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Universidad de Puerto Rico en Aguadilla
División de Educación Continua y Estudios Profesionales
Proyecto: CeCiMat
Programa Título II-B: Mathematics and Science Partnerships
Departamento de Educación de Puerto Rico
Taller: Definición de conceptos fundamentales de la Estadística y la
Probabilidad y su aportación al mundo moderno
Matemática Intermedia (7-9)
Fecha: 18 de agosto de 2012
Temas: Nmedidas de tendencia central y disperción, probabilidad de
eventos
Preparado por Dr. Carlos R. Rosario Pérez
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Pre prueba
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Objetivos y Prontuario
Recopilar organizar e interpretar datos numéricos.
Efectuar actividades relacionadas al estándar de análisis de datos y probabilidad del D.E.P.R.
Debatir acerca de modificaciones a estas actividades.
Practicar y colaborar en las actividades a desarrollarse en el taller.
Comprender la importancia del análisis de datos en la vida diaria.
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Análisis de Datos
Es la actividad de transformar un
conjunto de datos con el objetivo de
poder verificarlos muy bien dándole al
mismo tiempo una razón de ser o un
análisis racional.
Consiste en analizar los datos de un
problema e identificarlos.
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Probabilidad
Probabilidad es la oportunidad de que
algo ocurra - qué tan posible es que algún
evento ocurra.
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Probabilidad
Algunas veces se puede medir la
probabilidad con un número: "10% de
probabilidad de lluvia", o se puede usar
palabras como imposible, improbable,
posible, buenas probabilidades, probable y
seguro.
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Representación de datos
Análisis de datos
Inferencias y predicción
Probabilidad
P
r
o
c
e
s
o
s
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Procesos integrados:
Solución de problemas
Razonamiento y prueba
Comunicación
Conexiones
Representaciones
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Análisis de datos
y probabilidad
El estudiante es capaz de utilizar
diferentes metodos de recopilar,
organizar, interpretar y presentar datos
para hacer inferencias y conclusiones.
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Definiciones
Datos - Una colección de hechos, como
pueden ser valores o medidas.
Muestra - Una selección tomada de un
grupo más grande (la "población") para
poder examinarla y determinar algo sobre
el grupo más grande.
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Tipos de muestra (probabilísticos)
Muestreo aleatorio
Muestreo estratificado
Muestreo sistemático
Muestreo polietápico o por
conglomerados
Todos los elementos de la población
tienen la misma posibilidad de
participar de la muestra.
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Muestra no probabilísticos
Los métodos de muestreo no probabilisticos no garantizan la representatividad de la muestra y por lo tanto no permiten realizar estimaciones inferenciales sobre la población.
◦ de Conveniencia
◦ de Juicios
◦ por Cuotas
◦ de Bola de Nieve
◦ Discrecional
Conocimiento y
opinión personal
para identificar los
elementos de la
población que se
incluyen en la
muestra. (guia
telefonos)
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Población - Es todo conjunto de elementos, finito o infinito, definido por una o más características, de las que gozan todos los elementos que lo componen, y sólo ellos.
Censo - En ocasiones resulta posible estudiar cada uno de los elementos que componen la población, realizándose lo que se denomina un censo, es decir, el estudio de todos los elementos que componen la población.
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Encuesta - instrumentos de investigación
descriptiva que precisan identificar a priori las
preguntas a realizar, las personas seleccionadas
en una muestra representativa de la población,
especificar las respuestas y determinar el
método empleado para recoger la información
que se vaya obteniendo
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Ejercicio
Una empresa automotriz desea hacer un estudio de mercado para determinar los diferentes tipos de autos que transitan en el pueblo de Hormigueros. Para ello, se instalan distintos puestos de observación en cada una de los barrios que componen ese pueblo.
La observación se efectúa sobre 1000 automóviles y se analizan las siguientes características: marca, modelo, color, cantidad de puertas y velocidad alcanzada al pasar por dichos puestos.
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Identifica
Población
Muestra
◦ Tipo de muestra
Probabilística
No probabilística
Variable (es)
Encuesta vs. Censo
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Ejercicio
En la escuela Sergio Ramírez de Arellano
se quiere cambiar el uniforme. Para esto
se escogieron 2 de 5 grupos de nivel
intermedio y 2 de 5 grupos de nivel
superior. Estos 4 grupos votarán por las
cuatro opciones de uniforme.
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Identifica
Población
Muestra
◦ Tipo de muestra
Probabilística
No probabilística
Encuesta vs. Censo
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Ejercicio
Un canal de televisión de Puerto Rico quiere saber la opinión de las personas de 40 a 50 años acerca de su programación nocturna.
Para esto realiza una encuesta en los pueblos de San Juan, Fajardo, Ponce, Orocovis y Mayagüez.
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Identifica
Población
Muestra
◦ Tipo de muestra
Probabilística
No probabilística
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Ejercicio
Suponga que se desea conocer en profundidad la opinión de los alumnos de Escuela de Psicología sobre un proyecto de innovación académica. Para estos efectos se decide encuestar a 50 alumnos. Se pretende que haya una representación de todos los cursos, de primero a quinto.
¿Qué tipo de muestreo sería el más adecuado en esta situación? Explique y fundamente su respuesta.
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Respuesta
El tipo de muestreo más adecuado en
esta situación sería un muestreo
estratificado
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Ejercicio
Se desea investigar la opinión de los
miembros de la comunidad X que
presencian actos delictivos en su
comunidad.
¿Tipo de muestra apropiada?
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Censo vs Encuesta
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Medidas de tendencia central
Las medidas de tendencia central
corresponden a valores que generalmente
se ubican en la parte central de un
conjunto de datos. (Ellas permiten analizar
los datos en torno a un valor central).
Entre éstas están la media aritmética,
la moda y la mediana.
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Media
Informa sobre la tendencia general de la
variable X en una muestra de n sujetos
Es el índice de tendencia central más
utilizado
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Propiedades de la media
Sólo puede calcularse para variables
cuantitativas
Muy sensible a valores extremos
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Mediana
Puntuación en X que divide la distribución
en dos partes iguales: deja por debajo y
por encima de sí el 50% de las
observaciones.
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Moda
Es el valor que más se repite en las
observaciones.
Bimodal
◦ 2, 1, 2, 1, 4, 5, 10
Multimodal
◦ 2, 1, 2, 1, 4, 4, 5, 5, 10, 10, 11
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Comparación de las medidas de tendencia
central
Criterios a seguir:
◦ Media – es el mejor estimador para el parámetro poblacional.
◦ Mediana – segunda opción, debido a valores extremos o variables ordinales.
◦ Moda – tercera opción, debido a datos nominales, intervalos abiertos con más de 50% de los sujetos.
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Comparación de las medidas de tendencia
central
Las tres medidas son parecidas pero no
iguales.
Son iguales cuando la distribución es
simétrica.
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Ejercicio
Carlos obtuvo unas puntuaciones en la
clase de Historia de Puerto Rico de:
◦ 75, 80, 78, 82
Calcula la media, moda y mediana.
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Resultados
Media = 78.75
Moda = no hay
Mediana = 79
Significado para Carlos
◦ Media = en resumen su labor es de 78.75 en lo que
va de la clase.
◦ Moda = no ha obtenido puntuaciones repetidas
◦ Mediana = el 79 divide sus puntuaciones en partes
iguales.
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Preparado por Carlos R. Rosario
Obviamente….
Si Sandra obtiene las puntuaciones: 91, 91,
91, 91 en las evaluaciones de la clase de
Historia.
Media = 91
Moda = 91
Mediana = 91
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Resultados
Obviamente estos resultados sirven para
que los estudiantes vean la razón clara del
por qué se les llama Medidas de Tendencia
Central.
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Preparado por Carlos R. Rosario
Ejemplo
Según la Asociación de lucha contra la Bulimia y la Anorexia, las pautas culturales han determinado que la delgadez sea sinónimo de éxito social.
Muchos jóvenes luchan para conseguir el “físico ideal” motivados por modelos,artistas o por la publicidad comercial.
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Durante el mes de marzo del año 2006,
en el colegio “Alcántara” de la ciudad de
Talca, después de las vacaciones de
verano, se observó con precaución a 27
alumnos con síntomas de anorexia,
registrándose los siguientes signos
visibles:
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Data
Dieta Severa
Miedo a Engordar
Hiperactividad
Uso de Ropa Holgada
Dieta Severa
Uso de Laxantes
Miedo a Engordar
Dieta Severa
Uso de Ropa Holgada
Dieta Severa
Uso de Ropa Holgada
Uso de Laxantes
Hiperactividad
Dieta Severa
Dieta Severa
Uso de Ropa Holgada
Dieta Severa
Dieta Severa
Dieta Severa
Uso de Ropa Holgada
Hiperactividad
Uso de Laxantes
Miedo a Engordar
Uso de Laxantes
Hiperactividad
Uso de Laxantes
Uso de Ropa Holgada
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Medida apropiada
La única medida de resumen que es posible determinar es la moda, que en este caso corresponde al signo visible dado por la dieta severa.
Interpretación: El signo visible que se observa con mayor frecuencia es el de una dieta severa.
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Aplicación
Un estudiante obtuvo: 87, 95, 76, and
88. El estudiante quiere un 85 o
mejor nota.
¿Cuál es la nota minima que
necesita para lograr su meta?
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Respuesta
(87 + 95 + 76 + 88 + x) ÷ 5 = 85
87 + 95 + 76 + 88 + x = 425
346 + x = 425
x = 79
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Ejercicio
Como parte de un proyecto los estudiantes
de una clase miden cada uno su número de
calzado, obteniéndose los siguientes datos:
26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28
29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 31
32 32 33
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Si te preguntan cuál sería el mejor número
para representar este conjunto de datos,
¿Qué número o números elegirías?
Explícanos por qué has elegido ese(esos)
número(s).
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Cuartiles
Los cuartiles son tres valores que dividen
la distribución en cuatro partes
equivalentes porcentualmente.
El primer cuartil es el valor que es mayor
o igual que el 25% de las observaciones
de la muestra y menor o igual que el 75%.
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Cuartiles
El segundo cuartil es la mediana.
El tercer cuartil es mayor o igual que el
75% de las observaciones de la muestra y
menor o igual que el 25%.
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Cuartiles
Ordenamos los datos de menor a
mayor
Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil
mediante la expresión
kNk
41 2 3, ,
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Número impar de datos
Ejemplo: 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
◦ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9
◦ Q1 Q2 Q3
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En resumen
Su función es informar del valor de la variable que ocupará la posición (en tanto por cien) que nos interese respecto de todo el conjunto de variables.
Podemos decir que los Cuartiles son unas medidas de posición que dividen a la distribución en un cierto número de partes de manera que en cada una de ellas hay el mismo de valores de la variable.
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Medidas de dispersión
Nos informan sobre cuánto se alejan del
centro los valores de la distribución.
◦ Rango
◦ Varianza
◦ Desviación estándar
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Rango
La diferencia entre el menor y el mayor
valor.
Expresa cuantas unidades de diferencia
podemos esperar, como máximo, entre
dos valores de la variable.
El rango estima el campo de variación de
la variable.
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Varianza
La varianza es aquella medida de dispersión que ostenta una variable aleatoria respecto a su esperanza.
Para calcular la varianza será necesario seguir los siguientes pasos:
◦ primero deberemos calcular la media,
◦ luego, por cada número, deberemos restar la media y elevar el resultado al cuadrado
◦ finalmente la media de esas diferencias al cuadrado.
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Varianza
La principal función y utilidad que se le
puede encontrar a la varianza es que nos
permite saber y determinar qué es
normal, qué es grande, qué es pequeño,
aquello que es extra grande o bien
aquello que es extra pequeño.
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Varianza
Por ejemplo, si tomamos varias razas de
perros y la idea es determinar cuál de
ellos es más grande y cuál el más
pequeño, sin dudas, la mejor manera de
saber la respuesta a esta incógnita será la
aplicación de la fórmula de la varianza.
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Desviación estándar
La desviación típica (DT) o desviación estándar es la medida más útil de la variabilidad de los resultados de una muestra.
La DT es una medida de la magnitud en que se desvían las diversas puntuaciones obtenidas de su valor medio.
Si las puntuaciones se agrupan estrechamente en torno a la media, la DT será relativamente pequeña; si se extienden en todas direcciones, la DT será relativamente grande.
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Desviación estándar
Para calcular la desviación típica ◦ primero calculamos el valor medio
◦ hallamos las diferencias entre los valores observados y el valor medio
◦ después, elevamos al cuadrado estas diferencias y las sumamos
◦ dividimos el resultado entre el número de elementos de los que hemos obtenido una medida
◦ finalmente, extraemos la raíz cuadrada.
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza
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Ejercicio
Calcular la varianza y desviación típica de
las siguientes cantidades medidas en
metros:
◦ 3,3,4,4,5
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Ejemplo
Media = 3.8m
Varianza =
desviación típica = 0.748m
1
53 3 4 4 5 38 0562 2b gc h. . m
056 2. m
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Ejercicio
Tú y tus amigos midieron las alturas de
sus perros (en milímetros):
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Significado
Las alturas (de los hombros) son: 600mm,
470mm, 170mm, 430mm y 300mm.
Calcula la media, la varianza y la
desviación estándar.
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Media
Media = 394mm
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Varianza
Para calcular la varianza, toma cada
diferencia, elévala al cuadrado, y haz la
media:
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Varianza
Así que la varianza es 21,704.
Y la desviación estándar es la raíz de la
varianza, así que:
Desviación estándar:
◦ σ = √21,704 = 147mm
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Desviación estándar
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Por lo tanto
Así que usando la desviación estándar
tenemos una manera "estándar" de saber
qué es normal, o extra grande o extra
pequeño.
Los Rottweilers son perros grandes. Y los
Dachsunds son un poco pequeños.
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Actividad
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Encuesta - para analizar informacion
Minitab software.. (gratis)
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Probabilidad
Las probabilidades van de 0 a 1.
Para calcular la probabilidad de un evento
se debe conocer el espacio muestral.
Espacio muestral = todas las alternativas
posibles.
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Ruletas
Se puede usar una ruleta para explorar
conceptos de probabilidad.
◦ Probabilidad de que caiga en azul, rojo.
◦ ¿Donde es más probable que caiga la aguja de la
ruleta? Azul o rojo?
◦ Encuentra cada razón.
◦ ¿Cómo explicarias la probabilidad de que en la ruleta
no resulte en color rojo?
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Eventos
Complementarios – dos eventos son
complementarios cuando un evento o el
otro (no ambos) deben ocurrir.
◦ La suma de estos eventos es siempre 1.
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Ejemplos de eventos complementarios
Clima: llueve, no llueve
Resultados de un examen: A, B, C, D, F
Resultados de una encuesta: Si o No
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Eventos complementarios
P(evento A) = 1 – P(evento B)
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Ejercicio
Tu y siete de tus amigos recogieron dinero para
un regalo. Luego colocaron sus nombres en un
sombrero. El nombre que salga del sombrero
será el encargado de escoger el regalo.
◦ ¿Cuál es la probabilidad de que salga tu nombre?
◦ ¿Cuál es la probabilidad de que no salga tu nombre?
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Respuesta
P(salga tu nombre) = #fav outcomes
#poss outcomes =
1
8
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P(no salga) = 1-P(salga tu nombre) = 1
-
=
1
8
7
8
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http://www.disfrutalasmatematicas.com/defi
niciones/index.html
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http://www.encuestafacil.com/Mas_Informac
ion/Plantillas_Encuestas_Disponibles.aspx
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www.educacion.gov.ec/_upload/GuiaparaelDisen
iodeEncuestas.doc
Guia diseño de encuestas.
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http://www.censo.gobierno.pr/
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http://mathway.com/
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