01

0,05

0,10

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

5,00

10,00

20,00

30,00

50,00

100,00

0,00000078

0,000078

0,00195

0,01

0,06

0,12

0,17

0,21

0,25

0,27

0,35

0,49

0,69

0,85

1,10

1,55

Laminar

transición

turbulento

7.3. MOVIMIENTO DE LOS AZOLVES

Para el estudio del transporte de sedimentos consideremos el movimiento de

partículas correspondientes a suelos no cohesivos. Las partículas se trasladan de

dos maneras: 1) En suspensión, formando los azolves que llevan el mismo nombre

y, 2) Por el fondo, que a su vez pueden desplazarse rodando por el lecho del cauce

o en forma de saltos que se intercalan con deslizamientos.

Una misma partícula en ciertas condiciones puede ser parte de los azolves de fondo

y en otras, puede pasar a formar parte de los azolves en suspensión.



Al pasar una partícula del reposo al movimiento, en ciertos casos, se observa

movimientos de deslizamiento o giro por el fondo en forma discontinua y en otros,

las partículas se separan del fondo dando saltos discontinuos que permiten el

traslado de las partículas hacia aguas abajo.

7.4. TRANSPORTE DE FONDO

Veamos el mecanismo de acción del flujo sobre las partículas sólidas localizadas en

el fondo de un cauce, Figura 7.2. En éste suponemos que el eje x coincide con la

dirección del flujo.

Figura 7.2 Acción del Flujo sobre Partículas del Fondo

Es común el estudio de la acción de flujos sobre partículas, tanto de fondo como de

suspensión, en un plano bidimensional, por lo que solo se consideran las

componentes de las fuerzas px, pz y el momento que aparece con respecto al punto

C de contacto con las partículas adyacentes, Figura 7.2.

La componente pz corresponde a la fuerza instantánea de sustentación y es el

resultado de la acción del peso propio de la partícula, el empuje ascensional y las

fuerzas hidrodinámicas, tales como la viscosidad, gradiente de presión, etc.



El gradiente de presión depende de las condiciones en las cuales se produce el

desprendimiento del flujo de la partícula, por lo tanto, puede adquirir valores tanto

positivos como negativos.

Como resultado de la acción de las fuerzas descritas y en determinadas condiciones,

la partícula puede separarse del fondo.

De las observaciones realizadas por Diementev y Shterenligth, en partículas de

arena, se obtuvo que la fuerza instantánea de elevación disminuya a medida que se

separa la partícula del fondo, cuando no existen condiciones para mantenerla en

suspensión. Al alcanzar la partícula una distancia con respecto al fondo l = 0,8d, la

fuerza de elevación disminuye hasta cero. El ángulo de separación de la partícula

con respecto a la horizontal es aproximadamente de 25º.

La velocidad del flujo a la cual se inicia el movimiento de las partículas, se le

denomina velocidad crítica de deslizamiento Vc. Para velocidades menores que ésta

las partículas permanecen en reposo y para velocidades mayores, éstas se pondrán

en movimiento.

Existe otra manera de considerar el equilibrio de las partículas al movimiento, en

base a los esfuerzos tangenciales desarrollados por el flujo, denominados esfuerzos

de corte críticos c .

La ecuación más sencilla para la determinación de la velocidad crítica de inicio de

la erosión es;

gdAVc = (7.16)

donde, d es el diámetro medio de las partículas (m); A es una coeficiente empírico

para el cual se han propuesto varias maneras de determinación:



Según Izbash,

17,1 −= sA , (7.17)

aquí, s es el peso específico de los sedimentos (T/m3).

Studenichnikov propone la ecuación,

4/1)/(15,1 dHA = , (7.18)

donde, H es la profundidad del flujo sobre la partícula.

Para Goncharov,

)/8,8lg(95,0 maxdHA = (7.19)

Además de las citadas, para la determinación del coeficiente A, existen otras

ecuaciones de mayor complejidad.

Analicemos la ecuación (7.16) considerando A según la ecuación (6.17). Si

tenemos dos partículas de diferente diámetro d1 y d2 y deseamos encontrar la

relación d1/d2 obtenemos que:

2

2

2

1

2

1

c

c

V

V

d

d= (7.20)

esta relación nos muestra que, si tomamos las velocidades medias de dos ríos cuya

relación sea V1/V2 = ½, tenemos que la relación entre los diámetros de las partículas

que pueden acarrear d1/d2 = ¼. En este caso, la velocidad de un cauce es apenas el

doble de la del otro, pero es capaz de arrastrar partículas de diámetro cuatro veces

más grandes. Por esta razón, los ríos de montaña transportan cantos o bloques

rocosos de gran tamaño, no así los de llanura.



Expresiones más complejas, obtenidas del análisis de estabilidad de las partículas

en estado límite, son las propuestas por Mirtsjulava:

para suelos no cohesivos,

nCdmdHV sc 44,0/)(2)/8,8(lg +−= , (7.21)

y para suelos cohesivos,

nCkdmdHV sc 6,2/]5,1)[(2)/8,8(lg +−= , (7.22)

donde: m, es el factor de condiciones naturales (m = 1 para suelos cohesivos y m =

1,05 a 1,20 para no cohesivos); n, es el factor de sobrecarga, para d < 1mm,

)3,005,0/(1 ddn ++= ,

y para d = 1mm, n = 4; k, es la probabilidad de desviación del coeficiente de

cohesión de su valor medio (k = 0,05 a 0,075); C, es el coeficiente de resistencia de

las partículas al desprendimiento del suelo, para suelos cohesivos C es igual al

valor de la cohesividad.

Para suelos no cohesivos,

C = 0,172/d

Como se expreso anteriormente otra forma de analizar el transporte de sedimentos

es en base a los esfuerzos de corte y los desarrollados por una corriente son:

22 / Cvg = , (7.23)

donde, C es el coeficiente de Chezy.



El valor obtenido con la ecuación (7.23) se compara con los valores obtenidos de

esfuerzos de corte crítico c . La ecuación más sencilla para la determinación de c

es la presentada por Leliavsky S.

.65,1 dc = (7.24)

En base a un análisis dimensional y a resultados experimentales A. Shields propuso

el diagrama mostrado en la Figura 7.3, para la determinación de los esfuerzos de

corte críticos.

Figura 7.3 Diagrama de SHIELDS para la Determinación de los Esfuerzos de

Corte Crítico.

/* cu = - es la velocidad rasante; – es el espesor de la subcapa laminar,

*/6,11 u=

Este diagrama tienen el único inconveniente de que no se puede determinar

directamente el valor de los esfuerzos críticos, siendo necesario realizar

aproximaciones sucesivas. Como primera aproximación se recomienda el valor

obtenido con la ecuación (7.24).



El gasto de azolves de fondo por unidad de ancho qf (caudal unitario) es posible

determinar con la ayuda de la ecuación de Levi I. para valores de d/H > 1/300;

dvvHdgdvq cf )()/()/(2 4/13 −= , (7.25)

donde: v, es la velocidad media del flujo; vc, la velocidad crítica de iniciación del

movimiento de las partículas. El gasto unitario de azolves qf está dado en kg/s por

cada metro de ancho.

7.3.1. Formas del Fondo

La separación de las partículas del fondo así como su asentamiento

implican que el perfil del lecho o solera del cauce sufrirá ciertas

transformaciones en su forma.

Anteriormente, anotamos que el inicio del movimiento de las partículas

depende de una velocidad crítica, el transporte de sedimentos depende de

la velocidad del flujo, por tal razón la forma del perfil del fondo también

dependerá de la velocidad.

Las fuerzas principales actuantes en el transporte de sedimentos son las

gravitacionales, por esta razón, para caracterizar los perfiles del fondo, se

utiliza el número de Froude (Fr2 = v2/gH).

Las diferentes formas del fondo que se producen por la acción del flujo, se

muestran en la figura 7.4.

Inicialmente suponemos que tenemos un perfil casi horizontal (figura

7.4a). Si el flujo tiene una velocidad mayor que la crítica para el inicio

del movimiento de las partículas, pero Fr << 1, éste tomará la forma de un

sistema de rizos (figura 7.4b), que en realidad es un sistema de ondas



asimétricas que se forman del material en un movimiento. La longitud de

los rizos son 0,5 a 2 veces su altura.

Figura 7.4 Formas del Fondo de un Cauce

a) Forma Inicial de la Solera; b) Formación de Rizos en el Fondo; c)

Rizos y Dunas; d) Dunas; e) Horizontal; f) Ondas; g) Antidunas.

Si la velocidad del flujo aumenta, los rizos pasan a formar ondas

asimétricas de mayor tamaño llamadas dunas (figura 7.4c y d). La

longitud de las dunas es, aproximadamente, 5 a 30 veces su altura.

Al alcanzar el número de Fraude un valor igual a la unidad los rizos y las

dunas desaparecen y el fondo prácticamente se vuelve horizontal (figura

7.4e).

Si el número de Fraude aumenta a más de la unidad, se forma un sistema

de ondas simétricas (figura 7.4f) y posteriormente toma la forma de un

sistema de antidunas (figura 7.4g) si continúa aumentando Fr.



Todas las formas estudiadas no son estables con respecto a su posición,

sino que se trasladan en dirección del flujo en el transcurso del tiempo.

7.4. AZOLVES EN SUSPENSION

Las partículas, una vez que se han desprendido del fondo bajo la acción de las

fuerzas hidrodinámicas actuantes, pueden mantenerse en suspensión trasladándose

tanto en dirección del flujo como en sentido vertical. La velocidad de la partícula

en el sentido vertical es fluctuante, tomando tanto valores positivos como

negativos.

La velocidad a la cual las partículas pasan al estado de suspensión se denomina

velocidad sin sedimentación vss o velocidad de transporte (velocidad media a la cual

las partículas no se sedimentan).

Esta velocidad para Joukovsky se determina con la ecuación;

.29,024,0 Hvss += (7.26)

Según Kennedy esta velocidad es igual a;

b

ss cHv = , (7.27)

Donde, c y b son coeficientes que dependen del tipo y concentración de sedimentos

y se determinan experimentalmente para cada cauce y cuenca (c = 0,8 a 1,1 ; b =

0,64 a 0,66).

Las ecuaciones de Joukovsky y Kennedy son de uso muy frecuente debido a la

sencillez de éstas. Existen ecuaciones más complejas como las propuestas por

Studenichnikov B.



15,0)(1)/(9,0 dHgv sss −= , (7.28)

y por Levi I.;

Rnddwvss )/0225,0()01,0/)(%/(01,0 25,0

25,0= , (7.29)

donde: %d0,25 - es el porcentaje en peso de las partículas de diámetro menores a

0,25mm; n - es el coeficiente de rugosidad del cauce; R, el radio hidráulico del

cauce.

Existen trabajos experimentales más generales sobre el proceso de desprendimiento

y transporte de sedimentos, uno de éstos es el de Hjulstrom F., figura 7.5,

Figura 7.5 Diagrama de Hjulstrom-Postma para la Determinación de las

Condiciones del Flujo de los Sedimentos

Hjulstrom propuso el diagrama de la figura 7.5 (líneas continuas), en el que se

relaciona el diámetro medio de las partículas con la velocidad del flujo. Este

diagrama se obtuvo experimentalmente utilizando partículas no cohesivas y el



diámetro uniforme. Posteriormente, Postma H. complementa el diagrama basado

en pruebas de campo y laboratorio más generales. Las líneas A-D (figura 7.5) nos

muestran límites más reales de las condiciones de erosión y suspensión de las

partículas.

7.5. TRANSPORTE TOTAL DE SEDIMENTOS

El transporte total de sedimentos acarreados por un flujo es igual a la suma de los

sedimentos llevados en suspensión más los arrastrados por el fondo,

Qs = Qsp + Qf

Es obvio que, Qs se obtiene utilizando las ecuaciones dadas anteriormente. Existen

varias ecuaciones por medio de las cuales se pude determinar el gasto total unitario

de los sedimentos, una de éstas es la ecuación de Engelund H.

2/3

%50%502 )/(

1)/(05,0 d

g

dvq ss

s

ss

−−

= , (7.30)

Donde: d50%, es el diámetro de las partículas correspondientes al 50% en peso de la

curva granulométrica.



CAPITULO VIII

FLUJO VARIABLE EN EL TIEMPO (NO ESTACIONARIO)

Flujo no estacionario o variable en el tiempo es aquel en el cual sus parámetros y

características cambian con respecto al tiempo.

8.1. ECUACION DE BERNOULLI PARA EL FLUJO VARIABLE

Tenemos la ecuación de Bernoulli para dos secciones de un tubo elemental figura

8.1, para el cual se analizan todas las fuerzas actuantes, inclusive la inercial;

dt

dudldA

dt

dumF ··== (8.1)

Figura 8.1 Ecuación de Bernoulli para un Flujo no Estacionario

donde: dttudlludu )/()/( += .



Sumando las ecuaciones (8.1) a la ecuación de Bernoulli tenemos:

+=++−++ − dl

t

u

ghgupzgupz )(

1)2//(2// 212

2

2212

11

Al último de estos miembros se le conoce como Carga Inercial;

dlt

u

ghin

=

1,

así, la ecuación de Bernoulli para el flujo no estacionario es:

inhhgupzgupz +=++−++ −212

2

2212

11 )2//(2// (8.2)

8.1.1. TUBERIA DE SECCION CONSTANTE

Para un diámetro constante la velocidad a lo largo de la tubería permanece

constante y solo es una función del tiempo, en este caso:

)(11

12 lldt

du

gdl

t

u

ghin −=

= ,

o,

dt

dv

g

lhin = (8.3)

siendo la ecuación de Bernoulli;

dtdvglhgupzgupz /)/()2//(2// 2122

2212

11 +=++−++ − (8.4)



8.2.GOLPE DE ARIETE (CHOQUE HIDRAULICO)

Golpe de ariete se denomina al aumento (o disminución) de la presión debida a la

variación brusca de la velocidad. Por ejemplo: cierre instantáneo de válvulas en

una tubería.

Este proceso físico fue descrito por Joukovsky (1898), en el cual al fluido se le

considera no viscoso, pero compresible.

Todo el fenómeno comprende cuatro fases principales, para su explicación

consideremos el movimiento de un líquido por una tubería desde un reservorio, en

cuyo extremo existe una válvula, figura 8.2.

PRIMERA FASE. En el instante en que se cierra la válvula las partículas que se

encuentran cerca de ésta, con una velocidad v, adquieren la velocidad cero, pero

este proceso de estancamiento no es instantáneo para todo líquido, sino que, poco a

poco se desplaza desde la sección de cierre hasta el embalse a una velocidad c,

figura 8.2. A su vez, toda la columna de líquido que adquirió v = 0 está sujeta a una

compresión por la columna de líquido todavía en movimiento, produciéndose un

incremento de presión igual a p , conocido como presión de choque.

Figura 8.2 Golpe de Ariete



Todo este proceso de comprensión y difusión de la onda de choque a lo largo de

toda la tubería se realiza en un tiempo t. Surgiendo un volumen de longitud l,

debido a la comprensión que sufre el líquido, que es ocupado por las partículas del

embalse.

La velocidad de difusión de la onda de choque golpe de ariete es:

c = l/t (8.5)

donde, l es la longitud de la tubería.

SEGUNDA FASE. Al terminar la primera fase, en el interior del conducto existe

una presión p +Δp con respecto al embalse, por esta razón se inicia el

desplazamiento del líquido de la tubería hacia el embalse con una velocidad v,

restableciéndose en ésta una presión p.

TERCERA FASE. Continuando el desplazamiento el líquido al embalse, llega un

instante en que el fluido se desprende de la válvula, en este instante se inicia la

tercera fase, en la cual se produce un decremento de presión en una magnitud Δp,

que se difunde desde la válvula al reservorio. Al final de esta fase existe un

desequilibrio entre la presión del embalse y la tubería.

CUARTA FASE. Por la diferencia de presiones, correspondiente a la tercera fase,

el líquido del reservorio inicia un nuevo movimiento a la tubería, igualando la

presión poco a poco desde la sección del embalse hacia la válvula. Al final de esta

fase existen condiciones idénticas a las anteriores a la primera fase. En el caso de

mantenerse cerrada la válvula el fenómeno continúa hasta que se produce su

amortiguamiento.



8.2.1. Presión de Choque y Velocidad de Difusión

El siguiente análisis corresponde al caso de un cierre de válvula rápido,

t < 2 l/c.

Para este esquema presentado en la figura 8.2 apliquemos cambio de

cantidad de movimiento.

Pt

vm =

− )0(,

Conociendo que,

pAApppP −=+−= )( ;

clt /= ;

Alm = ,

pAvcAtlvA −=−=− /

simplificando

cvp = (8.6)

Determinemos la velocidad de difusión c, para lo cual, se consideran dos

casos: a) tubería rígida y b) tubería elástica.

8.2.1.a Tubería Absolutamente Rígida

Conocemos que la energía cinética para el fenómeno

esquematizado en la figura 8.2 es:



=−

dlPvm

2

)0( 2

,

de donde;

=− dlPAlv 2/2

La integral de esta ecuación comprende el trabajo T, que realizan

las fuerzas de presión, desde T1 = 0 (para la fuerza junto a la

válvula por tener desplazamiento dl = 0) hasta T2= p*A* l/2

(debido a que la fuerza cambia desde cero hasta p*A), de

donde;

2/2/2 lApvlA =− ,

y,

llvp −= /2 (8.7)

Según la ley de Hooke la deformación relativa es:

−∆𝑙

𝑙=

∆𝑝

𝐾

Siendo, K el módulo de elasticidad volumétrico del fluido,

reemplazada esta expresión en la ecuación (8.7) tenemos,

pKvp = /2 ,

de donde,

Kvp = (8.8)



Comparando esta ecuación con la (8.6), vemos que:

Kvcv = ,

y,

/Kc = (8.9)

Esta ecuación coincide con la velocidad de difusión de las ondas

sonoras en los fluidos.

Conociendo que para el agua K = 19,62 · 108Pa, y =

1000kg/m3,

smc /140010/10·62,19 38 ==

8.2.1.b. Paredes Elásticas

Cuando el material que conforma las paredes de la tubería es

capaz de deformarse aumenta su volumen interior, por acción de

la presión interna.

Para una sobrepresión p, la deformación de una tubería se la

puede representar de la siguiente manera figura 8.3.

El volumen interior de la tubería aumenta en un valor ΔV= A*l,

el cual es ocupado por el líquido, lo que genera un “volumen de

compresión aparente” (compresión del líquido más deformación

de las paredes), que es considerado, para fines de cálculo, con un

módulo de elasticidad aparente Ka, menor al de paredes rígidas

K.



Figura 8.3 Variación de Volumen por Sobrepresión

Por consiguiente la velocidad de difusión del golpe de ariete es

menor e igual a,

/aKc = (8.10)

donde: Ka es el módulo de elasticidad aparente del líquido,

calculado con la siguiente ecuación,

Ee

D

KK a

+=11

Aquí, D, e y E, son el diámetro, espesor y módulo de elasticidad

de la tubería. Por consiguiente,

+

=

e

D

E

K

Kc

1

(8.11)



o,

e

D

E

K

Kc

+

=

1

/ (8.11)’

Esta ecuación para el agua es,

)/)(/(1/1400 eDEKc +=

Los valores de K/E se pueden determinar con la tabla 8.1, de

acuerdo al tipo de material.

Tabla 8.1 Tabla de Relación K/E

(Bolshakov,1989)

MATERIAL K/E

Acero 0,01

Asbesto 0,11

PVC 0,68 a 0,73

Plástico 1 a 1,45

Hormigón 0,1 a 0,14

Hierro galvanizado 0,065 a 0,09

Caucho 333 a 1000

EJEMPLO 8.1 Determinar el incremento máximo de presión p, para un

cierre instantáneo de una válvula de una tubería de acero, de diámetro D =

400mm, espesor e = 7mm, si la velocidad del flujo es v = 1,85 m/s.

DESARROLLO:

Módulo de elasticidad del acero E = 19,6 1010 Pa, de donde:

K/E = 0,01,



D/e = 400/7 = 57,14

La velocidad de difusión es:

smc /82,111614,5701,01/1400 =+=

El incremento de presión:

p = 1000 · 1,85 · 1116,82 = 2066,12 · 103Pa.

8.3. FLUJO NO ESTACIONARIO RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES.

ONDAS MOVILES

Las ondas móviles en canales es un fenómeno no estacionario que se observa en las

avenidas de corrientes naturales, en canales de acercamiento, desagües, etc.

8.3.1. Tipos de Ondas

El súbito aumento o disminución de caudal en un cauce abierto produce

una onda móvil u ola. Existen cuatro tipos básicos de ola: según el

sentido de propagación (aguas arriba o aguas abajo) y según el cambio de

profundidad (aumento o disminución).

Cuando la ola se desplaza aguas arriba se denomina Onda de Remanso y

si se desplaza aguas abajo Onda de Avenida. La ola que produce aumento

de profundidad es positiva o negativa si produce disminución.

Las olas positivas son esencialmente estables y pueden ser de frente

pronunciado figura 8.4a y de frente ondulado figura 8.4b.



a. b.

Figura 8.4 Ondas de Frente Pronunciado y Ondulado

Las olas negativas son siempre inestables y no se puede mantener una ola

con frente pronunciado; la razón de que esto ocurra es que, las partículas

superiores del líquido al estar situadas en una zona de mayor profundidad

se mueven más rápidamente, haciendo más gradual la disminución de la

profundidad a lo largo del flujo, figura 8.5.

a. b.

Figura 8.5 Ondas Negativas de Frente Pronunciado y Ondulado

8.3.2. Las Olas Según sus Causas

Los diferentes tipos de olas que se producen en la naturaleza se muestran

en la figura 8.6 y son:

a) La ola positiva de remanso, aparece por una disminución del caudal

de paso en la zona de aguas abajo.



b) La ola negativa de avenida se produce por una disminución de caudal

en la zona de aguas arriba.

c) La ola positiva de avenida corresponde a un aumento brusco de

caudal en el flujo aguas arriba.

d) La ola negativa de remanso es producto del aumento de caudal en la

zona de aguas abajo.

Figura 8.6 Tipos de Olas

El simple aumento o disminución de caudal no implica la formación de

una onda móvil. Para que aparezca una ola es necesario que el número

relativo de Froude del flujo,

iii ghcvFr /)( 2−= ,

Calculando para la primera y segunda secciones, cambie de un número

menor a un número mayor que la unidad o viceversa. En otras palabras el

cambio del número de Froude tiene que ser tal, que uno de los dos

números sea mayor y el otro menor que la unidad.

Si los dos números relativos de Froude son mayores a la unidad o menores

a ésta, la ola no aparece.



Una expresión cómoda para representar el aparecimiento de una ola es:

01

1

2

1 −

−

Fr

Fr , (8.12)

8.3.3. La Superficie Libre de una Onda Móvil

El análisis matemático de una onda en canales abiertos no es tan simple

como se supone de la ecuación obtenida anteriormente.

Después del paso de una ola por algún punto del canal la profundidad no

es constante y la forma del perfil de la superficie libre cambia con el

tiempo, gracias al cambio de nivel y a la influencia de las fuerzas de

viscosidad (rozamiento) como se muestra en la figura 8.7.

Figura 8.7 Desarrollo de una Onda Positiva de Remanso

Analicemos la secuencia del fenómeno mostrado en la figura anterior. La

onda aparece por el cierre de una compuerta en el canal, y se mueve en

sentido contrario al del flujo (ola positiva de remanso). La onda irá

ocupando las posiciones 1, 2, 3, 4 al paso del tiempo.

Poco a poco la superficie libre se irá elevando y se transformará en una

superficie horizontal, esta elevación de la altura, cerca de la compuerta,

puede llegar a ser muchas veces mayor que la misma ola, lo que se debe

considerar para no tener consecuencias lamentables.



8.3.4. Velocidad de Desplazamiento de la Onda

Para una onda móvil, como la que se muestra en la figura 8.8,

consideramos que entre las secciones 1 y 2, las cuales se desplazan a la

misma velocidad de la onda, la superficie libre es estacionaria, lo que

implica que la velocidad relativa de la onda c es igual a cero. Por esta

razón, las velocidades en las secciones 1 y 2 toman los valores de: v1 – c y

v2 – c.

Figura 8.8 Onda Móvil y Onda Estacionaria Aparente

Utilizando la ecuación de continuidad entre las secciones 1-1 y 2-2, figura

8.8b obtenemos que,

(v1 – c)A1 = (v2 – c)A2 (8.13)

o,

(v2 – c) = (v1 – c)A1/A2

Analicemos el cambio de cantidad de movimiento para estas secciones;

2

11

2

2221 )()( cvAcvAPP −−−=− , (8.14)

conocemos que: 111 chAP = , 222 chAP = y g/ =



Reemplazando en la ecuación (8.14) estos valores y la ecuación (8.13),

tenemos:

gcvAgAcvAhAhA cc /)(/)( 2

112

2

112

2211 −−−=−

de donde,

121

2

2211

2

1

)/(

)(

AAA

hAhA

g

cv cc

−

−=

− ,

Despejando obtenemos la velocidad de difusión de la onda:

121

2

2211

1

21

)/( AAA

hAhA

A

Agvc cc

−

−−= , (8.15)

Esta ecuación nos permite encontrar la velocidad de la onda para

cualquier forma de canal, dificultándose su resolución para canales no

prismáticos.

Si la velocidad v1 = 0; entonces c es la velocidad de difusión de una onda

en aguas en reposo.

Para un canal rectangular y canales lo suficientemente anchos:

12121 2/)( hhhghvc += (8.16)

El signo (+) corresponde al caso en el cual la profundidad h1 es mayor que

h2 y en caso contrario, h1 < h2, el signo (-)



8.4. FLUJO NO ESTACIONARIO EN ORIFICIOS

El flujo no permanente en orificios se presenta para los casos en los cuales la carga

es variable, cambiando también los parámetros como el caudal, velocidad, presión,

etc.

La determinación de la velocidad y el caudal es posible con la ecuación de

Bernoulli, para el análisis se toma intervalos de tiempo infinitamente pequeños y en

los límites de cada intervalo el flujo se considera estacionario.

Uno de los principales problemas que se resuelve, para flujos a través de orificios

con cargas variables, es la determinación del tiempo que transcurre al variar el

nivel, de un valor H1 a H2.

8.4.1. Desagüe con Carga Variable y Flujo Constante

Analicemos un tanque de sección variable con descarga libre, figura 8.9.

Figura 8.9 Flujo no Estacionario a través de un Orificio



Al reservorio de un origen exterior llega cierto caudal afluente Qaf = const.

Para un flujo estacionario con descarga Qaf, a través del orificio de área A,

es necesaria una carga Haf, que se puede determinar de la ecuación:

afaf HgACqQ 2= , (8.17)

de donde:

22

2

2 ACqg

QH

af

af = (8.17)’

Si la carga inicial H1 coincide con Haf, el flujo es estacionario, en caso

contrario son posibles dos casos:

PRIMERO. Si H1 < Haf, por el orificio se descarga un caudal menor al

afluente, Q < Qaf. El volumen del líquido en el reservorio aumenta y de

igual manera la carga y el caudal de desagüe, hasta que el caudal que pasa

a través del orificio sea igual al afluente, y el flujo se transforma en

estacionario.

SEGUNDO. Si H1 > Haf, se descarga un caudal Q mayor a Qaf; por lo

que el nivel del reservorio disminuye poco a poco, hasta que sea igual a

Haf y por consiguiente Q = Qaf.

Determinamos el tiempo que tarda en variar la carga de un valor H1 a H2.

En un instante de tiempo t, la carga es H y el área del reservorio , figura

8.9. Para un intervalo de tiempo dt, a través de orificio se descarga un

volumen igual a:

dV = Q dt (8.18)



El volumen de líquido que fluye hacia el reservorio es:

dVaf = Qafdt , (8.19)

y el cambio de volumen en el reservorio, según (8.18) y (8.19):

dVr = (Qaf – Q)dt ,

o,

dtgHCqAQdV afr )2( −= (8.20)

volumen que también es igual a;

dhdVr = (8.21)

Igualando (8.20) y (8.21),

dtgHCqAQdH af )2( −= ,

o,

dtHHgCqAdH af )(2 −= ,

de donde:

HH

dH

gCqAdt

af −

=

2 (8.22)

Para la integración de esta ecuación cambiamos de variable:

HHy af −=



,

y,

H

dHdy

2−= ,

o,

dyHydyHdH af )(22 −=−=

Así, la ecuación (8.22) después de los reemplazos es:

dyy

H

gCqAdt

af

−

= 1

2

2 ,

considerando que el coeficiente de gasto Cq permanece constante,

dyy

H

gCqAt

y

y

af

−=

2

1

12

2 , (8.23)

aquí, 11 HHy af −= ; 22 HHy af −=

La integración de la ecuación (8.23) se realiza para los siguientes casos:

1) El área del reservorio con la profundidad no cambia, = const.,

entonces se puede sacar fuera del signo de la integral, y por

consiguiente;

−

−+−

=

2

1

21 ·ln2

2

HH

HHHHH

gCqAt

af

af

af (8.24)



2) El área del reservorio es variable con la carga H. En este caso,

también, hay dos alternativas;

a) La relación vs. H está dada por una ecuación, por lo tanto es

posible la integración de la ecuación (8.23).

b) La relación vs. H es difícil de expresar analíticamente (como

por ejemplo los embalses naturales o artificiales. En este caso

se busca una solución aproximada, que puede ser la integración

de la ecuación (8.23) por el método de los trapecios.

8.4.2. Flujo de un Tanque a Otro

Supongamos que tenemos dos tanques A y B unidos a través de un

conducto y que existe una diferencia de niveles entre las superficies libre

figura 8.10.

Ninguno de los tanques se abastece del exterior, en este caso el nivel del

tanque A disminuye y el del B aumenta, siendo la diferencia de niveles

cada vez menor, hasta que la diferencia sea cero.

Figura 8.10 Flujo de un Tanque a Otro



Toda diferencia de niveles H en cualquier instante de tiempo es,

H = Z1 – Z2 ,

entonces un decremento d H = dZ1 – dZ2. (8.25)

A un aumento de volumen en el tanque B le corresponde a un decremento

en A,

- 1 dZ1 = 2 dZ2 ,

1

2

12 dZdZ

=− ,

Reemplazando en la ecuación (8.25),

1

2

12 dZdH

+= ,

o,

dHdZ21

21

+

= (8.26)

El volumen de líquido que disminuye del tanque A, es igual al caudal que

pasa por el conducto en un intervalo de tiempo dt, así:

dtgHACqdZ 211 =− ,



reemplazando dZ1 según la ecuación (8.26) y despejando dt,

H

dH

gCqAdt

2)( 21

21

+

−= ,

de donde, después de la integración entre H1 y H2

gCqA

HHt

2)(

)(2

21

2121

+

−= (8.27)

El tiempo en el cual se nivelan las dos superficies corresponde para H2 =

0.

Si el segundo tanque es de gran capacidad )( 2 → , la posición de la

superficie libre, no cambia en el tiempo (vaciado de un tanque), y éste se

determina como sigue:

gACq

Ht

2

2 11= (8.27)

Si a esta ecuación le multiplicamos y le dividimos para 1H obtenemos

en el numerador 1 H1, que es el volumen inicial del tanque A y en el

denominador el gasto a través del orificio para la carga H1. Esto significa

que, el tiempo que se demora en vaciarse un tanque es el doble del tiempo

que se demora en desaguar un volumen semejante, por un orificio con

carga constante, por lo que la ecuación de vaciado de un tanque sería:

𝑡 =2 𝐻

𝐶𝑞𝐴√2𝑔𝐻=

2𝑉

𝑄 (8.28)



BIBLIOGRAFIA

Abramov H. N. y Otros, (1977). Cálculo de Redes de Conducción de Agua. Moscú,

Rusia. Stroyizdat.

Aguirre, P. J. (1980). Hidráulica de Sedimentos. Caracas, Venezuela. Cidiat.

Altshul, A. D. (1977). Ejemplos de Cálculos Hidráulicos. Moscú, Rusia. Stroyizdat.

Andreevskaya, A. B. y Otros (1970). Tareas de Hidráulica. Moscú, Rusia. Energía.

Bogomolov, A. I. y Otros (1977) Ejemplos de Cálculos Hidráulicos. Moscú, Rusia.

Transport.

Bogomolov, A. I. y Otros (1979). Flujos de Superficie Libre con Alta Velocidad.

Moscú, Rusia. Stroyizdat.

Bureau of Reclamation (1982). Diseño de Presas Pequeñas, México. 11ª Edición.

Editorial Continental S. A.

Chow, V. (1983). Hidráulica de los Canales Abiertos. Bogotá, Colombia. McGraw Hill.

Chugaev, R. R. (1982). Hidráulica (Mecánica Técnica de Fluidos). Leningrado (San

Petersburgo), Rusia. Energoizdat.

Domínguez, F. (1999). Hidráulica. Santiago de Chile, Chile. Editorial Universitaria S. A.

French, R. H., (1988). Hidráulica de Canales Abiertos. México. McGraw-Hill.

Frost, W. y Moulden, T. (1977). Manual de Turbulencias. New York , USA. Plenum

Press.

Hughes, W. F. (1970). Dinámica de los Fluidos. México, México. McGraw-Hill.

Ilinij, I. I. (1982). Centrales Hidráulicas. Moscú, Rusia. Energoizdat.

John, J. Haberman, W. (1974). Introducción a la Mecánica de Fluidos, Madrid, España.

Prentice Hall I.

Kiselev, P. G. y Otros (1972). Manual para Cálculos Hidráulicos. Moscú, Rusia.

Energía.

Kiselev, P. G. (1980). Hidráulica (Principios de la Mecánica de Fluidos). Moscú, Rusia.

Energía.

Kuznetzov, S. K. (1983).Teoría y Cálculos de la Hidráulica de Aguas Abajo. Lvov.

Ucrania.

Manual de Bombas (1977). Barcelona España. Editorial Blume.



Márquez, M. C. (2006). Caracterización Paramétrica de Resaltos Hidráulico Libres y

Sumergidos Partir de Medidas de Velocidades Instantáneas con Equipo Doppler.

Cartagena, Colombia. Universidad Politécnica de Cartagena.

Mataix, C. (1981). Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas. México, México. Ed.

Harla.

Mcdowell, D. O’Connor, B. (1977). Hidráulica de Mareas en Estuarios. London,

Inglaterra. Macmillan Press.

Nedrigi, B. et al (1983). Manual de Diseño de Estructuras Hidráulicas. Moscú, Rusia.

Etroyizdat.

Nekrasov, B. (1978). Hidráulica. Moscú, Rusia. Editorial Paz.

Pashkov, N. Dolgachev, F. (1985). Hidráulica y Máquinas Hidráulicas. Moscú, Rusia.

Ed. Mir.

Patrashev, A. Kivako, L. Gorriy, S. (1970). Hidromecánica Aplicada. Moscú, Rusia.

Boenizdat.

Rocha, A. (1998). Introducción a la Hidráulica Fluvial. Lima, Perú. Universidad

Nacional de Ingeniería.

Rodriguez, R. (2008). Hidráulica II (Hidráulica de Canales). Oaxaca, México. E-book.

Sharp, J. J. (1981). Modelación Hidráulica. London, Inglaterra. Ed. Butterworth.

Shterenligt, D. B. (1984). Hidráulica. Moscú, Rusia. Energiatomizodat.

Slisskiy, S. M. (1979). Cálculos Hidráulicos de Estructuras Hidráulicas Grandes.

Moscú, Rusia. Energía.

Sotelo, A. G. (1974). Hidráulica General, Vol I (Fundamentos). México, México.

Limusa S. A.

Stepanov, R. M. y Otros (1984). Manual de Hidráulica para Riego. Moscú, Rusia.

Kolos.

Streeter, V. Wylie, W. (1981). Mecánica de los Fluidos. México, México. McGraw

Hill.

Taraymovich, I. (1966). Protección de Aguas Abajo de Presas Vertedoras. Moscú, Rusia.

Editorial Energía.

Webber, N. B. (1969). Mecánica de Fluidos para Ingenieros. Bilbao, España. Urmo.

Zhelezniakov, G. y Otros, (1983). Manual de Diseños de Obras Hidráulicas. Moscú,

Rusia. Stroyizdat.

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https://www.researchgate.net/publication/341165763

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